主动隔振系统（共7篇）
主动隔振系统 篇1
0 引言
如图所示,是一般的被动隔振系统模型,机器通过r个隔振器安装在基础上,并受到多激振力的作用(其中机器和基础可以是刚性和非刚性的),在复杂的多扰动源、多维柔性耦合系统分析中,必须考虑机器、隔振器、基础三者之间的耦合作用。我们采用功率流的方法进行分析,其思路是,首先根据系统的动力学特性求出隔振支承点的速度和相应的力,然后由功率流定义式求出通过每一点的功率流,由于功率流的大小总是与结构参数密切相关,这样在求出通过每一隔振点的功率流即输入功率后,就可以判断隔振结构的性能优劣并进行相应的结构修改,从而达到隔振设计的目的。
本文以复杂非刚性被动隔振系统模型为原型,在其中融入主动控制方式,建立主、被动隔振方式统一的动力学描述,并引入频率平均功率流作为效果评价指标,为隔振分析、效果预测以及进一步的实现对复杂系统中传递功率流的综合控制建立理论基础。
1 被动与主动隔振系统的统一动力学模型
力学模型:
在传统的被动隔振元件上并联一个主动作动器,如图1所示。
其中隔振单元是由被动隔振器和主动作动器组成的,所以QA,QB(1),QB(2),QC,中都含有两个分量,即由被动隔振器变形所产生的力和主动作动器产生的控制力,因此有
其中,Fct和Fcb分别是作动器上下两端的控制力,是控制器通过传感器从每个支承两端获得反馈信号,并据此向作动器发出作动指令而形成的。PA,PB(1),PB(2)及PC则是被动隔振元件上传递力。
2 复杂隔振系统中的传递功率流及频率平均功率流
2.1 振动功率流基本原理及表达式
振动功率流理论现已为人们所逐渐熟悉,它实际上是功率流概念在振动分析领域的延伸。功率,或单位时间里所做的功,使每个人都熟知的概念。若记F(t)为作用于结构某点处的外力,而V(t)为该点处对F(t)所产生的速度响应,则输入结构的功率为P=F(t)V(t),它是时间t的函数。对于振动分析来说,平均功率流的概念更令人感兴趣,因为在一段时间内的平均功率,比某一时刻的瞬时功率更能反映外部激励注入结构的能量强度,这样,把按时间平均的功率称为振动功率流,即
这是功率流的基本定义式。
一般情况下,激振力F(t)具有简谐力的形式,此时响应V(t)亦为简谐函数,故可记为F=|F|ejωt,V=|V|ejω(t+φ),则式(9)右边可以积出,功率流被表述为激振频率ω的函数
或
F·与V·分别为F和V的共轭复函数。若犹记M为结构在F作用点处的导纳,则(11)式还可写作
若F(t)为一随机力,且其谱密度为GFF,其作用点处的响应速度的谱密度为GVV,力与速度的互谱密度为GFV,则可由式(9)得到输入结构的功率流谱密度(即单位频率的按时间平均的输入功率)
式(10)~(13)是单点激励下,由该点输入到结构的功率流的常用计算公式。如果同一结构上存在多个激励源,则由于功率流是标量,需要计算出每个激振力对该结构的功率流输入,然后将他们相加得到总功率流。对于通过某一节点的功率流,可将之视为一种强度,而将力看作是一种应力;总功率流则体现出外部扰动源的总体强度,因而是一个综合指标。
2.2 频率平均功率流
对于复杂隔振系统而言,传递功率流分析往往是必不可少的,因为仅以传递率或响应比为参考进行的隔振设计,并不一定能非常有效的控制结构的噪声传播。但是从最优设计的观点上看,仅仅停留在一般性的功率流方针计算分析也还是不够的,因为不能保证系统是最优的。鉴于从能量传输角度进行振动分析的科学性,对隔振系统中的传递功率流进行控制,以使通过支承系统输入到基础结构的功率流达到最小。
在激励FA(幅值和频率)已知的情况下,Po决定于功率流传递矩阵X的元素,而这些元素则由系统的各种结构参数和激振频率ω唯一确定。当ω在一定范围内变化时,Po是ω的连续函数,他在该频段内具有极大值,该极值仅与系统结构参数有关。因此,隔振系统的功率流控制问题归结为结构参数的优化问题,也就是针对已知的激励FA,设计最优的结构参数,以使Po在所关心的频段内,维持在最低水平上。这一问题的数学表述为
关于上式作如下说明
(1)P是功率流优化目标函数,可以根据具体的隔振要求,设计不同P函数表达式。作为一般性的讨论,可以令P等于所观察频段内Po的极大值或平均值,或两者的加权函数,即
(2)Hi(X)和Gj(X)分别为等式与不等式约束;
(3)X={x1,x2,…,xm}为待优化的结构参数变量,S是其取值空间;
(4)Ω={ω1,ω2,…ωn}为可独立变化的外部激励,是所关心的频带。
对于各种各样的隔振问题,以及各式各样的振动控制问题,都可归结为功率流控制问题。
3 小结
本文的主要内容是对复杂系统的动力学建模,用一个统一的模型概括了隔振理论中的刚性和非刚性基础问题,刚性与非刚性机器问题,单支承与多支承问题,对称与非对称系统问题,单机与多机组问题,单层与多层隔振问题,以及主动与被动控制方式问题,具有理论研究上的普遍意义。
本文的前半部分主要讨论了复杂隔振系统的动力学建模与求解,后半部分则是关于系统功率流传递函数的推导及功率流控制思想的论述。
摘要：本文的主要内容是对复杂系统的动力学建模,用一个统一的模型概括了隔振理论中的多种隔振问题,以及主动与被动控制方式问题,具有理论研究上的普遍意义;并引入频率平均功率流作为效果评价指标。
关键词：隔振,模型,频率平均功率流
主动隔振系统 篇2
关键词：神经预测,主动隔振,低频
0 引言
地球重力场是地球的基本物理场之一,发射专用的重力测量卫星进行全球重力场测量对人类生活具有重要意义。重力测量卫星在轨道上的摄动除了地球重力、太阳和月亮引力的影响外,还包含大气阻力、太阳辐射等非惯性力的影响。为了从卫星的摄动数据中得到地球重力场,这些非惯性力的影响必须消除。而最终获得的重力场空间分辨率和测量精度取决于重力场卫星在轨位置和速度的测量精度以及非惯性力修正的精度。
非惯性力靠在卫星质心处放置的加速度计测量,目前具有代表性的CHAMP、GRACE和GOCE等3种重力测量卫星采用的都是静电悬浮加速度计[1](ESA),其特点是测量低频、慢变、微弱加速度。由此看出,在ESA数据标定试验中,其测量通带范围的加速度噪声极易被外界的各种干扰噪声所湮没。因此,地面的数据标定试验需要一个超静、无振的环境。本文针对ESA的特点设计了两级隔振平台,将基于神经网络预测的模糊控制技术应用到隔振平台的主动控制中,并进行了相关的实验研究。
1 隔振系统控制模型
ESA地面实验装置的隔振平台采用两级隔振技术,被动隔振主要隔离中高频振动激励干扰,主动隔振主要隔离低频激励干扰。在不考虑直接干扰力,只考虑垂向振动时,将主隔振系统简化为一个两自由度的弹簧质量系统[2],其数学模型如图1所示。
图1中,m1为平台底座质量;m2为隔振平台质量;k1、c1分别为第一级隔振的刚度系数和阻尼系数;k2、c2分别为第二级隔振的刚度系数和阻尼系数;y0为外界环境振动引起的地基位移,y1为平台底座的位移;y2为隔振平台的位移;fa为主动隔振致动器产生的主动控制力。其动力学方程为:
令式(1)中的x1=y1,x2=y2,x3=y1·,x4=y2·,则可获得状态空间表达式:
式(2)中,
2 控制系统结构
基于神经网络预测的模糊控制,可以根据当前时刻控制器与隔振平台的输出,能够对下一时刻隔振平台的运动状态提前作出预测,并将这一状态反馈输入到模糊控制器,能够使模糊控制器提前作出判断对隔振平台进行控制[3,4],这样不仅可以限制控制信号的振荡,而且有利于抑制超调。控制系统结构如图2所示。
3 控制算法设计
3.1 神经网络预测算法
神经网络采用三层BP网络,网络的输入量为模糊控制器的输出u和系统前一时刻的输出y(k),输出量为当前时刻系统的振动幅值y(k+1);采用20-10-1的结构[5],即输入层的神经元个数为20,隐含层神经元的个数为10,输出层有一个神经元;输入层、隐含层采用“S”型激活函数,输出层采用线性激活函数;BP网络的期望误差为0.001;学习算法如下:
(1)神经网络输入层
(2)神经网络的隐含层
式中vi、ωi为权系数;α为激励函数。
(3)神经网络输出层
式中y(k+1)为神经网络控制器输出;rj为权系数。设性能指标为:
(4)各层权值的调整规律
3.2 模糊控制器算法
将模糊控制器的输入、输出模糊量均划分为7级,其标准论域为{-3,-2,-1,0,1,2,3},并取“NB(负大)”、“NM(负中)”、“NS(负小)”、“ZO(零)”、“PS(正小)”、“PM(正中)”“PB(正大)”七个语言变量档次,输入为误差和误差变化率,输出为主动隔振致动器的控制量,各个语言变量值均采用三角形隶属度函数。根据图3分析可以得出模糊控制规则共49条[6]。
(1)当隔振平台的振动加速度方向为正(垂直地面向上),其变化率也为正。此时,隔振平台正快速向上振动,如图中的1点,故需加入负的控制力,使其向参考值靠近。控制力可根据隔振平台振动加速度的大小来调整。
(2)当隔振平台的振动加速度方向为负(垂直地面向下),其变化率也为负。此时,实验平台正快速向下振动,如图3中1点,故需加入负的控制力,使其向参考值靠近。控制力可根据隔振平台振动加速度的大小来调整。
(3)隔振平台的振动加速度为正,其变化率为负;以及振动加速度为负,其变化率为正时,此时实验平台向参考值靠近,如图3中2、4点,故不需要加控制力。适当的时候也可以加上小的控制力,加快其向参考值运动。
模糊规则如表1所示,去模糊化方法采用重心法。
4 仿真试验
基于Matlab建立控制系统的仿真模型[7,8]。采用不同频率周期正弦信号作为干扰源来仿真隔振系统的输出结果。实验结果如图4、图5、图6、图7、图8所示。
5 结论
仿真实验结果表明,频率为0.01Hz时,系统虽然起到了隔振作用,但是控制器抑制负信号的能力较差;频率为0.1Hz处,控制器出现了过控现象,隔振平台的振动没有被抑制,反而加强了;频率从1Hz到50Hz之间该控制系统有较好的隔振效果,而且在关键频率1Hz处隔振效率能够达到52%。由于是两种控制器联合控制,所以控制算法比较复杂,系统响应较慢而且随着干扰源频率的增大,系统的响应时间也在增大,比较适合应用于低频主动隔振控制的系统。
参考文献
[1]宋仁旺,陈琳英.静电悬浮加速度计关键技术剖析.计算机工程与应用,20094,5(34):67-70.
[2]Chen X,Han F T,Liu Y F.Modeling of an electrostatic micromotor based on a levitated rotor[C]//Proceedings of MNC2007,Sanya,Chi-na,2007.
[3]Pierre Touboul.Bernard Foulon Lisa Senseur Gravitationnel&Accéléromètres Electrostatiques,1ères journées LISA-France2,005:20-21.
[4]韩丰田,吴秋平,吴黎明,等.基于静电悬浮转子的硅微陀螺技术.中国惯性技术学报,2008,16(3):339-342.
[5]朱凯,王正林.精通MATLAB神经网络[M].电子工业出版社2,010.
[6]李国勇.智能预测控制及其MATLAB实现[M].电子工业出版社2,010.
[7]周开利,康耀红.神经网络模型及其Matlab仿真程序设计[M].清华大学出版社2,005.
主动隔振系统 篇3
1 浮筏隔振系统动力学方程
图1为浮筏隔振系统图, 刚体A、D分别代替2个机组, 每个机组通过隔振器安装在弹性筏体B上, 弹性筏体B通过隔振器安装在弹性基础C上。动力学微分方程可表示为[4]:
其中x◆◆是广义位移列向量, M、C、K、F分别为系统的质量、阻尼、刚度和外力向量矩阵。由于考虑筏体和基础的非刚性因素, 所以可采用有限元的方法分别提取筏体的前nb阶模态:qb=q◆b1, qb2, …, qbnb◆T和基础的前nc阶模态:qc=q◆c1, qc2, …, qcnc◆T,
于是可取:
2 振动响应数值计算方法
本文采用威尔逊-θ法计算振动响应。当θ>1.37时, 威尔逊-θ法的积分是无条件稳定的。对微分方程 (1) 首先获得初始状态向量位移x0, 速度和加速度作为迭代初值;由整体刚度矩阵计算有效刚度矩阵。计算t+θ△t时刻的有效载荷向量:
根据式, 求解t+θ△t位移xt+θ△t;计算t+θ△t时刻的加速度、速度和位移分别为:K軗xt+θ△t=F軌t+θ△t
其中α0, α1, …, α8为积分常数, 具体形式可参考文献[5]。
3 算例分析
本文隔振对象是2台4135型柴油发电机组。采用图1所示的隔振模型, 2机组是对称安装的。每个机组下面安装6个隔振器, 筏体通过16个隔振器安装在基础上。筏体尺寸为 (长×宽×高) 1 700 mm×1 900 mm×150 mm。上层采用JG4-2隔振器, 下层采用EA400隔振器, 机组参数和隔振器布置方案详见文献[6]。
3.1 筏体质量对系统的影响
分别令筏体质量为机组质量的0.2、0.5、1和2倍, 分析系统的固有频率和机组、筏体振幅情况。由表1可知随着筏体质量增加, 系统固有频率稍有减少但幅度不大, 说明筏体质量对系统频率影响不大。由表2可知随着筏体质量增加, 机组振幅并未发生明显变化, 而筏体振幅却在减小, 说明隔振效果变好, 但考虑到其应用环境在尺寸、重量等方面要求, 一味增大筏体质量也是不合理的。
3.2 隔振器刚度对系统的影响
3.2.1 上层隔振器刚度的影响研究
保持下层隔振器刚度不变, 将上层隔振器调整刚度为原来的0.5和2倍。由表3可知下层隔振器刚度相同情况下, 上层隔振器刚度越大, 系统固有频率也就越大。
由表4可知随着上层隔振器刚度增大机组幅值在减小, 而筏体位移幅值在增大, 并且在刚度较小时隔振效果较好, 但是考虑到静绕度的影响, 隔振器刚度不能设计的过小。由图2可知随着隔振器刚度的增加, 筏体位移响应也在增大, 说明上层隔振器刚度在较大时, 传递到筏体的力也较大, 隔振效果变差。
3.2.2 下层隔振器刚度的影响研究
在上层隔振器刚度不变的基础上, 将下层隔振器调整刚度为原来的0.5和2倍。由表5可知在上层隔振器刚度相同情况下, 下层隔振器刚度越大, 系统频率也就越大, 但通过与表3的比较发现, 其变化幅度比改变上层隔振器刚度时小, 说明上层隔振器刚度对系统频率影响要比下层隔振器刚度影响大。
由表6可知随着下层隔振器刚度增大, 机组幅值稍微增大, 而筏体幅值却在减少, 且趋势较大, 说明下层隔振器刚度对筏体影响要比对机组影响大。由图3可知随着隔振器刚度增加, 筏体位移响应减小, 这是由于隔振器刚度变大到一定程度, 可近似认为2个刚体是刚性连接, 故振动幅度减小。
4 结语
通过上述研究可知, 筏体质量越大隔振效果越好, 但是综合考虑到环境尺寸和质量, 筏体一般取为机组质量的0.4～1.0被之间。而隔振器刚度选择原则为:在激振能量较大的方向, 通常采用较低的刚度以提高该方向的隔振效率。一般来说倾倒力矩是柴油机较大激振源, 而机组在该方向的惯性矩又较小, 故在横摇方向多采用较低的刚度。但要注意保证船用柴油机发电机组在风浪等外界力冲击下时机组的稳定性。机组纵向作用力很小, 可将此方向的隔振装置刚度加大, 以减少机组前后位移。
参考文献
[1]华宏星, 石银明, 瞿祖清, 等.浮筏系统频率响应灵敏度分析.中国造船, 1999 (3) :92～97
[2]杨义顺, 陈端石, 邹春平.双层隔振系统结构参数改变对结构振动的影响.船舶工程, 2004, 26 (6) :43～47
[3]张华良, 傅志方, 瞿祖清.浮筏隔振系统各主要参数系统隔振性能的影响.振动与冲击, 2000, 19 (2) :5～8
[4]江国和, 杨志荣.复杂弹性耦合冲击隔离系统建模和响应计算.船舶工程, 2007, 29 (2) :194～198
[5]徐荣桥.结构分析的有限元法与MATLAB程序设计.人民交通出版社, 2006
主动隔振系统 篇4
机载光电平台作为目前获取地面目标图像的主要光电设备之一,具有机动灵活、实时准确、范围广、针对性强等特点,已广泛应用于地形测绘、 军事侦察等领域[1]。随着光电平台光学系统成像分辨率的提高,振动成为限制其成像质量和指向精度的重要因素之一,而且角振动的影响远远大于线振动的影响[2,3,4],因此在隔振系统设计中应避免线振动耦合为角振动。被动隔振以其结构简单、经济实用、无需能源等优点,成为光电平台振动抑制的主要方法之一[5]。但被动隔振系统往往因减振器设计或安装不合理,导致载机线振动耦合为光电平台角振动,使得成像质量下降,指向精度降低,因此研究隔振系统中振动耦合问题,对机载光电平台减振装置设计具有重要的指导意义。
国内外许多学者对机载光电平台隔振系统进行了分析和设计。赵鹏等[6]指出隔振系统中各减振器刚度、平台重心与减振器的支撑中心不重合等使得各安装点处的振幅或相位不同,引起平台角振动。董斌等[7]通过对隔振系统进行分析,给出了在忽略阻尼情况下避免产生角振动的隔振系统中减振器刚度、安装间距应满足的量化关系。 文献[8-10]根据平行四边形原理或空间连杆机构,设计无角位移隔振装置,避免载机线振动与平台角振动耦合,但仅适用于尺寸较小的光电设备。 以上针对隔振系统建立的模型大多为单自由度振动模型,无法用于分析线振动与角振动耦合问题。 本文通过建立隔振系统的双自由度振动模型,依据线性系统的传递函数理论,定量地分析了隔振系统中各参数偏差对振动耦合的影响,并结合工程实际,提出减小光电平台角振动的具体措施。
1隔振系统双自由度振动模型
目前,对于尺寸较大的光电平台,依然采用四个固定点的隔振方式,即将光电平台通过4个减振器与载机相连。然而在实际工程中,各减振器间参数不一致或减振器布局不合理,使得载机线振动耦合为光电平台角振动。为定量分析隔振系统参数偏差对振动耦合的影响程度,在X、Y、Z3个轴向上分别建立隔振系统的双自由度振动模型[11],如图1所示。 其中O点为光电平台质心, m、I0为平台质量和绕过质心且垂直纸面轴的转动惯量,k1、k2为连接点处减振器刚度,c1、c2为减振器阻尼系数,l1、l2为安装点与相机质心间的间距,L为平台质心与安装平面间的间距,xi为载机线振动,y为经Y方向隔振后光电平台的线振动,x、θ 分别为平台X方向上的线振动和平台绕质心的角振动。
建立机载光电平台隔振系统的运动微分方程如下:
假设隔振系统初始条件均为0,即
对运动微分方程进行拉普拉斯变换后整理得
由于本文主要分析隔振系统中振 动耦合问 题,因此引入载机线振动到光电平台角振动的传递函数(或称为传递率,即光电平台角振动幅值与载机线振动幅值之比),描述载机线振动经隔振系统后耦合为光电平台角振动的幅值情况,用于分析隔振系统的振动耦合情况,传递率越大,振动耦合越严重。对式(2)进行代数运算后可得,在不考虑Y方向线振动时,载机X方向线振动到光电平台角振动的传递函数为
而在不考虑X方向线振动时,Y方向线振动到光电平台角振动的传递函数为
由式(3)和式(4)可知,当隔振系统中刚度、 阻尼以及安装间距满足以下关系
时,则有θ(s)≡0,即载机线振动只会引起光电平台沿X、Y方向上的线振动而不会耦合为光电平台角振动。 此时光电平台隔振系统线振动、角振动的有阻尼固有频率分别为
在机载光电平台隔振系统设计中,式(5)在减振器选择和布局上具有重要的指导意义。通常根据光电平台稳像系统的伺服带宽确定隔振系统的固有频率[12],并将线振动、角振动的有阻尼固有频率设计为相等,线振动固有频率ωn用于确定减振器的刚度,而角振动固有频率ωnr用于确定减振器的安装间距。
2参数偏差对振动耦合影响分析
实际工程中,隔振系统中各减振器参数间不可避免地存在差异,光电平台质心与支撑中心间存在偏差,绝对的对称布置很难保证,此时载机线振动将引起光电平台角振动。根据推导出的载机线振动到光电平台角振动的传递函数,可对各参数偏差对隔振系统振动耦合程度的影 响进行分析。为便于分析,定义刚度、阻尼和安装间距的相对偏差量分别为
下面以某型号机载光电平台隔振系统[12]为例进行分析,设计线振动和角振动的有阻尼固有频率均为4Hz,隔振系统具体设计参数如表1所示。
由于存在加工、安装误差,使得隔振系统参数相对于设计参数值有一定的偏差,下面对不同参数偏差下载机线振动到光电平台角振动的传递率进行仿真分析,仿真结果如图2所示,图中分别绘制了在仅有刚度、阻尼、安装偏差时的载机线振动到光电平台角振动的传递曲线。可见隔振系统中各参数存在偏差时均会导致载机线振动耦合为光电平台角振动,而且参数偏差越大,振动耦合程度越严重;刚度、阻尼以及安装间距存在偏差时,在谐振频率处载机线振动引起光电平台角振动最为严重,在高频区振动耦合程度较小;当平台质心偏离减振器安装平面时,安装平面内的线振动也会引起平台角振动;但刚度偏差、安装间距偏差对振动耦合的影响相对较大,而阻尼偏差、质心偏离安装平面对振动耦合的影响相对较小。
为进一步分析隔振系统中各参数偏差对振动耦合程度的影响,绘制出在频率4Hz处不同参数偏差下载机线振动到光电平台的传递率曲线,如图3所示。从图中可看出,当参数偏差较小时,载机线振动到平台角振动的传递率基本上与参数偏差成线性关系,而且平台质心与减振器支撑中心的偏差、减振器刚度偏差对振动耦合的影响远远大于阻尼偏差、质心偏离安装平面对振动耦合的影响,因此在隔振系统设计、安装过程中应严格保证各减振器的刚度一致以及平台质心与支撑中心重合,否则会导致光电平台存在幅值较大的角振动,严重影响其成像质量和指向精度。
3载机线振动与平台角振动耦合分析
随着机载光电平台光学系统成像分辨率的提高,载机振动成为限制光电平台性能的重要因素之一,为此国外飞机制造商对载机实际飞行中的振动情况进行了测试,图4为波音公司给出的某载机的线振动位移功率谱密度曲线。下面以此载机随机振动功率谱密度曲线作为隔振系统输入, 根据上述振动耦合模型,分析载机线振动经隔振系统后耦合为光电平台角振动的情况。对于随机振动的传递,设输入的载机随机线振动的功率谱密度为Sx(ω),隔振系统的传递函数为H (jω), 则经隔振系统后光电平台的角振动功率谱密度Sθ(ω),可由下式计算[13]:
于是可得出光电平台的角振动位移功率谱密度,图5所示为在安装间距偏差δl为3%时,光电平台的角振动功率谱密度曲线。
根据光电平台角振动功率谱密度曲线,可计算出经 隔振系统 耦合的角 振动均方 根值 (RMS)[13],表2~表4分别给出了在仅有刚度偏差、阻尼偏差、安装间距偏差时耦合角振动的均方根值。
可见,当存在参数偏差时,载机线振动经隔振系统后,耦合为光电平台的角振动达到102μrad量级,而通常高分辨光电平台视轴稳定精度要求在微弧度量级[14],因此,此时耦合的角振动将严重影响光电平台的成像质量和指向精度。
4结论
为分析机载光电平台隔振系统振 动耦合问 题,建立了隔振系统的双自由度振动模型,分析各参数偏差对振动耦合的影响;以载机线振动功率谱密度曲线为输入,计算出光电平台耦合角振动的均方根值,该值远大于光电平台的视轴稳定精度要求,因此要严格控制隔振系统中各参数偏差, 避免载机线振动耦合为光电平台角振动。
主动隔振系统 篇5
关键词：流体机械,隔振,软件开发
0 引言
流体机械广泛应用于各个行业[1,2,3,4,5],振动噪声问题是衡量其性能的重要指标之一[6,7]。针对某型仿流体机械的振动噪声问题,研究其双层隔振系统的减振效果,分析各种参数对隔振的影响规律,并开发相应的流体机械系统双层隔振设计软件,提高流体机械隔振设计的效率。
1 双层隔振系统设计
流体机械双层隔振系统如图1所示。隔振系统的振动方程为:
对振动系统分析时,常常还要用到其传递函数。对于式(1)与式(2)描述的双层隔振系统,将2个方程变形,并分别进行拉普拉斯变化运算得:
从式(3)可以看出:双层隔振系统的传递函数只受系统各参数的影响,与输入量无关。
式(1)与式(2)也可以写成矩阵的形式:.
其中,。
双层隔振系统的Simulink仿真图如图2所示。该模型依据矩阵形式的振动方程式(1),通过改变输入参数矩阵,可对多自由度系统进行仿真,该模型简单,有很强的通用性。
2 双层隔振软件开发
研究双层隔振参数对系统的影响规律时,往往要多次修改参数,进行多参数下系统响应的比较。为方便这一环节的操作,减少每次仿真都要修改m文件并在Matlab命令窗口进行操作等重复工作量,基于Matlab的GUI开发设计一个双层隔振系统分析软件,软件的主要功能包括:1)输入双层隔振参数,进行仿真,输出仿真结果(图形);2)多参数输入(单一变量),同时输出多个仿真结果(图形),用以比较;3)输出幅频特性曲线;4)导出仿真结果,包括图形与数据。软件的界面如图3所示。
其中,幅频特性的图由Matlab工具箱中的Bode函数得到,因为要得到0~50 Hz(对应转速为0~3 000 r/min)范围内的稳态幅值,在频率分辨率为1 Hz时,其仿真计算也需要3 min。而采用Bode函数时将用到系统的传递函数式(3),从输入参数到传递函数参数将在后台自动进行,无须使用者操作。Bode函数计算结果与数值仿真结果的比较如图4所示,其频率分别率为1 Hz。从图4中可以看出只在第一个极值附近有细小偏差,该误差由于仿真采样点刚好跳过了峰值所在频率,其余结果几乎重合。实际使用时,Bode函数将以>600个点对0~100 Hz范围进行绘图,提高数据精度,且求解响应速度快。
3 流体机械双层隔振系统分析
流体机械的转速为1 800 r/min,质量为2 189 kg,排量为19 L,额定功率为477 k W,缸径为159 mm,冲程为159 mm。根据机械设计手册并结合隔振器型号进行双层隔振设计,确定其主要参数为:上层选用4个W30型隔振器1.5×107N·m,下层选用6个W30型隔振器2.25×107N·m,中间质量块质量为1 200 kg,上层和下层隔振器阻尼比均为0.05。
3.1 中间质量对隔振效果的影响
中间质量的变化相当于质量比的变化。当上层刚度k1为1.5×107N·m(4个W30型隔振器),下层刚度k2为2.25×107N·m(6个W30型隔振器),阻尼比为0.05时,改变中间质量可以得到图5所示的幅频特性曲线,从图5中可以看出,随着中间质量m2的增大,第1个峰值少量左移,第2个峰值左移较大,且峰值增大。第2个峰值之后隔振效果显著增强。对于激振频率较大的系统,中间质量增大将会提高隔振效果。但对于低速机,很有可能对隔振效果产生不利影响。该型号流体机械转速落在30 Hz处,当中间质量为1 200 kg时,其力传递率反而增加了,就是由于这个原因。
3.2 刚度对隔振效果的影响
中间质量为1 200 kg,下层刚度为2.25×107N·m,其他参数不变。上层刚度的变化对隔振效果的影响如图6所示。从图6中可以看出,第1个峰值之后,刚度变大,隔振效果减弱,第1个峰值前的低频区相反。第2个峰值前的一段范围内,不同刚度下的力传递率非常接近,此时上层刚度对隔振系统效果的影响不显著。而在第2个峰值之后的一段区域,即30~50 Hz,(对应的转速为1 800~3 000 r/min的常用区间),上层刚度对隔振效果的影响最为明显。
当上层刚度为1.5×107N·m时,下层刚度对系统隔振效果的影响如图7所示,其对隔振效果的影响规律和上层刚度类似。
3.3 阻尼对隔振效果的影响
上层刚度为1.5×107N·m,下层刚度为2.25×107N·m,中间质量块质量为1 200 kg,下层隔振器阻尼比为0.05,上层隔振器阻尼比变化对隔振效果的影响如图8所示。从图8可以看出阻尼比对系统特性的影响很明显,阻尼比增大会降低2个峰值,这对低频区的设备是很重要的。但在第2个峰值之后,情况刚好相反,阻尼比越小,隔振效果越好,这对高频区的隔振是相当重要的。另外,阻尼比的变化并不会改变共振频率。
上层刚度为1.5×107N·m,下层刚度为2.25×107N·m,中间质量块质量为1 200 kg,上层隔振器阻尼比为0.05,下层隔振器阻尼比变化对隔振效果的影响如图9所示。其规律和图8类似,还可以看出,下层阻尼比的改变对传递率的影响要略小于上层阻尼比的影响。说明如果通过改变阻尼的形式提高隔振效果,应该选择改变上层隔振器的阻尼。
4 结语
利用基于Matlab开发的软件对流体机械系统进行了双层隔振设计与仿真计算,得出了以下结论:
1)基于Matlab的GUI开发的软件能实现双层隔振系统的时域和频域的仿真计算,大大提高了分析效率。
2)双层隔振系统,上层阻尼的变化对系统隔振效果影响更明显,通过改变阻尼提高隔振效率,应首先采用改变上层阻尼比。
3)对于激振频率较大的系统,中间质量增大能提高隔振效果。但对于低速机,很有可能对隔振效果产生不利影响。
参考文献
[1]张有良,王剑峰,张国安.屋顶形包装机的灌装系统研究[J].包装与食品机械,2012,30(3):45-48.
[2]马昌训,吴运新,滑广军,等.基于AME Sim的叠加式溢流阀故障仿真研究[J].流体机械,2011,39(2):32-36.
[3]朱绍源,郭怀舟,郝伟沙,等.球阀的低温试验[J].流体机械,2012,40(7):18-21.
[4]唐小江.管线球阀阀座防火结构分析[J].流体机械,2010,38(6):51-54.
[5]陈海燕,陈继明.炼化装置热油泵机械密封改造[J].流体机械,2013,41(7):44-48.
[6]武瑞林.煤气鼓风机的喘振现象及其预防[J].燃料与化工,1997(5):281-283.
主动隔振系统 篇6
1.1 系统的状态空间模型
单自由度隔振系统如图1所示, 该系统的运动微分方程为
式中, m、c、k分别为被隔振设备的质量、系统阻尼和系统刚度;X为被隔振设备的位移;F为外加激励力。
令x1=X, x2=·X, 将式 (1) 改写为状态方程:
于是式 (1) 可改写为
式 (3) 即为单自由度隔振系统的状态空间模型。
1.2 系统状态空间模型的求解
隔振系统的状态空间模型如式 (3) 所示, 根据文献[1]可得系统响应的解析解为
其中, t为时间;τ为积分变量;eAt为矩阵函数;X (0) 和u (τ) 为已知的系统状态的初始值和系统的输入;eAtX (0) 为系统零输入响应, 它等价于隔振系统的自由响应;为系统零状态响应, 它等价于隔振系统状态的强迫响应。从式 (4) 可知, 隔振系统的状态响应取决于矩阵函数eAt的计算。
根据文献[2], 任何一个实数矩阵都可进行如下特征分解:
其中, V、T分别由A的左右特征向量组成, Λ为约当型矩阵, A的特征值λi (i=1, 2) 有如下几种情况:
(1) , Λ具有两个不相同的实数特征值;
(2) , Λ具有一对共轭复数特征值σ±jω;
(3) , Λ具有两个相等的实数特征值。
根据矩阵的特征分解, 可以得到eΛit的相应的形式:
(1) , eΛit具有两两不相同的实数特征值;
(2) eΛit具有一对共轭复数特征值;
(3) , eΛit具有重复次数的实数特征值。
将式 (5) 代入式 (4) , 并根据CayleyHamilton定理, 得
2 隔振系统的动态性能分析
隔振系统的动态响应过程中包含有两部分, 即隔振系统状态的自由响应和隔振系统状态的强迫响应, 如式 (4) 所示。这两部分分别决定系统的暂态性能和稳态性能, 决定着系统的鲁棒性。
2.1 隔振系统的稳定性和暂态性能
为了能够清晰地描述问题, 现给出两个定义:
定义1一个隔振系统是渐近稳定的充分必要条件是, 该系统对于任何初始状态X (0) 的零输入响应eAtX (0) 都最终趋向于零。
定义2一个稳定的隔振系统的响应会最终达到一个稳态响应或稳态, 又称为隔振状态的稳定波形状态, 一般是隔振系统通过设计所希望最终到达的状态。隔振系统在到达其稳态前的响应称为暂态响应。暂态响应的速度和平缓度也是决定隔振系统动态性能的主要标志之一, 暂态响应越快越平稳, 则系统的性能越高。
根据定义1和定义2的描述和式 (4) 的推导过程, 可得如下结论:
结论1一个隔振系统稳定的充分必要条件是该系统的动态矩阵特征值都有负实部。
结论2一个隔振系统的暂态性能完全由时间函数eΛit决定, 即由系统动态矩阵的特征值决定。共有如下三种情况: (1) 隔振系统达到其稳态速度主要由其极点 (动态矩阵的特征值) 的实部所决定, 这些特征值越远离虚轴, 系统达到其稳态的速度就越快; (2) 对于隔振系统的共轭复数特征值, 系统动态响应首先到达下一个稳态值的速度由其虚部决定; (3) 隔振系统的重复特征值越多, 系统的暂态响应越不平稳。
结论1总结了隔振系统稳定的条件, 结论2总结了隔振系统暂态性能的影响因素, 得出了隔振系统动态矩阵的特征值是直接决定隔振系统性能的重要参数的结论。
由式 (3) 可得隔振系统动态矩阵的特征值的表达式为
从式 (7) 中, 可以得到恒成立, 故对于隔振系统, 其特征值的实部总为负, 故有如下结论:
结论3隔振系统是恒稳定的。
2.2 隔振系统的鲁棒性
良好的隔振系统应具有低的敏感性即较强的鲁棒性。具体解释为, 当系统参数由于各种因素发生变化时, 系统的特征值最好保持在系统暂态性能和稳态性能较好的位置上, 称其为特征值敏感性。而经典的隔振理论并没有直接给出很好的评价方法, 大多数都是采用数字仿真的形式加以验证, 带有一定的盲目性。
根据文献[1], 可以得到系统特征值敏感性的准确显示定理如下:
定理设λi、vi和ti分别为矩阵A的第i个特征值和右特征向量、左特征向量, 再设λi+Δλi为λi在矩阵A变为A+ΔA以后的特征值, 则对于足够小的‖ΔA‖有
式中, s (λi) 为特征值λi的敏感性。
这个定理显示了特征值λi的敏感性是由其左特征向量ti、右特征向量vi所决定的, s (λi) 越小, 则矩阵特征值相对于矩阵参数 (系统参数) 变化的敏感性就越低。
3 隔振系统的隔振性能分析
隔振系统的隔振性能是隔振系统的重要性能, 从隔振系统的动态性能分析的过程中, 可以得出如下结论:
结论4隔振系统恒稳定是隔振系统具有隔振效果的必要条件。
结论4只给出了隔振系统具有隔振效果的必要条件, 即具有隔振效果的隔振系统一定是稳定的, 而稳定的隔振系统却并不一定具有隔振效果, 故关于稳定的隔振系统是否具备隔振效果还需要进一步分析。
从定义2中可知隔振系统处于隔振状态是系统的稳定状态, 它主要与系统的零状态响应, 即隔振系统状态的强迫响应息息相关:
针对不同的隔振效果评价方式来选择不同的输出矩阵C, 如以力传递率为例, 此时隔振系统传递至基础的力为
由此可得系统的输出矩阵为
那么系统的输出即为传递至基础的力:
将式 (10) 代入式 (13) 可得
隔振系统的力传递率为
若μ<1则说明此时隔振系统具有隔振效果, 反之则不具有隔振效果。
根据式 (6) 有
设作用在被隔振设备上的激励力为简谐力, 简谐力可以用复变量表示:
式中, F0为激励力的幅值和相位;Ψ为该力的激励频率;T为时间。
将式 (17) 代入式 (16) 并进行傅里叶变换可得
根据式 (18) , 可得稳定的隔振系统在周期激励下具有隔振效率的结论:
结论5只有当频率比时, 力传递率μ才小于1。为了要达到隔离振动的目的, 线性隔振系统的固有频率必须满足当阻尼增大时, 隔振区的传递率变大, 即隔振效果变差。
结论5说明系统状态空间理论在隔振效率的分析上与经典的隔振理论具有一致性[3]。
隔振系统的特征值如式 (7) 所示, 特征值的类型取决于c2-4mk的值, 具体有三种情况:
(1) c2-4mk=0时隔振系统具有两个相等的负实数根, 系统具有重复的特征值。根据结论2, 系统的暂态响应不平稳, 此时系统阻尼c正好等于经典隔振理论中的临界阻尼, 系统能够很好地抑制共振区的振动。
(2) c2-4mk>0时隔振系统有两个不相等的实数特征值, 根据结论2, 当系统阻尼c越大, 系统的暂态响应越平稳, 且到达稳态响应的速度越快。但是根据结论5, 此时系统阻尼大于临界阻尼, 系统能够很好地抑制共振区的振动, 但是对高于共振区的振动隔振效果不好。
(3) c2-4mk<0时隔振系统有两个共轭复数特征值, 此时系统阻尼小于临界阻尼, 系统的暂态响应取决于复数特征值的实部和虚部, 系统动态响应首先到达下一个稳态值的速度由其虚部决定, 此时系统对应于经典隔振理论的设计状态。
综合上述三种情况可得如下结论:
结论6隔振系统动态矩阵的特征值完全决定隔振系统的性能与隔振效果。
综上所述, 在设计单自由度隔振系统时, 如外部激励为周期性激励, 可首先根据经典隔振理论选择好系统的固有频率, 以确定隔振系统的刚度, 然后选择系统的特征值, 使其特征值为共轭虚根, 根据相关定理进一步确定系统的暂态性和鲁棒性, 使系统既具备良好的隔振性能, 又具有良好的暂态性能和鲁棒性能。
4 实例设计与分析
设某一隔振系统可简化为图1所示的模型, 质量m=1kg, 系统受到外部激励力作用, 要求系统的力传递率控制在μ≤0.1。
依据式 (18) 可使, 可以取ω=2, 由此可得系统的刚度值k=144N/m。系统的临界阻尼cc=24N·s/m, 分别取阻尼比ξ=0.1、ξ=0.2ξ=0.3, 进行仿真计算。
4.1 实例的暂态响应分析
为了验证系统的暂态响应过程, 以阶跃信号作为标准的系统输入信号, 仿真结果如图2所示, 从图2可知, 隔振系统随着阻尼比的增大, 系统的暂态响应越迅速, 当阻尼比为0.1时系统进入稳态所需时间为3.5s, 阻尼比为0.2时系统进入稳态所需时间为2s。而阻尼比为0.3时系统进入稳态所需时间为1s, 仿真结果验证了结论2的正确性。
4.2 实例的隔振效果分析
为了验证系统的隔振效果, 以幅值为1, 频率为24Hz的正弦信号作为外部激励信号, 输出为系统的力传递率, 仿真结果如图3所示。
从图3可知, 增大系统阻尼会增大系统传至基础的力, 但是仍满足系统设计要求, 这说明在满足系统力传递率的条件下适当的增加系统的阻尼能够加快系统进入稳定的隔振状态, 同时能够帮助系统抑制各种其他干扰。
4.3 实例的鲁棒性分析
根据式 (9) 可计算出当阻尼比分别为0.1、0.2和0.3时系统的敏感性指标值, 如表1所示。
从表1可知, 增大系统的阻尼比, 对系统的鲁棒性影响不大, 系统仍处于稳定的隔振状态, 只是输出稍微变大, 这与系统隔振效果分析是一致的, 这说明了该评价方法的有效性。
5 结论
(1) 系统的性能完全取决于系统的动态矩阵的特征值。
(2) 被动隔振系统的隔振性能与系统的动态响应具有一定的矛盾性, 在设计系统过程中要加以折中考虑。
(3) 被动隔振系统的矛盾可以通过主动控制的方法加以克服。
(4) 可以方便地推广到多自由度系统, 稍加变化, 也可用于分析系统的抗冲击性能。
(5) 给出了评价隔振系统鲁棒性的定量指标。
参考文献
[1]郑大钟.线性系统理论[M].北京:清华大学出版社, 2002.
[2]程云鹏.矩阵论[M].北京:西北工业大学出版社, 1999.
主动隔振系统 篇7
近年来,工程领域对于低频隔振的要求越来越高,而线性隔振器的有效隔振频率的下限为固有频率的倍,这就要求隔振器有着较低的固有频率。质量一定时,承载弹簧的刚度越小越好,但小刚度意味着较大的静态变形,会带来承载等其他问题,因而一般的线性隔振系统很难满足低频隔振的需求。因此,理想的隔振器是有着较高的静刚度和较低的动刚度[1]。准零刚度系统是一种较为理想的隔振器,其将正负刚度机构并联是实现准零刚度特性的一种重要的手段。国内外的研究人员对于通过正负刚度并联这一途径对准零刚度系统作了大量的研究。Zhou等[2]研究了一种由凸轮-滚子-弹簧组成的准零刚度隔振系统的幅频特性以及传递率特性,并用数值方法和相应的试验验证了理论分析。Xu等[3]设计出一种具有准零刚度特性的磁性低频隔振器。Le等[4]研究了一种由2根连杆和弹簧并联组成的准零刚度系统(系统的2根连杆一端与座椅相连,另一端与水平槽中的滑块铰接),可用于汽车座椅的隔振并有较好的隔振性能。文献[5,6]研究了类似连杆-弹簧并联形成的准零刚度系统。徐道临等[7]基于跳跃频率区间内准零刚度隔振系统的隔振效果具有不确定性的问题,提出了一种阻尼扰动控制方法。Lan等[8]设计了一种具有较宽负载范围的准零刚度隔振器,采用特殊的平面弹簧来代替线圈弹簧以实现紧凑空间的隔振,并验证了隔振系统的传递率。文献[9,10,11,12]将2根水平放置的欧拉屈曲梁(作为负刚度机构)与竖直放置的线性弹簧并联得到准零刚度隔振系统,通过隔振系统回复力的泰勒展开,将系统的非线性振动微分方程转化为Duffing方程来研究。
本文以两端受压的欧拉梁为负刚度机构,将它和线性弹簧并联,在一定条件下组成一个准零刚度隔振系统,对该系统进行了静力和动力特性分析,评价其隔振性能并分析系统参数对于隔振性能的影响。
1 准零刚度隔振系统的静力分析
准零刚度隔振系统由两端受压的欧拉梁和线性弹簧并联构成,两端受轴向压力的欧拉梁模型如图1所示,假设压杆长为l,弹性模量为E,惯性矩为I,垂向力为Fs,轴向压力为F。则该欧拉梁的弯曲微分方程为
求解式(1)并结合边界条件y(0)=y·(l/2)=0,可以得到梁中点的挠度表达式:
F→π2EI/l2时,梁中点挠度趋于无穷大,无法描述欧拉梁的后屈曲行为,因此将上述系统等效为由2根刚性杆和中间的扭转弹簧组成、具有几何非线性特点的系统[13],如图2所示。
对于梁的小变形,根据能量等效原则可以求得扭转弹簧的刚度ke=3EI/l。当梁的中点挠度为d时,系统的总位能为
由位能驻值原理可知从而得到垂向力Fs的表达式,量纲一化后可以得到:
求导得到欧拉梁的垂向量纲一刚度:
根据式(4)作出不同量纲一轴向压力时的(中点位移-刚度)曲线,如图3所示。
由图3分析可知,量纲一轴向力在不同的取值范围内,梁的刚度特性不一。时,欧拉梁表现为完全的正刚度特性;时,欧拉梁表现为部分的正刚度特性和部分的负刚度特性;时,欧拉梁表现为完全的负刚度特性。为了利用欧拉梁的负刚度特性,量纲一轴向力需要满足这一条件。
在量纲一轴向力满足条件下,在欧拉梁的中点并联一个刚度合适、垂直放置的线性弹簧,组成一个准零刚度隔振系统。将珘d=0位置(梁未变形的水平位置)作为工作位置,假设系统承载物体的质量为m。那么此时欧拉梁中点挠度为零,欧拉梁并不提供垂向的回复力,物体完全由垂直的刚度为kV的线性弹簧支撑,此时有:
承载的物体质量m已知时,根据式(5)选取合适的线性弹簧的初始压缩量d0,从而确定线性弹簧的刚度kV和量纲一刚度由平衡时系统总的垂向刚度可求得从而确定轴向压力的大小。
2 准零刚度隔振系统的动力特性分析
结合隔振系统的静力特性分析,建立系统动力分析模型,推导并分析准零刚度隔振系统的幅频特性、力传递率和跳跃频率特性,考虑不同参数对隔振性能的影响。
2.1 准零刚度隔振系统的幅频特性分析
根据式(3)可以得到系统的回复力(垂向力):
再根据式(5),可以得到梁中点挠度为x时整个隔振系统的回复力(垂向力):
考虑阻尼作用,引入线性阻尼(阻尼系数为c),若承载的物体受到简谐力FAcosωt的作用(FA为简谐力幅值),建立动力分析系统,则准零刚度隔振系统的受迫振动方程为
值得注意的是,该准零刚度隔振系统在珟d=0附近的动刚度很小,所以系统对于所加载荷的变化十分敏感。承载物体质量微小的变动可能会引起压杆中点挠度较大的变化,因此必须注意承载物体质量的变化。假设物体超载的质量m0=λm(λ为超载部分质量与初始质量的比值),并且系统在x0处于平衡,那么系统超载时,中点挠度为x+x0,对应系统的受迫振动方程为
将f(x)展开为泰勒级数并保留到三次项,再根据得到f(x)≈(x/l)3(128EI/l2-8F)。这意味着回复力与位移的三次方成正比,因此
引入如下的量纲一物理量:量纲一位移
从式(12)可以看出:欧拉梁变形较小时,无论是否超载,欧拉梁与线性弹簧并联形成的准零刚度隔振系统都具备Duffing振子的特点,超载会使得系统回复力中二次项的系数不为零,即系统关于平衡点不具备对称形式。
将式(12)中作代换,化简整理后得到:
利用谐波平衡法近似求解式(13),假设式(13)的解X(τ)=A0+A1cos(Ωτ+φ),即认为系统的稳态响应幅值为A1,同时还有一个附加的位移A0。将X(τ)的表达式代入式(13)并整理,得到[14]:
忽略式(14)中的二次谐波、三次谐波,由等式两边的谐波系数相等,可以得到:
整理式(15),得到关于A0的一元九次方程:
根据式(16)不难得到:
根据式(17)、式(15)的第三式可以得到关于A1的方程:
根据式(16)、式(18),作出A0-Ω和A1-Ω幅频响应图(图4、图5)。从图4a可以看出:系统的幅频曲线具有多值性,即一个激励力频率可能对应着多个稳态响应幅值A1,因此系统会出现频率跳跃现象;幅频曲线是向右弯曲的,并且γ越大,曲线弯曲程度越大,这说明系统的回复力具有渐硬特性;共振峰值随着量纲一激励力γ的增大而增大,对应共振频率也随之增大。从图4b可以看出:随着量纲一阻尼系数δ的增大,幅频曲线向右弯曲的程度变小,并且共振峰值和共振频率都随之减小,当δ增大到一定程度时,曲线不再具有多值性,此时系统不再会发生频率跳跃现象。
从图5a可以看出:Ω相同时,A0随着γ的增大而减小;γ保持不变时,A0先会随着Ω的增大而减小,当Ω足够大时,A0随着Ω的增大而增大,并且越来越接近这一点从式(16)可以很容易看出来。从图5b可以看出:在δ较小时,A0-Ω曲线具有多值性,并且A0存在一个极小值;随着δ的增大,A0的极小值以及极小值对应的Ω逐渐减小(在图中表现为尖点逐渐向左上方移动);当δ增大到一定程度时,曲线的尖点消失,即原来位置A0的极小值不复存在,此时A0随Ω单调递增。从图5c可以看出:A0存在一个极小值,并且该极小值随的增大而增大,同时与极小值对应的Ω也随之增大。
分析该系统受迫振动的幅频曲线可以发现:在某些频率段,一个激励力频率对应多个振动的幅值,这种多值性会引起系统发生频率跳跃现象,如量纲一阻尼系数δ的变化会影响系统的共振峰值和共振频率,改变幅频曲线的弯曲程度,甚至使得多值性特点消失。
2.2 准零刚度隔振系统的力传递率分析
传递率是评价隔振系统的一个十分重要的指标,通常采用的传递率有力传递率和位移传递率,它们能很好地描述振动通过隔振器后减小的程度。力传递率Tf为
式中,Ft1、Ft2分别为弹性力和阻尼力的幅值;Fe为激励力。
本文需要分析的是准零刚度隔振系统的力传递率。
对于超载的准零刚度系统,式(12)的解可以由式(13)的解表示:
为了方便描述,记将式(19)代入系统的弹性力再将弹性力展开为傅里叶级数,可以得到:
因为主要考虑的是动态力中的一次谐波分量,所以取弹性力的幅值[10]
将式(19)代入系统的阻尼力表达式,得到阻尼力幅值Ft2=δA1Ω,于是得到系统的力传递率:
对于未超载的系统,则此时传递率为
根据式(15)第三式、式(17),可以消去A1,用含A0的参数来表示力传递率Tf,这样可以和式(17)一起构成力传递率Tf、频率比Ω关于变量δ、γ的参数方程,然后再依据参数方程作出Tf随Ω变化的曲线图(图6~图8)。由于力传递率Tf在峰值附近变化比较剧烈,因此作图时横轴变换为lgΩ,纵轴变换为20lg(Tf/T0),其中,参考值T0=10-3。
从图6可以看出:保持其他参数不变,当量纲一激励力幅值γ增大时,系统的力传递率峰值也随之增大,并且对应的频率同时增大,在图中表现为峰值向右上方移动。另外,系统的跳跃频率也随γ的增大而增大。这说明激励力会影响系统的隔振性能,而且激励力增大会使得系统的隔振性能变差。
从图7可以看出:保持其他参数不变,当阻尼比δ增大时,系统的力传递率峰值会变小,对应的频率(下跳频率)也会减小,即峰值向左下方移动,阻尼比增大到一定程度如δ=0.3时,可能会使得曲线不具备多值性,频率跳跃现象消失。此外,应注意到阻尼的增大减小了力传递率峰值并拓宽了有效隔振的频率范围,但是这会使得系统在高频段的隔振效果变差,因此选取阻尼时,需要综合考虑高频的隔振效果和系统的有效隔振频率范围。
从图8可以看出:保持其他参数不变,当系统的量纲一初始偏移量增大时,系统的力传递率峰值和下跳频率变化不大,但上跳频率有所增大。另外,系统高频段的力传递率也有所增大,从这个方面考虑,初始的偏移是不利于系统隔振的,所以需要控制载荷大小,尽量避免超载。
2.3 准零刚度隔振系统的跳跃频率分析
跳跃是非线性振动中很重要的一个特性,由2.2节分析可知,当系统的阻尼比增大到一定程度时,可能会使系统的跳频现象消失,激励力的大小也会影响系统的跳跃频率。因此需要分析该系统在未超载时的跳跃现象。根据式(15)很容易得到系统未超载时的幅频关系式:
从式(23)求解得到:
从式(24)可以看出,在一定范围内,有两支A1-Ω曲线,如图9所示。当激励力频率比Ω从点1开始减小到点2时,幅值A1沿着下方的曲线向左上移动;当Ω继续减小时,A1仍然沿着下方的曲线向左上移动直到点3;当频率再减小时,A1会从点3直接跳跃到点4,此时的Ω称为上跳频率,记为Ωu。随后A1会随着Ω的减小沿着上方曲线移动到点5。如果是从点5开始增大Ω,A1则是从点5经点4到点6,随后从点6向下跳跃到点2,随后从点2移动到点1。点6对应的频率称为下跳频率,记为Ωd。点3和点6之间的这一段曲线代表的是不稳的运动状态,通常是观察不到的。
下面根据式(23)、式(24)来求解上跳频率Ωu和下跳频率Ωd。从图9易知,Ω的增大,A1由点6下跳至点2;Ω减小,A1由点1至点2,两曲线在Ωd相交,即下跳频率Ωd就是式(24)代表的两支曲线的交点:
式中,A1d为系统在下跳频率Ωd下的响应幅值A1。
从式(25)求得:
从Ωd的表达式可以看出:只有时,系统才可能存在下跳频率Ωd,要避免出现跳跃现象,可以增大系统的阻尼或减小激励力幅值。另外,Ωd随γ的增大而增大,随δ的增大而减小甚至消失。根据Ωd的表达式作图10、图11。
应当注意的是,只是该系统出现跳跃现象的必要条件,并不是充分条件。如果要准确判断跳跃现象是否出现,还需要分析系统的上跳频率Ωu。上跳频率和下跳频率构成了跳跃区间,如果二者相等,那么系统的跳跃现象也就不复存在了。
系统的上跳频率Ωu就是dΩ/dA1=0对应的频率。根据式(24)求解导数为零的条件:
式中,A1u为系统在上跳频率Ωu下的响应幅值A1。
显然式(28)中取负号才可能有解,由式(28)得到δ关于γ、A1u的解,代入到式(24)中取正号的表达式,化简可以得到:
其中,A1u由式(28)确定。虽然式(28)化简后得到的是关于A21u的一元五次方程,无法求得解析解,但是可以用A1u分别表示Ωu和δ,以A1u为参变量作出的Ωu-δ曲线,如图12所示。
图12中,实际有效的只是水平的那一部分(显然δ→0+时,Ωu→∞是不可能的)。从Ωu-δ曲线中有效的那一部分可以看出,当保持其他参数不变时,δ对Ωu的影响很微小,甚至可以忽略。所以可以令δ=0代入式(28)求得A1u,进而代入式(29)求得Ωu:
当上跳频率和下跳频率相等时,系统的跳跃现象消失,利用Ωd=Ωu可以得到此时的关系式:
根据式(32)作出Ωd=Ωu时的γ-δ曲线,如图13所示。
由上文分析可知,γ很小时,系统的跳跃现象可能消失,再结合γ对Ωd和Ωu影响的分析,不难知道:在图13中的曲线上,对于某一给定的δ,对应的γ正好是系统的跳跃现象出现的临界值,曲线左上方的区域表示量纲一激励力γ超过了临界值,此时系统会出现跳跃现象;曲线右下方的区域表示量纲一激励力γ小于临界值,此时系统不会出现跳跃现象。如果要抑制跳跃现象,可以通过增大阻尼比δ来实现,而且阻尼比越大,γ允许变化的范围也越大。前文力传递率的分析指出,阻尼比的增大会降低隔振器高频范围的隔振性能,因此阻尼比δ并不是越大越好,仍然需要综合考虑多个方面的因素。
3 结论
(1)该隔振系统具有渐硬弹簧的特点,承载质量未超载时,可以看作是弹性力中一次项系数为零的Duffing振子;超载时,可以转化为受常力和简谐力共同作用的Duffing振子。此外,由于非线性的特点,系统会出现跳跃现象,但在一定条件下,跳跃现象会消失。
(2)该隔振系统的力传递率峰值和跳跃频率随量纲一激励力γ的增大而增大。激励力太大会使系统的隔振效果变差,因此要控制激励力的大小。
(3)阻尼比的增大可以有效降低系统的传递率峰值并拓宽有效隔振的频率范围,但会使高频段的隔振效果变差,因此阻尼系数的选取需要综合考虑高频的隔振效果和有效隔振频率范围。
(4)系统初始的偏移量是不利于隔振的,因此要尽量避免超载。
摘要：将两端受轴向压力的欧拉梁和线性弹簧并联,组成一个具备高静刚度和低动刚度的准零刚度隔振器。通过对隔振系统进行静力分析,给出系统具备准零刚度特性所需的条件。利用谐波平衡法求解系统的振动微分方程,分析系统的幅频特性,给出了系统的力传递率,讨论了阻尼、激励力等参数对系统传递率的影响。最后分析了该隔振系统的跳跃频率。研究结果表明:激励力以及初始偏移量的增大会使系统的隔振效果变差,因此要控制激励力的大小并尽量避免超载;阻尼比的选取需要综合考虑高频的隔振效果和有效隔振频率范围。