中点问题论文

中点问题论文（通用12篇）

中点问题论文 篇1

线段的中点是几何图形中的一个特殊点,与中点有关的问题很多。在近几年的中考题中,中点问题是高频题,涉及到选择、填空、简答每一种题型。添加适当的辅助线,恰当地利用中点是处理中点问题的关键。

一、等腰三角形的“三线合一”

如果已知等腰三角形底边上的中点,就要联想到“三线合一”的性质。

例如:如图,已知:∠BAC=60°,AB=AC=2,D为BC边的中点,则AD=____

分析:知道了底边BC的中点D,应该联想到“三线合一”,连接AD,则AD既是底边的中线又是底边的高线还是顶角的角平分线,再利用直角三角形的锐角三角函数或勾股定理都可以解决问题。

二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如果已知中有垂直或直角,就要看中点是否是直角三角形斜边上的中点,用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理来解决问题。

例如:如图,已知△ABC中,BD、CE为高线,点M是DE的中点,点N是BC的中点.求证:MN⊥DE.

分析:本题是从另一类重要的特殊图形———直角三角形入手,揭示中点问题的解法。由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。因此如果题目中有直角三角形斜边中点的条件,那么最好的辅助线是做出斜边中线,这样就能得到两个腰长相等的等腰三角形,把直角三角形问题转化为等腰三角形问题,从而实现直角三角形与等腰三角形的互化,可以获得更多的条件,为解题提供思路。

三、三角形的中位线

如果条件告诉的中点既不是直角三角形斜边的中点,也不是等腰三角形底边的中点,可联想三角形的中位线定理。

例如:如图,△ABC中,中线BE、CD相交于F,求证:FC=2FD.

分析:由已知三角形两边的中点,想到连接两中点构成中位线,运用中位线定理解决问题。

四、遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形

例如:如图:梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,AD=1,BC=2,CD=3,E为AB中点,求证:DE⊥EC。

分析:如果直接证明,是不容易的,联想到AD∥BC,点E是AB的中点,我们延长DE,与CB的延长线交于点F,这样,我们不但构造出一对八字型的全等三角形,还得到了一个等腰三角形,从而利用等腰三角形的“三线合一”解决问题。

五、遇到中点,倍长中线构造全等

例如:如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,BC上的中线AD=2,求BC的长.

分析:AD为BC边上的中线,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,这样就构造了全等而且利用勾股定理的逆定理得到了一个直角三角形,再利用直角三角形的勾股定理得以解决。

六、中线平分三角形的面积

分析:如果直接证明,是不容易,我们就构造出一对八字型的全等三角形,如下图(右),就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上,问题就好解决了。

七、垂径定理

例如:如下图所示,AB是⊙O的弦,点是AB的中点,若AB=8cm,OC=3cm,则⊙O的半径为______cm.

分析:由点C是AB的中点,想到圆的垂径定理,得到OC⊥AB,这样就可以利用直角三角形的勾股定理来解决问题。

八、在解决几何图形问题时,我们对一些典型问题要掌握一些常用的解题方法

有些题目综合性比较强,但万变不离其宗,我们只要能从复杂的图形中分解出基本图形,仍然可以利用中点问题的一般方法来应对。

例如1、已知AD是△ABC的角平分线,AB=10,AC=6,CN⊥AD于N,且M是BC的中点.则MN的长为______.

分析:已知AD是角平分线,CN⊥AD,可以想到AN具有角平分线和高线两种角色,这种情况只有在等腰三角形中才有,所以延长CN与AB相交就会得到一个等腰三角形,再根据等腰三角形的三线合一的性质得到N为中点,再由三角形中位线定理得出结果。

2.如上图(右),已知△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G为垂足.求证:G是CE的中点。

分析:要证明G为CE的中点,而已知DG⊥CE,只要证明△CDE是等腰三角形,从而得到辅助线,连接DE去证明DE=DC,而DC=BE,从而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得以证明。

往往一道数学题并不是单一的一个知识点的应用,而是多种知识的综合,所以在处理中点问题时,要培养学生的观察能力,提高学生的图形结合能力,综合分析能力与概括能力,实现各知识间的互相转换。

总之,中点问题的种类还很多,需要我们进一步去研究探索。

中点问题论文 篇2

点赞？你在朋友圈为别人点赞？别傻了。你快来和我一起为庄中点赞吧！

我们的大庄中，至今成立了59年多，你不知吧，庄中竟然有如此年迈的年龄了。其实刚开始，庄中还并不是具备当时国家的要求。而且庄中四度择址，三次搬迁，其间风风雨雨，历数难尽，四顾过去，我们的庄中真伟大！

庄中一直都在不断培养人才，每个老师都十分关心各个学生的情况，无论是学生的学习，生活或心理上的问题，老师以自己最大的能力去帮助我们。他们像我们的朋友，希望我们和他们交谈时就如朋友之间的聊天，能和老师讲自己的心话。

而庄中的成绩也是相当不错的，这十年来，无论是文科，理科还是体育，我们南庄中学都以区第一稳住江山，每一年都有不少精英，他们都是学校培养出来的，当然，更多的是他们个人的.努力，每天勤奋积累的。但是在装置，环境不怎么好，他们又是如何度过的呢？可能在初一的时候还有点烦躁，定不下来，可到下学期基本适应了。所以，又是到了炎热的夏天也好寒冷的冬天也好，他们似乎都不受影响，依旧认真学习。当他们上了高中，即使受到了点苦，但他们还是从容不迫的面对，因为他们说，这点小苦算什么？在庄中都受过了。所以庄中的学生，被高中的老师说过，是最能耐的学生。是的，庄中造就了一批不怕苦的学生。

作为庄中的学生，我们要感谢庄中的老师感谢庄中的环境，即使庄中的老师不一定都能懂四书五经，庄中不一定能在教室凉到空调，但庄中的老师关爱学生，也培育了一批又一批庞大的精英队伍，造就了一批又一批吃苦耐劳的学生。待你上了高中，你会因你曾是庄中的旧校友而感到自豪，当别人在埋怨天气热的时候，你早就习惯了，就能比别人更早进入状态，你看这多好。

虽然在庄中的3年你会遇到许多苦，但是庄中也给我们带来很多好处啊！所以，有的时候坏的环境造就人才！

圆锥曲线中点弦问题解法探究 篇3

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

（责任编辑钟伟芳）endprint

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点问题，这类问题一般有以下几种类型：（1）求中点弦所在的直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）弦长为定值时，弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等，但最常用的方法为点差法和待定系数法.

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

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直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点问题，这类问题一般有以下几种类型：（1）求中点弦所在的直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）弦长为定值时，弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等，但最常用的方法为点差法和待定系数法.

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

一类中点弦问题的巧解 篇4

性质:设AB是圆锥曲线C:mx2+ny2=1 (m, n≠0, 且m, n不同为负) 中不垂直于对称轴的一条弦, M是AB的中点, O是此圆锥曲线的中心, 则有.

证明:设点A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) , 由题设知|x1|≠|x2|, 点A、B在圆锥曲线上,

故

因为

所以.

用此性质可避免解析几何中的中点弦问题繁杂的化简过程, 巧解解析几何中的中点弦问题.

例1若椭圆的弦被点 (4, 2) 平分, 则此弦所在直线的斜率为 ()

解法1: (直接对照思路1) 设此弦的两个端点坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , 则, 两式相减得, 又x1+x2=8, y1+y2=4.所以, 即此弦所在直线的斜率为.故选 (D) .

解法2: (直接对照思路2) 设弦所在直线的方程为y-2=k (x-4) , 代入, 得 (1+4k2) x2+ (16k-32k2) x+64k2-64k-20=0, 所以, 解得, 故选 (D) .

解法3: (巧用性质) 设弦为AB, 且AB的中点为M, 利用中点弦斜率公式得, 而, 故.

点评:比较以上三种解法清晰看到利用性质解题快速, 简洁, 达到了小题“小做”、小题“巧做”的目的.

例2椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点, 过原点与线段AB中点的直线的斜率为, 则= ()

解析:设AB的中点为M, 则, 故.故选 (A) .

例3已知双曲线中心在原点, 且一个焦点为, 直线y=x-1与其相交于M、N两点, MN中点的横坐标为, 则此双曲线方程为 ()

解析:设所求方程为, MN的中点为P, 则.故.由中点弦斜率公式得, 所以, 即2n=-5m, 又m-n=7, 得m=2, n=-5, 故选 (D) .

例4椭圆 (a>0, b>0) 的两个焦点为F1、F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥F1F2, . (1) 求椭圆的方程. (2) 若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆于A、B两点, 且A、B关于点M对称, 求直线L的方程.

解析: (1) (解略) 所求椭圆的方程为. (2) 求直线L的方程关键是求出直线的斜率.由题意知M为AB的中点, 且8x-9y+25=0, 由中点弦斜率公式得, 所以.

西餐中点餐须知的礼仪 篇5

现在越来越多的人喜欢吃西餐。但是呢知道吗，西餐的点餐是有一定讲究的，并不是一件随便容易的事情哦!下面就为你介绍西餐中的点餐文化!

吃西餐不仅能够给味蕾偶尔换换口味，同时，还能让我们更加了解西方文化。众所周知，西餐和中餐有着很大的区别，中餐是用筷子，西餐则是用刀叉，饮食文化更是截然不同。对于吃西餐还不是很了解的朋友们，一定觉得西餐点餐是很让人摸不着头脑的事情。

西餐中的点餐文化：

头盘：也称为开胃品，一般有冷盘和热盘之分，常见的品种有鱼子酱、鹅肝酱、熏鲑鱼、鸡尾杯。奶油鸡酥盒、焗蜗牛等。

主菜：肉、禽类菜肴是主菜。其中最有代表性的是牛肉或牛排，肉类菜肴配用的调味计主要有西班牙汁、浓烧汁精、蘑菇汁、白尼丝汁等。禽类菜肴的.原料取自鸡。鸭、鹅;禽类菜肴最多的是鸡，可煮、可炸、可烤、可焗，主要的调味汁有咖喱汁、奶油汁等。

汤：大致可分为清汤、奶油汤、蔬菜汤和冷汤等4类。品种有牛尾清汤、各式奶油汤、海鲜汤、美式蛤蜊汤、意式蔬菜汤、俄式罗宋汤。法式葱头汤。

副菜：通常水产类菜肴与蛋类、面包类、酥盒菜肴均称为副菜。西餐吃鱼类菜肴讲究使用专用的调味汁，品种有鞑靼汁、荷兰汁、酒店汁、白奶油汁、大主教汁、美国汁和水手鱼汁等。

蔬菜类菜肴：可以安排在肉类菜肴之后，也可以与肉类菜肴同时上桌，蔬菜类菜肴在西餐中称为沙拉。与主菜同时搭配的沙拉，称为生蔬菜沙拉，一般用生菜、番茄、黄瓜、芦笋等制作。还有一类是用鱼、肉、蛋类制作的，一般不加味汁。

甜品：西餐的甜品是主菜后食用的，可以算作是第六道菜。从真正意义上讲，它包括所有主菜后的食物，如布丁、冰激凌、奶酪、水果等等。

咖啡：最后一般会根据各人需要上咖啡。

中点问题论文 篇6

【关键词】中点弦 焦点弦 点差法 切线问题

中国分类号：G633.6

一、中点牵线、定理辅助，速解圆锥曲线中点弦问题

中点弦问题是历年高考的热点问题，是圆锥曲线中一道亮丽的风景线，备受高考命题者的青睐，下面对这一问题做一些结论性的探究.

圆锥曲线的“焦点弦”问题涉及到离心率、直线的斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识.“焦点弦”问题是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，成为高考的热点问题.而弦中点的巧妙搭桥，给我们的解题带来了极大的方便.

上述几道例题利用“弦中点”从全新的角度对近几年的部分高考题作了解答，从解答的过程不难发现，涉及到“焦点弦”问题若能很好的结合弦的中点进行思考，往往能帶来事半功倍的效果.

对一类抛物线中点弦问题的探讨 篇7

抛物线弦的中点最值问题是高中数学中有关弦的常见题型之一,其解法灵活多样.本文从多个角度出发,探讨该题的多种解法,并对各种解法予以点评,然后再把问题推广到一般形式.

一、解法探讨

解法1:(设点法)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)则

,从而

.

所以直线AB方程为,即.代入y2=x得y2-2y0y.

由韦达定理,有

由|AB|=3,即

所以.

从而点M到y轴的距离.

当且仅当,即时,等号成立.

故点M到y轴的最短距离为,此时点M坐标为().

解法2:(参数法)设直线AB的倾斜角为α,线段AB的中点M(x0,y0),则有

由(1),(2)得

故点M到y轴的距离为

当且仅当时,取到最小值.此时即点M坐标为

解法3:(构造直线法)

(1)当AB所在直线不存在斜率时,易知此时点M坐标为(,0),从而此时M到y轴的距离为.

(2)当AB所在直线存在斜率时,设其方程为y=kx+b(k≠0),从而A、B可看作是该直线与抛物线的交点.

由得k2x2+(2kb-1)x+b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

所以

所以由题意,有，所以

相应的,点M的坐标为

所以此时M到y轴的距离

其判别式Δ≥0得,当且仅当k2=时取到等号,此时M到y轴的最小距离为.

由(1),(2)知M到y轴的最小距离为.相应的点M坐标为().

解法4:

(数形结合法)如图1所示,焦点F的坐标为(,0),l为其准线,|AB|=3,AE⊥l于E,BG⊥l于G,MN⊥l于N.

由抛物线的定义及梯形中位线的性质可知:

(当且仅当A、B、F共线时等号成立).

设点M的横坐标为x,则,所以,即,所以,点M到y轴的最短距离为.此时AB过焦点F,又|AB|=3,根据焦点弦长公式,有,得,斜率.写出AB的方程,从而求得点.

二、解法评述

解法1通过设出A、B的坐标,找出与其中点的关系而使问题获解.但设出的变量过多,导致列出了众多的关系式,对这么多的关系式的处理,是令许多同学头疼的问题,笔者在教学中曾经试验过,许多同学面对如此多的关系式,往往是一筹莫展.解法2用直线的倾斜角为参数,表示出了A、B的坐标之间的关系式,从而找出A、B的中点的关系式,而使问题获解,使得问题得以简化,但对于参数方程的运用,特别是新教材中对参数方程的要求降低以后,许多同学对于此种方法不太熟悉.解法3通过设出A、B所在直线的方程,解出A、B的坐标,再找出A、B的中点的关系式,使利用判别式法问题获解,思路直观,过程简捷,不失为解决这类问题的好方法.解法4利用定义,利用数形结合的方法使问题获解,许多资料上称该解法“思路新颖,解法独特,令人耳目一新”.但从解答的过程可知,上述解法成立的条件是动弦AB必须过焦点.我们知道,在经过抛物线焦点的弦中,以通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)最短,而抛物线y2=x的通径长为1,因此上述解法只有当|AB|≥1时才能成立.而当0<|AB|<1时,弦AB不可能过焦点,从而A、B、F不可能共线,等号就不可能成立,用上述方法就不会得出正确的结果.因此,运用数形结合的几何解法存在着局限性,缺乏普遍性.

三、引申推广

若把上面的问题变为下面的形式:

定长为L的线段AB的两个端点在抛物线y2=2px上移动,记线段AB的中点为M,求M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

容易验证:当L<2p时,上面的解法1,2,4都不成立,因为在应用基本不等式时,取不到等号.此时需改用函数最值的求法,利用其单调性才能解决;只有当L≥2p时,上述各种解法才都适用.

一般的,有如下结论:

构造辅助圆处理中点弦的方程问题 篇8

已知过点P ( x0, y0) 的直线与圆锥曲线f ( x, y) = 0交于A, B两点, 且弦AB被这点平分, 求弦AB所在的直线方程. 求解时:先构造以点P ( x0, y0) 为圆心, AB的长2r ( r > 0) 为直径的辅助圆 ( x - x0) 2+ ( y - y0) 2= r2; 再以此设点A的坐标为 ( x0+rcosθ, y0+ rsinθ) , 由中点坐标公式得点B的坐标为 ( x0- rcosθ, y0- rsinθ) , 由于A, B两点都在圆锥曲线f ( x, y) = 0上, 将点A, B的坐标代入曲线方程f ( x, y) = 0中, 可得两个式子:最后将1、2两式相减即可得到弦AB所在的直线的斜率, 其方程也就唾手可得.

但应引起重视的是: 在求解与双曲线有关的中点弦问题的时候, 若已知“中点”在双曲线外部, 不能轻易给出结论, 需要利用代数法再借助判别式验证一下这样的直线是否存在.

A, B两点, 且点P是线段AB的中点?

解: 假设过点P能作一条直线l满足条件.

以点P ( 1, 1) 为圆心, AB的长为直径作辅助圆 ( x - 1) 2+ ( y- 1) 2= r2 ( r > 0) ; 设点A为 ( 1 + rcosθ, 1 + rsinθ) , 则点B为 ( 1- rcosθ, 1 - rsinθ) ,

因为点A, B在双曲线上,

所以2 ( 1 + rcosθ) 2- ( 1 + rsinθ) 2= 2①

2 ( 1 - rcosθ) 2- ( 1 - rsinθ) 2= 2 ②

由① -②得: 2cosθ - sinθ = 0, 所以tanθ = 2, 即为弦AB所在的直线的斜率,

所以所求直线的方程为y - 1 = 2 ( x - 1) 即2x - y - 1 = 0.由消去y整理得: 2x2- 4x + 3 = 0③

因为方程③的根的判别式Δ = - 8 < 0, 所以方程③没有实数根,

故过点P不能作一条直线l与双曲线交于A, B两点, 且点P是线段AB的中点.

例3抛物线y2= 6x内有一点P ( 4, 1) , 抛物线的弦AB过点P且被这点平分, 求直线AB的方程及弦AB的长.

解: 以点P ( 4, 1) 为圆心, AB的长为直径作辅助圆 ( x - 4) 2+ ( y - 1) 2= r2 ( r > 0) ; 设点A为 ( 4 + rcosθ, 1 + rsinθ) , 则点B为 ( 4 - rcosθ, 1 - rsinθ) ,

因为点A, B在抛物线上,

所以 ( 1 + rsinθ) 2= 6 ( 4 + rcosθ) ①

( 1 - rsinθ) 2= 6 ( 4 - rcosθ) ②

由①- ②得: sinθ = 3cosθ, 所以tanθ = 3, 即为弦AB所在的直线的斜率.

故所求直线的方程为y - 1 = 3 ( x - 4) , 即3x - y - 11 = 0.

因为tanθ = 3, 所以sin2θ =9/10,

中点问题论文 篇9

我们知道利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆方程 (xa) 2+ (y-b) 2=R 2, 两边对x求导, 则有2 (xa) +2 (y-b) yx′=0, 所以在切点M (m, n) 处的切线斜率k=yx′x=m, y=n=-nm-b-a.从而可求出在点M处的切线方程为 (x-a) (m-a) + (y-b) (n-b) =R 2.类比、迁移此方法可轻松的探求出与椭圆、双曲线、抛物线等有关的中点弦问题.

我们如果以圆、椭圆、抛物线等图形的中心为中心, 按一定的比例缩小原图形, 则一定存在与此同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切 (如图1) 的图形.此时缩小后的曲线方程就变形为如:如果上述方程两边对x求导, 可发现并不改变原方程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是求yx′在中点处的值.那么此种方法在解题中有何应用呢?

一、求中点弦方程问题

例1已知双曲线方程2x2-y2=2. (1) 求以A (2, 1) 为中点的双曲线的弦所在的直线方程; (2) 过点B (1, 1) , 能否作直线l, 使l与所给双曲线交于P、Q两点, 且点B是弦PQ的中点?这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明理由.

解析:首先对方程2x2-y2=2两边对x求导, 得

(1) 以A (2, 1) 为中点的弦的斜率为

k=yx′x=2, y=1=4, 所以以A点为中点的弦所在直线方程为y-1=4 (x-2) ;

(2) 以B (1, 1) 为中点的弦的斜率

k=yx′x=1, y=1=2, 所以所求中点弦所在直线方程为y-1=2 (x-1) , 即2x-y-1=0.

但与双曲线方程2x2-y2=2联立消去y得2x2-4x+3=0, Δ=-8<0, 无实根.因此直线l与双曲线无交点, 所以满足条件的直线l不存在.

注:通过上述例题我们可以看到, 一般的探求中点弦方程问题时, 首先利用上述导数法求出过中点的弦的斜率, 然后应用点斜式写出所求的直线方程.但需注意的是, 上述方法所求出的中点弦方程只是满足了题设的必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与二次曲线确实有两个交点.

二、证明与中点弦有关的不等式问题

证明:设AB的中点是P (m, n) , 则中点P在椭圆内, 所以

注:一般的如果题设中含有与中点有关的弦问题都可以应用上述导数法探求出对应的斜率, 以此为条件与题设整合常可以得到简单的解题方法.本题在求解过程中应用导数探求出中点弦的斜率, 巧妙的应用题设条件使得本题求解过程与运算量大大得以简化.

三、求与中点弦有关的轨迹问题

注:通过上述三个例题我们可以看到利用导数法探求中点弦的斜率相比点差法有异曲同工之效, 然而其运算量却大大得以减少.

四、求与中点弦有关的对称问题

例4抛物线y=x2上不存在关于直线y=m (x-3) 对称的两点, 求m的取值范围.

解: (1) 当m=0时, 曲线上显然不存在关于直线对称的两点.

(2) 当m≠0时, 假设存在关于直线对称的两点, 设这两点的中点为M (a, b) , 则点M必在抛物线y=x2内部, 所以

对方程y=x2两边关于x求导, 得yx′=2x, 所以中点弦所在直线的斜率为

中点问题论文 篇10

自日本学者A.Nabae提出中点箝位型NPC(Neutral Point-Clamped)三电平拓扑以来[1],该结构已在中高压交流电机传动、电网无功补偿以及新能源发电等领域得到了广泛的应用。较之两电平拓扑,NPC三电平逆变器具有输出电压更接近正弦波、电压变化率小、等效开关频率高、谐波小等特点。但由于NPC三电平逆变器负载电流通过各相桥臂在NPC三电平逆变器箝位中点产生了一定的交流电流,使2个直流分压电容电压不均并产生一定的交流波动。电容电压不平衡会增大输出电压波形的谐波含量,同时会加大开关器件的电压应力,甚至会损坏开关器件、击穿直流侧电容[2,3,4]。

目前,针对中点电位平衡一般有以下处理方式:改善硬件电路,采用多个独立直流电源[5,6],或外加电压补偿电路向中点注入或抽取电流来均衡电容电压[7];调节控制策略来平衡中点电位[8,9,10,11,12]。前者由于增加了硬件设备,造成系统体积庞大,成本增加;而后者则通过改进控制算法实现中点电位平衡,在不增加系统成本的同时,亦能调整中点电位平衡。文献[8]论述了在空间矢量脉宽调制(SVPWM)策略下,采用冗余小矢量补偿的方法调节中点电位平衡,但需额外检测中点电流方向及上、下电容电压,且在进行参考矢量扇区判断及计算基本矢量作用时间方面,要涉及较多三角函数运算和表格查询,这些操作均给控制器带来了很大的负担。文献[9]提出了一种简化的SVPWM算法,可以简化扇区判断及大量的三角函数运算,但仍通过调节正、负小矢量作用时间,同样在高调制比时,由于冗余矢量的调节能力局限性[10],无法起到中点电位的平衡作用。文献[11]则利用基于虚拟空间矢量的调制方法,当输出三相电流之和为零时,能实现对中点电压的全范围控制,虽然解决了高调制比下的冗余小矢量调节能力的局限性,却无法精简计算量。

本文在传统SVPWM及虚拟空间矢量调制(VSVPWM)的基础上,提出了一种改进的VSVPWM方法,该方法通过将虚拟空间矢量分解到60°坐标系,无需进行扇区判断以及大量三角函数的计算,即可解决中点电压偏移问题。最后构建了二极管箝位三电平逆变器模型,对该方法在中点电压平衡控制上的有效性进行了验证。

1 NPC三电平逆变器的主电路

NPC三电平逆变器的主电路[1]如图1所示。直流侧通过2个串联的电容把直流侧的电压分为3个电平,功率部分采用4个二极管与开关器件反并联,同时2个箝位二极管与内侧开关器件并联,其中心抽头和直流侧电容的中点相连实现中点箝位,使每个开关器件理论上只承受1/2的直流母线电压。

如图1(a)所示,每相有4个开关器件,桥臂输出电压有3个值,当VT1和VT2导通时,输出电平Ed/2记作P电平;当VT2和VT3导通时,输出电平为0,记作O电平;当VT3和VT4导通时,输出电平-Ed/2,记作N电平。因此,NPC三电平逆变器一共可输出33=27种电压状态组合,其中独立矢量个数为19。再将三相电压代入式(1),可得到图1(b)所示的NPC三电平逆变器的基本空间矢量图。

2 传统调制方法及对中点电压控制的影响

参照图1(b)所示三电平NPC逆变器的空间矢量图,按基本矢量幅值的不同,可将其分为大矢量、中矢量、小矢量和零矢量4组。除零矢量外,其余的18个基本矢量将空间矢量图分为A~F 6个扇区,每个大扇区又可分为4个小三角形。

2.1 传统SVPWM方法及对中点电压控制的影响

传统SVPWM方法的基本思路是根据参考电压矢量所在扇区及小三角形区域选择其邻近的3个基本矢量,再利用伏秒平衡原理计算各个基本矢量的作用时间,最后采用七段式或五段式调制生成所需的PWM波形。但参考电压矢量所在扇区、小三角形区域判断及基本矢量作用时间的计算需要进行复杂的运算[12]。

所有基本矢量中,大矢量和零矢量对中点电压没有影响[2];而中矢量和正、负小矢量对中点电压的影响见表1。

以A扇区为例,由表1可知,正、负小矢量对中点电位的影响恰好相反,由于中矢量没有冗余矢量,可供选择用于控制中点电位的冗余矢量只有小矢量,因此,通过选择位于同一点的正、负小矢量的作用时间即可有效地控制中点电位。但在调制度和一定的功率因数角时,存在由于中矢量引起的中点电位无法平衡的区域[13]。

在一个采样周期Ts内,根据最近三矢量NTV(the Nearest Three space Vector)合成方法,对于参考电压矢量Uref,可用3个基本电压矢量合成。由伏秒平衡原理,求解式(2)可得各扇区内基本矢量的作用时间,并基于此生成PWM波形。

为实现中点电位的平衡控制,可分配位于同一点的正、负小矢量的作用时间。基于传统SVPWM方法的分区算法及各基本矢量作用时间的分配算法已有许多文献进行过详述[14,15],此处不再赘述。

2.2 传统VSVPWM方法及对中点电压控制的影响

为解决传统SVPWM方法无法实现全范围的中点电位平衡调节,文献[16-18]对此进行了改进,提出利用基于虚拟空间矢量VSV(Virtual Space Vector)的合成方法,理论上可以对中点电位进行完全控制。

由于在一个Ts内,合理分配正、负小矢量各自的作用时间即可消除小矢量对中点电位的影响,但中矢量却没有冗余矢量抵消其对中点电位的影响,因此设计虚拟矢量的中矢量作用时,中点电流为零,即实现其对中点电位无影响。

以A扇区为例,由于基本中矢量U3对应的中点电流为ib,在其不为零时,会引起中点电位的偏移。同时考虑到通常PWM波形的采样周期Ts很短,可以假设在一个采样周期内,各相输出电流值基本不变。因此在该采样周期内引入U1P和U4P(两者对应的中点电流分别为ia和ic),当输出三相电流之和为零时,只要上述3个基本矢量作用时间相同,即可实现该Ts周期内iNP=0。由于在一个采样周期Ts内,平均中点电流为零,则中点电位的偏移为零。因此,引入虚拟矢量U3′如图2所示[17,18]。

新的虚拟矢量U3′将A扇区划分为5个小三角形区域,参考矢量的合成原则仍为伏秒平衡原理。当参考矢量如图2所示,位于A2区域时,其参考矢量合成关系为

尽管VSVPWM方法能够对中点电位进行完全控制,但没有降低传统SVPWM方法的计算复杂程度。

3 改进的VSVPWM方法

设计虚拟矢量的原则仍为虚拟矢量的中点电流为零,即其对中点电位没有影响。同时,为简化传统虚拟矢量的扇区判断以及基本矢量作用时间的计算量,提出一种新颖的虚拟中矢量等效方法。

3.1 改进的虚拟空间矢量

以A区基本中矢量U3(PON)为例,设虚拟中矢量为

虚拟中矢量U3*作用时,中点电流iNP=k(ia+ib+ic),通常对于传统虚拟空间矢量,存在各基本矢量作用时间上的限制。考虑到一个采样周期Ts满发时,即每个基本合成矢量的作用时间均为Ts/3,而将k取值为1/3,如式(6)所示。如果减小参考矢量空间上的范围,去除基本矢量作用时间上的限定,如式(7)所示,使得虚拟中矢量U3*与基本中矢量U3位置重叠,如图3所示。

参考矢量幅值上放大了1.5倍,因此,为保证1.5 Uref的调制比不超出1,则实际参考电压Uref最大值不能超过原来的2/3。即通过虚拟矢量空间尺度的放大,进一步减少小扇区的划分,以简化计算。

由平行四边形法则可得U1P+U4P=U3,因此,在矢量图上U3*与U3位于同一点。A扇区减少为A1、A2、A3以及A44个小三角形区域,参考矢量的合成原则仍为最近三矢量原理。当参考矢量位于A3区域时,其合成方程为

U2的作用不影响中点电位,U1作用时只要平均分配其对应的正、负矢量的作用时间,即可消除其对中点电位的影响。U1P的中点电流为ia,U4P的中点电流为ic,U3的中点电流为ib。因此,将U3*的作用时间均匀分配给3个合成矢量U1P、U4P和U3,即可保证在每个采样周期内流入中点的电流始终为零,从而保持中点电位平衡。根据表2即可求得其余5个大扇区的虚拟矢量合成选择,详见表3。

3.2 基于60°坐标系的矢量分区方法

为简化扇区判断及大量三角函数的运算,采用非正交的60°坐标系进行基本矢量作用时间的计算,同时避免了扇区的判断。

设采用的60°坐标系为g-h坐标系,取g轴与α-β坐标系中α轴重合,逆时针旋转60°为h轴。设参考矢量Uref在α-β坐标系下的坐标为(urα,urβ),由线性关系可得其在g-h坐标系下的坐标:

由Clark变换可得a-b-c三相静止坐标系与g-h坐标系之间的关系:

根据式(10),可将由图1(b)所示的NPC三电平基本矢量变换到g-h坐标系下,如图4所示。

3.3 虚拟空间矢量的选择

由图4可知,在g-h坐标系下,全部基本矢量均为二维整数,所以对于空间参考矢量Uref(urg,urh),距其最近的4个基本矢量,可由其在60°坐标系下的坐标向上和向下取整得到。

以图4中参考矢量Uref为例,对其坐标取整所得4个基本矢量为

其中,ceil(urg)、floor(urg)分别为参考电压g轴分量urg向上和向下取整;同理,ceil(urh)、floor(urh)分别为urh向上和向下取整。

根据上述取整原则,这4个基本矢量终点将构成等边四边形,且该图形必定包含参考矢量Uref。同样采用最近三矢量原则,选取基本合成矢量。根据基本代数原理,Ucf、Ufc总是距Uref最近的2个矢量。第3个最近的基本矢量应当位于由Ucf和Ufc终点所连对角线的同一侧,此对角线方程为

由此,即可根据式(13)的符号,确定第3个基本矢量。

若式(13)的值大于0,则第3个最近的基本矢量为Ucc,反之则为Uff。以图4为例的参考矢量Uref的3个基本合成矢量为[1,1]、[0,2]和[0,1]。

3.4 作用时间的计算和矢量开关时序

在一个采样周期Ts内,采用最近三矢量合成原理,以A扇区为例,每个小三角形矢量选择见表4。

确定了3个最近的合成矢量后,根据伏秒平衡原理可得:

其中,U1=Ucf,U2=Ufc,U3则根据式(13)确定为U3=Uff或者U3=Ucc。

由于所有开关状态的坐标均为整数,因此式(14)中各矢量作用时间t1、t2和t3的解则是基于参考电压Uref的小数部分简单代数运算而得的。

当U3=Uff时,可解得:

同理,当U3=Ucc时,可解得:

根据式(15)(16)可解得各合成虚拟矢量的作用时间,且可省去扇区判断过程,并避免进行复杂的三角函数运算,大幅简化计算量[19]。

确定各基本矢量及作用时间后,为使开关器件损耗最小,各开关序列之间应只有2个开关器件动作,且开关状态不能跳变,只可由P-O-N,P与N之间却不能直接变换。

此外,为了各小扇区间矢量的平稳过渡,在A扇区全部采用相同的正小矢量U4P为首尾矢量。同理,其余5个大扇区的首尾矢量分别为U7P、U10P、U13P、U16P和U1P。图5中(a)~(d)分别为参考矢量Uref位于A1、A2、A3和A4小扇区时每相输出电压矢量的开关时序和作用时间。

4 仿真结果及分析

为验证所提出的基于改进虚拟空间矢量的NPC三电平逆变器中点电压平衡控制方法的有效性,建立了基于Simulink的逆变器仿真模型。

仿真参数如下:直流侧电压Ed=1 k V,直流分压电容C1=C2=2 200μF,工频条件下阻感负载阻抗模为15Ω。调制波为工频三相平衡参考电压,仿真结果给出了采样频率为5 k Hz的系统运行波形,如图6、7所示,验证了在NPC三电平逆变器中采用该算法的有效性。同时,在调制比一定的情况下,该算法对于电容中点电压的平衡控制远优于传统SPWM方法。其中传统载波层叠式调制方法中,电容中点电位出现了明显的3倍于输出基波频率的波动。此外,在低功率因数情况下,改进的SVPWM算法对于电容中点电位效果更优。但将调制比提高为1后,如图8所示,较之高功率因数负载时,低功率因数负载下该算法不能有效地控制电容中点电位,尚待改进。

5 结论

本文分析了NPC三电平逆变器的传统SVPWM及虚拟空间矢量的调制方法。针对上述2类空间矢量调制方法的不足,提出了一种改进的虚拟空间矢量调制方法,尽管用于合成新虚拟中矢量的各基本矢量的作用时间限制,该算法的调制比尚有不足,却极大地简化了传统虚拟空间矢量调制算法的计算量。同时,针对NPC三电平逆变器的电容中点电位平衡问题,在一定的调制比范围内(≤2/3),针对不同负载功率因数的情况,验证了该算法的有效性。

摘要：针对二极管箝位三电平逆变器在不同负载及调制比的条件下,传统的空间矢量调制方法中点电压存在不能平衡的区域,而利用虚拟空间矢量的调制方法,在输出三相电流之和为零时,即能实现对中点电压的完全控制,但需要进行大量的三角函数运算及扇区判断,增大了控制器的计算工作量和实现难度。提出一种改进的虚拟空间矢量调制方法。通过虚拟矢量空间尺度的放大,进一步减少小扇区的划分,简化计算。通过将虚拟空间矢量分解到60°坐标系,无需进行扇区判断以及大量三角函数的计算即可得到各桥臂开关管在每个开关周期内的开通时间,可在调制比≤2/3范围内实现中点电压平衡完全控制,同时在矢量选取和作用时间计算方面进行了简化。最后构建了二极管箝位三电平逆变器模型,对该方法在中点电压平衡控制上的有效性进行了验证。

中点的自述 篇11

一、到一般的三角形王国周游

在一般的三角形中，三条边上都有我及我的同伴的身影。在这个三角形王国中，当我与我所在的线段的对面的顶点连结时，就会得到这个王国中的一条中线。在这个时候常常会将这条中线延长一倍，有助于你解题。举例如下：

例1：如图，△ABC中，AD为其中线，若AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

解：延长AD到E，使DE=AD，连结BE 在△ADC和△BDE中，

∴△BDE≌△ADC ∴BE=AC=3在△ABE中，AB-BE

AB+BE∴5-3<2AD<5+3，即1

二、到等腰三角形王国周游

当我被邀请为这个王国里的底边上的一位尊贵的客人时，我会因地取材，用这个王国的“特产”（三线合一的性质）来帮你解决相关的问题，为你提供一条解题的捷径。

例3：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF。

分析、比较方法:此题可证△BDE≌△CDF，从而证得DE=DF。

若将我（点D）与这个三角形的顶点A相连时，

则会根据其三线合一的性质证得∠BAD=∠CAD；

再根据角平分线的性质证得DE=DF，简单明了。

三、到直角三角形王国周游

游过等腰三角形王国，我又马不停蹄地来到了它的邻国——直角三角形王国，这里风光旖旎，景色宜人，多样的风土人情让我流连忘返，回味无穷，我几乎忘了我的存在。幸而我遇见了这个王国里的斜边和直角顶点，才让我如鱼得水，在这个王国里真正地发挥出我的作用，并能为大家提供一种在这个王国里与我有关的问题的解题方法（直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）。

例4：如图，△ABC中，BD、CE是高，M是BC的中点，N是DE的中点。

求证：MN⊥DE

方法分析：由BD、CE是高，可得∠BEC=∠BDC=90°，在Rt△BEC和Rt△BDC中，因我（点M）在这两个王国的公共斜边BC上，从而联想到连结ME和MD，则有ME=BC、MD=BC，则有ME=MD。这时，在等腰三角形（△MED）王国中，由我的同伴点N而联想到其三线合一的性质，从而证得MN⊥DE。

四、到四边形王国周游

在四边形王国里周游时的最大感受就是在一般的四边形中遇见我时，一般要连结对角线，将四边形转化为三角形，再利用三角形中位线定理解决相关问题。而在梯形中时，则可直接运用梯形的中位线定理解决问题。举例如下：

例5：如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。求证：∠BEN=∠NFC。

点拨思路：连结BD（或AC），取BD的中点G，连结MG、NG，先将四边形转化为三角形。

在△ABD 和△BDC中，MG、NG分别是它们的中位线，则有MG∥AB，且MG=AB，则有∠BEN=∠GMN；同理，NG∥CD，且NG=CD，则有∠GNM=∠NFC。又因为AB=CD，所以，GM=GN，则∠GMN=∠GNM，从而证得∠BEN=∠NFC。

中点四边形 篇12

“中点四边形怎样随原四边形的变化而变化? ”这是老师交给我们小组的研究任务.

我们从特殊的图形开始探索:先画出了一个平行四边形, 找出四边的中点, “连”出中点四边形, 发现它是平行四边形. 再画出一个矩形, 找出四边的中点, “连”出中点四边形, 发现它是菱形.这个结果, 让我们所有组员欣喜不已, 大家都被激起了斗志, 继续画图, 发现:原四边形是菱形, 它的中点四边形是矩形; 原四边形是正方形, 它的中点四边形还是正方形.

为什么中点四边形会变化呢? 如何变呢? 大家陷入了沉思, 突然张亮同学说了一句:“我发现了, 它和原四边形的对角线有关系, 是不是中点四边形是随着原四边形的对角线变化而变化呢? ”

全组同学热烈地交流着, 最后发现:原四边形对角线相等时, 它的中点四边形是菱形;原四边形的对角线垂直时, 它的中点四边形是矩形;原四边形的对角线垂直且相等时, 它的中点四边形就是正方形.

通过一步一步的猜想验证, 最终得出了结论, 这就是数学的魅力所在.我们要善于发现、学会总结, 更多的数学奥秘等着我们去发现!