发散思维用素材（共8篇）
发散思维用素材 篇1
教学素材是知识点的载体, 不同类型的教学素材表述同一知识点的效果不同, 同样的教学素材以不同的方式呈现, 也会产生不同的教学效果。因此, 教师在数学教学中应善于优化教学素材呈现方式, 充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响, 开发并向学生提供丰富的学习素材, 有效地改进教与学的方式。笔者在教学“用字母表示数”这一课时, 借助电教媒体着力优化教学素材的呈现方式, 巧妙设计例题、习题的呈现形式, 使教学素材更具启发性, 让数学课堂教学变得丰满而充实。下面, 笔者就“用字母表示数”一课中几处教学素材的呈现细节谈谈体会。
一、呈现有序素材, 彰显内在规律
在数学课堂教学中呈现教学素材, 尤其是包涵一定规律的教学素材时, 应该注意素材呈现的顺序和时机, 让数学素材所包涵的规律能够清晰地展示在学生眼前, 以利于学生观察、比较、抽象、概括规律, 促进学生思维能力发展。
在教学“用字母表示数”一课的例题1时 (如图1) , 教师首先利用PPT投影出示用3根小棒摆1个三角形的图形并提问:摆1个三角形用几根小棒?如果把摆1个三角形用的小棒根数写成算式来表示就是“1×3”, 那么, 摆2个三角形 (利用PPT“自定义动画”功能出示摆2个三角形的图形) 用的小棒根数怎样用算式表示呢?学生轻松说出答案“2×3”。接着, 教师分别出示摆3个、4个三角形的图形并追问, 学生顺着思维的“惯性”说出答案“3×3”和“4×3”。此时, 教师不再出示图形, 而是直接追问:接着摆下去呢?学生如诵读儿歌般齐答:摆5个三角形用的小棒根数是“5×3”, 摆6个三角形用的小棒根数是“6×3”……此时, 学生回答问题的声音愈来愈低。
小学中、高年级的学生以具体形象思维为主, 逐步向抽象逻辑思维过度。因此, 在学生学习“用字母表示数”时, 一般不再要求学生分别动手用小棒摆三角形, 但教师可以通过课件为学生提供直观的操作图形, 让学生有直观的感知。因此, 例题还是出示了用小棒摆三角形的图形, 为学生提供形象的感知素材。在一般的课堂教学中, 教师往往一下子投影出示例题全图, 即用12根小棒摆出的4个三角形和相应的4个问题。然后, 再依次提问:摆1个三角形用几根小棒?怎样用算式表示?摆2个、3个三角形呢?虽然学生一下子看到用小棒摆4个三角形的全图, 但还得从摆1个三角形用小棒的根数说起。显然, 这样的呈现方式有点“乱”。正是看到这种素材展示方式的弱点, 笔者利用PPT中的“自定义动画”功能, 依次出示摆1个、2个、3个、4个三角形的图形以及相应的问题, 教师相机提问, 让学生有序思考。从而, 让三角形个数与所用小棒根数之间的关系在图形的依次呈现中直观地显露出来。这样, 学生对摆三角形所用小棒根数和三角形个数之间关系的感知更加清晰、充分。优化素材呈现细节, 不仅使教学素材的内在规律得到彰显, 更引领学生思维发展。
二、呈现跳跃素材, 提升思维张力
在数学课堂教学中, 教师应该准确把握学生的思维发展状况, 精心设计难易适中的教学素材, 既保证教学素材有一定的难度, 激发学生探索的欲望, 也要保证学生经过积极的探索能够收获成功的喜悦。从而促进学生自主建构, 发展学生思维能力。
在学生回答问题音量渐渐变小后, 教师用手势打住学生口答, 然后提问:刚才, 我们都是一个一个地依次增加用小棒摆三角形的个数, 答案很容易找到, 能跳着说吗?比如:摆10个三角形 (利用PPT“自定义动画”功能投影出示摆10个三角形的图形) 用的小棒根数怎样表示?20个、100个呢?更多个呢?学生一下子又来了精神:摆10个三角形用的小棒根数是“10×3”, 摆20个三角形用的小棒根数是“20×3”……摆了无数个三角形, 用了“无数×3”根小棒;摆了a个三角形, 用的小棒根数应该是“a×3”……
在教材的例题中, 只出示了用小棒摆成的4个三角形, 并在图形下面出示4个问题。其中:在“摆4个三角形用小棒的根数是: ( ) ×3”后面, 直接出示了“摆a个三角形用小棒的根数是: ( ) × ( ) ”。应该说, 三角形的个数从4个一下子到a个是有点突然的, 而直接出示摆a个三角形的表示方式也让学生失去了一个探索、创造的过程。或许, 编者的本意并非如此, 只因教材是“静止”的, 它难以动态呈现教学素材。上述教学案例中, 教师正是吃透教材例题的编写意图, 在出示了4个三角形图形后, 不再顺次出示摆三角形的图形, 而是让学生直接口述依次摆下去所用小棒的根数, 接着, 再以激励口吻追问, 并辅以课件出示小棒摆无数个三角形的图形。学生的思维一下子被打开了, 不再拘泥于一个一个地增加摆三角形, 而是跳跃着思考摆10个、20个、100个及更多三角形时, 三角形个数与小棒根数之间的关系及表示小棒根数的算式……这样, 三角形个数与小棒根数之间的关系得到进一步的抽象、提炼, 用含有字母的式子表示数量及数量之间关系的认知得到进一步深化。同时, 也激发了学生探索新知的欲望和深刻思考的激情, 自然创造出所要学习的新知。显然, 优化素材呈现细节, 不仅激发学生思维“跳跃”, 更提升学生思维的张力。
三、呈现开放素材, 放大例题功能
数学教材中的例题具有科学性、典型性、示范性等特点, 它是帮助学生掌握数学知识、训练基本技能、提高思维能力的重要载体, 更是促进学生积极探索、交流、讨论的重要内容。在数学教学中, 教师不能就题讲题、照本宣科, 而应该在深入研究例题的基础上, 用足、用活、用好例题, 放大例题的教学功能, 促进学生思维的发展。
教师在教学例题2 (如图2) 的时候, 没有直接出示例题原题, 而是对例题的背景及素材展示形式进行创新, 利用PPT“控件工具箱”里的“文本框”输入功能出示了如下例题:
学校美术组有24人。书法组比美术组多“□”人。书法组有“□”人。
学生在解答这样的习题时, 发现例题中缺少书法组比美术组多的人数, 感到解决问题有点困难。此时, 教师启发提问:你想让书法组比美术组多多少人?学生自然地想到在空格中填上数字5、8、10……表示书法组的人数就是24+5、24+8、24+10……教师再相机诱导:除了具体的数字外, 还可以填写什么呢?学生顺势想到字母a、b、c、x……表示书法组的人数就是24+a、24+b、24+c、24+x……教师再相机在空格里输入a、b、c、x……然后, 教师出示“如果x = 10, 书法组有多少人?x=14呢?”等问题, 学生一一解答。接着, 再次追问:如果把“书法组比美术组多‘□’人”中的“多”字改为“少”字, 这些问题又该怎样解答……
正如叶圣陶先生所说:“教材无非是个例子。”在数学教学中, 教师要善于研究每道例题的本质特征, 领会编者的意图, 充分发掘例题内涵, 引领学生深入探索, 掌握每道例题所蕴含的数学知识, 放大每道例题的教学功能, 不仅让学生对例题本身有了深刻的理解, 更让学生的思维能力和创新意识得到应有发展。上述案例中, 教师在深入分析教材的基础上, 巧妙利用PPT“控件工具箱”里的“文本框”输入功能, 开放例题的条件, 在PPT播放状态下, 随机呈现学生给出的条件, 不仅激发了学生的学习兴趣, 更激活了学生的发散思维。后续的问题“如果x =10, 书法组有多少人?x=16呢?”更让学生领悟到:当x的值变化时, 24+x也跟着变化, 当x的值确定时, 24+x的值也确定了, 自然渗透函数思想。优化素材呈现细节, 不仅放大了例题的教学功能, 也发展了学生的思维能力, 更有机渗透函数的变与不变思想。
精彩的素材展示源于教师透彻地解读教材, 在自觉优化素材呈现方式、彰显素材的启发性的过程中, 关注学生自主学习的愿望和能力, 促进他们全面、持续、和谐发展;精彩的素材展示源于教师对学生的深度了解, 对儿童年龄特点和认知规律的通透把握, 对知识结构呈现顺序和表达方式的反复推敲和精细打磨, 教师始终站在儿童数学学习与发展的立场上, 细致体察儿童的认知发展规律与需求, 努力将数学学科自身的逻辑与儿童认知发展的逻辑相互映照, 着力帮助学生建立并逐步完善认知结构, 实现知识结构与认知结构的和谐统一;精彩的素材展示源于教师对教学理念的精准把握, 源于教师对教法的娴熟驾驭, 更源于教师对现代教育技术的巧妙运用。精彩的素材展示细节, 成就精致课堂, 彰显思维张力, 充盈教学智慧。
发散思维用素材 篇2
[关键词]主题发散 结构发散 内容发散 修辞发散
[中图分类号] G623.2 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）34-082
在一次中外学者参加的如何开发创造力的研讨会上，日本一位专家村上幸雄先生捧来一把回形针，请大家打破框框，看谁能说出这些回形针的更多用途。大家七嘴八舌说了大约10种，可是村上先生可以说出300种，大家很佩服他聪慧敏捷的思维。而中国一位以“思维魔王”著称的许国泰先生却说他可以说出3000种，甚至是无穷。许国泰先生运用发散思维的方法，通过各种各样的前线塔桥，将思路拓展开了，而不仅仅局限于事物本身，常常能够发现别人发现不了的事物与规律。
发散思维又称求异思维、扩散思维，它是一种从不同的方向、不同的途径和不同的角度去设想的展开型思考方法。在我们的作文教学中，更需要学生的这种发散思维，而思维导图就能很好地开发学生的发散思维。
一、主题的发散
写作文不能拿来就写，没有主题，所以写作前首先要确定一个主题，并围绕这个主题谋篇布局。如一篇作文的要求：“今年的森林运动会又开始了，上年因为骄傲而失去冠军奖杯的大象与冠军松鼠又遇到了……”请续写故事。这时我们就要想一想，这篇文章我们想表现什么，也就是主题是什么。有的学生以“不骄傲才能取得胜利”为主题，有的以“比赛重要，帮助他人更重要”为主题……把脑海中想到的和这个故事有关联的主题都画在一张草稿纸上，然后筛选其中一个写在思维导图图纸的正中间。主题就好比一棵大树的根。
二、结构的发散
如果主题是根，那么结构就是枝干。文章的结构有并列式、总分式、对照式、递进式。而在三年级上册中，我们学到的最多的就是总分式。例如《东方之珠》《北大荒的秋天》等课文都运用总分总的结构，而这两篇文章的分写部分，例如浅水湾、海洋公园、铜锣湾、香港的夜晚等段落运用了总分的结构，第一句就是这一节的中心句。在总分结构中又分为总分总、分总、总分三部分。例如，写《自我介绍》一文可以按照分总的结构写，先分别介绍自己的外貌、性格特点、爱好特长，然后总结这是一个什么样的自己;写《我的家乡》时，可以按照总分总的结构写，先总写家乡的特点，然后分四季写，也可以分不同的景点写，最后总写对家乡的热爱。当然，也可以另辟蹊径，按照总分、分总的结构写。总之，确定好结构，就要从主题上分出几个分支，用不同颜色的笔分为几个部分标注，写好每个分支的大意。这就是大树的枝干。
三、内容的发散
确定好主题、结构后，要围绕这一主题，根据结构展开想象。例如：在大象和松鼠的森林运动会中，它们都有什么比赛项目？学生有的说跑步，有的说跳高、跳远，有的说游泳，还有的说摘果子、运送木头、赶小猪、拍球……我们可以把这些项目写在归属的那个分支上，像茁壮的树枝上长出的绿叶。然后，从中选择一个最适合的，再接着往下一步一步地拓展想象。写《我的家乡》时，有的学生会描绘家乡的四季之美;有的学生则重点抓住家乡最有特色的景物写，如清澈的小河、葱绿的大山、一座小桥等;有的学生会重点写家乡人的勤劳、热情;有的学生则写有关家乡的美丽传说……由此可见，一个主题，内容可以百花齐放，美不胜收。
四、修辞的发散
大树扎根，长出了枝叶，已经很茂盛了，可是现在的大树就好像是没有叶子和果实，而修辞就是让大树长出翠绿的叶子、红红的果实。三年级最常用的修辞手法有比喻、拟人、排比、夸张。这些修辞能让语句更生动。在思维导图中，我们可以在重点语句下写上运用了什么修辞，再润色语句。如：“小河清澈见底，在自由地流淌。”运用不同的修辞，语句的表达效果也不一样。比喻手法：“绿绸带一样的小河清澈见底，在自由地流淌。”拟人手法：“小河清澈见底，在自由自在地跳舞。”排比手法：“小河的水真清啊，清得让人一眼就能看到底;小河的水真绿啊，像一块碧绿的翡翠;小河的水真甜啊，喝一口，甜丝丝的，直入心田。”学生在运用夸张时，感情更充沛。例如：“门口的柏油马路晒化了，连我自己都好像冰糕一样在慢慢地融化。”这样写，突出了夏天的热。
如果每次作文前都可以让学生画出一幅完整的作文思维导图，那么学生的作文就有中心，有条理，重点突出了。这对三年级的学生来说已经很不容易了，经常训练，对开发学生的发散思维有很大的帮助。
发散思维用素材 篇3
如今, 社会主义现代化建设需要创造型人才, 而创造思维是由发散性思维和集中思维多水平结合而构成的。在创造思维运动过程中, 最重要、起主导作用的就是发散性思维。在大多数情况下, 一个新的问题只有得到创造性解决, 必须运用发散性思维, 才能得出正确的结论。
因此, 我们在小学语文教学中要精心引导, 注意培养学生的发散性思维。
一、发散性思维的定义
发散性思维, 又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维。它是一种从不同的方向、途径和角度去设想、探求多种答案, 最终使问题获得圆满解决的思维方法。
发散性思维的特点是:充分发挥人的想象力, 突破原有的知识圈, 从一点向四面八方想开去, 并通过知识、观念的重新组合, 寻找更新更多的设想、答案或方法。
发散性思维作为创造思维的主导成分, 对培养学生的创造力有着直接的作用;同时学生在学习过程中, 只有进行发散思维, 才能获得灵活的知识、有价值的知识、创造性的知识, 才能从事创造性活动。我们平时所说的“举一反三”、“一以贯十”等就是这种发散性思维的结果。
二、精心引导, 培养学生发散性思维
在阅读教学中, 教师应该有意识地引导学生突破教材的限定范围, 突破思维习惯的束缚, 由一点而扩展开去, 多角度多层面地思考问题。在语文课堂教学中应该培养学生思考问题的灵活性、多向性、深刻性和创造性。因此, 在阅读教学中, 教师应注意对学生进行各种新颖的、灵活的、多端的发散思维训练。
1. 由点及面, 发散思维。
教材中很多课文的主旨是通过关键语句来体现的。抓住这些“画龙点睛”的语句进行发散性思维训练, 可以培养学生捕捉阅读重点、抓住事物内在联系的能力。
例如《天鹅的故事》中有一句:“这位顽强的‘破冰勇士’沿着冰窟窿的边缘继续扑打着, 水面在慢慢地扩大”。为什么说它们很顽强呢?学生联系前文从不同角度展开了讨论, 有的说:“天鹅是弱小的, 却以血肉之躯扑打冰面。”有的说:“天鹅一次次地扑打, 并不退缩。”还有的说:“它肯定很疼, 肯定受了伤, 但却没有放弃。”学生们各抒己见, 在深入讨论中拓宽了思维的广度。
课堂中的一些问题都需要学生由“点”辐射到“面”, 联系课文内容考虑回答, 既不能照搬原文, 以读代答, 又不能孤立、静止地看问题, 它需要学生积极地思考。理解了这些问题, 文章的主旨也就把握在胸了。在教学中, 教师就是要训练学生通过多种思路解题, 启发引导学生从不同角度去思考问题。
2. 激发想象, 发散思维。
想象本身就是一种有目的、主动的发散思维活动。小学生正处在由无意想象向有意想象、再造想象向创造想象发展的年龄阶段。他们的创造精神往往表现在某些很有特点的想象之中。因此利用这个最佳时期, 通过想象进行发散思维训练是一种可行的、有效的训练方式。
例如在《九色鹿》中, 调达看了皇榜, 心想:“发财的机会来啦。”可以让学生想象:“如果你在场, 你会怎样劝阻他呢?”在课文的最后, 可以再让学生想象:“如果换作你是受害的九色鹿, 你会对国王和调达怎样说?”
又如, 在《给予是快乐的》这篇课文中, 当小男孩知道车是保罗的哥哥送给他的时, 说:“我希望我将来也能像你哥哥那样。”这时, 老师可以启发学生:“那你听了小男孩的话后, 你会怎么做?又有什么想法呢?”当保罗把车开到小男孩家门口, 听到小男孩对弟弟说的话后, 老师可进一步追问:“保罗是怎样想的呢?他们三个人会怎样度过一个难忘的夜晚呢?”
这几个问题, 都是课文中没有的情节, 而在回答过程中, 学生与作者的思想感情会产生共鸣, 深化文章的主题。学生的发散性思维也会得到积极发展。
3. 引导生成, 发散思维。
学生对事物的差异往往产生一种突如其来的领悟和见解。保护和发展这种直觉性思维是培养发散性思维的重要前提。“胆怯会磨灭想象和独创精神”, 学生如果在紧张甚至恐惧的心理状态支配下学习, 思维必定是呆板的、机械的。教师要鼓励学生敢于否定别人包括老师的见解。请看下面两个实例。
在学习《鼎湖山听泉》的第四节时, 第一句是:“入夜, 山中万籁俱寂, 只有泉声一直传送到枕边。”在理解什么是“万籁俱寂”时, 一个学生忽然提问:“为什么万籁俱寂, 却还有泉声传送到枕边?”我随机应变, 立即让学生们讨论起来。在讨论中大家明白, 深夜泉声传送到耳边, 其实更衬出了山中的“万籁俱寂”, 而且这样写, 还给大家一种动静结合的美感。我还表扬了这位同学, 正是由于他积极地思考, 才让我们领会了“万籁俱寂”的意思, 也更加体会到山中泉水淙淙流动的意境。
在学习《小镇的早晨》时, 我正在让学生体会小镇早晨的热闹氛围, 一个学生却打断大家的思路, 说:“刚才学习的是小镇的早晨的恬静, 现在怎么又热闹了呢?”对于一些优秀生来说这可能不是问题, 可对于中等生或一些学困生来说, 可能真不太明白, 我便让大家边学边思考, 在学完整篇课文后回答他提出的问题。很快同学们就明白了这篇课文其实有一个时间顺序, 在时间的变化中, 小镇的早晨体现出了三个特点。
这些即兴发言, 尽管有的比较幼稚, 甚至是错误的, 但是, 这种不拘泥于现成结论, 敢于大胆探索的精神正是发散性思维的表现, 闪耀着创造的火花。教师要加以鼓励, 有时还要善于把学生从尝试错误中引出来, 切忌指责、挖苦。
4. 以退为进, 发散思维。
为了训练学生发散思维, 阅读教学中的很多问题可以让学生先退一步想一想, 这样能使学生超脱狭隘性思维的束缚, 纵横自如地解决各种疑难问题。
例如, 在教学《生命的壮歌》时, 理解“那弧线是一座以老羚羊的死亡作桥墩的生命桥”时, 我就让学生试着先思考:“如果老羚羊们不这样做, 会出现怎样的后果?”学生们作了各种合理的设想, 最后得出了结论:“不这样, 死亡的羚羊将更多。老羚羊们用自己的死亡换取了年轻羚羊的生命。”
在《第一朵杏花》的教学中, 在学习“竺可桢爷爷从外面回来, 看到杏花开了, 便走近杏树数了数, 已经有四朵花不同程度地绽开了花瓣儿”这句话时, 我先让学生想想:“当你看到美丽的杏花时, 你一般会注意什么呢?”通过和自己平日行为的比较, 学生们一下子就领会到了竺可桢爷爷主动探索、实事求是的科学精神和态度。
退一步思考, 学生可以从另一个视角进行猜想、假设。这对于深入理解文章内涵是大有裨益的。
5. 变换语言, 发散思维。
这是一种重新组织文章材料, 进行发散思维训练的方法, 目的在于训练学生发散思维的变通性, 引导学生领悟文章的创作方法, 培养布局谋篇的能力。
例如在教学《燕子》一文时, 我在第一段设计变换语言的练习:“小燕子长什么样儿, 谁用自己的话来说说?”学生们就按平时叙述的方法开始说:“小燕子长着……”在学生们连说后, 我又这样引导:“让我们来仔细看看课文上是怎么来写燕子的模样的。找到了吗?请一个同学读一读。书上写的与同学们刚才描述的哪一个读起来感觉好呀?为什么?书上是抓住燕子外形的哪些特点来写的?”通过思考、讨论, 大家认识到, 课文用短小精炼、生动活泼的语句, 给我们展示了一个可爱机灵的小燕子的模样。
上述练习, 既让学生体会到这篇课文写作上的精妙之处, 又训练了学生根据中心选择材料、依据文章基调遣词造句的能力。
6. 联系实际, 发散思维。
联系学生的实际进行阅读教学是提高学生认识能力的有效方法。小学语文教材中有很多常识性的说明文和寓言故事。教师如果不联系学生的实际, 学生的认识往往只能停留在书本知识上, 视野是狭窄的。
例如, 教学《奇妙的国际互联网》 (第八册) 时, 我让学生举例说说:“你是如何在网上漫游的?你觉得互联网奇妙在哪里?”学生们有的说上网打游戏, 有的说上网聊天, 有的说上网看电影……大家各抒己见。在交流中, 学生们不仅开阔了视野, 也得到了教育:我们应该正确地使用国际互联网。
在教学《成语故事三则》时, 我让大家联系实际说说自己在生活中有没有类似“自相矛盾”、“滥竽充数”、“画龙点睛”的事例。通过交流, 大家不仅发现了生活中的这些事例, 而且更加深刻地理解了这三个成语的意思。
联系实际培养学生发散思维, 可以让学生对语文知识的了解更加深入, 学生结合自己的生活实际和经验去体会, 可以产生深切独特的体验。
7. 横向联系, 发散思维。
加强阅读教学中的横向联系, 可以使学生获得整体性知识, 对所学知识内容产生立体感, 也有利于培养学生掌握学习语文的规律。
首先, 要注意语文学科内部知识结构的横向联系。如单项训练之间 (课题、标点……) 、课与课之间、单元之间、同一作家的作品之间、同一题材不同写法之间的有机联系等。通过比较, 寻找异同点, 进而达到知识的强化。
例如《燕子》一文, 就描绘了美丽的春景。我在一开始就让学生们背有关春天的诗, 使大家一开始就感受春的温馨与甜蜜, 接着我在教学课文时也紧密联系有关春天的诗, 如学到“千万条柔柳展开了鹅黄色的嫩叶”时, 我让大家回忆了唐朝诗人贺知章的《咏柳》诗:“碧玉妆成一树高, 万条垂下绿丝绦。不知细叶谁裁出?二月春风似剪刀。”在学到有关小燕子斜掠过水面的语句时, 我又吟诵起“细雨鱼儿出, 微风燕子斜”的诗句, 让学生们沉浸在优美的诗境中。诗文结合, 可以更好地创设情境, 帮助学生们从字里行间体会到语言文字的美。
其次, 要注意同其他学科的横向联系。如学习《天火之谜》时, 我就让学生回忆科学课上的静电实验, 再让学生联系课文语句找出天上的雷暴与静电放电现象有哪些相似之处, 使学生一下子就找出其内在联系。
8. 课外拓展, 发散思维。
一个人获得的知识愈多, 愈能对新问题产生敏感, 愈能发挥自己的创造才能, 这是被心理学家研究所证明了的。我们的阅读教学, 要打破传统的以书本为中心的做法, 有意识地将学生引向课外, 引向知识的海洋。
例如学习了《动物园的晚上》, 可以让学生从课外查找其它动物的睡觉方式;学了《燕子》, 可以让学生去读读郑振铎的原文, 了解作者当时写作的背景, 体会作者当时的心境;学了《鸟语》可让学生说说“高山流水遇知音”的故事;学习《莫高窟》, 则可以上网查找有关资料, 让学生更多地了解莫高窟的文化艺术……
向课外拓展能使学生开拓视野, 在大量地查找资料及阅读的过程中进行发展思维。研究表明, 只有知识大量积累之后才有可能使发散思维更加流畅。
三、在培养学生发散性思维的过程中应注意的问题
1. 要营造一个舒畅宽松的教学环境。
心理学研究证明, 人在情绪低落时, 发散性思维能力只有平常的二分之一, 甚至更少。“发散性思维永远产生于情感之中”。因此教师在课堂上应努力营造一个舒畅宽松的教学环境, 从语言、动作、神情等方面有意识地激发学生学习的兴趣, 让他们大胆自由地进行思考。
2. 要善于发现学生在回答问题时的闪光点。
学生天生更具活力, 具有提出问题、发现问题的灵感, 所以, 对知识的某一个环节, 对某一个具体问题, 往往会有新的感悟, 会闪现灵感的火花, 甚至会超越老师, 此即所谓“青出于蓝而胜于蓝”。老师则需捕捉学生思维的火花, 予以肯定、表扬, 使学生的思维能力不断得到提高。
3. 要注意在思考过程中发展口头语言表达能力。
语言是思维的表现形式, 当学生把自己思考的一切事物表达出来时, 教师一定要引导学生把句子说通顺, 注意说话准确、清晰、生动、得体。
4. 要合理安排发散性思维训练。
在阅读教学中进行发散思维的训练是可行的, 但每节课、每篇课文都搞这项训练也是不合实际的, 要根据课文的特点灵活进行。同时, 进行发散思维的训练还应该注意和集中思维密切配合, 发散之后有所总结, 这样才有利于阅读质量的提高。
发散性思维, 既无一定的方向, 又无一定的范围, 不受现代知识的束缚, 不受传统知识的局限, 允许思考问题标新立异。点燃发散思维的火花, 激活语文课堂, 让学生们在发散思维的训练中体会到学习的快乐, 是时代赋于我们每个语文教师的神圣使命。
摘要：现代社会, 培养创造型人才已是人们的共识。在创造性思维运动过程中, 最重要、起主导作用的就是发散性思维。在语文阅读教学过程中, 教师要通过精心引导, 培养学生的发散性思维, 让语文课堂充满活力。
发散思维用素材 篇4
面对怪异现状,我们要警觉进取,果断唤醒并引领学生冲出固化的思维围城,冲破惰性思维,打破封闭思维,突破惯性思维,培养他们的发散思维意识,让发散思维充斥他们的思维活动空间。笔者在长期的小学数学教学中,以成长的名义引领学生冲出思维固化的怪圈,注重学生发散思维的培养,为学生积淀了创新的潜能。
一、冲破惰性思维,拓张思维流畅性
“思维的、思想的惰性远比肉体的惰性可怕”。惰性思维是发散思维培养的最大障碍,小学生天生具有从众心理,这种心理导致他们依赖性较强,喜欢人云亦云,缺乏自己的主见。多数学生缺乏开拓创新的意识和勇气,拒绝接纳新事物和新思想,而思维缺乏积极流畅性,则导致惰性思维的形成。
不破不立。要培养学生的发散思维必须引领学生冲出惰性思维的牢笼,激活他们的发散思维,使他们的思维由凝滞变为流畅。奇思妙想是拓展学生思维流畅度的最佳途径。我在教学中经常组织学生开展趣味性奇思妙想活动,激励学生思维的积极主动性,促使他们自觉散发出奇特的想法,涌现出一些新发现与新思路。例如,在教学苏教版三年级上册《周长是多少》一课中,我在组织教学“拼一拼”环节时,直接出示了拼图要求:用6个边长1厘米的正方形拼成不同的图形。教学中我没有采用讲授引导法,而是对学生说:“我们进行一场奇思妙想比赛,看看谁能够想象出更多新奇的拼摆方法。”为了激发学生思维的热情与活力,我将学生每四人分成一组,先让他们开展组内比拼,之后再进行全班性的组际比赛。奇思妙想活动没有任何思维要求限制,学生在想象的天空自由驰骋。创意比赛形式激发了全体学生的斗志,激活了他们思维的发散意识。不甘示弱的小学生在小组内积极思考,将各自的奇思妙想踊跃展示交流。为了说明自己想法的正确性,他们还利用操作材料现场演示以验证自己的想法。他们或将6个正方形排成一排、两排、三排,或拼成规则图形,或拼成不规则图形。比拼式的奇思妙想拼图活动让学生思维洞开,他们在积极流畅的思维中涌现出五花八门的拼图方式。
惰性思维的人只会麻木做事,而不懂得创新思路解决问题。我们在教学中要用奇思妙想点燃学生思维火花,培养学生积极思维的心态,冲破惰性思维,让思维之水如滔滔江河奔流不息。
二、打破封闭思维,拓宽思维开阔性
帕纳说过:“保守主义者学不会新东西,也忘不掉旧东西。”所有事物的趋于完善都得益于改革开放,思维的发展也是如此。开放变通是发散思维的重要特征,要使得学生思维趋于多维扩散,就必须打破僵化的封闭思维,开拓广阔的思维视野。我们要在数学课堂中向学生沉寂的思维池塘中投入一块石头,搅活一池死水,使其变成流动的活水。激情辩论就是这块打破平静湖面的石头,它让学生思维的波浪散逸开去,让学生的思路更加开阔。
在数学教学中,为了激励学生克服原有封闭思维框架,打破固化的封闭思维模式,实现思维的发散,促使学生主动对问题实施变通,寻找出新的思路方向,我经常组织学生采用激情辩论的方式,让学生充分展示各自的观点,使思维之波不断四处扩散,让他们在激烈的思维碰撞中冲出重围,成功解决问题。例如,在教学苏教版五年级上册《解决问题的策略》一课中,在学生学会了用例举的策略解决问题后,我给学生出示了一道练习题:甲、乙、丙三人是好朋友,他们每年都要互相寄1张贺年卡,一共要寄多少张贺年卡?我让学生独立思考解答后进行集体交流。交流时发现许多学生的答案是“一共要寄3张贺年卡”,答案显然是错误的。于是,我组织学生展开讨论,先让出错的学生说说解题思路。学生甲说:“该题与‘握手’‘通电话’的题型相同,每两人之间寄1张,3人就要寄3张。”学生乙马上予以驳斥:“我反对,该题与‘握手’‘通电话’问题类型相似但不完全相同。前两种类型的问题是单向的,每两人之间只要一次即可。而这一题中的寄贺年卡是双向的,每两人之间要互相各寄送1张。因此,三人一共要寄6张。”显然,学生甲的思维封闭,对原有解题经验进行了负迁移。学生乙的思维较为开阔,他不仅懂得在解决问题时与相关的知识点实施类比联想,而且不受原有经验的禁锢,懂得在已有经验基础上寻求突破,在求异思考中找到解决问题的新路径。激情辩论使得所有学生的思维随之开阔,跳出了原有的封闭思维城堡。
变则通。当学生思维闭塞时,我们要适时诱导学生变通,拓宽思路,踏上新的思考轨道,探寻新的路径。
三、突破惯性思维,拓辟思维独特性
阿西莫夫说过:“立异是科学衡宇的生命力。”立异是一种思维独特性的表现,独创思维是发散思维的最高境界,我在数学教学中以独创思维培养为宗旨,鼓励学生突破惯性思维,跳出习惯性思维方式的框架,别出心裁地构想出新奇的想法,另辟蹊径探寻出新异的策略。
指尖的灵动促使了大脑思维的活跃,手脑联盟是学习的最佳策略,操作实践是让学生通过在做中求学,自主性获得数学知识的主要途径,操作实践活动让学生在动手的同时促进了大脑的灵动,使得个性思维有了展现的平台。我利用操作活动培养学生发散思维,诱导鼓励学生求异创新,拓辟学生思维独特性。例如,在教学苏教版三年级上册《间隔排列》一课时,我在引导学生认识理解了“一一间隔排列”后,让学生利用小棒、方片等实物操作探究间隔排列的规律。操作实践让学生有了张扬个性的机会,从而闪现出独特思维。在摆弄观察中,有的学生发现了“两种物体数量相差1”,有的发现“两边物体比中间物体多1”。最后的操作设计比赛给了学生更多展示独特思维的舞台,学生按照我提出的具体要求设计方案,利用方片和圆片等材料设计。操作活动中,他们思维飞扬,手脑联动。实物的操作刺激了学生的思维,他们突破了原有的惯性思维,创造设计出许多与众不同的独特排列方式。
发散思维,培养能力 篇5
数学是思维的体操, 提出问题和解决问题是打开思维大门的钥匙.高三复习就是对所学知识的综合与灵活运用, 平时我们竭尽全力地去探索一道题目的多种解法的真正目的是什么?激活思维, 开拓思路, 培养能力.下面以直线方程为背景, 以最小值为载体, 以两点间的距离公式, 均值不等式、向量的数量积运算、三角函数、参数方程等知识为手段, 体会数学学习你中有我, 我中有你的综合渗透思想意识.
如图, 已知直线过点P (3, 2) , 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A, B两点.求|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程.
解法1 ∵直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A, B两点, 且过点P (3, 2) .∴设直线l的方程为y-2=k (x-3) , 则
当
注 因为斜率存在, 可以设点斜式方程, 求A, B两点的坐标, 然后利用两点间距离公式和均值定理求最小值时待定系数的取值即可.
解法2 设直线l的方程为
则A (a, 0) , B (0, b) .
∵点P (3, 2) 在直线l上,
又
当且仅当b-2=3, 即a=b=5时, 上式取“=”号.此时|PA|·|PB|的值最小, ∴直线l的方程为
即x+y-5=0.
注 利用直线上的已知点消掉一个参数, 然后利用特殊函数求最值.
解法3 设直线l的方程为
当且仅当
注 利用向量数量积的知识, 省掉了开方运算, 使问题解决更加容易.
解法4 设∠BAO=θ, 则
当sin2θ=1时, |PA|·|PB|取最小值, 此时∠BAO=θ=45°, 则直线斜率k=-1.
故直线l的方程为y-2=- (x-3) , 即x+y-5=0.
注 利用几何中的解三角形知识构造三角函数解决问题.
解法5 设直线l的倾斜角为θ, 则
∴设直线的参数方程为
并且PA=t1, PB=t2, 则
A (3+t1cosθ, 2+t1sinθ) , B (3+t2cosθ, 2+t2sinθ) .
∵A, B在x, y轴上,
∴ (3+t1cosθ) (2+t1sinθ) = (3+t2cosθ) (2+t2sinθ) =0.
故t1, t2是方程t2sinθcosθ+ (3sinθ+2cosθ) t+6=0的两根.
当sin2θ=±1时|PA|·|PB|取最小值, 此时
注 此法利用参数方程, 找出A, B坐标, 利用根与系数的关系把线段长度的积转化成三角函数.
数学思维的灵活性和多样性在一题多解中被体现得淋漓尽致, 根据题目提供的有效信息进行知识的整合和相互转化, 提高了能力, 激活了心智.以上各种方法有部分相同之处, 总体体现了函数、不等式、数形结合、方程的基本思想, 打开了解题思路和解决问题的办法.
活学定理发散思维 篇6
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角.
由这个定理可推出如下的结论:图1中, PA, PB是⊙O的切线, A, B是切点.
1.PO⊥AB, PO平分AB.
2.设PO和⊙O相交于C, D, 由垂直定理和轴对称的性质, 易得C, D分别是undefined和undefined的中点.
3.若连接OA, OB, 则
证明
由结论3得undefined
5.D是△PAB的内心.
证明
∴∠PAD=∠BAD, 即AD平分∠BAP.
又 PO平分∠APB,
∴D是△PAB的内心.
6.∠PAB+∠ADB=180°.
证明
7.若过A点的直径交⊙O于E, 则OP//BE.
证明 由图1知, PO⊥AB,
∵AE是⊙O的直径,
∴AB⊥EB,
∴PO//EB.
在图2中, PA, PB, DE分别与⊙O相切于A, B, C三点, 则有:
8.△PDE的周长等于PA+PB或2PA.
证明连接OA, OC, OB, 则∠1=∠2, ∠3=∠4,
由结论3, 得∠AOB=180°-∠P,
用切线长定理, 结合代数方法可得.
10.图3中, ⊙I是△ABC的内切圆, D, E, F是切点, 设undefined, 则AE=AF=s-a, BF=BD=s-b, CD=CE=s-c.
11.图4中, 若∠C=90°, 设内切圆半径为r.则r=s-c或undefined
证明 连接IE, IF, 则CFIE是正方形,
故r=CE=CF=s-c.
12.图5中, ⊙I是四边形ABCD的内切圆, 则AD+BC=AB+CD.
若再利用本结论, 又可推出:“圆外切等腰梯形的中位线长等于腰长”“圆外切平行四边形是菱形”“圆外切矩形是正方形”……
课堂中发散思维与聚焦思维的培养 篇7
关键词：发散思维,聚焦思维,课堂思维,数学学习兴趣
课堂教学应该实现“传播知识、形成习惯、培养思维”的三围教学目标。美国著名的心理学家罗伯特·斯腾伯格在 《思维教学———培养聪明的学习者》 序里写到学习和思维不是独立无关的两件事, 学生在思维活动中学习, 同时也学习思维本身, 两个过程相辅相成。良好的思维能力是取得成功的关键。发散与聚焦是思维的两种形式, 数学发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考, 不局限于既定的理解, 而是提出新问题、探索新知识或者发现多种解答和结果的思维方式。笔者结合多年的教学实践发现:重视初中学生数学发散思维的培养, 有利于开阔学生的数学视野, 对提高学生的学习积极性, 培养学生学习数学的独立性、创造性等都具有十分重要的作用。重视初中学生数学聚焦思维的培养, 同样有利于提高学生的数学概括能力, 对提高课堂的高效性具有十分重要的作用。通过发散和聚焦概念与知识的核心、本质等方式培养学生的聚合思维能力;通过一题多解、引申推广、变式探究等方式培养学生的发散思维能力, 以此促进两者更深刻、平衡地发展, 提升学生的思维水平。
数学被称为思维的体操。学生通过数学思维训练能够培养学生对数学学科的学习兴趣, 提高学习修养, 挖掘学生的智力潜能, 培养钻研精神, 为他们今后的学习和工作打下坚实基础。作为一名数学教师, 不仅要教知识, 更要启迪学生思维, 交给学生一把思维的金钥匙。因此, 在初中数学教学中如何发展学生的数学思维, 培养学生的数学思维能力显得尤为重要。教学中强调“学生的主体地位”“关注学情”已经成了一线教师的共识。可是, 教师的“导”如何定位才能取得高效呢?教师要“导”在学生知识能力的发展点上, 要“导”在学生思维的最近发展区。教师的引导只有关注学生的知识起点, 聚焦学生的思维, 才能取得最大的效益。下面笔者谈谈在教学实践中的几点体会。
片断1:圆的复习课———方孔圆钱
圆的复习课主要教学目标是复习圆的基本知识, 如不在一直线上的三点确定一个圆等。设计是用了方孔圆钱这个载体, 通过补全铜钱和测量铜钱的直径等来复习。我国战国时期齐、燕、秦三国的通行货币中有方孔的圆钱, 关于方孔圆钱形制的来历有两种说法:应天圆地方之说, 古代人们认为天是圆的, 地是方的;与加工方式有关, 古人在加工时将很多的钱串在方形的长棍上, 就可以同时加工外缘, 提高了加工效率。方孔圆钱:外圆内方、外柔内刚是待人处世的基本原则, 其实质是待人以宽、律己以严。人非圣贤, 谁都会犯错, 要给人以改过自新的机会。律己要严, 因为人要努力成为圣贤, 不严会使自己懈怠。能否做到待人以宽、律己以严, 关键是自悟。当你真正悟到了这一点, 并身体力行实践, 你就会得到他人欢迎, 使自己时时喜悦。“方”是一个人的品质、境界、素养等所有内在修为的综合反映, 是做人的根基, 是堂堂正正做人的精神脊梁。一个人只有具备好的个人素养和优秀的品质, 才有可能成就大事业。无论一个人的能力有多大, 如果行不正, 走不正, 必会遭到人们的责骂、鄙视和唾弃。“圆”不是圆滑, 狡诈, 而是一种圆融的处世态度, 是一种随机应变的处世哲学。如果一个人过分方方正正, 不懂得变通, 不懂屈伸, 就像生铁一样, 是很容易被折断的。做人在坚守一定的行为准则之外, 还要掌握一定的处世技巧。一个不懂人情世故的人是很难在社会上立足的。外圆内方, 人生修养的一个标尺:圆通, 方正, 比喻人表面随和内心方正。方, 是人格独立灵魂正直, 是立世之本。圆, 不是精于世故老谋深算, 而是一种高超的处世艺术。
有时候铜钱是破损的, 我们可以通过圆的有关知识补全, 补全之后还可以测得圆的直径, 这时候学生就有多种方法。
例1 如图1 所示的铜钱是破损的, 请补全破损的铜钱。
解:图2 利用周长来补全, 图3 利用矩形的知识来补全, 图4 利用90°的圆周角所对的弦是直径来补全, 图5 利用垂径定理的原理来补全, 图6 利用弦的中垂线的原理来补全。
此题用了多种方法体现发散思维, 聚焦的是圆的性质。同时注重发散训练, 培养学生思维的灵活性。通过发散训练, 把看似枯燥的性质、定理通过层层解剖, 把本质展现出来, 把一个问题通过对结论进行联想、分析、探索, 最终把隐含的有意义的结论一一推导出来, 通过改变条件, 发现由不同条件可以得出相同的结论, 找出不同知识之间的联系与规律, 更重要的是通过变式教学, 培养学生敢于思考、敢于联想、敢于怀疑的品质, 培养学生自主探究能力与创新精神。
例2 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径。如图7 所示, 用角尺的较短边紧靠⊙O于点C, 并使较长边与⊙O相切于点A。记角尺的直角顶点为点B, 测得BC = 8 cm, AB = 16 cm, 求⊙O的半径。
解:设圆的半径为r, 连接OA, OC, 作CD⊥OD, 垂足为D。
因为⊙O与AB相切与点A,
所以OA⊥AB。
因为CD⊥OD, CB⊥AB
所以四边形ABCD是矩形。
所以CD = AB = 16, CB = AD = 8。
在Rt△COD中, r2= (r-8) 2+162, 解得r=20,
所以⊙O的半径为20 cm。
通过发散教学, 学生想出了其他的求法 (如图8、图9 和图10 所示) 。学生利用有限的时间创造无限的效益, 然后注重归纳反思、培养思维的严密性, 聚焦思维的培养。
片断2:多边形的性质———探索和证明四边形的内角和为360°
学生用多种方法证明四边形内角和360°。在日常教学中要根植于课本, 着眼于提高, 注意数学思想的渗透和强化, 这将有助于提高学生分析问题、解决问题的能力, 有助于提高学生的数学能力和数学水平, 从而有助于培养学生全面维品质。在授课过程中, 每处理完一类题目, 教师应引导学生运用知识点进行及时的归纳、总结。细观察、活运用、寻规律、成技巧, 培养思维的严密性, 使数学思维训练得以真正的升华和张扬。
通过发散思维的训练之后, 还要有聚焦思维, 对于多边形的内角和360°的聚焦训练, 在证明内角和360°的时候, 一定要添加辅助线, 辅助线的添加原则是构建三角形或平行线, 因为在已知的知识体系中, 学生掌握的知识点有两个, 一个是三角形的内角和为180°, 另一个是平行线性质中, 两直线平行, 同旁内角之和为180°。把未知的东西, 转换成已知的知识点。通过发散之后的聚焦是强有力的, 是通过历练之后的升华。
总之, 培养学生的思维模式, 首先要想方设法去点燃学生头脑中智慧的火花, 激发求知的欲望, 树立必胜的信心, 磨炼坚强的意志。关爱每一名学生, 为他们创造更多的学习机会, 让每一名学生在原有的基础上获得更多的发展, 使每一名学生都感受到成功的喜悦。只有这样, 数学园地才会生机盎然、姹紫嫣红。如何提高数学教学质量, 成为广大数学教师研究与探讨的问题。笔者认为初中要提高数学教学质量, 不仅要重视学生的智力的发展, 还应该重视学生的非智力因素的培养, 同时更应该重视改革传统的课堂教学模式。在课堂中学生去“嚼”, 只有这样才能提高初中数学教学质量, 提高学习成绩。在数学教学中, 教师要特别注意培养学生根据题中具体条件, 自觉、灵活地运用数学方法, 通过变换角度思考问题, 就可以发现新方法, 制订新策略, 并及时归纳总结。长期坚持这样的训练, 学生一定能产生浓厚的学习数学、运用数学的兴趣。给学生一片广阔的天地, 给他们一个自主的空间, 让他们乐学、会学、善学, 让他们的数学思维能力在课堂学习中得到充分的发展。
参考文献
[1]田万海.数学教育学[M].杭州:浙江教育出版社, 1993.
[2]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.
[3]渠东剑.把数学思考引向深入:例谈数学概念的过程教学[J].中学教研, 2004 (2) .
培养发散思维提高解题能力 篇8
例1已知△ABC,试证明∠A+∠B+∠C=180°.
证法1:延长BC至D,过点C作CE∥AB,如图1所示,
则∠1=∠A,∠2=∠B.
由于∠1+∠2+∠ACB=180°,
等量代换可得∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法2:如图1,延长BC至D,过点C作∠1=∠A,则CE∥AB(以下证明过程同证法1).
证法3:如图2,过点A作EF∥BC,则∠1=∠B,∠2=∠C,
因为∠1+∠2+∠3=180°,等量代换可得∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法4:如图3,作射线AD∥BC,则∠B=∠1,
—图3
因为∠1+∠2+∠C=180°,等量代换后可得∠B+∠A+∠C=180°.
证法5:如图4,在BC上取点D,过点D作DE∥A B,DF∥AC,
由平行线性质可得∠1=∠C,∠2=∠B,∠3=∠A,
因为∠1+∠2+∠3=180°,等量代换得∠A+∠B+∠C=180°.
证法6:如图5,在△ABC内取一点O,过点O分别作AB、BC、AC三边的平行线,容易证得∠1=∠C,∠2=∠B,∠3=∠A,由于∠1+∠2+∠3=180°,等量代换可得∠A+∠B+∠C=180°.
证法7:如图6,在△ABC内取一点O,连接OB,作射线AO、CO,
由三角形外角性质可得∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6,
因为∠7+∠8+∠9=180°,等量代换可得∠—1+∠—2+∠—3+∠4+∠—5+∠—6=180°,即∠A+∠B+∠—C=180°.
例2推导证明:n边形的内角和为(n-2)·180°.
解析:本例可先以求四、五、六边形等较为简单具体的多边形的内角和为切入点,然后探求并总结求n边形内角和的方法和规律,如图7～9所示.
解法1:容易知道,从多边形的一个顶点出发,可引(n-3)条对角线,这(n-3)条对角线把n边形分成(n-2)个三角形,由三角形内角和性质可得n边形内角和为(n-2)·180°.
仍以四、五、六边形为例,对多边形的不同三角剖分进行探究,除了上面这种常用分法外,以下两种不同分法也经常被采用.
解法2:如图10,在五边形ABCDE的BC边上取一点F,连接FA、FE、FD,
可得到4个剖分三角形,4个三角形的内角和为180°×4=720°,然后减去∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
得五边形的内角和为720°-180°=540°=(5-2)×180°.
解法3:如图11,在六边形ABCDEF内取一点O,连接OA、OB、OC、OD、OE,OF,
可得6个剖分三角形,其内角和为180°×6=1 080°,然后减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°,得六边形的内角和为1080°-360°=720°=(6-2)×180°,继续试验观察可以发现,多边形的边数每增加一边,剖分三角形的个数就增加一个,这样就用多种不同方法推导和验证了多边形的内角和为(n-2)·180°.
例3如图12所示,AB∥CD,∠B=x°,∠D=y°,求∠BED与∠B、∠D的关系.
解析:直接求∠BED与∠B、∠D的关系有难度,如果添加适当的辅助线就能化难为易,这样如何添辅助线就成为解题的关键.下面是经交流合作归纳出来的几种不同的添法.
解法1:如图13,过点E作MN∥AB,则∠1=∠B=x°,∠2=∠D=y°,易证得∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D=(x+y)°.
或者作EM∥AB,得∠B+∠3=180°,∠D+∠4=180°,再利用∠BED=360°-(∠3+∠4)=360°-(180°-∠B)-(180°-∠D)=∠B+∠D=(x+y)°.
解法2:如图14,延长BE交CD于点F,因为AB∥CD,则有∠BFD=∠B.
又因为∠BED=∠BFD+∠D,等量代换可得∠BED=∠B+∠D=(x+y)°.
或延长DE交AB于点M,同理可证.
解法3:如图15,连接BD,因为AB∥CD,所以∠1+∠2+∠ABE+∠CEE=180°,即∠1+∠2=(180-xy)°,
而在△BED中,∠BED=180°一(∠1+∠2),所以∠BED=180°-[180°-(x+y)°]=(x+y)°.
解法4:如图16,过点E任作MN分别交AB、CD于点M、N,
因为AB∥CD,
所以∠1+∠2=180°.
又因为∠3=180°-∠1-∠ABE,∠4=180°-∠2-∠CDE,∠3+∠4=(180°-∠1-∠ABE)+(180°-∠2-∠CDE)=360°一(∠1+∠2)-(x+y)=180°-(x+y)°,而∠BED=180°一(∠3+∠4).
等量代换得∠BED=180°-[180°-(x+y)°]=(x+y)°.
例4如图17,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析:求不规则图形的角度和,关键是把不规则图形转化成规则图形来求解,以下是几种不同的转化思路.
解法1:(利用三角形的外角性质)如图18,
因为∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,∠A+∠1+∠2=180°.
所以∠A+∠1+∠2=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解法2:(利用三角形内角和性质)如图19,连接CD.
因为∠BOE=∠COD,
所以∠B+∠E=∠1+∠2.
因为∠A+∠ACE+∠1+∠2+LADB=180°,
等量代换得∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°,
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解法3:(利用邻补角关系)如图20,连接AF,交BE于点O,
因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E分别是△AFC、△AFD、△BOF、△EOF的内角,这四个三角形的内角和为180°×4=720°,减去∠AFC+∠OFE+∠EFD+∠BFO+LBOF+∠EOF+∠EFO=180°×3=540°后,剩下的度数就是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=720°-540°=180°.
解法4:(利用多边形内角和关系)如图21,依次连接A、B、C、D、E得五边形ABCDE,
易知其内角和为540°,五边形FGHMN的内角和也为540°,图中和∠AFB与∠CFE一样的对顶角有五组,因此,∠1+∠2+∠3+…+∠9+∠10=180°×5-540°=360°,由五边形ABCDE的内角和减去∠1+∠2+∠3+…+∠9+∠10的度数,就得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°-360°=180°.
解法5:(利用三角形和多边形综合知识)如图22,
因为∠1,∠2,∠3,…,∠9,∠10,都是五边形FGHMN的外角,
所以∠1+∠2+∠3+…+∠9+∠10=360°×2=720°.
又因为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+(∠1+∠2+∠3+…+∠9+∠10)=180°×5=900°.
所以易得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=900°-(∠1+∠2+∠3+…+∠9+
∠10)=900°-720°=180°.
例5如图23所示,由边长为1的小正方形组成的图形,A、B两点的位置如图23所示,请确定C点的位置,使S△ABC=1.
解析:此题有些学生往往因能找到如C1、C2这样的明显点而满足,不再作深入的探究,致使答案不完整.只要教学中能重视发散思维的培养,像C3、C4、C5、C6这些满足条件的点也是不难找到的,因此符合要求的点有6个,即C1(2,4),C2(4,2),C3(3,1),C4(1,3),C5(0,2),C6(2,0).
例6在一平面上画出四个点,如果把这四个点彼此连接连成一个图形,那么这个图形会有几个三角形?
解析:此例的关键是要搞清四点的几种不同的位置关系,让学生充分发散思维,交流合作,探索总结,就会得到四点共线,三点共线,两点共线几种不同情况,画出下面的对应图形.结合图形,容易得到能构成的三角形有0个、3个、4个、8个的结论.
例7用3根火柴棒(不能折断)可以搭成一个等边三角形,那么用6根火柴棒(不能折断)能搭成几个同样大小的等边三角形?
解析:受思维定势的影响,许多学生都在同一平面内思考和解决问题,如图25所示的几种不同的等边三角形都能搭成.
如果能重视发散思维的培养,有些学生就会把空间立体的情况再考虑进去,就会用6根火柴棒搭成如图26所示的图形,这样就能得到用6根火柴棒能搭成1个、2个、4个同样大小的等边三角形的完整答案.
例8如图27是边长为13的正方形,按图所示把它剪成2个全等的四边形和2个全等的三角形,问这4个图形能拼成一个三角形吗?
解析:我们可以通过动手操作和思考,拼成如图28所示的图形.
凭想象和观察,似乎可得到这四个图形可以拼成一个三角形的结论.但只要转换思维角度,从数量关系去考察,就可知道,这个问题实际上是一个等积变形题.原正方形的面积为S正方形=13×13=169,如果拼成的图形是△ABC,那么它的面积为S△ABC=16×(8+13)÷2=168,通过计算比较,说明这四个图形不能拼成一个三角形,从中可见逻辑思维在解决数学问题时的重要性.
例9请你用不同的方法将△ABC分成面积相等的四个小三角形.
解析:此例的解法极具挑战性和开放性,是培养学生发散思维能力的一道好题,利用三角形的中线性质和等底等高等积性质,学生经过交流合作,归纳整理后得到以下如图29所示的不同分法.
例10有一些边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形瓷砖,请你每次选出一种或几种图形的瓷砖进行镶嵌,你有几种不同的镶嵌方法?
解析:如果几种不同的正多边形能够在平面内某一点镶嵌,那么必须满足在这一点的几个角的和等于360°,教学中应有意识地培养学生的发散思维,充分交流合作,从单独镶嵌和组合镶嵌不同方面思考和解决问题,总结可得:
(1)用6个正三角形单独镶嵌:60°×6=360°;
(2)用4个正方形单独镶嵌:90°×4=360°;
(3)用3个正六边形单独镶嵌:120°×3=360°;
(4)用4个正三角形和1个正六边形组合镶嵌:60°×4+120°×1=360°;
(5)用2个正三角形和2个正六边形组合镶嵌:60°×2+120°×2=360°;
(6)用3个正三角形和2个正方形组合镶嵌:60°×3+90°×2=360°;
(7)用1个正三角形、1个正六边形和2个正方形组合镶嵌:60°×1+120°×1+90°×2=360°;
(8)用1个正方形和2个正八边形组合镶嵌:90°×1+135°×2=360°.
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