概念变式（共5篇）
概念变式 篇1
概念引入教学的关键是区分概念的本质属性与非本质属性.而变式教学的精髓就是突出本质属性, 摒弃非本质属性.
在概念教学中, 变式教学是常用的方法.通过图形变式、语言变式、符号变式、公式变式等方面, 使学生对概念的本质产生深刻认识.
概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解: (1) 通过直观或具体的变式引入概念; (2) 通过非标准变式突出概念的本质属性; (3) 通过非概念变式明确概念的外延.
以二面角的概念教学为例.实践表明, 二面角概念的教学主要有两个难点:一是概念的定义比较抽象, 本质属性难以把握;二是二面角属于三维图形, 用平面直观图去表示难免会造成视觉上的失真, 从而也为概念对象 (外延) 的鉴别带来困难.针对这两个难点, 我们可借助于下面两类变式:一是通过日常生活中的直观材料组织已有的感性经验, 使学生理解概念的具体含义;二是利用不同的图形变式, 作为直观材料与抽象概念之间的过渡, 使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平, 进而掌握概念图形的基本特征, 准确地把握概念的外延空间
新概念的引入是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因, 很难一步到位, 需要分成若干个层次, 逐步加深提高.以三角比的概念教学为例, 它经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程. (1) 直角三角形中锐角三角比的定义; (2) 用点的坐标表示的锐角三角比的定义; (3) 任意三角比的定义.由此概念衍生出: (1) 三角比值在各个象限的符号; (2) 三角比的诱导公式; (3) 同角三角比的关系式; (4) 三角函数图像的性质等.可见, 三角比的定义是三角函数教学中的重中之重, 是整个三角部分的基础, 它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.
概念教学过程中不断变换问题的形式, 使学生比较全面地看问题, 注意从事物之间的联系和矛盾来理解事物的本质, 在一定程度上减少思想中由于绝对化而呈现的思维僵化和思维惰性.
如研究三棱锥 (四面体) 顶点的射影与底面三角形的关系时, 可提出如下变式:
1.当三棱锥是正三棱锥时.2.当三条侧棱的长相等时3.当侧棱与底面所成角相等时.4.当各个侧面与底面所成二面角相等且顶点射影在底面时.5.当顶点与底面三边距离相等时.6.当三条侧棱两两垂直时.7.当三条侧棱分别与所对侧面垂直时.
如双曲线定义的深化变式:
(1) 定义中“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”, 其余不变, 动点的轨迹是什么?
(2) 定义中“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”, 其余不变, 动点的轨迹是什么?
(3) 将绝对值去掉, 其余不变, 动点的轨迹是什么?
(4) 令常数为0, 动点的轨迹是什么?
(5) 把条件“小于|F1F2|”去掉, 其余不变, 动点的轨迹是什么?
上述变式在概念的形成过程中可使学生的认知水平得到提升.
概念的变式教学可以在学生初步掌握概念后, 引导学生探求概念的等价变式, 并探求等价变式的作用, 达到透彻理解概念, 灵活应用概念的目的.数学概念具有抽象性与逻辑联系性是数学命题、数学推理的基础成分, 只有深入理解了数学概念, 才能顺利地应用概念进行推理或运算.概念的深化变式就是要深入挖掘概念的内涵与外延, 进一步发现概念的本质属性, 把概念放到一定的系统、关系和结构中来学习, 使获得的新概念与原有的概念产生非人为的联系, 不断完善认知结构, 促使数学概念迁移, 从而可以灵活应用数学概念.
概念的变式教学应铺设适当的潜在距离.如果变式教学运用不当, 比如不完善的铺垫显得太慢, 学生将感觉不到学习的挑战而消极厌学.要认识到知识探究、解决应用题和开放题的重要性, 这样可以提高创造性问题的解决能力.概念的变式教学还应建构适当的变异空间.如果这个空间太窄, 它将提供不完整的学习条件, 导致学生对学习对象理解的偏差.反之, 如果太宽, 虽然可以提供更丰富的探究可能性, 但也会分散学生的注意力, 从而影响对概念本质属性的理解和掌握.
概念教学要受到许多因素影响, 如原有的认知结构、感性材料和知识经验、抽象概括能力、变式等.其中, 变式是非常重要的因素.变式教学在变化中求不变, 万变不离其宗.变的是概念的非本质属性, 不变的是概念的本质属性.概念变式教学的目的是为了让学生体验概念形成的过程, 经过抽象、概括、具体化, 以使获得的概念更加准确、稳定.但应说明的是, 变式的运用要掌握时机, 如果在学生没有初步形成数学概念时就运用变式, 将会干扰学生对概念的理解.概念教学不是一个新鲜的事物, 但在教学中的地位至关重要, 变式教学的合理运用, 定能使概念教学不断创新, 以顺应教育改革的潮流与趋势.
参考文献
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[4]刘长春.中学数学变式教学与能力培养.济南:山东教育出版社, 2001年第一版.
[5]周爱东, 赵晓楚.数学课堂变式教学的点滴思考.科教文汇, 2007.2 (上半月刊) .
数学概念变式教学设计研究 篇2
关键词： 变式 概念变式 数学素质
一、数学变式教学的背景
在数学学科迅速发展的今天，数学对各个领域都有着不可忽视的作用，从某方面讲，有着不可替代的地位.而数学有意义的学、有意义的教是学生和教师共同的目标.从20世纪80年代以来，在有关中国学生数学学习成就和数学教学的国际研究中，出现大家思考、争论、相互矛盾的局面.为了更好克服“不足与局限性”和实现“重要转变”，大量研究者对数学教育进行新的思考与审视，认为中国数学变式教学才是这种局面产生的不可缺少的原因之一.
在国内，教师进行变式训练，使学生明白抓住本质因素，克服干扰因素从而形成正确的概念.教师在整堂课的讲授中，语言通俗、清楚、生动、富有感情、言简意赅、表述严谨.另外，教师不断提问和启发，学生思维被激发调动，始终处于积极的活动状态.在训练方面，以解题思想方法为首要训练目标，一题多解、一法多用、变式训练是经常使用的训练形式，从而形成了教学的“变式”理论.
二、数学变式教学的意义
近几年，新课改对于数学教学提出新的要求，教师组织课堂，学生进行讲解，改变传统的教学模式，发展学生数学思维能力，培养数学大师，这就要求学生发散思维，善于创造，发现问题，解决问题.同时，数学变式教学对于掌握知识，促进思维发展，培养能力等方面具有重要作用.
首先，变式教学从多角度学习数学相关方面的知识，人们常说学好数学，先要学好数学的工具，深刻理解它的含义.在变式教学中，多角度变换，多角度切入，多角度提问，学生自然被教师带到多角度的世界，引发学生全方位思考，新旧知识的联系，融入知识网，有利于发现事物联系，进而加强记忆，活学知识，做到理论与实际相结合，易于较好地掌握基础知识.其次，数学变式教学提倡一题多解、多题一解等从特殊到一般的思想方法，使学生达到举一反三的效果，避免死记硬背带来的不良后果，实现知其然，更知其所以然的教学目标.然后，数学变式教学从多角度、全方位、多层次地观察题目，分析题意，进一步培养学生学会变式的能力，有助于知识的掌握，培养数学能力，提高数学素质.
变式教学减少画图抄题时间，提高课堂教学效率；变式教学由易到难、循序渐进、增强信心；变式教学变化的东西，学生有新鲜感，增强学生学习动力；变式教学中变式充当化归的台阶变式；变式教学用于构建认知经验系统……
三、概念变式教学设计研究
变式是指通过变更对象的非本质特征，以突出对象的本质特征而形成的表现形式.也可以说成，变式就是从多方面变更所提供材料或问题呈现的形式，使事物非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变的变化方式.变式教学就是采用变式的方式进行.概念教学和其他教学一样，为了学生更好地掌握基础知识、基本技能.现在将概念教学和体验式教学有机结合在一起，成为通向科学探究发展的广宽大道.它以扩充、完善、不断前进的概念，构建准确的认知为己任，在了解孩子的基础上设计教学，帮助学生建构概念，使他们的学习、生活、社交乃至以后的人生产生有意义的影响拥有美好记忆.
（一）概念变式教学的含义
通过各种概念，以及概念变式与非概念变式之间的差异与联系来把握概念的内涵和外延，这样可以实现对概念多角度的理解.概念变式主要分为以下几种类型，概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.在实际教学中，教师依据教学内容选择恰当的概念变式进行教学.
（二）概念的引入变式
为了让学生掌握概念，在教学中教师往往对概念变式进行教学.
案例：在学习一元函数的基础之上学习正比例函数.
教师：上节课我们学习了一次函数的定义，那么请同学回忆它的定义？
学生：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b（k为一次项系数，k≠0，b为常数），那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量.
教师：同学们，你们在课下可有思考过b为常数，如果当b为零时，会是什么情况，请同学们带着疑问，观察PPT中的案例.
学生观察PPT，总结、发现问题.
教师：根据案例提示，说明这就是我们今天要学习的函数，正比例函数.
教师、学生共同总结正比例函数定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k0），那么y就叫做x的正比例函数.
由此可见，正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数中，b=0，即“y轴的截距”为零，则为正比例函数.
教师：请观看PPT中的习题，
1.下列题中，一次函数有哪些，正比例函数有哪些，请找出来？
（1）y=98+0.5x （2）z=6x+1 （3）y=-9x-6
2.根据要求回答问题：
形如函数y=5x+b，
变式一：当b为多少时函数为一次函数，
变式二：当b为多少时函数为正比例函数.
形如函数y=kx+b，
变式一：当k，b为多少时函数为一次函数，
变式二：当k，b为多少时函数为正比例函数，
变式三：当k，b为多少时函数为常值函数.
根据一次函数引入正比例函数，学生很快完成习题.
（三）概念的辨析变式
数学教学导致学生厌烦的大多是数学概念，在学生的头脑里，大多数会选择死记硬背，不依据概念的实际应用情况，适用范围的情况去理解记忆，概念的辨析成为教师的一大难题，如果合理地运用概念的辨析变式，此难题将会得到很好的解决.下面由题的变式进一步对什么是一元一次方程、什么是一元二次方程进行辨析和掌握.
仅举简单的例子，希望大家多关注，多练习，多体会变式的乐趣，增加学习乐趣，培养学生思辨能力，加强学生独立思考，充分发挥学生的发散思维，最终培养学生的数学素质.
（四）概念的深化变式
在数学中，同一概念会有不同的表述，对概念的条件和适用范围都要深刻地了解，不一定非得知道从哪里来，但一定要明白它的生成与发生形成过程，这对概念的运用起到至关重要的作用，经过深化的变式对概念的掌握和灵活运用有着重要的意义.
案例：椭圆.
教师：请拿出昨天让大家准备的道具。
学生：迅速拿出已准备好的道具。
教师：在白板的中间水平线上，钉两颗图钉，线的两头固定在图钉的两端，拿着绳子旋转一周，即观察所画图形是什么？和平时我们见过的哪些物品相似，学生思考请作答.
学生：橄榄球，同声回答椭圆。
教师：回忆作图过程，看谁能总结椭圆的定义？
学生：在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹.
教师：介绍椭圆的焦点、长轴、短轴、焦距、离心率。
教师：通过我们对椭圆相关的介绍，得到另一个定义即为第二定义，平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数（椭圆的离心率）的集合（定点F不在直线定直线上，该常数小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线.
通过对概念变式的含义的理解及分类，有利于在教学过程中根据教材选择恰当的教学方法.依据教学看到变式数学教学培养学生思维、培养学生能力的作用.
四、数学变式教学的优点
变式教学历来为教育家所重视，因为它有着其他教学所独有的魅力，在变式教学中学生受益匪浅.
（一）变式教学可以培养学生的发散思维
发散思维和聚合思维是人的两种思维.聚合思维就是用固有的想法，已形成的定向思想来解决问题.发散思维恰与聚合思维相反，在变式教学中多角度、多层次、全方位地分析问题，解决问题，进而培养学生的发散思维，达到学生解题的流畅性，在生活中学会变通，形成自己的独特性.
（二）激发学生学习数学的积极性和自觉性
概念变式教学以其中的“不变”应题型中的“万变”，进而让学生享受其中变化的乐趣，通过“变式”激发学生的学习动力.变式教学满足学生的需要，创设各种问题情境，激发学生的认知好奇心.在变式训练中，帮助学生树立正确的自我概念，获得自我效能感，学生对数学的学习有较高的积极性，产生热爱，会自觉地学习数学，把数学当成生活中的一分子，一种成就感，自然不会放弃数学，也会在数学中取得较高的成绩，把所谓的数学负担变成有成就感的事业.
（三）提高学生的数学素质
学习数学的最高境界就是提高学生的数学素质.数学素质主要包括学习能力、知识迁移能力、创新能力等，而创新能力又主要指意识创新、思维创新和技能创新.数学变式教学是一种神秘的教学方法，经过教师的变式，学生可以耳熟能详地运用公式，定理中可以联想其他的定理，发掘定理、公式的条件和适用情况，进一步根据相似，合理运用到自己的解题当中.变式教学不会导致学生死记硬背，会让学生掌握本质特征，进而增强学生自主学习能力.由于它的灵活变化，为学生的创新提供了广阔的空间，对知识的迁移也做到灵活有余，因此说变式教学提高了学生学习的数学素质.
参考文献：
[1]鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学，2003，1.
[2]张奠宇，宋乃庆.数学教育概论.北京：高等教育出版社，2004.
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对高中数学的概念变式教学分析 篇3
关键词：高中数学,概念,变式教学
一、高中数学课堂中运用变式教学的重要意义
首先,高中数学课堂中运用变式教学,有助于高中生对数学概念、公式、定理以及法则的正确掌握,并且以此为基础能够在实际问题的解决中进行灵活运用.另外,概念的变式应该在学生熟悉相关概念的基础上,能够使学生通过多种视角认识与理解,从而通过意义建构将知识的内在特征抓住,能够对数学概念的本质进行探究;其次,变式教学可以锻炼学生的解题能力.通过一题多变等方式,能够引导学生学会变换命题条件与结论,以此将问题的实质规律探究出来;再有,变式教学还能培养学生的形象思维能力与兴趣,可以提升学生学习数学的积极性.针对高中数学逻辑性强的特点,学生的逻辑性与形象思维特点需要进一步的提升.因此,科学合理的学习方式尤为重要.而变式教学能够帮助学生在解题过程中变换思维角度,有助于学生思维能力的提升;最后,变式教学对学生创新思维能力的培养具有重要意义,还能促进学生形成化归思想.数学的化归思想实质上就是变式的思想,通过学生将未知问题与已知问题差异的寻找,通过他们之间的本质特征,能够将化归的方向得以确定;另外,变式教学能够促使学生从不同角度思考问题,有助于学生创新思维能力的提升.
二、高中数学教学运用变式教学应该注意的问题
(一)变式的难易程度
应该注重变式的难易程度.如果变式过易,就会出现题海战术;而变式太难则不利于学生学习数学的积极性,会造成学生内心的压力与负担,同样不能发挥变式教学的积极作用.因此,应该在运用过程中积极引导学生,学会循序渐进的方式,使学生掌握有效的知识内容.
(二)变式的时间
对于高中数学老师来说,应该掌握好运用变式的时间,尽量在一堂课中适当引入几个变式,过多的变式会造成学生的学习疲劳,也对教学任务的完成产生不良影响,从而影响学生的正常学习.
(三)师生的共同参与性
对于数学的概念变式教学来说,属于一种双向互动的过程,而不是单方面的活动.因此,应该加强师生之间的互动与交流,通过老师的积极引导,学生能够形成自主学习能力与变式习惯,能够主动探索与实践,以自己的亲身体验感受知识的形成过程.
三、高中数学在概念教学过程中对变式的积极运用
(一)概念形成阶段的应用
在概念形成阶段的教学,主要是引导学生认识概念的本质属性与内涵.因此,老师应该通过例子的提出,如特例、正例与反例等进行变式教学,能够使学生对概念的本质属性得以加深.针对几何概念,应该运用图形变式,借助直观的图像能够形成概念;而陈述性的语义可以借助语言的变式;而数学符号表示的概念就借助符号变式等.
(二)概念深化过程的应用
对于不同的学生个体来说,在概念的运用能力方面存在一定的区别.针对理解能力强的学生,可以对概念的内涵与外延等进行全面、准确的掌握,可以对概念的本质属性与无关属性进行区分,以此能够在不同场景中加以运用.相反,理解能力稍弱的学生就在这一概念的学习方面存在一定的问题.
(三)概念运用环节的应用
学生在学完数学概念以后,是为了能够在实际问题的解决上进行运用,能够让学生在这一过程中提升自己的能力,促进思维过程的优化,使认知结构得到积极完善.所以,借助变式方式,对概念的本质与外延进行不同角度的实践与运用,以此能够将概念合理地建构起来,能够将概念的本质内涵纳入到学生的认知结构中.
另外,在概念变式的运用过程中,还要遵循科学适度的原则.首先,应该注重变式难易程度,应该通过循序渐进的方式,使学生掌握变式的方式;另外,在变式情境的创设中应该激发学生的积极性与求知欲,才能使学生在变式的学习中获得进步.
结论
综上所述,变式教学方式在高中数学概念教学中的运用具有重要意义.由于高中数学的抽象性与逻辑性比较强,对于高中生来说,高中数学中的一些概念学习与理解具有一定的困难,而变式教学方式能够在概念教学中为学生提供积极的帮助.因此,作为高中数学老师应该加强对变式教学方式的合理运用,能够帮助学生知识的掌握与能力的提升,还能促进教学质量的提高,从而能够为学生未来的学习打下坚实的基础.
参考文献
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[2]余建平,浦叙德,邹黎明.抓住结构觅共性感悟本质引变式[J].上海中学数学,2015(11):16-17.
[3]李灿泽.多题归一,源于构造——递推数列的变式学习[J].中学生数理化(高三),2016(01):23-24.
概念变式 篇4
一、通过直观或具体的变式引入概念
数学概念教学不能简单地给出概念，而应通过直观或具体的新旧知识的联系，通过变式引导学生积极探索、发现并总结规律，感知新知识、新概念的基本属性，从而帮助学生形成概念。
如在线面垂直的判定定理教学中，可以设计如下环节：首先复习线面平行的判定定理（用提问的形式），“平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行与这个平面”；其次变化问法，“一条直线如果垂直与平面内的一条直线，那么这条直线能否垂直与这个平面呢？”让学生动手实验一下，很容易得出否定结论；进一步变化问法，“一条直线不行，那么两条直线是否成立”，学生通过实验可以验证，一条直线垂直与平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直与这个平面，但两条平行直线不行。
再如在椭圆定义教学中：首先复习圆的定义（用提问的形式），并用一段无弹性的绳子在黑板上做几个圆心位置不同、半径不同的圆，强调到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆，为下一步的变式做铺垫。其次，设想定点由一个变两个，且更换命题，“到两个定点的距离的和为定值，结果又会怎样，能否借助手中的绳子和圆规把命题叙述的这一过程表示出来”。通过实例操作，引导学生将一根无弹性的绳子系在圆规两脚下端，用粉笔套住绳子，在黑板上移动粉笔，画出一个封闭的几何曲线，改变圆规两脚的位置，再画出几个这样的曲线并点题：这就是我们要学习的一类新曲线——椭圆。
这样，通过联系已学知识的变式引入，使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为展开概念的复杂智力活动做好心理准备。
二、通过非标准变式突出概念的本质属性
数学概念非常精炼，寓意深刻，引入之后要把概念讲清楚、讲准确，要对概念做辩证的分析。通过变式，仔细推敲概念中的每一词、句，用不同的方法揭示不同概念的本质，通过对本质特征的分析，加深对整个概念的理解。
例如差数列的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一項与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。在等差数列的概念教学中，如何理解“从第二项起”与“同一个常数”这两组关键词，我们可以构造变式说明：如果没有“从第二项起”的限制，第一项不能与前一项相减；如果没有“同一个常数”，举反例1、3、5、6、12，从第二项起，每一项与前一项的差等于常数，但此数列不是等差数列，从而说明这两组词缺一不可。
再如，椭圆的定义式，学生常常笼统地记为：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹，教学时，可以设计以下问题链，让学生讨论：①平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为4，则P点的轨迹是什么？②平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为6，则P点的轨迹是什么？③平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为8，则P点的轨迹是什么？通过分析容易得到：①当2a<2c时，轨迹不存在；②当2a=2c时，轨迹为一条线段；③当2a>2c时，轨迹为椭圆。这样就有效地加深了学生对椭圆概念中“a>c”这一条件的理解。
对于数学概念建立真正的认识和理解是不容易的，应用变式教学，可以把易错、易混、易漏等问题串联起来，使学生更容易理解并掌握概念的本质。
三、通过非概念变式明确概念的内涵与外延
有些概念，由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。
比如：学生在初中学习过概率、概念，并且通过一些具体实验，初步建立了频率与概率相关的知识体系。学习了概念后，笔者出几个变式问题让学生辨析：（1）只要试验次数足够大，频率m/n就可以作为概率的估计值，到底多少是足够？对于破坏性实验，比如导弹发射，是否也要很多次呢？（2）频率的稳定值就是概率，对于投掷硬币实验，如果我们不知道概率为0.5，如果选用0.4996作为概率是否正确？（3）频率是不断变动的，而概率却是确定的值，这是否与我们所认识的确定性数学的经验相悖？概率的频率定义，反映了在大量重复试验的条件下，随机事件发生的频率的稳定值就是概率的性质。其中，频率的随机性表现为随着时间和人物改变而变化，频率的规律性表现为频率稳定于某个常数，上面三个变式问题的回答就是对这一内容内涵的的深刻理解。
再如：函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，可以设计以下问题链，让学生讨论：通过研究上述问题，学生可以弄清周期函数定义域的结构特征、最小正周期的存在状况、周期函数函数值的分布规律以及周期函数的图像特征。在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，学生的认识结构也从“了解”上升到“理清并掌握”的层面。
概念变式 篇5
1 APOS理论简介
APOS理论提出概念心理图式的建构要经历以下四个阶段:第一阶段:操作 (Action) 阶段。这是个体对数学概念借助外部刺激, 通过学习动作指示来获得。这里的“活动”泛指所有的数学活动, 如猜想, 回忆, 计算, 推理等, 而不仅仅指学生的肢体动作。第二阶段:过程 (Process) 阶段。当活动不断地被个体重复并反省, 形成内部构造时, “活动”就内化为“过程”表现为个体能够将数学概念一般化, 并构造更复杂的“活动”。第三阶段:对象 (Object) 阶段。当个体将“过程”看作一个整体, 并可以对它变形, 这时“过程”就凝聚成“对象”。第四阶段:图式 (Scheme) 阶段。此时的概念, 以综合心理图式存在于脑海, 有具体实例, 抽象过程, 完整定义, 乃至和其他概念相区别和联系的心理图式, 在数学知识体系中占有特定的地位。APOS理论中的前三个阶段可以看作是数学知识的三种状态, 而“图式”则是由这三种知识构成的一种认知结构。只有经过四个阶段才能完成对数学概念、数学思维的建构和提升。
2 变式教学对于构建概念心理图式的应用举例
2.1 操作阶段→对象阶段
操作阶段主要是在活动中的思考, 实质上是呈现数学概念的实例阶段;过程阶段实质上是对实例进行概括提炼得出数学概念的阶段。变式教学可以通过铺垫性变式题组, 来帮助学生积累活动经验, 逐步提升到抽象层面。如:在等差数列概念引入中我设计了这样一组变式题型:
例1:观察下列数列有何共同特点?
问题1:1, 2, 3, 4, ……; (军训时某排同学报数) (1)
10000, 9500, 9000, 8500, ……; (某品牌笔记本电脑今年每月价格) (2)
(学生会发现很多规律, 如都是整数, 都是正数等)
问题2:1, -1, -3, -5, …
1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4…
(学生会意识到不应该再从单独各项的类型来找共同点, 应该着眼于项与项之间的关系)
问题3:当a, d为常数时
(学生会意识到项与项之间的关系不仅局限于具体的数, 应该能进一步地抽象) 通过对以上几个数列共同特征的发现, 挖掘, 总结提炼出等差数列的定义。这组变式题组是围绕等差数列的定义而设计, 由生活实际到数学、由具体数字到抽象符号、由具体实例到概念抽象逐步过渡。对学生来说, “操作”到“过程”既需要大量的活动经验, 又需要师生在互动交流中不断的思维碰撞, 所以在设计变式题组时既要能提供逐步递进的活动经验, 又要考虑抽象过程的螺旋式反复。
2.2 过程阶段→对象阶段
这一阶段的过渡主要是学生在思考中提炼, 经历思维的内化、压缩过程, 抽象出概念性质, 建立概念雏形, 再经历“形式化”过程才能达到对象阶段。例如在对定理公式的教学中, 运用变式教学可以明确公式定理的条件, 结论和适用范围, 注意事项等关键之处, 利于与其他定理公式的区别。
例如:在讲解均值不等式的应用时, 结合下列变式题组:
例题:已知x>0, 求的最小值
变式1、函数有最值吗?
变式2、的值域如何求?
变式3、函数的值域如何求?
通过本组的变式训练逐步将此看做一个对象, 在复杂问题中加以识别和运算。教学实践中, 此过程往往需要在多次提炼中逐步抽象, 需要在不同情境中逐渐加以识别和运用, 以达到“对象阶段”。
2.3 对象阶段→图式阶段
数学概念的图式是通过操作、过程、对象所形成的一种存在于学生头脑中的认知结构, 包括概念的实例、抽象的过程、完整的定义及其符号, 以及它和其他概念的区别和联系。图式的形成是学生的动态的建构和再建构过程, 需要经过长期的学习活动来逐步完善, 最终在头脑中形成概念的综合心理图式。
“对象阶段”之后, 以变式题组的形式最大可能地覆盖知识点, 把分散的知识点串成一条线, 更有利于学生建构属于自己的心理图式。例如:在讲完椭圆定义之后, 设计如下变式问题:
变式1:在平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数 (等于│F1F2│) 的点的轨迹是线段│F1F2│
变式2:在平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数 (小于│F1F2│) 的点的轨迹是无图形
变式3:在平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于│F1F2│) 的点的轨迹是双曲线
变式4:在平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数 (等于│F1F2│) 的点的轨迹是两条射线
变式5:在平面内到两定点F1、F2的距离之差等于常数 (大于│F1F2│) 的点的轨迹是无图形
通过此变式训练, 学生能正确、有效地找到解决问题的方法和手段。学生不但将椭圆的定义在分析和对比之后纳入到已建立的曲线定义的知识体系中, 更将解决问题的方法、思路同时纳入到已建立的思想方法体系中。顺利地推动概念由“对象阶段”过渡到“图式阶段”, 完成心理图式的建构。
APOS理论认为“操作——过程——对象——图式”四个阶段是一个相对连续的过程, 它们是抽象概念在学生大脑中建立起来的四个不可逾越的阶段。因此, 在概念教学中, 应当保证四个阶段循序渐进, 螺旋上升。这四个阶段并非一定体现在一堂课中, 一堂课也不是必须经历这四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期, 可以是一堂课, 也可以是几节课, 乃至是一个单元。
3 变式教学在构建概念心理图式的实践中的问题
在我们逐步帮助学生建立概念的心理图式过程中, 如何通过变式教学让学生在情境中体会概念发生发展的过程, 如何使他们掌握用概念作判断的基本方法与步骤并逐步达到自动化的同时, 培养“回到概念去”“回到定义去”的思维习惯都是我们需要解决的问题。
结束语
当APOS这一年青的理论与变式教学这个有着丰富经验的传统教学模式相结合, 一定能够更好地为学生的概念学习构建合理而高效的心理图式, 能够让学生在养成数学地思维的习惯, 能够让学生在数学的学习过程中像科学家发现数学那样去体会数学发现的美和发现的快乐。
参考文献
[1]唐艳.基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学, 2005 (12) .
[2]濮安山, 史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报, 2007,