认识数学

认识数学（精选12篇）

认识数学 篇1

数学教育理论体现数学发展理念, 将新理念渗透到数学课程教学中是满足个人发展与社会进步的需要, 有助于学生成长。数学教学肩负着培养学生创新意识、应用意识, 学习数学文化、形成理性思维、发展智力的重任。为此, 笔者在数学教育认识上作出以下几点浅析。

一、认识数学

认识数学的本质, 就是数学是什么的问题? 为什么中小学师生必须了解和研究数学的本质呢?首先数学的内容、方法理论十分庞杂, 中小学课程只涉及到数学大厦一隅。因此, 有必要通过简要介绍数学的研究对象和发展状况, 帮助中小学生窥其全貌。中小学生同样肩负着回答数学本质问题的历史使命。

我们还要认识数学是研究现实世界空间形式、数量关系、模式和秩序的科学;认识数学大厦起于一问, 问题是数学的心脏, 数学是不断提出问题和解决问题的过程;认识数学是大自然的语言。数学最大点是逻辑思维的严密性, 数学不能凭自己的想象或凭感情办事, 必须进行严格的逻辑推理和证明。数学唯一的依靠是数学规则。因此, 各级党校在党政高级干部的培训过程中, 进行数学的训练是非常必要的;认识伟大的数学时代;认识数学高度的抽象性、逻辑思维的严密性和应用的广泛性;认识和了解数学的双重价值 (科学价值和人文价值) 和双重功能 (科学功能和教育功能) 。

二、数学的教育形态

数学的学术形态是一个从客观事物中抽象出来的理性思系统, 它的形成和发展主要运用符号和逻辑系统对抽象模式和结构进行严密的演译和推理, 各部分知识紧密联系, 形成严格的科学体系。数学的学术形态的基本特征是高度的抽象性、严谨性、统一性、系统性、形式化和模型化。由于学生的年龄特征和认识水平等原因, 不能用数学的学术形态和学生直接交流。数学的教育形态是教师依据教育学、心理学原理, 依据学生现有认识水平, 生活背景等, 把数学的学术形态适当返璞归真, 回到现实生活中去, 回到数学家当初创新发明的状态, 把数学的学术形态知识的性线排列“打乱”, 融合当代科学技术的最新成果, 融合不同学科的相关知识, 融入教师的理解, 对教材所呈现的内容进行重新编排裁剪、充实、活化教学内容, 赋予数学知识新的意义、价值。这样就把数学的学术形态激活, 使数学知识变成生动、有趣、形象、直观和容易理解的数学的教育形态。

数学的学术形态掩盖了数学美丽的色彩, 遮蔽了数学的光芒。数学的学术形态就象在X光线下透视一个美人, 我们看到的是美人的骨架, 它是僵死的、冰冷的美丽。把数学的学术形态转化为教育形态, 就是活化美人, 使其变成有血有肉、生动形象的、激动人心的和人见人爱的活美人。这血和肉就是教师给予补充上去的。现实数学教材由于种种原因是对数学知识的高度简约化的概括与模写, 很少甚至没有叙述那些定理和规律的发现过程, 使教科书成为一本无人活动的记录本。教科书本质上仍是数学的学术形态。在教学中就是要善于激活教材, 使数学课堂成为师生人生中一段激荡的生命历程。

三、数学体验

数学体验源于体验数学, 学习数学由低到高分为:认识数学、理解数学、体验数学和创新数学四种境界。让学生达到后两种境界是数学教育的最高目标, 它是依据现代情感教育理论原理得出的其本结论。大量实践也证明, 良好的情感可推动人趋向学习目标, 激发人的想象力, 使人的创造思维得到充分发挥, 反之则会压抑人的学习主动性和创造性。

数学体验的基本含义是:学生在参与特定的数学活动中, 在具体情境中初步认识对象的特征, 获得一些经验、体会;在数学自身领域和现实生活中, 让学生在有意义、有价值的学习过程中, 体验数学知识的发生、发展和完善过程;体验数学的真善美和数学的真谛;体验数学学习酸甜苦辣的曲折过程。数学体验主张学生是体验者, 教师是引导者。学生在体验中个性得到张扬, 潜能得到开发, 情感不断丰富。学生通过积极参与、独立思考、主动探究、合作交流, 人类世界的数学知识和数学智慧就会内化为学生自己的东西, 在数学体验过程中形成的主动求索、开拓创新的精神品质以及那种珍藏在学生心中的数学思想方法、数学精神和数学思维方式将不断地提升人的品位和价值。

在数学体验教学过程中要做到:学习目标、学习计划让学生订, 体验凡事预则立, 不预则废;书让学生读, 体验书读百遍其义自见的过程;思路让学生想, 体验探索是数学的生命线的原理;笔记让学生做, 体验不动笔墨不读书的方法;问题让学生提, 体验知识大厦起于一问的知识构建过程。大胆质疑, 勇于提出自己的猜想, 敢于发表与别人不同的意见, 别出心裁, 体验知识创新的快乐;“果”让学生摘, 体验收获的喜悦, 体验数学是生动有趣的, 是激动人心的;重要问题让学生议, 体验敢问、敢争、敢辩的百家争鸣的学术氛围;学习成果让学生评, 体验人生的自我反省、自我评价、自我完善, 从而认识自我, 战胜自我的生命历程;课堂大舞台, 主角让学生演, 体现学生是课堂的主动参与者, 是学习的主人, 是探索的主人。教师要讲体会、讲理解、讲过程、讲背景和联系, 用数学的教育形态与学生交流。把数学当哲学教、把数学当美学教、把数学当政治教、把数学当军事教……。教学生用数学的眼光观察社会, 思考人生、领悟人生。

四、探寻数学的本源理解数学的本质

在新课程标准下, 教师与学生的关系不是一桶水和一碗水的关系。教师如何引导学生寻找水源的问题。数学的本源从逻辑上说是数学的逻辑起点, 即数学产生、发展的源泉。学习数学就是要把数学适当返璞归真, 恢复数学的本来面目, 回到真实的自然、社会和现实生活中去, 回到数学家当初发明创新的壮态, 把抽象的难以理解的数学的学术形态转化为生动形象、具体、容易理解的教育形态。要不断地探寻数学的社会、生活和自然本源;数学的逻辑本源;数学知识之间、数学与其它学科之间的交江点、网络点、关节点、联结点。从而探寻数学的本源, 理解数学的本质。

数学源于生活、源于自然、源于社会。人是生活在丰富多的现实社会中的, 认识、理解和体验数学就是要探寻数学的生活、自然和社会本源。

认识数学 篇2

学习数学分析的方法：

1、牢牢掌握中学的函数知识，这是前提；

2、理解并掌握“极限”的概念，它是数分的基本工具；

3、导数、微分、积分，都是以极限为武器来给出的定义；

4、搞清几个关系：（1）、导数与微分，是两个概念，一个是两个增量之比的极限，一个是函数增量的主部；但微分要借助导数来计算。（2）、不定积分和定积分，也是两个概念。不定积分是导数的逆运算，是求原函数；定积分是和式的极限。但定积分的计算要借助于不定积分。

5、那就是多做题了。在作题中加强对概念、定理、法则、公式的理解。

首先吧，数学分析是和以前学的数学联系最多，函数，极限，数列，连续，这些都是以前接触过的，有一定的了解，应该说上手比较快过度比较容易。然后，其他的数学专业课，主要还是给我们脑海植入的是一种新的数学模型，比如线性代数里面的矩阵，行列式，线性空间，这都是一些新的模型，还需要慢慢熟练这些数学模型。而，数学分析，我感觉其实主要是植入一些新的思维方式，ε n语言，ε δ语言，这就是一种新的思维方式，使我们以前对极限的感性认识，到现在有真正的标准去判断他。以前的对数列，仅求和，求点极限，现在通过一些致密性定理，有限覆盖定理等，对数列有了点宏观上的把握。以前只有连续函数，可导函数，现在还有一致连续，一致可导。应该说，数学分析，对思维的锻炼是比较大的。数分学好了，让我们对函数，数列，极限有了一些把握，对以后的数学是打下了基础吧。

数学分析

数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。

高等代数

对数学教学的认识 篇3

一、每一堂课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。如第八章的椭圆第一课时，其教学的重点是掌握椭圆的定义和标准方程，难点是椭圆方程的化简。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆的直观图、圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解。为了强调椭圆的定义，教师事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解了。在进一步求标准方程时，学生容易遇到这样一个问题：化简出现了麻烦。这时教师可以适当提示：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？学生回答：可以两边平方。教师问：是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。同时也解决了以后将要遇到的求双曲线的标准方程时的化简问题。

二、随着科学技术的飞速发展，对教师来说，掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。现代化教学手段，其显著的特点：一是能有效地增大每一堂课的课容量，从而把原来四十五分钟的内容在四十分钟中就加以解决；二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；三是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课临近结束 时教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。在课堂教学中，对于板演量大的内容，如立体几何中的一些几何图形、一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题，复习课中章节内容的总结、选择题的训练等等都可以借助于投影仪来完成。可能的话，教学可以自编电脑课件，借助电脑来生动形象地展示所教内容。如讲授正弦曲线、余弦曲线的图形、棱锥体积公式的推导过程都可以用电脑来演示。

三、每一堂课都有每一堂课的教学任务，目标要求。所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。而在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。此外，我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。有时，在一堂课上，要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。

四、对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，适当给予鼓励， 在教学过程中，教师要随时了解学生的对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述；讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。

五、要精讲例题，多做课堂练习，腾出时间让学生多实践根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，可以按照例题的难度、结构特征、思维方法等各个角度进行全面剖析，不片面追求例题的数量，而要重视例题的质量。解答过程视具体情况，可以由教师完完整整写出，也可部分写出，或者请学生写出。关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来，而不是由教师一个人承包，对学生进行满堂灌。教师应腾出十来分钟时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课作准备。

众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套；照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在教学我们在重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。

重新认识小学数学作业 篇4

一、认识新理念下的小学数学作业

在小学数学教学中, 数学作业是教学环节中必不可少的重要组成部分, 是课堂教学的延伸、继续和必要补充, 是数学教学的重要环节, 是学生进行学习最基本、最经常的活动形式, 是学生获取、巩固、应用知识的一种手段, 是学生掌握知识、形成技能的必要途径。通常所说的运算技能就是数学里重要的技能之一。学生数学概念的形成、数学知识的掌握、数学方法与技能的获得、学生智力和创新意识的培养, 都离不开作业这一基本活动。它对巩固课堂知识, 反馈课堂教学效果, 了解学生对所学知识的掌握情况, 并据此总结本课得失、制订对策、寻求解决问题的方法起着重大的作用。

二、现在小学数学作业中的缺陷

1. 作业量多, 效率低下;2.内容陈旧, 思想封闭;3.形式单一, 阻碍发展;4.主张统一, 忽视差异。

三、小学数学作业的改革趋向

突破传统, 改变现状, 树立正确的作业观, 创新作业方式, 激发学生做作业的兴趣, 利用作业发展学生是新课程理念下作业改革的趋势。作业的内容、形式和评价是数学作业改革的三大方面。

1. 作业内容, 由单一走向综合。

如在三年级的教材中, 除安排了一些基础性的作业, 还提供了一部分综合性的实践作业。在《年、月、日》的教学中, 对照年历表, 找一找, 说一说。“找每月都是30天的月份”“找和自己同月出生的同学”等。

2. 作业形式, 由封闭走向开放。

泰戈尔曾经说过:“不能把河水限制在一些规定好的河道里。”过去那种由教师包办、学生只要一张纸一支笔的作业已不能适应时代的要求。在新理念指导下, 教师的作业设计应不拘泥于传统的书面作业的形式, 可以是口头形式的, 也可以是操作演示形式的, 还可以是展示创作成果的等等。因此, 在设计作业时, 要将现实性和挑战性相结合, 设计以激发学生的创新思维为目的的开放性作业, 让学生全身心地投入, 积极主动地思考。虽然他们所用的方法、得到的结果不一定相同, 但在实践过程中, 学生的实践能力得到提高, 创新精神得到了培养。

3. 作业评价, 由片面走向全面。

数学 认识角 篇5

市实验小学

教学内容：苏教版二年级数学下册第64—66页。

教学目标：

1、使学生联系生活中一些常见的物体初步认识角，知道角的各部分名称，能正确指出物体表面的角，能在平面图形中辨认出角。

2、使学生通过观察和操作认识到角是有大小的，能够直观区分角的大小。

3、使学生在认识角的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强动手操作的能力，发展空间观念，提高学习数学的兴趣。

教具学具准备：多媒体课件、小棒、两根硬纸条、图钉、长方形纸、剪刀、扇子等。教学过程：

一、课前游戏：触摸猜想，引入“角”

师:小朋友们，上课前我们先来做一个游戏好吗？老师的这个袋子里藏着一些图形：圆形、三角形、长方形、五角星等。谁来闭着眼睛摸一摸，然后根据你摸的情况猜出是什么图形。师:摸的是什么图形？你怎么知道的？拿出来看看。

谁再来摸一个，是什么图形？仔细摸一下有几个角？拿出来看看。

最后摸一个，是什么图形？（圆）为什么？（因为周围很圆滑，没有尖尖的角）师：（引出课题）今天，我们就来认识“角”，（板书）这个“角”不是元角分中的角，也不是动物头上长的角，而是数学中的一种平面图形。

二、情境引入，抽象出角的图形 1．创设情境，直观认识角。

师：小朋友，你们喜欢做手工吗？星期天，小明和小红在一起做手工，快到下午3时了，我们来看看他们做了些什么？（出示例1）

师：都是一些我们认识的物体，你们知道吗我们的新朋友角娃娃也来了，不过它呀特别调皮，藏起来了，你能从这些物体的面上把它找出来吗？（能）（生找）引导学生在物体表面找到角并指一指。

师：大家找得真不错，看来“角”娃娃再怎么调皮，也逃不过我们的小朋友的火眼金睛。

二、操作感知，自主建构

1、抽象角，认识角的各部分名称（1）抽象角

师：现在我们把角娃娃从这些物体的面上请出来，就成了我们数学上的角，请注意看大屏幕。（点击课件，抽象出几个大小不同的角。）像这样的图形都是我们今天的新朋友——角。请你们仔细观察并讨论一下，这三个角有什么相同的地方。（都有尖尖的地方，都有两条直 1 直的线）（多请几个人说一说）（2）、认识角各部分的名称

师：小朋友们想不想和“角”娃娃亲密接触一下？（想）下面就请小朋友拿出三角尺，选择一个角，去摸一摸这个尖尖的地方有什么感觉？（把手戳疼了）这个地方呢？（引导学生摸两条边说：滑滑的、直直的）

师：你们知道吗？角的这个尖尖的地方和这两条直直的部分都有自己的名字，它们就藏在数学书的第64页里面，赶快去找一找吧，找到后说给你的同桌听听。（生看书讨论）师：小朋友们想不想看老师画一个角，我们先画一个点，再从这个点出发，向不同的方向画出两条直直的线。现在谁能告诉老师这个尖尖的地方叫什么？（顶点）这两条直直的线叫什么？（边）学生汇报师板书：顶点、边

师：现在谁来说一说角有几个顶点几条边？（角有一个顶点和两条边）由一个顶点和两条边组成这个平面图形就是角，我们用一个小弧线标出角。（师一边说一边在角上标上小弧线）下面请大家伸出小手，学着老师来指一指角。先找到顶点再从顶点出发，然后再沿着两条边指出一个角。

师：（指一指刚才抽象出来的角）谁来指一指这些角并指出它们的顶点和两条边，我们也把他们标出来。（指一指直角符号）这个符号很特别，下一节课我们会重点研究他们。2．为了帮助大家记住这位“新朋友”，下面我们一起来学习一首儿歌，好吗？（课件出示）今天我们来学“角”，角的形状要知道。

一个顶点两条边，边是直的要记牢。（指名读、齐读、）师：你认为儿歌中哪句话最重要？

师：能背下来吗？（）好，闭上眼睛一边背，一边回忆角的形状。（学生齐诵）3：师：老师发现我们班的同学非常聪明。老师更相信你们一定有一双明亮的慧眼。练习：下面的图形，哪些是角，哪些不是角？（课件呈现：“想想做做“第1题。）

师：完成作业纸上的第一题，是角的做记号，并在括号里打“∨”不是的打“×”。（1）生完成，师巡视。

（2）指名汇报。（是的，指出角的顶点和边。不是的说明理由）3．找生活中的角。

A．师：（指板书）其实，我们身边很多也有这样的角，数学书的封面上有角吗？你还能其他物体的面上找到角吗？ 学生找角，集体汇报。

师小结：看来，在生活中，我们随时随地都能找到角，它就在我们身边。

B．师：“角娃娃”可有趣了，它常常和小伙伴们捉迷藏呢！下面的图形中也有角，你能找出来吗？数一数，分别有几个？（课件呈现：“想想做做“第2题。）

（）个角（）个角（）个角（）个角

师：三角形有3个角，五边形有5个角，猜一猜，六边形有几个角，七边形呢？ 师：你发现了什么？

师：小猴知道我们在学角也跑来了，他还想考考我们呢，瞧！（课件呈现：你知道我有（）个角吗？）

三、尝试操作，实践体验。

1、尝试做角

师：小朋友们想不想自己动手做一个角呢？老师给你们准备了一些材料：小棒、手工纸、毛线、硬纸条、图钉。请你们根据自己的需要用老师提供的材料或者自己身边的物体，甚至可以用自己的身体来创造角。并且把你创造的角的顶点和边指给小组里的同学看看。赶快动手试一试吧！（小组合作，教师巡视。）

2、成果展示

师：谁来向大家介绍一下你是怎么创造角的？（投影展示）

（可能的方法有：用纸折角、用小棒搭角、用短毛线拉角、用两根硬纸条钉角、数学书打开形成了一个角、伸出两个手指是一个角）（重点讲解：用纸折角和做活动角）

3、感知角的大小:用纸折：

师：（展示折纸并贴在黑板上）谁用纸折的角比他的大，也贴上来，有比他的小的角吗？现在，你又有什么新的发现吗？角是有大有小的）

展示活动角：

师：小朋友的表现真棒！现在老师想和大家玩个小魔术，大家愿意吗？（愿意）请看这是什么？（活动角）老师想请一个小朋友来把这个活动角变大，该怎么办？

生1：拉大。生2：把角的边拉开。师：想角变小，怎么办？

从这个魔术中你发现了什么？生自由汇报

师：看来角是有大小的，想把角变大，就把角的两条边叉开得大一些，如果想把角变小，就把角的两条边叉开得小一些。

师：小朋友们想不想亲手玩这个变变变的游戏？（想）现在请每人拿出一个活动角，你能变出一个比老师手上的角大一些的角吗？咦！你的边这么短，会比我大吗？（由争论中发现，角的大小和边的长短没关系。）看来角的大小和边的长短没关系。

师：你们真是一群善于动脑，善于发现的好孩子！请大家想一想，生活中，有没有那些物体上的角是像这样可以大小变化的呢？（指名回答）生：扇子、剪刀、钟面上的时针、分针走的时候

出示实物：（合拢扇子）看这样有角吗？怎样才能有角？（打开）当天热的时候，扇面打开的越大扇面上的角就（越大），扇的风就越大，打开的越小角就（越小），扇的风就越小。咱们看看剪刀，剪刀正是通过角的大小变化把纸剪开。（师拿出剪刀并剪开纸）

4、比较角的大小（例2）

师：其实，我们只要仔细观察生活，到处都能发现大大小小的角。现在老师随意转动钟面上的时针和分针，两根针就形成了大小不同的角。（动画演示出现）你能一眼就看出这些钟面上哪个角最大，哪个角最小吗？同桌之间可以讨论讨论.师：讨论好了吗？（指名汇报。说说你是怎么看出来的？——数两根针所占的格子，格子越多，角就大，格子越少，角就小。）

四、欣赏生活中的角，课后延伸

师：今天，我们通过与小伙伴们的密切合作和自己的主动探索，认识了图形王国中的一位新朋友——角（演示《角的自述》）正是这些角使得我们的生活更加丰富多彩！试想一下，如果没有角，我们的生活将会怎样呢？课后请小朋友们在老师和家长的帮助指导下以《假如生活中没有角》为题写一篇数学猜想日记好吗？

《角的自述》：小朋友们好，我的名字叫角，是图形王国中的一名成员。我有一个顶点、两条边，在图形王国中有很多我的兄弟姐妹。在你们的周围，随时随地都可以看见我。美丽的大自然中有我（枫叶、松树、雪花、田地）；天安门上、五星红旗上、祖国的文字上（角）有我；你们住的房子上、五角大楼上、甚至连埃及的金字塔上也少不了我；我们角有大有小，聪明智慧的人们利用我们的特性创造着生活（一组生活图片，扇子、剪刀、挖土机、人行横道、球门等）小朋友们，你们喜欢我吗？

这节课的设计主要有以下几个特点： 1.创设情境，让学生在趣中悟、乐中学。

“注意选择富有儿童情趣的学习材料和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉快的数学学习体验。”这是国标本实验教科书的一个特点。本节课中，充分尊重学生的已有经验，密切联系学生的生活实际，巧妙利用学生熟悉的奥运会颁奖、三角尺、钟面等生活中的材料，丰富教学资源，创设生动、有趣、充满数学思考的情境，使数学教学贴近学生。课堂上学生始终乐此不疲、兴趣盎然，整个数学活动充满童趣，学生在趣中悟、在乐中学。2.安排自主活动，让学生在动中悟、做中学。

这节课自始至终贯穿了学生的动手操作与实践，这不仅符合低年级学生好奇、好动的心理特点和几何初步知识直观性、操作性强的知识特点，更重要的是充分体现了以活动促发展的活动教学思想。老师把原有的知识传授设计成了一连串的活动：找一找、摸一摸、折一折、做一做、比一比等多种形式的数学活动，引导他们在多种感官协调参与下初步认识角，经历知识的形成和探究过程。同时通过分组合作讨论，全班展示交流，让学生体会到解决问题策略的多样性，既发展了求异思维，又在交流中深化了各自的认识。整个教学过程是以学生为中心，以学生的自主活动为基础，学生真正动了起来，课堂真正活了起来。3.巧妙运用媒体，变抽象为直观，发展空间观念。

在初步认识角时，老师巧妙地运用媒体，先在实物上闪动角，再除去实物中非本质的属性，抽取出角的本质属性，变抽象的知识为直观的画面材料，很自然地把实物中的角与几何图形中的角联系起来，既帮助学生清晰地建立角的表象，又增强了角是源于生活的知识。

引导学生在操作中探究数学的奥秘

一、创设情境，激趣导入

二、动手实践，探究新知 1．联系实物，初步感知角。2．抽象出角，认识角的各部分名称。3．找生活中的角。4．巩固练习，内化新知。

三、动手操作，加深对角的认识。1．动手折出角。

2． 做“活动角”，感悟角有大小。3． 比较角的大小。

三、全课总结，拓展延伸

预设意图

1． 创设学生所熟悉的情境，激发学生探究的兴趣，沟通了数学与生活的密切联系

2． 以数学活动为主线贯穿数学过程的始终。通过指角、摸角、找角、做角、比较角等多种形式的数学活动，加深对角的认识，丰富学生数学活动的经验。

“认识概率”中的数学思想方法 篇6

一、 “枚举思想”

枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法，对于一些简单的问题，通过枚举法即可获解.

例1（2014·浙江金华?）一个布袋里面装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是【 】

【分析】：首先根据题意利用枚举法可得，摸出的球可能是红1，红2，红3，白1，白2，共五种情况所以是红球的的概率为 .

【答案】选A.

【点评】：本题中“袋中的五个球”被抽到的可能性相等，且该实验出现的结果为有限多个，从而应用“枚举思想”解决了本题，这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征.另外，本题还巩固了简单概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= .

二、“方程思想”

方程思想是指解决数学问题时，先分学问题中的等量关系，设出未知数，建立方程或方程组，然后求解方程（组），使原问题获解.这一思想方法，在概率解题中应用广泛.

例2（2014·泰州）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中.

（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？

（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由.

【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；

（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可.

三、“函数思想”

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题.

例3（改编） 已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球.

（1）求从箱中随机取出一个白球的概率是多少？

（2）若往装有5个球的原纸箱中，再放入 个白球和 个红球，从箱中随机取出一个白球的概率是 ，求 与 的函数解析式.

【分析】（1）从装有5个只有颜色不同球的纸箱中摸出一个球，共有3+2=5种不同的结果，其中摸到白球的结果有2个，所以取出一个白球的概率是 ；（2） 往装有5个球的原纸箱中，再放入 个白球和 个红球后，箱中共有球5+x+y（个），其中白球2+x（个），根据取出一个白球的概率是 列出关于x、y的方程，然后用含x的代数式表示y即可得到 与 的函数解析式.

【点评】 函数思想是一种重要的数学思想方法函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，并抽象其数量特征，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量进行动态研究，从运动变化

四 “数形结合的思想”

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.“数”和“形”之间有着密切的联系，在一定条件下，可以相互转化，相互渗透.根据研究问题的需要，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法.本章中，利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程，便体现了“数形结合的思想方法”.

例4（2014·邵阳）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是 .

【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.

【解答】根据题意，这个转盘是将“圆平均分成了8份”而制得，所以圆分得的8块图形的面积相等，故，黑色区域的面积是整个图形面积的一半.所以，转盘指向白色区域的可能性为 。

【点评】本题借助图形面积使问题获解，体现了数形结合的思想，同时本题中解答时也渗透了“整体的数学思想”.

五 “分类讨论的思想”

在解决一些稍复杂的概率问题，如问题中含有多种可能的情况时，往往需要考虑到各种情况对应的结果数，这就需要进行分类讨论.

（1）当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；

数学活动的实践与认识 篇7

课堂教学中如何开展数学活动呢?

1、创设问题情境, 引导学生阅读尝试。

问题是数学教学的出发点, 它既是目标又是新旧知识间的连结点。恰当的问题情境能够激发学生兴趣, 促使他们组织已有知识经验, 努力克服思维障碍, 主动地学习。考虑到我们的数学课堂教学的文化背景, 问题设计应与课程计划目标一致, 通过组织教材, 主要是变教材知识的逻辑顺序为数学活动顺序, 并结合学生的数学思维活动进程, 安排恰当的问题情境, 以使课堂教学活动适合学生认识的发生规律。如把教材中作为巩固知识的应用型习题、帮助学生理解的解释性说明、引入课题的知识性问题等改创成问题情境 (体现用教材教) , 也可通过做游戏, 讲故事, 摆弄学具, 制作模型等来提出问题。当然, 问题情境主要由教师创设, 可通过语言描述, 幻灯显示, 也可利用多媒体提供。应注意的是, 问题应体现较强的目的指向性和渐进性, 适当的障碍性和探索性, 并应视学生的思维进程灵活调控问题的难易度, 即进行必要的解释说明和启发。目前正在兴起的“问题串”研究和实践也正是开展数学活动的一种有益尝试。

2、组织探索讨论。

探究和发现是现代数学教学的基本特征之一, 是学生参与课堂教学的重要方式, 有利于个别化教学。传统的课堂教学教师“包办”多, 讲得多, 学生不是在自己的“数学现实”上去学习建构新知识, 而是在被动接受老师经过充分“咀嚼”之后的知识。但学生毕竟不是容器, 知识也不等同于有形的物质。现在我们把全班分成7、8个小组, 每组5到6人, 每小组设置组长一个, 负责组织协调本组的讨论进程, 每次讨论设中心发言一人, 轮流担任, 负责收集和整理小组讨论结果, 并代表本组和向全班交流。这样, 教学对象由班级向小组, 再向个人转化, 让更多的学生有了尝试和思考的机会。面对问题学生就会产生新的认知矛盾, 首先是个人的心理活动, 寻求解决问题的途径。如能解决, 则可在小组提出自己的想法, 供讨论, 如不能, 则可通过直观操作、图示探索、建立模型、或寄望于讨论, 从中获得启发和帮助。若是好的解答方案, 也能够在讨论中得到认可、补充和完善, 从而获得成功的体验。即使是错误的想法也会及时得到纠正, 代之以新的解答方案。这一点还将在交流评价中得到升华。具体实施过程中, 一是要相信学生的潜力, 二是给学生以时间 (保证自主学习、探索讨论的充分展开) , 即主要由学生探索完成, 教师可适当点拨、指导。

3、指导交流评价。

小组的探索讨论过程本质上是初步解决问题的过程。尽管是初级的, 但却是难能可贵的, 至关重要的一步, 它是个人与小组的融洽。本阶段的交流与评价更体现出社会建构的特征。先是教师指定某小组发言, 则该小组中心发言人将收集整理的讨论解答或困惑, 向全班交流, 那么其他小组的发言就带有评价和交流的双重功能。之后教师组织自由评论, 适当时教师要作出评价、补充或强调。这一过程教师要注意运用“追问”抓住学生的思维过程, 如“你们是怎样想的?”“如何想到的?”使思维过程显示出来。即使学生回答不上, 也应该看到是学生的思维遇到了障碍, 而不是没有思维活动, 要让学生将思维的困难讲出来, 然后通过教师或其他同学的分析、回答等予以解决。不难发现, 这一学习过程, 也是个人、小组与全班的交流过程。以往, 我们对于交流在教学中的意义重视不够, 这实质上也反映出对学生个体主体性的漠视。而对话是交往在教学中的重要表现形式, 对话的过程即使个体从狭隘走向广阔的过程, 它带来视界的敞亮。

4、综合解答与反思。

综合反思是数学活动的最高层次, 也是形成知识结构以及由知识结构向认知结构转化的最重要的环节。综合是指每一个学生对问题解答过程进行总结、优化、延拓。若是解题, 则可要求学生选择适合自己的最佳方案, 写出综合解答过程。此时, 更注重解答的步骤和格式, 注重说理的清晰、简洁。反思则是对自己的学习过程、学习内容, 思维过程、思维结果等再认识和检验的过程。它可以帮助学生将所学知识方法、思维等整理纳入认知系统, 因此要引导学生沿自己的思维路迹重温过程, 总结一下是如何找到突破口的, 运用了什么策略和知识手段, 分清哪些是原有的, 哪些是新学到的, 以便提高认识, 完善认知结构。即使失败了, 也应该反省自己原来的设想, 寻找到那些过于急躁或错误的操作行为, 总结教训, 以此为鉴, 避免重蹈覆辙。

摘要：根据“数学教学是数学活动的教学”的观点, 在数学课堂教学中开展数学活动, 既是数学教学理论的要求, 也是新课程改革的迫切需要。在课堂教学中通过数学活动:问题引导、合作尝试、交流评价、综合反思等主要环节, 让学生体验过程, 获得知识, 分享成功, 有利于激发学生学习数学的兴趣, 培养学生的多维素质。

关键词：数学活动,实践,认识

参考文献

[1]顾泠沅, 现代背景下的数学教育.数学教学.1997年第1期.

[2]章建跃, 数学课堂教学要适应学生的发展水平, 数学通报, 1997年第7期.

对数学归纳法的认识 篇8

关键词：数学归纳法,证明探索性问题,证明等式与不等式

数学归纳法是一种数学证明方法, 典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的, 然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了, 那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

最早使用数学归纳法的证明出现于Francesco maurolico的Arithmeticorum libriduo。Maurolico证明了前n个奇数的总和是n2由此揭开了数学归纳法之谜。

常见的数学归纳法主要有以下几种：

(一)第一数学归纳法

(二)第二数学归纳法

(三)倒推归纳法

(四)螺旋式归纳法

其中, 在中学最常见和简单的数学归纳法证明方法是第一种, 证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的, 应用广泛。在最近几年的高考试卷中尤其明显。下面我们就通过几道例题来具体看一下。

一、用数学归纳法证明与正整数有关的探索性问题

1.探索函数解析式

例1：已知y=f (x)满足f (n-1)=f (n)-lgan-1 (n≥2, n∈N)且(1)=-lga，是否存在实数α、β，使f (n)=(αn2+βn-1) lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论.

用归纳法证明：

(1)当n=2时，显然成立.

(2) 假设n=k时成立, 即

∴当n=k+1时，等式成立.

综合 (1) (2) 可知, 存在实数α、β且使f (n) = (αn2+βn-1) lga对任意n都成立.

评析：该题是探索性问题.它通过观察―归纳―猜想―证明这一完整的步骤去探索和发现问题，并证明所得出的结论是正确性的, 这是非常重要的一种思维能力.

2.探索数列的通项公式

例2：设正整数数列{an}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有

(Ⅰ) 求a1, a3;

(Ⅱ)求数列{an}的通项an.

解：(Ⅰ)由已知不等式得：

当n=1时，由 (1) 得：

∵a1为正整数，∴a1=1.

当n=2时，由 (1) 得：

解得8

∵a3为正整数，∴a3=9.

∴a1=1, a3=9.

(Ⅱ)由a1=1, a2=4, a3=9，猜想：an=n2.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=1, 2时，由(1)知an=n2均成立;

(2)假设n=k (k≥2)成立, 则ak=k2, 则n=k+1时,

由 (1) 得：

又ak+1∈N*, ∴ (k+1) 2≤ak+1≤ (k+1) 2.

故ak+1= (k+1) 2, 即当n=k+1时, an=n2成立.

综上, 由 (1) , (2) 知, 对任意n∈N*, an=n2.

评析：本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对学生的思维能力有较高要求;运用数学归纳法的关键是“由当n=k时成立，如何过渡与转换为当n=k+1时也成立.”运用数学归纳法证明，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式是解决本题的关键。

二、用数学归纳法证明不等式

例3：已知函数f (x)=x-sinx, 数列{an}满足：0

证明：0

证明：用数学归纳法证明：

0

(1) 当n=1时，0

(2) 假设当n=k (k≥1)时，结论成立，即0

∵当00, ∴f (x) 在 (0, 1) 内单调递增.

∵f (x) 在[0, 1]上连续, ∴f (0)

∴当n=k+1时, 结论成立.

∴由 (1) 、 (2) 可得，0

又∵0

证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法，其证明的关键是如何实现从n=k时原不等式成立到n=k+1时原不等式成立的过渡。

三、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在证等式成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以降低计算的复杂度，从而发现所要证明的等式，使问题的证明有目的性.

例4:是否存在常数a, b, c, 使得等式对一切自然数n成立?并证明你的结论.

解:假设存在a, b, c, 使得题设的等式成立, 则当n=1, 2, 3时也成立, 代入得:

解得:a=3, b=11, c=10, 于是对n=1, 2, 3, 下面等式成立:

这就是说, 等式当n=k+1时也成立.

综上所述，当a=3, b=11, c=10时，原等式对一切自然数n都成立.

四、证明整数的整除问题

用数学归纳法证明整除性问题, 如:求证f (n)能被a整除, 设f (n)是随自然数变化的已知整式(或整数), a是给定的整式(或整数).由假设n=k时命题成立, 来推证n=k+1时命题也成立, 是最关键的一步, 也是最难证明的一步.

例5:求证:5个连续自然数的积能被120整除.

证明:

(1) 当n=1时1×2×3×4×5=120, 能被120整除, 原命题成立.

(2) 假设当n=k时原命题成立, 则当n=k+1时,

因为k (k+1) (k+2) (k+3) (k+4)是120的倍数，只需证5 (k+1) (k+2) (k+3) (k+4)是120的倍数，即证(k+1) (k+2) (k+3) (k+4)是24的倍数.

四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4×2×3=24整除.

即当n=k+1时原命题成立.

综合(1)、(2)原命题对任何自然数成立.

总之, 在证明题中, 数学归纳法有两个关键点需要牢记:

(1) 证明当n为某一个值时, 结论成立;

(2)假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也成立.

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 选修2.

[2]华罗庚.数学归纳法[M].北京:科学出版社, 2002:12-15.

[3]赵小云, 蒋亦东.数学归纳法及其应用[J].数学通讯, 2000, 10.

[4]任志鸿.考试高手, 3年高考2年模拟.南方出版社.

认识数学 篇9

一、对“做数学”的基本认识

在义务教育阶段初中数学教材中, 设置了“数学实验室”“数学活动”等栏目, 数学实验室要求学生通过“做”感受数学、探索知识和结论、应用所学知识解决简单问题, 在实验过程中能反思和质疑, 提高推理能力, 这些栏目为学生提供了较多的“做数学”的机会, 让学生在“做”中感受和体验, 达到主动获取数学知识, 揭示具体事例的数学本质, 做数学的过程可以让学生明晰知识发生、发展和形成过程。比如苏科版八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》这一节, 教材开篇就是一个操作:“把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开, 你有什么发现?”有的教师在教学中, 忽视了做的过程, 认为是简单的事情, 做不做无所谓。其实不然, 学生所知道的等腰三角形只能说是肤浅认识。这一节的教学目标是让学生知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质, 学生通过这个操作过程可以很容易地理解并掌握“等角对等边”以及“三线合一”性质, 并突出“轴对称”这条性质的作用, 一条折痕并不起眼, 可是学生通过这条折痕就可以知道“三线合一”, 而在以后的推理和证明中常用的就是这条折痕—“作等腰三角形的高”来辅助证明。这个操作过程做的时间不长、难度不大, 却是学生亲手做了、亲眼观察了, 让学生主动地参与了思考过程, 得出的这些性质学生理解容易, 记得容易, 提高了主动学习的积极性, 学生感觉到做和思考的快乐。在使用教材进行教学的过程中, 要能用心体会教材所设置的“做数学”的基本用意, 明确做数学在达成教学目标中所起的作用, 灵活而恰当地组织学生进行“做数学”。

二、对“做数学”中操作内容及过程的把握

(1) 明确操作目的。比如在苏科版八年级上册等腰梯形的轴对称性一节中, 操作的内容是:“怎样用一张等腰三角形纸片剪出一个等腰梯形呢?”这个操作的目的是: (1) 可以用等腰三角形来构造等腰梯形, (2) 在认识了等腰三角形轴对称性的基础上认识等腰梯形的轴对称性, (3) 利用等腰梯形的轴对称性通过归纳总结得出等腰梯形的相关性质。每一个操作都要有明确的目的, 不是简单的折折剪剪, 在做操作的过程中, 能让学生思考并体会到每一步操作的作用和意义。

(2) 操作过程要具有层次性。操作过程要有计划、有步骤。对于每一步操作, 教师要设置好明确的问题, 逐步达到结论的形成。有的操作内容是上节课内容的延伸, 也是下节课所学内

江苏邳州●汤继春

容的基础。比如在等腰三角形的轴对称性的基础上进一步研究正三角形的性质, 研究了三角形的中位线以后, 让学生类比得到梯形中位线的操作方式, 达到化难为易、温故而知新。

(3) 操作要具有启发性和探究性。学生依据自己的操作过程进行探索、思考, 在每一个步骤你观察到了什么, 可以得到什么结论, 最后进行归纳总结, 形成自己的认识。操作过程对学生来说本身是一种启发, 由于学生认识水平的差距, 反应敏捷的学生操作后马上能得出一个结果, 而有的学生只是做了, 但一头雾水, 达不到操作应有的效果。在进行教学时教师要面向全体, 及时启发, 让学生把观察到的和想到的说出来, 让迷茫的学生知道在每一步操作中出现了怎样的结果。比如:怎样将一个直角三角形经过两次折叠 (不剪开) 形成一个长方形?这时的每一个折痕都要让学生去思考、探究, 经过归纳从而得到“直角三角形斜过的中线等于斜边的一半”这一个重要结论。这个操作过程的思考过程就是这个结论的说理过程。教师启发不可少, 思考和探究不可分。

(4) 操作要具有趣味性和互动性。对于操作内容教师要赋予它一定的挑战性和趣味性, 做数学的过程是独立操作的过程, 也是同桌交流的过程, 要让学生及时交流互动, 通过操作、探究、思考、归纳, 体会得到和掌握结论的成就感和愉悦感。

三、操作的基本方法

课前准备要充足, 特别是对于课堂上要操作的内容, 教师要有超前意识, 超前一天布置学生做好下节课所要操作的准备工作。比如研究图形的旋转时, 教师让学生准备好三角形纸片、四边形纸片、图钉、细线等操作工具, 学生在准备工具时可能想:“我准备的这每一样东西会有何作用?将怎样操作?”有了好奇心也可以激起他们的求知欲望。课堂思考要充分, 教师可以按步骤要求学生进行操作, 也可以直接说出一个要求, 让学生自己思考步骤来完成, 学生要探究并思考操作的作用和意义, 最终得出结论。课后巩固要充实, 学生结合自己的操作过程, 进一步理解并用语言叙述课堂上所得的结论, 运用结论解决相关的问题。通过操作、探究、思考、巩固、运用这样一个学习过程, 学生可以更好地掌握知识, 形成能力。

四、操作所应能达到的效果

我认为, 通过操作可以培养学生达到以下能力:独立探究知识的能力, 引发学生思考的能力, 自我形成结论的能力, 培养学生灵活应用知识的能力, 培养学生良好的数学品质和做数学的良好习惯。比如在判断“一组对边相等, 一组对角相等的四边形是平行四边形”这个命题的正确性时, 有的学生很快利用分割等腰三角形然后拼接的方式判断出它是一个错误的结论。

近年来, 中考注重了对学生动手操作能力的考查, 这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力。解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程, 灵活运用所学知识和已有经验, 探索和发现结论, 从而解决问题。这就需要在平时的教学中渗透“做数学”的基本意识, 培养学生动手操作能力和良好的思考习惯。

认识数学 篇10

数学思想是数学文化的核心.“一般说来,称解某数学问题的原则为数学思想,而具体途径为数学方法. ”张奠宙认为: “同一个数学思想,当用它去解决别的问题时,就称之为方法,当评价它在数学体系中的自身价值和意义时,就称之为思想. ”本文通过本科数学内容,揭示所隐含的基本数学思想及其应用.

一、抽象思想

什么是数学抽象? 史宁中指出: “数学抽象包括: 数量与数量关系的抽象,图形与图形关系的抽象. 通过抽象得到数学的基本概念,研究对象的定义,刻画对象之间关系的术语和运算方法. 这是从感性具体上升到理性具体的思维过程,这是第一次抽象. 在此基础上可以凭借想象和类比进行第二次抽象,其特点是符号化,得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法. ”其在数学分析和高等代数中大量运用. 数学抽象思想,有第一次抽象,也有第二次抽象.

众所周知,运用“推理思想”可知21/2,31/2,π 和e等不是有理数. 这样一来,如果说直线上布满全体有理数,当用灯光一照时,就会发现间隙,每个尚未布上有理数的点代表一个无理数,如何定义它使其与以前的定义相容? 其“思想” 为: 将这一点左边的有理数全体记为集合M,而将该点右方有理数全体记为集合N,以分割( M,N) 定义该点的数,易知,当该点为有理数时,这种定义与以前的有理数定义相容. 这种思想的实现就有了实数( 有理数和无理数的总称) 的戴德金分割定义.

数学分析中极限定义所遵循的“极限思想”是“抽象思

想”和“逼近思想”的子思想,但这是第二次抽象. 设变量为an( n = 1,2,…) ,固定量a,如果当n“无限”增大时,an到a的距离“想怎么小,就怎么小”时,称当n趋于无穷时, an以a为极限. 将这种“极限思想”用“数学符号”表示出来,就是“ε - N语言”的定义. 初学微积分,理解这种定义很困难,其要点是“极限思想”的领悟.

二、化归思想

化归即转化和归结的意思,通常指把某些未知或较复杂的问题,转化为已知的或较简单的问题,这就是化归思想. 如果将未知的现实问题,化为已知的数学问题,然后,对该数学问题进行分析,得到解析解或数值解,最后以数学解去解释原现实问题的解,这就是“模型思想”. 由此可见“化归思想”应是比“模型思想”更基本的数学思想.

三、推理思想

“推理”是基本数学思想,含“演绎推理”和“归纳推理”. 基本的数学思想下往往包含着子数学思想. 因为这种思想应用面相对较广,如果称之为方法会让人感觉片面,况且在整体的数学思想中还存在着其他与之并列或等价的数学思想. 例如同构思想和模型思想就可称之为化归思想的子思想. 而“演绎推理”又是“推理思想”的子思想.

下面我们来说一下推理思想. 当然,进行“逻辑推理” 时,一般需几种“数学思想”并用. 下面举一个日常例子.

结束语

数学分析和高等代数里所蕴含的数学思想和方法在人类的数学史上起着重要作用. 许多思想和方法被当作工具应用于物理、化学等其他学科,对人类科技的进步起着奠基的作用. 古人云: “授人以鱼,不如授之以渔. ”这句话道出了思想和方法的重要性. 数学思想是对数学知识、数学方法的本质认识. 数学思想源于数学方法但高于数学方法,思想凌驾在方法之上,如果没有思想就不会有相应的方法去解决问题. 如果把方法比作躯体,那思想就是灵魂和意识.

摘要：本文通过数学本科基础课的数学内容,谈三种“数学基本思想”:抽象、推理、化归(模型)思想的认识,并指出其具体应用.

充分利用教材认识数学归纳法 篇11

关键词：归纳奠基；归纳推理；问题

数学归纳法的本质是递推，其形式是固定的两步：（1）归纳奠基；（2）归纳推理，用它证明一个与正整数n有关的命题时：

（1）n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

（2）假设n=k（k≥n0k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

若两个步骤完成，则命题由n=n0成立，就有n=n0+1也成立；n=n0+1成立，就有n=n0+2也成立；n=n0+2成立，就有n=n0+3也成立；…… 连续递推，形象地可看成引发了一个连锁反应（类似于多米诺骨牌倒下的过程）. 但在应用数学归纳法时，特别是初学者对其本质把握不准的情况下，会出问题，以下就此谈几点看法.

奠基必须有

问题1：用数学归纳法证明

即当n=k+1时等式成立.

数学归纳法第（1）步的证明一般都比较简单，一些初学者觉得它可有可无，与第（2）步的证明无关.上述证明就无第（1）步而直接证明第（2）步，但显然当n=1时等式不成立（该命题为假命题）. 其实数学归纳法第（2）步中的“假设n=k时命题成立”要以第（1）步为依托，即证明了第（1）步中“n=n0时命题成立”，第（2）步的“假设n=k时命题成立”中的“k”至少有“n0”为保证（奠基），所以第（1）步必须证明，因此上述数学归纳法的应用错误.

[?] 奠基必须实

问题2：用数学归纳法证明：n2<2n（n∈N*）（现行人教版4-5P50例1改编）.

证明：（1）当n=1时，有12<21，不等式成立.

至此，从形式上看完成第（1）步的证明，但显然当n=2，3，4时不等式不成立（该命题是假命题）. 其实使“不等式 n2<2n成立的正整数n为1或5或大于5”，这里若用数学归纳法证明时，第（1）步中的“n0”应为“5”，才能为第（2）步中的“k”提供首个正确的保证值. 而上述问题2证明第（1）步，这一奠基则是虚而不实.

递推必须存在

问题3：已知数列，，，…，，…，Sn为其前n项的和，用数学归纳法证明Sn=（现行人教版2-2P94例2改编）.

证明：（1）当n=1时，左边=S1=，右边=，等式成立.

（2）假设n=k（k∈N*）时等式成立，即Sk=，

那么即当n=k+1时等式也成立.

数学归纳法的第（2）步中n=k+1的情形必须由“假设n=k时命题成立”所产生结论参与推出，这样才能够形成从n=k到n=k+1的递推关系. 该问题的证明虽然推出了n=k+1时等式成立，但它与n=k无关，因此这个数学归纳法的应用是无效的.

递推必须有力

问题4：用数学归纳法证明：如果n（n∈N*）个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥n（现行人教版4-5P52例4）.

证明：（1）当n=1时，有a1=1，命题成立.

（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即k个正整数的乘积a1a2…ak=1，则

那么

当n=k+1时，由k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1满足条件a1a2…akak+1=1，可知它们中至少有一个数大于或等于1，不妨设ak+1≥1，则

所以当n=k+1时不等式也成立.

该证明的第（2）步看似“假设n=k时命题成立，证明了当n=k+1 时命题也成立”，其实这一推理的条件是不充分的，因為a1，a2，…，ak，ak+1中a1，a2，…，ak的乘积不一定等于1，所以这里递推的“力度”不够，这一失误导致数学归纳法的应用前功尽弃（正确解答见教材4-5）.

综上所述，数学归纳法的两个步骤相辅相成，其中第（1）步是递推的基础；第（2）步是递推的依据，只有准确把握，才能够正确和充分地应用数学归纳法，否则可能导致该法应用失败.

“认识概率”中的数学思想方法 篇12

一、枚举思想

枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法,一些简单的问题,通过枚举法即可获解.

例1 (2014·金华)一个布袋里面装有5个球,其中3个红球,2个白球,每个球除颜色外其他完全相同,从中任意摸出一个球,是红球的概率是( ).

A.1/6B.1/5C.2/5D.3/5

【分析】首先根据题意利用枚举法可得,摸出的球可能是红1,红2,红3,白1,白2,共五种情况,所以是红球的概率为3/5.

【答案】选D.

【点评】本题中“袋中的五个球”被抽到的可能性相等,且该实验出现的结果为有限多个,从而应用“枚举思想”解决了本题.这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征. 另外,本题还巩固了简单概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m/n.

二、方程思想

方程思想是指解决数学问题时,先分析问题中的等量关系,设出未知数,建立方程或方程组,然后求解方程(组),使原问题获解.这一思想方法,在概率解题中应用广泛.

例2 (2014·泰州)某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.

(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球?

(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共出手20次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由.

【分析】(1)设该运动员共出手x个3分球,则3分球命中0.25x个,未投中0.75x个,根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛,平均每场有12次3分球未投中”列出方程,解方程即可;

(2)根据概率的意义知某事件发生的概率,就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值,由此加以理解即可.

解:(1)设该运动员共出手x个3分球,根据题意,得0.75x/40=12,解得x=640,

0.25x=0.25×640=160(个).

答:该运动员去年的比赛中共投中160个3分球.

(2)小亮的说法不正确.

3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共出手20次,但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球.

【点评】此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义. 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义.

三、函数思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.

例3 (改编)已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球,其中2个白球,3个红球.

(1)求从箱中随机取出一个白球的概率是多少?

(2)若往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球,从箱中随机取出一个白球的概率是1/3,求y与x的函数解析式.

【分析】(1)从装有5个只有颜色不同的球的纸箱中摸出一个球,共有3+2=5(种)不同的结果,其中摸到白球的结果有2个,所以取出一个白球的概率是2/5;

(2)往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球后,箱中共有球5+x+y(个),其中白球2+x(个),根据取出一个白球的概率是1/3列出关于x、y的方程,然后用含x的代数式表示y,即可得到y与x的函数解析式.

解:(1)取出一个白球的概率

(2)∵取出一个白球的概率

【点评】函数思想是一种重要的数学思想方法. 函数思想的实质是用联系和变化的观点研究数学对象,并抽象其数量特征,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决. 这种思想方法的特点在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量进行动态研究.

四、数形结合思想

数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”“数”和“形”之间有着密切的联系,在一定条件下,可以相互转化,相互渗透. 根据研究问题的需要,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中,利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程,便体现了“数形结合的思想方法”.

例4 (2014·邵阳)有一个能自由转动的转盘如图1,盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是______.

【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.

【解答】根据题意,这个转盘是将“圆平均分成了8份”而制得,所以圆分得的8块图形的面积相等,故黑色区域的面积是整个图形面积的一半.所以,转盘指向白色区域的可能性为1/2.

【点评】本题借助图形面积使问题获解,体现了数形结合的思想,同时本题解答时也渗透了“整体的数学思想”.

五、分类讨论思想

在解决一些稍复杂的概率问题时,如问题中含有多种可能的情况,往往需要考虑各种情况对应的结果数,这就需要进行分类讨论.

例5 (改编)已知关于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).

(1)当a=-2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;

(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片,上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.

【分析】(1)当a=-2时,不等式ax+3>0为-2x+3>0,解之得x<3/2;

(2)当a取-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1时分别计算ax+3>0的解集,只有当a=-1和a=-2时,不等式有正整数解,取其他值时,不等式没有正整数解,所以该不等式没有正整数解的概率是8/10=4/5.

解:(1)x<3/2,在数轴上正确表示此不等式的解集如图2所示.

(2)用列举法

取a=-1,不等式ax+3>0的解为x<3,不等式有正整数解.

取a=-2,不等式ax+3>0的解为x<3/2,不等式有正整数解.

取a=-3,不等式ax+3>0的解为x<1,不等式没有正整数解.

取a=-4,不等式ax+3>0的解为x<3/4,不等式没有正整数解.

……

∴整数a取 -3至 -10中任意一个整数时,不等式没有正整数解.

∴P(不等式没有正整数解)=8/10=4/5.