非协调性

非协调性（精选4篇）

非协调性 篇1

摘要：滚珠丝杠副中滚珠与丝杠滚道和螺母滚道的接触是一种典型的非协调性接触,这种接触的特性对滚珠丝杠副的承载能力、传动效率和定位精度等都有着重要的影响。为此,采用Hertz接触理论建立了滚珠丝杠副轴向接触刚度的求解公式,然后从滚珠丝杠副轴向负载、设计参数和材料属性等方面分析了滚珠丝杠副的接触特性,最后运用有限元分析软件ANSYS对滚珠与丝杠滚道的接触进行仿真,仿真结果与理论结果非常相近,从而验证了理论分析的正确性。研究结果为高速、重载和精密滚珠丝杠副的设计与使用提供了理论指导。

关键词：滚珠丝杠副,非协调性接触,轴向接触刚度,有限元仿真

0 引言

滚珠丝杠副是数控机床及加工中心中实现精密传动和定位的关键功能部件,由丝杠、螺母、滚珠和循环反向机构组成,通过滚珠在丝杠滚道与螺母滚道之间做点接触的滚动来实现丝杠或螺母的位移。滚珠与丝杠滚道、螺母滚道的接触特性对滚珠丝杠副的承载能力、传动效率、定位精度和重复定位精度都有着重要影响,因此,研究滚珠丝杠副的接触特性可为提高滚珠丝杠副的传动效率和工作性能提供理论依据。Chen等[1]利用光弹性效应和电子图像处理技术提出了一种测量滚珠丝杠接触角的新方法,提高了接触角的测量效率。Mei等[2]通过分析滚珠丝杠副的负载分布对滚珠与滚道的接触情况的影响,得出了滚珠丝杠副接触位置误差会造成滚珠Hertz接触负载改变的结论。杜平安[3]对大螺旋升角滚珠直旋副的滚道弹性变形与额定静载荷之间的关系进行了研究。姜洪奎等[4]在考虑螺旋升角的影响下,应用微分几何理论推导了滚珠丝杠螺旋面的主曲率,进而分析了螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响。这些工作考虑了负载、摩擦和螺旋升角等对丝杠性能的影响,丰富了研究内容,为建立准确的滚珠丝杠副接触模型提供了理论依据。但以上研究都没有对滚珠丝杠副的接触特性进行系统分析,没有对滚珠丝杠副的接触刚度进行理论推导。

本文将滚珠与滚珠丝杠滚道、滚珠螺母滚道的接触视为非协调性接触[5],根据Hertz接触理论对滚珠丝杠副的接触特性进行了理论推导,建立了滚珠丝杠副轴向接触刚度的求解公式,进而分析了滚珠丝杠副的设计参数及材料属性与接触特性的关系,最后应用ANSYS仿真分析软件对滚珠丝杠副接触变形进行了验证。

1 滚珠丝杠副的接触刚度计算

理想状况下,认为滚珠丝杠副内的每个工作滚珠承受的负载都是相同的。假设滚珠丝杠副每个承载滚珠的法向载荷为P,承载滚珠数为Z,滚珠与丝杠滚道及螺母滚道的接触角为β,滚珠丝杠副的螺旋升角为λ,由于滚珠所受摩擦力相对于其所受的法向载荷很小,可以忽略,因此所有承载滚珠的法向载荷与滚珠丝杠副的轴向负载F之间的关系为[6]

F=ZPsinβ cosλ (1)

根据非协调性Hertz接触理论,两点接触物体的法向载荷P与相应的法向接触变形δn(下标n表示滚珠与螺母接触)之间的关系如下[7]:

$\delta {}_{\text{n}}=(\frac{9{\rm P}{}^2}{16(E{}^{*}){}^{2}R{}_{\text{e}}}){}^{1/3}F{}_2(e)$ (2)

$F{}_2(e)=\frac{2}{\text{π}}(\frac{b}{a}){}^{1/2}(F{}_1(e)){}^{-1}L(e)$ (3)

$\begin{array}{l}F{}_1(e)=(\frac{b}{a}){}^{1/2}\{\frac{4}{\text{π}e{}^2}[((\frac{a}{b}){}^{2}E(e)-\\ L(e))(L(e)-E(e))]{}^{1/2}\}{}^{1/3}(4)\end{array}$

$E{}^{*}=\frac{E{}_{1}E{}_2}{(1-\nu {}_1^2)E{}_2+(1-\nu {}_2^2)E{}_1}$ (5)

$R{}_{\text{e}}=\sqrt{\frac{R^{\prime }{}_1{R}^{″}{}_1{R}^{\prime }{}_2{R}^{″}{}_2}{(R^{\prime }{}_1+R^{\prime }{}_2)(R^{″}{}_1+R^{″}{}_2)}}$ (6)

$\frac{b}{a}=(\frac{1/R^{″}{}_1+1/R^{″}{}_2}{1/R^{\prime }{}_1+1/R^{\prime }{}_2}){}^{-2/3}$ (7)

$e=\sqrt{1-(b/a){}^2}$ (8)

式中,F1(e)、F2(e)均为修正因子;E*为等效弹性模量;E1、E2分别为两接触物体的弹性模量;ν1、ν2分别为两接触物体的泊松比;Re为等效曲率半径;e为椭圆偏心率;a、b分别为椭圆接触域的长、短半轴;L(e)、E(e)为第一、第二类完全椭圆积分;R′1、R′2分别为滚珠与丝杠滚道、滚珠与螺母滚道接触情况下求得的对应速度方向上的主曲率半径;R″1、R″2为速度的切向方向的主曲率半径[3]。

设滚珠丝杠副公称直径为d,滚珠直径为db,半径为rb,丝杠滚道半径为Rs,则滚珠与丝杠滚道接触点处的四个主曲率半径分别为[3]

R′1s=R″1s=rb (9)

R′2s=-Rs (10)

$R^{″}{}_{2\text{s}}=\frac{d-d{}_{\text{b}}\cos \beta }{2\cos \beta \cos \lambda }$ (11)

式中,下标s表示滚珠与丝杠接触。

设螺母滚道半径为Rn,滚珠与螺母滚道接触点的四个主曲率半径为

R′1n=R″1n=rb (12)

R′2n=-Rn (13)

$R^{″}{}_{2\text{n}}=\frac{d+d{}_{\text{b}}\cos \beta }{2\cos \beta \cos \lambda }$ (14)

由式(2)～式(11)即可求得滚珠与丝杠滚道接触的法向接触变形量δns:

$\delta {}_{\text{n}\text{s}}=[\frac{9}{16(E{}_{\text{s}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{s}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{s}})F{}^{2/3}$ (15)

由式(2)～式(8)、式(12)～式(14)即可求得滚珠与螺母滚道接触的法向接触变形量δnn:

$\delta {}_{\text{n}\text{n}}=[\frac{9}{16(E{}_{\text{n}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{n}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{n}})F{}^{2/3}$ (16)

从而整个滚珠的法向接触变形量为

$\begin{array}{l}\delta {}_{\text{n}}=\delta {}_{\text{n}\text{s}}+\delta {}_{\text{n}\text{n}}=\{[\frac{9}{16(E{}_{\text{n}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{n}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{n}})+\\ [\frac{9}{16(E{}_{\text{s}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{s}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{s}})\}F{}^{2/3}={\rm K}{}_{\text{Ν}}F{}^{2/3}(17)\end{array}$

${\rm K}{}_{\text{Ν}}=[\frac{9}{16(E{}_{\text{n}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{n}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{n}})+$

$[\frac{9}{16(E{}_{\text{s}}^{*}{\rm Z}\sin \beta \cos \lambda ){}^{2}R{}_{\text{e}\text{s}}}]{}^{1/3}F{}_2(e{}_{\text{s}})$

以滚珠为受力分析对象,取其中心为坐标原点,Z轴平行于丝杠轴线,在不考虑重力影响的条件下,滚珠的受力如图1所示。根据变形协调条件可知,由法向接触变形量δn引起的滚珠丝杠副轴向变形量δa为

$\delta {}_{\text{a}}=\delta {}_{\text{n}}\frac{\cos \lambda }{\sin \beta }=\frac{\cos \lambda }{\sin \beta }{\rm K}{}_{\text{Ν}}F{}^{2/3}$ (18)

根据上述数学模型,求得滚珠丝杠副轴向接触刚度为

${\rm K}{}_{\text{a}}=\frac{F}{\delta {}_{\text{a}}}=\frac{F{}^{1/3}\sin \beta }{{\rm K}{}_{\text{Ν}}\cos \lambda }$(19)

由式(19)可知,滚珠丝杠副的轴向接触刚度受到负载、设计参数和制造材料属性等多方面的影响,对这些影响因素进行分析可为滚珠丝杠副的结构优化设计提供理论依据。

2 滚珠丝杠副接触特性影响因素分析

2.1滚珠丝杠副轴向负载的影响分析

滚珠丝杠副的轴向承载能力直接影响滚珠丝杠副的额定动载荷和静载荷,是滚珠丝杠副设计中的一个重要参数。

由式(19)可以看出,接触刚度是滚珠丝杠副的轴向负载的幂函数,负载大时接触刚度大,负载小时接触刚度小,若负载为零,则接触刚度也不再存在。以某厂生产的4016型高速滚珠丝杠副为例(其参数如表1所示),其轴向负载与接触刚度的关系曲线如图2所示。

2.2滚珠丝杠副设计参数的影响分析

2.2.1 丝杠导程的影响

高速切削加工需求的增长促进了滚珠丝杠副进给速度的提高。提高滚珠丝杠副进给速度的一个重要方法是加大滚珠丝杠副的导程,从而在同样的电机旋转速度下,伺服电机每转一圈的行程变长。滚珠丝杠的公称直径不变时,导程增大也就是螺旋升角变大。设滚珠丝杠副的轴向负载为10kN,其他参数如表1所示,丝杠导程从5mm增加到32mm时相应的滚珠丝杠副轴向接触刚度变化如图3所示。

2.2.2 接触角的影响

为分析滚珠丝杠副接触角对轴向接触刚度的影响,设丝杠轴向负载为10kN,接触角从10°变化至90°,其他参数如表1所示,得到接触角与轴向接触刚度关系曲线如图4所示。

图4中轴向接触刚度随着接触角的变大而增大,呈非线性关系。适当增大接触角能够提高滚珠丝杠副的接触刚度,从而减小因轴向负载增大而产生的弹性变形,进而提高定位精度。

2.2.3 负载滚珠数的影响

负载滚珠数与丝杠轴向接触刚度关系曲线如图5所示。可以看出,负载滚珠数越多,滚珠丝杠副的轴向接触刚度就越大,即增加负载滚珠数能够提高滚珠丝杠副的承载能力。然而实际生产中由于制造滚珠时并不能保证滚珠的大小完全一致,而且丝杠滚道、螺母滚道的制造都有一定的偏差,并不能保证每个滚珠都能和丝杠滚道、螺母滚道完全接触,因而滚珠数目增加到一定程度后再增加滚珠个数就不一定能提高滚珠丝杠副的轴向接触刚度了。

2.3滚珠丝杠副制造材料属性对接触刚度的影响分析

由理论推导可知,滚珠丝杠副的制造材料对轴向接触刚度的影响是通过材料的弹性模量E和泊松比ν的变化而体现的[8],因此,下面分别对其进行分析。

2.3.1 弹性模量的影响

设丝杠轴向负载为10kN,制造材料的弹性模量选择从50GPa至350GPa不等,其他参数如表1所示,得到弹性模量对滚珠丝杠副轴向接触刚度的影响如图6所示。

可以看出,滚珠丝杠副的轴向接触刚度随弹性模量的增加呈明显非线性增大趋势。

2.3.2 泊松比的影响

在保持其他条件不变的情况下,若泊松比从0.1增加到0.4,相应滚珠丝杠副轴向接触刚度的变化曲线如图7所示,呈现幂函数形式。当泊松比小于0.2时,轴向接触刚度的变化较为平缓;当泊松比大于0.2时,轴向接触刚度随泊松比的增大迅速增大。

2.3.3 材料属性的综合影响

实际应用中,一旦确定了滚珠丝杠副的材料,相应的弹性模量和泊松比也就随之确定。为了满足实际应用需要,有必要考虑材料属性的综合影响。

滚珠丝杠副的传统制造材料为轴承钢。近年来,为了适应滚珠丝杠副高进给速度的要求,滚珠丝杠副大多采用Si3N4陶瓷材料。分别取全钢式(滚珠丝杠、滚珠螺母和滚珠全部采用轴承钢制造)、混合式(滚珠丝杠和滚珠螺母采用轴承钢制造,滚珠采用Si3N4陶瓷材料制造)和陶瓷式(滚珠丝杠、滚珠螺母和滚珠全部采用Si3N4陶瓷材料制造)三种滚珠丝杠副,计算它们在不同负载下的轴向接触刚度,如图8所示。

可以看出,任一相同丝杠轴向负载下的三种材料的接触刚度存在如下关系:全钢式的接触刚度小于混合式的接触刚度,而混合式的接触刚度又小于同样情况下的陶瓷式的接触刚度。可见在滚珠丝杠副中应用新型陶瓷材料,不仅有利于提高进给速度,而且可以提高滚珠丝杠副的轴向接触刚度和轴向定位精度。

3 滚珠与丝杠滚道接触变形的仿真

为验证前述理论推导过程的正确性,利用三维绘图软件Pro/E建立了滚珠与丝杠滚道相互接触的模型,如图9所示。

由于滚珠丝杠副接触的对称性,适当简化后导入ANSYS建立的有限元模型如图10所示。选择Solid92单元作为基本单元格,因为这种单元能够很好地适应接触力的计算,同时对网格的自由划分和接触对的创建有很大的帮助。滚珠与丝杠滚道的接触对选用TARGE170和CONTA174单元格,滚珠与丝杠间静摩擦因数选为0.2,刚度矩阵种类为Unsymmetric,接触初始调节量为0.1,最后施加自由度约束及载荷。

设丝杠轴向负载为10kN,4016型滚珠丝杠副接触角为45°,由式(1)和式(15)可知,每个滚珠法向压力P=331.54N,法向变形为7.162μm。

由有限元仿真得到的结果如图11所示。可以看出,滚珠与丝杠滚道接触变形的最大值为6.957μm,与Hertz接触理论计算出的理论值仅相差2.86%。考虑到Hertz接触理论是基于接触面绝对光滑的条件建立的,即忽略了摩擦力对接触变形的影响,而实际接触时往往伴随有塑性变形,因此,可以初步认为本文基于Hertz理论建立的滚珠丝杠副接触模型是正确的。

4 结论

研究滚珠丝杠副的接触特性可为提高滚珠丝杠副的传动效率和工作性能提供理论依据。本文根据非协调性Hertz接触理论建立了滚珠丝杠副的轴向接触刚度模型,并对接触刚度的影响因素(负载、设计参数和制造材料属性等)进行了分析,获得了各影响因素对接触刚度的影响曲线。最后,应用ANSYS仿真对滚珠与丝杠滚道的接触变形进行了仿真,仿真结果与理论计算结果相近,从接触变形的角度验证了所建立的滚珠丝杠副接触刚度模型的正确性。

参考文献

[1]Chen T Y,Hou P H,Chiu J Y.Measurement ofthe Ballscrew Contact Angle by Using the Photoe-lastic Effect and Image Processing[J].Optics andLasers in Engineering,2002,38:87-95.

[2]Mei Xuesong,Masaomi Tsutsumi,Tao Tao,et al.Study on the Load Distribution of Ball Screws withErrors[J].Mechanism and Machine Theory,2003,38:1257-1269.

[3]杜平安.滚珠直旋副滚道弹性接触分析[J].电子科技大学学报,1994,23(3):280-285.

[4]姜洪奎,宋现春,张佐营.螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析[J].中国机械工程,2008,19(9):1079-1083.

[5]Paul B,Hashemi J.Contact Pressures on CloselyConforming Elastic Bodies[J].ASME Journal ofApplied Mechanics,1981,48:543-548.

[6]程光仁,施祖康,张超鹏.滚珠螺旋传动设计基础[M].北京:机械工业出版社,1987.

[7]Johnson K L.Contact Mechanics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[8]Antoine J F,Visa C,Sauvey C,et al.ApproximateAnalytical Model for Hertizian Elliptical ContactProblems[J].ASME Journal of Tribology,2006,128:660-664.

非协调性 篇2

研究者和开发人员都认识到在开发复杂计算机系统的过程中,非协调信息的存在已经成为一种越来越普遍,且难以避免的现象。因此如何评价,及如何有效地管理开发进程中出现的非协调信息成为影响开发进程的一个重要因素。现有大多数支撑软件开发过程的工具都是基于经典逻辑,尤其是一些用于检测软件、硬件正确性的形式化工具,如模型检测器和定理证明器,由于经典逻辑的特点,使得它们不能用于分析和验证含有非协调信息的系统规约。

本文在分析软件工程中非协调性的基础上,提出应该采取一种更加开放的观点来处理这些非协调性的观点,并初步提出了一种超协调时序逻辑,用于分析处理含有非协调信息的系统规约。

1 软件工程中的非协调性

复杂软件系统的开发是一个复杂、耗时长而又持续发展变化的过程,当所开发计算机系统的规模变得越来越大,功能越来越复杂时,这个过程变得越来越难以控制。许多因素导致在软件工程的各个生命周期,都不可避免地出现大量非协调的信息(在下一节里,将就非协调性作一个形式化的描述)[1]。

首先,现代软件工程是一个多方参与决策和行动的过程,包括不同的开发者(甚至不同开发团队),具有多样而又持续不断变化功能需求的用户等。不同的个体或团队都具有自己不同的知识背景,不同的责任义务,因此他们对所要开发的系统都有不同的看法、观点,从而得出各自片面的软件系统模型。这些模型可能相互之间是矛盾的,当集成这些不同模型的时候,必然出现含有非协调信息的系统模型。再次,在软件开发的早期阶段,例如需求分析阶段,由于对所要开发的系统缺乏深入而确切的认识,许多信息是模糊,甚至非协调的,使得开发者、分析人员不能得到统一的系统模型。

传统的观点认为这种开发过程中出现的非协调性是不可接受的,应该尽早地发现,并且尽可能地消除它们。但是我们认为这种观点在现代复杂的软件工程里,并不总是适当的[2,3]。例如,许多的工程实例显示在某个开发阶段,可能有些非协调性不能被发现。退一步讲,即使发现了,是否消除和怎么消除所发现的非协调性又需要一个艰难的评估过程。因为在一个开放、分布的组织环境里,消除一个局部的非协调性可能导致更多的非协调性。还有,并不是所有的阶段都要求系统设计保持严格的一致,尤其是在开发的早期,如需求分析、原型阶段,设计者可能只关心一些关键性的功能指标,而不会拘泥于细枝末节,从而延缓开发进度和增加开发成本。还有一个重要因素是:随着所开发计算机系统的日益复杂,检查多个设计者的系统规约的模型是否协调成为一个十分耗时费力的过程,因此,如果要求随时保持整个系统模型的协调性,则会约束软件开发的正常进程。

从消极的方面看,非协调的信息当然是我们所不期望的,因为它们的存在使得我们所设计的系统不满足目标系统的要求,增加我们维持一个正常开发过程的难度。但如果从积极的方面考察,出现非协调性也不总是一件坏的事情,比如:(1)非协调性的存在能使开发者从多方面去理解目标系统;(2)显示系统应该进行进一步分析、讨论的方面,从而指导下一步的开发;(3)允许非协调性的存在,能调动开发者的积极性,充分发挥他们的主观能动性,从而有利于开发出高质量、尽可能完善的软件系统。

基于上面的分析和认识,我们认为,应该采取一种更加开放的态度来处理软件工程中系统模型所出现的非协调现象,以优化和改进软件开发过程,提高开发效率和软件产品质量。一些文献已经系统地提出了一些管理软件工程中的非协调性的方法学和基于这些方法学的框架体系[4,5]。这些框架一般由下面几个核心的过程组成:探察非协调性、诊断和处理非协调性,每个核心的过程又由一些子过程组成。Finkelstein和Nuseibeh等对这些过程所包含的内容及实现这些过程的技术细节都作了较为详细的研究和探索[6]。在这些框架里,尽管在一定程度上,使得非协调性的处理更加灵活,例如当发现在同一软件模型里、或软件模型之间存在非协调信息时,开发者不必要立即删除它们,而是在一定的时间段内,容忍它们的存在。

但通过前面的分析我们知道,在复杂系统设计里,非协调性的探察过程是一个十分费时的过程,且在一定的时间内可能根本没有必要。结合前面已经提到的处理非协调性的方法,图1显示了一种更加开放、合理,并且适用面更广的软件工程中非协调信息的管理框架(其中S1,S2,…,Sn代表含有非协调信息的系统规约或软件模型),这儿我们不详细解释图中的各个要素。该框架一个最大的特点是增加了一个软件模型的推理和验证过程(推理和验证是保证设计可靠、正确的软件两种重要的手段),换句话说,在各个阶段,不管我们所面对的软件模型是否含有非协调信息,我们都可以对系统的某些方面或全局进行必要的推理和验证。但众所周知的是,大多数规约语言都是基于经典逻辑,例如Z语言[7],而推理和验证工具同样是如此。由于平凡推理的缘故,这些工具在面对含有非协调信息的软件模型或系统规约时束手无策。

面临这样的情况,我们应该寻找新的逻辑基础,以满足在非协调存在的情况下,同样能进行我们所需要的推理和验证。超协调逻辑正是我们的适当选择,它避免了非协调情况下的平凡推理问题。

2 逻辑基础

2.1 超协调性

为了给出超协调性及超协调性逻辑的定义,我们首先在逻辑的层次上给出非协调性的概念,借助它可以解释软件工程里的非协调性。假定L是某种形式语言,下面给出关于非协调性的定义:

定义1ΓL是一个公式集合,假如存在一个公式α满足α∈Γ和瓙α∈Γ,则Γ是非协调的。

现在可以简单介绍一下软件工程里的非协调现象。Si和Sj是两个软件模型,它们可能各自都只是描述了软件系统的一部分功能需求。如果Si和Sj对目标系统的同一方面(属性)进行描述,并且作出了相反的断言,那么我们称Si和Sj是非协调的。当然这种解释并不十分准确,在相关的文献里能找到更加明白、更加形式化的定义。

在经典逻辑里,假如Γ是非协调的,对于任何公式α,Γα都是成立的(为相应形式逻辑的推理关系符号)。这种现象被称为平凡推理,许多文献里也称之为ECQ现象。由于不同目的和应用背景,超协调逻辑有不同的定义。这儿我们利用ECQ现象来定义超协调逻辑,这种定义最普遍且最常用。

定义2如果一种逻辑避免ECQ现象,那么这种逻辑是超协调的;反之,它是平凡的。

一般而言,超协调逻辑是经典逻辑的一种弱化。有许多可行的方法可以使经典逻辑弱化为超协调逻辑,也就是避免ECQ现象,例如,限制逻辑操作符的行为,引进新的逻辑操作符,限制推理规则的使用,改造证明系统等。在弱化经典逻辑时,我们应该尽量使经典逻辑中一些直觉上成立的好属性得到保留。当然超协调逻辑的内涵远远超过了该小节的内容,许多逻辑学家和数学家对超协调逻辑本身进行了大量的研究,可以在许多文献里得到更详尽的了解。

2.2 超协调时序逻辑QCTL

时序逻辑是一种规约计算机系统时序属性的重要形式。而满足系统的时序属性是确保目标系统的正确性、可靠性的重要指标,因此时序属性是软件模型推理和验证环节的主要内容。而经典的时序逻辑,例如CTL、LTL[8],在非协调的情况下,同样有平凡推理的问题。如前所述,我们需要一种逻辑用于非协调性的管理框架,它能用于规约含有非协调信息的软件模型,并且在非协调状况下能避免平凡推理问题。借鉴超协调命题逻辑QCL[3]的基本思想,我们提出一种超协调时序逻辑(QCTL),在超Kripke结构(基本Kripke结构的一种扩充)的基础上,给出QCTL的语义。

2.2.1 语法

为了给出QCTL的语法,首先引进几个重要的时序算子:(1)X表示“下个状态”的意思;(2)F表示“最终”的意思;(3)G表示“总是”的意思;(4)U表示“直到”的意思。另外引进两个路径量词:(1)E表示“有一条路径”;(2)A表示“对于所有的路径”。让P是一个原子命题的集合。QCTL的公式以下面抽象语法的形式定义(p∈P):

QCTL的语言L是由上述抽象语法产生的公式的集合。按照惯例,把α→β作为瓙α∨β的简写;把原子命题和它们的逆称为文字,由这些文字作为析取因子的公式称为子句。从语法上看,QCTL与CTL一致,但两者在语义有着本质的区别,QCTL是基于超协调逻辑的方法学。QCTL的超协调性可以从它的逻辑蕴涵关系与形式可推演关系的定义得到说明,为了与经典逻辑的逻辑蕴涵关系与形式可推演关系相区别,把它们分别表示为t和t。由于篇幅的关系,本文只阐述一些主要的思想。

2.2.2 证明系统

让我们考察经典逻辑框架里的平凡推理问题,给定一非协调的公式集合Γ(不失一般性,假定α,瓙α∈Γ),根据经典逻辑的自然推演规则得到,对于任何公式β可得:(1)Γα∨β(∨引入),(2)Γβ(归结)。通过上述的证明序列我们得到平凡推理,导致平凡推理的根本原因是证明理论中的归结法和∨引入没有任何的限制。受此启发,Hunter等通过改造命题逻辑的证明系统而得到一种超协调命题逻辑QCL。在QCL的证明系统里,一个证明被分成两个过程:分解和合成。分解和合成过程分别应用分解规则和合成规则(一些近似Gentenz系统的推理规则),并且合成过程必须在分解过程全部完成之后才能进行,这就限制了上面所出现的平凡推理的出现。我们把这种证明理论进行扩展,使之应用于时序逻辑,从而构造出非协调性管理框架里需要的逻辑基础。限于篇幅,QCTL的详细证明理论被省略。

2.2.3 语义

QCTL是为了推理和验证含有非协调信息的系统规约的需要而构造的,因此我们必须在语义上使它具有超协调逻辑的方法学。为了达到此目的,QCTL在语义的层次上断开了一个公式α和它的逆瓙α之间的联系,使得含有非协调信息的软件模型能得到描述。下面先由集合P构造一个对象的集合O。

定义3对象的集合O={+p|p∈P}∪{-p|p∈P},其中+p被称为关于原子命题p的正对象,同样-p被称为负对象。

从所周识,Kripke结构经常用于定义包括CTL、LTL等各种经典时序逻辑的语义模型[8]。基于上面所定义的集合O,我们扩展标准的Kripke结构(被称为超Kripke结构),且把它作为超协调时序逻辑QCTL的语义模型。

定义4一个三元组M=(S,R,L)被称为超Kripke结构,其中S、R、L的定义如下所示:

(1)S是一个非空的状态集合;

(2)RS×S是一个关系,且对每个s∈S,至少有一个状态t,(s,t)∈R;

(3)L:S|→2O(2O表示O的幂集)是一个标记函数,它用一个正对象或负对象的集合标记一个状态。

由上一小节可知,为了使形式推演关系t具有超协调性,QCTL的证明过程被分为两个阶段:分解和合成。相应地,QCTL的语义也被定义在两种可满足关系上,这两种关系分别为强可满足关系(s)和弱可满足关系(w)。强可满足关系的观念对应证明过程的分解阶段,而弱可满足关系的观念对应合成阶段。下面给出这两种关系的初步定义。

定义5 M=(S,R,L)是一超Kripke结构,强可满足关系s被定义如下(s∈S):

(1)当p是原子命题时,(M,s)sp蕴涵着+p∈L(s);

(2)当p是原子命题时,(M,s)s瓙p蕴涵着-p∈L(s);

(3)(M,s)sα∧β蕴涵着(M,s)sα和(M,s)╞sβ;

(4)当α=l1∨…∨ln是子句,其中n≥1,(M,s)sα蕴涵着i.1≤i≤n,+li∈L(s)(假如li是一原子命题的逆,则+li代表相应原子命题的负对象),并且,假如-li∈L(s)(假如li是一原子命题的逆,则+li代表相应原子命题的正对象),则(M,s)sDisj(α,li),Disj(α,li)表示子句α去掉析因子形成的子句;

(5)当α=c∨ql1∨…∨qln,其中c是一个子句,对于1≤i≤n,qli是形如E(A)Xβ,E(A)Fβ,E(A)Gβ,E(A)(β1Uβ2),或它们的逆这样的公式,(M,s)sα蕴涵着(M,s)sc,或i.1≤i≤n,(M,s)sqli;

(6)(M,s)sEXα蕴涵着存在一状态t∈S,且(s,t)∈R,(M,t)sα;

(7)(M,s)sEFα蕴涵着存在一状态序列(s0,s1,…,sn,…),其中s0=s,对于i≥0,(si,si+1)∈R(下面把满足这种关系的状态序列成为路径),存在j≥1,(M,sj)sα;

(8)(M,s)sE(αUβ)蕴涵着有一条路径(s0,s1,…,sn,…),其中s0=s,存在k≥1,(M,sk)sβ,且对于i

(9)(M,s)sEGα蕴涵着有一条路径(s0,s1,…,sn,…),其中s0=s,对于i≥0,(M,si)sα。

定义6 M=(S,R,L)是一超Kripke结构,弱可满足关系w被定义如下(s∈S):

(1)强可满足关系的定义中除第四条目外,其余条目中的强可满足关系符号s替换为w,使之成为满足弱可满足关系的条目;

(2)当α=l1∨…∨ln是子句,其中n≥1,(M,s)wα蕴涵着i.1≤i≤n,+li∈L(s)。

从定义5的第四和第五条目可以看出,对于子句,强可满足关系比弱可满足关系更严格,而弱可满足关系与经典时序逻辑相似。超Kripke结构在语义层次上已经断开了一个公式和它的逆之间的联系,于是通过限制一个子句中的析取因子和它的逆之间的关系,一方面,在某种意义上为逻辑非操作符提供一种传统的“非”的意思;另一方面,它使得传统逻辑中的归结法能用于QCTL的超协调推理中,这一点在证明QCTL证明系统的完备性和可靠性将得到充分的说明。另外,值得注意的是,由于篇幅的关系,我们只给出了两种可满足关系的基本定义,如对于路径量词为A的情况可以借鉴量词E的定义,只不过要考虑从状态s开始的所有路径。当α、β为任意的公式时,定义5没有详细地给出(M,s)sα∨β,实质上,必须通过递归地使用经典逻辑中的de Morgan律,分配律等把它转化为定义5中的第三至第五条目。

通过强可满足关系和弱可满足关系,现在我们可以给出QCTL的语义上的逻辑推理关系t:

定义7 QCTL的逻辑推理关系t被定义如下:

(1)t(2L-Φ)×L,其中2L代表L的幂集,Φ代表空集;

(2)Γtα意味着每个超Kripke结构M=(S,R,L)和s∈S,假如对于所有的公式α’∈Γ,(M,s)sα’成立,则(M,s)wα。

3 实例分析

上一节引进了一种基于超协调逻辑方法学的时序逻辑,它为处理含有非协调信息的软件系统设计提供了形式化的逻辑基础。下面通过一个关于电话系统的简单实例来说明怎样用超协调时序逻辑来推理和验证含有非协调性的软件模型。

由于超Kripke结构所具有的超协调性,下面首先建立一种与基于标准Kripke结构的模型观念不同的模型观念,它体现了QCTL的内在的本质的思想:(下转第245页)(上接第141页)

定义8给定一个超Kripke结构M=(S,R,L,S0)和一公式α,其中S0S是一非空的初始状态的集合。对于s∈S,(M,s)tα蕴涵着存在一有限的公式集合Γ,Γtα,且对于所有的属于Γ的公式α’,(M,s)sα’。假如对于所有的s0∈S0,(M,s0)tα,M被称为α超Kripke结构模型。

现在我们来考察具体的例子。一个电话系统对于不同身份的人从不同的角度会得到不同的模型,图2的(a)和(b)是从两个接电话者(Callee1、Callee2)的观点出发得到的两个基于二值逻辑的模型。图中省略了每个状态指向自己的转移关系,每个状态和状态里面命题代表的意思可以从字面去理解。明显地,Callee1与Callee2有分歧:Callee1认为应该允许接收者挂上电话而不断开连接;但Callee2认为一挂上电话就应该断开连接。

对于已经给定的不同来源的软件模型,我们除了需要对每个模型进行分析验证外,更期望综合这些模型以得到整个目标系统的模型,并进行推理和验证。在经典的时序逻辑里,含有非协调信息的系统规约没有模型。QCTL和超Kripke结构提供了解决这一问题的手段。图2(c)显示了含有非协调信息的(a)和(b)所反应的模型(超Kripke结构)。图2(c)中的实体,如+OFFHOOK等,代表相应命题对应的正或负对象。于是尽管有非协调性,我们能分析并验证该目标系统的一些重要的时序性质,下面列出一些例子:

(1)如果电话接通,能挂起电话:AG(CONNECTED→EX(瓙OFFHOOK));

(2)如果没有人拨号,电话不能处于连接状态:AG(瓙CAL-LER_SEL→瓙CONNECTED);

(3)如果电话被挂起,断开电话的连接:AG(瓙OFFHOOK→瓙CONNECTED)。

根据定义8,可以容易地验证图2(c)的超Kripke结构是这三条时序属性的超协调模型,这儿省去具体的分析过程。

尽管上面的实例过小且有人造的痕迹,但是它足以表达我们的观点和目的,证明超协调逻辑对持续不断变化的工程过程提供一个良好的形式化框架。

4 结论及将来的工作

本文提出用超协调逻辑来处理含有非协调信息的系统规约。基于超协调逻辑的方法学,构造了超协调时序逻辑QCTL,包括它的语法、语义,并简单地介绍了证明系统的主要思想。同时通过一个简单的实例说明在软件模型含有非协调信息的情况下,QCTL提供的形式化支持。将来需要在以下几方面展开工作:(1)构造基于QCTL的模型检测算法,以开发出实用的处理非协调模型的形式化支持工具;(2)进行一系列大型的,有意义的实例研究,以说明所提议的框架的可行性和意义;(3)本文没有就怎么集成多个片面的软件模型的问题进行深入讨论,实际上,这方面有许多的问题需要解决。

摘要：随着计算机系统规模和复杂度的增长,在软件工程的各个阶段,开发者不得不面对包含大量非协调信息的各种类型的系统规约。由于平凡推理的问题,基于经典逻辑的方法不能用于分析含有非协调信息的系统规约。在简单介绍超协调逻辑的基础上,引进一种超协调时序逻辑,它用于描述计算机系统的时序性质,并且能用于处理含有非协调信息的系统规约。

关键词：非协调性,超协调逻辑,时序逻辑,软件工程

参考文献

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[7]Valentine S H.Inconsistency and Undefinedness in Z-a Practical Guide[J].Lecture Notes in Computer Science,1998,1493:233-249.

非协调性 篇3

在城市中, 干道网密度相对较高, 交叉口繁多, 将相邻交叉口之间连接起来进行协调控制[1], 可以使干道上的车辆到达每个路口时都遇到绿灯, 能连续不停顿地通过交叉口, 减少延误。目前, 干线协调控制在城市交通信号控制中应用广泛, 但控制方法都侧重于对交叉口或干线系统进行静态最优化控制, 缺乏对交叉口及干线系统的运行状态进行预判。本文依据检测器数据, 预测系统未来交通状况, 并依据预测结果调整控制策略及信号配时参数, 为协调控制提供一种新思路。

1 干线协调控制设计

干线交通信号协调控制是指通过调节主干道上各信号交叉口之间的相位差, 使干道上按照接近设计车速行驶的车辆获得连续的通行权。干线信号控制的分类形式有很多种, 从控制方法上可分为:定时控制、感应控制、自适应控制。在干线协调控制的方案设计中, 首先计算线控系统的周期时长, 根据每一交叉口的平面布局及计算交通量, 按单点定时控制的配时方法, 确定每一交叉口所需的周期时长。以所需周期时长最大的交叉口为关键交叉口, 以此周期时长为线控系统的备选系统时长, 再计算线控系统中各交叉口的绿灯时间, 确定信号相位差, 最后通过车辆平均延误、排队长度等交通评价指标来评价方案效果[2]。

2 基于非参数回归预测下的干线协调控制设计

2.1 短时交通预测

国内外对短时交通预测提出了很多方法, 有历史均值法、回归预测法、神经网络预测法、时间序列法、卡尔曼滤波法、复合预测算法等。其中历史均值法、回归预测法都比较简单, 但未能反映交通流过程的不确定性与非线性, 而非参数回归是近几年兴起的一种适合不确定性的、非线性的动态系统的非参数建模方法, 比较符合短时交通流所具有的不确定性和时变性的特征。它不需要先验知识, 只需要足够的历史数据, 它寻找t时刻历史数据中与当前点相似的“近邻”, 并将历史数据库中下一时刻t+1的交通量作为预测值, 从而对短时交通流量进行实时准确预测。

本文采用的K近邻的非参数回归方法, 是利用K个历史库中的最近邻的K个数据进行预测。对于近邻K的选取, 足够充足的历史数据更易找到与现状相似的演变趋势, 但冗余的数据又会耗费算法的运行时间, 因此, K值的选取显得尤为重要。根据经验, 本文选取K=5, 即以过去五组数据作为历史数据库。

通过道路上的车辆检测器采集各车道车流数据, 本文选取连续5天的交通流量作为历史数据库。以15分钟作为控制单位采集交通流量, 并以时间顺序排列, 定义t, t-1, t-2, t-3时刻的交通量为状态向量X=[V (t) , V (t-1) , V (t-2) , V (t-3) ]。定义历史数据库中相同时间状态向量Xhi=[Vhi (t) , Vhi (t-1) , Vhi (t-2) , Vhi (t-3) ]。历史数据对应的下一个时刻流量为Vhi (t+1) , (i=1, 2, ...k) 。

计算现状状态向量X与历史状态向量Xhi的离差平方和di=[ (V (t) -Vhi) t) ) 2+…+ (V (t-3) -Vhi (t-3) ) 2]1/2。其中di表示现状向量与第i组历史数据比较而得到的距离, 文中采用k=5, 五组历史数据, 因此共有i=5组距离。并使用带权重的预测算法, 采用如下形式:

带权重的预测算法认为, 历史数据库中和当前观测值更为接近的数据更能体现出交通状况的变化趋势。其中, V (t+1) 是预测出的下一15分钟的车流量[3,4,5]。

2.2 交通状态选择

对于交叉口, 交通量的变化具有一定的规律, 一天之内的交叉口按一定规律变化着。如图一所示, 采集某交叉口连续6天的流量数据, 呈现出一定的规律性。

本文利用历史交通流的相似性, 对所有的交通流量进行分类, 划分若干个交叉口状态, 并对应交叉口状态计算周期[6]。图一可划分5个交通状态, 如表一所示。

表一所示的周期采用韦伯斯特提出的最小车辆延误周期方法计算。

2.3 短时交通状态预测下的干线协调控制

本文采用单向干线协调控制, 通过车辆检测器采集干线上需要协调控制的各交叉口交通流量, 当数据足够构成状态向量X=[V (t) , V (t-1) , V (t-2) , V (t-3) ]时, 预测t+1时刻即下个15分钟交通量V (t+1) 。继而得出交叉口预测交通状态, 并根据状态划分得出对应周期C1-C5, 则这个干线上所有交叉口的预测周期记为C={C1, C2, C3, …, Ci}, i代表交叉口序号。选择当前干线中最大的交叉口周期CL=max{C}作为公共周期。并调整绿信比, 计算相位差, 整个干线自适应协调过程流程如图二所示。

3 方案验证

在方案中, 短时交通预测的准确性是实现协调控制的关键。为了检验预测模型的预测效果, 以图一中前5天数据作为历史数据, 以第6天0∶00~0∶45, 即V (t) , V (t-1) , V (t-2) , V (t-3) 流量数据构成状态向量, 利用MATLAB编写代码进行非参数回归预测, 拟合过去5天历史数据, 预测结果如图三所示。

通过图三可以看出, 非参数回归预测结果具有较强的实时性, 基本上呈现了一天的交通趋势。

保证了预测的可靠性后, 利用微观仿真软件VISSIM进行仿真实验, 利用软件提供的COM类型库, 通过C++编写控制算法, 获得仿真结果。本实验主要采用主干路上连续4个交叉口作为算法的验证对象, 其中交叉口间距分别为320、370、270米。路网绘制采用地图的卫星图层数据, 结合实地采集的交叉口结构数据, 再绘制与实际路网相同的交叉口路网。如图四所示。

在该路网上分别实行非绿波控制方案、绿波控制方案及自适应绿波协调控制方案。自适应绿波协调控制按照本文所述采用15分钟预测周期, 获取新的预测周期后重新计算新的相位差。三种方案最终以干线延误、全路网延误和路网车辆平均停车次数为评价指标, 统计的仿真时间为0~57600仿真秒。实验结果分析干线延误仿真结果对比如图五所示。

从图五可以看出, 非绿波控制平均延误明显大于其他两种控制方式, 且基于非参数回归预测下的干线协调控制方法较普通协调控制有所改善。

4 结束语

通常的交通信号模型都是基于优化指标, 如车辆延误、排队长度等建立的, 很少有对于单个交叉口的相位选择建立模型。本文采用无模型控制策略, 依照历史交通流量数据对交通状态进行预测, 实时监测并预测交叉口当前交通状态, 依据预测的交通状态调整控制策略, 更改信号配时参数。通过仿真实验表明, 此方法有效的提高了交叉口的通行能力, 减小了交叉口延误, 改善了交叉口服务水平。

摘要：城市干线协调控制是智能交通研究的关键环节。由于交通流是一个时变的、复杂的非线性系统, 具有高度的不确定性、随机性, 因此很难建立准确的模型, 针对这一问题, 本文采用非参数回归预测的方法对交通量进行预测, 并运用到干线协调控制中, 根据预测出的各交叉口短时交通量对干线协调控制进行配时设计。通过仿真表明, 该方法能有效减少交叉口平均延误。

关键词：非参数回归,短时预测,协调控制

参考文献

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[6]方良君.短时交通状态预测下的动态交通信号控制方法研究[D].杭州:浙江工业大学, 2013.

非协调性 篇4

20世纪90年代以来, 随着科技的发展, 经济全球化和消费者需求多样化使得产品的需求发生巨大的转变。首先是产品生命周期不断缩短, 意味着产品的使用价值只存在一段较短的时期, 所以对供应链的快速响应反应能力要求更高, 能够在最短时间内把产品送到最终消费者手中。市场需求瞬息万变, 各级供应商与消费市场的接触程度不同, 更接近消费市场的供应商掌握更准确的市场需求信息。供应链中的决策主体决策的制定优劣取决于制定者对信息的掌握程度, 所以占主导地位的供应商通过各种激励机制促使零售商传递他们掌握的市场需求信息。供应链协调是提高供应链效率、发挥核心竞争力的前提, Cachon和Lariviere认为共享需求预测信息是实现供应链协调的关键因素[1]。如何实现非对称信息在各个供应商之间共享, 是提高供应链效率的首要解决的问题。

为了使供应链上的各级供应商共享信息, 学术界开始在供应链机制设计的角度研究不对称信息供应链的信息传递。Chung-Chi Hsieh等 (2008) 研究了短生命周期产品供应链的协调, 比较了无协调机制的模型和数量价格折扣、回购合约引导信息传递的模型, 得出了信息共享能有效的提高供应链效率的结论。该文献基于以下两个假设:零售商提高订货量是为了得到价格折扣; 信息共享会导致集体决策。这些假设可能导致模型与现实产生偏差[2]。周艳春等 (2007) 引入联合成本与分散决策下的系统各方成本之和两个相互独立的概念, 分析内涵式价格折扣对供应链的协调, 得出价格折扣可以实现供应链中企业共同决策, 并使得各方收益有明显的改善[3]。Li Jibin等 (2007) 研究指出在信息不对称供应链中价格折扣的临界值低于对称信息的价格折扣, 证明信息不对称时的数量价值折扣可以更好的降低零售商的成本和提高制造商的利润[4]。白世贞等 (2008) 通过研究发现总量价格折扣可以增加零售商收益, 但对制造商收益的影响不确定, 必须要通过返利因子才能确保制造商从价格折扣策略中获益[5]。Fredo Schotanus等 (2007) 通过分析离散型价格折扣, 发现订货量在接近节点时会发生数量扭曲。随着节点增加, 离散型价格折扣接近于连续型价格折扣, 数量扭曲会减少。从而得出连续型价格折扣比离散型价格折扣更优的结论[6]。

本文虽然也是考虑价格折扣对供应链整体收益的影响, 但是对比以上文献有所不同。第一, 本文对供应链的分析始终是以链中各方独立决策为基础的。第二, 本文侧重于销售收益而不是订货成本, 所以市场需求是否满足、缺货成本和存货损失等成为主要考虑因素。第三, 本文是通过预设的非线性数量价格折扣策略, 分析该价格折扣策略对供应链各方及整体收益的不同影响。本文首先说明供应链中的博弈规则, 并需求预测信息不对称的问题进行描述, 给出制造商和零售商各自的保留利润计算公式。分析信息非对称对制造商的影响。接着求解制造商为了提高自身的收益, 通过设计数量价格折扣机制促使零售商传递信息的供应链协调模型, 比较两个模型中各方收益的变化。得出数量价格折扣能提高供应链各方收益, 有效协调供应链的结论。

2 供应链问题描述

考虑生产短生命周期产品 (如时装、电子产品等) 的两级供应链, 该供应链上只有单个制造商进行生产和单个零售商进行销售。此供应链的行动机制为上游企业先行定价, 即制造商先行定价, 零售商作为跟随者根据制造商制定的批发价和其对市场需求信息的预测决定最优订货量。由于产品生命周期短, 零售商只能进行一次订货。制造商和零售商都为风险中性, 即只考虑预期收益, 同时制造商有足够大的生产能力满足零售商的订货量。产品的市场是一个需求信息无法准确预测的市场。由于零售商更接近市场, 虽然不能准确预测市场需求信息, 但它能了解市场需求的分布函数, 而远离市场的制造商无法准确地预测市场需求, 需求分布函数是零售商的私有信息, 供应链中各方关于市场需求信息的不对称。

假设随机市场需求为x, x符合区间[a, b]内均匀分布, 分布函数为F (x) , 密度函数为f (x) , F (x) 是二次可微的, f (x) 总是大于零的。a表示市场的最低要求, 是市场刚性的表现; b为市场可以扩展的极限容量, 大小受市场的总容量和零售商的销售努力影响。市场价格固定为p; 零售商订货量Q; 由于市场需求信息不确定, 订货量可能不等于市场需求, 未卖出产品在生命周期结束后的残值为kr; 每一单位缺货带给零售商的成本是s; 假设零售商的库存成本和运输成本等都为零, 零售商的收益用Πr表示。制造商以cm成本生产产品, 其中cm>kr; 然后以批发价w出售产品, 其中p>w>cm; 制造商为了让零售商传递需求信息, 制定数量价格折扣策略, 通过选择最优折扣弹性系数θ来最大化其收益, 制造商收益用Πm表示。供应链总收益用Πj表示。

3 短生命周期产品供应链模型建立及求解

下面通过建立需求信息不对称模型和价格折扣机制协调模型进行比较, 分析信息共享对供应链中各方收益和总收益的影响。

3.1 需求信息不对称模型

在信息不对称模型中, 制造商因为远离消费者使他无法准确预测市场信息, 同时独立决策的博弈机制使零售商不与他共享市场信息, 所以制造商不了解市场需求的分布函数。零售商依然了解随机市场需求x的分布函数和分布概率, 所以他拥有私有信息, 造成双方关于市场需求信息的不对称。此时, 供应链中制造商和零售商的收益表达式为:

$\begin{array}{l}\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}}=p(Q,x){}^{-}-wQ-s(x-Q,0){}^{+}+k{}_r(Q-x,0){}^{+}(1)\\ \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅰ}}=(w-c{}_m)Q(2)\end{array}$

零售商能根据已知的批发价格和市场预测求出其最优订货量为:

$\frac{\partial {\rm E}(\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}})}{\partial Q}=(p+s-w)-(p+s-k{}_r)F(Q)(3)$

令$\frac{\partial {\rm E}(\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}})}{\partial Q}=0$, 得到$Q{}^{\mathrm{Ⅰ}*}=F{}^{-1}\left(\frac{p+s-w}{p+s-k{}_r}\right)$。

制造商由于信息不对称而不了解场需求的分布函数, 无法通过逆向归纳法求得最优批发价w, 只能根据了解的市场价和制造成本制定其批发价w, 所以批发价wⅠ只能在 (cm, p) 区间内取值。将最优订货量QⅠ*代入式 (1) 和式 (2) 可得供应链中各方预期利润表达式为:

$\begin{array}{l}\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}*}=(p+s-w{}^{\mathrm{Ⅰ}})Q{}^{\mathrm{Ⅰ}*}-(p+k{}_r){\displaystyle {\int }_a^{Q{}^{\mathrm{Ⅰ}*}}F}(x)\text{d}x\\ -s\left[b-{\displaystyle {\int }_{Q{}^{\mathrm{Ⅰ}*}}^{b}F}(x)\text{d}x\right](4)\\ \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅰ}}=(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m)Q{}^{\mathrm{Ⅰ}*}(5)\end{array}$

3.2 价格折扣机制协调模型

供应链信息不对称导致制造商无法确定最优批发价, 使其收益降低。作为供应链主导方的制造商不会放任这种情况持续存在, 他必然会通过设计激励机制, 促使零售商采取行动, 实现信息共享。模型Ⅱ考虑了制造商在非对称信息模型的价格基础上, 设置一个数量价格折扣w (Q) 供零售商选择, 零售商一旦接受了价格折扣后就需要向制造商传递其私有信息。制定的数量价格折扣机制需要符合两个条件:第一, 参与约束, 即零售商在该机制下得到的期望效用必须不少于在非对称信息下的期望效用ΠⅠr (式 (4) ) ; 第二, 激励相容约束, 该价格折扣机制下零售商追求个人利益最大化的决策, 正好与制造商追求其收益最大化的目标相吻合。根据上述条件设定价格折扣表达式为:

$w(Q)=\theta \left(\frac{Q{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{Q}-1\right)+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}$

在数量价格折扣下零售商的收益表达式为:

$\begin{array}{l}\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}}=p(Q,x){}^{-}-w(Q)Q-s(x-Q,0){}^{+}\\ +k{}_r(Q-x,0){}^{+}(6)\end{array}$

零售商通过选择最优订货量Q来最大化其预期利润:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\rm E}(\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}})}{\partial Q}\\ =p[1-F(Q)]-(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-\theta )-s[F(Q)-1]+k{}_{r}F(Q)\end{array}$

令$\frac{\partial {\rm E}(\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}})}{\partial Q}=0$, 得到$F(Q)=\frac{p+s+\theta -w{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{p+s-k{}_r}$, 所以

$Q{}^{\mathrm{Ⅱ}*}=F{}^{-1}\left(\frac{p+s+\theta -w{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{p+s-k{}_r}\right)(7)$

零售商的最优订货量是根据制造商订价行为的相机行动原则。制造商在信息共享后, 通过制定最优折扣价格弹性系数最大化其收益。

制造商的收益表达式为:ΠⅡm=[w (Q) -cm]QⅡ.

制造商通过选择最优数量价格弹性系数θ来最大化其预期利润。由于随机需求在区间[a, b]内均匀分布, 由此可得:$F(x)=\frac{x-a}{b-a},f(x)=\frac{1}{b-a}$。

$\begin{array}{l}\frac{\partial \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}}}{\partial \theta }\\ =Q{}^{\mathrm{Ⅰ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}-\theta \frac{\partial Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}{\partial \theta }+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}\frac{\partial Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}{\partial \theta }-c{}_m\frac{\partial Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}{\partial \theta }\\ =(b-a)\frac{w{}^{\mathrm{Ⅱ}}-2\theta -c{}_m}{p+s-k{}_r}\end{array}(8)$

令$\frac{\partial \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}}}{\partial \theta }=0$, 解得

$\theta {}^{*}=\frac{w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m}{2}(9)$

根据式 (9) 可以解得价格折扣模型中的QⅡ*和w (Q) *:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}Q{}^{\mathrm{Ⅱ}*}\\ =F{}^{-1}\left(\frac{p+s+\theta -w{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{p+s-k{}_r}\right)\\ =\frac{b(2p+2s-c{}_m-w{}^{\mathrm{Ⅰ}})+a(c{}_m+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-2k{}_r)}{2(p+s-k{}_r)}(10)\end{array}\\ \begin{array}{l}w(Q){}^{*}\\ =\theta \frac{Q{}^{\mathrm{Ⅰ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}{Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-\frac{(b-a)(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m){}^2}{2b(2p+2s-c{}_m-w{}^{\mathrm{Ⅰ}})+2a(c{}_m+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-2k{}_r)}\end{array}(11)\end{array}$

3.3 模型结果比较分析

订货量和价格比较:通过数量价格折扣, 制造商一方面要求零售商传递市场信息, 另一方面从一定程度上减少了零售商市场风险, 进而影响他们的订货量。

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =F{}^{-1}\left(\frac{p+s+\theta -w{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{p+s-k{}_r}\right)-F{}^{-1}\left(\frac{p+s-w{}^{\mathrm{Ⅰ}}}{p+s-k{}_r}\right)\\ =\frac{(b-a)(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m)}{2(p+s-k{}_r)}>0(12)\end{array}\\ \begin{array}{l}w(Q){}^{*}-w{}^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =-\frac{(b-a)(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m){}^2}{2b(2p+2s-c{}_m-w{}^{\mathrm{Ⅰ}})+2a(c{}_m+w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-2k{}_r)}<0\end{array}(13)\end{array}$

结论1: 制造商采取数量价格折扣促使零售商增加订货量, 同时也使批发价降低。

零售商收益分析:根据参与约束, 零售商在价格折扣机制下得到的期望效用必须不少于在非对称信息下的期望效用。

$\begin{array}{l}\Delta \Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}=\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}}-\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =(p+s+\theta -w{}^{\mathrm{Ⅰ}})(Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅰ}})-(p+s-k{}_r){\displaystyle {\int }_{Q{}^{\mathrm{Ⅰ}}}^{Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}}F}(X)\text{d}X\end{array}$

将前面求出的QⅠ、QⅡ和θ代入上式, 解得:

$\Delta \Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}=\frac{(b-a)(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m){}^2}{8(p+s-k{}_r)}>0(14)$

结论2: ΠⅡr>ΠⅠr, 接受制造商的数量价格折扣机制使得零售商收益增加, 零售商愿意参与该机制。

制造商收益分析:制造商通过设置θ必须保证在信号传递的分离均衡中获得的收益要大于没有价格折扣机制的制造商所获得的收益。

$\begin{array}{l}\Delta \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}=\Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}}-\Pi {}_m^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =(w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m-\theta )(Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅰ}})\\ =\frac{w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m}{2}(Q{}^{\mathrm{Ⅱ}}-Q{}^{\mathrm{Ⅰ}})\end{array}$

由于前面已经证明了wⅠ≥cm、QⅡ>QⅠ, 所以可以得到:$\frac{w{}^{\mathrm{Ⅰ}}-c{}_m}{2}(Q{}^{{\rm I}{\rm I}}-Q{}^{\mathrm{Ⅰ}})>0$。

结论3: ΠⅡm>ΠⅠm, 制造商通过提供数量价格折扣机制可以增加其自身收益。

供应链总收益比较:

$\begin{array}{l}\Delta \Pi {}_j^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}=\Pi {}_j^{\mathrm{Ⅱ}}-\Pi {}_j^{\mathrm{Ⅰ}}\\ =\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}}+\Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}}-\Pi {}_r^{\mathrm{Ⅰ}}-\Pi {}_m^{\mathrm{Ⅰ}}=\Delta \Pi {}_r^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}+\Delta \Pi {}_m^{\mathrm{Ⅱ}-\mathrm{Ⅰ}}\end{array}$

前面已证明ΔΠⅡ-Ⅰr>0, ΔΠⅡ-Ⅰm>0, 所以可得ΔΠⅡ-Ⅰj>0。

结论4: ΠⅡj>ΠⅠj, 数量价格折扣机制可以有效协调供应链关系, 实现信息共享提高供应链总收益。

4 数据模拟分析

为了便于理解本文的研究成果, 在这里进行了数值模拟分析。

根据本文的研究背景, 对相关的数据作了p=15, cm=7, s=2, kr=5的基本假设, 且假定随机市场需求符合[1000, 10000]的均匀分布。数值仿真中的数值由于各企业保密的原因, 无法获得真实的数值。以上假设首先考虑要符合参数约束条件。其次, 对于市场上众多的短生命周期产品 (如时装、电子产品) , 其价格相差很大, 但是他们都有一个共同的特点就是成本低、利润高, 所以做出上述市场价格和成本的假设; 对于残值在现实中只有少数情况会放任产品报废, 一般厂商都会在产品生命周期就结束前以低价出售, 所以kr不完全是产品退出市场后的残值, 而是代表低价销售和残值的综合价值, 所以取值接近于成本;对于缺货造成的损失难以用数量描述, 但短期缺货造成损失不大, 所以s=2; 最低市场需求是市场刚性, 但对于文中的短生命周期产品市场刚性比较小, 所以最低市场需求和市场可扩展最大容量有较大的差距。非对称信息下制造商采取不同的批发价时, 供应链各方期望收益如表1所示。

从表1可得非对称信息下, 零售商收益随批发价下降而上升; 制造商的批发价不能大于13, 其最优批发价在 (12, 13) 区间内。

价格折扣协调机制对供应链中的双方造成的影响如图1～图6所示。

随着非对称信息时定价提高, 制造商会相应提高折扣弹性θ, 给予零售商更大的优惠。订货量随批发价下降而下降, 但在有价格折扣的情况下, 下降幅度明显减少。价格折扣对供应链的协调, 使供应链各方收益比非对称情况下有所提高, 同时随批发价格提高, 零售商收益下降幅度减少;制造商的收益提高幅度增大;供应链总收益随批发价变化幅度较小。

5 结束语

信息不对称是供应链存在的普遍现象。本文通过设计数量价格折扣策略促使零售商传递其私有信息。证实了价格折扣能改善供应链中各成员的关系, 能促进零售商增加订货量, 使零售商和制造商的取得更多的收益。该结论说明了数量价格折扣能够有效的协调供应链关系, 使得供应链中各级供应商通过数量价格折扣策略提高收益;同时在市场价格不变的条件下, 整条供应链的收益提高, 表明增加的那部分订货量被出售, 证明在没有价格折扣协调时的市场需求没有得到满足, 所以数量价格折扣能够减少市场的缺货现象, 提高社会福利。文章只对数量价格折扣的一种特定形式进行研究, 使结果带有一定的特殊性, 在往后的研究可以对数量价格折扣通式进行扩展研究, 提高结论的适用性;学术界对短生命周期产品的研究主要集中在回购问题, 可以扩展这方面的讨论, 分析多种协调机制共同作用于同一供应链是否优于单一机制。

参考文献

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