信息熵法

信息熵法（精选4篇）

信息熵法 篇1

摘要：本文首先对采购中面临的风险进行了识别, 继而详细研究了信息熵法的采购风险评估模型的构建, 最后得出结论并进一步阐述了采购风险评估的重要性。

关键词：熵,采购风险,风险评估

一、引言

采购是企业成功经营的关键环节, 在产品成本控制和质量保证等方面起着至关重要的作用。然而随着科技的迅猛发展、经济全球化的不断深入以及产品生命周期的日趋缩短, 全球采购、电子采购、外包等采购方式异军突起, 这些变化在为企业带来便利与利润的同时也增加了采购风险。

二、采购风险识别

本文根据不确定性的来源将采购风险分为三类:需求风险、内部控制风险和供应风险。

(1) 需求风险

需求风险发生在采购过程的首要环节, 是制定采购计划的基础和依据, 在需求预测中面临的风险有预测风险和计划风险。

1. 预测风险。因需求预测缺乏准确性导致物料难以满足生产或超出预算等所带来的损失和可能性。

2. 计划风险。

市场需求发生变动, 影响到采购计划的准确性;采购计划管理技术不适当或不科学, 与目标发生较大偏离, 导致采购中计划风险。

(2) 内部控制风险

内部控制风险主要是指在采购方与供应方达成协议或签订合同后到供应商开始供货期间对于采购方来说存在的风险。主要包括采购合同风险、价格风险和管理风险。

1.合同风险。合同风险主要指签订的合同条款模糊不清或只是口头协议造成的经济损失;签订合同时供应方向采购方进行行贿使实际发生的数额远大于合同中规定数额等。

2.价格风险。价格风险主要包括市场浮动价格风险、批量采购折扣风险、回扣价格风险。

3. 管理风险。管理风险是采购方企业内部作出的一些决策带来的风险, 如选取单一供应商供货的策略等带来的风险。

(3) 供应风险

本文将供应风险分为供应商能力风险、产品质量风险、供应市场风险三类。

1.供应商能力风险。供应商能力风险主要是指因供应商能力缺失导致供应中断或者无法按照合同要求供货带来的损失。2.产品质量风险。供应商提供不符合质量要求的产品导致生产出的产成品无法满足顾客的需求带来的损失。

3.市场风险。汇率、原材料价格、竞争环境的变化等导致供应价格发生变化或者供应商因此做出违约行为等所带来的损失。

三、信息熵法的采购风险评估模型构建 (1) 信息熵

1948年, 香农在Bell System Technical Journal上发表了“A Mathematical Theory of Communication”一文, 将熵的概念引

入到信息论中, 香农把信息源的信号的不确定性称为信息熵, 把消除了多少不确定性称为信息。熵的获得, 意味着信息的丢失, 信息量越小, 不确定性越大, 风险越大, 熵也越大;信息量越大, 不确定性就越小, 风险越小, 熵也越小。信息和熵是互补的, 信息就是负熵。

(2) 采购风险评估模型构建步骤

本文建立了二级评价指标体系, 所以参考相关文献介绍基于熵权的风险评估模型构建分以下五步进行。

第一步, 建立采购风险因素集。

第二步, 数据同趋化和标准化的处理。

由于指标体系中的各个指标所表征对象的属性和量纲不尽相同, 所以在对各指标进行对比前应该进行了同趋化和标准化的处理。

第三步, 计算评价指标的熵值。

第四步, 计算二级指标的熵权。

第五步, 计算一级指标的熵权。

四、结论

随着环境的不断变化和突发事件的频繁发生, 采购风险评估作为采购风险管理其中重要的一部分, 可以帮助企业在采购中根据各类风险发生的概率和影响程度的不同采取相应的防范措施, 从而做到未雨绸缪并降低损失。而风险具有不确定性, 所以本文选择了信息熵这一本身具有测定不确定性功能的工具对采购风险进行评估, 克服了仅靠单一主观评估带来的随意性, 使评估内容变得更加科学可信。

参考文献

[1]江健凡, 许火之.企业物资采购中存在的风险及其防范措施[J].铜业工程, 2006, (3) :11-13.[1]江健凡, 许火之.企业物资采购中存在的风险及其防范措施[J].铜业工程, 2006, (3) :11-13.

[2]程锡胜, 邓理能.经济全球化环境下的企业网络采购风险评价[J].长沙理工大学学报 (自然科学版) , 2009, 6 (3) :6-10.[2]程锡胜, 邓理能.经济全球化环境下的企业网络采购风险评价[J].长沙理工大学学报 (自然科学版) , 2009, 6 (3) :6-10.

[3]张近乐, 任杰.熵理论中熵及熵权计算式的不足与修正[J].统计与信息论坛, 2011, 26 (1) :3-5.[3]张近乐, 任杰.熵理论中熵及熵权计算式的不足与修正[J].统计与信息论坛, 2011, 26 (1) :3-5.

[4]贾炜莹, 刘永胜, 张剑.基于信息熵法的供应链财务风险评估[J].中国流通经济, 2010, (6) :31-34.[4]贾炜莹, 刘永胜, 张剑.基于信息熵法的供应链财务风险评估[J].中国流通经济, 2010, (6) :31-34.

信息熵法 篇2

本文运用的灰自助最大熵法是将自助法、灰色系统理论和信息熵理论三者相融合的方法。自助法是对当前少的信息量通过自助再抽样从而模拟出大量信息量[1,2]的方法。灰色系统理论主要研究乏信息不确定性系统和现象[3]。信息熵是不确定性的度量[4], 利用信息熵中的最大熵原理, 可以预报出工艺中输出信息的概率分布。利用灰自助最大熵法对制造过程输出的信息进行分析并对机床加工误差作出相应调整, 可保证整个工艺的稳定性。

1 机械制造工艺中误差的真值估计

1.1 误差的灰自助预测模型

设一个制造工艺输出的误差序列向量为

从X中按一定规律, 等概率可放回地抽样, 抽取n次, 得到第一个自助样本, 它有n个数据。连续重复抽取B次, 得到B个自助再抽样样本, 用向量表示为

其中, ψb为自助样本的第b个样本, 且有

根据灰色系统理论, 设ψb的一次累加生成序列向量 (the first-order accumulated generating operator, 1-AGO) 为

则灰色预测模型定义为

式中, c1、c2为待定系数。

设均值生成序列向量为

利用初始条件γb (1) =ψb (1) , 得到灰微分方程的最小二乘解为

其中, 参数c1、c2为

根据累减生成IAGO, 则制造工艺过程输出的误差序列X的预测值为

由灰预测模型可以得到预测向量序列Δ为

根据式 (14) , 机械制造过程中输出误差的概率分布可以由最大熵原理得出。

1.2 误差的概率分布

根据信息熵原理, 机械制造工艺系统输出的误差概率分布应满足最大熵原理。最大熵法能够对未知的误差概率分布作出主观偏见为最小的最佳估计。

为叙述方便, 用连续信息源变量x表示式 (14) 中的离散预测值δb。对于系统输出的连续信息源, 定义最大熵H (x) 为

式中, f (x) 为对于连续信号源x的概率密度函数;Ω为x的积分区间。

令

约束条件为

式中, m为阶数;mj为第j阶原点矩;x (j) 为求解第j阶原点矩时f (x) 的系数。

则可以得到制造工艺中误差的各阶原点矩:

采用拉格朗日乘子法求解, 设为拉格朗日函数, 拉格朗日乘子为λ0, λ1, …, λm, 得到

整理得

式 (21) 为最大熵概率密度函数的解析式。其余m个拉格朗日乘子需满足:

1.3 误差的参数估计

制造工艺中误差的估计真值为

假设显著性水平α∈[0, 1], 则置信水平

置信区间的下边界值, 且有

置信区间的上边界值, 且有

因此, 误差的估计区间为

2 机械制造工艺中机床加工误差的调整

机械制造工艺调整时必须正确规定机床加工误差的调整范围, 才能保证整批零件的加工质量都在要求的范围之内。

在实际加工过程中, 已知零件某属性的真值WT和允许调整误差ω, 按照工艺要求顺序加工之后, 该属性的测量值为W0。如果该零件属性的理想分布已知, 可以用蒙特卡罗方法模拟出满足该分布特征的数据, 然后运用灰自助最大熵法得到该零件属性的估计真值W01, 从而得到第一次调整误差为

当ω1≤ω时, 表明机床的加工误差满足零件属性的允许调整误差, 可以按工艺要求正常加工;当ω1>ω时, 表明机床的加工误差不满足零件属性的允许调整误差。此时, 应该对机床的加工误差进行调整, 减小第一次调整误差ω1, 从而使得机床的加工误差满足零件属性的允许调整误差。

此时, 利用下式

的值, 再次利用蒙特卡罗方法模拟出满足该分布特征的数据, 然后运用灰自助最大熵法得到该零件属性的估计真值W02。其中, W'为第一次进行机床加工误差调整时零件属性因素的值 (如下述仿真试验和实际案例中第一次进行机床加工误差调整时圆锥滚子轴承内圈内径X'、内圈锥度θ') 。

此时, 得到第二次调整误差为

当ω2<ω时, 表明机床的加工误差满足零件属性的允许调整误差。此时, 机床加工误差的调整结束。

由于机械制造工艺中, 随着加工时间的推移, 会有各种扰动出现, 机床加工误差的调整不可能一次完成, 有时需要两次甚至更多次调整之后才能满足产品的加工误差要求, 因此, 应该根据需要进行工艺过程的机床加工误差的调整, 使产品的加工误差都满足要求。

3 仿真试验与实际案例

3.1 仿真试验

仿真试验中, 待加工的30204圆锥滚子轴承的内圈内径XT=20 mm, 要求允许调整误差ω=0.005 mm。

现人为地将30204圆锥滚子轴承内圈内径XT=20 mm减小为19.99 mm, 造成初始误差, 将19.99 mm视为测量值X0。然后用计算机仿真一个标准差为0.01 mm、数学期望为19.99 mm的正态分布系统, 以验证运用灰自助最大熵法调整机床加工误差的正确性。

由于30204圆锥滚子轴承内圈内径尺寸数据服从正态分布, 因此, 用蒙特卡罗方法模拟出满足正态分布及其特征值要求的7个数据 (单位:mm) , 具体如下:19.983 93、20.009 53、19.9784、19.980 51、19.982 87、19.988 48、19.994 33。

设置信水平P=99%。用灰自助GBM (1, 1) 模型预报时, 取B=10 000, 预报结果如图1所示。根据最大熵原理, 圆锥滚子轴承内圈内径误差的概率分布f (x) 如图2所示, 并得到估计真值

此时根据式 (29) , 得到第一次调整误差ω1=0.0118 mm。

因为ω1>ω, 故机床的加工误差不满足轴承内圈内径的允许调整误差。应该对机床的加工误差进行调整, 减小第一次调整误差ω1, 使机床的加工误差满足轴承内圈内径的允许调整误差。

根据式 (30) , 得到第一次进行机床加工误差调整时30204圆锥滚子轴承内圈内径尺寸值X'=19.9932 mm, 再次用蒙特卡罗方法模拟出满足标准差为0.01 mm、数学期望为19.9932 mm的正态分布系统的7个数据 (单位:mm) :20.004 24、19.989 85、20.008 71、19.990 82、19.983 18、20.018 78、20.024 65。

设置信水平P=99%, 用灰自助GBM (1, 1) 模型预报时, 取B=10 000, 预报结果如图3所示。根据最大熵原理, 圆锥滚子轴承内圈内径误差的概率分布f (x) 如图4所示, 得到估计真值X02=20.0009 mm。

此时根据式 (31) , 得到第二次调整误差ω2=-0.0009 mm。

因为ω2<ω, 故机床的加工误差满足轴承内圈内径的允许调整误差。机床加工误差的调整结束。

根据圆锥滚子轴承内圈内径误差的概率分布f (x) , 得到估计真值X02=20.0009 mm, 估计区间为[19.9707 mm, 20.0347 mm]。仿真数据都在其区间内, 所以预报的准确率为100%。

用第一次进行机床加工误差调整时轴承内圈内径尺寸值X'继续仿真1000个数据, 这1000个数据满足±3σ原则。

3.2 实际案例

欲研究圆锥滚子轴承内圈锥度问题, 用计算机仿真一个真值θT=0、分布区间为 (-4×10-4rad, 4×10-4rad) 的均匀分布系统, 允许调整误差ω=4×10-4rad。在实际加工之后, 得到锥度θ0=-5×10-4rad, 则机床的加工误差不满足圆锥滚子轴承内圈锥度的允许调整误差, 此时需要调整砂轮或工件。用计算机仿真一个数学期望为-5×10-4rad、分布区间为 (-4×10-4rad, 4×10-4rad) 的均匀分布系统。

由于圆锥滚子轴承内圈锥度数据服从均匀分布, 因此, 用蒙特卡罗方法模拟出满足均匀分布及其特征值要求的6个数据 (单位:10-4rad) 如下:-3.968 05、-8.020 33、-3.125 69-8.522 98、-6.6998、-1.607 38。

设置信水平P=99%。用灰自助GBM (1, 1) 模型预报时, 取B=10 000, 预报结果如图5所示。根据最大熵原理, 圆锥滚子轴承内圈锥度误差的概率分布f (x) 如图6所示, 得到估计真值θ01=-5.857 66×10-4rad。

此时根据式 (29) , 得到第一次调整误差ω1=5.857 66×10-4rad。

因为ω1>ω, 故机床的加工误差不满足轴承内圈锥度的允许调整误差。应该对机床的加工误差进行调整, 减小第一次调整误差ω1, 使机床的加工误差满足轴承内圈锥度的允许调整误差。

根据式 (30) , 得到第一次进行机床加工误差调整时轴承内圈锥度值θ'=-1.857 66×10-4rad, 再次用蒙特卡罗方法模拟出满足数学期望为-1.857 66×10-4rad、分布区间为 (-4×10-4rad, 4×10-4rad) 的均匀分布系统的6个数据 (单位:10-4rad) 如下:-2.2949、-0.831 73、-5.038 13、-5.468 25、0.470 05、0.211 31。

设置信水平P=99%, 用灰自助GBM (1, 1) 模型预报时, 取B=20 000, 预报结果如图7所示。根据最大熵原理, 圆锥滚子轴承内圈锥度误差的概率分布f (x) 如图8所示, 估计真值θ02=-2.361 78×10-4rad。

此时根据式 (31) , 得到第二次调整误差ω2=2.361 78×10-4rad。

因为ω2<ω, 故机床的加工误差满足轴承内圈锥度的允许调整误差。机床加工误差的调整结束。

根据圆锥滚子轴承内圈锥度误差的概率分布f (x) , 得到估计真值θ02=-2.361 78×10-4rad, 估计区间为[-8.285 98×10-4rad, 3.1527×10-4rad]。仿真数据都在其区间内, 所以预报的准确率为100%。

以上案例是在系统属性的信息量极少的情况下, 将灰自助法和信息熵法相融合, 得到系统的概率分布、估计真值及估计区间, 预报的准确率都达到了100%, 从而实现了对系统的调整和控制。

4 结论

灰自助最大熵法对机械制造工艺中误差的属性没有严格要求, 在少量信息或没有任何先验信息的情况下, 就能得到系统属性的概率分布。

将灰自助最大熵方法运用到实际机械制造系统中, 可以实现对整个系统的在线监控, 以便对系统进行及时调整, 实现系统的稳定性分析。

参考文献

[1]Rao C R, Pathak P K, Koltchinskii V I.Bootstrap by Sequential Resampling[J].Journal of Statistical Planning and Inference, 1987, 64 (2) :257-281.

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信息熵法 篇3

现有风险计算(估计)方法已有多种。例如,直接积分法、蒙特卡罗方法(Monte Carlo,MC)、均值一次两阶矩方法(Mean-value First-Order Second-Moment,MFOSM),改进一次两阶矩方法(Advanced First-Order Second-Moment,AFOSM)和JC(Joint Commission)法[1,2,3,4,5,6,7]等。对于涉及多种不确定因素的风险计算问题,一般依靠随机模拟方法,即MC方法,其原理主要是根据待求问题相关因素的变化规律,结合物理现象本身具有的统计规律,人为地构造一个合适的概率模型,并依照该模型进行大量的统计试验,使它的某些统计参量正好是待求问题的解。但MC方法的局限在于收敛速度慢,误差的概率性质差,解决小概率问题需要大量的数值模拟,尤其是对于大型复杂工程的模拟计算,有时利用MC法要耗费大量的时间。

为了避免MC方法的上述缺点,可以通过首先生成待求风险变量的分布密度函数再计算风险率的途径,而最大熵法无疑作为概率分布推导的“客观”指导准则成为解决该问题的有力工具。其原因是最大熵法的基础是最大熵原理(Jaynes原理),即最小有偏概率分布在满足给定信息所提供的约束条件下,使熵取其极大值。Jaynes指出:“这是我们所能做出的唯一的无偏假定。使用任何其他的假定将相当于对信息的随意假定,而这种假定是我们不能接受的。”[8]因此,针对上述问题,本文基于随机模拟与最大熵方法的优点,提出了适用于复杂工程涉及多因素时风险率计算的模拟最大熵方法,并建立了河道行洪风险分析模型,以实例计算论证了方法的适用性,为风险计算及河道行洪风险分析提供了一条快速可行的途径。

1 风险计算的模拟最大熵方法

1.1 随机模拟与最大熵的优点

根据数学分析可知MC方法的误差除与方差有关外,只取决于子样容量,而与子样中的元素所在的集合空间的组成无关。问题的维数变化,除了引起抽样时间及计算估计量的时间变化外,不影响问题的误差。这个特性决定了MC方法对多维问题更加适用。此外MC方法还有受问题的条件限制影响小、无需考虑各风险因素之间的相互影响、程序设计简单的优点。而从信息熵的定义和最大熵原理可以看出,应用最大熵准则构造概率分布有如下优点[8]:首先,最大熵的解是超然的,即在数据不充分的情况下求解,解必须和已知的数据相吻合,而又必须对未知的部分作最少的假定;其次,根据熵集中原理,绝大部分可能状态都集中在最大熵状态附近。因此,用最大熵法所作的预测是相当准确的。再者,最大熵法求得的解满足一致性要求,不确定性的测度与试验步骤无关。这些优点对于解决MC方法计算风险率时收敛速度慢的缺点有一定的可行之处。

1.2 SMEM方法原理

鉴于随机模拟和最大熵模型的优点,本文提出一种将2种方法耦合的方法,即模拟最大熵方法(Simulate Maximum Entropy Method,简称SMEM)。模拟最大熵方法的基本原理是在随机模拟得到的有限数据基础上,利用最大熵方法得到最好的概率分布估计。

1.3 SMEM方法优点

(1)对于某些复杂的大系统,运用SMEM方法时不必生成大量的数据,且受问题的条件限制小、程序设计简单。

(2)在充分利用已知信息情况下,可以快速方便地得到满足要求的概率分布估计,加快了求解的收敛速度。

1.4 SMEM方法计算步骤

(1)设A={X1,X2,…,Xk}为待求风险指标变量Z的因子集,根据系统工程的思想,建立问题的计算模型为:

(2)根据各随机变量X1,X2,…,Xk的分布,产生相应的一组随机数x1,x2,…,xk,代入模型数学表达式中,得:

(3)重复步骤(2)2 N次,则可得到随机变量Z的一组样本z1,z2,…,z2N。

(4)分别依据样本z1,z2,…,zN和z1,z2,…,z2N,用最大熵模型[9,10]求得风险指标变量Z的概率分布:

(5)分别依据样本z1,z2,…,zN和z1,z2,…,z2 N,计算样本的n阶矩M1,M2,…,Mn和M1′,M2′,…,Mn′,并计算

(6)在Z的可能取值区间内,等间距取n个离散点z1,z2,…,zn,计算

(7)设ε1、ε2和Nmax分别为所控制的精度及最大模拟次数,如果D1<ε1且D2<ε2或N>Nmax,则结束计算,f1(z)或f2(z)即为所求。否则令N=2 N返回步骤(3)。

2 基于SMEM的河道行洪风险分析方法

2.1 河道行洪计算的目的及方法

河道行洪计算的主要目的就是,根据不同设计标准的洪水流量及河道相应的水力和边界条件,推求河道的行洪水面线,进而评估河道的行洪能力。

根据能量守恒和质量守恒原理,可导出一维明渠非恒定渐变流的基本方程,即圣维南方程组。对于河道水面线的计算,可以暂不考虑非恒定性的影响,忽略时间因素的作用,则可得到如下形式的恒定非均匀流水面线基本方程[11]:

式中:Q为河道流量;V为河道流速;α为流速水头系数;ξ为局部损失系数;K为流量模数;n为糙率;R为水力半径;A为断面积。

当所选河段比较均匀顺直、两相邻断面面积变化不大时,式(5)的末项可以忽略不计。在流量Q确定的情况下,初始条件为已选定的控制断面处水位z0,则式(5)可简化为:

当该常微分方程中的函数均为确定性变量时,求解得到的将是确定性的水面线z(x)。

2.2 基于SMEM的河道行洪风险分析模型

对于河道行洪风险的计算,在这里仅考虑漫堤风险,因此,可以在考虑不确定性因素情况下,建立计算河道水面线的随机模拟模型。通过各不确定因素对河道水面线的综合影响来定量评估漫堤风险率。河道的漫堤风险问题,实际就是行洪水位z(x)和堤顶高程D(x)的关系问题,其目的就是分析在一定流量条件下,行洪水位超越堤顶,从而造成洪水漫越堤顶事件的可能性,其风险率可用下式表示:

由于这里河道水面线的计算主要考虑糙率的不确定性和初值水位的不确定性,根据确定性水面线计算方程(6),计算过程实际上可表示为如图1所示的不确定系统:

这一过程可概括为一函数式:

由于计算河道的水面线的过程涉及到水力学模型的计算,工作量较大,采用随机模拟方法的计算速度难以满足实际要求,因此,这里采用SMEM方法首先计算得到河道断面水位的分布密度函数。具体河道行洪风险分析步骤如下:

(1)在流量、水位、河道断面等已知资料条件下,按糙率的随机分布特性随机生成m1个不同的糙率。

(2)通过给定的资料进行洪水模拟,得出m2个初始水位值。

(3)把m2个初始水位值和m1个糙率值进行组合,进行行洪计算,得出一定容量的水面线样本。

(4)基于SMEM迭代得到满足精度要求的计算断面的分布函数,进而计算漫堤风险率。

3 算例分析

计算选用淮河中游的鲁台子-西淝河闸堤防段及2003年洪水过程,共选择了25个断面,涉及到的主要堤防段有寿西湖行洪堤与董峰湖行洪堤。由于2003年洪峰最大值出现在7月份,所以选取该月份的洪水流量过程,并从中选取几组较大的流量,考虑径流、糙率不确定性和西淝河闸初始水位随机性等不确定因素,对鲁台子-西淝河闸的洪水水面线进行随机模拟,评估各种流量下水面线的随机性及各段堤防面临的风险情况。

3.1 鲁台子至西淝河闸河道水面线的计算

(1)糙率的随机模拟。糙率的随机生成:河槽统一用0.025,滩地按照最小值为0.025,最大值为0.035的均匀分布随机生成m1组数据,见表1。

(2)初值水位的随机模拟。对于西淝河闸处水位的随机模拟主要考虑在鲁台子流量为某一固定值时,西淝河闸处可能出现的水位值。选取1982-2003年鲁台子流量与西淝河闸水位的历史系列资料,经统计分析后列于表2。

基于2003年鲁台子7月份日流量资料,以表2中的西淝河闸水位的最大最小值按均匀分布随机生成m2组水位数据资料,见表3。

m

(3)水面线的随机生成。以表1中的m1组糙率值与表3中的m2组水位值进行逐一组合计算水面线,得到m1×m2组水面线的随机值。下面给出2003年7月份流量最大(年最大)为7 490 m3/s时随机模拟得到的各断面对应的某一组水面线,见图2。

3.2 河道行洪风险计算

(1)堤段选取及水位密度函数计算。在本文选取的鲁台子-西淝河闸共25个断面中,第1到14个断面的水位值直接与寿西湖段堤防安全相关,第10到24个断面的水位值直接与董峰湖段堤防安全相关,现以第2个断面和第12个断面处的堤防为例进行风险计算,其中寿西湖堤防安全高程选为28.3 m,董峰湖堤防安全高程选为24.6 m[12]。

经过模拟计算得到2003年7月份第2个断面处共m1×m2组水位过程线。以这些水位的随机值为依据,逐步增大m1和m2值迭代计算满足设定精度要求的该断面水位的分布密度函数,如图3所示。

第2断面和第12断面处水位密度函数的解析表达式分别为:

(2)行洪风险率计算。在进行河道堤防的风险率评估时由于要考虑风浪的因素,所以需要计算风浪的分布函数,即计算风雍水面的随机水位值。这里假设采用寿西湖段和董峰湖段河道风浪的安全超高值分别为1.2 m和0.8 m,由D及f(z)积分计算可得寿西湖段及董峰湖段堤防的风险如下。

①寿西湖段:

即在2003年7月份,已知鲁台子流量过程,受糙率、西淝河闸水位等不确定因素影响,寿西湖堤防断面的风险率为0,认为此段堤防相对安全。

②董峰湖段:

即在2003年7月份,已知鲁台子流量过程,受糙率、西淝河闸上水位等不确定因素影响,董峰湖堤防断面的风险率为43.49%,认为此段堤防在考虑风浪影响下有43.49%的可能性会发生洪水漫堤。

(3)SMEM方法与随机模拟方法的计算比较。为了说明本文所提出的SMEM方法在计算河道行洪风险率时的优点及合理性,在计算董峰湖段漫堤风险率时采用Monte Carlo方法与之比较,具体计算结果如表4所示。

从表4中可以看出,在模拟次数很少时(80次),Monte Carlo方法的计算结果明显比SMEM方法要差很多;随着模拟次数的增加,Monte Carlo方法的计算结果在其收敛值(0.434 9)附近波动,模拟2 000次时的效果用SMEM方法只需500次就可以达到;Monte Carlo方法在10 000次时才基本收敛,这符合其收敛速度较慢的特点,而SMEM方法在模拟次数为900时就已经收敛,且其收敛值与Monte Carlo方法得到的相同,这充分证明了SMEM方法的合理性以及在计算风险率时收敛较快的优点。

4 结语

针对复杂工程体系在风险计算时会遇到计算繁琐或耗时较长的特点,基于随机模拟和最大熵方法的优点,提出风险计算的模拟最大熵方法。在河道行洪的堤防风险率计算过程中,由于需基于河道的水面线求解,运用水力学模型计算工作量较大,采用随机模拟方法计算风险率耗时太长,因此,本文基于模拟最大熵法建立了河道行洪的风险分析模型,并应用于鲁台子-西淝河闸区间的寿西湖和董峰湖段堤防的风险率计算。结果表明,模拟最大熵法可以很方便地得到所选堤防段面临的风险率,避免了运用随机模拟方法时的大量计算过程,不仅为淮河中游河道风险分析提供了一个简单快速的计算方法,同时也对复杂工程的风险分析方法的探索发展具有一定的意义。

参考文献

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信息熵法 篇4

混凝土抗拉强度是一个重要的力学参数。目前,混凝土抗拉强度一般通过室内试验获得。由于室内试验的局限性,如[1]试件尺寸效应、湿筛效应及标准养护等导致室内试验值与实际情况存在较大差异。在混凝土大坝工程中,一般都埋设应变计组和无应力计对大坝混凝土应力-应变状态进行监测[2,3]。这些应变计组和无应力计的实测值真实反映了大坝混凝土实际性态,显然,基于混凝土内埋设的这些应变计组和无应力计实测应变来估计混凝土抗拉强度无疑更符合实际情况。黄耀英[4]曾提出结合混凝土大坝埋设的应变计组和无应力计实测值,采用小概率事件法估计大坝混凝土实际抗拉强度和极限拉伸变形。小概率事件法需要将监测效应量作为随机变量,根据典型监测量的小子样分布情况来识别母体的分布类型,由此获得监测量的概率密度函数。由于实际监测量的小子样分布类型可能并不完全符合典型的分布函数(如正态分布、对数正态分布和极值I型分布等),这导致基于统计检验确定的分布函数来估计大坝混凝土抗拉强度误差可能较大。

近年来,最大熵理论在结构可靠性分析[5]、岩土工程反分析[6]、岩石力学参数概率分布[7]、大坝安全监控指标拟定[8]等许多方面的应用取得了较好的效果。最大熵法不需要事先假设分布类型,直接根据各基本随机变量的数字特征值进行计算,这样就可以得到精度较高的概率分布密度函数[9]。为此, 本文根据实测应变,基于最大熵法探讨大坝混凝土的抗拉强度的估计。

1基本原理

1.1单纯形法

单纯形法是运用广泛的求解线性函数极值的优化方法,本文主要利用单纯形法求解拉格朗日乘子系数。单纯形法[10]的主要思想是:在n维空间中取(n+1)个点构成初始单纯形,比较这(n+1)个点处目标函数作为描述系统响应的目标函数的大小,丢弃最坏的点,代之以新的点,构成新的单纯形,反复迭代,使其顶点处的函数值逐步下降,逐步逼近目标函数的最小点。若要求一个函数的最大点(或最小点),则可先计算若干点处的函数值,进行比较,并根据它们的大小关系确定函数的变化趋势作为搜索的参考方向,然后按参考方向搜索直到找到最小值(或最大值)为止。

1.2基于最大熵法的混凝土抗拉强度估计

信息熵定义和最大熵概率密度函数的计算原理在文献[7, 8]有详细阐述,以下主要简要介绍结合最大熵法进行混凝土抗拉强度估计的基本过程。由最大熵原理可知,熵是概率密度函数f(X)的泛函,最小偏差的概率分布是使熵在根据已知样本信息而施加的一些约束条件下达到最大值的分布。由此可知, 以最大熵法进行混凝土抗拉强度估计的实质是获得使熵达到最大值时的混凝土抗拉强度概率密度函数。

(1)首先获得混凝土拉应力样本信息集合X={xm1,xm2, …,xmn},计算混凝土拉应力样本的原点矩,然后采用拉格朗日乘子法求解熵H(X)的最大值,于是得到最大熵概率密度函数解析形式为:

式中:λ0和λi(i=1,2,…,n)为拉格朗日乘子系数。假设最大熵概率密度函数计算的各阶原点矩和样本信息计算的各阶原点矩相等,可求解各拉格朗日乘子系数值。

(2)由最大熵法确定出混凝土拉应力X的最大熵概率密度函数f(X)后,令Xm为大坝混凝土实际抗拉强度,混凝土的拉应力X>Xm的概率为:

基于满足力学变化规律的应变计组测值出现异常的概率很小,取α=1%,采用优化算法,容易计算获得混凝土实际抗拉强度。

2实例分析

西南某混凝土高拱坝,在坝体混凝土里埋设了差阻式应变计组和无应力计进行应力应变监测,该大坝埋设的应变计组为四面体6向应变计组。根据该高拱坝的应力和变形特性,该坝混凝土共分3个区:大坝A区、大坝B区和大坝C区,其中,靠近坝基的混凝土强度等级为C18040(记为大坝A区),河床坝段底部和顶部的混凝土强度等级均为C18040,坝体中间部位混凝土强度等级一般为C18035(记为大坝B区);部分岸坡坝段顶部的混凝土强度等级为C18030(记为大坝C区)。将实测应变转换为实际应力[2,3,4],大坝A区所埋设各应变计组获得的主应力系列中最大拉应力及对应混凝土龄期相关信息见表1。表1中对应的拉伸应变为最大拉应力除以混凝土对应龄期的弹性模量。其中混凝土弹性模量参考设计值和试验值选取,弹性模量为E(τ1)=42.5(1-e-0.1τ1 )GPa,τ1为混凝土龄期。且由表1可知,应变计组所在混凝土的龄期一般在90~180d,这些应变计组绝大部分已经经历过二期冷却降温,抵御了二期降温期间产生的较大拉应力。

2.1最大熵法

根据表1的样本信息,结合最大熵法估计大坝A区抗拉强度和极限拉伸变形值。首先计算最大拉应力的前4阶原点矩 μ1=1.489 6、μ2=2.351 2、μ3=3.929 7、μ4=6.9213;然后根据最大熵概率 密度函数 原理 , 得到残差 表达式, 采用单纯形法计算残差平方和的最小值 ,认为残差平方和小于0.000 5时收敛,由此求解得到拉格朗日乘子系数值(λ1,λ2,λ3,λ4,λ0),于是得到最大拉应力的最大熵概率密度函数为:

由于拉伸变形的原点矩比较大 , 将表1中拉伸变形样本x转化为形式 , 其中 μ1和 σ 分别为拉伸变形样本均值和标准差,采用上述同样的原理,计算拉伸应变的最大熵概率密度函数为:

假设开裂概率α=1%,采用一维搜索的对分法,估计该大坝混凝土的抗拉强度Xm为2.201 MPa,极限拉伸变形为54.861×10-6。由室内试验得知大坝A区混凝土在龄期120d时的轴拉强度≥3.2MPa,由此可见,大坝混凝土实际抗拉强度比室内试验值低1.0 MPa。这与杨成球和李金玉等给出的全级配大试件对湿筛小试件轴拉强度比为0.60~0.62的试验结果[11]较一致。

2.2对比分析

应用K-S法[4]对表1的信息样本进行统计检验,分析得知由每个应变计组获得的主应力数据系列中的最大主拉应力和拉伸变形样本基本满足正态分布,概率分布函数均为:

假设开裂概率α=1%,估计该大坝混凝土的抗拉强度Xm为2.365 MPa,极限拉伸变形为55.649×10-6。最大拉应力和拉伸应变的K-S检验概率密度分布函数和最大熵概率密度函数对比如图1、图2所示。

由图1、图2可见,通过最大熵法计算得到的最大熵密度函数与K-S统计检验法得到的概率密度函数略有一定差异,由此估计的抗拉强度和极限拉伸变形也有一定的差异。其中,由于拉伸应变由最大拉应力除以相应的龄期获得,所以拉伸应变的最大熵法分布与正态分布差异略大。由于最大熵密度函数是直接根据样本的数字特征值进行计算,而不是事先假设为典型的概率分布函数,因此最大熵密度函数包含的主观成分最少, 由此估计的混凝土抗拉强度和极限拉伸变形更可信。

3结语

结合混凝土大坝埋设的应变计组和无应力计实测值,采用最大熵法,初步探讨了大坝混凝土的实际抗拉强度的估计,得到如下结论。

(1)选取经历过二期冷却的应变计组实测应变获得的最大主拉应力作为子样本,采用最大熵法计算获得子样本的最大熵概率密度函数,根据坝体混凝土已经抵御经历过拉应力的能力,来评估和预测抵御可能发生抗拉强度的能力,并采用小概率事件法估计混凝土实际抗拉强度。由于最大熵密度函数是直接根据样本的数字特征值进行计算,而不是事先假设为典型的概率分布函数,因此最大熵密度函数包含的主观成分最少, 由此估计的混凝土抗拉强度和极限拉伸变形更可信。

(2)结合西南某高拱坝的应变计组实测值,基于最大熵法, 假设开裂概率α=1%,由此估计该混凝土大坝龄期90~180d的混凝土的抗拉强度为2.201 MPa,该值较室内试验值低1.0 MPa左右,极限拉伸变形约为54.861×10-6,根据与已有的研究对比分析可知该估计结果真实可靠。

摘要：针对实际监测量的小子样分布类型可能不完全符合典型的分布函数,而最大熵密度函数可以直接根据样本的数字特征值进行计算,为此,选取经历过二期冷却的应变计组实测应变获得的最大主拉应力作为子样本,采用最大熵法计算获得子样本的最大熵概率密度函数,根据混凝土坝体已经抵御经历过拉应力的能力,来评估和预测抵御可能发生拉应力的能力,据此采用小概率事件法估计了混凝土实际抗拉强度,实例分析表明,最大熵密度函数包含的主观成分少,由此估计的混凝土抗拉强度和极限拉伸变形更可信。

关键词：最大熵法,大坝混凝土,抗拉强度,小概率法

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