相等问题

2024-10-05

相等问题（精选5篇）

相等问题篇1

摘要：在数学解题过程中很多相等性问题在解决时, 常常需要借助不等的方法加以入手.对已知条件加以变形, 巧妙利用不等思想来助相等, 往往会起到意想不到的效果.

关键词：构造不等式,方程,相等问题,不等思想

在数学解题过程中很多相等性问题在解决时, 常常需要借助不等的方法加以入手.对已知条件加以变形, 巧妙利用不等思想来助相等, 往往会起到意想不到的效果.在多年的教育教学过程中, 笔者归类总结了三种利用不等思想在解决相等问题上的应用.现表述如下, 仅供大家参考.

一、变形利用不等式A≤x≤B, 解方程

变形利用不等式A≤x≤B, 将方程中的未知量x“逼迫”到A, B的缝隙当中, 也就是求解出未知量x的一个范围, 进而将x的值从方程中“释放”.

例1解方程3x+1+3x+2+3x+3+3x+4+3x+5=41 160 (x为正整数)

分析:在本题中如果采用直接去分母的办法, 就会变形成一个高次方程.如果巧妙利用方程的本身特点, 采用“夹逼”的方法, 方程的难点就会迎刃而解.

二、变形利用不等式M≥N与N≥M同时成立, 解方程

通过变形不等式M≥N与N≥M同时成立, 使得含有未知量的式子M只能等于式子N, 从而解出方程.

例2解方程x2+2 (1+y) x+ (3y2+4yz+4z2+2) =0的实数解. (2011年全国初中数学竞赛试题)

分析:这个题是关于x, y, z的多元方程, 很难直接求解.但是若将它看成关于x的二次方程, 之后利用方程的判别式, 就可“柳暗花明”.

解要使关于x的二次方程有实数根, 需满足

三、变形利用不等式M≥N成立, 特别是构造M≥M成立, 解方程

这一解方程的方法, 是化方程为不等式取等号的特殊情形, 发掘和利用一些重要的不等式 (如基本不等式、柯西不等式等) 取等号时的充要条件.

例3解方程 (4x+1) (4y+2) (4z+8) =2x+y+z+5.

解根据基本不等式a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 有

所以, (4x+1) (4y+2) (4z+8) ≥22x+y+z+5.

而上式当且仅当

故原方程的解为

综观以上例题的解法, 用不等的思想解相等的问题, 思路巧妙, 过程简洁, 对诱发学生探索“问题解决”的兴趣, 提高对“等”与“不等”对立统一的关系的认识, 培养辩证思维能力和思维的灵活性, 都会有重要的作用.

相等问题篇2

例1如图1所示,在匀强电场中有两条平行直线l1、l2,,在直线l1上有A、B、C、D四点,在直线l2上有E、F两点,且有线段AB、CD、EF三段相等,证明:UAB=UCD=UEF.

证明首先将AB、CD、EF分别向电场线上做投影,得AB、CD、EF

由匀强电场中电势、场强关系:U=Ed

由A、A',C、C',E、E'等势.则有

由(2)(3)得:UAB=UCD=UEF.

结论:在匀强电场中,任意一条直线上相等距离电势变化相等,并且平行两条直线上相等距离电势变化也相等.

练习1.如图3所示,A、B、C、D是匀强电场中正方形的四个顶点,已知,ΦA=20 V,ΦB=24 V,ΦD=4 V,求:ΦC=?

解:由于AB//CD,且AB=CD,利用结论得:UAB=UCD,又由于UAB=ΦA-ΦB=-4 V,则UCD=-4 V,即ΦC=0 V.

2.如图4所示,A、B、C、D是匀强电场中一个直角梯形的四个顶点,已知ΦA=9 V,ΦB=6V,ΦD=6 V,BC=2AD,求:ΦC=?

解:首先由D向BC做垂线交BC于E点,由于AD=BE=EC,利用结论得:UAD=UBE=UEC

由于UAD=ΦA-ΦD=3V

则UAD=UBE=UEC=3 V

即ΦE=3 V,ΦC=0 V

3.如图5所示,匀弱电场有A、B、C三点,已知ΦA=6V,ΦB=-3 V,ΦC=0V,试在该方框中作出该电场的示意图(即出出几条电场线).

解:首先计算电势最高点与电势较低点电势差,得:UAB=ΦA-ΦB=9 V,UAC-ΦA-ΦC=6 V,取UAB、UAC最大公约数ΔU=3V,UAB是最大公约数3倍,UAC是最大公约数2倍,连接AB、AC,分别将AB、AC线段3等分,2等分.

利用结论得:UAE=UEF=UFB=ΔU=3 V,UAD=UDC=ΔU=3 V,由UAE=UAD,得:ΦE=ΦD,做等势线ED,同理ΦF=ΦC,做等势线FC.

Sorry与对不起相等吗? 篇3

在学习英语的过程中, 我们都知道当做错了事表示道歉的时候都会说“sorry”, 我们通常也把它翻译成“对不起”, 但“sorry”永远是对不起的意思吗?如:

2001年4月1日中美撞机事件发生后!迫于中方的强烈抗议, 美国做出了书面回应:Both President Bush and Secretary of State Powell have expressed their sincere regret over your missing pilot and aircraft.Please convey to the Chinese people and to the family of pilot Wang Wei that we are very sorry for their loss.

——摘自美国驻华大使给中国外交部部长的信

当时, 国内媒体普遍将这段文字译为:

布什总统和鲍威尔国务卿对中方飞行员失踪和飞机坠毁都表示了真诚的遗憾!请向中国人民和飞行员王伟的家属转达我们对飞行员王伟失踪和飞机坠毁的深切歉意! (叶小兰, 2006)

很多人都把这封信理解为道歉信, 但从美国后来的言行来看却没有要道歉的意思, 对此很多人不理解, 认为是美国政府出尔反尔, 但真是这样吗?还是我们把人家的意思理解错了呢?

很多英语学习者都知道其实Sorry有两个含义:

1) 表示遗憾或悲伤;

2.) 用来表达歉意;

美信取前舍后, 其实表达的是第一种意思, 只不过表示不愿接受中方的压力, 爱面子, 并力图逃避犯错的责任, 不愿赔偿而已;而我们很多人却把它理解为第二种含义, 将美方的这一回应当做道歉信, 因此译作“深表歉意”。其实并不然。

所以说Sorry不一定就表示“对不起”, 我们经常听到不小心问到了朋友的伤心事, 会说I’m sorry, 但这只是表达同情或遗憾, 并不是说我做错了事, 要表示道歉。

那么带疑问语气与上升语调的“sorry?”或“excuse me?”的意思呢?这里“sorry?”或“excuse me?”也不再是致歉的用语, 而是英美人听不清楚对方说什么, 请人家再说一遍时的用语。

由此可见, 学好英语很重要, 而提高二语的语用能力更重要。该文将以汉英道歉行为不同为例, 尝试探讨二语语用能力培养的重要性及方法策略。

2 英汉道歉话语语用特点分析

同一语言形式在不同语言中能表达的语言功能以及使用范围都可能不同, 外语使用者常常有意无意地按照其母语语言、文化模式来操纵第二语言。因此, 外语使用者与母语使用者在语用策略模式方面不完全一样 (何兆熊, 2000:264) 。洪岗 (1991) 指出这种语言知识的不足在一些像“I’m sorry”, “Excuse me”, “Never mind”等形式化的日常用语的使用上体现的最为明显 (转自何兆熊, 2000:264) 。

下面就是针对英汉道歉话语的不同分析:

1) 英语请求对方采取行动时一般要道歉, 而汉语中可以用感谢代替。

在英语文化中请求对方帮助一般进行道歉, 因为这侵犯到了对方的行为自由, 而汉语中一般不说“对不起”而说“谢谢”。如:我们请别人帮忙那本书会说谢谢而不说“对不起, 请把书递给我”但在英语文化中往往会说“sorry”或“excuse me”。

外国学生刚学汉语时, 找人帮忙也会说:

“对不起, 请问你有空吗?” (因为打扰别人时, 外国人都会说excuse me, 所以使用汉语时他们就将其直译为对不起) , 而我们一般情况下只会说“你好”或“同学”, “阿姨”之类的称呼语。

当我们纠正他某个用词的时候, 他也会说“对不起”。这会让我们觉得很不习惯, 因为在我们看来, 这个时候应该说谢谢, 他用错词对我们的正面面子或负面面子都没有什么影响, 干嘛要说“对不起”!

2) 汉文化重谦虚, 出于谦逊或客气的要求也习惯于道歉。

汉文化讲究“中庸”之道, 讲究对人要恭敬, 要“礼遇待人”所以出于谦虚或客气的要求也经常用道歉的话语。

比如说, 家里来了客人, 我们总要留人家吃饭, 可是明明准备了好久, 上了一桌子菜, 却还是说“没好好准备, 还请见谅”之类的话。

3) 汉文化重礼仪, 道歉中总有过多的解释。

中国历来是礼仪之邦, 这种传统文化总是自觉不自觉的渗入到我们日常交际的表达之中, 有时候道歉时为使对方原谅, 总是过多的解释从而表现出过度的礼貌。

如:一个中国学生可能这样表示道歉:I’m really very sorry.I fell asleep.I just forget the meeting.Understand?这一说法就明显带汉语的思维特色。但外国人的道歉方法可能是:It won’t happen again.

4) 除此之外, 汉语特有的道歉话语表达

(1) 赔罪类话语

中国人往往喜欢以赔罪到表示道歉, 如我们有请罪、谢罪、赔罪、赔不是等这些词语。而英语中想要加强语势的方法也就只有添加“very, really, terribly, deeply, awfully”等“强化修饰语”。

(2) 自贬类话语

中国人讲究含蓄, 不喜欢直来直往, 所以道歉往往采取比较委婉的方式, 所以中国人很少直接说“对不起, 我错了”因为这样会觉得丢面子, 所以往往找出其他不适专门用来道歉的话语含蓄的表达出道歉的意思, 所以我们就经常会听到“你看我这臭记性”等这类自贬话语。而在英语国家, 他们要不就干脆说sorry, excuse me之类的话直接承认, 要不就是采用曲折的方式, 如给予补偿或保证来保住自己的面子, 绝不会自我贬损。

3 第二语言语用能力培养

学习一门语言就是培养该门语言的语用能力 (pragmatic competence) 的过程 (何自然, 1997:199) 。从道歉这一表达方式上看, 中西方国家的人既有相同点, 又存在着差异。这是因为道歉的使用要受到场景的限制具有场依赖性。因此第二语言语用能力的培养是必须的。

而我国目前的状况是:外语教师将重心放在词汇和语法的传授上, 往往要求学生死记硬背大量的词汇和语法规则, 导致学生在学习时知其一, 而不知其二。比如说, 刚学How are you?时, 学生被教的回答就是Fine, thank you!很多学生可能英语学了好几年, 却不知道还可以用not bad, not good, very well等回答。从而导致他们要与别人交流时无法充分的表达自己, 有了挫败感, 自然不愿用英语交流。所以为了成功地在实际应用中与英语国家人士的交流, 我们必须提高语用能力。

要做到这一点, 笔者综合邹白茹 (2007) 姜占好 (2004) 叶邵宁, 滕巧云 (2003) 等的论文以及侯国金教授的上课讲义提出以下建议:

1) 提供元语用信息

教师应当提供的元语用信息包括语言知识和社交语用知识两方面。教师在课堂上要加强文化背景知识的介绍, 一方面丰富课堂教学, 一方面使学生了解不同国家文化的不同, 了解文化不同导致使用语言的表达方式也不同。分析语法, 词汇等语言知识与语用能力教学的不同, 使用不同的教学方法达到教学目的。

2) 提供真实语境

观看原版英文影视作品, 阅读原版英语剧本都是有效的途径, 其中包括大量的语用背景知识, 可以给学习者更加直观, 深刻的印象。大量的对白对英语学习者来说是最真实的素材, 不知不觉中便能提高语言的应用能力。

3) 给学生提供交际机会

人是通过与语言环境的相互影响而获得语言的 (张安律, 2005:130) 。所以英语沙龙是一种很好的让学生锻炼语用能力的方式, 另外现在网络的迅猛发展为我们提供了更加丰富的学习二语的途径。我们可以通过网络结识外国人, 将自己置身于真实的语言环境, 也可以参与论坛讨论, 这些方法都有利于提高语用能力。

4) 教师教授无标记话语, 还要教授有标记话语

教授词汇也好, 教授句型也好, 我们都应该先从无标记项入手, 逐步扩展到有标记项, 先掌握简单的、一般的, 使用频率高的、便于记忆的、文体中性的基本词汇, 然后才是复杂的、不规则的、例外的, 而这种有标记话语对提高语用能力也是必不可少的。

比如, 我们前面提到的sorry和excuse me升调时不表示道歉, 而是英美人听不清楚对方说什么, 请人家再说一遍时的用语, 此时它们就是有标记话语。我们要教授这种有标记的含义, 但要在学生掌握了其“对不起”的含义之后再放在语境中教给学生。

5) 编写的教材提供的语境信息必须准确

教材是外语学习者接触的最基本材料, 也是在他们心中最正确的知识源泉。教材编写的准确性对学习者的影响可以说是非比寻常。因此, 在编写道歉这类言语行为的材料时, 一定要提供足够的语境信息, 还要符合母语使用者的文化习俗和说话习惯, 否则便会对学习者造成误导。

比如说很多英语教材都用How old are you?I’m thirteen.作为简单句型教给学习者。可是在西方的文化中, 他人的经济收入、年龄、婚姻状况、宗教和政治信仰等都是个人隐私, 不得侵犯。所以这样的话是正确的, 却是不合适, 不得体的, 与其一开始就教给学生, 以后再告诉他们这种文化差异, 不如一开始就不教这种无意义的英语, 重视培养其语用能力。

6) 重视语言形式的交际功能教学

语言的作用是用来交际的, 语言是我们沟通交流的工具, 同时也是最主要的交际工具, 我们学习英语的目的也是为了能和英语语言使用者进行交流沟通, 所以教师在教授学生的过程中就应该把语言的交际功能教学放在重要的位置。而不仅仅是只重视传授学生语言的形式, 重要的是教授语言的应用。就像我们上文提到的“sorry”一词, 除了让学生记住这一词的形式之外, 更重要的是掌握用法。

7) 教师要有意识的提早进行语用能力的训练

语用能力的培养不是短时间能起效果的, 因此要在外语学习者有了适当的基础后就开始培养其语用能力, 这不只有助于其二语的习得, 还可帮其提高灵活使用母语的能力。

4 小结

学习外语, 语法单词固然重要, 但能够在适当的语境运用才是最重要的。因为语言功能与语言形式之间的非对应关系, 以及不同国家之间的文化的差异, 所以教师在教学过程中不仅要传授学生语言的形式, 还要注重培养学生语言的应用能力。

参考文献

[1]何兆熊.新编语用学概要[M].上海:上海外语教育出版社, 2000.

[2]何自然.语用学与英语学习[M].上海:上海外语教育出版社, 1997.

[3]姜占好.中澳大学生英语道歉策略的对比研究[J].外语研究, 2004 (2) .

[4]刘思, 刘润清.对“道歉语”的语用定量研究[J].外国语, 2005 (5) .

[5]叶邵宁, 腾巧云.英语教学与语用能力的培养[J].外语界, 2003 (6) .

[6]叶小兰.Sorry一定译为“对不起”吗?[J].大学英语, 2006 (10) .

[7]张安律.外语教学与心理学[M].成都:电子科技大学出版社, 2005 (12) .

C#中对象相等比较机制探析篇4

C#是微软公司为.Net框架开发的面向对象程序设计语言。.Net中数据的类型分为2大类：数值类型和引用类型。对象相等比较机制对于引用类型的比较和值类型的比较是不同的。下面分别介绍c#中引用类型和值类型的对象相等比较机制。

2 引用类型的相等比较

Object类定义了3个不同的方法比较对象的相等性：ReferenceEquals()和Equals()的两个版本。再加上比较运算符==，共有4种进行相等比较的方式。这些方法有一些微妙的区别，下面就介绍这些方法。

2.1 ReferenceEquals()方法

ReferenceEquals()是一个静态方法，比较两个引用是否指向类的同一个实例，即两个引用是否包含内存中的相同地址。作为静态方法，它不能重写，所以只能使用Object类的实现代码。如果提供的两个引用指向同一个对象实例，ReferenceEquals()总是返回true，否则就返回false。但是它认为null等于null:

程序清单1-1

2.2 虚拟的Equals()方法

Object类的Equals()虚拟版本也可以比较引用。但因为这个方法是虚拟的，所以可以在自己的类中重写它，按值来比较对象。例如：我们写了一个类Photograph，用来表示一张图片，它有一个属性FileName，表示照片在硬盘中的路径。我们认为，只要2个Photograph对象的FileName属性相等，即2个Photograph对象都指向硬盘中的同一个照片，那么这个2个Photograph对象就是相等的。

程序清单1-2

2.3 静态的Equals()方法

Equals()的静态版本与其虚拟实例版本的作用相同，其区别是静态版本带有两个参数，并对它们进行相等比较。静态重载版本首先要检查它传送的引用是否为null。如果它们都是null，就返回true。如果只有一个引用是null，就返回false。如果两个引用都指向某个对象，它就调用Equals()的虚拟实例版本。这表示在重写Equals()的实例版本时，其效果相当于也重写了静态版本。

2.4 比较运算符==

比较运算符是严格的值比较和严格的引用比较之间的中间选项。在大多数情况下，下面的代码表示比较引用：

也可以重写比较运算符，把一些引用类型看做值类型，以执行值的比较。如果重写了==运算符，需要同时重写!=运算符。为程序清单1-2中Photograph类重写==和!=运算符。

程序清单1-3

3 值类型的相等比较

值类型的相等比较采用与引用类型相同的规则：ReferenceEquals()用于比较引用，Equals()用于比较值，比较运算符可以看作是一个中间项。但最大的区别是值类型需要装箱，才能把它们转换为引用，才能对它们执行引用比较。此外，System.ValueType类中重载了实例方法Equals()，以便对值类型进行合适的相等比较。如果调用A.Equals(B)，其中A和B是某个结构或某个基本数据类型的实例，则根据A和B是否在其所有的字段中包含相同的值，而返回true或false。此外，ReferenceEquals()在应用于值类型时，总是返回false，因为为了调用这个方法，值类型需要装箱到对象中。即使使用下面的代码也会返回false，因为在转换每个参数时，i都会被单独装箱，这意味着会得到不同的引用。调用ReferenceEquals()来比较值类型实际上没有什么意义。

程序清单1-4

4 结论

C#提供了完善的、灵活的对象相等比较机制。值类型的对象，比较值本身的内容;引用类型的对象，比较的是值的内存地址，通过重写Equals()方法或==运算符，也可以使引用类型的对象按值比较。

参考文献

[1]Erik Brown.Windows Forms编程实战[M].北京:机械工业出版社,2008.

相等问题篇5

近来, 混沌研究成为非线性科学研究的一个热点。混沌吸引子往往具有分形的结构, 它们在自然界和工程系统中有着广泛的应用。随着混沌控制的发展, 混沌同步的研究同样引起了学者们的注意[1,2,3]。人们在研究分形结构的吸引子上做了许多工作。有的时候, 我们也关注吸引子之间的关系。

在分形几何的研究中, 若两个集合之间存在双 Lipschitz 映射, 则认为这两个集合是等价的。称从度量空间 (E, dE) 和 (F, dF) 的双射f是双 Lipschitz 的, 如果存在常数C>0, 使得对∀x, y∈E, 有

C-1dE (x, y) ≤dF (f (x) , f (y) ) ≤CdE (x, y) (1.1)

此时称集合E和F是 Lipschitz 等价的, 记为E≃F。在本文中, 考虑E和F都是Euclidean 空间Rn的子集。于是 (1.1) 式可以写成

$C^{- 1} | x - y | \leq | f (x) - f (y) | \leq C | x - y |$ 。

其中 $| \cdot |$ 为Euclidean距离。

文献[4]的作者已经证明了如下定义的压缩因子不相等的两个自相似集合M和N是Lipschitz等价的

M= (M/5) ∪ (M/5+2/5) ∪ (M/5+4/5)

N= (N/7) ∪ (N/7+5/7) ∪ (N/7+6/7) (1.2)

在本文中, 我们将把文献[4]中的结论推广到更一般的情形。为方便论述, 先引入一些定义和引理。

定义1 设{fi} $_{i = 1}^{Ν}$ 为Rn空间中相似压缩映射族。则存在唯一的非空紧集E满足 $E = \cup_{i = 1}^{Ν} f_{i} (E)$ , 称E为不变集或函数系{fi} $_{i = 1}^{Ν}$ 的自相似集[5]。如果对于所有的i≠j有fi (E) ∩fj (E) =ϕ, 则自相似集E称为似尘的。

定义2 设G= (V, Γ) 是一个以V={1, …, N}为顶点, Γ为有向边的有向图。假定对于任意的1≤i≤N, 至少存在一条边以i为顶点。对于任意一条边e∈Γ, 都存在相对应的相似映Te:Rn→Rn, 压缩比为ρ (Te) ∈ (0, 1) , 即|Te (x) -Te (y) |=ρ (Te) |x-y|, ∀x, y∈Rn。把定义了相似映射Te的有向图集G记为G*。我们称G为G*的基本图。记Γij为所有以i为起点, j为终点的边的集合。对应于G*的有向图集就是唯一的非空紧集族{Ei} $_{i = 1}^{Ν}$ , 它满足 $E_{i} = \cup_{j = 1}^{Ν} \underset{e \in Γ_{i j}}{\cup} Τ_{e} (E_{j}), 1 \leq i \leq Ν$ 。如果对于每一个i, 上述并都是不交并, 则称{Ei} $_{i = 1}^{Ν}$ 是似尘的。

引理3[4] 设{Ei} $_{i = 1}^{Ν}$ 和{Fi} $_{i = 1}^{Ν}$ 分别为图G*和图H*上的有向图集, 如果满足以下条件:

(1) 图G*和图H*的基本图是一致的, 即G=H, 因此有 $E_{i} = \cup_{j = 1}^{Ν} \underset{e \in Γ_{i j}}{\cup} Τ_{e} (E_{j})$ 和 $F_{i} = \cup_{j = 1}^{Ν} \underset{e \in Γ_{i j}}{\cup} S_{e} (F_{j});$

(2) 对图G和图H的每一条边e, 相应的相似映射的压缩比ρ (Te) 和ρ (Se) 之比为固定常数k>0, 即ρ (Te) =kρ (Se) ;

(3) {Ei} $_{i = 1}^{Ν}$ 和{Fi} $_{i = 1}^{Ν}$ 是似尘的, 则对所有的1≤i≤N有Ei≃Fi。

根据引理3, 文献[4]的作者证明了由 (1.2) 式定义的两个自相似集M和N是Lipschitz等价的。这里我们研究的两个Sierpinski垫片是由两族相似压缩映射生成的。要注意到的是式 (1.2) 中相似映射是一维的, 且压缩比分别为 1/5, 1/7。现在我们开始考虑在R2中压缩比为1/5, 1/7的情形, 给出如下定义和定理。

定义4 首先, 我们建立这样的直角坐标系。取D中的一个顶点为坐标原点。设D=[0, 1]×[0, 1], 集合E可以看作迭代函数系{f1, f2, …, f9}的吸引子, 这里fi (x) =x/5+bi, i=1, …, 9, 且b1= (0, 0) , b2= (2/5, 0) , b3= (4/5, 0) , b4= (0, 2/5) , b5= (2/5, 2/5) , b6= (4/5, 2/5) , b7= (0, 4/5) , b8= (2/5, 4/5) , b9= (4/5, 4/5) 。可以得到Sierpinski垫片 $E = \cup_{i = 1}^{9} f_{i} (E)$ 。显然, 集合E满足强分离条件。

同样的, 集合F为迭代函数系{g1, g2, …, g9}的吸引子, 这里 $g_{i} (x) = \frac{x}{7} + c_{i} ‚ i = 1, \dots, 9$ , 且c1= (0, 0) , c2= (5/7, 0) , c3= (6/7, 0) , c4= (0, 5/7) , c5= (5/7, 5/7) , c6= (6/7, 5/7) , c7= (0, 6/7) , c8= (5/7, 6/7) , c9= (6/7, 6/7) 。同时我们也可以得到的Sierpinski垫片 $F = \cup_{i = 1}^{9} g_{i} (F)$ 。显然, 集合F不满足强分离条件。

定理 5 设集合E, F为定义4中定义的两个Sierpinski垫片, 则有E≃F。

2定理5的证明

证明首先考虑集合F, 令

F1=F, F2=F∪ (F+ (1, 0) ) , F3=F∪ (F+ (0, 1) ) ,

F4=F∪ (F+ (1, 0) ) ∪ (F+ (2, 0) ) , F5=F∪ (F+ (0, 1) ) ∪ (F+ (0, 2) ) ,

F6=F∪ (F+ (1, 0) ) ∪ (F+ (0, 1) ) ∪ (F+ (1, 1) ) ,

F7=F∪ (F+ (1, 0) ) ∪ (F+ (2, 0) ) ∪ (F+ (0, 1) ) ∪ (F+ (1, 1) ) ∪ (F+ (2, 1) ) ,

F8=F∪ (F+ (1, 0) ) ∪ (F+ (0, 1) ) ∪ (F+ (1, 1) ) ∪ (F+ (0, 2) ) ∪ (F+ (1, 2) ) ,

F9=F∪ (F+ (1, 0) ) ∪ (F+ (2, 0) ) ∪ (F+ (0, 1) ) ∪ (F+ (1, 1) ) ∪ (F+ (2, 1) ) ∪ (F+ (0, 2) ) ∪ (F+ (1, 2) ) ∪ (F+ (2, 2) ) 。

由gi (x) =x/5+ci, i=1, …, 9, 我们可以得到:

F1=F1/7∪ (F2/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F3/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F6/7+ (5/7, 5/7) ) ,

F2=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F3/7+ (0, 5/7) ) ∪

(F7/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F6/7+ (12/7, 5/7) ) ,

F3=F1/7∪ (F2/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (5/7, 5/7) ) ∪

(F3/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F6/7+ (5/7, 12/7) ) ,

F4=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F4/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (19/7, 0) ) ∪ (F3/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F7/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F7/7+ (12/7, 5/7) ) ∪ (F6/7+ (19/7, 5/7) ) ,

F5=F1/7∪ (F2/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F5/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F8/7+ (5/7, 12/7) ) ∪ (F3/7+ (0, 19/7) ) ∪ (F6/7+ (5/7, 19/7) ) ,

F6=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (12/7, 5/7) ) ∪ (F3/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F7/7+ (5/7, 12/7) ) ∪ (F6/7+ (12/7, 12/7) )

F7=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F4/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (19/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (12/7, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (19/7, 5/7) ) ∪ (F3/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F7/7+ (5/7, 12/7) ) ∪ (F7/7+ (12/7, 12/7) ) ∪ (F6/7+ (19/7, 12/7) ) ,

F8=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (12/7, 5/7) ) ∪ (F5/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 12/7) ) ∪ (F8/7+ (12/7, 12/7) ) ∪ (F3/7+ (0, 19/7) ) ∪ (F7/7+ (5/7, 19/7) ) ∪ (F6/7+ (12/7, 19/7) ) ,

F9=F1/7∪ (F4/7+ (5/7, 0) ) ∪ (F4/7+ (12/7, 0) ) ∪ (F2/7+ (19/7, 0) ) ∪ (F5/7+ (0, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 5/7) ) ∪ (F9/7+ (12/7, 5/7) ) ∪ (F8/7+ (19/7, 5/7) ) ∪ (F5/7+ (0, 12/7) ) ∪ (F9/7+ (5/7, 12/7) ) ∪ (F9/7+ (12/7, 12/7) ) ∪ (F8/7+ (19/7, 12/7) ) ∪ (F3/7+ (0, 19/7) ) ∪ (F7/7+ (5/7, 19/7) ) ∪ (F7/7+ (12/7, 19/7) ) ∪ (F6/7+ (19/7, 19/7) ) 。

对于集合E, 由fi (x) =x/5+bi, i=1, …, 9, 类似地, 有:

E1= (E1/5) ∪ (E2/5+ (2/5, 0) ) ∪ (E3/5+ (0, 2/5) ) ∪ (E6/5+ (2/5, 2/5) ) ,

E2= (E1/5+ (2, 0) ) ∪ (E4/5) ∪ (E2/5+ (12/5, 0) ) ∪ (E3/5+ (2, 2/5) ) ∪

(E7/5+ (0, 2/5) ) ∪ (E6/5+ (12/5, 2/5) ) ,

E3= (E1/5+ (0, 2) ) ∪ (E2/5+ (2/5, 2) ) ∪ (E5/5) ∪ (E8/5+ (2/5, 0) ) ∪

(E3/5+ (0, 12/5) ) ∪ (E6/5+ (2/5, 12/5) ) ,

E4= (E1/5+ (4, 0) ) ∪ (E4/5) ∪ (E4/5+ (2, 0) ) ∪ (E2/5+ (22/5, 0) ) ∪ (E3/5+ (4, 2/5) ) ∪ (E7/5+ (0, 2/5) ) ∪ (E7/5+ (2, 2/5) ) ∪ (E6/5+ (22/5, 2/5) ) ,

E5= (E1/5+ (0, 4) ) ∪ (E2/5+ (2/5, 4) ) ∪ (E5/5) ∪ (E8/5+ (2/5, 0) ) ∪ (E5/5+ (0, 2) ) ∪

(E8/5+ (2/5, 2) ) ∪ (E3/5+ (0, 22/5) ) ∪ (E6/5+ (2/5, 22/5) ) ,

E6= (E1/5+ (2, 2) ) ∪ (E4/5+ (2, 0) ) ∪ (E2/5+ (12/5, 2) ) ∪ (E5/5+ (0, 2) ) ∪ (E9/5) ∪

(E8/5+ (2/5, 2) ) ∪ (E3/5+ (2, 12/5) ) ∪ (E7/5+ (2, 2/5) ) ∪ (E6/5+ (12/5, 12/5) ) ,

E7= (E1/5+ (4, 2) ) ∪ (E4/5+ (4, 0) ) ∪ (E4/5+ (2, 2) ) ∪ (E2/5+ (22/5, 2) ) ∪ (E5/5) ∪

(E9/5+ (2, 0) ) ∪ (E9/5+ (0, 2) ) ∪ (E8/5+ (2/5, 0) ) ∪ (E3/5+ (4, 12/5) ) ∪

(E7/5+ (4, 2/5) ) ∪ (E7/5+ (2, 12/5) ) ∪ (E6/5+ (22/5, 12/5) ) ,

E8= (E1/5+ (2, 4) ) ∪ (E4/5) ∪ (E2/5+ (12/5, 4) ) ∪ (E5/5+ (2, 2) ) ∪ (E9/5+ (2/5, 0) ) ∪

(E8/5+ (12/5, 2/5) ) ∪ (E5/5+ (0, 4) ) ∪ (E9/5+ (0, 2) ) ∪ (E8/5+ (2/5, 4) ) ∪

(E3/5+ (2, 22/5) ) ∪ (E7/5+ (0, 2/5) ) ∪ (E6/5+ (12/5, 22/5) ) ,

E9= (E1/5+ (4, 4) ) ∪ (E4/5+ (2, 0) ) ∪ (E4/5+ (0, 2) ) ∪ (E2/5+ (22/5, 4) ) ∪ (E5/5) ∪

(E9/5+ (4, 0) ) ∪ (E9/5+ (0, 4) ) ∪ (E8/5+ (2/5, 0) ) ∪ (E5/5+ (2, 2) ) ∪