数学自然主义

数学自然主义（通用12篇）

数学自然主义 篇1

1973年贝纳塞拉夫 (P. Benacerraf) 在其论文“数学真理” (Mathematical Truth) 中提出一个恰当的数学真理解释理论应该满足两个条件: (1) 为数学与科学提供一致的语义学, 即数学之为真与科学之为真应该满足相同的真值条件; (2) 为数学与科学提供一致的认识论, 即认识数学与认识科学应该依赖于相同的可靠性证据。在他看来, 现有的真理解释理论都不能同时满足上述两个条件。数学实在论认为数学与其他的科学一样, 都是客观存在的, 是不依赖于人脑的意识而存在的。这种以类似的方法处理数学和非数学论述的真理理论, 坚持数学命题应该与其他科学语言具有同一的语义学解释, 所要付出的代价是让我们如何能获得任何数学认识这个问题成为不可理解的;而反数学实在论所提供的真理解释强调数学真理必须具有合理的认识论意义, 提出把我们能够清楚地知道其存在的种种真值条件归之于数学命题的真理解释, 但所付出的代价是不能说明这些真值条件如何能够成为语句的真值条件。作为关于数学知识的两种理论, 每一种解释都只满足上述条件之一, 而必然以放弃另外一个条件为代价, 这一两难境地被人们称为“数学真理困境”。该困境要求把柏拉图主义和经验主义的认识论结合起来解释数学真理。把数学对象看成是独立于人脑而存在的客观抽象物, 同时要求为如何能够认识到这些对象提供直接的经验证据, 这显然成为数学实在论必须面对又无法克服的难题。作为后奎因主义的主要代表人物, 玛戴 (P.Maddy) 为求解这一难题提出了自然主义实在论的策略。她试图改变传统柏拉图主义观点, 以使人们能够为如何获得关于数学对象的知识提供说明。

一自然主义实在论的理论基础

玛戴的数学自然主义实在论策略有两个理论来源, 其一是哥德尔数学哲学思想;其二是在数学中彻底贯彻奎因的自然主义原则, 同时对奎因的不可或缺性论证作出了进一步扬弃。在有机整合这两种思想的基础上, 她选择了数学自然主义实在论的基本立场:折衷的柏拉图主义 (Compromised Platonism) 和双重认识论 (Two-tiered Epistemology) 。在她看来, 可以用折衷的柏拉图主义与双重认识论相结合来满足贝纳塞拉夫为数学真理解释提出的两个条件。

(一) 折衷的柏拉图主义

玛戴继承了歌德尔的三个观点:数学实体实在论、对认知数学对象能力的说明以及双重的认识论。哥德尔主张抽象数学对象独立于人脑而存在, 认为人们借助直觉能力来获得对抽象对象的认知。他强调直觉能力不同于人们的视觉能力, 是某种超感能力。人们对集合论对象的感知是在一种隐喻意义上的。任何数学知识都内在地得到证实, 认识主体与认识对象之间具有直接的联系, 因而对数学知识的证实不必作为不可或缺性论证的结论。哥德尔同时也承认借助直觉不能获得所有的集合论原则, 从而提出一种双重认识论来加以说明。在他看来, “即使它 (一个公理) 根本不具有内在的必然性, 应用另一种方式仍有可能决定其真理性, 即通过归纳研究它的‘成功’——即其结论的丰富性, 尤其是在‘能够证实’的结论中 (即无需新的公理就可得到论证的结论) 。然而, 依靠新公理更容易发现这些结论的证明, 而且新公理可以将许多不同的证明精简为一个。”[1]182在其双重认识论说明中, 第一重认识论说明什么是基础的东西, 如皮亚诺公理, 我们通过对集合论对象的直觉可以获得对这类知识的认识;第二重认识论说明则可以解释那些不十分显然的东西, 比如选择公理。

在本体论上, 玛戴采取了与哥德尔一致的立场, 她对数学和科学都坚持实体实在论态度。在她看来:“实在论就是认为数学是关于数、集合、函数等的科学, 就同物理科学是对一般物理对象、天文学实体、亚原子粒子等的研究一样。”[2]2为了说明数学的客观性, 她进一步指出, 只相信数学对象存在还不够, 唯心论者也会赞同这一点, 因此还必须说明集合是独立于人脑而存在的。在形而上学的意义上, 实体实在论既适用于科学, 也适用于数学。在认识论的意义上, 玛戴认为知识因果论同样适用于说明集合论公理, 因为“柏拉图主义者的希望是:对人们感知一个物理对象的感官刺激模式的解释, 同样可用于解释人们感知一个物理对象的集合的感官刺激模式。”[2]49人们可以通过观看和品尝苹果来获得对苹果的认识, 与之类似, 对集合的某些因果接触也可以提供与之相关的知识。她进而强调, 日常对象对集合不具有优先性, 因为世界先天就是物理和数学的。同特定的苹果能够例示“苹果”一样, 独立于人脑的记号也能够例示“集合”。然而, 哥德尔的直觉柏拉图主义与自然主义是相互抵触的。自然主义的基本原则是:科学是本体论问题的最后裁判;没有超出科学之外的断定某物“真正存在”的“第一哲学”标准。由此会产生质疑:物理世界中的人如何能够通过直觉获得关于抽象对象的知识?要消除这一疑问, 玛戴就必须对传统柏拉图主义关于数学对象的描述进行修正, 即像集合这样的数学对象是实在的, 但不是在严格的柏拉图主义意义上的, 而是具有与一般物理对象相同意义上的。从这个角度上讲, 玛戴的实在论是一种折衷的柏拉图主义。

事实上, 这种折衷的柏拉图主义是综合哥德尔式的柏拉图主义和奎因的自然主义的一种尝试, 它可以有效避免单纯坚持其中之一而带来的不足。折衷的柏拉图主义一方面主张数学对象的独立存在性, 另一方面把数学对象看作是类似于物理对象、可感知的东西。

(二) 双重的认识论

在奎因自然主义的影响下, 玛戴也成为一名自然主义者。然而, 与传统的奎因自然主义不同, 她反对不可或缺性论证, 坚持一种彻底的自然主义。在她看来, 数学是现代科学的核心基础, 是同现代科学一样成功的理论, 我们有充分的理由相信它的存在。不可或缺性论证为数学知识所提供的证实类型是外在的, 即数学借助科学实践而得到证实, 而玛戴认为数学真理的证实应依赖于对其自身对象的感知。不可或缺性论证只说明了应用数学的存在性, 并不能对纯数学的存在性提供合理辩护。基础数学理论作为信念网络中理论性最强的一部分, 不应由于它的“显然性”而被人们忽略, 事实上对它的证实无论对于科学研究还是对于数学研究来说都很有必要。因而, 应该为数学的存在性提供一种内在的证实标准, 这是自然主义实在论与不可或缺性论证的不同之处。玛戴试图为数学的认识提供一种内在的证实, 但她并未因此否认数学的可应用性。实际上, 她不仅承认数学的可应用性, 而且依靠数学的可应用性这一事实来反对形式主义。因此, 她对不可或缺性的态度是双重的, 在一个层面上支持不可或缺性论证关于数学可应用性的讨论, 在另一层面上反对不可或缺性论证对纯数学存在性直接证实的缺失。需要指出, 玛戴对数学可应用性的依赖是为了进一步论证其自然主义实在论的结论, 而不是把数学的可应用性作为数学知识的证实依据。对此, 她的态度非常谨慎。

从哥德尔那里, 玛戴借鉴了其对纯数学的认知论证方式。这表明了她在认识论解释上所采取的双重认识论态度。玛戴指出, 在较低的认识论层面上, “直觉”为我们提供基本数学理论的潜在规则, 如哥德尔认为不同数学分支的公理强迫我们把它们看成是真的;在较高层面的认识论上, 数学在自然科学中的应用能够提供一种外在的证实。这两层认识论相互支持、相互补充, 把二者结合起来就能说明整个数学领域。在玛戴看来, 自然主义实在论策略是替代不可或缺性论证的一种尝试, 它为数学真理所提供的解释具有优先性、确定性和必然性, 那是奎因和普特南的策略所不具备的。这种观点的优越性体现在它无需借助数学的可应用性来论证数学实在, 因为它能确定地直接证实集合论的真理。

基于哥德尔的柏拉图主义和奎因的自然主义这两个理论来源, 玛戴对二者进行了有机整合, 提出将折衷的柏拉图主义与双重认识论结合起来的策略, 以此作为自然主义实在论对数学真理困境的有力回应。通过阐明我们能够感知实在的数学对象, 就可以调和柏拉图主义本体论与经验主义认识论之间的矛盾。事实上, 对于实在论者来说, 求解真理困境就是要解决进入数学对象的认知通道难题。因此, 玛戴的核心任务就是阐明数学抽象性与可感知之间的密切联系。

二自然主义实在论对数学真理困境的求解

玛戴的策略是说明柏拉图主义者如何通过对集合的直接感知获得关于集合的知识。出于实用主义的考量, 她将集合论看成数学的基础。在她看来, 集合论在数学研究中发挥着统一的基础性作用。集合是“简单的、可以接触到的实体, 以它为基础可以形成极为有效和充分的数学理论。”[2]62

因而, 自然主义实在论策略有两个基本论点: (1) 集合是处于时空中的, 就像鸡蛋的集合一样; (2) 集合是可感知的, 人们可以通过看、听、闻等一般的方式感知集合。在玛戴看来, 集合是处于时空中的, 人们能够像看见苹果一样看见集合。对感知的这种解释借鉴了在赫布 (D.O.Hebb) 关于感知的心理学研究成果。赫布的研究表明, 普通人一般在少儿时期会形成特定的神经心理学信元装配, 人们通过这些信元装配感知和判定物理对象。玛戴指出这是开启人类对集合认知大门的钥匙。在她看来, 这些信元装配能够消除感知与接触之间的距离, 使认识主体能够从环境中把物理对象区分出来。玛戴称这种信元装配为“对象-探测器”, 同时她还表明我们的大脑除了具有“对象-探测器”功能之外, 还具有“集合-探测器”功能。“集合-探测器”能够使我们感知到物理对象的集合。依此类推, 我们就能感觉到物理对象、物理对象的集合、物理对象的集合的集合……。由此, 可以从可感知的集合导出ZF来。如果可以感知到数学对象, 那么就无需再担心我们不可能获得这种对象的知识。在这个意义上, 只要断言集合可感知, 贝纳塞拉夫对实在论指出的认识论难题就能得到解决。

值得注意的是, 人们显然需要具有某种经验才能具有“对象-探测器”和“集合-探测器”的功能, 但任何特定的感知经验都不是必需的。玛戴承认直觉在某些时候是先验的, 但她同时强调数学的先验性是非常弱的, 因为仍有许多数学理论不能单凭直觉而得到证实。更重要的是, 自然主义者不可能想当然地接受直觉, 而必须查明为什么我们依赖直觉能够得到证实, 凭什么相信直觉能够正确地提供关于独立数学领域的知识?要回答这些问题, 她必须把哥德尔的直觉具体化, 必须回到整体信念网络中来找寻答案。为了满足这一需要, 玛戴为数学提供了双重的认识论说明, 指出“最初的数学真理是通过直觉得到的, 是显然的;较为理论化的假设通过它们的结论而得到外在证实;借助这种能力把低一层次的理论系统化, 并对其进行说明等等。”[2]106随之, 基本集合论也将得到自然化的说明。

在第二重认识论中, 人们可以通过认识对象的有用性而证实它的存在性。因此, 玛戴集中探讨了第一重认识论如何发挥证实认识对象存在的作用。在她看来, 概念能使世界简单化, 自然主义的认识论正是以此为基础逐渐发展起来的。概念能够允许人们看见如集合一样的事物, 那是借助其他方式所不能发现的。“真正发生的是, 在纯粹的感知输入和我们自己关于物理对象的原始信念之间存在着始终处于发展中的神经调节过程。”[2]7就像人们能看见金子一样, 人们能感知一个集合 (如一张桌子、椅子和墨水瓶) 。通过与特定集合的接触, 人们获得“集合”的概念, 这种概念继而能帮助人们看到它们的例示。玛戴断言, 当人们看到事物的时候, 就获得了对它们的感知信念, 关于集合的概念参与到上述过程中, 并发挥重要的作用。比如, 要感知一个集合, 就需要我们有能力把关于那个事物的知识组织起来。然而, 仅凭感知而知道的事物是非常有限的, 对于集合来说亦是如此。我们不可能感知一个非直谓定义的集合, 不可能从感知中了解有关这类集合论的任何知识。在玛戴看来, 感知对象的结果会导致人脑的变化, 即神经系统的通道会得到进一步发展。人们看到一个三角形, 就是人们要求以某种特定的方式将眼睛聚焦于对象并形成一般的习惯, 它会在大脑中留下记号。大脑随着人们对基本行为的学习 (如看见一个对象) 到复杂行为 (敲鼓、做体操、学习数学等) 的学习过程而发生变化。她指出, “信元装配就是那些允许具有辨识能力的主体看到一个三角形、并获得关于它的感知信念的东西……粗略地讲, 人类发展神经系统对象的探测器, 它准许人类感知独立存在的物理对象。”[2]58-59

玛戴的纲领通常被贴上后奎因主义的标签, 这是由于她试图把自然主义延伸到数学中来。玛戴指出, 人们对集合同样具有神经系统的“对象-探测器”, 即“集合-探测器”。集合与物理对象的相互接触会引起人类大脑结构上的变化, 而且“集合-探测器”所产生的结果是人们能够获得对集合的感知信念。例如, 通过看见一个苹果, 人们会禁不住把看到苹果作为一个单元。在她看来, 某种附加的认知能力使人们能看见一对苹果, 即事物可以被归类于集合中, 而不是单单看到两个分离的事物。一个集合可被唯一地分割为数字, 这与物理中的聚集不同。比如, 一个苹果可以是一个事物 (一个苹果) , 也可以是多个事物 (一个茎、一个果体等等) , 而表示一对的集合则只包含两个元素。对于玛戴说, 当人们看到一个苹果时, 同时也能看到一个集合 (一个单元素集) , 即有两个对象存在, 苹果和集合。一个集合也可以被看成与其他对象具有相同的地位, 也可以被看成是一个单独的实体。她断言, 人们看见集合, 这就像在心理学课程中常常看到的一种关于年老女人和年轻女人的图画一样。在观察这幅图画时, 人们用一种方式会看到年轻女人, 而人们用另一种方式会看到年老女人。与之类似, 人们在观察苹果时, 可能看到一个苹果, 也可能看到一个单元素集。

这种看见集合的能力同样还允许人们把不同的事物聚集起来, 比如一张桌子、一把椅子和一瓶墨水。玛戴指出, 关于“集合”的概念不会创造集合, 而只与对集合的认知有关。集合和对象都是相互独立的实体, 尽管我们察觉不到二者之间的差别。数学实体的存在性就是具有特定结构性质的物理对象的存在性。因此, 数学对象是存在的, 我们通过感知可以获得对数学对象的认识, 这可以有效化解柏拉图主义本体论与经验主义认识论之间的矛盾, 从而使我们走出贝纳塞拉夫的数学真理困境。

三自然主义实在论存在的问题

如果自然主义实在论的策略能够成功, 它将是对数学真理困境的最直接回应。然而, 由于自然主义的影响, 这种策略动摇了实在论者关于独立于人脑的集合的基本立场, 而当它转向形而上学的问题时, 又会受到其自然主义方法论的局限。自然主义实在论的根本目的是要将传统柏拉图主义与经验主义的认识论协调在一起, 然而这使得它不仅一方面会遭受传统柏拉图主义的质疑, 而在另一方面同时会遭到自然主义的反对。总的来说, 自然主义实在论的求解策略主要存在以下几个问题:1、把集合论看作是数学的基础;2、对感知同一事物的多种描述;3、数学抽象性与可感知之间的矛盾。

(一) 集合论作为数学的基础

自然主义实在论的基本论证是通过对集合的感知来完成的, 这是因为玛戴把集合论假定为数学的基础。然而, 关于集合本身的概念在数学实践中仍未达成共识。集合论并不像人们想象的那样, 它实际上并不比以它为基础的东西更明显, 关于“集合”的定义本身仍未得到澄清。对于康托尔来说, 集合就是通过把事物放在一起而形成的, 因为上帝为他那样做了。然而, 抛开神学不谈, 我们将无法区分一个聚集还是仅仅是聚集而已。此外, 将集合论作为数学的基础, 这种做法与数学先于集合论出现的历史事实相冲突。如果数学是建立在集合论之上的, 那么为什么算术和几何学出现在它之前呢?

事实上, 我们并没有统一的集合论理论, 不同的集合论会产生不同的定理, 它们不是同构的。比如, 贝纳塞拉夫在“数不能为何物” (What Numbers Could Not Be) 中表明, 如果数字是集合, 人们将不知道它是哪一种集合。比如考虑将自然数向集合论的下列化归路径, 自然数的序列

0, 1, 2, 3……

被认为可以等同于以下两种集合序列:

∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, …… (策梅罗集合)

或∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, …… (冯诺曼集合)

我们没有关于任何先于自然数的概念 (就像皮亚诺公理所表达的那样) 能够回答2={{∅}}还是={∅, {∅}}。如果像基础主义者所宣称的那样, 对于自然数的皮亚诺公理试图断言关于独立存在的对象的真值, 那么似乎表明应该存在一种事实, 它能够说明2是否等于策梅罗 (E.Zermelo) 的{{∅}}。贝纳塞拉夫对柏拉图主义所提出质疑是, 需要存在一种决定性的回答, 它能够解决所有关于数学对象的同一性问题, 然而在我们的实践找不到对此问题的答案。对于命题“一个双元素集包含在三元素集中”对于策梅罗集合和冯诺曼 (J.Von Neumann) 集合都是真的。然而, 陈述“一个单元素集包含在一个三元素集中”对于策梅罗集合来说是假的, 而对于冯诺曼集合来说是真的。该陈述可被概括为如下定理的形式:

(∀x) (∀y) ( (x>y) → (y∈x) )

任意的x比任意的y大, 当且仅当y的集合是x的集合的成员。该定理适用于冯诺曼集合, 但不适用于策梅罗集合。因此集合论中会存在一些互不相容的概念, 这些概念出于不同的目的, 都可以恰当地表明集合论的结构和特征。数学实践表明, 多个集合论领域是共存的, 但是这一事实会导致任何试图将数学化归为集合论的愿望都成为泡影, 因为集合论之间本身就是不可通约的, “其结果是把集合论的一神教沦落成混乱的万神殿。”[3]161玛戴对此的回应是, 尽管策梅罗集合和冯诺曼集合不相同, 但它们可以彼此映射。她承认可能还存在其他可能的基础, 但是它们必须是集合论的“替代品”。它们必须是等价的描述, 相等的但不相同。如弗雷格所指的那样, 两个事物是相等的和两个事物相同之间存在着差别。相等的东西可被看成是一一对应, 而相同则是指它们在各个方面都一样。一个六元策梅罗集合与一个六元冯诺曼集合是相等的, 因为它们有相同的秩, 但它们并不相同, 比如上述定理只适用于其中一个。

迄今为止, 数学是否可以成功地划归为一种集合论, 仍未有定论。实用主义者强调至少大部分数学知识是可以划归为一个基础的, 因为它适用于数学的不同分支。但无论从科学实践的角度, 还是从哲学分析的角度讲, 这种以偏概全的做法都不能充分地阐释数学真理的本质以及人们对数学的认识过程。

(二) 感知同一事物的多种描述

玛戴在阐明对数学集合的感知过程中, 并未对所有对象都提供认知证据, 而实际上只是对一件事物做出了两种描述。齐哈若 (C.Chihara) 把这一问题总结为:“显然地, 它 (这个集合) 自身看起来的确像苹果一样。毕竟, 除了看到苹果之外, 我没有看到任何东西, 由于它和苹果具有相同的形状和颜色。或许感觉上不同, 我来摸一下。但我除了感觉到它是苹果之外, 感觉不到任何其他的东西。很明显, 这个奇怪的实体感觉上与苹果没有差别。闻起来或尝起来如何呢?同样, 这个集合的气味和口味跟苹果的完全一样。因此, 它看起来、摸起来、闻起来和尝起来都和苹果一样, 而且它也处于相同的空间位置和相同的时刻——然而它是一个截然不同的实体!”[4]223-224

根据古德曼 (N. Goodman) 的生成原则, 从完全相同的资料中永远不可能生成两个事物。人们应该注意到, 不遵循古德曼的生成原则, 会导致荒谬的结果。人们可能从一个苹果中产生出一个无穷的本体论。比如, 根据玛戴的推理, 集合是一个集合、一个魔术师、圣诞老人等共同的外延。每一个实体都可能具有它自身不可感知的性质, 如圣诞老人与孩子有关, 魔术师与魔术有关。关于集合独立于人脑而存在的断言, 会产生一种无限夸大的本体论, 因为人们能从中产生无穷多种集合。集合不可能只是物理的聚集, 一个单元集合只具有一个成员, 它的秩等于1, 而一个物理对象的聚集则没有这种特性。比如, 如果篮子里有两个鸡蛋, 那么2就是应用于这个集合的唯一数字, 而鸡蛋的聚集则包括2个鸡蛋、……许多分子、甚至更多的原子。

(三) 数学抽象性与可感知之间的矛盾

运用玛戴的理论, 我们事实上无法分辨鸡蛋的集合与包含鸡蛋的集合的集合之间的差别。因而, 如果所有集合都是聚集, 那么我们将不能离开集合论的第一层级。玛戴意识到了这种数学物理化的严重缺陷, 因而也承认集合具有抽象性。但她所需要的抽象性概念不是在传统意义上的, 因为传统的柏拉图主义者将关于抽象对象的信念作为柏拉图主义的核心, 他们认为抽象对象是非时空的、不能被感知的。因此, 玛戴需要她的集合在某种非传统的意义上保留抽象性, 并试图在物理聚集与完全的非时空对象之间留出某种中间范围。她指出包含一个鸡蛋的集合与鸡蛋的聚集不同, 而是与把鸡蛋作为个体的聚集相等同。虽然鸡蛋的集合与鸡蛋的聚集是由相同物质组成, 并且分有相同的位置, 但二者在结构上是不同的。任何物理的聚集都与无限多个集合相联系。比如鸡蛋的聚集不仅与两个鸡蛋的集合、而且还与包含这个集合的集合分有相同的位置。所有这些对象之间存在的区别 (它们恰好都是由相同物质组成) 在某种意义上是抽象的或者非物理的。正是这种集合与聚集之间在结构上的差别为玛戴提供了她所需要的非传统意义上的“抽象”概念。她主张集合存在于时空中, 然而它们具有抽象性, 二者以某种非相似的方式被结构化。那么通过在传统柏拉图主义的观点与传统的反柏拉图主义观点之间发现一种中间道路, 玛戴能否避开贝纳塞拉夫的困境呢?更准确地说, 玛戴的集合是那种既满足集合论的公理, 同时又可以被人类见到的那种对象吗?回答是否定的, 它们不可能同时被满足。

自然主义实在论采取的“折衷的柏拉图主义”立场, 试图在传统柏拉图主义和经验主义实在论之间保持中立。经验主义实在论认为所有集合都是在时空中存在的;传统柏拉图主义则认为集合都是外在于时空中的。自然主义实在论认为某些集合是存在于时空中的, 即非纯集合, 如物理对象的集合、物理对象的集合的集合等, 而其他集合是外在于时空的, 即纯集合, 如从空集通过像幂集运算一样的集合创造运算建立起来的反复的层级中的集合。然而, 这是我们所不能接受的。因为首先, 自然主义实在论没有为传统的柏拉图主义提供自然化的进步。贝纳塞拉夫对柏拉图主义的挑战的关键之处是我们不可能知道非时空的对象是什么样的, 贝纳塞拉夫进而将质问自然主义实在论者如何知道纯集合与非纯集合是同类的, 即如何知道二者遵循相同的规律, 或者二者的层级是同构的。由于我们只具有对非纯集合的认识论路径, 而纯集合是外在于时空的, 因此不可能知道纯集合与非纯集合是同一类的。因此, 自然主义实在论的推论与传统柏拉图主义者的推论一样是无法被证实的。如果玛戴的自然主义要想避免贝纳塞拉夫的认识论挑战, 她将必须能够断言我们所感觉的对象就是集合论的对象, 否则她将与传统的柏拉图主义处于相同的境地。她将需要一种说明:我们如何能够知道集合理论的对象是什么样的, 假如我们与它们没有因果的关联;第二, 经验主义实在论认为不存在纯集合, 所有的集合都是玛戴的非纯集合, 即所有集合既是可感知的又是抽象的, 这里的“抽象”是在非传统意义上的, 这种观点将无法说明无穷公理的真理性。当然, 玛戴可能会通过把时空中的点作为物理对象 (因而存在不可数多个物理对象) , 或者通过主张即使对于有限多个元素也可能存在无限多个物理对象, 因为在反复的层级中会存在无限多个集合来说明无穷公理。然而, 她无法为空集公理作出合理的解释, 由于没有物理对象可能是空集, 她必须拒绝像ZF那样的标准集合, 而代之以一种没有空集的集合理论。即使她的“基本的非空集合”可能发生作用, 那么所付出的代价将是必须宣称ZF是错误的。然而为了给某一特定的科学分支提供一种合理的哲学解释, 而把那种科学挑选出来并抛弃它们以达到拯救这种哲学解释的目的, 这显然有待商榷。

对于玛戴来说, 她必须要么放弃抽象性, 那样会使她面对贝纳塞拉夫困境的语义难题;要么放弃可感知性, 那样会使她面临贝纳塞拉夫困境的认识论挑战。事实上, 我们并不能感知到任何集合的存在, 因为我们无法感觉到一个聚集与一个集合之间在结构上的区别。比如在观察鸡蛋的篮子的时候, 能否看到聚集和集合呢?在篮子中看不到任何无限多的集合, 但是玛戴却断言我们能够看到包含两个鸡蛋的集合, 这如何可能呢?由于集合和聚集由同样的物质构成, 它们会对视网膜导致相同刺激, 而如果视网膜只受到了一种刺激, 那么关于这个集合的感知数据将与聚集的感知数据应该相同, 因此我们不能感觉到聚集和集合的区别。能够感知聚集却感知不到聚集与集合之间存在的差别, 由此可知, 我们不能感知集合的存在。

于是, 我们又重新遇到了贝纳塞拉夫的困境:我们不能认识像集合论那样的对象, 因为我们没有得到它们的途径。我们对何为聚集具有感知知识, 但是任何从聚集到集合的认识论跃迁都是没有保证的, 因为我们没有关于这两类对象区别的数据。

结语

自然主义实在论策略的核心在于其双重认识论最终导致了在本体论上的两种图景。一方面将抽象对象定义为“外在”于时空的东西;另一方面, 强调关于任意对象的真理知识都必须包括与那些对象具有某种形式的先前接触。玛戴试图用“折衷的柏拉图主义”与一种双重认识论结合起来满足上述要求。然而, 这种策略使得她一方面无法维护它所坚持的数学抽象本性, 另一方面又无法合理地说明人们认识数学对象的感知能力。自然主义实在论采纳了实体实在论作为其在数学领域和科学领域共同的本体论立场, 主张经验主义的直接感知是人们认识数学对象和物理对象的基本方式。然而, 不仅是在数学领域中, 在广义的科学领域 (即包括科学, 也包括数学) 仅仅通过这种类似于玛戴所提出的感知方式, 也不能将经验主义的认识论与实体实在论协调在一起, 这正是导致其腹背受敌的深层原因之所在。随着科学日新月异的不断发展和科学哲学研究的不断推进, 现代科学的研究领域已深入到宇观、微观尺度, 超出了人类直接的感知范围, 且理论体系越来越形式化、抽象化。比如在量子力学中, 用来描述对象的理论实体——抽象的波函数在经验上没有与之对应可感知的物质实体。这就是说, 因果认识论对自然科学的解释优位已经逐步丧失, 将这种因果限制的标准强加于对数学的认识论说明显然也是不合理的。以这种因果认识论为基础的经验主义真理理论无论对自然科学、还是数学来说都是不恰当的, 把它作为齐一的真理解释标准显然有失公允。因此, 用实体实在论与经验主义的知识因果论来解释数学真理必然会导致自然主义实在论的失败。事实上, 玛戴的自然主义实在论所要面临的问题实际上不仅是针对数学哲学提出的, 而是在所有领域的哲学都需要认真面对的。从这个意义上讲, 要想真正求解数学真理困境, 我们的任务绝不仅是为数学提供一种单独的本体论和认识论, 而应该将数学和科学置于相同的本体论、认识论的阐释基底上去讨论, 那样才能为数学提供一种合理的语义学解释和认识论说明。探寻这样一种统一的阐释基底是所有哲学工作者的任务。

参考文献

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数学自然主义 篇2

一、教学主题：丰富孩子们的学习兴趣

二、教学理念：我们的活动不是去施舍同情，不是去猎奇痛苦，也不是去享受青春„„我们是抱着一种去学习而不是去恩赐的态度过去，去感受同一片蓝天下不同的生活。我们要带给他们真善美，教他们培养责任，感恩，创新，拼搏，自信等意识。知识的记忆是暂时的，习惯及价值观的影响是长久的，我们能做的只是给他们的心灵带去一种冲动，让他们沿着我们指引的方向铿锵不移的走下去。

三、教学目的：通过多种课程安排，学习基本知识，开发孩子们的学习兴趣，丰富孩子们课余生活，拓宽孩子们的兴趣视野，养成多元化学习习惯。

四、教学时间：七月下旬，为期半月

五、教学安排：根据具体招生情况，分为了三个班级：小班（3-7岁），中班（8-11岁），大班（11岁以上）。分为两类板块：一类：小班：教授基本数学知识。二类：中班、大班：兴趣课程辅导：自然，生物。（中班：还有三课时健美操课，为授一套舞蹈，无电子教案）

六、教学计划：

（一）数学教案（11课时）

第一课时：学习数字1-5

目的：

1、能目测点数5内的物体数量，并说出总数。

2、认识数字1、2、3、4、5并知道其代表的实际意义。

3、培养幼儿安静地倾听老师讲话，能愉快地参加活动。

准备：图卡1—

5、动物卡1—5若干、数卡1—5等。

（1）以游戏“捉谜藏”引入：孩子找动物图卡并数一数图卡上有几只动物。

（2）出示动物卡、数卡、请孩子们给动物卡匹配数字，了解数的实际意义。（3）引导孩子认识数字1、2、3、4、5，并请孩子想象它们分别像什么？

（4）（教师出示1、2、3、4、5）请小朋友来看看分别象什么？如：4可以表示4只帽子，那还可以表示什么呢？（幼儿自由说）5象什么呢？5在这里表示什么？还可以表示什么？（轮流接着说）

（5）让孩子们一块起来做数字记忆游戏，分组进行，每个组代表不同的1-5，然后分别听老师口中的数字，对应数字的小组要全部站起来，同时说出数字。

第二课时：复习数字1-5 目的：

1.在游戏活动中复习1-5，进一步加深感知数字的正确性。2.激发学习兴趣，发挥孩子们的反应能力，巩固中得到提升。准备

（1）今天老师想和我们小朋友来玩一个“看数字拍手”的游戏，好不好？

（2）介绍游戏玩法：老师出示数字卡片，孩子先读出数字，再根据卡片上的数字进行拍手，要求幼儿听口令：预备—拍！幼儿才能拍。

（3）教师出示数字1、2、3、4、5，进行游戏（教师可加快举卡的速度，培养孩子们的敏捷性）

（4）那除了用拍手来表示数字，还可以用什么动作来表示呢？（拍肩、拍腿、拍头、跺脚„„）游戏好玩吗？瞧，这里来了什么？有几个呀？（教师出示1—5的实物卡片）那可以用数字几来表示呢？（教师相应地贴上数字1—5）并让幼儿再次认读。（5）同之前的一样，做数字记忆游戏。

第三课时：学习数字6-8 目的：

1.通过自选各种形式的材料，让孩子自己来表达对数字6、7、8的认识

2.通过多种形式的活动，丰富幼儿对数字6-8的感性经验，提高孩子们参与数学活动的兴趣。准备：1—8数卡、数字6、7、8的火车头饰、开火车音乐，印有数字6、7、8的纸,以及一些彩色铅笔。

（1）复习7以内数数；

（2）老师提问：6/7/8样东西可以用哪个数字来表示？请大家从一对数字中挑出6/7/8并观察数字6/7/8。还可以表示什么？数字6/7/8像什么？

（3）数字想象画:发给每人一张印有大大小小数字6-8的纸和彩色铅笔，让孩子们绘画过程中把6、7、8像什么表现出来。（例如像葫芦、哨子、锄头等）（4）最后和孩子们一块讨论：谁画的最像，谁最有想象力。

第四课时：学习9-10 目的：

1.使学生能够认识数字9、10，能够正确地认读出数字9、10。2.掌握9、10的形状。

3.能够正确的从1数到10。准备：1-10教学卡片，10张圆片

（1）请部分孩子拿8个圆片，然后再添上一个。问：现在有几个圆片（2）表述自己的动作（8个添上1个变成9个，9个添上1个变10个）（3）让所有的小朋友一起跟着重复我的动作，一起读，一起记，一起学习（4）同之前一样，数字记忆游戏。

第五课时：复习6-10 目的：

1.复习巩固6-10，加深孩子们对所学知识的应用

2.通过趣味游戏，活跃课堂的同时，培养孩子们的操作实践能力 3.分组活动，进行对比学习，并学会给数字排队。准备：数字卡片6-10，手工花片，空白点卡，彩色铅笔。

（1）给数卡排队，匹配实物。老师：这里有许多的数字卡片，分别是„（让孩子们说），请小朋友把他们按顺序排好，排好后按顺序读一遍，再看看是数字几就送几个花片。（2）给数卡排队，做点卡。请小朋友把这些数字卡按顺序排在桌面上，按顺序读一遍。再用彩色铅笔在空白点卡上协商自己手中的数字，做成手工数卡。

（3）各两组之间交换手工数卡，持有原始数字卡片的孩子们喊出对应数字时，对应的数字的手工卡片的孩子立刻站起来，由老师引导协调完成。

（4）引导孩子们检查，表扬认真操作和认真游戏的孩子，发手工花片作为奖励。

第六课时：复习数字1-10

目的：

1.能够正确的从1数到10。2.能够正确的排序数字1到10。

3.让孩子们学会用手势表示数字1-10，趣味化课堂氛围。准备：数字卡片，水果卡片

（1）复习导入（数字1—10）老师：今天，我们一起去逛水果超市，好不好？（学生齐声：好！）

（2）出示水果图，学生用数字卡片来表示水果的数量，并说一说，读一读。（一个苹果，可以用数字“1”来表示；两个菠萝，可以用数字“2”来表示„„）

（3）教授孩子们1-10的手势表示，由老师带领表演，重复多变，孩子们跟着学习和做。

第七课时：10以内的顺数和倒数

目的：

1.让孩子们掌握从1数到10，10数到1的顺序数和倒数方法。

2.进一步掌握数的顺序，让孩子们感知从1到10，按顺序数逐个多1，倒数逐个少1。3.体验10以内自然数列中序列之间的可逆性及可传递性，发展幼儿思维的敏捷性、逻辑性。

准备：楼梯，1--10的数字卡片，操场的方块地砖，动物卡片

（1）游戏1：跳方块。规定起点和终点方向，起点出发为顺数1-10，终点是倒数10-1，理解什么是按顺序数、什么是倒数。

（2）探索活动：给每个方块编上数号，每个方块中放着不同动物卡片及数字卡片（有对应张数的数字）。老师重点引导孩子比较数量的多少，感知从1到10，按顺序数逐个多1，倒数逐个少1的关系。

（3）游戏2：数数接龙。孩子们两人一队，剪刀、石头、布、看谁赢谁先数数，后数的小朋友要根据先数数的小朋友数相反的数例：如：56789--98765。

第八、九课时：5以内的加、减运算

目的：

1.让孩子来理解加、减法的含义 2.让孩子掌握5以内的加、减法

3.使孩子们学会解答简单的口述加、减法应用题，培养孩子们初步的分析问题的能力 准备：苹果卡片5个、动物卡片：狮子、老虎、大象、斑马各5张

（1）看看今天老师给你们带什么来了?(如：出示3个苹果)；再出示一个苹果问：3个添上1个，一共是几个；引导孩子说出加法的含义以及5以内的加法算式。

（2）让孩子们随着老师的带领，学着将5可以分成几和几，同时让孩子边说，教师边往黑板上写

（3）如：狮子王要给所有的狮子开会，先来了1个狮子(出示1个狮子图片)过了一会又来了4头狮子(出示4个狮子图片)问： ①1头狮子再添上4头狮子是几头? ②为什么1+4=5?写出算式1+4=5 ③依次出示老虎、大象、斑马表示加法算式2+3=5、3+2=5、4+1=5(方法同上)（4）引导孩子们口述5的加法应用题：教师举例，讲清口述加法的要求，教师进行表扬和鼓励，对有错误的幼儿给予启发和帮助

（5）玩“谁最快”游戏：分组游戏。每组做一道必答题(5的加法)，教师出示加法算式卡片每组进行抢答，哪组最快哪组胜利。

<减法的课程安排同加法的课程安排类似，差别不大>

第十课时：认识〉和〈

目的：

1、认识〉和〈，理解不等式的含义，理解大小的相对性。

2、学习把不等式转变为等式。

3、培养幼儿思维的灵活性和可塑性，锻炼幼儿运用数学知识解决问题的能力。准备：数字娃娃1-10，数字卡1-10，大红花

（1）先带着孩子们学习大于、小于的基本知识，加强引导和练习。

（2）再表演游戏：两个小朋友戴上数字娃娃的头饰，另一个小朋友用身体姿势表演大于号和小于号。

（3）游戏：击鼓传包。鼓声停止后，包落在谁的手里，就和他的同桌从包里拿出两张数字卡片，大数幼儿先说几大于几，然后小数幼儿再说几小于几。

（4）对表现好的孩子发大红花。

第十一课时：巩固复习

目的：对之前十个课时的学习，加强巩固，复习。

准备：（1）数字记忆游戏；（2）数字手势模拟游戏；（3）故事演示数字游戏。

<具体以最后一节课孩子们的掌握程度来选择游戏，游戏基本之前都做过，孩子们比较熟悉的。最主要让孩子们在趣味中度过最后一节数学课>

（二）自然教案（11课时）<但中、大班有4课时相同。大班比中班自然课进度快> 教学目标：

1.认知：知道常见大自然植物的基本知识。

2.情感：激发孩子们热爱大自然，感受大自然的美好情趣。3.能力：初步学会发现问题、研究问题、解决问题。4.主要课时在普及大自然的少见或者珍惜的植物。5.带着孩子们学会熟记动物特征小诗，扮演动物游戏角色。

第一课时：导入课：花的世界

教学目的：

从孩子们日常接触的花朵开始，让大家都有话可说，积极动脑，乐意主动参与讨论，回想并了解春、夏、秋、冬的常见花卉。教学内容：

（1）询问同学们在自己的生活环境都有哪些常见的花？这些花的形态、颜色是什么样的？（2）说说自己喜欢的花，并谈谈喜欢它的原因。（让孩子们自由举手回答）（3）老师分享自己的种植花草的经历。

（4）教授孩子们种植花草的基本流程和养护知识。如：

1、家庭盆栽养花方法：温度：根据不同花卉适当调节。北方地区冬季气候寒冷，温度较低，一般南方花卉需要移入室内越冬，并根据不同花卉温度来调节适合的温度。再譬如：（1）喜高温的花卉有：米兰、一品红、秋海棠类及仙人球类肉质花卉，应尽量将花盆放置在阳光充足、温度较高（20-25摄氏度）的室内窗台处。（2）喜中温的花卉：例如茉莉、天竺葵、月季、万年青类，适合温度在18-22摄氏度（尤其是冬季）。（3）喜低温的花卉：例如：金橘、桂花、兰花类，温度最好保持在12-15摄氏度（同上）。再如：夏季简单，可冬季浇水：浇花用水要经过器具贮存或晾晒，切忌直接用自来水浇花，以防温差过大，损伤根系。

2、病虫害防治：室内要注意通风。由于室内通风不良，一些花卉发生白粉病、煤烟病及蚜虫、红蜘蛛等病虫害。病害可喷洒少量杀虫剂（0.1%-0.2%）。而且喷洒时，最好把花盆移到室外，也可将杀虫药片埋入土中。此外室内要通风等。

3、总结知识，为以后的稀奇植物的学习做铺垫。

第二课时：知识补充：腐尸花、龙血树

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，向同学们介绍奇特、不常见的植物种类，增长见识，激发孩子们对大自然的好奇。同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.完成每节课的动物特征小诗猜谜并熟记小诗。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着读练并记忆。课前10分钟进行检查巩固该节课所学。教学内容：

一、腐尸花

1.腐尸花，又称为大王花，霸王花。

2.1822年，发现于苏门答腊岛，被认为是世界是最大的花。3.花的直径最大可以达到1米，质量最重可达25磅。

4.最令人惊讶的是，如此巨大的花却无茎无叶无根，仿佛是天然生成一般。5.大花草的生长期一般为9到21个月，而其开花期最多只能持续五天时间。6.大花草的另一特点就是气味难闻，散发着一种腐烂尸体的气味。

7.大花草是1822年探险队在苏门答腊岛探险时所发现，迄今为止，人们只在苏门答腊岛和婆罗洲发现这种寄生植物。

二、龙血树

1.龙血树是一种热带常绿乔木，长得像一把雨伞。

2.树皮一旦被割破，会流出红色液体，这种液体是一种树脂：暗红色。3.该树脂是一种名贵的中药成分，可以治疗筋骨疼痛。

4.它生长十分缓慢，一年内树干增粗不到1厘米，几百年才能长成一棵树。5.树龄可达8000年，被誉为“植物寿星”，已经收到国家的重点保护。

三、动物特征小诗：

1.是豹不在山间跑，一身油亮黑黄毛。不怕冰天雪地冷，常在海里洗凉澡。（海豹）2.弯弯身体水中住，乌黑双眼长长须。全身披着金刚甲，两把大钳手中拿。（虾）

第三课时：知识补充：含羞草、猪笼草

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，向同学们介绍奇特、不常见的植物种类，增长见识，激发孩子们对大自然的好奇。同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.完成每节课的动物特征小诗猜谜并熟记小诗。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着读练并记忆。课前10分钟进行检查巩固该节课所学。教学内容：

一、含羞草：

1、花语：害羞。

2、简笔画图中这种繁星点点状的粉红色小花就是含羞草的花，图下部则是它的叶子。当人们用手触摸它时，甚至只是向它吹口气，它的叶子就会收缩起来，似乎受到惊吓而做自我保护。

3、当含羞草受到外界干扰时，它们的茎部会释放出一种化学物质。（这种化学物质会迫使水份流出细胞，使得叶子看起来像是萎缩了一样。对于含羞草为什么会进化出这种特性，科学家们至今未能找到明确答案，他们认为这可能是用于威吓捕食者。）如同少女遇到陌生人时会脸红一样，如果含羞草羽毛般的纤细叶子受到外力触碰，叶子立即闭合，所以得名含羞草。

4、它们的叶片也同样会对热和光产生反应，因此每天傍晚的时候它们的叶片同样会收拢。

5、含羞草原产于中南美洲，为豆科多年生草本或亚灌木，又名知羞草、呼喝草、怕丑草。成簇生长，茎基部木质化。

6、高可达1米，耐寒性较差。

二、猪笼草：

1、猪笼草：有两部分组成：笼身和笼盖。全世界有120种以上的猪笼草。

2、猪笼草的叶片上含有：捕食笼。它的瓶状叶可以捕食小昆虫和蜥蜴。

3、猪笼草是一种奇怪的食肉植物，而能够吃老鼠的猪笼草更是其中最怪异的代表。

4、吃老鼠的猪笼草发现于2009年8月，被认为是世界上最大型的食肉植物，它们的笼子甚至可以吞噬一只老鼠。

5、吃老鼠的猪笼草，其瓶状叶长约30厘米，宽16厘米，是其他地区的普通猪笼草体积的两倍。

三、动物特征小诗：

1、鸟儿当中数它小，针状嘴巴舌尖巧。身子只有野蜂大，飞行本领却很高。（蜂鸟）

2、尖尖牙齿大盆嘴，短短腿儿长长尾。捕捉食物流眼泪，人人知它假慈善。（鳄鱼）

第四课时：知识补充：茅膏菜、罗马花椰菜

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，向同学们介绍奇特、不常见的植物种类，增长见识，激发孩子们对大自然的好奇。同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.完成每节课的动物特征小诗猜谜并熟记小诗。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着读练并记忆。课前10分钟进行检查巩固该节课所学。教学内容：

一、茅膏菜

1.茅膏菜是一种食肉性植物。

2.茅膏菜有明显的茎，茎部长有细小的腺毛，腺毛可以产生一种粘性液体。

3.茅膏菜就是利用这种粘性液体来捕捉昆虫。一旦昆虫被粘上后，茅膏菜的蔓将会合拢将猎物包在其中，并产生一种酶来消化猎物。

4.茅膏菜喜欢生长在水边湿地或湿草甸中，在我国长白山广有分布。5.茅膏菜亦有治疗疮毒、瘰病的药物功效。

6.茅膏菜叶片的颜色一般都为绿色，在良好的光线照射下可呈现鲜红色。7.在澳大利亚，有种巨大茅膏菜，形态和树一样，能长到1米多高。

二、罗马花椰菜

1.罗马花椰菜俗称青宝塔，是一种可食用的花椰菜，16世纪发现于意大利。

2.这种花椰菜长相特别，花球表面由许多螺旋形的小花所组成，小花以花球中心为对称轴成对排列。

3.罗马花椰菜的神奇在于其规则和独特的外形，已经成为著名的几何模型。

4.罗马花椰菜以一种特定的指数式螺旋结构生长，而且所有部位都是相似体，这与传统几何中不规则碎片形所包含的简单数学原理相似。罗马花椰菜有着规则和严密的数学模型，因此吸引了无数的数学家和物理学家加以研究。

三、动物特征小诗：

1、一艘大军舰，能浮也能潜。吃鱼不喝油，喷水不冒烟。（鲸鱼）

2、虽有翅膀飞不起，非洲沙漠多足迹。快步如飞速度疾，鸟中体重它第一。（鸵鸟）

第五课时：知识补充：维纳斯捕蝇草、跳舞草

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，向同学们介绍奇特、不常见的植物种类，增长见识，激发孩子们对大自然的好奇。同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.完成每节课的动物特征小诗猜谜并熟记小诗。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着读练并记忆。课前10分钟进行检查巩固该节课所学。教学内容：

一、维纳斯捕蝇草

1.维纳斯捕蝇草非常美丽（通过名字就知道），但同时它是一种最著名的肉食植物。2.其叶片上长有许多细小的触角。一旦有物体碰到捕蝇草，叶片会自动收拢并将外来物体包夹于其中。

3.维纳斯捕蝇草叶片的合拢速度奇快，时间不到一秒。

4.维纳斯捕蝇草分布的地理范围十分狭小，仅存在于美国北卡罗来纳州与南卡罗来纳州海岸一片1100多公里长的地区。

5.生于海拔600米以下的潮湿旷地或水田边。6.捕蝇草至少能活20-30年。

二、跳舞草

1.跳舞草，受声波影响，无风自动，因此又叫情人草、无风自动草、多情草、风流草、求偶草等。

2.最奇异的特点就是叶片会随温度变化或音乐伴奏而上下舞动，因此得名“跳舞草”。3.当跳舞草受到阳光直射时或是处于较温暖的环境下，它们就会快速地舞动自己的叶子。当音乐响起时，跳舞草也会做出一些反应。在跳舞草每一片叶子的根部，都有一个相当于铰链装置的结构，叶子可以围绕它沿着椭圆形路径旋转。

4.舞草最高可以长到2米高。属多年生的木本植物，可入药，喜阳光。

5.气温达25℃以上并在70分贝声音刺激下，两枚小叶绕中间大叶便“自行起舞”。6.舞草的“跳舞”时间一般为3到5分钟。7.舞草原产于亚洲，我国国华南部分省区很常见。

三、动物特征小诗：

1.年纪并不大，胡子一大把。不论遇见谁，总爱喊妈妈。（山羊）

2.每隔数日脱旧衣，没有脚爪走得急。攀爬树木多轻便，光滑地面步难移。（蛇）

第六课时：知识补充：百岁兰、降落伞花

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，向同学们介绍奇特、不常见的植物种类，增长见识，激发孩子们对大自然的好奇。同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.完成每节课的动物特征小诗猜谜并熟记小诗。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着读练并记忆。课前10分钟进行检查巩固该节课所学。教学内容：

一、百岁兰：

1.百岁兰，也叫千岁兰。是一种非常怪异的沙漠植物，可以忍耐极为恶劣的环境。2.百岁兰的叶子是植物界寿命最长的叶子，而且只有一对。

3.两片叶子从短矮而粗壮的树干上端长出，不断增宽增长，形成长带状，最长可达12英尺(约合3.7米)。

4.百岁兰也被称为植物界的活化石，最长可以存活2000年。

二、降落伞花：

1.降落伞花花朵呈现降落伞形状。

2.内部的花瓣好象灯丝一样连接四周，花朵中心就像是一根毛茸茸的棒棒糖从内部伸出。3.整个花朵收拢起来就会形成一个管状物，边缘有许多细小的茸毛向外伸展。

4.当有昆虫被花朵的气味吸引而来时，就会被管状物包裹其中，从而成为降落伞花的营养餐。

5.不过，降落伞花从来不吃苍蝇。苍蝇只是它们传粉的工具而已（当苍蝇飞来时，降落伞花会将其包裹于花朵中，直到茸毛最终松开，苍蝇才可得以逃脱。当苍蝇飞走时，它也带走了降落伞花的花粉。）

三、动物特征小诗：

1.凸眼睛，阔嘴巴，尾巴要比身体大。碧绿水草衬着它，好像一朵大红花。（金鱼）2.说它是虎它不像，金钱印在黄袄上。站在山上吼一吼，吓跑猴子吓跑狼。（金钱豹）

第七、八课时：复习巩固、考试

教学目的：

1.通过在黑板上形象的画出简笔画，把之前向同学们介绍奇特、不常见的植物种类全部画出来，同时以互动问答的方式，让孩子们在学习中记忆，开拓兴趣。2.检查同学们之前每节课的动物特征小诗猜谜及小诗的熟记情况。

教学方式：简笔画，以条条款款的方式讲述，并作图在黑板上，让孩子们跟着我的笔画，自己读练并记忆。检查巩固之前所学。

考试形式：闭卷考试。（对之前所学的知识进行考核，检验出孩子们的学习效果。）

（三）生物（科学）教案（3课时）<但中、大班有1课时相同>

第一课时：身边的动植物

教学目标：

1、知道动物和植物是人类的好朋友。

2、喜欢和动物、植物交朋友，能够善待动植物，知道戏弄动物和破坏植物的行为是错误的。

3、培养保护珍稀动物、植物的意识。

教学过程：

（1）播放动物叫声音乐。全体学生仔细聆听，分辨不同的动物叫声。播放课件，提示学生分辨动物叫声。

（2）请学生讲述他们与动物之间的故事。引导学生把自己喜欢的动物介绍给大家，激发学生喜爱动物的感情，要求其他同学予以关注及鼓励。

（3）校园内观察活动。提出问题 师：刚才，我们研究了许多动植物的特点，对于这些动植物你想知道什么？你有什么问题吗？（同学们自由提问和回答：如：为什么植物的叶子都是绿色的？一棵植物的根究竟有多长？等等）老师根据孩子们的提问，进行补充回答。（务必要求老师掌握的充分）

（4）讨论时间：师：植物可以供人类食用，有的供人观赏，有的还能治病，对我们如此重要，有的人却在故意破坏植物。你见过哪些破坏植物的行为？（学生们自由回答：如：为植物挂牌、制止损害植物的行为；在草坪上乱跑等等）师：他们做的对吗？应该怎样做？ 生：不对，我觉得不能随便踩、摘植物。

（5）课堂总结反思：同学们，说一说，你这节课表现得怎么样？对自己满意吗？

第二课时：（生物）科学在我们身边

教学目标：

1、经历科学探究的一般过程，即：提出问题、研究问题、解答问题；

2、认识到科技是不断发展的，喜欢大胆想象与未来科技有关的内容；关心日常生活中的科技新产品、新事物。

3、学会观察生活中的现象，理解我们身边处处有科学，我们生活离不开科学的道理，提高学科学、用科学的积极性、主动性。

教学准备：提前准备好了蜡烛，正方体（木块，书本），球体（瓶子等），漏斗，乒乓球等

教学过程：

（1）游戏导入新课。教师谈话：同学们，喜欢做游戏吗？今天老师给大家带来了一个游戏，这个游戏需要两个同学来完成，谁是咱们班力气最大的？谁是咱们班力气最小的？（同学们推选了两名学生到讲台上做游戏。）

（2）讲解规则：老师这儿有两个漏斗和两个乒乓球。现在请两位同学每人拿起一个漏斗，将漏斗口朝上，把乒乓球放在漏斗口内，用力向上吹漏斗口，谁能把气球吹走，谁就获胜。大家猜一猜，谁能把乒乓球吹走？（学生猜测）

（3）自由探索：教师引导学生分析现象，提出问题，猜测原因。

（4）继续游戏：讲解新规则：我们再请两位同学换一种吹法，让漏斗口朝下，大家再猜一猜，谁能把乒乓球吹走？学生猜测，教师记录。学生演示，验证猜测。教师引导分析现象，提出问题，猜测原因。

（5）游戏体会：两个游戏中的乒乓球都没有被吹走，而同学们的两次猜测都和游戏结果不一样。看来，研究科学不能光凭猜测，而是先猜一猜，再动手做一做，才能得出正确的结论来。

第二个实验：吹蜡烛实验。

（1）提出实验要求：在同学们的实验桌上有蜡烛、火柴、漏斗、瓶子、木块，隔着这些形状不同的物体吹蜡烛，会把蜡烛吹灭吗？同学们先猜想一下，然后进行实验，并想一想其中的道理。

（2）分组实验：小组合作进行实验，教师巡视学生的实验情况，指导学生控制实验变量，进行对比实验，并作好实验记录。同时启发学生把身边的物体作为实验材料，逐一进行实验。（汇报交流：指几名学生汇报自己的发现。）讨论：①为什么隔着漏斗、瓶子能吹灭蜡烛？ ②为什么隔着木块、文具盒、书本等吹不灭蜡烛？ 教师引导学生从物体的形状上寻找答案，并鼓励学生课下找更多的实验材料进行研究。

让数学自然地流淌 篇3

[关键词] 高中数学；经典例题；知识迁移

教育的目的不是单纯将教材上的知识完完整整地教授给学生就算完成教学任务了，而是培养学生具备更高的学习能力，将学的知识能运用到新的学习中去，甚至在以后的生活和工作中都能得到应用；这种能力培养属于知识迁移的范畴，在这一培养过程中，合理的教学方法不仅可以实现知识迁移的目的，同时能锻炼学生的创新型思维模式，更好地提升学生的综合学习能力. 本文结合高中数学中经典例题的教学和练习，来分析知识迁移的实现过程.

通过开放性题型练习，分析知识的形成

在高中数学的教学过程中，对学生进行知识迁移能力的培养，首先要加深学生对知识的理解程度，注重对基本概念的教学，避免学生养成机械性学习的模式或概念.其次培养学生形成更高的概括能力，以形成自己的知识体系，促使学生对数学思想有更深入的理解. 对学生数学思想的教学与灌输切不可生搬硬套、牵强附会，在由浅入深的过程中，潜移默化地使学生的思想逐渐有所转变. 再次，要有全局和整体的观念，注意将已学过的知识进行系统的整理，便于学生巩固和复习，比如对函数、方程、不等式等知识点的思想和性质的总结. 最后，提倡学生发散思维的培养，对于复杂多变的众多数学知识，引导学生养成一题多解、一解多题的思维方式.

思维定式是实现知识迁移的关键障碍，学生需要克服常规、惯性的思维定式，向灵活多变、一题多解、一解多题的方向去发展，在这样的过程中锻炼思考能力，开阔思路，更利于知识迁移的实现. 比如在二次函数的教学中，为对函数这一概念重点分析讲解，采用开放性习题设置的方式，对例题进行设定，选学生板演.

1. 基础题型设计

首先让我们来看一下这样的常规题型：已知函数f（x），满足f（x）=4x2+5x+6，求f（x）+1.

结合基础知识的学习，函数的基本概念为：非空数集A中的每个元素在对应法则f的作用下，在非空数集B中都有唯一的一个元素与它相对应. 根据定义结合已知条件，我们可以很容易知道f（x+1）是f作用下（x+1）中的对应值；所以可以得出f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15.

在对基础知识有初步的掌握后，适当增加练习题的难度.

2. 同题型之间的知识迁移

变式1：已知函数f（x+1）=x2-4x+7，求f（x）.

很容易想到“配凑法”：可以用配方的形式进行配凑f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+12，然后将x+1替换成x；或者可以用“换元法”：如设x+1=a，则x=a-1. 由此得出：f（a）=（a-1）2-4（a-1）+7=a2-6a+12. 将a用x替换，最终可以得到f（x）=x2-6x+12.

3. 不同题型之间的知识迁移

变式2：求函数f（x）=x+的值域.

此题可以选用“换元法”：令t=，建立x与t的一一对应关系，从而将函数化为关于t的二次函数，进而转化成二次函数的最值问题.

变式3：求函数f（x）=sinx+cosx-sinxcosx-2的最值.

此题通过同角三角函数的公式（sinx+cosx）2=1+2sinx·cosx，可以找到sinx+cosx与sinx·cosx的一一对应关系，通过换元的方式，令t=sinx+cosx=·sinx+，得到sinx·cosx=，进而将函数转化为关于t的二次函数在定区间上的最值问题.

在以上例题的求解中，无论是用了“配凑法”，还是“换元法”，其实都是源于学生对于函数概念中两个非空数集之间“单值对应”的理解与应用，在解题过程中不知不觉地完成知识的迁移.所以，我们在数学学习中，应该注重基本概念的、基本原理的理解，注重数学思想方法的掌握，这样才能够让学生更容易、更广泛地实现知识的迁移.

数学与其他学科之间的知识迁移

数学知识作为一种基础学科，在其他学科中有着广泛的用途，数学王子高斯曾说：“数学是科学的女王”；伽利略也说过：“只有用数学才能参透大自然这本神秘的书籍”，可见数学在科学和经济的发展中所占地位之高.

函数y=sin（ωx+φ）在电学、弹簧振子运动等物理现象中的应用，不仅可以实现数学与物理跨学科的知识的迁移，而且物理中的电学，弹簧振子运动的实验现象又给了三角函数y=sin（ωx+φ）在一个形象生动的诠释. 试想一下，如果在数学课上多介绍数学知识在各学科之间的迁移，那我们的课堂还会枯燥么？让学生用数学的眼光来看待世界，那我们的学生的应用创新的能力还会差么？

生活原理与数学知识的相互迁移

学以致用是学习的最终目标，将学习的理论知识在实际生活中加以运用，既是教学效果的体现，同时也丰富了学生的实际生活. 所以在数学的课堂教学上，不仅要注重理论知识的讲解灌输，还要注重引导学生将教材知识运用于实际生活当中. 在课堂教学中引入与当下社会、生活相关的因素作为习题，锻炼学生的实践能力.

为学生设置一个情境，让学生根据已学习的数学知识进行分析，通过多方面、多角度的讨论和计算，选出最合适的方案，比如与三角函数相关的一个研究性学习的问题. 某小区共33层，每层高度为3米（如图1），每栋楼之间的距离为60米；已知冬至当天影子长度最大，如果想要全天都能有良好的采光，买房时最低要选择第几层？

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图1

结合数学知识来说，这是很典型的三角函数题；学生虽然有一定的三角函数基础，但真正遇到这样的题目多少还是有些不知所措，同时日照的数据也受到了当地的季节地域关系的限制，不知道该从哪儿入手解题，所以教师在题目设定之后，先让学生通过网络等多个途径去寻找数据. 通过老师的指导在解决这一问题的过程中，有个关键的解题难点，即60米的楼间距是前楼高度为多少投射出的阴影？进而构造解决问题的函数模型如图2.

图2

根据学生搜集的数据可知：冬至当天影子长度最大，又结合地理知识可以得出冬至日该小区的太阳高度角为∠EDA，相应可以得出前楼的高度为60·tan∠EDA米，进而可以得出，满足全天采光要求需要选择的99-60·tan∠EDA以上的高度，最终得出最低要购买哪一楼层.

经过这样题型的分析和运算，可以将学生原有的理论知识与现实生活中的问题进行结合，不仅巩固提升三角函数的知识，更是引导学生形成理论与实践相结合的思想. 长期累积，可以更好地将数学思想融入实际生活中去，实现知识迁移的目的.

对提高数学知识迁移能力的几点建议

提高数学知识迁移能力的有效手段无疑是结合经典例题，进行强化练习，从而起到知识迁移的作用. 在高中数学的教学过程中，通过经典例题实现知识的迁移，除了上述的两种开放性题型设置、理论与现实结合的题型设计，还有比如联想迁移、转化迁移、多解迁移和多变迁移等实现方式. 因为数学本身具有较高的复杂性和多变性，所以为更好地实现知识迁移的目的，采用多种方式来加强学生的知识迁移能力，不失为一种有效的手段.

由于数学知识有一定的相似性，所以它们之间存在的迁移可能性较大，联想迁移是一种具有创造性的思维活动，这一迁移能力建立在一定的逻辑思维基础之上，教师可以根据这一特点，引导学生养成举一反三的学习能力. 例如：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1. 这道源于教材的题目是隶属于解不等式范畴的题型，解决它的方法有很多.

解法一：根据函数的对应以及三角函数的相关知识，我们将a与cosα、b与sinα建立一一对应的关系，即将a2+b2=1转化成cos2α+sin2α=1，同理，将c2+d2=1转化成cos2β+sin2β=1，则ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，所以ac+bd≤1.

解法二：设p=（a，b），q=（c，d），则p·q≤p·q，即ac+bd≤·，

所以ac+bd≤1.

在这道题目的求解过程中无论是解法一：不等式向三角函数的迁移；还是解法二：利用向量数量积的相关知识迁移至不等式的证明中. 以上两种解法显然较其他解法来得更为精炼与自然，而这就是数学知识迁移的魅力所在.

写在最后

总的来说，迁移的实质是概括，数学思想方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是对数学知识的理性认识.教师对经典例题的讲解、分析，并指导学生练习是实现数学知识的迁移的关键. 所以教师在实际的教学过程中，一定要根据学生的实际情况进行迁移能力培养方法的设定，对教学内容做好选择与整合，引导学生更好地掌握数学知识的精髓.

？摇？摇对于数学知识由同一学科的知识迁移，到不同学科的知识迁移，由理论知识的学习到生活中的应用，不仅体现了学生强化学科知识的需要，培养学生创新能力的需要，更是数学知识本身教学的需要. 布鲁纳指出掌握数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通往迁移的“光明之路”. 让我们指导学生走上这条光明之路，让数学在学生的思想与生活中自然地流淌！

数学课堂:让思维自然舒展 篇4

一、回归儿童本位———营造思维自然舒展的环境

1.舒展,要有花苞心态,静待花开

课程改革以来,我们的课堂有了“交流”“对话 ”“展示”,其实热闹 的背后更多的是少数优秀学生霸占了话语权,越来越多地侵占了其他学生的思维领地, 使他们成了学习的旁观者。身为教师,面对学生学习中的错误和教学中的意外,往往等不得,急于以自己的思路推进,拽着、牵着、赶着学生走。教师给予学生的信号越多,学生的思维水平就越低。长此以往, 导致学生思维力的丧失、好奇心的退化、创造力的泯灭。

学习必须伴随着思考,必须经历感知、辨别、比较、概括、内化、压缩、转化、更广泛的迁移乃至创造等一系列思维过程。学生是学习的主人,学生思维的生长必须通过自我建构完成,没有人能代替。因而,教要真正地从儿童立场出发, 尽可能多地给学生提供思维自然舒展的时空, 让每一个孩子都能放松情绪,主动思考,大胆探索、敢于展示、勇于创造。让我们以呵护花苞的心态,慢慢等待花开的时节。

2.舒展 ,要蹲下身 来 ,静心倾听

舒展体现了生命的一种状态:不断生长、不断变化、不断创新,并在这个过程中不断走向成熟。学生总是用他们的眼睛看世界,有他们的观察方式、思维方式、解释方式和表达方式,他们的想法可能天真、可能拙朴、可能突兀、可能有错……在学习的过程中, 教师的职责就在于观察学生,以学生的年龄特点、思维特点为前提,用学生的眼光审视学习内容,蹲下身来倾听学生的各种声音,真正走进学生的精神和心灵世界,获得与学生思维上的同步和心理上的共鸣,帮助他们找到思维发展的最大可能和最好可能。思维自然舒展的课堂上,教师的静心倾听充满了对生命的关注,让学生的生命活力在课堂上得到充分展现,在问题的探索过程中点燃学生智慧的激情。

二、遵循思维规律———展现思维自然舒展的过程

最大限度地激活学生的思维离不开教师的有效引领,需要教师从学生的角度思考和看待问题,遵循思维发展的规律,因势利导,帮助他们找到属于自己的学习方法,构建属于自己的学习思维。

1.找准思维 起点

数学知识的脉络是前后衔接、环环相扣的。总是按照发生、发展、延伸的规律构成每个学习内容的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此。“教”应当基于学生的“学”,找准学生的思维起点,确定“学生现在在哪里”和“学生能够到哪里”,有效激发学生思维的内驱力。

如教学《分数的意义》时,学生已学过“分数的初步认识”,新旧知识之间属于总分关系。学习时,和学生一起回顾:把一个物体或一个计量单位平均分成若干份,一份或几份可以用分数表示。接着指出,我们也可以把许多物体看作一个整体,使学生明白新旧知识间的不同点。然后出示苹果等图,学生利用新旧知识间的相同因素,来操作、推理,最后对一个物体和一堆物体的情况作抽象化处理,概括出分数的意义。在这个过程中,新知和旧知的共同因素固定到学生的认知结构之中, 同时认知结构又由于新旧知识之间的异同而得到发展。

2.把握思维方 向

思维自然舒展的课堂是开放的课堂,课堂一旦开放,学生的思维就会活起来, 往往也会出现方向不明、条理性差、容易受阻的现象,背离探究的方向。这时就需要教师对学生的问题和想法有高度的敏感,能及时疏通学生的思维流程,使之朝着正确的方向发展。

如教学《3的倍数的特征》时,学生有了“2的倍数的特征”的学习,自然会猜想3的倍数的 特征也是 看个位。当学生通过举例、验证否定了自己的猜想而又茫然不知所措时,教师及时站出来指出用眼睛观察很难直接发现3的倍数的特征, 得寻找新的研究思路。课前每个同学准备了一个计数器, 让他们用计数器拨出一些3的倍数,再进行观察研究,看看有什么发现。教师的及时点拨为学生指引了一条新的探究途径,学生积极地投身于新的探究活动。

3.掌握思维 方法

好的教师不是在教数学,而是能激发学生自己去学数学。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时,才能真正学好数学。同样,学生在独立思考以及与他人交流的过程中不断积累思维经验,逐渐形成自己的、合理的思维方法,为学生的可持续发展奠定基础。

如在“3的倍数的特征”的学习中, 学生借助计数器研究发现了3的倍数的特征后,教师追问:“有了这个发现,我们能不能就说一个数,在计数器上所用算珠的颗数是3的倍数,它就是3的倍数? ”“你认为下面应该怎么办? ”使学生意识到还要找一些不是3的倍数的数来研究, 体验到研究问题的思路和方法———枚举法以及从正反两个方面验证结论的合理性等。在初步发现规律后,教师没有止步于此,而是继续推进:“有了这些研究,你是否认为我们研究出的结论对所有的数都适用? ”及时将数的范围扩大,并运用不完全归纳法验证初步发现的规律。学生进一步体验到:要得出结论,只选择某一个特定范围内的数进行研究是有局限的,还需要选取更多的数进行验证。这样的环节不仅让学生收获了研究问题的思路和方法,更获得了终身有效的探究经验和必要的思维方法。

三、引领思维发展———彰显思维自然舒展的美妙

思维自然舒展的课堂有天真的追问在澎湃, 有审美的直觉在跳跃,有灵动的想象在飞翔。学生在经历数学化历程中热情地体验数学、享受数学和再创造数学,诗意地栖息在思维自然舒展的课堂上。

1.体验独立 思考的价值

课堂教学的本质 不是教 ,而是让学生动起来, 让学生独立思考。一个学生,如果只会理解和接受别人的观点,只会人云亦云,没有自己的独立思考,或者不善于进行独立思考,那么,他是不可能成为创新型人才的。德国数学家康托尔曾指出:“数学的本质在于思考的充分自由。”有思考才会有问题,才会有反思,才会有思想,才能真正感悟到数学的本质和价值,也才能感受到自身的价值。

如教学完“同分母和同分子分数的大小比较”后,有一个学生提出:像4/5和9/10这样的分数,哪个大呢? 异分母分数的大小比较是建立在通分的基础上的,可“通分”还没学。如果搪塞过去,会影响学生以后提问题的积极性。看着学生疑惑而又期盼的眼神,我决定让他们自己试试!逐渐地,学生的脸上露出了兴奋的神情。多数学生想到了画图的方法,画两条一样长的线段, 分别表示出4/5和9/10,从而发现4/5小于9/10。也有个别学生在画图的基础上发现这两个分数和单位“1”相差一个分数单位,可以通过比较1/5大于1/10, 从而得出4/5小于9/10。还有学生想到了把这两个分数转化成小数再比较。因为给了学生独立思考的时间,在交流中,当自己的方法得到了大家的肯定时,我看到学生的脸上自然地流露出自豪的成就感。取消告诉,让学生生活在思考的世界里比什么都重要。

2.享受质疑 思辨的快 乐

学生学习是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。在这里,学生间通过交往获取动力,通过互动得到创生。他们在学习的过程中有大量的参与和自由表达的机会。在思维碰撞中他们交流不同的观点,彼此之间相互启发、借鉴,学生的个性得到充分发挥,个人观点、个人思维也从集体智慧中得到完善和发展。

如学习《轴对称图形》,在判断平行四边形是不是轴对称图形时,出现了两种不同的意见。这时,我放手让学生充分发表自己的想法。有的学生边演示边向大家介绍把平行四边形对折再对折,就能完全重合,所以是轴对称图形。反对的学生认为,第一次对折不能重合,说明这个平行四边形不是轴对称图形。第二次再对折,对折的图形已经不是原来的平行四边形。又有学生认为,第一次对折后只要把对折后的图形转动一下,这两个图形就可以完 全重合。有学生反驳, 轴对称图形只能是对折后两个图形完全重 合 ,不可以将 它们进行 转动……学生在质疑争辩的过程中对轴对称图形的概念内涵有了更清晰的认识。当课堂上出现不同的声音时,让学生像小辩手一样辩一辩、说一说,是行之有效的方法。学生的争论不休,可以促进学生间的众多信息相互碰撞交织,使学生的思维由“表层”走向“深入”,促进数学思维的发展。

3.感受优化 思想的魅 力

数学学习的过程就是让学生逐渐学会运用数学的思维方式进行思考,沉淀下来的思维方式对学生后续的学习会产生积极影响。当独立解决问题时,学生有灵活选择优化方法的意识和行为。当面对一个不确定的问题情境时,从思维方式的选择、尝试程序的设计与调整,再到用最优化的思维方法解决问题,感受优化思想的魅力,培养学生良好的思维品质。

如“鸡兔同笼问题”这个经典的数学名题,蕴含了画图、列举、假设、方程等丰富的数学思想。我们学校开展了数学思想方法训练课,这一训练内容贯穿整个小学阶段。一、二年级用画图的方法来解决,三、四年级用列举的方法解决,五、六年级用假设法解决。针对学生的年龄特点,一节课突出一种核心思想。五年级教学假设法解决这一内容时,在学生学会假设法之后,让学生回顾一下以前用过的画图、列举的方法,比较三种方法有什么共同的地方,并说说自己喜欢哪种方法。在对前后方法进行对比、优化的过程中,揭示其内在联系与本质就是“假设”,体会到直接用假设法解决鸡兔同笼问题更简单。

4.演绎自由创 造的精彩

良好的数学学习是富有生命力的、具有自我生长力的活动。学习不是知识的简单增加,而是智慧的不断开启。巴西教育家保罗·弗莱雷说过:“学习,并不是去消化想法 ,而是来创造及再创造想法。”给学生思维自然舒展的时空,就给了学生更多自由创造的机会, 让他们触摸创造的萌芽,积淀更多具有创造潜质和基质的思维经验。

如解决用一副三角板画出15°角的问题,学生大多利用同一顶点的大角减小角 得到15°。有一个 学生说:“可以用一 块三角板 画出15°角。”我很惊讶。他到黑板上先用三角板画出30°角 , 再在三角 板的中间那个三 角形的顶点处轻轻点了一点,然后放下三角板,把两点联结起来,这个角就是15°角。原来三角板上有内外两个三角形,而且相对边所相隔的距离相等,因而里面每个角的顶点正好在外面那个角的平分线上。学生虽然说不出这么多的数学名词和其中的数学定理,但是直观地注意到了三角板上的这个特征,从而轻松地突破了把角平分这一难点。看来,课堂上只要给学生思维自然舒展的时空,课堂上一定会有创新的火花闪现,也一定会创造出更多的精彩。

大班数学教案：自然测量 篇5

1、学习自然测量，掌握正确的测量方法。

2、知道量具的长短与测量的结果有关，量具越长（或大）测得的次数越少，量具越短（或小）测得的次数越多。

3、同伴之间能相互合作，大胆的交流。

【活动准备】

测量工具（各种长棍、尺、绳子、纸盒等）、笔、记录纸、黑板、摸箱、标记

【活动过程】

1、导入：将幼儿分成五组，进行跑步比赛。

师：你们知道刚才跑了有多远？有什么办法知道呢？（量一量）

2、提出测量要求：这里有许多材料，每组商量一下选一种材料进行测量，并将测量的工具和结果记录下来交给老师。

3、幼儿第一次尝试测量，教师观察幼儿的测量方法是否正确，并指导幼儿与同伴合作。

4、请测量方法正误的两组幼儿分别演示，师生讨论哪种方法测出的结果更精确。老师讲解正确的测量方法（第一次测量的结束处是第二次测量的开始，依次接着量）。

如幼儿测量的都正确，也请一位幼儿示范，教师加以解释。

5、请幼儿反思刚才本组测量的方法是否正确，进行第二次测量验证第一次的测量结果。

6、请每组推选一位幼儿介绍本组的测量结果。

7、提出问题，引起幼儿思考：为什么测量的结果不一样？（因为用的量具不同，有的长、有的短，量具越长（或大）测得的次数越少，量具越短（或小）测得的次数越多。

8、游戏：找宝藏。第三次尝试测量。

幼儿从摸箱里摸出一张画有宝藏地点的标记图，根据图进行测量，找到宝藏。

让数学来得更自然一些 篇6

作为广西新课改的执教者，我一直思考对这届新生的开篇语。是告诉新生们高中数学是思维的科学，数学是抽象的，是严谨的。但是也只是说说而已。至于数学的抽象，科学严谨体现在哪里，其本质是什么，恐怕很多人并不清楚。当然，数学的这些性质，一两句也说不清楚。还是告诉学生数学是来源于生活，应用于生活？对前者，我可以想象出学生眼前浮现的数学的形象：冷冰冰、枯燥……以及学生对数学的诚惶诚恐的心态。如果再板着面孔将一些具体的数学知识硬灌给他们，不但不可能让他们掌握这些数学知识，反而会强化他们对数学的反感。因此，我一开始确定的教学目标就是：1. 展示数学自然、精彩、美丽的本来面目，在一定程度上赢得学生对数学的好感和兴趣；2. 让学生对数学的一些重要的思想方法有所了解和体会。

如何让数学来得更自然一些？在教学中，我归纳了两点：

一、在知识的产生上变得自然

数学知识所有的产生和发展，都是自然的与合理的。完美的数学符号、概念、法则、定理，是数学界长期自然、合理进化的结果，即数学是理性的。

张奠宇先生说：数学有三种不同的形态：1.数学家创建数学结构过程中的原始状态；2.整理研究成果之后发表在数学杂志上、陈述于教科书中的学术形态；3.便于学生理解学习，在课堂上出现的学术形态。我们天天面对的教科书，便是张老先生所说的第二种形态。它们毕竟是经过严格整理的，很简洁、美观地排列在教科书上，但在我们看来，它们又好像是天上掉下来的，突然就出现了。

实际上它们的背后，蕴藏着极为丰富的思维。它们有自已的形成背景，形成过程以及与其他概念的联系。最为重要的是，这些过程合乎情理，顺其自然，不会让人感觉别扭。帮助学生搞清楚问题产生与形成的思维合理性在哪里，只有这样，学生才能在潜移默化中学会提出问题，进而学会探索和创造。而漫无边际地胡乱地提出问题并不能有效地发展学生的思维，因此教学中教师要通过揭示知识的内在联系与发展的必然性，引导学生自然地合理地提出问题，并有效地指导学生掌握提出问题的思维方法，促进他们思维能力的提高。

二、在逻辑思维方法体现、探讨上变得自然

我们要体会数学的理性精神，当然是为了培养学生的理性精神。但是，很多时候，老师们是重传授解决问题的方法而轻分析为什么要用这种方法、怎样想到用这种方法；大都是只讲结论，不讲缘由。许多数学问题的提出，数学知识和方法的呈现突然就跑到学生的面前，让他们觉得很不自在，很不合理。问题的解决时往往只呈现解法，思路，而对思路的寻找过程以及为什么这样解，怎样想到这样解则重视不够，对解决问题的方法不自然、不合理或搞不清其合理性在哪里，给人以入宝山而空返的感觉。

那如何才能自然地合理地解决问题？笔者以为：

（一）要抓住问题本质，搞清楚知识形成与发展的背景及其与其它知识的联系

教师的引导要突出知识形成与发展的大背景、大框架，居高临下地把握知识的本质和内在矛盾，让学生在“既见森林，又见树木；见森林才见树木”的状态下提出有价值的问题。

（二）要顺应知识形成与发展的轨迹，顺应学生的认知基础和认知特点

以消元法求函数解析式为例，学生已学习了配凑、换元、待定系数法求函数解析式，进行了下例的学习：

已知：2f（x）+f（■）=3x，求f（x）的解析式。

问题1：观察已知条件，与前3例有什么不同？能用前3种方法解决吗？

答：有两个函数f（x）与f（■），前3种方法不适用。

问题2：我们一起寻找新的方法。如果是3+f（x）=2x，求f（x），能求吗？

答：能。f（x）=2x-3。

问题3：求这个f（x）过程类似于以前学的哪个知识？

答：解方程。

到此时，消元法已跃然纸上。

（三）要揭示思维策略与方法的合理性与必然性

以立体几何直线与平面平行的性质定理的证明为例，学生阅读课本之后，产生了一个问题：老师，我可以读懂课本上的证明过程，但是，过平面外一条直线作一个平面与已知平面相交，他（数学家）是怎么想得到的呢？（好奇定理的来源）

基于这样的问题，笔者作了如下的教学设计：

（1）利用线面平行定义的实质，转化为探究线线关。

定理中的已知为直线与平面平行，由线面平行的定义可知直线与平面内所有直线没有交点。

探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内有多少条直线平行？

结合实例（教室内的有关例子）得出结论：

如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行，但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行。

探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？

答：由直线与平面平行的定义，如果一条直线a与平面α平行，那么a与平面α无公共点，即a上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a都无公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面直线或平行直线。

（2）在（1）的基础上，在已知平面内寻找与平面外直线平行的直线。

探究3.如果一条直线a与平面α平行，在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？

答：由于a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。

简单地说，平面外一条直线与平面的内的直线位置关系是平行与异面，而平行直线是共面的，因此只要过平面外一直线作一平面与已知平面相交即可。

总之，数学教学应抓住一切机会和环节，提高学生思维的主动性、深刻性和流畅性。愿我们共同牢记人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》主编寄语中所说的“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”，努力创造更自然、更合理、更有效的数学教学。

参考文献：

[1]人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）（必修4）[M]，2007.2

[2]人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书·数学（B版）（选修2-1）[M]，2005.6

建构主义理论与数学教育实践 篇7

建构主义的基本观点

建构主义认为学习是获取知识的过程, 但不是通过教师传授得到, 而是学习者在一定的情景下, 借助其他人 (包括教师和学习伙伴) 的帮助, 利用必要的学习资料, 通过意义建构的方式获得。因此建构主义学习理论认为“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。

1.情境:学习中的情境必须有利于学习者的意义建构。在教学设计中, 不仅要考虑教学目标分析, 还要考虑有利于学生建构意义的情景的创设问题, 并把情景创设看做教学设计的最重要内容之一。

2.协作:协作发生在学习过程的始终, 协作对学习资料的搜集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价直至意义的建构均有重要作用。

3.会话:是协作过程中最基本的环节。比如学习小组成员之间必须通过会话来商讨如何完成规定的学习任务达到意义建构的目标, 怎样更多的获得教师指导和帮助等等。在这个过程中, 每个学习者的想法都为整个学习群体所共享。

4.意义建构:是教学过程的最终目标。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对学习的内容所反映事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系达到较深刻的理解。

对于学习过程, 建构主义认为学习是学习者主动构建内部心里表征的过程, 学习者不是被动的接受信息, 而是主动的进行选择加工;学习者不是从同一背景出发, 而是从不同的背景、角度出发;教师不是统一引导完成同样的加工活动, 而是在教师和他人的协助下, 通过有独特的信息加工活动, 建构自己的意义的过程。

对于学习结果, 建构主义认为知识并不是对现实的准确表征, 它只是一种解释、一种假设, 它并不是问题的最终答案, 相反它会随着人类的进步而不断被革命掉, 并出现新的假设。

建构主义教学观点

在学习理论的基础上, 建构主义提出了系统的教学方法和模式, 对以往的教学理论产生了巨大的冲击:

1.支架式教学, 它应当为学习者建构对知识的理解提供一种概念框架, 这种框架概念是为发展学习者对问题的进一步理解所需要的, 为此事先要把复杂的学习任务加以分解, 以便于把学习者的理解逐步引向深入。

2.抛锚式教学, 它要求建立在有感染力的真实问题基础上。确定这类真实问题被比喻为“抛锚”, 因为这类问题被确定了, 整个教学内容和教学进程也就被确定了 (就像轮船被锚固定一样) 。

3.随机进入教学, 在教学中要注意对同一教学内容, 要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现。

4.自上而下教学, 首先呈现整体任务, 同时提供用于更好理解和解决问题的工具, 让学生尝试解决问题, 在这个过程中, 学生可以发现完成任务所需要的各种知识技能, 在掌握了这些知识技能后, 最终解决问题。

建构主义强调以学生为中心, 认为学生是认知的主体, 是知识意义的主动建构者;教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

我们在数学中采用建构主义教学方式也可以达到很好的教学效果, 例如在学习统计时, 要使学生建立统计概念, 最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去。统计过程可以看成一个包括四个阶段的架构。

(1) 提出问题。就是明确统计的目标。例如, 全班同学的平均体重、学生对统计课程的感受等就是典型的统计问题。

(2) 收集数据。就是围绕要求解的问题采集必要的数据。如问题是全班同学的平均体重时, 就要搞清楚每个同学的体重.

(3) 分析数据。分析数据包括整理数据和呈现数据两个方面。整理数据是对原始数据进行数据筛检和分类标准的建立;呈现数据则是以表格、长条图、折线图等表现数据, 以方便数据的理解和运用。

(4) 判断并沟通。统计就是用数据回答我们面对的问题。一方面, 收集和分析数据是为了通过数据求解问题;另一方面, 数据本身没有价值, 数据的价值在数据能说明的东西。所以, 根据数据作出判断是统计最为重要的环节。之后, 应该分享和沟通, 这样不仅可以帮助学生更好的理解统计的精髓和价值, 还可以帮助学生提升对统计的兴趣。

这个教学过程便充分发挥了学生的主动性, 老师作为一个帮助者和引导者, 创造出合适的学习情景, 使学生构建出统计的概念, 同时可以更好地体会统计的作用、把握统计的内涵、形成统计的观念。

总的来看, 建构主义理论对于进一步推动学习和教学理论的发展有重要的意义, 对于指导教育实践也具有积极的作用, 然而建构主义的这种学习方式也存在着一些让人担心的问题:

(1) 合作学习对某些学习不合适。例如数学中简单的加法运算就不适合合作学习。

(2) 不利于低能学生和来自于其他文化背景下的学生学习。特别参与式的学习结构对他们的学习造成障碍, 同时会增加学生学习时的心里负担。

(3) 教师面对课堂内外的挑战容易产生精神负担。课堂外教师必须事先设计好符合教学内容的情景和针对问题提出思考的问题, 课堂内教师还要掌握时机来参与教学。建构主义的这种教学要求教师具有建立一个具有智力标准并与意义建构相联系的讨论群体能力。

任何一种教学理论都不是十全十美的, 作为一种行之有效的学习理论, 建构主义学习理论在教育实践中正在发挥积极的指导作用, 我们必须清楚认识建构主义学习理论中存在的不足之处, 并注意在教育实践中采取相应的策略予以消除。

参考文献

[1]张建伟、陈琦从认知主义到建构主义, 北京师大学报1996 (4) :75-108.

[2]何克抗建构主义——革新传统教学的理论基础, 电话教育研究1997 (3) (4) :25-27.

[3]李红教育心理学, 武汉大学出版社2007.

数学自然主义 篇8

一、后现代主义的数学观

从古希腊毕达哥拉斯时期到现代, 数学一直被视为一个不可分割的统一整体, 是一个普遍的准则, 不依赖于情景和人的认识, 数学是绝对、完备、无可怀疑和精确的知识典范。但这些观点受到了后现代主义的质疑, 例如, 后现代主义者赫胥在1979年曾分析数学的人文特点并由此创立了数学的人文主义学派。该学派认为, 某些数学现实一旦被创造, 其对象就被人为地赋予了特定的性质, 数学对象没有超出其文化意义以外的意义。这些对象是由科学的、技术的、社会的需要所驱动, 数学理论被接受是因为社会理由而不是因为他们具有某种客观性的“真实”。在后现代主义者看来, 数学是建构的, 而不是发现的;数学是与情景相关的, 并不具有最后的本质意义上的根基。在后现代主义的影响下, 数学研究已从追求抽象理论转向为注重具体内容表征, 数学知识的重要性从支配地位转为从属地位, 同时, 数学的绝对性也遭到解构, 确定性是可望而不可及的理想, 实验数学、非线性数学、混沌理论和非连续性得到充分的重视。

既然数学对象没有超出其文化意义以外的意义, 数学理论被接受是因为社会理由而不是因为他们具有某种客观性的“真实”, 因此, 我们就应该把数学当作一种文化或文化活动, 并从社会需要的角度, 从历史和文化的背景中去认识数学、理解数学、掌握数学和研究数学。只有这样, 才能真正理解数学的精神与数学的价值以及数学与其它文化之间的相互关系。事实上, 数学中每一个概念的产生、每一条定理的提炼都离不开一定的社会实践和社会需要, 都有它产生、发展的时代背景和历史渊源。如果不了解数学知识的产生与发展过程以及在社会生活中的运用过程, 就无法真正把握数学的本质和精髓。

二、后现代主义的数学观给数学教学的启示

后现代主义的数学观启示我们:教师在数学教学中既要重视数学的知识性, 又要重视数学的人文性, 同时通过一定的教学情景再现数学知识的形成过程, 并深入挖掘数学知识与其他知识之间的相互关系以及数学在社会生活中的运用过程, 要重点培养学生的数学精神、数学素养和运用数学知识解决实际问题的能力。可以说, 掌握科学方法、具有科学精神、形成科学素养比获得科学知识更为重要, 因为科学知识是经常变化的, 科学精神和科学方法才是始终如一的。无论科学知识发生怎样的变化, 这种精神 (科学精神) 和科学方法的运用是始终如一的, 它们才是科学的本质。在课堂上, 教师既要传授数学知识, 又要展现数学的思想、数学的方法以及数学的精神, 要把数学知识与数学文化有机结合起来。教师要为社会所需而教, 学生要为生活所要而学, 不能迷信书本、隔离生活、脱离实际, 更不能只顾推理、忙于演算。教师要努力营造一种和谐融洽的气氛, 并充分调动学生的积极性和主动性, 教师与学生之间、学生与学生之间要不断地交流与互动。教师要想方设法把数学的课堂变成一种探究数学知识的场所, 在这里, 学生的思维可以活蹦乱跳, 思想的浪花可以汹涌激荡, 每个学生都可以充分地发挥自己的想象力和创造力, 他们不仅乐于思考、善于探讨, 而且还敢于向书本挑战, 向老师质疑。教师不仅要当好课堂的组织者和管理者, 还要积极参与学生的交流与对话, 要乐于和善于为学生解难答疑。特别是, 在数学的课堂教学过程中, 教师应注意以下几方面的问题:

1. 精挑细选教学背景材料。

在后现代主义者看来, 数学是建构的, 而不是发现的;数学是与情景相关的, 并不具有最后的本质意义上的根基。因此, 在数学的教学过程中教师要精挑细选问题的背景材料, 努力营造良好的教学情景。既要使选择的材料具有综合性、科学性、趣味性、思想性和人文性, 又要与学生的日常生活息息相关, 并紧扣课堂的教学内容, 符合一节课的教学容量。然后, 教师通过简短的语言、精彩的开场白, 顺其自然地将材料呈现给学生, 有的放矢地引导学生仔细观察、认真思考、积极探索。同时, 教师要协助学生从材料中找出不同量之间的相互关系, 并引导学生进行联想、猜测、推广与拓展, 使他们得出更一般的结论。

在此基础上, 教师再进一步抽象出本节课的基本概念, 引申出本节课的基本定理与基本公式, 并引导学生仔细证明与推导, 这样才会使学生在探索的基础上自然而然地获得知识, 增添能力。在整个过程中, 教师要循循善诱, 步步引导, 找到问题的症结所在, 随时发现学生的思维障碍所在, 并通过巧妙的设疑、精彩的点拨, 使问题迎刃而解, 使基本概念、基本定理、基本公式呼之欲出。最后, 再进行简明扼要的归纳与总结, 特别强调今后需要注意的一些地方。教师既要肯定学生的成绩, 又要指出学生中存在的不足, 并进行分析, 讲清道理, 让学生心服口服。这样才会使学生既体会到探索的艰辛和苦闷, 又品尝到辛苦过后的收获与甜头, 才会使学生在不知不觉中获得知识, 增长才干。学生才会乐于探索, 真实的情感才会不由自主地流露, 教师才能充分地认识学生、了解学生, 才能进行有的放矢地开展教学, 整个课堂才会变得生机勃勃, 师生关系也会变得更加融洽与和谐。

如果时间允许, 教师还可以不失时机地、简明扼要地穿插一些古今中外数学家的故事, 介绍他们是怎样觉察到某个问题的, 又是怎样解决这个问题的, 在解决这个问题中遇到了哪些艰难险阻, 最后又是如何克服重重困难攻克这个问题的。这样的故事一定会使学生有所感悟, 良好的科学精神和科学素养以及坚忍不拔、勇攀高峰的优良品质将会在潜移默化中不断形成。

2. 进行一题多解和开放题教学。

后现代主义的一个重要观点是强调知识的开放性和学生思维的发散性, 实践已经证明, 一题多解和开放题教学更能体现知识的开放性, 也是培养学生发散思维的有效途径和方法。可以说, 在学生建构知识、形成科学素质方面这种题目也具有不可替代的作用。一题多解可以使学生多维度、立体式地思考问题、发现问题、解决问题, 有助于学生从不同侧面、不同角度理解知识、运用知识、掌握知识、拓展知识。所以, 教师要有意识地选择一些典型的例子, 引导学生进行一题多解。开放题更有利于培养学生思维的发散性, 也更有利于学生探究知识, 这种题目没有固定的解题模式, 解题的方法也多种多样, 问题的结果也没有确定性和惟一性。结果正确与否, 主要看学生思考问题的方法是否正确, 对问题的抽象与提炼是否恰当, 推理论证是否科学合理, 前后是否一致, 能否自圆其说。有时还需要学生自己搜集材料、补充材料, 作出假设, 建立模型以及求解模型。所以, 这种题目对于培养学生的综合素质、综合能力具有非常重要的作用。

教师要适时适量地进行开放题教学, 这不仅有利于打破学生思维的僵固性和常规性, 也有利于培养学生思维的创造性和灵活性, 更有利于学生形成良好的科学精神与科学素养。但开放题教学要适可而止, 避免发而散乱以及漫无边际的开、漫无目的的放, 否则将适得其反、事与愿违。

3. 语言精辟生动, 富有感染力。

后现代主义强调数学的建构性, 我们认为知识的建构离不开交流与合作。因此, 在数学教学过程中, 教师要注意语言的生动性和精辟性。无论是对教学材料的陈述, 对概念、定理、公式的讲解, 还是对新课的引入, 对已讲内容的复习提高, 都要用生动的语言去感染和打动学生。不紧不慢、扣人心弦, 才能启发学生思考, 引导学生探究, 才能生动地创设优美的教学情景, 形象地再现知识的形成过程, 学生才会乐于与教师进行沟通、交流、互动, 学生才会听其言、信其道。如果没有生动的语言, 课堂将会是一潭死水, 学生既学不到知识, 也得不到美的享受、乐的熏陶, 学生的科学精神、科学素养就无法形成, 求真、求善、臻美的人文品质也无法实现。

不善言辞、不懂交际, 目前在数学教师中普遍存在, 因此, 数学教师要多接触社会, 努力过好语言关。做到每节课的教学就像讲一个优美的故事, 教师娓娓道来, 步步逼近主题, 渐渐引人入胜。这样, 学生定会感到妙趣横生、精彩纷呈, 美的感觉就会潜滋暗长, 乐的享受也会油然而生, 整个课堂就会使人回味无穷、乐而忘返。

总之, 后现代主义不仅改变了人们对数学的认识, 也对数学教学产生了实实在在的影响, 我们要批判地吸收和借鉴后现代主义的理论与方法, 不断地改进教学方法和教学手段。要坚持探究式教学, 把学生当成学习的主体, 更加重视知识的发现过程与形成过程, 不断启发学生的思维。要重视与学生交流, 善于与学生互动, 要注重数学知识与人文知识的交互融合, 关心学生的全面发展。要把培养学生的数学方法、数学精神与数学素养放在教学的首位。俗话说, 没有教不会的学生, 只有不会教的老师。为什么不会教?也许后现代主义能为我们找到问题的答案。

摘要：后现代主义的数学观改变了人们对数学的传统认识, 同时对数学教学也具有非常重要的启示和借鉴作用。在数学课堂教学过程中, 教师要注意精挑细选教学的背景材料, 适时适量地进行一题多解和开放题教学, 同时注意语言的精辟生动与感染力。

关键词：后现代主义,数学教学,数学素养,数学精神

参考文献

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[9]刘根东.后现代主义与当代高等教育改革[J].江苏高教, 2003, (2) , 113-115.

让学生的数学思维自然地流淌 篇9

数学解题的思维过程总是在解题者的一定认知结构中进行的, 解题方法是所给条件信息刺激解题者认知结构中相关因素并与之相互作用的产物.在波利亚的解题表里, 解题分为4个步骤:弄清问题、拟订计划、实行计划、回顾.遵循这一程序, 可以减少解题的盲目性, 预防因审题不周而解法不当;预防因漫无计划而瞎碰乱撞;预防因讨论不全而草率作结.而现在很多高三学生, 拿到一道数学题, 尤其是综合性比较强的题目, 往往束手无策, 找不到正确有效的思路, 以致数学成绩很难提高.在中学数学教学中, 了解学生在数学学习过程中可能遇到的思维障碍, 从而有针对性、有意识和有目的地引导学生避免和排除这些障碍, 进而培养和提高学生的思维能力是数学教师的一项重要工作.

二、学生常见的三种思维障碍

1.受思维定式的影响

思维定式指的是一种思维惯性, 即人们长期形成的一种习惯的思维方式.在很多情况下, 思维定式表现为思维的趋向性或专注性.它有积极的一面, 也有消极的一面.当这种趋向与当前问题的解决途径一致时, 就可产生积极有利的促进作用;当它与问题的解决途径相悖或不完全一致时, 就会产生消极不利的干扰作用, 这就是思维定式的负效应, 也就成了思维障碍.

例如:在解三角函数综合题时, 经常会碰到以下类型的三角函数式化解, 如f (x) =sin2x+sinxcosx, 而学生在求解时, 一拿到题目不假思索的就进行提取公因式, 化成f (x) =sinx (sinx+cosx) , 以至于思路受阻, 无法再解下去.而本题实质上是用二倍角公式化简成undefined.这就是思维惯性造成的解题思路受阻.

2.分割、孤立障碍

观察是思维的前提, 而联想又是思维的一个重要手段.在教学中加强训练学生的观察力, 引导他们深入观察各类题型的结构特征, 善于联想已掌握的有关知识和技能技巧, 对引导学生由此及彼迅速解题、灵活运用是极有好处的.而许多学生在面对数学题时都缺少仔细的观察和必要的联系, 因此在做一些陌生题型时往往会出现思维障碍的现象.

例如:已知|a|≤1, |b|≤1, 求证:undefined.让学生思考片刻后提问, 有相当一部分的同学是通过三角变换证明的 (设a=cosα, b=sinβ) , 理由是|a|≤1, |b|≤1.这恰好反映了学生对利用三角代换证明不等式的方法的了解比较肤浅, 没有真正掌握此法的实质, 而错误地把两个毫不相干的量 (a, b) 建立了具体的联系.

3.知识结构的缺陷

完整合理地知识结构是产生多种能力的必不可少的条件, 系统的结构知识, 对思维能力的形成具有特殊的意义.对于高中数学课程, 数学的抽象性、理论性强等特点充分显现, 对基本知识、能力及数学思想方法的要求及运用明显强于初中, 学困生普遍感到进度比较快, 要求比较高, 对于他们来讲常常会混淆各种概念, 一些概念的错误理解在长时间内不能改正.

例如:在《三角函数》一章中, 公式很多, 变换灵活, 如果只是机械地识记公式, 而缺乏理解公式的推导及公式间的联系和区别, 也就不可能灵活应用公式进行角、函数名称及幂的变换, 从而造成学生能力结构的缺陷, 直接影响学生潜在能力的发挥.学生对知识的理解和掌握只停留在字面上, 没有探究心理, 没有足够的动力从深层次上理解概念、公式及相关定理之间的联系与区别.

三、避免和排除思维障碍, 培养学生的思维能力

1.让学生养成多角度思考问题的习惯, 培养学生的求异思维

灵活的思维方式与创造性思维是密切相关的, 如果一名学生只会以一种固定的方式或教师教的方法去思考和处理问题, 是无法产生创造力的.应该培养学生养成一种多角度思考问题的习惯和思维方法, 不断启发学生的求异思维.

例如:设数列{an}的前n项和undefined是常数, n∈N.

(1) 若c不为0, 求证:{an}不是等差数列;

(2) 若c=0, 求证:对任意大于1的自然数n, 和数cos2an-1+cos2an+cos2an+1是一个与n无关的常数.

现给出第 (2) 小题的3种证法:

证法1: (三角法) 利用降幂公式将通项undefined代入, 再利用和差化积可证得结论.

证法2: (三角法) 将undefined代入和式, 再利用降幂公式可证得.

证法3: (数学归纳法) (1) 当n=2时, 可得undefined

(2) 假设当n=k (k≥2) 时, 有

undefined,

则当n=k+1时, 由undefined, 得

undefined

即当n=k+1时, 结论也成立.

综合1, 2可知, 当n≥2时, 结论成立.

2.利用数学问题的改造功能, 训练学生思维的灵活性

思维的灵活性是创造性才能的重要特征之一, 培养学生思维的灵活性可以抵制思维定式的消极影响.培养学生思维灵活性的途径是很多的, 利用数学问题的改造与变换便是一条有效的途径.所谓数学问题的改造与变换是指:在一道题的基础上进行多角度、多层次的变式教学.变式教学中, 调动学生思维的积极性, 发展学生思维的灵活性, 同时也有效地减少某些片面的思维定式的形成, 以加强思维定式的正向迁移.

3.关注知识的理解、构建和调度

学生经常会问这样的一些问题:“为什么上课听得懂, 作业也会做, 考试却答不出?”“为什么题目稍微一变就做不出来?”……此类问题其实都和做数学题能否触类旁通、融会贯通有关, 属于对知识的理解、构建与调度的问题.

所谓做题有效果, 要的就是触类旁通、融会贯通.不是靠小聪明, 而是靠将理解、构建、调度三个步骤落实到位.题目解答完毕只是掌握知识的开始, 认真总结反思才会有稳步的提高.而在平时的课堂教学中如何做好理解、构建与调度呢?

(1) 让学生看到老师的思维轨迹

在恒成立与能成立问题教学中可设计以下题组:

问题1:若f (x) =x2+8x+a≥0在R上恒成立, 求a的取值范围.

变式1:若f (x) =x2+8x+a≥0在[1,2]上恒成立, 求a的取值范围.

变式2:若f (x) =x2+ax+8≥0在[1,2]上恒成立, 求a的取值范围.

变式3:若f (x) =x2+ax+8≥0在[1,2]上能成立, 求a的取值范围.

问题2:已知undefined, 若f (x) ≥g (t) 在[1,2]上恒成立, 求a的取值范围.

变式1:已知undefined, 若f (x) ≥g (x) 在[1,2]上恒成立, 求a的取值范围.

变式2:已知undefined, 若f (x) ≥g (x) 在 (0, +∞) 上能成立, 求a的取值范围.

这样, 在教学过程中让学生看到教师的思维过程, 有助于学生归纳和总结, 教师也可在这一过程中, 指导学生理解、建构与调度知识.

(2) 让学生看到学习群体的思维转变

数学教学中存在着教材、教师、学生三种思维活动.但当前的数学教学, 其信息的传播大多局限于教材与学生、教师与学生这两种模式, 而对学生与学生之间的互动与影响重视不够.其实学生群体的最大特点是互补性, 学生在相互研讨、探究、补充交流、评价完善的环境中获取到许多书本中没有的知识, 学到别的学生的思维方法.

参考文献

[1]詹加清.中学生数学思维障碍的排除策略[J].中学教研, 2009 (5) :20-22.

数学自然主义 篇10

关键词：和谐,自然,数学课堂

数学教学既是一个认识过程, 也是情感和意志的活动过程, 认识过程与情感意志活动过程相辅相成, 互相促进, 构成了数学教学中一个自然而和谐的统一整体。在课堂教学中, 有成功的喜悦, 也有失败的教训。细思这些失败, 与当时课堂气氛过于紧张或过于随便、处理过程不够自然有很大关系。可以明确地说, 课堂教学中无论是形式, 还是内容都处于“自然和谐之美”, 是完成教学任务、提高教学质量的有力保证。而教师的仪表与教态、教师的教学语言和启发式教学的运用是构成课堂“自然与和谐”的三个主要因素, 下面笔者就这三个方面谈谈营造“自然与和谐”的方法。

一、教师的仪表与教态之美

人的仪表包括外貌和服装两个方面。前者是人固有的生理条件所决定的, 一般难以改变。而服装, 亦即装饰是整个仪表美的重要内容, 它是增加身材美、容貌美的条件。教师在讲台上其仪表既要给学生以美的感受, 又要服务和服从于课堂教学这个特定的环境。其具体要求是:整洁大方, 庄重朴素, 轻便协调, 色彩和谐, 一定要避免两种极端现象, 即过于华美或过于随便, 如果教师的服装颜色过于耀眼, 款式过于奇特, 与众不同, 在课堂中就给学生以“鹤立鸡群”之感, 分散了学生的注意力, 教师也有不自然之感。同时, 这种师生服装不和谐造成了学生“不融老师”的心理, 自然影响课堂教学的效果。如果教师的服装过于随便, 长衣大袖, 拉拉沓沓, 甚至满身污垢, 敞胸露怀, 也会分散学生的注意力, 容易形成课堂气氛懒散, 出现学生不尊重教师的现象, 不利于教学任务的完成。因此, 教师的服装过于华美和过于随便都不可取。另外, 教师的教态对营造课堂的自然与和谐有不可低估的作用。教师要以精神饱满, 情绪高昂的姿态健步走上讲台。切不可在学生面前显得有气无力, 或显得心情不愉快。开始讲课时, 教师的表情要亲切而不过分随意, 严肃而不过分紧张, 使学生在一个宽松、舒适的气氛中学习。在教学过程中, 教师要显得端庄大方, 举止从容, 精神饱满, 雍容自然。在运用手势和站立、行走上要处理得体。我们说手势的运用要根据教学内容, 不可多, 也不可无。动作自然, 不致分散学生的注意力。教师可站着讲, 也可以边走边讲。但在一个地方站的时间不可太长, 并且要注意不影响学生的视线。站立时要给学生一种轩昂、自然、生机勃勃的印象。行走时可在讲台上行走, 也可走下讲台, 但应显得以容不迫, 并且要根据板书的多少决定行走的多寡。

二、数学教学中的语言艺术之美

有人说“教师应该是语言大师”, 这话并不过分。因为语言是完成教学任务的主要手段, 直接影响着教学效果。为使课堂气氛自然优雅, 和谐协调, 根据教学学科的特点, 教师应从如下三个方面下功夫。

首先, 教师的语言要明白, 简练。说话明白是教师语言的起码要求。教师讲课时, 要恰如其分地遣词选句, 准确地讲清楚各种概念、公式和定理。就是赞成什么, 反对什么, 毫不含糊, 使学生能听懂教师讲的意思。这就要求教师吃透教材和了解学生。那种不从学生的实际出发, 空话连篇, 不着边际的讲话, 也是说话不明白的表现。语言简练, 就是指教学语言的“少而精”, 要言而不繁, 恰到好处, 不滥用语言。数学的定义、定理和公式本来就是精练、简洁而明快的。教师应该抓住内容的重点、难点, 言简意赅, 有的放矢地讲解。这样就能腾出较多的时间让学生充分思考, 有利于发展智力, 还可让学生在课堂上完成部分作业, 以减轻课外负担。

其次, 课堂教学语言要生动形象, 有趣味。我们教育的对象都是些生动活泼的青少年, 教师的语言一定要以他们的心理特征出发, 不但要善于说理, 而且要富于表情, 要以语言的趣味来吸引学生的注意力, 唤起学生的求知欲和学习热情。数学教师要善于把抽象的概念具体化, 深奥的道理形象化, 枯燥的知识趣味化, 以加强学生对知识的理解和记忆。应注意的是, 我们讲究语言的生动形象, 有趣味, 并不是无原则地逗人一笑, 把课讲成“闹剧”。一定要密切结合教材, 做到言之有物, 言之有理, 言之有据, 掌握分寸, 恰到好处。要在正确的观点指导下, 以有力的逻辑论证、精辟的分析、生动形象的语言吸引学生的注意力, 激发学生的学习兴趣, 才能够达到顺利地传授知识、发展学生智力的目的。

最后, 教师讲课的语言要有节奏感。教师讲课的声调高低, 节奏的快慢, 直接影响着学生的思维活动。教师的讲和学生的听必须和谐、合拍, 才能形成教学语言的最佳节奏, 才能产生听课的最佳思维状态。教学语言速度过快, 学生的思维跟不上趟, 他们没有琢磨消化的时间, 学生的知识就容易“夹生”, 学生听课感到吃力, 容易产生消极情绪, 甚至掉队。教学语言速度太慢, 给学生讲述的知识跟不上他们的需要, 学生的思维活动不能展开, 就必然影响着学生智力的充分发展。讲课声音太高, 语言的刺激太强, 会使学生很快由“兴奋”状态转入“抑制”状态, 影响注意力的保持, 这样会降低听课的效果, 教师也会很快变得声嘶力竭。讲课声音太低, 有气无力, 声淡音微, 使学生听起来十分吃力, 并且由于过多地需要“有意注意”来维持听课, 学生容易疲劳。

三、启发式教学的自然与和谐之美

现代教学论中启发式是一种教学指导思想, 也是一个重要的教学方法原则。它是在批判地继承了传统教学理论的遗产, 在现代教育与心理学的基础上发展和完善起来的, 其核心是启动和激励学生的思维活动, 引导他们主动获取知识, 培养分析问题、解决问题的能力和创造精神。贯彻启发式教学思想必须注重创设问题情境, 通过质疑激发学生的认知冲突, 并恰当地组织和引导他们的思维活动, 使学生既有思维目标, 又有思维方向。同时, 应当坚持面向全体学生和因材施教的原则, 加强对学生的分类指导与个别指导, 使学生顺利地开展思维活动。为使启发式教学落到实处, 防止上述情况在课堂上发生, 本人认为必须从如下几个方面努力。 (1) 对基本概念的学习, 必须重视原始材料和背景的介绍, 使学生明白概念引入的合理性与必要性。 (2) 解题教学重视分析、启发思维, 要求学生以大众心理、常规方法处理教学问题。对特殊方法与技巧可介绍, 但要适可而止, 在为什么这样思考, 怎样思考上下功夫, 暴露思维过程。 (3) 课堂提问或是有疑而问, 或是让学生思维引向深入, 防止“无病呻吟”, 无故发问。多个别发问, 少集体作答, 多给学生思考, 不草草收兵。要照顾学生的认知结构和认知能力提问, 要重视提问的作用, 切忌问题提得过深、过全、过多。 (4) 教师应自觉培养自己驾驭课堂的能力, 当启发式教学未按原定方向进行时, 教师应沉着、冷静, 做到顺水推舟, 不压抑学生的思维活动, 在另一种情境中调动学生的积极性, 完成教学任务。

自然且合理：高中数学课堂追求 篇11

范题解读

师：在初中我们学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？

生1：是在直角三角形中定义的，=，=，=。

师：为什么要这样定义？（目的是要揭示概念的本质。）当锐角 是一个定角时，这三个比值如何？

生2：是定值吧！（很多学生犹豫，不敢确定。）

师：当锐角α是定值时，以角α的两边为边，能构造多少个直角三角形？

生3：无数个！

师：这无数个三角形有什么关系？

生4：都是相似三角形。

生5：这些直角三角形都相似，从而在每个直角三角形中的类似上面的对应比值都是相等的。也就是说这三个比值是定值，不随边长的变化而变化。

师：对！（教师动画演示，验证生2所说的数学事实。）由于有“比值不变”这样的规律，我们才定义了“锐角三角函数”的概念。进而再问：已经把角推广到了任意角，能否定义任意角的三角函数？

生6：可以把任意角的三角函数转化到直角三角形中去定义。无论角α的终边落在哪儿，都能构造一个直角三角形，可以仿照锐角三角函数的定义方法，定义任意角α的三角函数。（根据学生的描述，教师画图演示。）

师：如果角α的终边与始边垂直呢？

生6：这个无法定义tanα了。

师：我们是怎样研究“任意角”的？

生7：在平面直角坐标系中，可以借助平面直角坐标系来定义吧。（学生思考讨论）在平面直角坐标系中借助点的坐标来定义，只要在角的终边OB上任取一点P（x，y），类似于锐角三角函数，可以定义=，=，=。

师：为什么要这样定义？（学生讨论。）

生8：因为无论点P在OB的什么位置，由相似三角形的性质可知比值、、总为三个定值，因此可以用这三个比值定义任意角α的三个三角函数。

师：很不错！（动画演示。）能否把问题变得更为简单呢？

生8：在坐标系上作单位圆，此时比值中的OP的长度为1，三个比值变为y，x，。

最后老师点题，指出引入单位圆使得这种对应更加明显，同时为学习三角函数线做出准备。本堂课教学过程自然流畅，每一步提问合符情理，设计的数学活动目标较为明确，达到了引导学生感悟和揭示数学本质的目的。

提出问题应自然且合理

数学的核心是不断地解决问题，而提出问题是解决问题的前提。由于提出问题在思维的主动性与深刻性、在对知识本质和结构的理解与把握等方面比解决问题有着更高的要求，怎样才能自然且合理地提出问题？第一，搞清楚数学问题来自哪里；第二，要搞清楚数学问题该由谁提出，通常情况下，理想的做法是教师创设问题产生的情境，由学生提出问题；或教师提出一个初始问题、元问题，再由学生提出要解决的具体问题；第三，搞清楚问题产生与形成的思维合理性在哪里，如学了“椭圆的定义”后，教师上课时自然地提出这样的问题：能不能由定义建立椭圆方程？应该如何建立？或者让学生自己提出其他合理的问题。

解决问题应自然且合理

问题解决一贯是高中数学教师课堂教学中最为重视、也是做得较好的一个环节。实施新课程后，教师课堂教学的过程意识、探究意识明显加强。但从更高的要求看，有些教师平时的课堂教学还存在一些问题：较重视传授解决问题的方法而轻分析为什么要用这种方法、怎样想到用这种方法；在有效地围绕着问题的本质展开讨论和探究上做得还有待改进；解决问题的方法有时不太自然且合理。新课程课堂教学则要求：一要抓住问题本质，搞清楚知识形成与发展的背景及其与其他知识的联系；二要顺应知识形成与发展的轨迹，顺应学生的认知基础和认知特点，突出思维主线；三要揭示思维策略与方法的合理性与必然性。比如，任意角的三角函数的本质是以角为自变量的函数，其概念建立的难点是转换思考问题的角度，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，把原来锐角三角函数定义中的三角形边的长度比，转换为适用于任意角三角函数的坐标比。又如，“函数”的概念比较抽象难理解，在课堂中可把函数类比为“豆浆机”，一端送入大豆（自变量），从另一端出来豆浆（函数值），只不过在一般情况下，函数输入的是“数”，输出的也是“数”。这样学生对函数的理解也就具体直观了。

拓展问题应自然且合理

一个问题解决之后，如何引导学生自然且合理地拓展问题？问题引领教学，不仅应体现在课堂教学之初，也应体现和贯穿于整个课堂教学。只有在适当的时候用恰当的问题来不断地引导课堂教学，才能增加数学教学的思维含量。除了自然地合理地提出问题、解决问题外，高中数学课堂教学还应要让数学思维在教学中自然且合理地流淌，正如人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》主编寄语中所说的“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”，高中数学课堂必然要努力创造自然、合理、高效的教学。

建构主义下的数学教学研究 篇12

一、建构主义下的教学理论

人的认识并不是对外在的被动的、简单的反映, 而是一种以已有知识和经验为基础的主动建构活动。人脑不主要是用来记忆和计算的, 不具备鸟类飞行功能的人类, 却能设计出比鸟类飞得更高更快的飞机、火箭;奔跑速度和耐力有限的人类, 却能设计出比任何动物跑得更远更快的汽车、火车;记忆和计算能力有限的人类, 却能设计出记忆、运算能力无比强大的计算机。可见人类正是借助已有的知识和经验, 通过极其复杂的主动建构活动, 创造和改变着缤纷灿烂的世界。建构主义下的教学是针对传统教学的诸多弊端而提出的。传统的教学认为:知识是对外部客观世界的被动反映, 教学的目的就是使学生通过教学过程获得同样的现实反映。为此, 教学的主要目的是如何对学生进行教。建构主义理论认为:学生的学习过程远不是对外界环境的简单反映, 而是学生用客观环境所提供的信息来加工自己的知识, 完善自己的知识结构。它以学生为中心, 强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。由于建构主义所要求的学习环境同时得到了当代最新信息技术成果的强有力支持, 这就使建构主义理论日益与广大教师的教学实践结合起来, 从而成为国内外学校深化教学改革的指导思想。

二、建构主义的数学学习理论

建构主义认为, 知识不是通过教师传授得到, 而是学习者在一定的情境社会文化背景下, 借助获取知识的媒体, 如教师或学习伙伴等的帮助, 利用必要的学习资料, 通过意义建构的方式获得。建构主义提倡在教师指导下的, 以学习者为中心的学习, 即既强调学习者的认知主体作用, 又不忽视教师的指导作用, 教师是意义建构的帮助者、促进者, 而不是知识的传授者与灌输者;学生是信息加工的主体, 是意义的主动建构者, 而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。

如在讲授导数的概念和实际意义时, 教师可通过实例—变速直线运动推导出导数在数学表达形式上是一个极限, 是函数的增量Δy与自变量的增量Δx之比当自变量的增量Δx→0时的极限, 其数学意义表示在x处当自变量变化一个单位, 函数相应变化f΄ (x) 个单位。在变速直线运动S=f (t) 中f΄ (x) 为t时刻的即时速度。由此可使学生推断出一系列的变化率模型, 如电流模型Q=Q (t) 中, t时刻时间变化1s, 电荷是变化Q' (t) 个单位, 即电流强度I, 进而推广到更多的模型, 诸如细杆的线密度模型、边际成本模型、化学反应速度模型等。通过以上学习的方式, 使学生既掌握了导数的实际意义, 又了解了导数应用的广泛性。

三、建构主义的数学教学观

建构主义所主张的教学方法与传统的注入式和题海战术有着本质的区别, 建构主义主张的教学方法其核心是强调学习者是一个主动的、积极的知识构造者。教师的教学设计必须强调以学生为中心, 重视“情境”与“协作学习”对意义建构的重要作用。在建构主义的教学模式下, 目前已开发出的比较成熟的教学方法有很多, 但其主要环节不排除情境设计、自主学习与协作学习、效果评价等几个环节。在建构主义下, 教师的一项重要工作就是要从学生实际出发, 以深入了解学生真实的思维活动为基础, 通过提供数学的问题情境或实例促使学生反思, 引起学生必要的认知冲突, 从而让学生最终主动建构起新的认知结构。如在讲授极限这一概念的应用时, 教师提出一个看似极其简单的问题:圆的半径为R, 很容易求得圆内接正n边形的面积An, 那么进而是否可以求得圆的面积?学生经过讨论认为:当按正n边形无限增大时, 其面积与圆的面积接近, 由此推断出圆的面积即为An当n→∞时的极限, 求知得极限为πr2, 刚好是中学所学圆的面积公式, 而这就是中国古代的“割圆术”, 魏人刘徽就是用此法推断出圆周率的近似值。这样通过学生的思考和自己的推断, 得出数学史上如此重要的一个结论, 让学生感觉到无比的自豪, 从而极大培养了学生的数学思维能力和自我探究的习惯, 激发了学习数学的兴趣。