差倍问题

差倍问题（共6篇）

差倍问题 篇1

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第三讲 差倍问题

教学目标： 进一步掌握运用画图线的方法表示差倍关系中的两个量。比较和倍问题的阶梯方法的基础上，熟练掌握解答差倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之间的关系。

教学重点：运用画图线的方法，准确分析差倍关系中各量之间的关系。教学难点：能够理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。教学过程：

前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

例1：

甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析与解答:

上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本数： 40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

验算：120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

拓1.菜市场上萝卜比青菜多1200千克，萝卜的重量比青菜的3倍多200千克。.萝卜青菜各有多少千克?

例2：

菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

分析与解答：

这样想： 根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以

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先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

②运来白菜： 750×3=2250（千克）

验算：

2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

拓1.某校买来的排球比足球多50个，如果再买40个排球，排球的个数就是足球的6倍。学校买来的排球和足球各有多少个？

拓2.甲仓存粮吨数是乙仓的3倍，如果甲仓取出80吨运到乙仓，甲、乙两仓存粮吨数正好相等。甲乙两仓原来各存粮多少吨？

拓3.有甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架上的4倍。如果从甲书架上取出180本书放到乙书架上，这时两个书架上的书的本数相等。甲、乙两个书架上原来各有书多少本？

例3：

有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

分析与解答：

上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

解：①第一根截去12米剩下的长度：

（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

答：两根绳子原来各长25米。

自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

解题规律：

差÷倍数的差=1倍数（较小数）

1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

或：较小的数+差=较大的数。

拓1.妈妈把糖平均分给哥哥和弟弟，哥哥给弟弟4块后，弟弟的糖就是哥哥的两倍。哥哥和弟弟原来各有几块糖？

例4：

三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从

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本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

分析与解答：

两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？

74＋96=170（本）

②三（2）班剩下的图书是多少本？

170÷（3-1）=85（本）

③三（2）班原有图书多少本？ 85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

综合算式：

（74＋96）÷（3-1）＋96 ＝170÷2+96 ＝85＋96 =181（本）

验算：181+74=255（本）

181-96=85（本）

255÷85=3（倍）

答：两班原来各有图书181本。

拓1.学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白色粉笔和彩色粉笔各购进12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？

例5甲工程队有72人，乙工程队有42人，将两个工程队调走同样多的人数后，甲工程队剩下的人数是乙工程队的3倍，甲乙两个工程队各剩下多少人？

拓1.小王与小李的存款数相等，小王取出149元，小李取出26元后，小李的存款数是小王的4倍。小王和小李的剩下的存款数各是多少元？

拓2.甲、乙两人各有若干本书，若甲给乙45本，则两人的书相等，若乙给甲45本，则甲的本数是乙的2倍，甲、乙原来各有书多少本？

习题：

1.一只大象的体重比一头牛重4500千克，又知大象的重量是一头牛的10倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？

2.果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？

3.有两块布，第一块长74米，第二块长50米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米

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数是第二块的3倍，问每块布各剪去多少米？

4.甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30人到乙校去，这时乙校教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？

差倍问题 篇2

学生在三上已经学习过“求倍求和、求倍求差”问题了,因此对三年级1、2两班共84人进行了一次测试,测试题如下:

1.看图列式计算

2.解决问题

①大客车有7辆,小轿车的辆数是大客车的7倍,大客车和小轿车一共有多少辆?大客车比小轿车少多少辆?

②大客车和小轿车一共有56辆,小轿车的辆数是大客车的7倍,大客车和小轿车各有多少辆?

③小轿车比大客车多42辆,小轿车的辆数是大客车的7倍,大客车和小轿车各有多少辆?

3.求各图形所表示的数

学生独立完成测试题后,我们对学生的答题情况进行了统计分析:

从以上表格中我们可以看出,“和倍、差倍”问题以线段图的形式出现比较有利于学生解题,同时也明晰了倍数与份数,份数与具体量之间的对应关系.但同样的题,只有纯文字,没有呈现线段图时,一半左右的学生能将这类问题转化成图,利用图来帮助解题,但也有一部分学生对于将文字应用问题转化成图还存在一定的困难,还需要我们加强引导.另外我们也发现,学生对于图形等式推算掌握还是比较理想的,特别是①、②两题.第③题的错误主要出现在代入这个环节,有部分学生一时想不到.用图像等式表征应用问题的数量关系,并通过图形等式推算解决这类问题时,图形等式推算方法的学习与技能训练是一个重要基础.

在后续的访谈中,一部分学生觉得这类题目还是有些难度,问他们这些题是否是同类题时,学生的回答不确定居多,可见在学生的思维里还没有成功建构“和倍、差倍”问题的模型,有待我们加强训练.针对这些问题,我们展开了课堂教学研究.

教学预案

在○里填运算符号:

一、初识“和倍、差倍”问题

1. 建构模型

①独立完成,并观察特点.

你能说说两个图形之间的关系吗?(引导学生用谁是谁的几倍来表示数量之间的关系.)

②总结:这样的等式能告诉我们两个数之间的倍数关系.

2. 模型应用

①独立思考并解题:

你能解决这样的图形等式吗?说说你是怎么解答的?

现在你能解决这一题吗?等式的两个部分还能合并吗?为什么?那你认为该怎么办?

预设:图形一样、增加一个等式.

出示:△=○×5,现在你能解决了吗?

那如果告诉你△÷○=5呢?

③总结:原来我们可以用替换的方式解决这样的图形等式.

④巩固练习.

3. 概括“和倍、差倍”问题

①出示:△÷○=5 △+○=504

你能根据等式说说△和○之间的数量关系吗?

②出示:○÷□=4 ○-□=135

这样的等式你能说说它们的数量关系吗?

③总结:这样的等式告诉我们两个数的倍数关系,以及这两个数的和或差.其实它们就是我们以前学过的———“和倍、差倍”问题.

二、再探“和倍、差倍”问题

1. 编题

①出示:◆÷☆=3 ◆-☆=90

如果◆代表故事书,☆代表科技书,你能根据刚才说的数量关系来编一道应用问题吗?

②结合学生回答,呈现线段图.

能解决刚才编的题了吗?结合图形等式解答.

2. 观察并沟通线段图与图形表征之间的关系

能找到它们之间的关系吗?

总结:“和倍、差倍”问题除了用画图法能帮助我们解题,还可以利用图像等式表征的形式,用图形等式的方法来解决.

3. 独立练习

出示:售出的冰红茶比桃汁多96瓶,售出的冰红茶是桃汁的4倍.售出的冰红茶、桃汁各多少瓶?用▲表示冰红茶售出的数量,用●表示桃汁售出的数量.

▲÷●=4 ▲-●=96

4. 迁移,研究用图形等式的方法编题、解决和倍问题.

三、课堂小结

上完课后,我们又马上跟进了后测,测试题如下:

1. 列式计算各图形所表示的数

①△÷○=3 ②△÷○=4

△+○=124 △-○=123

2. 用图形等式的方法解决问题

①同学们共做了红花和黄花270朵,红花的朵数是黄花的2倍.红花和黄花各做了几朵?

②奶油糖比水果糖多132颗,奶油糖的数量是水果糖的4倍.奶油糖和水果糖各有几颗?

3. 根据下面的等式,你能编一道应用问题吗?

根据学生的答题情况,我们进行了分析,数据如下:

从后测情况可以看出,“和倍、差倍”应用问题用图像等式形式表征出来,再利用图形等式推算来解决,学生还是有能力掌握的.学生的思维里已清晰地构建了“和倍、差倍”问题的模型,它大大降低了学生的学习难度,并且在系统训练后掌握得比较好.课后也访谈了部分学生,他们说以前总认为这是两类题,第二类图形推算甚至更难,但现在学了以后,发现它们之间是有联系的,这样就比画图更简洁明了,计算也非常方便.

(快乐奥数)差倍问题教案 篇3

一、课时：第四课 上课时间2016.10.23（周日）

二、教学内容：教材131页—138页为主，做适当补充。

前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

数量关系：

小数（1倍数）=两数差÷（倍数-1）大数（几倍数）=小数（1倍数）×倍数 或大数（几倍数）=小数（1倍数）+两数差 1.例1

甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析 上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本数： 40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

验算：120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

2.巩固练习

大、小两筐苹果，大筐苹果比小筐苹果多36个，大筐苹果是小筐的3倍。大小两筐各有多少个苹果？

3.例2

小明收的邮票比小军多18张如果小明在买30张那么他搜集的邮票是小军的4倍他们各收，小明和小军各收集多少张邮票？

4.巩固练习

苹果比梨多39个,如果苹果被吃掉7个,苹果是梨的5倍,苹果和梨各多少个?

5.例3 甲乙两辆货车运苹果，甲车装的苹果是乙车的3倍，如果从甲车卸下200箱装入乙车，则两车装的苹果箱数一样多。问：原来甲、乙两车各装了多少箱苹果？

6.巩固练习

甲乙两桶油，甲桶油是乙桶的4倍，当把甲桶油往乙桶中倒入31千克后，甲桶油比乙桶油多7千克。甲乙两桶油原来各有多少千克？

7.例4 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

解：①第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

答：两根绳子原来各长25米。

自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小

结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

解题规律：差÷倍数的差=1倍数（较小数）1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

或：较小的数+差=较大的数。

8.巩固练习

两根同样长的钢筋，给第一根接上9米，把第二根截去5米后，这时较长的一根是较短的一根的3倍，两根钢筋原来各长多少米？

9.课外思考

四年级奥数差倍问题 篇4

教学主题： 和差问题练习

教学重难点：

更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。

教学过程：

1.导入 差倍问题复习

2.呈现

例1： 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 分析与解答： 我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

析与解答： 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

解：①爸爸的年龄：

文新教育集团标准化教案

[58＋（35-7）]÷2 =[58＋28]÷2 =86÷2 =43（岁）②小强的年龄： 58-43＝15（岁）

答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数 学各得了几分？

分析与解答： 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：①语文和数学成绩之和是多少分？

94×2＝188（分）

②数学得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 语文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例题4 ：期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？

思路导航：根据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。

文新教育集团标准化教案

解：①语文和数学成绩之和是多少分？

94×2＝188（分）②数学得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）③ 语文得多少分？

例题5.哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？

思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：

（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。

3.练习与检测

1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种 果树各有多少棵？ 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙 桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？

3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10 万元，今年与去年的产值各是多少万元？

4.小结

1、学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。

2、更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。

5.作业

1.一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？

三年级暑假奥数练习题差倍问题 篇5

（1）金鱼缸里红金鱼的条数是黑金鱼的3倍。红金鱼比黑金鱼多12条。两种金于各有多少条？

（2）.妈妈年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈和,小刚各多少岁?

（3）科技小组的人数比体育兴趣小组人数少60人，体育兴趣小组人数是科技小组的人数的3倍，这两个小组各有多少人？

（4）某校有排球的个数比足球多50个,如果再买40个排球,排球的个数就是足球的3倍,足球、排球各有多少个?

（5）一车间原有男工人数比女工多55人,如果调走男工5人,那么男工人数正好是女工的3倍,原有男工多少人?

（6）学农基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生和白薯各多少棵？

（7）在一道减法算式里，差是18，被减数是减数的7倍，请写出这道减法算式。

（8）大小两个水桶里的水相差24千克，现在把小桶里的水倒入大桶15千克，这样大桶里的水正好是小桶里水的4倍，现在大小桶里的水各有多少千克？

（9）甲书架上的书是乙书架的3倍，如果从甲书架取出620本，从乙书架上取出120本，两个书架上书的本数正好相等，原来两个书架各有多少本？

差倍问题 篇6

一、两角和与差的三角函数

1、两角和与差的正弦： sin()sincoscossin；

2、两角和与差的余弦：cos()coscossinsin；

3、两角和与差的正切：tan()tantan。1tantan

2tan 21tan224、二倍角公式：①sin22sincos，②cos2cossin，③tan2

※

5、用赋值法求三角函数值的步骤：（1）作图赋值（2）求边算角（3）确定符合 ※

6、三角函数化简变换：

22（1）同角变换：①sincos1，②tancot1，③tansin cos

）tan（2）负角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（（3）余角变换：①sin(

2)cos，②cos(

2)sin，③tan(

2)cot

)tan（4）平角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（)tan（5）周期变换：①sin(2)sin，②cos(2)cos，③tan（※

7、三角函数计算或证明技巧：（1）切割化弦（2）异名化同（3）升次降次 ※

8、解和差倍角题型步骤：（1）明确角范围（2）求出中间值（3）凑出要求角（4）灵活用公式 ※

9、三角函数象限符合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

二、解斜三角形：（ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c）

1、三角关系：A+B+C=1802、三边关系：abcab3、边角关系：（1）正弦定理：0abc2R，（R是ΔABC外接圆的半径）sinAsinBsinC

b2c2a2

（2）余弦定理：abc2bccosA，cosA 2bc222

（3）大小定理：大边对大角，小边对小角，等边对等角。

4、面积公式： SABC111absinCbcsinAacsinB 222

※

4、题目类型：

（1）常规题型：①已知SSS②已知SAS③已知AAS【④】已知SSA

（2）实际应用：①仰俯角问题②方位角问题③多边形问题

※

5、解斜三角形步骤：

（1）作图标图（2）条件联想（3）结论分析（4）思路步骤（5）板书设计 ※

6、解题十二要诀：

（1）解前准备充分，理解记住知识； 掌握方法技能，熟悉基本题型。

（2）解时联想经验，思想方法探寻； 设计思路步骤，板书条理工整。