常见错例

常见错例（共5篇）

常见错例 篇1

函数是高考的热点之一, 但从近年的试卷上看, 错解颇多.下面举例谈谈应注意的几个问题.

一、函数的连续性

例1 判断函数$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x{}^2-4}{x-2}(x\ne 2),\\ 2(x=2)\end{array}$在 x=2处是否连续.

错解:因为函数 f (x) 在 x=2处有定义, 所以 f (x) 在 x=2处连续.

剖析:函数 f (x) 在 x=x0 处有定义, 仅是函数 f (x) 在 x=x0 处连续应满足的三个条件之一, 只根据一个条件不能判定 f (x) 在 x=x0 处是否连续, 还要进一步说明$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}f(x)$与 f (x0) 是否相等.

$\begin{array}{l}\text{正}\text{解}:\text{因}\text{为}\underset{x\to 2}{{\displaystyle \lim }}f(x)=\underset{x\to 2}{{\displaystyle \lim }}\frac{x{}^2-4}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{{\displaystyle \lim }}(x+2)\\ =2+2=4‚\end{array}$

而 f (2) =2, 可见$\underset{x\to 2}{{\displaystyle \lim }}f(x)\ne f(2)$, 故函数 f (x) 在 x=2处不连续.

二、函数的极限

例2 求极限$\underset{x\to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sqrt{x{}^2+1}}{x}.$

错解:$\underset{x\to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sqrt{x{}^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x{}^2}}}{1}=1.$

剖析:上述解法中, 分子分母同除了 x, 在分子中把 x 转化成$\sqrt{x{}^2}$, 在此过程中忽视了 x→-∞即 x 为负数的隐条件.其错误在于应用了$x=\sqrt{x{}^2}(x＜0)$这一错误结论.

正解:$\underset{x\to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sqrt{x{}^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x{}^2}}}{1}=-1.$

三、函数求导

例3 已知 y=3 (x2+1) 3+2 (x2+1) 2+ (x2+1) +5, 求 y′.

错解:设 x2+1=u, 则

y=3u3+2u2+u+5.

所以 y′=9u2+4u+1,

所以 y′=9 (x2+1) 2+4 (x2+1) +1

=9x4+22x2+14.

剖析:上述解法错误地把“换元思想”一成不变地搬到了导数上.事实上, 我们要对原函数求导时, 自变量为 x, 而上述解法中自变量为 u, 故导致错误.本题若用换元法, 可用复合函数的求导法则;也可先化简再求导.

正解:参考原解, y′=y′u·u′x

= (9u2+4u+1) ·2x

=2x[9 (x2+1) 2+4 (x2+1) +1]

=18x5+44x3+28x.

或先化简, y=3x6+11x4+14x2+11,

所以 y′=18x5+44x3+28x.

点评:函数求导一般遵循先化简、再求导的原则.如果引入变量代换, 则应该用复合函数的求导法则.

四、函数的单调性与极值

例4 设函数 g (x) =x3-3x2+2在区间 (0, m) 上递减, 求 m 的取值范围.

错解:g′ (x) =3x2-6x.

令 g′ (x) <0, 则 x∈ (0, 2) ,

所以 g (x) 的减区间为 (0, 2) .

又 g (x) 在区间 (0, m) 上递减, 所以 m=2.

剖析:本题错误的原因在于把“函数在区间 (0, m) 上递减”, 理解为“只在区间 (0, m) 上递减”.事实上所给减区间应是函数减区间的子集 (子区间) , 即求得的区间 (0, m) ⊆ (0, 2) .

正解:令 g′ (x) =3x2-6x<0,

得 0<x<2,

所以 g (x) 的减区间为 (0, 2) .

又 g (x) 在区间 (0, m) 上递减,

所以 (0, m) ⊆ (0, 2) , 所以0<m≤2.

例5 若函数 f (x) =x3-ax2-bx+a2 在 x=1处有极值10, 求 a、b.

错解:f ′ (x) =3x2-2ax-b.由题设知

$\{\begin{array}{l}f{}^{\prime }(1)=0‚\\ f(1)=10‚\end{array}$

即$\{\begin{array}{l}3-2a-b=0‚\\ 1-a-b+a{}^2=10.\end{array}$

解得$\{\begin{array}{l}a=-4‚\\ b=11‚\end{array}$或$\{\begin{array}{l}a=3‚\\ b=-3.\end{array}$

剖析:若$\{\begin{array}{l}a=3‚\\ b=-3‚\end{array}$

则 f ′ (x) =3x2-6x+3=3 (x-1) 2

≥0.

这说明 x=1两侧导数值不变号, f (x) 在 x=1处无极值, 故舍去.

正确答案应是 a=-4, b=11.

河北省迁安二中

勾股定理常见错例剖 篇2

一、刻板地套用勾股定理

例1 在Rt△ABC中，∠A=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边， a=4，b=3，求c的长度.

错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=42+32=25，所以c=5.

剖析：错在对勾股定理的认识不正确，受勾股定理c2=a2+b2的影响，想当然地套用勾股定理，认为c是斜边而导致错误. 实际上，本题中∠A=90°，a是斜边，故应是a2=b2+c2.

正解：因为∠A=90°，由勾股定理，得a2=b2+c2 .故有c2=a2-b2=42-32=7，所以c =.

点评：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边是斜边，而c不一定是斜边. 既要看是否满足勾股定理的形式，又要看这个定理中a、b、c的实质.

二、忽略勾股定理存在的条件

例2 在边长都是整数的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的长.

错解：因为AB>AC，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=42+32=25，所以 AB=5.

剖析：此题错在没有明确是否为直角三角形，受“勾3股4弦5”的思维定势的影响，误认为△ABC是直角三角形，忽略勾股定理存在的条件而盲目使用勾股定理.

正解：根据三角形的三边关系：三角形任何一边小于两边的和，得AC+BC>AB>AC，即4

点评：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，但只有在直角三角形中才成立. 因此在非直角三角形或不确定是直角三角形的情况下，不能盲目使用勾股定理.

三、思考问题不全面

例3 在Rt△ABC中， a=8，b=6，求c的长度.

错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

剖析：本题没有给出对应的图形，上述解法误认为∠C是直角，将c当作斜边，思考问题不全面. 由于本题没有明确哪个角是直角，所以需要分情况讨论：∠A是直角或者∠C是直角.

正解：（1）当∠C是直角时，

由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

（2）当∠A是直角时，

由勾股定理，得a2=b2+c2.故c2=a2-b2=82-62=28，所以c =2.

故c的长度为10或者2.

点评：当题目给出直角三角形两边长，并且没有确定它们都是直角边时，需要考虑到所有符合条件的图形，明确第三边既可以是直角边，也可以是斜边. 周密思考，防止漏解.

四、勾股定理与逆定理混淆不清

例4 在△ABC中，a=12，b=5，c=13，试判断△ABC的形状.

错解：因为c2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

剖析：本题错在混淆了勾股定理与其逆定理，虽然最终判断的结果正确的，但判断的依据错误. 勾股定理的前提是在直角三角形中，结论是a2+b2=c2，所以勾股定理是直角三角形的一个性质，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的一个判定方法.

正解：因为c2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.

点评：勾股定理是直角三角形的一个性质，可以用它来判断直角三角形三边的等量关系，而其逆定理是根据三边的等量关系来判断三角形的形状.

五、推理错误

例5 在△ABC中， a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边， a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求∠C的度数.

错解：因为（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.

所以a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

剖析：本题错在推理过程上，列出（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2这个等式就认为a2+b2=c2成立.

正解：因为a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

点评：在判断所给的线段能否构成直角三角形时，首先要确定最长边，然后再通过推理，只有计算出较短两边的平方和等于最长边的平方时，才能说明此三角形是直角三角形.

通过对这些问题的剖析，希望同学们能仔细体会勾股定理及其逆定理的本质意义，并加以灵活运用.

练习：

1.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且（a+b）（a-b）=c2，则（ ）.

A.∠C=90° B .∠B=90°

C.∠A=90° D.不是直角三角形

2.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长.

参考答案： 1.C； 2.25或7.

常见错例面面观 篇3

1. 概念理解不透彻

例 1 在 Rt△ABC中，各边的长度都扩大 3 倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.

A. 都扩大 3 倍B. 都扩大 4 倍

C. 不能确定D. 没有变化

【错解】A.

【分析】三角形三边都扩大 3 倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.

【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.

2. 忽视求三角函数的限制条件

例 2 （2012·江西内江）如图 1，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 sin A的值为（ ）.图 1

A.1/2B.51/2/5

C.101/2/10D.2 51/2/5

【分析】在本题的解答过程中，根据sin A=∠A的对边/斜边， 部分同学会错误地得出sin A=BC/AB，导 致结果与 选 项 不 符 ，要 么 随 便 选 一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中.因此 本题 需先寻 找∠A所 在的 直 角 三 角形，而图中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图 1，连接CD，得到CD⊥AB，sin A=CD/AC=21/2/10=51/2/5.

在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.

3. 忽视分类讨论

例 3 Rt△ABC的两条边分别是 6 和8，求其最小角的正弦值.

【错解】∵6 和 8 是直角三角形的两边，∴ 斜边是 10，∴ 最小角的正弦值是3/5.

【分析】已知条件中并没有指明 6 和 8是两条直角边，所以本题应分两种情况：

（1） 6 和 8 是两条直角边；

（2） 6 是直角边，8 是斜边.

很多同学错在忽视了第 2 种情况.

【正解】当 6 和 8 是两条直角边时，斜边是 10，所以最小角的正弦值是3/5.

当 6 是直角边，8 是斜边时，则另一直角边是， 所以最小角的正弦值是. 综上 可知， 最 小角的正弦值是3/5或71/2/4.

4. 忽视锐角三角函数的范围

例 4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求 tanα.

【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以 tanα>0.

锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.

5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律

例 5 锐角α满足1/2<cosα<21/2/2，则α的取值范围是（ ）.

A. 30°<α<45°B. 60°<α<90°

C. 45°<α<60°D. α<30°

【错解】A.

【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

【正解】∵cos60°=1/2，cos45°=21/22，又 ∵余弦值随锐角度数的增大而减小，∴cos60°<cosα<cos45°，∴45°<α<60°. 故选C.

在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.

6. 主观臆断

例 6 在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 31/2，则 sinA/2=______.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如 sin60°=3%姨2，而 sin30°=12. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.

求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.

表内乘除法常见错例及教学干预 篇4

表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

■

首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

■

教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

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表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

■

首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

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教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

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表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

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注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

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注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

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首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

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教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

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注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

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注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

认识时间错例分析 篇5

【病例】仔细观察下面的两个钟面，写出它们所显示的时间各是多少。

【病症】乐乐：钟面（1）显示的时间写作12：30。

淘淘：钟面（1）显示的时间写作6：3。

乐乐：钟面（2）显示的时间写作9：55。

淘淘：钟面（2）显示的时间写作8：11。

【诊断】在认钟面（1）的时间时，乐乐把时针与分针搞错了，较短的是时针，它指向6附近，所以大约是6时，写作12：30肯定错了。淘淘错在书写格式上。在读、写钟面所显示的时间时，可以先看时针，也就是较短的针，超过了几，就确定是几时多。再看分针，也就是较长的针。分针从刻度12起，转过几个小格就是几分，转过几个大格，根据每一大格是5分来确定是多少分。另外，如果显示的时间的分钟数不到10，在用电子表的表示方法记录时间时，在分钟数的前面要加0，如3时8分应写作3：08。

在认钟面（2）的时间时，乐乐看错了时针所表示的数，因为时针还没转到9，在8和9之间，所以还不到9时，是8时多；淘淘算错了分针所表示的数，因为分针从12起，每转一大格是5分，所以转到11时是55分，而不是11分。