高等数学下复习纲要

高等数学下复习纲要（共5篇）

高等数学下复习纲要 篇1

高等筑路建筑原材料

1.土的主要矿物成分及工程性质。

2.土的矿物成分中最易引起工程问题的是哪些成分？应采取何措施？ 3.土中水的形式和作用。

4.常用改性沥青的分类及特性。5.SBS改性沥青的改性机理。

6.改性沥青的性能评价指标有哪些？

1.土的主要矿物成分及工程性质。     

粘土矿物，工程性质：1.蒙脱石：亲水性高、易膨胀和收缩、压缩性高、强度低2.伊利石：介于两者之间3.高岭石：亲水性差、可塑性低、压缩性低、性能稳定.水溶盐类，工程性质：P10 腐植质，工程性质：高度的亲水性，高的可塑性…强烈侵蚀结合料与土之间的相互作用

2.土的矿物成分中最易引起工程问题的是哪些成分？应采取何措施？ 粘土矿物：工程应用措施：掺石灰处理（降低土体含水量）掺砂石粉煤灰（降低粘土的液限）水溶盐类中的易溶盐类：工程应用措施：限制土中易溶盐含量；采取防渗措施；利用化学反应生成不溶盐

腐植质：工程应用措施：限制腐殖质含量，掺灰处理或换填处理。

3.土中水的形式和作用。

水的作用：

①填充土中空隙，溶解土中矿物；②参与化学反应；③创造施工条件。

工程处理方法：

确定最佳用水量，以利化学反应的产生，以及确保良好的施工条件。

土中溶液反应：常采用掺加石灰等材料的方法，以改变溶液中的强酸环境

4.常用改性沥青的分类及特性。

常用：

1.低密度聚乙烯（LDPE）改性沥青性质：结晶度低、支链多、融点低、柔韧性好

工程特性：强度较高、延伸率较大；与沥青的相容性和集料的粘附性较差。掺加LDPE，可大幅改善改性沥青的高温性能，略微降低低温性能

2.高密度聚乙烯（HDPE）P18 一般选用低密度

3.聚乙烯－醋酸乙烯酯（EVA）改性沥青工程特性：EVA比PE具有更大的弹性和韧性，并且与沥青的相容性远好于PE，因此在国际上被广泛用于沥青改性；在我国因其价格较高使用较少。EVA掺量增加，改性沥青的高温性能得到增强，并不降低低温性能

4.丁苯橡胶（SBR）改性沥青工程特性：丁苯橡胶与沥青的相容性并不好，通常是以2~5μm的颗粒分散在沥青中，在热贮存时，会有一定的上浮现象。对沥青的高温性能影响不大，较为突出的是沥青的低温变形能力大幅度提高。

5.苯乙烯－丁二烯嵌段共聚物（SBS）改性沥青工程性质P23

5.SBS改性沥青的改性机理。SBS的改性原理

1.SBS熔入沥青后，其中的苯乙烯（S段）可以吸收软沥青质，体积可膨胀到原来的9倍，形成海绵状材料，冷却后，形成具有弹性的三维网状结构。

2.SBS的两相分离结构决定了它具有两个玻璃化温度(高弹态↔玻璃态)，聚丁二烯（B段）为-80℃（-100℃），聚苯乙烯（S段）为80℃（105℃）。

3.当温度超过80℃时，S段（苯乙烯）开始软化流动，有利于拌和与施工；

4.而在路面正常使用温度下，S段呈高弹性的固态，起到交联增强的作用，降低了沥青的流动，提高了高温稳定性；

5.在低温环境下，B段（丁二烯）通常仍在玻璃化温度以上，仍具有较好的柔韧性，提高了沥青的抗疲劳和抗开裂的能力。

附加：三类狭义改性沥青的作用

树脂类改性沥青（LDPE和EVA）主要改善高温性能； 橡胶类改性沥青（SBR）主要改善低温性能；

热塑性橡胶类改性沥青（SBS）可同时改善高温和低温性能。

6.改性沥青的性能评价指标有哪些？ Ppt：

性能评价的关键性指标：针入度指数PI 性能评价的新指标：弹性恢复，测力延度，粘韧性，离析试验，低温弯曲试验 传统指标：针入度指数PI；

新指标：弹性恢复、延度拉伸柔量、粘韧性、软化点差和低温弯曲破坏应变等。书上：P25-31，p30的表

散粒体材料

 1.级配碎石用做半刚性基层沥青路面中间层的主要作用是什么？  2.级配碎石材料组成设计的步骤是什么？  3.级配碎石的性能特点是什么？

1.级配碎石用做半刚性基层沥青路面中间层的主要作用是什么？P39、48 级配碎石用做半刚性基层沥青路面中间层的主要作用是延缓反射裂缝和排水双重作用。用做基层或底基层：作为路面结构的主要承重层之一P39 2.级配碎石材料组成设计的方法和步骤是什么？P43

方法：数解法【试算法（优势粒径法）、正规方程法】

图解法

级配碎石材料组成设计步骤

1.检验各种规格（一般为4档：31.5~19、19~9.5、9.5~4.75、<4.75mm）的集料是否满足材料要求；

2.将各种规格的集料进行筛分；

3.按试算法或图解法获得各种规格集料的1～3组配合比（分别使得合成级配接近规范范围的上限、中值和下限）；

4.进行重型击实试验，分别获得每组混合料的最大干密度和最佳用水量； 5.通过CBR试验，获得每组混合料的CBR；

6.通过室内动三轴试验，获得每组混合料的回弹模量和塑性变形累积规律（选做）； 7.采用室内渗透仪，获得每组混合料的渗透系数（选做）；

8.根据CBR、回弹模量和塑性变形等，确定各种规格集料的最佳配合比。3.级配碎石的性能特点是什么？

 力学性能

 CBR（California Bearing Ratio）

 回弹模量（Resilient modulus）随应力增加，回弹模量逐步增大

 塑性变形（Plastic deformation）随偏应力和荷载循环次数增加，塑性累积变形逐渐增加

 水力学性能

 渗透系数（Hydraulic Conductivity）渗透系数与孔隙率近似呈直线关系。级配碎石最大干密度大时，孔隙率和渗透系数小。渗透系数和级配碎石粒径分布有关，随集料中小于0.5mm细料增加而降低。

性能总结：

 1.级配碎石回弹模量的应力依赖性  2.级配碎石具有一定的可塑性  3.级配碎石具有一定的渗透性

无机结合料稳定材料

 1.无机结合料稳定材料的抗压强度越大越好吗？如何理解无机结合料稳定材料的抗压强度标准？

 2.无机结合料稳定材料具有哪些性能？这些性能之间存在什么内在联系？

 3.按试件受力方式和控制模式分，疲劳试验可分为哪几种？对同一种材料的疲劳寿命有何影响？

 4.无机结合料稳定材料的配合比设计步骤。 5.无机结合料稳定材料施工的关键步骤是什么？  6请按对强度贡献的大小排序，列出水泥稳定材料、石灰稳定材料的主要强度作用。 请指出级配碎石的主要性能特点和无机结合料稳定材料的强度主要特征 1.无机结合料稳定材料的抗压强度越大越好吗？如何理解无机结合料稳定材料的抗压强度标准？p69 不是越大越好，抗压强度与干缩性能：水泥稳定碎石—抗压强度增加，干缩应变先减小后增大，抗压强度与温缩性能：水泥稳定碎石—抗压强度增加，温缩系数呈波浪形，存在最佳值 二灰稳定材料—抗压强度增加，温缩系数基本也增加

抗压强度与抗冻性：二灰稳定材料---抗压强度增加，抗冻性基本是下降的。抗压强度与刚度：强度越大，刚度越小p67 无机结合料稳定材料的抗拉强度标准一般取7天无侧限抗压强度为3~5Mpa，比较折中。若太小，则强度不满足要求，容易损坏；若太大，则干缩系数大，尤其对重型车来说，疲劳寿命也会大幅减小。

2.无机结合料稳定材料具有哪些性能？这些性能之间存在什么内在联系？p53、p69 力学性能，收缩性能，水稳定性，疲劳性能 联系

力学性能（抗压强度）增加，收缩性能（干缩）存在最佳值。力学性能（抗压强度）增加，收缩性能（温缩）存在最佳值。力学性能（抗压强度）增加，水稳定性也越好。力学性能（抗压强度）增加，疲劳性能也越好。采用综合压缩模量来衡量考虑所有性能。

EYSEYS σUCS m、n λd、λt εd·εt·m、m UCSmddmnttm—— 综合压缩模量，MPa； —— 无侧限抗压强度，MPa； —— 地区影响系数，m+n≤1； —— 考虑干（温）缩应变速率的系数；—— 最大干（温）缩应变，×10-6。

3.按试件受力方式和控制模式分，疲劳试验可分为哪几种？对同一种材料的疲劳寿命有何影响？ 受力方式：

弯拉（曲）疲劳试验

弯拉（曲）疲劳试验中试件实际为单向应力状态（梁试件），试验较为烦琐。劈裂疲劳试验

又称为间接拉伸试验，试件承受双向应力状态（圆柱体试件），操作简便。影响

劈裂疲劳试验所得疲劳寿命远小于弯拉（曲）疲劳试验所得疲劳寿命，与其受力状态是密切相关的。控制模式： 控制应力疲劳

在疲劳实验过程中，保持加载大小不变； 试件模量越大，其疲劳寿命越大。控制应变疲劳

在疲劳实验过程中，保持试件所受应变不变。（加载逐步变小）试件模量越大，其疲劳寿命越小。

对同一种混合料，控制应力疲劳寿命远小于控制应变疲劳寿命。4.无机结合料稳定材料的配合比设计步骤。书上P73 Ppt：

（1）取样筛分

从料场选择有代表性的试样，进行筛分；（2）级配组成（矿料配合比）图解法 试算法

“优势粒径法”（所谓优势粒径是指某种集料中在某级筛孔上占有绝对优势的粒径，即分计筛余最大的粒径）

（3）制备不同结合料剂量的混合料试样（混合料配合比）按不同类型的混合料，预估其用水量； 至少需要制备三种剂量的混合料试样；

（4）确定各种混合料的最佳含水量和最大干密度 进行击实试验，测定和计算干密度和含水量 确定最佳含水量和最大干密度（1）制备无侧限抗压强度试件

按上述最佳含水量和最大干密度制备抗压强度试件（Φ50×50、Φ100×100、Φ150×150 mm）；

平行试件的个数与偏差系数有关，一般为9～13个。（2）试件养生

在规定温度（北方20±2℃，南方25±2℃）下保湿养生6d（或27d），浸水1d。（3）抗压强度测试与计算

将试件放在试验仪的升降台上（台上先放一偏球座），以1mm/min的速度加载，记录试件破坏时的最大压力P。

按Rc＝P/A计算试件的抗压强度。（1）选定合理的结合料剂量（2）实际使用剂量 增加0.5～1.0% 5.无机结合料稳定材料施工的关键步骤是什么？

混合料拌和（拌和机）按比例控制各料斗上料速度、控制进水速度（较最佳含水量大1%）

强制式拌和机等拌和

检查拌和均匀性、在线配合比

混合料运输（自卸卡车）应前后移动装料，防止离析（FIG）

尽快运输到现场；覆盖篷布，尽量减少水分损失

混合料摊铺（摊铺机）宜连续摊铺，禁止停机待料

适宜速度：1m/min左右 列队方式：两台梯队摊铺

离析处理：及时消除粗细集料离析现象 检查：摊铺均匀性

混合料碾压（压路机）合适碾压顺序：静压→轻振→重振→胶轮静压→钢轮静压

静压要充分，振压不起浪、不推移

碾压时应重叠1/2轮宽，结束时应无明显轮迹 压路机禁止刹车

一定要保证压实度，灌砂法检测压实度

接缝横缝设置：中断施工超过2h（水泥稳定类），应设置横缝

纵向用三米直尺定出横缝位置 横缝断面：竖向平面

横缝碾压：横向碾压，逐渐过渡到新铺层，然后进行正常的（纵向）碾压质量管理及验收

纵缝设置

相邻车道摊铺时间相差1h以上设置（尽可能采用两台摊铺机梯队摊铺）

摊铺时采用钢模或平整的枕木，采用垂直相接方式 纵缝位置：相邻车道线上

纵缝碾压：采用正常的纵向碾压方式

养生及交通管制

养生方法：应将麻布或透水无纺土工布湿润，然后人工覆盖在碾

压完成的基层顶面。覆盖2小时后，再用洒水车洒水，或用塑料薄膜覆盖养生。

洒水方式：洒水车的喷头要用喷雾式，不得用高压式喷管 养生期：水泥稳定类7d，二灰稳定类28d

交通管制：在养生期间应进行交通管制

6.请按对强度贡献的大小排序，列出水泥稳定材料、石灰稳定材料的主要强度作用。P53 按从大到小

水泥：水化作用——离子交换作用——化学激发作用——碳酸化作用 石灰：离子交换作用——碳酸化反应——火山灰反应——结晶反应

7、指出级配碎石的主要性能特点和无机结合料稳定材料的强度主要特征 级配碎石的主要性能特点：1.级配碎石回弹模量的应力依赖性

2.级配碎石具有一定的可塑性 3.级配碎石具有一定的渗透性

无机结合料稳定材料的强度主要特征：1.环境温度越高，无机结合料稳定材料强度形成和发展越快，当温度低于5℃到0℃时，强度难以形成和增长。低于0℃时，如经冻融，强度降低p60

2.强度随龄期不断增长

3.强度与材料品种、养生条件有关p61其他参考p70

沥青面层材料

 1.SMA的材料组成上具有哪些显著特点？这些特点与其使用性能之间具有什么关系？

 2.SMA配合比组成设计步骤是什么？

 3.SMA混合料检验中，析漏和飞散试验的主要目的是什么？两者有无联系？  4.SMA混合料在设计和施工中最易出现哪些问题？应采取什么有效措施？  5.再生沥青混合料设计的主要内容有哪些？

 6.SMA配合比组成设计与无机结合料稳定材料的组成设计的主要区别是什么？  7.SMA沥青混合料的施工与无机结合料稳定材料的施工有什么主要区别？

1.SMA的材料组成上具有哪些显著特点？这些特点与其使用性能之间具有什么关系？p78

2.SMA配合比组成设计步骤是什么？ 3.3.1设计初试级配 3.3.2计算各种矿料密度

3.3.3计算粗集料骨架混合料的平均毛体积相对密度γCA 3.3.4计算初试级配捣实状态下的粗集料骨架间隙率VCADRC 3.3.5预估油石比Pa或沥青用量Pb 3.3.6成型马歇尔试件

3.3.7计算SMA混合料的最大理论相对密度γt

3.3.8计算SMA马歇尔混合料试件中的粗集料骨架间隙率VCAmix（与VCADRC对比）3.3.9相关指标的计算，试件空隙率，试件矿料间隙率，试件有效沥青饱和度 3.3.10确定最佳设计级配，最佳设计级配必须满足下列两个条件： VCAmix

VMA>17

11对于选择的最佳设计级配，以初试沥青用量、初试沥青用量±0.2～0.4％制作3个油石比的SMA马歇尔试件； 测试马歇尔稳定度、流值，计算VCAmix、VV、VMA、VFA等技术指标； 13 按设计空隙率，确定最佳油石比，并检查对应的技术指标是否满足要求。

3.SMA混合料检验中，析漏和飞散试验的主要目的是什么？两者有无联系？ 谢伦堡析漏试验：试验目的：确定SMA混合料的最大沥青用量。（施工中的流淌问题）肯塔堡飞散试验：试验目的：确定SMA混合料的最小沥青用量。

有联系：析漏和飞散试验往往同时进行，所以可得出两条曲线，且两条曲线交点基本与最佳沥青用量接近p91

4.SMA混合料在设计和施工中最易出现哪些问题？应采取什么有效措施？ 设计中：P98 施工中：P112 5.再生沥青混合料设计的主要内容有哪些？P118 2.1旧料掺配设计 2.2新掺材料设计 2.3工艺性能设计

6.SMA配合比组成设计与无机结合料稳定材料的组成设计的主要区别是什么？

SMA配合比组成设计：SAM的配合比设计核心是粗集料的骨架设计，粗集料的骨架性质决定了细集料含量的多少，决定了混合料的级配组成，在某种意义上也决定了沥青用量大小和沥青玛蹄脂的组成。SMA对于混合料的级配组成要求很严格，除强度外，对于各种密度（毛体积相对密度、表观相对密度、有效相对密度等）、粗集料骨架间隙率VCA及试件空隙率VV、矿料间隙率VMA、有效沥青饱和度VFA也都有严格的要求，需经过检验复核才能确定。SMA最终需确定沥青最佳用量，过程中没有水。

无机结合料稳定材料：相对于SMA，无机结合料稳定材料的组成设计比较简单，对于结合料的级配组成没有严格的要求，整个组成设计中最重要的是确定最佳含水量和最大干密度。检验时也只需检验抗压强度即可。

7.SMA沥青混合料的施工与无机结合料稳定材料的施工有什么主要区别？

SMA：需要严格的适宜的温度条件。SMA拌和、摊铺、碾压温度均较常规路面施工温度要求高，各个环节的温度都需要严格控制，需保证连续作业，所有工序在混合料温度降至100℃以前全部结束。碾压时采用初压、复压、终压的步骤。

无机：施工全过程需对水的用量进行严格控制。水对于无机结合料稳定材料至关重要，从拌和、运输、摊铺、碾压直到最终的养护都需要严格控制含水量。一般，由于运输、施工过程中的水损失，拌和时多加1%的水，施工及养护过程中，也要及时喷洒水。碾压时通常采取静压→轻振→重振→胶轮静压→钢轮静压的步骤。

沥青稳定基层材料

1.采用多级嵌挤设计方法设计LSAM时，级配控制参数有哪些？其主要目的是什么？

 P140 级配的级配参数，CA比、FAC比、FAF比等。为了约束粗集料的离析和压实不稳定性现象，对级配的粗集料部分组成提出CA比要求。

为了分别保证第二级和第三级形成嵌挤状态，采用FAC比和FAF比对级配细集料部分的嵌挤进行约束。

2.为确保达到嵌挤状态，有哪些级配状态检验指标？这些指标之间存在何种关系？

 P141

 VCAmix

压实沥青混合料中粗集料骨架间隙率，%小于捣实状态下粗集料骨架间隙率，%  骨架接触度SSC（stone-on-stone contact）

压实成型的混合料粗集料毛体积相对密度ρcm与纯粗集料干捣的相对密度ρ之比。这一指标反映了沥青混合料粗集料的骨架性、接触的密实性和粗集料的压实效率。

 骨架稳定度SCA（Stability of Coarse Aggregate）

压实成型的沥青混合料粗集料的毛体积相对密度ρcm与纯粗集料的松堆密度ρna之比。

骨架接触度SSC与稳定度SCA的关系

 骨架接触度是压实成型的混合料粗集料毛体积相对密度ρcm与纯粗集料干捣的相对密度ρ之比；骨架稳定度是压实成型的混合料粗集料毛体积密度ρcm与纯粗集料的松堆密度ρna之比。

 骨架接触度和稳定度是沥青混合料粗集料体积密度，在不同纯粗集料状态下粗集料密度的特征量。

 骨架接触度与稳定度有着很好的相关性。接触度越大，骨架稳定度也越大，反之亦然。

3简述基于均匀设计的综合设计法的主要步骤

P146 4简述LSAM混合料与AC混合料高温稳定性的区别 高温稳定性（动稳定度）：LSAM具有优良的高温稳定性，与其嵌挤骨架的作用是分不开的。

随着粒径的增加，LSAM的高温稳定性也增加。

高温稳定性（车辙深度）：与密级配沥青混合料AC-30相比，LSAM的车辙深度仅在初期有小

幅增加，后期几乎完全不变，表明LSAM具有很好的抵抗车辙变形的能力。

高温稳定性（单轴静载试验）：随着沥青用量的增加，LSAM的蠕变劲度下降，永久变形逐

渐增加。

防水粘结层材料

 1.三种防水粘结材料的基本性质如何？ P166-169

 2.剪切试验和拉拔试验的主要目的及其试验过程。剪切试验P169  目的：表征试件的抗剪切变形的能力；防止两层沥青混凝土面层之间或水泥混凝土、沥青层之间产生剪切滑移破坏。 试验步骤：

 在特制试模（30×30×3.5cm）内，浇注成型水泥混凝土，表面刷毛后养生7d脱模；

 完全干燥时，打磨表面浮浆，涂刷防水粘结层；  在其上碾压沥青混凝土（3.5cm），冷却后脱模，切割成5×5×6.5cm试件（每组4个平行试件）进行剪切试验（斜剪），测试抗剪切强度。

拉拔试验P172  目的：表征试件的粘结能力；防止两层沥青混凝土材料之间或水泥混凝土、沥青混凝土之间的粘结失效。 试验步骤：

 用车辙板（30×30×5cm）预制5cm厚的水泥混凝土板，然后按“表面处理－涂刷防水粘结层－碾压沥青混合料”成型试件。 待试件冷却固化后，用钻芯机钻孔（孔径50mm），一直钻到水泥混凝土板，取出钻头；

 用快凝环氧沥青将拉头粘在沥青混凝土表面，养护12h；  将试件放于拉力试验仪中，以100～200N/s的固定速度对拉杆加力，直至芯样破坏。

 三种防水粘结材料的性质

 三种防水粘结材料均不透水；

 SBS改性沥青的粘结强度与环氧沥青相当；

 三种防水粘结材料的剪切、拉拔试验

 SBS改性沥青的抗剪强度与环氧沥青相当，且均高于专用粘结剂的强度；  SBS改性沥青的拉拔强度与环氧沥青相当，且均高于专用粘结剂的强度；  随着温度的升高，拉拔和抗剪强度显著降低；  SBS改性沥青防水粘结层的最佳厚度为1.3mm。

水泥混凝土

 1.碾压混凝土的主要特点有哪些？

（1）材料和施工特点（与滑模摊铺对比）：含水率低（特干硬性）和振动碾压成型

（2）与沥青路面比较

1.车辙少2.抗磨耗性好3.耐油性好4.使用寿命长，维修费用少5.重交通或某些厚层结构，初期投资费用有可能较省6.平整性差

（3）与普通水泥路面比较

1.可用沥青路面摊铺机进行施工2.施工简单、快速，可不用模板，能缩短工期3.经济性优越，估计初期投资费用约节省15～40％4.水泥用量和用水量少，干缩率小，可以扩大接缝间距，有利于行车舒适性5.初期强度高，养护期短，可早期开放交通

（4）碾压混凝土的成本

1.提高路面施工效率，降低铺筑施工成本；2.由于接缝减少，使接缝的成本降低；3.常规水泥混凝土路面的水泥用量一般在300～350kg/m3，碾压混凝土路面水泥用量大约是250～300 kg/m3，至少节约水泥50 kg/m3以上。

 2.碾压混凝土的施工与普通水泥混凝土的施工有哪些不同？

碾压混凝土施工工艺 碾压混凝土拌和→运输

→卸入沥青摊铺机→沥青摊铺机摊铺

→钢轮压路机初压→振动压路机复压→钢轮压路机终压

→抗滑构造处理→养生 →切缝→填缝→养生。

碾压混凝土含水量较少，导致拌和、运输、摊铺、碾压的过程有所差异。最大的不同在于碾压过程，普通水泥混凝土振动压实，碾压混凝土则用压路机压实。

1、碾压混凝土拌合

碾压混凝土与常规水泥混凝土相比，由于施工方法的不同，其拌合料的制备工艺也有很大差别，对拌合设备的进料数量、计量精度、生产能力、拌合时间及拌合机类型都有不同要求。拌合设备必须有足够的料仓数目和进料通道才能满足配料要求。碾压混凝土拌合料含水量较低，稠度值较大，掺入外加剂后，需要有充分的拌合时间，各种材料才能均匀拌合，外加剂才能充分发挥作用。混凝土摊铺 ：

碾压混凝土水灰比较小，混凝土无流动性，因此需要人工配合挖掘机按照模板挂线进行初平，最后用平地机整平。在静压过程中，人工往低洼处进行补料，静压平整度满足要求后，方可进行振动碾压。确保混凝土路面平整度。

2利用碾压作用使混凝土密实成型是碾压混凝土路面区别于其它水泥混凝土路面的重要标志，为了保证碾压混凝土路面强度和表面特性等路面质量，一般使用振动压路机、轮胎压路机或组合压路机进行碾压，有条件时最好配套水平振动压路机和裹胶钢轮振动压路机。压路机的碾压次序一般与碾压过程对应分为初压、复压和终压。3碾压混凝土路面与普通混凝土路面相比又有特殊性，施工工艺采用压路机振动碾压成型，这跟普通混凝土路面支模铺筑有很大区别。因此，在普通混凝土路面上的接缝形式和设置接缝的方法难以在碾压混凝土路面施工中实现。这就要求我们针对碾压混凝土的特点提出碾压混凝土路面的接缝原则和适宜的接缝形式，来解决碾压混凝土的接缝问题，施工缝连接必须严格按照图纸要求施工，不可搭接。

养护：由于碾压混凝土水灰比小，若失水，则强度损失大，因此RCC路面养护要求较高

 3.简述钢纤维混凝土的增强机理和设计步骤。增强机理P183 设计步骤平196 a．确定试配抗折强度Rcw b．确定钢纤维体积率 c．确定单位用水量 d．计算水灰比 e．计算水泥用量 f．确定砂率

g．计算粗、细骨料用量 h．试配调整 i．确定施工配比

论述题：

1、结合SMA混合料的组成结构，谈谈对SMA混合料的看法，并展望其发展趋势。答：组成结构P77，看法P78（路用性能好）

发展趋势，随着功能路面的提出，可考虑掺加橡胶，低噪声路面。

2、谈谈沥青稳定基层沥青路面结构的优越性和发展前景

答：沥青面层的优越性参考p78的路用性能，以下为基层（可参考p137）：

以无机结合料稳定粒料类为基层的半刚性基层沥青路面被大量应用于高等级公路。但这种半刚性基层除具有一定的强度、刚度和整体性外，还具有较好的水稳性和抗冻性，而且可供应的材料种类多，早期强度高，有利于加快施工进度，使用过程中弹性变形较小，使用年限长，承载力高。

然而，近年来，此类结构在使用中常出现基层反射裂缝、坑槽下沉等病害。大量反射裂缝在水的浸泡以及行车荷载的冲刷破坏下，由线性破坏迅速发展为网状开裂，直至结构性破坏。特别是最近几年，交通量大增，超载现象日益严重，更加暴露了半刚性基层路面的这种缺点。一直以来国内外的学者尝试着采用各种方法解决半刚性基层路面的这种病害，比如采用塑料隔栅、在半刚性基层上面铺筑应力吸收层(SAMI、集配碎石夹层)、增加沥青层的厚度等，但是这些方法仅仅延缓或者抑制反射裂缝的发展，没有根本消除反射裂缝。故此，急需寻求一种其它的基层材料来克服半刚性基层的缺点，以提高沥青路面的使用品质。而以刚度相对较小的柔性材料作为沥青路面的基层，可以吸收部分层底拉应力，大大减少路面开裂的可能性，解决沥青路面的反射裂缝问题。

常见的沥青稳定基层有密级配沥青碎石ATB、开级配沥青碎石ATPB、半开级配沥青稳定碎石AM、HRA(热拌热铺沥青混凝土)、HDM(多碎石沥青混合料）等，近年来，LSAM也被提出。一LSAM为例，谈一谈沥青基层（柔性基层）的优越性。

大粒径沥青稳定碎石混合料是近年来兴起的一种性能优良的沥青混合料，它一般指矿料的最大粒径在 25－63mm之间的热拌热铺沥青混合料。大粒径沥青稳定碎石混合料具有以下优点：①级配良好的沥青稳定碎石混合料可以抵抗较大的塑性和剪切变形，承受重载交通的作用，具有较好的抗车辙能力，提高了沥青路面的高温稳定性；②集料的增多和矿粉用量的减少，使得在不减少沥青膜厚度的前提下，减少了沥青总用量，从而降低了工程造价；③可一次性摊铺较大的厚度，缩短了工期；④沥青层内部储温能力高，热量不易散失，利于寒冷季节施工，延长施工期。对于目前交通中存在的重车多，车辙比较严重的情况，有较好的应用前景。（1）具有大粒径沥青稳定碎石基层的沥青路面，由于面层和基层材料结构的相似性，路面结构受力、变形更为协调。（2）设计优良的大粒径沥青稳定碎石混合料能保证一定的空隙率，使水分顺畅地通过基层排出，不会滞留在路面结构中造成路面的水稳性破坏。（3）大粒径沥青稳定碎石混合料对于水分的变化不敏感，受水和冰冻影响较小，不会因为干缩裂缝而导致面层出现反射裂缝。（4）大粒径沥青稳定碎石基层同沥青面层一起构成全厚式沥青面层，从而使得整个沥青面层的修筑时间减少。展望：大粒径沥青稳定碎石基层有着良好的发展和应用前景。这种基层类型的路面结构在国外已得到广泛的应用，而国内关于这方面的研究才刚刚起步。鉴于此，深入系统地研究大粒径沥青稳定碎石基层沥青路面设计方法、力学性能的研究，对于避免沥青路面过早开裂，减轻沥青路面的车辙、剪切等病害，延长沥青路面的使用寿命，提高沥青路面的使用质量，节约工程费用等，都具有十分重要的经济和社会意义。

采用沥青稳定柔性基层,与半刚性基层相比,虽然其前期建设投资有较大幅度的提高,但由于可以减少裂缝引起的各种病害,避免了频繁的翻修,使路面使用寿命得以延长,周期成本效益提高,同时用热拌沥青混合料作为基层,有助于承受重载交通。因此非常有必要借鉴国外成功的经验,结合我国的具体情况,转变以往“强基薄面”的老观念,努力提高沥青稳定碎石柔性基层的质量,认真总结经验,使国外的技术结合我国各地不同地质、水文等特定条件将其本土化,这将有利于我国沥青路面质量的提高。进一步研究：

1、对大粒径沥青稳定碎石基层防止沥青路面反射裂缝的理论做进一步的探索。

2、深入系统地进行沥青稳定碎石基层混合料设计方法和施工技术的研究，避免沥青路面过早开裂，减轻沥青路面的车辙、剪切等病害，延长沥青路面的使用寿命。

3、研究不同成型方法对沥青稳定碎石的最佳沥青用量及路用性能的影响，提出适合沥青稳定碎石混合料的成型方法；考虑沥青稳定碎石混合料的性能要求，提出沥青稳定碎石性能评价指标和试验方法。

3、沥青路面结构设计中如何发挥各种材料的优势（就面层或基层典型材料展开）

答：面层：SMA基层：LSAM（属于ATB）或者半刚性基层。可展望一种复合式基层，把无机混合料稳定材料和沥青以一种合适的比例组合在一起，兼起二者的优点，避免缺点

柔性基层沥青路面的承载能力要低于半刚性基层和刚性基层,且柔性基层沥青混合料的劲度模量随温度升高而降低,高温季节在行车荷载的作用下更易产生诸如波浪!推移!车辙!泛油等病害。

1、抗裂性能好,可改善路面结构的早期破坏,降低路面传统的疲劳开裂的可能性“。沥青基层材料在使用过程中随着时间的延长,强度有逐渐增加的趋势,路面传荷能力也随之增强” 2该种路面结构形式的损坏主要集中于面层顶部,可通过定期对损坏面层铣刨、罩面或维修,达到沥青路面在使用年限内不需进行大的结构性重建,以延长沥青路面的使用期限“ 3该种路面结构类型能较半刚性基层结构类型提前开放交通,从而能够大大缩短工期,早日实现经济效益”一般沥青稳定碎石基层在铺筑完成后的一天左右就能进行面层结构的铺设,而其它类型基层需要较长时间来养护,以便达到龄期“ 4该种路面结构类型更加有利于环境保护,其路面结构不但整体性匀称,而且在使用寿命末期进行维修或改建时,面层和基层材料能够全部被利用,这在其它类型的结构是不具有的,这不但节省了资源和后期的修筑费用,而且也不会造成环境的污染,是一种环保的基层类型结构”

对于沥青混合料,其力学强度主要取决于矿料颗粒间摩擦力和嵌挤力、沥青胶结料的粘结性以及沥青与矿料之间的粘附性等方面。

“不同级配组成的沥青混合料,具有不同的空间结构类型,也就具有不同的内摩阻力和粘聚力”因此,沥青混合料的结构组成对其强度构成起着举足轻重的作用。

沥青混合料中嵌挤力与内摩阻力的大小主要取决于矿质骨料的尺寸均匀度、颗粒形状及表面粗糙度。用较大的均匀的矿质骨料较之用尺寸较小而不均匀的矿料所组成的混合料具有较大的嵌挤力和内摩阻力;有棱角且表面粗糙的骨料较之圆球形而表面光滑的骨料所组成的混合料具有较大的嵌挤力和内摩阻力。

此外混合料中沥青含量,也能影响摩阻力的大小。沥青含量越少时,其在矿料表面所形成的膜则越薄,因而摩阻力也就越大,反之则越小“。(l)集料

集料的级配、尺寸、颗粒形状、表面粗糙度!表面的性质都影响沥青混合料的强度。集料的级配组成是构成沥青混合料内摩擦角的关键因素,同时良好的级配可以提供充分的集料表面与沥青进行有效的粘结,增加混合料的内部粘聚力。集料的尺寸均匀度、颗粒形成及表面粗糙度,影响沥青混合料中嵌挤力与内摩阻力的大小。选择良好的级配和集料,是提高内摩阻力和抗剪强度的有效途径”(2)沥青

沥青的品种用量和性能对混合料内部粘结力有着关键性的影响“沥青的粘结力把集料胶结成为一个整体,沥青粘度愈大,结构沥青膜越厚,则抗剪强度越高。只有在适当的沥青用量情况下,才能在粘结力和摩擦力之间获得一种平衡,得到最佳粘聚力的沥青混合料。提高沥青混合料的强度有两个途径,一是提高矿质集料之间的嵌挤力与内摩阻力,以抵抗材料的剪切变形；二是提高沥青与集料之间的粘聚力,以保证材料的整体性和稳定性,进而保证材料之间的内摩阻力得以充分发挥。而这些可以通过改变集料级配组成及寻求能获得最大粘聚力的最佳沥青用量来实现”（3）优良的施工质量是实现沥青混合料路用性能的前提和保证"。

4、如何减小半刚性材料的收缩，展望该类材料的发展方向 答：沥青路面半刚性基层特点

半刚性基层指无机结合料稳定类基层，其结合料一般采用水泥、石灰、工业废渣等材料，具有承载力大、刚度大、压缩模量高、板体性能强、弯沉小等优点，但这种材料温缩、干缩变形大，易开裂，属于脆性材料。

由于半刚性基层材料温缩和干缩特性和本身的脆性，所以不可避免地会产生反射裂缝。首先，当车轮从裂缝的一侧经过到达裂缝的另一侧时，路面所受应力产生突变，并在路面裂缝处产生较大的应力集中，同时在温度应力的反复作用下，导致面层疲劳而产生反射裂缝；再者，由于界面上水的存在改变了层间接触条件，路基路面结构间不再连续，成为半连续甚至光滑接触模式，沥青层底在荷载作用下将出现超过极限拉应力状态，导致沥青面层开裂，承载力降低，产生车辙等病害。半刚性基层路面的破坏一般从半刚性基层的缩裂开始，然后破坏由基层向面层及向路基延伸，最终发展为整个路面结构的破坏，因此这种路面破坏模式属于路面的结构性破坏，一旦损坏很难进行维修。半刚性基层沥青路面收缩裂缝产生原因

根据国内外对半刚性基层的研究表明，引起半刚性基层沥青路面收缩裂缝的主要原因可分为几种：

（1）荷载影响

车辆荷载对路面产生的作用力，通过面层传递到半刚性基层，致使基层层底出现拉应力，如果此拉应力超过了基层材料的容许极限拉应力时，基层就会开裂。

（2）化学收缩

它类似于混凝土的水泥集料在硬化成型期间所发生的体积收缩。一般在浇筑后的头一个月内这种反应比较明显。

（3）干湿收缩

无机结合料稳定材料经拌和压实后，由于蒸发和混合料内部发生水化作用，混合料水分会不断减少。由于水的减少而发生的毛细管作用、吸附作用、分子间力的作用、材料矿物晶体或凝胶体间层间水的作用和碳化收缩作用等会引起半刚性材料产生体积收缩。半刚性基层施工后若未及时养护或养护后未及时铺筑面层，基层材料将水分大量蒸发，会产生很大的干缩应力，随后干缩应力会渐趋降低，这便容易产生干缩裂缝。所以，这一期间的养护非常重要，使其在保持湿度的条件下，尽快加速强度的增长，以防止裂缝发生。

（4）温度收缩

无机结合料稳定材料由固液气三相组成。半刚性材料的外观胀缩性是由三相在降温过程中相互作用，使半刚性基层产生体积收缩，即温度收缩，从而形成裂缝。

温缩裂缝主要包括低温收缩裂缝和温度疲劳裂缝两种。低温收缩裂缝是指由于气温的大幅度下降导致基层材料受冷收缩，二由于基层、面层、底基层材料不同，收缩也不同，互相之间产生约束，当气温下降到一定程度时，基层材料中产生的拉应力一旦超过抗拉强度，就会造成基层开裂。温度疲劳裂缝则主要发生于昼夜温差大的地区，由于基层昼夜温差很大，就会产生较大的温度应力，这种温度应力循环往复地作用于基层，也会导致基层疲劳开裂。

（5）半刚性路面内部排水性差，半刚性材料对水破坏敏感。

半刚性基层材料致密、透水性差，而且由于降水、水分冻融循环和各种人为因素，沥青面层渗水不可避免。水从沥青面层到达半刚性基层后，由于不能从基层迅速及时地排走，只能沿沥青面层和半刚性基层之间的界面滞留、积聚和扩散，在车辆荷载反复作用下产生的动水压力冲刷基层，致使基层材料脱落松散，基层与面层的粘结力下降，路面结构层承载能力降低，基层支持力下降。同时由于部分水可能通过基层裂缝继续向下入渗，软化土基，以及路面各结构层本身受到水的破坏，导致路面的整体承载能力显著降低，产生网裂等路面病害。

由此可见，半刚性基层开裂导致的沥青路面开裂是沥青路面破坏的主要原因之一。因此对半刚性基层裂缝的防治是延长公路使用寿命的关键。减小半刚性基层沥青路面收缩裂缝的措施

目前国内外对半刚性基层沥青路面防裂措施的研究大致可分为两大类：一类是半刚性基层材料性能方面，一类是路面结构形式方面。

（一）半刚性基层材料性能方面

1、材料组成设计（1）结合料种类及剂量

半刚性基层使用不同的结合料其收缩系数是不同的。常用的结合料类型为水泥稳定类、石灰稳定类、石灰粉煤灰稳定类。由于各种结合料的化学成分不同，其对半刚性基层材料的收缩系数的影响不同。结合料的选择应根据规范规定的不同公路等级对应的强度要求进行选择，并在满足强度要求的基础上，选择使基层材料收缩系数小的结合料。

结合料剂量对半刚性基层材料的收缩性能影响较大。对于水泥稳定类材料，基层强度和收缩系数均随水泥剂量的增加而增大。水泥剂量过小，基层强度达不到规范要求，水泥剂量过大，材料的收缩系数较大，基层容易产生裂缝。因此，在选择水泥剂量时要在满足规范要求强度的前提下，采用较小的水泥剂量，以控制基层收缩裂缝的产生。（2）集料级配类型及细料含量

不同级配类型的半刚性基层的裂缝率是不同的，通常采用的悬浮密实型结构往往产生较多裂缝，而骨架密实型结构能够明显减少半刚性基层的收缩量。骨架密实结构是在不增加经济成本的基础上对半刚性基层材料性能的改善，因此在实际工程中得到广泛应用。

基层材料中的细集料含量，尤其是小于0.075mm 的颗粒含量，对基层材料的收缩性能影响显著。小于0.075mm细料含量越少，温缩系数越小，因此在实际施工中将小于0.075mm 的细料含量限制在规范的中下限或接近下限的范围，可有效减少收缩裂缝。

2、施工控制

（1）施工中的控制及施工后的养护

半刚性基层的干缩应力的大小与混合料水分散失的速度成正比，特别是刚刚铺筑的半刚性基层，水分散失的速度非常快，混合料产生的拉应力较大，此时基层的抗拉强度还没有完全形成，若不能保证半刚性材料的含水量，半刚性基层就会产生干缩裂缝。并且养护结束后，要及时铺筑面层，若让其暴晒，基层也会产生干缩裂缝。

半刚性基层材料的温缩系数在接近最佳含水量状态且在温度区0～-10℃时会出现峰值，因此做好半刚性基层的前期养生工作，能减少基层的收缩裂缝。（2）合适的施工季节

半刚性基层的收缩裂缝与基层施工时的温度和年温度梯度密切相关。在高温季节施工的半刚性基层在经历了低温季节后易产生收缩裂缝；在低温季节施工的半刚性基层在经历了高温季节后易产生膨胀裂缝。因此，选择合适的施工季节进行基层施工，可以减少半刚性基层的反射裂缝。（3）拌和均匀

掺入的无机混合料过分集中，会产生较多的收缩裂缝。所以，施工中剂量不仅要计算准确，而且要拌和充分、均匀，不出现灰条、灰团和花面，混合料色泽一致。（4）设预留缝

在无机结合料稳定材料基层中每隔一段距离设置一道收缩缝，能起到很好的防裂作用。缝的间距随半刚性材料类型、沥青质量和当地气温条件而变，具体需通过试验路确定。一般情况下，间距为8~12m。如在预留缝上铺一幅宽3m的玻璃纤维布效果更好。

3、添加剂

长安大学的杨红辉对掺加膨胀剂和聚丙烯纤维的水泥稳定碎石进行了研究，得出了膨胀剂和聚丙烯纤维可以提高水泥稳定碎石的抗裂性能。同济大学的孙亦纯对掺加膨胀剂、减缩剂的水泥稳定碎石进行了干缩性能研究，得出了在一定掺量下，膨胀剂和减缩剂对水泥稳定碎石的干缩性能影响显著。由此可见，在半刚性基层材料中掺加添加剂可以限制基层的收缩裂缝。

4、增加半刚性基层厚度

荷载型裂缝是由行车荷载在半刚性基层底面产生拉应力引起的。影响这个拉应力大小的主要因素有：面层的厚度，基层本身的厚度，基层的弹性模量和下承层的弹性模量。大量的实践证明，增加半刚性基层的厚度可使其底面的拉应力迅速减小。

（二）路面结构形式方面

1、在面层与基层之间设置应力吸收层

为了防止或减少半刚性基层的反射裂缝，通常在沥青面层和半刚性基层之间加铺应力吸收层。其作用是吸收半刚性基层的收缩应力，减少由于收缩引起的应力集中现象，从而达到减少半刚性基层反射裂缝的目的。

2、半刚性基层预切缝

长安大学的戴经梁等人对半刚性基层预切缝进行了研究，认为合适的切缝时间、合理的切缝长度、合适的预切缝间距，可有效减缓半刚性基层反射裂缝的出现。

3、增加沥青面层厚度

在条件允许的情况下，适当增加沥青面层厚度，一方面可以减少半刚性基层的层底弯拉应力，另一方面，可以抑制基层裂缝向面层延伸的速度，从而延长路面的使用寿命。

名词解释：

玻璃化温度：指无定型聚合物（包括结晶型聚合物中的非结晶部分）由玻璃态向高弹态或者由后者向前者的转变温度，是无定型聚合物大分子链段自由运动的最低温度，通常用Tg表示。没有很固定的数值，往往随着测定的方法和条件而改变。高聚物的一种重要的工艺指标。在此温度以上，高聚物表现出弹性；在此温度以下，高聚物表现出脆性。

松铺系数：某路面结构层摊铺厚度与压实（设计）厚度的比值，是施工质量控制的一个重要指标，一般通过试铺段的施工来确定。粉胶比(Dust-to-asphalt ratio)：沥青混合料的矿料中0.075mm通过率与有效沥青含量的比值，一般在0.6～1.6的范围内。

压实度：压实度（degree of compaction）(原：指的是土或其他筑路材料压实后的干密度与标准最大干密度之比，以百分率表示。）压实度是路基路面施工质量检测的关键指标之一，表征现场压实后的密度状况，压实度越高，密度越大，材料整体性能越好。对于路基本、路面半刚性基层及粒料类柔性基层而言，压实度是指工地上实际达到的干密度与室内标准击实实验所得最大干密度的比值；对沥青面层、沥青稳定基层而言，压实度是指现场达到的密度与室内标准密度的比值。

高等数学下复习纲要 篇2

关键词：考研；高等数学；复习

硕士研究生入学数学考试历年是考生们感到很棘手的问题，很多考生由于数学没考好而痛失深造的机会。尤其对于文科改考理工科或经济类学科的考生来说，数学这门课的难度可称为所有科目中最大的，也是最让人担心的。自从1997年数学考试大纲进行了一次较大的调整以来，考生们普遍反映试题越来越难了。数学几乎成了相当部分考生难以逾越的"关口"。而在考研数学中，高等数学所占的比例是最高的，每年都超过百分之五十，比线性代数和概率论两门课的比例都要大。但是数学相对英语来说，只要方法得当，提高非常快。所以只要掌握了正确的复习方法，就能事半功倍。下面的备考经验也许能给考生以启发。

1 必须重视基础，重视和加深对基本概念、基本定理和基本方法的复习和理解。

考生要重视对基本概念、基本定理和基本方法的复习，打好基础。数学是一门演绎的科学，首先要对概念深入理解，要不然做题时难免会答非所问，甚至是南辕北辙。其次，要把定理和公式牢牢记住，每一道题都是由基本的定义、定理和公式构成，它们的不同组合就形成了不同的问题，多层次的组合形成不同复杂程度的问题。所以这些定义、定理和公式是解题的基础，而熟练掌握和深刻理解这些内容就成为解题成功的关键。可以说，掌握了定理和公式就等于找到了解题的突破口和切入点。对近几年数学答卷的分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，基本解题方法掌握不好，为了熟练掌握，牢固记忆和理解所有的定义，定理，公式，一定要先把所有的公式，定理，定义记牢，然后再做大量的练习基础题。做这些基础题时如能达到一看便知其过程，这样就说明真正掌握了基础习题的内容。这些题看起来简单，但它们能帮助我们熟悉和掌握定义、定理、公式，所以考生不能因为这些题简单而不去看它，不去重视它。高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容。

基本训练要反复进行。学习数学，一定要多做题。提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练自己的抽象思维能力。对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到"熟能生巧"。通过基本训练巩固对基本概念、基本定理和基本方法的理解。

2 加强综合解题能力的训练，熟悉常见考题的类型和解题思路，力求在解题思路上有所突破。

考研试题与教科书上的习题的不同点在于，前者是在对基本概念、基本定理、基本方法充分理解的基础上的综合应用，有较大的灵活性，往往一个命题覆盖多个内容，涉及到概念、直观背景、推理和计算等多种角度。因此一定要力争在解题思路上有所突破，要在打好基础的同时做大量的综合性练习题，并对试题多分析多归纳多总结，力求对常见考题类型、特点、思路有一个系统的把握。许多考生在做完教科书上的习题后，往往对考研题难以适应，其突出感觉是没有思路，这正是考生考前准备应解决的突破口。考生要掌握住各种题型的解题方法和技巧。在做题时，不必每道题都要写出完整的解题步骤，类似的题一般只要看出思路，熟悉其运算过程就可以，这样可以节省时间，提高做题的效率。

在选择习题时，考生要注意，最好先不要做模拟题，应该把真题先做一遍。因为真题的错误率比较低，而且最接近实际的试题。有的模拟题出得刁钻古怪，没有可做性。如果先做模拟题，假如选的模拟题不好则白白浪费了时间，而且对自己的解题思路也有着负面影响。通过做真题，考生可以真切的体会到考研的重点，难点，重要的是掌握了各种常考的题型。在做完真题之后再做模拟题就会感觉自己的解题思路有了质的提高，对数学认识也有了新的变化。

考生在做题的同时还要注意各章节之间的内在联系，数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。考生要注意对综合性的典型考题的分析，来提高自身解决综合性问题的能力。数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征就是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件，因而考生应进行综合性试题和应用题训练。通过这种训练，积累解题思路，同时将各个知识点有机的联系起来，将书本上的知识转化为自己的东西。对于那些具有很强的典型性、灵活性、啟发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。

3 注意归纳总结

在大量做题的基础上，一定要注意对知识进行归纳总结，这样在考试的时候，才能举一反三。 就各课的特点来说，高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。另外高等数学还有跨章节乃至跨科目的综合考查题，近几年出现的有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；所以要求我们要注重归纳总结。

此外，数学要考的另一部分是简单的分析综合能力和解应用题的能力。近几年，高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是运算的熟练程度，换句话说就是解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分就不会是难事了。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007，4.

[2]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2012，12.

考研数学高等数学复习方法 篇3

考研不是数学竞赛，不会出现这类题目，因此完全没必要浪费时间。每年许多考生容易在看似不起眼的选择题和填空题上失很多分。其实选择与填空题在数学考卷中所占的比重很大，这些题目的解答往往会“一失足成千古恨”，稍不留神，一步做错就全军覆没。在现阶段一定要有针对性地进行复习，所做题目的难度不能太小，当然也不能过于偏，而且复习要形成系统的知识体系结构。将做过的题目进行总结。目前阶段不要过于钻研偏题怪题。复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能显着提高能力。但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。一定要避免一时性起，盯住一个题目做一个晚上的冲动。要充分借助老师、同学的帮助，将题目弄通搞懂、下次自己会做即可，不要耽误太多时间。另外无论是大题还是小题，都要细心。不能说只要考场上认真，仔细地做题就不会有“会做但做错”的情况出现，应该平时做题就态度认真。

二、真正消化知识点 练就解题的内功

如何才能真正吸收消化这些知识以成为自己的知识呢?根据自己的总结或在权威考研辅导机构的帮助下，考生可以知道常规的题型和解题方法与技巧，考生要进行相当量的综合题型的练习。因为在复习过程中，不少考生会渐渐地有能力解答一些考研的基本题目，但如果给他一道较为综合的大题，就无从下手了。所以要做一定量的综合题。

高等数学下册总复习 篇4

高等数学下册总复习

〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2{x,y,z}xiyjzk。其中i、j、k为三个坐标轴

x1，y2y1，z2z1}。

axayaz222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=a时，这个向量叫单位向量；与向量a,a,a|a|=，则xyza=|a|。当向量的模为

1同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设a=ax,ay,az，则

acosx|a|ay cos|a|acosz|a|axaxayazaya2x222

2yaaza2zaxayaz222且cos2cos2cos21，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量cos,cos,cos是与a同方向的单位向量。

3．向量的运算

设a=ab,a,a，xyz=bx,by,bz，则

（1）数乘运算：kakax,kay,kaz；

；（2）加减运算：abaxbx,ayby,azbz1

（3）数量积：ab=|a||b|cos(a,b)=axbxaybyazbz。

（4）向量积： abijaybykazbz=axbx

两个非零向量a与b相互垂直ab=0；两个非零向量a、b平行ab=0分量成比例）。

两个向量aaxbxaybyazbz（即对应与b的夹角：cos(a,b)ab=|a||b|=

a2xaxbxaybyazbza2y。

2bza2z2bxb2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

设平面过点M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0。

AxByCzD0。

在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x3z50平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z50垂直于z轴。5．直线的方程

（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

xx0myy0nzz0p

（2）直线的一般式方程 A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20。

ijB1B2kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 sA1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面(x椭球面 xax0)222(yy0)222(zz0)2R2

ybx22zc221 y22椭圆抛物面 zab(当ab时为旋转抛物面)2

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椭圆锥面 z2xa22yb22（当ab时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转的曲面方程为

f(x2y,z)02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线G(x,y)0z0F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)0，则 F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0

为空间曲线 在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：yf(x1,x2,,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：zarcsinu或arccosu中|u|≤1（3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)Axx0yy0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的．，（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)f(P0)．

PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

zxlimx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

zylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若zf(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示成AxByo()，则zf(x,y)在点(x0,y0)处可微；称AxBy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dzAxBy．

zxy2zyx2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（Azx，Bzy；dzzxdxzydy）

偏导数存在，不一定可微（zdz是否为o()）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则（1）zxzuuxzvvx

zyzuuyzvyv

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形

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若F(x,y)0确定了yy(x)，则

dydxFxFy；

若F(x,y,z)0确定了zz(x,y)，则（2）方程组的情形

zxFxFz，zyFyFz．

FFyxF(x,y,z)0yy(x)若能确定，则由 G(x,y,z)0zz(x)GxGydydxdydxFzGzdzdxdzdx00

可解出dydx与dzdx；

若F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0确定了uu(x,y)，vv(x,y)，象上边一样，可以求出

ux，vx及

uy，vy．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线：x(t)，y(t)，z(t)，tt0时，上相应点(x0,y0,z0)处： 切线方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)

法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 2°：曲线：y(x)z(x)，则点(x0,y0,z0)处

zz0切线方程：xx01yy0(x0)(x0)

法平面方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 3°：曲线：F(x,y,z)0G(x,y,z)0，则点P(x0,y0,z0)处

yy0zz0FxGxFyGyP切线方程为 xx0FyGyFzGzPFzGzFxGxP

法平面方程：FyGyFzGzP(xx0)FzGzFxGxP(yy0)FxGxFyGyP(zz0)0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面：F(x,y,z)0，点(x0,y0,z0)处

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 法线方程：xx0Fxyy0Fyzz0Fz

2°：曲面：zf(x,y)，在点(x0,y0,z0)处

切平面方程：zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)法线方程：2．极值应用

z0x（1）求一个多元函数的极值（如zf(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求

z0yxx0fxyy0fyzz01

出驻点处的zxx，zyy与zxyACBACB2

；0，A0时有极大值，A0时有极小值； 0时无极值． 2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：uf(x,y,z)在条件1(x,y,z)0与2(x,y,z)0下的极值时，取

F(x,y,z;1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z)

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FxFy解方程组Fz12000，求出x，y，z 00则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第十章

重积分一、二重积分

n1． 定义：f(x,y)dlimD0f(i,i)i

(n)i12． 几何意义：当f(x,y)≥0时，f(x,y)d表示以曲面zf(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体体积．

D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量． 3． 性质

1°：kf(x,y)dkf(x,y)d

DD2°：[f(x,y)g(x,y)]dDDf(x,y)dDg(x,y)d

3°：若DD1D2，则f(x,y)dDD1f(x,y)dD2f(x,y)d

4°：f(x,y)1时，f(x,y)dD

D5°：若在D上(x,y)≥(x,y)，则

(x,y)dD≥(x,y)dDDf(x,y)d≥

Df(x,y)d

6°：若f(x,y)在闭区域D上连续，且m≤f(x,y)≤M，则

mD≤f(x,y)d≤MDD

7°：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(,)D，使

Df(x,y)df(,)D

4． 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中

1°：若积分区域D为X型区域

axb D：(x)y(x)21yy2(x)y1(x)OaXbx则化为先y后x的二次积分：

型区域Df(x,y)dxdybadx2(x)1(x)f(x,y)dyy

cyddx1(y)x2(y)2°：若积分区域D为Y型区域D：则化为先x后y的二次积分：

1(y)x2(y)

cxY型区域Df(x,y)dxdydcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在极坐标系中

f(x,y)f(rcos,rsin),drdrd

1°：极点在D外：D：

1()r2()O极点在D外r则有f(x,y)dDd2()1()f(rcos,rsin)rdr

2°：极点在D的边界上：D：

0r()O极点在D的边界上r则有f(x,y)dDd()0f(rcos,rsin)rdr

3°：极点在D内：D：020r()d

Or则有f(x,y)dD20()0f(rcos,rsin)rdr

极点在D内在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有xy或两个积分变量之比yx22、xy时，一般可选择极坐标系．

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2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．

axb4°：若f(x,y)f1(x)f2(y)，积分区域D:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．

cyd二、三重积分

n1． 定义：f(x,y,z)dvlim0f(i,i,i)vi

(n)i12． 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体的质量． 3． 性质（与二重积分类同）．

4． 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中 1°：若为：(x,y)Dxyzzz2(x,y)z1(x,y)zz2(x,y)，此处Dxy为在xOy面

zz1(x,y)Ozz1(x,y)与zz2(x,y)分别为的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，则

f(x,y,z)dxdydzDxyz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)dxdy

xC1z0C22°：若为：此处Dz0为用平面zz0截时(x,y,z0)Dz0，z所得的截面面积，则f(x,y,z)dxdydzC2C2C1Dz0dzDz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐标系下

若为：1()r2()，则

z(r,)zz(r,)21xC1Oyf(x,y,z)dxdydzd2()1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz

（3）在球面坐标系中

1212若为：，则

(,)z(,)21f(x,y,z)dxdydz21d21d2(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)sind2

注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；

2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；

axb4°：若是长方体：cyd，而f(x,y,z)f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化为三个定积分ezf的乘积．

三、重积分的应用 1． 几何应用（1）求面积：DdD

（2）求体积：f(x,y)d，dv

D（3）求曲面面积：若：zf(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则的面积为：zz1dxdy

xy22ADxy2． 物理应用（1）求质量：m(x,y)dD；m(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x1mDx(x,y)d；yDy(x,y)d

在均匀情况下，重心公式可变形为：x同理，可得到空间体的重心坐标．

（3）求转动惯量：

Jx1Dxd；y1DDyd

DDy(x,y)d；J2yDx(x,y)d；JoJxJy

2同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．

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第十一章

曲线积分与曲面积分

一、曲线积分 1．定义：

n（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：f(x,y)dslimLn0i1f(i,i)si

（f(x,y,z)dslimL0i1f(i,i,i)si）

物理意义：曲线的质量．

（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

P(x,y)dxLQ(x,y)dylim0P(i1ni,i)xiQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxLQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(i1n

i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质：（1）LL1L2（LL1L2）

f(x,y)ds（2）第一类：f(x,y)dsLL第二类：LL

（3）两类曲线积分的联系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds

其中cos，cos是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦．（PdxQdyRdzL(PcosLQcosRcos)ds）

3．计算法（化线积分为定积分）

x(t)L：，≤t≤，则f(x,y)dsy(t)L22f(t),(t)(t)(t)dt

P(x,y)dxLQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtxx

注意：L为yf(x)时，取L为

yf(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其应用（1）格林公式：PdxQdyLDQPyxdxdy 注意：1°：P，Q在D上具有一阶连续偏导数；

2°：L是单连域D的正向边界曲线；

3°：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．

（2）平面上曲线积分与路径无关的条件

设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1°：PdxLABQdy与路径L无关；

2°：对于G内任意闭曲线C有PdxQdy0；

C3°：在G内，PdxQdy为某函数u(x,y)的全微分；

QxPy4°：在G内处处成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy）

二、曲面积分 1．定义：

（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

物理意义：曲面的质量。f(x,y,z)1时，dSS

（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

vdSPdydzQdzdxRdxdylim0P(i1ni,i,i)(i)yzQ(i,i,i)(i)xzR(i,i,i)(i)xy

2．性质（1）12

（2）第一类：fdSfdS

 12

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第二类：

（3）两类曲面积分的联系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

其中：cos，cos，cos是曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦． 3．计算法（化曲面积分为二重积分）

第一类：若曲面：zz(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则

zzfx,y,z(x,y)1dxdy等等．

xy22f(x,y,z)dSDxy第二类：前、后P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz

DyzQ(x,y,z)dzdx右、左Qx,y(x,z),zdzdx

Dxz上、下R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy

Dxy4．高斯公式及其应用

设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有

PdydzQdzdxRdxdyPQRyzxdxdydz

注：1°：是的边界曲面的外侧；

2°：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式． 5．通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）

通量：vndSPdydzQdzdxRdxdy

散度：divvPxQyRz

环流量：PdxQdyQdzAds

旋度：rotAixPjyQkzR

第十二章

无穷级数

一、常数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如unu1u2un的无穷和式，其中每一项都是常数．

n1n（2）部分和：Snui1i

（3）常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）．

n（4）和SlimSn（存在时）．

n注：发散级数无和．

（5）余项：当limSnS时，称级数rnnui1ni为原级数第n项后的余项．

2． 基本性质

（1）kun与un敛散性相同，且若unS，则kunkS；

n1n1n1n1（2）若unS，vn，则unvns

推论1：若un收敛，vn发散，则unvn必发散； 推论2：若un与vn都发散，则unvn不一定发散．

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

（5）若级数un收敛，则必有limun0．

n1n（若limun0，则un必发散）

nn13． 几个重要的常数项级数

（1）等比级数aqn1n1a1q发散|q|1|q|1；

（2）调和级数n11n发散；

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（3）p级数n11np（p0），p1时收敛，0p≤1时发散）；

（4）倒阶乘级数n11n!收敛．

4． 常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设un与vn均为正项级数

n2n11°：un收敛n1Sn有界；

2°：比较法

若un收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则vn收敛（发散）．

n1n1推论1：若limnunvnl，0l，则vn与un具有相同的敛散性．

n1n1推论2：若limnunl，则un发散；

nn1若limnunl（p1），则un收敛．

nn1p3°：比值法

1时，则有1时1时un1n收敛若limnun1unun1n发散

un1n待定4°：根值法

1时，则当1时1时un1n收敛若limnnunun1n发散

un1n待定（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数(1)n1n1un（un0）满足：

1°：un≥un1 2°：limun0

n则(1)n1n1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un1．

（3）任意项级数的审敛法

1°：若limun0，则un发散；

nn12°：若|un|收敛，则un绝对收敛；

n1n13°：若|un|发散，un收敛，则un条件收敛．

n1n1n

1二、函数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如un(x)u1(x)u2(x)un(x)；

n1（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

n（3）部分和：Sn(x)ui1i(x)；

（4）和函数：在收敛域上S(x)limSn(x)nun1n(x)．

2． 幂级数

n（1）定义：anxx0，当x00时有：anx；

n0n0n（2）性质

nn1°：若anx在x0处收敛，则当|x||x0|时，anx绝对收敛（发散）；

n0n0nn 若anx在x0处发散，则当|x||x0|时，anx发散．

n0n0 16

高等数学下册总复习资料

2°：幂级数anxx0的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0R,x0R)，两端点是n0n否属于收敛域要分别检验．

3°：在anx的收敛区间R,R内，此级数的和函数S(x)连续． nn0（3）收敛区间的求法

1°：不缺项时，先求liman1ann，得收敛半径R1；

再验证两端点，则收敛域＝(x0R,x0R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun1(x)un(x)(x)，解不等式(x)1得x的所属区间x1xx2，再验证n端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．

3． 幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

an0nxnS(x)，|x|R，则有：

nanxn0an0nxnnan0nxn1S(x)，|x|R；

x0nanxdxn0n0x0anxdxnn0ann1xn1x0S(x)dx，|x|R

4． 函数展开为幂级数

（1）充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

f(x)n0f(n)(x0)n!(xx0)nlimRn(x)0．

n（2）唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)an0n(xx0)，则其系数

nan1n!f(n)(x0)，（n0,1,2,）．

（3）展开法：

1°：直接法（见教材P279）

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

exn0xnn!，(,)

sinx(1)n0nx2n1(2n1)!x2n或(1)n1n1x2n1(2n1)!，(,)

cosx(1)n0n(2n)!，(,)

11xn0xn，(1,1)

ln1x(1)n0nxn1(n1)，(1,1]

1xm1n1m(m1)(m2)(mn1)n!xn，(1,1)

5． 傅立叶级数

（此内容只适用于快班）（1）定义：如果三角级数出，即

an1a02an1ncosnxbnsinnx中的系数an，bn是由尤拉——傅立叶公式给1f(x)cosnxdx，n0,1,2,；

bnf(x)sinnxdx，n1,2,

则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数．

（2）收敛定理

设f(x)是周期为2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数

a02an1ncosnxbnsinnx收敛于f(x)f(x0)f(x0)2x为连续点x为间断点．

（3）函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：

高等数学下册总复习资料

1°：求f(x)的傅立叶系数；

2°：将1°中的系数代入三角级数式； 3°：写出上式成立的区间．

（4）正弦级数与余弦级数

称bnsinnx（an0）为正弦级数；称n1a02an1ncosnx（bn0）为余弦级数．

若在,上，f(x)为奇函数，则有an0，其正弦级数为bnsinnx，n1bn20f(x)sinnxdx，（n1,2,）；

若在,上，f(x)为偶函数，则有bn0，其余弦级数为

a02an1ncosnx，an20f(x)cosnxdx，（n0,1,2,）；

若f(x)是定义在0,上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)f(x)x0,f(x)x,0x[0,]x[,0)

f(x)F(x)偶延拓：f(x)

高等数学基础复习方法 篇5

高等数学基础复习方法：

第一、理解概念掌握定理

数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。所有的问题都在理解的基础上才能做好。

定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第二、教材习题要做熟

要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结—— 不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第三、从宏观上理清脉络

要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。

高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。(当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统)

数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的计划。按照计划，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。

高等数学复习时间合理安排：

其实数学是基础性学科，解题能力的提高，是一个长期积累的过程，因而复习时间就应适当提前，循序渐进。大致在三、四月分开始着手进行复习，如果数学基础差可以将复习的时间适当提前。复习一定要有一个可行的计划，通过计划保证复习的进度和效果。一般可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证计划的可行性。

第一个阶段是按照考试大纲划分复习范围，在熟悉大纲的基础上对考试必备的基础知识进行系统的复习，了解考研数学的基本内容、重点、难点和特点。这个时间段一般划定为六月前。

第二个阶段是在第一阶段的基础上，做一定数量的题，重点解决解题思路的问题。一般从七月到十月。这个阶段要注意归纳总结，即拿到题后要知道从什么角度，可以分几步去求解，每道题并不要求都要写出完整步骤，只要思路有了，运算过程会做了，可以视情况而灵活掌握，这样省出时间来看更多的题。所选试题可以是历年真题，也可以是书上的练习题，但真题一定要做，而且要严格按照实考的要求去做，把握真题的特点和解题思路及运算步骤。

第三个阶段是实战训练阶段，从十一月到十二月的中旬，这也是临考前非常重要的阶段。考生要对大纲所要求的知识点做最后的梳理，熟记公式，系统地做几套模拟试卷，进行实战训练，自测复习成果。在做模拟题前先要系统记忆掌握基本公式，做题要讲究质量，既要有速度，又要有严格的步骤、格式和计算的准确性。最后阶段是考前冲刺，从十二月下旬到考试。针对在做模拟试题过程中出现的问题作最后的补习，查缺补漏，以便以最佳的状态参加考试。