有向图理论论文

有向图理论论文（精选8篇）

有向图理论论文 篇1

在“新基础理论”支撑下的课堂改革, 最重视的就是对学生自主学习能力的培养, 所以课堂的有向开放也成为一种手段得到一些学校和教师的青睐, 但现行的教育条件下, 有向开放仍然存在一些实施上的困难, 个人认为, 有向开放固然有它的优点, 但在“新基础理论”的指导下, 小学英语的教学可以采取以下措施。

一、以旧引新, 形成学生之间的默契

小学生的接受能力在一定程度上还是有些弱, 所以要想让他们能够更快更好地接受新的知识, 就要让他们有熟悉感, 用旧的知识带领他们过渡到新的知识, 如果能够做到一个自然地过渡, 就能让他们更快也更自然地接受和吸收新知识。

比如在小学英语六年级上册第三单元“Holiday fun”的教学中, 这个单元讲的是假期的乐趣, 里面不可避免会涉及到一些过去形式, 那么就可以联合上一个单元“What a day”来进行教学, 因为上一个单元讲的是让学生难忘的一天, 那么假期里的某一天完全就可以成为这一天, 通过这样的串联教学, 就可以很充分地锻炼学生联系问题和知识的能力, 也通过这种以旧引新的形式, 让学生是实现了知识的自由切换, 同时减少了单元与单元之间突然转变的生疏感和磨合的困难度。

二、大胆放手, 帮助学生学会自我总结

前面讲到, “新基础理论”最推崇的是让学生完全自主地进行学习, 所以在课堂上老师就要懂得放手, 不是说放任学生不管, 随便教一教, 而是在特定的时间, 让学生自己进行学习和总结。

例如在小学英语六年级上册的期末复习课上, 就可以让学生来总结一下这一册书, 他们能想到的描述环境状况或与环境相关的词语有哪些, 那么第六单元就有“dirty”、“m e s s y”、“a i r”等词, 在第七单元就有“s a v e”、“reuse”、“protect”这些词, 那么在这样的总结中, 一来教师可以了解学生对知识的掌握程度, 二来学生也对知识有了一个更系统的认识, 让他们能够自然地将性和谐有关联的知识联系到一起, 形成一个整体的知识系统, 为以后的学习做准备, 而且教材中把这些单元放在一起也不是没有道理的, 目的就是培养学生在遇到一些类似的文章阅读时可以很好地理解, 那么这样分类把一本书中所讲述内容差不多的单元词汇汇总一起进行总结, 对于学生以后的英语阅读能力也有帮助。

三、设计情境, 增强学生兴趣

小学生还处在童趣没有完全消失的年纪, 所谓“因材施教”, 面对小学生, 教师应该在课堂的设计上更加注重有趣, 而且兴趣是最好的老师, 如果一个学生对课堂感兴趣, 他就会学得更好, 所以, 在课堂上设计一定的情境, 银=引领学生进入学习状态也是一种很重要的教学方式。

比如在小学英语六年级上册的第一单元“The king’s new clothes”的教学中, 第一节课教师就可以通过播放小视频或者提前布置学生排练一个小短剧, 来引导学生进行这个故事的学习, 《皇帝的新装》这个故事大家耳熟能详, 可是用英语来讲述对学生来说又是一种新的体验, 播放英文视频或者音频给学生听, 可以让他们有一个对英语语篇的基本感受, 长期进行类似教学, 也会让他们的语感增强, 那么如果使用情景剧的模式, 就更可以让他们有一个直观的感受, 让他们每个人扮演一个角色, 然后用英语进行对话, 就像排练一个英语话剧, 这样的经验过后, 不仅仅会使他们对故事的理解力增强, 他们能够在准备的过程中了解更多的知识, 因为要演, 学生一定是想演好的, 那么受到这样的驱动, 他们会想尽办法做到最好, 搜寻的资料也会全面详细, 无形中也锻炼了他们搜集资料的能力与对一件事情的责任意识。

四、巧妙训练, 提升学生分工合作能力

新课程的改革, 主要目的是培养学生的独立学习能力, 那么教师能做的也就是尽量在课程教学中培养他们的这种能力, 前面说到的让学生自己归纳知识点等等都是提高他们自主学习能力的好方法, 还有一种更直观的方法就是让他们分组进行学习, 比如布置一个任务给学生, 让他们自主预习一个单元, 然后第二天教师只解决他们解决不了的问题, 由于还是小学生, 可以放小一些范围, 比如让他们读会一篇课文, 每个小组自己去查找生词怎么读, 第二天抽查并评比哪个小组读的最标准, 都是可以的。

五、结语

不管课程进行怎样的改革, 教师想的还应该是学生综合能力的培养, 所以, 只要把“学生是课堂中心”这一条牢牢记在心里, 不管是有向开放还是不开放, 教师们都能引领学生走向最好的学习道路。

参考文献

[1]马丽萍.从课堂用语反思小学英语教师的专业成长[J].基础教育, 2010, 08:38-41.

[2]邵兰芳.与“新基础教育”的美丽相遇[J].基础教育, 2010, 03:61-63.

[3]卜玉华.“新基础教育”英语教学价值观与过程观的形成与转换[J].课程.教材.教法, 2010, 01:43-48.

以新课程理念诠释有向线段定比 篇2

一、对有向线段定比定义的探究，感受其严谨美、简洁美

定义：设A，B是直线l上的两点，点P是直线上异于A，B的任意一点，则是两共线向量，于是存在唯一的实数λ，使，其中λ就称为点P分有向线段所成的比（也称定比λ）.

其定义严谨而简洁，短短数个字的表述既向学习者揭示了本节内容形成的知识背景，又明确了在定比的内涵与外延探究中会涉及的知识内容，即探究中可运用的数学工具.

1.定义背景

（1）P，A，B三点一线.

（2）是两共线向量.

2.定义要素

（1）有向线段的起点、分点及终点分别是A，P，B.

（2）图形特征：分析λ的取值与分点P的位置关系.

若点P在线段AB上，则称P为内分点，此时，方向相同，λ＞0.（其中λ=1时P是AB中点）.

若点P在线段AB的延长线或其反向延长线上时，则称P为外分点，此时，方向相反，λ＜0且λ≠-1.（其中点P在线段AB的延长线上时，λ＜-1；点P在线段AB的反向延长线上时，-1＜λ＜0）

3.探究工具

平面共线向量定理、向量坐标运算.

4.定义质疑

（1）为什么要求点P是不同于A，B的点，相同了又怎么样？

当点P与点A重合时，λ=0；

当点P与点B重合时，λ不存在，不予研究.

（2）

否，因为向量没有定义除法运算.但可写为（有向线段数量之比），即λ值的一种求法:由内外分点决定λ的正负，绝对值为AP、PB的长度之比.

二、对有向线段定比分点坐标公式的推导过程的探究，感受其自然美

由定义自然地提出：若给出点A，B的坐标，且有一个实数λ使，如何求出点P的坐标？

将向量等式换用坐标表示，定比分点坐标公式自然而得：

因此有向线段定比分点坐标公式的实质是向量坐标运算的应用之一，是把有向线段和分点所具有的图形特征，通过坐标运算表示出来.它反映了分点P、起点A、终点B及λ之间的关系，可以知三求一.接着可安排学生推导线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式.一者可巩固定比分点坐标公式，二者可加深对中点公式和三角形重心坐标公式的理解和记忆.

线段AB的中点P坐标为）；

三角形顶点是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G坐标为.

三、对有向线段定比分点公式的不同推导途径的尝试，感受其变通美

尝试探究不同的推导途径下,公式的几种变通方式：

（1）定义式：（2）投影式：λ=有向线段AP，PB投影在x轴（y轴）上的数量之比，即：

.

（3）坐标式：

（4）向量式：

四、对有向线段定比公式的应用探究，感受其创新美

在对有向线段定比公式的应用探究中，师生可共同研究、探讨、猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明，这不仅是培养学生创新意识的很好途径，同时可让学生感受到数学的创新美，激发学生学习数学、探究数学的兴趣.以向量式的应用探究为例.

（1）直接应用于解题

例1已知A，B，C三点在一条直线上，点O在该直线外，，且存在实数k，使a－2kb+5c＝0成立，求点C分有向线段的比及k的值.

解：依题意，由定比分点向量公式得

又由a－2kb+5c＝0得，

由两向量相等的条件知解得

（2）可进一步推得平面向量共线定理：以同一点C为起点的三个向量的终点A，P，B在同一直线上的充要条件是（其中α，β∈R，α＋β＝1）.（证略）

此定理能给解题带来意想不到的便捷.

例2平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A （3，1），B（-1，3），若点C满足其中α，β∈R，α＋β＝1，求点C的轨迹方程.

解：由平面向量共线定理，当α，β∈R，α＋β＝1时A，B，C三点共线.因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即x+2y-5=0.

例3已知线段PQ过△OAB的重心G，P，Q点分别在边OA，OB上，求

解：根据在△OAB中，M是AB的中点，有，又G是△OAB的重心

又因为P，Q，G三点共线，

五、对有向线段定比公式在其他知识模块的类比探究，感受其和谐美

（1）数列中的定比分点公式

设数列｛an｝是等差数列，ap，am，aq是数列中的三项，且满足

利用这一公式可以简捷地求解某些等差数列问题.

例4在a与b之间插入m个数，使它们按大小顺序组成等差数列，求此数列通项.

解：设a1＝a，am+2=b，通项为an，令b-a）（n=1，2，…，m+2）.

（2）立体几何中的定比分点公式

已知棱台上底面积为s1，下底面积为s2，过棱AB上一点P作截面与上底面平行，且AP∶PB=λ（λ≠-1），设截面的面积为s0，那么s0=（证略）

引导学生思考：AP∶PB=λ改为分成的两部分的体积比为λ或侧面积比为λ，公式是否成立？还有哪些知识模块中可推得相类似的定比分点公式？这些问题可留待同学课后思考、讨论、整理，鼓励通过集体的智慧撰写小论文.

以上对公式外延探究的尝试，说明一方面可以纵向挖掘,巧妙地利用定比分点公式去解决与之结构相似的多种数学问题,另一方面也可以横向延伸,将此公式在其他知识模块中加以类比、沟通，从而获得一种全新的解题理念，沟通了知识间的联系.

事实上，教材的每一节内容都是很好的探究素材，由此，新时期的数学教师应顺应新课改的要求,努力提高自身的数学素养,才能切实做到在教学中，有层次、有坡度地引导学生积极探究，培养学生的数学探究习惯,使学生在探究中感受数学之美，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦,从而达到数学学习的真正目的.

有向图理论论文 篇3

随着现代电子测试技术、微电子技术和计算机技术的进步, 武器装备系统向着自动化和复杂性方向发展。由于系统复杂性提高, 发生事故的严重性也在加强。要提高复杂系统的可靠性, 必须重视故障诊断技术的发展。作为故障诊断领域的一个重要研究分支, 基于符号有向图 (SDG) 的故障诊断方法近年来得到了迅速发展。

1 基于SDG的故障诊断方法

基于SDG的故障诊断主要包括2个环节:建立系统的SDG模型和基于SDG模型的故障定位。文献[2]中引用了一种SDG模型的定义:SDG模型γ由有向图G、节点状态函数φ和支路符号函数Ф组成, 即γ= (G, φ, Ф) : (1) 节点v表示系统元部件, 连接节点的支路e表示元部件间的故障传播路径, 则图G= (V, E) (v∈V, e∈E) , 其中V, E分别表示系统所有的元部件集合和各种连接关系集合; (2) 节点状态函数φ:V→{+, 0, -}, 其中“+”表示节点物理量高于正常值, “-”表示低于正常值, “0”表示变量正常; (3) 支路符号函数Ф:E→{+, -}, 其中“+”表示支路源节点对目的节点的变化方向相同, “-”表示相反。

节点集合的状态值称为模式, 表示系统对应的状态。任何一个节点出现非零状态, 则系统就是故障的。对系统的故障诊断就是利用SDG模型对故障源进行定位。设节点vi∈V, 且φ (vi) =0, 则说明其对应的状态变量出现异常。设支路为Bk与vi连接的一条支路, 节点vi为Bk的源节点, 如果φ (vi) Ф (ek) φ (vi) =+则说明支路ek参与了故障的传播, 称ek是相容的。根据支路的相容性, 采用回溯搜索的方法可实现对故障源的定位。

作为一种定性的数学模型, SDG故障诊断由于其过于简单的因果关系描述, 使得诊断结果的精度较低;对于复杂系统进行SDG建模时, 由于节点和支路数量巨大, 搜索推理的计算量以级数上升, 诊断推理速度缓慢。为克服这些不足, 一些改进的方法被提出, 如:文献[3]提出的一种模糊SDG模型, 通过引入模糊理论对系统变量进行更精细的描述, 采用模糊推理方法提高了诊断精度;文献[4]通过对复杂系统进行功能单元划分, 建立分级SDG模型降低了建模复杂度和减少计算量等等。

由上可以看出, 基于SDG故障诊断的关键在于建模, 通过一套规范化的方法将系统的深层知识, 即它的结构和行为方面的知识, 转化为有向图的形式, 并进一步地描述为计算机可以识别的矩阵形式。此外, 有效的故障源定位方法能大大减少测试诊断时间, 尽快求出诊断解。这种建模-推理的过程是往复循环的:如果诊断结果不符合实际情况, 则需要返回到建模阶段、计算推理阶段进行修正。如此循环, 直至得到精确的诊断结果。

2 便携式故障诊断系统

SDG故障诊断以系统的直观结构特征为出发点, 对系统变量间的因果关系和故障传播路径提供的简要和图形化的描述。作为一种不依赖精确数学模型的智能诊断方法, 具有能够快速建立诊断模型, 依赖在线数据量小, 能够克服知识获取瓶颈的困难等优点。特别适用于设备现场系统级快速诊断, 尤其是野外或缺乏大型专用诊断系统的偏远地区的装设备诊断。图1是一种外场通用便携式故障诊断仪, 基于PXI总线系统框架搭建了硬件平台, 集成嵌入式计算机、信号激励模块、矩阵电路模块、IO模块、示波器模块、多用表与计数器模块、智能探笔模块、电源模块等等。对于特定诊断对象, 采用专用测试适配器以提高信号采集的自动化程度。

该故障诊断仪的软件主要由SDG模型开发平台、TPS开发平台、诊断推理机3个部分组成。各部分主要功能如下:SDG模型开发平台用于创建诊断对象的SDG模型数据库;TPS开发平台用于创建测试程序集。它们均以离线方式工作。SDG诊断测试平台读取SDG模型数据库, 以此建立测试脚本并调用TPS得到UUT的动态状态参数, 以推动搜索算法运行并最终得到诊断结果。软件结构如图2所示:

关于SDG模型搜索算法以及TPS开发, 国内外已进行了大量研究, 如文献[5][6]就各种SDG模型及其搜索方法进行了探讨, 文献[7][8]就TPS开发平台设计与实现给出了指导方案和实现案例。关于SDG模型开发平台, 国外已经在这方面进行了大量的工作并基于G2专家系统上层进行了图形化平台的开发, 价格非常昂贵而且灵活性有限, 国内尚没有对于SDG专用的图形建模平台。下面介绍SDG模型开发平台的软件设计与实现方法。

3 SDG模型开发平台

对于外场便携式通用诊断仪而言, 其诊断对象种类多, 差异大, 不同对象的结构组成、信号流程及操作方法各不相同。这使得仅仅依靠诊断设备研制单位来完成对所有诊断对象的SDG建模几乎不可能实现。因此, 实现诊断仪现场通用性必须依靠具有一定技术经验的技术维护人员自行开发是实现诊断设备现场通用性的必然要求。

一般情况下, 设备维护人员不会对SDG概念非常熟悉, 必须设计一种界面友好的图形开发环境, 使得他们能够依靠其现有知识和技能快速地建立诊断对象的系统原理图模型, 同时为保证SDG模型的正确性, 还需要建模软件能够“智能”地进行检查图形模型的正确性, 并自动地实现图形模型向数据模型的转换。

3.1 功能设计

SDG建模软件应完成以下3个方面的任务:图形建模、SDG模型分析及数据库管理功能。

3.1.1 图形建模

图形建模由图形开发环境完成, 主要实现创建、编辑SDG模型文件。由于建模人员对系统原理图较为熟悉, 因此构成模型的基本元素应该是电路模块或元件。

开发环境应该支持形状创建、修改与删除, 位置调整、外观调整、属性设置、组合、图层等功能。此外还需要提供绘图辅助工具如标尺, 黏附、自动对齐、参考线等。

3.1.2 SDG模型分析

模型分析的目的是将用户创建的图形文件转换成推理机所需的SDG矩阵 (或数据库) 形式, 由SDG模型分析模块完成。实现转换的根本方法是遍历图形文件中的各个元素, 读取属性和连接关系。为了确保SDG模型的正确性, 减少因建模错误导致推理计算无解、模糊解或错误解的情况, 模型分析还应该在转换前依据SDG模型规则对图形文件进行检查, 发现错误进行提示和定位, 协助用户进行修改以建立可靠的模型。

3.1.3 数据库管理

数据库存储了诊断对象的SDG模型, 对于复杂系统而言, 模型数据的记录可能达到上万条。此外, 为实现诊断脚本生成对节点状态需要设置其标准参数和动态范围;为了提高诊断结果的交互性, 还需要装订元部件在实物照片中的位置等等, 这些工作需要一个良好的数据库管理接口, 以实现对海量数据的维护和装订。

3.2 基于Visio的实现

Visio是微软公司发布的一款功能强大的矢量图形软件, 以其独特的模板 (Template) 、模具 (Stencil) 、形状 (Shape) 、拖曳式绘图方式和智能图形技术, 使得即使不具有专业绘图基础的人员, 也能充分利用图形表达自己的思维。除了强大的绘图能力外, Visio还提供自动化 (Automation) 机制, 允许用户自行扩展Visio能力。基于Visio进行SDG建模软件的开发, 可充分利用Visio的强大绘图能力, 开发人员只需集中精力于SDG建模工作中。一般说来, 进行Visio开发主要包括以下几方面工作:设置模板, 设计模具和编程实现功能扩展。

模板用于设置Visio的绘图环境, 包括主题、菜单、模具等等。设置绘图模板就是设置好便于使用的绘图环境并将其保存为文件。进行SDG建模时, Visio将自动的打开相应的模具, 设置好主题、菜单等。

3.2.1 模具设计

SDG建模软件的关键之一在于模具的设计。模具设计的主要工作是设计主控形状 (master shape) 。Visio SDK提供了Shape Studio工具帮助开发人员管理和创建复杂的灵巧形状 (smart shape) , 支持模具管理和形状多态、派生、继承等特性。

SDG模型中有2类基本的形状:节点和路径。其中节点描述了系统中的元部件, 具有状态属性。而路经描述了节点间的连接关系, 具有符号属性。针对常见设备元部件, 设计了具有如图3所示树型结构的形状:

在上面的形状树设计了一类特殊的节点称为“虚拟端点”。如果诊断对象是系统的一部分如分机、单元等, 利用虚拟端点来描述诊断对象与系统其余部分的交互。

将这些形状归类成模具文件以方便管理和使用。利用这些预先设计好的模具, 用户可以方便的依据自身知识, 采用拖放式绘图方法建立起具体设备的原理图。其中自然的暗含了SDG模型中各要素的定义及关系。图4为利用该平台建立的某型雷达装备的SDG模型图。

3.2.2 功能扩展

SDG建模软件需要对用户创建的图形模型进一步地分析, 将模型所描述的节点、节点状态函数、支路符号函数等信息转换成矩证或表格的形式以便于推理搜索软件进行计算推理, 定位故障点;为尽可能减少SDG模型中的错误如孤立节点, 空路径等等, 防止推理计算结果错误, 建模软件还应具备对用户创建的图形模型进行错误检查的能力;当用户创建了新的图形元素时, 能够提示用户设置相关参数, 并自动为其进行编号;此外还有如数据库访问, 装订标准参数, 指示各元素精确位置等等辅助功能。这些工作可以通过Visio自动化来实现。

Visio自动化可通过多种方式实现:VBA宏、COM加载项以及Visio附件。附件包括两种形式:一种是Visio库文件 (.vs文件, 一种Visio专用动态链接库) , 一种是独立的可执行文件 (.exe文件) 。在实现SDG建模软件平台各项功能时, 根据任务特点的不同, 可选择最为合适的方式开发。结合它们的优点。

有的任务仅需要访问图形文件中的形状数据, 如设置节点和路径属性, 判断节点间的路径连接关系等等, 可选择嵌入VBA宏代码来实现。其优点是开发简单, 与Visio结合紧密, 可以方便地被调用。

有的任务需要访问外部数据, 或者需要较为复杂的推理计算, 例如访问数据库, 导入/导出数据, 检查模型错误, 判断孤立节点、悬空或多端路径以及响应用户事件等等, 可选择编写加载项或附件实现。图5为SDG模型分析模块运行时窗口, 它自动分析图形文件中的形状及连接关系, 读取形状属性, 并将其生成为推理机所需的数据库表。

4 结论

对于开发人员而言, 基于Visio建立图形化SDG模型开发平台, 可以避免重复开发功能复杂的绘图平台, 而将精力集中于确定SDG模型规则, 模型的识别以及SDG模型数据库的设计和维护上, 减少了开发成本, 提高了开发效率和软件可靠性。

对于使用人员而言, 该平台较好地解决了图形化SDG建模的难题, 使得熟悉装备的维护人员参与到模型开发过程中, 提高了诊断数据库开发速度, 使得诊断仪应用范围得以迅速扩展, 为真正实现了通用性设计目标打下坚实的基础。

摘要：基于符号有向图 (SDG) 的故障诊断系统不依赖精确数学模型和在线数据, 适用于外场通用故障诊断设备实施现场诊断。建立图形化SDG模型开发平台是实现其通用性的关键。基于Visio的软件实现通过模具设计和功能扩展降低了平台开发成本, 提高了平台运行的可靠性, 也使得现场维护人员可以方便地利用其扩展诊断设备功能。

关键词：符号有向图,定性建模,故障诊断,SDG软件平台

参考文献

[1]吴军强.基于图论的故障诊断技术及其发展[J].机电工程, 2003 (5) .

[2]王伟.基于符号有向图模型的故障诊断方法[J].动力工程, 2007 (5) .

[3]宋其江.基于模糊SDG模型的航天器故障诊断方法研究[J].宇航学报, 2008 (6) .

[4]韩安媛.一种改进型定性建模方法F-SDG[J].探测与控制学报, 2008 (6) .

[5]朱琳.基于模糊概率符号有向图的复杂系统故障诊断[J].北京理工大学学报, 2007 (10) .

[6]翟晓燕.有向图中几类支撑树数目的计算公式[J].运筹与管理, 2000 (1) .

[7]杜舒明.通用电路板自动测试系统的软件结构及实现方法[J].计算机测量与控制, 2008 (8) .

有向图理论论文 篇4

本文未予定义而直接使用的符号和术语可参考文献[1]。

本文主要讨论有限简单的有向图。对于有向图D=(V(D),E(D)),若u是D的一个顶点,则用N+(u),N-(u)分别表示u的外邻点集和内邻点集,d(u)=min{d+(u),d-(u)},δ=min{d+(u),d-(u):u∈V(D)}=min{d(u):u∈V(D)}分别表示D中顶点的度和D的最小度。令Δ′=min{max{d+(u):u∈V(D)},max{d-(u):u∈V(D)}}。D的度序列指D中顶点度的非增序列。对D的两个顶点集S和T,令(S,T)为始点在S中,终点在T中的边的集合。

一个有向图D称为超级-λ的[2],若每个最小边割是平凡的,即是从某点发出的边组成,或发往某点的边组成的。在D中,两个顶点u和v的局部边连通度为$\lambda (u,v)=\min \{\left|(X,Y)\right|$:u∈X⊆V(D)-{v},Y=V(D)-X}。达到最小的这种(X,Y)叫D的λ(u,v)-割。显然λ(u,v)≤min{d+(u),d-(v)}≤Δ′,边连通度为λ(D)=min{λ(u,v):u,v∈V(D),u≠v},当λ(D)=δ(D)时,称D为极大边连通的。当对任意顶点u,v∈V(D),有λ(u,v)=min{d+(u),d-(v)}时,称D为极大局部边连通的[3],简记为mlec。若对任意两个顶点u,v∈V(D),每个λ(u,v)-割都或者是由从u发出的边组成,或者是由发往v的边组成,称D为超级局部边连通的,简记为slec。

对图G,将每条边改为一对来回边得其伴随有向图D=D(G)。注意λ(D)=λ(G),δ(D)=δ(G),λD(u,v)=λG(u,v),d+D(u)=d-D(u)=dG(u)。故以上符号和术语是图中相应符号和术语的自然推广。

1 超级局部边连通有向图的最小度条件

保证图的超级边连通性的度和条件最早由Lesniak给出。

定理1[4] 设G为n≥2阶图,对所有不相邻顶点u,v有d(u)+d(v)≥n,则或者G为超级-λ的或者n为偶数且$G\cong {\rm K}{}_{\frac{n}{2}}\times {\rm K}{}_2$。

这个定理后来被Fiol推广到有向图。用K*m表示m阶完全有向图(即任何两点间恰有一对来回边),用$2{\rm K}{}_{\frac{n}{2}}^{*}$表示这样的n阶有向图D的类:D由顶点集为V1,V2的${\rm K}{}_{\frac{n}{2}}^{*}$的两个拷贝的不交并,适当增加边使得$\delta (D)=\frac{n}{2}$且任意u∈V1,v∈V2满足$d{}_D^{+}(u)=d{}_D^{-}(v)=\frac{n}{2}$。

定理2[5] 设D为n≥2阶图, d(u,v)≥2时d+(u)+d-(v) ≥n,则D是超级-λ的,或者$D\in 2{\rm K}{}_{\frac{n}{2}}^{*}$。

在给出slec有向图的最小度条件之前,先给出:

定义3Sm是满足以下条件的有向图D的类

(1) 存在剖分

$V(D)=X{\displaystyle \cup Y},\left|X\right|=\left|Y\right|=m\ge 2$;

(2) D[X],D[Y]≅K*m;

(3) 存在u∈X,v∈Y,使任意

x∈X＼{u},y∈Y＼{v}满足$\left|(x,Y)\right|=\left|(X,y)\right|=1$;

(4) δ(D)=m。

引理1 设D为有向图,最小度为δ。若D非slec,则存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|‚\left|Y\right|\ge \delta$。

证明 由于D非slec,则存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge 2$。由

可得$\left|X\right|\ge \delta$。类似地考虑∑y∈Yd-(y)可得$\left|Y\right|\ge \delta$。

定理3 设D为n阶有向图,最小度为δ。若n≤2δ,则或者D slec,或者$D\in S{}_{\frac{n}{2}}$。

证明 假设D非slec,则由引理1知存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge \max \{2,\delta \}$,故$\left|X\right|=\left|Y\right|=\frac{n}{2}=\delta$。由引理1的证明知式(1)是等式。式(1)取等号表明$D[X]\cong {\rm K}{}_{\frac{n}{2}}^{*}$,式(1)取等号表明任意x∈X＼{u}满足$d{}^{+}(x)=\frac{n}{2}$,故$\left|(x,Y)\right|=1$。对称地$D[Y]\cong {\rm K}{}_{\frac{n}{2}}^{*}$,任意y∈Y＼{v}满足$\left|(X,y)\right|=1$。故$D\in S{}_{\frac{n}{2}}$。

定义2和定理3用到图上立即有下述定义和定理。

定义3S${}_m^0$是满足以下条件的图G的类:

(1) 存在剖分

$V(G)=X{\displaystyle \cup Y},\left|X\right|=\left|Y\right|=m\ge 2$;

(2) G[X],G[Y]≅Km;

(3) 存在u∈X,v∈Y,使任意x∈X＼{u},y∈Y＼{v}有$\left|(x,Y)\right|=\left|(X,y)\right|=1$且$\left|(u,Y)\right|=\left|(X,v)\right|\ge 1$。

定理4 设G为n阶图,最小度为δ。若n≤2δ,则或者G slec,或者G∈S${}_m^0$。

推论1 设D为n阶有向图(或图),最小度为δ,若n≤2δ-1,则D slec。

2 局部边连通有向图的度序列条件

在有向图极大和超级边连通性的度序列低度端条件方面,已有:

定理5[6,7] 设D为n阶有向图,度序列为

d1≥d2≥…≥dn(=δ)。

(1) D为极大边连通的,如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|$,或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|-1$且对某个整数k,2≤k≤δ,有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\ge \max \{k(n-1)-1,(k-1)n+2\delta -1\}$。 (2) D为超级-λ的,如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|+1$,或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|$且对某个整数k,1≤k≤δ,有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\ge \max \{k(n-1)+1,(k-1)n+2\delta +1\}$。 下面给出mlec和slec有向图的度序列低度端条件。

引理2 设D为有向图,最小度为δ。若D非mlec,则存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge \delta +1$。

证明D非mlec,则存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)使得$\left|(X,Y)\right|<\min \{d{}^{+}(u)‚d{}^{-}(v)\}$。由$d{}^{+}(u)+\delta (\left|X\right|-1)\le {\displaystyle {\sum }_{x\in X}d}{}^{+}(x)<\left|X\right|(\left|X\right|-1)+d{}^{+}(u)$。

可得$\left|X\right|\ge \delta +1$。类似地考虑∑y∈Yd-(y)可得$\left|Y\right|\ge \delta +1$。

定理6 设D为n阶有向图(或图), Δ′=Δ′(D),度序列为d1≥d2≥…≥dn(=δ)。

(1) D slec,如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|$,或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|-1$且对某个整数k, 2≤k≤δ+1,有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\ge \max \{k(n-1)+{\Delta }^{\prime }-\delta -1,\\ (k-1)n+2{\Delta }^{\prime }-1\}。\end{array}$

(2) D slec,如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|+1$或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|$且对某个整数k, 1≤k≤δ,有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\ge \max \{k(n-1)+{\Delta }^{\prime }-\delta +1,\\ (k-1)n+2{\Delta }^{\prime }+1\}。\end{array}$

证明 我们只证明(1);(2)的证明和(1)类似,根据引理1,只需把Δ′-1换成Δ′。假设D非slec,由引理2知存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge \delta +1‚\left|(X,Y)\right|\le \min \{d{}^{+}(u),d{}^{-}(v)\}-1\le {\text{Δ}}^{\prime }-1$,

因此$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|-1$。取S⊆X,T⊆Y为两个k-子集,分别由关联(X,Y)中边数尽可能少的点构成,则有${\displaystyle \sum _{x\in S}d}{}^{+}(x)\le k(\left|X\right|-1)+\max \{0,{\Delta }^{\prime }-1-\left|X\right|+k\},{\displaystyle \sum _{x\in S}d}{}^{-}(x)\le k(\left|Y\right|-1)+\max \{0,{\Delta }^{\prime }-1-\left|Y\right|+k\}$。

若$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge {\Delta }^{\prime }-1+k$,则得矛盾:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\le {\displaystyle \sum _{x\in S{\displaystyle \cup {\rm T}}}d}(x)\le k(n-2)<k(n-1)+{\text{Δ}}^{\prime }-\delta -1$。

若$\left|X\right|\ge {\text{Δ}}^{\prime }-1+k>\left|Y\right|$(或对称地$\left|Y\right|\ge {\text{Δ}}^{\prime }-1+k>\left|X\right|)$,则得矛盾:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\le {\displaystyle \sum _{x\in S{\displaystyle \cup {\rm T}}}d}(x)\le k(n-2)+{\text{Δ}}^{\prime }-1-\left|Y\right|+k\le k(n-1)+{\text{Δ}}^{\prime }-\delta -2<k(n-1)+{\text{Δ}}^{\prime }-\delta -1$。

若$\left|X\right|‚\left|Y\right|<{\text{Δ}}^{\prime }-1+k$,则得矛盾:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k}d}{}_{n+1-i}\le {\displaystyle \sum _{x\in S{\displaystyle \cup {\rm T}}}d}(x)\le k(n-2)+2{\text{Δ}}^{\prime }-2-n+2k<(k-1)n+2{\text{Δ}}^{\prime }-1$。

定理证毕。

在有向图超级边连通性的度序列高度端条件方面,已有:

定理7[7] 设D为n阶有向图,度序列为d1≥d2≥…≥dn(=δ)。则D为超级- λ的,如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|+1$,或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|$且对某个整数k, 1≤k≤δ,有${\displaystyle \sum _{i=1}^k(}d{}_i+d{}_{n+i-\delta })\ge k(n-2)+2\delta +1$。

下面给出slec有向图的度序列高度端条件。

定理8 设D为n阶有向图(或图), Δ′=Δ′(D),度序列为d1≥d2≥…≥dn(=δ)。则D slec如果$\delta \ge \left|\frac{n}{2}\right|+1$,或者$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|$且对某个整数k,1≤k≤δ,有${\displaystyle \sum _{i=1}^k(}d{}_i+d{}_{n+i-\delta })\ge k(n-2)+2{\text{Δ}}^{\prime }+1$。

证明 假设D非slec,由引理1知存在u,v∈V(D)和λ(u,v)-割(X,Y)满足$\left|X\right|,\left|Y\right|\ge \delta$,这样可得$\delta \le \left|\frac{n}{2}\right|$。设S⊆X,T⊆Y为两个k-子集,分别由X,Y中度数尽可能大的k个点构成,则有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{x\in S}d}{}^{+}(x)\le k(\left|X\right|-1)+\lambda (u,v)‚\\ {\displaystyle \sum _{x\in {\rm T}}d}{}^{-}(x)\le k(\left|Y\right|-1)+\lambda (u,v)。\end{array}$

所以有${\displaystyle \sum _{x\in S{\displaystyle \cup {\rm T}}}d}(x)\le k(n-2)+2{\text{Δ}}^{\prime }$。

由于X∪Y含D的k个度数尽可能的点,且不含δ-k个度数尽可能的点,这样我们可得

${\displaystyle \sum _{i=1}^k(}d{}_i+d{}_{n+i-\delta })\le {\displaystyle \sum _{x\in S{\displaystyle \cup {\rm T}}}d}(x)\le k(n-2)+2{\text{Δ}}^{\prime }$,

与条件矛盾。

摘要：证明了超级局部边连通有向图的最小度条件:如果n≤2δ,则排除一类图后,图为超级局部边连通的。此外还给出了极大局部边连通和超级局部边连通有向图的一些度序列条件。

关键词：有向图,极大局部边连通性,超级局部边连通性,度序列

参考文献

[1] Hellwig A,Volkmann L.Maximally edge-connected and vertex-con-nected graphs and diagraphs:survey.Discrete Math,2008;308:3265—3296

[2] Bauer D,Suffel C,Boesch F,et al.Connectivity extremal problemsand the design of reliable probabilistic networks.Theory and Applica-tion of Graphs,Kalamazoo MI,1980,Wiley,New York:1981;:45—54

[3] Hellwig A, Volkmann L. Maximally local-edge-connected graphs and digraphs.Ars combin,2004;72:295—306

[4] Lesniak L. Results on the edge-connectivity of graphs. Discrete Math,1974;8:351—354

[5] Fiol M A. On super-edge-connected digraphs and bipartite digraphs.J Graph Theory,1992;16:545—555

[6] Hellwig A,Volkmann L.Maximally edge-connected digraphs.Aus-tralas J Combin,2003;27:23—32

有向哈密尔顿路问题的研究 篇5

1 有向哈密顿路问题

是一个设G= (V, E) 是一个简单有向图, 其中V={v1, v2, …vn}是G的定点集, E={vivjvi与vj相邻, vi, vj∈V}是G的边集。顶点v的出度等于G从v到其他顶点的边数, 其入度等于从其它顶点到v的边数。恰好经过G中所有顶点一次的路叫做有向哈密顿路, 有向哈密顿路问题就是在G中寻找有向哈密顿路的问题, 这是图论中的一个NP-完全问题, 到目前为止, 图论专家还没有给出一个较好的求解有向哈密顿路问题的充要条件。在电子计算机上解决有向哈密顿路问题的所需时间随着图规模的扩大呈指数增长。

2、Adleman实验

Adleman用分子生物学中处理DNA序列的方法在试管中解决了HPP问题。阿德勒曼解决的是7个城市的HPP问题。这个问题的解决过程分为5步:

第1步:在图中随机找出多条不同的路径。

第2步:从这些路径中筛选出从C1出发并且最后终止于C7的路径。

第3步:对于这个有7个城市的HPP问题, 对上一步选取出来的路径进行再次筛选, 保留只经过7个点的那些路径 (对于有n个城市的货郎担问题, 则筛选出经过n个点的路径) 。

第4步:对第三步筛选出来的路径进行第三次筛选, 选出那些经过每个点的那些路径。

第5步:经过第四步的筛选后, 如果还有路径保留下来, 则这些保留下来的路径就是满足要求的问题的答案;如果经过上边三次筛选后没有路径保留下来, 则说没有找到满足要求的路径。

3、剪接系统 (Splicing System)

与Adleman实验不同, 剪接系统是将剪接运算当作基本算子的一种语言生成器。我们发现, 这种剪接系统可以对Adleman实验给出一个形式化的描述。其中剪接运算是对在限制性内切酶、外切酶、DNA连接酶和DNA聚合酶的作用下, DNA链进行重组过程的数学抽象。即:给定字符集Σ及其上的两个字符串x, y, 利用剪接规则r剪接x和y的过程可以分为:

(1) 剪接规则r决定的位置上切割x和y。

(2) 分别将结果中x的前段和y的后段、y的前段和x的后段连在一起。∑上的剪接规则r是形如α1#β1$α2#β2的词, 其中α1、β1、α2、β2是Σ上的串, $和#是∑外的标记符。

z和w是根据剪接规则r=α1#β1$α2#β2剪接x和y的结果, 当且仅当存在∑上的x1、x1’、y1、y1’使得

且Z=x1α1β2y2’w=y2α2β1x1’

计为: (x, y) ———> (z, w) 。剪接规则r决定了切割的位点和位置;第一项在α1和β1之间, 第二项在α2和β2之间。当然点α1β1和α2β2=会分别在x和y中出现多次, 位点的选择也是不确定的。因此, 对x和y的剪接结果就形成了 (x, w) 的一个集合。

给定一个字符串集A, A哿∑*, 其中∑*是字符集∑上由连接操作生成的字符串集合, 所生成的语言如下方法得到的串组成, 从集合A开始, 在A和已经获得的串上重复使用剪接系统。通常剪接系统x和y得到z和w以后, 仍然可以将x和y当做剪接项。同时, 对新生成的z和w也没有数量上的限制。

该系统 (Splicing System) 有一个严格的数学定义:字母表V上的剪接系统是一个三元组

S= (V, I, R) 其中I是一个初始语言。

是剪接规则集, R的元素为剪贴规则u1#u2$u3#u4, 被记为 (u1, u2;u3, u4) 。

σ= (V, R) 称为H方案, 其中V是字母表, 是剪接规则集。

对一个H方案σ= (V, R) 和一个语言

令我们称该系统运行了k步停止。这样, 该系统产生的语言显然L (S) 是最小集L使得并且如果v, w∈L且S中存在一个规则r使得, 那么。

也就是说经过k步的运算, L (S) 将不再扩充。

4、利用剪贴系统解决7节点的哈密尔顿问题。

对应图1的哈密尔顿系统的剪贴系统S= (V, I, R)

字母表V={Y, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}

规则集R= (T1vi, Y;Vi, T2Y) 其中T1与T2不含相同的字符, 且T1≠ε且T2≠Y

第一步剪接运算

I1'中的词不能进一步的剪接运算, 就是被称为垃圾词。经过第一步剪接运算后得到了

σ (I) =I∪I1∪I1', 根据剪接规则R= (T1vi, Y;Vi, T2Y) 如果不考虑形式化定义, 会发现实际上第一步, 是生成了长度为4的新词, 第二步, 则是生成长度为5的路径, 通过这样的方法, 在第5步, 生成了长度为8的新词 (对应长度为6的路径) 。发现继续下去, 并不会生成新词。

则

该长度为8的新词就是v1v2v3v4v5v6v7Y。

5 用DNA模型解决哈密尔顿问题的复杂度分析

我们发现, 实际上DNA计算仍然在使用图灵机模型或使用与之等价模型为基础的计算模型, 并没有改变NP完全问题的计算复杂度。DNA计算的区别于电子计算机这一线性计算机系统的关键在于, 它的运算单元巨大的可并行性 (试管内可达到1014个分子) , 这种微观尺度下所具有的巨大的计算可并行性, 是任何线性计算系统, 以及基于电子芯片的并行计算, 甚至是基于网络的网格计算所无法达到的。

现有的DNA计算模型是将在电子计算机中时间的复杂度, 转移到试管内DNA分子数量的空间复杂度, 而从现实的角度考虑, 空间的复杂度问题要稍微比时间复杂度的问题容易解决一些, 特别是在微观尺度下的空间复杂度问题。理论上。只要不断的增加试管内DNA分子的数量, 就可以在有限时间内解决更多节点的哈密尔顿路径问题。

1995年, Boneh Dunworth及Lipton[2]利用其构造的分子计算机, 在经过近4个月的时间准备好一种不到1L的含有大量的DNA链溶液后, 在一天之内破解了DES。2002年3月, Braich及Adleman等人用分子计算机解决了含20个变量的32满足性问题[3]。

6、DNA计算存在的缺点

对于复杂问题的编码需要大量的DNA链, 在实际情况下有很大的困难。

DNA计算是基于高分子的化学反应, 在这一过程中可能存在误差, 特别是对于需要循环计算的情况, 误差会不断积累。目前, 对于计算中的错误率的评估尚无有效办法, 因此, 降低了人们对DNA计算可靠程度的信心。

7、小结

DNA计算机的国际会议从1995年开始每年一次, 第一本DNA计算的专著已于1998年问世[4]。目前, 已有多种不同的DNA计算方法被提出并研究[5]。同时, 这些方法也不断被改进和完善[6]。这为DNA计算机及其DNA计算开辟了新的途径。DNA计算是一种关于计算的新的思想方法, 也许这是数学所做的真正本质, 它不用加和减, 而用切割、粘贴、插入和删除, DNA也许是基于这种数学的新型计算机.。因此, DNA计算的研究和探索它在各个方面的应用, 是非常必要的, 也具有重要的理论和应用价值。

摘要：DNA计算是在分子水平上进行的计算, 与传统的基于电子计算机的线性计算系统相比较, 具有如可并发计算、耗能量小等无法比拟的特点。目前的研究主要集中在一些特定问题上, 如NP完全问题, 而这些问题在电子计算机上需要指数时间。本文利用已有的Adleman实验[1]解决有向图哈密尔顿路问题, 给出了剪贴计算模型的形式化模型, 并从算法复杂性角度分析其复杂性。

关键词：DNA计算,哈密尔顿回路问题,算法复杂度

参考文献

[1]Adleman L, Molecular Computation of Solution to Combinato-rial problem[J], Science, 1994, 66 (11) :1021-1024.

[2]Boneh DunworthC, LiptonR.Breaking DES using a molecularcomputer[R], Technical Report CS2TR 2489295, Princeton Uni-versity, 1995.

[3]KariL, DaleyM, GloorG, Siromoney R, LandweberLF.How tocompute with DNA[J], LNCS, 1999, 1 738:2692282.

[4]Paun G, Rozenberg G, Salomaa A.DNA Computing--NewComputing Paradigms.Berlin Heidelberg:Sp ringer-Verlag, 1998.

[5]Smith LM, Corn R M et al.A surface-based approach to DNAcomputation.Journal of Computational Biology, 1998, 5 (2) 255-267.

有向图理论论文 篇6

信号的波达方向 (DOA) 估计是空间谱估计的一个重要研究内容, 由于有向天线阵列对波束范围内的信号增益比较大, 具有比较理想的测向效果, 尤其适合对微弱信号的测向, 因此其应用范围非常广泛, 研究有向阵列的测向问题具有重大的理论和现实意义。极化矢量是信号的一个重要参量, 它包含了信号的极化信息, 许多问题都可以从极化入手。这里主要研究均匀圆阵对椭圆极化波的测向问题。

1 问题分析和接收信号模型

1.1 对信号的极化分解

依据信号在空间内建立坐标系, 将信号传播方向 (圆阵中心与信源的连线方向) 在天线阵列所在平面上的投影作为Y轴, 与Y轴垂直的方向作为X轴, 垂直天线阵列所在平面向上的方向作为Z轴, 如图1所示。

将信号的瞬时极化向量在3个坐标轴上分解, 得到3个线极化信号, 这些信号传播方向不变, 极化方向分别是3个坐标轴方向。由于组阵所用天线为水平极化天线, 因此Z轴极化的信号分量在天线阵列上没有响应, 其余2个信号分量有响应, 但天线阵列对它们的增益不同, 设天线阵列对X轴极化的信号分量和Y轴极化的信号分量的增益分别为ci和di (i=1, ……, m) 。设极化椭圆在信号到达第1个阵元时的相位为xw1, 显然它是一个时变的量。设极化椭圆的倾角为τ, 极化率角为ε, 信号的方位角为θ (信号方向在天线阵列所在平面的投影与某固定方向的夹角) , 俯仰角为φ (信号方向与天线阵列所在平面夹角) 。阵列结构示意图如图2所示。

于是可以得到信号到达各个阵元时的初始相位为:

式中, r为圆阵半径;fc为信号中心频率;ang为相邻2个天线之间的夹角。设极化椭圆的长轴和短轴构成的直角三角形的斜边长为1, 进而得到信号的瞬时极化分量在X轴、Y轴、Z轴上的分量大小分别为:

式中, i=1, ……, m, 表示阵元序号。

1.2 阵列对信号的接收模型

由于信号能量随时间变化相对稳定, 故各分量的归一化结果分别为undefined、undefined和undefined, 于是此时各个阵元的接收为:

式中, sigi表示第i个阵元的相位突变判决符号, 取0表示相位无突变, 取1表示相位有突变;j为虚数单位;undefined;S (t) 表示信号;N (t) 表示噪声;wi为第i个阵元相对圆心的相位差,

wi=2πrfccos (θ- (i-1) ang) cosφ/c。

2 基于增益比估计的MUSIC算法

对Xi (t) 进行化简得:

由于阵列流型前各阵元的系数不同, 接下来设法由接收数据获得各阵元的增益比信息, 进而用MUSIC算法进行求解。先观察系数的构成, 即Ci (cicji+didjicos (sigiπ) ) , i=1, ……, m, 其中只有xwi (可归结到xw1) 这一项是时变量, 剩下的参量都只与阵元序号有关。xw1随时间t变化关系如下:

xw1=2πtfc/fs+xw0。

式中, xw0为初始时刻的极化相位。

2.1 数据分选

要完全消除xw1随时间t变化对增益比的估计造成的影响是不可能的, 只能尽量减小它的影响。而为使用MUSIC算法, 又需要多组含有相近增益信息的数据。先定义一个足够小的区间, 使xw1在该区间内变化对增益造成的影响足够小, 从而不至于导致后续步骤产生过大误差。由xw1=2πtfc/fs+xw0可筛选出xw1在哪些时刻落入选定的区间, 从而确定一组时刻序列, 然后用这组序列对数据进行筛选, 获取一组新的数据, 这组数据包含的各阵元增益不再随时间产生很大的变动, 而是相对稳定。

2.2 增益比估计

现在求解各个阵元的增益比。先将该问题进行简化:未知正增益z1、z2、……、zm, 未知信号s和噪声n1、n2、……、nm均为行向量, 但噪声与信号、噪声与噪声之间相互独立, 且噪声零均值并具有相同的方差, 记为σ2, 信号均方值记为J。得到接收数据为:

求解z1:z2:……:zm。

解决方案如下:求X的相关矩阵Y=XXT/m, 对Y进行化简得:

从而取Y (1, 1) 、对角元Y (p, p) 以及Y (1, p) 就可以解出z1:zp, 其中2≤p≤m。

undefined

重复进行即可求出z1:z2:……:zm。

现实中的问题是:系数undefined在sigi取1时可能会出现负值的情况, 所以用上面的方法只能求出各阵元的增益比的模, 仍需进行符号的判断。在噪声不是太大的情况下, 先对数据进行整体上的判断, 分别对每个阵元, 统计其实部为正的个数, 过半的记为1, 不过半的记为-1, 于是得到符号标识lab11:lab12:……:lab1m。要在lab1中去掉exp (-jwi) 的影响, 从而得到各阵元增益的符号比, 所以在进行角度搜索的时候, 对每一个方向角和仰角的组合, 计算其各个阵元上的exp (-jwi) 的符号, 得到符号标识lab21:lab22:……:lab2m。这样就进行了符号的校正, 结合前面得到的各阵元的增益比的模z1:z2:……:zm, 可以求解出各阵元的增益比为:

lab11lab21z1:lab12lab22z2:……:lab1mlab2mzm。

2.3 基于增益比估计的MUSIC算法

窄带远场信号的数学模型为:

x (t) =A (θ, φ) s (t) +n (t) 。

阵列数据的协方差矩阵为:

R=E[x (t) xH (t) ]=A (θ, φ) RSAH (θ, φ) +σ2I。

式中, RS为信号的协方差矩阵, 由于信号与噪声相互独立, 数据协方差矩阵可分解为与信号、噪声相关的2个部分, A (θ, φ) RSAH (θ, φ) 为信号部分, 对R进行特征分解有:

R=UsΣsUHs+UnΣnUHn。

式中, Us是由大特征值对应的特征向量矩阵, 其列向量张成信号子空间;而Un为小的特征值对应的特征向量矩阵, 其列向量张成噪声子空间。这里的信号子空间和噪声子空间实际上就是接收数据协方差矩阵的列空间和零空间, 由矩阵理论可知二者相互正交。又由于窄带信号的包络在阵列孔径过渡时间内可以认为是近似不变的, 所以阵列对来波方向为 (θ, φ) 的信号的采样快拍向量为:

s (t) [lab11lab21z1e-jw1, lab12lab22z2e-jw2, …,

lab1mlab2mzme-jwm]=s (t) a (θ, φ) 。

于是信号子空间可以认为是由a (θ, φ) 张成, 即Us的列向量张成的空间与a (θ, φ) 张成的空间是一样的, 都是信号子空间, 所以a (θ, φ) 与Un正交, 即

aH (θ, φ) Un=0。

定义空间谱函数为:

undefined。

从而通过谱峰搜索来对来波方向进行估计。

3 仿真实现

仿真结果如表1所示。仿真用信号为FM信号, 信噪比为0 dB, 带通采样频率为80 kHz。

从表中可以看出, 测向准确度较高, 在信号信噪比为0 dB的情况下测向误差一般不超过2°。其中信号频率为263.109 7 MHz, 来波方向方位角为104°、俯仰角为39°时的测向结果如图3所示。

从图中可以看出, 当俯仰角大于80°时, 方向角已经不太好判断。这其实是有现实依据的, 当俯仰角很大时, 方向角确实已经很模糊, 不好判断, 直至到达90°, 此时已经完全无法分辨方向角。这也从一个侧面说明了仿真的正确性, 更加印证了算法的可靠性。

4 结束语

在对信号极化分解的基础上, 建立了信号接收模型, 并基于增益比估计用MUSIC算法对模型进行了求解。通过仿真实验验证了算法的可行性, 并且达到了较高的测向精度, 在理论上较好地解决了有向天线阵列对椭圆极化信号的测向问题。当然, 实际情况要比建立的模型复杂得多, 解决工程实践问题还要结合实际情况具体分析。另外, 算法运算量较大, 数据利用率不高的问题还需进一步改善。

摘要：针对有向天线阵列对椭圆极化信号的测向问题, 对椭圆极化信号的瞬时极化矢量做了空间分解, 建立了有向天线阵列对信号的接收模型, 提出了基于增益比估计的MUSIC算法:筛选接收数据, 得到一组含有相近的极化信息的数据;通过参数估计提取出该组数据中所包含的各阵元的增益比信息;应用MUSIC算法测向。就该算法进行了计算机仿真, 验证了算法的可行性, 并分析了仿真结果, 指出了算法的优点与不足。

关键词：椭圆极化,极化分解,参数估计,MUSIC方法

参考文献

[1]徐振海.极化敏感阵列信号处理的研究[D].长沙:国防科技大学博士论文, 2004:11-14.

[2]刘刚, 吕新华, 攸阳.阵列信号处理中基于MUSIC算法的空间谱估计[J].微计算机信息, 2006, 22 (4) :302-304.

[3]李炳荣, 曲长文, 平殿发.基于MUSIC算法的圆阵测向技术研究[J].弹箭与制导学报, 2007, 27 (1) :207-210.

有向图理论论文 篇7

关键词：分簇路由协议,无线传感器网络,有向天线,能量节省,定向传播

0 引言

无线传感器网络(WSNs)技术发展迅猛得益于近年来传感器和无线通信技术的进步。无线传感器网络中的节点可以同邻居节点通信或者和基站直接通信,大量的节点使得对于大面积区域的感应和监控精确化成为可能。每个节点都可以把感应到的物理信息高效地转化为数字信息,并且根据需要决定是否融合其他节点数据,或者发送自身数据到特定的邻居节点或者是基站。 用户可以通过基础设施或者Internet连接到无线传感器网络来取得所需的信息。但是WSNs有一些特定限制,比如:有限的能量供给,有限的计算能力和有限的连接传感器的无线链路带宽,而且在很多WSNs的应用领域中对路由协议中能量消耗提出了很严格的要求,比如,众多的传感器通常用飞机随意地分布在恶劣的或不可到达的环境中,所以人为更换电池是不可能的。这些因素使得本文由算法的主要目标是在保证有效通信的基础上,尽量地延长无线传感器网络的寿命。

1 无线传感器网络基本概念

无线传感器网络由大量传感器节点和一个或者多个基站(汇聚节点)构成,基站相当于是节点与其它网络通信的网关,众多的传感器采集到需要的数据信息发送到基站,基站根据用户需要把不同的数据发送到不同的用户网络或者终端。但是,传感器节点能量非常有限,如果所有节点和基站直接通信将导致远离基站的节点迅速的死亡,如图1所示。反之,单纯的采用多跳的路由方法也不理想,因为最接近基站的节点会因路由大量收到的数据而很快死亡,从而导致后来到达的数据不能传给基站。在众多无线传感器路由方法中,分簇路由算法在节省网络能量,提高网络寿命,减少数据冗余方面有非常明显的优势。

2 无线传感器网络中的分簇路由算法

2.1 最基础的分簇路由算法

为了解决传统路由算法中的远节点或者近节点过早死亡的问题, LEACH(Low-Energy Adaptive Clustering Hierarchy)[1]——一种最基本的分簇路由算法被提出,如图2所示。

应用这个协议的网络首先随机选择一些节点成为簇头,簇头主要功能是融合簇内节点传来的信息,然后把数据发送给基站,LEACH在簇内使用TDMA方式在簇外使用CDMA方式来避免内外信道的冲突。 然后别的非簇头轮流成为簇头从而达到网络中各节点能量的平均消耗的目的。并且在实验仿真中,只有5%的节点会成为簇头。

LEACH的实现分为建立阶段和稳定阶段。建立阶段,网络中的节点簇开始形成,随后一小部分节点会被选择为簇头。在这个阶段中,每个成员节点由一个成为簇头的概率p,p对于每个节点是一个随机分布在0和1之间的数。如果这个值小于一个门限值T(n),这个节点就成为这一轮的簇头,这个门限值计算公式如下:

undefined

其中G代表在前1/p轮中没有成为簇头的节点数目。 每个新产生的簇头向网络发出广播宣告,接收到这些宣告的成员节点根据宣告信号的强弱来决定自己将加入哪个簇。当所有簇完全形成以后,每个簇头给自己簇内的节点分配一个TDAM中的时隙,然后把这个分配信息发布到簇内。在簇头之间,不同的簇头使用不同的CDMA伪码来避免簇头之间的干扰。稳定阶段,成员节点把信息传送给簇头,簇头对数据进行压缩和融合,然后发送给基站,在经过一段特定的时间后,系统回到建立阶段重新确立新的簇和新的簇头。

由于在无线传感器网络中数据都是集中收集和处理的,所以LEACH协议非常适用于需要连续监控的无线传感器网络。LEACH虽然能延长网络的寿命,但是不适用于大型的无线传感器网络。 而且动态的进行簇头更换会产生过多的通信开销。最后LEACH认为每个节点完全一样,所以它也不适用于节点资源状况相差较大的无线传感器网络。

3 使用有向天线的定向分簇路由协议

3.1 有向分簇路由算法

3.1.1 定向分簇路由的引入

由图2可以发现,在传统的无线传感器网络分簇路由算法中,簇头几乎都是处于簇群的中间,簇头承担了分布在四周成员节点交互的任务。在网络初始化,以及簇头轮换的时候,新成为簇头必须全向搜寻附近的成员节点。与此同时,成员节点也会全向地搜索最强的簇头信号。在这个阶段,相当的能量消耗在信号的搜寻,发送,接收中。在网络稳定阶段,成员节点使用全向天线向簇头发送数据,而簇头一般只固定在一个区域内,造成了能量在非簇头的方向上的浪费。

由于一般一个传感器网络有一个BS固定在网络边缘,不同节点和BS距离可能具有相当的差异,同时不同的簇头距离BS的距离也会具有相当的差异。远离BS区域,即使有簇头轮换策略,节点的平均寿命也会远低于距离BS近的节点群的平均寿命。本文在利用有向天线的基础上引入了基于被覆盖程度的多级分簇路由的概念。

3.1.2 定向分簇路由的基本算法

由图3可见,基站处于网络边缘某个固定的方位,所有节点都配备有向天线。在网络初始化的时候,所有节点已经得知BS的方位(图3中在南方向)。最远离BS区域的每一个节点开始以角度α向基站方向发出广播。节点天线的发送范围不超过一定的直径S,首先是为了能量的节省,其次保证簇形成相互不干扰。由图3可见,离BS更近的区域节点受到了远离BS区域节点的广播覆盖。被交叉覆盖最多的节点成为这些发送范围覆盖它的节点的簇头,在图3中,中间灰色的节点成为覆盖它的白色节点的簇头(一级簇头)。当然,也有在一级簇头附近区域由于被覆盖程度低,不会成为簇头的成员节点,这些节点和一级簇头一起用同样的原理向BS方向定向的发出广播,更具覆盖程度,在离BS更近的区域中形成新的簇头,在这类簇头中,如果成员节点中有一级簇头的,则自身会成为二级簇头(图3中的黑色节点),如果成员节点中没有一级簇头的,则自身成为一级簇头。这样从到BS的距离一层一层的形成簇群,和级别不同的簇头,一直到发射范围可以覆盖到BS的节点为止。并且,靠近BS的成员节点可以直接和BS通信以达到更好的通信效率。在网络路由稳定以后,具体数据的采集,传输,融合原理和LEACH一样。 同时,二级以上的簇头,不但要接收和处理簇内成员节点的数据,还要处理上一级节点的已融合数据。

3.1.3 簇头轮换配置策略

在网络中可能出现在同一区域中覆盖情况一模一样的相邻节点,这些相邻的节点在簇头轮换时采用和LEACH中的轮换法则。但是由于在同一区域中只有有限的节点具有很高的覆盖率,如果簇头的轮换只是局限在这些高覆盖率之间的节点中,这些节点将很快的死亡,所以当这些节点平均能量低于某个门限值的时候,则簇头会轮换到同区域中覆盖范围较低的节点。这是网络路由会发生改变,由于较低覆盖率的节点成为簇头,所以在同一区域内有更多的节点成为簇头。

3.1.4 算法中不同参数的配置策略

在本文此算法中,出现了两个非常关键的参数:(1)天线的角度α。(2)天线覆盖的范围S。对于第一个参数,由于在无线传感器网络中,节点的分布非常的不固定。比如在信息丰富的敏感区域,节点分布很密集,而在信息相对贫乏的区域节点分布密度会比较低。针对不同的分布密度,α取值不一样,节点密度高的时候α值比较小,这样在簇群的形成过程中通信开销会大大减小,同时在网络稳定传输阶段,传输需要的开销相应的减小。在节点密度较低的时候α的值变大,这样保证有效的覆盖,和簇群数目的合理性。同时减少了“单对单”簇群的极端情况出现。

第二个参数S的选取应该也根据节点的分布密度控制在一个合理的范围内(γ≤S≤β),过大的覆盖直径不但会带来能量过度的开销,还会引起簇群形成时的混乱,比如多层交叉成为同一个簇群,使得网络形成阶段和重组阶段反而消耗更多的能量。而过小的覆盖范围使得节点间通信范围严重缩小,使得算法趋近与传统的PEGASIS。在本文算法中,覆盖范围也主要取决于节点的分布密度,密度大时,S适当的小,密度大时,S适当的大。

3.1.5 算法的性能优劣估计

此算法基于有向天线的方向性来形成簇群和簇头。首先,由于大部分时间的数据传输都是固定在一个方向范围内进行,比起全向天线,传输一单位数据的能量大大的减少。其次,在根据网络中节点分布密度,采用合理的参数(α,S),簇群的形成和重组过程中根据以上的基本算法,通信开销会大大的减少。在此基础上,网络的中节点的能量消耗会更加的平均。因为在此算法中,成员节点只和下一跳的簇头通信,簇头在向BS传送数据时实际上也只是把数据传送给下一跳的级别更好的节点。靠近BS的成员节点可以直接和BS通信,如图3所示,近一步减少了靠BS最近的区域中簇头的能量的消耗。所以网络中的所有节点可在减少自身能量开销的同时,他们之间能量开销速率的方差也大大的减小,达到了最大程度延长网络寿命的目的。最后,由于参数配置上的灵活性,此算法可以适用于不同拓扑的无线传感器网络。

由于每个节点头配置有向天线,网络会具有更高的网络构建成本。但是,在被搜集信息的价值程度远远超过网络构建价值,并且需要网络长期无维护的运行情况下(比如在敏感军事区域的长期信息搜集,或者外星球的环境监测,具有高发射成本,网络只有一次构建的机会),本算法非常有利于网络长期运营成本的节省,以及网络运行能力的提高。

4 结束语

有向图理论论文 篇8

支持向量机SVM是一种基于统计学习理论的分类方法[1]。最初，SVM仅用于两个类别的分类问题，但在实际应用中，多个类别的分类问题更为普遍，因此如何将SVM有效地推广到多类分类已经成为该领域的研究重点。目前常用的SVM多类分类算法有:一对多支持向量机OAA-SVM(one-against-all support vector machine)[2]、一对一支持向量机OAO-SVM(one-againstone support vector machine)[3]、有向无环图支持向量机DAG-SVM(directed acyclic graph support vector machine)[4,5,6]、直接多分类支持向量机D-SVM(direct multi-classify support vector machine)[7]、纠错输出编码支持向量机ECOC-SVM(error correcting output code support vector machine)[8]、二叉树支持向量机BT-SVM(binary tree support vector machine)[9,10]等。其中，应用最为广泛的是一对一支持向量机，但是该算法存在不可识别区域，分类效率不高，以及样本不平衡等问题。有向无环图支持向量机克服了一对一支持向量机存在不可识别区域的缺点，提高了分类效率，但是没有解决样本不平衡的问题。新出现的双支持向量机TWSVM(twin support vector machine)[11]不同于标准的支持向量机模型，它通过求解两个小规模二次规划问题，得到分别对应于两类样本的两个超平面，不仅计算速度快，还可以通过调整参数有效地解决样本不平衡的问题，并且能够进一步提高分类效率。

因此，本文结合双支持向量机和有向无环图支持向量机的优点，提出一种有向无环图-双支持向量机DAG-TWSVM(directed acyclic graph and twin support vector machine)多类分类方法，利用有向无环图支持向量机解决了一对一支持向量机存在的不可识别区域问题，且提高了分类效率;同时，利用双支持向量机克服了一对一支持向量机和有向无环图支持向量机共同存在的样本不平衡问题，并且极大缩短分类器的训练时间，进一步提高了分类效率。本文通过UCI机器学习数据库和Statlog数据库中的数据集进行实验验证，从分类准确率和训练所用时间两个方面说明本文所提出的算法在处理大规模数据多类别分类问题时具有较好的时间优势，且分类正确率较高。

1 双支持向量机

双支持向量机TWSVM由Jayadeva等人提出，将一个二次规划问题分解为两个简单的二次规划问题，每个二次规划问题的约束条件仅由相应类别的样本数据构成，通过寻找两个不平行的超平面将两类样本分开[11,12,13]。双支持向量机求解如下两个二次规划问题:

其中A表示m1个正类样本，B表示m2个负类样本，c1,c2>0为惩罚因子，e+,e-为相应维数的单位向量，ω+，ω-和b+,b-分别为两个超平面的法向量和偏移量，ξ和η为松弛变量。对式(1)、式(2)引入拉格朗日乘子，上述问题可以描述为:

其中G=[Be-],H=[Ae+],P=[Ae+],Q=[Be-]，α∈Rm2，β∈Rm1为拉格朗日乘子。

通过求解α和β便可得到两个不平行的超平面。

对于非线性情况下，通过引入核矩阵K(xT,CT)=Φ(xT)Φ(CT)，用ω+=CTu+和ω-=CTu-代替ω+和ω-，得到对应的两个不平行分类平面为:

其中CT=[AB]T。

对新样本x0，分别计算其到两个超平面的垂直距离，如果它到正类超平面的距离小于它到负类超平面的距离，则它属于正类，否则属于负类[14,15,16,17]。

在两类分类问题中，双支持向量机的时间复杂度仅为标准支持向量机的时间复杂度的1/4。标准支持向量机的时间复杂度不超过O(m3),m为样本数目，则对双支持向量机而言，每类样本数目均为2m，解式(1)、式(2)两个规划问题的时间复杂度为。当两类样本数目差别较大时，即所谓的“样本不平衡问题”，在传统支持向量机的分类问题中，样本数目较小的类别难以被正确分类，分类器性能下降，得到的分类器具有很大的偏向性。即对小数目样本的类别识别率远远低于大数目样本的类别。双支持向量机对错分的两类样本赋予不同的惩罚因子，解决了标准支持向量机处理此类问题面临的样本不平衡问题。因此，利用双支持向量机既能解决样本不平衡问题，又能大大缩短样本训练时间。

2 有向无环图支持向量机

有向无环图支持向量机DAG-SVM采用图论中的有向无环图思想，将多个两类支持向量机组合成多分类支持向量机。对于k类问题，DAG-SVM构造个二分类支持向量机，分布于k层结构中，拓扑结构如图1所示。顶层仅含一个节点，称为根节点，第i层含i个节点，第k层即最底层含k个叶子节点，其中第j层的第i个节点指向第j+1层的第i个和第i+1个节点。每个内部节点都是一个二分类器，叶子节点为最终的分类类别。对测试样本进行分类时，从根节点开始，根据根节点分类器的输出值，判定走左侧或右侧子节点，再根据相应子节点分类器的输出值，继续行进，直至走到某一叶子节点，即得到该类测试样本的类别[4,5,6]。DAG-SVM无需遍历所有的二分类SVM，决策速度相比一对一和一对多的投票方法更快，同时优化了训练和决策时间，较一般的决策树方法更易计算，学习效果较好，且不存在不可分区域，解决了样本数目不对称问题。但该方法需要构造的二分类SVM较多，对于类别数目较多的分类问题，训练速度较慢。

3 有向无环图-双支持向量机

本文结合双支持向量机和有向无环图支持向量机的优点，提出一种基于双支持向量机的有向无环图多分类方法———有向无环图-双支持向量机DAG-TWSVM。该方法的基本思想是采用有向无环图的决策方法将k分类问题分解为个二分类问题，然后采用双支持向量机将每个二分类问题分解为求解两个简单的二次规划问题。

3.1 有向无环图-双支持向量机的构造方法

对k类问题，构造个双支持向量机。首先根节点将第一类训练样本标记为+1，第k类训练样本标记为-1，构造第一个双支持向量机T11，得到两个不平行的超平面H1k和Hk1。在有向无环图的第二层，构造两个双支持向量机。该层第一个双支持向量机将第二类训练样本标记为+1，第k类训练样本标记为-1，该双支持向量机记为T21，得到两个不平行的超平面H2k和Hk2。该层第二个双支持向量机将第一类训练样本标记为+1，第(k-1)类训练样本标记为-1，该双支持向量机记为T22，得到两个不平行的超平面H1(k-1)和H(k-1)1。以此类推，在有向无环图的第i层，构造i个双支持向量机。第i层的第一个双支持向量机将第i类训练样本标记为+1，第k类训练样本标记为-1，该双支持向量机记为Ti1，得到两个不平行的超平面Hik和Hki。第i层第j个双支持向量机将第(i-j+1)类训练样本标记为+1，第(k-j+1)类训练样本标记为-1，该双支持向量机记为Tij，得到两个不平行的超平面H(i-j+1)(k-j+1)和H(k-j+1)(i-j+1)。第i层第i个双支持向量机将第一类训练样本标记为+1，第(k-i+1)类训练样本标记为-1，该双支持向量机记为Tii，得到两个不平行的超平面Hi(k-i+1)和H(k-i+1)i。图2所示为有向无环图-双支持向量机的构造示意图。

3.2 有向无环图-双支持向量机的算法描述

有向无环图-双支持向量机训练过程算法描述如下:

(1)初始化i=1,j=1。

(2)if i<k,j≤i，构造双支持向量机并求解两个二次规划问题。

A表示第(i-j+1)类训练样本，B表示第(k-j+1)类训练样本，ei-j+1,ek-j+1为相应维数的单位向量，c1,c2>0为惩罚因子，ωi-j+1，ωk-j+1和bi-j+1,bk-j+1分别为两个超平面的法向量和偏移量，ξ和η为松弛变量。

(3)由步骤2得到的(ωi-j+1,bi-j+1)，(ωk-j+1,bk-j+1)确定两个不平行的超平面H(i-j+1)(k-j+1)和H(k-j+1)(i-j+1)。

(4)if j≠i,j=j+1，返回至步骤2。

(5)else j=0,i=i+1，返回至步骤2。

对于给定的测试样本x0，从根节点出发，计算每个节点的决策函数值，如为1，则向左进入下一节点，如为-1，则向右进入下一节点，在最后一层的叶子节点输出该测试样本的类别。

4 实验与分析

本文所有实验均在Intel(R)双核i5-2400 3.10GHz CPU,4GB内存的PC机上进行，使用软件为Matlab7.11，采用Libsvm工具箱对数据进行训练和分类[18]。本文选用UCI机器学习数据库中的Iris,wine,glass,vowel四个数据集和Statlog数据库中的vehicle,segment,dna,satimage,letter,shutter六个数据集，每个特征数据均归一化至[-1,1][19]。从分类准确率和训练所用时间两个方面对本文所提出的算法和传统多分类支持向量机进行比较。数据集基本描述如表1所示。

对未提供测试样本的数据集，本文采用十折交叉验证方法。即将样本数据随机分为十组，其中九组作为训练样本，另一组作为测试样本，重复实验十次，使每组数据均作为一次测试样本。不同的参数设置对分类结果有一定的影响，采用网格搜索法进行参数寻优，核函数采用径向基核函数。对惩罚因子C=[2-2,2-1，…，212]和径向基核参数σ2=[2-10,2-9，…，24]，采用训练样本数据中的九组数据进行训练，对另一组进行测试，选择十折交叉验证平均分类精度最好情况下对应的(C，σ2)作为最优参数。对训练过程中的每类两类问题，如果l1类和l2类样本数目差别较大，则令。即对大数目样本类别赋予较大的惩罚因子，而对小数目样本类别赋予较小的惩罚因子。采用最优参数进行十折交叉验证，取十次实验的平均值作为最终的分类精度。

对已提供测试样本的数据集，由于惩罚因子C=[2-2,2-1，…，212]和径向基核参数σ2=[2-10,2-9，…，24]可组成15×15=225种组合，对每种(C，σ2)组合，取训练样本中的70%进行训练，并对训练样本中剩余的30%进行测试，通过比较225种(C，σ2)组合得到的分类正确率，取使分类精度最高的(C，σ2)作为最优参数。采用最优参数对所有的训练样本进行训练，将得到的训练模型用于测试样本数据。表2、表3分别为采用径向基核函数时一对多(OAA)，一对一(OAO)，有向无环图支持向量机(DAG-SVM)和本文所提出的有向无环图-双支持向量机(DAG-TWSVM)的平均分类准确率和平均训练时间。

对每个数据集，分别随机选取该数据集训练样本的10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%以及全部训练样本即100%作为训练样本，分别采用OAA、OAO、DAG-SVM和DAG-TWSVM方法对不同百分比的训练样本进行训练，得到对不同数量训练样本的训练时间，该实验重复进行十次，取十次实验的平均值。对同一数据集，随着样本数目的增加，训练时间相应增加。在10%的训练样本条件下，分别对OAA、OAO、DAG-SVM和DAG-TWSVM的十个样本的平均训练时间再次进行平均，即得到在该条件下的平均训练时间。同理，依次求出20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%及100%训练样本下各SVM方法的平均训练时间，图3所示为样本数目与训练时间关系图。

从表2、表3和图3可以看出，当使用径向基核函数分类器时，在所有数据集上，本文所提出的有向无环图-双支持向量机(DAG-TWSVM)在分类正确率和训练时间上均优于OOA、OAO和有向无DAG-SVM)，特别是在训练样本较为庞大时，DAG-TWSVM在保证分类正确率的基础上更能显示出训练时间上的优越性。因此，DAG-TWSVM特别适合解决大规模多分类问题。

为验证DAG-TWSVM在不平衡样本下的分类精度，进行如下实验:任一数据集中的训练样本，对其中一个类别的训练样本随机抽取10%作为该类别的训练样本，其他类别保持不变，可得到在该训练样本下的训练模型，采用该模型对测试样本进行分类，可得使用该模型的分类精度。同理，对该数据集中另一训练样本随机抽取10%，其他类别保持不变，生成训练模型，测试后得到分类精度。依次类推，直至该数据集中的每类样本均经过10%的随机抽取。若数据集含k个类别的训练样本，则进行k次抽取，每次抽取仅改变一个类别的训练样本数目，其他类别不变，取k个分类精度的平均值作为该数据集在样本不平衡条件下的分类精度。对每个数据集构造样本不平衡数据集，并分别采用OAA、OAO、DAG-SVM、DAG-TWSVM对所构造的不平衡数据集进行训练并对测试集进行分类，求得四种分类方法对各数据集的平均分类精度。其分类精度如图4所示。

从图4可以看出，在不平衡样本集情况下，DAG-TWSVM的分类精度优于OAA、OAO和DAG-SVM。

5 结语