直观探究

2024-05-20

直观探究（通用12篇）

直观探究篇1

《数学课程标准》指出:“义务教育阶段的数学课程要形成解决问题的一些基本策略, 体验解决问题策略的多样性, 发展实践能力与创新精神。 ”因此苏教版国标本数学教材从四年级 (上册) 起, 每册都编写一个独立单元 “解决问题的策略”, 旨在加强策略的形成和对策略的体验。下面我就苏教版小学数学六年级上册《解决问题的策略———替换》一课谈谈我是如何让学生意识到“替换”的需求, 引导学生经历“替换”策略的形成过程, 体验“替换”策略的价值, 从而实现真正意义上的“替换”策略的构建的。

一、直观操作, 感知“替换”策略的模型

任何一种策略都有它特有的数学模型。 “替换”策略的模型是指对条件关系复杂的问题, 可尝试按问题中表示“倍数关系”或“相差关系”的条件去假设、替换, 得到一个答案, 然后把答案代入问题中验证。用“替换”的策略解决问题是学生第一次学习, 但在他们的生活经验中已模糊地经历过类似的情景, 接触过类似的方法, 只是学生还不能清晰地理解“替换”的原理, 还没有建立起一种完整的“替换”模型。因此, 课上我先呈现经典故事“草船借箭”, 组织学生讨论:“为什么把士兵换成草人、这样换以后会怎样”等问题, 唤醒学生已有的关于“替换”的生活经验。接着我引导学生操作演示:可乐公司进行有奖促销, 规定“3个有奖拉环换一瓶可乐”;大盒粉笔, 如何根据“一大盒粉笔比一小盒多装25支”换装在小盒内。学生在操作演示中初步领略策略的原理, 直观感知了策略的模型, 为下面探究策略做好了心理准备和认知铺垫。而教师的一句“经典故事草船借箭、可乐公司的有奖促销、粉笔盒的大小互换, 这三者看似毫不相干, 其实它们之间存在着共同的地方”则自然过渡到对策略的探究建构环节。

二、合作探究, 凸显“替换”策略的建构

建构主义教学观认为:学生的学习过程是个体建构过程, 学生不是被动接收信息刺激, 而是主动建构知识, 是根据自己的经验背景, 对外部信息进行主动的选择、加工和处理, 从而使自身认知结构得到不断的丰富、提高和发展。在策略教学中, 教师要教会学生学习, 也就是要帮助学生有效的建构策略, 并且引导学生能够应用这些策略学习新知识、解决新问题。

倍数关系的替换, 仔细思量不难发现对于六年级的学生来说应该有所接触, 六年级的孩子看到“小杯的容量相当于大杯的1/3”这句话时, 他会自然想到一个大杯的容量就等于三个小杯的容量, 大杯的容量是小杯的3倍。替换的思想一触即发, 把1个大杯换成3个小杯或者把6个小杯换成2个大杯就可完成例题的替换, 学生很容易理解替换的过程。因此, 我重在引导学生把握替换策略, 采用让学生独立探究的方法, 注重学生的探究过程, 通过组织学生画图、操作、叙述、推想、验证、比较、概括等丰富多样的探究活动, 让学生完整地经历倍数关系替换策略的形成过程。

而相差关系的替换策略, 学生理解起来难度较大。因此在学生初步学习了倍数关系的替换策略后, 我抓住替换的依据进行变式, 由“小杯的容量是大杯的1/3”改变为“大杯的容量是小杯的4倍”, 再改变为“大杯的容量比小杯多160毫升”, 让学生分别进行替换策略的巩固。当学生对两个数量成相差关系能否进行替换产生不同意见时, 我适时组织学生讨论、辨析, 从而使问题得到解决。然而学生尽管知道可用替换的方法, 但对于替换前后果汁总量发生了怎样的变化, 还是模糊不清, 学生之间的差异比较大。为了协调这种差异, 我一方面借助现代化信息技术手段进行动态的演示帮助学生理解, 另一方面给了学生充足的时间进行小组讨论, 利用小组成员之间的有效资源寻求策略, 让学生明白如何替换, 替换前后果汁总量为什么发生变化, 发生了怎样的变化。并且在学生经历了替换的具体过程之后, 让学生及时回顾与反思, 着力思考“为什么要替换”“替换的依据是什么”“替换前后数量关系有何变化”等问题, 这样抓住两个量之间的关系, 灵活变化, 充分激发了学生的探究欲望, 创造既自主又合作的快乐学习环境, 师生在合作探究中、在互动对话中、在反刍中逐步建构了替换的数学模型。

三、对比分析, 促进“替换”策略的内化

对比分析是数学策略教学中常用的一种重要手段。策略教学中通过对比分析, 有助于找出一事物区别于其他事物的特点, 找出相同之处, 揭示策略的本质, 进一步加深对策略的理解, 促进策略的内化。

本节课在“替换”策略的建构过程中, 我引导学生进行了三次比较分析。第一次对比是在例题1的替换中, 当学生根据“小杯的容量是大杯的1/3”采用了两种替换策略:一种是把大杯替换成小杯, 另一种是把小杯替换成大杯解决问题时, 我引导学生通过对比分析发现:这两种替换都是把两种不同的杯子替换成同一种杯子。在替换过程中, 果汁总量没有发生变化, 但替换前后杯子的个数发生了改变, 从而揭示了替换的目的在于把复杂问题简单化。第二次对比是在变式题的替换中, 学生通过对比分析发现:无论是把大杯替换成小杯, 还是把小杯替换成大杯, 杯子的个数都不变, 但果汁的总量发生了改变。大杯替换成小杯, 果汁的总量比原来少了“1个160毫升”, 而把小杯替换成大杯, 果汁的总量则比原来多了“6个160毫升”, 从而把握了这类替换中总量变化的规律。第三次对比是把例题1的替换和变式题的替换作对比, 通过对比使学生明晰:例题1的替换依据是大、小杯容量之间的“倍数关系”, 替换前后“份数变化, 总量不变”。变式题的替换依据是大、小杯容量之间的“相差关系”, 替换前后“份数不变, 总量变化”。从而使学生在对比中内化了已有知识的结构, 明确了倍数关系、相差关系两种不同类型的替换特征, 理解了替换前后的变与不变, 注重了对学生数学思想的渗透, 使学生在更高层面上把握了替换策略的要领。

四、练习巩固, 实现“替换”策略的升华

策略的形成是一个循序渐进、由浅入深、由易到难、慢慢积累的过程, 而练习巩固能促使这个过程得到落实。学生对策略的掌握程度, 会在课堂巩固练习中呈现出来。

在“替换”这节课中, 我设计了三个层次的练习。

第一层次:出示四道题目, 请学生判断哪几题能用“替换”的策略解决, 哪几题不能, 并说说为什么? 第二层次:能用“替换”策略解决的, 说说替换思路。第三层次:让学生补充相关条件 (相差关系和倍数关系) , 解决问题。

学生的解题策略是否形成, 关键在于学生能否清晰地辨别何时该用何种相关策略正确地解决问题。随着学习的不断深入, 学生对替换策略的运用越来越熟练, 对替换策略的体验也越来越深刻, 从而形成“化归”的数学思想, 实现了替换策略的升华。

直观探究篇2

9月30日，我们在黄山实验小学，在主持人牛向华老师的带领下，参加了《几何直观能力培养》这一教学研讨会。会议开始之前，李鹏主任给我们布置了一个作业，让我们写一写你认为几何直观是指哪些方面？你在教学中是如何培养学生的直观能力的？刚开始我的概念模糊，错以为是指几何图形的直观培养，诸如：长方形，正方形，三角形等平面图形和长方体正方体等立体图形，直观体验和空间能力的培养，所以回答的偏离了本次交流的主题。经过不断的听课研究，听取了实验二小三年级杨清秀老师的《简单的搭配问题》，开元小学梁杰老师的《植树问题》，实验一小刘元跃老师的《简单的排列》，王莹老师的《稍复杂的分数乘法应用题》，并听取了夏冬梅，赵红叶，韩梅老师的专题发言一下子就豁然开朗了，哦，原来如此。原来，我们已经尝试过不少的运用几何直观来解决复杂问题的实践，只是理解的一个概念错误而已，看来还是研究课标不够啊！以后要改变这种只是抄课标的学习方法，要在研究课标方面多下功夫，多写一些关于课标的自己的实践方面的问题或思考。我迅速联系自己的教学实践一下子想到了一年级学过的比大小、移多补少问题，二年级的倍数问题，除法问题，不少低年级的难以理解的问题不都是通过图形直观的展示出来，再让孩子们充分理解的吗？几何直观确实帮助孩子们从根本上理解了问题的内涵，明白了算理。还有倍数问题，相遇问题，等等这不都是利用几何直观解决比较难的问题吗？经过观课，听取主题发言，我的思路渐渐清晰，并回忆实践中自己的一些有关教学片段。下面我将从三个方面谈谈在参加研讨会的一些体会：

一、对于几何直观的具体含义

几何直观是指利用图形描述和分析数学问题，探索解决问题的思路帮助理解较难的重点。数学是抽象的科学，对于小学生特别是低年级学生来说，还是以具象思维为主，如何让学生理解抽象复杂的数量关系，需要在学生心中搭建勾连的桥梁，那就是几何直观。但经过了解我们也发现，在实际的学习当中学生并不会用图形帮助自己分析和解决问题，这主要是因为在教学中老师对此关注的很少，学生不习惯使用，再有即使是直观图形的呈现，也不是与生俱来的，需要用具体的例子在对学生进行逐步培养，才能让学生真正认识到几何直观的价值，学会其中的方法。我对自己的课堂教学进行了反思。我查阅了课标中所说的几何直观，是借助图形分析和解决问题中的“图形”具有更广泛的含义，几何直观并不仅指简单的图形直观。在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。实物直观。即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，又可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。“替代物直观”则是在现实模型基础上的进一步抽象，已经具备一定的抽象高度。以计数器为例，与 “小棒”相比，计数器已经将数位的含义明确表示出来（具有普适性和公共的约定性），而不是某些人的人为规定。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，促进数学的理解；通过图形进行观察，有利于信息回忆和方法的促成；根据直观认识来研究图形的性质和相关问题有助于数学问题结构的揭示。可以说，几何直观不仅解决“图形与几何”的学习中存在的问题，并且贯穿在整个数学学习过程中。

二、浅谈几何直观在教学中的应用

（一）在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识。新课程强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学在前，教在后，教只有贴合学，方能有效。基于此认识，我认为数学教学，一定要从学生的需要与困惑出发。如果教师以自己的机械指导过度牵制学生的自主体验；如果教师以自己的教学讲解全盘替代学生的主体思维，那我们培养的学生多数会是解题的领袖，而非数学思考的领袖！课堂是学生学习、发展的场所，做教师的一定要设法把课堂还给学生，让学生去尝试、让学生去讲解，让学生由被动的接受变为主动的建构。例如现在我教学的二年级乘法口诀的教学，没有很多老师给予太多的关注，能够熟背口诀是最基本的教学任务，有些家长早已让孩子背的滚瓜烂熟。而我在教学乘法口诀时，更注重让学生理解口诀的意义。我利用图形来讲，我认为要把自己的意思说清楚，让学生听明白，孩子需要借助图形。图形的直观，不但帮助学生理解算式的含义，同时帮助学生正确的表达。此时，采用直观的画图的方法已经成为学生自觉的一种需求。所以说如果从低年级开始就注重学生几何直观意识的培养，将有利于学生掌握更多的解题策略，发展学生的空间观念，提高学生解决问题的能力。还有去年教一年级时移多补少问题，也是比较难与理解的知识，通过用画图形，来代替实物，让孩子们更好的理解了解决的思路和方法，很快学会了解决这类问题的方法。

（二）让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值。在以往的教学中，对借助图形帮助学生解决问题也是有一定实践认识的。例如以前的相遇问题，就是让孩子们先示范走一走，再用线段图画一画，还有现在执教的二年级上册《求一个数的几倍是多少》的时候，我对教材进行了深入的思考，都采用了用线段图帮助学生理解数量关系的形式。那么为什么要出现线段图呢，应该怎样呈现呢，带着这些问题我对学生进行了前测和访谈。首先学生看到求一个数的几倍的问题，虽然会列式，但是不会解释为什么要这样列式，而几何直观恰恰能建立起倍的概念和乘法的意思之间的联系，其次对于二年级学生来说，线段图这种高度抽象的几何直观学生没有认识，完全空白，理解起来有一定的困难。所以说不能忽略学生的认识水平，而是要让学生经历线段图的形成过程，在润物无声的引导之下，初步培养学生画图的能力，为中、高年级的学习奠定能力的基础。从这个设计中可以看出，由实物抽象出符号，学生有这个能力，但从符号到线段图就太过抽象，学生不好理解。所以我通过直观演示数量的增加，让学生体会到数量太多了，用符号一个一个的画也很麻烦，进而想到用一个图形来表示多个数量（集合圈），从而初步认识了线段图。就因为学生有了这样的经历，所以虽然我们不要求学生用线段图来表示数量关系，但在学生解决问题中依然认可了线段图，使用了线段图，为后面的学习打下了良好的基础。

（三）实物拼摆探规律，恍然大悟表述清

去年，数的组成的学习时，有几个孩子9的组成不知道，我临时设置情境，采用小组动手分一分的形式完成下面的问题。在分的过程中，我让学生自己想办法分一分，并能给把自己组分的过程呈现出来给大家说明白。各小组通过不同的模型操作得出结果后，到讲台前给大家演示并讲解：我请每个组的学生到黑板上讲解自己分的过程，有的小组借助磁力圆片，有的小组直接在黑板上画图分析，有的小组用班里的人代表苹果，都说出了自己分的过程。学生借助各种模型，直观形象的感受着数的组成与加法之间的关系，“抽象的加减法”不再只是学生看到眼里，而且是能够操作出来的，理解在心里的！在这里，几何直观操作，帮助学生理解，并为知识的进一步应用奠定了能力基础。

（四）通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念几何直观是为更好的数学理解而服务的。我们不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在“形式化的海洋里”。想到以前教过的乘法分配律，有的老师曾说：乘法分配律讲着明白，就是不会用，一让简算就爱出错。总是和乘法结合律混，每天都练习几个这样的简算，可到考试时还是错。学生的困惑成因是什么呢？一是学生能机械模仿，但对于ac±bc为什么等于（a±b）×c，四个数的运算怎么就变成了三个数的运算，弄不明白，因此解题思路不清晰。二是乘法分配律是老师教给学生的，不是学生自主探究得出的，学生缺少亲身经历，因此，对乘法分配律印象不深，凭想当然解题。老师讲，学生听，然后让学生记住乘法分配律公式，最后解题，这种传统的讲解式教学方式已经不能让每一个正常的学生学会乘法分配律，所以我们不妨尝试新的学习方式，让学生借助直观图形亲自参与到实验中，让归纳推理、概括总结的过程由学生自己得出，这样，学生自己得出的结论，用起来才能得心应手。让学生进一步观察等式左右两边的算式的特点，并与对应的图形相结合，再让学生说说乘法分配律是什么意思，这时学生能够就头脑中的表象很好的进行描述。学生充分的理解了乘法分配律的含义，运用起来才会得心应手。

直观探究篇3

关键词：低年级；直观教学；培养能力

中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）18-0168-52

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.18.107

小学数学知识逻辑性强，知识比较抽象，从低年级学生的认知水平、思维能力特点和生活经验出发，在教学中必须充分应用直观教学来丰富学生的感性认识，深化学生对数学知识的理解，活跃学生思维，激发学生兴趣，让学生较容易地领会知识，并在直观的基础上抽象、掌握概念和规律，培养发展学生能力。下面谈谈本人在教学中的几点做法。

一、通过直观教学使抽象概念具体化

丰富学生的感性认识，形成表象和正确的概念。在低年级教学中，由于学生的思维建立在感性认知上，因此必须通过教师的直观演示和学生的动手操作，把抽象的数学概念用直观事物具体化，才能深化学生对这些抽象概念的认识，形成表象进而理解和掌握。如在教学《6的认识》时，先出示插图，引导学生认真观察并数一数教室里有几个小朋友（5个），门口又来了几个小朋友（1个）？一共有几个小朋友？如果从里往外数，教室门口的小朋友是第几个？让学生初步通过情境图的人物感知比5多1的数可以用6来表示，6还可以表示排列的个数，然后再让学生用自己课前准备的小红花、小棒以及画圆点等等来表示出6这个数并数一数，让学生明白比5多1可以用6表示，6除了可以表示6个人外，还可以表示6朵红花、6根小棒、6个圆点……等等，把6这个抽象概念同具体事物对应起来，让学生对6有具体深刻的感知和认识，最后形成表象抽象出概念。

二、通过直观教学让学生动手、动脑、动口，激发学生学习兴趣

让学生参与学习的全过程，变数学学习的单调枯燥为生动有趣。低年级儿童的注意力往往不能持久与集中，而数学知识又往往比较抽象单调，低年级的学生在学习中不容易保持注意力和学习兴趣，因此，教师在教学中必须注重应用直观手段，从儿童的实际出发，通过让学生操作或联系儿童喜闻乐见的事例来编排教学，让学生体验到学习数学的乐趣，在教学过程中始终处于一种积极情感状态，产生学习和探索数学的动力，注意力高度集中参与学习的全过程，提高学习效率，促进学生思维的发展。如在二年级“角的初步认识”中，我让学生课前准备两根长短粗细相同的硬纸条和一个图钉，上课时让学生跟着教师动手操作，把两根硬纸条的一边用图钉订在一起，另一端展开就成了一个角，这样学生通过自己动手做角很直观地认识掌握了角的组成是：“一个顶点和两条边。”然后让学生不断变化两根硬纸条的张口大小，在两根硬纸条大小不变的前提下，让学生得出不同的角，引导学生进一步深入认识角的特性：“角的大小决定于张口大小。”整节课通过让学生动手、动脑、动口，把抽象的两个知识点直观具体化，让学生自始至终保持高度的学习兴趣，集中注意力，参与学习的全过程，在操作中积极思维，得出结论，在认识的透彻学得愉快的同时培养了学生动手探究获取知识的能力。

三、通过直观教学让学生理解算理算法的推导过程

抽象出计算法则，再把抽象出来的算理算法应用推广到直观普遍的实际中来，拓展学生思维，促进学生思维的发展，实现学为所用。直观教学是培养发展学生思维不可缺少的条件，也是学生感性认识的重要来源，因此，在教学中必须通过直观演示与动手操作让学生充分感知算理算法，在感性认识的基础上，上升为理性认识，归纳总结出规律，掌握算理算法，同时又必须及时把抽象的算理算法联系实际拓展开来，应用到实际中去，以达到“学习—理解—运用—发展”的教学目标。

直观探究篇4

任何一种策略都有它特有的数学模型。“替换”策略的模型是指对条件关系复杂, 没有直接的方法可解的问题, 可尝试按问题中表示“倍数关系”或“相差关系”的条件去假设、替换, 得到一个答案, 然后把答案代入问题中去验证。用“替换”的策略解决问题虽然是学生第一次正式学习, 但在他们的生活经验中已模糊地经历过类似的情境, 接触过类似的方法, 只是学生还不能清晰地理解“替换”的原理, 还没有建立起一种完整的“替换”模型。因此, 在课前十分钟, 笔者首先呈现经典故事———草船借箭, 组织学生讨论“诸葛亮为什么要把士兵换成草人”“为什么可以把士兵换成草人”“这样换以后的结果怎样”等问题, 一下子扣住学生心弦, 唤醒了学生头脑中已有的关于“替换”的生活经验。接着笔者引导学生操作演示:可乐公司进行有奖促销, 规定“3 个有奖拉环换一瓶可乐”, 可乐和有奖拉环该如何互换;从学校总务处领来的大盒粉笔, 要想换装在教室里的小盒内, 如果规定“一大盒粉笔比一小盒多装25 支”, 大小盒之间又该如何换?学生在操作演示中初步领略了“替换”策略的原理, 直观感知了“替换”策略的模型, 为下面探究“替换”策略做好了心理准备和认知铺垫。而教师的一句“经典故事草船借箭、可乐公司的有奖促销、粉笔盒的大小互换, 这三者看似毫不相干, 其实它们之间存在着共同的地方。你知道是什么吗?”则自然过渡到对“替换”策略的探究建构环节。

二、合作探究, 凸显“替换”策略的建构

建构主义教学观认为:学生的学习过程是个体建构过程, 学生不是被动地接收信息刺激, 而是主动地建构知识, 是根据自己的经验背景, 对外部信息进行主动地选择、加工和处理, 从而使自身认知结构得到不断的丰富、提高和发展。在策略教学中, 教师要教会学生学习, 也就是要帮助学生有效地建构策略, 并且引导学生能够应用这些策略来学习新知识, 解决新问题。

仔细思量不难发现对于六年级的学生来说对倍数关系的替换应该有所接触, 六年级的学生看到“小杯的容量相当于大杯的”这句话时, 他们自然会想到一个大杯的容量就等于三个小杯的容量, 大杯的容量是小杯的3 倍。替换的思想一触即发, 把1 个大杯换成3 个小杯或者把6 个小杯换成2 个大杯就可完成例题的替换, 学生很容易理解替换的过程。因此, 笔者重在引导学生把握替换策略, 采用让学生独立探究的方法, 注重学生的探究过程, 通过组织学生画图、操作、叙述、推想、验证、比较、概括等丰富多彩的探究活动, 让学生完整地经历了倍数关系替换策略的形成过程。

而相差关系的替换策略, 学生理解起来难度较大。因此, 在学生初步学习了倍数关系的替换策略之后, 笔者抓住替换的依据进行变式, 由“小杯的容量是大杯的”改变为“大杯的容量是小杯的4 倍”, 再改变为“大杯的容量比小杯多160 毫升”, 让学生分别进行替换策略的巩固。当学生对两个数量成相差关系能否进行替换产生不同意见时, 笔者适时组织学生讨论、辨析, 从而使问题得到解决。然而学生尽管知道可用替换的方法, 但对于替换前后果汁总量发生了怎样的变化, 不少学生模糊不清, 学生之间的差异比较大。为了协调这种差异, 笔者一方面借助现代化信息技术手段进行动态的演示帮助学生理解;另一方面, 给学生充分的时间进行小组讨论, 利用小组成员之间的有效资源寻求策略, 让学生明白如何替换, 替换前后果汁总量为什么发生变化, 发生了怎样的变化, 并且在学生经历了替换的具体过程之后, 让学生及时回顾与反思, 着力思考“为什么要替换”“替换的依据是什么”“替换前后数量关系有何变化”等问题, 这样抓住两个量之间的关系, 灵活变化, 充分调动了学生的探究欲望, 使课堂成为一个既自主又能合作的快乐学习环境, 师生在合作探究中、在互动对话中、在反刍中逐步建构了替换的数学模型。

三、对比分析, 促进“替换”策略的内化

对比分析是数学策略教学中常用的一种重要手段。策略教学中通过对比分析, 有助于找出一个事物区别于其他事物的特点, 找出相同之处, 揭示策略的本质, 以进一步加深对策略的理解, 促进策略的内化。

在“替换”策略的建构过程中, 笔者引导学生进行了三次比较分析。第一次对比是在例题1 的替换中, 当学生根据“小杯的容量是大杯的”采用了两种替换策略:一种是把大杯替换成小杯, 另一种是把小杯替换成大杯。笔者引导学生通过对比分析发现:这两种替换都是把两种不同的杯子替换成同一种杯子, 在替换的过程中, 果汁的总量没有发生变化, 但替换前后杯子的个数发生了改变, 从而揭示了替换的目的在于把复杂问题简单化。第二次对比是在变式题的替换中, 学生通过对比分析发现:无论是把大杯替换成小杯, 还是把小杯替换成大杯, 杯子的个数都不变, 但果汁的总量发生了改变。大杯替换成小杯, 果汁的总量比原来少了“1 个160 毫升”, 而把小杯替换成大杯, 果汁的总量则比原来多了“1 个160 毫升”, 从而把握了这类替换中总量变化的规律。第三次对比是把例题1 的替换和变式题的替换作对比, 通过对比使学生明晰:例题1 的替换依据是大、小杯容量之间的“倍数关系”, 替换前后“份数变化, 总量不变”。变式题的替换依据是大、小杯容量之间的“相差关系”, 替换前后“份数不变, 总量变化”。从而使学生在对比中内化了已有的知识结构, 明确了倍数关系、相差关系两种不同类型的替换特征, 理解了替换前后的变与不变, 注重了对学生数学思想的渗透, 使学生在更高的层面上把握了替换策略的要领。

四、练习巩固, 实现“替换”策略的升华

策略的形成是一个循序渐进、由浅入深、由易到难、慢慢积累的过程, 而练习巩固能促使这个过程得到落实。学生对策略的掌握程度, 会在课堂巩固练习中呈现出来。因此, 当学生对策略已有了比较清晰的理解, 对策略的运用能力已达到了一定的程度时, 教师可根据学生的需要和教材的需要设计一些相关的拓展题, 让学生跳起来“摘果子”, 在“摘果子”的过程中巩固深化策略, 发展策略意识, 形成技能技巧, 拓宽学生思路, 培养学生良好的思维品质, 使学生的策略知识得到延伸和升华。

在“替换”这节教学中, 笔者设计了三个层次的练习。

第一层次:先请学生判断, 下面四题中, 哪几题能用“替换”的策略解决, 哪几题不能用“替换”的策略解决, 并说说为什么?

(1) 学校最近购置了20 台电脑, 共花费了100 000元, 还购置了20 张电脑桌, 共花费6 000 元。电脑和电脑桌的单价各是多少元?

(2) 杨老师、杜老师和六年 (1) 班40 名同学一起去参观科普展, 买门票一共用去220 元。已知每张成人票的价格是每张学生票价格的2 倍, 每张学生票和成人票各是多少元?

(3) 在2 个同样的大盒和5 个同样的小盒里装满球, 正好是100 个。每个大盒比小盒多装8 个, 每个大盒和小盒各装多少个?

(4) 一支钢笔和3 支铅笔一共10.8 元, 钢笔和铅笔的单价各是多少元?

第二层次:第 (2) (3) 题能用“替换”策略解决的, 说说替换思路。

第三层次:第 (4) 题让学生补充相关条件 (相差关系或倍数关系) , 正确解答。

学生的解题策略是否形成, 关键在于学生能否清晰地辨别何时该用何种相关策略正确地解决问题。通过练习, 学生认识到:第 (1) 题是简单的一步计算的问题, 不需要替换;而第 (4) 题则缺少了相关的替换依据, 不能替换。在这之后的练习中, 学生更能体验到替换策略的优势。随着学习的不断深入, 学生对替换策略的运用越来越熟练, 对替换策略的体验也越来越深刻, 从而形成“化归”的数学思想, 实现了替换策略的升华。

摘要：《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》在课程目标中指出, 义务教育阶段的数学课程要形成解决问题的一些基本策略, 体验解决问题策略的多样性, 发展实践能力与创新精神。笔者就苏教版小学数学六年级上册“解决问题的策略——替换”一课谈谈笔者是如何让学生意识到“替换”的需求, 引导学生经历“替换”策略的形成过程, 体验“替换”策略的价值, 从而实现真正意义上的“替换”策略的建构。

关键词：直观感知,替换,建构,策略解决

参考文献

[1]张芳.“用‘替换’的策略解决问题”教学设计[J].文理导航, 2012 (6) .

[2]季仕健.体会替换思想发展解题策略:“解决问题的策略——替换”教学[J].小学教学设计, 2013 (17) .

谈小学几何直观教学篇5

谈小学几何直观教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-766124-0059-02

《新课程标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思想，预测结果。”几何直观就是在“数学――几何――图形”这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。因此，在小学阶段，我们要引导学生体会到图形给我们的学习带来便利的同时，帮助学生学会研究图形，提高几何直观能力。

一、感受图形的好处

在研究数学问题的过程中，几何图形能使问题变得简明，图形能展现对象的全貌和本质，借助几何图形的直观，通过图形之间的关系，会使学生产生对相关数量之间关系的猜想，从而找到解决问题的方法。因些，在教学过程中，我们要引导学生把研究的“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，帮助学生养成画图的习惯。无论是计算还是证明、逻辑、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的，在教学中应有这样的导向，能画图时尽量画，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。比如：一年级学习5+5=?可以引导学生画5个圆圈，再画5个圆圈，一共10个圆圈。再比如：解决这样一个问题：在一块正方形地的每条边各栽3棵树，那么最少一共要栽多少棵树?可以引导学生学画出这样的一幅图：

图一画出来，学生便一目了然了。“一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米?“这样一道题，从字面上理解有点困难，如果让学生画出图来很快就能算出原来花圃的面积是多少平方米了。倍数关系的问题学生理解起来都比较困难，如果借助线段图画出数量关系，解决起来就容易多了。

在教学过程中，让学生学会用图形思考问题是学习数学的基本能力，数与形的`结合，能使我们更好地感知数学、领悟数学。

二、研究图形的方法

借助图形描述和分析问题，首先我们要学会研究图形，使学生在头脑中对图形有深刻的印象，比如认识常见的立体图形和平面图形，探索它们的性质，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，从而体会图形在数学学习中的广泛应用。

(一)借助实物模型感知

图形的内容具有丰富的实际背景，孩子们在日常生活中最先接触的是各种各样的物体，玩的积木中有许多正方体、长方体、圆柱体，比如：他们见到的楼房、纸盒、箱子、书等，给他们以长方体的形象，他们从小玩的皮球给了他们球的形象，因此，在教学中，我们要借助实物帮助学生感知图形、研究图形。例如：一年级学习《认识图形》一课，课前，让学生自己准备一些长方体、正方体、圆柱、球等实物模型，学生在物体上找到图形后，指给小组内的同学看一看，摸一摸，说说自己的感觉。学生可能会说“我在牙膏盒上找到了正方形”，也可能会说：“我在饼干盒上找到了长方形，长方形摸起来很平”。学生通过在实际物体上找平面图形，初步体会了面在体上，通过摸平面图形，对平面有个初步的感知。然后通过描一描、印一印等活动进一步认识长方形、正方形、三角形和圆。

教师巧妙地变图形为看到见摸得着的实物直观模型，使学生在接触实际事物时进行教学，让学生所得到的感性知识与实际事物间密切地联系在一起，同时，直观几何图形模型给人以真实感、亲切感。有利于激发学生的兴趣，调动学生的积极性。

(二)运用媒体模象理解

课堂中运用多媒体教学，可以让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识;另一方面，对几何直观能力也是一种提升。比如：教学《认识角》一课，角的大小与边长的关系是本节课的难点，为了突破这一难点，就可以充分运用媒体资源，课件演示红角和黑角比大小，红角的两条边不断延长，延长后再来和黑角比较，发现这两个角的张口是一样大的，得出结论，红角等于黑角。黑角的张口变大，和红角比较，这时的黑角大于红角，从而使学生理解角的大小与边的长短没有关系，两边张口越大，角越大，张口越小，角越小。这样把静态的角变成动态的角，调动了学生的积极性，达到了变抽象为直观，变静为动，化难为易的目的，有效地突破了教学难点。

模象直观还能通过人为的手段消除或减弱实物的非本质因素对本质因素的掩蔽作用。如在图片或模型中，用着色、放大、对比等手段改变非本质因素的强度以突出本质因素。它可以突破时间和空间的限制，来扩大感性材料的来源。例如：讲解这样一道题：一张长方形纸，剪去一个角，还剩几个角?就可以运用多媒体演示：一把剪刀沿一个地方剪掉一个角，然后运用着色突出剩下的部分，让学生在演示中体会到：长方形有4个角，剪的方法不同，所剩下的角的个数也就不相同。

研究图形时充分运用多媒体计算机的优势，把图形成由静态变动态，把知识形成的全过程淋漓尽致地呈现在学生的眼前。学生在学习中处于一种动眼、动耳、动脑、动口、动手尝试、探求、发现的境界之中，保持兴奋、愉悦、渴求上进的心理状态，学生的主体作用就能得到充分、有效地发挥，整体教学效果提高，优化教学过程。

让表达更直观篇6

一、创建结构图

讨论时，每个部门都会根据自己部门的职能谈谈对问题的看法，因此在讨论之前韵澄都会先要把这个部门的组织结构图事先准备好。韵澄需要创建一个销售团队的组织结构图，在“New Map”，输入图示题创建一个图示文件，韵澄输入的是“销售”。

自动创建一个文字为“销售”的项目，点击屏幕左下角的第一个图标（图示上面一支笔），再点击左上角的文字图标（T字），修改文字为“销售部经理”。

销售部是以销售经理为主导的，在销售经理下有几个隶属分支部门，这时韵澄就要在销售部经理下面创建几个下属，就先点击“销售部经理”，再点击创建下属图标，然后输入相应文字，就建立了一个下属。按照同样的步骤再建立4个下属，创建下属图标的下面一个图标用于创建平行关系。

美化一下形式，作为上级主管的“销售部经理”需要突出，就点击这个项目，再点击左下角的第二个图标（A上一支笔），点击左上角第一个图标（A右上角有彩色圆环），可以改变项目的文字颜色。点击第二个图标（A右上角有正三角形），可以增大选中项目的字号，当前字号会显示在项目下面，如当前字号为18磅。点击第三个图标（A右上角有倒三角形），则可以减少字号，下面的图标可以对项目文字执行加粗、倾斜等操作。

点击左下角第三个图标（A字上面一支笔），可以更改选中项目的边框形状。

销售部经理下属的各个分支部门之间既相互独立又相互关联，因此在组织结构图里要把它们之间的关联关系清晰的表现出来。左下角那个带箭头的S图标用于处理关系（添加项目关系或删除项目关系）。要添加商务主管和促销主管之间的关联，就先选中一个项目，如商务主管，再点击左上角最上面那个图标（S上有个绿色带圈加号），最后点击“促销主管”，就建立了商务主管和促销主管之间的关联，第二个图标用于删除项目之间的关系（S上有个红色带圈乘号）。编辑完成后退出，文件会自动保存。

二、发送给大家

讨论问题的导图做好后要作为纪要之一发送给相关人员，利用左下角那个板手图标，再点击左上角那个带向右绿色箭头的纸的图标，就会弹出导出图示的对话框，可以将图示导出为文件、图片和文本。保存图片比较通用，对方不安装这个软件也可以看得到，于是韵澄选择Image。

可以将图片通过邮件或蓝牙就可以发送。

韵澄打开蓝牙，配对后就将该图示发给了旁边的同事。

什么是思维导图

思维导图，又叫心智图，是表达发射性思维的有效的图形思维工具，它简单却又极其有效，是一种革命性的思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各级主题的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，把主题关键词与图像、颜色等建立记忆链接，思维导图充分运用左右脑的机能，利用记忆、阅读、思维的规律，协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展，从而开启人类大脑的无限潜能。

思维导图可以用于工作、学习和生活中的任何一个领域里。

1. 作为个人：计划，项目管理，沟通，组织，分析解决问题等；

2. 作为学习者：记忆，笔记，写报告，写论文，做演讲，考试，思考，集中注意力等；

直观探究篇7

新课改背景下, 在“四基”要求下, 几何直观成为了贯穿数学课堂教学的主线之一.比如中学数学中的函数研究, 圆、抛物线等知识的学习, 数形结合思想的运用等等, 都离不开几何直观.可以说从小就重视培养几何直观能力, 对以后数学知识的学习会有极大的帮助.此外, 几何直观能力不仅仅能帮助学生理解抽象概念, 发展空间观念, 还能启发新思路, 使学生可以主动思考再创造, 感受数学活动中的成功.现代教育理论及大量实践表明, 直观教学法能够很好地激发学生的学习热情, 更便于他们理解和掌握相应知识, 更有效地完成教学任务.直观教学已经成为一种大趋势和主流, 拥有优秀的几何直观能力将可以更好地掌握数学基本知识、基本技能、基本思想及基本活动经验.

一、课堂教学中多用直观教学法, 重视几何直观能力培养

直观教学法的依据.义务教育数学课程标准 (2011) :数学是研究数量关系和空间形式的科学.它作为对于客观现象抽象概括而形成的科学语言和工具, 如何引导学生对抽象数学的了解、理解、运用并产生兴趣, 是新课标要求下老师的关键任务.我们就可以充分地利用直观教学法, 把抽象的对象映射成为实体.这符合低龄学生在学习过程中形象思维占主导地位的特点, 对激发学生的数学兴趣有着极大的作用.

人教版小学数学第一册, “认识物体和图形”就把长方体、正方体、圆柱和球放在了最初.因为学前儿童的思维不成熟, 他们对已有的生活经验更易于接受, 而他们从小接触的就是三维空间的实物, 教师应充分地使用实物及相应直观教具, 让学生感性地理解和掌握知识.

课堂教学不仅仅是完成教学活动, 更重要的是促进学生的全面发展.现在课程理念越来越注重个别化教学, 追求异质化.赞可夫的发展观强调教学要在学生的一般性发展上取得尽可能大的效果.教师学生双主体, 教师必须激发学生的主观能动性, 发挥其主动精神, 才能起到良好的效果.波利亚曾说过:“学习任何东西的最好途径就是自己去发现.”而通过直观和动作感性地了解表象, 体验表象, 这样学生得到的记忆会更加深刻, 因为他们自己通过主动动手进行了直观感知, 得到了主动, 就取得了更好的效果.教学中, 我们就可以多鼓励学生举生活实例, 引导学生看一看, 剪一剪, 折一折, 摆一摆, 测一测, 用实践反馈理论.

如今的三维课程目标要求我们一定要清晰有效地激发学生的数学热情, 情感态度价值观这一目标应得到更多的重视.直观教学就可以更好地顺应课标的要求.而几何直观能力不仅可以较好地帮助学生掌握知识与技能、过程与方法, 更能够丰富学生的心灵世界, 增强他们的动手能力, 手脑并用.从而在完成教学任务之外, 激发学生的数学热情, 提高学习数学的兴趣, 树立学好数学的信心, 从而将来能够形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.

二、解题中注重数形结合

几何直观利用图形生动地描述数学问题, 清晰地反映出题目数量间的关系, 直观地体现出分析问题的思路, 使学生感受数学的丰富.

大数学家希尔伯特说:“算数符号是写出来的图形, 几何图形是画出来的公式.”使用直观图形的妙处就在于, 摒弃了教条主义, 突破固有的思维定式, 更利于培养创新意识.构造恰当的中介图形, 将抽象的代数问题几何化、直观化, 再利用几何图形相关性质求解, 问题就会直观化、简易化.长期练习下, 有助于学生从小的发散思维、创新意识的培养和今后高年级知识学习的快速接受.从而利于学生数学素养的提高.

化数为形, 化题为图.数形结合的精妙之处就在于, 处理抽象的代数问题时, 根据问题的表述及特征, 构造出相应的几何图形, 从而不仅使问题简洁直观易于解答, 更能培养学生的数学应用意识和创新意识.例如, 计算:我们可以构造一个边长为1的正方形, 如右图所示.而我们要计算的正好就是正方形的一部分面积.在图中我们很容易得出S=1-S阴.

我们应该注意到, 这种方法虽好, 但是很难想到, 学生有时很难发现规律.所以我们不能盲目地使用“直观”.我们在教学中应引导他们作出不同解法, 让学生学会分析, 使他们认识到不仅仅是“几何直观”有着它的局限性, 甚至没有任何东西是不变的, 我们要敢于质疑, 不断地发现问题、提出问题、分析解决问题.

在教学实践中, 我们有很多的机会使用“几何直观”, 务必要积极探索, 不断创新, 开拓思路, 发挥其创造性思维促进学生发展的作用.

“几何直观”观什么篇8

一、数形结合看“倒数”

小学数学课程与教学中关于“倒数的认识”通常关注两点：第一是“两个数的乘积都是1”；第二是“相乘的两个数的分子、分母正好颠倒了位置”（见图1）。

其中，“两个数的乘积都是1”揭示出了倒数关于乘法运算“逆元（Inverse Element）”的属性；“分子、分母颠倒了位置”是从书写形式上说明了两个数之间的关系。这两点均没有从本质方面说明倒数的含义究竟是什么。以与2为例，二者相乘结果为1，表明关于乘法运算互为逆元，也就是互为倒数；从形式上看是分子、分母颠倒了位置。需要进一步探讨的是，与2在意义上是如何相关联的？

按照对分数的理解，表示“将单位1平均分为两份中的一份”，而2可以认为是某数的2倍，现在需要知道这里的“某数”是什么？此时借助几何直观就可以使得与2的关系一目了然（见图2）。

从图2线段图中可以看出，与其倒数2的关系为“单位1等于2个”。这样的关系还可以反过来表达，也就是“单位1等于个2”，这一点可以从图3中明显看出。

按照这样的方式还可以进一步理解的关系, 即“单位1等于” (见图4) 。

反过来的“单位1等于”可以从图5明显看出（见图5）。

综上，两个互为倒数的分数的关系可以概括为：分数对应的单位1中含有。这一命题反过来也是正确的，即分数对应的单位1中含有。这里的几何直观可以说揭示出了“倒数”真正的含义，借助几何图形使得互为倒数的两个数之间的关系可以看见了。

有了这样的理解，除数为分数的除法中“颠倒相乘”的运算法则就是显而易见的事情了。比如“10÷”表示“求10里面包含多少个”，由于单位1里面包含，所以10里面包含的个数就是3—2的10倍, 即10×3—2=15。

从这个例子可以总结出几何直观在数学教学中的一个作用就是通过数与形的结合，借助形象的图形展现出隐蔽着的数量关系。类似的例子还有，从图6长方形面积之间的关系可以明显看出乘法对加法的分配律“a×（b+c）=a×b+a×c”（见图6）。

二、几何中的几何直观

需要指出，几何直观体现的并非仅仅是数与形的结合。在几何图形这一领域内部也经常需要几何直观沟通联系并帮助理解。美国数学学会有一个名为《Mathematics Magazine》的期刊，其中有一个叫作“无字证明（Proof Without Word）”的栏目，栏目中的问题及其证明都是体现几何直观的。1990年6月该栏目刊载的就是如何直观看出一个半径为R的圆的周长2πR与圆的面积πR2之间的关系。[2]

图7是一个半径为R的圆，圆内部画出许多同心圆。最外围的大圆周长是2πR（见图7）。

想象将圆面从某处剪开，然后逐步展开并拉直（见图8）。

当所有同心圆的圆周都拉直后，就会形成一个如图9的三角形。

这个三角形的底边长度就是大圆周长2πR，底边上的高就是大圆半径R，利用三角形面积公式立刻可以得到这个三角形的面积为2πR×R÷2=πR2，与圆面积公式一致。

数学知识之间的联系有宏观和微观的区别，如果把对倒数的认识看作是算术或代数领域中的内容，那么前面对倒数的认识用几何直观所沟通的是数学中不同领域之间的联系，这样的联系属于宏观的联系。这里所说的圆周长和圆面积同属于圆这一几何图形的测量问题，二者并非孤立存在，而是相互关联的，这样的联系不同于宏观的联系，属于微观的联系。其中的几何直观是通过一系列的图形演变，使得隐藏着的联系变得明显了。

几何直观可以分为静态和动态两种。所谓动态的几何直观是指将几何图形实施保持某种属性不变的一系列的变化，前面从图7到图9的变化就保持了圆的面积这一属性没有变化。人民教育出版社出版的《义务教育课程标准教科书-数学》五年级上册中关于“多边形的面积”这一内容的呈现基本上也是这样的过程（见图10）。

三、几何直观并非全能

应当注意的是几何直观并非全能，它是依赖于感官的感知，这种感知有时并不可靠。比如观察图11左右两个中心处的圆圈，直观上会感觉右面的比左面的大，而实际上这两个圆的大小是一样的。

这种对感官错觉（Visible Illusion）的研究由来已久，古希腊时期的亚里士多德（Aristotle）提出的“轮子悖论”就是典型的例子。[3]设想有大小不同的两个同心圆，沿着水平方向滚动（见图12）。

大圆滚动一周后，图12中线段CC'的长度应当与大圆周长相等，那么线段DD'的长度是什么呢？直观上看与大圆周长相等，同时又应当与小圆周长相等。这就形成了一个自相矛盾的结论，因为两个半径不同的圆的周长是不可能相等的。这种自相矛盾的结论叫作悖论，分析产生这一悖论的原因，实际上是在大圆滚动过程中，小圆的运动方式并非只有滚动，还有人的感官难以察觉地“滑动”，滑动的距离与小圆周长的和就成为了大圆周长。[4]

小学六年级学生在学习“圆锥体积”时会出现这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥分别可以看作是由一个长方形和一个直角三角形旋转而成的（见图13），旋转之前三角形的面积是长方形面积的二分之一，那么旋转之后圆锥的体积为什么不是圆柱体积的二分之一，而变成三分之一了呢？”

这种疑问的产生实际上就是过分依赖几何直观，缺少了逻辑方面的思考。事实上，旋转体的体积并不是由旋转之前旋转面的面积唯一确定的，还与旋转的距离有关。学生的疑问来源于“一因一果”的思维模式。旋转体的体积是由面积的大小和旋转的距离这样两个因素同时制约的。更详细的解释可参见笔者在本刊2011年第7～8期发表的另外一篇题为《为何不是二分之一》的文章。[5]

综上，“直观”是相对于“抽象”而言的，抽象作为人头脑中的思维活动，往往具有隐性的特征。因此直观的过程就是把抽象的内容具体化、把隐性的内容形象化的过程。几何直观是利用几何图形使得隐性的内容和过程显性化。几何直观作为数学学习活动的一种方式，除了应当发挥其“通过直观实现简明”的功能外，还应当重视几何直观对于“展现思维活动”以及“沟通数学对象之间联系”的作用。同时要注意几何直观并非孤立存在，应与逻辑推理等思维活动相辅相成。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京师范大学出版社, 2012, (1) :6.

[2]Russell Jay Hendel.Proof without Words:Area of a Disk Is.Mathematics Magazine, Vol.63, No.3 (Jun., 1990) :188.

[3]Israel E.Drabkin.Aristotle's Wheel:Notes on the History of a Paradox.Osiris, Vol.9. (1950) :162~198.

[4]郜舒竹, 李燕.看不见的滑动——轮子悖论探秘[J].数学通报, 2007, (3) .

分类解析几何直观篇9

一、几何直观概述

几何直观是数形结合思想的重要体现.它用直观的图形表示抽象的数学语言, 使抽象思维和形象思维相互结合, 能充分展现数学问题的本质, 突破数学理解上的难点, 从而帮助学生直观地理解数学.几何直观通过图形的直观性质来阐明数量之间的关系, 将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化, 从而实现代数问题与图形之间的互相转化和相互渗透, 为研究和探求数学问题开辟了一条新的重要途径.

美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形, 那么, 思维就能整体地把握问题, 并能创造性地思索问题的解法.”将问题转化为一个图形, 把问题中的条件和结论直观地、整体地展现出来, 是一种十分重要的解题方法.一旦我们把抽象和繁杂的问题图形化, 直观化, 这些问题就会变得较为简单, 就会使本来需要经过复杂的思维过程或列出复杂方程才能解决的问题, 只需区区几个小算式就可得以解决.下面, 笔者从常见的几类问题中各选一例, 和读者一起体会运用几何直观进行解题的奥妙.

二、分类解析几何直观

1.借助几何直观, 探索运算规律

分析:算式本质上就是用一些运算符号把数连接起来.它考查的是个体对数量的感悟和理解, 在计算方法上常常是按照运算法则逐步进行.法则给人的感觉是“铁面无私”, 而如果我们能把算式与几何图形联系起来, 会使算式变得“和蔼可亲”, 便能很好地体现数量和图形不分家的新课程理念.

2.借助条形图理念, 巧解平均数问题

例2甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱合伙订购某种商品.商品买来以后, 甲、乙两人分别比丙多拿了7件和11件.最后结算时, 三人要求按所得的商品的实际数量付钱, 进行多退少补, 已知甲应付给丙14元, 那么乙应付给丙多少元?

分析:本题虽然数量较小, 但是由于问题中只是给出了甲、乙分别比丙多拿的部分, 至于到底每个人拿多少却不清楚, 致使问题变得较为抽象.怎么才能变抽象为直观呢?我们可以用条形图的理念借助长方形的高低来表示数量的大小, 把这些数量变成一组条形图, 然后再从整体上把握全部题意和整个问题的解决过程, 便可以把抽象思维和形象思维联系起来, 化抽象的数量关系为直观可操作的图形, 通过切分这些图形, 便能使问题得以解决.

此题属于平均数问题中的平均分配问题.由于三人拿了一样多的钱, 买的都是同一种商品, 因此也应该分得相同数量的这种商品.但实际上甲、乙、丙三人并没有平均分配, 多拿了商品的人应把自己多拿的商品的钱退给那些少拿相应数量商品的人.如下图, 三个长方形的高低分别代表每个人所拿商品的数量.我们可先以得到商品最少的丙的商品数为基准 (虚线以下) , 基准数三人都一样, 要想做到公平分配, 只需要把甲和乙多拿的商品重新在三人之间平均分配, 就可以达到在整体上平均分配的目的.这些商品平均分配后, 每个人根据自己应拿的件数, 最后把多拿的商品的钱退给那些比应该拿的数量少的人即可.

解:除基准量外, 平均每人应得: (7+11) ÷3=6 (件) ,

每件商品单价:14÷ (7-6) =14 (元) ,

乙应付给丙:14× (11-6) =70 (元) .

答:乙应付给丙70元.

3.画线段图, 直观解决分数应用题

分析:本题属于分数类应用题中多次转换单位“1”的量的应用题.画线段图是解决分数类应用题的一种常用方法, 是把复杂问题中的数量关系和几何图形联系起来的重要方式, 能够更好地体现几何直观的理念.题中三个分率的单位“1”不一致, 只有把分率转化为统一的单位“1”, 它们才能相加减.但是, 由于本题中的分率和具体量交替出现, 把各个分率的单位“1”转化成一致较为困难.于是, 我们可以通过画线段图, 把本题题意运用几何图形直观化, 然后再采取逆向思维, 逐步转换单位“1”的量, 依次运用“单位“1”的量=分率对应的量÷分率”进行解题, 列出几个小算式, 便可把此题顺利解决.

答:孙悟空从山上采回了16桃子.

4.把工作过程图形化, 直观解决工程应用题

分析:心理学家研究表明, 人的工作记忆就像电脑的缓存空间一样, 其容量是有限的, 只能暂时存储5±2个记忆单位.此题工作过程较为复杂, 若是解题者单纯地依靠记忆进行分析理解, 势必会使他们顾此失彼, 不能清楚地理解题意.如果我们能借助几何直观, 把本题的题意用图形直观化, 就会使本题的工作过程清楚易懂, 从而方便地解决本题 (如图4) .

答:余下的由丙工程队单独施工, 还要12天才能全部完成.

5.适当简化, 借助线段图解决行程应用题

例5客、货两车从相距120千米的A、B两地同时同向出发 (客车在前) , 货车每小时行75千米, 客车每小时行60千米.途中客车发生故障, 修理了1个小时后继续前进, 问客车和货车相遇时各行了多少千米?

分析:对于比较复杂的行程问题, 最好的方法是根据题意画出线段图.在行程问题中, 我们经常用一条线段表示整个路程或运动过程, 然后把线段分成若干部分, 并在每一部分上标出各个时段的路程、速度和时间及其关系, 从而使整个运动过程中的数量关系直观化、具体化, 使复杂的问题得以清晰解决.

此题属于行程问题中的追及问题.在画线段图时, 由于客车是在途中发生故障, 不知道具体是什么时候, 这给我们画线段图带来了很大麻烦.为了使问题简化和便于理解, 我们不妨让客车一开始就发生故障, 则在客车维修的一个小时内, 货车单行了1小时, 从而使追及路程 (开始追及时的路程差) 减小.结合题意, 我们可画出如图5所示的线段图, 然后结合追及问题的公式s追 (差) =v差×t追即可求出追及时间, 再结合线段图即可求出客车和货车在相遇时各行了多少千米.

解:t追= (120-75×1) ÷ (75-60) =3 (小时) .

s客=3×60=180 (千米) .

s货=180+120=300 (千米) .

答:客车和货车相遇时, 客车行了180千米, 货车行了300千米.

6.画出简易流程图, 清晰解决浓度应用题

例6桶中有40%的某种盐水, 当加入5千克水时, 浓度降低为30%, 再加入多少千克盐, 可使盐水浓度提高到50%?

分析:浓度问题主要是围绕着浓度、溶质质量和溶液质量这三个量进行计算的一类问题.由于本题涉及两个变化过程, 且题中的未知量较多, 数量关系不太明显, 使题意变得较难理解.如果我们能根据题意把此题的变化过程用简易的流程图表示出来, 并把各个阶段的已知量和未知量标示在图中, 便能使本题的题意明确, 数量关系清晰, 从而轻松解决问题.

解:设原来浓度40%的盐水有x千克.

根据题意得:40%x=30% (x+5) ,

解得:x=15.

设再加入y千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

根据题意得:15×40%+y=50% (15+5+y) ,

解得:y=8.

答:再加入8千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

7.构造几何图形, 证明代数问题

分析:在证明某些代数问题时, 如果我们能将题中数量关系与某些图形的几何性质联系起来进行综合分析, 然后再根据题中所给的已知条件构造图形, 将代数问题转化为“看得见、摸得着”的几何图形, 便可使问题变得直观明了, 浅显易懂, 不但可以使复杂问题简单化, 而且还可以拓宽解题思路, 培养学生的发散思维能力.

8.完整转化题意, 正确解决几何文字叙述题

例8等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 腰长为a, 则其底边上的高是______.

分析:我们在把文字语言转化为几何图形的过程中, 必须是完整题意的转化, 如果只是片面的转化, 就会使我们在解题的过程中出错.本题是一个文字型几何填空题, 我们应首先把文字叙述的题意准确、全面地转化为几何图形 (有几种情况一般会转化成几个图形) , 然后再根据转化后的几何图形, 运用相关知识解题即可.由于本题没有说该等腰三角形是锐角三角形、直角三角形, 还是钝角三角形, 所以应分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论, 以免发生漏解现象.

当三角形的顶角A为直角时, 显然无法满足本题条件.

几何直观之我见篇10

一、用足直观促抽象

执教一年级“认识钟表”一课时,为使学生能形象地认识整时、大约几时、几时半,我准备了钟表模型,还让学生每人发了一个钟表学具。课上学生借助生活经验认出情境中的5时,这时我放手给学生:“认识了5时,你还知道几时?你能在手中的小钟表上拨出来吗?”展示交流是这样处理的:“大家看,这位同学拨的几时?时针指在哪里?分针呢?”展示了几个后我让他们一一回去,然后问:“这些时刻都是整时,拨了这么多整时,你有什么发现?”学生并没有像我想的那样举起一片小手,将整时分针与时针的特点说完整。

借助实物直观演示的想法很好,可课堂效果为什么不如意呢?反复思考后,我觉得原因是对直观的运用不够,如果让学生抽象共性时让展示的几个同学同时举起整时的表盘,让学生充分观察后再归纳总结,那么就可以借助直观的生动表象以形成概念了。

二、数形结合想原因

计算课上学生借助实物直观操作、图形直观表示后找到了算法后,这时数形结合让学生想一想为什么,可以使学生形象直观地明确算理。

如学习“100以内的加减法”,26+3,让学生借助小棒摆一摆,他们会发现可以先算6+3=9,再算20+9=29。这时教师引领学生深层思考:“你有什么疑问吗?”会有学生提出:“为什么3摆到6的下面?”“为什么先算6+3?”这样,在生生互动中借助直观的小棒就可让学生理解算理:6个1和3个1合起来……

又如“异分母分数加减法”一课,学生有用圆片分一分的,有先通分的……这时教师可用一句“为什么?”及时引导学生数形结合,利用圆片直观形象地理解二分之一与三分之一这两个分数单位不一样大,需要化成同分母分数变成一样的分数单位再相加。

三、经历之后回头看

简洁直观趣味盎然篇11

一、直观生动,易调动学生积极性

数学课程的特点之一是内容抽象。而信息技术中的多媒体课件就可以把视频,音频和动画等结合起来,模拟逼真的现场环境和微观与宏观世界的事物,以帮助学生学习和理解一些抽象的原理。低年级学生的认知特点是直观的,形象的,对鲜艳的色彩,夸张的画面,生动的音响有着本能的热爱,这样的情境导入对低年级的小学生来说,作用尤为突出。

二、简洁明了,便于学生认知

信息技术的运用能使原本复杂的教学变得简洁明了,同时让学生应知的知识也是适当的,例如:在教学五年级“圆的认识”时,我根据这一课的教学目标是让学生认识圆及其应用,把握什么是圆周、直径、半径、圆心的特点,会画圆。制作了一个课件:小动物们举行自行车比赛,比赛的结果如何呢?请大家观看屏幕猜一猜。这时,画面上出现了四个可爱的小动物:小猴、小猫、小猪、小兔和小狗,他们分别乘坐方形、三角形、椭圆形、圆形车轮的自行车参加比赛(利用特写镜头的办法把不同设计的自行车轮子一一展示,引发学生的质疑与思考)。随着小猴一声枪响,激烈的比赛开始了,由于它们都很努力,但很快就拉开了距离。接着,老师让学生根据不同车轮前进的情况预测比赛结果,究竟谁能得第一?“小狗得第一”,“为什么?”“因为小狗骑的车车轮圆的”。“小白兔骑的车车轮也是圆的,为什么它不得第一呢?”“因为小白兔的车轮的车轴不在中间”“为什么车轮要做成圆的?车轴要安装在中间?通过这节课学习就会明白,下面我们就学习‘圆的认识’”。虽然,这个课件中的动画设计以及师生间的对话很短,但这些足以简洁明了的突出本课的主题,引发了学生对本节课的探究欲望,也更有效的调动了他们的学习积极性和主动性,为本节课的学习开了个好头。

三、化难为易,帮助并促进学生理解

利用多媒体辅助课堂教学,能化难为易,易于分散难点,抓住关键。如何以它丰富的表现力、生动、形象、具体地再现事物发生、发展的过程,揭示现象的数学本质,揭示知识间的内在联系,使学生把握数学呢?我们可以抓住教材的重点、难点、新旧知识的连接点制作多媒体教学,这样不仅可以避免用语言表达的困难,也可以节省教学时间,使学生一目了然,把复杂的内容简单化,把深难的内容通俗化,化难为易,使学生豁然开朗。

例如:我在教学“认识公顷”时,为了让学生充分感受到“1公顷的大小”我先出示四个学生手拉手图片,师:这四个小朋友围成一个正方形,你估计一下这个正方形的面积有多大?(1平方米),估计得很准,确实是1平方米。用线画出正方形。出示:边长是1米的正方形面积是1平方米,需要四个小朋友来围。师:如果要想在这1平方米的地盘上站人,大家估计一下能站几个?(5个,6个……)再出示28个小朋友围成的正方形,师:再请大家来估计这个正方形的面积有多大?100平方米。很对!我请了28个小朋友来围着个正方形,每条边长是10米,需要7个人手拉手。面积是100平方米。如果用刚才的方法也请大家站进去,想一想:大约需要多少人?咱们班的人手够吗?现在请你想象一下:边长是100米的正方形,他的面积有多大?如果请小朋友来手拉手围每条边大约需要多少个?如果是往里面站人,大约需要多少个?生汇报 (10000平方米)师:想看看这10000平方米有多大吗?有什么方法来看?(生猜、说) 师演示课件并概括:边长100米的正方形面积是10000平方米(100×100),也可以说是100个100平方米的正方形的面积总和,这么大的面积就是1公顷。通过学生自己的站位以及课件的演示,让学生能够充分感受到1公顷有多大。

四、趣味盎然,充分激发学生求知欲

“凡是富有成效的学习,学生必须对要学习的材料具有深厚的兴趣。”在信息技术教学环境下,教学信息的呈现是丰富的,面对如此众多的信息呈现形式,小学生一定会表现出强烈的好奇心理,而这种好奇心一旦发展为认知兴趣,将会表现出强烈的求知欲。