数学教学在变换中创新(精选6篇)
数学教学在变换中创新 篇1
《义务教育数学课程标准》 (中华人民共和国教育部制定, 北京师范大学出版社出版, 2011年) 指出:“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能, 培养学生的抽象思维和推理能力;培养学生的创新意识和实践能力;促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。”因此, 学生要通过数学课程的学习, 学会数学思想, 掌握数学的基本方法和基本技能。
我们在初中数学教学中经常会碰到一些条件比较分散的几何综合题, 这时候我们就应该采取一些方法把这些条件集中起来, 常用的方法就是图形变换, 即平移、旋转、对称、相似变换、等积变形等, 添加辅助线是图形变换的具体表现。下面我们通过一些例子, 重点谈谈平移法、旋转法、对称法这几种变换方法在几何证明题中的具体运用。
一、平移法
平移法就是把某个图形沿着一定的方向从一个位置平移到另一个位置的方法。平移法的依据是利用“平行四边形的性质”和“中位线定理”, 平移法在梯形的有关计算和证明中表现得较为充分, 如过一点作腰的平行线、构造平行四边形和三角形、把腰平移到同一个三角形中、把两底平移到同一条直线上等。
例l如图1, 梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B+∠C=90°, E、F分别是AD、BC的中点。求证:EF=1/2 (BC-AD) 。
探求:由结论中的BC-AD是两底的差, 想办法把AD移到BC上, 考虑到E是AD的中点, 故过E分别作EM∥AB, EN∥DC, 交BC分别于M、N, 则MN=BC-AD。再结合平行线的性质和直角三角形的性质, 问题得证。
二、旋转法
旋转法就是把某个图形绕着一定的点进行旋转, 从一个位置旋转到另一个位置。在正方形中, 旋转法使用较多, 圆中的四点共圆也可以把一个角旋转到所需要的位置上。
例2如图2, 已知点P是正方形ABCD内一点, PA∶PB∶PC=1∶2∶3, 求∠APB的度数。
探求:已知条件非常简单, 学生如果没有学习旋转法或对旋转法比较生疏的话, 一下子很难求解。我们要想办法把已知条件集中起来, 如正方形是旋转图形、三条线段的比以及直角三角形的性质 (勾股定理等。具体方法:把△BAP绕B点按顺时针旋转900, 转到△BCE处, 故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE, 同时设PA=x、PB=2x、PC=3x, 可求出, 最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。
例3如图3, 以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形CE和正方形BF, 且CD⊥AB于D, 求证: (AF+AD) 2=EF2-CD2。
探求:从结论上看, AF、AD接成一条线段, 又都是平方的形式, 由此想到勾股定理, 故延长FA至D', 使AD'=AD, 再证△AED'≌△ACD, 从而得证。实际上也可以看做是把△ACD绕点A按顺时针旋转900到△ACD处。
三、对称法
对称法就是把某个图形以定直线为轴对折到对称的位置上的方法, 常常以角平分线、线段的中垂线为轴。
例4如图4, 已知AD是△ABC的角平分线, 且AC
求证:CD
探求:在AB上取AE=AC, 连结DE, 显然有△ACD≌△AED。也就是把△ACD翻折到△AED位置上, 可得∠BED=∠FCD>∠B, 获证。
四、截长补短法
截长补短法是初中数学几何证明题中十分重要的方法, 通常用来证明几条线段的数量关系。具体说就是把a=b+c转化为b=a-c或反过来使用, 寻求问题的解决方法。截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法, 也是把几何题化难为易的一种思想。
五、加倍折半法
加倍折半法具体地说就是把a=2b转化为b=1/2 a或反过来运用。在证明角的2倍或1/2以及线段的2倍或1/2中运用较多所作的辅助线一般是角的平分线或取线段的中点。
六、截取、延长法
截取法、延长法就是在证明线段或角不等关系时, 在长线段上取一段等于短线段或把短线段延长等于长线段, 构成全等三角形, 将要比较的量转化到可以比较的同一个三角形中。前面讲的例4也可以采用这种方法, 即延长AC至F, 使AF=AB, 连结DF, 再证明△ABD≌△AFD, 所以BD=DF, 在△DFC中进行比较, 可以得证。
七、相似变换法
就是利用相似比改变图形的大小而不改变其形状的方法。利用相似三角形的性质可以解决有关平行、比例和面积等问题。另外还有等积变形法, 就是不改变图形的面积只改变图形的形状的方法, 利用“同底等高的三角形面积不变”的定理解决问题。在此不再举例。
总之, 在初中数学教学中, 几何是教学的重点, 也是教学的难点。当我们碰到一些条件比较复杂的几何综合题时, 要想方设法利用图形变换的方法来求得答案。教无定法, 贵在得法。只要我们按照《义务教育数学课程标准》的要求组织教学, 培养学生的抽象思维和推理思维能力, 就能让学生学会数学思想, 掌握数学必备的基础知识和基本技能, 从而提高他们的创新意识和实践能力。
数学教学在变换中创新 篇2
小波变换在金融数据分析中的应用
市场上的数据,从本质上讲都是一种时间序列.它和小波分析中的`信号具有相同的特性.因此,完全可以将这些经济时间序列看成信号,应用小波变换进行分析和预测.
作 者:邓凯旭 宋宝瑞 DENG Kai-xu SONG Bao-rui 作者单位:上海交通大学数学系,上海,40刊 名:数理统计与管理 ISTIC PKU CSSCI英文刊名:APPLICATION OF STATISTICS AND MANAGEMENT年,卷(期):25(2)分类号:O212关键词:小波变换 时间序列 股票收盘价
函数变换在大学数学中的应用 篇3
大学中,数学是重要的基础课,其概念和理论高度抽象,解题复杂,其证明又难于构建.大一新生,刚进入大学,就开始大学数学的学习,其在中学的学习过程中,形成的固定的思维方式和学习方法,对于高度抽象的概念的理解,新理论的学习,以及数学解题以证明方法的掌握面临较大的困难.为了让学生尽快掌握新的学习方法,学好数学课,在大学数学教学中,灵活运用函数变换法,有利于学生对数学的基础知识、基本理论、常规数学方法的理解和掌握.函数变换法有多种,本文就数学课程教学中遇到的各种函数变换法,逐一加以介绍,供人参考,希望通过这文章,能够给同行的教学以及学生学习数学带来一点用处.
数学中为了需要,常常采用函数变换的方法,来简化计算和证明,或一个复杂的难于用简单常规方法解决的问题,通过运用函数变换的方法,将其转换成另一形式,使其变得容易解决.函数变换的方法在数学分析中主要有两种,一种用来简化计算,另一种是转换解题的方法.思路是:将问题中的y=f(x)经过一种可逆的函数变换,转换成定义域和值域都不相同的另一类函数F(x),然后较为容易地解出F(x)来,从而得到原来函数y=f(x)的解.下面本文分两类来进行阐述.
二、函数变换
1.数学中简化计算的函数变换
函数变换的方法在数学分析中常见于用来简化计算,如求极限、求导算、求积分、简单的证明等等.将无理化有理问题:就是将含有无理式的问题转化为有理式的问题来解决.如:无理式的求极限、无理函数的积分、无理函数的求导问题;也可以将乘幂的问题转换成一般的乘法问题来完成,等等.
将无理式的积分转化为了有理函数的积分,这就比较容易计算了.
求y=u(x)v(x)(u(x)>0)的导数,直接求导比较繁琐,利用两边取对数:有lny=v(x)ln[u(x)],
无穷级数的证明或判别其敛散性问题,有的也可以运用函数变换法,来找到解题的方法.如证明:调和级数是发散的.利用函数变换,令固调和级数发散.这种方法可以类比到其他的很多问题中.
2.数学中转换问题形式的函数变换
有的问题用以前的常规的方法无法解决,使得求解过程很困难,或者问题的解无法用精确的解来表示,则我们可以考虑用函数变换的方法来进行.
求∫lnxdx的解,我们用分部积分∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C.
通常我们用初等积分法来解常微分方程,但众多的微分方程是无法用初等积分法来解决的.有些方程的解无法用初等函数来表示,我们可以首先将函数通过函数变换的方法,将函数转换成幂级数,再来求解微分方程.
求微分方程y″+ysinx=ex2的通解.先将sinx和ex2利用幂级数的展开,展为:
设其解具有形式:
y=a0+a1x+a2x2+…,ai(i=1,2,…),是待定的常数,把y,y',y″代入原方程,得原方程的通解为
这种方法,也为求解微分方程的近似解提供了一种有效的方法,这种方法对分析微分方程的实际问题是很有用的,而且根据泰勒公式的理论,其误差估计也很方便.利用这种方法我们还可以解一般的非线性微分方程.
数学教学在变换中创新 篇4
运用Mallat算法和Daubechies小波,对水文序列进行离散小波变换.通过离散小波变换,将水文序列分解成不同时间尺度的确定性序列和随机序列,为运用各种确定性模型和随机模型建立水文中长期耦合预报模型打下了基础.以长江寸滩站日平均流量和北碚站7月最大洪峰流量序列为例,进行了小波变换.通过对分解后的序列进行重构表明,结果是满意的.
作 者:汤成友 王瑞 缈韧 TANG Cheng-you WANG-rui MIAO Ren 作者单位:汤成友,王瑞,TANG Cheng-you,WANG-rui(长江上游水文水资源勘测局,重庆,400014)
缈韧,MIAO Ren(四川大学水电学院,成都,610065)
数学教学在变换中创新 篇5
一、多样化教学, 提高学生对几何图形的认识能力
在几何平面教学过程中, 借助几何变换来认识和了解平面几何图形, 不仅能提高平面几何教学质量, 还能够提高学生对平面几何中基础图形的结构特点的认识. 结合运动变换的观点来解决平面几何教学中的问题, 可以活跃学生思维, 为学生发挥多样化思维提供良好的空间.
例如, 平行四边形的四个角分别表示为∠A, ∠B, ∠C, ∠D, 结合平面几何教学的定义可以得出AB = CD且AB∥CD从几何变换的角度分析, 可以根据数量关系和位置关系来看待这个问题, 从这两方面来引导学生认识图形. 还可以利用平面几何中平移的角度来分析, 或者将平行四边形AC和BD连接起来, 两条连接线的中心点就是平面几何的中心对称, 由此得出AB = CD且AB∥CD.
二、几何图形变换性质教学, 使学生从更高的角度认识几何图形
初中平面几何教学涉及的几何知识大多属于基础几何, 在几何教学过程中, 教师可以引导学生了解基本图形在变换过程中所体现的基本性质, 从这一方面着手, 让学生能够理性地认识几何变换;然后教师可以一步步地深入, 让学生能够认识到几何变换在平面图形中的有效性, 在探索图形性质的过程中, 不仅能够让学生加深对图形变换的理解, 还能够拓展学生从更高的角度分析和认识几何图形.
例如, 教师可以根据圆的基本性质通过几何变换的形式来挖掘圆的其他性质. 首先, 圆是轴对称图形, 也是中心对称图形, 其所具备的两种图形性质较为特殊. 其次, 根据圆对称的特殊性, 在实际教学中可以围绕圆的对称性展开讨论和分析, 突出阐述圆的对称性质, 这样能够很容易得出圆的其他性质. 这种方法能够在讲解圆这个单元时, 更加直观、简便地表达出圆的性质, 而且学生可以将这种方法应用到其他图形中, 起到事半功倍的效果.
三、利用运动变换的观点探索图形特征, 能够提高学生的图形直觉和推理能力
平面几何相对于立体图形更加直观、形象, 所涉及的内容也相对比较简单. 在初中平面几何教学中, 教师可以根据不同层次的学生亲自动手操作, 了解不同层次学生对几何图形的直观感知能力. 通过自我感知使学生认识图形对称、平移等变换, 并根据图形变换了解图形的几何性质, 将原本静止的图形想象成为动态图形, 这样能够激发学生的空间感知能力和推理能力. 利用运动变换的观点探索图形特征, 可以使学生将抽象的几何概念、理论和方法, 变得更加直观生动在开拓学生创新性思维、提高学生实践操作技能、激发学生发散性思维等方面具有十分重要的教学价值.
四、利用几何变换解题, 能够培养学生思维的灵活性和敏捷性
大多几何问题中所涉及的几何元素较为分散, 要深入了解和认识各个元素之间的关系, 就需要根据几何问题的具体要求, 利用几何变换将分散的元素集中在一起. 通过几何变换来转变几何图形中不同元素之间的关系, 将不规则图形变换为规则图形, 将一般性质转换成特殊性质, 通过这种图形性质变换来挖掘几何问题中各元素之间的关系, 通过这种方法来探讨图形在运动过程中的量化关系, 并找出规律, 这样既能解决几何问题, 还能够利用相同的手段解决其他几何图形中遇到的相同或类似问题. 在初中平面几何教学中应用几何变换有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性.
五、结语
综上所述, 在初中平面几何教学中应用几何变换, 需要借助实践操作和生活空间实例来引导学生, 使学生认识几何图形的变换. 通过观察、实践活动、动手操作等方式将几何变换合理利用到平面几何教学中, 从不同角度利用几何变换探索图形的性质与特征, 使学生能够更好地解决几何问题并活跃学生思维, 使其了解图形之间的关系. 几何变换在平面几何教学中的应用有利于学生感受和欣赏图形的美, 认识数学知识与客观世界的联系, 还有利于增强学生的创新性思维.
摘要:新课程改革后, 数学中几何与代数知识的划分更加清晰.在数学课程中, 几何变换是一个独立的单元, 将几何变换应用于平面几何教学中, 能够让平面几何教学更加生动形象, 也是一种良好的教学方法.本文就几何变化在初中平面几何教学的应用进行分析和研究, 了解其在初中平面几何教学中的应用效果, 以此提供更多有效的平面几何教学方法.
关键词:几何变换,平面几何,初中教学
参考文献
[1]陈阿文.几何变换在初中几何解题中的应用[J].中学理科园地, 2010 (4) .
[2]宋业存.基于几何变换的拱轴线的构成与特性研究[J].南京理工大学学报:自然科学版, 2012 (4) .
数学教学在变换中创新 篇6
数学变换是数学研究的基本手段, 它化繁为简、化难为易、化生为熟, 是数学思维方法的重要组成部分.参数变换是常用的数学变换, 它的关键是在解决问题时先引入辅助性的参数, 然后把需要求解的问题转化为有关参数的新问题.参数变换在高等数学中广泛使用, 贯穿于教学的整个工程之中, 特别是在复合函数微分、不定积分、定积分、重积分、微分方程中是一种基本的运算方法.善于和熟练应用参数变换方法, 对于启迪学生思维、提高解题能力有重要意义.
下面几例, 体现了参数变换方法的灵活性、多样性.引入参数, 转换思路, 豁然开朗, 轻松实现了问题的解决.
例1 计算
解 引入参数ρ, θ (ρ>0) , 设x=ρcosθ, y=ρsinθ,
有
又 f (ρcosθ, ρsinθ) =ρsinθcosθ,
∀θ, 有
因此,
例2 求函数
解 引入参数
有
上例可以看出, 对于某些函数求导, 灵活采用参数变换, 能使运算量大大减少, 达到事半功倍的效果.
例3 计算∫∞0
解 引入参数t (t≥0) , 设f (t) =∫∞0
两边对t求导数, 有
f′ (t) =∫∞0
又 f (0) =0,
因此,
例4 求函数z=xy (x, y>0) 在满足条件x+y=1时的最大值.
解 引入参数t, 设
有
因此, 当t=0, 即
例5 求函数f (x, y, z) =x2+y2+z2满足条件x+y+z=1时的最小值.
解 引入参数u, v, 设
有
于是, 当u=v=0, 即
f (x, y, z) 取得最小值
上两例可用微分等方法求解, 但应用参数变换方法, 结果一目了然, 比较简便.
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