组合图形的面积

组合图形的面积（共12篇）

组合图形的面积 篇1

“组合图形的面积”是小学数学“图形与几何”领域的教学内容, 人教版教材把这一内容编排在五年级上册第六单元《多边形的面积》中。该单元的第一部分是平行四边形、三角形和梯形的面积计算, 第二部分就是组合图形的认识及面积计算。前者是后者的学习基础, 后者是前者的灵活应用。两者都渗透了图形的转化方法。本课的学习任务主要围绕组合图形的认识及其面积计算进行设计和教学。

一、任务说明

(一) 任务及目标

1. 任务内容

2. 任务目标

(1) 结合观察、操作活动, 认识组合图形, 并能把它分成若干个基本图形。

(2) 经历选择数据计算和交流分享的过程, 掌握组合图形面积计算的一般方法。

(3) 在解决问题的过程中, 感受图形之间的转化及其联系, 发展空间观念。

(二) 设计说明

关于组合图形的面积计算, 教材的学习任务设计如下:

该学习任务以解决生活问题“墙面面积”为素材, 结合图示, 让学生学习计算组合图形的面积。虽然该任务非常清晰, 目的也很明确, 但是从以往的教学实践看, 教学效果不理想。从对学生的教学后测及数据分析中可以看得更清楚。

教学后测题:请测量并计算下面这一图形的面积。

参加测试的五年级学生共49人, 是学生在学习了组合图形的面积计算之后的两个月进行的测试。

其中正确人数是26人, 占全班人数的53.06%, 错误人数23人, 占46.94%。具体错误分类见下表:

参加后测的六年级学生共52人, 是学生学习了组合图形的面积计算之后的一年两个月进行的测试。结果正确人数是32人, 占全班人数的61.54%, 错误人数20人, 占38.46%。具体错误分类见下表:

出现上述正确率不高的情况, 我们认为和新课教学的学习任务密切相关。主要原因有三点:一是教材已经把例题中的组合图形作了分割, 学生一眼就看出其由正方形和三角形组成, 无法让学生经历组合图形转化为基本图形的学习过程;二是例题中给出的图形结构简单, 计算其面积的方法单一, 基本没有留给学生选择的余地, 开放度不够;三是例题给出的关键数据太明显, 而寻找隐藏的数据信息是本课教学的难点, 在教材的该项学习任务中无法实现有效突破难点。除此之外, 我们还需要加强对学生在测量和画平行线与高方面的指导。

新设计的学习任务, 正好和教材给定的任务相反, 其挑战性在于三个方面。

1. 学习任务提供的是“原材料”图形, 未作一点人为加工

当学生看到这个图形时, 他们会发现运用原来的基本图形面积的计算公式, 无法直接求得它的面积。那该怎么办呢?挑战性的学习任务让学生“跳一跳才能摘到桃子”, 可以让学生集中注意力, 促使他们主动思考。教学实践证明, 根据学生的已有经验, 经过独立思考, 他们是能想到把组合图形转化为基本图形的。这个过程, 其实也就是学生区别组合图形和基本图形、认识组合图形的学习过程。

2. 学习任务提供的是“开放性”图形, 计算方法多样化

有别于教材给定的墙面图, 该图形转化为基本图形的方式很多。它可以转化为长方形+三角形、梯形+三角形、梯形+三角形和三个三角形, 还可以从外部结构看, 转化为梯形-三角形、长方形-梯形。同样给解决问题的方法也带来了多样化, 学生可以选择一种方法解决问题, 也可以选择多种方法进行尝试, 给不同水平的学生提供了不同的发展空间。

3. 学习任务提供的是“选择性”数据, 关键数据要思考获得

如果学生将图形分为三角形+梯形 (如图 (1) ) , 那么三角形的高在哪里, 有多长?这是解决问题的关键。教学实践表明, 在其他转化图形的过程中, 找不到隐藏的数据往往是学生的主要困难。

总的来讲, 新的学习任务, 无论从认知水平和思维难度上, 都有了明显的提高。这既符合“教学要创造最近发展区”的理论, 也符合挑战性学习任务“不能立即解决, 需要想一想, 做一做”和“解决方式具有个性化和差异性”这两个基本特征。

二、任务教学

这一学习任务可以按以下教学程序展开。

首先, 呈现图形, 请学生观察、思考:能像长方形、三角形一样直接计算它的面积吗?然后追问:为什么?让学生明白这不是一个基本图形。继续追问:要知道它的面积, 可以怎么办?引导学生进行图形转化。一般情况下, 学生会侧重于从内部进行分割, 除了上述图 (1) 之外, 还会出现以下情况 (如图 (2) ~ (5) ) 。

教师再适当启发:除了从图形内部思考之外, 再从外部想想, 还可以怎么办呢?引导学生从另一角度思考 (如图 (6) ~ (7) ) 。

接着, 观察上述转化后的图形, 共同选择一个, 比如三角形+梯形。学生独立计算面积。教师要关注学生中存在的典型错误和主要问题, 搜集学生作品组织反馈。可以分两步走:第一步, 请学生说说计算过程, 讲清楚每一个算式在计算什么?第二步, 关注学生在寻找隐藏的数据时是如何思考的?强调根据各种图形的边的特征, 通过计算得到需要的关键数据。

最后, 请学生从其他分法中任意选择一种, 计算图形面积。先同桌交流, 再组织集体分享。重点交流三件事:第一, 分析外补图形的转化方法, 突出最后要用大图形的面积减去小图形的面积, 得到组合图形的面积;第二, 分析图 (4) , 这种分法和图 (1) 相比比较麻烦, 在方法选择上, 要优化;第三, 分析图 (5) , 由于不知道梯形的上底, 也不知道三角形的另一条边 (或高) , 根据给定的数据, 这种方法不能解决问题, 看来转化时还要分析可行性。

从教材的学习任务到新设计的挑战性学习任务, 我们更多地期望:数学教学的学习任务设计, 在达成基本知识和基本技能的基础上, 还要关注学生基本数学活动经验的积累和基本数学思想方法的渗透。“组合图形的面积”任务设计与教学, 就是站在这样的立场思考完成的。

组合图形的面积 篇2

董芳 教学内容

五年级上册“组合图形的面积”。教学目标

知识与技能：

明确组合图形的意义，掌握用分解法或添补法求组合图形的面积。过程与方法：

能根据各种组合图形的条件，有效地选择计算方法并进行正确的解答。

情感态度与价值观：

渗透转化的教学思想，提高学生运用新知识解决实际问题的能力，在自主探索活动中培养他们的创新精神。

教学重点/难点/考点

教学重点：

在探索活动中，理解组合图形面积计算的多种方法，会利用正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些平面图形面积来求组合图形的面积。

教学难点：

根据图形特征采用什么方法来分解组合图形，达到分解的图形既明确而又准确求出它的面积。考点分析：

能判断图形是由那些图形组合而成，并应用相应的公式解决实际问题，教学目标依据 课程标准的要求：

《新课标》指出：“学生有效的教学活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。要做到把“生活经验数学化，数学问题生活化。”变“课堂教学”为“课堂生活”，就必须把握教学规律、用活教材。故而，教师应向学生提供充分从事教学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，并获得数学活动经验。根据这一教学理念，本课采用“主导-主 体 相 结 合”为 特 征 的 探 究 性 教 学 模 式，让 学生 在 观 察、猜 想、验 证、归 纳、交 流 中 获得新知并提高能力。教材分析：

《组合图形的面积》一课是《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）五年级上册的教学内容。在三年级时，学生已经学习了长方形、正方形的面积，在本册本单元也学习了平行四边形、三角形与梯形的面积计算，本课时的组合图形面积的计算是这方面知识的发展，也是日常生活中经常需要解决的问题。本节课让学生经历从多角度思考，运用多种方法解决问题的过程，使学生展开讨论，根据自己已有的经验，逐步探讨出不同的方法，找到合理解决问题的策略；在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。学情分析

《组合图形的面积》属于五年级上册的内容，根据学生已有的生活经验，通过直观操作，对组合图形的认识不会很难，学生通过之前的学习对于平面图形直观感知和认识上已有了一定的基础，也掌握一些解决简单图形问题的方法，学生应进一步提高知识的综合运用能力，在学习中去探索掌握解决问题的思考策略。因此，我设计时主要是让学生自主探索，在具体的情境中领会转化的数学思想,体会并掌握计算组合图形的多种方法，并能够在比较的基础上选择最有效的方法解决实际问题。专家建议

本课是五年级上册第六单元内容，是在学生学习了长方形与正方形、平行四边形、三角形与梯形的面积计算的基础上学习的，一方面可以巩固已经学过的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行整合，注重将解决问题的思考策略渗透其中，提高学生的综合能力。教学方法 图片引入——新知讲授——巩固总结——练习提高 教学用具

课件、图片等。

教学过程

一、创设情境，引导探索

师：生活中有许多图形，老师今天准备了4幅，大家观察一下，这些图形是由哪些简单图形组成的？如果求它们的面积可以怎样求？ 图一

课件逐一出示图

一、图

二、图三，图四让学生发表意见。生1：小房子的表面是由一个三角形和一个正方形组成的。

生2：风筝的面是由四个小三角形组成的。

生3：队旗的面是由一个梯形和一个三角形组成的。生4：七巧板是由三角形，长方形，正方形和平行四边形组成的。

师：这几个都是组合图形，通过大家的介绍，你觉得什么样的图形是组合图形？

生1：由两个或两个以上的图形组成的是组合图形。

生2：有几个平面图形组成的图形是组合图形。

师小结：组合图形是由几个简单的图形组合而成的。图一：是由三角形、长方形、加上长方形中间的正方形组成的，面积= 三角形面积＋长方形面积－正方形面积

图二：作辅助线使它分成一个大梯形和一个三角形。方法一：分割法：将整体分成几个基本图形，求出它们的面积和。

是由两个梯形组成的。

师：为什么要分成两个梯形？怎样分成两个梯形？

引导学生说出将它转化成以学过的简单图形以及在图中作辅助线。

师：是的，可以用作辅助线的方法将它转化成以前学过的简单图形来计算。（板书：转化）

大家想想，用辅助线的方法还有不同的作法吗？

方法二：添补法：用一个大图形减去一个小图形求出组合图形的面积。

作辅助线补成一个长方形，使它变成一个大长方形减去一个三角形

图三：是由四个三角形组成的。

面积 = 三角形面积＋三角形面积+三角形面积+三角形面积

二、新知探究

(一)右图表示的是一间房子侧面墙的形状,它的面积是多少平方米？(三角形+正方形)右图表示的是一间房子侧面墙的形状,它的面积是多少平方米？

(两个完全一样的梯形)

（二）计算组合图形的面积，一般是把它们分割成基本图形，如长方形、正方形、三角形、梯形等，再计算它们的面积。

三、巩固提升

（一）这是学校教学楼占地的面积平面图，你能用几种方法求出它的面积？

（二）一张硬纸板剪下4个边长是4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。这张硬纸板还剩下多大的面积？

（三）下面各个图形可以分成哪些已学过的图形？

（四）学校要油漆60扇教室的门的正面。（单位：米）需要油漆的面积一共是多少？

（五）求下列图形中阴影部分的面积。

（六）求下列图形中阴影部分的面积。

（七）如图，有两个边长是8cm的正方形放在桌面上，求被盖住的桌面的面积。

四、总结结课

（一）学生总结 这节课你学习了什么？有什么收获？还有什么不明白的地方？（小组说--组内总结--组间交流）

（二）教师总结

今天我们认识了组合图形，并能将组合图形分割成已经学习过的图形，计算出它的面积。

五、板书设计

组合图形的面积

组合图形的面积 篇3

教材简析：

本节课在本册教材的第二单元，学生已经学习了平行四边形、三角形与梯形的面积，在此基础上学习组合图形的面积。一方面可以巩固已学的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行综合，提高学生的综合学习能力。我在教学中既拓展使用教材，又遵循教材的内容，采用观察七巧板拼图、动手操作、合作交流等方式，引导学生在活动中从多角度思考解决组合图形面积的计算问题，发展学生空间观念，并获得良好的情感体验。

学情分析：

5年级的学生在第二单元的教学中已经掌握了平行四边形、三角形与梯形面积的计算方法，并能运用计算的方法解决生活中一些简单的实际问题。本节课教学使学生对学过的图形进行巩固，同时将所学的知识进行综合运用，提高学生综合能力，符合学生的年龄特征和认知规律。通过动手拼摆激发学生的学习兴趣，也在学习活动中体会转化的思想，将不规则的平面图形转化成已学的规则平面图形来解决问题，学生可能在分割与添补的方法的运用中有困难，我就将学生生活中熟悉的七巧板引入课堂，在具体操作中发展学生的空间观念。

教学目标：

1.在探索活动中，归纳组合图形面积的计算方法。

2.能正确计算组合图形的面积，并能解决相应的实际问题。

教学重、难点：从多角度思考解决组合图形面积的计算问题。在有效的情境中渗透转化的数学思想，将所学的知识进行综合运用，提高学生综合能力。

教学过程：

一、激发兴趣，感知策略

师：今天，老师为同学们准备了一份小礼物——七巧板拼图送给你们，想看吗？那一起来猜猜我拼的是什么吧。（师动手拼鱼、兔子、猫。）

师：喜欢吗？那同学们来观察一下这两幅拼图，有什么共同特征吗？

生：都是由七巧板拼成的。

生：面积相等。

生：都是由几个图形拼成的。

师：也就是说都是由几个简单图形组合而成，那你能给这样的图形起个名字吗？

生：七巧板拼图、动物拼图、组合图形。

师：这样的图形就是组合图形。如果让你求这些组合图形的面积，你还会吗？这节课我们就一起来探究组合图形的面积。（板书：组合图形面积。）

【设计意图：将原来简单的复习平面图形改由七巧板拼图引入，既是结合学生的心理特点，激发学生兴趣，让学生感到新奇、好玩，让教学更生动，同时也是让学生初步感受到什么是组合图形，为下一步的学习做铺垫。】

二、动手实践，引入策略

1.通过学生动手拼图，初步感受简单几何图形可以拼成组合图形

师：在桌上，老师为大家准备了一些简单的平面图形，你能选择其中的几个也来拼成一个喜欢的组合图形吗？现在请同学们动手拼摆，将拼好后的图形固定在卡纸上。老师要选拼得漂亮的作品到黑板上展示。

（生动手拼图，师找出3幅组合图形及一幅叠加图形到黑板上展示。）

师：组合好的同学和你的同桌交流一下你用了哪些图形。组合成了什么图案？怎样来求它的面积？

师：拼完了吗？举起来互相欣赏一下。好，一起再来欣赏一下这几位同学的作品。来，和大家交流一下，这个组合图形是由哪些图形拼成的？怎样来求它的面积？

生1：我是用两个三角形和一个长方形拼成了一个帆船，用两个三角形的面积再加上长方形的面积就可以了。

生2：我用一个三角形和一个长方形组合成了一个笔筒，用三角形的面积加上长方形的面积就能求出这个组合图形的面积了。

生3：我是用3个三角形和一个正方形拼成了一个圣诞树，用3个三角形的面积加上正方形的面积就是这个图形的面积了。

师追问：仔细观察一下，你同意这位同学的说法吗？说说理由。

生：我不同意他的说法。因为虽然用的是3个三角形。但在拼图形的时候另外两个三角形被上面的图形挡住了，所以不能将3个三角形的面积相加，应该用一个三角形面积+两个梯形面积+一个正方形面积才是这个组合图形的面积。

师：你真是一个善于观察，爱动脑筋的孩子。的确，我们在组合图形的时候一定要注意这种叠加现象，如果出现这种叠加情况，其实就改变了原来图形面积的大小。

师：同学们，通过刚才这几名同学的发言，我们知道了，求组合图形的面积可以用什么方法？

生：相加方法。

师：你真是一个善于倾听的孩子。将几个简单图形的面积相加可以求出组合图形的面积。你们太棒了。不仅拼得好，而且很善于总结方法。为了奖励你们，老师就把这些美丽的图案作为礼物送给大家了。好，现在请先将它收好，放到书桌的左侧。

【设计意图：这一环节通过学生动手拼组合图形——交流过程——研究面积——总结方法这一过程，让学生感受组合图形面积与简单图形面积的关系，体会组合图形是由简单图形组合而成的。这样的活动使得学生学习由简到难、层层递进，学生在观察、思考、交流、感受中体会知识的本质。也为分割法、添补法的学习做好铺垫。】

2.探索求不规则图形面积的多种方法

师：刚才，同学们通过动手操作、独立思考,知道了用相加的方法求出组合图形的面积。老师这里还带来了一个组合图形，同学们来看看，这个组合图形你还能求出它的面积吗？（课件出示教材例题图。）

师：请同学们拿出书桌内的学具卡片，动脑想一想，你怎样求这个组合图形的面积。咱们比一比，看一看谁的方法既简便又与众不同。

（生动手研究例题图。动笔画、剪刀剪、动手折……把具有代表性的方法在黑板上展示。）

师：同学们想出了这么多的办法，你们太了不起了，那现在把你的方法和同桌交流一下。

生1：我将这个组合图形分成了两个长方形，用两个长方形的面积相加就求出这个组合图形的面积。

师：你是将这个图形转成了我们熟悉的长方形。你真是太聪明了，是啊，我们既可以把简单图形拼成一个组合图形，也可以把一个组合图形分成学过的简单图形。那你能给你的这种方法起个名字吗？

生：折分法。

生：分割法。

师：那我们可以准确地把这种方法叫做分割法。

生2：我也是用分割法将这个图形分成了一个长方形和一个正方形。

生3：我也是用分割法将这个组合图形分成了两个梯形。

生4：我和他们的不同，我是添补上一个正方形后变成一个长方形，然后再减去添补的面积就求出这个组合图形的面积。我把这种方法叫做添补法。

师：这位同学的思维很独特，是运用的添补的方法。

生5：我将组合图形分成多个三角形。再将这几个三角形的面积相加求出组合图形的面积。

师追问：那同学们觉得这种方法怎么样？

小结：我们在分割的时候一定要注意，分割的简单图形越少，其解题方法也将越简单。

师：咱们同学真是太聪明了。通过动手操作、自主探究找到了求组合图形的面积还可以用分割的方法、添补的方法。都是将组合图形转化成我们学过的简单图形。这种转化的思想也是一种有效的解题策略。

3.运用方法，出示数据计算，解决例题

师：刚才所研究的这个组合图形就是小华新家的客厅平面图。（课件出示例题。）

师：这几天他想在客厅铺地板，所以特意将测量的数据带来，想让咱们同学帮他算一算，你愿意帮他吗？好，一起来看看他都给我们带来了哪些数据。（学生审题）。请你选择其中一种方法计算出它的面积。

（指名板前演算，反馈汇报。）

师：经过同学们的帮忙，相信小华一定能买到合适的地板。

【设计意图：这一环节的设计既尊重教材，让学生感受数学来源于生活，用数学知识解决生活中的问题，激发学生的学习兴趣，拓展思维，也让学生进一步体会到组合图形可以分成简单图形，简单图形可以拼成组合图形。这样的设计环环相扣，突破知识的重难点，实现“由简单出发，向本质迈进”这一教学设想，使学生真正成为学习的主人。】

三、拓展延伸，应用实践

1.同学们已经会用所学的知识来解决生活中的问题，那现在我们来做几道练习，敢接受挑战吗？好，我们来看教材76页练一练第一题：你能将下面的图形分成哪些我们学过的图形？

学生交流、汇报。小结：同学们可真聪明，找出了这么多简捷的分割方案，看来解决问题时要根据实际情况适当分割成简单图形来计算。

2.教材76页第二题，这道题请同学们独立完成。

3.你能巧算阴影部分的面积吗？

【设计意图：练习的设计为学生呈现了这样一道须要翻转填补的提高题，意在练习有梯度，激发探究欲望。同时促进他们的问题解决能力的发展。】

四、总结全课

师：这节课，同学们充分运用转化的思想，在探索活动中归纳出了分割法、添补法来计算组合图形面积，并且运用了多种策略解决相应的实际问题，真是太了不起了。其实，在我们的生活中组合图形处处可见、应用广泛。只要我们细心观察、动脑思考，就会掌握其中的规律。

反思：

《数学课程标准》中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”为此，本节课的教学围绕这一思想主要突出了以下几方面：

1.在充分的观察和感知活动中，理解和建立组合图形面积的概念

传统的教学往往是教师通过几个简单的图形组合欣赏，告诉学生组合图形的概念。而本节课的教学从生活中的七巧板引入，既吸引学生的注意力，同时也让学生感受数学源于生活。七巧板拼图让学生通过观察共同的特征，初步感受什么是组合图形。这一感受是源自学生主体的。

2.在充分的操作与合作交流中，体会组合图形与简单图形之间的关系

让学生动手拼一拼的活动，使学生进一步体会到组合图形可以分成简单图形，简单图形可以拼成组合图形，这样学生在充分的感知、实践、领悟中学习新知、建立良好的数学模型，为后面的分割法、添补法的学习做好铺垫。学生在任意的拼摆中，叠加情况的研讨，又激发了学生进一步探索面积方法的强烈愿望。教师很好地抓住这一时机，因势利导，组织学生观察、交流的活动，这一系列的探索、交流的学习活动，有利于学生知识的形成和建构，培养了学生探索意识和合作能力。

3.渗透了转化的教学思想，鼓励学生多种解题策略

本节课注重对学生学习方法的引导，通过例题图的研究环节，使学生借助已经建立的知识体系，在不断探索、交流中寻找多种解题策略。教学中充分尊重学生，发扬教学的民主性，以学生为探究主体，充分运用转化的思想将复杂的图形简单化，使学生的思维过程尽可能地显露。这样层层深入，环环相扣的教学符合学生的认知探索规律，实现了教学设计初的“从简单出发，向本质迈进”的主旨，让学生成为学习的真正主人。

总之，本节课的设计紧密联系学生的生活实际，在学生认知的基础上展开探索性学习，注重了学习过程的探索性，渗透了多种解题策略及转化的思想，很好地体现了学生的主体性、教师的引导性，有利于学生在具体情景中培养自己的学习能力、解决问题的能力，重视了学生知识的形成过程，符合新课程标准的教育理念。

（作者单位：佳木斯市第十一小学）

组合图形的面积 篇4

1.让学生剪出四个相同的直角三角形。

让学生试一试拿两个直角三角形，可以拼成什么图形? (学生拼成了长方形、平行四边形、三角形。)

2.拿四个同样的直角三角形，可拼出哪些图形?

小组合作，比一比哪一组拼的图形多，把拼成的图形逐一展示。

师：现在，请从整体上来看，以上几个图形之间有什么内在联系?

学生讨论后得出：这几个图形的形状不同，但这些图形通过旋转、平移等方法可以互相转化。 (多媒体动态演示转化过程)

让学生动手做一做，把图 (1) 转化成图 (2) ，图 (4) 转化成图 (5) ……

师：在转化的过程中大家有什么发现?

生：无论图形怎样变化，它们的面积大小是不变的。

师：对!一个图形，可以用折、割、移、补等方法改变它的形状，但它的面积大小是不变的。根据这个原理，我们来计算下面这个图形的面积。

片段二：计算面积

计算左图的面积 (单位：厘米) 。

学生拿出准备好的平行四边形纸片操作探究，然后学生口述，教师操作电脑逐一演示。

生A：分割成四个直角三角形，先求一个直角三角形的面积，再求总面积，算式是：6×3÷2×4=36。

生B：移动四个三角形，使之转化为长方形来计算面积，算式是6×2×3=36。

生C：原图形由四个大小相等的直角三角形组成，可以用这几个直角三角形拼成两个长方形，所求图形的面积就是6×3×2=36。

……

反思

一、尊重学生，注重学生动手操作

根据教学内容的特点，我有意识地采用操作实践、自主探究、合作交流等活动方式。实践证明，这样教学，学生的个性得到了发展，创造欲得到了满足，并体验到了发现数学知识的乐趣，同时把教师“教”的主观愿望转化为学生渴望“学”的内在需要，真正体现了新课程倡导的“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程”新理念。

二、形成解决问题的一些基本策略

“策略”是选择和使用解题方法的思想指导，以适应问题的千变万化。本课注重让学生掌握解决问题的基本方法，形成解决问题的一些基本策略。如，1.把实际问题数学化，建立解决问题的数学模式;2数形结合的方法，解题有困难时用示意图帮助思考;3.逆向思考的方法，直接解题有困难就间接思考;正面解题有困难就从它的反面去思考;顺向解题有困难就逆向而思考;4.“退”的策略，将复杂问题“退”到具体简单的事例，化繁为简，化难为易，然后找出解题模型;5.大胆猜想，认真检验。

三、培养学生的发散性思维与空间想象能力

计算机技术可以形象地再现知识的发生过程，促使学生多向思维、发散思维，培养其空间想象能力和创造力。本案例“等积变形”等演示，拓宽了学生的思维空间，从多角度去分析问题，把解决问题的探求过程展示出来，使学生的思维向高层次升华。

在猜想中萌发创新。科学领域的知识和探索活动，常常是人们在已有的科学知识的基础上，发挥人的主观能动性，通过想象、直觉、灵感等多种思维形式，推出猜想，最后通过实验予以验证。“边长不知道该怎么办?有没有别的办法?请展开合理的想象，说出你的办法。”通过这种思维“路标”的指示，学生大胆猜测，小心求证，从而培养他们的发散性思维与空间想象能力。

数学组合图形的面积教案 篇5

教学目的：使学生初步了解组合图形面积的计算方法，会计算一些比较简单的组合图形的面积。

教具准备：将复习中的图画在小黑板上，再将教学例题时所用的图也画在小黑板上。

教学过程：

一、复习

问：第一个图形是什么形?它的面积怎样计算?(学生回答，教师在长方形下面板书：S=ab，其他图形，学生分别回答后，教师在每个图的下面写出相应的计算面积的公式。)

二、新授。

1、教学例题。

教师：组合图形就是由我们已学过的正方形、长方形、平行四边形、三角形或梯形组合而成的。在实际生活中有进需要计算这些组合图形的面积。例如有些房子侧面墙的形状是这样的：(出示小黑板)

问：这个图形的面积我们过去学过吗?(让学生仔细观察一下)

我们虽然没有学过计算这个图形面积的计算公式，可是能不能把这个图形分成几个我们已经学过的.图形呢?怎样分?(指名学生到黑板前画一画，教师标出相关尺寸。)

现在把这个图形分成了一个三角形和一个正方形，它的面积怎样计算?(学生看教科书第90页上的例题，把书上的算式填完整。)

：在实际生活中我们见到的物体表面，有很多图形是由我们已经学过的正方形、长方形、平行四边形、三角形或梯形组合而成的。计算这些图形的面积，一般是先把它们分成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后再把它们合起来，便可以求整个组合图形的面积。)

2、做例题下面”做一做“中的题目。

先让学生读题。

问：“这块菜地可以看成是由哪些图形组合而成?”

让每个学生在练习本上列式计算。做完后集体核对。

三、巩固练习。

做练习二十一中的题目。

第3题，投影片出示一面少先队的中队旗。

问：要计算这面中队旗的面积，怎样分成几个我们已经学过的图形呢?你是怎样做的?(让几个学生说一说自己的想法。

第4题，先让学生读题，再问：

“这个机器零件的横截面图的面积怎样计算?”(让几个学生说一说自己的想法)

“根据题目中标出的长度，怎样计算比较简便?”(用长方形的面积减去梯形缺口的面积。)

学生在练习本上列式计算，再集体订正。

四、作业。

练习二十一的第1题和第2题。

图形的魔术组合 篇6

1.知识目标：学习了解画家如何利用物象进行魔术组合。

2.能力目标：在欣赏、分析、讨论、合作、创作中，让学生学会运用超常的构思方式进行艺术创作。

3.情感目标：在创作中体验美术活动的乐趣，感受艺术无限魅力。

课程设计

（一）欣赏分析

仔细观察夏加尔《我和我的村庄》，作者本人手中握着一棵树， 这个地方用了两个魔术组合方法，把本该在土里的树置换到手里，第一个魔术组合方法——置换。大树改变了什么比例？变小了，人才能握住它，于是我们知道了第二个魔术组合方法，叫做改变大小比例。

在牛头上你们发现了什么？在蓝天白云下一个挤牛奶的情景，图形的第三个组合方——重叠。在这张画上，你们发现了什么奇怪的有趣的表现方法呢？对，我们发现了第四个魔术组合方——倒置。

（二）教师示范

我来画，你们来猜：

1.大白的头和我们的闹钟形状相似，这里用了什么魔术方法？

2.老师把大白的脚变成什么，用了什么方法？

3.看，大白手上拿着什么？

4.在鱼尾后我画了个什么？网兜，这里用了什么方法。遮挡关系用得越多，画面层次感越多。

5.不远处，我画了一棵树，用了什么样的方法？

6.最后，这些不相关的事物混合在一张画上，变得奇特，富有创意。

（三）学生创作

（四）教师指导

教师根据学生的创作构思和出现的具体问题，进行有针对性的指导。

（五）作业展评，交流学习

学生介绍自己的作品，找出自己的优缺点，自我评价和他人评价相结合。

组合图形的面积 篇7

一、学习“变异理论”, 有所思

“组合图形的面积计算”这一内容是学生在学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的概念及面积计算的基础上, 结合实际情境和具体图形, 探索组合图形面积的计算方法。这一内容既是对长方形、正方形、平行四边形、三角形与梯形面积计算的进一步拓展, 又是数学知识应用于实际问题的体现。这一内容旨在发展学生的空间观念, 提高学生分析问题和解决问题的能力。

针对“组合图形的面积计算”这一内容, 我的第一次教学设计了三个环节:一是回顾学习过的平面图形及面积计算方法, 回忆推导平行四边形、三角形和梯形面积公式过程中运用的方法及得到的启示;二是通过创设“给小华家的客厅铺地板”这一情境, 探索组合图形面积的计算方法, 并把学生计算组合图形的方法分类、命名 (分割法、割补法和添补法) ;三是巩固练习并小结。

针对我的教学设计, “变异理论”课题组的老师展开研讨, 最终指出两个关键问题:一是教学“组合图形的面积计算”这一内容时, 教师首先要帮助学生建立“组合图形”的概念。二是探索“组合图形的面积计算”时, 例题要丰富, 以利于学生真正理解和掌握。

“变异理论”鼓励教师在教学中采用多种多样的“非标准正例”, 以使学生在多样化的问题情境中找到解决问题的共同规律。在教学中, 学生在把分别求出的简单图形面积整合为组合图形的总面积时, 最易犯两个错误:一是忘记把计算时增加的图形面积减去, 二是忘记把分别计算的部分面积相加。上述两个错误说明学生对“组合图形”的概念理解不深, 因而在计算“组合图形”时具有一定的盲目性。

二、运用“变异理论”, 有所为

在备课过程中, 由生活实例认识“组合图形”的思路给我启示, 于是, 联系“变异理论”, 我增加了认识“组合图形”的教学环节。根据“变异理论”, 列举“正例”和“非标准正例”对于学生认识概念的基本属性具有重要作用。因此, 在引导学生认识“组合图形”的环节中, 我特意将“正例”和“非标准正例”先后呈现, 以使学生全面认识“组合图形”的多样性。首先, 我让学生观察房子、风筝和七巧板等“组合图形”, 请学生说说这些“组合图形”是由哪些简单图形组成的, 从而引出“组合图形”的概念。其次, 我出示中国少年先锋队队旗, 让学生通过动手操作感知“组合图形”。最后, 我请学生观察周围的物品, 让学生找找哪些物品的表面形状是“组合图形”, 以加深学生在生活中对“组合图形”的认知。崭新的教学设计正是通过富于变化的“正例”和“非标准正例”, 有序、完整地呈现了“组合图形”的基本属性 (包含简单图形, 是由几个简单图形组合在一起形成的) 。一方面, 学生通过观察房子、风筝和七巧板这些“组合图形” (“正例”) 认识了“组合图形”的一般形式;另一方面, 通过观察中国少年先锋队队旗 (“非标准正例”) , 学生进一步认识到“组合图形”在基本属性保持不变的情况下, 可展现多样化的形式。正是在例证的有序变化中, “组合图形”的基本属性凸显出来, 有助学生准确地理解和掌握。

在教学“组合图形的面积计算”这一内容时, 为了避免学生以往经常犯的错误 (即在算出基本图形的面积后忽略了相加或相减) , 我决定准备充分的“非标准正例”, 以使学生理解“组合图形”的面积是基本图形面积相加或相减的结果。

分析这三个例题:例1可运用分割法把基本图形的面积相加, 最终求出菜地的面积;例2可运用添补法把基本图形的面积相减, 最终求出草地的面积;例3除了可运用分割法、添补法, 还可运用割补法使队旗形成一个基本图形, 最终求出队旗的面积。这三个例题的选择, 不仅考虑到计算方法的多样化, 更将已学的长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形这些基本图形全覆盖。通过列举“非标准正例”, 既强化“组合图形”的基本属性, 又让学生充分掌握组合图形面积计算的多种方法。

例1如图1所示, 新丰小学有一块菜地, 形状如右图, 这块菜地的面积是多少平方米?

例2如图2所示, 在一块梯形的地中间有一个长方形的游泳池, 其余的地方是草地。草地的面积是多少平方米?

例3如图3所示, 做一面中队队旗用多少布?

三、反思“变异理论”, 有所悟

我原来的教学设计是通过“给小华家的客厅铺地板”这一例题, 即通过一个教学情境让学生探索“组合图形的面积计算”。修改后的教学设计中, 我运用了三个不同的“非标准正例”, 这样不仅有效地强化了学生对“组合图形”基本属性的认识, 更将算法的多样化建立在多个“组合图形”的基础之上, 进而将对“组合图形”的认识有效地迁移到组合图形面积的计算上。反过来, 运用多个“非标准正例”计算“组合图形”的面积, 进一步巩固了对“组合图形”的基本属性的认识。

用定积分求平面图形面积的思考 篇8

定积分的定义是前人在用“逼近”的方法中总结定义出来, 是受“以直代曲”的思想启发的.也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得.

那么很自然定积分的定义为:

一般地, 如果有函数f (x) 在区间[a, b]上连续, 用分点a=x0

另外, 要用定积分去求“曲边图形”的面积关键还要理解定积分的几何意义:

可以发现, 阴影部分 (如图1) 的面积.

特殊情况 (如图2) , 可以发现, 阴影部分的面积.

但这样的特殊情况会给学生导致一种普遍性的误解, 以为函数f (x) 、积分区间与x轴所夹的部分面积就是函数f (x) 在相应积分区间的积分值.但是要注意, 积分根据它的定义可以知道, 积分值的大小可以为正也可以为负, 但是平面图形的面积却只能为非负数.那么下面的这种情况就会使学生出现理解上的错觉.

例1求曲线y=sin x (x∈[π, 2π]) 与x轴所围成的封闭区域 (如图3) 的面积.

错解:运用定积分得到.

结合微积分定理得到

这样就会得出矛盾了:面积为负了.

那怎么会出现这样的错误呢?

有些参考书中就对这种情况给了这样一个结论:在x轴上方的面积为正, 在x轴下方的面积为负.实际上这样的结论是有漏洞的.

分析原因是我们对定积分定义及几何性质的理解出现了偏差.对照定积分的几何性质.

那么在本例中的被积函数f1 (x) , f2 (x) 分别为什么呢?通过对照, 函数f1 (x) 是“平面曲边图形”的上界线, 函数f2 (x) 是“平面曲边图形”的下界线, 积分上下限自然就是“平面曲边图形”的左右界线了.所以, 正确地求解为:

运用定积分得到,

结合微积分定理得到

这样所要求的面积为2.

以上是针对运用定积分求“平面曲边图形”的面积中学生普遍存在的曲解进行解释说明, 那么一般我们用定积分来求平面图形面积的一般步骤为:

(1) 画出所围平面图形的草图;

(2) 求出各有关曲线的交点及边界点, 以确定积分上下限;

(3) 利用定积分的几何意义确定代表所求面积的定积分;

(4) 计算定积分的值.

但实际上有很多函数的图形很难画出来, 所以定积分来求平面图形的面积还是存在不少难题的.那么对于一般的运用定积分求“平面曲边图形”的面积又有最基本的两种方法.

1.以直角坐标系的横轴对应的变量为积分变量

例2求曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴、y轴和直线x=2π所围成的封闭区域的面积 (如图4) .

解:由图象得曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴的交点横坐标分别为, 运用定积分得到所围成的封闭区域的面积S为

【点评】选用积分对象是由图形的特点决定的.

2.以直角坐标系的纵轴对应的变量为积分变量

例3求曲线y2=4x与直线y=x-3围成的封闭区域的面积 (如图5) .

解:由图象可求得A (1, -2) , B (9, 6) , 且曲线和直线方程分别为,

运用定积分得到所围成的封闭区域的面积S为

【点评】如果采用x为积分变量, 积分的运算量会增加.

当然在平时或实际的运算中会碰到更加复杂的“平面曲边图形”, 要求它们的面积可以把图形进行切割, 分割成比较规则或比较简单可以求借的小块, 在采用以上两种定积分求解方法, 相信会很容易地解决求解“平面曲边图形”的面积.

面积法在图形剪、拼中的运用 篇9

例1如图1,每条边长都是1,请将它剪成5块,拼成一个正方形.

解析:因为图形剪、拼前后的面积不变,都是5,所以拼成的正方形的边长应是,由勾股定理知12+22=5.则剪出的边长即可.如图2所示,连接AB、BC、CD、AD,沿这四条线各剪一刀,这样分成5块.由于直角三角形1,1';2,2';3,3';4,4'都是全等三角形,将剪下的1,2,3,4分别拼在三角形1',2',3',4'的空白处,即得面积为5的正方形ABCD.

例2如图3,是由两个边长分别为a和b的小正方形组成的纸片,请剪两刀成3块,然后把它们拼成一个大正方形.

解析:因为原图形的面积和为a2+b2.剪、拼后所得正方形的面积仍为a2+b2,则正方形的边长为

图4中,AB=a,BC=b,CD=a,DE=b.

连接AC、CE,AC=CE=

沿AC、CE剪两刀,这样分成1、2、3三个部分,1、2分别拼在1'、2'处,即得面积为a2+b2的正方形ACEF.

例3现有一张长6.5 cm、宽为2 cm的纸片,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.

解析:原长方形的面积为13 cm2,则拼合成的正方形的面积为13 cm2,边长为cm.

因为22+32=13,

则长方形的长分成三段,AB=BC=3(cm),CD=0.5(cm),DE=EF=1(cm),如图6所示.

将长方形剪成6块,拼成图7,即拼成一个正方形.

例4如图8,由5个边长为1的正方形组成的图形,请你将它分割成3块,再拼成一个正方形.

解析:原图形的面积为5,则拼合成的正方形的面积为5,边长为

因为22+12=5,

所以AB=BC=

组合图形的面积 篇10

“圆的面积”是小学数学几何教学中重要的课程内容, 它是平面图形的认识和测量中, 由直线图形变为曲线图形的关键点, 从研究直线图形到研究曲线图形, 对学生而言是一个很大的跨跃。人教版教材采用实验的方法推导圆的面积计算公式。推导出圆的面积计算公式之后, 教材安排了两道例题, 应用圆的面积计算公式解决实际问题。例1是已知直径, 先求出半径, 再求面积;例2是求圆环的面积。在这样的教学后, 笔者对“圆的面积”进行了教学后测。

后测试题:

(1) 已知正方形的面积为36平方厘米, 求圆的面积。 (见下图)

(2) 已知正方形的面积为20平方厘米, 求圆的面积。 (见上图)

笔者对两个班级82名学生进行了测试, 答题情况见表1。

二、分析与诊断

透过错例现象, 经过思辨加工, 从中梳理归纳其产生问题的原因。

(一) 缺少面积意义的感悟体验

在学习“圆的面积”之前, 学生已经学习了正方形、长方形等平面图形的周长与面积, 学生能用自己的语言表述出什么是图形的周长, 什么是图形的面积。因此, 教师在教学“圆的面积”时会觉得学生对圆的面积意义的理解已经没有困难了, 无须加以体会。从上述的后测中可以看到, 正方形的面积为20平方厘米, 学生想到了边长为5厘米。由此可见, 在小学图形与几何教学中, 往往容易混淆圆的周长和面积的概念。

(二) 缺少公式本质的推理分析

从上述的后测中可知, 学生会根据“36”这个特殊的数据很快知道正方形的边长是6厘米, 正方形的边长也就是圆的半径, 然后运用圆面积公式S=πr²顺利地求出圆的面积。但把题中的“36”改成“20”后, 学生就显得束手无策了。学生总是试图先求出半径, 再利用S=πr²这一公式得出圆的面积。可在我们的教学中却忽视了“圆的面积是r²的π倍”, 其实圆的面积与r²有着更为直接的倍数关系。

(三) 缺少丰厚多样的探究经历

在教学中, 很多教师考虑到小学生的认知发展规律, 认为小学阶段学生只要能认同圆的面积公式就可以了, 不需要经历过长的探索过程。“圆的面积”一课教材只要求学生把圆分成若干 (偶数) 等份, 剪开后用近似等腰三角形拼成一个近似的平行四边形 (长方形) , 由平行四边形或长方形面积公式推导出圆面积公式。在几何图形面积公式的推导过程中, 不能简单地用单一的方法获取计算公式, 还应加强推导过程中求异思维训练, 让学生经历异中求同的探究计算公式的过程。

(四) 缺少过程理解的运用练习

在探究出圆的面积计算公式后, 很多教师就把主要精力放在套用公式的计算上。在练习设计中, 总是设计一些已知半径或是直径可以直接套用公式求圆面积的题目, 或者是设计一些已知圆的周长求圆面积的题目。这样一来, 通过观察、操作、推理等手段推导出的计算公式, 在练习中缺少了过程理解的运用, 只是机械地套用公式进行计算, 不利于学生对计算公式的深入理解, 这不是我们教学的最终的目的。

三、对策和措施

新课改的数学课堂注重过程性学习, 提高学生思维能力, 关注学生个性体验, 可在几何图形计算公式教学中, 还陷入“公式化”教学模式:追求快速推导出公式, 拘泥于“套用公式”的练习。怎样才能真正让几何图形计算公式“灵活”起来。现以六年级上册“圆的面积”一课为例, 谈谈笔者的一些尝试。

(一) 重视情境操作, 感悟“面积意义”

研究表明, 适当的操作和具体的图像对小学生的数学学习, 特别是对图形的周长、面积和体积等概念的理解是非常有帮助的。教学中应重视结合一些具体操作情境, 使学生对所要测量的量 (如长度、周长、面积、体积) 的实际意义与变化本质加以体会。在“圆的面积”一课的导入环节中, 笔者设计这样的活动:描一描下面图形的周长与面积, 想一想圆的面积大小与什么有关? (见下图)

1. 描绘, 感悟周长、面积概念的本质区别

导入活动中利用4个大小不一的圆, 让学生用喜欢的方式表示圆的周长与面积。学生能用多种表征方式 (用笔来描、用线绕圆形、用手指笔画、语言描述) 来感悟圆的周长;再用 (用阴影表示、用手摸、语言描述) 来理解圆的面积。通过用线绕圆形后将线拉直表示圆周长与用阴影表示圆面积进行比较, 让学生再次感受周长与面积的本质区别。

2. 比较, 感悟面积大小变化的主要因素

导入活动中4个大小不一的圆也为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供了充分的准备。学生通过观察、比较, 引发学生进行思考:“圆的面积的大小跟圆的什么有关?”在交流中初步发现引起圆的面积大小变化的主要因素——直径和半径。在教学中充分运用比较的方法, 有助于凸显面积变化的主要因素, 提高辨别能力, 发展逻辑思维能力。

通过描绘、比较活动, 帮助学生建立图形认知, 丰富学生的表象, 以进一步理解图形中周长与面积的概念, 更为学生深入地探究圆的面积计算公式奠定基础。

(二) 借助几何直观, 聚焦“公式本质”

在“圆的面积”探究中设计揭示圆面积与正方形面积的关系的几何直观活动, 深入计算公式的知识本质。

1. 猜想, 初步感知圆与正方形面积的关系

研究圆与正方形之间的面积关系, 有助于学生更好地理解圆面积公式的本质, 同时拓宽解题的路径。教学时设计了这样一个活动:先后出示三个大小不等的正方形和一个圆, 猜测它们之间的面积关系。 (见下图)

先让学生比比图2、图3分别与图1的面积关系, 学生运用计算、剪拼等方法得出图2面积是图1面积的4倍, 图3面积是图1面积的2倍。进而引起学生猜想, “图4面积与图1面积有什么关系?”发现正方形的边长与圆的半径长度相等, 引发学生用重叠、比较等方法进行估测。

2. 估测, 深入感知圆与正方形面积的关系

“课件出示一个正方形, 再以正方形的一个顶点为圆心, 边长为半径画一个圆, 估测:圆的面积大约是正方形面积的几倍? (见下图)

从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想, 借助圆内接正方形, 圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的 (2~4) 倍, 让学生理解, 圆的面积与r²有着更为直接的倍数关系, 同时所得结论与接下来用转化推导出来的公式相互印证, 能使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。

(三) 凸显多维策略, 注重“探索验证”

推导圆面积计算公式这一环节是本节课的重点, 也是难点, 凸显多维策略, 注重动手操作、直观演示、抽象概括等探索验证活动, 才能引导学生理解和掌握圆的面积公式。

1. 转化, 形式多样的探索中体会数学思想

教学中笔者直接提示学生“你能用剪拼的方法把圆转化成我们已经学过的图形吗?以小组为单位先讨论方法, 再把4个大小不一的圆进行转化”。由于圆的大小不同和平均分割的份数不同, 给学生提供了丰富的研究素材。学生通过观察、比较、分析发现, 虽然圆的大小不一, 但都可以转化成近似长方形。相等的圆等分的份数加倍与拼成图形的变化趋势, 想象等分份数无限加倍时的“极限状态”。学生通过观察圆在转化成近似长方形的过程中, 发现了变与不变的关系, 从而得出圆面积的计算公式。

2. 验证, 方法多样的推算中明确计算公式

作为教材, 仅呈现了将圆等分拼成近似长方形推导出圆的面积公式, 教材提供的仅是一种研究方法。因此, 在教学了这种研究方法后, 笔者引导学生继续探索:“将圆形16等分后还能转化成我们学过的什么图形?你们能运用转化的图形推算出圆形的面积公式吗?以小组为单位进行探索研究。” (见下图)

(四) 运用创意练习, 体现“过程理解”

教材练习题的编排层次分明:基本图形求面积 (直接应用公式) —文字信息求面积 (正、逆间接运用公式) —应用圆面积公式解决实际问题。这样的练习巩固了面积公式, 但缺少了过程理解的运用, 只是机械地应用公式进行计算, 不利于学生对计算公式推导过程的深入理解。在这一课的巩固练习中, 笔者在原有教材练习题的基础上进行了创新练习的设计, 体现计算公式的“过程理解”。

1. 再现, 设计注重推导过程的练习

“圆的面积”一课, 设计了再现推导过程的创新练习。

练习1:把一个圆沿着半径剪成若干等份, 拼成一个近似长方形 (见下图) , 这个近似长方形的长是12.56厘米、宽是8厘米。你能求出圆的面积是多少平方厘米吗?

这个练习的设计让学生再次回顾了圆面积公式的推导过程, 加深对转化前后图形一一对应关系的理解, 通过长方形长、宽与圆的周长、半径之间的关系计算圆的面积。通过在多种方法的展示比较中, 既是对所学圆面积公式的推导过程的有效巩固, 又是对新知的拓展与延伸。

2. 追溯, 设计凸显知识本源的练习

推导出圆面积计算公式后, 教材练习题的编排都是两类练习:一类运用计算公式求图形面积;另一类运用计算公式解决生活中的问题。缺少凸显知识本源的变式练习。为了突破单一思维习惯, 达到多维目的, 笔者设计了凸显知识本源的练习。

练习2:下面三幅图中正方形的面积都是20平方米 (见下图) , 每个圆的面积各是多少平方米?

这个练习的设计是引导学生克服思维定势, 进行多维思考。追问学生“要求出圆的面积, 需要先找到什么条件?”给学生解决问题提供了广阔的空间, 求圆的面积可以先找半径, 也可以先找半径的平方是多少。知道了半径的平方是多少 (即图中正方形的面积) , 再直接乘π的值就可以轻松求出圆的面积。这个练习深化了对圆与正方形面积比的理解, 使学生意识到方法灵活运用的重要性, 真正关注公式本质, 打破了套用公式的思维定势。

四、结束语

组合图形的面积 篇11

我们看下面的例子:

例1.如图,两条等宽的矩形纸条,交叉重叠在一起,重叠部分的四边形ABCD是菱形吗?为什么?

分析,这是一道判断图形形状的题目,从图形中观察可知四边形ABCD是菱形,但必须进行严格的论述才行,要说明四边形ABCD是菱形,由已知可知AB//DC,AD//BC。从而可得四边形ABCD是平行四边形,下一步只需求出它的一组邻边相等,即可,怎样来论证它的一组邻边BC=CD呢?从题意两条等宽的纸条可知, 它们的宽度相等,因此我们可过A分别作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,从而利用平行四边行的面积计算来达到BC=CD,也就证明了四边形ABCD是菱形。

具体解答如下:

解:四边形ABCD是菱形,理由是

分别过A作AE⊥BC 、AF⊥CD,垂足分别为E﹑F,

∵AB//DCAD//BC

∴四边形是平行四边形

∵S菱形ABCD=BC·AE =DC·AF

AE=AF

∴BC=DC

∴四边形ABCD是菱形

上面的例子运用了平行四边形的面积计算确定了邻边BC=CD,从而判断了该平行四边形是菱形的结果。

例2.已知ABCD中E、F分别AD、CD 上,连接AF、CE相交于P点且AF=CE,连接BP。

求证:BP平分∠APC。

分析:这是一个证明的题目,欲证BP平分∠APC,只需证明点B到PA﹑PC的距离相等就行了,而由已知AF=CF,只需能证明△AFB与△CEB的面积相等就达到目的了。

具体证明如下:

证明;连接AC、BE、BF。

过B做BM⊥PA,BN⊥PC,垂足分别为M﹑N

∵S△AFB=S△ABC

S△BEC=S△ABC

∴S△AEB=S△BEC

∴AF·BM=EC·BN

而AF=EC

∴BM=BN

又BM⊥AFBN⊥EC

∴∠APB=∠CPB

即BP平分∠APC。上面的例子运用了两个三角形的底边相等,两个三角形的面积相等,确定了等底上的高相等判断了点B到∠APC两边的距离相等,从而证明了BP平分∠APC。

例3:求证等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

已知 如图△ABC中,AB=AC,P为BC上一点。PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,BH为AC上的高。

求证:BH=PD+PE

分析,欲证BH=PD+PE,而BH为△ABC的边AC上的高,设法使PD与PE为某两个三角形的高,且这两个三角形面积之和恰为这个△ABC的面积就行了。

具体证明如下:

证明:连接PA

∵S△PAB=1/2AB·PD

S△PAC=1/2AC·PE

S△ABC=1/2AC·BH

而S△ABC=S△PAB+S△PAC

∴ AC·BH=AB·PD+AC·PE

又AC=AB

∴BH=PD+PE

上面的例子運用了两个三角形的面积之和等于大三角形的面积,而这个三角形的底相等,从而证明了BH=PD+PE的结果。

极坐标系下求平面图形面积的技巧 篇12

关键词：极坐标,平面图形面积,对称性

虽然用微元法给出在极坐标系中平面图形：r=r1（θ），r=r2（θ）（α≤θ≤β），θ=α，θ=β，所围成阴影部分的面积计算公式[1]不太复杂。但是由于学生对于极坐标方程所表示的曲线不是很熟悉，并且曲线r=r（θ）一般是一个封闭的曲线，因而积分的上下限α，β不是很直观，所以在实际的计算过程中，学生对于如何正确地确定积分的上下限，还存在一定的困难！下面是我在教学过程中，就一条或多段曲线所围成的封闭区域，结合一些具体的实例，给出如何确定积分上下限的体会。

一、一条封闭曲线所围成区域的情形。

例1求心形线r=a (1+cosθ）（a>0）所围成图形的面积。解题的步骤，是这样考虑的：

1）因为r=a (1+cosθ）是以2π为周期的周期函数，也即（r（θ），θ）与（r（θ+2π），θ+2π）在极坐标系中表示同一点，因此只需要在一个周期范围，例如[0, 2π]上考虑θ也就可以了。

2）这是单独的一条曲线所围成，因此所求θ的范围一定在其定义域范围内。在极坐标方程中，除非特别说明，一般是要求r≥0。根据r=a (1+cosθ）可知对θ∈[0, 2π]，都有r≥0。

3）综合1）、2）可知：心形线r=a (1+cosθ）（a>0）所围成图形的面积为

例2求所围成图形的面积。

解本题也是单独的一条曲线所围成的区域，为了解题的方便，有时我们还要考虑曲线的对称性，关于极坐标方程，很显然有下面的结论：

1）若曲线r=r（θ）关于x轴对称，则r（θ）=r（-θ）；

2）若曲线r=r（θ）关于y轴对称，则r（θ）=r（π-θ）；

3）若曲线r=r（θ）关于原点对称，则r（θ）=r（π+θ）。

由上面的结果，可以得到关于x轴对称，因此θ只需考虑半个周期范围，例如[0，π]就可以了，再根据，解得，所以所围成图形的面积为

例3求双纽线r2=a2cos2θ（a>0）所围成图形的面积。

解据上述结论可知：双纽线r2=a2cos2θ关于x轴和y轴对称，因此我们在上考虑θ的范围，据a2cos2θ≥0得，所以双纽线r2=a2cos2θ所围成图形的面积为

二、有多段曲线所围成的封闭图形面积的求解方法

例4求与r=3cosθ和r=1+cosθ所围成图形的公共部分的面积。

解1）因为r=3cosθ与r=1+cosθ都是关于x轴对称，所以只需要在姨0，πθ上考虑θ的范围，又因为所围成的区域在两个图形的内部，因此所求θ的范围一定在其定义域范围内。所以由r=3cosθ≥0与r=1+cosθ≥0得

2）求交点。由3cosθ=1+cosθ得，因此r=3cosθ与r=1+cosθ所围成图形的公共部分在x轴的上半部分，被射线分成两部分；

3）确定边界曲线的表达式。因为当θ=0时，3cosθ>1+cosθ，当时，3cosθ<1+cosθ，因此在上，边界曲线为r=3cosθ，在上，边界曲线为r=3cosθ。

根据上面的分析，可知r=3cosθ与r=1+cosθ所围成图形的公共部分的面积为

例5求r2=1+cosθ，r=2cosθ，r=1所围成图形的公共部分的面积。

解：1）由r2=2cosθ≥0, r=2cosθ≥0, r=1≥0，得，又因为它们都是关于x轴对称，所以只需要在[0，π2]上考虑；2）求交点。曲线r2=2cosθ与r=1在上交点为，曲线r=2cosθ与r=1在第一象限内的交点为

3）因为曲线r2=2cosθ与r=2cosθ只有唯一的交点r=0，且r2=2cosθ在第一象限的定义域上有，因此可以判定r2=2cos2θ，r=2cosθ，r=1所围成图形的公共部分在r=2cosθ，r=1所围成区域的内部，在r2=2cosθ所围成区域的外部，因此把θ分成以下几部分考虑：