奇异性分析

奇异性分析（共9篇）

奇异性分析 篇1

在信号处理的领域中,存在众多的频域分析方法,其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息,傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法,但是傅里叶分析方法的严重不足在于不能表达时域信息,应用很受局限,后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达时域信息,但是在空间中的分辨率是固定的,不够灵活,不能反映信号瞬变的特点。如果一个信号在某个时刻的一个小的邻域中发生突变,那么整个频谱都将受到影响[1]。因此,在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中,只有傅里叶变换是不够的。而许多信号的急剧变化之处常常是分析信号特性的最关键之处。

小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制,在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理,这更符合信号非平稳的变频带结构特征,因而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。本文简要地介绍了小波应用在信号奇异性检测方面变换的基本原理,并通过仿真实验进行了验证。

1 小波变换的基本概念

设Χ(t)为一平方可积函数,即Χ(t)∈L2(R),若其傅里叶变换Χ(ω)满足条件:

则称Χ(t)为一个基本小波或小波母函数,我们称式(1)为小波函数的可容许性条件。其中t为时间,ω为频率,R为实数集合,L2(R)为实数域平方可积空间,由函数Χ(t)经过伸缩和平移得到的一族函数:

称为小波函数族或依赖于a,b的连续小波,式中a,b为实数且a≥0,a为伸缩因子,b为平移因子。任意信号f(t)∈L2(R),其小波变换Wf(a,b)定义为:

由上式可知a的变化不仅改变连续小波的频谱结构,也改变其窗口的大小与形状。随着a的减小,Χab(t)的频谱就向高频方向移动,而Χab(t)的宽度则越来越狭小。这就满足了信号频率高相应的窗口应该小,因而它在时间或(空间)域上均有较高的分辨力。

小波变换是可逆的,则信号f(t)的重构公式

式中:

2 应用小波变换对奇异信号进行检测

傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具。但是傅里叶变换缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,而难以确定奇异点在空间的位置和分布情况。小波分析具有空间局部化性质,因此,利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异点的位置和奇异度的大小是比较有效的。

信号的奇异性一般分为两种情况:一种是信号在某一个时刻内,其幅值或频率发生突变,幅值或频率发生突变处是第一种类型的间断点;另一种是信号外观上很光滑,幅值没有突变,但是信号的一阶微分有突变产生,且一阶微分是不连续的,称为第二种类型的间断点[2]。

定义:在某一尺度x0下,如果存在一点(x0,y0)使得

则称点(x0,y0)是局部极值点,且在y=y0上有一个模极大值(过零)点。如果对y0的某一领域内的任点y,有

则称(x0,y0)为小波变换模极大值(过零)点。尺度空间中所有的模极大值点的连续称为模极大值线。关于模极大值与信号的突变(奇异)点有下面的定理。

定理:设n为一严格的整数,Ψ为具有n阶消失矩、n次连续可微和紧支集的小波,f(t)∈L1(c,d)([c,d]为某一实数区间),若存在尺度x0>0,使得x<0,t∈(c,d),Wf(x,y)没有局部极大值点,则在区间(c+ε,d-ε)是一致Lipschitz a(ε为任意小的正数)。一般来讲,函数在某一点的Lipschitz指数a表征了该当的奇异性大小,a越大,该点的光滑度越高;a越小,该点的奇异性越大[3]。

3 基于小波变换的奇异信号检测仿真

选择合适的小波可以提高检测的准确度。适合于检测奇异信号的小波基需要满足以下条件:(1)Χ(t)有紧支集;(2)Χ(t)连续可微;(3)Χ(t)具有对称性;(4)Χ(t)有阶消失矩。

3.1 第一类间断点的检测

利用Matlab调入含有奇变点的freqbrk信号。从原始信号来看,在具有低频信号特征的正弦信号的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号。用`db5'小波将信号分解到第5层,来检测第一种类型的间断点。由图1可以看出,在信号的低高频变化部分清晰的显示出了间断点的准确位置,在该信号的小波分解中,第一层和第二层(d1和d2)将信号的不连续部分表现得很明显。

3.2 第二类间断点的检测

利用Matlab调入含有奇变点的nearbrk信号。从原始信号来看,原始信号是一条光滑直线,但是它的一阶微分有突变。利用`db2'小波进行分解后,该信号的第二类间断点就显现出来了。在第二类间断点的检测中,选择小波的正则性非常重要,如果所选择小波不具有正则性,将检测不出第二类间断点。如图2所示。

4 小波变换与傅里叶变换仿真结果比较分析

原始信号采用如式8所示的分段正弦信号:

其频谱图如图3所示。对该分段正弦信号分别进行傅里叶变换及小波变换。如图4所示,经过傅里叶变换后,从信号的频谱中不能确定信号奇变点的位置,只能判断出原始信号所包含的频率,原因是傅里叶变换不具备局部分析能力,从而无法判断出信号频率瞬变的时间。应用db5小波对信号进行5层分解后,得到的细节信号如图6所示,可以看出,在细节信号部分能清晰地显示出该信号的频率间断点的准确位置,而第一层细节信号中对信号的不连续性显示的相当的明显。

5 结束语

小波变换被誉为分析信号的显微镜,能精确刻画信号在小波变换下的局部奇异性。同时,各奇异点的位置,也可以由小波变换的局部模极大值性质检测出来。实验仿真结果表明小波变换在信号奇异点检测是可行的,尤其在时频分析方面有着傅里叶变换所无法比拟的优越性。

参考文献

[1]程正兴.小波分析算法与应用[M].西安:西安交通大学出版社,1998.

[2]董长虹.Matlab小波分析工具箱原理及应用[M].北京:国防工业出版社,2004.

[3]胡广书.现代信号处理教程[M].北京:清华大学出版社,2004.

[4]马拉特,杨力华,戴道清.信号处理的小波引导[M].北京:机械工业出版社,2002.

[5]徐佩霞,孙功宪.小波分析与应用实例[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1996.

[6]Walker J S.Fourier Analysis and Wavelet Analysis[J].Notice of AmerMath.Soc,1997,44(6):658-670.

[7]胡昌华.基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.

奇异性分析 篇2

一类奇异非线性边值问题多解的存在性

主要研究加权Sobolev空间中一类奇异非线性边值问题多解的.存在性问题,并用Ekeland变分原理和山路引理证明了这类奇异问题两个解的存在性.

作 者：王莉 WANG Li 作者单位：华中师范大学,数学与统计学学院,武汉,430079刊 名：华中师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)年，卷(期)：42(3)分类号：O175.8关键词：变分法 奇异边值问题 多解

奇异性分析 篇3

关键词：多重分形,盒计数法,煤岩分类

煤炭是我国主要能源之一, 对煤矿资源进行开采使用时, 为了煤炭资源得到更加合理的利用, 需要将其进行分类研究, 提高煤炭资源的利用率[1]。

20世纪60年代, 数学家Mandelbrot以“fractal”一词揭示了不具有一个整数维特性的复杂几何对象[2]。分维提供了一个系统的方法去量化不规则图形, 这种图形在一定比例范围内其内部结构是不断重复的[3]。实现多重分形的方法有很多, 诸如盒计数法、f Bm法、面积测定法等。笔者以盒计数法实现多重分形, 计算不同类型煤岩薄片的奇异性指数。通过对奇异性指数的统计, 找出奇异性指数与煤岩煤化程度之间的关系, 为煤岩分类提供依据。

1 煤岩样本情况

试验涉及到4个煤岩薄片样本, 分别为长焰煤、肥煤、瘦煤、贫煤。这4种煤代表了变质程度的各个阶段。其中长焰煤是变质程度最低的煤。肥煤变质程度比长焰煤较高。瘦煤变质程度比肥煤较高。贫煤是变质程度最高的烟煤。

2 多重分形算法实现

2.1 盒计数法算法

以盒计数进行探究时, 随着观察精度的不断提高, 被观察的几何对象也相应变化。那么, 把像素 (P) 个数随观察精度而变化的速率设为α。用精度为t的盒子覆盖所要研究的几何对象, 则盒子的尺寸为b (L) 。在第i个盒子中有Pi个像素, 可得像素个数的变化速率为

每个盒子都有1个α值与之对应。给出1个α值, 便可以计算出与之对应的所有小盒子的个数。此时, 要计数出的是具有相同变化速率α的盒子数。当精度一定时, 设α∈[α, α+Δα]的盒子数为N (α) , 可得多重分形谱f (α) 。

所得到的f (α) 就是所有具有相同速率α的盒子分形集合的维数。

当以单个盒子的像素分布来推测整个研究对象中不同像素分布随盒子精度变化的整体信息是很不准确的。因此, 应该从整体出发对研究对象进行分析。此时引入一个新的参数q, 设χ (q) 为Renyi信息维χ随精度变化而变化的速率。设所有盒子的像素和为单位“1”, 即∑i=1N (L) Pi=1, 在精度L下可得

在这里, q起到了权重的作用, 当q>0时, 则覆盖像素个数多的盒子对χ的贡献越大, 此时χ反映的是像素密集范围随精度变化的信息量增速。反之q<0时, χ反映的是像素稀疏范围的信息量增速。

假设有N (Li) 个盒子覆盖个数为Pi像素, 那么

当L→∞时, -f (α (L) ) +qα (L) 中最小的一项贡献最大, 得

当计算出所有q值时, 便可得出使得qα-αχ (q) 最小的q值, 从而得到f (α) 。由于这种计算较为繁琐, 可以对q求导进行计算, 从而得到f (α) 和α (q) 关于q的表达式和图像[4]。

2.2 使用MATLAB语言对盒计数法的实现

MATLAB为数据分析和数据可视化、算法和应用程序开发提供了最核心的数学和高级图形工具, 拥有着庞大的函数库[5]。因此, 首先用MATLAB实现盒计数法的算法。

1) 研究区域初始化, 以n×n的范围覆盖研究区域, 算出研究区域覆盖范围的盒子总数, 并给定盒子最小边长到最大边长的取值范围。代码如下

2) 对各边长盒子循环, 求出总像素数, 并求出每一个盒子中像素数占总体的比重。

3) 对p取值, 设定步长, 以-p到+p再次对各边长盒子进行循环。在不同盒子边长的情况下, 计算出f (q) 和α (q) 。

4) 绘制f (q) 和α (q) 关于q的曲线以及f (q) 关于α (q) 的曲线。

3 实验结果及分析

在对煤岩薄片分析之前, 首先将长焰煤、肥煤、瘦煤、贫煤图片进行二值化处理。经过二值化处理后的图像加载到程序中进行运算得到每一种煤的相关的奇异指数α以及通过统计之后的Δα=αmax-αminΔ的值。表1为4种煤的奇异性指数分析。

由表1可看出这4种煤的Δα有不同的值, 而且随着煤化程度的增加, Δα的值也在变大。由此可以证明, 通过多重分形可以实现煤岩分类。

4 结论

基于盒计数法实现多重分形对煤岩分类可看出, 随着煤岩煤化程度的增加, 奇异性指数Δα表现出线性增长。可以通过这一特征对煤岩类型进行鉴别和分类, 从而达到多重分形奇异性指数对煤岩分类的效果。

参考文献

[1]孙继平, 佘杰.基于支持向量机的煤岩图像特征抽取与分类识别[J].煤炭学报, 2013, 38 (2) :508-512.

[2]孙博文.分形算法与程序设计[M].北京:科学出版社, 2004.

[3]Aoolfo N D Posadas, Daniel Ganiel, Roberto Q, etal.Multifractal Characterization of Soil Pore System[J].Soil Sci.Soc.Am, 2003 (67) :1361-1369.

[4]集智WIKI词条.多重分形[EB/LO].[2014-05-03].http://wiki.swarma.net/index.php.

奇异性分析 篇4

针对非线性动力学理论中的混沌系统的Rossler奇异吸引子,采用三种数值方法求解三阶Rossler微分方程组,用Matlab语言设计了GUI界面,编制了Rossler奇异吸引子的计算机仿真程序,用相轨直接观察法对混沌系统的.运动轨迹特性进行可视化分析,验证了混沌动力系统的初值敏感性等基本特性.

作 者：陈全发 CHEN Quan-fa 作者单位：湘南学院,数学系,湖南,郴州,423000刊 名：大学数学 PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：25(2)分类号：O193 O241关键词：混沌 奇异吸引子 初值敏感性 数值仿真

奇异性分析 篇5

机器人的运动学分析是性能分析和动力学分析的基础,所以对于一个新型机构来说,运动学分析是机构分析的前提和基础,是进行机器人机构设计的首要任务[1]。雅可比矩阵在机器人的运动学分析中具有重要地位,机器人的分离速度控制、静力分析、灵活性和可操作度分析等都要用到机器人的雅可比矩阵,因此,机器人雅可比矩阵的准确、快速求解显得尤为重要[2]。

对于机械手系列机器人来说,奇异性是机械手的重要运动学特性[3]。机械手奇异位形主要有边界奇异位形和内部奇异位形[4],边界奇异位形出现在机械手工作空间的边界,只要机械手远离工作空间边界即可避免;内部奇异位形会使可操作性变差,机械手的可行区减少。装校机器人属于机械手系列机器人,当装校机器人操作臂运动到奇异位置时,暂时会失去一个或几个自由度,因而不能保证其在复杂作业环境中的灵活性和避障性,失去了运动柔性。其末端执行器也无法实现沿某些方向的运动,从而无法完成装校作业任务。同时,即使进行较小的位置调整也会导致某些关节速度趋向无穷大,从而引起操作臂失控,使控制方案无法实现。因此,研究装校机器人奇异性对提高其作业性能具有重要意义。

1 机构综合

装校机器人的功能是将洁净精密光学模块从侧面装入到主体装置上去。通过对装校机器人的作业环境、作业对象和作业全流程的分析,机构应具有较大的工作空间范围、良好的承载能力、较高的刚度、简单的结构形式、简单的运动学正解和反解、机构输出件的位置控制和姿态控制的耦合程度低等特点。因此,需要装校机器人在垂直方向具有最优的工作空间、可操作度和避障空间,同时满足运动、位姿等方面性能要求,以满足装校机器人作业过程中的各项指标。依据功能要求设计了由4个转动关节和2个移动关节组成的六自由度装校机器人,其机构简图如图1所示。

2 运动学方程的建立

机器人的正运动学问题是已知机器人各个关节的关节角,求末端执行器的位置和姿态。通过对其正运动学方程的研究可以准确描述机器人的各个杆件的位置、方向及位移之间的关系,为机器人的运动控制提供分析的手段和方法,也是建立动力学方程和误差分析模型的基础[5]。

采用D-H法(Denavit-Hartenberg Matrix)[4,6,7,8]建立装校机器人坐标系并推导机器人的运动学方程。装校机器人D-H坐标系如图1所示。其基座坐标系{0}设于升降丝杆轴线在基座上的投影处,机器人末端连杆关节6的坐标系{6}建立在关节4、5、6的轴线的交点处,工具端部设在被装校作业对象中心处;装校机器人各连杆参数及关节变量如表1所示。其中,θi为从xi-1轴到xi轴方向绕zi轴旋转的角度;αi为从zi轴到zi+1轴方向绕xi轴旋转的角度;ai为从zi轴到zi+1轴沿xi轴测量的距离;di为从xi-1轴到xi轴沿zi轴测量的距离。

连杆变换矩阵ii-1T可表示为

装校机器人有6个自由度,根据式(1)和表1所示的连杆参数,可求得各连杆变换矩阵ii-1T:

式中,si=sinθi,ci=cosθi,i=1,2,…,6。

将所得各连杆变换矩阵依次右乘,得到装校机器人基座坐标系和末端执行器标系之间总变换矩阵60T:

如果要得到工具端部和基座之间的总变换矩阵E0T,则需要将60T右乘以E6T,E6T为工具端部和末端连杆坐标系间的变换矩阵。即

其中,(nx,ny,nz)T、(ox,oy,oz)T、(ax,ay,az)T分别为工具端坐标系x轴、y轴、z轴在基坐标系中的方向矢量;(px,py,pz)为工具端部在基坐标系中的位置。

当各变量的初始值分别取为d1=610mm,d2=0,θ3=-π/2,θ4=π/2,θ5=π/2,θ6=π/2时,代入式(4)可得:

由所得结果可知,与三维模型在同样状态下的测量值完全吻合,如图2所示,表明正解结果是正确的。

3 雅可比矩阵

机器人的雅可比矩阵(Jacobian matrix)J通常是指从关节空间向操作空间运动速度传递的广义传动比V。V的表达式为

式中,为关节速度矢量;为操作速度矢量。

雅可比矩阵可以判别机器人的奇异形位,分析机器人的运动特征和动力学特征,它是描述机器人特征的重要参量。雅可比矩阵的构造方法有矢量积法、微分变换法、力和力矩递推法、速度递推法[4,9,10,11,12]。本文采用微分变换法求解装校机器人的雅可比矩阵。

雅可比矩阵TJ有n列,第i列元素TJi由niT决定。

对移动关节i,有

对转动关节i,有

由于装校机器人的结构和运动具有以下几个特点:(1)有6个关节,因此雅可比矩阵是6×6矩阵;(2)其中2个是移动关节(关节1和关节2),4个是转动关节(关节3到关节6)。根据已求得的各连杆变换矩阵ii-1T可求得niT:

则得到各列雅可比矩阵如下:

TJ(q)与J(q)之间的关系为

由式(9)可知,所得TJ(q)与J(q)的结果是正确的。至此J1、J2、…、J6全部求出,于是得到装校机器人的雅可比矩阵。

4 奇异性分析

奇异性的物理解释相当于机器人丧失了一个或多个自由度,数学上用J(q)的行列式是否为0来判别。因此,雅可比矩阵的奇异性可用来定性地描述机器人操作臂的运动学特征。

操作臂的灵活性和运动反解的精度与机械手雅可比矩阵的奇异值有关。当雅可比矩阵的秩r(J(q))<6时,机械手处于奇异位形。设在任一位形装校机器人雅可比矩阵的秩r(J(q))=6,根据矩阵的奇异值分解理论,对雅可比矩阵进行奇异值分解[13]:

式中,U∈Rm×n,V∈Rn×n,U、V为正交矩阵;n为关节数,m为操作空间维数;σi为雅可比矩阵的第i个奇异值,且σ1≥σ2≥…≥σm≥0。

另外,条件数K(J)也是与雅可比矩阵相关、用于衡量机械手灵活性的重要指标。条件数常用于数值分析中,其计算精度较高,求逆运算的数值稳定性好。对于冗余度机械手,条件数可利用下式计算[4]:

六自由度装校机器人有2个移动关节和4个转动关节,由所求出的雅可比矩阵TJ(q)可知,奇异位形主要受转动关节位置的影响,移动关节不会产生奇异位形,因此主要分析装校机器人各转动关节对奇异位形的影响。在4个转动关节变量运动范围内,利用随机取点方法分别得到装校机器人最大奇异值、最小奇异值和条件数,如图3~图5所示。

根据矩阵奇异值分解理论对装校机器人雅可比矩阵进行奇异值分解,当在某一位形最小奇异值为零时,此位形即是奇异位形。由图3与图4可知,装校机器人奇异值的大小随机器人运动位置而变化,最大奇异值在485.0099~514.5565之间,最小奇异值位于0~0.9969之间,最小奇异值为零的位置即为奇异位置;图5所示为装校机器人条件数分布,条件数基本上在496.3659~561.0687之间,仅有极个别的点大于561.0687。从图中可知,条件数越大,最小奇异值越小,则在此位置时装校机器人灵活性较差。由于机器人在作业时不可避免地存在一些奇异位形,因此希望工作时能够避开这些位置。

选定其他关节变量值,某一关节与最大、最小奇异值的变化关系如图6~图9所示。其中图6所示为θ3=[-7π/12,7π/12]、θ4=0、θ5=π/2、θ6=π/2时的仿真结果,θ3=0附近最小奇异值为零;图7所示为θ3=0、θ4=[-7π/9,7π/9]、θ5=π/2、θ6=π/2时的仿真结果,θ4在-2.4422~-1.8708rad和0~2rad两个区间时,最小奇异值接近零,会出现奇异现象;图8所示为θ3=0、θ4=0、θ5=[4π/9,5π/9]、θ6=π/2时的仿真结果,θ5=1.5708rad附近最小奇异值为零;图9所示为θ3=0、θ4=0、θ5=π/2、θ6=[4π/9,5π/9]时的仿真结果,θ6=1.5708rad附近最小奇异值为零。

由上述分析可知,奇异值的出现与各关节参数值的组合密切相关,奇异位形总是存在的,只要出现奇异位形,装校机器人运动性能就无法保证,不能进行正常工作。因此必须避开奇异位形或在奇异点附近对奇异值进行处理,使装校机器人在保证工作性能和运动精度的前提下通过奇异位形。通过对奇异值的分析,为装校机器人的控制系统避开这些奇异位形提供了重要的数据。

5 结论

(1)应用D-H法建立了六自由度装校机器人运动学模型,得出了机器人运动学正解;在已知各关节变量时,可求得装校机器人末端相对于基坐标系的位置。

(2)求得装校机器人的雅可比矩阵,描述了机器人运动速度与关节角速度之间的关系,为实际装校作业环境中的轨迹规划及实时控制提供了理论基础。

(3)对装校机器人的奇异位形进行了分析,为装校机器人的控制系统避开这些奇异位形及对奇异性的处理提供了重要的数据。

内复测度的绝对连续性和奇异性 篇6

1961年, 美国数学家A. Robinson[1]以数理逻辑和模型论为基础创立了非标准分析理论。经过多年不断的发展, 非标准分析理论已经被广泛地应用到了众多领域[2,3], 并为相应方向的研究提供了新的方法和新的思路。1975年, P. Loeb在文献[4]中提出了Loeb测度的概念, 为非标准分析与测度理论的结合提供了合适的桥梁, 成为了近年来非标准分析理论最活跃的研究热点问题之一。

作者在前期工作的基础上, 在非标准多饱和模型下, 研究了内复测度的绝对连续性和奇异性。1给出了内复测度相应的Loeb测度的构造。2讨论了内复测度的绝对连续性和奇异性。3得到了标准复测度的绝对连续性和奇异性的刻画。

文中总假设非标准模型V (*S) 是多饱和模型, 先来回顾内可测空上Loeb测度的构造。在此基础上, 给出内复测度相应的Loeb测度的构造。

设Y是一个内集, A是Y上的内代数, 序对 ( Y, A) 是内可测空间, μ 是 ( Y, A) 上的内测度, 定义 μ珔, μ珔: P ( Y) →[0, + ∞ ) 。

对于任意的B∈P ( Y)

如果ν是 (Y, A) 上的内复测度, ν=ν'+iν″, 其中ν'和ν″是 (Y, A) 上的内广义测度。令L (A, ν) =L (A, ν') ∩L (A, ν″) , νL=ν'L+iν″L

称复测度空间 (Y, L (A, ν) , νL) 为相应于 (Y, A, ν) 的复Loeb空间。

特别地, 若 (X, A, λ) 是 (标准) 复测度空间, 由转换原理可知, (*X, *A, *λ) 是内复测度空间, 其相应的复Loeb空间为 (*X, L (*A, *λ) , *λL) 。

引理1[8]设μ和ν是内可测空间 (Y, A) 上的两个内广义测度, 如果ν<<μ, 则L (A, μ) L (A, ν) 。

2主要结论

下面来讨论内复测度的绝对连续性和奇异性。如无特别说明下文总假设 (Y, A) 是内可测空间, μ是 (Y, A) 上的内测度, ν是 (Y, A) 上的内复测度, 且ν=ν'+iν″, 其中ν'和ν″是 (Y, A) 上的内广义测度。

定义1若对于任意的A∈A, 当μ (A) ≈0时, |ν| (A) ≈0, 则称ν关于μ是绝对连续的, 记作

摘要：在非标准多饱和模型下, 研究了内复测度的绝对连续性和奇异性。首先, 给出了内复测度相应的Loeb测度的构造.其次, 讨论了内复测度的绝对连续性和奇异性;最后, 得到了标准复测度的绝对连续性和奇异性的刻画.

关键词：复Loeb测度空间,绝对连续,奇异性

参考文献

[1]Robinson A.Nonstandard Analysis[M].Amsterdam:North-Holland, 1963.

[2]Davis M.Applied Nonstandard Analysis[M].New York:Wiley, 1977.

[3]Cutland N.J.Nonstandard measure theory and its applications[J], Bull.London Math.Soc.1983 (15) :529–589.

奇异性分析 篇7

undefined

式(1)中Ω是RN(N≥3)中具有C2光滑边界的有界区域,0∈Ω,n表示∂Ω的单位外法向向量,且1

undefined

其中

undefined

p(α,β)是Sobolev-Hardy临界指标。当α=β=0和α=0,β=-p时,式(2)分别是经典的Sobolev不等式和Hardy不等式,而且只要β≠α-p,Sα,β就是可达的。

利用山路引理首先构造一个Palais-Smale序列{ui},然后给出一个门槛值,在Palais-Smale序列所对应的能量低于此门槛值时,Palais-Smale序列是准紧的。为此,利用RN中Sα,β的达到函数uε(x)(如式(3.1)所定义)作为一个检验函数去估计J(ui)的能量。

1 预备知识

定义如下加权的Sobolev空间Wundefined(Ω)

其模是‖u‖undefined=∫Ω|x|α|ᐁu|pdx+

∫Ω|x|γ|u|pdx,

其中Lp(|x|γ,Ω)表示带有权|x|γ的Lp(Ω)空间。

定义与问题式(1)相对应的能量泛函

undefined

为了证明主要结果,首先给出以下预备引理,这些引理可以在文献[3]中找到。

引理1 当1≤q

undefined是紧的。

引理2 Sα,β如式(2)中所定义,那么对所有的δ>0,当0∈Ω时,存在依赖于δ的常数C(δ)使得

undefined

引理3 {ui}是Wundefined(Ω)中的一个序列,满足J(ui)→c,在(Wundefined(Ω))′中,当i→∞时,J′(ui)→0,若

undefined。

那么问题式(1)存在解u∈Wundefined(Ω)并且满足J(u)≤c。

引理4 假设α,β和p(α,β)满足(3)且γ>β-p,α≤0,那么,模∫Ω|x|α|ᐁu|pdx+∫Ω|x|α×|u|pundefined与模∫Ω|x|α|ᐁu|pdx+∫Ω|x|γ×|u|pundefined是等价的。

由引理2和引理4,

有undefined,在伸缩变换undefined下,

∫Ω|x|α|ᐁ·|p和‖·‖Lp(α,β)(|x|β,Ω)dx是不变的,所以嵌入undefined是非紧的。因此,问题式(1)解的存在性和不存在性与参数的范围有着密切的联系。

因为undefined,所以能量泛函J的定义是有意义的,并且由引理1和引理2可知它在Wundefined(Ω)中是C1光滑的。因此,由强极值原理(见献[3]中性质3.1)知,J的临界点是问题式(1)的一个弱解。利用极大极小值理论去找J的非平凡临界点。由于嵌入undefined是非紧的,所以主要困难在于J不满足Palais-Smale紧性条件。

2 主要结论

定理1 假设0∈Ω并且式(3)成立,令10,α<0,β>α-p,μ>α-p,γ>α-p,p

undefined;

undefined;

undefined

undefined;

undefined;

undefined

undefined

3 主要结论的证明

现证明定理1

令

undefined;u≥0,u≢0}。

容易验证c*≥c,其中c如山路引理中所定义的那样

undefined

这里Ψ={0≢ψ∈C([0,1], Wundefined(Ω)):ψ(0)=0, J(ψ(1))≤0}。

利用常规的方法(见文献[4]),只需验证

undefined,

由文献[5],可以找到如下形式的极值函数uε,它使得当α≤0时Caffare-Kohn-Nirenberg不等式中的最佳嵌入常数Sα,β是可达的

undefined

下面,来证明对于充分小的ε,下式成立

undefined。

记Br=Br(0)是一个中心在零点半径为r的球。令Ω1=Ω-Br(0), Ω2=RN-Br(0)。通过直接计算可以得到

根据文献[6],我们可以直接计算得到

由α>-N+p和β≥α-p,所以以下不等式成立

pα>-N+p2+pβ-β>-N+p(p+β)-β≥pα-(N+β)。

从而有undefined。

又由undefined,可以推出

undefined。

另一方面,由q>p可以推出

undefined。

因此,对于定理1中的(1),(2),(3)三种情况,下式成立

undefined

对于定理1中的(4),(5),(6),(7)四种情况,下式成立:

undefined

从而,紧性条件得到了验证,进而也就完成了我们对定理的证明。

摘要：应用变分方法中的极值理论来研究Neumann边界问题-div(|x|α|▽u|p-2▽u)=|x|βup(α,β)-1-λ|x|γup-1+|x|μuq-1,u(x)>0,x∈Ω|▽u|p-2u/n=0,x∈{Ω其中Ω是RN(N≥3)中具有C2光滑边界的有界区域,0∈Ω,n表示Ω的单位外法向向量,且1<p<N,α<0,β<0,使得p(α,β)p(N+β)N-p+α>p,γ>α-p,p<q<p(α,μ)。对于参数α,β,γ及μ的不同范围,建立上述方程解的存在性结果。其中对参数不同范围的讨论对解的存在性所起到的至关重要的作用。

关键词：奇异拟线形椭圆方程,Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式,临界指标,基态解

参考文献

[1] Caffarelli L,Kohn R,Nirenberg L.First order interpolation inequali-ties with weighes,Compositio Mathematica,1984;53:259—275

[2] Catrina F,Wang Z Q.On the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities:sharp constants,existence(and nonexistence),and symmetry of ex-termal functions.Comm Pure Appl Math,2001;54:229—258

[3] Bartsch T,Peng S,Zhang Z.Existence and non-existence of solu-tions to elliptic equations related to the Caffarelli-Kohn-Nirenberg ine-qualities.Calc Var Partial Differential Equations,2007;30:113—136

[4] Wang X J.Neumann problem of semi-linear elliptic equations invol-ving critical sobolev exponents.J Differential Equations,1991;93:283—310

[5] Horiuchi T. Best constant in weighted sobolev inequality with weights being powers of distance from the origin. J Inequal Appl, 1997;1:275—292

奇异性分析 篇8

研究以下二阶脉冲微分方程两点边值问题正解的存在性

$\{\begin{array}{l}-u^{″}(t)=f(t,u(t),u^{\prime }(t)),t\ne t{}_k,\\ \text{Δ}u|{}_{t=t{}_k}={\rm I}{}_{0,k}(u(t{}_k),u^{\prime }(t{}_k-)),k=1,2,\cdots ,m+1\\ \text{Δ}{u}^{\prime }|{}_{t=t{}_k}=-{\rm I}{}_{1,k}(u(t{}_k),u^{\prime }(t{}_k-)),\\ \text{u}(0)=0,u^{\prime }(t{}_{m+1})=0\end{array}(1)$

式 (1) 中Δu|t=tk=u (tk+) -u (tk-) 。Δu′|t=tk=u′ (tk+) -u′ (tk-) , u (t) 在tk左连续, f (t, x, y) ∈C ( (0, tm+1) × (0, +∞) × (0, +∞) , (0, +∞) ) , 同时不但f (t, x, y) 在t=0, x=0, y=0具有奇异性, 而且I0, k (x, y) , I1, k (x, y) 在x=0, y=0也具有奇异性。记J=[0, tm+1]-{t1, t2, …, tm+1}。PC (J, R) ={u∶J→R|u (t) 在J上连续, 且u (tk-) 与u (tk+) 均是存在的}。

1 引理

引理1[1] 在范数‖·‖下, PC (J, R) 是Banach空间。

我们说f (t, x, y) 在x=0具有奇异性是指

$\underset{x\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}f(t,x,y)=+\infty$。

对任意的t∈[a, b]⊆ (0, +∞) 和y∈ (0, +∞) 一致成立。同样地我们说f (t, x, y) 在y=0具有奇异性是指

$\underset{y\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}f(t,x,y)=+\infty$ (2)

对∀t∈[a, b]⊆ (0, +∞) 及x∈ (0, +∞) 一致成立。

设f∈C ( (0, tm+1) × (0, +∞) × (0, +∞) , (0, +∞) ) , I0, k, I1, k∈C ( (0, +∞) , (0, +∞) ) , Fk, Gk∈C ( (0, +∞) , (0, +∞) ) , F, G∈C ( (0, +∞) , (0, +∞) ) , f (t, x, y) ≤k (t) F (x) G (y) , I1, k (x, y) ≤γ1, kFk (x) Gk (y) , γ1, k>0。k=1.2, …, m。且下面条件成立。

(H1) F (x) 是单调递减函数, 即若x1≤x2, 则一定有F (x1) ≥F (x2) ;

$(\text{Η}{}_2)\underset{y\to +\infty }{\overset{——}{{\displaystyle \lim }}}G(y)＜+\infty ;$

$(\text{Η}{}_3)\frac{1}{G}\text{■}L[1,t{}_{m+1}];$

(H4) Fk (x) 是单调递减函数, 也就是说, 若x1≤x2, 则一定有Fk (x1) ≥Fk (x2) ;

$(\text{Η}{}_5)\underset{y\to +\infty }{\overset{——}{{\displaystyle \lim }}}G{}_k(y)＜+\infty$。

定义$\sup G{}_k\left[\frac{1}{n},+\infty \right)=\underset{y\ge \frac{1}{n}}{{\displaystyle \sup }}G{}_k(y),\text{s}\text{u}\text{p}G\left[\frac{1}{n},+\infty \right)=\underset{y\ge \frac{1}{n}}{{\displaystyle \sup }}G(y)$, 由条件 (H2) 和 (H5) , 对任意的$z\in (0‚t{}_{m+1}),\sup G([z,t{}_{m+1}))=\underset{y\in [z,t{}_{m+1})}{{\displaystyle \sup }}G(y)＜+\infty$和$\sup G[\frac{1}{n},t{}_{m+1})=\underset{y\ge \frac{1}{n}}{{\displaystyle \sup }}G(y)$。

定义1u (t) 是式 (1) 的解是指u (t) 在J上二阶可导。u′ (tk-0) 与u′ (tk+0) 存在, u (tk) =u (tk-) 和u (tk+) 存在, 且满足

$\{\begin{array}{l}-u^{″}(t)=f(t,u,u^{\prime }),t\ne t{}_k,\\ \text{Δ}u|{}_{t=t{}_k}={\rm I}{}_{1,k}(u(t{}_k),u^{\prime }(t{}_k-)),k=1,2,\cdots ,m+1,\\ \text{Δ}{u}^{\prime }|{}_{t=t{}_k}=-{\rm I}{}_{1,k}(u(t{}_k),u^{\prime }(t{}_k)),\\ u(0)=0,u^{\prime }(t{}_{m+1})=0。\end{array}$

定义2P={x∈PC (J, R) |x (t) ≥0, ∀t∈J}, 对于x∈P, 定义算子

$\begin{array}{l}({\rm T}x)(t)=\\ \{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^t}x(s)\text{d}s,t\in [0,t{}_1),\\ {\displaystyle {\int }_0^t}x(s)\text{d}s+{\rm I}{}_{0,1}(({\rm T}x)(t{}_1),x(t{}_1-)),t\in (t{}_1,t{}_2],\\ ⋮\\ {\displaystyle {\int }_0^t}x(s)\text{d}s+{\rm I}{}_{0,1}(({\rm T}x)(t{}_1),x(t{}_1-))+\\ \cdots +{\rm I}{}_{0,m-1}(({\rm T}x)(t{}_{m-1}),\\ x(t{}_{m-1}-)),t\in (t{}_{m-1},t{}_m],\\ {\displaystyle {\int }_0^t}x(s)\text{d}s+{\rm I}{}_{0,1}(({\rm T}x)(t{}_1),x(t{}_1-))+\\ \cdots +{\rm I}{}_{0,m-1}(({\rm T}x)(t{}_{m-1}),x(t{}_{m-1}-)+\\ {\rm I}{}_{0,m}(({\rm T}x)(t{}_m),x(t{}_{m-1})),\\ t\in (t{}_m,t{}_{m+1}]。\end{array}\end{array}$

取自然数n0>1。满足$\frac{1}{n{}_0}＜t$, 对于每一个n∈{n0, n0+1, …}, x∈P.定义算子[2]

$\begin{array}{l}(A{}_{n}x)(t)=\\ \{\begin{array}{l}\frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s,t\in (t{}_m,t{}_{m+1}],\\ \frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_m}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}\left(({\rm T}x)(t{}_m)+\frac{1}{n},x(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right),\\ t\in (t{}_{m-1},t{}_m],\\ ┇\\ \frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_1}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_1}^{t{}_2}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ \cdots +{\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}x)(s)+\frac{1}{n},x(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}\left(({\rm T}x)(t{}_m)+\frac{1}{n},x(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right)+\\ {\rm I}{}_{1,m-1}\left(({\rm T}x)(t{}_{m-1})+\frac{1}{n},x(t{}_{m-1}-)+\frac{1}{n}\right)+\\ \cdots +{\rm I}{}_{1,1}\left(({\rm T}x)(t{}_1)+\frac{1}{n}x(t{}_1-)+\frac{1}{n}\right),\\ t\in [0,t{}_1)。\end{array}\end{array}$

显然, 若tk (t) ∈L[0, tm+1) , 则对于每一个n∈{n0, n0+1, …], An∶P→P是全连续算子。

引理2 若tk (t) ∈L[0, tm+1) 。存在yn∈P, 使得

$\begin{array}{l}(y{}_n)(t)=\\ \{\begin{array}{l}\frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}}f\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s,\\ t\in (t{}_m,t{}_{m+1}],\\ \frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_m}}f\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}}f\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right),\\ t\in (t{}_{m-1},t{}_m],\\ ⋮\\ \frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_1}f}\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_1}^{t{}_2}f}\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\cdots +\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right)+\\ {\rm I}{}_{1,m-1}(({\rm T}y{}_n(t{}_{m-1})+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_{m-1}-)+\\ \frac{1}{n})+\cdots +{\rm I}{}_{1‚1}(({\rm T}y{}_n)(t{}_1)+\\ \frac{1}{n},y{}_n(t{}_1-)+\frac{1}{n}),t\in [0,t{}_1]\end{array}(3)\end{array}$

证明 令$a{}_n={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{t{}_{m+1}}k}(s)\text{d}s,a{}_n\le {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{t{}_{m+1}}\frac{s}{\frac{1}{n}}}k(s)\text{d}s\le na{}_n＜+\infty$。由此, 对于任意的n, 取足够大的Rn>0, 使得

$\begin{array}{l}1+ma{}_{n}F\left(\frac{1}{n}\right)\sup G\left[\frac{1}{n},+\infty \right)+\gamma {}_{1,1}F{}_1\left(\frac{1}{n}\right)\sup G{}_1\left[\frac{1}{n},+\infty \right)+\cdots +\gamma {}_{1,m}F{}_m\left(\frac{1}{n}\right)\\ \sup G{}_m\left[\frac{1}{n},+\infty \right)\le R{}_n。\end{array}$

令Cn=$y\in {\rm P}|\frac{1}{n}\le y(t)\le R{}_n$。y (t) 单调递减。对y∈Cn, 易见

$\frac{1}{n}\le (A{}_{ny})(t)\le \{\begin{array}{l}1+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s,\\ t\in (t{}_m,t{}_{m+1}],\\ 1+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_m}}f\left(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}\left(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n}‚y{}_n(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right),\\ t\in (t{}_{m-1},t{}_m],\\ ⋮\\ 1+{\displaystyle {\int }_t^{t{}_1}}f\left(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n}‚y(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ \cdots +{\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\\ \frac{1}{n})\text{d}s+{\rm I}{}_{1,m}(({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_{m-})+\\ \frac{1}{n})+\cdots +{\rm I}{}_{1,1}(({\rm T}y{}_n)(t{}_1)+\frac{1}{n},\\ y{}_n(t{}_1)+\frac{1}{n}),t\in [0,t{}_1]\le 1+\\ {\displaystyle {\int }_t^{t{}_1}f}\left(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ \cdots +{\displaystyle {\int }_{t{}_m}^{t{}_{m+1}}f}(s,({\rm T}y)(s)+\frac{1}{n},y(s)+\\ \frac{1}{n})\text{d}s+\gamma {}_{1,m}F{}_m\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n}\right),\\ G{}_m\left(y{}_n(t{}_m)+\frac{1}{n}\right)+\gamma {}_{1,m-1}F{}_{m-1}(({\rm T}y{}_n)\times \\ (t{}_{m-1})+\frac{1}{n})G{}_{m-1}\left(y{}_n(t{}_{m-1})+\frac{1}{n}\right)+\\ \cdots +\gamma {}_{1,1}F{}_1\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_1)+\frac{1}{n}\right)\times \\ G{}_1\left(y{}_n(t{}_1)+\frac{1}{n}\right)\le R{}_n。\end{array}$

所以AnCn⊆Cn, 又因为An∶Cn→Cn是全连续算子, 所以An在Cn中至少有一个不动点yn。

定理 设 (H1) — (H5) 成立, 且tk (t) ∈L[0, tm+1], 则方程 (1) 至少有一个正解。

证明 由引理2知, 对每一个n, 存在yn∈Cn满足 (3) 式, 下面考虑集合{yn}。

1.1 首先证明对任意的[a, b]∈ (0, tm+1) , yn (t) 在[tk-1, tk]与|a, b|) 上是等度连续的

令$w(t)=\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \inf }}y{}_n(t)‚W(t)=\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \sup }}y{}_n(t)$, 则一定有

0<w (t) ≤W (t) <+∞, t∈J (4)

首先证明w (t) >0, t∈J。

设存在t0>0, 使得w (t0) =0, 则存在{ynk}满足$\underset{k\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_{n{}_k}(t{}_0)=0$。ynk (t) 的单调递减性保证了{ynk (t) }在 (t0, tm+1) 上一致收敛于0。由式 (2) 保证, 存在δ>0, 使得只要0<y≤δ<1, 则一定有$f(t,x,y)＞\frac{1}{b-a},t\in [a,b],x\in (0,t{}_{m+1})$。

可取自然数K>0, 使得$0＜y{}_{n{}_k}+\frac{1}{n{}_k}＜\delta ,t\in [a,b]$。由式 (3) 可知:

$\begin{array}{l}\delta ＞y{}_{n{}_k}(a)\ge {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(s,({\rm T}y{}_{n{}_k})(s)+\frac{1}{n{}_k},y{}_{n{}_k}(s)+\frac{1}{n{}_k}\right)\text{d}s＞\\ {\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{b-a}}\text{d}s=1,\end{array}$

矛盾。所以, w (t) >0, t∈[0, tm+1]。

令$\eta (t)=\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \inf }}{\displaystyle {\int }_0^{t}y}{}_n(s)\text{d}s$, 易见η (t) >0, t∈ (0, tm+1) , 显然w (t) 在 (0, tm+1) 上 单减。η (t) 在 (0, tm+1) 上单增。$y{}_n(t{}_m+)=\frac{1}{n}+{\displaystyle {\int }_{t{}_{m+}}^{t{}_{m+1}}f}$$s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n}‚y{}_n(s)+\frac{1}{n}$ds≤1+F ( (Tyn (tm+1) ) 。∫${}_{t{}_{m+}}^{t{}_{m+1}}$k (s) G (yn (tm+) ) ds。

由 (Tyn) (tm+) =∫${}_0^{t{}_{m+}}$yn (s) ds+I0, 1 ( (Tyn) (t1) , x (t1-) ) +…I0, m-1 ( (Tyn) (tm-1) , x (tm-1-) ) ≥∫${}_0^{t{}_{m+}}$yn (s) ds≥∫${}_0^{t{}_{m+}}$w (s) ds及 (H1) 知, F ( (Tyn) × (tm+) ) 是有界的;又由条件 (H2) 易得yn (tm+) 是有界的。

由于yn (tm-) =yn (tm+) +I1, m$({\rm T}y{}_n)(t{}_m)+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_m-)+\frac{1}{n}$≤yn (tm+) +γ1, mFm$({\rm T}y{}_n)\times (t{}_m)+\frac{1}{n}$$G{}_m\left(y{}_n(t{}_m-)+\frac{1}{n}\right)$。于是yn (tm-) 是有界的。同理{yn (tk+) }, {yn (tk-) }是有界的, k=1, 2, …, m-1。

对于t∈ (tm, tm+1) , 由

$-\frac{y{}_n´(s)}{G(y{}_n(s))}\le k(s)F(\eta (s)),s\in (t{}_m,t{}_{m+1}),\left(n\ge \frac{1}{t}\right)$。

从tm到tm+1积分, 我们有

${\displaystyle {\int }_{y{}_n(t{}_m)}^{y{}_n(t{}_{m+1})}\frac{1}{G(r)}}\text{d}r\le {\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}k}(s)\text{d}sF(\eta (t))＜+\infty$。

所以{yn (t) }是有界的, t∈ (tm, tm+1) 。同理得t∈ (tk, tk+1) 时, {yn (t) }也是有界的。k=0, 1, …, m-1。于是可得{yn (t) }有界, t∈J∪{t1, t2, …, tm+1}, 从而, 0<w (t) ≤W (t) <+∞。∀t∈J。

对固定的[a, b]⊆ ( 0, tm+1) , 根据 (H1) , (H3) 及式 (4) , 我们有$\left(n\ge \frac{1}{t}\right)$。

0≤-y′ (t) ≤k (t) F (η (a) ) sup G ([wb, +∞) ) ∈

L (a, b) , t∈[a, b]-{tk} (5)

这里$w{}_b=\underset{t\ge b}{{\displaystyle \inf }}w(t)\ge 0$。不等式 (5) Lebesgue积分的绝对收敛性保证了{yn (t) }在 (tk-1, tk) ∩[a, b], k=1, 2, …, m+1上是等度连续的。Arzela-Ascoli定理保证存在子列, 在每一个 [a, b]上一致收敛。令$a=\frac{1}{3l},b=t{}_{m+1}-\frac{1}{3l},l$是自然数。当l=1时, 存在{yn (t) }的子列{y${}_n^{(1)}$ (t) }, 其在$\left[\frac{1}{3},t{}_{m+1}-\frac{1}{3}\right]$上一致收敛。当l=2时, 存在{yn (t) }的子列{y (2) n (t) }, 其在$\left[\frac{1}{6},t{}_{m+1}-\frac{1}{6}\right]$上一致收敛。一直进行下去, 存在{yn (t) }的子列{y${}_n^{(l+1)}$ (t) }, 在$\left[\frac{1}{3(l+1)},t{}_{m+1}-\frac{1}{3(l+1)}\right]$上一致收敛。l=1, 2, …, 则对角线序列{y${}_l^{(l)}$ (t) }在 (0, tm+1) -{tk}, k=1, 2, …, m+1上每一点都收敛。且容易验证{y${}_l^{(l)}$ (t) }在任意的[a, b]⊆ (0, tm+1) 上一致收敛。不失一般性, 可以假设yn (t) 在 (0, tm+1) -{tk}, k=1, 2, …, m+1上每一点都收敛。在任意的[a, b]⊆ (0, tm+1) -{tk}, k=1, 2, …, m+1上一致收敛。

令$y(t)=\underset{n\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_n(t),t\in (0,t{}_{m+1})-\{t{}_k\}$, 则y (t) 在 (0, tm+1) -{tk}, k=1, 2, …, m+1上是连续的, 单调递减的。

1.2 y (t) 是式 (1) 的正解

首先, 我们证明

$\underset{h\to 0}{{\displaystyle \lim }}\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \sup }}{\displaystyle {\int }_0^{h}y}{}_n(s)\text{d}s=0$ (6)

令h<t1, 由式 (3) , 有$y{}_n(t)-y{}_n\left(\frac{t{}_1}{2}\right)\le {\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}f}$$s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}$$\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}k}(s)\times F\left(({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n}\right)G(y{}_n(s)+\frac{1}{n}$$\text{d}s,t\in \left(0,\frac{t{}_1}{2}\right],(n＞2)$。注意到t≤s, (Tyn) (s) =∫0syn (τ) dτ≥∫0tyn (τ) dτ= (Tyn) (t) 及F (x) 的单减性, 我们有$y{}_n(t)\le {\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}k}(s)\text{d}sF(({\rm T}y{}_n)(t))\sup G$$w\left(\frac{t{}_1}{2}\right),+\infty$$+\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \sup }}y{}_n\left(\frac{t{}_1}{2}\right),t\in \left(0,\frac{t{}_1}{2}\right]$。所以,

$\begin{array}{l}\frac{y{}_n(t)}{F(({\rm T}y{}_n)(t))+1}\le {\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}k}(s)\text{d}s\sup G([w\left(\frac{t{}_1}{2}\right),\\ +\infty \end{array}$

$+W\left(\frac{t{}_1}{2}\right)\frac{1}{F(({\rm T}y{}_n)(t))+1}$ (7)

令 (Tyn) (t) =μ, 由式 (7) 可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{({\rm T}y{}_n)(h)}}\frac{1}{F(\mu )+1}\text{d}u\le {\displaystyle {\int }_0^h{\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}k}}(s)\text{d}s\text{d}t\times \\ \sup G\left(\left[w\left(\frac{t{}_1}{2}\right),+\infty \right)\right)+W\left(\frac{t{}_1}{2}\right)h(8)\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{于}{\displaystyle {\int }_0^h{\displaystyle {\int }_t^{\frac{t{}_1}{2}}k}}(s)\text{d}s\text{d}t={\displaystyle {\int }_0^h{\displaystyle {\int }_0^{s}k}}(s)\text{d}t\text{d}s+\\ {\displaystyle {\int }_0^h{\displaystyle {\int }_h^{\frac{t{}_1}{2}}k}}(s)\text{d}t\text{d}s={\displaystyle {\int }_0^{h}s}k(s)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_h^{\frac{t{}_1}{2}}h}k(s)\text{d}s\end{array}$

, 又由 (H1) 得$\left\{({\rm T}y{}_n)\left(\frac{t{}_1}{2}\right)\right\}$是有界的。Fatou引理可以保证

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{t{}_1}{2}}y}(s)\text{d}s={\displaystyle {\int }_0^{\frac{t{}_1}{2}}\underset{n\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}}y{}_n(s)\text{d}s\le \underset{n\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{t{}_1}{2}}y}{}_n(s)\text{d}s＜+\infty$。

所以, 加上y (t) 在 (0, t1) 上的连续性及y (t1+0) , y (t1-0) 的存在性知y∈L[0, t1]。

令$C(h)=\underset{n\ge 1}{{\displaystyle \sup }}{\displaystyle {\int }_0^{h}y}{}_n(s)\text{d}s$, 则C (h) 在$\left(0,\frac{t{}_1}{2}\right]$上单增的。若式 (6) 不成立, 也就是, 存在c>0使得C (0+) ≥c。对于$h=\frac{1}{l}‚l$是自然数。存在nl使得$\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{l}}y}{}_{n1}(s)\text{d}s\right\}\ge \frac{c}{2}$。在式 (8) 中令$h=\frac{1}{i}‚n=n{}_l$及l→+∞我们有${\displaystyle {\int }_0^{\frac{c}{2}}\frac{1}{F(\mu )+1}}\text{d}\mu =0$。矛盾。

由式 (6) 知对于任意的ε>0, 存在t1>h>0使得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{h}y}{}_n(s)\text{d}s＜\frac{\epsilon }{4},{\displaystyle {\int }_0^{h}y}(s)\text{d}s＜\frac{\epsilon }{4},\\ n\in \{n{}_0,n{}_0+1,\cdots \}。\end{array}$

由于对于任意的t∈[h, tk], {yn (t) }一致收敛于y (t) , 存在N>0使得

$\left|{\displaystyle {\int }_h^{t{}_k}(}y{}_n(s)-y(s))\text{d}s\right|＜\frac{\epsilon }{2},\forall n\ge {\rm N}$。所以

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{t{}_{k-1}}^{t{}_k}(}y{}_n(s)-y(s))\text{d}s\right|=\\ \left|{\displaystyle {\int }_{t{}_{k-1}}^h(}y{}_n(s)-y(s))\text{d}s+{\displaystyle {\int }_h^{t{}_k}(}y{}_n(s)-y(s))\text{d}s\right|\le \\ \left|{\displaystyle {\int }_{t{}_{k-1}}^{h}y}{}_n(s)\text{d}s\right|+\left|{\displaystyle {\int }_{t{}_{k-1}}^{h}y}(s)\text{d}s\right|+\\ \left|{\displaystyle {\int }_h^{t{}_k}(}y{}_n(s)-y(s)\text{d}s\right|\le \frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,\\ \forall n\ge {\rm N},k=1,2,\cdots ‚m+1。\end{array}$

从而{ (Tyn (t) ) }收敛于 (Ty) (t) , t∈[tk, tk+1]。显然 (Ty) (tk+1) > 0, 且I0, k和I1, k在 (0, tm+1) × (0, tm+1) 的连续性意味着

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}({\rm I}{}_{0,k}({\rm T}y{}_n)(t{}_k),y{}_n(t{}_k-))+{\rm I}{}_{1,k}(({\rm T}y{}_n)(t{}_k)),\\ y{}_n(t{}_k-))={\rm I}{}_{0,k}(({\rm T}y)(t{}_k),y(t{}_k-))+\\ {\rm I}{}_{1,k}(({\rm T}y(t{}_k),y(t{}_k-))。\end{array}$

所以, 对于t∈ (tk, tm+1) , $({\rm T}y{}_n)(t)-({\rm T}y)(t)|\le \left|{\displaystyle {\int }_0^t(}y{}_n(s)-y(s))\right|+$I0, k ( (Tyn) (tk) , yn (tk-) ) -I0, k ( (Ty) (tk) -y (tk-) ) +I1, k ( (Tyn) (tk) , yn (tk-) ) -I1, k ( (Ty) (tk) , y (tk-) ) →0, n→+∞。

因此, $\underset{n\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}({\rm T}y{}_n)(t)=({\rm T}y)(t),\forall t\in (0,t{}_{m+1})-\{t{}_k\},k=1,2,\cdots ‚m+1$。

对于固定的t∈ (0, tm+1) , 取γ>tk, f (t, x, y) 的连续性保证, $\left\{f\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\right\}$收敛于f (s, (Ty) (s) , y (s) ) , s∈[t, γ]求s∈[γ, t], 由式 (3) , 我们有$\left(n\ge \frac{1}{t}\right)$。

$\begin{array}{l}y{}_n(t)-y{}_n(\gamma )=\\ \{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_t^{\gamma }f}\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s,\\ t\in (t{}_k,t{}_{m+1}),\\ {\displaystyle {\int }_t^{\gamma }f}\left(s,({\rm T}y{}_n)(s)+\frac{1}{n},y{}_n(s)+\frac{1}{n}\right)\text{d}s+\\ {\displaystyle \sum _{\gamma ＜t{}_k＜t}{\rm I}}{}_{1,k}\left(({\rm T}y{}_n)(t{}_k)+\frac{1}{n},y{}_n(t{}_k-)+\frac{1}{n}\right),\\ t\in \left[\frac{1}{n},tk\right),k=1,2,\cdots ‚m。\end{array}\end{array}$

由于 (Tyn) (t) >η (t) 及式 (4) , 令n→+∞, 我们有

y (t) -y (γ) =

令在式 (5) 中t=γ及n→+∞。我们有

${\displaystyle {\int }_0^{y(\gamma )}}\frac{1}{G(y)}\text{d}y\le {\displaystyle {\int }_{\gamma }^{\infty }k}(s)\text{d}sF\left(\eta \left(\frac{t{}_{m+1}}{2}+t{}_m\right)\right)$ (10)

由不等式 (10) 可知$y(t{}_{m+1})=\underset{\gamma \to t{}_{m+1}}{{\displaystyle \lim }}y(\gamma )=0$。在式 (9) 中令γ→tm+1。我们有

$y(t)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}f}(s,({\rm T}y)(s),y(s))\text{d}s,t\in (t{}_m,t{}_{m+1}],\\ {\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}f}(s,({\rm T}y)(s),y(s))\text{d}s+\\ {\rm I}{}_{1,m}(({\rm T}y)(t{}_m),y(t{}_m-)),t\in (t{}_{m-1},t{}_m),\\ ⋮\\ {\displaystyle {\int }_t^{t{}_{m+1}}f}(s,({\rm T}y)(s),y(s))\text{d}s+{\rm I}{}_{1,m}(({\rm T}y)(t{}_m),\\ y(t{}_m-))+\cdots +{\rm I}{}_{1,1}(({\rm T}y)(t{}_1),y(t{}_1-)),\\ t\in (0,t{}_1]\end{array}$

所以, x (t) = (Ty) (t) 是式 (1) 的一个正解。

摘要：利用全连续算子的不动点定理, 研究了二阶非线性脉冲奇异微分方程两点边值问题正解的存在性。

关键词：脉冲奇异微分方程,全连续算子,Schauder不动点定理,正解

参考文献

[1]Guo D.Existence of positive solutions fornth-order nonlinear impul-sive singular integro-differential equations in Banach spaces.Nonlin-ear Analysis, 2008;68:2727—2740

奇异性分析 篇9

关键词：奇异,半正,非平凡解

1 引言

文献[1]与[2]分别讨论了奇异(k,n-k)边值问题的格林函数和正解存在性及其应用,其中文献[3]研究非线性奇异(k,n-k)多点边值问题

在边值条件

下正解的存在性,其中0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai∈[0,+∞),并且允许h(x)在x=0和x=1奇异。本章在文献[3]的次线性条件基础上通过添加一个半正条件f(u)≥一b,b≥0,,,将文献[3]中的结论推广到非平凡解的存在性。

2 准备工作

在Banach空间C[0,1]中,范数由中,,则P是定义,该范数称为最大值范数,C[0,1]中的正锥。本文中所提到范数均为最大值范数。

令

容易证明Φ1(x)>0,x∈[0,1]。根据Euler积分的性质可知Φ1(0)=1,Φ1(1)=0。

假设:;

连(H2)h:(0,1)→[0,+∞)续,,并且;

(H3)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)连续

设

容易证明k(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续,且k(x,y)≥0,(0≤x,y≤1)。

在条件(H1)下,令

,其

容易证明K(x,y)有界。

引理1[3]假设(H1)-(H3)满足,则由(3)所定义的算子T与A:C[0,1]→C[0,1]是全连续算子。

引理2假设(H1)—(H3)满足,如果A有不动点φ≠0,则φ是边值问题(1)(2)的非平凡解。

3 非平凡解存在性定理

定理设(H1)—(H3)满足,如果存在常数b≥0,使得

其中λ1是由(4)所定义的算子T的第一特征值,则边值问题(1)(2)至少存在一个非平凡解.

证明由(6)式知,存在r1>0,使得

因

假设A在上没有不动点(否则定理得证)。令φ*是T相应于λ1的特征函数,因此φ*=λ1Tφ*。现在证

否则,存在且τ0≥0,使得φ1-Aφ1=τ0φ*,因此φ1=Aφ1+τ0φ*≥τ0φ*,令

很容易得到τ*≥τ0>0,且φ1≥从可得到

因此,由(8)式和(11)式有,这与τ*的定义矛盾,因此(9)式成立.

因为,由同伦不变性[4]和文献[5]中引理3.2.3推论知,

令,容易证明,并且,定义那么.由(7)式得,存在和0<σ<1使得.定义T1φ=σλ1Tφ,φ∈C[0,1],则T1:C[0,1]→C[0,1]是有界线性算子且容易证明W是有界的。

取下面证明在上没有不动点.

假设存在,使得,则φ1∈W,此时μ=1,并且,矛盾,所以在上没有不动点.因此,由LerarySchauder不动点定理[4]和不动点指数的保持性和同伦不变性可知

设全连续同伦函数,则ht(φ)=φ-H(t,φ),下面证明。假设存在,使得ht (φ)=θ即H(t0,φ2)=φ2,那么,并且因此.又因为,矛盾。故。

由同伦不变性和(13)式得

由(1 2)和(1 4)知deg所以A在上至少存在一个不动点,即边值问题(1)(2)至少存在一个非平凡解.推论设(H1)-(H3)满足,如果存在常数b*≥0,使得,其中。同时(6)(7)满足,则边值问题(1)(2)至少存在一个非平凡解.

证明定义

由定理知Al至少存在一个非零不动点,则

从(15)有,x∈[0,1],则

因此,是奇异边值问题(1)(2)的非平凡解。

参考文献

[1]蒋达清.奇异(k,n-k)共轭边值问题的正解[J].数学学报,2001,44:541-548.

[2]Kong L B,Wang J Y.The Green's Function for (k,n-k) conjugate boundary value problems and its applications [J],J Math Anal Appl,2001,255:404-422.

[3]张国伟,孙经先.奇异(k,n-k)多点边值问题的正解[J].数学学报,2006,49(2):391-398.

[4]郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科学技术出版社,2001:55-56.