等效电阻

等效电阻（共4篇）

等效电阻 篇1

1 Sierpinski电阻网络的简化思路

对Sierpinski电阻网络等效电阻计算式的推导,可以使学生对分数维概念有一个很好的感性认识。但文献多是利用电路的串、并联知识,和Δ-Y等效变换来分析[1,2],其过程如图一所示。

其目的是将图一(a)变为图一(c),但是其中间步骤的物理思想不够明确直观。

仔细观察图Sierpinski电阻网络的生长过程(图二所示),很容易发现,只要能让第一次生长的图形变为原始图形三角形,就很容易求出其等效电阻。而让其变回三角形,只需要去除结点a、b和c。

去除这三个结点,我们需要考究一个问题就是如何将一个由5个结点组成的星形网络变为一网形网络(去除中心结点)。

2 多节点星形-网形变换

参照文献[3]关于Y-△变换的求解方法,我们对于5个节点的星形网络求解如下:

对于网形连接电路,电阻中电流为

对于星形连接电路,根据KCL和KVL得出其端子电压电流关系方程为:

由于不论U1 2、U1 3等电压为何值,两个等效电路对应的端子电流均相等,故上式与(1)式中对应电压前面的系数应该对应的相等,于是可以得到:

(2)式即为5节点星形-网形变换公式。从式中可以看出,与0点相连的结点在变换后两两之间都有电阻。

对于图二(b)的网络,我们利用(2)式依次去除abc三个节点(变换中产生并联部分直接求解),即可将其变回原始图二(a)。

对于文献[4]提到的n级嵌套的三角形电阻网络,用本文的方法也是非常方便的。

3 结论

等效电阻计算的要点就是减少电路的节点数,抓住这一点,就能让解决问题的思路得到简化。本文的方法用于文献[1,2,4]的问题处理,都会使思路更加直观。

参考文献

[1]过祥龙,张毓麟.Sierpinski电阻网络等效电阻的研究.大学物理.1997,16(4):8-10

[2]郭慧丽.Sierpinski变形电阻网络等效阻值的研究.甘肃高师学报.2001,6(2):27-28

[3]邱关源.电路(第四版).北京:高等教育出版社.1999:36-37

[4]李建新.一类n级嵌套的三角形电阻网络的研究,安阳工学院学报.2005,13:58-60

等效法求电阻 篇2

题目:如图1所示, 一个规整均匀的长方体金属板, 边长为和2L, 当接ad时和接cb时, 测得电阻之比为多少?

错误解法:如图2所示, 将长方体分为完全相等的左右两部分, 设每部分等效电阻为R, 则当接ad端时, 相当于两个阻值为R的电阻并联, Rad=R/2.当接cb端时, 相当于两个阻值为R的电阻串联, Rcb=2R.则Rad/Rcb=1/4.

正确解法:如图3所示, 将长方体金属板分成完全相等的上下两部分, 设每部分电阻为R, 则当接ad端时, 相当于两个阻值为R的电阻串联, Rad=2R;当接cb端时, 相当于两个阻值为R的电阻并联, Rcb=R/2.则Rad/Rcb=4/1.

上述两种等效方法, 表面上看似都有道理, 但上面错误解法中得到了Rad小于Rcb的错误结果, 那么问题到底出在哪里了呢?此类问题的等效求解应注意什么呢?

在上面的错误解法中, 设定左右两部分每部分阻值为R, 在ad端接入和cb端接入时, 左右两部分金属板中, 电流水平通过和电流上下通过时, 每一部分的阻值是不同的.而在求Rad/Rcb时, 错误解法中却认为两部分阻值在ad端接入和cb端接入时阻值都为R.因而出错.

而在正确解法中, 由于上下均分的两部分电阻每部分长宽相等, 在ad端接入和cb端接入时, 每一部分电阻阻值都保持不变, 所以正确解法中等效求解合理.

由上面分析可以推知, 利用等效法求解电阻问题, 一定要使等效部分阻值不受接法影响才行.在上例中, 如果将长方形金属板的边长改为L和3L, 求接ad时和接cb时, 测得电阻之比为多少?

等效电阻 篇3

下面结合电阻并联电路等效电阻计算方法这一具体的教学案例进行分析讨论。

1 传统教学内容经典教学模式

电阻并联电路的计算方法, 学生在中学物理课的学习中即已掌握, 既:“对于n个并联的电阻, 其等效电阻Req为”;“n个相同的电阻R并联, 其等效电阻Req为”。在高校电工课传统教学安排中, 这部分内容基本都是放在“电阻电路的等效变换”这一章节中, 其与中学物理课教学的区别是:从“等效变换”的概念出发进行学习。[2]虽然换了一个角度, 但上述内容基本还是原封不动的讲解。但是由于这一结论众所周知, 学生学起来觉得浅显、没有新意、不以为然, 因而学习时并没有引起足够重视。若能够将上述基本结论进一步展开、引申, 则可以使学生重新认识经典基础理论, 进一步理解知识的内涵和外延, 体验到学习的乐趣。

2 拓展教学内容创新教学思路

例如, 可以将上述电阻并联计算的应用方法加以扩展, 其基本思路是:是否可以将并联电路中各个不同的电阻折算成某一相同的电阻, 将电路等效为若干个相同电阻并联的电路再进行分析计算呢?上述“n个相同的电阻”中的n是否可以扩展到其它数呢?举例分析如下。

1) n为正整数

例如, 2Ω、4Ω、12Ω三个电阻并联, 其等效电阻为:

现将所有电阻均折算到12Ω。折算方法为:2Ω电阻可以等效为12/2=6个12Ω电阻并联;4Ω电阻可以等效为12/4=3个12Ω电阻并联, 于是2Ω、4Ω、12Ω三个电阻并联可看作是6+3+1=10个12Ω电阻并联, 所以, 等效电阻为Req=12/10=1.2Ω, 与用传统计算方法所得结果相同。

2) n为小数

例如, 10Ω和4Ω电阻并联, 求其等效电阻。用折算的方法为:

(1) 将电阻均折算到4Ω, 则10Ω电阻可以等效为4/10=0.4个4Ω电阻并联;于是10Ω、4Ω电阻并联可以看作是0.4+1=1.4个4Ω电阻并联, 所以等效电阻为Req=4/1.4=20/7Ω。

(2) 将电阻均折算到10Ω, 则4Ω电阻等效为10/4=2.5个10Ω电阻并联;于是10Ω、4Ω电阻并联可看作是2.5+1=3.5个10Ω电阻并联, 所以等效电阻为Req=10/3.5=20/7Ω。

(3) 以上计算方法中, 实际上可以将所有电阻折算到任意电阻上, 例如, 10Ω和4Ω电阻并联, 可以折算到20Ω电阻上, 于是10Ω、4Ω电阻并联可看作是2+5=7个20Ω电阻并联, 所以等效电阻为Req=20/7Ω。

3) n为负数

以上电阻并联电路的计算方法同样适用于阻抗并联电路。

4) n为复数

综上所述, 并联电阻电路计算中“n个相同的电阻”中的n不一定限于正整数, 也可以是负整数、小数、复数等其他数。经此扩展, 对并联电阻计算的公式就有了更加深入及广泛意义的理解。

此外, 在上述案例教学中, 教师只要抛砖引玉, 将分析计算的基本思路给学生讲清楚, 然后就可以启发引导学生掌握实质, 把握要点, 以点带面, 举一反三、触类旁通, 使所学知识达到融会贯通。而且启发了心智, 开阔了视野, 激发了创新意识和发散思维。[3]

3 结束语

对于传统的教学内容、经典的教学模式, 教科书的编写和编排没有错, 教师按部就班的讲解也没有错, 都是为了顾及知识的逻辑结构、为了达成教学目标。但事实证明, 对于经典的基础理论进行科学的再加工和合理的安排, 能够突破传统的教学内容和教学模式, 在既符合学科知识本身内在的逻辑序列, 又符合学生认识发展的顺序的前提下, 能够做到常变常新, 满足学生求知、求趣、求异、求新的心理, 从而使课堂教学也因此焕发新的生命力。[4]

摘要：本文以电路课中的经典基础理论为教学案例, 分析探讨如何突破传统电工课程教学内容, 改革教学模式, 创新教学思路。

关键词：教学,并联,折算,等效

参考文献

[1]马玲.本科电路分析课堂教学与应用相结合的实践[J].科教文汇, 2009 (16) :164.

[2]邱关源.电路[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[3]曾曼, 赵锦成.“电路”课程教学改革与实践[J].中国电力教育, 2012 (21) :48-49.

等效电阻 篇4

细胞贴附是细胞生长、迁移、细胞间连接形成、代谢、分裂、分化和凋亡等组织或肿瘤形成过程的初始步骤。基于生物方法的检测, 如采用标记, 都是基于终点的检测, 并且会对细胞产生一定影响。细胞电生理研究采用电学方法研究细胞的生理状态的改变, 其中很重要的一种方法是细胞电阻抗传感, 它在药物筛选和临床诊断方面有很大作用。

细胞电阻抗传感检测 (electriccell-substrate impedance sensing, ECIS) 最早是由Giaever和Keese两个人[1]在1984年提出, 细胞在金电极上贴附生长会改变电极溶液的整体阻抗, 他们使用细胞电阻抗来监测细胞在金电极上的繁殖和形态变化, 这种方法的特点是实时、非侵入式和无标记性。Giaever和Keese所使用的测量电极形式是一个小面积 (3×10-4cm2) 的工作电极与一个大面积 (2 cm2) 的参比电极, 测量4 k Hz频率下阻抗随时间的变化, 并建立相应的分析模型[2,3]。采用小面积测量电极进行检测时, 由于电极面积很小, 细胞不容易分布均匀, 且每次测量位置不同会对结果产生很大影响, 导致实验的重复性较差。而后在1997年Ehert[4]首次全面报道了叉指电极 (IDE) 检测细胞行为的研究, 相比于小面积的单点电极, 叉指电极的覆盖面积大, 实验重复性好, 多用于细胞毒理的研究。在细胞阻抗的研究中, 大多使用单频点下的阻抗随时间的变化来反应细胞的生长变化, 其中就涉及到频率点的选取问题, 频率点的选取, 最开始Giaever对于频率点的选择原因没有做出说明, 不同频率点的选择对于结果会有影响, 其后的研究中, 所采用的频率点选择方法通常是先测量一个宽频率 (通常1 Hz~1 MHz) 下的无细胞溶液电阻抗谱与有细胞溶液电阻抗谱, 选取细胞有无状态下阻抗幅值差值最大所在的频率点, 测量该频率点下细胞阻抗值随时间的变化来评定细胞生长状态[5]。这种方法简化了测量过程, 对于药物检测也有实际的作用。

在本研究开展的工作中, 笔者所采用的电极形式是叉指电极, 实验所测量数据是细胞溶液的电阻抗谱, 由此建立细胞溶液的等效电路模型, 分析模型参数随时间的变化情况, 给出细胞贴附生长生理变化与等效模型参数变化之间的对应关系, 相对于单频点的测量, 本研究所使用的方法能够给出关于细胞贴附生长更加全面的生理信息。

1 理论分析

使用电极测量细胞阻抗时, 首先需分析无细胞存在时电极与溶液之间的阻抗。按照电化学理论的解释, 溶液电化学反应包含两个过程, 一个是离子从溶液扩散在电极界面, 这是传质过程;然后离子在电极上发生反应, 这是活化过程。整个电化学反应模型可以用经典Randles电路表示, 该等效电路模型如图1所示。

Cdl—电极溶液界面电容, 取决于界面附近的所有物质, 包括可溶解的分子、离子等等;Rs—溶液的电阻, 和溶液本身电导特性相关;Rp—极化电阻, 反映活化过程的特征;W—Warburg阻抗, 反应传质过程的特征

Rp和W一起成为法拉第阻抗, 包含的是电化学反应过程的阻抗。该电路中, Rs和Cdl近似于是理想的电路元件, 而Rp和W阻抗并非是理想的元件, 它们与测试频率之间还有一定的关系。

上述基础等效电路分析的是典型的电化学反应过程, 该过程中电极与溶液会发生氧化还原反应, 而在生物实验中, 由于使用的金电极是惰性电极, 电极上基本上不发生氧化还原反应, 即法拉第阻抗很大。

Mc Adams[6]等人的研究表明, 等效电路可以简化为如图2所示的等效电路模型。

根据图2的等效模型可知, 即电极溶液界面的阻抗等效为一个常相角元件CPE, 它的阻抗表达式为:

式中:K—与溶液特性相关的参数, 包括溶液浓度、溶液体积等因素;β—与电极属性相关的参数, 包括电极的材料、电极表面粗糙度等。

生物细胞由细胞膜包裹细胞液组成, 细胞液含有离子, 导电性较好, 而细胞膜是磷脂双分子结构, 磷脂双分子层导电性很差, 上面分布着各种类型的通道, 水分子与离子只能通过相应的特殊通道进出细胞, 这导致细胞膜的导电性很差。而由于水化作用的存在会使得细胞膜表面形成双电层, 整体细胞带有一定量的静电荷, 最终使得细胞整体容抗很大、电导很小[7]。文献[7]表明细胞整体电容率达到0.5μF/cm~1.3μF/cm, 电导率达到102Ω·cm2~105Ω·cm2。子宫颈癌Hela细胞具有贴壁特性, 它在培养液中需先贴附到培养器皿的底部器壁上, 而后才能进行正常生长繁殖。细胞接入培养皿初始时分, 细胞悬浮于溶液中, 整体呈球状, 然后开始贴附过程, 细胞与容器底部发生物理接触, 整体舒展, 贴附完成后, 细胞整体呈梭形附着在容器底部, 此时细胞膜与电极之间的间距达到10 nm~20 nm。按照此前的研究结果, 细胞对电极的贴附会改变电极流出电流的通路, Giaever和Keese建立了一个基于电流流向分布的数学解析模型, 该模型参数能够实时表征细胞生长状态的变化。

其后, Wengener[8]利用等效电路对实验数据进行了分析, Cho[9]将CPE模型用于表征细胞膜阻抗, 胡朝颖等[10]提出的等效分析电路如图3所示。对比经典Randles等效电路模型, 图3 (a) 所示模型增加了细胞电极间隙的阻抗以及细胞本身的阻抗;图3 (b) 所示模型将间隙阻抗与细胞阻抗统一简化成为一个整体, 用于表征由于细胞存在对模型整体带来的影响。

综合上述分析, 得到的细胞贴附等效电路模型如图4所示。

2 材料与方法

2.1 细胞阻抗测量装置的研制

细胞阻抗测量装置主要感应部分是叉指金电极, 电极的外观结构图如图5所示。其中, 电极整体外观如图5 (a) 所示。图5 (a) 中, 一块电极上面有4个感应电极, 组成四通道传感器。单通道电极的形状和主要结构参数如图5 (b) 所示。主要的参数有两个, 分别是叉指电极的宽度D和电极间距W, 实验所用的电极芯片参数为:D=20μm, W=100μm。电极采用微电子加工技术获得, 在硅玻璃基底上加工出20μm厚度的钛和200μm厚度的金, 钛的存在是为了增大金和硅玻璃之间的附着。

为了实时培养细胞和施加电信号, 需要增加培养结构和电路连接结构, 制备完整的细胞培养腔。细胞培养整体结构构成如图6所示。

Ⅰ—保护罩;Ⅱ—细胞样品腔;Ⅲ—叉指电极芯片;Ⅳ—PCB电路板

2.2 细胞阻抗谱测试系统

细胞阻抗谱测试系统构成图如图7所示。细胞测量装置整体置于培养箱中, 来对细胞进行实时地培养和测量。传感器芯片通过杜邦线与电化学工作站 (Parstat 4000) 相连, 在计算机界面上对Parstat 4000进行控制, 使得Parstat 4000施加幅值为20 m V, 频率为1 Hz~1 MHz的交流电压给测量装置, 响应信号被Parstat 4000采集后, 经过处理, 最后得到阻抗谱数据。

2.3 Hela细胞培养与测量

实验所采用的的细胞是Hela细胞, 将Hela细胞接种于含有10%的胎牛血清的DMEM (dulbecco's modified eagle's medium) 溶液中。整体测量装置置于37℃、5%CO2培养箱中培养, 连续培养10 h, 每隔一小时测量一次阻抗谱。在放入培养箱1 h时与10 h时这两个时刻对细胞进行显微拍照。

3 结果与讨论

3.1 细胞生长状态

本研究选取Hela细胞为实验材料。因Hela细胞对表面要求不高, 无需做表面处理即可良好贴附生长, 接种细胞1 h时与接种10 h时显微镜下观察到的细胞形态如图8所示。由图8可知, 接入细胞1 h时, 细胞多悬浮在电极表面, 呈圆形颗粒状;而在接入细胞10 h时, 细胞已经在电极表面贴附, 并且伸展开呈单层生长状态, 细胞呈梭形状态。从细胞分布来看, 电极区域与非电极区域并无明显分布差异。

3.2 模型参数分析

本研究测量0 h~10 h的阻抗谱, 每隔1 h测量一次, 总共得到11组数据。笔者使用图4所示等效电路对第一组数据进行非线性最小二乘拟合, 在高频区段, 实际测量相角出现负值, 而图4等效电路不会出现该种状况。

考虑实验系统线路会带入感抗因素, 故对模型进行修正, 增加分布电感L。修正后的电路模型如图9所示。

针对修正前后的等效电路模型, 本研究对0 h时的阻抗谱数据进行拟合, 两次拟合结果的比较情况如表1所示。对比结果可知, 修正模型的拟合结果标准差远小于原模型, 拟合效果更优, 即选用修正模型能够更好地拟合实验数据。

本研究使用修正模型对测量的11组数据进行拟合, 得到不同时刻的7个模型参数, 以10 h时的参数为标准参数, 将0 h~10 h的模型参数与之相除, 得到标准化的模型参数, 绘制标准化模型参数与时间的关系, 如图10所示。

整体上将参数分为两组:第一组参数反映电极和溶液的固有性质, 包含L、Rs、K、β;第二组参数反映细胞带来的影响, 包含R1、K1和β1。

第一组参数中, 参数变化分成两种。参数L开始变化很大, 可能是由于培养温度变化引起, 其后7 h保持平稳, 最后2 h上升可能是线路抖动产生。另外3个参数Rs, K, β全过程变化不超过5%, 这3个参数反映的是溶液电极固有性质, 在实验过程中, 电极本身没有变化, 细胞生长消耗了培养液中的营养物质, 而细胞内外离子浓度保持平衡, 培养液的电特性不变, 所以这几个参数变化不大。

第二组参数R1、K1, β1变化明显。如图10所示, 3个参数随时间是一个线性变化过程, 因此可以用3个参数的变化来反应细胞的生长贴附状况。细胞本身相当于一个容性元件, 溶液相当于阻性元件, 故R1反应的是细胞与电极之间溶液的变化, 电流流向与电极表面平行, 由于贴附, 导致间隙溶液的横截面减小, 电阻增大。细胞贴附过程, 细胞本身形状变扁, 类比于平板电容, 电容值与面积成正比, 与电极间距成反比, 由于细胞变扁, 细胞附着在电极上的膜与未附着的膜之间距离变小, 而面积变大, 最终K1值增大, β1减小。

4 结束语

本研究组装出了能实时、连续获得细胞电阻抗谱的测量装置。

实际He La细胞实验结果表明, 细胞阻抗测量装置能够对细胞贴附进行实时监测, 为细胞电生理如细胞活性检测盒药物筛选等提供了一种无损、快速的方案。同时, 针对实验中获得的阻抗谱数据, 笔者使用等效电路对其分析, 提出修正等效电路模型, 用于分析细胞贴附过程生理改变。相较于单频点阻抗变化, 该方法提供了更全面的细胞生理信息。

本文引用格式:

焦泉, 胥善治, 杨生胜, 等.贴壁细胞电阻抗谱等效电路模型的建立与分析[J].机电工程, 2014, 31 (9) :1107-1110, 1121.

JIAO Quan, XV Shan-zhi, YANG Sheng-sheng, et al.Establishment and analysis of the equivalent circuit model of the electrical impedance of adherent cells[J].Journal of Mechanical&Electrical Engineering, 2014, 31 (9) :1107-1110, 1121.

参考文献

[1]GIAEVER I, KEESE C R.Monitoring fibroblast behavior in tissue culture with an applied electric field[J].Proceedings of the National Academy of Sciences, 1984, 81 (12) :3761-3764.

[2]GIAEVER I, KEESE C R.Micromotion of mammalian cells measured electrically[J].Proceedings of the National Academy of Sciences, 1991, 88 (17) :7896-7900.

[3]GIAEVER I, KEESE C R.A morphological biosensor for mammalian cells[J].Nature, 1993, 366 (6455) :591-592.

[4]EHRET R, BAUMANN W, BRISCHWEIN M.Monitoring of cellular behaviour by impedance measurements on interdigitated electrode structures[J].Biosensors and Bioelectronics, 1997, 12 (1) :29-41.

[5]WANG L, WANG H, WANG L.Analysis of the sensitivity and frequency characteristics of coplanar electrical cell–substrate impedance sensors[J].Biosensors and Bioelectronics, 2008, 24 (1) :14-21.

[6]MCADAMS E T, LACKERMEIER A, MCLAUGHLIN J A.The linear and non-linear electrical properties of the electrode-electrolyte interface[J].Biosensors and Bioelectronics, 1995, 10 (1) :67-74.

[7]PETHIG R.Dielectric and electronic properties of biological materials[M].New York:John Willey&Sons, 1979.

[8]WEGENER J, SIEBER M, GALLA H J.Impedance analysis of epithelial and endothelial cell monolayers cultured on gold surfaces[J].Journal of biochemical and biophysical methods, 1996, 32 (3) :151-170.

[9]CHO S, THIELECKE H.Electrical characterization of human mesenchymal stem cell growth on microelectrode[J].Microelectronic Engineering, 2008, 85 (5) :1272-1274.