小学数学教学中的猜想

小学数学教学中的猜想（精选10篇）

小学数学教学中的猜想 篇1

浅谈“猜想”在小学数学教学中的运用

数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的倡导者G・波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。数学猜想能缩短解决问题的时间;能获得数学发现的机会;能锻炼数学思维。历史上许多重要的数学发现都是经过合理猜想这一非逻辑手段而得到的，例如，著名的“歌德巴赫猜想”、“四色猜想”等。因此，在小学数学教学中，运用猜想可以营造学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的`过程。

1.猜想在新课引入中的运用。

在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。如在“圆面积的计算”教学中，先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围呢?如图所示，边观察，边猜想。

提问：这个小正方形的面积是多少?(r2)这个大正方形的面积是多少?(4r2)猜一猜圆面积大约在什么范围呢?(圆面积<4r2)。教师问：比4r2 小一点，那到底是多少呢?大家知道吗?现在我们就来探讨解决这个问题。这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。

2.“猜想”在新知学习中的运用。

在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法?”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗?”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗?”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度?”显然这是一个很了不起的猜

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小学数学教学中的猜想 篇2

关键词：迁移,猜想,验证,数学思想方法,小学数学教学

数学猜想实际上是一种数学想象, 是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上, 运用非逻辑手段而得到的一种假定, 是一种合理推理。科学家牛顿有句名言:“没有大胆的猜想, 就不可能有伟大的发现。”将猜想引入数学教学之中, 将有助于培养学生的创新意识, 促进学生数学思想方法的形成和掌握。那么, 如何在数学教学中合理运用与有机渗透数学思想方法呢?下面结合两个案例谈谈我的做法。

一、分数的基本性质一课的教学

分数的基本性质是在学生已经掌握了除法中商不变的规律, 以及分数与除法的关系等知识的基础上进行教学的。对于这种新旧知识紧密联系的内容, 要引导学生充分调动原有知识和经验, 凭借“猜想—验证”的途径, 利用旧知“创造”新知。抓住新旧知识的连接点, 创设一定的问题情境, 使学生能借助旧知产生“正迁移”, 先建立猜想, 然后从不同角度来验证猜想。下面是复习和探究新知的教学片断。

一上课, 我先问同学们:“前面我们已经学过了很多的数学知识, 今天老师给大家带来了几个小小的填空, 想考考大家, 有没有信心接受挑战?”孩子们满怀信心地高声回答:“有。”我立即出示了下面两道填空题:

(1) 10÷15=20÷ () = () ÷3

(2) 3÷4=3/ () 7/5= () ÷5

在学生完成这两道小题时, 我分别让学生说一说, 你是怎样想的, 根据什么来填的, 巧妙地引导学生回顾除法中商不变的规律和分数与除法的关系。然后顺势提问:“除法中有商不变的规律, 分数与除法又有这么密切的联系, 你有什么想法?”

生1:我觉得分数中也应该有类似的规律。

师:如果分数中有类似的规律, 你们觉得应该怎样叙述呢?

生2:分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数 (0除外) , 分数的大小不变。

师:同学们, 你们同意他们的看法吗?

生:同意。

师:你们觉得我们仅凭猜想得出的这个结论能成立吗?

(有些学生有了疑问, 有些学生很肯定。)

师:仅凭猜想下结论能行吗?

生:不行!

师:那怎么办?

生:应该再验证一下。

师:是啊, 很多伟大的发明都是从猜想开始的, 但仅凭猜想是不行的, 它必须要能经得起实践的检验。好的, 那下面我们就一起来验证一下我们的这个猜想。

师:在黑板上板书分数1/2, 根据刚才的猜想, 你能写出一个和它相等的分数吗?

生:2/4, 3/6, 4/8……

师:还能写吗?

生:能!

师:那你们能想办法证明这几个分数的确相等吗?

生:能!

师:请大家先独立想一想, 再四人小组合作。

(在教师的激励下学生热情高涨, 纷纷行动了起来。不一会儿, 便有了结果。)

生1:我们小组用了四张完全一样的长方形纸, 分别表示出了它的1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 通过观察, 可以看出它们的确是相等的。 (边说边演示)

生2:我们小组把这4个分数都转化为除法, 就变成了

1÷2=2÷4=3÷6=4÷8

根据除法中商不变的规律进行判断, 它们的确是相等的。

生3:我们组是这样想的, 1/2写成除法是1÷2, 1÷2的商等于0.5;2/4写成除法是2÷4, 2÷4的商也等于0.5;同理3/6, 4/8写成除法后, 再计算出商都是0.5, 由此可见, 它们的确是相等的。

……

师:同学们想出了这么多种办法验证了这几个分数是相等的, 老师真的很佩服你们。通过刚才的学习活动, 现在你们能得到什么结论?

生:分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数 (0除外) , 分数的大小不变。 (师板书)

师:老师还有一个疑问, 以前我们学习时也进行过一些猜想、验证, 那都是要举很多的例子去考究的, 今天只举这一个例子就下结论, 行吗?

生:行!因为分数都可以改写成除法, 除法中有商不变的规律, 所以, 不管举哪个例子, 它都是成立的。

师:同学们真会思考!我们就把同学们刚才发现的分数中的这条规律叫做分数的基本性质。 (师板书课题)

以往教学分数的基本性质时, 我们一般都是让学生动手折出1/2, 2/4, 3/6等, 观察涂色部分得出这几个分数是相等的, 再比较它们的分子和分母之间的变化关系, 从而得出分数的基本性质。一堂课下来, 顺顺畅畅, 然而总觉得课堂缺少鲜活的生命体验。究其原因, 原来是受教材的束缚, 学生没有机会去自主探索与交流, 只有机械、被动地接受。上述教学片断中, 我先引导学生复习回顾了除法中商不变的规律和分数与除法的关系, 并由此引发学生的猜想:分数中是否也有类似的性质?然后引导学生进行验证。课堂变得鲜活了, 学生的个性得到了张扬, 他们学到的不仅仅是知识, 更多的是猜想———验证的这种学习数学的思想方法的体验与实践, 为学生的终身学习奠定了基础。

二、3的倍数的特征一课的教学

这节课是在学生已经学过了2、5的倍数的特征的基础上进行教学的, 由于2、5的倍数的特征都是看个位, 学生很容易诱发错误的猜想:个位上是3、6、9的数都是3的倍数。教学中, 我抓住了这个切入点, 引入教学:

师:昨天我们研究了2、5的倍数的特征, 老师这里有3张数字卡片, 分别是4、5、6, 你能用这3张数字卡片组成是2的倍数的三位数吗?

(学生纷纷举起了小手, 迫不及待)

生:564, 654, 456, 546

(我有意进行了强化)

师:这么快呀!你们是怎么想的?

生:个位上是0, 2, 4, 6, 8的数都是2的倍数, 所以只要把4或6放在个位上组成的数就是2的倍数。

师:那你们能组成是5的倍数的三位数吗?并说说你是怎么想的。

生:465, 645。因为个位上是0或5的数都是5的倍数。所以必须把5放在个位上组成的三位数才是5的倍数。

师:看来同学们对2、5的倍数的特征掌握的真不错。今天老师要和同学们研究3的倍数的特征。根据前面的知识, 你们觉得3的倍数应该有什么样的特征?

生:我想个位上是3、6、9的数都是3的倍数。

(师板书学生的这个猜测)

师:怎么知道这个猜想是否正确呢?

生:我们可以写一些3的倍数来验证。

师:那你们就在练习本上写一些3的倍数, 来验证吧!

(受前面学习找一个倍数的方法的影响, 学生肯定会从3的最小的倍数写起;3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30……片刻, 学生已经在下面议论纷纷。)

生1:不对呀, 我发现3的倍数的个位数字0至9这9个数字都出现了, 没有规律呀!

生2:我在找的过程中还发现, 13、16、19个位上是3、6、9但它们不是3的倍数。

师:由此你们能得到什么结论?

生3:我们刚才的猜想是错误的。 (我给黑板上的那句话打上了错号。)

生4:3的倍数的特征不能只看个位。

师:看来, 一个数是不是3的倍数, 不能只看个位, 那么一个数是不是3的倍数, 究竟与什么有关呢?请同学们仔细观察这些是3的倍数的数, 小组内商量商量。

生:我们发现这些数把它每个数位上的数的和加起来都是3的倍数, 如12, 1+2=3, 15, 1+5=6……

师:由此, 你们想到了什么?

生:一个数, 如果它各个数位上的数加起来的和是3的倍数, 这个数就是3的倍数。

师:同学们, 运用一些小数得到的这个结论放至四海皆成立吗?

生:能!不能!

师:看来, 这也是一种猜想了, 那它能否经得起考验, 怎么办?

生:我们可以举一些大数来验证。

(教师引导学生验证)

(1) 先由两名学生举出数字, 用刚才的初步得到的规律去判断它是否是3的倍数, 再笔算验证。

(2) 同桌合作, 每人说一个数, 运用上述的方法再进行验证。

(3) 反馈验证结果, 发现这个结论的普遍性。

师:现在我们可以下结论了吗?

生:可以。一个数, 各位上的数的和是3的倍数, 这个数就是3的倍数。

师:根据这个结论, 想一想, 你能用4、5、6这3张数字卡片组成是3的倍数的三位数吗?

生:能, 可以组成456, 465, 546, 564, 645, 654。

师:为什么用4, 5, 6组成的三位数都是3的倍数呢?

生:因为不论组成什么样的三位数, 它各位上的数字的和都是15, 所以组成的三位数就一定是3的倍数。

以往我们教学3的倍数的特征后, 有些同学遇到“个位上是3, 6, 9的数都是3的倍数”这句话仍然认为是对的。究其原因就是受了2、5的倍数的特征的影响, 产生了错误的联想。在教学中, 我没有回避这个问题, 当学生产生这个错误猜想之后, 我没有简单地予以纠正, 而是郑重其事地将它板书在了黑板上。然后引导学生通过验证自己推翻这个错误的猜想, 让学生经历了失败, 同时也明白了, 不一定所有的猜想都是正确的, 必须经过验证才能确定真伪。我们要让学生相信自己, 敢想, 善于想。教师要认真对待学生的每一个猜想, 让学生经过自己的探究去证明它们的对与错。

浅谈小学数学教学中的“猜想” 篇3

《数学课程标准》指出：“学生应经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可长期以来，我们一直过多地强调数学的严谨性和科学性，而忽视学生猜想能力的培养，出现了学生想像力与创造力欠佳的现象。因此，在数学教学中要注意培养学生的猜想能力。

一、数学教学中“猜想”的内涵

猜想是人们的一种重要思维活动，是在已有知识和事实的基础上，对未知的事物及其规律，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理的推理。猜想是发现的先兆，是培养学生发现能力的有效方式。数学猜想能激发学生学习的兴趣，引导他们积极投身到数学学习的过程中去；数学猜想能缩短学生解决问题的时间，使学生获得数学发现的机会，提升他们的数学思维能力；数学猜想能促使学生产生探究知识的欲望，提高观察、分析问题的能力，增强学生的创造力。

二、“猜想”在小学数学教学中的应用

1．“猜想”在导入学习中的运用。

在各种新课导入的方法中，“猜想导入”有其独特的魅力，能很快地吸引学生的注意力，使其情绪高涨，产生良好的学习动机和兴趣，快速进入最佳的学习境地。如教学“圆锥的体积”时，师：“请大家来猜一猜：圆锥的体积可能和什么形体的体积有关系?”生：“可能与长方体体积有关系。”生：“可能和圆柱体体积有关。”师：“请再猜一猜：圆锥的体积和什么样的圆柱体体积有关系?”学生小组讨论交流后汇报，气氛热烈。生：“圆锥的体积可能和它等底等高的圆柱体体积有关系。”师：“那圆锥的体积和等底等高的圆柱体体积之间到底存在什么关系?”生：“等底等高的圆锥体积比圆柱的体积小一些。”生：“圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体体积的1/2。”生：“圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体体积的1/3。”……事实证明，猜想激发了学生学习的兴趣。学生在发现、尝试、对比、讨论、交流中，互相启发、互相激励、共同发展。切实提高了课堂教学的实效。

2．“猜想”在新知学习中的运用。

在学生学习数学知识的过程中，适当运用“猜想”，可帮助学生从多角度思维，加速表象在大脑中形成的速度，突出事物的本质特征。如教学“圆的周长”时，先请学生拿出学具：若干个大小不一的圆、一根线、一把尺、一个圆规。师：“要求出圆的周长，你有什么方法?”生：“用线量出圆的周长，再量出线的长度。”生：“把圆放在直尺上滚动，量出圆的周长。”生(猜想)：“用线量出圆的2个直径的长度，看能否围成这个圆。”生(猜想)：“用线量出圆的3个直径的长度，看能否围成这个圆。”生(猜想)：“用线量出圆的4个直径的长度，看能否围成这个圆。圆的周长是不是三、四个直径的长度?”显然，这是一个很了不起的猜想。师：“为什么你要提出这样的猜想?”生：“用圆规画圆时，半径越长，直径越长，圆的周长就越长，所以我猜想直径和圆的周长有一定的关系。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的进程。在这个过程中，既体现了数学的严谨性和科学性，又培养了学生的猜想能力，提高了学生的想像力与创造力。

3．“猜想”在巩固学习中的运用。

在学生进行知识巩固阶段，适当运用“猜想”，可引导学生调动自己已有的数学信息，开拓新思路，从而获得突破性结论，实现知识与能力的有效提升。如教学题目：甲种物体先涨价1/5，再减少1/5后卖出，或先降价1/5，再涨价1/5后卖出。师：“猜一猜，哪种方法结果赚了?哪种方法结果亏了?”学生议论纷纷，进行了大胆的猜想，意见各不相同，充分激发了学生探究和学习的兴趣。学生在计算后，发现进行两种不同的调价方法都亏了。

三、引导学生进行“猜想”的一般方法

第一，在类比中培养学生的猜想能力。即把若干相同或相似的不同事物放在一起进行比较，让学生由旧事物的已知属性去猜想新事物也具有相同或相似的属性。

第二，在分析中培养学生的猜想能力。即引导学生在已有知识和经验的基础上，对一些信息进行有效的分析，从而提出大胆又有创新的结果假设。

第三，在操作中培养学生的猜想能力。即在实际操作中发现问题，提出猜想和假设，并通过实际去验证。

第四，在归纳中培养学生的猜想能力。归纳性猜想是指运用不完全归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例和特例进行观察分析，从而提出数学新命题或新方法的猜想活动。

四、提高学生“猜想”能力的基本原则

1．给足学生猜想的时空。

学生在课堂上是学习的主人，要充分发挥学生的主体地位，改进教师讲授、学生练习的单一教学方式。同时，要引导学生进行猜想，数学猜想是学生对数学问题的主动探索。教师要为学生创设平等民主的课堂氛围，尊重学生的猜想，给学生畅所欲言的机会，通过猜想，极大地调动学生学习的积极性和主动性，激发他们探索新知的欲望。因此，教师要为学生进行猜想提供足够的时间和空间。

2．允许学生出错。

数学学习是一个动手实践、合作交流和自主探索的过程。学生原有的知识背景、生活经验各不相同，但要通过他们的主动参与，包括独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。在这个过程中，学生难免会出错，教师要以积极的心态去聆听学生的猜想，允许学生有错误，不求全责备，充分鼓励他们的猜想，让学生勇敢地与他人分享自己的猜想，锻炼他们的思维。

3．引导学生学猜想。

数学猜想在课堂教学中的应用 篇4

数学猜想，实际是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想。数学方法理论的倡导者波亚利曾说：“在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。”他还认为，在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性，提高数感，发展推理能力，锻炼数学思维。纵观数学发展历史，很多著名的数学结论都是从猜想开始的。所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，发表独特见解，创新探索地学习数学。

数学新课程标准指出，学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。作为教学第一线的教师，在新课程理念的指导下，如何在课堂教学中体现培养学生数学猜想的理念，就自己的教学，谈谈下面几点认识：

（一）营造民主、和谐的课堂氛围，给学生猜想的空间。

学生在课堂上是学习的主人，然而在很多课堂教学当中，尽管改进了教师讲授、学生练习的单一传统的教学方式，但学生的学习还是离不开老师的设疑、启发观察、提问题思考的一步步引导下，很难充分地让学生拥有学习的主动地位。学生进行数学猜想是对数学问题的主动探索,这一份主动性尤其珍贵,以这节课的教学为例,如果当学生说出猜想的答案时候,老师就马上制止了,继而要求学生严格地按照原本教学设计,在老师的引导下逐步思考,将会对学生的学习热情是一个严重的打击。相反地,老师尊重学生的发现,并没有因为教学顺序被打乱而去责怪学生,而是在课堂上让学生充分展示自己的猜想。正是在这种平等民主的课堂氛围中，学生有了畅所欲言的机会，因而他们勇于猜想；给学生猜想的空间，同时能极大地调动学生的学习积极性、主动性，激发他们探索学习新知的欲望。

(二)鼓励学生大胆进行猜想，允许学生有出错。

我们知道，学生学习数学是一个动手实践、合作交流和自主探索的活动。从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。因此每一个学生都会有自己理解、思考和解决问题的思维策略。以这节课的教学为例,学生提出了好几种猜想的答案，教师并没有因为对的答案而忽视了其它想法，因为每一个猜想过程都真实反映了学生的思维方式和知识构建，如把2.953看成3.00近似数的同学就是受了小数性质负迁移的影响。教师立足于学生猜想的教学更能针对学生的知识水平，帮助学生纠正错误的猜想，能使学生正确、深化理解知识，重塑知识结构。因此在课堂上教师应以赞许和耐心的态度聆听学生每一个猜想过程，充分利用教学评价鼓励学生大胆地进行猜想，让学生勇敢地与他人分享自己的想法，锻炼自己的思维。

(三)引导学生学会猜想。

一个学科只有大量的问题提出，才能使它永保青春。正因为历史上有诸如歌德巴赫猜想、费儿马猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。数学新课程标准指出：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”以此课为例，如果在学生说出答案后，我便马上判断对错，而不是让学生分享猜想过程，久而久之，会使其他学生形成错误的认识，猜想在数学学习中是“凑热闹”或“渔翁撒网”，随便说出一个或几个答案去碰碰运气。猜想不是无根之本，无源之水，它是立足于学生已有知识经验和数学思考下的合理推测，老师鼓励学生大胆进行猜想，是让学生经历探索数学的过程，而不是凭空想象，因此学生学会怎样去猜想，形成良好的猜想意识十分重要，如引导他们怎样整合材料、提出疑问，有如何猜想结果或问题解决的途径。猜想的实现途径，可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等，老师需要鼓励学生通

小学数学教学中的猜想 篇5

2014年安徽省小学教师资格《综合素质》考题猜想：职业理念

（四）材料分析题

1.阅读下面材料，回答问题。

一位教师在进行语文课文《萤火虫》教学时有这样一个片段：教师问学生，萤火虫燃烧了自己，怎么了?有的孩子回答说，萤火虫燃烧了自己，它就死了;也有孩子说，萤火虫燃烧了自己，它没有怎么，只是一种生理现象;还有一部分孩子有一些其他理解。这时，教师无法对这些理解给予肯定，因为书上不是这样说的，书上的正确答案是，萤火虫燃烧了自己，照亮了人间。所以，老师不断运用教学技巧和教学机智，想办法一步步地“启发”孩子得出“正确”的认识，要求同学们再想一想，再看一看，看什么呢?当然是看书，看课文，最后，孩子们终于在老师的不断引导下，“看”出一个“共同”的认识一一萤火虫燃烧了自己，照亮了人间!问题：试从教师的教学观、教材观以及学生观出发，对上述课堂教学材料进行评价分析。

2.阅读下面材料，回答问题。

“雪化了变成什么?”一个孩子回答：“变成了春天!”这个回答是多么富有想象力，又是多么富有艺术性，可居然被判为零分。“树上有五只鸟，被人用枪打死了一只之后，树上还剩下几只鸟?”一个孩子回答：“还有三只。”老师愕然：“怎么可能?”孩子解释：“爸爸被打死了，妈妈吓跑了，剩下三个孩子不会飞。”这是一个充满情感的回答，又是一个极现实的回答。可是，老师也断然认为不对。

问题：为什么会经常出现类似上述的情况?老师应怎样对学生进行正确的评价? 3.阅读下面材料，回答问题。

有调查显示，有81%的小学生对考试感到“非常”忧虑;63%的孩子担心会受到老师惩罚;44%的学生曾经有过被体罚的经历，并且男生比例比女生高;73%的儿童曾被家长体罚。此外，绝大多数的学生都对沉重的家庭作业怨声载道。而压力过大最终造成：超过1/3的学生每周至少有一次头疼或者腹痛，最严重者一周有4次身体疼痛或不适。专家称，一味讲求竞争和有错必罚的教育理念带来的就是学生精神过于紧张，对其心理健康造成影响，而减轻不必要的压力则是势在必行。

问题：针对上述材料对目前的教育现象进行分析。4.阅读下面材料，回答问题。

某校五年级有位叫小超的同学，经常迟到、旷课，与同学打架，学习成绩也不好，尽管老师多次和他谈话，仍不见好转，虽然偶尔也有进步，但没过两天又恢复原样，以至老师

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都对他失去了信心。不过，小超也不是一无是处，他跑步速度飞快，在校运会上，他连续两年获得百米赛冠军，为班级争得了荣誉。除此以外，他画画特别好，足球踢得也很好。

问题：请谈谈如何对待这样的学生。5.阅读下面材料，回答问题。

“春风吹绿了大地，春雨带来了万紫千红。你看，地上的小草发芽了，路边的杨树挂满了‘毛毛虫’，风中的柳树长了嫩绿的叶子，公园里粉红的桃花、雪白的玉兰花、金黄的迎春花盛开了。”这是一个12岁的小女孩写的日记，从她稚嫩的文笔中可以看出她对大自然的热爱，她也曾天真地想过让“卖火柴的小女孩”来到这既光明又美丽的世界，然而，就是这样一个小女孩，却因为一次小测验的失误而自杀。

问题：请你就上述材料进行分析。6.阅读下面材料，回答问题。

某地三名女学生，相约服农药自杀，其中一名因抢救无效死亡，一名重度昏迷成植物人，另一名经抢救脱险后休学在家。学生为什么想自杀?原来是在期中考试后，学校进行年级大排队，张榜公布成绩，并又重新调整座位。结果三个孩子被调整到最后一排。这样，孩子们就给父母写了一份遗书，遗书中说：“我们这次考试没考好，我们没脸见你们。”他们还给班主任老师也写了一封信，说：“××老师，我们自杀不怪你，怪我们自己没有好好学，如果领导、校长追究你的话，你就把这封信给他们看。”

问题：你如何看待这一事件?从素质教育角度谈谈你的认识。7.阅读下面材料，回答问题。以下是一位老师的日记：

又到了3月5日学雷锋的时间了，学校要求每个班为周围的社区做一件好事。可我认为学雷锋不能图表现，只用一天的行动来表示一下，而应该制度化、经常化，把爱心献给那些真正需要帮助的人。我决定先在班上召开一个“我们应该怎样学雷锋”的主题班会，形成我们全班共同的意见，找到一致的办法，主题班会设计如下：

第一步：全体同学收集雷锋的动人事迹。第二步：请学生代表宣讲雷锋助人为乐的故事。第三步：分小组讨论目前存在的学雷锋种种现象。

第四步：我们该怎么办?(各小组表述自己今后学雷锋的设想与办法)第五步：全班讨论，形成学习雷锋的统一意见和行动方案。

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问题：该材料体现了哪些新的教育理念? 8.阅读下面材料，回答问题。

小刚是小学二年级的学生，平时成绩不好，但上课爱举手回答问题。有时候，老师的问题还没有说完，他便把手高高举了起来，让他起来回答问题时，他又答不出来。老师课下和小刚聊天，问原因，小刚说：“班上的同学总笑我成绩不好，说我笨，我不服气，所以老师提问时我总举手，是想向大家证明我不笨。”老师了解了原委后，并没有批评小刚，而是和他定下君子协议：“以后老师提问时，如果真会回答，你举左手;如果不会，就举右手。”在以后的课上，老师抓住小刚举左手的机会，让他回答问题，并经常表扬他。从那以后，小刚在学习上很有起色，不久就跨入了“先进生”的行列。

问题：对材料中教师的教学行为进行评析。9.阅读下面材料，回答问题。

在全面实施素质教育的要求下，怎样评价学生的优、良、中、差呢?为此，我制定了这样的标准：一是在大纲规定的基础科60分以上，并能发现自己的特长且有所发展的，视为及格;二是基础科及格或良好，特长科明显超过同年级学生的，视为良好;三是基础科良好，特长科大大超过同年级学生或有所发明创造的，视为优秀;四是仅基础科及格或仅特长科有所发展的，均视为不及格;五是仅基础科良好，或特长科单方独进的，视为畸形发展，作降格评价。这一评价标准的实施，使绝大部分差生都抬起头来走路，找到了自己成才的优势与途径，也使文化课考试分数好的学生不再自我感觉良好。从而找到了良性互补、和谐发展的新路子。通过一个学期的实践，学生的学习积极性明显高涨，各科学习成绩有了大幅度的提高，各科总分由原来年级的倒数第二上升到年级的第二名。

问题：请你针对材料中制定的评价标准，谈谈自己的看法。

参考答案

1.【答题要点】材料中这位教师犯了“唯教材”中心的倾向。教师只关注教案的完成，没有体现以学生发展为本的教学观。在教学内容处理上，没有从学生实际出发，反映了教学中的形式主义倾向。

从学生方面来讲，教师没有充分肯定学生回答的合理性，压抑了学生的独立性和创造性。

2.【答题要点】传统教学中教师只关注标准答案，只重视书本上的知识，却远离生活，将教育与生活割裂开来;只重视理性知识的价值，忽视学生自身的经验。

新课程改革要求以学生为本，促进学生的学习。新课程评价要求评价为学生的学习服务，提高学生的学习效果，尊重个体差异，既要注重结果又要注重过程。

选择中公教师 成就园丁梦想

3.【答题要点】现代社会，考试成绩、升学率成为学校教学的指挥棒。繁重的作业、补课以及由此产生的体罚等行为都给学生带来了心理压力。要改变这种情形，首先，学校应该为学生创造一个良好的学习环境，不能片面地追求升学率。其次，教师应该以身作则，热爱自己的学生，只有这样才有可能成为一个称职的教师。教师对学生的体罚的一个重要原因就是教师对学生的热爱不够。面对小学生的种种不良习惯，教师要做的不是盲目地体罚，而是去关心他们并且帮助他们改掉这些坏习惯，让他们没有心理负担并快乐地学习。最后，家长也不应体罚孩子，应从问题的根源着手，增强他们的心理承受力。

4.【答题要点】该材料主要是如何转化后进生的问题。针对后进生，教师要通过观察、调查深入了解后进生的心理特征，善于捕捉后进生身上的积极因素，创造各种条件，促进后进生的转化，而且要反复抓，抓一点，进步一点，巩固一点。

首先教师要多找小超聊天，关心他的生活，这是做好工作的极为重要的前提和条件。其次，应该多和小超的父母及其他同学谈话，了解小超坏习惯形成的原因，有针对性地纠正坏习惯。最后，教师要多发现小超身上的优点，鼓励小超积极向上的信心。

5.【答题要点】材料中，学校和教师没有以学生为本，而是把学生当作接受知识的容器，反映了该学校的教育缺乏人性化，造成这些孩子心理扭曲。

新课程改革提出“一切为了学生的发展”这个核心理念，使“以人为本”成为新课程改革的主旋律。

教育以育人为己任，教育工作就是做人的工作。当前，我国教育事业的改革与发展，不仅面临着要适应国家经济社会转型、发展并为其服务的问题，而且面临着教育自身的改革与创新的问题。无论从经济社会发展对教育的要求还是从教育自身的发展来看，当前教育的改革与创新必须坚持以人为本，必须树立以人为本的教育观。

6.【答题要点】(1)材料中的这种悲剧是源于学生对应试教育消极的反抗，是学生无法承受升学的压力所以选择轻生。

(2)但是，细究其深层次的原因，这却是教育的失败。教育的实质是培养人，培养人是为了人的发展，以适应社会的需要和发展。但应试教育异化了人的发展进程，只以分数衡量和评价学生，使教师、家长与学生认为只有分数高，才有价值;当成绩不理想时，则万念俱灰，这严重违背了教育的初衷。

(3)由此得出，教育必须改革，为了个体的发展，为了国家的未来，必须实施素质教育。素质教育对学生的评价不仅仅以分数为唯一标准，而是考查学生的方方面面，注重的是全体学生的发展，注重的是学生的全面发展，发展的是个体的个性和能力。

7.【答题要点】材料中的教师通过主题班会的形式让学生学习雷锋精神，这是一种新的学习方式。转变学习方式是课程改革的重点。转变学生的学习方式在当前推进素质教育的选择中公教师 成就园丁梦想

形势下具有特别重要的现实意义。单

一、被动和陈旧的学习方式，已经成为影响素质教育在课堂教学中推进的一大障碍。因此，转变学习方式，培养学生的创新精神和创新能力，学生才有可能成为德、智、体全面发展的新一代建设者和接班人。

8.【答题要点】材料中这位教师的做法是值得肯定、值得学习的，教师要关注学生的个性，关注学生个性的差异，让每一位学生都有机会张扬自己的个性，展示自己的智慧与才华。这位教师的做法尊重了学生，给学生在班上表现自己的机会，既保护了学生的自尊心，又提高了学生的学习兴趣和自信心。

9.【答题要点】素质教育是指依据人的发展和社会发展的实际需要，以全面提高全体学生的基本素质为根本目的，以尊重学生主体性和主动精神，注重开发人的智慧潜能，注重形成人的健全个性为根本特征的教育。

素质教育要求我们把学生培养成全面发展且具有个人特长的有用人才，就是说通过合格的基础学科加特长的标准和策略培养人才。因此，教师应调动学生的积极性，注意在学生的身心特性确立发展方向时，特长的发展与基础学科的发展和谐并进。和谐发展是指对学生整体来说，应把全人类的知识、技能和优良品质都继承下来;对学生个体来说，要以特长带动相关方面的发展，成为基础相对宽厚而特色鲜明的人才。

中考数学猜想证明题 篇6

一实数的计算、整式的化简求值、分式的化简求值、解分式方程、解二元一次方程组、解不等式组并在数轴上表示解集

二画图与计算、圆的证明与计算、三角函数应用题

三统计应用题、用列表法或树形图求某以事件的概率、统计与概率的综合应用题

四一次与反比例函数的数形结合、二次函数的数形结合、列方程或方程组解应用题

五、猜想与证明题

六、综合应用题

七、探索发现应用题

八、动点应用题

浅析数学教学中的“猜想” 篇7

何为数学猜想呢?数学猜想是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略, 它是建立在已有的事实经验基础上以已有的数学理论和方法为指导运用非逻辑手段对未知的量及其关系所作的一种预测性推断。数学方法理论的倡导者G.波利亚说过:在数学领域中猜想是合理的, 值得尊重的, 是负责任的态度, 他认为有些情况下教猜想比教证明更重要。因此, 我认为在数学教学中, 要重视猜想, 数学猜想能缩短解决问题的时间, 使学生获得更多的数学发现的机会, 锻炼学生的数学思维, 并且运用猜想可以营造学习氛围, 激起学生饱满的热情和积极的思维, 培养学生克服困难的坚强意志, 自始至终地主动参与、体会数学知识的探索过程。

下面我就数学猜想在教学实践中的运用谈一些理解与认识。

一、数学中常见的两类猜想策略

1. 类比性猜想

类比性猜想是指运用类比的方法, 通过比较两个对象或问题的相似性———部分相同或整体类似, 得出数学概念的新命题或新方法的猜想方法, 是一种从特殊到特殊的推理方法。在解决数学问题时, 无论是对于命题本身还是解题思路方法, 类比都是产生猜测, 获得命题的推广和引申的原动力。

案例1:由已知命题:“若a1、a2、b1、b2∈R+, 且则

类比猜想出新命题:“若ai、bi∈R+ (i=1, 2, …, n) 且

案例2:由已知命题:“若级数收敛, 则必有当n→∞时, 它的一般项un→0。”

类比猜想出新命题:“若无穷级数的一般项不是时的无穷小量, 则级数必发散。”

通过案例可见, 此类猜想的基本思路是利用已有命题, 通过改变命题中的部分条件从而得到新的命题, 使命题的适用范围变广。因此, 在数学教学中, 教师如能灵活运用类比的方法, 就能沟通知识间的联系, 使学生的思维更加广阔。当然, 最后还要严格证明猜想的正确性。

2. 归纳性猜想

归纳性猜想是指运用不完全归纳法, 对研究对象或问题从一定数量的个例或特例进行观察和分析, 从而得出有关命题的形式、结论或方法的猜想。它是一种从特殊到一般的推理方法, 在解决一些计算量过大的数学问题时, 往往根据归纳得出猜想, 从而得到问题的解决。

案例3:求111…112 (n个1的平方) =?

由12=1, 112=121, 1112=12321, 11112=1234321, 111112=123454321, 1111112=12345654321, 11111112=1234567654321, 111111112=123456787654321, …

归纳猜想:

n个1的平方为:111…112=1234… (n-2) (n-1) n (n-1) (n-2) …4321。

案例4:设y=sinx, 求y (n) =?

归纳猜想:

最后归纳猜想后果的正确性可以用数学归纳法加以证明。

通过案例我们可以看到, 此类猜想的基本思路是先借助不完全归纳法, 通过对部分简化了的对象进行研究, 归纳出特征后提出猜想, 然后用严格的数学方法推理论证。因此, 在数学教学中, 教师如能灵活运用归纳的方法, 就能将一些复杂和一般化的问题降低难度, 指导学生利用从简单情况得到的启发, 推断猜想出一般复杂状态下的问题的解决途径。

二、猜想在数学教学中的作用

1. 有利于激发学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师, 当一个学生对某个学科、某一问题发生兴趣时, 他就会积极思考, 想方设法去解决所遇到的问题, 而猜想就能激发学生的兴趣, 调动起学生的积极性。因为猜想是从学生所熟悉的知识或事实出发, 在教学中恰当地运用猜想可以降低问题的难度, 使学生的兴趣放到被研究的事物上来, 从而具有较好的可接受性。因此, 在数学教学中提倡使用猜想教学法。

2. 有利于更快捷地寻找解题思路

科学家研究数学问题的一般方法是“提出问题—作出猜想—检验猜想—得出结论”。猜想作为一种直觉思维活动, 在很大程度上依赖于灵感或超前思维, 它具有整体性、直接性、简敏性和跳跃性等特点, 它可以省去若干转换环节, 忽略问题的细节, 抓住问题最重要、最突出的特征直捕实质, 使思维的速度大大加快, 这便可增加对同一问题的思考时间, 从而有利于筛选出最佳解决方案。因此, 合理利用猜想教学对于学生更快捷地寻找解题思路、培养与提高能力起着很好的促进作用。

3. 有利于更为透彻地解决和掌握数学知识

数学的特点是严谨、逻辑性强, 学生在学习时往往只注重知识的表层, 或是死记硬背, 这样在运用知识时就会出现“我知道这个内容, 但就是不会用它来解决”的问题。所以只有学生真正理解、掌握知识才能去灵活运用知识。在这里灵活运用猜想教学可以起到事半功倍的效果。

4. 有利于培养学生的数学思维能力

教育能加速或延缓学生思维发展的进程, 所以进行适当的猜想教育对于学生提出和研究数学猜想, 并进一步发展他们的数学思维能力有不可忽视的作用。“猜想—发现—新的猜想—新的发现”的循环往复已成为数学和思维发展的一般规律。学生大胆地提出猜想, 并进一步验证自己的猜想, 数学思维可以得到锻炼和提升。因此理解和掌握并灵活地运用数学猜想, 对数学的学习和研究都非常的重要。

三、结语

牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想, 就没有伟大的发现。”学生的学习过程并非要出现像科学家那样的猜想, 但应具有知识的再发现和再创造能力。培养学生的猜想意识, 引导学生进行积极地猜想, 正是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端。学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素, 是较复杂的思维过程, 教师让学生根据已有的知识或直觉进行猜想, 既能调动学生的各种思维能力, 在猜想的过程中更好地获取知识, 又能展现他们的创新才智, 提高学习的自信心。

参考文献

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[3]明廷桥.数学猜想及其教学策略[J].湖北师范学院学报 (自然科学版) , 2005, (2) :91-92.

[4]蒋志萍, 汪文贤.数学猜想能力的培养[J].教学月刊 (中学版) , 2005, (11) :11-13.

[5]任樟辉.数学思维论[M].广西:广西教育出版社, 2001.

[6]张楚廷.数学方法论[M].湖南:湖南科学技术出版社, 1989.

小学数学教学中的猜想 篇8

1、猜想在新课引入中的运用

在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快

地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。如在“圆面积的计算”教学中，先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围呢？如图所示，边观察，边猜想。

提問：这个小正方形的面积是多少？（r2）这个大正方形的面积是多少？（4 r2）猜一猜圆面积大约在什么范围呢？（圆面积<4 r2）。教师问：比4 r2小一点，那到底是多少呢？大家知道吗？现在我们就来探讨解决这个问题。这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。

2、“猜想”在新知学习中的运用。

在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度？”显然这是一个很了不起的猜想。教师追问：“为什么你要提出这样的猜想？”学生回答：“用圆规画圆，半径越长，圆就越大，也就是直径越长，圆的周长就越长，所以，用直径求圆的周长，既准确，又省力。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的进程。

3、“猜想”在新知巩固中的运用

充分发挥学生的潜在能力是当今素质教育研究的重点。因此，教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力，疏通学生潜能涌动的通道，以求迸发出智慧的火花。要想实现这一目标，教师可以充分利用猜想，在有利于发挥学生的潜能的最佳环节之一—知识巩固阶段，调动学生头脑中已有的数学信息（概念、性质），并对之进行移动和重组，开拓新思路，从而获得突破性的结论。如我经常设计一些活泼的情境题、开放题，引导学生猜想，有这样一道题：“学校围墙外面是大片草地，一只羊拴在桩上，绳净长5米，这只羊可在多大面积吃到草？”学生们动手寻找答案，很快学生提出猜想：“要求这只羊可以多大面积吃到草，就是求以绳长5米为半径的圆的面积。”过了一会儿，又有一位学生提出的猜想更为新颖别致、别出心裁。他说：“羊吃草有无数种情况。”并画出了一组图形，这种由图形表达的结论充分展示了学生无法估量的创造潜能。对他猜想的构思，生成过程及其所经历的体验也只可意会，无法言传。

可见，老师在教学中利用猜想，为学生创造了更多的自主思考机会激发了学生学习的内驱力，发展了学生的潜在能力，使学生在认识所学知识、理解所学知识的同时，智力水平不断提高。

小学数学教学中的猜想 篇9

牛顿讲过：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”猜想是根据已知的原理和事实，凭借直觉所做出的似真推测，是一种创造性的思维活动。纵观数学发展史，我们发现很多的数学结论都是从猜想开始，然后再设法证明的。如著名的哥德巴赫猜想、费尔马猜想、欧拉猜想等，正是因为有了这些猜想的提出，才使得后来的学者努力探索，推动了数学的发展。因此对学生猜想能力的培养是十分重要和必要的。

一、尊重学生的主体地位，激发学生的猜想能力

苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。在教学中把提高学生自觉学习的能力放在首位，让学生学会探索。正确对待学生的错误，让学生在民主的气氛中学习，思维活跃，勇于猜想。在数学教学中，教师应经常有意识的应用启迪教学，引导学生大胆猜想，将学生内在的这种强烈需求激发出来，让学生亲身感受猜想的威力，享受猜想的喜悦。

二、创设教学情境，激发学生的猜想兴趣

爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”数学课教学中，教师如果能提出有探索性、挑战性的问题，就可以诱发学生的猜想，激发学生的求知欲。启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索的欲望，我们绝不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”：“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类的问题，组织学生进行猜想、探索。

三、展现知识发生发展过程，培养学生归纳猜想能力

归纳是以特殊到一般的思维方法，它包括不完全归纳和完全归纳两种。在教学中要重视学生的归纳能力的培养。教师可引导学生通过对事物特殊例子的观察与综合，将事物的共同特征加以概括，揭示出事物的本质，并且依据本质特征提出关于某事物的一般性猜想。通过这种归纳猜想，学生就可以得出一些数学结论。如在讲多边形的内角和及外角和定理时，我是这样引导学生来探讨研究的：首先在黑板上画出三角形、四边形、五边形、六边形等，然后引导学生研究：“过它们的一个顶点能引出几条对角线？把多边形分成几个三角形？”学生立即动手就在练习本上画起来，不一会儿就得出结论：过三角形的一个顶点引不出对角线，过四边形的一个顶点可以引一条对角线，把多边形分成两个三角形，过五边形的一个顶点就可以引两条对角线，把多边形分成三个三角形，过六边形的一个顶点可以引三条对角线，把多边形分成四个三角形。然后教师在黑板上演示，这时就引导学生观察总结它们的规律，作出猜想：过n边形的一个顶点能引出多少条对角线？把n边形分成了多少个三角形？这时学生很快地猜想到：即过n边形的一个顶点有n-3条对角线。这n-3条对角线把n边形分成了n-2个三角形。最后学生很轻松地得出n边形的内角和定理的证明：因为过n边形的一个顶点有n-3条对角线。这n-3条对角线把n边形分成了n-2个三角形，又三角形的内角和为180°，所以，这n-2个三角形的内角和就是（n-2）?180°，此即为n边形的内角和。

四、重视知识间的联系，培养类比猜想能力

类比猜想，就是根据两个（或两类）对象之间某些方面的相似或相同而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的猜测方法。著名数学家拉普拉斯指出：在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。数学史告诉我们：很多关键时刻，数学家巧妙地运用类比推理，得以数学发现，在科学道路上，获得巨大的成功。在中学教材中有很多明显的类比：从“三角形全等的判定”类比出“三角形相似的判定”，从分数的性质类比出分式的性质，从一元一次方程的性质类比出一元一次不等式的性质。但这些都需要我们教师努力引导才能找到它们之间的规律。

五、注重实践检验，正确评价猜想

事物都是一分为二的，猜想也有两重性。一方面它能引导人们作出正确的判断和预见，另一方面这种判断和预见也有可能是错误的。因而对待猜想必须运用严格的逻辑分析和演绎推理来进行证明或举出反例淘汰错误的猜想，这是教学的一个原则。一旦发现猜想的结论不符合事实应马上修正和放弃，不能死抱不放。

例如教师在讲授三角形全等的判定时，在讲解完边角边定理后，向学生提出：“两个三角形如果有两边及其中的一边的对角相等，那么能否判定这两个三角形全等？”这时，很多学生由边角边定理理所当然认为这两个三角形会全等。这时教师可让学生动手操作。画△ABC，使AB=9cm，AC=6cm，∠B=40°，学生画完之后让全班同学互相比较所画图形是否一样，而后教师用尺规在黑板上画出以下两幅图形。

图1 图2

说明符合两边及一边的对角对应相等的两个三角形并不一定会全等。因此，要学生注意在猜想的过程中不能为“错觉”所迷惑。

小学数学教学中的猜想 篇10

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为

(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。

几个未解的题。

1、求(1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?欧拉已求出：

(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6

并且当k为偶数时的表达式。

2、e+π的超越性

此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。

已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。

3、素数问题。

证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …(s属于复数域)

所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。

引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？

4、存在奇完全数吗？

所谓完全数，就是等于其因子的和的数。

前三个完全数是：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

目前已知的32个完全数全部是偶数。

1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：

n>10^505、除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？

这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。

6、任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？

这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。

三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。

1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。

1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。

2、问题2 算术公理相容性。

哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。

3、问题7 某些数的无理性和超越性。见上面 二 的

25、问题 8 素数问题。见上面 二 的 36、问题 11 系数为任意代数数的二次型。德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。

7、问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。

此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。

8、问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。

1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。

9、问题15 舒伯特计数演算的严格。

代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。

10、问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。

要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。

11、问题 18 用全等多面体来构造空间。

无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。

12、问题 20 一般边值问题。

偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。

13、问题 23 变分法的进一步发展。

四 千禧七大难题

2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1、黎曼猜想。见 二 的 3

透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)

西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)

随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd(c、d 为正实数)时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time(非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。

4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）

因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–

史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。

5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)

庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。

6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。

60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ(s)= 时取值为0，即ζ(1)；当s1= 0

7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)