解析几何教学

解析几何教学（通用12篇）

解析几何教学 篇1

在中国“启发”一词, 源于古代教育家孔丘的“不愤不启, 不悱不发”。朱熹解释说:“愤者, 心求通而未得之意;悱者, 口欲言而未能之貌。启, 谓开其意;发, 谓达其辞。”孔子以后, 《学记》的作者提出“道而弗牵, 强而弗抑, 开而弗达”, 进一步阐明了启发式教学的思想, 主张启发学生, 引导学生, 但不硬牵着他们走;严格要求学生, 但不施加压力;指明学习的路径, 但不代替他们达成结论。《数学课程标准》也指出:“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时, 重视学生已有的经验, 让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”

根据几年空间解析几何的教学经验, 以空间解析几何的教学为例说明了如何在几何教学过程中应用启发式思维, 以达成教师主导和学生主体的和谐教学过程, 适应新课改中所倡导的“培养学生的独立性和自信性, 促进学生主动性、富有个性的学习”要求。

例如, 在介绍空间解析几何第四章曲面论第一节柱面定义时, 首先引入问题“找出我们熟悉的柱面”, 根据学生以往的经验, 回答的基本都是“圆柱面”, 那么接下来的一个问题自然就是:“难道我们几何学中所指的柱面仅仅是圆柱面吗?”由此引发学生思考, 引起学生兴趣, 想要一探究竟, 到底什么叫“柱面”?此时恰当地使用幻灯片给出三种曲面如图1。

由图示启发学生思考这些曲面的共同特征, 这时可让学生自主分组探讨, 很显然学生都能看出曲面是由平行直线构成的, 且能够找到一条曲线与所有平行直线都相交。这些就是柱面的共同特征, 进而可以让各组学生各自给出柱面的定义, 由其他同学判断定义的准确性。最后得出结论:在空间, 由与一条定曲线相交的平行直线所产生的曲面叫柱面。应用这种由学生为主体的教学模式, 启发学生总结曲面特征, 进而给出曲面定义的形式, 比直接介绍柱面的定义更容易让学生理解和接受, 而且印象深刻。有了这一节启发教育的基础, 对后续课程的理解也非常容易了, 在这一章第二节介绍锥面定义时, 看到圆锥面就很容易总结出锥面的定义, 其实就是由过定点与定曲线相交的一族直线所产生的。

在这个例子中, 教师充分做到了启发式教学的几点要求: (1) 调动了学生学习的兴趣和主动性; (2) 启发学生独立思考, 锻炼了逻辑思维能力; (3) 让学生动手, 培养了独立解决问题的能力; (4) 发扬了教学民主。

在教学过程中要真正处理好教师的主导作用和学生的主体地位的关系, 应用启发式教学, 就是在有限的时间内, 尽可能最大限度地创设各种教学情境。凡是学生看得懂的要让学生动眼去看, 发掘和依靠课堂教学中的各种积极因素;凡是学生讲得出来的要让学生动口去讲, 充分调动学生学习的积极主动性、自觉性和创造性;凡是学生想得出来的要让学生动脑去想, 激发他们的学习动机和学习兴趣;凡是学生做得出来的要让学生动手去做, 启发他们独立思考, 发展他们的思维能力以及分析问题和解决问题的能力。在肯定教师的主导作用的同时, 突出学生的主体性, 突出形象化、直观化教学法, 突出学生的实践活动, 激励他们积极思考, 主动探索, 发展智力。

又例如, 在通过方程认识曲面形状时, 当给出方程时, 依据以往的经验, 很多同学都回答“椭圆”, 这时提出问题:“在平面直角坐标系下它表示椭圆, 难道放在空间直角坐标系下还是椭圆吗?”在这个反设问题之下, 学生会立刻引起好奇, 进行思考, 究竟它应该表示什么样的图形。这时教师可适当提示:“空间中每个点 (x, y, z) , 如果想要满足这个方程, 应该有什么要求呢?”很显然, 学生这时会看到, 这个方程所表示的每个点, 都应该满足, 但对z这一项坐标却没有要求, 这时让学生思考这种情况下z的取值范围, 很容易得到想要的结论, 即z∈ (-∞, +∞) , 也即这个图形应该是沿z轴无限延伸的。让学生自己动手将原来印象中的xoy坐标平面上的椭圆, 沿z轴无限延伸, 所形成的, 恰好是一个椭圆柱面。如图2所示。

前苏联心理学家赞科夫指出:“扎实地掌握知识, 与其说是靠多次的重复, 不如说是靠理解, 靠内容的诱导, 靠学生情绪状态而达到的。”通过以上两个例子, 充分说明了启发式教学在解析几何教学中的重要性。学生在学习过程中不仅要认识结论, 更要经历认识的过程。学生一定要经过一系列的质疑、判断、比较、选择以及相应的分析、综合、概括等认识活动过程, 才能够得出正确的结论, 能够真正理解和应用知识, 真正领会其中蕴涵的数学思想和数学方法。在教学中教师要重视学生的探究过程, 把学习主动权交给学生, 教师起引导作用, 留给学生足够的思维空间, 不要限制学生的思维模式, 允许学生自己探索, 不要过早地干涉和暗示学生的探索过程, 使学生在相对自由的氛围中去创造性地解决问题, 真正经历和体验探索过程, 才能够真正达到解决问题的目的。

通过以上两个例子我们也会发现, 在空间解析几何的教学过程中, 启发性思维是必不可少的, 而为了使学生真正掌握基本知识、基本技能, 仅仅应用启发式教学手段是远远不够的, 在数学教学, 特别是几何教学的过程中, 各种现代化教学手段、教学思想, 如现代多媒体技术、数形结合思想的综合运用, 也是完成教学任务, 达到教学目的, 启迪学生思维, 发展学生智力所需要的必要条件。

如上所述, 启发式教学应用在空间解析几何教学中的关键是: (1) 预设问题情景, 在关键处设疑, 使得问题具有目的性、启发性、适度性、整体性、趣味性; (2) 运用启发要与学生的实际相联系, 使学生能够运用已有的知识基础, 创造性的思维; (3) 注重师生之间的交流, 发扬教学民主。

张奠宙教授说:“启发式教学是教师在教学时永远应该坚持的传统, 不能忘记, 启发式教学是双基教学的一部分, 永远不会过时。”启发性教学模式为我国改革现行教学模式提供了有价值的思路, 教师在通过成功实施该模式的过程中实现了教师的自我发展和自我实现。在空间解析几何教学过程中运用启发式教学, 仍然需要不断学习和借鉴新的教育理论、教学技能, 不断丰富和完善启发式教学, 给其注入新鲜血液, 并改革其滞后之处, 不断优化它, 使之能与时俱进, 适应时代的发展, 为素质教育发挥更大的作用, 培养出大批的具有创新精神的高素质人才。

摘要：以启发式教学在空间解析几何教学中的应用为例说明了如何在几何教学过程中应用启发式思维, 以及启发式教学在教学过程中所起到的作用;具体应用时所应达到的要求和应注意的各种问题。

关键词：启发式教学,空间解析几何,柱面

参考文献

[1]王耀文, 陈丽霞.课堂讨论教学方式的实践与认识[J].中国电力教育, 2010, (1) .

[2]费玉田, 刘红卫.启发式、研究性教学方法改革初探[J].西藏大学学报, 2008, (5) .

[3]刘飞舟.启发式、讨论式、研究式教学方法初探[J].职业教育研究, 2007, (2) .

[4]许小艳, 田晓正.关于高等数学教学方法的讨论[J].科技信息, 2009, (10) .

[5]李辉长.浅谈高等代数课程的启发式教学[J].泉州师专学报, 2000, (4) .

[6]王晓玲, 司玉兰.采用启发式教学培养学生的创新意识[J].吉林化工学院学报, 2004, (12) .

解析几何教学 篇2

学生在解决有关解析几何的问题时，最大的问题是没有掌握解析几何的思维方法，误以为用代数方法解决几何问题就是算.我们常常看到的学生的情况是：只要有方程，如直线方程和圆锥曲线方程，就是联立，代入消元，转化为关于一个变量的一元二次方程，判别式、根与系数的关系等，一直做到做不下去为止.在一些老师的复习中，给学生传授的秘籍也是能联立你就联立，能算到哪里就算到哪里，总可以得一些分数.如果我们的解析几何的教学最终沦落到能够得几分为目标，实在让人感到悲哀！

作为教师，一定要交给学生研究数学问题的思维方法！让学生会想，会思考，才是我们的教学目的！

解决解析几何问题首先要做的就是要将几何问题代数化.如何代数化？很多老师在教学中，并没有好好思考这个问题.实际上，要将几何问题转化为代数的问题，不是简简单单的联立方程组就可以解决的，如是这样，那解析几何也太好学了！

我的教学体会是：要交给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法.当我们面临解决一个几何问题的时候，要分析几何对象的几何特征！从哪里分析呢？主要从两个方面：一个方面是从几何的背景、几何的图形中得到几何的性质.如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么它必然到线段的两个端点的距离相等；如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质,等等.举一个非常典型的例子！已知一条直线y=kx-1和圆（已知方程，含参数k,m）相交与M,N两点，（学生读到这里就会情不自禁地将这两个方程联立了）并且M,N点关于直线x+y=0对称，求k+m的值.我们可以问学生：直线和圆交于两点这个已知条件的几何含义是什么呢？结合画出的图象，让学生看到，此时得到圆的弦MN；第二个条件即点M,N关于直线x+y=0对称的几何含义又是什么呢？要让学生说出直线x+y=0垂直平分弦MN.学生如果能够分析到这里，下面一句话他就自然会脱口而出：直线x+y=0过圆心！这正是我们需要的几何的性质.我们只需要把圆心的坐标如（-k,-m）代入，就可以得到m+k=0了.学生如果不会这么想，责任在我们.是我们没有这样教给学生去思考问题；没有在我们的习题教学中帮助学生如何去分析问题.还有一个方面就是没有训练学生如何从方程、数据等代数的结论中得到几何的性质.学生缺乏从代数结果中分析几何性质的意识和能力.如直线ax+by+b-a=0，这是什么样的直线？可以问问学生.让学生思考，为什么这么多的直线可以用一个方程来表示？在这个问题上，很多教师介绍了许多的证明直线过定点的方法.其实这些方法的确很重要，但更为重要的是要让学生能够意识到这些直线之所以能够用同一个代数的形式表达出来，一定是有共同的几何特征！也就是要交给学生提出问题、思考问题的方法.解析几何教学漫谈（2）

在解析几何的习题教学中，如何分析题目，让学生学会理解问题是最为重要的.分析的思维方法要符合解析几何的思维特点，即：对于题目中的几何元素要会分析它的几何特征并进行有效的代数化；对于题目中的代数的结论如方程或数值要学会分析它的几何含义.例1：直线l:ax+y+2=0与过A(-2,3)与B（3,2）的线段相交，求a的取值范围.这道题目学生都是从斜率的角度进行计算，这也是老师们教给学生的典型方法.这个方法是没有学线性规划时的方法，学生掌握起来并不是很容易.但从几何特征的角度看，A,B两点与直线的位置关系是分析的要点.即A,B两点在直线l的两侧.而这个特征的代数化就非常的简单！只要把两点坐标带入到直线l方程的左侧所得到的两个数值乘积小于等于零即可！

例2：如何理解直线l:x/a+y/b=1过点M(cos&,sin&)呢？

对于这个问题的理解，一般思维层次的学生只是把M点的坐标带入到直线l方程中去再进行相关的运算！除了点的坐标满足直线l方程和解析几何有关系之外，后面的计算都是三角变换的内容了，其难度无形中增大.而我们的解析几何教学的目的是要学生能够从代数的结果或形式中发现（挖掘）几何的特征，这应该是我们教师在本段教学或复习的追求.我们可以启发学生：点M是一个点吗？点M是什么样的点？实际上点M是动点，其代数特征是横纵坐标的平方和为一，对应的几何特征是单位圆.只有看到了这一层含义，才叫真正的理解了本题，而随后要进行的代数化就非常的简单！因为直线l与单位圆相切或相交，圆心（0,0）到

直线l:x/a+y/b=1的距离小于等于1，得解.高考的时候如果我们的学生能够按后一种思维的方式理解问题才是我们解析几何教学的成功！现在特别是临近高考的最后阶段，很多教师对解析几何的复习表现出很无奈，我认为其原因是失去了复习的目标和方向！不是我们已经把该讲的都讲完了！我们可以反思一下，学生是不是真正会用解析几何的思维方法解决问题？你的复习是不是在不断地渗透解析几何的思维特征和方法？

解析几何教学漫谈（3）

在解析几何的复习中，学生遇到了许多的困难，老师也很感到困惑甚至是无奈;由于每次考试学生都无法在这部分的考题中拿到理想的分数.一些教师甚至放弃了这部分内容特别是解析几何解答题的复习，大有黔驴技穷的态势.怎样在最后的两个多月的时间里，有效地提高解析几何的复习效率呢？

解析几何教学 篇3

摘要： 本文主要从我校现状出发，讨论了高等代数与解析几何一体化实施的必要性，并从教学内容、教学手段、教学对象三个方面介绍了在实施高等代数与解析几何一体化过程中的注意事项。

关键词：高等代数与解析几何一体化 课程改革 多媒体辅助教学

基金项目：唐山师范学院校级成人学历教育与教师继续教育教育教学改革项目（JJ2012030）

唐山师范学院教育教学改革项目（编号：2013001030）

Abstract：Starting from the reality of our school， we dicusse the necessity of the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry and introduce some notes of Higher Algebra and Analytic geometry in the integration process from three aspects such as teaching content， teaching methods and teaching odject.

Key words： the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry ， Curriculum Revolution， Multimedia aided teaching

·O15-4；O182-4

作为大学数学系学生的基础课，高等代数与解析几何同时也是理工科学生的基础课程。计算机的普及以及应用数学科学的发展，使得越来越多相关课程相继开设，减少基础课与专业课学时势在必行。但是数学分析与高等代数是数学专业的基础，运用广泛，不容削减。削减解析几何的课时，必将给数学专业的学生带来重大损失。基于解析几何与高等代数的特点及其关系，将这两门课合并不失为一个好办法。这样不仅不会太多地削减解析几何，更可以省出许多时间。从更高意义上说，这两门课都能得到加强，从而形成统一的整体。

目前我校数学与信息科学系高等代数与解析几何的教学现状是：两门学科分别独立，各自为政???——新生入学第一学期开设解析几何，第二学期开设高等代数。由于两门课程在教学实施过程中的衔接性较差，讲授解析几何的同时，需要花很长的时间来讲授高等代數的相关内容。而高等代数本来就相对抽象，晦涩难懂，再加上我校目前所用教材与几何完全脱节，学生理解起来难度很大。这样不仅影响了解析几何的正常教学，也加大了学生的心理压力。因此，高等代数与解析几何一体化教学迫在眉睫。

解析几何的主要内容是向量代数及空间曲线、曲面等图形性质。高等代数则以多项式理论及线性代数为主要内容。线性代数是主要讨论有限维线性空间及其线性映射（变换）的学科。这两门课程的内容密切相关：一方面，解析几何中向量、几何变换等概念是高等代数中线性空间与线性变换等抽象概念的直观来源；另一方面，高等代数中矩阵、线性方程组及二次型理论又为解析几何提供了有力的计算工具和简洁的证明与表述方式。由此可见，学习与运用高等代数和解析几何的最佳途径便是将此二者融会贯通。

根据高等代数与解析几何的密切联系，我们认为在实施高等代数与解析几何教学一体化的过程中，要注意以下几点：

第一，找准二者在知识上的切合点。高等代数与解析几何的合并绝非机械地拼凑，而是从逻辑系统和理论高度妥善处理好二者之间的关系。例如：在行列式的教学中，学生最初接触时可能感到很深奥、难以理解，但是如果我们换个角度，先从几何问题出发讨论二阶和三阶行列式的几何意义，然后把它们推广到高维也就是高阶行列式，这样就显得具体了很多，学生接受起来也就不会有太大的困难，而且还可以由此渗透一些高维欧氏几何的思想，进而开阔学生的视野；而在讲授线性空间的内容时，要先从解线性方程组出发引入线性空间的概念，而为了加强对线性空间的理解，我们可以把维数降低，讨论低维（几何）情况，然后再推广到高维。换言之，解析几何是低维的线性代数，而线性代数是解析几何的高维推广。在教学过程中一定要处理好它们之间的关系，教会学生用代数的眼光去审视几何问题，也要会用几何的眼光去审视代数问题。

第二，充分重视多媒体辅助教学在一体化教学中的重要作用。对于数学专业的学生，我们不仅要着力培养他们的抽象思维能力，还要重视他们的空间想象能力的提高。多媒体辅助教学的利用，使得一些抽象思维图形化，从而极大地激发学生的几何直觉思维。例如：在讲授单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性时，如果利用多媒体展示直线形成二次曲面的过程，将会大大提高学生对两种曲面的直纹性的感官认识水平。

第三，在授课过程中对不同专业要各有侧重。比如对于数学与应用数学专业的学生，我们的目标是将其培养成基础型的研究人才或中学教师，因此在教学过程中要十分注意语言的严密性及理论推导的严谨性。另外，这些知识在中学数学中的应用同样不容忽视。例如在讲授向量代数的内容时，可以适量添加利用向量解决中学几何问题的例题，以加深学生对向量运算性质及其规律的理解和掌握；而对于信息与计算科学及统计学专业的学生来说，开设高等代数与解析几何课程主要是为了应用数学理论去解决实际问题，如此情况下我们必须注重矩阵的计算方法与技巧讲解，对于线性变换的矩阵，应以掌握三维几何变换的矩阵为重点，由此出发进行推广。此外，数学实验在教学中的重要作用也不能忽视。因此，我们还应对内容及手段做必要的调整以满足不同专业的需要。

高等代数和解析几何作为两门独立的基础课程已有很长历史，要把它们重新溶合为一个完整统一的课程体系并非易事。在实施过程中可能会遇到一些尚未预料到的问题，这需要我们教师在实施过程中进一步持续深入探讨并实践。

参考文献：

[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M] . 北京： 高等教育出版社

[2] 孟道骥. 高等代数与解析几何（第二版）. 北京：科学出版社

[3] 戴清平 、李超、谢端强，高等代数与解析几何教学一体化教学思考

《数学理论与应用》 2004年第24卷第四期： 92-94

[4] 郁金祥、刘锦萍，高等代数与解析几何的教学实践与认识 《高等理科教育》

用Matlab辅助解析几何教学 篇4

解析几何是高等几何学的基础, 是研究代数问题的一门学科, 目前解析几何的教学依旧比较传统老旧, 许多曲面的形成和变换过程还是由老师来讲授, 这样就很难形象生动地讲授曲面之间的联系与变换。Matlab具有强大的图形绘制功能, 在解析几何教学中, 如果应用Matlab的图形功能对图形进行静态与动态的可视化演示, 就能很好地达到数形结合, ①将问题简单化的目的, 对提高教学效果和培养学生的空间想象能力有着很大的作用。本文选取了解析几何课程中二次曲面图形问题为例, 说明Matlab在辅助解析几何教学中的作用。

1 Matlab图形功能简介

Matlab图形处理功能十分强大, 它能使高等数学中复杂的函数问题通过几条简单的命令绘制出理想的图像, 从而将函数关系和图形紧密的结合起来, ②使得高等数学问题更加具体形象。用Matlab辅助解析几何教学, 可以将抽象的函数直观地用图形呈现出来, 这种数形结合的思想不仅可激发学生的学习兴趣, 而且可帮助学生更好地理解数学公式。

2 基于Matlab的二次曲面的绘制

2.1 静态图像的绘制

例1:绘制椭球面和双叶双面曲面

解:用Matlab绘制上述两图形的语句如下:

u=linspace (0, pi, 60) ;v=linspace (0, 2*pi, 60) ;a=1;b=4;c=6;

[U, V]=meshgrid (u, v) ;X=a*sin (U) .*cos (V) ;Y=b*sin (U) .*sin (V) ;

Z=c*cos (U) ;mesh (X, Y, Z) ;surf (X, Y, Z) ;

双叶双曲面代码

xa=-4:0.1:4;ya=xa;[x, y]=meshgrid (xa, ya) ;a=1;b=1;c=1;

z1=sqrt (c.^2* (x.^2/ (a.^2) +y.^2/ (b.^2) +1) ) ;

z2=-sqrt (c.^2* (x.^2/ (a.^2) +y.^2/ (b.^2) +1) ) ;

mesh (x, y, z1) hold on;mesh (x, y, z2) ;xa=-4:0.1:4;ya=xa;x=xa;

用Matlab绘制图形分别见图1和图2;

上述画图过程从静态的角度展现了图像的形态, 通过图像的展示, 可以使同学们对两种不同类型二次面的外观认识更加直观, 但是静态图像没有表现出曲面形态随模型参数的改变而发生变化的过程, 也不便从不同视角观察图像。③下面将从这个角度研究利用Matlab展示上述曲面的动态变化过程。

2.2 动态图像的绘制

例2:通过改变例1中椭球面的参数观察图像的效果。

u=linspace (0, pi, 60) ;v=linspace (0, 2*pi, 60) ;a=4;b=6;

[U, V]=meshgrid (u, v) ;X=a*sin (U) .*cos (V) ;Y=b*sin (U) .*sin (V) ;

for c=8:0.1:25 Z=c*cos (U) ;end mesh (X, Y, Z) ;surf (X, Y, Z) ;

参数c的改变导致了图像 (见图3) 的大小发生了变化, 但椭球面的实质是没有变化的, 同理, 改变参数a, b也是一样的。通过改变参数绘制出来的图像可以让学生进一步认识到椭球面形状的改变是随方程的参数而改变的, “数形结合”的思想也在图像的“变化”中更好地体现出来。

例3:从不同视角观察例1中双叶双曲面。

xa=-4:0.1:4;ya=xa;[x, y]=meshgrid (xa, ya) ;a=2;b=4;c=1;

z1=sqrt (c.^2* (x.^2/ (a.^2) +y.^2/ (b.^2) +1) ) ;

z2=-sqrt (c.^2* (x.^2/ (a.^2) +y.^2/ (b.^2) +1) ) ;

mesh (x, y, z1) ;hold on;mesh (x, y, z2) ;xa=-4:0.1:4;ya=xa;x=xa

fprintf (‘抓取画面中…n’) ;n=100;for i=1:n view ([30, 10+i*360/n]) ;

M (i) =getframe;end;fprintf (‘播放电影中…n’) ;movie (M, 1) ;

通过动画的播放我们可以从不同角度去观察双叶双曲面的形态 (见图4) , 尽管位置变化并没有改变双叶双曲面图像的本质, 但可以让学生从不同角度的认识和了解双叶双曲面图像的形态, 而这种效果是在传统的课堂教学中无法展现的。借用Matlab图像展示和生成功能辅助教学则可以轻松地得以实现这种教学效果。

类似地, 将程序中的问题改为其他二次曲面的方程, 如锥面、球面、单页双曲面等也可同上述方法一样得以实现。

动态图像的绘制弥补了静态图像在表达数形结合思想上的不足, 而“动静”的结合不仅使抽象的问题形象化, 而且能让学生对问题和二次曲面图像有一个清晰的了解和认识, ④在实现完整意义上的数形结合的基础上也辅助了教师教学。

3 结论

本文将MATLAB图形功能应用于解析几何二次曲面的教学中, 从静态和动态两个角度对解析几何的部分二次图形进行了解析。实例说明, Matlab在解析几何教学中可大显身手, 可以弥补传统理论教学的不足, 是解析几何教学的一个有力辅助工具。借助于该工具辅助教学, 不仅可丰富高校老师的课堂教学内容, 而且还能激发学生的学习兴趣, 增强学生的创新能力和创新意识。

摘要：解析几何是用数形渗透的思想结合图形的几何性质来解决代数问题, 使复杂问题简单化的一门学科。将Matlab的图形动画功能应用于该课程教学, 采用数形结合的方法可使课堂生动形象并能激发学生学习兴趣, 提高教学效率。本文以二次曲面图形问题为例, 从静态和动态两个角度去分析演示图像的生成过程, 说明Matlab在辅助解析几何教学中的作用。

关键词：Matlab,解析几何,二次曲面,辅助教学

注释

1赵亚男, 牛言涛.Matlab在解析几何教学中的应用[J].长春大学学报, 2001.21 (4) :55-58.

2刘芸.浅析Matlab绘图功能在高等数学中的应用[J].吉林省教育学报, 2012.28 (7) :57-58.

3林镇飚, 桂现才.用Matlab解决解析几何的图形问题[J].开发研究与设计技术, 2006.32 (2) :133-135.

解析几何教学 篇5

【摘 要】小学几何教学是小学数学创新教学的重要组成部分，是发展学生空间观念的重要途径。我们应该正确理解和把握小学数学教材，分析学生几何概念中碰到的障碍，探索学生几何概念的形成规律，从学生的层面考虑实施教学，力求让几何概念的教学更有实效。

【关键词】几何概念；教学内容；思维障碍；策略

小学数学几何概念的教学在《数学课程标准》中属于“空间与图形”的领域。几何概念的教学对于培养思维、发展智力、空间观念和提高教学质量具有重要意义。

我们应该正确理解和把握小学数学教材，分析学生几何概念中碰到的障碍，探索学生几何概念的形成规律，以期从学生的层面考虑实施教学，力求让几何概念的教学更有实效。

一、小学阶段几何概念教学内容的把握

在义务教育阶段，几何概念的内容编排使学生不仅会认识一些基本图形，理解一些基本图形的性质，而且会从不同方向观察物体等十分重要的内容，感受丰富多彩的图形世界；学生不仅要了解一些基本图形的轴对称性和中心对称，还要在生活背景下探索图形的变换，利用变换设计美丽的图案；学生不仅要由浅入深的学习确定物体位置，还要探索并选择确定物体位置的不同方法。几何概念的内容编排从过去的主要强调图形的度量和证明，发展为围绕着“图形的认识”“图形的测量”“图形与变换”“图形与位置”四大类基础概念展开。

1.整体推进，线索清晰

教材的整体框架是依据空间与图形的四个方面有序地展开，每个学年、每个学期都合理安排，整体上是螺旋式上升，让学生对几何概念的认识和空间观念的形成有一个逐步深入的过程。总体而言，围绕两条大的线索：一条是以图形的空间关系研究为线索，另一条是以数量关系研究为线索。以上两条线索不是分离的，而是融合的，因为研究几何形体的概念既要从关系出发，又要从数量出发，这样两者相互促进，才能促使空间观念的有效生成。

2.知识、认知、教学三序合一

教材清晰地展开科学知识发展的序列，学生认知发展的序列和教师教学的序列，而且这三个序列有机地组合在一起，使知识按逻辑关系呈现，同时符合和促进着学生的认知发展，而且充分展现教学过程，真正做到了便教利学。

二、学生几何概念形成的思维障碍分析

要提高几何概念教学的实效，必须对小学阶段所涉及的几何概念知识进行深入而细致的分析。结合教学内容，通过课堂教学的实施，剖析小学生几何概念形成困难的原因，找到产生思维障碍的根本，探寻排除几何概念形成的思维障碍的方法和途径，并有针对性地改进和加强我们的教学，让学生在运用几何概念，分析和解决几何问题的过程中巩固知识，提高能力。我们依据多年的教学实践研究，总结出了造成以下几方面的因素：

1.生活用语与数学概念的冲突

数学来源于生活，学生在日常生活中对于数学书本里所涉及的几何知识或多或少都有接触。当日常概念与几何概念含义完全一致时，日常用语促进学生更好地形成空间概念；反之，则会造成干扰。教师应该着重让学生明白日常用语与科学术语的异同。

2.非本质特征对本质特征的干扰

任何事物都既有本质属性，也有非本质属性。几何概念有时不仅包括事物的本质属性，还包括事物的非本质属性。事物的本质属性，是学生学习几何概念时所必须掌握的最重要的东西，而非本质属性的干扰越多，学生就越抓不住本质属性，就越容易产生思维障碍。几何图形的位置、形状及大小等非本质属性容易对几何概念的本质属性造成干扰。

3.单个要素与要素间关系脱离

几何图形都是由一些几何要素组成的。小学生认识图形时，对各种几何要素的感知是有一定选择的。他们首先感知的是那些最明显、最突出的单个要素，而对那些不太明显的要素就容易忽视。根据小学生的心理特征，他们比较容易观察单个数据的特征，当图形的特征反映了要素间的关系，他们就感到比较困难了。

4.掌握特征与辨别图形脱节

心理学研究表明，小学生认识图形水平比用口头正确叙述图形的特征的水平高些。听到“梯形”的名称，他的头脑中就会呈现出相应的表象，并以此来识别哪些图形是梯形。当学生掌握了根据梯形的特征以后，学生已会用语言来表述梯形特征了，如要求学生根据特征来辨别图形，尤其是辨别变式图形时，中间仍有一个较长的过程，有时甚至还脱节，这是由学生的心理特征来决定的。

5.数的计算对图形特征的影响

在计算几何图形的周长、面积、体积时，学生既要考虑到图形的特征，又要考虑到它的计算方法，“特征”与“方法”两个因素交织在一起同时作用于学生大脑。这时，“数的计算”就容易干扰“图形的特征”。

6.学生认识水平的限制

空间观念的形成是一个知识不断深化的积累过程，它受到学生认识规律和接受能力的制约。在建立几何知识结构的概念体系时，前一个概念往往是后一个概念的知识基础与推理依据，学生已有的几何知识的感性经验在掌握新的概念过程中发挥着重要的作用。学生如果已有的知识水平低或感性材料经验缺乏，那么在几何概念的学习中都会产生思维障碍。

三、几何概念教学中的排除思维障碍的策略

1.立足生活体验，精选素材

我们要清楚地知道，任何一个几何形体都来源于生活，都是对日常生活、生产中的客观物体的抽象概括，因此，学习几何初步知识必须紧紧联系我们日常生活的实际，从观察具体的生活事物入手，从亲自触摸中去感知，再回过头来认识它的图形。如何让学生将所学的知识与生活经验产生联想，这是我们教学的重点。

2.加强直观操作，理解概念

心理学研究表明，概念形成的规律是：感知―表象―概念。从小学数学教材的编排体系看，每一种新的概念的揭示，都强调要先实践操作，这是符合儿童认识事物规律的。我们在教学时就要遵循这个规律，加强操作指导，让学生利用学具进行操作，变学生被动地听为主动地学，能充分调动学生的各种感官参与教学活动，引导学生由“物”抽象为“形”，使学生在实践中感知、形成表象，从表象中概括出事物的本质特征，从而达到对数学概念的理解。

3.运用变式、反例，突出本质

变式就是变换概念肯定例证的非本质属性，以突出本质属性。变式用以说明同一个概念的本质特征相同、非本质特征不同的一组实例。这些实例都是概念的正例，但是它们在概念的非本质特征方面有变化。在几何形体概念的教学中，我们可以充分运用变式来帮助学生获得更精确、更稳定的概念。反例，就是故意变换事物的本质属性，使其质变为其他事物，在引导思辨中从反面突出事物的本质属性。

4.建立概念体系，促进同化

教师在教学概念时，不应该孤立地教概念。在准备教学生一个新概念之前，要为学生提供一个可把这个概念置于其中的框架。学生获得概念的基本方式有两种：概念形成和概念同化。

教师应当在课前采取一些恰当的方式了解学生，找到新旧知识之间、文本知识和生活之间的联结点来展开教学，让学生以联系的观点学习新的概念，促进主动建构，形成概念的网络体系。

总之，要提高小学数学几何概念教学的实效，教师必须立足教材和课堂，通过对“图形与几何”中“图形、测量、变换和位置”四大类基础概念的研究，开展小学数学几何概念课堂教学研究，力争在不同学段“几何概念”内容的学习过程中，精心选择教学内容，改变以往陈旧的课堂教学方法，从而引起学生学习方式的改变，使学生在体验与创造中积极主动地学习，发展空间观念，培养创新意识，同时促进了教师教学观念和教学方式的转变，这对于提高课改的实效性、提升教师自身的素质、切实减轻学生负担以及促进学校发展都具有很高的实践意义。

参考文献

解析几何教学 篇6

[关键词] 解析几何；小题；定义；平面几何；运算

解析几何是高考数学的重点和难点，也是整个中学数学中地位非常重要的章节. 从近年来解析几何考查的比重来看，其在高考中一般占据20～25分的程度，而且难度一般较大，大部分学生对于解析几何的得分率普遍较低. 从解析几何的内容来看，其涉及的椭圆、双曲线往往运算量较大，运算能力较差的学生基本难以在解答题中取分，从概念性质来说，椭圆、双曲线、抛物线定义的运用，以及愈来愈多平面几何性质的结合使用，往往使得学生在问题解决中摸不着头脑，因此笔者结合近年来考题方向和特点，谈一谈解析几何小题在教学中应该处理的“三重境界”，层层递进式的解决问题.

境界一——解析几何定义的使用

？摇？摇解析几何的定义在中学数学阶段主要是两种，其一是感官定义，教材利用了绳子固定端点的拉动形成的椭圆以及拉链拉动形成的双曲线，在学生脑海中形成重要的第一印象，其二是第二定义（现阶段考查相对较少）. 在高考解析几何小题中，对定义的考查比比皆是，来看例题：

问题1 （改编自2013年浙江理）：如图1，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_____________.

分析：笔者建议有兴趣的读者试一试本题，本题从定义的两次运用出发，后续研究中位线、等腰直角三角形和余弦定理的使用，是一道将平面几何性质使用较多的综合性解析几何小题. 对于这样问题的处理，我们发现有助于学生理清问题解决的层次性：即首先运用定义思考问题，进一步运用平面几何相关性质来处理离心率.

总之，从近年高考真题的分析来看，笔者以为解析几何小题的破解恰在于上述三个层次的合理运用，纯粹对于定义的使用往往是针对简单问题的考查，对于运算的处理和一定技能的运用往往在于稍难问题的区分，运用定义和平面几何性质的相关使用结合是对于思维考查较高的一种体现. 笔者想起了诗人王国维在讲人生三境界的时候，其一“望尽天涯路”，暗指人生目标；其二“为伊消得人憔悴”，暗指奋斗不止；其三“蓦然回首，却在灯火阑珊处”，暗指反思即能豁然开朗. 因此，在研究高考解析几何小题指引复习教学时，也可以思考这样的三重境界，层层深入.笔者认为解析几何小题的解决恰是三种境界的体现：

（1）类型1体现的恰是一种“望尽天涯路”的境界——解决问题的方向是使用椭圆和双曲线的定义，这也是解决解析几何小题的常规思考方向；

（2）类型2体现的是解析几何小题“为伊消得人憔悴”的境界——在无法使用定义，只能通过坐标的运算方式来解决问题，笔者个人觉得这样的考题区分度、难度稍大；

（3）类型3在解决离心率中，很自然地回避了通过大量运算来解决的方式，从双曲线定义考虑，结合三角形的相关知识（诸如余弦定理、中位线、三角形四心等等）即轻松解决，这体现了问题解决的第三重境界“蓦然回首”，问题还得倚靠定义来，进一步结合平面几何中的相关知识即可.

浅谈解析几何中“探究题”教学 篇7

1 探究性学习的内涵

所谓数学探究性学习, 是指学生围绕某个数学问题, 自主探究、学习从中获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程.这个过程包括:观察分析数学事实、提出有意义的数学问题、猜测探求适当的数学结论或规律、给出解释或证明.发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动.

2 探究性学习的原则

2.1 自主性

探究性学习改变了以往学生被动接受的学习方式, 使学生积极主动地去探索、尝试, 去谋求个体创造潜能的充分发挥.它将学生的需要、动机和兴趣置于核心地位, 鼓励学生自主选择、主动探究.

2.2 开放性

在探究性学习中, 问题或活动的选择、探究的方法、观点的表达等都给学生的创造留下较大的空间, 问题的结果要求学生在探究过程中自己去寻求.探究性学习的这一特点决定了它具有更大的挑战性, 因而, 具有更大的激励性.

2.3 合作性

现代教学理论认为, 合作与交流是人本主义发展的重要条件, 交往论强调师生间、学生间动态的信息交流.在研究性教学模式中, 通过师生、生生间的交往, 达到学生心态的开放、主体性的凸现、个性的张扬、创造性的解放.

2.4 原生态

新课标强调以人为本的理念, 不能把学生仅仅看成教育的对象、认知的群体, 更重要的是要把学生看成独立的生命主体.无论是教育内容还是教育方式、方法都要少一点人为的雕琢, 追求一种自然、和谐、原生态.

3 解析几何中“探究题”教学设计

新课程改革中, 变革教学方式和学习方式是一个共识.人教A版通过渗透以引导学生主动学习为核心的教学设计理念, 达到引导教学方式变革的目的.利用“观察”、“思考”、“探究”栏目提出问题, 引导学生主动学习.设计恰当的“问题串”以引导学生独立地、有序地、积极地思考, 从而把积极主动的学习方式落在实处, 就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键.

高中数学解析几何中一共安排了29个探究问题 (包括探究与发现、信息技术应用) , 其中必修2中有8个, 选修2-1中有13个, 选修4-4中有8个.从大的类型分:一般探究问题有20个, 探究与发现有4个, 信息技术应用5个.这些探究问题既有针对具体内容的, 也有针对思想方法的, 还有针对特例、细节的, 它们构成解析几何的学习主线, 形成思想内涵丰富的解析几何的概念网络, 体现新课标理念, 着眼于学生知识的形成和知识发展规律, 着眼于培养学生的创新精神和实践能力.所以我们要充分重视并在教学实践中合理有效地使用这些探究题.我认为作为“探究题”首先应立足于教材, 服务于教材, 其设计要符合多样性、层次性、开放性;其次又要高于教材, 以学生自主探究为主, 给学生以充分的活动空间与时间, 培养学生钻研精神和合作精神.

4 解析几何中“探究题”教学策略

4.1 动手试验操作, 引发探究情感

动手试验是探究性学习的基础和开始.而在以往的教学中, 有的老师以试验条件不足或认为没有必要等借口, 省去在数学教学中让学生动手试验操作, 完全忽略了动手试验对于培养学生发现和提出问题能力的重要意义, 也没有考虑到对提高学生探究兴趣的积极作用.这样不仅体现不了动手试验的实际作用, 而且迫使学生放弃了主动研究的权力.作为数学教师要善于运用动手试验, 从中挖掘问题因素并帮助学生发现问题, 引导大家积极探索, 研究解决问题.

题目取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖 (动点) 画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中, 你能说出移动的笔尖 (动点) 满足的几何条件吗?

分析本探究题旨在探究椭圆定义本质特征, 发现形成定义, 并且由学生熟悉的圆的定义出发去探讨动点的变化规律:椭圆上的点到两定点的距离之和为定值, 由学生观察并概括, 教师补充, 整理成定义;这是试验性探究, 它要求学生动手操作, 可以同学之间合作, 从试验中得到一个新概念的本质特征, 并且知道这个新概念是可以从旧概念中变化而来的, 同时理解了新旧概念之间的区别与联系.更重要的是这个试验探究题不同于有些探究题, 学生在做试验之前, 确实很难想到原来他们印象中的椭圆是可以这样画出来的.比如, 在最近我听的一节公开课上, 老师为了让课上得花哨一点, 让学生在课堂上抛20次硬币, 统计正面朝上的次数.试想对于概率, 抛20次硬币, 数目很小很难说明什么?只能起到活跃气氛的作用.所以比较之, 我认为课本上画椭圆的探究题值得去做, 并且教师可以借助于《几何画板》与学生感受作椭圆的过程.

4.2 从特殊到一般, 拓展探究能力

波利亚认为:“我们如果不用‘题目的变更’, 几乎是不能有什么进展的.”教会学生研究的方法, 是数学教育的一项重要任务.在数学教学过程中, 教师要鼓励和引导学生大胆地去探索, 更要向学生传授一些探索研究的方法, 如归纳、类比、猜想、证明等;以及编拟题目的一些基本方法, 如演绎法、基本量法、变换条件法、特殊化、一般化、模型法等.为此, 笔者在教学中注重学习策略和研究方法的渗透, 注重学生创新能力的培养.

下面是人教版高中数学教材2-1第55页探究题的变式探究教学设计:

题目点A, B的坐标分别是 (-5, 0) , (5, 0) , 直线PA, PB相交于点P, 且它们的斜率之积是, 试求点P的轨迹方程, 并由点P的轨迹方程判断轨迹的形状.与例2.2例3比较, 你有什么发现?

分析本探究题旨在通过学生的探究, 理解和掌握双曲线的几何性质, 并发现双曲线上的点与其实轴的两个端点的之间的联系.并通过与前面例题比较, 得到椭圆也有相关性质.从而培养的研究能力.

探究过程

(1) 先求点P的轨迹方程, 求轨迹方程一般方法的步骤是什么?

(2) 判断点P的轨迹的形状.

(3) 得出结论, 双曲线上一点P与其实轴的端点A, B的连线的斜率之积kPA·kPB是定值.并一般化, 学生自己推导对双曲线线线值kPA·kPB是多少?

(4) 通过与例2.2例3比较, 学生共同探究得到椭圆也有类似性质:椭圆上一点M与其长轴的端点A, B的连线的斜率之积kPA·kPB也是定值.

(5) 教师提示, 能否将上述两个结论一般化?有的学生发现, 椭圆的短轴的两个端点与椭圆上一点P的连线的斜率之积也是定值.于是师生共同展开联想, 能否将两个点再换?提示换成过椭圆中心的弦的端点.

(6) 充分给予时间让学生自主探究, 对于椭圆就发现了一个重要的性质:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , P (x0, y0) 为椭圆上的三点.如果AB是过椭圆的中心O一条弦, 则反过来, 如果, 则A, B, O三点共线 (证明略) .

(7) 进而也轻松得到双曲线也有类似的性质:设P (x0, y0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) 为双曲线上的三点.如果AB是过双曲线的中心O的一条弦, 则, 反过来, 如果, 则A, B, O三点共线 (证明略) .

(8) 随着学生探究兴趣的提升, 学生中创造性的问题也随之涌现而来, 有学生提出, 如椭圆, 若给定kPA·kPB是定值, 但不是, 直线AB是否过定点?此问题更加激发学生的探究兴趣了, 经过一番讨论, 不妨先设P是短轴的端点, 计算量较小, 于是一道新题产生了:已知点P的坐标为 (0, 1) , 若M, N是椭圆上任意两点, 且直线PM与直线PN的斜率之积为, 试探究直线MN是否过定点?经过探究发现直线MN经过定点 (0, -3) .

(9) 布置推广性探究问题:若对于椭圆, 能否得到类似 (8) 中的结论?点P可以取长短轴的端点, 也可以是椭圆上一般的点.同样可以探究对于双曲线, 结论又如何?

4.3 类比探究, 提高课堂效率

新课标在第52—56页均要求在学习双曲线相关知识时, 用类比椭圆的方法去得到相关的结论.这体现出类比思想在数学学习中的重要性.本人在双曲线教学时作了如下设计:

师:前边我们研究学习了双曲线, 请同学们回忆一下, 我们是从哪些方面研究双曲线?

生:双曲线定义, 由定义推导了双曲线方程.

师:双曲线的方程是什么呢?

生: (答略)

师:在学习了双曲线方程之后, 我们对双曲线的学习是否完全了呢? (停顿一会儿, 继续说) 我们可以与刚学过的椭圆比较一下, 回忆一下我们是怎么研究学习椭圆的?

生:学习定义, 方程, 利用方程研究椭圆的几何性质. (学生若回答不上来, 老师可以引导回忆)

师:对, 椭圆与双曲线从定义到方程都很相像, 那么我们大家猜一下, 这节我们该研究学习什么内容呢?

生:双曲线的几何性质.

师:好.那么我们该怎么去研究它呢?

生:也用双曲线的方程去研究.

师:对.利用方程去研究曲线的性质, 是解析几何中重要的研究方法.那么都研究它哪些性质?谁能猜测一下?

生:与椭圆一样, 研究双曲线的范围, 对称性, 顶点, 离心率等.

师:太好了, 是不是像大家说的这样, 我们一起去研究双曲线一下吧.

……

上面的教学设计中, 教师通过引导启发学生, 调节学生的思维, 使学生自己通过类比获得了要研究的内容与研究的方法, 而不是老师直接告诉学生的.这样学生获得的知识与能力会系统化, 印象会很深, 这样的教学方法, 对学生的长远发展非常有利, 虽然多花点时间, 但从培养学生学习能力的长远利益来看是“磨刀不误砍柴工”.

4.4 探究数学文化, 培养科学精神

教材2-1第90页探究与发现“魔术师的地毯”, 是一个很好的探究案例, 不但能提高学生学习兴趣, 还能拓展学生知识面和实践能力.据调查, 很多教师在教学时对此类探究问题视而不见, 没有充分挖掘它们的教育功能.本案例, 在教学时先让学生阅读材料, 然后让学生直接思考作答, 允许同桌之间互相探讨.同学们既惊奇, 又表现出了浓厚的探究兴趣, 同时也有很多同学通过自己的努力探究出了答案.

探究过程

(1) 以魔术师的地毯引入, 让学生分析那一平米会少在哪里?为什么会少?怎么证明?

(2) 学生分组讨论研究方法, 得出结论用坐标法研究O, E, G, B是否共线?

(3) 小组总结汇总得到简要解答过程.如图3建立直角坐标系, 以OC所在直线为x轴, AO所在直线为y轴, 单位长度表示0.1米, 写出相关点的坐标.如何判断E和G是否恰好落在直线OB上呢?方法是分别计算OE, OB, OG的斜率, 比较它们是否相等.得kBE=kOG, kBG=kOE, 即BE∥OG, BG∥OE.可知将图1中的四块图形按照图2拼接时, 在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形OGBE (图3) .正是这一微小的重叠导致面积减少, 减少的正是这个重叠的平行四边形OGBE的面积.

(4) 学生感悟.把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长约2.247米的极细长的平行四边形, 在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点, 当然很难觉察出来, 魔术师正是利用了这一点蒙混过去, 然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”.

(5) 发现新问题.有一名学生发现了一组有趣的数据:把上述分割正方形和构成矩形所涉及的4个数, 从小到大排列起来, 即5, 8, 13, 21, 这列数有什么规律呢?这时有几名同学马上想到了一个数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …即斐波那契数列, 它的特点是:它的任意相邻3项中前两项之和等于第3项.魔术师的上述第一个地毯魔术中的4个数5, 8, 13, 21只是斐波那契数列中的一段, 老师提出一个问题:从该数列中任意取出其他相邻的4个数, 还能玩上述魔术吗?为了使计算简单一些, 我们取出数字更小的一段3, 5, 8, 13来试一试.通过同学们合作探究, 也得到了类似的性质.但有差异, 这时发现拼成的矩形比原来的正方形面积“增大”了一个细小的平行四边形.

(6) 推广猜测新结论.我们可以使用斐波那契数列的任何相邻4项, 来玩上述分割重拼的魔术, 我们发现, 正方形比重拼成的矩形, 有时少一个单位面积, 有时又多一个单位面积.面积何时变小, 何时变大, 有没有规律呢?让学生课后去探究.

4.5 应用信息技术, 激发探究兴趣

美国数学教育家波利亚说过, “……数学是一门实验性的归纳科学”, 利用现代信息技术手段, 学生亲自动手实验, 一方面激发学生的学习兴趣, 培养学生探索思维能力, 另一方面让学生体会量变与质变的辩证关系, 帮助学生形成科学的思维品质.现代信息技术环境下进行数学探究有着传统教学手段不可比拟的优势, 信息技术为数学课堂教学中创设了很好的探究情境, 特别在复杂数据运算、动态图形、信息获取、交流合作等方面提供了强大的支持.如果充分利用《几何画板》软件辅助教学, 创设实验性问题情境, 进行人机互动, 刺激学生动手探究, 可以使教学化枯燥为生动, 变浅显为深刻, 化单调为丰富, 变沉闷为轻松, 化平淡为神奇, 变抽象为具体.教师教出特色, 学生学出兴趣.教师可以充分利用人教A版安排的5个信息技术应用来探究解析几何的知识, 探究工具均是《几何画板》.它们分别是必修2第149页的“探究点的轨迹:圆”、选修2-1第50页的“探究点的轨迹:椭圆”、选修2-1第57页的“探究双曲线的渐近线”、选修2-1第64页的“探究抛物线的定义”、选修4-4第31页的“探究圆锥曲线参数方程中参数的几何意义”.

5 探究题教学的反思

5.1 钻研教材, 领会新课标理念

目前, 有些教师对新课改的认识还不到位, 没有认清课改的基本方向, 没有理解高中数学课程的基本理念.所以他们对于课本中的有些探究问题研究不深, 有些视而不见.有些认为高考肯定不考, 所以不重视, 不花时间.《新课标》明确指出:数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容.以能力立意, 考查学生的思维是不变的主旋律.课本“探究”栏目不正是给我们提供了一个集探究和文化于一体的完美舞台吗?由前面案例可以看到, 把课本中探究题渗透到日常教学中, 可以让完成教学任务与培养学生能力两不误.让学生在这个舞台上去学会自主、合作、探究的学习, 从中获取探究、创新等能力必定能让他们受用无穷.

5.2 加强引导, 激发探究兴趣

空洞的说教并不能激起学生持久的探究欲望, 诚如爱因斯坦所指出的那样:“兴趣是最好的老师, 它永远胜过责任感.”兴趣是学生积极探究、主动学习的原动力.但在实际教学中, 主动向老师提问题的学生并不多, 即使是有, 问的也大多是在完成课后作业时不能解决的问题;而对课本内容和数学本质等提出疑问的学生则更是少之又少.在教学中教师必须把培养学生“积极发现问题, 勇于提出问题”的意识和能力作为提高学生探究兴趣的首要环节, 加强引导学生如何开展知识的探究, 积极地在实际教学中创设问题环境, 让学生通过由特殊到一般, 运用类比、动手操作、合作探究、信息技术等有效方法, 培养学生的问题意识, 激发学生的探究兴趣.这是让学生因成功而获趣的必要条件.

5.3 合理探究, 坚决抵制假探究

在课本设置的探究题中, 如果教师将探究任务设计得面面俱到, 自然顺畅, 学生不需要花很大的心力即可完成任务, 摘到了“桃子”.这是学生最想要的, 也是数学教育的目标.但一方面如果教师为了节省时间或省事而过度限制学生朝某个方向探究, 这样就制约了其思维拓展, 影响了创造能力的培养.另一方面如果问题设计的坡度太大, 超出学生的“最近发展区”, 虽然时间是花了, 但学生收获无几, 最后仍然是教师在唱独角戏.这样做值得商讨.

另外, 课本中也有一些探究题设计的不太好.有的题目比较容易, 还达不到探究拓展的层次;另外, 探究题的设置偏少, 应该适当增加它的数量.增加一些能开拓学生思维、开发学生智力的有“嚼头”的好题, 本着精益求精的精神, 不断提升“探究”栏目的品位.

总之, 在中学数学教学中, 引导学生开展探究活动, 是培养学生创新精神和实践能力的重要途径.它有利于培养学生对数学的情感, 增强学生学习数学的自信和克服困难的意志力;有利于培养学生自主意识和合作精神, 促进学生的全面发展.既然新课程教材为我们提供了大量的探究题素材, 作为一线教师的我们必须先于学生对这些题型加以深入而系统的探究, 才能科学地引导学生开展探究活动, 才能行之有效的实施高中数学教学.

参考文献

[1]袁振国.教育新理念[M].北京:教育科学出版社, 2004.

[1]基于数学文化的探究式数学问题设计[J].数学教学研究, 2006, (6) .

[1]浅谈立体几何教学中的数学探究[J].高中数学教与学, 2008, (3) .

解析几何教学中数学思想的学习 篇8

一、思想引领方法,燃起学习数学思想的欲望

学习了解析几何的第一章直线以后,高二学生对待定系数法有了进一步的认识,在第二章圆的学习中,应该说是 “顺水推舟”了.

例1求与x轴相切,圆心在直线3x - y = 0上,且被直线x - y = 0所截弦长为2的圆的方程

分析待定系数法运用的过程,即是方程思想的运用过程. 有几个“等待”确定的未知量,即需由题设条件列几个方程. 在圆的方程中有三个量a,b,r只需由题设条件列出有关a,b,r的三个方程. 在方程思想的引领下,待定系数法的运用就非常自如. 数学思想是对数学理论的本质的认识,而数学方法则是其数学理论的具体化.

二、在碰壁中归纳,竟显数学思想的身价

数形结合思想,方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难,但在选修2 - 1的圆锥曲线中,对学生的数学思想,数学能力的要求就有了进一步提高. 如在求解离心率, 渐近线时,学生觉得有困难,这时在例题讲解时,归纳数学思想方法就很有必要. 以不变的数学思想方法解决形形色色的各种题,让他们胸有成竹,信心倍增.

例2设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为p,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_______.

分析求离心率即求的是a,c两量的关系,这个目标先应让学生清楚. 把求离心率的问题转化成求a,c两量关系问题,而从题设中得到的可能是a,b,c三量之间的关系, 此时只需要把b用a,c表示即可.

解一利用椭圆定义直接找a , c关系 .

例3 ( 2010浙江理科高考第8题) 设F1, F2分别为双曲线的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P ,满足且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为( ) .

A. 3x ± 4y = 0 B. 3x ± 5y = 0

C. 4x ± 3y = 0 D. 5x ± 4y = 0

再利用双曲线定义即找到了a,b,c三量关系,

归纳: ( 1) 题中运用了数形结合思想,转化思想,求离心率,渐近线问题转化成求a,b,c三量关系.

( 2) 寻找a,b,c关系,通常从两个方向进行“几何与代数”,分析题设条件,充分挖掘几何条件.

通过实例归纳,体会数学思想,让学生从心底感受到在不变的数学思想下,方法才得到实现,实实在在感受到数学思想力量的强大.

三、在反思中巩固,体会数学思想的力量

1. 多法并举,不断深化

方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向,这两种方法都要求学生在平时训练中,尝试,比较. 在练习,比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性,利用数形结合时要充分利用几何性质,体会它的优越性. 通过一题多解,一题多变,拓展延伸的训练,引导学生多方位,多视角思考问题,发现问题. 教会学生如何进行多角度转化,如何获得解题思路,掌握数学思想.

2. 纠错反思,及时巩固

“失败是成功之母”,错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法,以后会运用这种思想方法的时候要注意什么? 解题后反思能够培养学生良好的思维品质,既可促进“双基”的掌握,又能加强知识的有效迁移,是提高解题能力的重要途径,有了良好的思维品质,就有了良好的思维习惯,通过反思让学生在不断的知识联系和整合中,丰富认知结构中的内容. 通过不断地反思总结,才能及时巩固并运用数学思想,才能在解题时做到有的放矢,思维优化.

四、在运用中提升,感受数学思想方法的强大

此题巧用了a2+ b2的几何意义. 把看似函数零点的问题,从几何角度,转化成求点到直线的距离问题,利用转化思想使题目焕然一新,当然还可用函数,方程求解. 让学生在运用中感受数学思想的强大,感受成功的喜悦.

解析几何教学 篇9

关键词：高等数学,向量代数,空间解析几何,思维能力和品质,空间想象力

同济版《高等数学》下册的第一章就是向量代数与解析几何的内容. 从多年教学来看, 同学们在学习这部分内容时经常被一些问题所困扰. 本文谈谈普遍的一些问题并给出一些学习建议. 希望能提升学生的思维能力和品质, 主要包含几何问题和代数手段相互转化的能力以及空间想象能力.

首先, 让学生注意本章可分为两块内容:向量代数和解析几何. 向量代数是解析几何的基础 (特别是直线、平面、线面关系等内容需要向量代数) . 有了向量的运算规则, 很多几何问题可以非常方便的用代数化手段来解决.

书本对向量代数这一块的安排是先看几何直观 (有向线段、四边形法则等) , 然后是向量的坐标表示, 即代数化这样的次序是人们认识理解事物的自然次序.

需要让学生领会代数化的好处, 可以让直观的东西变为更加理性、精确、定化.

避免直观的粗糙和不严谨. 有了坐标表示, 就知道向量的精确位置. 通过向量加减法的坐标表示即可知道向量运算之后的精确位置.

向量的点积与叉积需要从物理背景开始引入. 这样, 学生不会感觉太突兀, 学习起来也更有兴趣, 成为有源之水接着是点积与叉积的坐标表示. 点积很简单, 容易计算. 关键是叉积, 借助行列式的形式便容易记忆. 而学生在这个阶段还没学到行列式, 因此有必要在课堂上补充一下二阶与三阶行列式的知识, 磨刀不费砍柴功, 此处不可省略.

另外, 对于点积和叉积的运算性质要特别注意异同点点积有交换律, 而叉积是反交换律;它们的结合律都是指常数与向量乘积时常数的位置灵活;而向量直接做点积叉积时运算次序不可随意变化!

其次, 让学生注意解析几何中的平面与直线这两块内容离不开向量的运算. 对平面关键是法向量, 直线的关键是方向向量. 线线 (面) 的平行、垂直都通过法向量和方向向量来判断, 即通过坐标的运算判断. 会利用已知条件求直线和平面方程.

对于直线有两种主要的形式:点向式和一般式. 学生应该掌握两者的相互转换. 其中包含了向量的重要运算. 有一类问题是关于线线有交点或线面有交点的情形, 需要让学生掌握此类问题的通用做法是设出交点坐标, 通过参数形式来设, 这样只有一个参量t需要求, 大大地简化了计算.

最后, 对于解析几何中常见曲面的方程和图形的学习, 老师需要利用这部分内容有意识引导学生多做空间想象.基于曲面方程, 利用截痕法、旋转法、坐标拉伸法粗略画出示意图. 掌握常见图形的基本形状对于后面积分的学习是非常必要的. 所以这里是提高空间想象力的好机会, 对于今后的一些工程作图、图纸设计等工作也是有很大的促进作用.

总之, 需要引导学生重视《高等数学》下册的这一章内容的学习, 以提升能力为根本目标, 掌握基本理论和方法, 塑造良好的思维品质. 学生意识到该部分对能力提升的意义便会提高学习兴趣和自主性, 从而提高学习效果, 教与学互相促进, 有利于整个高等数学的学习. 达到真正教书育人的目的.

参考文献

[1]潘少华.数学后续学习能力的关注和培养[J].数学教育学报, 2013, 22 (3) :89-91.

[2]付军, 朱宏, 王宪昌.在数学建模教学中培养学生创新能力的实践与思考[J].数学教育学报, 2007, 16 (4) :93-95.

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[4]郭民.高师院校代数与几何课程改革的探索与实践[J].数学教育学报, 2007.16 (4) :90-92.

[5]徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报, 2000, 9 (2) :1-2.

[6]王成.几类积分的教法探讨.数学学习与研究, 2013 (17) :49-50.

解析几何教学 篇10

关键词：空间解析几何,向量,直线,平面

《空间解析几何》§1空间向量及其运算、§2空间平面和直线方程内容是学生学过的简单内容, 并且是为学生推广学习及后面多元函数的积分做准备。为此, 考虑对这两节内容的课堂教学处理:抛开书本内容的次序, 考虑从点的集合论角度出发, 从简单入手, 由一点扩到多点, 从一维空间到多维空间不同的表现形式, 引出点、线、面的表示及其几何意义, 目的使学生系统完整的认识和掌握点线面的知识。具体做法如下。

1点

点在不同的空间有不同的表示, 从一点开始:

在一维空间, 它与数轴上的点对应, 表示是取值取自于实数域上的点。

在二维空间, 可以通过其位置 (坐标或向径) 对应表示, 为了表示这一点, 建立平面直角坐标系, 或极坐标系, 使用有序实数 (x, y) , (ρ, θ) 或向量 (xi+yi) 表示。这里, 为了表示同一点的两个坐标之间的关系, 从其几何关系不难得出:x=ρcosθ, y=ρsinθ关系式;同时, 重点强调学生不太熟悉的内容:向量的概念和性质、几何意义;

在三维空间, 与二维空间同样的考虑, 建立坐标系—— 空间直角坐标系, 或柱面坐标系, 或球面坐标系, 坐标表示点为 (x, y, z) , (ρ, θ, z) , (ρ, θ, φ) 或向量表示 (xi+yi+Zk) , 几何得出同一点不同的坐标之间的关系等等。

以此类推, 可推广研究任意维数的空间中的点的表示。

2线

线由点构成。几何描点即可得到线。如何表示线呢?众所周知, 曲线上任一点的坐标都满足方程, 不满足方程的点不在曲线上。 利用线的这一特性, 我们可推导出它的坐标表示。

由简单入手, 最简单的是直线:

在二维空间中, (1) 对于空间中的一条直线, 在直线上任取两点 (x1, Y1) (x2, y2) , 通过两点的向量运算可得到直线的方向向量 (x2-x1, y2-y1) , 通过直线过的点 (x1, y1) 及得到的直线的方向向量 (x2-x1, y2-y1) , 都可使用两点式确定给出表示直线的直线方程= (y-y1) / (y2-y1) = (x-x1) / (x2-x1) (即直线上任一点与两点中的一点确定的直线与两点确定的直线方向相同) ;或者通过几何计算直线的斜率tanθ= (y2-y1) / (x2-x1) , 使用点斜式给出直线方程y-y1= (y2-y1) / (x2-x1) (x-x1) 。注意, 两点式和点斜式方程是恒等变形而已;除此表示之外, 由两点式方程不难给出直线的参数方程表示, 即取比值作为参变量t得到{x=x (t) , y=y (t) }, 即{x=x1tt (x2-x1) , y=y1+t (y2-y1) }。 (2) 对于空间中的两条直线, 他们的位置关系无外乎平行, 相交或者垂直。若两条直线平行, 特点:两条直线方向相同, 因此, 对应直线方向向量对应成比例;若两条直线垂直, 从代数的层面考虑, 即对应直线方向向量点乘积为零, 从而引出§1向量的运算及其性质。这里要详细讲解。

在三维空间中, 与二维空间同样的考虑, (1) 对于空间中的一条直线, 在直线上任取两点 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) 确定给出两点式直线方程 (z-z1) / (z2-z1) = (y2-y1) = (x-x1) / (x2-x1) , 及相应的直线参数方程{x=x (t) , y=y (t) , z=z (t) }。没有本质的变化。

以此类推, 可推广任意维数的空间的直线研究。

3面

面也是由点构成的。几何描点即可得到面。如何表示面呢?仍然遵循曲面上任一点的坐标都满足方程, 不满足方程的点不在曲面上。利用面的这一特性, 我们可推导出它的坐标表示。

最简单的面是平面, 仍然从点出发, 下面给出平面的方程表示:

从学生认知的角度, 都知道, 两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点, 以及不共线的三点确定一个面, 但无论哪种情形, 都可归结为可取到不共线的三点确定一个平面, 因此, 下面着重解决不共线的三点确定表示平面问题:大家都知道, 确定平面的关键要素是只要知道面上的一点和固定面不动的“杠杆” (即面的法向量) , 这个平面就完全确定了, 由此, 面上的一点不难从三点中任选一点即可, 剩下的问题转变为如何由三点确定平面的法向量问题, 仍然从代数的层面考虑, 由三点的向量运算可确定法向量, 从而引出本章§2的知识点代数的差乘积运算 (x3-x1, y3-y1, z3-z1) × (x3-x2, y3-y2, z3-z2= (1, m, n) 。这里重点讲授差乘积运算的定义、性质;并且使用点法式 (平面的法线垂直于平面上的任一直线 (1, m, n) · (x-x1, y-y1, z-z1) =0确定平面方程1 (x3-x1+m (y- y1) +n (z-z1) =0也给出了。

4推广点的集合的考虑

在一维空间中, 点的集合表示的是数轴上的区间。

在二维空间中, 点的集合表示的是平面上的区域。

在三维空间中, 点的集合表示的是空间上的区域。

对以上点的集合, 我们从微观研究, 相应微小部分即为将来要介绍的面积元、体积元的知识, 它是按照通常的做法, 我们统称为是格子法 (即坐标变量取常量 (例如在二维空间直角坐标系下使用平行于坐标轴的直线去分割得到的格子) ) 得到。当然, 此处是扩展学生的思维, 略讲, 明白思想, 在后面用到的地方细讲。

总之, 笔者通过这样的教学思路进行教学实践, 并与传统课堂按照课该次序进行讲授比较发现:学生的听课状态明显发生了改变, 学生认真听并且能够坚持听下去的人数明显增多了, 学生的求知欲增强了, 听课率提高了, 并且从学生辨识方程在解析几何中的表示反映出学生听课效果明显改善。由此启示我们:从学生的认知角度出发, 以教给学生完整的知识体系, 过程体现课程的思想方法不失是我们课堂教学的一个有效教学设计思路。

参考文献

[1]斯蒂芬·弗莱彻·休森.A Mathematical Bridge-An Intuitive Journey in Higher Mathematics.数学桥——对高等数学的一次观赏之旅[M].邹建成, 杨志辉, 刘嘉波, 译.上海科技教育出版社, 2010.

[2]张汉林, 范周田.高等数学教程 (第2版) , 下册[M].北京:机械工业出版社, 2011.

[3]James Stewart, Calculus (Seventh Edition) .微积分 (第7版) 上册[M].高等教育出版社, 2014.

解析几何教学 篇11

众所周知，数学学习注重基础性和连续性，数学教学的目的是培养和训练学生的思维，提高数学能力，从而提高分析解决问题的能力．目前，学生的课业负担太重，学习力不从心。国家教育部强调减轻学生负担，提高教学效率。社会和家长呼吁减轻学生负担，关心青少年身心健康。作为一线的教师，提高课堂教学效率是我们义不容辞的责任。教学中如果教师能够有意识的进行培养和训练，把零散的数学知识点，按其内部的联系分类，再把它们连成线、结成网。使所学的数学知识系统化、网络化，就可以大大的减轻学生学习过程中的记忆负担，激发和培养学生学习数学的兴趣，强化学生思维的敏捷性，从而提高解决问题的能力，以至达到提高教学成绩的目的。

平面解析几何是高中数学课中的一个重要部分。研究它的教学方法，采取良好的教学方式，不仅可以使学生牢固地掌握知识，而且对培养他们灵活地应用知识，提高思维能力起着重要的作用。因此，在教学中应注意如下几点。

1、教学过程要认真“描点”。作好“连线”的准备。描点，即强化知识点，具体到每课时、每章节、每单元[1]。所涉及到的每个知识点都要认真对待，使学生掌握知识的内容、重点、难点、步骤等。以至把“点描实、做大，使以后的连线“有路可走”。同时要注重知识点的前后延伸，作好“连线”前的准备。在强化知识点的内容、重点、难点的同时，要有意识地把该内容向前后延伸。总结强调该内容是哪些知识的延续和应用，同时又是以后的哪些知识的准备和基础。

例如，在对“直线的斜率”的教学时，首当其冲的任务是让学生掌握斜率的定义、范围、作用、计算方法、性质等。但同时应该研究斜率的基础、计算方法的根源，即斜率与以前的知识的联系；研究和探索斜率对以后学习的作用，斜率在直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程中的作用，以及两直线的位置关系、两直线的夹角等知识中的作用。以便为知识的归类、连线作准备。

2、在知识的复习和应用时要尽力“连线”，使“点”成为“线”的元素。在最初的教学中，学生学习到的知识点是零散的、不连惯的。学生记忆这些零乱的知识非常困难，可能记住甲忘记乙、记住东模糊西。这将让学业负担本来就繁重的学生雪上加霜。为了减轻学生的记忆负担，教学时要力求把知识归类、连线，使知识类别化、系统化。让学生在学习中掌握一点知道一串、抓住线头把握一线。

例如在上例中，只要引导学生把直线的倾斜角一一正切——斜率——斜率计算公式——直线方程的形式——直线的位置关系——直线的交角??，通过知识的内在联系把它们连成一条线。这样，学生在复习时只需掌握线上的任意一个概念，就可以把所有的有关知识回忆起来，再现全部知识。即可“以点带线”。

3、教学中要引导学生把“线”结成“网”，以达到“以点带面”的记忆效果。数学知识的主线有若干条，副线也有若干条，所有的线横纵交错。每个知识点在前后向同类主线无限延伸的同时，也在向副线延伸或辐射。甚至在向其他科目、其他领域延伸。使众多的知识点、知识线，密密麻麻地形成一张无边无际的大网。

在教学过程中，要帮助和引导学生结好这张网，把这张网做大、做密，减少断点。如果学生能够把知识都连成网，那么，在記忆时，无论从哪一点入手，都可以把握整张网，即可以“以点带面”。从而大大的减轻记忆的负担，提高记忆的速度和质量。以至提高学习的效率。这张网越密，人的思维就越严密、越敏捷；这张网越大，人的头脑就越灵活、知识就越渊博。

事实上，做好这张数学的知识网，就不仅仅是数学的网。它将向物理、化学、生物、人文科学等知识网辐射和延伸，它将包含天文、地理、体育、艺术等知识。而且，它还向人的气质、性格、涵养辐射。

解析几何教学 篇12

尽管高等数学对培养相关专业学生的综合素质能起到举足轻重的作用, 但因它的抽象性、逻辑性和严密性, 让很多学生望而却步. 加之, 现在很多高等院校在向“实用型, 应用型”进行转型尝试, 我们的社会又存在些浮躁和急功近利的思想, 这促使了更多的学生不注重高数理论的学习, 而只关注知识的应用. 无形之中, 这些主客观因素给我们本就难以开展的高数课堂, 带来了新的困难和挑战. 作为讲授高等数学课程的教师, 如何在最大限度地保持高数的知识和逻辑体系的基础上, 减少理论的教学, 有针对性地增加应用的内容, 并有机地融入到高数课堂, 这是一个值得我们长期思索的问题.

考虑到高等数学的内容比较多, 我们将内容限制在空间解析几何部分. 通常, 我们将高等数学课程划分成五大板块: 一元微积分, 空间解析几何, 多元微积分, 级数, 常微分方程. 空间解析几何这部分内容在整个高等数学课程中所占的篇幅应该是最少的, 但它是学习多元微积分的基础. 这部分内容看似比较直观, 但如果缺乏空间想象力的话, 还是比较抽象的. 另外, 尽管这部分内容与我们生活的客观世界息息相关, 但是学生缺乏观察、发现和思考. 这就要求教师在课堂内外通过不同的方式方法来培养学生的空间想象力和思维能力, 启发他们去观察和分析客观世界, 进而更好地解决本专业涉及的这方面知识的数学问题. 故下面笔者结合自身的教学情况, 仅针对空间解析几何这部分知识, 从三个大的方面肤浅地谈谈如何搞好高等数学教学, 以期达到抛砖引玉的目的.

一、知识的选择与处理

1. 精简课本内容, 使其具有逻辑系和系统性

在这章内容的处理上, 我们的考虑如下: 为研究空间几何图形, 我们采用代数的方法. 首先引入空间直角坐标系, 故空间中的点与一个三元数组形成一一对应, 进而空间几何图形与一个数集相对应. 为后续研究的简便性, 引入向量的概念及其相关运算. 基于空间直线和平面的几何特征, 结合向量的相关性质, 给出空间直线和平面的方程及其位置关系. 最后由空间图形与代数方程的关系, 给出一些常见的空间曲线和曲面的方程. 在具体的教学过程中, 我们将该章分为以下四讲: ( 1) 空间直角坐标系; ( 2) 向量及其相关运算; ( 3) 直线和平面的方程及其位置关系的判定; ( 4) 常见的空间曲线和曲面.

2. 以数学史为导入, 蕴含的数学思想与方法贯穿始终

每个人都是从听故事中长大的, 故而数学故事最能激起学生学习数学的兴趣. 然而, 数学故事不同于文学作品, 数学典故和数学知识的来龙去脉的讲演固然重要, 重点却应该是了解蕴含其中的数学思想和方法. 空间解析几何始于笛卡尔和费马研究, 但笛卡尔侧重从轨迹出发后寻找它的方程, 而费马却是从方程出发研究它的轨迹. 可谓是异途同归, 两者都沟通了图形和方程的联系, 体现了数形结合的思想. 故在教学中, 不仅要求学生能将空间几何图形与对应的方程互相转换, 还要能将空间几何图形之间的关系与对应的方程之间的关系进行互相转换.

3. 课堂内容丰富多彩, 讲授方式灵活多变

教师课堂讲授内容的来源大致可归结为如下四个方面: 课本的知识, 相关的历史, 生活实际的问题, 专业上的应用. 虽然课堂上主要讲授的是课本的知识, 但是为让学习更具趣味性、思考性和应用性, 教师通常需要将上述的内容进行有机的融合. 从相关的历史中, 学生可了解知识的来龙去脉, 感受思想和方法上的变化; 从生活中的问题里, 学生可感受到高数就在身边, 它真实地存在于我们的生活之中; 从专业上的应用上, 学生能领悟到高数在专业学习中的作用, 进而激发他们学习数学的热情. 在选择好的内容后, 教师还需要充分发挥自己的能动性, 通过自己对这些内容的理解并进行恰当地编排, 以不同的方式方法进行讲授.

例如: 在讲授空间直角坐标系时, 我们是这样考虑的:

( 1) 先用多媒体呈现一个场景: 有一个6 层的大型商场, 外型像一个超大的长方体, 内部呈“回”字型, 中间是有顶的大厅. 你现在要去该商场不同楼层且不同方位的6 个商铺采购, 请问你根据商场一楼的各楼层的商铺分布平面图, 如何对这些商铺的空间位置定位?

( 2) 让学生互相讨论, 抽几个同学来回答. 然后启发他们怎么从数学的角度去解决.

( 3) 引入直角坐标系的相关概念. 通过教师笔直站在墙角, 左右手呈90 度, 以身体所在的直线为z轴, 以左、右手所在的直线分别为x、y轴, 头、左手、右手所指的方向为相应轴的正方向, 从而将大楼一分为八, 对前面的相关概念给出一个直观的认识. 进而为提出的问题提供一种解决方法.

( 4) 让学生体会这里面蕴含的思想和方法, 再让他们自己举出生活和专业上应用这些思想和方法的实例.

二、综合运用现代化教育技术及资源

1. 合理使用多媒体教学

对于点、线、面等简单的图形, 教师在黑板上容易实现, 与此同时学生也可在稿纸上进行练习. 但对于稍微复杂的二次曲面, 在黑板上绘图就费时费力, 涉及图形的翻转、旋转, 曲线生成曲面的动态演示, 曲面和曲面的交线等问题时, 就只能靠个人的空间想象能力了. 很多学生就会在想象的空间里迷失, 因而课堂上就难以达到预期的教学效果. 这时, 就要借助于多媒体进行静态与动态的展示, 从各个角度演示空间几何图形, 最好能以动画的形式演示这些图形的形成过程. 另外, 结合现实生活中一些应用曲面的实物和图片, 来进一步说明图形的形状与特征, 以此加强学生对图形的认识和空间想象力的培养.

2. 引入数学软件的教学

尽管计算机技术是每位大学生必修的课程, 但是对于绝大部分同学而言, 解决数学问题仍然停留在纸笔的阶段, 几乎很少借助于计算机. 但可以预见, 信息化快速发展的未来, 越来越多的人将会借助于计算机来完成自己的工作, 从而某些数学计算、数据和图形处理与加工等问题只需人们利用相应的数学软件来解决. 为此, 数学软件的教学是未来的一种必然趋势.

目前, 非数学专业使用得最多的数学软件是Matlab ( Matrix Laboratory) . 空间曲线、柱面、旋转曲面、二次曲面等的绘图动能通过该软件实现, 还能通过动画的形式演示曲线、曲面的形成和变化过程, 以及完成对图形的翻转和旋转等. 引入数学软件的教学, 不仅将他们从一些复杂的计算和图形处理等问题中解脱出来, 而且能让学生更好地理解所学知识, 提高用计算机处理数学问题的能力, 进而激发他们的学习兴趣.

3. 适当使用手机和电脑进行高数学习与讨论

随着经济水平的提高和科技的快速发展, 很多大学生都购买了电脑; 至于手机, 几乎所有的在校大学生人手一台, 而且大部分都是智能手机. 可是有很大一部分同学使用电脑和手机的主要目的是玩游戏, 或看连续剧, 或聊天. 大把的时间都这么浪费了, 很是让人痛心. 让我们的学生尽可能地利用手机和电脑来进行学习, 这显然是不太现实的. 但我们的教师在课堂上可利用一些手段和方法引导学生, 将他们在手机和电脑上的关注的内容适当地进行转移. 比如有针对性地提供高数教学课件和视频的网址 ( “国家精品课程资源网”值得推荐) , 让他们课后观看和讨论预留的相关问题; 利用QQ或微信或公共邮箱建立高数交流圈, 让学生及时地提交好的高数资料或网络资源链接, 以及遇到的高数难题并相互讨论; 适当地推荐一些寓教于乐的关于高数的文章和益智游戏. 在空间解析几何这章中, 我们向学生介绍了《平衡球》、《3d迷宫》两款益智游戏, 产生了比较好的效果. 学生在玩的过程中, 不仅收获了快乐, 无形中也培养了他们的空间想象能力.

三、以学生为主体

1. 穿插自学环节, 诱导学生思考并解决问题

高等数学作为一门基础课程, 教师不仅要让学生掌握相关的数学概念、定理、公式和计算方法, 还要培养学生的自学能力、独立思考和解决问题的能力, 这也是高等教育培养目标之一. 但因高等数学的教学任务重, 课时少, 如何在完成教学任务的同时, 培养学生这方面的能力呢?

对于一些和高中数学有衔接的内容或难度不大的新内容, 可以考虑让学生在课堂上花一些时间来自学, 然后通过一些问题让他们积极思考并解答, 最后让他们提出还没搞懂的问题. 下面以空间的直线方程这部分内容为例. 在学生自学这部分内容之前, 我们将一些问题在黑板上或借助于多媒体进行展示, 让他们带着这些问题边看边思考. 问题设计如下:

( 1) 直线的几何特征是什么? 在给定的直角坐标系下, 如何利用直线的几何特征, 转化为相应的代数方程? 反过来, 什么样的代数方程表示一条空间直线?

( 2) 空间直线的方程有几种不同的表达形式? 相互之间如何进行转化? 从几何上, 怎样更好地理解这些表达式?

( 3) 对于直角坐标系x Oy平面的直线, 在空间直角坐标系中如何写出它的方程, 两个方程有什么异同?

2. 独立思考为主, 互相讨论、协调合作为辅

培养学生的独立思考和分析能力, 是高等数学教育培养的一个重要目标. 确实, 不管在教学的过程中, 还是作业的布置, 或者考核的方式上, 教师在这方面做了很多努力, 但是对于团队学习和协调合作却很少触及. 自己的独立思考有利于自身思维的发展和知识的认知, 但即使对于同样的内容, 每个人的学习的方式方法、思维、表达等有所不同, 而通过团队的学习、探讨和合作, 不仅可学习别人好的思维模式、处理方式等, 也可发现自身在学习上的问题, 还可培养同学之间的合作意识与协同完成任务的能力.

因教学的时间有限, 我们主要在以下三个地方实施团队讨论学习模式: ( 1) 自学后, 回答教师设计的问题; ( 2) 有多种解法的习题; ( 3) 每章学完后, 该章的具有逻辑结构的知识脉络图. 课堂内, 我们以邻近的3 - 5 人为一个学习小组; 课堂外, 我们以同一个宿舍的所有成员为一个学习小组 ( 一般是4 名同学, 因我院的学生是四个人一个宿舍) . 对于学习小组在课堂讨论的结果, 我们会抽查几组在黑板上进行黑板秀或口头陈述, 最后给予点评, 从而让他们比较自己组和别组同学的结果, 吸收别人好的想法和方法. 对于课后讨论的结果, 我们对做的好的小组予以表扬, 利用多媒体对他们的结果进行展示, 另外进一步完善他们的结果, 补充一些他们没有想到的方法.

3. 理论联系实际, 培养动手能力

通过将理论联系实际, 借此来培养学生的动手能力, 进而提高学生的综合素质. 因高等数学里的数学思想和方法有其普性, 这门课程又是众多专业专业课学习的基础, 所以教师有必要将动手能力的培养提高到一个新的高度, 从而为专业的学习与应用奠定坚实的数学基础. 然而, 对于现在的大学生而言, 让他们从“看一看、摸一摸、摆一摆、做一做”中去摸索和探讨数学的相关概念, 似乎显得有些难为情, 认为这是小学生才干的事. 如果给一个实际的问题, 让他们用所学的数学知识来解答 ( 通常要建立数学模型) , 他们中的部分人又难以解决. 可以说, 现在的很多学生都是“眼高手低”.

为培养学生的动手能力, 教师可通过具体的例子来进行操作. 在讲到柱面和旋转曲面时, 可让学生观察教室的相关物品, 找出具有柱面和旋转曲面特征的物体, 分析相应曲面的母线、准线、旋转轴等, 反过来利用这些曲线来生成柱面和旋转曲面, 最后在稿纸上画出这些图形. 在讲二次曲面时, 教师可事先让空间想象能力不好的同学准备几块橡皮泥, 在课堂上讲完相关的概念并通过多媒体展示后, 让他们用橡皮泥来捏一些二次曲面的图形, 多角度地进行观察, 以此来加强图形的认识和理解. 与此同时, 让空间想象能力好的同学在脑海中生成这些曲面的图形, 让这些图形在脑海中产生旋转、翻转甚至扭曲, 以此进一步提高空间想象能力. 课后, 我们让学生四人为一组, 利用所学习的空间曲面和曲线, 设计一个具有美感和实用性的生活用品, 例如水杯、饭盒、脸盆等, 可提交实际的作品也可以画一些设计示意图, 以此计入学生的平时成绩.

以上只是结合教学实践概括的一些教学想法. 我们深知我们在高等数学教学之路上, 仍然任重而道远.

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