数学学习方法点拨

数学学习方法点拨（共8篇）

数学学习方法点拨 篇1

所谓“点拨”, 即在课堂教学中, 教师遵循教学的客观规律, 适时巧妙而灵活地启发、诱导学生的学习活动, 帮助学生学会动脑思考和动口表达, 使其生动活泼、轻松愉快地得到发展的一种教学手段, 也是一种教学艺术。研究数学教学中点拨的功能、特点和方法, 探究点拨艺术的内涵, 对于提高课堂教学效率、发展学生数学素质是大为有益的。

一、点拨的功能

1. 解难功能。

学生在学习过程中总会遇到这样那样的疑难。如直解其难, 则难使学生留下深刻印象, 而有针对性地进行点拨, 可促使学生借助教师的帮助, 依靠自己的努力而突破难点。诸如, 一个形象的提示, 可使学生找到解决问题的突破口;一个生动的比喻, 可促使学生产生顿悟;一个简单的演示, 可活化解决问题中所描述的情境;一个有机的复习, 可架起新旧知识间的桥梁。

2. 引正功能。

教学中常见学生思维偏差, 以点拨进行微调, 可引正思路, 使其少走弯路。诸如, 一个“故错”的运用, 可使学生心领神会而进行自我调控;一个体态语的暗示, 可让学生恍然大悟而进行自我调整;一个小问题的穿插, 可让学生发现偏差而进行自我矫正;一个小故事的引入, 可使学生明白内容而进行仿效。

3. 拓展功能。

小学生易片面理解学习内容, 机械运用数学知识, 巧用点拨, 可诱其变更思维角度, 拓展思维空间。若其思考拘泥于某一种解法, 可由一点生发, 拓展开来, 进行多层次探究;若其思考拘泥于某一方向, 可由一点发散, 铺展开来, 引导进行全方位探索;若其运用知识拘泥于某一形式, 可由一点延伸, 不断开拓, 以促使学生进行独立性运用。

4. 整合功能。

小学生由于缺乏驾驭知识的能力, 对所学知识难以形成清晰的条理和整体的印象, 运用点拨可促使学生将零散的知识集成点, 连成线, 组成面, 构成体, 以形成知识的整体认识。若学生对知识掌握无序, 可通过“理序”进行点拨, 以求得知识理解的条理性;若学生对知识掌握散乱, 可通过“联系”进行点拨, 以求得知识掌握的整体性;若学生对知识头绪不清, 可通过“比较”进行点拨, 以求得知识掌握的准确性。这样, 就能促使学生根据知识的内部结构和结合规律, 理解、运用和积累知识, 提高学习效率。

二、点拨的特点

1. 时机性。

点拨要看准时机, 把握火候, 将其安排在学生思维的“愤悱”之际, 只有在思维的最佳处突破, 才能拨动心灵的琴弦, 启迪智慧的火花。在教学中, 教师要细观察、勤分析、巧判断、善捕捉, 一旦学生心欲求通而未得, 口欲言之而未能时, 便倾心诱导, 着意点化, 保证点拨的时效性。

2. 双主性。

点拨须建立在学生主体作用发挥的基础上, 强调学生积极学习状态的诱发和利用。教师点拨这一外因只有通过学生“真心内动”这个内因才能起作用, 否则, 就会如王夫之所说:“若教则不愤而启, 不悱而发, 喋喋然, 劳而无益也。”因此, 教学中要始终置学生于主体地位, 要给学生思维的主动权和独立发现问题、提出设想、解决问题的机会, 而不是越俎代庖。教师通过点拨, 及时把关, 准确定向, 合理调控, 从而保证教学双方的密切配合。

3. 针对性。

首先, 要根据教学情形点拨, 做到情况不同, 方法有异。其次, 要根据教学对象点拨, 做到水平不一, 方法有别。再则, 要根据教学目标点拨, 做到目标不同, 方法有变。

4. 全面性。

点拨要体现全面性, 既要注意知识的理解, 又要注意能力的培养;既要发展学生的思维, 又要培养学生动手操作的能力;既要注意情感的因素, 又要注意智能因素。

5. 技巧性。

首先在于目标明确。教师对课堂中出现的“意外”能及时发现, 及时变通, “化险为夷”, 并始终指向落实课堂教学目标。其次在于方法得当。注意打开学生思路, 而不是直接告诉结论, 指导学生畅通思路, 而不是代其解答。再则点拨须惜时如金、语言精当、方法简单、过程含而不露。

三、点拨的方法

1. 平坡法。

如果学生面对教师提问紧皱眉头, 可探明原因, 巧指迷津, 减缓坡度;如果问题难度太大, 学生力不从心, 可通过细化及时铺垫, 帮助接通思路, 或通过转换, 迂回设问, 借助原型启发;如果目标不明确, 学生茫然, 可提示目标, 明确思维方向;如因问题情境陌生, 可通过演示, 帮助变通思维。

如:“一台播种机, 作业宽度是1.2米, 由拖拉机牵引, 每小时4.5千米, 播种机每小时播种多少公顷?”解答这道题时, 大多数学生对“作业宽度”难以理解。这时, 教师用粉笔先在黑板上涂一大片, 然后拿起黑板擦说:“这是播种机, 现在开始播种了。”同时将黑板擦慢慢移动, 后面留下了一片空白。这时学生恍然大悟, “作业宽度”就相当于“黑板擦的宽度”。

2. 引辩法。

学生因水平和能力有差异, 课堂上常会对同一问题出现截然不同的答案。对此, 教师可不作仲裁, 而是抓住契机, 引辩启思, 以统一认识, 求得理解。

如在学完“三角形的面积”之后, 出示这样一道判断题:两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。有的同学判断为正确, 有的同学则判断为错误。此时教师可未置可否, 进而投石激浪, 促其争辩:到底是对还是错, 请联系三角形面积的推导公式加以说明。正方认为:两个面积相等的三角形就是两个完全一样的三角形, 而两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。反方则争辩道:两个面积相等的三角形不一定是完全一样的三角形 (如下图) :

三角形ABC和三角形EBC虽然面积相等, 但它们不是完全一样, 不能拼成一个平行四边形。通过争辩, 问题便能得到解决。

3. 归谬法。

如果学生答题与正确答案背道而驰, 可将错就错, 以归谬法将学生引入圈套, 让其碰壁, 促其顿悟。如教学“倒数”时, 有学生在求倒数时, 会出现这样的书写:3=、2=, 这时教师可将错就错, 顺势在黑板上板书:200吨=1千克、2平方米=100平方米。让学生感知这是两个完全不等的量, 而老师却用了等于号连接, 让其碰壁, 促其顿悟。

4. 疏导法。

教学中如果学生提出一些与教学目标无关的问题, 则通过点拨引正思路。若问题简单, 则当即给予答复。例如, 学习方程时, 有学生提出:x+5=0是不是方程?如果是方程, 怎么会没有解呢?这时可告诉学生, 到了中学, 学了负数就可以求出它的解了。若问题复杂, 课堂不便答复, 可告诉学生课后帮助解决。例如, 学习“年、月、日”时, 有学生提出:“日食”、“月食”是怎么回事?二月份的天数为什么是28 (或29) 天呢?对此, 一般教师备课时往往难以考虑周全, 即使知识面较宽的教师, 当堂也难以回答全面, 不妨顺势提出要求:让我们课后共同去查阅资料, 看谁能找到答案。这样留下期待的环节, 能造成强烈的悬念, 可激发学生求知的欲望, 从而引导学生在课外阅读中获取知识。

数学学习方法点拨 篇2

树格教育——郑瑞格

一、选择填空：

1）集合——交集、并集、补集、韦恩图，多数跟二次函数不等式一起考；

2）复数——共轭复数、i的平方是-

1、分母如何去掉i ；

3）向量——共线向量、平行或垂直、长度模、向量积与夹角或余弦值；

4）数列——等差等比的中项公式、通项公式、求和公式、（一般化为最本质的首项和公差或公比，就能解题）；

5）三视图——柱、锥、台、球的组合体，及其表面积、侧面积和体积；

6）命题、充分必要条件——一般为向量和立体几何类型或函数单调性和最大/小值；

7）三角函数——性质和图像的单调性、求值，左移右移上下移等图像变化；

8）概率、频率分布图——简单概率和频率计算；

9）流程图——看清“是、否”程序输出求值、填入条件语言；

10）线性规划——求最大值、最小值或值域、区域面积；

11）导数——单调性、最值、极值；

12）解析几何——直线之间关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、求方程或最大、最小距离；

选做填空：

13）圆的性质——一般求面积、角度、边长、比值等；

14）极坐标与参数方程——较上题会简单，互化平面直角坐标与极坐标，普通方程与参数方程的互化。

二、解答题：(顺序部分在高考题中会有颠倒)

1）三角函数和解三角形——图像与性质：单调性、集合、最大值最小值、最小正周期、诱导公式运用；正弦定理、余弦定理求边长、求角度；

2）统计与概率——随机抽样、分层抽样、系统抽样；古典概型、几何概型、频率分布图、树状图法、列举法等；概率加法减法；

3）几何证明——一般分2到3问，证明线面平行或垂直；面面平行或垂直；线面角，面面角，做法都是找垂线，最后转化为线线关系求角；通常最后一问，求多面体的体积，意在求高，也是垂线的证明；求距离的，一般是点对点来求；

4）圆锥曲线与函数——求曲线方程或判定曲线的形状；；利用曲线的点，求三角形的面积或判定点的存在；直线与圆、椭圆等的最大距离或最小距离；

5）数列——利用等比等差数列的性质思路来求一般数列的通项公式，求和公式；数列和的取值范围；

初中数学课堂的“精讲点拨” 篇3

精讲点拨教学原则知识准备点拨方法应对措施课堂的精讲点拨是一门精妙的启发艺术，巧妙机智的精讲点拨，不仅能引领学生思考问题的方向，更能让学生在解决问题的过程中，突破原有的思维束缚，获得新的思维发展。所谓精讲，就是要求教师语言精炼，讲解要精、有针对性，有启发性，切忌面面俱到；点，就是点要害，抓重点；拨，就是拨疑难，排故障。精讲点拨就是指教师应充分发挥学生的主体作用，引导学生主动地观察、操作、思考、探索，力求通过自己的努力获取知识，体味成功的喜悦。教师则应在关键处和疑难处加以点拨指导，使教学达到最佳效果，实现本堂课的教学目标。

一、把握好教学原则

把握好教学原则符合数学本身的特点，体现数学的精神实质。初中数学是义务教育阶段的数学，在小学的基础之上进一步研究数量关系和空间形式的科学，通过学习使得每个学生都能获得良好的数学教育，不仅懂得了知识，还懂得了基本思想，并在学习过程中得到磨练。如此，课堂教学要着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。

把握好教学原则符合学生的认知规律和心理特征，激发学生的学习兴趣。了解学生学习的态度、兴趣、习惯和学习需求，从学习水平、认知结构和生活经验等方面作全面分析。在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有经验，使学生从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型，寻求结果、解决问题的过程。

把握好教学原则适应学生未来生活、工作、学习的需要。数学与人类的活动息息相关，随着现代计算机技术的飞速发展，数学更是广泛地应用于社会生产和日常生活各个方面。在教学中，不能忽视学习和生产、生活中的广泛联系，我们除了培养学生分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理等能力外，还强调数学方法的掌握以及培养学生思维的敏捷性和灵活性，并加强良好道德和习惯的培养。

二、选用恰当的点拨方法

精讲点拨的方法有5种：

（1）发散点拨。所谓发散点拨，就是对某一问题，从不同角度、不同侧面去观察、思考、想象，寻找解决问题的多种方法、方案。在教学设计中，要准确选准思维的发散点，即在设疑中激起学生思考、联想和改变思考方向的焦点，这是突破难点和“诱思”的关键之处，又是学生凭借已有知识发散开去的爆发点。

（2）迂回式点拨。它是指教师不直接点明，而是从旁的、暗示地进行点拨，或言在此意在彼的启发；或旁敲侧击的暗示；或迂回曲折的诱导：或让学生在解决问题时找到与之有关的联系的相似点、相关点，受到启发，展开联想，产生灵感，找到解决问题的最佳途径。

（3）直接点拨。它是教师在教学中采用直截了当、开门见山、一语破的点拨的点破方法。

（4）辅助性点拨。它指的是当学生的思维活动因智力水平或努力程度不够等原因，在解决难度较大的问题显得力不从心时，就需要教师一臂之力。

（5）收敛点拨。它是与发散点拨相反的一种点拨方法，是指某一个问题仅有一种答案，为了获得这个答案，从不同的方向和角度，将思维直指这个答案的点拨技巧，是教师为集中解决某一问题由面到点、由此及彼进行点拨。

灵活选择恰当的方法，点知识的重点与难点，点学习中的疑点，点解题的技巧，点学生容易忽视或出错的地方，激活学生的思维，使得人人都能获得良好的数学教育。

三、要注意的问题及应对措施

1.师生互动存在的问题与应对策略

目前，课堂教学所采用的比较多的还是师生互动，即教师与学生全体、教师与学生个体的互动，而教师与学生小组、学生个体与个体、学生小组与学生小组之间的互动，由于不好把控，又为保证教学进度，这些互动会减少。这样课堂形式比较单一，教师舍不得花时间让学生展示个性化的学习方式，缺乏师生间的情感交流。因此，要多使用合作学习，增加互动途径，使师生彼此借鉴，共同进行情感体验。另外，目前的小组合作学习往往存在学生无目的闲聊、教师指导不到位、少数人参与、多数人旁观等现象。为提高小组合作学习的有效性，教师要尽量利用学生的学习能力、学习兴趣、个性不同进行异质分组，组内每一位成员都要有自己的职责，扮演不同的角色，并让小组成员定期交换分工。在学生小组学习过程中，教师要合理制定小组合作学习的小组目标和个人目标，要求小组成员不仅要努力达到个人目标，更主要的是要帮助组员实现个人目标以及实现小组目标，增强荣誉感。

2.课堂出现“生成问题”及应对措施

课堂教学是一个动态生成的过程，无论老师预设得多么充分，也难以预料课堂中出现的各种情况，变动不居的课堂充满了不确定性，不确定性孕含了丰富的生成性。教师应该灵活地根据情况的变化不断调整自己的教学，在学生的真实认知上综合把握，应视学生而动，视情境而变，敏锐扑捉不期而至的生成点，才能演绎不曾预约的精彩。这就要求我们教师要有拨乱反正的胆识，要有取舍扬弃的智慧，及时扑捉一些有用的问题，顺势引导，让有价值的资源渐入佳境，别有洞天；让看似平常的资源，峰回路转，柳暗花明；让极易檫肩而过的资源化险为夷，绝处逢生，炼就一身扬沙拣金的提炼功夫，使学生能在活而不乱、趣而不俗、新而不谬的空间里畅所欲言，自由放飞，使课堂精彩纷呈，焕发出生命的活力。

3.学生产生与老师不同观点及应对措施

学生中的“别样的声音”，有时会置教师于被动地位，使“课”难堪，令教师措手不及。课堂教学中遇到学生的“异口异声”，要用一种开放的心理去对待。遇到难题，先不要急着去处理，要思考问题的原因，再寻找妥善的解决方法。特别是情感、思想方面的问题，我们更要细心和耐心，用恰当的方法给予引导指正，为学生指路导航，使其明辨是非，让学生在学习的过程中不仅知识能力得到提升，情感、态度、价值观上也得到滋养。由教案的执行者转向教学智慧创造者。“教学不仅仅是一种告诉，更多的是学生的一种体验、探究和感悟”。课堂上，千万别让你的“告诉”扼杀了属于学生的一切，应让他们去体验、去探索、去感悟、去尽情地展示自己。

小学数学教学“点拨”艺术谈 篇4

一、遵循原则,区分层次对象

在教学实践中,点拨应遵循这样几点原则:

一是点拨要有利于学生的思考,语言简洁明了,学生通过细心体会,就能从中体出“味”来,从而顺利疏通其学习障碍。

二是点拨要具有一定的层次性,根据不同的具体情况及问题,有的可明确些,有的可含蓄些,点到为止。

三是点拨要面向全体,考虑到大多数学生的需求,对于学困生或特长生,可在课后采用个别辅导的方式加以满足。

面向个别学生的点拨,要因人而异,千万不能搞“一刀切”,而要针对被点拨学生的实际情况,增强其解决问题的信心,鼓励其思考,以便将其思路引向正确答案的通道;面向全体学生的点拨,要照顾到“一般水平”,对于他们思考一下便能找到答案的问题就不必点拨。对于他们认真思考后虽有所认识但较模糊,不能正确流畅地解决的问题就应当适当的点拨,但点拨的深度也要适可而止,犹如怀抱琵琶半掩半露,留给学生继续探索的余地。

二、讲究艺术,点在关键之处

点拨既是一种教学方法,又是一种教学艺术。因此,点拨要讲究艺术,点在关键之处,使其达到画龙点睛、水到渠成的目的。

1. 点在缺乏兴趣时。

心理学研究表明,兴趣是学生学习动机中最现实、最活跃的成分。学习内容和学生熟悉的生活实际越贴近,学生自觉接纳知识的程度就越高。因此,教学那些枯燥抽象的数学知识时,学生往往缺乏学习兴趣,这时就需要教师的点拨和启发,为学生创设与教学内容有关的意境,提出有关的问题,以引起学生的好奇和思考,激发学生学习兴趣和求知欲。

2. 点在思维偏离时。

在学习数学的过程中,学生的思维往往会出现“卡壳”的现象,这就是思维的障碍处,此时,教师就应适时地加以引导、点拨,使学生思维转折,并以此为契机促进学生思维发展。如,甲、乙两人共同加工一批零件,计划甲加工的零件个数是乙加工的,实际甲比乙计划多加工34个,正好是乙加工零件个数的。这批零件共有多少个?

学生在思考这道题时,虽然能够准确地判断出和这两个分率都是乙加工的零件个数为标准量的,但是,这两个标准量的数值并不相等,这样学生的思维就会出现障碍,教师应及时抓住这个机会,引导学生开拓思路:甲加工的零件个数是乙的,这说明甲、乙计划加工零件的个数是几比几?正好是乙加工零件个数的,又说明甲、乙实际加工零件个数是几比几?这样,就将以乙标准量的分率关系转化为以总个数为标准量的分率关系,直接解答出这道题。

3. 点在理解肤浅时。

学习是一个渐进的过程。在学习中有些问题看似浅显,学生常常会一带而过,貌似理解,但尚未读懂,而这些内容恰恰又是深化理解知识的关键处。这时,教师就有必要引导学生于无疑之处生疑,运用点拨的艺术使学生思维向纵深发展。

比如,在学习了分数化小数的方法后,我们常常归纳这样一句话:分数化小数,一般要分子除以分母。学生对于这种方法似乎已经懂了,觉得没有问题了,其实这种理解并未全面和深刻。此时点拨:这里所说的“一般”是什么意思?这里为什么要用“一般”?不用行不行?学生经过思考与讨论,终于明白:分数化小数,除了分子除以分母外,还有别的方法(如先把分母化成10、100、1000、……再化小数等)。这样,学生对于知识的理解就更全面、更深刻了。

4. 点在理解错误时。

数学学习方法点拨 篇5

由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例：

例

1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？

解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|xy|15，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会 面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A

6024527因此，两人见面的概率P(A) 16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|xy|15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例

2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；

解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间

两列火车必须等待，则|xy|10，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能 等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A

60250211因此，这两列火车必须等待的概率是P(A) 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y表示，结论很快产生。

例

3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？

解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心

爱心

专心 6x7所以，由6.5y7.5

yx160230272得P(A)，86027即小强能见到小明的概率是。

8点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现6x7是小强到的时间，6.5y7.5是小明离家时间，要相见必须yx，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。

例

4、水池的容积是20m，向水池注水的水龙头A和水龙头B水的流速都是1m/小时，它们在一昼夜内随机开0~24小时，求水池不溢出水的概率。

解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，33x0,y0，水池不溢出水，则xy20

记“水池不溢出水”为事件A，则A所占区域面积为

12020200，整个区域的面积为2424576 22000.35 由几何概型的概率公式，得P(A)576即水池不溢出水的概率约为0.91。

点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开0~24小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。

例

5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。

解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示 8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23 路车”为事件A，则A所占区域面积为81078136

整个区域的面积为1015150

1360.91 150即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91。那么，等车不超过8分钟的概率P(A)点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。

例

6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；

解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|x|,|y|，记“它们到中点距离平方和

用心

爱心

专心 小于1”为事件A，则事件A：(x,y)|x2y21，由于|x|1,|y|1

12因此P(A)，即到中点距离平方和小于1的概率为 2442（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|x|,|y|,|z|，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件B：(x,y,z)|x2y2z21，由于|x|1,|y|1,|z|1

4313因此，P(B)，即到中点距离平方和小于1的概率为 3662点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。

用心

爱心

有关点拨促进数学教学的思考 篇6

关键词：点拨；数学教学；教学思考

教师不仅要引导学生学习，而且要有的放矢地准确点拨，帮助学生解决疑难问题。然而在初中数学课堂的点拨中往往存在教师点拨不科学的情况。如点拨时忽视根据新知解题的思维过程；点拨不能提炼为一般的规律，不能提升为理论知识；对简单的解法思路形成的点拨一带而过，对繁琐的其他解法却大事渲染；难点偏，难纠错；教师点拨内容过多，忽略了讲清错的那题等等。教师如何以学生的能力培养为中心进行高质量的点拨呢？

一、关注学生，了解学情是成功点拨的先决条件

学生有疑点，交流中他们会体现出来。教师巡视时要善于捕捉信息，关注每个学生，关注他们的眼神、表情、精神状态，从而读懂学生的思维过程，分析学生碰到的问题，查找问题出现的根源，辨析主要原因，再以此总结出点拨重点和难点。点拨时，教师不以主观判断为事实依据，而是站在学生的思维起点处，与学生一起“披荆斩棘”。例如，解一元二次方程：y2+3y-2=0或-2m2+4=-3m。解这类一元二次方程学生最后总会出错，做好后就在那儿等教师给答案校对，他们困惑于只差一点点，却还是错了。由于结果较复杂，教师即使要求回代原方程检验，学生也不会做。学生实际上是不会解一元一次方程或不会依据分式符号性质处理负号，这样教师就找到了点拨的重点，这只是从题面上看出的，信息依然不够明朗，尽可能让学生说出最后一步是怎样获得的，暴露学生的思维过程，从就近思维区着手。对学情了如指掌了，教师的点拨才是高质量的，才是成功的。

二、吃透教材，提升素养是准确点拨的硬装备

教师的点拨有时存在不正确的情况，比如答题不规范或不完整，表述不全，对学生的评点不准，无条理，思路不清，不能用归纳、演绎的方法讲述等。这跟教师没有研究教材、没有学习教研教法有关。教师要提高教育教研水平，研究初中数学教材，明了学生已有的知识基础，需要掌握的技能和培养的能力。因此教师要常学常思，学习研究教材，熟悉各种解题原理。在给学生做题之前，教师自己要研究透彻，不然有可能误人子弟。送人一瓢水，自己得有一桶水。教师提高了自身教学水平，点拨才能准确，这是科学点拨的硬件装备。越是课堂生突发事件的点拨处理，越能体现教师的自身素养及教学机智。

在实际教学中，教师不可太“贪心”，在鱼与熊掌不能兼得时，教师要依据教材和课标要求进行筛选。因此，要预备重点、难点、切入点，设立点拨点。没有经过精心的预设，点拨就会无重点，不分主次。课堂上让教师点拨的时间有限，教师应当机立断，学会甄别，教材重点内容的先选，课标要求较高的优先。有些疑问是个别学生的个别问题，不具有代表性，点拨可放课后；有些疑问是多数学生的共性，有些是急需解决的问题。轻重缓急，教师心里得有杆秤。

三、拨动灵感、挖掘潜能是高质量点拨的终极目标

教师在考虑如何点拨时要本着“拨动灵感、挖掘潜能”的宗旨，立足学生的思维点，把握课标的制高点，利用课堂生成的资源拨动灵感。或提问或更正，形式多样，群言堂，大家议，大家评，让尖子生当教师，帮助后进生更正。

如方程解应用题：一块锡铅合金，在空气中称得质量为115kg，在水中称得质量为103kg。已知在空气中15kg的锡在水中为13kg，在空气中35kg的铅在水中为32kg。问这块合金中含锡和铅各多少千克？此题对农村中学的中等生会有困难，如何点拨？要让学生充分发言，找到根源，关键对画线部分理解。

生1：锡在水中与在空气中的重量总是轻2kg，铅在水中与在空气中的重量总是轻3kg。

生2：那么总是共轻5kg了，可是115kg减到103kg，总共少了12kg，不对呀。

生3：空气中1kg的锡在水中是多少呢？总不会是1-2=-1kg吧。

师：由以上同学们的讨论可知一定不是轻2kg的。空气中30kg的锡，在水中应是多重呢？

生4：为26kg，

师：探讨空气中1kg的锡，在水中重多少？空气中1kg的铅在水中重多少？

数学教学中教师的“点拨”作用 篇7

九年制义务教育的性质和任务, 决定了小学教育要从应试教育转变为提高全民族的素质教育。为此, 教师应把小学数学的着眼点放在打好数学知识基础、培养学生能力、开发学生智力上, 从而提高学生的素质。

素质, 指的是人在先天禀赋的基础上通过教育和社会实践活动发展而来的人的主体性品质。素质反映了一个人的基本质量、水平、特点和倾向。一个人素质的发展, 一方面是人类文化和社会文明个体转化, 另一方面是个体潜能的开发, 两者相互作用推动着人的素质的发展。教学的理论和方法是人类文化的重要组成部分, 小学数学是最基础的数学知识和方法。它是每一个公民所必须具有的思维方式和文化素养。如何把这些最基础的数学知识和方法向小学生转化, 在转化过程中开发他们的潜能是每一个教育工作者在教育教学中的主攻方向。

在数学教学中重视教师的“点拨”作用。其目的是教会学生学习方法和培养学生学习数学的能力。

在学习新知识时, 抓住问题的关键, 给予“点拨”从而突破难点, 使学生能够准确地接受和掌握新知识。

例如, 在学生学会同分母分数加减法后, 接着学习异分母分数加减法, 可以设计这样一个问题:爸爸吃了半个西瓜, 小明也吃了半个西瓜, 他们共吃了多少个西瓜?学生作如下回答。

A生:小明和爸爸共吃了一个西瓜。

师:为什么?

A生:因为1/2+1/2=2/2=1所以他们正好吃了一个西瓜。

师:有不同意见吗?

B生:A说的不对。 (师:为什么?) 这一问题老师提出的不明确。如果他们吃的是同一个西瓜的一半。A说得对。假如爸爸吃的是一个西瓜的一半, 小明吃了是爸爸西瓜的一半, 这两块西瓜一个大, 一个小, 怎么能拼成一个西瓜呢?虽然他们每人所分得的份数相同, 都是平均分成2份, 所占的都是2份中的1份, 但它所表示的这一份的大小不同。

师追问:也就是什么不同? (这是一句关键的“点拨”, 为学习异分母分数加减法作了较好的铺垫。)

B生:单位“1”的量不同。因为有两个单位“1”, 所以大西瓜的1/2大于一半西瓜的1/2。

师:这道题该怎样改动才能是正确的呢?

C生:爸爸吃了一个西瓜的一半, 小明也吃了这个西瓜的一半, 他们共吃了多少个西瓜?

师:现在可以计算了吗?为什么?

生:略。

师:如果把“小明吃了一个西瓜的一半”改为“小明吃了一半西瓜的1/2”, 又该怎样列式?能直接说出结果吗?为什么?

通过教师的一步步“点拨”, 学生发现了问题所在, 从而找到了解决问题的关键, 学生能够更容易地掌握这节课所学的新知识。

小学生的思维基本是以形象思维为主要形式。小学生对事物的感知还比较笼统, 不够精确, 注意力也很不稳定。在学习过程中要求小学生要掌握一些前人的知识或间接的经验, 光靠直接的感知或具体形象的思维显然是不够的。为了解决这个矛盾, 教师在教学过程中要照顾小学生的特点, “点拨”学生观察事物的特征, 以及各部分之间的联系, 并要求他们对事物进行分析与综合。

例如, 讲乘法口诀时, 教师可以用摆学具的形式吸引学生的注意力。让学生摆圆片, 要求2个一堆, 放3堆。

师问:“一共有几个圆片?怎样列式?”

学生列式:2+2+2=6。

这时教师直接“点拨”:“像这样的算式可以用乘法表示2×3=6。”

师问:“2在加法算式中表示什么?3表示什么呢?”使学生了解这个乘法算式表示3个2相加是6的意义。

通过这样的引导与“点拨”, 学生很容易对乘法意义有了初步了解。

接着教师出示3+3=6, 提问:“这与前一个加法算式有什么相同点?有什么不同点?你能用圆片摆一摆吗?”让学生直观感觉到与前一个算式的摆法不同。

学生摆好后, 师问:“与之前的圆片摆法有什么不同?怎样列乘法算式?这里的2表示什么?3呢?这个乘法算式表示什么意思?”从而使学生对乘法意义有了更深一层的了解。

学生的思维能力是对数学教育的重点要求, 而其关键点在于教师要根据具体教学内容与特点选择适当的“点拨”。在学生对数学的认知过程中, 无论是引导学生的抽象思维还是建立学生的形象思维, 都需要以基础知识为出发点, 进而使学生对这些具体知识理论有更深层次的了解, 适当的“点拨”可以调动和发挥学生的主观能动性, 引导学生积极思考, 最终将这种思考形成一种习惯。由于数学本身具有很强的逻辑性, 由这些逻辑引申出来的数学概念极为丰富。在数学教学中教师需要根据不同的概念, 采用不同的教学方法, 拓展学生的思维空间, 提高学生的思维拓展能力。教师对学生概念的掌握与数学中思维的训练是相辅相成的。在数学教学中, 教师要把握好学生运用形象思维与抽象思维的能力, 要有意识地把训练学生的数学思维方式贯穿于数学教学的各个环节。

例如“20以内进位加法”, 教师设计了如下教学过程: (1) 让学生摆卡片, 在桌面左边摆6张卡片, 右边摆5张卡片, 一共有11张卡片, 怎样列式?又怎样计算呢?让学生独立思考。 (教师要鼓励学生用自己的语言说出算的过程) (2) 学生试着说出:“左边的6张卡片和右边的4张卡片, 合起来是10张, 10加1是11张卡片。这时教师“点拨”学生:这样的计算方法就是凑十法。照样子再进行几次操作:7+5、7+6、7+7。这样再现形象, 理解算理, 最后离开图像, 看算式直接说结果。由此教师的“点拨”就是进一步引导学生由形象思维变抽象思维。

教师既要教书又要育人。有人说:“教育是一门学科, 也是一门艺术。”教师每天面对的是活生生的, 正在成长的学生, 他们时时都在变化, 时时都在产生新的问题, 而且每个学生之间又是千差万别的。教师培养出来的学生既要有共性, 又要有个性, 教师的劳动产品不能像机械生产的产品一样都是一种型号。因此, 这就要求教师具备一种特殊的创造才能, 像从事艺术活动一样, 而且还要比艺术家的创作更富有创造性。所以教师在教学中要针对不同学生采用不同的方式进行“点拨”。

一般来说, 一个班级是由优、中、差三种学生组成。处于中等的学生总是占大多数, 而“尖子”学生和后进生总是少数。教学时要面向大多数中等生, 要在习题设计、课堂提问和教学方法选择上, 分级因材施教, 充分发挥“尖子”学生的潜力, 用他们的潜力“点拨”后进生。如在习题设计上可分基本题、变式题、混合题、综合题与选作题五个层次。提问时根据问题的难易程度选择上、中、下不同等别的学生回答。在教学方法上, 对于学习较差的学生可多采用直接的“点拨”的方式让他们感知知识, 在感知的基础上形成表象, 再逐步抽象;对于学习较好的学生可以采用比较抽象的“点拨”, 让他们讨论、尝试及阅读进行学习。

在指导学生读数学书的方法上给予“点拨”, 帮助学生理解和掌握数学概念、法则、性质、规律、公式等, 以及分析问题、解决问题的一般思考途径和方法。

书是知识的载体。小学数学教科书是数学的依据, 是小学生学习过程中一位无声的教师。教师教会学生读书, 也就教给了学生终身受用的本领。因此, 教师教会学生读书也是数学教学的重要内容之一。

学生刚开始读书时认为读书中的汉字就是读书, 针对这种情况, 在读书前教师主要让学生明确读什么, 另外还要让学生有目的地读。学而不思, 光读不想则毫无结果, 要让学生从小养成边读边想的好习惯。所以每次读书之前, 教师要拟定明确读书提纲。

如读“小数点位置的移动引起小数大小变化”一课时, 读前出示提纲: (1) 小数点向左或向右移动为什么会引起小数大小变化? (2) 为什么小数点向左或向右移动, 小数值总是整十、整百、整千地扩大或缩小呢?这样带提纲入读, 读有方向, 使学生知道要读什么, 有目的地读。

学生在解答应用题时常常因审题不清造成列式错误, 教师对审题的方法应予以“点拨”。设计对比练习和一题多变练习, 提高审题的正确率。

如:一条绳子长30米, 用去它的1/3还剩下多少米?一条绳子长30米, 用去了1/3米, 还剩多少米?让学生注意两题区别在哪?让学生知道一字之差, 题中的数量关系就不一样了。还有“降低了”、“降低到”, “增加了”、“增加到”等词的不同理解。要让学生注意, 不能弄错。变换了题目叙述形式, 提高了学生审题能力。

在教学中, 教师要遵循贵在“导”、重在“学”这一教学规律, 把数学教学的重心放在“启发思考”, 适当的“点拨”, 疏通障碍和启迪思维上来。让学生在会学、会想、会讲的基础上掌握知识和技能, 发展智力和创造力, 最大限度地提高学生素质, 使教师的教学水平有很大的提高。

摘要：数学教学中要重视教师的“点拨”作用。教师在教学中要抓住问题的关键, 给予学生“点拨”, 从而突破难点, 使学生能够准确地接受和掌握新知识。小学生的思维基本是以形象思维为主要形式, 教师在教学过程中要根据小学生的这一特点, “点拨”学生观察事物的特征, 以及各部分之间的联系, 对事物进行分析与综合。教师还要把握好学生运用形象思维与抽象思维的能力。在教学中因材施教, 要顾及到各个类型学生的接受程度, 采取相应的教学方式。教师要引导学生学会读书, 学会读题, 这也是培养学生综合素质, 提高其能力的一个关键环节。

小学数学教学中的等待与点拨艺术 篇8

关键词：小学数学；教学艺术；等待；点拨；切入点

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2012）05-0050-03

在数学课堂上往往会看到这样的现象：有些教师为了尽快完成教案中设计的任务，不顾及大多数学生的学习情况就急着进入下一个教学环节，甚至在学生没有回答出问题的时候，没有经过耐心等待，就干脆自己把标准答案和盘托出。这种现象一方面影响了学习结果，学生没有经过自己的思考与消化，所获知识是一知半解的；另一方面严重忽略了过程性目标，抹杀了学生的主体地位，与“以生为本”的精神相违背。

针对上述现象，我们采取了数学课堂上的等待与点拨教学策略。所谓等待，是指根据教学流程和教学内容的特点，在恰当的地方给学生创设合适的活动时空，耐心地等待大多数学生完成任务，充分凸显学生的主体地位。所谓点拨，是指在“等待”时为了使学生的主体活动富有成效，教师要充分发挥引领的主导作用，通过有效点拨使学生既能自主完成任务，又能节省时间、提高效率，因为课堂40分钟毕竟有限。教师的点拨既可以在等待之前，也可以在等待之中或之后，视具体情况而定。该教学策略的最大特点是既重视学生主体地位，又充分发挥教师的主导作用，使两者实现辩证平衡。

下面从几个切入点谈谈数学课堂上的等待时机与相应的点拨策略。

一、在“了解起点”时等待——先听后教，先试后导

为了提高教学的针对性，真正体现“以生为本”的思想，数学教师在课前或上课伊始，要对学生的学习基础做一了解，弄清学生对所学新知知道的程度以及可能会遇到的障碍。只有弄清了学生头脑中的“原始资源”，才能找到新知教学的生长点。现代教学论提出了“找准起点并顺着学生的思路来组织教学”的理念。为了找到学生真实的起点，教师要安排一定的时间，让学生先对要学习的“课题”说说自己已经知道了什么，或者让学生对例题试着做一做，教师则耐心地等待，在学生充分暴露头脑中的“原始资源”后，再采取有针对性的点拨引导措施，根据大多数学生的实际情况拉开新知教学的帷幕。

例如，教学“分数乘分数”一课，教师开门见山地出示例题：一台碾米机每小时能碾米吨，小时能碾米多少吨？让学生先在本子上尝试列式计算，教师则巡视全班了解情况。经过一阵耐心地等待，教师发现全班绝大多数同学都能列出×或×的式子，而且多数学生已经得出“吨”的答案。教师为了进一步了解学生的真实起点，再次让学生说说是怎么算的，为什么这样算。大多数学生已能说出“分子与分子相乘，分母与分母相乘”的算法，但对“为什么要这样算”多数学生说不出来。教师的耐心等待，了解到了学生学习该块知识的真实起点：由于前面刚学习了“分数乘整数”、“整数乘分数”，学生已经能够自己将分数乘法的计算方法迁移并拓展到“分数乘分数”中来，即算法对学生来说已经基本上会了，如果教学中还在算法上花大力气，学生既不感兴趣又浪费时间。于是教师就顺着学生的思路，将重心放在算理的点拨上，让学生去深究为什么×=。

二、在“自主探究”时等待——提纲引路，放得真心

数学课改倡导学习方式的多样化，其中自主探究是重要的方式之一。其实学生天生就有探索的欲望，只不过被传统的“教师讲学生听”的单一模式给抹杀了。在数学学习中，并不是每节课都要学生探究，也并不是所有的内容都适合用发现式来学习。但那些具有探索价值的内容，教师要为学生提供探究的时空，放手让他们自己去感知和理解数学知识产生和发展的过程，完成富有个人特色的探究任务，获得结果性目标与过程性目标的双丰收。探究性学习是需要时间的，教师要耐心地等待学生的“观察——归纳”、“操作——感悟”、“猜想——验证”、“试验——发现”等活动的完成。为了提高学生探究活动的有效性，教师要充分发挥点拨启发作用，此时的点拨任务除了探究时的巡视指导外，还体现在学生探究之前，精心设计“探究提纲”，让学生在提纲的引导下，在有限时间内较好地完成探索性学习的任务。

例如，如学习“小数的性质”一课，教师让学生先猜想：怎样在一个小数上添上0或者去掉0，小数的大小不变。生1说：在小数点的后面添上0或去掉0，小数的大小不变。生2说：只有在一个小数的最后面（末尾）添上0或去掉0，小数的大小才不变。面对学生的猜想，教师没有马上给出判断，而是提供材料和提纲，让学生自己展开验证性探究活动。探究材料：下列哪些小数和0.5相等？（0.50、0.05、0. 500、0.050、0.005）你能用什么方法来证明？探究提纲：①尝试给这些小数加上单位，先化成分母是10、100、1000等的分数，再化成低级单位的名数去比较大小；②试一试用折纸的方法表示出这些小数，再通过重叠去比较它们的大小。经过教师的耐心等待和巡视指导，学生终于发现了这些小数都在小数点后面添了0，但只有在小数的末尾（最后面）添上0时，小数的大小才不变，从而自己发现了小数性质的本质特征，推翻了原先不正确的猜想。

三、在“合作交流”时等待——畅所欲言，相机引领

合作交流也是数学新课改倡导的重要学习方式之一，通过合作交流，一方面集思广益，通过相互启发使学习成果多样化；另一方面使每个学生都有参与讨论的机会，弥补全班交流时只有少数人发言的不足，使每个人的数学表达能力得到训练。因此，教师要仔细分析教学内容的特点，每节课选择1~2个有讨论价值的素材，让学生展开四人小组或同桌之间的合作交流。在交流的时候，教师要耐心等待，不能为了摆形式，学生还未充分说开就匆忙地收场进入下一个环节，而应让学生畅所欲言，给他们“百花齐放”、“百家争鸣”的机会和时间，而教师可以作为平等的一员参与小组讨论并相机点拨。

例如，学习“长方体和正方体的表面积”一课，教师选择了一道有讨论价值的题目，用12个棱长1厘米的小正方体，摆成一个大长方体，有几种摆法，哪一种表面积最小？让学生先独立地用学具、画图、计算等方法探索，然后展开四人小组的讨论与交流，教师参与了小组的讨论。其中有一组，生1说：我摆出4种不同的长方体，如果再摆只是方向不同，实际上是同样的长方体；生2说：我是用画图的方法，最多也只能画出4种不同的长方体；生3说：我是用计算的方法的，我想无论怎样摆体积都是相等的，因此只要把12写成3个整数相乘就可以了，12=2×6×1，12=2×3×2，12=3×4×1，12=1×12×1，也是4种。此时教师点拨道：怎样写算式能既不重复又不遗漏？生4说：按长宽高从小到大排，12=1×1×12，12=1×2×6，12=1×3×4，12=2×2×3。教师又追问：从4种摆法的表面积大小比较中，你发现了什么规律？学生通过计算和讨论，发现长宽高越接近时，表面积越小。教师的耐心等待和及时引领，等来了学生的有序思考和多元成果。

四、在“出现错误”时等待——延迟评价，因势利导

在数学课上，当学生的回答出现错误时，不少教师总是很快地将他的回答打断，做出对错评价，并叫其他同学或教师自己给予及时的纠正。从表面看，这似乎是为了减少错误痕迹在学生头脑中停留的时间。但仔细思考会发现这样做的后果：一方面没有弄清学生的真实想法，很可能产生误解，使学生以后不敢大胆表达自己的想法；另一方面由于没有暴露思维过程，不利于弄清出错的原因，使纠正错误浮于表面，教训不够深刻。因此，面对学生的错误，教师要等一等，延迟评价，耐心地等待学生讲讲他的想法，等待学生把思考问题的过程展现出来，让学生经过思维的碰撞，对已有的结论进行批判性的思考，以获得新的认识。同时加上教师的因势利导，让学生找到解决问题的正确方法，深刻地反思错误。

例如，学习“百分数问题”时，有一道题：王师傅生产一批零件，抽取50个进行检验，合格率为47%，照这样情况，如果抽取100个，合格率可能是（ ）。A.94%；B.47%。不少学生选择了A，老师没有马上纠正，而是耐心地让学生说说想法，一个学生站起来说：“抽取的总数翻了两倍，合格率当然也跟着扩大了两倍。”教师还是没有立即给出评价，而是出了一道学生身边的题目：“淘气做了50道题目，正确率为50%，照这样算，如果他做100道题，你认为正确率可能是多少？如果做150道呢？”学生经过反思，发现自己错误得如此可笑。教师耐心地等待，弄清了学生的真实想法，而将错就错的因势点拨，使学生对错误有了深刻地反省。

五、在“质疑问难”时等待——暴露思维，适时点拨

数学新课改非常注重对学生质疑问难能力的培养，认为质疑问难能力的高低是衡量学生创新意识和能力的重要标志。因为疑问是思维走向深刻的开始，有疑才有思考，有思考才有发现，有发现才有创新。因此，教师要创造条件，多给学生质疑的机会，鼓励学生主动发问、大胆质疑。学生对问题的发现和表达是需要一定时间的，教师要耐心地等待，一旦学生有问题提出了，则要仔细地倾听，如果发现该问题有展开的价值，要将该问题作为后续教学的内容，运用追问等手段，充分暴露学生的思维，并进行适时点拨，将他们的思维不断引向深入。

例如，学习“小数四则运算”时，有一道题目：3.6÷0.4+6.4÷0.4，大部分学生用常规的方法做出了答案，其中有少部分学生用“（3.6+6.4）÷0.4”来计算，这时有一个学生提出了疑问：除法里有没有分配律？教师觉得这个问题是引导学生深化认识除法运算的好素材，于是放慢教学节奏，腾出时间让学生专门去探讨这个问题。先出示“4.8÷0.6+4.8÷0.4”让学生用两种方法来计算，学生很快发现了“4.8÷（0.6+0.4）”的做法是错误的，教师继续追问：在除法里，只有什么条件下才可以进行“分配”？学生又展开了讨论，通过正反辨析，深刻地认识了除法计算中的规律。教师的等待，使学生获得了非预设的生成。

六、在“反思总结”时等待——回顾梳理，提炼升华

当一节新知学习任务将要结束时，教师要引领学生对本节所学知识进行回顾与梳理，并对自己的学习过程和结果展开总结与反思。数学新课标明确提出：在义务教育阶段，要使学生初步形成评价与反思的意识。只有学会反思，学生才能在探索知识的过程中真正成为学习的主人，才能自觉管理、调控自己的学习，不断了解自己的学习过程，改进自己的学习策略和方法，提高学习效率，达到对所学新知意义建构的目的。因此，教师要在每节课、每段知识学习结束前，给学生留出一定的反思总结时间，耐心地等待他们对所学知识和方法进行提炼概括、反思升华，进而完善认知结构。

例如，学习“分数的基本性质”一课，在将要下课时，教师让学生对今天的学习活动展开回顾与梳理。为了提高反思效率，教师进行思路点拨：从“我们是怎样来探索分数中这一奇妙的性质的”、“在探索过程中哪些经验教训可以总结”、“分数基本性质中有哪些关键词要特别注意”等方面进行提炼。经过等待，学生纷纷说出了自己的学习感受，生1说：我们是先猜想分子和分母怎样变化，分数的大小不变，然后再去验证猜想是否正确，我觉得“猜想——验证”是一种很好的学习方法；生2说：我开始猜想分子和分母都加上相同的数，分数的大小可能会不变，后来经过验证发现我的猜想是错误的，我要吸取这个教训；生3说：我觉得性质中的“同时”、“相同”这些关键词很重要，我们要好好理解；生4说：我发现分数基本性质和商不变性质道理上是一样的，我只要记住其中一个，就能推出另一个。短短的几分钟反思，学生的思维得到了升华。