高等数学试题库第一章

2024-10-07

高等数学试题库第一章（精选7篇）

高等数学试题库第一章篇1

高等数学复习第一章

一，函数的概念与性质

1函数定义有两个要素； ○

2构成复合函数的条件； ○

3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，○

且能用一个解析式子来表示的函数；

4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。○

二，极限

1，数列和函数极限的定义

2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；

3，极限四则运算法则；

4，复合函数极限运算；

5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限

（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。（证明题中最常用）

三，无穷小与无穷大

1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；

2，无穷小的比较：看两者之商的极限。

3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；

4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函数的连续性

1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在此点连续； 2，间断点的分类：

第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点

振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。（比如sinx-1在x=0处）

3，介值定理和零点定理。（用于证明根的存在性问题，相当有用）

总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一

高等数学试题库第一章篇2

1 具有凸凹性背景

例1 (2002年高考北京卷第12题) 如图1所示, fi (x) (i=1, 2, 3, 4) 是定义在[0, 1]上的4个函数, 其中满足性质“对[0, 1]中任意的x1和x2, 任意的λ∈[0, 1], f[λx1+ (1-λ) x2]≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) 恒成立”的只有 () .

点评本题以函数凹凸性的概念入题, 实际要求考生判断4个函数的凹凸性, 考生只要理解了题给信息即能迅速得到答案A.

2 具有调和级数背景

(Ⅱ) 猜测数列{an}是否有极限?如果有, 写出极限的值 (不必证明) ;

解下面只证明 (Ⅰ) .

3 具有琴生不等式背景

例3 (2011年湖北高考理科数学第21题) (Ⅰ) 已知函数f (x) =ln x-x+1, x∈ (0, +∞) , 求函数f (x) 的最大值.

(Ⅱ) 设ak, bk (k=1, 2, …, n) 均为正数, 证明:

证明下面只证 (Ⅱ) (ⅱ) .

先证bb11bb22…bbnn≤b12+b22+…+bn2.注意到b1+b2+…+bn=1, 应用琴生不等式得

所以

构造函数

点评其实这类函数考查的是凸函数的一些独特性质, 而本题则更直接的以琴生不等式为背景, 考查利用导数求极值以及数学归纳法等高中数学的重要知识和方法.

4 具有级数收敛背景

例4 (2002年全国高考22题) 设数列{an}满足an+1=an2-nan+1, n=1, 2, 3, ….

(Ⅰ) 当a1=2时, 求a2, a3, a4, 并由此猜出an的一个通项公式.

(Ⅱ) 当a1≥3时, 证明对所有的n≥1, 有

证明下面只证 (Ⅱ) (ⅱ) .

点评本题以高等数学中的级数收敛为背景, 以数列、不等式知识为载体, 考查了归纳猜想、迭代、放缩等重要知识和方法以及分析、解决问题的能力.

5 具有拉格朗日中值定理背景

(Ⅰ) 讨论函数f (x) 的单调性;

解 (Ⅰ) 略;

6 具有向量的混合积背景

(Ⅰ) 求证:平面DEG⊥平面CFG;

(Ⅱ) 求多面体CDEFG的体积.

分析本题可直接要求体积的公式得到, 只须过G作GO⊥EF, GO即为四棱锥GEFCD的高, 故所求体积为

另外由于空间向量是学生比较常用的方法, 也可用来计算体积.

点评在立体几何中, 求体积是一种常见的考题, 用向量方法可以大大降低对空间想象能力的要求, 两者结合对解决此类问题大有帮助, 避免了求底面积和高, 十分简便.

7 具有洛必达法则背景

例7 (2010年高考全国Ⅱ卷理科21题) 设函数f (x) =1-e-x.

点评本题第2小题是高考中常考的恒成立问题, 此类问题通常用分离参数法解决, 用罗必塔法则求解这类问题非常有效.

8 具有泰勒公式背景

例8 (2012年高考浙江卷理科14题) 若将函数f (x) =x5表示为f (x) =a0+a1 (1+x) +a2 (1+x) 2+a3 (1+x) 3+a4 (1+x) 4+a5 (1+x) 5, 其中a0, a1, a2, a3, a4, a5为实数, 则a3=____.

法1由等式两边对应项系数相等, 即

解得a3=10.

法2对等式

两边连续对x求导3次得

再令x=-1得60=6a3, 即a3=10.

法3由泰勒公式, 得

点评泰勒公式不仅对于非多项式函数有很多用处, 对于多项式函数泰勒公式也有无可比拟的优越性.本题是常见的求二项展开式的系数类问题, 高考常考, 用公式可简化运算, 节约时间.

9 具有压缩映射思想原理背景

例9 (2010年高考江苏20题) 设f (x) 是定义在区间 (1, +∞) 上的函数, 其导函数为f′ (x) .如果存在实数a和函数h (x) , 其中h (x) 对任意的x∈ (1, +∞) 都有h (x) >0, 使得f′ (x) =h (x) (x2-ax+1) , 则称函数f (x) 具有性质P (a) .

(ⅰ) 求证:函数f (x) 具有性质P (b) ;

(ⅱ) 求函数f (x) 的单调区间.

(Ⅱ) 已知函数g (x) 具有性质P (2) .给定x1, x2∈ (1+∞) , x11, β>1, 若|g (α) -g (β) |<|g (x1) -g (x2) |, 求m的取值范围.

解 (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 由题意知, g′ (x) =h (x) (x2―2x+1) , 其中h (x) >0对于x∈ (1, +∞) 都成立, 所以当x>1时, g′ (x) =h (x) (x-1) 2>0, 从而g (x) 在 (1, +∞) 上单调递增.

(1) 当m∈ (0, 1) 时, 有

得α∈ (x1, x2) .同理可得β∈ (x1, x2) , 所以由g (x) 的单调性可知, g (α) , g (β) ∈ (g (x1) , g (x2) ) , 从而有|g (α) -g (β) |<|g (x1) -g (x2) |符合题设.

(2) 当m≤0时,

于是由α>1, β>1及g (x) 的单调性知g (β) ≤g (x1)

(3) 当m≥1时, 同理可得α≤x1, β≥x2, 进而得|g (α) -g (β) |≥|g (x1) -g (x2) |与题设不符.

第一章《从实验学化学》测试题篇3

1．厨房中的化学知识很多，下面是有关厨房中的常见现象或操作，其中属于复分解反应的是（）

A．烧菜用过的铁锅，经放置常出现红棕色斑迹

B．用煤气灶燃烧沼气为炒菜提供热量

C．牛奶久置变质腐败

D．用醋酸除去水垢

2．在化学实验和日常生活中，同学们都要有安全意识，否则可能会造成严重的后果。下列做法存在安全隐患的是（）

①将水沿着烧杯内壁缓缓加入浓硫酸中，并用玻璃棒不断搅拌②给试管里的液体药品加热时，应将试管倾斜，与桌面成45°，并集中在药品处加热 ③使用金属钠或钾时，用剩的药品要放回原试剂瓶中 ④镁着火时使用二氧化碳扑灭 ⑤夜间厨房发生煤气泄漏时，应立即开灯检查煤气泄漏的原因，并打开所有门窗通风 ⑥废旧电池应回收处理

A．全部B．①②④⑤

C．①③⑤D．①④

3．质量均为12 g的石墨、金刚石在相同条件下燃烧生成同一产物时分别放出的热量为393.8 kJ、395.2 kJ。金刚石和石墨比较，能量“贮存”高的是（）

A．石墨 B．金刚石

C．一样高 D．无法判断

4．若某氖原子的质量a g,12C原子的质量是b g，NA表示阿伏加德罗常数，下列说法不正确的是（）

A．该氖原子的相对原子质量是[12ab]

B．该氖原子的摩尔质量是aNA g

C．W g该氖原子的物质的量是[WaNA]mol

D．W g该氖原子所含质子数为[10Wa]

5．通过化学反应不能实现的是（）

A．生成一种新离子 B．生成一种新分子

C．生成一种新原子 D．生成一种新单质

6．下列关于配制一定物质的量浓度溶液的说法，正确的组合是（）

①托盘天平可读取到小数点后一位（以克为单位），容量瓶可精确到小数点后两位（以毫升为单位）②托盘天平只能粗略地称量物质的质量，量筒只能粗略地量取液体的体积，严格地说，它们都不能与容量瓶——精确仪器配套使用③量筒内的残液必须冲洗下来，倒入容量瓶中④称量的固体（或量取的液体）可直接放入容量瓶中溶解（或稀释）⑤引流时，玻璃棒不能靠在瓶口上⑥定容摇匀后，若液面低于刻度线，可再次加水补齐

A．①②⑤ B．①③④C．②④⑥ D．④⑤⑥

7．只给出甲、乙中对应的量，不能组成一个求物质的量的公式的是（）

A. ②③④B．③④⑤C．③④D．③

8．碳酸铜和碱式碳酸铜［Cu2（OH）2CO3］均可溶于盐酸，转化为氯化铜。在高温下这两种化合物均能分解生成氧化铜。溶解28.4 g的上述混合物，消耗1.0 mol·L-1盐酸500 mL。灼烧等量的上述混合物，得到氧化铜的质量为（）

A．35 gB．30 gC．20 gD．15 g

9．下列关于实验操作的叙述，正确的是（）

①从试剂瓶中取出的任何药品，若有剩余不能再放回原试剂瓶②可燃性气体点燃之前必须验纯③用胶头滴管向试管中滴加液体，一定要将胶头滴管伸入试管中④用托盘天平称量固体药品时，应左物右码⑤配制浓硫酸与蒸馏水的混合液时，应将浓硫酸慢慢加到蒸馏水中并及时搅拌和冷却⑥选用100 mL量筒量取4.53 mL稀硫酸

A．①③④⑤ B．①③④⑥

C．②④⑤ D．以上答案均不正确

10．相同物质的量的KClO3分别发生下述反应：①有MnO2 催化剂存在时，受热分解得到氧气 ②若不使用催化剂，加热至470℃左右，得到KClO4（高氯酸钾）和KCl。下列关于①②说法不正确的是（）

A．生成KCl的物质的量相同

B．发生的反应类型相同

C．发生氧化反应的元素不同

D．1 mol物质分解时产生气体的物质的量相同

11．阿伏加德罗定律能够成立的本质原因是在一定温度和压强下（）

A．气体体积的大小与分子的大小有直接关系

B．不同气体分子的大小几乎相等

C．不同气体分子间的平均距离几乎相等

D．气体分子间的平均距离与分子本身的大小成正比

12．现有V L浓度为0.5 mol·L－1的盐酸，现欲将此盐酸浓度增大1倍，以下方法最宜采用的是（）

A．加热浓缩到溶液体积为0.5V L

B．加入0.05 mol·L－1盐酸0.125V L

C．加入10 mol·L－1盐酸0.1V L，再稀释至1.5V L

D．标准状况下通入11.2 L氯化氢气体

13．某溶液经分析，其中只含有Na＋、K＋、Ca2＋、Cl－、NO，已知其中Na＋、K＋、Ca2＋、NO的浓度均为0.1 mol·L－1，则Cl－的物质的量浓度为（）

A．0.1 mol·L－1 B．0.3 mol·L－1

C．0.2 mol·L－1 D．0.4 mol·L－1

14．下列实验操作均要用玻璃棒，其中玻璃棒作用相同的是（）

①过滤②蒸发③溶解④向容量瓶转移液体

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

15．“可燃冰”的主要成分是甲烷与水（CH4·xH2O）。据测定每1 m3这种晶体可释放出140 m3的甲烷气体（假设气体体积已折算为标准状况，可燃冰的密度近似为1 g·cm-3），试推算该“可燃冰”中，CH4与H2O分子个数比（）

A．1∶6B．1∶7 C．1∶8D．1∶9

16．在100 g浓度为18 mol·L－1，密度为ρg·cm－3的浓硫酸中加入一定量的水稀释成9 mol·L－1的硫酸，则加入水的体积为（）

A．小于100 mL B．等于100 mL

C．大于100 mL D．等于[100ρ]mL

17．两瓶体积相等的气体，一瓶装的是N2和O2，另一瓶装的是NO。同温同压下，两瓶气体的关系一定正确的是（）

A．所含原子数相等B．气体密度相等

C．气体质量相等D．摩尔质量相等

18．T ℃，硝酸钾的溶解度为a g，取该温度下的硝酸钾溶液b g，蒸发c g水后溶液达到饱和。测得饱和溶液的密度为d g·cm－3，体积为V mL，下列表达式正确的是（）

A．其溶质质量分数为[a100+a]×100%

B．其溶质物质的量浓度为[1000ad101b(100+a)]mol·L－1

C．溶质物质的量浓度为[b-c101V]mol·L－1

D．溶液中硝酸钾的质量为[a(b-c)100]g

二、实验题（共17分）

19．（7分）实验室配制500 mL、0.2 mol·L-1的Na2SO4溶液，实验操作步骤有：

A．在天平上称出14.2 g硫酸钠固体，把它放在烧杯中，用适量的蒸馏水使它完全溶解并冷却至室温。

B．把制得的溶液小心地转移至容量瓶中。

C．继续向容量瓶中加蒸馏水至液面距刻度1~2cm处，改用胶头滴管小心滴加蒸馏水至溶液凹面底部与刻度线相切。

D．用少量蒸馏水洗烧杯和玻璃棒2~3次，每次洗涤的液体都小心注入容量瓶，并轻轻振荡。

E．将容量瓶塞塞紧，充分摇匀。

请填写下列空白：

（1）操作步骤的顺序为（填序号）__________；

（2）本实验用到的基本仪器已有烧杯、天平（砝码、镊子）、玻璃棒，还缺少的仪器是__________、__________、__________；

（3）下列情况会使所配溶液浓度偏高的是（填序号）__________。

[视线]a. 某同学观察液面的情况如右图

b. 没有进行上述的操作步骤D

c. 加蒸馏水时，不慎超过了刻度线

d. 砝码上沾有杂质

e. 容量瓶用前内壁沾有水珠

20．某纯碱样品中含有少量的小苏打，甲同学为了测定其纯度，设计如下实验：

①准确称取样品A g并将其在烧杯中完全溶解；②加入足量某种物质并搅拌使其充分反应；③过滤；④将沉淀洗涤、烘干；⑤称量沉淀，质量是B g。请回答下列问题：

（1）在溶解样品时所使用的玻璃仪器除烧杯外，还有一种必不可少的是__________；

（2）在第二步中的某种物质是__________[在BaCl2、Ba（OH）2中选择]，确认其过量的方法是__________；

（3）洗涤沉淀的方法是__________，确定沉淀洗涤完全的方法是__________，若不洗涤会使结果__________（填偏高或偏低）；

（4）写出涉及的化学方程式__________，该样品的纯度是__________（算式）；

（5）乙同学认为该方法操作复杂，他另外设计一套相对简单的方案，其方案是：__________（只要求写设计原理与思路，不要求写步骤）。

三、填空简答题（共16分）

21．（6分）假如要你做以下实验，你将用什么仪器呢？从下列各选项中选择相关仪器，将其编号填写在相应的空格处。

a. 胶头滴管b. 试管c. 普通漏斗d. 量筒e. 酒精灯f. 细口玻璃瓶g. 药匙h. 坩埚钳i. 容量瓶 j. 分液漏斗k. 冷凝管l. 蒸馏烧瓶

（1）制作过滤器用到的是__________；

（2）液体药品通常盛放在__________；

（3）镁条燃烧时，夹持镁条用__________；

（4）量取10.0 mL的液体药品用__________ ；

（5）检验氢气纯度使用的仪器是__________；

（6）实验室用自来水制取蒸馏水__________。

22．（10分）现有m g某气体，它由四原子分子构成，它的摩尔质量为M g·mol－1。则：

（1）该气体的物质的量为__________mol；

（2）该气体中所含的原子总数为__________个；

（3）该气体在标准状况下的体积为__________L；

（4）该气体溶于1 L水中（不考虑反应），其溶液中溶质的质量分数为__________；

（5）该气体溶于水后形成V L溶液，其溶液的物质的量浓度为__________mol·L－1。

四、计算题（共21分）

23. （10分）氯化钠与氯化镁的混合物中，钠离子与镁离子物质的量之比为3∶2。

（1）求混合物中两种物质的质量比；

（2）如果混合物中共有28 mol Cl－，求混合物中氯化钠和氯化镁质量各为多少？

24. （7分）如下图所示的密闭筒形容器内有一活塞，位于距一端的全长[14]处，活塞左端充有氮气，右端充有H2、O2混合气体。在标准状况下，将混合气体点燃引爆，活塞先左滑，（设不漏气）恢复原温后，活塞右滑停留于筒的中央。则原来H2、、O2的体积比可能是多少？

1 2 3 4 1 2 3 4

[【参考答案】]

1. D2. B3. B4. B 5. C6. A 7. C8. C9. C10. C11. C12. C13. B14. D15. C16. A17. A18. A

19．（1）ABDCE（2分）；（2）量筒、胶头滴管、500 mL容量瓶（3分）；（3）a、d（2分）。

20. 略

21. （1）c；（2）f；（3）h；（4）a、d；（5）b、e；（6）e，k、l。

22. （1）[mM]；（2）[4mNAM]；（3）[22.4mM]；

（4）[m100+M]×100%；（5）[mMV]。

23. （1）m（NaCl）∶m（MgCl2）＝351∶380；

（2）m（NaCl）＝702 g，m（MgCl2）＝760 g。

高等数学试题库第一章篇4

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),x

limP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()

m1f(x1)m2f(x2)

m1m2

.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)

m1f(x1)m2f(x1)

m1m2



m1f(x1)m2f(x2)

m1m2



m1f(x2)m2f(x2)

m1m2

高等数学试题库第一章篇5

一、选择题(30分)1．下列各项中，不可以组成集合的是（）

A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（）

A．{x|x33} B．{(x,y)|y2x2,x,yR} C．{x|x20} D．{x|x2x10,xR} 3．下列说法中，正确的是（）

A．任何一个集合必有两个子集； C.若AB,则A,B中至少有一个为

BS,则ABS，A

B B．任何集合必有一个真子集； D.若S为全集，且A4．下列表示图形中的阴影部分的是（）

A．(AC)(BC)B．(AB)(AC．(AC)

B)(BC)D．(AB)C

C 5．若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．若全集U0,1,2,3且CUA2，则集合A的真子集共有（）A．3个 B．5个 C．7个 D．8个

二、填空题(20分)7．若集合Ax|3x7，Bx|2x10，则A8．用列举法表示集合：M{m|B_________AB___ ___．

10Z,mZ}=。m19．若Ix|x1,xZ，则CIN=。

10．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。

三、解答题

2211．(12分)已知集合Aa,a1,3,Ba3,2a1,a1，若AB3，求实数a的值。

12．(12分)设A{xx4x0},B{xx2(a1)xa10},其中xR,如果A实数a的取值范围。

222BB，求13．(12分)已知A{x2x5}，B{xm1x2m1}，BA,求m的取值范围。

14.(14分)已知集合A={x|ax

2+2x+1=0}.(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.附加题(10分)：张明与李坚是一对好朋友，他们在复习集合这一章时决定采用互难互问复习法，即张明提出问题的一部分和问题的框架，要求李坚按张明的要求编出可解的问题，再让张明做．张明提出,问题的一部分是：已知非空集合，……,求出实数的的取值范围．

编题要求是：题中要出现两个具有某种关系的集合B、C，且集合B、C的表达式中必须出现字母x,并且字母必须属于A．

请你帮助李坚编出这道题．

集合测试题参考答案

1.C 元素的确定性；

2.D 选项A所代表的集合是0并非空集，选项B所代表的集合是(0,0)并非空集，选项C所代表的集合是0并非空集，选项D中的方程xx10无实数根；

23.D 选项A：仅有一个子集，选项B：仅说明集合A,B无公共元素，选项C：无真子集，选项D的证明：∵(AB)A,即SA,而AS，∴AS；同理BS，∴ABS；

4.A 阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分； 5.D 元素的互异性abc；

6.C A0,1,3，真子集有217。

37、ABx|2x10，ABx|3x7 可通过画数轴的方法来找答案

8、11,6,3,2,0,1,4,9 m110,5,2,或1（即10的约数）

9、1 I1N，CIN1 10、26

全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x人；仅爱好体育的人数为43x人；仅爱好音乐的人数为34x人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人。∴43x34xx455，∴x26。

通过画VENN图可以比较容易得到答案。

11、解：∵AB3，∴3B，而a213，∴当a33,a0,A0,1,3,B3,1,1 这样A，B3,1与AB3矛盾；

B3

1,符合A 当2a13,a∴a1

12、解：由ABB得BA，而A4,0，4(a1)24(a21)8a8

当8a80，即a1时，B，符合BA；当8a80，即a1时，B0，符合BA；

当8a80，即a1时，B中有两个元素，而BA4,0； ∴B4,0得a

1∴a1或a1。13、解：当m12m1，即m2时，B,满足BA，即m2；

当m12m1，即m2时，B3,满足BA，即m2；当m12m1，即m2时，由BA，得∴m3

14.解：(1)当a=0时，A={－

m12即2m3；

2m151}，此时A中只有一个元素，所以a=0满足要求； 22当a≠0时, 因为A中只有一个元素，故一元二次方程ax可得⊿＝4－4a=0,求得a＝1，此时A={－1} ∴当a=0或a＝1时A中只有一个元素

(2)A中至多有一个元素，也就是A中有一个元素或A中没有元素。由（1）可知当a=0或a＝1时A中有一个元素若A中没有元素，则一元二次方程ax

+2x+1=0只有一个根，+2x+1=0无根，可得⊿＝4－4a<0,即a<1 综上可知，a=0或a≤1时A中至多有一个元素

附加题：参考结果

1．已知非空集合

且

2．已知非空集合，且

3．已知非空集合，求出实数的取值范围．

4．已知非空集合，求出实数的取值范围．

，，且

，求出实数的取值范围．

，，，求出实数的取值范围．

5．已知非空集合且

高等数学试题库第一章篇6

析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）

A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm

【答案】D

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．

解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6，又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6，∴BC=AB+AC=6+6=72，∴BC=6，22222故选：D．

2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A． B．25

C．

D．35

【答案】B

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．

（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=由于25＜，故选B．

===．

3.如图所示，在△ABC中，∠B=90º，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为.【答案】7.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】试题分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

试题解析：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．

4.如图,矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为______________cm.【答案】60

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】根据勾股定理求出BC的长，BC=13-5=144，则BC=12，面积为5×12=60.2

225.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.2

26.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.A．100

【答案】D

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离==1000米.B．500 C．1 240 D．1000

7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）

A．3

【答案】A.B．4 C．5 D．6

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】

试题分析：过D点作DE⊥BC于E．

∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离AD=3．故选A．

考点: 勾股定理的证明.，8.下列命题中是假命题的是（）A．在△B．在△C．在△D．在△【答案】C

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】A.因为正确；B.因为，所以∠°，所以△是直角三角形，故A，所以，所以△是直角三角形，故B正确；C.若，则最大角为75°，故C错误；，由勾股定理的逆定理，知△

是直角三角形，故D正确．中，若中，若中，若中，若，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形

D.因为9.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍

【答案】B B．2倍 C．3倍 D．4倍【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.10.在△中，，．若，如图①，根据勾股定理，则.若△不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

【答案】见解析

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】解：如图①，若△

是锐角三角形，则有

.证明如下：过点作，垂足为，设2

为，则有

.在Rt△ACD中，2

2根据勾股定理，得ACCD=AD，即b2222BD，即AD= c(a x)，即∵，∴，∴是钝角三角形，x= AD.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=AB，∴..为钝角，则有

.如图②，若△

证明如下：过点作，交的延长线于点.，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得设为，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得222AD+ BD= AB，即．即∵，∴.，∴

.11.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.3 蚂蚁怎样走最近【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.12.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

【答案】36

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗【解析】

试题分析：由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积． ∵4+3=5，5+12=13，∴∠B=90°，∠ACD=90°

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.22222213.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形；，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

高等数学试题库第一章篇7

1. 函数的极值和最值模型

函数的极值和最值的应用问题主要分为一元函数和多元函数的极值和最值的应用, 解决这类问题的思路是:第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式及求出函数的定义域;第二利用求函数极值和最值的方法求解。

例1 (91年数4) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1, p2;销售量分别为q1和q2;需求函数分别为q1=24-0.2p1, q2=10-0.05p2;总成本函数为C=35+40 (q1+q2) 。试问:厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?

分析:这是一个典型的二元函数求最值问题.首先要根据题意求出总利润函数:

总利润=总收益-总成本;其次求出函数的定义域;最后根据二元函数求最值的方法求解即可。

问题归结为求总利润函数的最大值问题。解方程组

2. 积分模型

在积分的应用过程中关键要解决好两个问题:一是什么样的量可以用积分来表达;二是用什么样的积分表达, 即确定积分区域和被积表示式。

例2 (03年数1) 某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打, 都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为kk>0) 。汽锤第一次击打将桩打进地下am。根据设计方案, 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r (0<r<0) 。问:

(1) 汽锤击打桩3次后, 可将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限, 汽锤至多能将桩打进地下多深?

(注:m表示长度单位米)

分析:本题属变力做功问题, 可用定积分进行计算, 而击打次数不限, 相当于求数列的极限。

解: (1) 设第n次击打后, 桩被打进地下xn, 第n次击打时, 汽锤所作的功为Wn (n=1, 2, 3…) 。由题设, 当桩被打进地下的深度为x时, 土层对桩的阻力的大小为kx, 所以

3. 微分方程模型

应用微分方程解决实际问题, 其实就是建立微分方程数学模型, 通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律。应用微分方程解决具体问题时, 首先将实际问题抽象, 建立微分方程, 并给出合理的定解条件;其次求解微分方程的通解及满足定解条件的特解;最后由所求得的解或解的性质, 回到实际问题。

例3 (04年数1) 某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离, 在触地的瞬间, 飞机尾部张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg的飞机, 着陆时的水平速度为700km/h。经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k=6.0×106) 。问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?

注:kg表示千克, km/h表示千米/小时。

分析:本题是以运动力学为背景的数学应用题, 可通过利用牛顿第二定理, 列出关系式后再解微分方程即可。

解:由题设, 飞机的质量m=9000kg, 着陆时的水平速度v0=700km/h.从飞机接触跑道开始记时, 设t时刻飞机的滑行距离为x (t) , 速度为v (t) 。

4. 概率模型

关于概率论的应用题主要集中在古典概型、随机变量的分布以及随机变量的数字特征等方面。应用概率论的知识解决具体问题时, 首先要分析实际问题, 找出随机变量的关系及其分布;下来是列出它们的函数关系, 利用概率论的有关知识求解。

例4 (08年数4) 设某企业生产线上产品的合格率为0.96, 不合格产品中只有3/4的产品可进行再加工, 且再加工的合格率为0.8, 其余均为废品。已知每件合格品可获利80元, 每件废品亏损20元, 为保证该企业每天平均利润不低于2万元, 问该企业每天至少应生产多少产品?

分析:本题为概率论中的数学期望在经济中的应用, 有关数字特征的应用题主要是随机变量函数的数学期望、方差等, 求解这类问题的关键是找出函数关系.根据题设列出方程求解.

解:进行再加工后, 产品的合格率为

所以企业每天至少生产256件产品。

以上对高等数学研究生入学考试中的有关数学应用题的类型及其解法作了一些探讨, 主要以考研真题为例对历年来的研究生入学考试的命题特点进行了分析, 总结了考研数学应用题的解决方法。