等面积法

等面积法（共3篇）

等面积法 篇1

针对同一个图形,从不同的角度计算它的面积,并借助面积相等得到一个代数恒等式的方法,我们称为面积法. 面积法作为数形结合思想中常用的方法,不仅可以验证乘法公式,而且在探求新知的过程中也有着广泛的应用.

一、引例

引例1如图1,现有边长为a、b、c的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张,用它们拼成如图2所示的长方形,则可以验证的代数恒等式是_____________.

【分析】图2中的长方形的面积既可以整体计算,也可以化整为零,分别计算后相加,于是得到代数恒等式:

引例2按照同样的思路,用所给纸片拼成如图3所示的边长为(a+b+c)的正方形,则验证的代数恒等式是____________.

二、应用

应用1求值

例1已知:a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.

【分析】要求a2+b2+c2的值,(1)从数的角度思考,运用引例2中的结论就可以解决问题,即a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2ac+2bc)=112-2×38=45;

(2)如图3,从形的角度看,求a2+b2+c2的值,实质就是求三个边长分别为a、b、c的正方形面积之和,已知条件中的“a+b+c=11”,就是大正方形的边长是11,“ab+bc+ac=38”就是三个面积分别为ab、bc、ac的长方形面积之和为38,利用图形面积之间的关系,即可轻松求解.

【评注】在解题时,我们可以依据条件边读题边画图,由a+b+c=11画出一个正方形,设其边长为11,并在相邻的两边上分别取两点,将正方形的边分为互不相等的三条线段a、b、c,然后分别过这两点作对边的垂线,将大正方形划分为9个长方形,用含a、b、c的字母分别表示出它们的面积后,答案一目了然,其实质就是把面积计算两次.

应用2因式分解

例2用图1中给出的若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个宽为a、长为b的长方形纸片,请你拼出一个大长方形(画出示意图),并利用图形间的关系,将多项式2a2+5ab+2b2因式分解.

【分析】由多项式2a2+5ab+2b2,我们可将其分解为2a2、5ab、2b2三个部分,以形释数,把2a2理解成边长为a的正方形纸片2张,5ab理解成宽为a、长为b的长方形纸片5张,2b2理解成边长为b的正方形纸片2张,通过实验操作拼图如下(图4),从整体(大长方形)来看,其面积可以表示为:(a+2b)(2a+b),而这个长方形就是由零散的九张纸片拼成的,利用其前后面积相等关系可以得到2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).

【评注】如果我们不通过拼图直接对多项式2a2+5ab+2b2进行因式分解,很多同学显得无从入手(可用“十字相乘法”),但是借助题干中的拼图经验,解决问题便可从容许多,所以我们在解题时需要多关注知识前后之间的联系.

三、拓展

拓展1以直角三角形为载体

例1如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90° ,CD⊥AB, 垂足为D,BC =3,AC =4,AB=5,试求CD的长

【分析】从计算Rt△ABC面积的思路出发,我们可以以BC为底、AC为高进行计算,也可以以AB为底、CD为高进行计算,易得:

拓展2以平行四边形为载体

例2如图6,平行四边形ABCD的周长为28,DE、DF分别为AB、BC边上的高,若DE=3,DF=4,求AB、BC的值.

【分析】平行四边形ABCD的面积等于底乘高,我们可以把AB作为底,也可以把BC作为底,利用其面积“自等”关系列出方程求解.

【评注】所谓“高不离积、积不离高”,就是见到高要能想到计算面积,反之,计算面积也离不开高. 把面积计算两次是面积法的根本,针对同一个图形,从不同的角度有两种不同的计算面积的方法,并以此建立等式关系解决问题,所以我们要善于捕捉和运用这样的条件.

由以上分析我们不难看出,面积法作为一种常见的数学方法在本章节的学习中有着重要的应用,以图形为载体,从不同角度对图形面积进行计算,给代数恒等式注入了生命与活力,体现了数与形的完美结合. 我们在今后的学习中一定要注意掌握与运用,以期举一反三、触类旁通.

巧算阴影面积法 篇2

一、等积变形法

“等积变形”就是将所求阴影图形或阴影图形中的一部分转化为面积相等的规则图形,在此基础上进行求解的方法称为“等积变形法”.

例1 ( 济南市2000) : 如图6,A是半径为2的⊙O外一点,OA =4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连接AC,则图中阴影部分的面积等于()

A.2/3π B.8/3π C. π D、

分析: 由图中可知S阴影= S△ABC+ S弓形BC,但S△ABC不好求. 连结OB、OC,由BC∥OA可知△ABC和△OBC同底等高,即S△ABC= S△OBC,所以S阴影=S扇形OBC

解: 连结OB、OC

∵AB是是⊙O的切线,∴OB⊥AB

在 Rt△AOB 中,∵ OA = 4,OB = 2

∴∠OAB = 30° ,∠AOB = 60°

∵BC∥OA,∴∠OBC = ∠BOA = 60°

∵ OC = OB

∴△OCB是等边三角形

∴∠COB = 60°

例2 ( 内蒙古东四盟市1999) : 如图7,⊙O的内接等腰梯形ABCD的下底AB恰好为⊙O的直径,∠CAD = 15°,若⊙O的半径为R,则图中阴影部分的面积等于______

分析: 显然有S阴影= S△ADC+ S弓形DC,与例6相似,有S△ADC= S△ODC,∴S阴影= S扇形DOC

解: 连结OD、OC

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴ AB∥DC,∴ S△ADC= S△ODC

∵∠CAD = 15°

∴∠DOC = 2∠CAD = 30°

二、迁移变形法

“迁移变形”就是将不规则的阴影图形或其中的某一部分通过平移、旋转或对折等方法进行迁移变形,使不规则的阴影图形转化为规则图形,这种方法称为“迁移变形法”.

例3 ( 2012日照市) : 如图8,正方形OCDE的边长为1,阴影部分的面积记作S1; 如图9,最大圆半径r = 1,阴影部分的面积记作S2,则S1_____S2( 用“>”,“< ”或“= ”填空)

分析: 由图8可知S阴影BED= S空白ACD,可将阴影BDE通过对折迁移至空白ACD处,所以S阴影= S长方形AFDC,图9中可将两个小阴影扇形通过旋转迁移构成一个大阴影扇形即可.

解: 图8中,连结OD

∵四边形OCDE是边长为1的正方形

∴ AF = DE = OC = 1,∠BOA = 90°

∵OB = OA = OD = 扇形半径r

在 Rt△OCD 中,

又∵OD是正方形OCDE的对角线

∴∠BOD = ∠DOA = 45°

∴弧BD = 弧AD,不妨设扇形AOB的半径为r)

图9中,由于x轴⊥y轴、最大圆半径为1

∴将两个小扇形迁移构成一个大扇形

例4 ( 2000北京石景山) 如图10 - - 13中的四个正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的图形的个数()

A. 0B. 2C. 3D. 4

解析: ∵以图12为标准,只有图10、图13可通过平移、旋转等迁移变形成图12的图形,∴答案选C

三、构造方程法

“构造方程”就是遇到一些具有对称类型的阴影图形时,可将阴影图形中相同部分的面积分别用一个未知数表示,然后构成方程或方程组进行求解,从而达到求出整体阴影面积的方法,称之为“构造方程法”.

例5如图14,正方形的边长a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形( 阴影部分) 的面积为()

A. πa2- a2B. 2πa2- a2

C.1/2a2- a2D. a2-1/4πa2

分析: 由于图中已知条件太少,阴影部分很难求出来,但仔细观察,发现图形是对称图形,所以可用构造方程法求解.

解: 设非阴影区为4x,阴影区为4y,由图中不难看出有: 4x + 4y = S正方形; x + 2y = S弓形,将它们构成方程组,并解方程组即可.

∴答案选C

例6 ( 1998宁德地区) : 如图15,以正三角形的三边为弦作弧交于△ABC的外心O,则所得菊花形( 阴影部分) 的面积是()

A. 两个三角形的面积减去三个弓形的面积;

B. 一个三角形的面积减去三个弓形的面积;

C. 三个弓形的面积减去一个三角形的面积;

D. 三个弓形的面积减去两个三角形的面积.

分析: 与例10相似,阴影部分都是对称性图形,因此可构造方程组求解.

解: 不妨设三角形的非阴影部分的面积为3x,阴影部分的面积为3y,则有: 3x + 3y = S△ABC,和x +2y = S弓形,

将它们构成方程组.

解此方程组,得:

3y = 3S弓形- S三角形

∴答案选C

四、整体拼凑法

“整体拼凑”就是在求阴影面积时,虽然阴影图形是由一些规则图形构成,但求解这些图形面积时却非常困难情况. 此时可将这些分散图形通过拼凑后,看成一个整体来求解,这种方法称为“整体拼凑法”.

例7 ( 2006遵义市) : 有六个等圆,按甲、乙、丙三种形式摆放,使相邻两圆相互外切,且如图所示的连心线分别构成六边形,平行四边形和正三角形,将圆心连线外侧的6个扇形( 阴影部分) 的面积之和依次记为S、P、Q,则()

A. S > P > Q B. S > Q > P

C. S > P 且 S = Q D. S = P = Q

分析: 图中单个扇形面积不好求,由于图中六个圆都是等圆,所以可将空白扇形和阴影扇形分别看作整体,可得S阴影= S六个圆- S空白扇形

解: 图16中,∵六边形内角和 = 720°,∴S空白扇形= S2个圆

∴S阴影= S6个圆- S2个圆= S4个圆

同理可得: 图17、18中,S阴影= S6个圆- S2个圆= S4个圆

∴ S = P = Q

等面积法 篇3

电力系统中存在许多电感和电容元件,其中变压器、互感器、发电机、消弧线圈、电抗器、线路导线电感等均为电感元件;线路导线的对地和相间电容、补偿电容器、高压设备的杂散电容等均为电容元件。这种包含非线性元件的电力系统组成了非线性动力系统。当对系统进行某种操作或系统发生故障时,电容和电感元件形成的振荡回路可能产生铁磁谐振现象,引起铁芯的深度饱和,进而会导致系统中某些元件出现过电压危及设备的绝缘,产生过电流引起设备过热甚至烧毁[1,2]。据统计,胜利油田仅在2008年互感器的烧毁事故16次,烧毁互感器36只,涉及9座变电站,停电线路50多条,造成巨大的经济损失。

目前,国内外对铁磁谐振进行了深入的研究,给出了一些判据以及相应的分析方法,如Peterson定理[3]、解析法[4]、小波识别法[5,6]、非线性动力学分析法[7,8]、数字仿真分析法[9]。但是以上方法均存在局限性,有的不具有普遍性,只适合研究工频,有的太不精确只是定性给出结论,有的太繁琐不适合对复杂系统进行分析。

本文首先对配电网谐振电路进行分析,将其进行相模变换得到0模网络并建立0模网络的数学模型;然后引入了时变相量的数学概念建立系统的基于时变相量的数学模型,分析系统的各种稳定状态;然后根据系统的时变相量的数学模型得到的IS曲线和发电机中的暂态功角稳定性的分析方法——等面积法则理论,提出了一种定量判别PT发生谐振的方法——等面积法则,并给出系统稳定裕度和扰动量的计算方法。但是对于非线性动力系统而言,PT的最终运行状态不仅与扰动量和稳定裕度大小有关还与PT在故障瞬间的电压电流的瞬时值突变情况有关(即与故障时间有关)。最后运用ATP软件仿真验证等面积法则理论在判断PT发生铁磁谐振的正确性,并验证了与时间有关的结论。本文提出的等面积法则理论为后续分析铁磁谐振发生的临界条件及其抑制措施提供了关键性的理论依据,具有很好的使用价值。

1 配电网谐振电路分析

某三相配电系统示意图如图1所示,三相电源用来等效主变二次绕组,电容CS表示三相变压器二次绕组对外壳总的分布电容;ZS为三相变压器各相等效阻抗;A、B和C三条线为系统的a,b,c三相的母线;母线的三相PT用非线性电感替代。

如图1所示的输电线路的F点经高阻单相接地故障时,三相系统发生不对称运行,PT有可能发生铁磁谐振,系统产生稳定的0模过电压和0模过电流。本文用恒定交变电流源等效外施电源。图1经相模变换后的0模网络示意图如图2所示。

图2中各量均为经过相模变换后的0模量。Si为等效电流源;R为F点的接地高电阻;C为电容;u为PT两端电压的瞬时值;Li为通过PT的电流的瞬时值;Ri为通过电阻R的电流的瞬时值;Ci为通过电感的电流的瞬时值。依据基本的电路知识,建立0模网络的数学模型如式(1)。

2 等面积法则的基本理论

2.1 时变相量

电力系统网络中各电磁信号(电压、电流和磁通),其稳定状态为正弦信号,这等价于一个匀速旋转的向量在实轴上的投影(以余弦定义相量时为实轴投影,以正弦定义相量时为虚轴投影)。当系统运行在暂态过程中,或者包含多个频率分量的稳态运行时,可以看作一个随时间相量长度发生变化的相量以某角速度ω在复平面内旋转在实轴上的投影。

其中:为时变相量;ω为电源的频率,也可能为时变的。当系统进入稳态后,时变相量F(t)和电源频率ω(t)都成为恒定不变的相量,如式(3)。

显然,信号f(t)的导数可以表示为式(4)。

2.2 基于时变相量的数学模型

据式(1)、式(2)和式(4)可以得到图2的时变相量数学模型如式(5)。

其中:分别为u、ϕ、Si、Ri、Ci和Li据式(2)所对应的相量形式。当系统处于稳态运行时,据式(3)得式(6)。

据式(5)和式(6)可以得到稳态运行情况下电流源与PT、电感和电容之间的关系如式(7),PT两端的电压如式(8)。

将式(7)转化为有效值之间的关系如式(9)。

其中,LΦ和IS分别为ϕ和Si的有效值。

2.3 等面积法则

所谓等面积法则就是当系统受到某种扰动时,通过比较扰动量和系统的稳定裕度的大小来达到判断PT最终所处运行状态的一种法则。下面分析等面积法则的定义过程。

曲线IS如图3所示。

如图3,横轴为磁链(pu),纵轴为电流(pu);IS反映系统处于稳态运行时PT的磁链有效值与电流源的电流有效值之间的关系;当外施电流源为IS1时,系统有三个平衡点A、B和C。下面分析A点和C点为稳定平衡点,B点为不稳定平衡点。

据式(5)、式(7)和式(8)可以得到各量有效值之间的关系式(10)。

其中:∆U=U-UL;∆I=IS-IS。

假如系统运行于A点,此时IS=IS1。则当受到一个小扰动,使之到达A′点,此时IS>IS1(可以理解为加在物体上的两个力)即∆I<0,据式(10)电感两端电压U(速度)开始下降,即∆U<0(加速度),再据式(10)∆ΦL<0,因此磁链将下降。当下降到A点,此时∆I=Is,加速度为零,但电压(速度)降低为最小,磁链(路程)还会进一步下降,会越过A点向A′点运动,此时加速度大于零,电压开始回升,但电压仍低于稳定点电压,磁链进一步下降,直到A′点,磁链开始回升。如此往复振荡,当有阻尼的情况下,稳定于A点。

所以A点为稳定平衡点,根据相同的分析思路,C点为稳定平衡点,这里不再赘述。而B点一旦受到某种扰动到达B′其最终会运行到A点,若扰动到达B′′,其最终运行到C点,则B点为不稳定平衡点。

由于A点对应的为低磁通,则PT此时对应小电流和低电压,PT没有进入饱和状态,PT没有发生铁磁谐振现象,则A为正常运行点;C点对应的为高磁通,则PT对应大电流和高电压,PT进入饱和状态发生铁磁谐振现象,则C点为稳态谐振点。

据图3,系统起初运行于O点,在某一时间t系统得到IS1的电流,当系统达到稳定状态后,可能运行于A点,也可能运行于C点。而B点是系统运行在A点和C点受到扰动时的一种临界状态。也就是若系统受到最大的扰动状态的磁链处于B点以前,PT会最终运行在A点;若系统受到的最大扰动状态的磁链处于B点以后,PT最终会运行在C点。再根据电力系统中的暂态功角稳定性理论中的等面积法则,基于此本文提出了一种新的定量判断PT能否发生谐振的方法——等面积法则。

本文定义的等面积法则可以用图4的等面积法则图进行解释。其中Sa为系统受到的扰动量(也称为加速能量或加速面积),Sd max为系统的稳定裕度(也称为减速能量或减速面积),其表达式如式(11)和式(12)。

其各参量与图3相同,这里不再赘述。

等面积法则的判据如下:

1)Sa>Sd max时,系统具备谐振条件,若发生谐振,PT最终运行在稳态谐振点C;

2)Sa

3)Sa=Sd max时,PT为临界谐振状态。

通过上述2.2节的推导过程和最终的计算结果,我们清楚地知道,分析过程反映的是有效值之间的关系,而不是瞬时值之间的关系。但是,铁磁谐振所涉及的问题主要为非线性动力学问题,还与扰动量的瞬时值有密切的关系(由于扰动量的瞬时值的不同与时间有密切的关系,下面我们将其表述为:铁磁谐振的发生与故障时间有密切的关系)。

根据非线性动力学理论,对于存在多个稳定运行状态非线性动力系统而言,系统最终运行状态不仅与扰动量和稳定裕度有关,还与系统的初始状态和瞬时的变化量(即时间)有关,这里的初始状态就是故障发生前电压或电流的瞬时值。

总之,PT最终运行状态一方面与扰动量和稳定裕度有密切的关系,反映的是有效值问题;另一方面与扰动所发生的时间有关,反映的是瞬时值的突变情况。

则PT最终运行在稳态谐振点需要两个条件:(1)Sa>Sd max;(2)合适的故障时间。

下面本文通过仿真验证上述理论的正确性。

3 仿真验证

通过第2节的分析,得知系统最终运行状态不仅与等面积法则有关还与故障时间有密切的联系,只有两个条件同时具备时,PT才会进入铁磁谐振状态。由于篇幅所限,且所讨论的系统为非线性系统,系统发生铁磁谐振与扰动量的瞬时值有密切的关系,本文不再阐述。

3.1 仿真模型的建立

仿真模型如图5。

如图5所示的仿真模型与图2的理论分析模型是完全对应的,各参数不再赘述,图2中的PT在仿真时用非线性电感进行模拟,其额定电压为,额定电流为1.5 m A,其特性如表1所示。至此,在下述的分析过程中,本文采用标幺值系统,其中令电压基准值为,电流的基准值为UB=0.001 5 A。如表1所述为JDZJ-6型号的某PT的高压侧测量的伏安特性数据归算到标幺值系统下的电压电流值。

采用7次多项式拟合磁链-电流曲线模型为:

根据表1中的数据和式(13)运用最小二乘法进行拟合得到式(13)中的各参数的值:a1=1.795 2,a3=-1.283 9,a5=0.892 5和a7=0.042 1,式(13)的计算结果就是ATP模型中非线性电感的曲线形式。

此外,图5中的电容C=0.041µF,电阻R=2 000 kΩ。ATP仿真的采样频率为每周期20点,即计算时间间隔为1 ms。

3.2 仿真验证

1)验证铁磁谐振的发生与开关闭合时间有关

当IS=0.038时,其他值不变的情况下,据式(11)和式(12)得Sa=11.5;Sd max=11.2。

图6(a)和图6(b)反映了在故障时间不同的情况下电压电流情况。

据图6(a)和图6(a)可知,在T=0.003 s时发生故障,PT的电压为1 pu和电流为1 pu,没有进入谐振状态;在T=0.007 s时发生故障,PT的电压为2~3 pu和电流为10~80 pu,进入谐振状态。

至此,本文通过仿真再次说明:在Sa>Sd max前提下,铁磁谐振的发生是与故障时间有关系。

2)验证等面积法则的正确性

在系统各参数不变的情况下,不同电流源的增量情况下,对并联型非线性谐振电路是否发生谐振的等面积判据做了验证,其结果如表2所示。当IS=40 pu时等面积法则图如图7所示。

表2中各电流源为标幺值,据式(11)可以计算表2中“加速面积”Sa,据式(12)可以计算表2中的“减速面积”Sd max,表2中的“判断结果”为等面积法则的判断结果,“正确与否”将仿真结果与“判断结果”进行对比得到的结果,若仿真中出现谐振,而等面积判断的结果也为发生铁磁谐振,则说明“正确”,反之亦然。图7中各量与曲线与图4完全一致,这里不再赘述。

通过表2可以看出等面积法则判断的正确率为95%,基本说明理论的正确性。但从表2中可以看出:

(1)当IS=25 pu时,等面积法则判断错误,这是由于此时系统处于临界谐振点,加之系统的非线性,难免产生误差;

(2)当IS=40 pu时,加速面积和减速面积为“超出峰值”,这是因为,此时等面积法则图为图7所示,IS超出IS的极大值点,此时IS与IS曲线只有一个交点,经分析这是一个稳定平衡点,又因为这个点对应较大的磁链,也就对应着较大的电流和电压,此时的PT为铁磁谐振状态。通过大量的仿真证明,当IS≥40 pu时,PT一定会进入谐振状态。

至此,本文通过仿真验证了等面积法则理论的正确性。同时也说明了PT铁磁谐振的发生需要具备两个条件,二者缺一不可:(1)Sa>Sd max;(2)合适的故障时间。

4 结论

本文首先引入了时变相量这一新概念,并结合简单并联谐振电路建立其时变相量数学模型,并求取IS曲线,在此基础上提出了等面积法则,通过对非线性配电网系统的分析可以到以下几点结论:

(1)非线性系统存在多个平衡点,分别为正常运行点、不稳定平衡点和稳态谐振点;

(2)基于时变相量的数学模型得到的IS曲线可以定量地计算系统在各种稳定运行状态下的磁链、电压和电流值;

(3)稳态谐振的发生不仅与稳定裕度和扰动量有关,还与故障发生的时间有关;

(4)本文提出的等面积法则为今后定量地判断PT进入谐振状态提供了一定的理论基础。

本文验证了等面积法则在分析铁磁谐振时的正确性和实用性,为后续研究工作提出抑制铁磁谐振方法提供了重要的理论依据。

摘要：电力系统运行经验表明,中性点不接地的电力系统中经常发生铁磁谐振现象,铁磁谐振严重影响系统的安全性、稳定和可靠性。为了有效分析电力系统中时有发生的铁磁谐振现象,将配电网系统经过相模变换将其转化0模网络,建立0模网络的数学模型。引入时变相量的概念,建立系统的时变相量数学模型,分析了系统的三个平衡点。定义了系统的稳定裕度和扰动量的计算公式,创新性地把等面积法则应用到铁磁谐振电路的分析中,并讨论了铁磁谐振的发生与故障时间有密切的关系。把对铁磁谐振的分析由以往的定性分析上升到定量分析,并通过ATP仿真验证了等面积法则在铁磁谐振中的实效性。

关键词：铁磁谐振,平衡点,等面积法则,时变相量,稳定裕度,扰动量

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