概型问题

2024-05-10

概型问题（通用12篇）

概型问题篇1

首先，让我们一起来了解一下几何概型吧：

几何概率模型（Geometric models of probability）：简称几何概型，当向某个几何区域（直线、面积、几何体）G中随机地投掷点M，若M落在子区域G1G的概率与G1长度，面积或体积成正比而与G的形状，位置无关，则P (点M落在G1) =

与古典概型相比，我们有：

从比较的结果，我们不难发现：几何概型果然不能用古典概型的计算公式：来计算，因为样本空间Ω所包含的基本事件个数N是无限的。但同时，定义也给了我们求解几何概型的方法：长度比，面积比，体积比。

一、长度比

例1：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意的位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率是多少？

分析：如图所示，0123

断点可以在0—3m的任何位置, 故x的位置有无数个, 且是均匀分布的, 故属于几何概型。而符合题意的断点应落在2—3m内。解:设断点离起点的位置为x, 样本空间, 故点拨:若一次试验中的随机变量只有一个, 对应的几何区域是一维的应对应长度比。

二、面积比

例2：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求两人能够会面的概率。

分析：题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难。题中两人到达的时间都是随机的，设为x, y分钟，用表示每次试验的结果，依据题意，用表示样本空间和事件A即可。

解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟。

；记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：。在用直角平面区域将样本空间和事件A表示出来，如图所示：

点评：若一次试验中的随机变量有两个，对应的几何区域是二维的。我们可以用二元一次不等式表示出样本空间和事件A，画出平面区域，用面积比计算出概率。

三、体积比

例3：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。

分析：草履虫在这500毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解：取出2毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则

点评：若一次试验中的试验结果对应的是体积，或者说随机变量有三个，对应的几何区域是三维的，应对应体积比。

例4:在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CM，与线段AB交于M点，求AM<AC的概率。

错解：在斜边AB上去AD=AC，在∠ACB内部任做一条射线CM可以看做是在线段AB上任取一点M，过C、M作射线CM，则所求概率为

误区分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但过C点和任取的点作的射线不是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件。

正解：在∠ACB内部任做一条射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，在AB上取AD=AC，则∠ACD=67.5°，故所求概率是。

用几何概型公式计算概率时，关键点如下：

(1）先根据题意判定概型是否为几何概型。

(2）构造出随机事件所应的样本空间和事件A并画出几何图形，用对应的比值计算出概率。

摘要：几何概型是高中数学新教材的新增内容。在北师大教材中, 被安排在古典概型之后。学生在解决此类问题时, 依旧按照古典概型的解法, 寻找样本空间Ω和事件A中所包含的基本事件个数, 但往往无功而返;有的甚至连题意都理解不清。本篇文章旨在从概念到实例, 给学生理清一个解决几何概型问题的方法。

关键词：几何,概型问题,解决

概型问题篇2

(2)掌握古典概型的概率计算公式：P(A)=

（3）掌握列举法、列表法、树状图方法解题

2、过程与方法：(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：

1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；

2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．

教学设想：

1、创设情境：(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件.21教育名师原创作品

(2)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10.师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？

2、基本概念：

(1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；

(2)古典概型的概率计算公式：P(A)=

议一议】下列试验是古典概型的是 ?

①.在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽.②.某人射击5次，分别命中8环，8环，5环，10环，0环.③.从甲地到乙地共n条路线，选中最短路线的概率.④.将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，观察豆子落下的位置.古典概型的判断

1).审题，确定试验的基本事件．

(2).确认基本事件是否有限个且等可能

什么是基本事件

在一个试验可能发生的所有结果中，那些不能再分的最简单的随机事件称为基本事件。(其他事件都可由基本事件的和来描述)

下面我们就常见的：

抛掷问题，抽样问题，射击问题.探讨计数的一些方法与技巧.抛掷两颗骰子的试验：

用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数?

y表示第二颗骰子出现的点数.(1)写出试验一共有几个基本事件；

(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？

规律总结]：要写出所有的基本事件，常采用的方法有：列举法、列表法、树形图法等，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行、正确分类，做到不重、不漏．

方法一：列举法（枚举法）

[解析】用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：

【结论】：（1）试验一共有36个基本事件;

（2）“出现点数之和大于8”包含10个基本事件.方法二列表法

坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．

方法三：树形图法

三种方法（模型）总结

1.列举法

列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．

2．列表法

对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏

3．树形图法

树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探究．

抽样问题

【例】? 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．

(1)共有多少个基本事件？

(2)两个都是白球包含几个基本事件？

[解析]：（1）采用列举法：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下10个基本事件.（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）

(2)“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三种．

【例】某人打靶，射击5枪，命中3枪.排列这5枪是否命中顺序，问：

（1）共有多少个基本事件？.（2）3枪连中包含几个基本事件？.?（3）恰好2枪连中包含几个基本事件？

[例3】一个口袋内装有大小相等，编有不同号码的4个白球和2个红球，从中摸出3个球.问：（1）其中有1个红色球的概率是.?（2）其中至少有1个红球的概率是.课堂总结：

1.关于基本事件个数的确定：可借助列举法、列表法、树状图法（模型），注意有规律性地分类列举．

2.求事件概率的基本步骤．

(1)审题，确定试验的基本事件

(2)确认基本事件是否等可能，且是否有限个；若是，则为

古典概型，并求出基本事件的总个数．

（3）求P（A）

【注意】当所求事件较复杂时，可看成易求的几个互斥事件的和，先求各拆分的互斥事件的概率，再用概率加法公式求解

练习

1、学习指导例1（1）、活学活用；（第76页）

一个几何概型问题的解决与探究篇3

几何概型问题灵活性大,趣味性强,是激发学生学习兴趣的好素材.在教学中碰到如下一道习题:设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率.

此题存在一种有趣的悖论性解法.设A、B为圆上两定点，过A、B两点作两条直径，圆被两直径分成四部分，要使△ABC是锐角三角形，则C点只能在优弧AB所对的弧上.如图1所示，当A、B两点无限接近时,那么三个点构成锐角三角形的概率为0；当两直径互相垂直时, 那么三个点构成锐角三角形的概率为14；当A、B兩点几乎成直径时,那么三个点构成锐角三角形的概率为12.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P∈0,12.我们知道几何概型是建立在以测度论为基础概率模型,它的求解可以转化到与长度、面积、体积等相关的测度之比,所以概率P为定值而非范围图1.

二、问题的解决：

解法一:如图1,不妨设圆的半径为1,A、B、C三点分圆O所成的三段弧长分别为x,y,2π-(x+y),试验的全部结果为Ω,能构成锐角三角形的所有试验结果为A,则有

Ω:0

0<2π-x-y<2π 即

A:0

0<2π-x-y<π即

如图2,P=S(A)S(Ω)=14,故圆内接△ABC是锐角三角形的概率为14.

图2

解法二:为了简便起见, 不妨设分圆O所成的三段弧中2π-(x+y)最长,则试验的全部结果Ω:

图3

2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<2π

即2x+y<2π

x+2y<2π

2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π

x+2y<2π

它所表示的区域是△MPN内部且S△MPN=π26.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P=S(A)S(Ω)=S△MPNS四边形OMPN=14.

三、问题的引申：

对这个问题作进一步探究,我们还可以求出△ABC为钝角三角形及△ABC为直角三角形的概率.

若△ABC是钝角三角形,则试验结果A′:2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π

x+2y<2π

四、问题的变化：

对原题稍加改变,就能得到一道具有相似背景的变题:有一段长为L的木棍,随机截成三段(如图4),求三段长可以构成三角形的概率.

图4

圆上任意三点都可以构成三角形,但此题中随机截成的三段不一定能构成三角形.为了简便起见, 同样设所截的三段中L-(x+y)最长,

则试验的全部结果Ω:L-(x+y)>x

L-(x+y)>y

即2x+y

x+2y

图5

它所表示的区域是四边形OMPN的内部, 可得S四边形OMPN=L26. 若所截的三段能构成三角形,那么只需满足x+y>L-(x+y)即可, 则所截的三段能构成三角形的所有实验结果A：2x+y

x+2y

x+y>L2，它所表示的区域是图5中△PMN的内部且S△PMN=L224.故三段长可以构成三角形的概率P=S△PMNS四边形OMPN=14

例谈古典概型中的抽样问题篇4

在随机事件的概率这一节中, 已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。而这种方法必须依赖大量的重复试验, 操作起来并不实际, 而古典概型的提出, 避免了这个问题, 而且得到的是概率精确值。

古典概率 (Classicalprobabilitymodel) :

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为n, 某事件A包含了其中的m个等可能的基本事件, 则事件A发生的概率为由公式可看出解决古典概型的关键是求m和n。古典概型的案例千变万化, 有的题目看似简单, 但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。列举是基本思想, 再能配合分类分步、排列组合的思想, 解决问题可如虎添翼。

古典概型中的放回与不放回, 有序与无序是学生比较出错多的问题。 (结构如图)

根据是否放回, 抽样方法可以分成两类: (1) 是一类; (2) (3) 是一类。 (是否放回的关键是被抽取的个体有无可能被重复抽取。) 根据是否有序, 抽样方法可以分成两类: (1) (2) 是一类; (3) 是一类。 (“有序”问题常出现的字眼:“依次”“逐次”“顺次”。放回抽样, 一抽一放, 必然有顺序, 所以肯定有序。凡有序问题, 因为本质是讲究次序问题, 所以用分步的思想来求总的基本事件、事件A的基本事件。而组合问题, 配合组合数, 求解问题更方便。)

下面通过一个例题以及变式来说明上述问题:

例1.在大小相同的6个球中, 4个是红球, 2个白球, 若从中任意选2个, 求两个都是红球的概率。

【分析】关键字眼“任意选2个”, 所以它属于问题 (3) 。

记事件为“选取两球都是红球”, 因为总的基本事件个数是从6个球中任选2个, 所以是C62;事件A的基本事件个数是从4个红球中任选2个, 所以是C42。

变式1:某班有50名学生, 其中15人选修A课程, 另外35人选修B课程, 从班级中任选两名学生, 则他们是选修不同课程的学生的概率是?

【错解】记“任选两名学生, 他们是选修不同课程的学生”为事件A,

选一个选修A的学生概率是选一个选修B的学生概率是

【分析】关键字眼“任选两名学生”, 属于问题 (3) 。学生受初中概率知识的影响, 喜欢用概率相乘来进行解题, 然而学生并不真正理解独立事件、条件概率的含义。

此题和例1的不同之处在于, 例1是“两个都是红球”, 红球与红球之间无顺序差异;变式1中选的两个学生, 人与人不同, 所以是有顺序差异的, 要分类讨论: (1) 先选A课程的学生, 再选B课程的学生; (2) 先选B课程的学生, 再选A课程的学生。

像这类题目不推荐学生用条件概率来做, 容易出错。

【正解】记“任选两名学生, 他们是选修不同课程的学生”为事件A, 因为总的基本事件C250;事件A的基本事件是从选修A的学生中任选一个, 有15种选法;从选修B的学生中任选一个, 有35种选法。

变式2:

在大小相同的6个球中, 4个是红球, 2个白球, 若从中任意选2个, 求所选的2个球至少有一个是红球的概率?

解法1: (从正面考虑) 所有的基本事件有C62=15种情况, 记事件A为“选取2个球至少有1个是红球”, 所含有的基本事件数有

解法2: (从反面考虑) 记事件A为“选取2个球至少有1个是红球”, 则其互斥事件为A意义为“选取2个球都是白球”

变式3:在大小相同的6个球中, 2个是红球, 4个是白球, 若从中任意选取3个, 求至少有1个是红球的概率?

解:所有的基本事件有C63=20种情况, 记事件A为“选取3个球至少有1个是红球”, 所含有的基本事件数有2×C42+1×4=16, 所以

变式4:在大小相同的6个球中, 2个是红球, 4个白球, 有放回的从中任抽2次, 每次抽取1只, 试求抽到的2次中, 红球、白球各一次

解:记事件A为“抽到的2次中, 红球、白球各一次”

则 (注意分子顺序)

变式5:一只口袋里装有5个大小形状相同的球, 其中3个红球, 2个黄球, 从中不放回摸出2个球, 求两个球颜色不同的概率?

【分析】先后抽出两个球颜色不同要么是1红1黄, 要么是1黄1红

解: (注意分母与变式4的区别)

文中所探讨的古典概型的解题思想和方法只是复杂多变的古典概型问题思想方法的一部分。古典概型虽然概念直观, 计算工具简单, 但因其涉及的具体问题的样化, 使得它不仅具有独特的思想方法, 同时也具有很高的数学思维性, 所以很有必要对其进行深入的研究。

古典概型教学反思篇5

《古典概型》是高中数学必修3第三章概率的第二节内容，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。一．设计意图

本节课的设计意图很明确，就是基本事件的确定，古典概型的判断以及规范学生的解题步骤。二．优点：

1.在导学案的设计上有意识的加强学生对试验是古典概型的判断，学生容易直接用古典概型的概率公式，往往忽略要先进行判断。

2.每道例题后紧跟问题，加强学生对古典概型的认识。

3.通过对古典概型概率公式的分析，解决具体概率问题应先考虑基本事件，进而判断是否是古典概型，再利用古典概型概率公式。

4.具体到一般这一数学思想的完美体现，不仅能加深学生对公式的理解、记忆，同时也能培养的解决问题的一种方法。

三．缺点：

1.学案设计内容有些多。

2.讲的比较细，以致内容没有完成。3.学生活动较少

概型问题篇6

一、几何概型问题

几何概型的特征是：每个基本事件等可能发生，且基本事件有无限个.同时几何概型中的任一基本事件可以对应某个特定的几何区域D（特指线段、平面图形或空间几何体）内的一点，而某个随机事件的发生则可理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点.记“点落在区域d内”为事件A，当且仅当几何区域D可以测度时，事件A发生的概率P（A）=.

1. 一个随机量在变化

例1 在一个圆锥体的培养房内培养了一只蜜蜂，准备进行某种实验.过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的.假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，则蜜蜂落入第二实验区的概率是多少？

解析由“蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的”，知只有蜜蜂所落的位置这一个随机变量，且这是几何概型问题（基本事件无限），故蜜蜂落入第二实验区的概率P==（对应测度为体积）.

例2 平面上画了无限条彼此相距2a的平行线，把一枚半径是r（r＜a）的硬币任意投掷在这个平面上，求硬币不与任意一条平行线相碰的概率.

解析这里只有硬币位置这一个随机变量，而硬币位置完全由硬币圆心确定（一一对应）.但圆心所有可能的位置对应的区域（平面图形）的面积为无限大.怎么办？转换视角，保持等可能性，不妨以圆心到最近的直线的距离为随机变量，设为d，则0≤d≤a.要使硬币不与任意一条平行线相碰，只要d＞r，将d的取值与数轴上的点对应，以长度为测度，所以硬币不与任意一条平行线相碰的概率为.

2. 多个随机量在各自变化

例3 在单位圆O的圆周上随机取三点A，B，C，则△ABC是钝角三角形的概率是多少？

解法一这里基本事件是三点A，B，C在圆周上的位置，有三个随机量在各自变化.由基本事件有无限个且是等可能发生的，可判定是几何概型问题.

现在的问题是要解决点的位置难以描述这一难题，并要将这三个量合成一个量.可在圆周上找一点为原点，以某一方向为正方向（如逆时针），便可将点的位置坐标化，设三点的位置为xA，xB，xC，则0≤xA，xB，xC＜2π.要使△ABC为钝角三角形，则xA，xB，xC要满足的条件十分复杂，难以描述.于是保持等可能性，设0≤xA≤xB≤xC＜2π.所以要使△ABC为钝角三角形，则xB-xA＞π或xC-xB＞π或xC-xA＜π.接下来只要将三个量xA，xB，xC合成一个量（xA，xB，xC），便可对应空间坐标系中的一个点.便可寻找基本事件对应区域的测度（体积），从而求得概率了.过程略.

解法二从解法一中可以发现，其实只需要用两个独立的变量就可以定量表示三个点A，B，C的相对位置关系，从而建立几何概型.如图1，设=x，=y，则=2π-（x+y），相当于保持等可能性，进一步设xA=0，xB-xA=x，xC-xB=y，则0≤x＜2π，0≤y＜2π，x+y＜2π，所以所有基本事件的对应区域D是图2坐标系中△ABC内部，其测度为2π2.而△ABC是钝角三角形?圳π＜x＜2π或π＜y＜2π或0＜x+y＜π，所以其对应的区域d是△DEC的外部，其测度是×2π2.所以△ABC是钝角三角形的概率是.

例4 在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至这三点的三条线段中，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件哪一个的概率大？

解析能构成三角形与不能构成三角形，这两个事件是一组对立事件，故只需要计算“构成三角形”的概率.这里基本事件是三个点在线段[0，1]上的位置，有三个随机变量在各自变化，由基本事件有无限个且是等可能发生的，可判定是几何概型问题.

设0到三点的三线段长分别为x，y，z，即相应的右端点坐标为x，y，z，则0≤x，y，z≤1.建立如图3的空间坐标系，则在线段[0，1]上任意投三点x，y，z与在立方体T：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1中任意投一点（x，y，z）一一对应.

而三条线段构成三角形的充要条件是x+y＞z，x+z＞y，y+z＞x，故其对应的区域G是图中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的.

由于V（T）=1，V（G）=13-3×××13=，所以能构成三角形的概率=V（G）/V（T）=，由此得能与不能构成三角形两事件的概率一样大.

小结注意体会例2、3的“几何→代数→几何”的转化，例4的“代数→几何”的转化，例1的不转化.

二、古典概型问题

古典概型的特征是：每个基本事件等可能发生，且基本事件有有限个.设基本事件的总数是n，随机事件A中所含的基本事件数是m，古典概型的计算公式为P（A）=.

古典概型概率的计算首先要确认“基本事件等可能发生”这一条件成立；其次要重视“计数”这个环节，m，n的计算必须在同一批基本事件中进行，即同时是有序数或同时是无序数，如果有序、无序不统一，即使正确地计数了也求不出正确结果；最后要重视计数方法的选择，如果不得法就会出错，列表、画树图以及用两个计数原理或排列组合公式都是很好的方法.

1. 从多个集合中各取1个元素（如抛掷两个骰子）

例5 从{1，2，3}中随机选取一个数a，从{2，3}中随机取一个数b，则b＞a的概率是______.

解析从{1，2，3}中随机选取一个数a，从{2，3}中随机取一个数b，用枚举法表示有如下6种基本事件：（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）（前一个数为a的值，后一个数为b的值），其中满足b＞a的有（1，2），（1，3），（2，3），共3种，所以b＞a的概率是=.

2. 从1个集合中（不放回地）取多个元素

例6 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______.

解析可以看作一次取三个元素（不可能放回），也可以看作三次不放回地各取一个元素.前者无序，后者有序.

从前者出发基本事件少一些，其基本事件如下：{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中可以构成三角形的有{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，所以以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.

点评如果是三次有放回地各取一个元素呢？请同学们思考.

例7 有4本不同杂志，其中数学类2本、小说类1本、外文类1本，现从中逐次不放回地随意抽取3本，列出所有可能的结果并计算“抽取到三本杂志类别互不相同”的概率.

解析所有可能的基本事件（结果）用树形图表示如图4.

计数得所有结果数是24，取出3本的杂志类别互不相同的结果数是12，故“抽取到三本杂志类别互不相同”的概率为P（A）==.

点评本题也可用计数原理的知识求解.

1. 若m∈（0，3），则直线（m+2）x+（3-m）y-3=0与x，y轴所围成的三角形的面积小于的概率是_____.

2. 在长度为T的时间段内，有两个长短不等的信号随机进入收音机.长信号持续时间为t1（t1≤T），短信号持续时间为t2（t2≤T）.试求这两个信号互不干扰的概率.

3. 设不等式组0≤x≤6，0≤y≤6表示的区域为A，不等式组0≤x≤6，x-y≥0表示的区域为B.

（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率；

（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）在区域B中的概率.

4. 用红、黄两种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“有同一个面上的三个顶点同色”的概率等于______.

1. （m+2）x+（3-m）y-3=0与x，y轴的交点坐标分别是，0，0，，所以与x，y轴所围成的三角形的面积S=••=＜，所以-1＜m＜2.又因为m∈（0，3），所以0＜m＜2.所以围成的三角形的面积小于的概率P==.

2. 设x，y分别表示长、短信号到达的时刻，则0≤x≤T，0≤y≤T，记A为“两个信号互不干扰”，则A={（x，y）|x-y＞t2或y-x＞t1}，根据几何概型计算公式得这两个信号互不干扰的概率P（A）==.

3. （1）设区域A中的点（x，y）∈B为事件M，区域A的面积为S1=36，A中区域B的面积为S2=18，所以P（M）===.

（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数（结果）有36个，其中在集合B中的点（结果）有21个，故P（N）==.

一道有争议的几何概型问题的探究篇7

对于初学者来说,不容易搞清楚基本事件的样本空间究竟是长度,还是面积,或者是体积,还是角度.在做题时往往感到无从下手,极容易出错,也容易产生歧义.本文通过对有争议的例题的探究,来说明求几何概型应注意的问题.

题目如图1所示,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C作一条射线CM,交AB于点M,求AM

此题有以下两种典型的解答过程:

解法一以点A为圆心,AC长为半径作一个小圆,交AB于C',不妨设AC=a,则,从而所求的概率为

解法二以点A为圆心,AC长为半径作一个小圆,交AB于点C',连结CC',则∠ACC'=67.5°.

从而所求的概率为

这道题目的两种解法,孰是孰非,谁对谁错,颇有争议.(可参阅人教论坛http://bbs.pep.com.cn/thread-268184-1-1.html)一些教辅材料给出的是第一种解答方法,另一些教辅材料给出的是第二种解答方法.这两种解答过程看似均正确,让人无可适从,甚至于有人提出两种结果都对,只不过是对题意理解不同的说法.

同一数学问题两种解法结果不同,显然,至少有一解法不正确,那么究竟谁对谁错呢?为了研究这一问题,我们先来看这样两个题目.

题目1如图2,在等腰直角三角形ABC中,在直角边BC上任取一点M,求∠CAM<30°的概率.

解:在BC上取一点M0,连结AM0,使∠CAM0=30°,则点M应在线段CM0上.所以

题目2如图2,在等腰直角三角形ABC中,过点A作一条射线AM,交直角边BC于点M,求∠CAM<30°.

解:在∠CAB内作射线AM0,使∠CAM0=30°,则AM应在AC和AM0之间.所以

那么两个问题实质相同吗?在BC上任取一点M,不就对应着一条射线AM吗?但如果实质相同,为什么这两个题目计算的结果不一样呢?

上面两道题实质是不一样的.

第1题中∠CAM<30°的概率是指在BC上取使∠CAM<30°的点M的概率.因为在BC上任取一点都是等可能的,所以P(∠CAM<30°)应该等于线段CM0与线段CB长的比.本小题实质上是线段比的概率

第2题中∠CAM<30°的概率是指在∠BAC内作使∠CAM<30°的射线AM的概率.问题实质是求射线位置的概率.因为过点A所作的射线是等可能的,所以此题中P(∠CAM<30°)应该等于∠CAM0和∠CAB的度数比.本小题实质上是角度比的概率.

可见,解决此类问题,关键在于弄清楚问题的实质:所求的是什么事件的概率.即构成基本事件的样本空间是用长度,还是用面积,或者是用体积,还是用角度作为测度的.

实际上,以A为圆心,以AC为半径画弧,交AB于E.如图3.在∠CAB内画任意一条射线,等价于在弧CE上任取一点.在弧CE上任取一点P,设射线AP交CB于Q,令Q与P对应.如果在弧上等密度取点,则在CB上对应点的密度,由C到B是不断减小的(即对应点的距离不断增大).这就是两题“结果不一样”的原因.

我们再来看本文刚开始提出的这道有争议的题目.这里的事件是在等腰直角三角形ABC中,过点C作一条射线CM,使AM

概型问题篇8

在概率发展的早期, 人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的, 还必须考虑无限多个试验结果的情况.例如:一个人到单位的时间可能是8∶00到9∶00间的任意一个时刻;往一个方格中投一块石子, 石子可能落在方格中的任何一个点……这些问题不像掷硬币、摸球那样, 基本事件显而易见, 而是以“隐性点”的方式分布在某一区域内, 把构成所求事件的结果和全部基本事件的结果, 抽象成数学中的“点”, 这些“点”分布在某一区域内 (某一线段、某一平面或某一立体的区域) , 分布在这些区域可能出现的结果都是无限多个, 而每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例, 这样就产生了几何概率模型.

一、几何概型的特点与性质

几何型随机试验, 就是向一个有度量的区域 (如一维空间中的某线段, 二维空间中的某一有面积区域, 三维空间中的某一立体区域等) G上投“点”.基本事件 (就是“点”落在G的某一点上) 有无穷多个.几何试验也有某种“等可能性”, 就是“点”落在G中某一有度量区域g中的可能性大小和g的度量成比例, 与g的形状、位置无关.记A={“点”落在g上}, 则P (A) =K· (g的度量) .

若g就是G时, 上式左端是必然事件的概率, 所以 $Κ = \frac{1}{G 的度量}$ , 所以 $Ρ (A) = \frac{g 的度量}{G 的度量}$ ;

若g是G中空的区域, 即不可能事件, 则其度量大小为0, 故其概率为0.

这样定义的概率为几何概率.其特点是:

1.试验中所有可能出现的结果 (基本事件) 有无限多个;

2.每个基本事件出现的可能性相同;

3.有一个可以度量 (长度、面积或体积) 的几何图形;

4.每一次试验可以看成在图形中随机投掷一点.

几何概型的概率计算公式:

$Ρ (A) = \frac{构成事件 A 的区域长度 (面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积)} .$

几何概率有性质:

1.0≤P (a) ≤1;

2.P (U) =1;

3.若A1, A2, …, An两两互斥, 则

$Ρ (\sum_{i = 1}^{m} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{m}$ P (Ai) ;

4.几何概率还具有完全可加性, 这是古典概率和统计概率所没有的, 则 $Ρ (\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{\infty}$ P (Ai) .

二、几何概型与古典概型的联系与区别

几何概型与古典概型的共同点是:

1.都具有等可能性, 非负性 (对任意事件A, 有0≤P (A) ≤1) ;

2.规范性 (必然事件概率为1, 不可能事件概率为0) ;

3.和有限可加性, 即当事件A1, A2, …, An彼此互斥时, P (A1∪A2∪…∪An) =P (A1) +P (A2) +…+P (An) .

几何概型与古典概型的区别:

几何概型问题不仅指与几何图形有关的概率问题, 还包括可以抽象成几何概型的概率问题, 如关于时间、实数等的随机问题.那么如何计算几何概型中事件的概率呢?

1.选择适当的观察角度 (从等可能性的角度观察) ;

2.找出所有基本事件对应的区域D;

3.找出随机事件A对应的区域d;

4.利用公式 $Ρ (A) = \frac{d 的测度}{D 的测度}$ , 计算几何概型的概率.

这里要求d的测度不为0, 当d分别为线段、平面图形、立体图形时, 相应的测度分别是长度、面积、体积, 由P (A) 的计算公式知概率P (A) 仅与D和d的测度有关, 而与D和d的形状、位置等无关.

三、用几何概型解决隐性点分布概率问题

1.与长度有关的几何概型问题

问题1 某人午觉醒来, 发现表停了, 他打开收音机, 想听电台报时, 求其等待的时间短于10分钟的概率.

这是我们生活中经常遇到的问题, 如何解决这样的问题呢?

分析因为电台每小时报时一次, 我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间, 例如 (13∶00, 14∶00) , 把打开收音机的时间看成是落在区域G (13∶00, 14∶00) 的“点”, 显然“点”落在这个区域的任意位置的可能性是相等的, 也就是说打开收音机的时间在G中取各点的可能性一样, 要遇到等待时间正好处于13∶50至14∶00之间 (区域g) 才有可能, 因此所求概率是 $\frac{10}{60} = \frac{1}{6} .$

问题2 设一质点随机地落于I=[0, 1]线段内, 把I分为 $A_{1} = [\frac{1}{2} ‚ 1) ‚ A_{2} = [\frac{1}{4} ‚ \frac{1}{2}) ‚ \dots ‚ A_{n} = [\frac{1}{2^{n}} ‚ \frac{1}{2^{n - 1}}) ‚ \dots \dots$

规定质点落于这些区间的概率为线段的长度, 即

$Ρ (A_{n}) = \frac{1}{2^{n}} ‚ n = 1 ‚ 2 ‚ \dots \dots$

这时I= $\sum_{i = 1}^{\infty}$ Ai, 显然有

$Ρ (Ι) = Ρ (\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{\infty}$ P (Ai) = $\sum_{i = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{2^{i}} = 1 .$

2.与面积有关的几何概型问题

有些复杂的实际问题, 解决的关键是建立模型, 找出随机事件与基本事件所对应的几何区域, 把所要求解的问题转化为几何概率问题.

问题3 (约会问题) 两人约定于12点至13点在某地会合, 先到者等20分钟后离去, 试求两人能会面的概率.

分析用x, y分别表示二人到达的时间 (12点和13点之间) , 要两人能相遇, 则其充分必要条件是|x-y|≤20, 用 (x, y) 表示平面上对应某直角坐标系 (已分为度量单位) 的点.所有可能结果都被一个边长60的正方形里的点所表示出:代表能够会面的点都布列在用细线表示出的阴影区域内.所以事件A={二人能会面}的概率是阴影图形的面积与全正方形面积之比: $Ρ (A) = \frac{60^{2} - 40^{2}}{60^{2}} = \frac{5}{9} .$

问题4 (蒲丰问题) 平面上有距离为a (a>0) 的一些平行线, 向平面任意投一长为l (l<a) 的针, 试求针与平行线之一相交的概率.

蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子, 他首次使用随机实验处理确定性数学问题, 为概率论的发展起到了一定的推动作用.试验步骤是:

(1) 取一张白纸, 在上面画上许多条间距为a的平行线.

(2) 取一根长度为l (l<a) 的针, 随机地向画有平行直线的纸上掷n次, 观察针与直线相交的次数, 记为m.

(3) 计算针与直线相交的概率.

分析设M表示针的中点, x表示针的中点M与最近的平行线的距离, φ表示此线与针的交角.由右图容易看出 $0 \leq x \leq \frac{a}{2} ‚ 0 \leq φ \leq π .$

针与平行线之一相交的充分必要条件是 $\frac{x}{\sin φ} \leq \frac{l}{2}$ 或 $x \leq \frac{l}{2} \sin φ .$

设 (φ, x) 为平面上某一直角坐标系下的一个点, 向平面上任意投一个针相当于向矩形区域 $G = {(φ, x) | 0 \leq φ \leq π ‚ 0 \leq x \leq \frac{a}{2}}$ 上投一个点, 针与平行线之一相交, 就是点投在区域 $g = {(φ, x) | 0 \leq φ \leq π ‚ 0 \leq x \leq \frac{l}{2} \sin φ}$ 上, 所求事件A={针与平行线之一相交}的概率为g与G的面积之比:P (A) = $\frac{\int_{0}^{π} \frac{l}{2} \sin φ d φ}{\frac{a}{2} \cdot π}$ $= \frac{2 l}{π a} .$

本例提供了一个求π值的方法:如果能求出P (A) , 那么由上式可求得π.

3.与体积有关的几何概型问题

问题5 在[0, 1]上分别取三个数, 求使得任意两数之和大于第三个数的概率.

分析在[0, 1]上分别取三个数等价于空间直角坐标系的一点 (x, y, z) , 使得任意两数之和大于第三个数, 即 ${\begin{cases} x + y > z ‚ \\ x + z > y ‚ \\ y + z > x ‚ \end{cases}$ 分析可得, 如图, 区域D为边长为1的正方体AG, 区域d为多面体DBEGF, 故 $p = \frac{1 - 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1}{1 \times 1 \times 1} = \frac{1}{2} .$

此例涉及三数, 即三元 (三维) 问题, 可与空间坐标一一对应, 使得问题得以转化.一般情况下三元问题可以与空间坐标系中的点对应.

用几何概型解决隐性点分布概率问题, 首先要建立数学模型, 把“隐性点”与线段 (一维) 、平面 (二维) 和空间 (三维) 中的点建立对应关系, 然后根据条件做等价转化, 最终解决问题.

参考文献

[1]陈家鼎, 刘婉如, 汪仁宫.概率统计讲义.北京:高等教育出版社, 1982 (3) .

概型问题篇9

古典概型概率题目看似简单, 但因学生概念理解不透、审题不清而常会造成错解.

古典概型的定义:若一次随机试验具有以下两个特点:

(1) 所有的基本事件只有有限个;

(2) 每个基本事件的发生都是等可能的.

则这样的随机试验的概率模型称为古典概型.

例1 抛掷两枚骰子, 求所得的点数之和为8的概率.

错解:记“抛掷两枚骰子, 所得的点数之和为8”为事件A.

抛掷两枚骰子, 所能得到的基本事件 (即所得的点数之和) 有:2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 共11种情形, 又事件A中的基本事件只有1个,

所以 $Ρ (A) = \frac{1}{11}$

剖析:上述11朴情形不是等可能的, 且事件A中的基本事件也不是1个, 故上述解法错误.

正解:记“抛掷两枚骰子, 所得的点数之和为8”为事件A.

抛掷两枚骰子, 所能得到的等可能基本事件共有36种,

而事件A中的基本事件应为 (2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2) , 共5种, 这5个基本事件也是等可能的.

所以 $Ρ (A) = \frac{5}{36} .$

例2 一个家庭有3个小孩, 求他们中至少有2个女孩的概率.

错解:记“他们中至少有2个女孩”为事件A, 这个家庭中小孩的所有可能情况:3男, 2男女, 1男2女, 3女, 共4种情形, 而事件A中只含有2个基本事件, 即1男2女和3女, 所以 $Ρ (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .$

剖析:上述解法结果是对的, 但解法是错的.因4种情形3男, 2男1女, 1男2女, 3女不是等可能的, 且事件A中的基本事件也不是2个, 故上述解法错误.

正解:记“他们中至少有2个女孩”为事件A, 这个家庭3个小孩, 从老大到老三, 共有如下8种等可能情形:男男男, 男男女, 男女男, 女男男, 男女女, 女男女, 女女男, 女女女.

而事件或的基本事件应为:男女女, 女男女, 女女男, 女, 共4个,

所以 $Ρ (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$

江苏省睢宁县城北中学

概型问题篇10

关键词：古典概型,排列组合,样本空间

1 问题的提出

古典概型中许多概率的计算中都用到了排列组合,而对样本空间的选取不同,计算事件A中包含的样本点的个数及样本空间中样本点总数也会有所不同。

例将n个球随意地放入N个箱子中(n<N),其中每个球都等可能的放入任意一个盒子,求第i个箱子不空的概率。

2 例题解法比较与分析

解法一:用对立事件来做,设第i个箱子是空的,则,总共有Nn种放法,即在N个箱子中放入n个球,而符合的有(N-1)n种,即在除第i个箱子以外的(N-1)个箱子里放入n个球。故,这种方法毋容置疑是正确的;

解法二:先从n个球种取出1个球放入第i个箱子中,剩余(N-1)个球随意放入N个箱子中,可以保证第i个箱子不空,即。答案显然与解法一中不同,经过探讨也确定了解法一为正确。然而问题究竟出在哪里?探讨过程中我们又发现了另一种解法:

解法三:第1次在n个球中取1个球放入第i个箱子中,剩余的(n-1)个球放入(N-1)个箱子中;第2次在n个球中取2个球放入第i个箱子中,剩余(n-2)个球放入(N-1)个箱子中,…,第n次在n个球中取n个球中放入第i个箱子中。即

结果与解法一相同,此法为无遗漏的计算了第i个箱子不空的所有情况。

观察到正解为二项式,我们不妨将它展开:

再把每一项用二项式分解(用k表示此时盒子里球的个数):

此处Cn1Nn-1即为解法二错误的答案,表示从n个球中取出1个球放入第i个箱子中,再把剩余的(n-1)个球放入(N-1)个箱子中。而展开后第一项Cn1C0n-1(N-1)n-1表示先从n个球中取出1个放入第i个箱子中,剩余(n-1)个球放入(N-1)个箱子中,结果第i个箱子有1个球。以下项依此类推。

观察到(2)式还有下文,尝试继续展开:

以上Cn2C0n-2(N-1)n-2表示先从n个球中取出2个放入第i个箱子中,剩余(n-2)个球放入(N-1)个箱子中。结果第i个箱子中有2个球。以下项依此类推。

……

直到第n项:CnnNn-nk=n时,Cnn(N-1)0

则以上箱子中有1个球的情况有

以上箱子中有2个球的情况有

……

以上箱子中有n个球的情况有

我们发现此处第i个箱子中有k个球正好与解法三中的第k项所对应(k=1,2,…,n)。

分析箱子里有2个球时的情况:

第一,我们发现有系数相减的现象;第二,我们发现Cn1C1n-1=An2。按题意,若箱子里放入了2个球,我们可以看做先放入1个,然后再放入1个。或者先放入2个,然后再放入0个。此处出现了重复,而造成偶数项系数为负。而此处错把组合当成了排列。若要按照N n-1求解,由于kCk n=C1nCk-1n-1,因而需要为C1nN n-1展开的n项中每一项除以k(k为当时第i个箱子中的球数),即

即与解法三中的每一项相同。

3 对此问题的思考及建议

对于排列组合问题,我们应该弄清每一步的处理方向,对于到底应该使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据具体例子采取的方式而定,可以分类完成的时候用“分类计数原理”,需要分步完成时就用“分步计数原理”,保证每步独立,每个式子都有具体的实际意义,深刻了解,简洁表述。在古典概型计算时,应注意计算事件A中包含的样本点的个数及样本点总数在同一个样本空间,切不可误判排列或是组合,或是无意识妄下结论,往往会埋下错误和疑惑的伏笔。

参考文献

[1]张菊芳等.概率论与数理统计[M].北京:化学工业出版社,2011.8.

[2]潘承毅等.概率论和数理统计(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2010.10.

“几何概型”教学反思篇11

1 关于新课引入创设情境的反思

下面三个是新课引入环节的问题：

【问题1】本市人本超市进行有奖销售活动，购物满500元可摇奖一次如图1，规则如下：1奖电视机一台； 2奖高压锅一个；3奖2L食用油一桶；4奖肥皂一块；5奖铅笔一支；6谢谢惠顾.问顾客中得电视机的概率是多大？

【问题2】2008北京奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环(如图2).从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”.比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

【问题3】在500ml的水中有一只草履虫，现从中取出2ml的水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？

预设是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度、面积和体积．但实际的教学证明效果不是很好．

对于问题1，虽然是不等分区域，但学生立即反应的是区域的面积之比．从运算结果来说是正确的，因为是在圆形的转盘中．但这样的引入还是没能达到预期的目的，不能恰如其分地引导学生关注基本事件是指针的位置，指出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件，而且等可能，从而启发学生通过角度（或弧长）度量概率．基于以上想法，我认为可以按教材的转盘模型引入（说明概率与区域的位置无关），再添加一个不等分的方形盘（如图3），可以引起学生思维上的冲突，这样老师就能恰到好处地揭示几何概型的本质．

归纳出几何概型的特征后，还可再设计一个反例：如图4，某女生投铅球投到区域1的概率是多少？这个问题不能用几何概型来解，虽然在一次试验中出现的结果有无限个，但是每个结果的发生并不是等可能性．因为某女生的力气较小，1号区域较远，所以投到该区域的可能性当然小一些，所以不能用几何概型计算．这样可加深学生对几何概型特征的理解．

对于问题2，这是一个简单的用面积之比求概率的问题，学生在初中时就计算过此类概率问题．教案预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量，但事实上问题1中已有体现．因此，在这里设置问题2，过于简单，思维水平的层次只能停留在原来的状态，仅仅是图式的重现而已．但可以把问题2从“课头问”变为“课中问”．安排在得出概率公式之后．问题设计为：向一个圆中投一石子，击中圆心所在的阴影区域的概率有多大？石子刚好击中圆心的概率是多少？（如图5）．让学生认识到概率为零的事件不一定是不可能事件，进一步认识到几何概型的特殊性，与古典概型的区别．这样知识点可拓宽引申、纵横联系，教学上也有波有澜．

给出问题3时，学生答不上．当我引导学生：“总的基本事件个数可以用500ml水来刻画，事件A包含的基本事件个数可以用取得2ml水来刻画，所以概率为2500．”大多数学生还是一脸的疑惑，不能接受．我再启发他们想象这一条草履虫均匀地溶解在水中等云云，他们还是不思其解．在课堂上我只好跳过，继续后面的内容，但学生的学习热情受到了挫伤．可见问题3设问过难．课后和同事讨论这个问题时，有老师提出质疑：若把条件变为500ml的水中有250只草履虫，此时概率就是1吗？若水中有500只，难道概率就是2吗？后来查阅了一些资料，正确的解释是：500ml水分成250份2ml，看作250个不同的盒子，1只草履虫看作一个小球，可以建立模型：把一个小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.显然概率为1250.变题的模型：把250个不同的小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.概率为1-249250250≈0996016，不是1.当500个小球时，1-249250500≈0996016，不是2.几何概型是新课程的新增内容，对教学内容的理解程度还需深化．

教学中创设成功的情景不仅可以促进学生认知的发展、知识的构建，更有利于学生的兴趣、情感、价值观的生成和体验精神的成长．新课程主张科学世界向生活世界的回归，强调情景创设的生活性．为此，创设成功的问题情境，首先要注重联系学生的现实生活，在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情景的资源；其次要挖掘和利用学生的经验，把设置问题的难易度确定在学生的“最近发展区”．情景创设还要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题，激发学生的求知欲，使之产生非知不可之感，达到启发积极思维的目的．

2 关于例题教学的反思

2.1 例题教学要强调“对应点”

人教A版几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件A的区域全部结果所构成的区域(长度、面积或体积)人教版A版《数学必修3》教师教学用书对几何概型的特点补充说明：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为．

因此，几何概型的教学要突出两点：(1) 事件A发生与哪些点对应；(2) 求出这些点的区域的测度（长度、面积或体积）与全部结果构成区域的测度之比．尤其要强调(1)，即“对应点”的思想．

例取一根长度为3m的绳子如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

我觉得教学时可以引导学生思考以下几个问题：

(1) 一个基本事件能否看作与线段上一个点对应？与所有基本事件对应的这些点构成的几何区域是什么？

(2) 事件A发生剪刀应剪在什么位置？

(3) 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域又是什么？

(4) 这里的几何区域用什么来度量？

通过这些思考，使学生理解几何概型的概率就是事件A发生对应点的区域测度与从任一个位置剪断对应点的区域测度之比．

2.2 例题教学要抓住“等可能”

教学中，我们发现,学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们足够的重视．

例2已知等腰直角△ABC中，如图8，∠C=90°，在∠CAB内作射线AM，求∠CAM＜30°的概率．

不少学生给出了下列解决问题的思路：在线段CB上截取CM1，使得∠CAM1=30°，当点M位于线段CM1内时，∠CAM＜30°，故∠CAM＜30°的概率为CM1CB=33．

学生的理由是线段CB上的点M与过顶点Ａ在∠CAB内部作的射线AM是一一对应的，这种认识在很大程度上影响了学生对等可能性的理解．为此，我利用《几何画板》软件设计了一个动画，如图9，以A为圆心， AB为半径作出过B的圆弧,设与AC延长线交于点D．设射线AM与该圆弧的交点为P，双击动画按钮，当点P在圆弧BD上匀速运动时，射线ＡM在∠CAB内部作匀速运动,而点M在线段CB上作变速运动，近D点快，近B点慢．这表明，当射线AM在∠ACB内部等可能分布时,相应的点M并不是等可能地分布在线段上．事实上，如图10，设P1、P2为弧BD的两个三等分点，连接AP1、AP2分别交线段CB于M1、M2，不难计算CM2

通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地认识到几何概型中的等可能性．

2.3 例题教学适当运用变式

几何概型教学中还有一个难点是概率计算测度的选择．在类似的双动点问题中，该设一个变量还是两个变量，即对几何概型问题作出一维的还是二维的判断，是比较困难的．

为了使学生知其然且知其所以然，我在例题教学上运用变式，即通过对表面相似而实质不同的两道题进行深入的研究，使学生真正理解何时设一个变量，何时设两个变量．

例3 (1) 甲、乙两人各自在300米长的环形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米(跑道上的曲线长度)的概率为多少？

(2) 甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率为多少？

图11

先看(1)：处理方法是把甲(记为点P)看作定点，乙(记为点Q)可在圆周上任意运动（如图11），PA的长度为50m，PB的长度为50m，当点Q在APB上时，甲、乙相距不超过50m，这样双动点几何概型就转化为单动点几何概型．为什么可以这样处理呢？原因是当点P在任意位置时，满足条件的点Q应在APB上运动，而圆弧APB长都等于定值100m，圆周长为300m，所以所求事件的概率是100300=13．

再看(2)：甲、乙各自在跑道上跑步，能不能也固定一个动点处理呢？不妨先看具体的数据：假设线段AB=300m，若甲距离A处20m，则乙距离A处70m之间，事件“两人相距不超过50m”发生；若甲距离A处30m，则乙距离A处80m之间事件发生；若甲距离A处50m，则乙距离A处100m之间事件发生；若甲距离A处80m，则乙距离A处30m到130m之间事件发生；……，由此不难看出，当甲的位置发生变化时，对应地乙到达位置区域测度也在发生变化，不是一个定值，故不能用上述方法处理．事实上，当P、Q在圆周上运动时，将圆周分成两段弧，属于一维几何概型问题，当P、Q在线段上运动时，将线段分成三段，属于二维几何概型问题．

这样的处理可以让学生到达知其然，知其所以然的高度，为以后解决同类问题打开知识的窗口，把学生从题海中解放出来，使学生自主地去类比解决问题．

参考文献:

［1］赵斌，唐永．对几何概型教学的几点建议［J］．中小学数学（高中版），2009，(4)：35—37．

［2］夏文凯．一节精彩的“几何概型”公开课［J］．数学通讯（教师阅读），2009，(8)：13—15．

［3］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003．

［4］人民教育出版课程教材研究所编著．普通高中课程标准实验教科书数学3必修A版［M］．北京：人民教育出版社，2007．

贝努里概型篇12

贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型, 这种概型是概率论中最早研究的模型之一, 也是得到最多研究的模型之一。在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用, 并在其中发挥着重要的作用, 为其解决问题提供了理论支持。而且, 揭示这种简单概型的规律, 对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。

1预备知识

1.1贝努里概型的定义

关于n重贝努里概型的定义, 尽管在各种教材的叙述不尽相同, 但都是指满足下列条件的一系列实验:

(1) n次试验时独立的, 即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关;

则称这种试验为n重贝努里 (Bernoulli) 试验, 简称贝努里试验或贝努里概型。

在n重贝努里试验中, 事件A恰好发生k次的概率为:

例1 (巴拿赫Banach火柴盒问题) 某人随身带有两盒火柴, 吸烟时从任一盒中取一根火柴, 经过若干时间后, 发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒火柴中各有n根火柴, 求这时另一盒中还有r根的概率。

假如乙盒已空而甲盒还剩r根火柴, 同样的道理可得这种情况的概率为:

因此一盒火柴已经用完而令一盒中还剩r根的概率为:

我们知道进行贝努里试验时随机变量只取有限个, 所以贝努里概型就是离散型概率分布, 而贝努里概型与四种重要的离散概率分布之一——二项分布之间有着重要联系, 可以说二项分布是贝努里概型背后的影子。

1.2贝努里概型和二项分布

在n重贝努里试验中, 设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数, 则X的可能取值为0, 1, ..., n, 我们知:

特别当n=1时, 我们称二项分布为0-1分布或两点分布, 它描述了一次伯努利试验中事件A发生的次数, “抛硬币”试验等都可以用0-1分布的随机变量来表述。现结合下面的例题来阐明它们之间的关系。

例2某种药品的过敏反应率为0.002, 今有4000人使用此药品, 求这4000人中至少有2人发生过敏反应的概率。

解以X表示4000人中发生过敏反应的人数, 那么X服从二项分布B (4000, 0.002) , 故所求概率为:

这个概率很接近于1。这表明虽然药品的过敏反应很低, 但如果4000人使用此药品, 则至少2人发生过敏反应是几乎可以肯定的。这个事实说明, 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小, 但只要试验的次数很多, 而且试验是独立进行的, 那么这一事件发生几乎是肯定的, 这告诉人们决不能轻视小事件。

贝努里概型还与概率论中的另一重要的概率模型——古典概型有着千丝万缕的联系, 它们好像一对双胞胎兄弟, 咋一看貌似长一样, 但究其根源却有着本质的区别, 下面我们就来看看贝努里概型与古典概型之间的联系。

1.3贝努里概型和古典概型

古典概型是概率论中最早被研究的概率模型, 是一类较简单的随机试验。

定义如果一个随机试验满足下述两个条件:

(1) 有限性。它的基本事件空间只有有限个基本事件;

(2) 等可能性。每个基本事件出现的可能性相等;

则称这种随机试验为古典随机试验, 即古典概型。

贝努里概型、古典概型各有各的定义、条件及计算方法。但在有些问题的计算上可以看作是古典概型也可以视为贝努里概型, 所以在分析问题的时候要首先根据问题的内容来正确区别所属概型, 然后再选择不同的方法计算, 这样才能得出正确的结论。现结合下面的例题来阐明它们之间的联系。

解法一可视为古典概型

解法二可视为贝努里概型

(1) 概率为:

(2) 将后六次任意投掷一枚硬币视为贝努里概型, 则

由以上讨论可见, 同一问题有时可用两种概型来解决.这样有利于开拓思想, 启发思维, 提高能力, 同时一题多解也是检验答案是否正确的有效方法。但并不是所有题都可以用上述两种解法解答的。现结合下面的两个例题来阐明它们之间的区别。

例4袋中有5个白球, 6个黑球, 从中任意取出5球 (不放回) , 求取出球的颜色顺序为黑白黑的概率。

解这是古典概型, 可直接按古典概率的公式求解, 由于是不放回抽取, 故不是独立试验, 因此不属于贝努里概型。

设A={任意取出3球, 顺序为黑白黑}, 则

显然这是一个贝努里概型, 所求概率为:

这个定理叫做泊松定理。即在泊松分布中当n充分大、p较小, 且乘积np适中, (一般来说, n≥10, p≤0.1) 时有:

现结合下面的例题来体会利用泊松分布对二项分布进行近似计算:

例5有20000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险, 每个投保人在年初需交纳100元保费, 而在这一年中, 若投保人死亡, 则受益人可以从保险公司获得100000元保费。据生命表知, 这类人的年死亡率为0.0005。问保险公司在这项业务上至少获利500000元的概率。

解设X为20000名投保人在一年中死亡的人数, 则X服从二项分布B (20000, 0.0005) 。由于n=20000, p=0.0005很小, 所以可用λ=np=10的泊松分布P (10) 作近似计算。由题意知, “保险公司在这项业务上至少获利500000元”就相当于 (X≤15) , 于是所求概率为:

由此可以看出, 保险公司在这项业务上至少获利500000元的可能性非常之大。

参考文献

[1]惠存阳.贝努里概型教学浅谈[J].延安教育学院学报, 2004:69-70.

[2]卢崇飞.贝努里概型[J].数学通报, 1960 (6) .23-25

[3]钱敏平.贝努里学会第一届世界大会情况简介[J].应用概率统计, 1987 (3) :284-286.

[4]吴清和.谈谈古典概型和贝努里概型[J].高中数学教与学, 2004 (10) :48-49.

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