学习过程数学思想方法

学习过程数学思想方法（精选11篇）

学习过程数学思想方法 篇1

教学案情

这是一位教师的校级公开课, 执教的是“四边形的内角和”, 主要是教师组织学生去探究, 如图1所示.

容易看出, 问题解决的基本思路是将新的“四边形的内角和”问题转化为“三角形的内角和”.听这位教师在第一个班试讲以后, 建议他在第二个班增加了一个环节, 就是组织学生讨论在这“一题多解”的背后有什么共同的地方?这一讨论, 意在显化数学内容和数学方法所隐含的本质思想.第一个班没有这一环节, 学生的认识停留在“一题多解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段.

两个星期后, 组织了一次测试, 求图2中各个内角之和.结果第一个班只有24﹪的学生能完成, 第二个班却有91﹪的学生能完成.在所有完成的学生中, 多数都是连接两条辅助线AD, BD, 如图2中的 (1) , 转化为3个三角形的内角之和;有十多名学生转化为图2中的 (2) 、 (3) 来解决.

诊断分析

这是一个简明而又富于启发性的案例, 从解题的角度可作出两个方面的分析.

1.进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的

这应该是我们从案例中所获得的最明显的印象.进行思想方法显化提炼的班91﹪通过测试, 未进行显化提炼的班只有24﹪通过测试, 差异十分显著.

当然, 启示的内涵并不是每一课题都讨论“有什么共同的地方”, 一题多解可以这样问, 不是一题多解呢?遇到一题一解其实可以通过分析解题的过程与步骤, 找出每一步的内容与作用, 组织为整体的内容与作用等, 提炼出数学实质与逻辑结构, 于是内在的思想方法就有机会浮出水面了.

2.操作层面的认识

(1) 对证明的认识

学习过“三角形的内角和”之后, 接着学“四边形的内角和”, 前者就自然成为后者的认识基础.应该说, 沟通两者之间的联系可以有两种基本考虑.

其一是从三角形出发.一个简单的做法是在一个三角形的外面再添一个三角形或者把一个三角形截去一个小三角形.其好处是能把“结论证明与发现”结合起来, 但思维的挑战性稍低 (辅助线已经和盘托出) , 增加思维含量的措施可以在此基础上发动学生再找其他解法.

其二是从四边形出发, 或是分解为三角形, 或是从特殊四边形到一般四边形.一个简单的做法是从正方形、矩形、平行四边形、梯形出发, 直接呈现四边形, 让学生去找内角和 (包括猜想) .这些做法有比较强的“问题解决”情境, 给学生的发散思考留下了比较大的空间, 但是怎样诱发出辅助线成了一个难点.

从案例的介绍中可以看到, 各种辅助线的共同点是先找出一点, 然后与顶点连线, 从而把四边形转化为三角形.而一点与四边形的关系只有三种情况:

(1) 点在四边形上.这表现为图1中的 (1) 、 (2) , 而图1中的 (1) 可以看成图1中的 (2) 的特例, 所以连的辅助线最少, 对解决问题本身最简单, 但对推广到n边形还有一个思维坡度.

(2) 点在四边形内.这表现为图1中的 (3) , 这比第一种情况连的辅助线多了, 但推广比较方便, 很容易看出结论是n个三角形的内角和减去一个周角.当然这一情况也有特例, 那就是连两条对角线.

(3) 点在四边形外.这表现为图1中的 (4) , 其数学运算与图1中的 (2) 类似, 都是3个三角形内角之和减去一个平角, 但图1中的 (4) 容易产生干扰.特别地, 当这个形外点落在一边的延长线上时, 其图形关系远不如图1中的 (1) 简明.

这就对图1中的几个思路以及更多取点方法的联系和区别有一个比较清楚的认识了.然而一个可作反思的问题是:只有转化为三角形内角和这一个途径吗?怎样自然地引进转化的桥梁———辅助线呢?

(2) 对测验的认识

测试图可以认为是图1中的 (3) 擦去三条线CD, PA, PB的剩余部分, 但已从凸图形变成凹图形.这对学生来说是一个全新的情境, 单凭记忆和模仿是不够的, 需要理解基础上的迁移.从这个意义上说, 测试是有效的.不过, 如果分两步走, 可能更有层次性, 即先求凹四边形的各内角之和, 再求图2中凹五边形的各内角之和.这至少有两个好处:其一, 一些不能通过第二问的学生说不定能完成第一问, 即他们不是完全没有掌握“化归为三角形内角和”;其二, 也可以对比学生在简单新情境与复杂新情境之间策略选择上的差异.

再来看通过了测试的学生的回答方式, 这又可以归结为三种情况:

(1) 转化为三角形的内角和.这表现为图2中的 (1) , 也是绝大多数人的回答.应该说学生已经有化归的思想了, 但层次不算高, 对“三角形”有直接的依赖, 还没有领悟到“化归为已经解决的问题”.因为他们没有意识到连接AD是多余的.如图2中的 (2) △BCD的内角和知道了, 四边形ABDE的内角和也知道了, 相加即得所求.学生再连AD, 其实是回到了学习“四边形内角和”的水平, 而不是在这个基础上再有提升.这就向我们提出了一个问题:要防止把认识基础异化为认识障碍.

(2) 转化为三角形与四边形的内角和.这表现为图2中的 (2) , 是少数人的回答.应该说, 这些学生对化归的领悟水平比上一类学生高, 已经摆脱了当初“化归为三角形内角和”的具体情境, 向“化归为已经解决的问题”靠拢了.

(3) 把凹图形转化为凸图形.应该说, 这是处理测试题的一个基本矛盾, 上述两种情况都体现了这种转化, 而图2中的 (3) 则表现出更自觉的倾向, 同时也反应了学生把四边形的内角和纳入认识新问题的认识基础.但是这种方式的计算过程既要加又要减, 处理本例不如图2中 (2) 的方式简捷.

所有这些方式都是通过辅助线来实现的, 其外在表现是图形的分割、角的转移, 而内在思想则还有“分解与组合”、“不变量”等.

在上面的分析中我们已经看到, 处理四边形内角和时, 以三角形内角和为认知基础.处理测试题时, 多数学生还是以三角形内角和为基础, 这没有什么过错, 但多连了一条辅助线.这促使我们反思, 当初的解题教学如果拓展了认识基础, 那么整个学习对“三角形”的依赖就会少一些, 化归思想就会凸现一些.

学习过程数学思想方法 篇2

原有的学生评价体系已经不能适应新课程实施与发展的要求。通过教育科研课题研究发现：课堂表现评价、数学日记评价、成长记录袋评价方法相结合可以对初中生数学学习过程进行科学、全面的评价，从而激发学生的学习热情，促进学生全面发展。

我已从事初中数学教学工作多年，颇多关注初中生数学学习评价的问题。随着新课程的实施，我越来越认识到原有的学生评价体系已经不能适应新课程实施与发展的要求。原有的学生评价中存在很多的局限和不足,我们在研究过程中的实施策略总结如下：

（一）课堂表现评价

课堂表现评价采取“课堂表现评价表”与“课后访谈”形式对学生的参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识、独立思考的习惯以用数学思考的发展水平等方面进行评价。“课堂表现评价表”包括学生自评、同桌评价、教师评价，对学生在“课堂表现评价表”中存在的问题，教师课下对学生进行访谈。

通过 “课堂表现评价表”与“课后访谈”评价，可以全面了解学生的知识与技能的掌握程度、思维方式和解决问题的能力，克服困难的态度和信心等。这种评价方式获得的 1

评价信息更真实，并能够弥补传统评价方法与评价内容的片面性，这种评价活动本身成为促进学生发展的过程。

（二）数学日记评价

数学日记是一种过程性的自我评价，鼓励学生在自己的数学学习过程中，记录自己的数学思想、学习方法和学习过程中的困惑、收获以及各种心理感受，教师对学生的日记进行一定的指导，并挖掘数学日记对数学学习的意义。因为数学日记是学生运用自己的语言表达数学学习的过程和感受，因此有助于培养学生的自我反省意识和自我评价能力。

数学日记不仅真实地反映了学生的学习情况，更重要的是它相对客观地再现了教与学的互动过程，学生尝试写数学日记，不仅可以体会到数学与生活的联系，还能激发他们用“数学眼光”去观察生活，进而使他们热爱数学，学好数学，用好数学。从而对学生学习数学过程中的情感态度全面了解，并对其进行全面、客观的评价。

三、成长记录袋评价

我们每两周的一次评价是以学生自评为主，他们根据自己积累的资料及实际表现进行客观的分析，在自评中学生的自我认识、自我调控、自我完善、自我教育的能力不断得到提高。

每月的评价是以学生互评为主，每个学生介绍完基本情况后，由同组学生进行评价，学生们根据被评人课上的表现、作业情况进行评价，肯定优点，并善意地提出希望，使学生在互评中增进了解，共同进步。

我们采用成果展示会的形式，做好每一次评价。本学期共召开过两次成果展示会，成果展示会收到了良好的效果。一次是在全班召开，目的是在全班推广好的学习方法，提高学习能力。另一次是在家长会上，我选出代表在家长会上介绍自己参加实验所取得的成绩。家长看到自己的孩子有了进步，并在会上进行“我能行”展示，感到由衷的高兴，表示要配合学校评价工作并促其提高。

一学期的实验，师生对档案袋评价都有了更深刻的了解。学生利用它收集成功资料，记录反思内容，制定近期目标，不断提高完善自己；教师通过它培养学生自信及良好的学习习惯，通过它看到学生成长的轨迹。

1、成长记录袋评价能够调动学生的积极性。

学生由开始的不感兴趣、被动参与到后来的主动参与，积极评价，并在积累的过程中懂得做什么事情都需要坚持，持之以恒才会见到成效的道理。学生在成果汇报会中看到了自己的进步，同学、教师的评价极大地调动了学生的积极性，学生真正成为了评价的主体。

2、成长记录袋评价使学生看到了希望。

成长记录袋评价法记录了学生发展变化的过程，这里有成功的喜悦，也有失败的反省。学生通过一段时间的学习积

累，在教师的指导下进行反思：这段时间自己的课堂表现、作业完成的怎样，有进步就用实例说明，有不足就分析原因，定出近期目标。学生正是在这种不断肯定、否定的过程中逐渐成长起来的。这种评价具有实效性，学生能从中看到前进的方向。

学习过程数学思想方法 篇3

关键词：小学数学；教学过程；有效

在小学数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，会有利于教师深刻地认识数学内容，有利于增强学生的数学观念和数学意识，形成学生良好的思维品质。下面从教学过程的角度关注数学思想方法，来交流自己一些不成熟、不全面的认识和看法。

一、在知识的呈现过程中，适时渗透数学思想方法

对于数学而言，知识的发生过程，实际上也就是思想方法的发生过程。因此，象概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等等，都蕴含着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。对于学生来说，最常见的困难之源是：一项工作、一个发现、一个规律、……很少以创始人当初所用的形式出现，它们已经被浓缩了，隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现出整理加工的严密、抽象、精炼的结论，而导致其诞生的那些思想方法却往往隐为内在形式，成为数学结构系统的具有潜在价值的“内河流”。我们教学工作的一项重要任务，就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱，将发现过程中的活生生的教学“反朴归真”地交给学生，让学生亲自参与“知识再发现”的过程，经历探索过程的磨砺，汲取更多的思维营养。例如，在教学圆的面积时，先引导学生回忆以往在推导平行四边形、三角形、梯形等图形面积计算时的方法，再把圆转化成长方形，进而推导出圆的面积计算公式。我们从方法人手，将待解决的问题，通过某种途径进行转化，归纳成已解决或易解决的问题，最终使原问题得到解决。这样的教学活动让学生经历了知识的形成过程，渗透了化归、极限的数学思想，为后继学习起到了非常重要的作用。

二、在解题思路的探索中，恰当渗透数学思想方法

课堂教学中，学生是学习的主人。在学习过程中，要引导学生积极主动地参与，亲自去发现问题、解决问题、掌握方法，其实，对于数学思想方法的学习也不例外，在数学教学中，解题思路的探索过程是最基本的活动形式之一，数学问题的解答过程是对数学思想方法亲身体验和获得的过程，也是通过运用对其加深认识和理解的过程。例如，在解决“鸡兔同笼”问题时，学生初读题目，有些无从下手。这时就需要教师引导学生用容易探究的小数量代替《孙子算经》原题中的大数量让学生探究，渗透了转化的思想方法；用列表法解决问题，渗透了函数的思想方法；用算术法解决问题，渗透了假设的思想方法；用方程法解决问题，渗透了代数的思想方法；在梳理方法时，利用课件出示简笔画，帮助学生理解各种算法等，渗透了数形结合的思想方法，这样将数学思想方法的渗透和知识教学紧密地结合，帮助学生掌握正确的解题方法，提高发散思维能力。

三、在实际问题的解决中，灵活渗透数学思想方法

解题是数学的心脏，学生不仅通过解题掌握和巩固数学基础知识，而且由于数学解题重在解题的整个过程，所以还能培养和发展学生的数学能力，而教师应对学生的解题活动加以指导，不能为了解题而解题，而忽视对思维过程的展示，要在解题过程中揭示后续解题活动中解决类似问题的通用思想方法。因此，加强数学应用意识，鼓励学生运用数学思想方法去分析解决生活实际问题，引导学生抽象、概括、建立数学模型，探求问题解决的方法，使学生把实际问题抽象成数学问题，在应用数学知识解决实际问题的过程中进一步渗透和领悟数学思想方法。例如，客车和货车同时从甲、乙两镇的中点向相反的方向行驶。3小时后客车到达甲镇，而货车离乙镇还有30千米。已知货车的速度是客车的3/4，求甲、乙两镇相距多少千米？分析：由题意知，客车3小时行完全程一半，货车3小时行完全程的一半少30千米。如设甲乙两镇相距z千米，依据“货车的速度是客车的3/4”，可得方程：多数学生都选用了这种方法。教学时不能停留在此，继续引导学生变换一种方式思考：将已知条件“货车的速度是客车的3/4”改变一种叙述方式“货车与客车的速度比是3：4”，因行车时间相同，所以货车与客车所行路程比是3：4，即货车行3份，客车行了4份，货车比客车少行1份少行30千米，因此易知客车行了4份行了120千米，货车行了90千米，甲乙两镇相距240千米。这样，通过转化，使学生体会到分数应用题也可采用整数解法，即可采用比例应用题的方法进行解答，从而巩固与提高学生解答分数应用题的能力，更重要的是让学生感受到转化的方法能变繁为简、化难为易，有助于培养思维的灵活性，克服思维的呆板性。实际上，在数学解题中经常用到的还有诸如数形结合、化归、符号化等思想方法，恰当运用这些思想方法不仅能提高解题效率，还能激发学生强烈的求知欲与创造精神。

总之，在教学过程中，加强数学思想方法的渗透，在知识的呈现过程中，让学生感知数学思想方法，在解题思路的探索中，让学生感受数学思想方法，在实际问题的解决中，让学生体验数学思想方法，这不仅会提高学生的数学素养，还会为他们进一步学习数学打下扎实的基础。

学习过程数学思想方法 篇4

1. 在具体教学情境中, 渗透基本数学思想

数学知识的发生、发展过程, 是数学思想发生和凸现的过程。比如, 低年级学生的认知依赖性强, 数感的建立更多的是依靠直觉, 要在教学中有意识地渗透数学思想方法, 建立相应的数感, 教师就应当重视引导学生体会抽象的过程。从具体的物体到一一对应, 从对应相等的数再到多或少的过程, 进而抽象到数字的比较, 抽象到符号的认识, 就是一个从具体到半抽象、再到抽象的过程。如认识1~10的10个数字时, 教材呈现的每个数字都有一张相应的集合图。“1”的集合图里只有一个元素——1只小猫;“2”的集合图里有两个元素——2只小鸡……引导学生通过这样的对应关系来找相应的集合图, 这是学生第一次接触集合思想, 很形象地把集合中的元素与数的概念有机地联系起来, 这样的结合从学生的认知水平出发, 有利于学生的认识。

2. 在深度学习过程中, 感悟基本数学思想

(1) 深度钻研教材, 挖掘数学思想方法。教材是教学活动的基本素材。教师只有深刻领会教材的编写意图, 深入钻研教材, 才能多角度分析教材, 挖掘教材的隐性内容, 从而使“教材”变为“学材”, 使教师教有新意, 学生学有创意。如教学“用字母表示数”, 由具体的数过渡到用字母表示数是学生认识上的飞跃, 这样的教学内容较为抽象与枯燥, 在教学上有一定的难度。将学生的兴趣引入到抽象枯燥的教学概念中来, 是课堂教学关键性的问题。通过对学生熟悉的电视节目和扑克的引入, 从而顺理成章地引出了“用字母表示数”。在体验“字母可以表示一个无限大的数”时, 教师是这样创设情境的:通过一个神奇的魔盒, 让学生报一个数, 它能变成另一个数, 如学生报8, 出来的数18, 学生报5, 出来的数15……然后问学生:这样的数说得完吗?你发现了什么……学生可能用“a+10”或“k+10”或“c+10”, 有个别学生可能说到“进出的数在变化, 而它们之间的关系永远不变”。这样设计的意图是:让学生在不断探索、发现、交流、讨论的过程中, 找出字母表示数的实质内容;引导学生经历小组合作交流、归纳、证明的学习过程, 一切问题的解决显得那么容易, 从而促进了课堂的实效性, 体验了符号化的数学思想。

(2) 立足课堂, 让数学思想方法引领教学过程。数学思想是对数学知识融会贯通的理解和升华, 是对数学解题规律和数学本质的理性认识。转化是重要的数学思想方法, 在学生学习和探索数学知识的过程中有着广泛的应用。在小学数学教材中, 教师为了使学生主动运用转化的方法探索平面图形的面积计算公式, 在学生认识这些平面图形时就有意识地对转化的思想方法进行渗透。在教学平行四边形的面积时, 沿着平行四边形的高剪开, 平移得到长方形, 这样就通过把平行四边形转化成长方形从而求出其面积。在教学这部分内容时, 告诉学生这就是运用了数学思想中的转化思想。数学的思想方法除转化外还有很多种, 有序、极限、函数、化归、数形结合等都属于数学思想方法。适时适当地进行数学思想方法的渗透, 是有效提高学生数学能力和素养的重要途径和方法。在关注数学历史性和数学美的同时, 教师更应该最大限度地挖掘数学思想的魅力, 享受思维的乐趣, 使学生领悟数学知识的丰富, 数学方法的精巧, 数学思想的博大, 数学思考的美妙。

3. 根据学生思维水平, 体现数学基本思想

小学数学教学内容始终包括显性的数学基础知识和隐性的数学思想方法。在学习数学过程中, 学生要经历从理解到应用的长期发展过程, 才能逐步悟出数学知识、技能中蕴涵的数学思想。比如“众数”的教学, 完成基本习题:

(1) 找出下面两组数据的众数: (1) 2、5、2、4、2、2、10、14、6、7、2、8、12、9、11、3、2; (2) 70、66、70、80、70、50、10、70、30、44、55、32、13、60、50、70。

(2) 六年级 (1) 班第一小组同学的年龄分别是12岁、13岁、12岁、12岁、13岁、13岁、14岁、13岁、14岁、15岁。 (1) 这组年龄的众数是 () 。 (2) 如果这组中有一名13岁的同学转走了, 这组年龄的众数是 () 。 (3) 要使得其中有三个众数应该添上哪个数? (4) 有没有可能在一组数据中一个众数也没有呢?你能举例说明吗? (5) 你发现了什么?

教师列举了学生身边的事例, 通过一名学生转出、转入的形式的变化, 引导学生发现众数的特点。这样富于生活化的情境和题目的变化设计, 通过理解、应用等过程, 学生逐步“悟”出数学知识、技能中蕴涵的数学思想, 使得学生思维得到了极大的提升。

特点・思想・方法――谈数学学习 篇5

蔡美红

“数学是一切科学之母”、“数学是思维的体操”，它是一门研究数与形的科学，它无处不在。要掌握技术，先要学好数学，想攀登科学的高峰，更要学好数学。

数学，与其他学科比起来，有哪些特点？它有什么相应的思想方法？它要求我们具备什么样的主观条件和学习方法？本讲将就数学学科的特点，数学思想以及数学学习方法作简要的阐述。

一、数学的特点

（一） 数学的三大特点 严谨性、抽象性、广泛的应用性

所谓数学的严谨性，指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性，一般以公理化体系来体现。

什么是公理化体系呢？指得是选用少数几个不加定义的概念和不加逻辑证明的命题为基础，推出一些定理，使之成为数学体系，在这方面，古希腊数学家欧几里得是个典范，他所著的《几何原本》就是在几个公理的基础上研究了平面几何中的大多数问题。在这里，哪怕是最基本的常用的原始概念都不能直观描述，而要用公理加以确认或证明。

中学数学和数学科学在严谨性上还是有所区别的，如，中学数学中的数集的不断扩充，针对数集的运算律的扩充并没有进行严谨的推证，而是用默认的方式得到，从这一点看来，中学数学在严谨性上还是要差很多，但是，要学好数学却不能放松严谨性的要求，要保证内容的科学性。

比如，等差数列的通项是通过前若干项的递推从而归纳出通项公式，但要予以确认，还需要用数学归纳法进行严格的证明。

数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象。它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。它表现为高度的.概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。

至于数学的广泛的应用性，更是尽人皆知的。只是在以往的教学、学习中，往往过于注重定理、概念的抽象意义，有时却抛却了它的广泛的应用性，如果把抽象的概念、定理比作骨骼，那么数学的广泛应用就好比血肉，缺少哪一个都将影响数学的完整性。高中数学新教材中大量增加数学知识的应用和研究性学习的篇幅，就是为了培养同学们应用数学解决实际问题的能力。

二、高中数学的特点

往往有同学不能适应高中数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈，进入高三更是失去信心。为什么会这样呢？

让我们看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧。这些差别也带来了学习方法上的不一样。

1、理论加强

2、课程增多

3、难度增大

4、要求提高

三、掌握数学思想

高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学。学好它，需要我们从方法论的高度来掌握它。我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题。数学思想，实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，初步公理化思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。

例如，数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一。又比如，数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念。

再看看下面这个运用“矛盾”的观点来解题的例子。

已知动点Q在圆x2+y2=1上移动，定点P（2，0），求线段PQ中点的轨迹。

分析：此题中P、Q、M三点是互相制约的，而Q点的运动将带动M点的运动；主要矛盾是点Q的运动，而点Q的运动轨迹遵循方程x02+y02=1①；次要矛盾关系：M是线段PQ的中点，可以用中点公式将M的坐标（x，y）用点Q的坐标表示出来。

显然，用代入的方法，消去题中的x0、y0就可以求得所求轨迹。

数学思想方法与解题技巧是不同的，在证明或求解中，运用归纳、演绎、换元等方法解题问题可以说是解题的技术性问题，而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法。在解一道题时，从整体考虑，应如何着手，有什么途径？就是在数学思想方法的指导下的普遍性问题。

有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。只有在解题思想的指导下，灵活地运用具体的解题方法才能真正地学好数学，仅仅掌握具体的操作方法，而没有从解题思想的角度考虑问题，往往难于使数学学习进入更高的层次，会为今后进入大学深造带来很多麻烦。

在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。

要打赢一场战役，不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以

学习过程数学思想方法 篇6

数学学科知识的精髓所在即表现为数学思想。而对于高中阶段的数学学科的学习而言，数学思想的核心又体现在函数与方程思想中。作为一名高中生，如果能掌握函数与方程的数学思想，就能够解决大量的问题，为看似难度较大的题目挖掘大量的隐含条件，在简化解题步骤的同时，提高解题质量和解题效率。

一、方程与函数思想

方程与函数思想，可以说是高中数学函数的基本思想，在历年高考中经常出现，而且是重点和难点。目前所学习的高中教材，大部分是以知识结构作为体系进行编写的，并且这其中所蕴含的各种数学教学思想，还是见于整个教材之中，所以，对于大多数的同学而言，如果只侧重于用一种方法解答题目，不会举一反三，很容易导致数学思想方法的主观随意性。函数思想的含义是：运用运动及变化的观点，可以用来建立函数关系，或是构造函数，并且运用函数的图像及性质分析问题，或者是转化问题，从而达到解决问题的目的；方程思想的含义是：分析数学教学问题中的各个变量间的等量关系，并据此建立方程，或者是方程组，也可以构造方程，并运用方程的各种性质分析问题、转化问题，进而解决问题。方程与函数的思想，在数学学习中，它非常强调对我们个人能力的培養，而且非常注重对我们的运算能力及逻辑思维能力的训练，让我们所学的知识尽量都运用到生产生活及实际工作中。与此同时，还可以了解题的技能及技巧，以及理解题目中蕴含的各种数学思想，使得我们可以主动的将所学的知识灵活的应用于生活实践以及以后的工作当中。首先，函数思想的核心在于：通过对函数关系中的相关图像及性质为出发点，展开对相关问题的分析。在具体的数学问题中，主要可以将题目已知条件中所给出的方程问题及不等式问题转换成为函数方面的问题。具体来说，通过自方程问题向函数问题的转化，可以通过对函数性质、图像的判定为方程求解提供相关的条件支持。同时，在实践教学中发现：对于题目中所给出的不等式恒成立问题，超越不等式问题，以及求解方程根等相关问题而言，若能够实现对函数思想的合理应用，则对于简化操作步骤而言有着重要的意义。其次，方程思想的核心在于：以函数关系为出发点，构造与函数关系所对应的方程表达式。进而，通过对所构造方程表达式的进一步分析，实现对相关问题的求解。具体来说，通过自函数问题向方程问题的转换，可以将常规意义上的函数转化成为方程表达式.同时，在具体的实践操作过程中，对于二元方程组的应用是最普遍的。特别是对于涉及函数值域，以及直线/圆锥曲线位置关系等问题的求解而言，通过对方程思想的应用，往往能够取得事半功倍的效果。

二、数形结合思想

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思想为形象思想，有助于把握数学问题的本质。纵观多年来的高考试题可以发现，巧妙地运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是 “以形助数”。数形结合的思想方法应用广泛，运用数形结合思想，不仅可以轻易直观的发现解题途径，而且还能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在选择填空中更能显示其优越性。

三、化归、类比思想

化归、类比思想指的是对于需要解决的问题，将其转换归结为已有知识范围内的，可解问题的一种数学思想，简单的说就是将复杂化为简单，将陌生化为熟悉，也就是将抽象的问题，充分转化为具体直观的问题，更通俗的是将一般性的问题，经过转化，成为直观的、比较特殊的问题。而且，化归、类比思想可以说是高中数学函数中最常见、最基本的思想方法，以至于函数中，几乎一切问题的解决，几乎都是离不开化归、类比思想的。在高考中，很大部分的题目，他们的条件与目标的联系一般都不是显而易见的，只有通过不断地转化，我们才能有机会发现题目所给条件与目标之间他们的联系，从而可以慧姐吹来一个能够解决问题的方法。

四、整体结合思想

数形结合的含义是指在研究与解决数学问题的时候可以将反应问题的比较抽象的数量关系，通过与直观的平面以及空间图形相结合起来进行思考，从而得出解决问题的办法。图形整合也是通过抽象思维，与比较形象思维，有机的结合在一起来解决问题，这是一种很重要的数学解题方法。这种方法具有直观性已经灵活性的特点。

五、集合思想

集合的定义是一些特定的事物，他们所组成的整体，在这些事物中，他们中的每一个都称为这个集合的一个元素。我们可以把集合这种思想运用到日常的数学函数学习中，增强我们的集体意识，还可以利用高中数学的重要特点，也就是常说的严谨性，学会在逻辑用语中，我们应该认真看清题目，充分理解题目的意思，而且还应该能从题目所给的条件中，推敲出其他的条件，并且还可以分析出哪些条件是有用的，而哪些条件是无意义的。将那些有帮助的条件归为一个整体，为成功解题做好铺垫。

略论数学思想方法学习的几个问题 篇7

关于数学思想方法, 数学家和数学教育工作着有诸多论述。通常, 大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度对数学思想方法加以阐述, 认为数学思想是对数学对象的本质认识, 是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法, 对数学活动具有普遍的指导意义, 是数学活动的指导思想;数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。数学思想和数学方法有紧密的联系性。通常, 在强调数学活动的指导思想时称数学思想, 在强调具体操作过程时称数学方法。查阅中国期刊网, 从1980年~2008年的全部期刊中, 以“数学思想方法”为关键词进行精确匹配查询, 共有5529条记录, 它们阐述了数学思想方法概念的界定、数学思想方法的分类、数学思想方法的意义、数学思想方法的基本特征及其目标设置、数学思想方法教学的原则和教学基本途径等, 而少有涉及其学习的问题。本文尝试从心理学的角度对数学思想方法学习的几个问题进行论述。

一、数学思想方法学习的心理过程

数学教学内容始终反映着两条线, 即具体数学知识和数学思想方法。数学教材的每一章节乃至每一道题, 都体现着这两条线的有机结合, 没有脱离数学具体知识的数学思想方法, 也没有不包含数学思想方法的具体数学知识。数学思想方法并不像一般的数学知识一样编排在某一章、某一节, 而往往隐含在具体数学内容里, 分散地体现在具体知识的发生、应用过程中。正是这种隐蔽性、分散性, 决定了数学思想方法学习有着不同于一般数学知识学习的心理过程。心理过程, 是指人的心理活动发生、发展的过程。在数学思想方法学习活动中, 学生经历了什么样的心理过程是一个亟待解决的问题。

文献将数学思想方法的学习过程分为三个阶段:潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段。那么, 数学思想方法学习的心理过程如何呢?下面结合文献提出的数学思想方法的学习过程予以分析。

在数学思想方法学习的潜意识阶段, 学生往往只注意了数学学习中以外显的形式直接写在教材中的知识的学习, 注意了知识的增长, 而未曾注意到联结这些知识点的观点以及由此出发产生的解决问题的方法与策略, 即使有所察觉, 也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界。例如, 学生学习用换元法解方程时, 只是注意设未知数、换元、解换元后的方程等解题步骤, 并把换元法当作解题步骤来模仿、记忆, 而未能体会出换元思想是数学中常用的思想方法。在这一阶段, 学生只是通过观察, 把某一数学思想方法的操作作为解题步骤进行模仿、记忆, 这事实上是对数学材料、数学活动中隐含的数学思想方法的“程序性知识”———“怎么办”的知识的运用进行的模仿。在此, 我们容易知道, 学生数学思想方法的获得首先是从获得“模糊的程序性知识”开始的, 学生经历的心理过程是:模仿。

在学生接触过较多的数学问题之后, 数学思想方法的学习从潜意识阶段逐渐过渡到明朗期, 学生对数学思想方法的认识已经明朗, 开始理解数学活动中所使用的探索方法与策略, 也会概括、总结出来。例如, 学生在方程问题、不等式问题、函数问题等某一类或几类问题的解决中, 多次通过使用整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧, 从中获得了对换元法的一些初步认识, 起先还只是伴随着具体问题的一些操作步骤, 渐渐地体会到这些结合具体情境的产生式 (换元过程) 在结构上存在某些一致性 (这是一种归纳) , 并在特定的问题情境中尝试换元技巧, 检验、体会到其中的一致性, 从而概括、总结出:换元法就是在解决数学问题时, 把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化。在这一阶段, 学生对所学的数学思想方法形成了一定的理解, 并初步形成了一个概念。相应地, 数学思想方法的“程序性知识”变得清晰起来, 并开始向“陈述性知识”转化, 同时获得了一些“过程性知识”。学生经历的心理过程是:归纳、检验、概括。当然, 这一阶段需要教师有目的地对数学思想方法进行教学, 而且必须采用“化隐为显”的原则进行教学, 因为一般的数学知识本身已经比较抽象难学, 那么隐含在其背后的数学思想方法更是让学生难以自动发现并概括出来。

数学思想方法学习的深刻化阶段, 是指深入理解与实际运用思想方法的阶段, 即学生能依据题意, 恰当运用某种思想方法进行探索, 以求得问题的解决。这一阶段, 既是进一步学习数学思想方法的阶段, 也是实际运用数学思想方法的阶段。在这一阶段, 随着学生把习得的数学思想方法运用到更广泛的不同类的问题解决中, 建立了丰富的某种数学思想方法的表象, 形成了对它更深刻的理解。此时, 学生已经知道了什么条件下使用该思想方法, 掌握了该思想方法更多的技巧、手段, 具体的操作步骤被进一步地抽象、概括、升华, 形成了该思想方法的图式, 此时该数学思想方法被纳入学生的认知结构中, 并可以以其为上位知识来进行下位知识的学习, 以其为指导解决数学问题。如, 对于换元法, 通过在更广泛的不同类的问题解决中的运用, 学生掌握了整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧;知道它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式, 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用;明确使用换元法时, 要遵循有利于运算、有利于标准化的原则, 换元后要注重新变量范围的选取;知道换元的实质是转化, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理....., 所有这些, 使得原来初步概括出来的“换元法”精致化, 并一同形成一个“换元法图式”, 纳入学生的认知结构中, 并在实际情境中, 主动运用“换元法”解决问题。在这一阶段, 数学思想方法的“程序性知识”转化为“陈述性知识”, 既而又转化为“程序性知识”, “过程性知识”也丰富起来。学生经历的心理过程是:并入 (即把所学的数学思想方法同认知结构中有关的起固定作用的观念联系起来, 从而纳入认知结构) 、分离 (把思想方法从认知结构中分化出来运用于实际) 。

通过以上分析可知, 数学思想方法学习经历的是先过程后对象再过程的认知顺序, 其心理过程为:模仿、归纳、检验、概括、并入 (认知结构) 、分离。

数学思想方法学习的这一心理过程, 反映了学习者数学思想方法学习心理水平的发展, 但在不同阶段, 由于学习者的一般数学知识水平不同、元认知水平不同, 所以决定了这一心理过程不是直线式地提高或发展的, 而是一个分水平的、动态的、非线性的、反反复复的过程性发展。

二、数学思想方法学习的认知基础和心理机制

Ausubel曾经指出, 从教育心理学最基本的原理看, “影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”。学习新知识以前, 头脑里一定要具备与之有关的准备知识, 并且这些知识形成的认知结构被调动起来, 使其与新知识建立联系, 否则就不会产生理解。按心理学的观点, 理解知识最基本的机制是同化和顺应。同化是指个体将新的信息纳入到他已有的图式 (认知结构) 的过程, 就像消化系统将营养物质吸收一样;顺应是指个体调节自己的已有图式 (认知结构) , 以适应新的环境的过程。当个体接触新的环境信息时, 首先会用已有的图式 (认知结构) 去同化它, 如果成功, 则丰富了相应图式的内涵, 并得到暂时的平衡, 如果已有的图式不能同化, 个体便会作出顺应, 直至达到认知上新的平衡。所以, 数学思想方法的学习应该以该思想方法一定的认知结构为基础, 这个基础就是与该思想方法有密切联系的知识、方法的图式以及图式之间内在联系的认知;而且数学思想方法学习的心理机制, 就是以这些图式以及图式之间内在联系的认知为基础, 通过对该思想方法进行同化和顺应, 使原有的认知结构得以不断地重组、更新, 从而促成数学思想方法的学习螺旋式的发展。

以化归思想方法为例, 它包括三个基本要素:化归的对象、化归的目标和化归的方法。化归思想方法的运用需要个体具备一定的数学模式 (或规范问题) 作为化归的目标、需要化归的方法和手段。所以, 个体数学结构中的化归对象的图式、数学模式 (或规范问题) 的图式、化归的方法和技巧等是化归思想方法学习的基础。个体的化归思想方法是通过将不同情境下的一系列化归方法如换元法、构造法、关系映射反演原则 (RMI原则) 等的操作加以概括、升华, 并内化而获得的。在初中阶段, 学生经过同化和顺应来学习化归思想, 但由于头脑中与形成化归思想相联系的化归对象、化归的目标和化归的方法却十分有限, 所以这个学习只能说是非常初步的。高中阶段进一步地学习拓宽了学生的数学知识结构, 学生具备了更多的数学模式, 如基本不等式、基本初等函数、等差数列、等比数列等, 它们都可以作为化归的目标, 学生运用的构造法、数形结合法、关系映射反演原则等都可以成为化归的方法, 个体经过同化和顺应, 拥有了更多的化归表象, 从而在认识各表象之间的区别、联系的基础上, 概括出各种化归现象中特殊的、相关的性质, 进而使化归活动形式化;学习者通过反省这个形式化过程, 并对思考的结果进行整理和组织, 从中促成化归思想方法学习新的发展。

三、元认知对数学思想方法学习的影响

元认知是Flavell在20世纪70年代发表的著作《认知发展》中首先提出的。元认知就是认知的认知。董奇认为, 元认知包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个成分。元认知知识就是有关认知知识的一般知识, 包括以下三方面的内容: (1) 有关认知主体方面的知识; (2) 有关认知在材料任务方面的知识, 包括材料的性质、长度、材料的熟悉性、结构特点、主观方式、逻辑性等因素的认识, 还包括对于认知的目的、任务、要求的认识。 (3) 有关认知策略方面的知识, 包括进行认知活动应有的策略以及各种认知策略的有效性、运用条件、如何使用等。元认知体验是任何伴随着认知活动的认知体验或情感体验。元认知监控是个体在进行认知活动的全过程中, 将自己正在进行认知活动作为意识对象, 不断地进行积极、自觉的监视、控制和调节。它主要包括制定计划、实际控制、检查结果、采取补救措施等四个方面。

元认知迁移理论认为, 认知策略的迁移要达到可以在多种情境中迁移的程度, 一个重要的条件是学习者的元认知水平。元认知的水平直接影响着认知策略的迁移, 数学思想方法是认知策略范畴的知识, 所以元认知的水平影响着数学思想方法的学习。

1. 元认知知识中, 有关认知材料、认知任务方面的知识是形成数学思想方法以及提取、运用数学思想方法的基础

一方面, 对数学材料的一定程度的认识, 是指个体对所提供的材料建立初步的内部心理表征, 它有助于寻找原有知识结构中与之相联系的相关知识, 以及它们之间的相互联系, 使新的数学内容能比较顺利地与原有的知识建立实质性的联系, 这种联系是形成数学思想方法的前提;另一方面, 数学思想方法是程序性知识, 可以表征为双向产生式或产生系统, 产生式是指一条“条件———行动”规则, 而有关认知在任务方面的知识是主体展开认知活动的向导, 认识所面临的认知任务、认知目标事实上也就确定了认知活动的目标指向, 这样就可以找到相应的“条件—活动”的产生式, 从而激活对应的思想方法, 进行提取、运用。

2. 元认知中有关认知策略方面的知识能促进数学思想方法的学习

数学思想方法是程序性知识。学习者对程序性数学知识的理解[2], 是指他建立了双向产生式和产生式系统。所以可以认为, 数学思想方法的理解是指学习者建立了某种涵盖一系列数学知识、技巧、方法的双向产生式和产生式系统。当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时, 这两个产生式便建立了相互的联系, 若一组产生式有这种相互联系, 便形成一个产生式系统, 产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识。双向产生式是一种具有双重功能的指令, 它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作, 又能指令在不同的情形中选用不同的产生式。换言之, 学习者不仅知道“如果……那么……”, 而且还知道在什么条件下去使用这个“如果……那么……”。而元认知中有关认知策略方面的知识包括进行认知活动应有的策略以及各种认知策略的有效性、运用条件、如何使用等。所以, 有较好的数学认知策略知识, 就能使学习者更好地认识到数学思想方法的价值, 并进行积极主动的运用, 从而促进数学思想方法的学习。

3. 数学思想方法学习必须经历元认知体验

从数学思想方法的形成来看, 它是个体在对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中进行不断的体验、领悟、反思, 并在此基础上升华得到的, 是个体在数学活动中对数学知识之间、数学方法之间存在的内在联系的认识以及发生联系的反思, 这是关系的体验和观念的体验, 它们分别归属于元认知体验中的认知体验和情感体验。所以说, 个体学习数学思想方法必须经历元认知体验。

4. 元认知监控能促使个体在数学活动中正确选择数学思想方法、深刻理解数学思想方法

在数学活动中, 个体对面临的数学学习材料和任务进行认知监控, 以判断能否将问题归结到某一数学思想方法下进行处理。元认知监控会引导个体关注新旧知识之间的联系, 有意识地把新内容置于某一种 (或几种) 数学思想方法之下进行处理, 这将有助于形成新的数学思想方法, 丰富、提升对原有数学思想方法的理解。在具体的数学学习活动结束之后, 元认知监控的作用是对活动结果、过程的反思, 这又是形成数学思想方法和深化思想方法理解关键的一环。

参考文献

[1]郑君文, 张恩华.数学学习论.南宁:广西教育出版社, 2001.

学习过程数学思想方法 篇8

一、数学思想方法的含义

数学思想是指师生对数学理论知识和内容本质的认识,数学方法是应用数学思想的具体形式,两者在本质上并没有区别,差别只是站在不同的角度看问题。数学思想是对数学知识和结合以及解答方法的认识,能够有效解决数学问题。数学思想方法是解决数学问题的工具,它从数学教学内容中汲取精髓,将理论知识运用到运用到实践中。数学思想方法总结了数学知识的原理、概念,在初中数学教学中,常用的数学思想方法有配方法、换元法、类比法、转化与化归、分类讨论、数形结合等。

二、数学思想方法在初中数学合作学习中的应用

合作学习是初中数学学习新模式,数学思想方法能够在合作学习中发挥作用。2014年3月~2015年6月,选取八年级两个致远班为研究对象,采用类比方法进行分析,班级一在数学合作学习中运用数学思想方法,班级二在数学合作学习中运用常规方法,并且以一个学期四个月为时间段,分析每个月学生的学习状况。班级一运用数学思想在合作学习中采用数学思想方法,将班级学生分成四个小组,首先教师给学生设置问题,让学生主动思考,例如在反比例函数学习中:⑴定义:y=k/x=kx-1 或xy=k(k≠0)。⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。⑶性质:1k>0时,图象位第一、三象限,y随x的增大而增大;2k<0时,图象的两个分支位于第二、四象限,y随x的增大而减小;3两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。在研究反比例函数时,每组学生讲述自己的思维方式。学生通过自己思考,并用逆向思维思考解决数学问题,根据双曲线在坐标轴上的分布情况,提炼规律,将数学思维方法应用在初中数学合作学习中。班级二学生尚未开动脑筋、主动思考,教师将函数知识讲授给学生,学生未能采用逆向思维去剖析函数图像情况,只是学习老师讲的内容。在四个月的学习中,班级一每堂课合作学习都应用数学思想方法,班级二则尚未应用数学思维方法,每个月对两个班级积进行考评,班级一平均分数为91.46分,班级二平均分数为82.45分,两个班级分数还是有一定差距的,由于班级一在合作学习中应用了数学思想方法,所以教学取得了很好的效果。

三、数学思想方法在合作学习中的优势

(一)丰富了学生合作学习方法

初中数学教学采用合作学习方式可以促进学生之间交流,学生在相互学习过程中互相监督,并提出各自的意见,集思广益。将数学思想方法应用在合作学习中,能够实现学生用逆向思维思考问题,发散思维,这样学生合作学习的方法不会局限在原有层次上,而是从正、逆向同时考虑问题,丰富了学生合作学习方法。

(二)促进学习观念迁移

学生的学习效果是受外部与内部条件共同作用的,学习也是需要一定能力的,通过数学思想方法能够实现将一种学习方式迁移到另外一种学习方式,转变学生学习观念,打破固有的思维模式,增强整体意识,从而形成良好的学习习惯,掌握更多的学习内容和学习方法。

(三)提高初中数学教学质量

数学思想方法在初中数学合作学习中应用可以解决通过用题海战术来学习数学错误的思想,更重要的是克服教师在授课中不会将教学内容深入展开,打破教师照课本授课的局面。教师和学生通过数学思维方法挖掘数学内容,重视解题技巧和思维方法,教师精心设计教案,在课上给学生设置问题,学生将正向思维和逆向思维相结合,对教学内容有深层次理解,从而提高教学质量。

四、结论

数学思想方法是以教材内容为基础并进行深入研究,以学生为主导地位,通过在合作学习过程中完美的吸收、消化数学知识,将数学思想方法应用在数学合作学习模式中对科学、有效的教学起到巨大作用。因此,初中数学教师要积极组织学生合作学习,并对数学思想方法在现有基础上进行完善和创新,将数学知识与数学思想方法有机结合,从而完善初中教学方法,形成一套完整的数学教学体系。

摘要：数学是初中教学的重要内容,也是一门非常重要课程。但是,很多学生并不能把握住数学的学习要点,未能学习到数学的精髓,导致学生成绩没有显著提升,新课改下,初中数学合作学习模式是学习方法的创新,可以帮助学生更好的学习数学知识,而且数学思想方法对合作学习有重要的意义。本文针对当今数学思想方法在初中数学合作学习模式中的应用展开讨论,从而提高初中数学教学质量,提升学生学习成绩。

学习过程数学思想方法 篇9

一、渗透符号化思想,初步培养符号意识

数学离不开符号,数学处处要用到符号。根据数学课程标准的要求,教师要把培养学生符号意识作为必学的内容重点进行教学。

小学一年级的学生能从具体情境中抽象出数量,并能用符号表示。如数字1,它可以表示现实生活中任何数量是一的物体的个数,也可以是一群、一堆等物体个数的集合,它是一种高度的抽象概括,具有一定的抽象性。除了用阿拉伯数字0到9表示数,还可以在数轴上用数来表示。例如,在学习了“交换”这个内容后,我设计练习题,让学生们根据“15+12=27”,“12+15=27”这两道算式得出“15+12=12+15”这样一组连等的算式,随后引导学生发现100以内任意两个数相加都可以把这两个加数的顺序交换一下来写,得数都相等。在课堂上看着学生写出的一组组的算式,我问学生是不是只有这些算式,马上就有学生回答还可以是“a+b=b+a”,可以是“甲数+乙数=乙数+甲数”,甚至还有学生能运用符号来表示一些具体的数或量。

二、渗透数形结合思想,激发学生学习兴趣

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化,使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维和形象思维的协调发展。

小学一年级学生的逻辑思维能力正在学习的过程中逐步建立,在学习数学的时候,学生必须要面对数学的抽象性这一难点,为了让学生们能够很好地将数学问题转化为容易理解的方式,我借助数形结合思想中的图形直观手段,为学生提供更形象的解决方案。

例如,在数的大小的认识中,课本中引入“数射线”这一概念,我在黑板上画出一条直直的、长长的、带有箭头的线,在线的上面有均匀的小竖线,这就在小朋友的脑子里第一次形成了数射线的概念,有了直观的图形感受。接着我引出了从0开始的10个数字,在数射线上,学生们可以清晰地看到越往右边的数字越大,越往左边的数字越小,然后再通过数射线可以学习数的顺序,比较数的大小等,通过这样形象的图形,学生学习起来更直观,更事半功倍。

三、渗透函数思想,初步感知函数概念

在整个小学数学中没有学习函数的具体要求,但函数思想在其他数学知识的学习中还是有所渗透的。例如,加法学习中,一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为“y=x+b”,这就渗透了一次函数的思想;又如,积的变化规律中,一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化,可表示为“y=kx”,渗透正比例函数思想;再如,商的变化规律渗透了反比例思想等。因此用函数表示数量关系和变化规律,有助于学生形成模型思想。下面介绍一个案例:在学习20以内的进位加法课上,我设计“找找和是14的数”这一教学环节,让学生根据已有的经验,找出“5+9、6+8、7+7、8+6、9+5”这些算式,然后发现了一个加数依次增加1而另一个加数依次减少1,它们的和不变的规律。在之后的巩固练习中,我再出示“9+5,9+6,9+7,9+8”几组算式,引导学生发现一个加数不变,另一个加数每次增加1,它们的和也每次增加1这一规律。

在这个过程中,学生感受到了形的变化与数的函数变换之间的关联。

四、渗透分类讨论思想,初步学会分类整理

学生面对比较复杂的问题,有时无法通过统一研究或者整体研究解决,需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论,再把每一类的结论综合,这种解决问题的思想方法就是分类讨论的方法。小学一年级的数学学习也可以采用这种方法。

例如,对加法、减法算式进行分类整理的学习中,我给出以下几个式子:“46+18,22+10,34+7,25+32,17+36,6+18,25+3,4+92”,让学生按要求填入下表:

学生通过知识的积累与分析,非常清晰地把这些算式按照要求进行了分类。除了对算式分类,还可以训练学生对图形、物品进行分类。学生通过这种的分类学习,能够逐步渗透分类、统计的思想,为以后的概率与统计的学习打下扎实的基础。

五、渗透推理思想,培养学生语言表达能力

推理思想的培养是一个长期的过程,教师可以在小学低年级阶段就开始进行引导。

小学低年级数学学习中有很多地方都能运用到推理,例如找规律、总结计算方法,都用到了推理法。在数列中,同样也渗透了推理的能力,如“1,3,5,(),(),11”这个数列,学生通过观察可以发现前面三个数都是单数,而且是按从小到大的顺序这一规律,进而推理得出空格里填“7,9”;也可以通过后面一个数比前面一个数大2这个规律来推理得出结论。

学习过程数学思想方法 篇10

一、方程思想

所谓方程思想, 就是从分析问题的数量关系入手, 通过设定未知数, 把问题中的已知量与未知量的数量关系, 转化为方程或方程组等数学模型, 然后利用方程的理论或方法, 使问题得到解决。

二、化归与转化思想

“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题或已经熟悉的问题, 将复杂的问题转化成简单的问题, 也就是将“未知”的问题“已知化”, “复杂”的问题“简单化”, 最终使问题得到解决的思想方法。例如:有理数的减法运算转化为加法运算;除法运算转化为乘法运算;高次方程转化为低次方程;二元一次方程组转化为一元一次方程;将四边形问题转化为三角形问题等都体现了化归与转化的思想方法。

三、分类讨论思想

为了解决问题, 按照数学对象的共同性和差异性, 将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类, 然后逐一解决, 从而最终解决整个问题。例如:有理数的分类、整式的分类、去绝对值符号问题、比较两个整式大小问题、与不等式有关的方案设计问题等都体现或运用了分类讨论思想。正确的分类必须周全, 做到不重不漏, 最后应总结各种讨论的结果。

四、整体思想

与分解、分步处理问题相反, 整体思想是将问题看成一个完整的整体, 从大处着眼, 由整体入手, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑。例如:代数式中的整体求值、整体代换;方程中的整体加减、整体换元等都体现了整体思想方法的运用。在整体思想中, 往往能够找到问题的捷径。整体思想是一种重要的思想, 也是一种技巧与方法。

五、数形结合思想

数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系, 既分析其数量关系, 又揭示其几何意义, 使数量关系和几何图形巧妙地结合起来, 用图形来直观体现数量的关系, 用数量关系来体现图形的性质。例如:用数轴上点的位置关系来说明有理数大小关系;用函数的图像来说明函数的性质;直角三角形与勾股定理等都体现了数形结合思想。利用数形结合思想说明或解决问题可使问题更加形象、直观。

灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本之所在。因此在平时学习过程中, 应注意总结体会解各类数学习题中的思想和方法, 培养用数学思想方法去解决问题的能力。

略论数学思想方法学习的几个问题 篇11

一、数学思想方法学习的心理过程

数学教学内容始终反映着两条线,即具体数学知识和数学思想方法。数学教材的每一章节乃至每一道题,都体现着这两条线的有机结合,没有脱离数学具体知识的数学思想方法,也没有不包含数学思想方法的具体数学知识。数学思想方法并不像一般的数学知识一样编排在某一章、某一节,而往往隐含在具体数学内容里,分散地体现在具体知识的发生、应用过程中。正是这种隐蔽性、分散性,决定了数学思想方法学习有着不同于一般数学知识学习的心理过程。心理过程,是指人的心理活动发生、发展的过程。在数学思想方法学习活动中,学生经历了什么样的心理过程是一个亟待解决的问题。

文献将数学思想方法的学习过程分为三个阶段:潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段。那么,数学思想方法学习的心理过程如何呢?下面结合文献提出的数学思想方法的学习过程予以分析。

在数学思想方法学习的潜意识阶段,学生往往只注意了数学学习中以外显的形式直接写在教材中的知识的学习,注意了知识的增长,而未曾注意到联结这些知识点的观点以及由此出发产生的解决问题的方法与策略,即使有所察觉,也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界。例如,学生学习用换元法解方程时,只是注意设未知数、换元、解换元后的方程等解题步骤,并把换元法当作解题步骤来模仿、记忆,而未能体会出换元思想是数学中常用的思想方法。在这一阶段,学生只是通过观察,把某一数学思想方法的操作作为解题步骤进行模仿、记忆,这事实上是对数学材料、数学活动中隐含的数学思想方法的“程序性知识”——“怎么办”的知识的运用进行的模仿。在此,我们容易知道,学生数学思想方法的获得首先是从获得“模糊的程序性知识”开始的,学生经历的心理过程是:模仿。

在学生接触过较多的数学问题之后,数学思想方法的学习从潜意识阶段逐渐过渡到明朗期,学生对数学思想方法的认识已经明朗,开始理解数学活动中所使用的探索方法与策略,也会概括、总结出来。例如,学生在方程问题、不等式问题、函数问题等某一类或几类问题的解决中,多次通过使用整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧,从中获得了对换元法的一些初步认识,起先还只是伴随着具体问题的一些操作步骤,渐渐地体会到这些结合具体情境的产生式(换元过程)在结构上存在某些一致性(这是一种归纳),并在特定的问题情境中尝试换元技巧,检验、体会到其中的一致性,从而概括、总结出:换元法就是在解决数学问题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化。在这一阶段,学生对所学的数学思想方法形成了一定的理解,并初步形成了一个概念。相应地,数学思想方法的“程序性知识”变得清晰起来,并开始向“陈述性知识”转化,同时获得了一些“过程性知识”。学生经历的心理过程是:归纳、检验、概括。当然,这一阶段需要教师有目的地对数学思想方法进行教学,而且必须采用“化隐为显”的原则进行教学,因为一般的数学知识本身已经比较抽象难学,那么隐含在其背后的数学思想方法更是让学生难以自动发现并概括出来。

数学思想方法学习的深刻化阶段,是指深入理解与实际运用思想方法的阶段,即学生能依据题意,恰当运用某种思想方法进行探索,以求得问题的解决。这一阶段,既是进一步学习数学思想方法的阶段,也是实际运用数学思想方法的阶段。在这一阶段,随着学生把习得的数学思想方法运用到更广泛的不同类的问题解决中,建立了丰富的某种数学思想方法的表象,形成了对它更深刻的理解。此时,学生已经知道了什么条件下使用该思想方法,掌握了该思想方法更多的技巧、手段,具体的操作步骤被进一步地抽象、概括、升华,形成了该思想方法的图式,此时该数学思想方法被纳入学生的认知结构中,并可以以其为上位知识来进行下位知识的学习,以其为指导解决数学问题。如,对于换元法,通过在更广泛的不同类的问题解决中的运用,学生掌握了整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧;知道它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用;明确使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取;知道换元的实质是转化,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.....,所有这些,使得原来初步概括出来的“换元法”精致化,并一同形成一个“换元法图式”,纳入学生的认知结构中,并在实际情境中,主动运用“换元法”解决问题。在这一阶段,数学思想方法的“程序性知识”转化为“陈述性知识”,既而又转化为“程序性知识”,“过程性知识”也丰富起来。学生经历的心理过程是:并入(即把所学的数学思想方法同认知结构中有关的起固定作用的观念联系起来,从而纳入认知结构)、分离(把思想方法从认知结构中分化出来运用于实际)。

通过以上分析可知,数学思想方法学习经历的是先过程后对象再过程的认知顺序,其心理过程为:模仿、归纳、检验、概括、并入(认知结构)、分离。

数学思想方法学习的这一心理过程,反映了学习者数学思想方法学习心理水平的发展,但在不同阶段,由于学习者的一般数学知识水平不同、元认知水平不同,所以决定了这一心理过程不是直线式地提高或发展的,而是一个分水平的、动态的、非线性的、反反复复的过程性发展。

二、数学思想方法学习的认知基础和心理机制

Ausubel曾经指出,从教育心理学最基本的原理看,“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”。学习新知识以前,头脑里一定要具备与之有关的准备知识,并且这些知识形成的认知结构被调动起来,使其与新知识建立联系,否则就不会产生理解。按心理学的观点,理解知识最基本的机制是同化和顺应。同化是指个体将新的信息纳入到他已有的图式(认知结构)的过程,就像消化系统将营养物质吸收一样;顺应是指个体调节自己的已有图式(认知结构),以适应新的环境的过程。当个体接触新的环境信息时,首先会用已有的图式(认知结构)去同化它,如果成功,则丰富了相应图式的内涵,并得到暂时的平衡,如果已有的图式不能同化,个体便会作出顺应,直至达到认知上新的平衡。所以,数学思想方法的学习应该以该思想方法一定的认知结构为基础,这个基础就是与该思想方法有密切联系的知识、方法的图式以及图式之间内在联系的认知;而且数学思想方法学习的心理机制,就是以这些图式以及图式之间内在联系的认知为基础,通过对该思想方法进行同化和顺应,使原有的认知结构得以不断地重组、更新,从而促成数学思想方法的学习螺旋式的发展。

以化归思想方法为例,它包括三个基本要素:化归的对象、化归的目标和化归的方法。化归思想方法的运用需要个体具备一定的数学模式(或规范问题)作为化归的目标、需要化归的方法和手段。所以,个体数学结构中的化归对象的图式、数学模式(或规范问题)的图式、化归的方法和技巧等是化归思想方法学习的基础。个体的化归思想方法是通过将不同情境下的一系列化归方法如换元法、构造法、关系映射反演原则(RMI原则)等的操作加以概括、升华,并内化而获得的。在初中阶段,学生经过同化和顺应来学习化归思想,但由于头脑中与形成化归思想相联系的化归对象、化归的目标和化归的方法却十分有限,所以这个学习只能说是非常初步的。高中阶段进一步地学习拓宽了学生的数学知识结构,学生具备了更多的数学模式,如基本不等式、基本初等函数、等差数列、等比数列等,它们都可以作为化归的目标,学生运用的构造法、数形结合法、关系映射反演原则等都可以成为化归的方法,个体经过同化和顺应,拥有了更多的化归表象,从而在认识各表象之间的区别、联系的基础上,概括出各种化归现象中特殊的、相关的性质,进而使化归活动形式化;学习者通过反省这个形式化过程,并对思考的结果进行整理和组织,从中促成化归思想方法学习新的发展。

三、元认知对数学思想方法学习的影响

元认知是Flavell在20世纪70年代发表的著作《认知发展》中首先提出的。元认知就是认知的认知。董奇认为,元认知包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个成分。元认知知识就是有关认知知识的一般知识,包括以下三方面的内容:(1)有关认知主体方面的知识;(2)有关认知在材料任务方面的知识,包括材料的性质、长度、材料的熟悉性、结构特点、主观方式、逻辑性等因素的认识,还包括对于认知的目的、任务、要求的认识。(3)有关认知策略方面的知识,包括进行认知活动应有的策略以及各种认知策略的有效性、运用条件、如何使用等。元认知体验是任何伴随着认知活动的认知体验或情感体验。元认知监控是个体在进行认知活动的全过程中,将自己正在进行认知活动作为意识对象,不断地进行积极、自觉的监视、控制和调节。它主要包括制定计划、实际控制、检查结果、采取补救措施等四个方面。

元认知迁移理论认为,认知策略的迁移要达到可以在多种情境中迁移的程度,一个重要的条件是学习者的元认知水平。元认知的水平直接影响着认知策略的迁移,数学思想方法是认知策略范畴的知识,所以元认知的水平影响着数学思想方法的学习。

1.元认知知识中,有关认知材料、认知任务方面的知识是形成数学思想方法以及提取、运用数学思想方法的基础

一方面,对数学材料的一定程度的认识,是指个体对所提供的材料建立初步的内部心理表征,它有助于寻找原有知识结构中与之相联系的相关知识,以及它们之间的相互联系,使新的数学内容能比较顺利地与原有的知识建立实质性的联系,这种联系是形成数学思想方法的前提;另一方面,数学思想方法是程序性知识,可以表征为双向产生式或产生系统,产生式是指一条“条件——行动”规则,而有关认知在任务方面的知识是主体展开认知活动的向导,认识所面临的认知任务、认知目标事实上也就确定了认知活动的目标指向,这样就可以找到相应的“条件—活动”的产生式,从而激活对应的思想方法,进行提取、运用。

2.元认知中有关认知策略方面的知识能促进数学思想方法的学习

数学思想方法是程序性知识。学习者对程序性数学知识的理解[2],是指他建立了双向产生式和产生式系统。所以可以认为,数学思想方法的理解是指学习者建立了某种涵盖一系列数学知识、技巧、方法的双向产生式和产生式系统。当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时,这两个产生式便建立了相互的联系,若一组产生式有这种相互联系,便形成一个产生式系统,产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识。双向产生式是一种具有双重功能的指令,它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作,又能指令在不同的情形中选用不同的产生式。换言之,学习者不仅知道“如果……那么……”,而且还知道在什么条件下去使用这个“如果……那么……”。而元认知中有关认知策略方面的知识包括进行认知活动应有的策略以及各种认知策略的有效性、运用条件、如何使用等。所以,有较好的数学认知策略知识,就能使学习者更好地认识到数学思想方法的价值,并进行积极主动的运用,从而促进数学思想方法的学习。

3.数学思想方法学习必须经历元认知体验

从数学思想方法的形成来看,它是个体在对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中进行不断的体验、领悟、反思,并在此基础上升华得到的,是个体在数学活动中对数学知识之间、数学方法之间存在的内在联系的认识以及发生联系的反思,这是关系的体验和观念的体验,它们分别归属于元认知体验中的认知体验和情感体验。所以说,个体学习数学思想方法必须经历元认知体验。

4.元认知监控能促使个体在数学活动中正确选择数学思想方法、深刻理解数学思想方法

在数学活动中,个体对面临的数学学习材料和任务进行认知监控,以判断能否将问题归结到某一数学思想方法下进行处理。元认知监控会引导个体关注新旧知识之间的联系,有意识地把新内容置于某一种(或几种)数学思想方法之下进行处理,这将有助于形成新的数学思想方法,丰富、提升对原有数学思想方法的理解。在具体的数学学习活动结束之后,元认知监控的作用是对活动结果、过程的反思,这又是形成数学思想方法和深化思想方法理解关键的一环。

参考文献

[1] 郑君文,张恩华.数学学习论.南宁:广西教育出版社,2001.

[2] 喻平.数学教育心理学.南宁:广西教育出版社,2004.