本质思维（通用11篇）
本质思维 篇1
反比例函数是初中数学中的重要内容,以反比例函数为背景设计的新题型也随处可见,现结合中考试题分类说明,供同学们参考借鉴.
一、考查反比例函数图像上点的坐标特征
例1 (2013·邵阳)下列四个点中,在反比例函数y=-6/x的图像上的是( ).
A.(3,-2)B.(3,2)
C.(2,3)D.(-2,-3)
【分析】根据函数y=-6/x,得到xy=-6,只要把点的坐标代入上式,成立即可.
【解答】∵函数y=-6/x,∴xy=-6,
分别把各点的坐标代入上式,等式成立的点就一定在函数图像上.
只有A成立. 故选A.
【点评】这类问题主要考查对反比例函数图像上点的坐标特征的理解和掌握.反比例函数图像上的点,横纵坐标的乘积是一个定值k.
二、考查反比例函数的图像与性质
例2 (2013·衢州)若函数y=m+2/x的图像在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是( ).
A. m<-2B. m<0
C. m>-2D. m>0
【分析】根据反比例函数的性质可得m+2<0,再解不等式即可.
【解答】∵函数y=m+2/x的图像在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,
∴m+2<0,解得m<-2,故选A
【点评】此类问题考查了反比例函数的性质. 当k>0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x增大而增大.
例3 (2013·陕西)如果一个正比例函数的图像与一个反比例函数y=6/x的图像交于点A(x1,y1),B(x2,y2),那么(x2-x1)(y2-y1)值为______.
【分析】因为A点在双曲线y=6/x上,所以x1y1=6,再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点成中心对称得到坐标之间的关系即可.
【解答】∵A点在双曲线y=6/x上,∴x1y1=6,
又∵A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点成中心对称,所以,x2=-x1,2=-y1,
∴ (x2-x1)(y2-y1)=(-x1-x1)(-y1-y1)=4x1y1=4×6=24.
【点评】充分利用正比例函数与反比例函数交点的对称性. 解题过程充分体现了整体思想的运用.
三、考查反比例函数系数k的几何意义
例4 (2013·张家界)如图1,直线x=2与反比例函数y=2/x和y=-1/x的图像分别交于A、B两点,若点P是y轴上任意一点,则△PAB的面积是______.
【点评】此题考查了反比例函数中k的几何意义和图形的等积变形转化等知识.
另一解法:先求A、B两点的坐标,从而得出AB的长和高OD的长即可求得面积.
四、与反比例函数有关的综合问题
例5 (2013·南充)如图2,函数y1=k1/x与y2=k2x的图像相交于点A(1,2)和点B,当y1<y2时,自变量x的取值范围是( ).
A. x>1B. -1<x<0
C. -1<x<0或x>1D. x<-1或0<x<1
【分析】由交点A坐标可确定两函数解析式,再解方程组求出另一交点B的坐标,观察图像即可直接写出当y1<y2时所对应的x的取值范围.
【解答】将点A(1,2)代入,可得:y=2/x,y=2x,联立方程组,解得x=-1,y=-2,得到另一交点B(-1,-2),观察图像可知,当y1<y2时,自变量x的取值范围是-1<x<0或x>1. 选C.
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题. 解答此题时,采用了“数形结合”的数学思想.
例6 (2013·铁岭)如图3,点P是正比例函数y=x与反比例函数y=k/x在第一象限内的交点,PA⊥OP交x轴于点A,△POA的面积为2,则k的值是______.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,也考查了正比例函数的性质和等腰直角三角形的性质,同时考查综合运用这些知识解决问题的能力.
五、考查反比例函数的实际应用例
例7 (2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“满200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元,满400元但不足600元,少付200元,……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x <600)元,优惠后得到商家的 优惠率为p(p=优惠金额/购买商品的总金额) ,写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x<400)元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由.
【分析】(1)根据题意直接列出算式510-200即可.(2)根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式,并能得出p随x的变化情况.(3)先设购买商品的总金额为x元,(200≤x<400),得出甲商场需花x100元,乙商场需花0.6x元,然后分三种情况列出不等式和方程即可.
【解答】(1)顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付510-200=310(元).
(2)p与x之间的函数关系式为p=200/x.
∵200>0,∴p随x的增大而减小.
(3)购x元(200≤x<400)在甲商场的优惠额是100元,乙商场的优惠额是x-0.6x=0.4x.
当0.4x<100,即200≤x<250时,选甲商场购买商品花钱较少;
当0.4x=100,即x=250时,选甲、乙商场一样优惠;
当0.4x>100,即250<x<400时,选乙商场购买商品花钱较少.
【点评】在实际问题中要学会构建反比例函数模型,将实际问题转化为数学问题来解决.
本质思维 篇2
西医讲究分析，中医讲究整体;西医分析有时中医达不到，而顽症采用中医五行经络思维就非常容易解决西医按西方人工业化精准思维理解，而中医的“经络”思维，西方人解剖人体标本后，却始终没有发现它赔率是中西方思维的完美结合，赔率思维中除数学等因素之外，还包含了“易经”中很多深刻的思维理念例如：韬光养晦思维、中庸思维、亢龙有悔、天令其亡必令其狂等等思维足球的本质足球运动的本质是若干意识物质(球员)在巨大的社会生物场(球会球迷等)影响下对于无意识的物体(足球)在运动中进行时间空间4维控制的宇宙运动形式：
如果一个生物生活在一维世界，就不可能穿越二维世界如果一个生物生活在二维世界，就很容易穿越一维障碍如果一个生物生活在三维世界，就很轻易穿越二维障碍欧洲顶级专家的思维“维数”超过了普通人“维数”，在他们看来很多比赛确定性很强的原因纳瓦拉 VS 中国队双方的生物空间时间意识相差几个档次，双方战意相当，中国连平的可能都不存在;当你连续超体力化地观看直播，再抛开盈利等干扰因素后，达到自在状态后，就能体会到很多奇妙的东西;对于大部分类似比赛，欧洲顶级专家具备连续几轮的预测能力总结：也就是说，欧赔的思维“维数”远高于普通人，反过来，我们必须要具备至少“三维”或以上的思维层次才能破解欧赔，所以只有不断提高对欧赔的认识才能有效阅读欧赔思维菠菜是超级不平等的博弈，一方是爱因斯坦，一边是普罗大众;我们是不是就没有取胜机会了呢? 的人是没有取胜盈利的机会的，因为他们从战略上就命中注定已经输了，绝大多数人采用阵地战形式和庄家博弈，狂输最正路，这是“宿命论”的最佳体现;菠菜有巨大回报，花大力气研究的人很多，但是只有真正能“放下、自在”的人能打开欧赔思维之门，获得一定成功;所以，菠菜首先从“思维涅盘”开始你需要超过普通人的思维才能成功，此时不能把自己定位成一个普通人任何简单、肤浅的思维都不可行的，凡流行的思维，基本上都是一维的思维的调整赔率分散性思维不同公司，由于受注因素、市场策略、整体开盘思维等诸多因素的不同，开出赔率具备相应分散性，但是将此作为分析依据显然不可行;就像威廉着重使用平赔、立博着重使用胜负赔，分析分散性没有意义西甲 第9轮 [5]奥萨苏3：2[19]毕尔巴威廉1.83/3.20/3.75(胜平负三项平均，比较中庸，受注压力相对平衡)立博1.57/3.50/5.00(负赔太高，胜平积压，胜赔虽然低，但筹码增加)足够分散了，关键是两家思维不同，异曲同工，殊道同归个人的理解和领悟、在对威廉、立博两家赔率的分析过程中，要深入解读他们的开盘思维，鉴别相同点和不同点、单独理解胜赔、平赔、负赔的水位所包隐含在深层的意义、既要拆得开，又要合得拢，掰开了、揉碎了后再综合分析多家思维的误区不是看得多就看得准，看得多仅为心理安慰，是轻微毒品，大陆清楚了解1、2家赔率思维的人不超过5人赔率的统计思维“刻舟求剑”思维，赔率是庄家达到市场、利润目标的平台，很多时候不止一种选择;某赔率中心就长期坚持的这种简单思维;任何简单思维对于庄家看来都是可笑的。当然不能指望中国媒体界有什么研究能力赔率的数学模型研究赔率开设的数学模型，是简单思维;设定一个复杂的数理方程，将比赛的变量输入就能得出赛果;有的模型是在分析欧赔利润，以后专题分析欧赔利润，欧赔也存在走盘等概念，分析利润的模式行不通;有的模型专门进行欧亚转化，也是不可行平均赔率的思维各家赔率思维很多不具备可比性，且存在很多表象不可比的因素如赔付率，和深层不可比的因素如真实利润率，强行去平均“思维”，还是一种安慰剂。表面看综合了上百家公司的思维，实际上很难有效果单纯基本面思维深陷基本面，一切都以技术战术分析为主，对于菠菜来讲已经证明不完备;基本面的积累完善是内功，关键是合理运用基本面;曼联4：1保顿坊间赛前流传范尼很大可能不上场，投注马上大量流向保顿，这是基本面能力不足的表现，凡是基本面皆具有两面性假球思维：不可能凡球皆假，是广东坊间的一大流派利润分析罗马4：0切沃(利润远大于11%)米堡0：0曼城(走盘思维利润很少)切尔西3：2富咸(利润为负数)概率思维欧洲大庄的目标远远不只11%利润;欧洲大庄均每轮联赛不同“利润平衡体系”;亚盘仅吃“残羹冷汁”
亚盘思维只有超出或者相当于澳盘的功力，方可真正破解澳盘，很多人常年跟在澳门屁股后面，是能力常年得不到提高的一个原因，现在很多专家只有信心分析诸如切尔西VS陕西国力这样的比赛，皇马1：2桑坦德坊间一片哀鸿，很多专家重点皇马取胜的1.2X标盘，以为最稳，被亚盘“忽悠傻”，建议一定程度放弃亚盘欧亚之间转换没有什么价值，折算出“等价让球”精确到小数点后几位，别说欧庄，澳门专家都只能惊叹其愚昧指数欧亚思维差异很多思维，欧洲人和亚洲人的思维是不一样的。这是个很复杂很关键的问题，以后陆续给出，像亚洲流行的“大热”之类，欧洲偏少，对于很多因素的权重分析，欧亚思维差异则对赛果的分析就容易陷入误区亚盘模拟投注希望利用此数据帮助分析赛，是滑天下之稽基本菠菜思维是选择众多盘口最软的柿子去捏，就是八路军的战术，佛学理解，就是放下、自在，像聂卫平连续战胜13位高手不仅史无前例，也非常难复制，本讲未涉及具体比赛，但是以后能力的深度与上述问题的理解把握有很大关系，当你达到了一个思维层次，在此层面的具体工作是比较容易做的，只要有耐心恒心，对于菠菜更重要的是思维层次提升，吃苦耐劳的人很多，方向正确方有成效，虽然纠正方向是个痛苦的过程，所以，放下，方能自在充分尊重庄家每个盘口面对的都是九段高手组合在和自己博弈，并且这个高手内功极深，还做了足够的功课，我们必须充分尊重，否则就是不尊重自己的钱袋;定位精通一个联赛，就已经很成功了欧赔开盘思维案例皇马4：2巴萨主胜开拉低平赔产生相应的投注分散力，3.00信心充足，回报中庸，分散力较强负赔2.87低于3.00，产生相应的分散能力胜赔本身开到2.2X位置已经很高，阻力不小，再加上0.05回报的心理障碍，则主队必胜客胜开2.20/3.00/3.00、2.10/3.10/3.10、负赔突破3.00心理大关，产生投注障碍平局开2.30/2.90/2.90、思维是平赔适中，胜负均衡中水分散马竞2：2加泰 WL 1.72/3.25/4.20(综合对比主队略有优势)威廉思维是：平赔选择信心较弱的3.25(0.05的心理阻碍)，利用马竞的人气向左大幅度拉低胜赔产生超过马竞盘口能力的信心，而负赔则抬高，思维是“高回报利诱”，赔付略高，任凭博取，所以本场必平个人的理解与总结、势均力敌的赛事，包含非常丰富的开盘思维，即如何做平局，如何开主胜，如何开客胜，不同结果的开盘手法不尽相同，但原理就是平衡分散和庄家的利益考量、如果做主胜，则胜赔施加带0.05尾巴的心里阻碍值，即胜赔保持心里阻碍(不能太大否则赔付不经济)、如果做平局，则胜赔尽可能不要施加带0.05尾巴的心里阻碍值，即保持胜赔的圆润通畅，以便吸引筹码、如果做客胜，则胜赔和平赔不要施加带0.05尾巴的心里阻碍值，负赔保持一定的阻力、平手区间的开赔手法中，由于意甲的平局相对较多，威廉采取平赔与负赔位置交换的开赔手法，本场西甲的平赔为3.00，相对于正常的3.20平赔，已经低了不少、在上面的平局、客胜的开盘案例中，胜赔保持通畅，同时还包含一种平赔负赔等值的模糊策略，尽可能模糊闲家的视线，达到保护庄家隐藏真实意图的目的、平阻的开盘手法：A、拉低胜赔;B、同时在平赔上施加0.05的心里阻碍;C、负赔拉低分散、2.25主胜属性带有阻力，2.20通畅圆润，回报丰厚，2.30则相对于皇马：巴萨赛事而言回报过高、威廉在开盘思维中的优解思维、隐蔽的负赔开盘思维，如上面的1.72/3.25/4.20组合，必须从基础定位入手，其中的4.20非常隐蔽，不能老是被庄家牵着鼻子走，通常上盘赔率开区间低水，一定要论证其开盘的真实意图大师之解赔历程介绍本人精研威廉、立博、SNAI、伟德等公司开盘思维，总共研究愈20000场赛事，累积研究资料达500万字欧赔的“概率性”是欧庄愿意看到的，实则欧赔本质上是精准的，只是国内研究的整体层次偏低赔率统计、历史赔率、赔率比较、赔率分散性、欧亚转换等均为表象分析方法，根本不能开启欧赔之门真正分析到欧赔思维，则胜率不仅稳定，而且心理也十分稳定，根本不可能出现胜率反复的情况澳门只不过是掌握了欧赔的核心思维而已，您看到澳门开错了几场盘口本人不过刚刚打开欧赔之门，分析就已经提升不止一个档次，本人从不看亚盘的上下，本人的概念就是胜平负中的一种，澳门比本人多走了几年，已经厉害到令国人走火入魔的地步研究欧赔的难度在于—很难有人愿意花这个精力例如：威廉开英超、意甲、德甲、西甲、冠军杯、国家队、小联赛是不同的思维体系，对不同的市场，策略也不同，如果研究四家公司，等于要研究几十类盘口，每类盘口又有N种思维，对于不同情况对比下的比赛，同样的赔率思维截然不同，这样复杂庞大的工作量，同时需要超强的思维能力去分析，难度极其大。所以普通闲家看起来，赔率是概率性的了，实际上每场比赛的赔率不包含任何概率因素大赢家赔率中心的“赔率统计”就知道，仅仅赔率统计的工作量有多大对欧洲大庄来讲，判断知名联赛的赛果，并不像闲家感觉的“偶然性”很强，威廉立博开盘的四大联赛、冠军杯等，出现偶然赛果的概率很低，可以忽略，目前仅仅发现一场，就是列支敦士登2：2葡萄牙，但是那场是同时开场的几十场中的一场，比赛关注度很低，受注量很少;但像曼联0：0埃克塞特，这样的比赛，英国受注量很大则开盘很有讲究，原则上胜赔只能开到1/50=1.02，但是威廉开到1.04=1/25，胜赔提高不是白给的，单从这点细微之处就可断定必平，就是抬胜利诱思维威廉盘口的博大精深，如果能略通一二，选择难度低的亚盘投注，才能真正感受到账户资金的快速膨胀真正能理解威廉一家，就需要付出很大的努力，但值得！！！
注重四基、关注本质、突出思维 篇3
江西省2015年中等学校招生考试试题以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为依据，严格按照《2015年江西省中考数学学科说明》命制而成。在知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等方面对学生进行全面的考查，不仅要考查对知识与技能的掌握情况，而且要更多地关注对数学思想方法本身意义的理解和在理解基础上的应用；不仅要考查学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、创新意识与应用意识，而且还重视对学生的思维过程以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题和数学表达等方面的考查。具体而言，2015年中考数学试题在延续前两年中考命题风格的基础上，着重考查学生的思维能力，注重新课标“四基”的考查落实，把对数学活动经验的考查渗透在试题设问中。另外，数学应用问题考查会考虑改变考查方向，回归方程与函数应用的考查；画图题依然是必考题型，压轴题可根据命题情况调整，不一定以二次函数作为压轴，对函数的考查要考察函数的本质，避免老师引导学生直接用高中知识求解的情况；对平行四边形等基本图形与坐标系结合的试题，也要尽量避免出现用高中方法求解更占优势的情况。这样做都是为了引导一线教师，教学不要走向功利，也不要投机，要为学生的发展奠定扎实的基础，要有长远的眼光，为学生长远发展谋利益。
二、试卷整体分析
（一）试题的基本结构
与去年中考试题对比，今年的中考试题“稳中有变”，体现在：
1.主观性试题数量（10道）和分值（78分）没有变化，最后一道压轴题分值没有变化。
2.将原来两道9分的解答题去掉，换成一道8分题和一道10分题，保留一道压轴题12分，加大了中档试题的分值，拉开分值差距。这样利于每个层次的学生得到相应的而且更合理的分数评价，加大区分度，有利于高一级学校对学生的选拔。
3.依据《考试学科说明》，“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三个领域所占的比例稳定在既定的比例范围内，并将综合与实践应用的考查渗透到上述三个领域内容之中，内容安排合理有梯度，考查全面又深刻。
（二）试题的基本特点
整张试卷注重数学基础，渗透数学思想方法，发展综合与实践能力。试题编排从最基本的知识点出发，由易到难，由浅入深；每个题目的起落点控制得当，最后一道压轴题的起步填空题，学生较容易入手，体现了新课程理念下的“面向全体学生”，体现了对学生的人文关怀；同时试题的设置又具明显的梯度，解答题入口宽，方法多，但落点相对高一些。三大题型中的大部分题目都立足于考查初中数学的核心基础知识，突出考查初中数学的基本概念、基本技能、基本思想方法，引领师生注重课本教材的挖掘。试题集“四基、实践、探究”于一身，具体体现在以下几个方面：
1.注重基础，突出对基础知识、基本技能的考查
如试卷选择题的前4题，填空题的前3题，解答题的前5题，分别考查了基本概念、基本运算。考虑到知识点的覆盖，2015年的中考试题着重针对近两年没有考查到的知识点如零指数幂、科学计数法、三视图、图形与坐标、函数的应用等都有专门的考查。对图形与几何领域的考查更趋于传统，但各种基本图形覆盖比较全面，如试卷第5、9、10、13、14、16、20、24题等考查内容包括了三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等初中阶段学过的所有基本图形。
2.以实践探究为载体，突出数学基本活动经验的考查
如试卷第5、20、21、24题，在第5题中较强的操作性和动感赋予这道小题鲜活的生命，由橡皮筋固定的四边形暗示着不稳定的可能，在由矩形到平行四边形的变化过程中，需要学生对周长、面积、对角线长度的变化做出判断，考查了学生学习经验的积累情况。在第20题中通过创设一个图形的剪拼、平移的数学活动，以在操作实践过程中形成的问题进行设问，综合考查了平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质，勾股定理，体现了数学内部知识的综合考查，难度中等。在第21题中通过相关数据的计算引导学生探究直线与反比例函数交点的横坐标之间的关系与直线与x轴交点的横坐标之间的关系，从学生的答题及阅卷看，这题计算量较大，很多学生在此费时较多，导致这道题的得分偏低。第24题通过三角形两条中线的特殊位置关系，类比等腰三角形，等边三角形的定义方法，给出一类新的三角形定义 “中垂三角形”，并按照由特殊到一般的思路引导学生经历对 “中垂三角形”三边关系的运算、观察、归纳、猜想、验证并拓展应用的探究过程，其中应用了中位线性质，重心分中线的比为2∶1，拓展应用的时候需要构建一个中垂三角形模型，运用前面验证过的结论进行求解，考查了合情推理，转化化归，方程思想，模型思想，创新意识，几何直观，灵活应用数学结论解决问题的意识和能力。
3.巧妙设问渗透数学思想方法，突出对数学思维的考查
如试卷第14题虽然是一道填空题，通过动点P的设置，使整个图形静中生动，引导学生动手操作，自主构建直角三角形模型，其中很自然地考查了分类讨论、数形结合，逻辑推理及模型思想。第17题画图题巧妙借用圆为背景，考查了垂径定理，渗透了转化化归的数学思想。第22题是分段函数的应用题，设置了三问：第一问要求在坐标系中画出函数图象，第二问根据第一问画出的图象填表，第三问要求写出函数解析式。三问环环相扣层层递进，渗透了数形结合的思想。第24题创设了一个问题情境，通过特例探索、归纳证明、拓展应用三个环节的设置，呈现了从特殊到一般的探究思路，让学生经历发现、提出、分析、解决问题的过程，体验数学思维。
4.创新设问落实课标要求，突出对概念本质的考查
“根与系数关系”是课程标准（2011年版）新增的内容，是打※号内容，按课标要求是了解。试卷第11题考查这一知识点时，直接给出一个一元二次方程，考查关于这个方程两个根的代数运算，可直接解方程也可用韦达定理求解。但是给出的方程没有整数解，这样运算会稍繁琐些，用韦达定理求解计算会略简单些，既落实了课标的要求，又避免了对这一知识的深挖，起到了教学导向的作用。
对函数的考查，更注重对函数本质的考查，即对函数概念、图形和性质的考查。试卷第6题考查了二次函数的开口方向、对称轴等图象的基本特征，综合考查了二元一次方程组，不等式，数形结合、分类讨论的数学思想，内涵丰富，不足之处是选择项的设置有不科学的地方，影响了试题的效度和区分度。第22题对二次函数的考查也回归传统，以抛物线为背景与平行四边形和等腰三角形综合考查，创新之处在于最后一问的设置，巧妙地把二次函数与一元二次方程对应起来综合考查，渗透了转化化归思想。第21题一次函数与反比例函数的综合考查，与坐标结合比较多，计算量偏大，可以进一步优化。
对统计概率的考查也有创新之处。第12题虽然是一道填空题，考查平均数与中位数，这题命题角度比较新，需要根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可，自然加大了难度，需要对平均数，中位数的概念在理解的基础上能灵活运用才能解决问题，很多学生不明白不理解，导致无从下手。第18题概率题，创新之处在于采用逆向思维设问的方式，考查了学生对必然事件、随机事件概念的理解，对等可能性事件概率的本质的理解，本题对学生能力要求较高。
三、学生答题情况分析
2015年试题整体难度比2014年有所下降，但平均分却比去年低。 2015年各设区市中考数学平均分在55分至68分之间，优秀率在8.65%左右，及格率在40%左右（以宜春、赣州、新余、南昌、萍乡等地的统计数据为样本）。考生在答题时也感觉良好，试题平和入手易，区分度明显，特别是填空题难度降低了很多，但平均分只比2014年提高了0.8分，仔细对比发现，解答题相应内容的试题得分均有下降，这是值得老师们关注的现象。
从上表及阅卷情况反馈可以看出我们的教学存在这样几个方面的问题：
1.运算能力有待加强。第15题是一道简单的化简求值运算，但学生平均分偏低，在运用平方差公式，完全平方公式时出现去括号符号出错，两个公式混淆不清，简单计算出错等现象，值得关注。第21题对运算能力要求较高，也导致均分偏低。
2.概念不清、基本功不扎实、书写不规范是丢分主要原因。统计概率试题比2014年相应试题难度均有下降，但均分却低于去年，考查方式、设问方式的变化是主要原因，学生对概念的本质理解不到位。解不等式、画图题等书写不规范，作图不规范或者不按要求答题都导致失分。这些问题都折射出日常教学中的薄弱环节。老师教学过程中应注重基础，注重良好学习习惯的养成，不要一味地追求试题难度，让学生对数学学习失去信心，要注重思维能力的培养。能力的提升不是一朝一夕能做到的，需要有效地引导和训练，需要在课堂上给学生足够的时间独立思考，学会分析问题解决问题，而不是盲目地模仿训练。
本质思维 篇4
一、走出单向思维的误区
在课外活动时, 我引用了一道趣味题:将厚度为0.1mm的纸对折30次后, 有多厚?多数同学认为我是在开玩笑, 即答, 这是一种典型的单向思维的表现, 可谓走入了单向思维的误区。但当时, 我并没有纠正, 而作“不反应”的态度。这样, 同学们进行了反思, 原来它既是一道与数列相关的问题, 又涉及对数计算问题。
为什么会走入“误区”, 或者是不经意, 或者是对题意“对折”的概念搞不清, 这些都是单向思维的习惯性反应, 类似的实例, 在教学中常碰到。
二、踏上多向思维的大道
例1.设x1、x2∈R, 且x1≠x2试确定x12+x1x2+x22的正负性.
貌似简单的命题, 最能激发学生的兴趣, 多数同学有如下解法:
解法一:
(1) 若x1x2=0由于x1≠x2, 所以x1与x2中有且仅有一个为0.
(2) 若x1x2>0, 显然x12+x1x2+x22>0;
(3) 若x1x2<0, 由于x12+x1x2+x22= (x1+x2) 2-x1x2>0, 即
由 (1) (2) (3) 可知, 总有x12+x1x2+x22>0.
上解法的 (3) 用了配方法, 能否只用配方法解决原命题?有:
解法二:
再问:x12≥0, x22≥0, 则x12+x22有什么结果?
解法三:
x12+x1x2+x22>2|x1x2|+x1x2 (讨论去绝对值符号得解) .
解法四:
同学们热情高涨, 说:原来原命题是这样“编”出来的。
我再问:难道我们的眼光就只在“数”x1、x2上转吗?把“数”放回“大本营”———函数中去.
解法五:
令f (x1) =x12+x1x2+x22, 由于△=x22-4x22=-3x22<0 (x2≠0) , 因此f (x1) >0.
三、提高多向思维的能力
1. 看。
集中精力看题材, 反复多次默题, 仔细理解题意, 特别注意命题中的关联词、句、符号的意义 (一般地, “, ”与“{”表示求交集的意思, “、”与“;”表示求并集的意思) 。要高观察能力, “看”是前提。
例2是:设a
小排列顺序是%%%%.
“直看”此题, 还真有点眼花, 如果按如下重排命题:
看起来简单多了。
由以上方程组可以推出:
例3:已知a, b∈R, 且a2+4b2=1, 求a2+4b2的最小值.
初看此题, 是纯代数求最值的问题, 易得:
解法一:将a=1-4b代入a2+4b2中, 得f (b) =20b2-8b+1, 则f (b) min的值即为所求 (下解略) .
引导同学:a、b是两个变化的量, 则
解法二:令x=a, y=2b,
再把原命题进一步充实, 略改已知:a、b∈R+, 则有
解法三:∵a+4b=1, 故令a=sin2x, 4b=cos2x, 则
2. 实验。数学归纳法中, 结论一般从有限次的实验中得来的。
例4:在则2n·2n小方块组成的大正方形内, 挖去一小方块后, 总能用由三小块组成的“”形块铺满, 试证之.
面对命题, 学生大多束手无策。此时, 我要求学生做n=1, 2的两种情况的实验, 学生很快发现本命题是一道有关数学归纳法证明的习题, 但对这样的应用题要用数学归纳法证明, 他们会感到生疏, 一时不知从何下手。这时我指出:由于图形的对称性, n=2时有且仅有如下三种情况 (如图所示) 。这时, 学生的思维活跃起来 (图中阴影部分表示挖去那小块) 。
假设2k·2k块正方形中, 依题意能够铺满, 如何进一步证明2k+1·2k+1块的正方形中也能铺满呢?难点暴露了, 我却袖手旁观, 学生议论纷纷。片刻, 我提示说:“事物总是存在矛盾的两方面‘铺’、‘挖’不是完成这道习题的两个方面吗?”同时指出2k+1·2k+1=4 (2k·2k) 学生对右图中的A部分依题设先挖去一块由假设可铺满, 但B、C、D三部分只要用一块“L”形块 (如图双影表示) 先铺好, 那么B、C、D等待再铺的情况与A (假设) 完全相同了。这里用“铺”代表“挖”的巧妙实施, 对开发和提高学生的多向思维能力, 可以起到非凡的作用。
3. 小结。
抽象概念的获得与巩固, 除了要很好地了解概念的形成过程外, 还要挖掘概念的外延的对象。小结有利于智力的开发, 有利于提高多向思维能力。华罗庚所说的“善于把书读薄”就是这个道理。
如本文例3是同一个问题可以覆盖不同的类型的知识点, 例4实际是“22n-1能被3整除”的实际应用题, 解决了问题, 上升为理论, 养成这样的“小结”习惯, 多向思维也会成为习惯。
四、优化选择多向思维的对象
对同一道习题存在的多种解法中, 选择最优的一种 (或几种) 加以净化, 能够给多向思维带来新的乐趣。
如课本中有这样一道习题:求证“两椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0, a2x2+b2y2-a2b2=0的交点在以原点为中心的圆周上, 并求此圆方程, 用解方程组的方法求出四个交点和用两个方程直接相加的方法都可以求其轨迹方程, 但前者繁, 后者简。本文例3的解法三, 如果不将“a、b∈R”改成“a、b∈R”本命题就不适用了。
优化多向思维的成果不单是“哪种解法简便的问题”, 更主要的是得出一些经验, 并用以开发新的领域, 如用图像的基本知识, 去解某些含参数的不等式, 很方便。
例5: (1) 解关于x的不等式|x|>ax, (a∈R) .
(2) 若a>0, 使不等式|x+4|+|x-3|
本质思维 篇5
实践思维方式:论马克思关于人的本质的科学规定
追溯马克思关于“人的本质”思想的探讨历程,马克思进行探讨的根本思维方式是实践的思维方式.本文运用实践的思维方式,遵循黑格尔的“本质的反思”理论所蕴含的辩证的方法论原则,历史地对人的本质进行反思,从而得出与理论界迥然不同而与马克思的“人的本质”命题相吻合的结论:人的本质是具有多维多层次的整合体,人的三个层次的本质(或者说人的本质的.三层涵义)--现实本质、类本质、最高本质三者相辅相成,构成了完整而科学的关于人的本质的学说.在逻辑上,这一学说是科学共产主义的理论先导.
作 者：文翔 文海鸿 作者单位：西南师范大学经济政法学院,重庆,400715刊 名：四川师范学院学报(哲学社会科学版)英文刊名：JOURNAL OF SICHUAN TEACHERS COLLEGE(PHILOSOPHY & SOCIAL SCIENCES)年，卷(期)：2003“”(4)分类号：A81关键词：实践思维方式 本质 现实的人 自由自觉
抓住本质巧设问善用激励拓思维 篇6
一、教学过程
【片段一】
师：今天学习7的乘法口诀，哪位同学已经会背了？（学生争先恐后举手，教师指名背、开小火车背，轮到小厉同学时，本应是“五七三十五”，可是他支吾了几秒钟后却说“七七四十九”，个别同学笑了）
师：“七七四十九”不错呀！知道了这句口诀，就能推理出五七是多少？
生（另一个学生）：只要把“七七四十九”减去2个7就行了，49减7等于42，42……。
师：停（教师示意前面的同学），小厉同学，你能接着说吗？
生：42再减7等于35，五七三十五。
师：真不错，稍提示就会了。
【反思】当有学生背不出时，教师没有简单否定，而是激发其推理，在前一个同学的点拔后适时介入，给此学生说出正确答案的机会。这样的启发与帮助非常自然，同时教师的引导与评价有利于创设安全的课堂讨论氛围，让更多的同学敢说、爱说。
【片段二】
师：看到7×5，你会想到哪些学过的知识？
生：7×5与5×7是一样的答案。
生：7×5既可以表示7个5相加，也可以表示5个7相加。也就是7+7+7+7+7，或者5+5+5+5+5+5+5。
生：我还能把它变成2×14+7。因为2个14也就是4个7，所以再加1个7就是5个7。
生：我还想到了14×3-7。因为1个14是2个7，那么3个14也就是6个7，所以要减去1个7才是5个7。
生：我还想到了14+7×3，也就是2个7加3个7等于5个7。
师：太棒了，先说到这儿吧！
生：不行，不行，老师，我还有一个不一样的想法。变成3×5+4×5，因为3个5加4个5也就是7个5。
生（很多）：不对！
生：对、对，刚才我们不是说7×5还有一个意义是7个5吗？这里就是表示7个5的意义呀！
师：就是呀，他从不同思路把7×5进行了变化呢，真是善于思考呀！除了变式，我们还能做什么？
生：我还可以提出用这个算式解决的数学问题。比如，一盒饼干有7块，5盒饼干一共有几块？
生：202班有7个小组，如果每个小组有5人，那么一共有几人？
生：一只手有5个手指，7只手有几个手指？
……
师：一个星期有几天？
生：7天。
师：那么……
生：哦，我知道了，那么5个星期有几天呢？10个星期有几天呢？
生：10个星期就是70天，也就是10个7天。
【反思】“看到7×5你能想到哪些知识？”这是一个非常开放的问题！学生由此想到了算式的意义、变式、问题解决，难能可贵的是每个学生的思考都围绕问题本质而进行。一个数学问题带来如此多的数学思考，可见教师平时对学生数学素养培养之成效。而如此精彩的数学思考也源于教师提出如此开放的问题。
【片段三】
师（课件出示）：今天是本学期第12周的周五了，这个学期已经过了几天？
生：可以列式为12×5，因为一个星期只有5天是上学的，另外两天不算。
生：我有不同想法，老师的问题是这学期已经过了几天，不是求上学了几天，应该包括周末2天。
师：你说得有道理，不过刚才同学能列出求上学天数的算式也值得表扬，而且他已经考虑到了周末，只是对“过了几天”的理解有些不同。
生：那么我想正确的列式应该是12×5+12×2。其中12×2就是算周末总共有几天，再加前面上学天数就是这学期已经过了的天数。
生：嗯……好像不对，今天是第12周的周五，还有周末两天没过呢，应该再减2天吧？
师：太棒了！你考虑到了这个星期还没过完。
生：我觉得还可以列成11×7+5，因为……
师：太棒了！
生：还可以是12×7-2，因为……
生：我也想到了这个算式，我还能算出它的结果……
师：同学们已经开始想怎么解决这个问题了。
生：我觉得可以先算2个7，再加10个7，然后减2。
生：我想先算5个7，再加6个7，再加5。
生：那我还可以先算4个7，加8个7，再减2呀！
……
【反思】教师总能找到学生回答中有价值的部分并给予肯定，教师的引导非常自然，“他考虑到了……”“他已经开始想如何计算了……”，这种评价既是肯定又是引导，使学生不断突破思路、拓展思维、深入思考。在学生的相互启发下，方法层出不穷，有些已远远超出二年级学习的要求，但教师总是充分地肯定。在这样无拘无束的交流氛围中，学生们充分享受到了学习的快乐。
二、教学反思
看同学们的讨论，读者一定会感受到学生高度的参与热情。他们不断提出问题、分析问题、解决问题，不断提出自己的想法与看法，不断验证同学的说法。如此开放的思维、积极的讨论都源于教师能抓住知识本质进行问题设计，能给学生广阔的思维空间，能给学生积极的鼓励与评价。
（一）教学突出知识本质
乘法的本质就是求几个相同加数和的简便运算。教学乘法的认识就是要让学生知道求几个相同加数的和可以用乘法来计算。至于乘法口诀的背诵、运用等，则是技能与记忆问题。因此，在乘法初步认识的第一课，笔者就在了解学生已经有一定口诀背诵能力的基础上问：那你知道“三四十二”的意义吗？它用加法如何表示？用图如何表示？能解决什么问题？等等。这样，没几节课，学生就熟练掌握了乘法的意义、它与加法的转化、乘法口诀的运用及其与生活的联系。等到了7、8、9的乘法口诀教学时，教师再没必要在口诀得出、记忆上花太多时间，而是着力创设思考空间，培养学生数学思维能力及问题解决能力。从学生表现中可以看到，因为学生对乘法本质有较为深刻的理解，所以能围绕知识本质对算式进行诸多变式，体现出很好的形变而意义不变的思考方法，在问题解决过程中，也是根据问题的本质提出了许多不同的思路、不同的解答方法，表现出非常灵活的思路。相反，假如学生没有对乘法本质有较为透彻的理解，对于7×5的变式不会如此丰富：既有7个5的变式理解，也有5个7的变式理解；如果学生没有对知识本质有较为透彻的理解，学生也不会有如此主动、积极的交流与探讨。endprint
围绕知识本质进行教学，通过教学让学生理解数学本质，才能培养学生良好的数学思维与数学能力，才是高效的数学课堂。
（二）提出有思考空间的问题
教师要能围绕教学目标提出有价值、有思考空间的数学问题。问题思考空间大，更易激起不同层次学生的思考积极性，发挥差异资源的作用，实现相互启发、相互促进的作用，给课堂带来更多精彩。
在“看到7×5你会想到什么”这个问题上，学生可以想算式的意义，可以想变式，可以提出相关的问题，提出问题又可以想如何解决问题，解决问题的方式又可以多种多样，多样的方法中哪些是正确的，哪些是更优的，如何验证方法的正确与否，从不同的方法中又能发现什么规律、总结什么经验等等。在这样的过程中，学生可以经历想象、联系、推理、思考、总结、发现等诸多学习过程。而且，这些过程是自主、自发、自由的，而不是在教师设计之中。在这样的学习过程中，学生才是一个真正的“发现者”，才能体验到更多的学习乐趣。在这样的过程中，教师只要适时地问：你想到了什么？你是怎么想的？谁能再解释一遍？你同意吗？为什么？有没有补充？这就是教师作为组织者、引导者的角色的最好体现。也许教师会说，“问题空间大，怕控制不了课堂”“怕学生扯得太远”。其实，教师不必控制课堂，而是要引导课堂、组织课堂。在学生想偏了的时候引导一下，想错了的时候纠正一下，想乱了的时候整理一下。学生就是在这样的引导与组织中，逐渐学会思考、学会学习的。而教师，也是在这样的过程中历练出教学机智，逐渐使教学达到得心应手、收放自如的。
高效课堂最重要的特性就是生成性、解放性。教师敢于提出有较大思考空间的问题，才能解放学生的思考力、学习力，让课堂有更多精彩的生成，让课堂更高效。
（三）用好激励性评价
小学教师，最重要的不是具有怎样高级的专业化水平，而是她（他）是否具有“激励性人格”，是否能激发每一个学生的学习欲望。有善于激励学生的教师才会有高效的课堂。笔者问过许多不爱举手不爱发言的学生，回答都是“怕说错”“怕同学笑话”“不敢”。因此，作为教师，爱鼓励、会鼓励，善用激励性评价，一定是最重要的基本功，也是必须具有的教学观。鼓励学生，教师要能站在学生的角度，以学生的知识水平去理解学生，而不是简单地以标准答案去评判。就如上面交流中，当学生答不出时，教师可以说“稍提示一下就会了”，当学生想得不完整时，教师可以说“能想到一些已经很不错呀”，哪怕学生完全答错，教师还可以说“能发言就是会思考的好学生”。只要教师愿意，就一定会找到值得肯定的地方。教育一定是基于人性的，而人性普遍是期待鼓励的，对于学生来说更是如此。激励性评价是高效课堂不可或缺的重要元素。
综上所述，教学要突出知识本质，不止于肤浅，给学生提供具有思考空间的问题，并能激励学生思考，使其自主建构知识体系，课堂才有生命的活力，才能构建高效的数学课堂。
本质思维 篇7
什么是创新型人才?创新型人才的核心要素是什么?如何培养创新型人才?对于这些问题,人们在认识上存在分歧,在实施上少有可信服的案例。虽然国内外教育家和心理学家做了很多研究,但是在创新力本质的认识上仍没有达成一致。
当今的教育遵循教育学原理,教育学起源于西方,其基础是心理学和哲学[1]。所谓科学教育只是符合心理学原理,然而,心理学不是万能的,有些现象是心理学无法解释的,对于那些心理学还没有搞清楚的现象,如何进行有效的教育呢?另外,心理学的解释是人为之物,这些解释一旦发生偏差会导致严重的后果。很多教育现象,如创新能力、意志品质等,都是个体拥有的,每个个体都各不相同,心理学难以给出充分的解释,教育又该如何处理呢?
教育究竟是什么?教育应该遵循何种途径?
教育的本质
教育是人类社会特有的一种现象,是有意识的活动,是特殊的传递经验的形式和以影响人的身心发展为目标的社会活动。社会活动与人类改造自然的活动相比,二者的施予对象和活动结果具有明显的区别。而教育活动与一般的社会活动相比,有着不同的活动目的:前者的目的在于促进施予对象(被教育者)的发展,而后者的目的在于满足施予者本人的利益。
因此 , 教育的本 质属性在 于教育的目的性,更具体地说,就是教育者按照预期的目标培养被教育者。然而,教育究竟要培养什么样的人呢?
从中国的发展历史看,自黄帝以来,史书上所记载和颂扬的多是那些德和才兼备的人物。从中国的教育历史看,夏朝已经建立了面向官方的教育制度,西周以“六艺”为教育目标,汉代以后以儒家文化为主导,清末又引入了西方近代教育,近代蔡元培先生提出了“五育并举”的健全人格教育方针,以及当前奉行的“德智体美”全面发展教育方针。从大的方面看,自古以来的教育目标都可以分成两方面:做事和做人。
从西方的教育历史看,其教育目标仍然是“学会做人”和“学会做事”。苏格拉底认为教育的首要任务是培养道德,要“学会做人”,另外还要教人智慧,明辨是非,正确做事。亚里士多德认为人具有理性,不同于动物,高于动物,用理性引导限制指导欲望,人就上升成为人。发展人的理性,使人超越动物的水平,上升为真正的人,这是教育,特别是德育的任务,而理性灵魂则表现为思维和认识。虽然中世纪大学开始形成时较为偏重知识教学,然而到近代,西方的教育家和哲学家们也逐渐将教育融入教学。关于教育目标所涉及的内容,康德也认为教育要包括三个方面的内容:技能性的、明智性的和道德性的,其中技能相当于通常的知识和技能,明智性的内容是指运用技能解决问题,即思维能力[2]。
因此 , 从古今中 外的教育 历史看,教育的本质在于教育的目的性,而教育的目的是使被教育者获得为人之德和做事之道。
现代教育系统
1. 教育研究与教育实施
教育的目的是培养德才兼备的人,然而这种目的如何才能达成呢?
教育是改变人的活动,是一个非常复杂而又不确定的系统,然而教育却又常常被赋予太多的责任,有的来自国家层面,有的来自家庭层面。而且,教育往往会被赋予重大而又确定性的责任。例如,限定时间内培养出某个行业所需要的人才,于是如何使教育变成一个可控的、确定的过程便成为人们的梦想,一些人专门研究如何通过可控的手段和途径达成特定的教育目标,这就是教育研究,这样的研究逐渐发展成一个学科,成为教育科学。
通过多年的发展,现代的教育系统已经分成了两个相对独立的系统:教育研究和教育实施,虽然看起来二者有关系,但实际上是相互独立的,如图1所示。
教育研究和教育实践分开的优点是,教育研究人员可以专门进行教学设计的探讨,而不需要真正去上课;而一线教师可以专门上课,通过不定期的接受教师培训从而提高自己的教学水平。虽然这样的分工可以使得教育研究人员和教学实施人员分别专注于各自的工作,使得各自的工作更加富有成效;然而,这种成效是依赖于各自的评价系统的,研究人员可能取得高校认可的研究成果,但是对于教育实施未必有效;而中小学教师可能培养出优秀的学生,然而他们未必是按照研究人员的成果实施的,甚至未必和研究成果一致。虽然目前教师培训已经成为我国教育的基本国策,如国培计划等,然而这种培训中知识是通过教师的言语传递的,教师通过言语报告将自己的研究成果讲给一线教师。这样的培训存在两点疑问:一是,高校教师的研究成果未必是有效的,传递的未必是有效真理;二是,即使是有效真理,经言语传输的又能得到什么呢?
2. 教育的层次系统
前面的分析表明,目前的教育学科已经成为一个独立的系统,系统中的子模块之间形成了图2的层次关系,即始于理想的人这一教育目的,到教育结果产生,即产生被教育的人之间形成了多级的层次关系。
一个教育系统大致可以分为五个模块,分别是教育目的、教育目标、课程设计、教学设计、教育实施。这五个模块中,教育目的和教育实施模块面向的对象是人,即教育目的是“培养……的人”,而教育实施也是教师和被教育的对象之间直接发生的社会活动,这种社会活动直接影响教育的结果,即教育目的的达成,也就是产生被教育的人。
中小学教育的现状
中国的儿童三岁开始进入幼儿园,从此便开始了漫长的学校教育生涯。按照目前中国的大学入学比率估计[3],连同民办的大学算在内,中国高中生进入大学的比率已经大大提高,2014年为74.33%。因此,相当一部分中国学生的在校教育时间是19年。
作为中国的高中毕业生,要经历15年的学校教育;作为一名大学毕业生,要经过19年的学校教育。中小学学校期间,每天都在练习,每周都要测验,每个月都要考试,每学期都要进行期末考试,每学年都要进行年级考试。在目前的主要依赖考试成绩的教育机制下,对学校的考核指标主要是升学率,学校对学生的考核主要靠成绩,学校对教师的考核主要也是所教授学生的成绩。
虽然目前 我国的学 校教育采用三维目标,即知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观,但在一切以成绩作为默认衡量指标的前提下,其实教师教学只有一个目标,就是知识与技能,其他都成为摆设。因此,每位教师都会只关注所教的学生每学期的成绩,因为只有这一学期的成绩属于“我的成果”,难以指望教师为学生做更长远的考虑,更不用说一生的考虑了。小学只考虑小学的阶段,初中只考虑初中阶段,高中只考虑高中阶段,每个阶段的教育目标是本学段内取得好成绩,因此,目前常用的教学方法是将本学段的知识不断讲解,将本学段所要学的技能不断练习,更有甚者,有的学校要求学生在假期里预习完下一学期的教学内容,虽然教师也不能保证这样能得到好成绩,但这样的方式让他们放心,这是教师们能确认已经学会的最好方式。也许提高学生的能力是更好的提分方式,但是那样可能来得慢,日后学生可能取得好成绩,但那时的成绩不属于“我”。
在这种一 切以成绩 论的机制下,教师将学生视为自己“挣分”的对象,再好的学生不能拿到高分对于教师也没有吸引力,因此不能要求教师都要以培养人为目的;因为,即使培养出了优秀的学生,这种成就也只能属于最后一个学段。其结果是,学生的素质和能力不能随着学龄的增加而提高,大学抱怨高中,高中抱怨初中,初中抱怨小学,小学抱怨幼儿园。
从目前的教育情况看,学校注重成绩而忽视能力与人格教育的现象普遍存在。虽然每所学校都有自己的理念,这些理念听起来都是以培养高尚的人格为目标,然而在实际操作中却形同虚设,至少难以落实。
以上所描 述的情况 不是个别的,而是普遍存在的。人们注重成绩却忽视能力素质,难道考试成绩与能力以及人格培养存在本质的冲突吗?
思维能力教学的实践
1. 两种类型的教学
学校已经 成为教育 的默认场所,学科知识已经成为教学实施的主要载体,因此基本知识和基本技能仍然是学校教学的重要目标。然而,随着社会的发展,知识本身所起的作用越来越有限,人们越来越关注学生获得知识的方式,因为不同的知识获得途径,会带来不同的附加效果,这种效果往往比知识本身还重要。
马克思主义认识论认为,人们获得知识有两种途径,一是通过直接经验,二是通过间接经验。直接经验是通过自己亲身实践创造或者发现的知识,而间接经验就是通过阅读书本或者别人告诉的知识。在教学中,学生获得知识的方式也可以分为两种:一是教师通过言语传递的,二是学生在直接完成活动中发现的。据此,我们可以将教学分为两种类型,一是解释型教学,二是创造型教学。在解释型教学中,教师通过各种手段将知识解释给学生,使学生明白知识的含义,从而获得知识;然而,在创造型教学中,教师需要给学生设计好活动,学生通过完成相应的活动来创造知识。
在以双基为目标的教学中,主要采取的教学方式是解释型教学,因为这种方式可以快速高效地让学生掌握知识,但是学生除了获得理解能力和知识之外,难以得到其他的能力。而在创造型教学中,学生除了获得知识与技能外,或可得到创造能力。
一般来说 , 只以获得 技能为目标的教学称为训练,例如,各种体育技能训练以获得某种特殊技能为目标,思维训练以获得某些特殊的思维技巧为目标。对于基础教育来说,学生还没有到专业发展的阶段,应该以基本知识基本能力基本素质为目标,因此不宜采用训练的方式进行教学。
2. 思维能力的教学
思维能力是成功解决问题所需要的稳定的主观条件[4]。思维能力又分为分析性思维能力和创新性思维能力,前者是成功解决相似问题所需要的主观条件,也称为迁移能力;后者是指解决新异问题所需要的主观条件,尤其是解决复杂的高难度问题所需要的主观条件。思维能力是一个人终生所需要的,是一个人取得成就的必备条件,也是创新型人才必备的条件。因此,我国教育的新课标也将思维能力列为各个学科的重要教学目标。
我们课题组经过五年的研究和实践,对思维能力教学进行了深入的探索,取得了以下成果。
(1)思维能力的本质
思维能力 是近年来 心理学广泛研究的概念,但是目前还没有一个明确的定义,甚至还没有形成共识。然而,思维能力又是新课程标准中的一个重要成分,是教学人员无法回避的概念。由于对思维能力本质的认识缺乏共识,人们在研究思维能力教学时所指的目标也是很模糊的,有时是指思维的过程,如杜威的思维过程[5],有时是指思维的具体操作,如德博诺的思维技巧训练[6],有时是指思维的效果,如林崇德的思维的品质等。但是,究竟思维能力与其他的性能有何不同,本质上有何区别,从目前的解释上来看无法找到答案。例如,思维能力与方法、知识、思维技巧有什么区别?目前的文献很难解释清楚。
我们经过研究认为[4]:思维能力与知识、方法的区别在于使用方式的不同,知识方法的使用是有意识的,而思维能力的使用是无意识的,而从记忆的角度看,知识和方法是以陈述性记忆或者程序性记忆存储的,而思维能力是以内隐记忆的形式存储的,而内隐记忆的具体位置也是无法说清楚的,思维能力的存储特点和使用方式是一致的。
研究表明 , 内隐记忆 主要是靠隐式方式获得的,即不能直接作为行为的目标。例如,我们说话时是靠语法发挥作用的,然而我们单独学习的语法规则反而不利于言语对话。同样,思维能力是解决问题时所需要的,但是这种作用是隐式的,我们所能感觉到的只是问题本身,至于何时解决是不确定的。思维能力的获得是通过解决问题实现的,是在解决问题的过程中自然得到的,离开了解决问题,而单独地讲授问题解决过程是无法得到思维能力的。
(2)教学目标的确立
解决高难 度的问题 需要反复思考,不但需要知识技能和方法,还需要激活这些成分的思维能力,同时还需要强大的意志力和开放的人格。因此,我们将思维能力的教学目标设置为五维:知识、技能、思维能力、素质和人格。研究和实践表明,知识和技能都可以通过解释和练习获得,因此可以通过解释型教学得以实现。然而,思维能力,尤其是创新思维能力是亲自解决问题的体验,是直接经验而非间接经验,因此只能通过创造型教学获得。而且,思维能力属于隐性知识,是可意会而不可言传的,属于“道”,因此只能通过隐式教学方式获得。在制定教学目标时,我们提供了创新思维能力的教学目标分类,教师可以更有效地描述创新思维能力的教学目标。
(3)思维能力教学的模式
在实践中我们探索出了一套比较稳定的思维能力培养的教学模式,即创造型教学的一般模式:即目标设计;新异问题设计;问题探究;启发点拨;结果展示;质询反思;归纳总结;练习巩固;拓展迁移。
(4)新异问题的主要特征
我们的实 践和研究 表明 , 一个有效的新异问题应该具备以下特征:问题情境贴近学生的生活,选择学生感兴趣的活动;问题活动基于学生的经验,学生可以动手操作;使用教学目标所涵盖的内容对问题的解决是必要的;解决该问题的难点和关键是应用教学目标;问题对于学生应具有新异性;问题对于学生应具有挑战性。
利用以上的问题特征,我们设计了小学数学1-6年级的720道新异问题,并以此设计了相应的720个教案,形成了《小学数学创新思维能力教程》1-6册。实践表明,这些教案可以在培养小学生创新思维能力方面发挥重要作用。
(5)思维能力培养的启发策略
思维能力是学生在亲自解决问题中获得的,强大的意志力是在学生解决复杂困难的问题时获得的。因此,学生的参与度越高,思维能力教学的效果就越好。据此,我们提出了提示最小化原则,即当学生遇到困难时,为了让学生解决问题,应尽量给予最小的提示。同时,我们还给小学创新思维能力教程的每个探究问题提供了参考的启发问题。
(6)专家示范引领的随堂实训教师培训模式
思维能力教学要求教师具备问题设计能力和启发点拨能力,这些能力不是通过几次报告就能够获得的,只能通过教师在创造型教学中获得。以往的教师培训主要以演讲为主,教育专家做报告,然后教师进行教学设计并授课,专家对授课进行点评,这种方式并不适合思维能力教学的教师培训。经过长期的教学实践,笔者和研究团队探索出了一种专家示范引领的实训教师培训模式,即项目组专家先进行课堂示范和评课,然后与教师一起设计,进行同课异构,最后让教师独立设计和授课。这种方式结合了学徒式教学和常规的培训方式,不会给教师添乱,不但可以让教师有抓手,可模仿,而且可以潜移默化地升华教师的教学理念。与专家演讲的方式相比,这种方式更有效,但对专家的要求特别高。
五年来,这些思维教程和教学方法在门头沟区、朝阳区、海淀区、河北三河、河北高阳县等地的四十多所小学试用。统计数据表明,学生的思维能力半年后就显著提升,成绩明显提高。
思维能力和意志力是人的稳定因素,这些因素的改善不仅能提高数学成绩,对其他课程也会有正面的作用,对学生的思维方式、做事能力都会产生深远的影响。
对教育未来的展望
历史永远前进,时代不断变迁。追求成就却是古往今来不变的人生诉求,人才培养是教育永恒的主题。受西方教育思想的影响,沿袭几千年的以人为本的中华教育突然转向双基训练,几十年的教育培训产生了成千上万的演讲式教师,然而目前,教育的车轮又回归中华古老的传统教育。
知识和方法是客观的,是可以写在纸上的,是可以观察到的;然而思维能力和意志力是主观的,只能存在于个体中,是无法观察到的。知识和方法是可以通过解释加以理解和记住的,然而思维能力和意志力却不能通过理解得到。关于创新力,心理学家林崇德认为是由创新思维和人格组成,人格心理学家荣格认为人格就是“道”[7]。那么,人才培养本质上就是“修道”,而教育的问题就是如何修道,正如道德经所说“处无为之事,行不言之教”。
真正的创 新不仅需 要创造性思维,克服困难的意志力,开放的头脑,而且还要忍受多次失败的煎熬,甚至在绝望中还要坚持。创新是知识、思维能力、素质和人格的综合体现,创新型人才本质上是一种包含多种因素的创新本性,遵循着创新本性行事才会得创新之道。
本质思维 篇8
试卷讲评课是在考试后,教师对其分析和讲评的一类课型,是高三复习中的一种极其常见的课型.这种课对学生所学知识起着矫正、巩固、完善和激励的作用.这种课型是知识的再梳理、再综合、再运用,是师生共同探讨解题方法、寻找解题规律、提高解题能力的有效途径.科学高效的试卷讲评课对于学生巩固知识和技能,拓展学生的思维深度、广度,提高分析问题、解决问题的能力起着极大的作用.
然而,大多数试卷讲评课还仅仅停留在教师一言堂、满堂灌、单方面纠错的传统教学误区中,多数教师在试卷讲评课上缺乏科学高效的方法指引,使试卷讲评课难以发挥其独特效力,教师在日复一日重复而低效工作中日趋倦怠,学生在错了又错反复跌倒的情境中日趋厌学,高效无从谈起.
二、试卷讲评课教学误区
(一)展示正确解法,忽视错误成因
教师在批改试卷后,往往统计每题错误的人数,然后根据错误率确定讲评的重点,这一统计数据虽然有一定的针对性和代表性,但也掩盖了一些问题.尤其像有些选择题、填空题虽然正确率高,但学生的错误解法和思维隐藏在正确答案之下.再者,课堂上,教师不停地讲解正确解法,忽视学生为什么会出错,只讲“对”的,不展示“错”的,学生听完后不久就会淡忘,何谈理解.
(二)追求一题多解,忽视本质提升
有些教师在讲评试卷时,为了让学生对题目有更深刻的理解,刻意追求一题多解,而忽略了每一种方法下解题“本质”的探讨.事实上,教师“秀”的各种方法,往往并未和学生已有的知识储备产生“共鸣”,新的解法并未触及学生知识的“最近发展区”.有些解法其实是教师生硬地“灌”给学生的,有些解法过于“巧妙”,对解题者思维品质的要求较高,学生听起来感到神奇,像是欣赏魔术,但由于运用范围面过窄,很快就淡忘了.恰恰相反,有时,过多的解法反而阻碍了学生对问题本质的理解,淡化了通性通法的认识与应用.
(三)缺少互动生成,错失提升时机
互动的课堂教学,通过师生平等的交流和对话、探究和质疑,使不同层次的学生互相学习、互相补充,获得不同程度的发展,这个过程既有资源的生成,又有过程状态的生成.这种课程资源在教师备课时往往无法预料和估计,它具有瞬时性、不可预料性和不可重复性.正因如此,它才显得更加宝贵而有意义.而多数教师为了节省时间,担心完不成讲评任务,采用包办、代替的方式,预设好讲评内容,“牵”着学生向前走,不为学生创设个性化思考、探索的时间与空间,使讲评课成了教师“一言堂”“满堂灌”,失去了提升学生思维能力的有利时机,课堂失去活力,何谈高效!
(四)注重讲题数量,淡化反思感悟
有些教师为了能多讲些题目,能让学生多见识一些题型,力图以题目的数量胜出,以经验积累和题海战术代替理性思考,课堂上为节约时间往往就题论题,不重视解题思路的分析和引导,只管抛出正确的解题过程,至于解决问题的思路是如何形成的,解决问题的方法是如何构想的,这些对于学生来说至关重要的疑问,不留给学生反思的时间和“悟透”的空间.这样的教学只能养成学生善于模仿而不会思考的习惯,难以提高学生对试题本质的认识,更难以提升学生的思维能力.
三、有效的试卷讲评课策略
(一)课前准备
试卷讲评课的主要特点就是信息量大、问题类型多、学生出现错误的原因复杂,因此,有效讲评的前提条件就是及时做好充分的准备工作,包括教师和学生双方面的准备.
1.及时批改完试卷,趁热打铁进行讲评
学生完成一份试卷后,他们对于自己的劳动成效如何是非常关注的,这个时候如果快点批改完试卷,早点讲评的话,学生的求知欲是最强烈的,此时他们的听课效果是最好的.有的老师由于改卷的难度大或者备课任务繁重而把试卷发放和讲评安排在考试过后一个星期甚至更后,而此时学生解题时产生的思维火花早已消失殆尽.因此,应及时将考试的结果和答案反馈给学生,否则会白白浪费了一个绝佳的教学机会.
2.结合命题意向,做好考试情况分析及总结
既然是考试,就一定会有考试的目的.比如,考查什么知识点?想测试下学生哪些知识点没掌握或基本技能不过关?出卷时做到心中有数,改完卷做好数据统计.根据统计结果,对学生的考试情况做到理性认识.
通过命题意向和考试情况分析,反馈了他们对知识点的掌握情况及存在的问题,那么就为上课做好了前期准备了.
3.教师针对性的教学设计
首先,针对试卷分析的情况确定讲评的主要内容,针对重点题目利用各种学习资源选择并设计不同层次的变式、类式练习题及拓展延伸的题目.
其次,根据不同题型及差异性错误原因设计教学、整合各类试题、编制导学案.包括针对共性问题的教学方案和针对个别学生问题的教学方案两个部分.
最后,进行多媒体课件制作.制作课件要做到:直观、实用、反映主要问题.课件内容主要包括:课堂导入、分数段统计、选择题失分较多题目及正答率、主观题问题总结、典型问题、典型答卷照片、解题思路总结、变式练习、作业等.
4.学生自查试卷、合作交流
高中阶段,大部分学生都有自己解决问题的愿望和能力.让学生在讲评课之前先自主诊断、补救、发现问题,既能有效调动学生的主动性,也可以大大增强课堂教学的实效.具体做法是在课前把试卷发给学生,要求学生通过查阅资料等方式自主纠正错误,并对试题所涉及的知识点联系书本进行总结、整理,此外还要求学生思考自己失分的原因.除了学生独自解决问题,教师还要求学生参与小组讨论,互相帮助解决问题,把讨论后仍不能解决的问题由优秀学生或组长记录下来交给老师,以备课堂上作为重点问题解决.学生自主解决问题的过程也是自我诊断、自我评价、自主探究的过程.通过这个过程,学生能够做好两个方面的准备:一是找到自己知识的盲点、疑点,做到有侧重地听课;二是通过分析自己的得失,调整好上课时的心态,以高度的注意力和积极的态度听课.
(二)课堂操作
1.抓“重点”,更要针对性强
所谓重点就是针对试卷和学生实际进行重点讲评,讲评试卷切忌面面俱到,关键在于抓“通病”与典型错误及抓“通法”与典型思路.
(1)抓“通病”与典型错误
剖析错误是试卷讲评的重要内容之一,也是学生关注的重点.教师应把学生试卷中的错误归纳、概括,找到通病和典型错误,找准其思维的薄弱点,有针对性地引导学生辨析,找准错因、错源,探究正确思路,做到纠正一例,预防一片,举一反三,触类旁通.比如,用数码相机把典型错误的试卷拍下来,做成PPT演示文稿,在课堂上最真实地展示给学生,他们看到同学离谱的错误,立刻有很大兴趣知道谁是那个“离谱”的家伙,以及真正正确的答案是什么.于是积极性上来了,效率也就提高了.
(2)抓“通法”与典型思路
在开拓解题思路、总结解题规律时,要抓住“通法”与典型思路.通法是指常规解法,典型思路是指常规解法中机智、简捷的解题思路.抓通法,以加深对知识、技能的理解和记忆,强化公式、法则的运用;抓典型思路,以开启智慧大门,使能力得以升华.
例如讲解某阶段性测试卷中的一题:如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.
首先复习了直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
然后训练下面习题:
如右图,AB∥α,AC∥BD,C∈α,D∈α,求证:AC=BD.
目的是通过相对简单的习题的训练,再巩固加深对直线和平面平行的性质定理的理解与应用.
最后和学生一起做这道考试题,由于有上一题作为铺垫,本题的解题思路很快就打开:原来这一题和上一题考查的知识点是一样的.
通过这种有重点的有针对性的复习,找解题的通法,加之由易到难的渐进式重复训练知识点,可以有效地加深对这一知识点的理解与运用.领悟试题的“本质”,提高分析、解决问题的能力.
2.授人以“鱼”,更要授人以“渔”
我国著名教育家陶行知先生说过:“我以为好的先生不是教书,不是教学生,乃是教学生学.”美国心理学家罗斯也说过:“每位教师应当忘记他是一名教师,应具有一个学习促进者的态度和技巧.”试卷讲评课上教师不能一味地就题论题,刻意地追求一题多解,而应从解题思维的本质入手,对题目的相关知识和方法进行剖析提炼,力争“懂”一题,而“会”一类,真正提高数学的思维能力.
【案例】设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_____.
就本例而言,条件中实数x,y满足方程4x2+y2+xy=1,其本质即为动点P(x,y)在曲线4x2+y2+xy=1上移动,令2x+y=t,则直线2x+y=t和曲线4x2+y2+xy=1有交点.因此,本例中解法才是本题的核心,教学中为引导学生对该本质的理解,教师再适当编制变式练习进行强化.
变式1设x,y为实数,若x+2y=8.
变式2设x,y为正实数,若x+2y+2xy=8,则x+y的范围是_____.
通过构造合理的变式,让学生在“变”的过程中发现“不变”的本质,在“不变”的本质中探究“变”的规律,从而在潜移默化中强化“通性通法”,淡化“特殊技巧”,引导学生回归数学的本真,懂数学、会数学、爱数学.
3.有所“选择”,更要有所“放弃”
一般来讲得分率超过80%的题就可以不予讲评,可以把时间分配给得分率较低的题目,比如得分率低于50%的非难题.至于不予评讲的那些题可以让学生自主订正,或单独辅导订正.切勿盲目赶时间,赶进度.因为讲评的目的是找到学生的优点和不足,并尽可能地去纠正不足.打个比方说,考试就像体检,而讲评就像治病.为了把病治好是急不得的.而且发现了病一定要重点医治.另外,一节课根本就没有时间讲完试卷上所有的题,只是重点地讲了某些题,重点训练了某些知识点.
4.有教师“主导”,更要有学生“参与”
试卷讲评不同于教材教学,讲评的试卷学生都已经做过,学生对题目的解答已有自己的想法,因此试卷讲评教师大可不必包办代替,完全可以放手让学生去讲.可以采取的方法是谁错就请谁讲,错哪儿讲哪儿,同时发动其他学生适时补充和纠正.这样的做法肯定能调动学生的积极性,不但是上去讲的同学积极性很高,在下面听的学生也觉得很新鲜,同时学生间的思维方式可能更接近些,听者更容易接受,还有对上去讲的同学也是一个锻炼的机会,对他(她)表达能力的提高也是有好处的,所以好处是显然的.当学生完全不懂或毫无头绪的时候,这时就需要教师来讲.讲什么呢?讲知识结构,以帮助学生形成知识网络;讲思路与方法,以提高学生的学习能力.
当然由学生来讲要注意,学生讲的题目应该有所选择,要尽量选择一些学生容易有不同想法、学生做题时容易有偏差的题目.期间要做好引导工作,要激励、表扬学生,使学生感到满足感而不会因为讲不下去而有挫败感.
5.弥补训练,亡羊补牢
通过诊断矫正后,教师应精心设计一份有针对性的练习题作为讲评矫正后的弥补训练,让易错、易混淆的问题多次在练习中出现,达到矫正、巩固的目的.需要注意的是:测试题目要与矫正重点对应,试题的能力水平与原试题保持不变,试题不宜难度太大、难点过多,一般4~5个小题.
(三)课后反思
课堂教学主要是解决学生存在的普遍问题,一些学生不可避免地还有一些疑问.因此,在讲评课后,进行有针对性的课后练习、个别辅导与反思非常必要.
1.差异作业、个别辅导
讲评课结束后,老师往往让学生订正试卷,将出错的题再做一遍,不少教师在讲评课后不布置作业.而在学生调查问卷中,对“你希望老师如何布置作业”一问,73%以上的学生要求“根据学生的差异设计不同难度的拓展、变式练习题要求学生巩固练习”.这要求教师在设计作业时考虑到学生的差异,分别布置不同程度的课后作业,及时巩固课堂学习内容.课后练习过程中教师可以针对个别学生适时进行辅导,特别是对于后进生,要主动给予必要的帮助,既可以增进师生感情,又能够提高学生的学习信心.
2.反思得法、提升效率
课堂上受时间、情境等因素的影响,很难让学生静下心来反思自己的所得与所失.而课后学生可以找到较充足的时间重新思考这次考试过程中自己的问题与收获.因此课后反思也是提升教学效率的重要一环.笔者根据长期的教学实践得到如下反思策略,效果较好,与大家分享:
(1)创设满分卷策略
教师要求学生通过课堂讲评对试卷精心修改形成满分卷,组长验收.满分卷要求如下:
(1)正确答案应用红笔更正到错误答案旁边,形成鲜明对照.
(2)试卷上应记录有课堂讲评的重要笔记.其中涉及重要的学科原理和规律,要及时备案.
(3)试卷上应标注出错题知识落点对应的教材页数,以备经常翻看.
(2)建立错题档案策略
教师要求学生创设错题档案用来收集每次考试出现的错题,订正格式不能太简单.可按如下格式订正:
(1)第×题;(2)答案表述;(3)错因分析;(4)对今后的启示.
试卷讲评不能单纯地将正确解法灌输给学生,“就题论题、就方法讲方法”的讲评模式已不能满足《大纲》对学生数学能力的考查要求,只有立足数学问题的本质,引导学生对相关知识、思想、方法的内涵和外延进行探讨与总结,追本溯源,寻求本真的数学教学才是摆脱“题海”的桎梏,真正有效的教学.
参考文献
[1]孔企平.“有效教学”的几个理论问题[J].上海教育科研,2007(2):19-20.
[2]肖立清.揭本探源,深思提能[J].中学数学,2013(9):47-28.
[3]波利亚.数学的发现[M].北京:科学出版社,2007.
[4]姚风兰.新课标下的数学试卷讲评策略[J].考试周刊,2010(57):5.
本质思维 篇9
2016年江苏数学高考第18题是一道以圆为背景的解析几何题,而该题的最后一问则利用隐藏的圆(以下简称“隐圆”)解决,与2013年高考第17题的最后一问解法如出一辙.回顾以往,2008年高考第13题也如此.放眼全国高考,发现几乎每年各地的数学高考题中,总会出现利用隐圆来解决的问题,这与我国高考大纲要求相一致.
圆的知识向来是中学阶段重点学习的知识点之一,对于非圆问题我们可以利用圆巧妙地解决.要用到圆必须在解题时“嗅”到“圆味”,从圆的显性条件发现挖掘圆,从而利用圆解决几何问题、向量问题、函数值域(最值)问题、三角函数值域问题、代数式范围问题等.要想挖掘出圆,必须从圆的本质出发,即圆的定义(几何角度)或圆的方程(代数角度).从定义角度看,满足到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆(第一定义),或者平面内到两定点的距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹为圆(称为阿波罗尼斯圆,俗称圆的第二定义).在直角坐标系中,圆的方程能精准地从代数角度刻画圆,因此若能通过动点的轨迹方程得到圆,将可从几何角度来解决.
一、利用圆的第一定义或与第一定义等价的性质条件发现隐圆
(一)直接利用第一定义发现圆
例1(2007年北京朝阳区一模第7题)如图1,点P是以F1、F2为焦点的椭圆a(a>b>0)上一动点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为点M,求点M的轨迹方程.
【解析】设F2M交F1P延长线于点N,联结OM,则F2N是∠F1PF2外角平分线的垂线,所以PF2=PN,而PF1+PF2=2a,因此PF1+PN=F1N=2a,又OM是三角形F1F2N的中位线,所以OM=a,故可知点M的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆,其方程为x2+y2=a2.
【点评】圆的定义是利用圆的最直接角度,该几何角度能简化数学运算,提高了解题效率.
(二)对角互补的四边形的四顶点共圆
例2(2015年浙江省数学竞赛第14题)已知向量a,b的夹角为,∣a-b∣=5,向量c-a,c-b的夹角为,,则a·c的最大值为_______.
【解析】取AC中点D,设则
【点评】向量具有数和形的特点,如果遇到与向量夹角有关的问题时,可以寻找某个向量的终点在某个隐圆上,从而高效地解题.
(三)直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上
例3(2013年安徽高考理科第13题)已知直线y=a交抛物线y=x2于点A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为_______.
【解析】根据题意得,,由∠ACB为直角可知,点C在以AB为直径的圆上,设为圆M,则M(0,a),半径为,所以圆M的方程为:x2+(y-a)2=a.
又点C在抛物线y=x2上,由得x2+(x2-a2)2=a,从而(x2-a)(1+x2-a=0),故x2=a或1+x2=a,由题意可知,1+x2=a有解才能使得存在点C,所以a=x2+1≥1,因此a的取值范围为[1,+∞).
【另法】直接从几何角度可知在以AB为直径的圆M与抛物线y=x2有三个交点,除点A,B外还有一个点,所以必须AM≤MO=r,即且a>0,因此解得a≥1.
【点评】在解析几何或向量中涉及直角(垂直)时,不妨从圆的角度考虑,往往会找到巧妙的解题思路.
二、利用圆的第二定义发现隐圆
例4(2008年江苏高考第13题)已知△ABC满足AB=2,AC=2BC,则△ABC面积的最大值为_______.
【解析】以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系如图3所示,则A(-1,0),B(1,0),设点C(x,y),由
【点评】此题虽然是三角形中的问题,若用余弦定理来解决,则函数复杂,过程冗长.但从几何角度利用阿氏圆知识解决,则大大提高了解题效率.
例5(2013年江苏高考第17题)如图4,在平面直角坐标系x Oy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线l上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
【解析】(1)y-3=0或3x+4y-12=0.(过程略)
(2)因为圆心在直线l:y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,设点M(x,y),由MA=2MO得,整理得x2+(y+1)2=4,所以点M在以点D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,由题意可知点M又在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即,解得,所以a的取值范围是.
【点评】阿波罗尼斯圆在高考中屡见不鲜,只要能认清满足“PA=k PB”(A、B为定点,k>0,k≠1为常数)的点P在圆上,相信就能快速地得到圆的方程,并能顺利解题.此题将存在点的问题转为两圆的位置关系,大大优化了解题思路[2].
三、利用二次方程找到隐圆
满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的点的轨迹为以(a,b)为圆心,r为半径的圆.在解题时,遇到可转化为“平方和”形式的代数式或方程,都可以有意识地转化为圆来解决.
(一)直接由二次方程找到圆
例6(2016年江苏高考第18题)如图5,在平面直角坐标系x Oy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
【解析】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为r=5.
(1)圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(过程略)
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为A(2,4),T(t,0),,所以……(1)因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.……(2).将(1)代入(2),得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以
因此,实数t的取值范围是
【点评】圆的方程是圆的代数本质属性,从圆的角度将存在两个点的问题转化为两圆位置关系,从而简化了问题,提高了解题效率,此解决过程充分利用了转化化归思想和消元的思想方法[3].
(二)利用三角公式构造圆
例7(2011年江苏高考仿真题6第10题)直线通过点M(cosα,sinα),则的取值范围是_______.
【解析】由sin2α+cos2α=1可知点M在单位圆x2+y2=1上,故直线和单位圆x2+y2=1有公共点,所以圆心到直线的距离
【点评】此题是直线与三角结合问题,若直接代入点M坐标,则易出现多变量与复杂分式,不易减元处理,但利用“sin2α+cos2α=1”则可从单位圆“纯解析”几何多变解决.
例8函数的值域是_______.
【解析】因为,可看作点P(cosx,sinx)与点A(2,0)连线斜率的相反数,由sin2x+cos2x=1可知点P在圆x2+y2=1上运动,所以由图6可知l1,l2的位置为边界位置,且,因此,故函数的值域为
【点评】利用同角三角函数的平方关系“sin2α+cos2α=1”构造单位圆,从而可以将三角问题从几何角度来解决,避免了复杂的运算.
(三)利用换元法巧用无理式构造圆
例9(第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试第15题)函数的值域是_______.
【解析】设,v=x,则u2+v2=1(v≥0,-1≤v≤1),这表示一个圆的上半圆(如图7),而y=u+v,把u、v看成变量,由y=u+v得u=-v+y,所以y表示斜率为-1的直线l在u轴上的截距,如图,仅当在l1位置时,,仅当在l2位置时,ymin=-1,所以函数的值域为
【点评】利用“”构造圆,形如的函数也表示半圆.通过换元将无理函数转化为二元二次方程,从几何角度解题更直观,给解决问题带来了方便.
例10(2013年江西高中数学联赛第6题)函数的值域是_______.
【解析】设,则u2+v2=1(u≥0,v≥0),这表示一个圆的一部分(如图8),而由,所以y表示斜率为的直线l在u轴上的截距,如图,仅当在l1位置时,ymax=2,仅当在l2位置时,ymin=1,所以函数的值域为[1,2].
【点评】利用构造圆.此题中若设,则可得到椭圆,也可以解题,但由于圆有其本身的特殊性,所以在换元时尽可能配凑成圆将更方便解题.
利用圆的本质属性,从圆的几何本质和代数本质两个角度思考问题,不仅能方便地找到并利用圆的知识解题,而且渗透了数形结合和转化化归思想,对学生解题能力的提高大有裨益.
数学解题离不开思考,数学解题教学离不开对学生实行“本原思想”的渗透,让学生学会从数学本质出发,深究问题的核心,这样才能较为快速地找到解题的突破口,形成优良的解题思路,从而实现高效解题,提升学生的思维品质,真正提高学生的数学核心素养.
摘要：解题教学离不开思维训练,问题的本原考虑是解题的基本思维.让学生学会从数学本质出发,深究问题的核心,这样才能较为快速地找到解题的突破口,形成优良的解题思路,从而实现高效解题,提升学生的思维品质,真正提高学生的数学核心素养.
关键词：图形本质,解题思路,数学思维,数形结合
参考文献
[1]涂荣豹.数学概念本质的把握[J].数学通报,2001(11):18.
[2]周涛.关注几何性质透析命题视角---以“阿波罗尼斯圆”为例[J].教学月刊·中学版(教学参考),2013(1):66.
本质思维 篇10
学习研究了《新教育》2015年第4期 (上半月) 中贾京周老师的《试一试用截然相反的思维方向去括号》一文后, 笔者思路顿开:真是一篇短小精辟的好文章, 展示了去括号运算的新视觉、新观点。笔者被贾老师潜心研究教材、学生、教法的敬业精神所打动, 也被贾老师独到的见解所折服。但笔者不认同贾老师这篇文章中“……为了突破这一知识点, 我常常在探清讲明第一种去括号方法后, 再依据分配率学习探究第二种去括号的方法”的观点, 更不认同文中所述的“一次性完成去括号”方法的教学。
这里摘录贾老师原文中对两种解法的展示过程:
“去括号的两种截然不同的两种思维方向是:第一种按照先去小括号 () , 再去中括号[], 最后去大括号{}的顺序, 逐步推进式的去括号法。也是书本介绍和常常采用的一种去括号的方法。依据的是分配律原则;方法是分配律的使用。
方法一:逐步去括号法。
仅是两重括号, 就用了三步才完成运算。
方法二:一次性完成去括号法。
依据的是分配律, 方法是分配律的使用。
思路是:把中括号里面看做5x;;+2x三部分, 利用分配律进行一次性去括号, 就可以得到-5x;;+3;-2x四个项, 达到一次性去括号之目的。
第二种是一次性去括号的方法, 是第一种去括号方法的反方向。可以解释为先去大括号, 再去中括号, 最后去小括号的思维顺序, 所以说是两种截然不同的去括号方法。这两种方法的依据都是分配律的使用。”
一、去括号法则的本质就是乘法分配律的运用
对于去括号的学习, 人教版七年级数学上册 (2012年版) 第65~66页以引言中的问题 (3) 研究的, 这个问题是根据时间和速度来计算路程, 列出的式子:这段铁路的全长为100t+120 (t-0.5) (千米) 1, 冻土地段与非冻土地段相差100t-120 (t-0.5) (千米) 2, 两式子都带有括号, 教科书给出提示“类比数的运算, 它们应如何化简?”采用的就是利用分配律去括号, 特别强调分配律的使用原理,
在学生搞清楚了运算中分配律去括号的算理后, 引导学生考查式子中的去括号问题, “你能发现去括号时符号的变化规律吗?”从而让学生归纳出去括号时符号的变化规律, 进而概括出“去括号法则”。
由此可见, 去括号法则的研究是在利用乘法分配律下概括出来的, 去括号法则的第一要义就是使用乘法分配律。因此, 我们可以理解为:去括号法则本质就是分配律运算的应用, 去括号的结果就是分配律运算的必然结果。
由此, 就不存在贾老师文章所述的观点“……为了突破这一知识点, 我常常在探清讲明第一种去括号方法后, 再依据分配率学习探究第二种去括号的方法”了。出现上述把“去括号法”与“分配率去括号法”作为两种不同方法的错误原因是没有把握好“去括号法则”的本义内涵, 没有深刻领会教材对“去括号法则”推理过程中所蕴含的数学思想方法 (分配律方法) 的渗透。
因此, 在教学中教师应注意讲清“去括号法则”通性通法的概括过程, 并通过启发和引导, 向学生揭示其通性通法产生的过程是分配律运算的结果, 这样更有利于学生对去括号法则本质的认识, 对去括号法则思想的理解。
二、所述观点前后自相矛盾
贾老师的文章中所述“……为了突破这一知识点, 我常常在探清讲明第一种去括号方法后, 再依据分配率学习探究第二种去括号的方法”, 紧接着在后续的解题过程中又将两种解法的依据解读为“依据的是分配律原则, 方法是分配律的使用” (实际原理的确如此) 。前述观点与对后续两种解法的解读自相矛盾。
由此笔者认为, 贾老师认同去括号的原理就是运用乘法分配律进行去括号的, 但其又写道:“我常常在探清讲明第一种去括号的方法后, 再依据分配率学习探究第二种去括号的方法。”缘由是教师没有弄清概念的本质特征, 把本质相同的“去括号法则”和“分配律去括号原理”人为分割, 把实属同一个原理的概念硬生生地冠以不同的两个概念, 犯了偷换概念的错误。
三、致命的“一次性完成去括号法”
我们再来审视贾老师文章中所述“方法二:一次性完成去括号法”。
认知心理学认为, 学生的认知规律遵循循序渐进的原则, 进食得一口一口地吃。然而贾老师文章中却将“一次性完成去括号法”作为“我常常在探清讲明第一种去括号方法后, 再依据分配率学习探究第二种去括号的方法” (这里第二种方法指的是“一次性完成去括号法”) , 读起来让人如鲠在喉, 教师的教学实在是在“拔苗助长”。
教学实践表明, 去括号法则是整式加减运算的难点, 学生在去括号时, 会犯有各种各样的错误。犯错的原因是学生受原有旧知识经验“负迁移”的影响造成的, 而且有反复犯错的现象, 纠正需要时间。单个括号的去括号尚且如此, 更何况多重符号的去括号, “一次性完成去括号法”则更有难度, 思维量更大。教学“一次性完成去括号法”则是舍本逐末, 将会使学生无所适从, 囫囵吞枣而适得其反。
四、简约而不简单
贾老师文章中是这样对“方法二:一次性完成去括号法”进行点评的:“……但第二种去括号的方法却是很简洁, 很方便, 很明了, 但是其有一定的综合性的要求。综合性有点强于第一种。……可以比较第一种方法的第2步和第二种方法的第1步, 结果完全相同, 只是第二种运算方法步骤少了, 运算简便了许多。”
果真如贾老师所言该方法“简洁”、“运算简便了许多”吗?其实不然, 从题目的结构看, 运算时学生易被题目呈现的多重符号交叉干扰, 应当说题目做了精心的安排, 目的是考查学生去括号法则的运用能力, 学生要一次性完成三个性质符号转换的确定, 需要对几个性质符号进行联动, 分配律多次介入使用, 思维多次切换, 这样处理非但不能让学生掌握, 反而让学生对学习数学产生畏惧, 弊多利少。
五、“一次性完成去括号法”并非不可用于教学
贾老师文章中这样概括方法二“……一般情况下, 很少发现有人或是有些书本上对第二种方法给予介绍。”的确并没有发现有这种方法的介绍, 贾老师善于研究学生和教法, 慧眼识珠与善于总结, 其精神值得同行学习。但其教法并非没人运用, 许多教师在应用时, 就是跳过了中间的多个步骤, 而一次性完成去括号的。
通过研读文本, 研究教材, 分析学情, 笔者在初三复习课上进行了实验。大多数学生的思路仍然采用逐步去括号法, 但有一个优等生的思路就是一次性去括号完成的。当笔者将两种方法进行比较教学时, 问及该生思路从何而来时, 答道:“何必这么麻烦, 一看就看出来了”。如此, 对于初三的优等学生, 思考初一的去括号知识运用, 犹如庖丁解牛般熟练。由此, 对于高年级的优等生, 我们可以引导他们根据题目的情况进行一次性完成去括号。
六、应基于这样的两种截然相反的思维方向去括号
含有多重括号的多项式, 一般的解题方法是逐步去括号, 截然相反的两种方法是“由内到外”或“由外到内”逐层去括号。
方法一:由内到外, 即依次去掉小、中、大括号。如:
方法二:由外到内, 去大括号时, 把中括号看成一项;去中括号时, 把小括号看成一项;最后去小括号。
解到此, 我们从中可以发现贾老师文章中的运算结果是错误的。
七、追求通性通法之简便运算是数学教学的目的之一
对于含有多层括号的问题, 应先观察式子的特点, 再决定去掉多层括号的顺序, 以使运算简便。一般由内到外, 先去小括号, 再去中括号, 最后去大括号;有时也可从外到内, 先去大括号, 再去中括号, 最后去小括号, 去大括号时, 要将中括号视为一个整体, 去中括号时, 要将小括号视为一个整体。解题时若能根据式子的结构特征, 灵活运用分配律选用合适的逐步去括号方法, 能够化难为易, 化繁为简, 获得巧妙简洁的解法。
本质思维 篇11
马克思曾对音乐问题有过富有哲学意义的论述：“对于不能欣赏音乐的耳朵，最优美的音乐也没有意义，对它来说，音乐并不是对象，因为我的对象只能是我的某种本质力量的确证，所以对我来说，对象之能够存在，正如我的本质力量作为主观的能力对于它存在着一样。”
国内学者修金堂用美学的角度，对以上这段话中的关键词，即“对象”和“人的本质力量”相应理解为审美对象和审美能力，并由此解释为：音乐等一切美的对象——“美物”和审美能力——“美感”二者是相互生成，相互确证的。
我们沿着同样的逻辑思路，从心理学角度对上述的“对象”和“人的本质力量”作出了再次转化，结果把其核心转换为情绪与思维的内容和形式；这样在这里“对象”已是心理的对象，“人的本质力量”已成为了心理学意义的建构性本质力量。
如果再作进一步转转换的话，那么“对象”和“人的本质力量”在音乐教育心理学上自然回归到本文的核心概念-音乐情绪与音乐思维。这样到此，从“对象”与“人的本质力量”转换而来的音乐情绪与音乐思维教学形式概念与当前国内提出的音乐教育以审美为核心的教学概念本质上相遇了，并且得到充分的凸显。
音乐教学实践证明，由于音乐是情绪和情感艺术；心理科学进一步证明了情绪与思维关系是相辅相成的。因此，作为音乐审美形式内部蕴含的音乐情绪与音乐思维发展水平，实质反映了音乐能力的本质因素。
1.音乐情绪与音乐思维相辅统一
情绪，按古汉语六种构词规则，情属形声字，绪属会意字，辞海中给情绪做了如下的解释：情绪——指缠绵的情意，有如丝绪。后转指心境，描述时有情绪成份，也有意识成份。
心理学上的情绪：指人们对客观现实的一种特殊反映形式，是人们对客观事物是否符合自己需要的内在体验。
音乐思维：主体内部潜有的情绪流变意识，运用音乐语言工具，互逆抽象进行结构化的过程；是音乐认知结构发展的直接来源。具体地说，即对于创作者而言运用音乐语言工具使情绪对象相互转换为音响艺术过程；对于鉴赏者而言是音响艺术转换为心理情绪对象体验和与之相平行的逻辑化的过程。音乐思维除了含有心理逻辑和辩证逻辑形式外，由于它的转化对象——情绪流变模式的分化和复合形式无限性；因此，音乐思维有丰富的创造性。
音乐情绪：由音乐音响意义与主体相互转换而成的情绪。它分为创作性情绪与鉴赏性情绪两种类型。
创作性音乐情绪：创作者内部潜有的情绪形态运用音乐审美化表征工具——音乐语言，于内部发生交互而产生的情绪形式。
鉴赏性音乐情绪：聆听者内部潜有的情绪形态与外部音响形式进行交互形成的情绪形式。
创作性音乐情绪与鉴赏性音乐情绪的区别点：基于创作者与鉴赏者音乐认知结构的差异性，导致对同一种音响形式所带来的情绪评价不完全相同。
创作性音乐情绪与鉴赏性音乐情绪的相同点：音乐中所显现的轻重缓急、高低起伏所对应的是人类情绪运动的共有的先验心理逻辑，进而建立的普遍形式逻辑。
因此，音乐情绪指的是情绪审美理性整合的产物，更确切地讲它是音乐的直接感受的对象，即音乐审美的直接对象，也可以说是音乐意义的内容。如下所示：
音乐语言音乐语言
情绪音乐情绪音乐作品
审美形式 （片段）审美形式
然而，由于组成思维的意识流与组成音乐的情绪流存在一种严格与非严格的对应关系，因此这种形式由于迁移，使得产生的情绪与思维出现一种意义相遇的情况。如果这种情况发生在音乐动作内部，则表现为音乐情绪与音乐思维在认知上发生了意义同构一致现象，即两者的体验归于统一。
2.音乐情绪与音乐思维是音乐教学系统本质循环对象
音乐情绪与音乐思维对象所蕴含的教学意义在具体音乐教学环节的作用，我们用图标结合的方式来加以说明（ 表示互逆与转换内含的传递不变量信息），那么音乐含有对应的情绪性和思维性结合转化的信息在音乐教学中的表现的形式：
音乐教材 音乐语言表征形态 主体内部情绪复合与分化
主体思维 音乐审美对象和音乐审美能力 人的发展
从以上可以看出，音乐教学过程各个连续环节对象都蕴含着音乐情绪与音乐思维意义内涵。这提醒我们真正的音乐教学要始终以音乐音响语言结构为首要和直接对象；因为只有它才会给予每一教学主体产生和建构音乐情绪和音乐思维条件和形式。从这个角度证明，音乐情绪与音乐思维是音乐教学意义内在本质的对象。
3.音乐情绪与音乐思维教学在音乐教学中的现实价值
目前，音乐教育界普遍认为存在着一种貌似对于音乐意义用相关的文化进行解释的现象。它实际上利用了音乐的留白空间，从音乐外渗入而不是相反，即从反应的音乐情绪出发，经过多次互逆逐渐现显。这种现象多数发生在基础音乐教学中。我们把它称之谓“音乐意义演绎过度”。
如用文学、诗歌、绘画、舞蹈等手段，利用其审美对象的相关性，建立情绪体验的相互“迁移”。这种理解音乐的方式缺点在于：尽管运用联觉机制帮助建立内在审美意义联系，能得到了即时的一种“音乐理解”，然而问题是教学加之的辅助材料如绘画、影片等内含的信息它们从最初来源途径上相互存在着不同的生理传递系统。音乐是听觉艺术，所属的是听觉神经系统；它首先要求主体有一个良好的生理听觉敏感反应，且在以后学习音乐中能在大脑相应储存位置中得到不断巩固和加强；而绘画是视觉艺术，其对象信息传递是视觉神经系统，它所在的信息处理中心与音乐信息处理中心在大脑右半球中的位置也不尽相同。因此，如果两者对于主体来说潜在的相关性不高，甚至会产生相互干扰。
其实，音乐情绪与绘画等艺术门类的审美情绪至多是存在一种类意义的关联性或相似性，而那种类的概念绝大多数也只是提供一个大概的意境或情绪。至于其过程是有相当区别的，因为音乐情绪意识真正意义在于音乐过程中的体验；而其他艺术门类审美情绪不具备如此流变的方式和意义的；即使它们产生交互表现在思维上，也许存在着与音乐思维结构存在着大概相同的进行法则；然而，这些思维在运用概念形式上也有差异的，那怕是最具有音乐性结构的意识流文学。
由于音乐能力集中反映在音乐审美能力上，而这种能力是在音乐情绪与音乐思维中生成和发展的。这就明确地告诉了我们，在具体的音乐教学实践中，要始终围牢以如何提高主体对象的音乐情绪和音乐思维能力为核心，通过培养运用音乐语言的形式，来逐步发展主体的音乐审美能力。
它证明了在具体音乐教学中重视音乐语言形式及其要素的本质理由。因为音乐语言形式不但是音乐思维的工具，而更是音乐情绪运行意识的形式表现。因此，它其实是音乐情绪与音乐思维的整合工具。只有选择和打造好这个工具形式，才会使音乐教学显示出有效的反应。
使音乐教学的评价重心逐渐转移到教学主体的内部。因为它能使教学主体在音乐学习过程中渐渐认识到“体验”一词的真正含义，即对于自己内部流动性的音乐情绪与音乐思维的交互对象为认知对象和内容，且能及时地给出体验性评价；同时包括其中含理性成分的思维元认知执行的自我监控、自我调节和自我创造和评价。这对于改善音乐教学环境培养兴趣和学习能力带来了直接的效应。
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