显式分析

显式分析（共5篇）

显式分析 篇1

Oracle使用一个称为Private SQL Area的工作区执行SQL语句,以保存语句执行结果和相关的状态信息。对于PL/SQL程序中查询返回多行的问题,Oracle采用光标来解决。光标是一个可以命名的缓冲区,用于保存查询语句返回的多行数据。程序通过光标名可以访问光标区的内容。光标有两种类型,分别是隐式光标(系统预定义光标)和显式光标(用户自定义光标)。隐式光标的光标名为SQL,该光标区内主要保存执行SQL语句的一些状态信息或者统计信息,通过光标的几个属性可以访问到这些信息。比如SQL%FOUND,查询最近执行的DML语句是否对相关记录进行了处理,如果有,返回一个逻辑值真,否则返回为假;SQL%ROWCOUNT,可以查询最近执行的一条SQL语句对多少条记录进行了处理。因为隐式光标是数据库管理系统预先定义,因此在操作过程中存在无法与实际问题完全相对应,不够灵活等问题。为了解决上述问题,Oracle提供了显式光标让用户可以对光标自行定义。

1 前级知识

要完全掌握光标的定义方法并将其应用于实际问题的解决,首先要掌握关系数据库的标准语言SQL。SQL语言包括了查询、数据修改、定义、控制和管理等内容,是一种功能全面的关系数据库语言,有一个国际标准,各个数据库厂家在该标准的基础上做不同的扩充;其次,为了提高SQL语言数据处理的效率且支持复杂问题的处理,Oracle系统对SQL语言进行了扩充,其过程化的扩充部分称为PL/SQL,是Oracle系统的核心编程语言。

2 应用举例

介绍显式光标应用经常用到一个例子,编写一个程序来为职工涨工资。程序要达到的要求是:从最低工资涨,每人涨10%,工资总额限制在50万元以内,如果所有职工都涨了一遍,工资总额还没到50万元,也到此为止,最后将新的工资总额和涨了工资的职工人数输出。程序如下:

3 缺陷分析和解决方法

职工的人数和原先工资总额将导致上述程序出现三种结果。第一种情况:还没开始给职工涨工资就发现工资总额已经超过或等于50万,此时程序将不会进入循环体而是直接将涨工资职工人数为0和原来的工资总额输入到msg表中并提交事务;第二种情况:当所有职工都涨了工资,但工资总额还是没有到达50万,程序完成任务并结束;在上述两种情况下,程序都能发挥正常的作用。第三种情况:只有部分职工涨了工资,工资总额就达到或者超过了50万,此时程序就会导致错误的结果。当轮到某位职工涨工资,此时工资总额还没达到50万,程序进入循环体,该职工的工资上涨了10%,然后计算新的工资总额并将涨工资职工人数加1,退出循环体并再次判断工资总额是否达到或者超过50万时,发现新的工资总额已经达到或者超过了50万,于是将涨工资职工人数和工资总额输入到msg表中并结束整个程序。显而易见,最后工资总额达到或者超过了50万,违背了原先的设计要求。导致错误结果的原因在于先给职工涨工资,然后才计算新的工资总额。因此解决的方法是先计算某位职工涨工资的情况下,新的工资总额是否小于50万。如果是,则涨该职工的工资,如果否,则不涨该职工的工资并提交事务。完善后的程序如下:

4 结束语

虽然在PL/SQL程序中可以采用其它方法替代显式光标,但是使用显式光标显然是解决查询中返回多条记录的最佳方式。如何将显式光标跟PL/SQL程序更好的结合在一起,避免出现漏洞,考验着每一个数据库设计者的技术和经验,也是每一个编程人员应该去不断完善的技能。

参考文献

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[3]张学琴.基于Oracle数据库的SQL语句优化[J].电脑知识与技术,2010(1):20-25.

[4]刘佳.浅谈ORACLE数据库中的SQL优化原理与应用[J].科技风,2012(2):77.

显式分析 篇2

非线性动力系统精细积分下的显式级数解

基于钟万勰等提出的指数矩阵精细算法,对n维未知向量v的一阶微分方程=Hv+f(v,t)进行求解,其中Hv和f(v,t)分别是右端项的线性齐次部分和非线性部分.将非线性部分在所论时刻tk处展成t-tk=τ的Taylor级数形式,并通过指数矩阵eHt及其精细算法对状态方程直接积分,推导出状态方程的级数形式闭合解,此解的精度易于控制.算法不需对矩阵[H]求逆,数值计算的`稳定性及效率均可确保,对大型问题计算更为有利.算例验证了本算法的有效性.

作 者：李金桥 于建华 作者单位：四川大学,土木工程及应用力学系,四川,成都,610065刊 名：四川大学学报(工程科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY(ENGINEERING SCIENCE EDITION)年，卷(期)：200234(2)分类号：O322关键词：非线性振动 数值积分 精细积分法 指数矩阵 显式级数解

显式分析 篇3

国内外许多学者在过去几十年里已对摩擦振动噪声展开了深入的研究, 并主要提出了5种摩擦振动噪声的发生机理, 即黏着-滑动、摩擦力-相对滑动速度负斜率、sprag-slip、模态耦合以及摩擦力时滞效应[1,2,3,4,5]。虽然这些机理可以很好地解释一些摩擦振动噪声现象, 但是由于摩擦振动噪声的复杂性, 目前为止并没有某一种机理可以解释所有的摩擦振动噪声现象。

由于摩擦振动噪声的产生与多种因素相关, 因此在试验研究的基础上利用有限元分析方法来研究摩擦振动噪声的思路已被广泛采纳[6,7,8]。以往摩擦振动噪声的有限元分析主要采用线性复特征值分析方法[6], 该方法通过对摩擦系统在稳定滑动阶段的特征值与特征向量进行计算, 预测摩擦系统不稳定振动的产生及摩擦噪声的主频, 但采用该方法无法对摩擦系统在运动过程中的摩擦力、法向力、振动加速度等信号进行预测。近年来, 非线性显式动力学分析方法逐渐被推广用于摩擦振动噪声的研究中[7,8], 该方法考虑了发生摩擦振动噪声时系统非线性因素的影响, 可以在时域范围内计算出系统的摩擦力、法向力、振动加速度等信号的变化, 同时可研究系统在不稳定阶段接触表面的运动特性。

本文在试验研究的基础上, 利用有限元软件ABAQUS/Explicit (显式动态求解器) 对球-平面接触条件下的滑动摩擦振动噪声进行了数值模拟分析, 并对摩擦噪声的发生机制进行了探究, 分析了摩擦噪声发生时接触界面的运动特性, 为进一步深入研究摩擦振动噪声提供了重要的理论依据。

1 试验部分

摩擦振动噪声试验在自行研制的新型装置上进行, 该装置主要由摩擦学试验系统、信号采集分析系统以及夹具系统组成, 可实现球-平面往复滑动摩擦过程中摩擦力、振动加速度和摩擦噪声的精确同步动态采集及实时分析, 试验装置示意图见图1。试验过程中, 往复运动装置带动平面试样与球试样之间产生往复摩擦运动。安装在水平支架两端的KISTLER 9712B500型压电式力传感器 (灵敏度为2.23mV/N, 量程为2225N, 固有频率为70kHz) 检测界面摩擦力的变化, 安装在球夹具上的KISTLER 8688A50型三维加速度传感器 (灵敏度为 (100mV/g) , 量程为 (±50 g) , 频响为0.5~5000Hz) 采集振动加速度信号, 位于摩擦界面附近的MTG MK250型传声器 (灵敏度为50mV/Pa, 频响为3.5~20000Hz, 动态范围为15~146dB) 采集摩擦噪声信号。信号的采集及分析采用德国MUELLER-BBM公司的32通道振动噪声测量分析系统。

平面试样选用高速列车制动盘所用蠕墨铸铁, 铸铁块尺寸为10mm×10mm×20mm (无热处理, 硬度为240HV0.05, 弹性模量E=158GPa) 。对摩副选用直径10mm的GCr15轴承钢球 (硬度为510HV0.05, 表面粗糙度Ra≈0.02μm, 弹性模量E=210GPa) 。试验前对球和平面试样用酒精和丙酮进行超声清洗并干燥。摩擦学试验参数如下:法向载荷Fn=20N, 往复位移幅值D=4mm, 往复频率f=1Hz, 往复循环次数N=1500。试验环境条件为大气下干态 (温度为24~27℃, 相对湿度为60%±10%) 。振动噪声测量分析系统的采样频率设为12.8kHz, 传声器固定在滑动摩擦部件附近40mm处, 试验前进行本底噪声的测量及频率分析, 考虑到摩擦噪声具有一定的随机性, 重复试验4次以保证结果的重复性。

2 有限元模型的建立和参数的设定

通过实测平面试样 (主动件) 、对磨球 (从动件) 和球夹具三个部件的尺寸建立系统简化实体模型, 对三个部件分别赋予实际的材料参数, 忽略摩擦过程中产生的热效应的影响。根据实测的试验结果将对磨球上的磨斑直径设置为1.5mm。模型采用C3D8R单元类型划分网格, 其中平面试样、对磨球和球夹具的网格数分别为16 000、8328和4194。设置接触方式为surface to surface (explicit) , 其中主面 (master surface) 为平面试样表面, 从面 (slave surface) 为对磨球磨斑表面。根据试验情况设置有限元模型的边界条件为:约束球夹具顶部X方向与Z方向自由度, 法向载荷沿Y方向作用于球夹具顶面, 约束主动件底面在X方向与Y方向自由度, 速度边界条件作用在主动件的Z方向上。模型有限元网格与边界条件如图2所示。

根据试验情况设定法向载荷与主动件运动速度的时间历程曲线。法向载荷在初始阶段线性增大, 当时间增加到约0.005s时, 法向载荷达到试验设定值20N并在此后保持恒定。此时, 呈正弦变化的速度函数开始作用于主动件的Z方向, 使其在该方向上完成一定行程的往复滑动。在有限元计算中, 考虑到所建模型具有对称性, 可将显式分析时间设置为0.5s, 即仅分析系统在半个周期 (一个行程) 内的运动情况以节省计算时间。在显式动态分析过程中, 定义滑移方式为有限滑移, 采用动力学接触算法。根据试验情况, 定义球夹具上三维加速度传感器安装位置上的一点为一个集合, 用于计算输出该点的振动信号。

3 结果分析与讨论

3.1 试验与计算结果对比分析

在噪声试验前, 通过锤击法测量了摩擦系统的动态特性参数。即在对磨球和平面试样接触的情况下, 沿X向锤击球夹具, 分析得出摩擦系统X向和Y向的自然频率及相应的阻尼比, 结果如表1所示。

试验对摩擦系统在稳定阶段500s内的噪声声压信号进行等效声压级分析 (等效声压级为某一时间段内按能量平均的A声压级) , 结果表明该摩擦系统在稳定阶段产生明显的摩擦噪声, 强度约为71~72dB (本底噪声强度65dB) 。对该噪声声压信号进行自功率谱分析, 结果如图3所示, 可以看出该声压信号的主频值约为1500Hz。

对稳定阶段半个周期内法向和切向 (摩擦力方向) 的振动加速度的时域信号进行分析, 结果如图4所示。从图4可以看出, 两个方向上的加速度信号在滑动周期内都出现了明显的幅值, 且在时间上具有很好的对应性。图5所示为加速度信号的自功率谱分析结果。由图5可见, 两个方向的振动加速度主频值均为1500Hz, 表明系统发生自激振动时, 其法向振动加速度与切向振动加速度在主频处发生耦合。此外, 可以看出振动加速度信号的主频与噪声声压信号的主频基本一致, 对比表1所示结果, 可看出这个频率与通过锤击法测量出的摩擦系统的某阶自然频率1662Hz接近。因此, 可以认为摩擦噪声主要是由系统摩擦自激振动引起的, 摩擦过程中界面引起的振动与摩擦系统自然频率相耦合, 引起摩擦系统的不稳定振动, 并最终对外发射出摩擦噪声。

基于以上试验, 利用有限元软件ABAQUS显式动态求解器计算该摩擦系统在稳定阶段半个周期内的法向和切向 (摩擦力方向) 振动加速度信号随时间的变化趋势, 参考试验结果将摩擦因数设为0.7, 计算结果如图6所示。由图6可见, 摩擦系统的法向与切向的振动加速度均在0.2~0.4s区间产生明显的幅值, 表明摩擦系统在滑动摩擦过程中产生连续的自激振动。对两个方向的振动加速度信号进行自功率谱分析, 结果如图7所示。由图7可见, 两个方向振动加速度主频值均为2050Hz, 这表明该系统发生自激振动时, 其法向振动加速度与切向振动加速度在频率为2050Hz处发生耦合。对比可看出, 计算所得的振动主频值与试验所得的噪声声压主频值1500Hz存在一定的误差, 产生该误差的主要原因是由于建模时忽略了系统阻尼, 导致了系统整体刚度增大, 进而导致计算所得系统振动主频值高于实验所测得的主频值。以上结果表明, 利用该模型可以较为真实地计算出摩擦系统的振动特性, 并很好地验证试验结果:摩擦噪声主要是由摩擦系统的自激振动引起, 法向振动与切向振动的耦合是系统产生自激振动与摩擦噪声的一个重要因素。

3.2 摩擦接触表面节点的动力学特性

进一步对摩擦振动噪声发生时接触界面的运动特性进行研究。Carpenter等[9]在1991年提出采用拉格朗日法分析瞬时表面接触特性, 采用该方法并结合系统在tn (tn=nΔt) 时刻的动力学等式与在tn+1时刻的表面位移约束方程, 可构造如下方程组:

式中, M、K分别为系统质量矩阵和刚度矩阵;un、分别为节点的位移与振动加速度;Gn+1为约束初等矩阵;λn为作用在从面节点上的接触力向量;Xn+1为tn+1时刻的坐标向量;rn为作用于从面节点上的外力向量。

根据Beta-2 (β2) 计算方法及中心差分法可得λn和un+1与Gn+1的关系, 后利用Gauss-Seidel迭代法, 假设接触面上所有节点均满足库仑摩擦定律, 节点的接触状态可以表述为

式中, n与t分别为接触面法向与切向的方向向量;μ为摩擦因数。

当‖λnt‖<μ|λnn|时, 从面节点与主面接触为黏着状态;当‖λnt‖=μ|λnn|时, 从面节点与主面接触为滑动状态。

图8所示为通过计算得到的摩擦系统接触从面上一点的法向力与切向力时域信号, 可以看出在摩擦过程中该点的法向力与切向力均产生了明显幅值的波动, 其中法向力的波动幅值为40N左右, 切向力的波动幅值为25N左右, 这主要是由于系统在发生自激振动时, 引起了接触面上节点力的变化。

为了进一步说明从面节点在摩擦系统发生自激振动时的运动特性, 对该节点在一定时间段内摩擦因数的变化进行分析, 结果如图9所示。可以看出, 该节点的摩擦因数值在0~0.7之间变化。根据拉格朗日法, 当摩擦因数值为0.7时, 表明该点与主面发生相对滑动, 此时该点满足力学方程‖λnt‖=μ|λnn|;当摩擦因数值小于0.7时, 表明该点与主面发生黏着运动, 此时该点满足力学方程‖λnt‖<μ|λnn|;当摩擦因数为0时, 表明该点与主面发生了分离, 此时无切向力。以上现象表明, 当摩擦系统发生自激振动时, 从面节点与主面的接触并不是连续不变的, 从面节点与主面在相对运动过程中具有黏着-滑动-分离-黏着的特性。

4 结论

本文利用有限元软件ABAQUS显式动态求解器对球-平面接触条件下的滑动摩擦振动噪声进行数值模拟分析, 结合相应的试验结果, 探讨了摩擦噪声的发生机制以及系统发生自激振动时摩擦接触面上节点的运动特性, 结论如下:

(1) 当摩擦过程中界面引起的振动与摩擦系统自然频率相耦合时, 摩擦系统将发生不稳定振动并产生噪声, 摩擦噪声主要由系统摩擦自激振动引起。

(2) 法向振动与切向振动的耦合是摩擦系统产生自激振动及噪声的一个重要因素。

(3) 当摩擦系统发生自激振动时, 从面节点与主面的接触并不是连续不变的, 从面节点与主面在相对运动过程中具有黏着-滑动-分离-黏着的特性。

参考文献

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[8]Meziane A, Baillet L, Laulagnet B.Experimental and Numerical Investigation of Friction-induced Vibration of a Beam-on-beam in Contact with Friction[J].Applied Acoustics, 2010, 71:843-853.

高维卡-海勒方程的显式谱方法 篇4

本文考察如下一类高维非线性Cahn-Hilliard方程周期初值问题:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial U}{\partial t}={\rm M}\nabla \Phi (U)-{\rm M}v\Delta {}^{2}U‚& (x,t)\in \mathit{R}{}^m\times J\\ U(x,Q)=U{}_0(x)‚& x\in \mathit{R}{}^m\\ U(x+2\pi e{}_j,t)=U(x,t),& (x,t)\in \mathit{R}{}^m\times J\end{array}(1)$

(1)式中Δ为Laplace算子,ᐁ为梯度算子,M>0为迁移率,ν>0 为界面效应现象参数;Φ(U)=ψ′(U),$\psi =\frac{1}{4}(U{}^2-\beta {}^2){}^2$为自由量,β为旋度区间的值; Φ为实变量实值函数; U0(x)和U(x,t)分别为关于x以2π为周期的已知和未知的实值函数J=(Q,T)(T>0),ej为Rm的第j个单位向量,x=(x1,x2,…,xm)∈Rm。

方程(1)是一个反映一种易熔的化学混合物或合金被骤冷而成的一种不稳定状态,继而分解为性质截然不同的相位过程的模型。文献[1]研究了方程(1)古典解的存在性与唯一性;文献[2]研究了Galerkin有限元法;文献[3]研究了此系统吸引子的存在性,曾给出显式差分法。本文研究方程(1)的谱方法,构造了半离散和全离散格式,利用文献[4,5]的方法证明其格式的收敛性与稳定性。

本文总假定C为广义常数,它依赖于常数M、γ、β、T和函数Φ、U、Q等,在不同处意义不一定相同。

1 半离散Fourier谱方法的收敛性

令Ω=[0,2π)m,Sobolev空间H${}_p^s$(Ω)定义如下:

H${}_p^s$(Ω)={V∈H${}_{10g}^s$(Rm)|V(x+2πej)=V(x),j=1,2,…,mj},在Ω上定义内积和范数,$(u,v)={\displaystyle {\int }_{\Omega }u}v\text{d}x,\left|U\right|{}^2=(u,v)$。

对于正整数S定义

$\left|U\right|{}_s=\left({\displaystyle \sum _{\left|x\right|\le s}\left|D{}_{x}U\right|}{}^2\right){}^{\frac{1}{2}},\left|U{}_s\right|=\left({\displaystyle \sum _{\left|x\right|=s}\left|D{}_{x}U\right|}{}^2\right){}^{\frac{1}{2}}。$

对正偶数N记有限多重整数集为:

$\Omega {}_{{\rm N}}=\{(w{}_1,w{}_2,\cdots ,w{}_m)-\frac{{\rm N}}{2}\le w{}_j\le \frac{{\rm N}}{2}-1,j=1,2,\cdots ,m\}$。

令φN=(2π)-m/2eiαx,α∈ΩN,SN=Span{φα}, α∈ΩN。

定义PN是从H${}_p^s$(Ω)到SN的L2正交投影算子。

引理1[6] 设V∈H${}_p^s$(Ω),对于S≥μ≥0,存在与V,N无关的正常数C,使得$\left|V-{\rm P}{}_{{\rm N}}V\right|{}_{\mu }\le C{\rm N}{}^{\mu -s}\left|V\right|{}_s$。

引理2[6] 设V∈SN,对于σ≥μ≥0,有

$\left|V\right|\le \left(\frac{{\rm N}}{2}\right){}^{\sigma -\mu }\left|V\right|\mu ‚\sigma \ge \frac{1}{2}。$

定义方程(1)的半离散Fourier谱方法如下:

求UN:J→SN 满足

$\begin{array}{l}\left(\frac{\partial U{}_{{\rm N}}}{\partial t},x\right)={\rm M}(\Phi (U{}_{{\rm N}}),\Delta x)-{\rm M}v(\Delta U{}_{{\rm N}},\Delta x)x\in S{}_{{\rm N}}\\ U{}_{{\rm N}}(Q)={\rm P}{}_{{\rm N}}U{}_0(2)\end{array}$

(2)式中UN$(\text{x},\text{t})={\displaystyle \sum _{\text{x}\in \text{Ω}{}_{\text{Ν}}}\text{U}}{}_{\text{Ν}\text{α}}\oplus \text{φ}{}_{\text{α}}(\text{x})$。

在(2)式中令Φ=Φα(α∈ΩN),则(2)式就化为Nm个未知量的一阶常微分方程组。

引理3U0∈L2(Ω),Φ∈L2(J,H${}_p^s$(Ω)),则半离散格式的解满足

$\left|U{}_{{\rm N}}(t)\right|\le C\left|U{}_{{\rm N}}(0)\right|$。

证明 (2)式中x=UN,即有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\left|U{}_{{\rm N}}\right|){}^2+2{\rm M}(v-\epsilon )\left|\Delta U{}_{{\rm N}}\right|$≤$C\left|U{}_{{\rm N}}\right|{}^2$(*)

取ε≤r ,及Gronwall不等式,得$\left|U{}_{{\rm N}}(t)\right|\le e{}^{c{\rm T}}\left|U{}_{{\rm N}}(0)\right|$结论成立。

推论 在引理3的条件下

$\left|U{}_{{\rm N}}\right|L{}^2(J,L{}_{{\rm P}}^{\infty }(\Omega ))\le C。$

证明 (*)式两边关于t积分得:

$\left|U{}_{{\rm N}}(t)\right|{}^2-\left|U{}_{{\rm N}}(0)\right|{}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\left|\Delta U{}_{{\rm N}}\right|}\text{d}t\le {\displaystyle {\int }_0^{t}C}\left|U{}_{{\rm N}}\right|{}^2\text{d}t。$

由引理3的结论知${\displaystyle {\int }_0^t\left|\Delta U{}_{{\rm N}}\right|}\text{d}t$≤C,由Sobolev不等式知${\displaystyle {\int }_0^t\left|U{}_{{\rm N}}\right|}L{}^{\infty }\text{d}t$≤C,于是$\left|U{}_{{\rm N}}\right|L{}^2(J,L{}_{{\rm P}}^{\infty }(\Omega ))\le C$。

定理1 设方程(1)的解U∈L∞(J,H${}_p^s$(Ω)),Φ(·)∈Cs+1(R),则方程(2)的解唯一存在且对于与N,t无关的正常数C,M1 ,N > M1 时,有

$\left|U(t)-U{}_{{\rm N}}(t)\right|L{}^{\infty }(J,L{}_{{\rm P}}^2(\Omega ))\le C{\rm N}{}^{-s}(3)$

(3)式中$S>\frac{m}{2}‚S\ge 4$。

证明 显然一阶常微分方程(2)的局部解存在且唯一,由推论1知(2)式的解对于任意t∈J存在且唯一。

设$\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}}={\rm P}{}_{{\rm N}}U$,则$(u,x)=(\tilde{u},x)‚(u{}_t,x)=(\tilde{u}{}_t,x)(4)$

令$e=U-U{}_{{\rm N}},\eta =\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}}-U{}_{{\rm N}}$;$\xi =U-\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}},$则e=ξ+η。

$\left|e\right|\le C{\rm N}{}^{-S}\left|U\right|{}_s+\left|\eta \right|(5)$

对任意x∈SN,则

$(\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}}{}_t,x)={\rm M}(\Phi (u),\Delta x)-{\rm M}\nu (\Delta U-\Delta x)(6)$

(6)式—(2)式,并令x=η∈SN得

$\begin{array}{l}(\eta {}_t,\eta )={\rm M}(\Phi (U)-\Phi (U{}_{{\rm N}}),\Delta \eta )-{\rm M}\nu (\Delta e,\Delta \eta )=\\ {\rm M}({\Phi }^{\prime }(U{}^{*})e,\Delta \eta )-{\rm M}v\left|\Delta \eta \right|{}^2(7)\end{array}$

先假定Φ∈C${}_b^2$(R)。

于是$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left|\eta \right|{}^2\le \frac{{\rm M}C{}^2}{4r\left|e\right|}(8)$

把(5)式代入(8)式得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left|\eta \right|{}^2\le C({\rm N}{}^{-2s}+\left|\eta \right|{}^2)(9)$

(9)式关于t从0到T积分,得

$\left|\eta \right|{}^2\le \left|\eta \right|{}^2+C({\rm T}){\rm N}{}^{-2s}+C{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}\left|\eta \right|}{}^2\text{d}z。$

由$\left|\eta {}_0\right|=0$及Gronwall不等式,得

$\left|\eta \right|\le C{\rm N}{}^{-s}(10)$

由(3)式、(10)式得:$\left|\Omega \right|\le C{\rm N}{}^{-s}$。

于是$\left|U(t)-U{}_{{\rm N}}(t)\right|\le C{\rm N}{}^{-s}$,(3)式成立。

由$S>\frac{m}{2}$知,存在σ,使$S>\sigma >\frac{m}{2}$,所以:

$\left|e\right|{}_{\sigma }\le \left|\xi \right|{}_{\sigma }+\left|\eta \right|{}_{\sigma }\le C{\rm N}{}^{\sigma -s}。$

由Sobolev嵌入定理得:

$\left|e\right|L{}^{\infty }(J;L{}_{{\rm P}}^{\infty }(\Omega ))\le C{\rm N}{}^{\sigma -s}。$

故存在M1>0,当N>M1时,有

$\left|e\right|L{}^{\infty }(J$;L∞P(Ω))≤ε。

最后,类似于(4)式、(1)式,可取消Φ(·)∈C${}_b^2$(R)的假定,定理成立。

2 全离散Fourier谱方法的收敛性与稳定性

设K为一正整数,$C=\frac{{\rm T}}{{\rm K}}$为时间步长,U${}_{{\rm N}}^n$为UN在t=nτ时的近似值,定义差商如下:

$U{}_{{\rm N}{}_t}^n=\frac{U{}_{{\rm N}}^{n+1}-U{}_{{\rm N}}^n}{\tau }。$

考察方程(1)如下的全离散谱格式:

$\begin{array}{l}(U{}_{{\rm N}{}_t}^n,x)={\rm M}(\Phi (U{}_{{\rm N}}^n),\Delta x)-{\rm M}\gamma (\Delta U{}_{{\rm N}}^n,\Delta x)(11.1)\\ (U{}_{{\rm N}}^0,x)=(U{}_0,x)x\in S{}_{{\rm N}}(11.2)\end{array}$

定理2 设U和U${}_{{\rm N}}^n$分别为方程(1)和(11)的解,并且$U\in {\displaystyle \underset{J=0}{\overset{2}{\cap }}}C{}^J(J$;H${}_{{\rm P}}^{s-2J}$(Ω)),Φ(·)∈Cs+1(R), M,γ>0,则存在正常数C1,M1,当${\rm N}>{\rm M}{}_1,\frac{\delta }{mr}\ge C{}_1$时有

$Snp\left|U{}_{{\rm N}}^n-U(t{}_n)\right|\le C({\rm N}{}^{-s}+\tau )‚0\le n\le {\rm K}(12)$

(12)式中S和σ满足$S>\sigma >\frac{m}{2},\sigma \ge 4$。

证明$\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}}={\rm P}{}_{{\rm N}}U,e{}^n=u(t{}_n)-U{}_{{\rm N}}^n,\xi {}^n=U(t{}_n)-\stackrel{\sim }{{\displaystyle U}}(t{}_n)‚\eta {}^n=\tilde{u}(t{}_n)-U{}_{{\rm N}}^n$,则en=ξn+ηn。

于是$\left|e{}^n\right|\le C{\rm N}{}^{-s}\left|\mu \right|{}_s+\left|\eta {}^n\right|(13)$

因为所以

$\begin{array}{l}(\eta {}_t^n,x)={\rm M}(\Phi (U(t{}_n))-\Phi (U{}_{{\rm N}}^n),\Delta x)-\\ {\rm M}\gamma (\Delta \eta {}_{}^n,\Delta x)+\frac{\tau }{2}(U{}_{tt}(t{}_n+\theta t),x)(14)\end{array}$

令(14)式中x=ηn∈SN,则

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left|\eta {}^n\right|{}_t^2-\frac{\tau }{2}\left|\eta {}_t^n\right|\le {\rm M}\epsilon \left|\Delta \eta {}^n\right|{}_{}^2+\frac{{\rm M}}{4\epsilon }C{}^2\left|e{}^n\right|{}_{}^2+\\ \frac{\tau }{2}\left(\left|\eta {}^n\right|{}_{}^2+\frac{\left|U{}_{tt}\right|}{4\epsilon }-{\rm M}\gamma \left|\Delta \eta {}^n\right|{}^2\right)\le \\ {\rm M}(\epsilon -\gamma )\left|\Delta \eta {}^n\right|{}_{}^2+\frac{C{}^2{\rm M}+\epsilon \tau }{2\epsilon }\left|\eta {}^n\right|{}_{}^2+\frac{C{}^4{\rm M}}{2\epsilon }{\rm N}{}^{-2s}+\frac{C\tau }{8\epsilon }(15)\end{array}$

(15)式中$\left|U{}_{tt}\right|\le C,\left|\tilde{U}{}_{tt}\right|\le C$,模仿(8)式、(9)式中的方法,假定Φ∈C${}_b^2$(R),由于

$\begin{array}{l}\left|\eta {}_t^n\right|\le {\rm M}C\left|\Delta e{}^n\right|+{\rm M}\gamma \left|\Delta {}^2\eta {}^n\right|+\frac{C\tau }{2}\le \\ \frac{{\rm M}C}{4}{\rm N}{}^2\left|\eta {}^n\right|+\frac{{\rm M}\gamma }{4}{\rm N}{}^2\left|\Delta \eta {}^n\right|+{\rm M}C{}^2{\rm N}{}^{-s}+\frac{C}{2}\tau ；\\ \left|\eta {}_t^n\right|{}^2\le \frac{{\rm M}}{4}C{}^2{\rm N}{}^4\left|\eta {}_{}^n\right|{}^2+\frac{1}{4}{\rm M}{}^2\gamma {}^2{\rm N}{}^4\left|\Delta \eta {}^n\right|{}^2+\\ 4{\rm M}{}^{2}C{}^4{\rm N}{}^{-2s}+C{}^2\tau {}^2(16)\end{array}$

把(16)式代入(15)式,得:

$\begin{array}{l}\left|\eta {}^n\right|{}_t^2\le \left(\frac{\tau {}^2{\rm M}}{\epsilon }+{\rm T}+\frac{\tau {\rm M}C{}^2}{4}\right)\left|\eta {}^n\right|{}_{}^2+C{}^2{\rm T}\tau {}^2+\\ \left(4{\rm M}{}^{2}C{}^2+\frac{C{}^4{\rm M}}{\epsilon }\right){\rm N}{}^{-2s}\le \tau \left|\eta {}^n\right|{}^2+\tau C{}^2+\tau {\rm N}{}^{-2s}(17)\end{array}$

由Gronwall不等式及$\left|\eta {}_0^n\right|=0$得

$\begin{array}{l}\left|\eta {}^n\right|{}^2\le C({\rm N}{}^{-2s}+\tau {}^2)‚\\ \left|\eta {}^n\right|{}^{}\le C({\rm N}{}^{-s}+\tau )。\end{array}$

类似于定理1的证明方法,由三角不等式得,存在M1>0,C1>0当N≥M1,τNσ≤C1时有$\left|e{}^n\right|L{}^{\infty }(J$;L∞p(Ω))≤ε,由(12)式成立,类似(4)、式(5)的方法,可消去Φ(·)∈C${}_b^2$(R)的假定,定理证毕。

类似于定理2的证明,有如下稳定性定理

定理3 设UN为方程(11)的解,U${}_{{\rm N}}^n$为方程(11)的初始值U0有扰动δU0时的解,则

$Snp\left|U{}_{{\rm N}}-U{}_{{\rm N}}^n\right|\le C\left|\delta U{}_0\right|‚0\le n\le {\rm K}。$

参考文献

[1]Elliott C M,Hilliard J E.Free entrgy of a nonuniform system-I,in-terfacial free enengy.J C Hem Phys1958;28:258—267

[2]Euiott C M,Zneng S M.The Cah-Hilliard epuation.Arch Ration Mech,1986;96:339—35

[3]Temam R.Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics.Springer-Verlag,1988

[4]LUB N.Afinite difference methid for the madel of wheezes.J Comp Math,1995;(2):123—129

[5]鲁百年.高维非线性Sehrodinger方程的Forier谱方法.计算数学1991;(1):25—33

显式分析 篇5

关键词：非线性方程,推广KdV方程,精确解,行波解,双函数法

0 引言

非线性发展方程的行波解在众多领域得到了广泛应用，为了得到非线性发展方程的行波解，近年来人们建立了齐次平衡法、双曲函数法、三角函数法、直接代数法、双函数法、变形映射法等诸多方法，这些方法被有效地运用于求解具体的非线性发展方程，得到了很多类非线性发展方程的新解。

本文利用聂小兵和汪礼礽[1]提出的双函数法讨论如下推广的KdV方程：

其中常数a>0,b<0,δ>0。B.Dey[2]在给出该方程的守恒律的基础上研究了它的域墙波解。谢绍龙，洪晓春[3]用动力系统分支方法研究了该方程孤波解的存在性。刘妍丽，张健[4]用推广的齐次平衡法和吴消元法求出了该方程的孤立波解，那仁满都拉[5]用一种新的函数变换法求出了该方程的显式精确行波解。

1 推广KdV方程的新显式精确行波解

根据齐次平衡原则，平衡方程(1.1)中的最高阶线性导数项和最高阶非线性项得到该方程的平衡常数为所以需要对方程(1.1)进行变换，将其平衡常数化为正整数。

引入1如下函数变换：

进一步有：

将(2.1)式和(2.2)式代入方程(1.1)，化简并去掉波浪号，得到：

对方程(2.3)作行波变换，得：

其中λ为待定常数，表示波速。将(2.4)式代入(2.3)式得到：

根据齐次平衡原则，平衡方程(2.3)中的最高阶线性导数项和最高阶非线性项后，可设方程(2.3)具有如下形式的解：

并且函数f(ξ)和g(ξ)满足：

其中，µ=±1,h,a0,a1,b1为待定常数，且h为实数。

根据文献[1]可知，微分方程组(2.7)具有如下形式的解：

(1)当µ=1时，

(2)当µ=-1时，

借助于Mathematic软件系统，由(2.6)式和(2.7)式可得：

将(2.6)式、(2.10)～(2.12)式代入(2.5)式并借助(2.7)式和Mathematic软件系统化简，可以将(2.5)式左端表示为1,f i+1,f ig(i=0,1,(43),5)的线性组合，而且各项的系数依次如下：

令(2.13a)～(2.13m)各式均等于0，得到关于未知数a0,a1,b1,h,µ的超定代数方程组，利用Mathematic软件系统求解该方程组，结果如下：

情形1:

情形2:

情形3:

情形4:

情形5:

情形6:

注：表示虚数单位，对于诸a i,bi均等于0的平凡解情形不予讨论。

由情形1～6及(2.4)式、(2.6)式、(2.8)式、(2.9)式及(2.1)式的反变换，可知推广的KdV方程(1.1)存在下述精确行波解：

注：(4)(6)两组解中的正负号可以任意组合。

2 讨论

本文利用双函数法研究了一类推广KdV方程的求解问题，得到了该方程的多个显式精确行波解，同以往的文献进行对比，发现(4)(6)两组解在以前的资料中没出现过，是通过双函数法算出的推广KdV方程的新的显式精确行波解，其中包括孤立波解和周期波解。得到的新解有助于推广KdV方程的深入研究，对进一步认识推广KdV方程的物理意义有一定的参考价值。从上述研究过程可见，双函数法求解非线性发展方程具有简洁明快，易于操作的特点。这种方法可以部分在计算机代数系统Mathematic软件上实现，从而在很大程度上降低了人工计算的繁杂性，可操作性较强。另外，双函数法的推广性和移植性较好，它不仅可以用于求解其他的非线性发展方程，而且经过推广，可以用于求解部分偏微分方程组[6]。

参考文献

[1]聂小兵^,汪礼礽.R-L-W方程的精确行波解[J].华东师范大学学报^:自然科学版^,2004(1):15-21.

[2]Dey B.Domain Wall solutions of KdV like equations with higher order nonlinearity[J].J Phys A Math Gen,1986(19):9-12.

[3]谢绍龙,洪晓春.一类非线性方程的孤立波[J].云南大学学报:自然科学版,2001(5):327~330.

[4]刘妍丽,张健.一类非线性发展方程的孤波解[J].四川师范大学学报:自然科学版,2003(2):124-126.

[5]那仁满都拉.KdV类非线性方程显示精确孤波解[J].内蒙古民族大学学报:自然科学版,2004(3):252-256.