分形市场理论

分形市场理论（精选7篇）

分形市场理论 篇1

引言

有效市场假说自提出以后, 很快便成为现代资本市场理论的基石, 并在此基础上发展出许多模型来描述市场行为和测度市场风险。随着混沌现象逐步被认识和研究, 特别是对金融市场混沌特性的发现, 人们对有效市场假说的正确性提出了越来越多的质疑。同时开始应用非线性理论去解释、分析资本市场行为, 并取得一定成果。主要针对20世纪至今的国内外该领域的文献进行整理和分析。

一、股票市场分形理论演进

(一) 传统有效市场理论面临的挑战

20世纪60年代, Fama (1970) 在他的论文中提出了有效市场理论, Fama指出, 市场中的投资者是理性的, 证券的价格是合理的, 证券价格反映出市场中所有的信息。在有效的市场条件下, 信息和证券分析不能获得额外的收益[1]。

随着金融理论研究的不断深入, 国外众多研究者发现大量与有效市场理论违背的现象。Banz (1981) 的研究表明, 股票市值大的公司收益率往往小于股票市值小的公司收益率, 即无论是总收益率还是经风险调整后的收益率都与公司大小呈负相关关系。有效市场理论与实证研究之间存在很大的差距, 总结有效市场理论主要有以下的缺陷:第一, 投资者理性行为假设问题。第二, 对新信息的反应问题。在生活中人们往往用非线性的方式去对信息进行反应, 证券价格会受以前的价格影响。第三, 价格随机游走问题。主流理论认为, 价格是服从随机游走的, 但事实上, 研究者发现股市收益率具有高峰胖尾现象, 随机游走规律受到质疑。

(二) 分形市场理论的发展

1963年, Mandelbrot首次提出了股票价格行为并不遵循随机游走模式, 而是存在“诺亚效应”和“约瑟效应”。分形概念最早是由Mandelbrot于1967年在研究英国海岸线有多长的问题时提出的, 海岸线作为曲线, 其特征是极不规则、极不光滑的, 呈现极其蜿蜒复杂的变化。1975年, 他创立了分形几何学。在此基础上, 形成了研究分形性质及其应用的科学, 称为分形理论。后来随着H指数在证券市场的逐渐应用, 两者的结合成为资本市场理论研究的新的高峰。他认为分形具有以下的特性:第一, 具有精细结构, 即在任意小的比例尺下, 都可以呈现出更加精致的细节;第二, 分形对象具有广泛的规模变化范围, 这也构成了分形的研究对象;第三, 分形具有自相似性, 即部分以某种方式联系与整体。

最早提出分形市场概念的是彼得斯 (1991) , 他在Mandelbrot的基础上将分形理论引入到经济金融系统中, 明确地提出了分形市场假说。他认为分数布朗运动能够更加准确的描述金融市场的波动特性。Hurst (1951) 首次提出了的探索分形结构特征的重要的R/S分析法。后来Peters (1994) 利用R/S分析法对包括美国、英国、德国和日本在内的金融市场进行了研究, 结果表明这些国家的金融市场呈现出显著的分形结构特征。

分形理论在金融市场中得到了广泛的应用。分形分析法可以取代传统的风险测量方法, 对风险进行度量, 也可以用于判断数据的分布特征和非周期循环。目前已有很多文献利用分形理论来研究金融市场:Cheung (1983) , Byers和Peel (1996) 用分形理论研究了汇率, Barkoulas和Baum (1997) 用分形理论研究了利率。

二、实证研究文献综述

(一) 国外股票市场分形实证研究综述

Peters (1991) 通过应用R/S分析法对资本市场上的资产价格变化的正态性检验, 证实了资产价格或资产收益序列符合分形布朗运动或有偏的随机游走规律。Nwarocki (1995) 研究了著名的S&P3OO股票指数, 发现该股票指数的平均周期为五年。Michael (2001) 使用R/S分析方法对澳大利亚股票市场中的股票收益率的日交易数据和月交易数据进行研究, 发现澳大利亚的股票市场存在着长期记忆性, 且其周期是3年和6年[2]。

对资本市场证券价格是否存在长期记忆这个问题也存在许多相反的结论。如Crato (1994) 运用极大似然估计法对股票市场收益序列的研究中没有发现存在长期记忆性的证据。Wright (1999) 年利用ARFIMA模型对包括印度在内的新兴市场进行了长期记忆性的检验, 结果发现这些股票市场都具有相当强的序列相关性。

随着单分形市场研究的不断深入, 对股票市场的多重分形过程研究也逐渐增多。Demos和Tata (1993) 发现多重分形行为轨迹后, 多重分形研究不断受到重视。Andreadis等运用统计学及系统动力学理论中的方法对道琼斯指数1928—2000年的日收盘指数进行计算, 认为美国股市存在多重分形结构。Alvarez等讨论了国际原油价格的多重分形特征, 发现存在与星期和季度有关的两个特征时间标度。Schmitt (1999) 集中于为证实各种金融时间序列具有多重分形特征而进行的统计分析。

(二) 国内股票市场分形实证研究综述

徐龙炳、陆蓉 (1999) 对中国1998年10月之前的上证日收盘指数和深证成分日收盘指数进行了R/S分析, 得出上证指数的Hurst值为0.661, 且上证平均循环周期长度约为195天。深证指数的H值为0.643, 两个市场都存在分形特征。史永东 (2000) 应用R/S法对沪市股票收益规律进行了研究, 结果显示上海市场的股票收益遵循有偏的随机游走过程或分形布朗运动, H指数为0.697, 价格不能对信息做出及时充分的反应, 收益序列具有持久性的特征, 平均循环长度约为20周。

黄诒蓉 (2005) 利用R/S法对中国股票市场的分形结构进行实证分析, 结果表明上证指数和深证成指的日、周收益率序列的H指数均显著大于0.5, 因此中国股市均存在着较强的状态持续性, 具有分形特征[3]。

郝清民 (2006) 采用R/S非线性估计方法针对中国股市收益率序列中的长记忆问题, 进行了实证研究。发现中国股市收益率普遍存在长记忆性, 只有个别股票不存在长记忆性, 而且深市比沪市具有更强的长记忆性[4]。

除了对沪深股市综合指数进行分形特征研究外, 许多学者还对行业指数进行了分形研究。刘倩等应用刚S分析法分析中国股票市场的建筑业、房地产业、批发和零售贸易这3个重点行业的长期记忆性和平均循环周期问题, 对各行业分析结果表明, 中国股票3个行业市场都具有分形特征, 其变化具有循环性。刘林 (2009) 运用R/S和V/S方法分别对中国电力行业代表性股票—长江电力股票和化工行业代表性股票—烟台万华股票计算得出的Hurst指数为基础, 并以此而建立新的风险度量指标, 并对其进行比较研究, 得烟台万华股票的风险高于长江电力股票的风险。同时指出将赫斯特指数用于行业的风险比较研究中有其独特的优势。

根据选取的样本数据的时间间隔不同, 研究者也得出众多的结论。吴际祥 (2007) 采用深圳日成分指数收盘价作为分析样本, 对该指数的日、周、月收益率进行分析发现H指数逐渐加大, 指数价格的平均循环周期几乎相同。瞿波等 (2012) 在根据选取的样本数据的时间间隔不同, 得到了国内两大股指的日收益率、周收益率以及月收益率的R/S分析结果, 以上证综指为例, 上证综指在不同时间分辨率下的Hurst指数 (渐近线的斜率) 都大于0.5, 随着时间间隔的增加, Hurst指数的值也会增加[5]。

对于如何度量证券风险的指标, 李红权、马超群 (2005) 研究了风险的频度、累积性及与赫斯特指数关系。从金融资产价格波动的符号动力学特征出发, 提出了衡量金融风险水平的两个新指标风险的频度与累积性, 分别建立了这两个风险指标与赫斯特指数之间关系的命题, 并验证了命题的正确性与有效性[6]。

三、股票市场分形研究展望

第一, 股票市场分形研究, 大多数研究者都集中于经典R/S法进行分析, 学者们使用各个不同股票市场的数据对其进行检验, 由于在数据选取与使用方面, 每个学者使用的数据区间不同, 时间标度不同, 国外成熟证券市场的研究结果存在差异, 而且不同的学者对于同一证券市场的研究结果也不尽相同。

第二, 国内是学者2000年以来开始关注深圳和上海股票市场的分形研究, 对中国股票市场分形的H指数和统计循环长度进行测算和实证检验, 但在中国股票市场分形研究中存在样本区间、时间标度确定差异, 忽略了中国转型背景基础上股票市场运行阶段差异。

第三, 对金融资本市场分形特性产生原因的分析研究较少, 大部分文章只是利用数据进行实证分析, 而后得出实证结果。

参考文献

[1]Mandelbrot B B.How long is the coast of Britain[J].Science, 1967, (3775) :636-638.

[2]埃德加·E.彼得斯.资本市场的混沌与秩序[M].北京:经济科学出版社, 1999.

[3]黄诒蓉.中国股市分形结构:理论与实证[M].广州:中山大学出版社, 2005.

[4]戴国强, 徐龙炳, 陆蓉.金融市场有效性探讨[M].上海:上海财经大学出版社, 2005.

[5]王德河.股票价格时间序列分形特征的实证研究[J].审计与经济研究, 2007, (11) :71-76.

[6]谢朝华, 文凤华, 等.中国股票市场分形与混沌特征[J].系统工程, 2010, (6) :30-35.

分形市场理论 篇2

在电力市场环境下,不同类型的市场参与者都希望在市场中获得最大的经济收益,也都会面对不同的风险评估与管理问题[1]。电力市场环境下有很多不确定性因素,如负荷波动、电价波动、电力设备故障等[2]。在国际上较为流行的以输电公司作为单一购买者模式的电力市场中,输电公司面临的市场风险主要由负荷波动和电价波动引起。其中,分析电价波动引起的风险是输电公司在电力市场风险管理中最关心的问题,也是本文研究的核心内容。

对于电力市场环境下的风险评估与管理问题,国内外已经做了不少研究工作。文献[3]对电力市场交易中的风险评估问题作了概述,介绍了适用于评估实际电力市场风险的方法,如风险价值(valueat-risk,VaR)方法和条件风险价值(conditionalvalue-at-risk,CVaR)方法;文献[4]在风险管理的框架下发展了电力投资组合优化模型;文献[5]采用VaR历史模拟法评估电价波动引起的电力市场短期风险;文献[6]构造了电力市场环境下发电公司的风险管理框架;文献[7]讨论了电力市场不同阶段的风险规避问题。现有的针对电价风险的研究大多都基于电价波动服从正态分布的假设。然而,已有实证研究表明,假设电价服从正态分布是不尽合理的[8]。针对此问题,也有学者做了研究工作,如文献[9]考虑了正态分布的偏度,提出了基于偏度VaR法的购电组合优化策略。但从总体上讲,这个问题尚未得到很好的解决。

近年来,随着分形和多重分形理论在金融市场应用的日益广泛,基于分形和多重分形理论的风险分析为研究电力市场中电价波动给市场参与者带来的风险提供了新的思路。文献[10]从分形的角度研究了购电组合风险,并基于分形分布的特征函数给出了分形VaR的量度方法;文献[11]验证了电价波动具有多重分形特征,但没有给出基于多重分形分布评价电价波动风险的方法;文献[12]利用多重分形谱的参数构造了新的风险量度指标,用于指导发电公司制定竞价策略。文献[13-14]均是在多重分形谱的基础上构造风险指标,但与VaR等成熟的风险指标相比,所构造的指标并不具有明确的物理含义。因此,如何对具有多重分形特征的电价进行有效的风险评估,仍然是一个有待研究的重要问题。

在上述背景下,本文针对电价的多重分形特性,基于回归间隔法(return interval approach,RIA)对电价进行分析,并给出了计算多重分形分布数据VaR的算法。之后,针对作为单一购买者的输电公司的总购电成本,构造了考虑多重分形分布电价的短期购电组合风险优化模型。最后,用实际电力市场中的电价数据对所提出的基于RIA计算VaR的方法进行了验证,针对不同典型时期的电价波动情况对购电组合进行了风险优化,并基于算例结果与现有方法作了比较分析。

1 多重分形简介

1.1 分形

法国数学家B.B.Mandelbrot于20世纪70年代提出了分形理论,用于研究事物的非整数维特征。一般而言,分形具有2个明显的特征[15]:(1)自相似性,即重复放大分形的细部可以观察到与分形本身相似的结构,或称分形具有标度不变性;(2)缺乏平滑性,分形处处不连续,自然亦不可微分。数十年来的大量研究已经证明,分形理论是分析事物复杂性的有效手段[16]。

1.2 多重分形

在电力市场中,电价波动具有季节性特点。夏季和冬季由于用电负荷较高,市场电价普遍较高,甚至会出现尖峰。因此,电价序列在不同时间段内的特性具有较大差别,一般不能用单一的分形维数来刻画。文献[17-18]给出了如下多重分形的严格数学定义。若连续时间过程{X(t)}具有平稳增量,且对所有t∈T,q∈Q均满足式(1),则称{X(t)}为多重分形过程。

式中:E(·)为取期望运算;t为时间点;T和Q为实轴上长度为正的区间,且0∈T,[0,1]Q;d(q)和τ(q)为Q上的函数,其中τ(q)为多重分形过程的尺度函数,用于刻画不同尺度下的标度特性。

如果τ(q)为q的线性函数,则此过程是单标度的,即单分形;如果τ(q)为q的非线性函数,则此过程是多标度的,即多重分形。

1.3 多重分形谱的计算

多重分形的分形维数不是单一不变的,因此,多重分形的特性常用多重分形谱f(α)来表征,α表示分形体某一区域的分形维数。估计f(α)的方法主要有盒维数法、多重分形消除趋势波动分析(multifractal-detrended fluctuation analysis,MF-DFA)法、小波变换法等,本文采用MF-DFA法计算电价数据的多重分形谱。MF-DFA法的具体步骤详见文献[19]。

2 基于RIA的VaR

2.1 回归间隔

以时间序列{y(t)}(t=1,2,…,N)为例,回归间隔是指在给定阈值V的前提下,相邻2次序列值超过阈值V的时间间隔,即y(t1)>V,y(t2)>V,t1<t2,且ts∈[t1,t2],y(ts)≤V,则定义回归间隔r=t2-t1。序列y(t)在阈值V下的回归间隔序列如图1所示。

用{rj}(j=1,2,…,NV)表示在阈值V下的回归间隔序列。定义平均回归间隔RV为:

式中:P(y)为电价序列y(t)数据的概率密度函数。

2.2 多重分形数据的RIA分析

采用文献[20]的方法首先产生具有多重分形特性的数据,并利用RIA对多重分形数据回归间隔的概率密度函数进行分析,通过采用双对数曲线进行拟合,可以导出回归间隔r的概率密度服从如下线性关系:

式中:PV(r)为回归间隔序列在阈值V作用下的概率密度函数;a1和a2为线性拟合系数。

由式(3)可得,回归间隔的概率密度函数PV(r)以负指数形式递减,即

式中:η(V)>1,且η(V)为V的减函数。

式(4)表示PV(r)满足(r/RV)-η(V)的规律。

2.3 基于RIA计算VaR的方法

由于短期电价波动比较剧烈,因此,用多重分形可以更好地分析电价波动特征。然而,多重分形结构不具有显式表达式和概率密度函数,因此,无法直接计算多重分形数据的VaR。这里采用RIA计算VaR,其关键在于针对每个评估时段,求取超出阈值V的事件出现的概率[21]。

设{y(t)}具有多重分形特性,当前分析的时间点为tE,上一个超过阈值V的事件发生在tL时刻之前,则定义从tE开始下一个Δt时段内序列值超过V的概率为WV(tL,Δt),可由式(5)计算得到。

当满足ΔttL时,将式(4)代入式(5)可得:

当不满足ΔttL时,由式(6)估算的概率值会比实际概率值高些。因此,对式(6)作如下修正:

利用RIA对多重分形数据进行VaR计算的步骤如下。

步骤1:根据给定的VaR置信水平c,得到RV=1/(1-c);针对给定的序列{y(t)}进行RIA分析,并根据RV与V的对应关系得到初始阈值V。

步骤2:设当前分析时刻为tE,根据初始阈值V,可以得到上一个超过V的事件发生的时刻tA,则tL=tE-tA;根据式(7)可以计算在当前阈值下,从tE开始的Δt时段内出现超过V的事件的概率WV(tL,Δt)。

步骤3:给定VaR置信水平的允许误差为ξ,若|WV(tL,Δt)-(1-c)|≤ξ,则可认为此时的阈值V即为在该置信水平下的VaR;若|WV(tL,Δt)-(1-c)|>ξ,则需要根据概率WV(tL,Δt)的大小修改阈值V,修改量为ΔV,并返回步骤2,直至|WV(tL,Δt)-(1-c)|≤ξ或WV(tL,Δt)与1-c的大小关系发生变化为止。利用RIA计算VaR的详细流程如附录A图A1所示。

3 基于多重分形的短期购电组合风险分析

3.1 购电组合利润模型

在采用单一购买者模式的电力市场中,输电公司/电网公司从发电公司购电,并向配电(零售)公司/负荷出售电能。假设输电公司可以从长期合约市场、日前市场、实时市场和跨省跨区交易市场购电,并统一向配电(零售)公司/用户售电。这里以输电公司制定次日的购电组合计划为例,分析相关的利润和风险。

设输电公司次日在长期合约市场、日前市场、实时市场和跨省跨区交易市场的购电比例/平均电价分别为Klt/Elt,Kda/Eda,Krt/Ert,Kop/Eop,且Klt+Kda+Krt+Kop=1。输电公司对配电(零售)公司/负荷的平均售电价格为Es,则可得到其在次日的单位购售电量所获得的利润M为:

在长期合约市场中,输电公司与发电公司协商确定长期购电合同,购电价格或其确定方法一般在合同中给定,即可认为Elt为已知量;日前市场电价主要取决于次日的负荷预测和发电公司报价结果,日前市场一经清算,从每个发电公司购买的电量和相应的电价也就确定了,这样在次日系统运行时Eda也为已知量;实时市场的清算电价受实时负荷波动和发电公司报价等因素影响,波动性一般较强,可以采用多重分形分布来模拟Ert的波动情况;跨省跨区交易市场的电价一般由相关的各方预先商定,在短时期内Eop为已知量。输电公司作为垄断环节,其售电价格受到政府相关机构监管,这样Es为已知量。

3.2 购电组合风险VaR

由式(8)可知,在系统实时运行阶段,输电公司购售单位电量所能获得利润的波动主要是由实时市场电价波动所引起。当以VaR作为风险评估指标时,Ert波动带来的风险可以通过RIA计算得到。在给定VaR置信水平为c的情况下,输电公司在次日的单位购售电量所获得的利润M的VaR(用VaR(M)表示)可采用式(9)计算,即M低于VaR(M)的概率不超过1-c。VaR(M)也可称为输电公司在次日单位购售电量的无风险利润。

3.3 购电组合优化模型

以单位购售电量无风险利润最大为目标,建立输电公司购电组合优化模型如下:

式中:Klt,min和Klt,max,Kda,min和Kda,max,Krt,min和Krt,max,Kop,min和Kop,max分别为输电公司在次日通过长期合约市场、日前市场、实时市场和跨省跨区交易市场的最小和最大允许购电比例。

4 算例分析

以比较成熟的美国PJM电力市场在2007年6月1日至2011年12月31日这一时段中每小时的实时电价数据为例,采用所提出的方法,计算因电价波动引起的VaR,并与传统VaR的结果进行对比分析。这里对每日实时电价的平均值进行分析,共有1 675个日平均电价,日均电价序列记为Ep(t)(t=1,2,…,1 675)。Ep(t)的分布曲线如图2所示。

4.1 电价分布的模拟

4.1.1 假设电价服从正态分布时的结果

假设电价波动服从正态分布,对日均电价序列Ep(t)进行J-B(Jarque-Bera)检验[22],结果见附录B表B1。可以看出:(1)Ep(t)的偏度大于0(如果严格服从正态分布,则其偏度应该等于0),这说明其分布呈右偏状,即电价超过均值出现的概率大于电价低于均值出现的概率;(2)Ep(t)的峰度大于3(如果严格服从正态分布,则其峰度等于3),这说明电价具有尖峰态的特征;(3)J-B统计量为2 020.1,远大于正态分布在置信水平为1%和5%所对应的临界值(正态分布的J-B统计量服从自由度为2的χ2分布,置信水平为1%和5%所对应的χ2分布值分别为9.21和5.99)。因此,假设Ep(t)服从正态分布是不合适的。

4.1.2 假设电价服从多重分形分布

假设Ep(t)具有多重分形特性,利用MF-DFA算法计算多重分形谱,结果如图3所示。可以看出,分形维数α不是一个常数,这说明了电价数据服从多重分形分布。

4.2 多重分形分布电价的VaR计算

前已述及,在单一购买者模式的电力市场中,系统实际运行时输电公司日单位购售电收益风险主要与实时市场电价波动有关。因此,这里首先计算实时市场电价波动的VaR。用RIA计算2011年电价数据的VaR,历史数据采用每个VaR评估日之前3年(即1 096d)的电价数据。给定VaR的置信水平分别为c=95%和c=99%,ξ=10-4,ΔV=0.05美元/(MW·h),采用RIA得到的2011年实时电力市场电价波动的VaR如图4所示。

4.3 购电组合短期风险分析

以输电公司制定2011年1月1日、5月3日、7月22日的购电计划为例,采用式(10)所描述的短期购电计划风险优化模型对输电公司的购电结构进行优化,具体的平均电价数据和购电比例约束见附录B表B2。在给定VaR的置信水平分别为c=95%和c=99%的情况下,基于实时电价的VaR计算结果对输电公司的短期购电组合进行优化,结果如表1所示。

4.4 结果分析

4.4.1 电价波动VaR结果分析

图5是VaR置信水平分别为c=95%和c=99%下,由传统正态分布假设下的VaR计算结果与利用RIA计算多重分形市场电价的VaR结果的对比。其中,在计算基于正态分布的VaR时,选取了每个评价日之前100d的平均电价作为历史数据。

为进一步分析正态分布和多重分形分布对市场电价波动风险预测的精度,对2011年共365d的市场电价数据与VaR的计算结果进行对比分析,结果如表2所示。

综合图5和表2,可以得到以下结论。

1)在正态分布假设下的VaR计算结果明显偏大,高估了电价波动带来的风险。

2)在正态分布假设下的VaR计算结果的误差平方和很大,不能很好地反映电价波动情况,而本文提出的RIA方法的灵敏度较高。

3)电价波动的特征随时间变化。从图5和表2可以看出,基于RIA的VaR计算结果随着时间变化能迅速响应电价波动,对极端事件十分灵敏。这说明本文采用的算法适应性较强,可以有效反映不同时段不同特征的电价波动所引起的风险。

4.4.2 购电组合优化结果分析

由表1所示的输电公司短期购电组合风险优化结果可以得出以下结论。

1)不同典型时期的实时电价波动特征不同,这导致购电组合优化结果不同。如在制定2011年1月1日的购电计划时,虽然2010年末的实时市场平均电价较低,与日前市场的平均电价Eda相当,但在对实时市场电价进行VaR分析之后发现Eda<Elt<Eop<VaR(Ert)。因此,为避免因实时市场电价波动而引起较大的购售电收益风险,1月1日应优先在日前市场购电,而在实时市场的购电量不宜太多。在制定5月3日的购电计划时,Eda>Eop>Elt,且对实时市场进行VaR分析之后得到Eda>VaR(Ert),即实时市场电价波动置信上限仍低于日前市场电价,因此,在制定购电策略时应把从日前市场购电作为最后的选择,以提高单位购售电量的经济效益。

2)给定的风险置信水平不同,得到的购电组合优化结果也就不同。例如,在制定7月22日的购电计划时,Eop和Elt远低于日前市场和实时市场电价,且实时市场电价波动剧烈。在c=95%的置信水平下,实时市场电价波动可能出现的最高值低于日前市场平均电价Eda,因此,应优先在长期合约市场和跨省跨区市场购电,之后考虑在实时市场购电,把日前市场作为最后的选择;而在c=99%的置信水平下,实时市场电价波动可能出现的最高值高于日前市场平均电价Eda,因此,输电公司应优先在长期合约市场和跨省跨区市场购电,之后考虑在日前市场购电,最后再考虑从实时市场购电,以规避市场风险。

从上述结果可以看出,多重分形VaR的计算结果对不同时期的电价波动比较敏感,适应性好,具有实用价值。输电公司可以根据自身对风险的偏好程度,选择合适的购电组合优化策略,以对购售电交易的风险进行合理分析和有效控制。

5 结语

在假设电力市场中的上网电价服从多重分形分布的基础上,采用RIA对电价序列进行分析,并在此基础上计算VaR指标,用于对单一购买者模式的电力市场中输电公司购电时面对的金融风险进行评估。基于多重分形的RIA可以间接求取具有多重分形特点数据的VaR,与传统的基于正态分布的VaR相比,前者不会高估市场风险,且可迅速适应不同时期不同类型的电价波动,及时衡量电价风险,能够更有效地评估、管理和控制风险。在实际应用中,多重分形VaR可以有效辅助输电公司对购电组合进行风险分析和优化。在采用单一购买者模式的电力市场环境下,输电公司面临的金融风险也受负荷波动等其他不确定性因素影响,因此,如何更加全面而准确地评估金融风险,并在此基础上对风险进行有效的管理和控制,仍是值得研究的重要问题。

有效市场假说与分形市场假说 篇3

1 有效市场假说

传统的有效市场假说认为资本市场是线性的, 遵循随机游动, 是独立的, 隐含所有投资者会立刻对价格做出反应, 但实际上很多人会等待, 等趋势明确在做决定。其数学模型是Brown运动。1908年, Einstein从数学的角度对Brown运动进行了研究, 1923年, Winner提出了严格的数学模型, 他把Brown运动描绘成一个随机过程B (t) [1], 满足:

布朗运动与股票价格行为联系在一起, 建立起Winner过程的数学模型是一项具有重要意义的里程碑。它认为市场具有随机性, 数据具有无记忆性, 即以前的数据不对后面的数据有影响, 也不会出现历史重演。但是事实上市场往往会出现惊人的重演, 而且很多资本市场经证明是具有长期记忆性的。

有效市场假说认为资本市场的收益率服从正态分布, 收益率是相互独立的, 但实际情况是收益率偏离正态分布, 呈现“尖峰肥尾”的特征。有效市场假说过于理想, 其线性范式无法解释很多市场现象。比如“长期资本”是一家著名的对冲基金, 其合伙人包括以发明期权定价公式而获得1997年诺贝尔奖的M.Scholes和R.Merton。但著名的Black-Stoles-Merton公式依然以正态分布为基础, 结果导致“长期资本”公司巨亏。其失败的关键就是涉及Winner过程及正态分布, 其模型未考虑不连续的突发事件。

2 分形市场假说

20世纪60年代, Manderbrot[2]通过对棉花股票价格的研究, 发现其收益率具有统计自相似性, Manderbrot根据他们的特点称他们为分形布朗运动, 分形布朗运动的密度函数和分布函数的具体形式比较难, 一般用特征函数来刻画。特征函数的对数是:

当时是正态分布, 当时是分形分布, 具有“尖峰肥尾”的特征, 其特点是长期相关性、统计自相似性和不连续性。

(2) 计算每组序列的算术平均值:

(3) 计算每组序列的累积离差:

(4) 计算每组序列的极差:

(5) 计算每组序列的标准差:

(6) 计算重标极差:

(7) 由此得到:

在R/S与A的log/log图上, H表现为斜率, 对于所给的序列, 分组的组数可以取为, 重复上述过程 (1) 到 (7) , 以log A为横坐标, log (R/S) 为纵坐标进行拟合, 其斜率就是H。

Hurst指数当 (1) 时, 序列是随机游走, 不相关; (2) 时, 序列是反持久性时间序列; (3) 0.5<H<1时, 序列是具有正持久性的时间序列。

3 实证分析

选取美元和上证指数从2005年到2011年日收盘价格作为研究对象, 其Hurst指数如表1。

从表1可以看出, 无论是上证指数还是美元指数, 其Hurst指数均在区间 (0.5, 1) 上, 说明序列具有正持久特性, 故分布为分形分布, 且分布具有长期依赖性。

4 结论

分形市场假说已经被广泛接受和应用[3、4], 对金融市场的分形研究层出不穷, 描述市场具有分形特征的模型也在不停的探索中, 市场具有分形特征更接近实际, 分形市场假说正在取代传统的有效市场假说。

参考文献

[1]刘次华.随机过程[M].武汉:华中科技大学出版社, 2001.

[2]文志英.分形几何中的数学基础[M].上海:上海科技教育出版社, 2000.

[3]柴亮, 余佳.上海股票市场的分形特征研究[J].上海金融学院学报, 2010 (2) .

土壤分形理论的应用 篇4

关键词：分形,分形维数,土壤水分特征曲线

自20世纪80年代分形理论产生之后,以其对系统自相似性的揭示,成为研究和处理复杂现象的强有力工具,已被广泛应用到天文、地理、生物等诸多领域之中,成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。通过应用分形理论,可借助事物内部的自相似性质来研究混乱现象自身的精细结构,从而能从局部认知整体,使人们能用更贴近自然的语言来描绘自然界中非规则几何体的性质,同时能用新的语言描述新的现象规律并对其定量化。土壤是由大小、形状不同的固体组分和孔隙以一定的形式连结所形成的多孔介质,传统的土壤质地与结构是以土壤颗粒的机械分析为基础,结合相应的分类标准而确定的。应用分形理论对土壤研究表明,土壤粒径、颗粒表面积、颗粒体积、空隙等都具有自相似形,为研究土壤特性及时空变化规律提供了新的思路与方法[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]。

1 分形理论概述

1.1 分形理论的产生

传统经典的几何理论能有效对人为设计的三维物体进行述客观描述,是人们生产实践的有力工具。但在描述自然界海岸线、云团、闪电等不规则对象时,传统的经典几何理论无法描述。1975年,美籍法裔数学家 Benoit B Mandelbrot[37] 创造了“分形”(fractal)术语;1982年Mandelbrot出版的《自然界中的分形几何》一书确立了分形理论。从此,分形理论为自然界中很多现象、形态或物体组织结构的描述提供了一种极其简洁的方法。

分形理论的发展可以分为三个阶段:第一阶段为1875—1925年,在此阶段人们已认识到几类典型的分形集,并力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1875年,德国数学家Weierestrass K构造了处处连续但处处不可微的函数;Cantor G构造了有许多奇异性质的三分康托集;1915年,波兰数学家Sierpinski W设计了象地毯和海绵一样的几何图形;1910年,德国数学家Hausdorff F开始了奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。第二阶段大致为1926—1975年。其间人们对分形的性质及维数理论进行了深入研究,使分形理论初见雏形。1928年Bouligan G将闵可夫斯基的容度应用于非整数维,由此能将螺线进行分类。1932年Pontryagin L S等引入盒维数;1934年Besicovitch A S提示豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,提出了豪斯道夫—贝塞考维奇维数概念。第三阶段为1976年至今,分形在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科阶段。分形几何在物理相变理论、材料的结构与控制、力学中的断裂等领域取得了令人瞩目的成果。在应用学科和计算机图形的推动下,分形的随机理论与分形的局部结构等也获得了深入的研究结果。

1.2 分形的性质

经典欧几里德几何主要研究比较规则的几何图形,用规则的直线、圆锥等规则形状描述由欧氏几何生成的人造规则物体,如墙、建筑物等。欧氏几何的组成元素主要是连续和光滑的点、线、面和体。描述其空间性质的维数也是整数,即零维的点、一维的线、二维的面、三维的体。由于分形研究内容的不规则性,在分形理论定义方面一直存在较大争议。1975年Mandelbrot B B提出分形理论最基本的总线是分数维,并提出一个Hausdorff 维严格大于其拓扑维的集合称为分形集。1986年Mandelbrot B B修改了这个尝试性的定义,提出“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形”[4]。1989年Falconer 再一次提出新的观点,认为具有以下分形特征的集合就是分形:集合F具有结构的精细性、形态的不规则性、维数的非整数性、迭代性的简单生成。

1.3 分形维数

为了定量描述客观事物的“非规则”程度,1919年数学家从测度角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形,它的维数一般是分数,所以分形的维数被称为分数维。由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类,所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法,因此得出多种不同名称的维数。

定量刻画分形特征的参数是分形维数(简称分维),分维是分形的数量表示,所有的分形都可通过一个特征数,即分维测定其不平整度、复杂度。分维的微小变化可引起形状的急剧改变。分维不是通常的欧氏维数的简单扩充,而是赋予了许多崭新的内涵[3]。在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维,认为点是零维的[4]。通常人们习惯于整数的维数。分维可以是分数值(多数分形如此),也可以是整数值[9],并有多种定义和计算方法,如Hausdorff维数、容量维数、相似维数、Liapunov 维数、Box维数、信息维数、广义维数、关联维数等[11]。

本文介绍其中主要的几种:①Hausdorff维数。1919年数学家Hausdorff提出连续空间的概念,即空间维数不是突变而是连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为Hausdorff维数,记作DH。Hausdorff维数是根据Hausdorff测度定义的。其定义为:假定D>O,用直径小于0的可数个数的球覆盖集合F,此时若假定d1,d2,…dk为各球的直径,那么D维Hausdorff的测度可用下式定义:undefined。此量从0向无限大迁移时,则称D为集合F的Hausdorff维数,以DH表示。这样的DH对随意的图形表示是唯一存在的,但此定义并未给出计算Hausdorff维数的有效方法。②相似维数。如果一个整体图形可有N个相似图形构成,每个相似图形均为原图形的1/M,则有MDs=N,Ds为相似维数,Ds可以为整数或分数。相似维数Ds为:Ds=logN/logM。

2 土壤学科领域的应用

土壤是由大小、形状不同的固体组分和孔隙以一定的形式连结所形成的多孔介质。土壤中各固体组分的大小、数量、形状及其结合方式决定着土壤的质地与结构,影响土壤的物理性质。传统的土壤质地与结构是以土壤颗粒的机械分析为基础,结合相应的分类标准而确定的。自20世纪80年代以来的研究表明,土壤粒径、颗粒表面积、颗粒体积、孔隙大小等具有自相似特征,因此分形理论的应用已成为定量描述土壤结构特征的新方法。

分形原理在土壤颗粒组成方面的应用:土壤被认为是一种具有分形特征的分散多孔介质,是因为它的结构性状具有统计意义上的自相似性质。Turcotle提出,在地质沉积物中颗粒大于某一粒级半径的累计数量与这一半径满足N(R>Ri)∝Ri-D,N代表颗粒累积量,Ri为第i个粒级的平均半径。Gardner[38]在1965年对200多种土样的粒径分布关系拟合结果十分吻合,并指出指数D即为粒径分布分形维数。Tyler[41]等人在假定土粒的质量密度为一恒量,且在不考虑不同土粒形状差异的基础上建立了土壤颗粒的累积重量与粒径的分形关系:W(σ

分形原理在土壤空隙中的应用:Anderson[42]对土壤孔隙空间分形的研究表明,用分形维数可定量反映土块或土壤团粒(团聚体)的结构。对土块或土壤团粒(团聚体)的质量、孔隙度、表面积都存在分形特征关系。Zeng Y[44]等运用CT技术研究了与土壤容重密切相关的孔隙度分形关系,也表明了孔隙度的分形特征是存在的。刘松玉[15]的研究表明,土壤孔隙分布是一个分形结构,且具有多重分形特征。孔径0.1μm左右是土中孔隙结构的标度界限,其实质是土中粒内孔隙与粒间孔隙的界限,土的物理力学性质主要与孔径大于0.1μm的孔隙有关,土壤孔隙分布的分维变化与土体演化程度密切相关。

分型原理在土壤水特征曲线上的应用:土壤水分特征曲线的确定方法可归纳为两大类:一类是直接测定法,如张力计法、压力膜法等。另一类是间接推求法[11],主要是利用易于测定的土壤特性来推求土壤水分特征曲线。由于土壤水分特征曲线具有很强的空间变异性,而且野外直接测定耗时多、花费大,极不方便。所以一些间接的方法在实际工作中得到了较多应用,其中分形几何占相当的比重。分形方法不需要大量的土壤样本,主要是利用易于测定的土壤特性来推求土壤水分特征曲线。Tyler和Wheatcraft[13]在Arya和Paris物理—经验模型的基础上,于1989年首先将分形几何理论引入土壤水力性质的研究中。通过采用 Sierpienski Carpet理论分形,利用颗粒大小分析资料确定孔隙分形维数,成功地估计了水分特征曲线。刘建立[22]等对Tyler-wheatcraft、Brooks-Corey和Rieu-sposito 三种分形模型在预测土壤水分特征曲线中的适用性进行了研究。结果表明,Brooks-corey形式的分形模型预测精度高于其它两种模型,同时指出了三种模型的适应范围。王展[10]应用分形理论估算了分布于辽东半岛棕壤的土壤水分特征曲线,通过估算结果与实测结果比较,探讨了分形方法估算土壤水分特征曲线的可行性,并分析了影响该方法估算精度的因素。

分形原理在土壤水分运动、溶质运移参数方面的应用:土壤水分运动参数主要有饱和、非饱和导水率和土壤水分扩散率,有关这些参数的测定主要有两种途径[12]。一是用土壤理化性质估算出土壤饱和导水率(Ks),用已知的Ks和ψ-θ曲线建立非饱导水率估算模型K(θ)-θ。另一途径是用土壤理化性质和土壤结构模型直接估算非饱和导水率,如Schuh等提出的经验模型。在解决土壤水分参数的确定上,Arya和Parisl[45]等认为影响水分运动的因素有孔隙率、孔隙形状、孔隙连通状况及曲折性中孔隙大小、孔隙的形状、孔隙的连通状况起主要作用。王玉杰等[31]对缙云山土壤分形特征研究表明,机械组成分维明显大于微团聚体分维和孔隙分维,各层之间孔隙分维变异最大,从表层到底层孔隙分维呈下降趋势,水分在不同入渗阶段受不同土壤层结构的影响。土壤入渗过程受土壤机械组成、微团聚体和孔隙组成的综合影响。詹卫华[26]应用Menger结构模型,对土壤水分特征曲线及土壤水分扩散度的实测资料拟合出的分形维数与土壤结构分形维数进行比较,其结果表明土壤水力特性参数的分形特征可由土壤结构分形维数来表示。

分形原理在区域土壤属性及时空变化方面的应用:在土壤质地相同的区域内,土壤特性(物理、化学及生物性质)在同一时刻各个空间位置上的量值并不相等;反之,在不同时刻同一空间位置上的量值也不相等,这种属性即谓土壤特性的时空变异性。土壤特性时空变异性的研究目的是根据观测或取样测定的资料,分析土壤各特性参数的时空变化规律,探索各参数自身及参数之间相关的空间结构,将分析结果应用于确定合理的取样数目以及对难采测点或遗漏数据点的特性参数值进行最优估值[11]。朱晓华[20]基于分形理论,对中国土壤空间分布的分形性质进行了定量研究。结果表明,中国土壤空间分形结构特征客观存在,南方水稻土、黄刚土等53类土壤斑块的周长—面积关系客观存在。对中国土壤类型的空间分布而言,中国土壤类型斑块空间分布的几何属性对其分维大小可能有直接的影响。

分形原理在表面积方面的应用:杨秀春[29]对砂质壤土与壤质砂土短期吹蚀的粒度分形结构及其分维变化进行了探讨。结果表明,在砂质壤土与壤质砂土的不同吹蚀时段,各自床面的粒度组成具有分形结构特征。在风洞里不同风速与时间下的吹蚀并未改变两种土壤所具有的分形结构,改变的只是分形结构的定量描述参数分维,不同质地的土壤在不同的吹蚀时段床面粒度分维与<0.105mm的颗粒(即粉粘粒)含量之间都存在显著的正相关性。

分形原理在土壤属性图像、遥感方面的应用:何娟[21]利用数字图像分析方法识别出土壤孔隙及其轮廓线,然后用计盒法确定了表征土壤孔隙形态不规则性的分形维数。在此基础上,通过不同形式的分形模型预测了土壤水分特征曲线。结果表明,河南封丘地区不同质地潮土的孔隙分形维数(包括面积和轮廓线分维)差异不明显。在预测水分特征曲线时,针对不同质地的土壤选择适宜的分形模型才能得到较好的模拟结果。

分形原理在土壤结构演化及土壤肥力方面的应用:苏永中等[30]研究了科尔沁沙地农田沙漠化过程中土壤的粗粒化和养分的贫瘠化特征。结果表明,土壤沙粒含量越高,土壤分形维数越低,表征农田沙漠化程度越高;土壤颗粒分形维数与土壤有机C、全N、粘粉粒含量之间存在显著的线性关系,说明分形维数能很好地表征农田沙漠化演变中土壤结构、养分状况和沙漠化程度,可作为评价土壤沙漠化演变的一项综合性定量指标。冉景江[27]利用分形理论与方法实测了川中丘陵区具有代表性的紫色土和水稻土的粒径分维值,指出土壤颗粒的分维值大小与土壤质地、有机质含量之间的关系。章予舒[23]对内蒙古自治区伊金霍洛旗不同弃耕农地土壤颗粒分维数的变化特征研究结果表明,土壤细颗粒含量越少,土壤分维数越低,表征农田沙漠化程度越高,土壤有机质和N 含量与土壤分维数成指数关系,表明分维数可作为表征农田沙化演变中土壤结构、养分状况和沙化程度,是评价土壤沙化演变的综合性定量指标之一。王玉杰等[17]运用分形原理研究了重庆缙云山4种典型林分林地土壤的分形特征,建立了土壤结构分维与土壤性质预测模型,运用弹性分析与边际分析探讨了土壤结构分形变化与土壤性质变化的关系。

分形理论在与土壤相关领域中的应用:魏玉虎等[14]通过实例计算表明,分维作为描述土体测度成分特征的参数,能较好地反映各种粒径大小在土体中的组成特点,可将其作为土体工程分类的一个综合性定量指标。刘春从GIS地理特征分形分析入手,利用量规维数的求解来回归区域曲线的无标度区和分维值,并把这一分维值与GIS中典型的分形特征相联系,探讨了分维值的含义及其作用,以获得GIS下地图应用的新认识。沙晋明等[12]研究在ARC/INFO的支持下,采用改进后的分形算法分析了与土壤形成有关的地理环境要素的分形特点,得到了各地理环境要素的分维随海拔、森林类型变化的规律,为土壤遥感调查中界线的划分提供了有益的线索。

3 结论

分形市场理论 篇5

分形理论是几何学的分支学科之一。最早是由美国数学家本华·曼德博提出, 他撰写的论文《英国的海岸线有多长》初涉分形思想;1975年他正式创立分形几何学;1982年由他出版《大自然的分形几何学》, “彻底改变人们对分形的认识”。现在这个自然科学的理论服务高校课程改革, 既符合规律:“科技发展的新理论、新思路、新观点、新方法不断地冲击着高等学校的课程改革”, 又使得高校课程改革“无论在内容上和形式上都有所创新”。

一、分形课改的创新意义

1. 分形理论新应用。

分形思想由来已久, 可以追溯至17世纪德国数学家莱布尼茨的“回归自相似”概念。20世纪初受到数学界的广泛关注, 包括the Sierpinski Gasket, the Koch Curve, 柯克曲线等。但是, 分形思想真正上升到理论高度, 离不开曼德博的深入研究。他指出:分形的概念是“组成部分以某种方式与整体相似的形称为分形”;然而, 有人认为, 分形具有不规则的精细结构;形状或者统计意义上的自相似形式;和迭代生成的性质。自相似形式是化繁为简, 拼贴复杂形体的前提认识;迭代则是复杂形体的生成法则;仿射则是复杂形体多维存在的可能。正是因为分形理论化繁为简, 它不局限于复杂几何形体的描述, 也可“将由信息、功能、能量、时间等‘量’构成的具有自相似的对象称为分形行为”, 及时跟踪事物发展进程, 颠覆人们传统平面或立体的思维。分形理论在近三十年来发展迅猛。但在社会科学领域罕有建树。杨社平教授把分形理论引入课程变革实践, 拓展分形理论的应用领域, 通过利用自相似性、迭代性以及仿射性, 揭示复杂分维现象的成因, 归纳复杂课程改革之后的数学逻辑。

2. 结构建导新工具。

以分形理论实现课程建导, 受到结构主义思潮的影响。结构主义应该不是艺术流派宣扬的Structurism, 而是“ (一定的) 结构支配并决定着一切社会现象的性质和变化”。课改理论使用的工具, 往往是瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论和美国心理学家布鲁纳的学科“普遍性”理论。这两种理论, 前者强调以人为课程变革的中心, 初步建构人的认知结构;后者强调以学科自身为课程改革的中心, 从学科的结构入手, 掌握学科基本的概念、定理和范畴, 知识迁移。

然而, 分形理论是结构建导新工具。从简单结构出发, 批判地吸收认知心理和具体学科的优势, 打通心理和学科的双向轨道, 你中有我, 我中有你, 不断调整, 适度迭代, 克服了课程冲突的可能。因为, 以认知心理为中心, 过于把课程看作是一种目的, 预计教学活动的可能结果, 并以此为评判标准, 一切以达到结果为要旨, 教学成为实现结果的策略;以学科为中心, 过于把课程看作是一种手段, 强调实施的过程和过程本身的价值。分形理论成为结构建导新工具还体现在开放性和灵活性。它可以描述各种非线性系统:记录动力系统的变形, 测度布朗运动的手段, 把握多重分形的迷惑等。既然不怵动态, 随机和重合的各种可能, 分形理论的灵活性可见一斑。开放和灵活使得结构建导不会僵化。

3. 本土研究新探索。

课程改革扎根本土。本土化现实在“民族理论与政策”课程改革真正下移到县情和市情。没有宏观层面的高谈阔论, 没有微观层面的锱铢必较, 从中观出发, 从县市各民族实际出发, 为政策铺垫事实依据。如以专题调研报告成书的《隆林各族十二和》, 基于分形理论, 图文并茂地呈现各族团结, 佐证“十二条”的切实性。如以百色市民族实际编写的《五彩七韵十二和》, 基于分形理论, “解读中国特色社会主义民族理论政策体系”, 丰富教学资源。突出本土特征, 丰富立德树人的内涵。有人说, 社会主义核心价值观是具体的德目;有人说:“确立起马克思主义的立场, 形成社会主义核心价值观, 具有社会公德、职业道德、家庭美德和个人优良品德”;还有人说:“培养具有民族情怀、祖国情结、社会意识、人文素养与发展潜能的学生”。而在杨社平老师看来, 立德树人就是和谐素质的培养。和谐素质包括自然与人、人的自身、人际之间、人与社会和人与国家五个范畴。这五个范畴以人为本, 通过人与自然、人、社会和国家等各要素的关系替代要素本身意义, 弥补各种不足。

二、课程组织的自相似性

1. 课程纲要的吸引子。

吸引子是非线性耗散系统的重要概念, 也是系统存在分形的充分条件。“一个吸引子就是一个集合并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上”。非线性耗散系统是一个开放的系统, 在交换过程完成后达到稳定, 交换过程中的无规运动会趋向吸引子, 进而产生分形。“民族理论与政策”的课程改革也可以看为一个非线性的耗散系统, 课程改革的过程中, 难免会出现非线性、随机性和耗散性的局部特征。既然如此, 这门课程纲要的吸引子又是什么呢?即中国特色社会主义民族理论政策体系“十二条”, 这是第四次中央民族工作会议中确认的。它们高度概括民族范畴, 深刻点明民族问题, 充分展现解决民族问题的战略思想。“十二条”就是十二个不同的吸引子, 或者说是十二个不同的集合, 吸引集合内的所有轨道, 巧如大唐雅乐“孝孙十二和”———豫和、顺和、永和、肃和、雍和、寿和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依据十二个不同的集合, 注入广西壮族自治区的民族实情, 条分缕析, 逐一解读“十二条”的具体内容。

2. 教材内容的自相似。

既然曼德博的定义点明“自相似”, “自相似则应是分形所必要的条件和一种普遍的特征”。再从吸引子的概念梳理, “自相似”体现在各个与整体相似的吸引子的关系中。“民族理论与政策”课改的自相似, 反映在教材内容上面。《民族大义十二和建导纲要》是广西民族大学“民族理论与政策”必修课, 教材各个板块和板块内部的章节都彰显自相似。全书分为四大板块:“焦点指月谈”“诸和三棱镜”“乡土万花筒”和“建导情趣园”, 板块中深入拓展“十二条”内容。“焦点指月谈”阐述理论, “逐一解读‘十二条’的基本内容”, 指月, 典于《楞严经》, 喻意莫因“指”而失“月”, 莫由“教”而亡“法”, “月”和“法”均代指民族政策的精粹。“诸和三棱镜”聚焦前沿, 反省过去政策的历程, 思索未来理论的走向。“乡土万花筒”联系实际, 以广西12个市居民族概况, 本土的实际情况, 更好地认识中国特色社会主义民族理论。“建导情趣园”反馈教学, 内化理论, 契合“十二条”要义, 由学生自主打造得意作品, 记录成长过程。板块内部再次分形, 以“焦点指月谈”为例, 又分为“民族原理”“国是定理”“关系调控”和“发展对策”四章, 丰富理论内容。

三、课程生成的迭代法则

迭代是重复过程以达到结果或预定目标的行为, 分形理论离不开迭代的存在, 有人甚至数学证明了柯克曲线的迭代。通过证明过程, 可以看出迭代离不开精确的节点和稳定的结构。只有畅通迭代节点, 稳定迭代结构, 才能落实分形课改的主张。

1. 畅通迭代节点。

畅通的迭代节点是下一次迭代的有利条件。例如, 函数f (x) =x2+2, 求f{f[f (1) ]}的值。f (1) =3;f (3) =11;f (11) =123, 三次迭代f{f[f (1) ]}的值是123。若第一步迭代数值计算错误, f (x) =2, 最终结果变成38, 相差甚远。可见, 每个迭代的节点需要畅通, 否则经过几轮迭代, 云泥之别显而易见。在“民族理论与政策”课程改革中, “习”“研”“演”“练”的教学模式帮助学习者畅通各个迭代节点。 (1) 习得。“习得”是课程改革的起点, 它更强调的是学习者内化知识的整个过程而非最终结果。课程改革应是一个非线性耗散系统, 这个系统决定了“习得”不可能一蹴而就、伸手得到, 而必须历经批判再批判、否定再否定的螺旋式发展。正是如此, 我们应该培养动态的眼光, 摆脱静态预设的束缚, 在动态中审视“习得”的过程, 在动态中对所获“习得”做出恰当的判断。一切僵化的教学反馈, 都很容易贻误迭代的最佳时机。 (2) 研讨。“研讨”是在“习得”基础上的纵向深化。“研讨”应找准靶子, 对准目标, 有的放矢。以不同教材中的概念、定义或结论为靶子, 通过剖析对比和联系实际的方法, 发现异同之处。“研讨”还要有平台, 平台可实可虚, 既有实实在在的课堂“研讨”环节, 也有虚拟的网络“研讨”空间。海德格尔曾认为, 真理女神总是把人们带到两条路的交口, “一条是揭示之路, 一条是晦蔽之路”, 真理 (揭示状态) 总是要从晦蔽的状态中“研讨”出来。自然, 研究求深刻, 讨论立共识, 深层次的共识才能更好推动迭代, 任何敷衍的讨论或者巨大的分歧都会左右迭代的效度。 (3) 演绎。“演绎”是“习得”基础上的横向扩展。“演绎”可以迅速膨胀的“习得”, 以点带面, 以静蕴动, 以实冲虚。师生在自由活跃的课堂气氛中, 演示彼此作品, 展现各自“习得”;过程中, 师生作品可以比较, 学生之间可以比较, 比较是为了理解, 也是为了交流, 更是为了提升兴趣。演绎的手段多种多样, 有登台演讲、诗歌表演、舞蹈渲染、小品点缀、绘画涂鸦和手工艺品等。这样, 迭代的节点不再干瘪, 在一定层面上具有很强的延展性。 (4) 练悉。“练悉”是“习得”的进一步升华。“练悉”既是一种间断连续状态的描述:“练悉”是一个间断的状态, 各个迭代节点的“习得”、“研讨”和“演绎”总是需要时间, 串联课堂与实践, 随着时间的流逝, 各种摩擦和矛盾难免死灰复燃;“练悉”又是一个连续的状态, “习得”、“研讨”和“演绎”使得各个迭代节点, 不断滚动, 不断运转, 螺旋上升。这样, 生硬断裂的弊端可以克服, 畅通迭代节点有所保障。

2. 稳定迭代结构。

稳定的迭代结构是达到预想目标的条件。例如, 函数f (x) =x2+1, 求f{f[f (1) ]}的结果。三次迭代是26。若开始误为f (x) =2x+1, 三次迭代是513, 迭代结构不同致使结果匪夷所思。迭代是一个复杂的过程, 欲维持迭代结构, 必须依靠“趣”“情”“励”“合”, 才“帮助学生完成他们的学习过程。” (1) 趣兴。“趣兴”是“智力活动的推动力量”, 它是一种趋向, 建立在强烈需求的基础之上。迭代结构需要把握好“趣兴”的积极意义, 恰当使用, 出其不意。语言形式上, 诗歌、对联、谜语和典故等左右逢源;表达手段上, 影视、音乐、动画、和广告等信手拈来, 以此为切入点使学生积极参与, 持久互动。同时, 也要尽力克服完全以“趣兴”为中心, 要能放能收, 张弛有度, 再多的欢乐只是正规课程的铺垫, 真正的教学功夫不在于能够抖多少包袱, 而是抖出的包袱都能收回来, 谨防学生注意力的弥散。 (2) 情感。“情感”是在“趣兴”基础上的主体内部稳定, 是学生适应课程、获得发展的重要工具。美国心理学家埃里克森断言:尽管不同文化的差异客观存在, “情感的发展变化及其与社会环境的相互关系却遵循着相似的方式”。课堂上激发、尊重和引导学生的情感诉求, 可以催化整个学习过程, 优化学习的效果。 (3) 励节。“励节”是在“趣兴”基础上的主体外部刺激, 它是教师以正面的方式, 用正面的案例或言语, 从外部调控学生的“趣兴”嬗变。中国古人早就意识到这一点:“名可务立, 功可强成。所以君子积志委正, 以趣明师;励节亢高, 以绝世俗”。“励节”存在教学活动的过程中:教学初, 以崇高的目标振奋人心, 跨越抵触的丘壑;教学中, 教师身先士卒, 不畏艰辛, 师生互励, 同舟共济;教学末, 鼓励学生反刍, 以教学所知所感打造得意之作, 内化教学成果。所以, 通过恰当的控制和评价———弱则鼓励, 强则节制, 真正巩固教学效果。 (4) 合尖。合尖是维持迭代和实现成功的最后一步策略, 涉及“趣兴”、“情感”和“励节”三方面的融合, 充实里子, 光鲜面子, 里外融合, 最终使得“来自不同时期、不同层面、不同形式的优秀元素形成合力”, 达到课程改革的预想。

四、课程改革的仿射效应

仿射变换是线性变换的一种重要形式。“一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距离、图形的面积等”, 通过仿射变换, 图形或是伸长, 或是缩放, 或是旋转, 或是裁剪, 例如巴恩斯利蕨。分形具有相似变换的特点, 只是仿射变换的特例而已。“民族理论与政策”课改若视为分形原理的相似变换, 那么, “民族理论与政策”教学团队的构建和跨学科课改则可视为分形原理的仿射变换。

1. 团队仿射连理。

教学团队是依据DLA的模型仿射生成。DLA为“扩散受限聚集”, 体现非平衡生成和凝聚的特点。常见模型分二维和三维两类, 是一定距离不断释放离子的过程。

团队的核心吸引子是龚永辉老师, 在其努力下, 教学团队初步成型;这个团队中, 有的负责教学的内容设计, 有的专攻教学的建导, 还有的完善教学的网络设计, 众人拾柴火焰高。三年努力, 这个团队从青涩逐渐走向成熟, 早期团队成员转而成为新的吸引子, 凝聚各学科的学者, 释放团队更大的影响力。如今, 这个团队已经发展为29人, 青年居多, 生机勃勃。就是这个团队, 为课程改革和创新立下汗马功劳, 也为形成课程群奠定基础。

2. 课群仿射辉映。

既然教学团队凝聚了各学科的成员, 分形的原理也被自觉地带入了相关学科的建导。文史课程自觉分形建导。广西民族大学的“公共关系学”课程, 仿射“民族理论与政策”的课程纲要, 从“十二和指月谈”“十二和放大镜”“十二和训练场”和“十二和情趣园”这四个板块, 层层生成自相似课程。除此之外, 理工课程也自觉分形建导, 尤其以杨社平教授亲自主持的“数学作文”最为典型。

五、分形课改的刍荛之见

分形理论是高校课程改革的亮点, 但并不是唯一方法, 也要依靠教育学的原则和方法。另一方面, 分形理论的自身依然具有一定局限性。还要辩证考虑混沌现象和混沌理论的存在。混沌理论是数学分支之一, 用来描述非线性过程中出现的混乱复杂的现象。最早发现混沌运动的研究是庞加莱的三体问题;真正让混沌运动上升为混沌理论的人是气象学家劳伦茨, 正如“蝴蝶效应”, 动态系统的运动轨迹和初始条件紧密关联, 初始条件的轻微变化———量的增减、质的优劣和结构组合, 都可能出现分叉, 最终, 差之毫厘, 谬以千里。人们的宏观预测往往作用甚微。混沌理论和分形理论关系密切, 但是含义迥异。

混沌现象也存在于课程改革的过程中, 无论是迭代节点的连续, 还是迭代结构的维持, 事实上都可能发生极小偏差, 这些看似微不足道的东西, 也许就会产生一系列的连锁反应, 使得课程改革的目标和结果大相径庭。《课改分形论》也应考虑到这种“意外情况”的存在, 以具体的章节或者典型的案例来说明:分形理论的课程变革是如何克服混沌现象的干扰。

摘要：杨社平教授以分形理论服务高校课程改革, 践行“立德树人”。分形理论是几何学的分支学科之一, 近年来发展迅猛, 广泛应用于自然社会科学的各个领域。从分形理论的应用新领域、结构建导新工具、本土研究新探索三个方面, 展现分形课改的新意。吸引子是课程纲要的活力所在, 自相似是教材内容的突出特点。迭代是课程生成的重要法则, 以“习”“研”“演”“练”的教学模式畅通迭代节点, 靠“趣”“情”“励”“合”的教学策略稳定迭代结构, 最终才能落实分形课改的主张。通过分形理论仿射效应, 教学团队连理, 多科课程辉映。由此可见, 课程改革卓有成效, 卓尔不群。建言课程改革还可从混沌现象和混沌理论汲取养分, 踵事增华。

基于分形理论的边缘检测算法 篇6

1 分形在图像处理中的理论基础

因为通过反复的不停代换的方式能够得到繁杂的生态景象, 通关分维数的衡量能够将用繁杂的景物变得简单明了, 所以说分形和图像二者是相互关联的, 也就因为如此, 才使得分形理论被应用在数字图像处理当中, 使图像应用进入一个更高的层面, 吸引了全球众多专家学者对此不断的深入探讨。

将图像从整体色调来看, 都有黑色和白色的对比度, 和某一部分不存在严格意义上的相似部分, 换句话说就一幅图的整体效果来看, 并没有表现出十分明确的分形结构。不过, 但从部分来看, 图像各部分间是具有一定的相似性的, 也就是说图像里面具备某种程度明确的分形结构。正因为如此, 在图像里面具备的这种结构性质, 能够使迭代函数方程式成立。压缩映射原理能够确保图像内部迭代函数的收敛, 拼贴原理的支持可以使图像整体形成很多分形结构, 也就是形成一个迭代函数体系。在得出这个体系之后, 就能够确定分形图形的结构模式。我们将这个图形认为是整个迭代体系的趋向渠道的集合。所以说压缩映射原理以及拼贴原理, 是分形在整个图像处理过程中的重心所在。

2 采取多种分形方式提取图像边缘

2.1 单一的分形方式

作为整个迭代体系趋向渠道集合的图形和原图之间并不完全一样, 包括内部的各个分形结构也有着或多或少的区别, 子图分形结构或多或少会在原图的基础上发生失真的现象。在图像边界的分形结构失真最严重, 和原图差异性最大;位于边缘区的子图的分形失真度比较大, 位于图形内部较为平整区域的分形结构则失真轻, 和原图的差异性也相对降低。通过这一规律, 能够很好的判断图像边缘所在, 在图像处理中作为提取图像边缘的依据[3]。不过通常采取这种方式来进行图像处理的时候, 图像的分区域检查要耗费很长的时间。因此就这一现象的存在, 需要采取有效的应对措施, 以保证图像处理工作的高效性:

①把图像划分为2Rmax×2Rmax同时不相重复叠加的子块, 我们将他们设为Ri, R的左上角位于 (k, 1) 。

②寻找与Ri最为相配的父块, 我们将其设为Dj, 以图像的中心位置为圆心, Dj在2L×2L的区域内。

③在寻找父块时, 如果其失真度在ε以下, 就结束搜索它最为相配的父块;如果父块的失真度超过ε, 就对子块以及父块的情况做好登记。

④反复上面的 (2) (3) 步, 一直到找到全部的最大子块。

⑤假如我们将失真程度超过ε的全部子块平均分成四份, 那么将其相对的则把它对应的Dj设定为附近寻找范畴, 在这里我们设定i=i+1, 设定全部子块为2Rmax-i×2Rmax-i, 在它相对的范畴内寻找与之最为相配的父块, 此时父块为2Rmaxj+1×2Rmax-j+1。在寻找时, 如果他们的失真程度不超过ε, 那么就结束搜索它最为相配的父块[4]。如果他们的失真程度超过了ε, 就对子块以及父块的情况分别做好登记。

⑥反复第 (5) 步, 一直到全部失真度都超过ε的子块符合大小为2Rmax×2Rmax的要求。

⑦将失真程度超过ε的子块转化为图像边缘测度区域, 通过零交叉这一方式继续对图像边缘进行获取。

⑧经过二值化的整理之后我们就可以采取到图像边缘部分。

2.2 重复多样的分形方式

我们对于分形的分类上, 包括单一的分形方式以及重复多样的分形方式, 这两者从根本上体现出所处理图像具备的繁杂性质以及自相似性质[5]。然而形式单一的分形无法完整的体现出信息的特点, 只可以体现具备自相似性质的部分分形体。重复多样的分形谱相对于单一的分形维数来说, 可以传达出更丰富的信息资源, 对于纹理的体现也更为恰当。在以往的实验探究中, 重复多样的分形理论通常被更多的应用于图像的分析。图像边缘可以通过内部的Holder指数α和整个图画的谱f (α) 进行体现, f (α) 可以显示出α出现的次数。如果f (α) 不超过0, 那么就意味着α出现的次数不多。f (α) =1和规则轮廓相对应;0≤f (α) <1和角点相对应;1

μmax (Ω) =max (I (x, y) ) , (x, y) ∈Ω, (μmax (Ω) 表示Ω范围内像素黑白对比度的最大数值)

μmin (Ω) =min (I (x, y) ) , (x, y) ∈Ω, (μmin (Ω) 表示Ω范围内像素黑白对比度的最小数值)

μΣ (Ω) =∑ (x, y) ∈ΩI (x, y) , (μΣ (Ω) 表示Ω范围内像素黑白对比度的总和)

检测方式如下:

⑴计算测度。第一步先划定区域范围半径, 通过将半径数值带入上面所提到的公式, 得到相应的测度数值。

⑵计算Holder指数和广义维数。通过最小二乘法推算出直线斜率就能够得到相应的数值。

⑶计算谱f (α (x, y) ) 。更具上面 (2) 得到的数值, 算得f (α (x, y) ) 对应的值。

⑷提取边缘。在f (α (x, y) ) 数值接近于1的时侯, (x, y) 就位于图像的边缘位置。

根据重复多样的分形原理当中的广义维数谱数据来进行图像边缘检测, 对原始SAR图像的离散点数据计算它所具备的特异性质以及重复多样的分形奇异谱, 依照判决标准来完成图像的边缘检测。对图像黑白对比的测量标准程度进行重新设定, 得出图像里所有像素点所具备的特异性质以及它重复多样的分形谱, 再依照重复多样的分形谱, 获取图像相关的边缘信息[6]。

在开展图像边缘检测时, 得到重复多样分形奇异谱的数值显得尤为重要。不过因为图像具备差异性, 因此测算方式要结合实际情形来选择。根据图像的分形特征以及统计特征来选择测度方式和怎样设定恰当的测量度是其中的重点。怎样同时使用多个测度来提升图像边缘区域的精细程度, 值得我们继续深入的思考探究。

2.3 根据人造目标以及自然背景分形特征的差异性例提取目标边缘

以往的研究数据显示, 分形模型能够完整的体现背景以及区域构造, 不过人造目标无法达到分形模型的要求标准, 通过分形模型来展示图像的时侯, 人造目标以及自然背景两者所在地方显示出具有差异性的分形特性, 通过这种分形特性的不同我们能够检测出目标所在。依照这个理论模式, 能够得到一种多种尺度的分形目标检测方式, 采取这种方式我们可以开展对船舶的目标检测工作, 通过试验, 发现这种方式可以精准的查巡到目标, 有很高的利用价值。

3 结束语

总的来说, 通过对比几种分形理论基础上的图像边缘检测技术, 结合实际情况, 选取适当的测算方式, 事实上所有的算法针对于某些问题时都会有一定程度的不足。依赖于分形编码的边缘检测方法十分繁杂, 在检测边缘时会耗费很长的时间, 相对来说依赖于DFBR场的边缘检测算法更适合自相似性强的图像。采取多重分形的方式获取图像边缘能够得到更丰富的图像信息资源, 不过重点是该怎样去设定恰当的测度。边缘检测处在视觉的起步层次, 一般我们会将其当做一个难题, 无法彻底解决。所以, 寻找更好的边缘检测算法是未来研究工作中需要重点努力的方向。

摘要：图像边缘检测在图像分析以及图像理解中是十分关键性的一项技能, 采取多种分形方式来提取图像边缘, 并对几种分形方式进行对比。得出依赖于分形编码的边缘检测算法复杂且检测时间过长, 而利用图像的分形特征以及统计特征来进行测度, 并选择多种测度方式, 可提高图像边缘区域的精细程度, 得到更多的图像信息资源。

关键词：分形理论,边缘检测,多重分形,图像处理

参考文献

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[3]肖关华.基于边缘检测技术的石油勘探中研究[J].中国新技术新产品, 2012, (8) :112.

[4]毛安定, 管一弘, 段锐, 等.基于Daubechies小波的图像边缘检测技术[J].工程图学学报, 2012, 33 (1) :63-67.

[5]黄睿.基于分形理论的木材细胞图像边缘检测[D].东北林业大学, 2012.

分形理论在雷达天线中的应用 篇7

雷达天线大都尺寸较大, 如阵列天线、抛物面天线[1]等, 某雷达天线为几十个八木天线组成的八木天线阵。八木天线是应用于HF (3～30 MHz) , VHF (30～300 MHz) 和UHF (300～3 000 MHz) 频段的高增益天线, 该天线具有方向性强, 馈电容易, 携带、架设方便等优点, 因此自从20世纪20年代发明以来, 就广泛应用于无线电、雷达、导航、测向[2]中。实际应用中的八木天线大多采用对称振子作为基本单元, 少数采用圆环或方框作为基本单元。无论采用哪种形式的基本单元, 它们的尺寸都是固定的, 因此对于某一确定的频率, 传统八木天线的横向尺寸是固定的, 并且与波长成正比。随着频率降低, 波长增大, 八木天线的实现将十分困难, 若能将横向设计尺寸降低, 将会拓宽八木天线的应用频段[3];同时减小天线的尺寸, 可以使其应用灵活、方便, 满足更多的无线电、雷达设备的需要。本文应用分形原理设计环八木天线, 采用分形环单元来替代传统环八木天线的振子或环单元, 利用分形图形的空间填充特性来减小横向设计尺寸, 从而实现天线的小型化设计。

1分形原理

“分形”一词由法国数学家Mandelbrot于1975年提出, 用以描述那些具有自相似性, 同时具有无限精细细节的“不规则”几何图形。特殊的几何特征使分形结构具有一些特殊的辐射和散射特性, 这些特性可以用于天线的设计, 提高天线的性能, 而其 “分形维数”大于其相应的拓扑维数, 使得分形结构在空间中能够充分填充, 这一特点可以实现天线的小型化设计。

分形的最基本特征是自相似性和分数维[4]。在天线设计应用中的分形图形有:Koch曲线、Minkovski曲线、Hilbert曲线、Sierpinski垫片。以Minkowski环为例, 将一直线段分为三份 (通常为三等份) , 中间段平移, 端点连接便生成Minkowski曲线, 用Minkowski曲线代替正方形的各边, 此时中间段向内平移, 将所有的线段再用Minkowski曲线代替, 每次中间段均向内平移, 利用这样的Minkowski迭代可以将正方形变成分形Minkowski方环, 图1给出了Minkowski方环的生成过程。可以看出, 每次迭代后环的周长将增长, 为迭代前环周长的4/3倍, 所以分形维数要大于其相应的拓扑维数[5]。同样可以看出, 每次迭代后环的周长将增长, 增加的幅度与凹陷深度有关。

阵列天线的单元多采用谐振单元[6], 即在中心频率上天线的输入电抗为0, 天线表现为一个纯电阻。从原理上讲, 理想的环状单元谐振时, 其周长应等于一个波长, 但实际上谐振周长要大于一个波长, 可以表示为:谐振周长 = 谐振系数×波长, 圆环和方环的谐振系数约为1.1。分形单元的谐振系数较为复杂, 形状不同, 迭代阶数不同, 其谐振系数均不相同, 实际计算时可先给定一个初值, 根据计算结果进行调整。

采用迭代函数系统 (IFS) 生成分形图形, 迭代公式如式 (1) :

$\begin{array}{l}W(x,y)=(ax+by+e,cx+dy+f)‚\\ a,b,c,d,e,f\in R(1)\\ W{}_1(x,y)=\left(\frac{1}{3}x,\frac{1}{3}y\right)(2)\end{array}$

取一次迭代 (如式 (2) ) 生成了一阶Koch分形曲线, 然后将曲线中每一段进行离散化[7], 有了离散点之后, 便可以根据指定的细带宽度进行Koch细带单极的建模与剖分。Koch环天线[8]可用三个Koch单极首尾相接构成, 如图2所示。具有接地板的Koch单极天线 (见图2) 建模要复杂一些, 先用解析法确定接地板的尺寸以及离散数目, 再在馈电边缘之上加上Koch单极模型, 便构成了具有接地板的Koch单极天线。

Minkowski天线, 如图3所示的建模、剖分方法[9]与Koch天线比较相似, 利用IFS画出曲线, 接下来取离散点, 之后确定细带宽度进行建模剖分。

2具体实例

为验证分形理论, 用分形环作为单元设计八木天线, 所设计的单元应具有较理想的电气性能, 主要考虑其辐射特性、阻抗特性和小型化程度和易实现性, 具体步骤如下:首先进行仿真实验, 以确定结构参数, 然后进行精确加工, 最后测试优化。选择Minkovski方环作为阵列的基本单元, 制作了一个六元八木天线阵列, 如图4所示。

该六元八木天线中心频率为900 MHz, 阵元由方环单元迭代一次得到, 其凹陷深度系数为0.6, 分形前后的尺寸如表1所示。

在实际制作之前, 对该天线进行了大量的仿真计算[10]和实验, 图5画出了频率为900 MHz时仿真计算得到的H面和E面方向图, 图6是实测时的H面和E面方向图, 明显可以看出两者吻合较好。

3结语

将分形理论应用于雷达天线, 以常见的八木天线阵为例详细说明了分形在雷达天线设计中的应用, 通过设计一个六元八木天线, 得到的各项性能指标都符合要求。可以看出, 利用分形维结构的填充性这一特点, 使得设计天线尺寸明显减小。另外, 在今后的工作中还可以利用分形的自相似性, 实现天线的多频带设计, 也可以利用分形减小天线的雷达散射截面。

摘要：分形维数大于其相应的拓扑维数, 使得分形结构在空间中能够充分填充, 以八木天线阵为例, 详细说明了分形理论在雷达天线中的应用, 并仿真设计了一个一次迭代的六元分形八木天线。所得实测结果与仿真结果一致, 说明了分形理论在雷达天线小型化设计应用的可行性和准确性, 也为雷达提供了一种性能优良的天线。

关键词：分形理论,雷达天线,八木天线,对称振子

参考文献

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[6]邢锋, 张广求, 王浩, 等.分形环单元八木天线的特性[J].电波科学学报, 2008 (2) :46-50.

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