直观思维

2024-08-10

直观思维（精选6篇）

直观思维篇1

参加小学数学教师“国培”关于课程标准的专题时, “几何直观”就曾引起我的关注, 几何直观是否就是数形结合?是新词旧义吗?有专家说“几何直观是一种思维活动, 是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”这给了我一种理念上的拓展, 即几何直观不只是事物的形象化呈现和形式化演示, 还是一种思维方式。教学中, 如何把几何直观内化为学生的思维习惯?

一、感受价值

《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》指出:“几何直观可以帮助学生直观地理解数学, 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”可见, 几何直观不是“图形与几何”学习的“专利”, 而是贯穿在整个数学学习过程中。在小学数学教材中俯拾皆是的几何直观的内容很多, 教师要时时捕捉、应用, 让学生感受其在数学学习中的作用。

在“数的认识”里可以找到很多对应的几何模型。教材以现实情境为起点, 通过几何直观的第一次抽象帮助学生形成数的大小表象, 最后通过数轴抽象出数的序, 实现整体把握, 达到对数的真正理解。两次抽象过程中, 几何直观发挥着重要的作用。计算教学中常以形助教, 帮助学生理解算理、掌握算法。解决问题借助线段图使抽象的数量关系变得简明, 把复杂的数学问题直观化。

经典案例五年纪下册的《打电话》:学校合唱队有15人, 暑假有紧急演出, 老师要尽快通知每个队员, 用打电话的方式, 每分钟通知1人, 最少需要多少分钟?

一图抵百语, 下图就把打电话这个复杂的数量关系, 简明直观地呈现出来。从这个图本身, 就能发现一些规律:一分钟通知一个人, 第二次通知的新的人数, 就是第一次的两倍。讲不清、算不出, 看图却能很明了。

类似的题目训练之后, 重要的是要让学生去说一说感悟, “没有图能说清吗?”真切感受图形给他们的帮助, 加深对应用画图策略的价值的直观体验。

还比如“和差问题”:苹果和梨一共74个, 苹果比梨多18个, 苹果和梨各多少个?数量关系简单, 但没学过方程, 用代数法解答很难讲清。画出线段图后 (右图1) , 结合线段图说明假如从总数里去掉多出的18个, 那么苹果或梨的个数就相等, 对于算式 (74-18) ÷2求出梨的个数的理解, 学生会有顿悟感。

再如计算当学生只想用通分来计算时, 教师借助直观图 (右图2) 帮助学生把复杂的计算转化成简单的计算, 柳暗花明又一村!图形启发了思路, 有利于创造性思维的培养, 正如庞加莱说的“我们是通过逻辑去证明, 但我们是通过直观去创造”。

几何直观无论是从形到数还是到其它领域, 都是始于“形”。若没有教给学生画图的策略, 养成用图形说话及画图的习惯, 几何直观能力只能落空。

利用图形把问题直观化, 是分析与解决问题的一种重要策略。只要教师有意渗透、运用, 让学生感受几何直观的优势, 就可以逐渐把它转化为学生数学学习的内在需要。

二、理性操作

对于小学生而言, 由于他们数学基本经验的缺乏及逻辑思维能力欠缺, 唯有经常引领他们操作, 才能丰富表象, 再以此为基础进行想象, 逐渐形成几何直观能力, 发展形象思维能力, 为创造性思维和逻辑思维的培养提供平台。

实验教材加入制作长方体框架的学习 (左图3) 。不少教师认为花时间去准备材料做长方体框架实在没必要, 不如多做些题目。我教学这个例题之后, 有意识地和以前学生相比, 发现学生的空间观念的确提升不少。以前学生对长方体棱长总和的求法, 比较喜欢用“长×4+宽×4+高×4”, 可能因为记住了特征“长方体相对的四条棱长度相等”, 而现在的学生明显思路开阔, 对于“ (长+宽+高) ×4=棱长总和”理解得很清楚, 学生回忆表述“搭长方体框架时, 有三组长短不同的小棒, 每组4条”操作后的表象深刻。一向害怕的逆向思考的问题“一个长方体棱长总和是120分米, 长是10分米, 宽8分米, 高多少分米?”也能轻松解答。给学生相交于一个顶点的三条棱, 让学生想像长方体形状, 学生不再那么茫然。由此感受, 操作是培养几何直观的有效途径。

理性操作不单在于舍得花时间让学生动手操作, 还在于要把操作中建立的表象和数学符号、图式等结合起来。教学三年级上学期的“有余数的除法”:有23盆花, 每组摆5盆, 摆多少组?让学生动手摆还是课件演示, 教师们意见分歧, 有的教师认为只要课件演示“每5盆画一个圈, 余下3盆”就可, 授课教师认为要让四人小组分棋子。不论是演示画圈还是分棋子, 关键的是要把直观后的表象与图式书写及意义理解结合起来。竖式中,

4表示什么?特别是20表示什么?学生无法准确表达时, 教师要结合圈图或操作的结果帮助学生理解。不能为操作而操作, 理性的操作才能丰富表象, 才有利于提高几何直观能力。

三、授受技法

曾尝试让学生完成:庆元旦布置班级, 小红把16盏彩灯平均挂成4行, 每行挂5盞, 可以怎样挂? (画出图) 全班竟没一个人做对, 学生对题目要求画图解决感到纳闷, 不知如何下手。

上世纪90年代, 美国学者进行中美小学数学教育比较研究, 出过这样一道测试题:儿童分蛋糕。7个女孩平分2个, 3个男孩平分1个糕。每个女孩分得多还是每个男孩分得多?每种方法可以用数字或图形来解释。我国被试的孩子有90%用比较分数与大小的方法来解释, 而美国用这种方法的仅有21%;被试的美国孩子有57%利用图形解释, 而我国只有6%。

看来, 我们的学生确实不善于用图形语言学习、思考、表达、交流数学。几何直观无论是从形到数还是到其他领域, 都是始于“形”。若没有教给学生画图的策略, 养成用图形说话及画图的习惯, 几何直观能力只能落空。

案例:一位年轻教师执教“分数除法应用题”, 先是基本练习, 从“乙数是甲数的”等关键句中找单位“1”, 并说出数量关系:甲数×=乙数。做了这样的5小题后, 概括得出:单位“1”×几分之几=对应的量。接着, 再出示新授例题:小明体重是爸爸的, 小明体重有5千克, 爸爸体重是多少千克?教师要求学生画出线段图, 再写出数量关系, 最后解答。

当学生“把爸爸的体重平均分成15份”觉得很麻烦时, 教师没有引导学生画“草图”, 是过半少一些。当学生费时费力画出线段图后, 教师置之不理, 仍是抓住关键句来写数量关系。课后与教师交谈, 教师的意思是“能走路何必用拐杖”, 画图是多余的, 只是依教材要求而画。教过这部分知识的教师都很清楚, 复杂的分数应用题没有线段图的辅助是很难解答的, 在教学简单分数应用题时没有训练画图技巧, 那么学生就无法用线段图来帮助解决复杂的分数应用题。

线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。它虽直观但不简单, 教师要适时教给学生画图的方法, “逼”着学生画图表意、画图说事、看图析题, 提高几何直观能力。同时, 只有教师自身多应用, 让学生模仿, 并在教学中引导和鼓励, 才能使学生善于运用。

四、互通表征

所谓表征活动, 就是将一个“被表征”的对象, 用另一种表征方式, 重新表现出来, 而不失其意义, 以达到沟通的目的。在小学数学教材里, 文字语言、图形语言和符号语言三者相辅相成, 它们既是数学知识的载体, 也是数学思维的形式。如下图形语言 (□代表黑兔, ○代表白兔) 相应的:

文字语言是“5比大3”或者“3比5小”符号语言是“5>3, 读作:5大于3”或者“3<5, 读作:3小于5”。

由此可见, 描述数学事实、概念或关系时, 图形语言的描述为文字语言或符号语言的描述提供了直观表象, 也为理解和掌握相关的文字语言与符号语言的意义和内涵奠定认知基础。教师要注意三者的转换, 帮助学生沟通几何直观与数学本质。

案例:对于“求一个数是另一个数的几倍”, 几乎所有的学生都会很快反应是用除法。新接一个班, 发现一位新生对这部分知识反映很不灵敏, 似乎这部分知识成了她认知中的“盲点”, 在帮她补课及在全班的复习回顾中, 发现其实不少学生也是知其然而不知其所以然。让学生完成:红花朵数 (8朵) 是黄花 (2朵) 的几倍?请用画图和列式两种方法解答。一位学生走上黑板画出图形并列出算式如下:

显然, 上述的图解是错误的。正确的图解应该是:

图解不对, 列式正确。这是什么原因呢?看来该生并没有真正理解“倍”的含义, 但他却从形式上记住了“求几倍”的算法, 这也说明教师在教学中没有注意图形语言、文字语言和符号语言之间的转换, 使它们之间“绝缘”。

图形语言的内涵是丰富的, 同一个图形可能有不同的解释, 表征不同的意义。如下面的图形 (○代表苹果) :

这个图形可以解释为8个苹果放在4个盘子里, 平均每个盘子放2个;也可以解释为每个盘子放2个苹果, 8个苹果可以放4盘。这两种都是“平均分”。按前一种解释, 列的算式是8÷4=2 (个) ;后一种解释, 算式是8÷2=4 (盘) 。

用图形语言描述现实情境的数量关系, 是对现实世界数量关系的一次抽象。图形语言是发展学生抽象思维, 理解和把握符号语言的扶梯。如果学生不能理解符号语言, 进行抽象思维的时候, 最好的选择是回到图形, 甚至回到更具体的操作。

“感受价值、理性操作、授受技法、互通表征”是培养学生几何直观的必经之路, 它们是相辅相成的。学生只有感受到几何直观的优势与价值, 才会产生应用的需求;而脑袋空空没有表象或没有掌握画图策略, 也成无米之炊的巧妇, 表征的互通才能便于理解。只要教师有一双慧眼, 能根据学习材料经常性地运用, 就能让几何直观的方法固化为习惯, 形成结构式的思维方式, 提高思维的灵活性和深刻性。

直观思维篇2

[关键词]直观操作实验观察思维发散促进激发

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022

数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。

一、操作，激发学生的思维

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。

师：圆柱的体积计算公式是什么？

生1：圆柱的体积=底面积×高。

师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？

生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。

师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？

生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。

生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。

……

我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。

二、实验，促进学生的思维

学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。

师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。

生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。

师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）

师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？

生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。

师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？

生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。

师：还有其他的猜想吗？

生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。

师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）

师：谁来汇报一下？

生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。

师：其他组实验的情况也和他们一样吗？

生：一样。

师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？

生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。

师：这说明了什么？

生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。

师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？

生8：等底等高的圆锥和圆柱。

……

数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。

三、观察，发散学生的思维

系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。

例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。

由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。

例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。

由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。

例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。

由图可知，先求出大正方形与小正方形的面积比是多少，再求大正方形、圆、小正方形的面积比。有了上面的坡度练习和推理，学生很快能得出结论：大正方形、圆、小正方形的面积比为4∶π∶2。

通过系统的层层训练，学生的思维经历了知识发生、发展的过程，并通过反思、梳理，形成思维链。

从儿童思维的特点看，小学生的思维以形象思维为主，实物、图像、图形既是他们沟通生活世界和数学世界的最好桥梁，又是逐步深入认识数学、理解数学、运用数学的载体。因此，人们在认识和理解数学概念的过程中往往使用视觉形象来表征数学问题，从而更加直观、清晰地了解知识的本质和关键，最后达到理解和接受抽象的数学内容与方法的目的。

运用几何直观促进思维的发展篇3

综观学生的学习状况,很大一部分学生在遇到问题时,不是想着画画图来分析,而是托着腮帮子在那儿进行所谓思考。其实,这样的思考是毫无价值的。因此,引导学生运用几何直观来思考是解决问题的重要策略。

一、运用几何直观整理信息

几何直观所指有两点:一是几何,主要指图形;二是直观。几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。几何直观的本质就是借助图形来进行数学思考,换句话说即为“数形结合”。根据平时的教学实践,发现在研究平面图形、立体图形的问题时,学生很自然地想到用画图的方法来分析、判断。但在这里的“几何直观”并不仅仅限于我们所认识的平面图形或立体图形。比如:苏教版五年级下册“解决问题的策略———倒推”这一单元中,基本都是信息繁多、有多个变化过程的问题。若仅从文字表面来看,可以说班级中至少半数的学生无法理出清晰的思路。此时,我们不妨引导学生借助箭头图、线段图、表格等几何直观来顺着数量变化的过程把问题理一理,使得原本繁冗的过程一下子变得清晰、简单。

问题一:“小明喜欢集邮,原来有一些邮票,过年时又收集了24张,送给小军30张后还剩52张。小明原来有多少张邮票?”对于这样过程变化较多,但变化方式比较单一的问题,咱们就可以借助如下的箭头来表示变化过程:

原来 ?张→收集了24张→送走30张→还剩52张

问题二:“小军收集了一些邮票,他将邮票的一半又一张送给了小强后,自己还剩25张。小军原来有多少张邮票?”在这一问题中,关于“一半又一张”的理解是难点,也是错误发生的集中所在。但如果借助线段图(篇幅所限,图略)就一目了然,问题也就迎刃而解了。

还有一类问题,事关几个类别,而各类别之间又有着多次变换关系。此时,运用表格来进行整理显得尤为合适。

二、运用几何直观理解算理

综观小学数学教材,我们所熟知的加减乘除四则运算的意义、“相同数位要对齐”等这样的计算法则,就是从那些形象直观的实物图中解析出来的。

整数如此,抽象的分数理解更需要几何直观的相伴。从初步认识到意义的界定,无不运用了直观形象的实物或图形来帮助理解。比如分数乘法,教材首先将一长方形表示为抽象的单位“1”,再通过相关过程(篇幅所限,图略),演绎了这一乘法的意义,而计算方法也在这分割过程中逐步展现出来。

有着以上这些运用几何直观来理解算理的体验,学生运用几何直观的意识和水平也会日益增强。比如,在研究一些复杂的分数计算时,部分学生便能充分挖掘其中的几何直观因素,创造贴切的几何直观来分析问题。然后,部分学生联想到分数的意义以及各分数之间的关系,画出相关的图(篇幅所限,图略)。由此发现:计算这些分数的和也就是从单位“1”中去掉空白部分(即最后一个分数的大小),从而推算出计算的一般通式。

可以说,这部分学生已经将几何直观作为数学思考的一种方式,而这种思维方式的习得与我们教师的几何直观的课程意识有着极大的关系。比如:在“几何与图形”的教学中,我们应有意识地创造各种学习活动,让学生主动参与到剪、拼、折等活动中来,增强对图形的认识和理解,从而在后继学习中能主动提取这些活动经验来促进学习。

三、运用几何直观避免误解

其实,不仅要让学生在遇到较为复杂的问题时,要有意识地想到用几何直观来分析,在简单问题中也应将问题与相应的直观图对应起来。可大部分学生认为简单的问题就不用画图了,太浪费时间了,因此导致错误的也不计其数。有这样一道经典错题:“一列车从南京开往上海,全程350千米,已行了全程的五分之二,此时这列火车距南京多远?”就问题而言,非常简单,但就是这简单的问题,在第一次接触时,全班的错误率竟高达75%,就算经过几次练习后,班级中仍有几个同学出现错误。究其原因,学生告知“老师,我看错了,我以为就是求还剩下的路程”。学生这样的解释看似很合理,但细细想来,其根本原因在于学生未能正确形成几何直观的思维方式,脱离图形来思考问题往往会造成不同程度的困难。当然,在运用几何直观时,也并非一定要把图画出来,当达到一定的阶段后,学生可以凭借想象将图“画”在脑子里,同样也可以促进思考。

直观思维篇4

【关键词】直观教学；观察；演示；准确表达

应用直观手段进行教学，是数学教学中培养学生思维能力的重要方法。而应用直观手段培养学生思维能力，在听障学校数学教学中显得更为重要。如聋校六年级学生学习“长方形和正方形”一节时，仅靠教师讲解，而不让学生看一看、摸一摸长方体、正方体学（教）具，所以说他们的面、棱、顶点；长、宽、高的特点（或动手制作一个长方体、正方体的学具），以及展开长方体的表面，说说前、后、左、右、上、下六个长方形面的长、宽和长方体的长、宽、高的关系，让学生计算长方体、正方体的表面积，大多数学生能模仿例题正确解答。但是，如果要学生“给一个打破前面一块玻璃的长1.5米，宽0.8，米，高1米的长方体鱼缸，配一块玻璃，应配玻璃的面积是多少平方米？”时，大多数学生就会觉得有困难，不知要配的那块玻璃，长、宽是多少，也不知怎么计算它的面积。

因为听障学生语文水平低，收到其语言水平的限制，因而逻辑思维能力大大的落后于同年龄正常儿童，所以他们还不能掌握充分的数学语言，并借助它进行抽象思维，进行空间想象。因此，笔者认为听障学校数学教学中培养学生的思维能力，就应当直观入手，提高听障学生的学习积极性，使听障学生建立丰富的表象，同时教师及时引导，通过让学生意会，认识事物的本质属性——掌握数学的概念，认识事物的内部规律——掌握数学计算的法则，定律等等，这样才能促进学生抽象思维能力的发展。

一、通过直观的教具演示培养学生的思维能力

有一位老师在教学聋校数学实验教材第九册——“分数的初步认识”，导入新课时，他是这样设计的：先让学生操作，①要求把四个苹果平均分在两个盘子里；②要求把两个苹果平均分在两个盘子里；③要求把一个苹果平均分在两个盘子里。第一、第二次操作学生没有困难，第三次操作学生觉得非常为难，纷纷摇头表示不能再分了；这时候教师拿出一半小刀，边拿边问学生可不可以把一个苹果平均分成两份。这时学生纷纷做出了把苹果一切为二的动作，这时老师把苹果平均的切成两份，分在两个盘子里，又问学生：这怎么用数来表示它？学生都说不会用数来表示。这时教师及时提示课题：这就是我们今天要学习的内容——“分数”。教师通过这种方法，利用教具，成功地让学生对分数有了初步的了解。

二、通过直观性的动手操作锻炼听障学生的思维能力

在数学教学中，我们常常让学生通过教具发现数学规律，把教具演示的结果当作观察思考的依据。而且实践操作过程本身就具有思考的成分，因此教师在让学生操作的过程中，要充分利用直观手段，培养学生的思维能力。

例如：在教学全日制聋校数学实验教材第二册“20以内的进位加法和退位减法”中的“退位减法”，让学生用学具操作时，应鼓励学生用不同的方法操作，而不能用一种标准形式约束学生思维。如：学生操作“十六减9”中的16—9，学生用小棒操作过程中，有的学生是把一捆小棒拆开，从中拿掉9根，把剩下的1根和原来的6根合并起来是7根，过程是：16—9=7；有的学生是先拿掉6根，再把一捆拆开拿掉3根（想减去9根还应拿掉3根），一共也拿掉9根。过程是：16—9=7。

笔者认为，上述两种操作过程不同，思维方法不同，但两种方法都是正确的，都值得肯定。

心理学告诉我们：具体形象思维是制依赖事物的具体形象或表象以及他们的彼此联系来进行思维形式。因此，我们在数学教学中，要组织学生进行有效的学具操作，让学生的手、眼、脑密切沟通，在操作中通过思考如何摆放、如何拆分、如何移动、如何剪拼、如何折迭……获得形象和表象，并推动他们进行思维，深刻理解知识的本质意义。

例如，在教学全日制聋校数学教材第六次“倍的概念”时，设计三个层次的操作，学生比较容易理解“倍的概念”。

（1）师摆学具，揭示“倍”的概念。

第一行摆：||

第二行摆：|| || ||

让学生知道第一行摆了两个小棒，第二行摆了三个2根小棒，我们就说，第二行摆的小棒根数是第一行的三倍。

（2）操作学具，运用“倍”的概念。

A、第一行摆：△ △ △ △

要使第二行的△是第一行的2倍（让学生操作）。

第二行摆：多少个？

B、让学生摆出12个□。要求学生第二行摆的□是第一行的倍数。

三、通过直观的数形结合，发展学生的思维能力

耳聋学生由于先天听力缺陷，导致他们的视觉相对比正常儿童要敏锐，在教学中我主要要分发挥他们的这一优势，提高学生的学习效率。数形结合，是图形和数字，即具体和抽象相互呈现，相互说明，有利于耳聋学生思维能力的发展。

如在教学全日中聋校数学教材第七册P102*求长6厘米，宽4厘米的长方形周长时，可通过数形结合，帮助学生建立动态的表象。

6 4 6 4

|—— |— |—— |— ︳

6+4+6+4=20（厘米）

这样学生借助周长的概念，通过对周长图式的移动，并通过分析，比较，推理得到了长方形的周长的计算方法。学生在计算中比较，在比较重得到对算理的加深理解，领悟到长方形的周长实际上就是2个长加2个宽的和。所以，在聋校的教学中，把数和型结合起来，不仅可以突破教学难点，对培养和发展聋童思维能力有很大的帮助。

四、准确的运用演示表达概念和防止学生误解

许多数学概念都很抽象，仅靠教师的语言描述，学生是很难理解的。在数学教学中，教师要有有效地借助直观演示，准确地表达概念，使学生准确地理解。

例如，我在某个聋校观摩公开课时，听过这样一节课，内容是聋校数学实验教材第十二册p31页容积的计算，为了让学生正确理解容积的概念，并知道容积的计算方法和体积的计算方法相同，只管教学是这样设计的。

教师准备一大一小两个长方体（或正方体）的木匣子，大的木匣子正好可以容下小的木匣子。教学时，教师先举例揭示容积的概念，再让学生观察大木匣子（打开一面），让学生用眼睛看一看，用手摸一摸，用脑想一想，体会一下什么是容积，再在里面放满米，放进小木匣子（小木匣子不能打开），让学生看一看，容纳米，小木匣子的空间就是长方体的容积。

接着讲解容积的计算方法。教师先让学生说一说大木匣的计算方法，再量一量，算一算大木匣的体积；接着让学生观察（大木匣中放了小木匣）木匣，要求算大木匣的容积，学生通过观察，就会知道这里小木匣的体积就是大木匣的容积。这时，再让学生看教具说说容积的计算方法，量一量，算一算大木匣的容积（量时，先把小木匣放在大木匣里面让学生量出长、宽，让学生明白没有小木匣时从里面两处物体的长，宽，高，再量出小木匣的高）。从而让学生明白物体体积和容积的计算方法相同，只是计算体积是从物体外面量长、宽、高；而计算容积是从里面量的。

这样学生对容积的概念就比较清楚了，同事还通过用眼观察、动手度量、用脑思考自己知道了为什么体积和容积的计算方法相同，更重要的是培养了学生的思维能力；空间想象能力。

直观图示:一种有张力的思维辅助篇5

布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明,儿童的认知发展须要经历三个发展阶段:动作认知、图形认知和符号认知。这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平:操作水平、表象水平和分析水平。小学数学教学中,教师要充分尊重学生的认知发展规律,借助多种直观形象、具体可感的辅助手段,为学生的思维发展由操作水平逐步走向分析水平铺路架桥。希尔伯特在《几何直观》一书中谈到:图形可以帮助我们发现、描述和研究问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。借助直观图示,可以帮助学生化抽象为具体、化复杂为简单,助推学生的思维发展。

一、直观图示,让数的意义建构更准确

小学生的认知发展以动作认知为起点,但图形认知和符号认知也正在逐步发展。其中图形认知是动作认知与符号认知之间的中介,发挥好图形认知的媒介作用,有利于学生的认知由动作认知向符号认知发展。学生认识抽象的数,也常常要借助形象的操作或图示,以直观的方式理解数的意义。

例如,在一年级认识“20以内的数”时,借助实物图、圆圈图、小棒图、计数器等多种辅助手段,帮助学生理解“几个就用几来表示”和“十几就是由1个十和几个一组成”。引导学生经历“实物图→形象的圆圈图→抽象的数”的学习过程,逐步建立数的概念。

又如,在三年级学习“几百几十几”时,引导学生迁移前期的学习经验,借助计数器、数位顺序表等直观的图示,在“写一写,读一读”中理解更为复杂的数的意义,在“读一读,画一画”中内化对数的意义的理解。

学生在学习“小数意义”时,也是通过形象直观的图示,沟通分数与小数的联系,建构小数的本质意义。比较小数的大小时,让学生在数轴上找出小数的对应点,根据小数的位置说明大小关系。直观形象的图示为学生提供了表象支撑,也为抽象概括、分析比较提供了最为直接的意义依据。

在“数的认识”教学中,借助直观形象的图示,运用有趣又富有动感的操作,不仅能引发学生的探索兴趣,更能激起学生的积极思考与主动建构。在探索发现的过程中,强化动作认知、深化图形认知、促进符号认知,促使学生的数学思维由操作水平向表象水平和分析水平发展。

二、直观图示,让运算的算理探索更有味儿了

学生的运算能力是在理解算理的基础上逐步形成的。在教学中,除了通过探索丰富的问题情境发展运算的含义,还要寻求合理、简捷的运算途径和运算方法。直观图示,可以具体形象地帮助学生理解运算的算理、形成基本算法,引导学生的思维逐步走向数学化。

例如,学习“9加几”时,通过实物操作初步理解“凑十”的原理,再引导学生开展“圈出10个,再填一填”的活动。在活动中,学生动手圈一圈,再次感受到“9个和1个凑成10个,7个中圈去1个还剩6个,10加6得16”。逐步形成“凑十”的表象,为学生形成算法提供直观形象的支撑,有利于算法的抽象。

又如,在学习“分数加减法”时,通过涂一涂、画一画、比一比等方法,引导学生理解同分母分数加减法的算理,具体又直观。同时也为概括“同分母分数相加减,分母不变,分子相加减”的计算方法提供表象支撑。

再如,“整数除以分数”是学习中的难点,借助直观的图示可以形象地帮助学生理解其中的算理:“1里面有2个1/2,4里面就有8个1/2”,继而把4÷1/2转化成4×2。再通过“分一分”“画一画”等方法,进一步探索4÷1/3和4÷1/4的计算方法,最后由学生概括算法:整数除以分数,等于整数乘以分数的倒数。

通过直观形象的画一画、分一分、算一算等活动,引导学生借助直观图示将内隐的算理清晰地展现出来,使学生不仅“知其怎样算,更知其为何这样算。”直观图示,密切了算理与算法之间的联系,引导学生的思维走向理性、深入。

三、直观图示,让数学规律的发现更有意义

数学规律的发现与应用,也是促进学生思维发展的重要路径之一。在教学中,引导学生经历实际操作、直观图示、抽象概括等多样的活动,能够充分感悟数学规律,揭示规律本质,最终能灵活地应用规律解决问题。

例如:小红要去秋游,衣柜里有2件衬衣和3条裙子,她一共有多少种不同的穿法?

首先,学生通过动手操作试一试,寻找衬衣和裙子的搭配方法;接着,启发学生借助画一画的方法有序地表示出6种不同的搭配方法(如图1);最后,引导学生探索其中的规律。多样活动之后,学生自然积累起这样的思考经验:第1件衬衣可以配3条裙子,第2件衬衣也可以配3条裙子,一共有2个3种搭配的方法。同样,部分学生也会这样思考:第1条裙子可以配2件衬衣,第2条裙子可以配2件衬衣,第3条裙子也可以配2件衬衣,一共就有3个2种搭配的方法。直观形象的图示,把衬衣与裙子的选配过程清晰地呈现了出来,沟通了选配方法与乘法意义之间的联系,搭配中的规律呼之欲出:衬衣的件数×裙子的条数=搭配方法的种数。

又如,“一条走廊长24米,每隔3米放一盆花。要放多少盆花?”其中,放花的情况又可以分为三种:两端都放、两端都不放、一端放另一端不放。借助直观图示,“段数与盆数之间的规律”具体清晰地展现出来:

(1)两端都放:

24÷3=8(段) 8+1=9(盆)

(2)两端都不放:

24÷3=8(段) 8-1=7(盆)

(3)一端放另一端不放:

24÷3=8(段) 8 段=8 盆

通过比较与分析,学生不难找出其中的规律:两端都放花,盆数比段数多1;两端都不放花,盆数比段数少1;一端放另一端不放,盆数等于段数。形象而直观的图示,不仅使学生理解了“摆花”的三种情况,即规律所蕴含的本质内涵,也使学生真切感受到画图在探索规律中的作用,为后续的应用积累了借助图示思考的经验。直观图示能为抽象概括规律提供最直接的桥梁,使抽象的数学问题形象化,使学生能真正理解规律的本质,并能运用规律来解决问题。

四、直观图示,让数量关系更清晰明

学生解决问题的关键,是要建立已知条件与所求问题之间的联系,而很多实际问题中条件与问题之间的关系并不直接相关,这就要求学生具有一定的分析能力,寻找隐藏于条件中的相关因素。直观图示就是非常好的辅助手段,往往能帮助学生找到条件与问题之间的联系,从而利于学生思考解答。正如信息加工理论的学者所言:有了正确的表征,问题就已经解决了一半。

例如:小军和小刚共摘苹果96个,其中小军摘的数量是小刚的3倍。请问小军比小刚多摘多少个苹果?

对于三年级的学生来说,这样的问题具有一定的难度。因为要求“小军比小刚多摘多少个苹果,先要知道小军和小刚分别摘多少个苹果”。可是题目中两者都是未知的,只有“小军和小刚摘苹果的总数”,和“他们摘苹果数量的倍数关系”。能否在这两个条件之间建立联系就成了解决问题的关键。通过画示意图,数量之间的关系一目了然:

根据线段图,数量之间的关系逐渐清晰:96个苹果对应着“1+3=4份”,“96÷4=24个”就是其中一份的个数,也就是小刚的个数,“24×3=72个”是小军的个数,“72-24=48个”就是小军比小刚多的个数。通过观察直观的线段图,有的学生还发现:小军比小刚多的个数,就是其中2份的个数,所以还可以直接用“24×2=48个”来解答。正是由于直观图示的帮助,学生才能够正确地沟通问题与条件之间的本质联系,使看似无从下手的问题变得可以捉摸,也使复杂的数学问题简单化。

应用直观图示的策略,对于学生学习数学来说是非常重要的。随着年级的升高,解决问题经验的积累,学生会逐渐感受到直观图示的价值。它不仅可以帮助学生沟通相关条件与问题之间的联系,同时也能把一些隐含的关系层层凸显出来,助推学生顺利地解决数学问题。

五、直观图示,让知识体系的架构更完整

维果茨基认为,学习的本质是以模仿为基础的沟通过程;在学生最近发展区框架内,模仿并不是消极的,它同样具有建构的意义。数学知识的发展遵循由易到难、由浅入深的原则,在教学某一类数学知识时,注重知识发生发展的来龙去脉,侧重于横向化。随着年级的升高,某一类数学知识又会逐步深化,就要逐步关注纵向的数学化。缺乏系统沟通,数学知识就像一盘散沙,无法提升,也无法灵活应用。

例如,在平面图形面积计算的复习中,可以组织学生对已经学过的长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等的面积计算方法进行纵向梳理,边借助直观图示边回忆面积计算的方法,通过结构图把所学平面图形的面积计算方法进行有序的沟通,揭示相关图形面积计算之间的联系与区别。

又如,在复习长度单位之间的进率时,可以引导学生沟通已学单位之间的关系,用形象直观的图示梳理,帮助学生厘清相关单位间的进率,建构完整的认知结构。借助直观图示梳理长度单位的经验,又将存在于学生的经验系统中,推广至面积单位、体积单位间的进率结构中。

直观思维篇6

著名的英国认知神经科学家F.Vargha-Khadem等人的研究表明,人类的学习过程是一种奇妙的生理化学反应过程,其结果是在大脑皮层建立多维信息谱系.其中,直观信息起着基本的作用.当直观信息经由初级感觉皮层进入海马时,与来自前额叶和杏仁核的投射纤维发生信息汇聚与整合,即来自前额叶的工作记忆要对新摄入的直观信息进行目标扫描和特征剪辑、来自杏仁核的情感记忆要对直观信息进行条件化匹配加工,从而使其进入短时记忆、形成初级感觉表象并进入杏仁———苍白球———丘脑———前额叶新皮层而最后形成语义意象.另外,哈佛大学的S.M.科斯林等人证实,直观表象具有知觉整合、记忆检索和推理启动效应,图式化的时空经验、知识结构能促进大脑皮层知识谱系的整合、分解、转换、派生.我国的研究员丁峻撰文写到:直观表象具有制约情感倾向和经验素质、为认知和思维提供感性动力、为人格建构和意识形成提供感性支柱等奠基性永续性精神效能.而最易于忘记且枯燥抽象的概念与理念,唯有从直观表象那深广丰厚、鲜活生动的天地汲取不竭动力与隽永品格,才能绽放出亮丽的智慧光华.

一、模拟直观

两种证法都是对的,许多教材喜欢采用证法1,认为它具有形式化的特点,符合数学中演绎推理的特征.然而,证法2具有可操作的形象,揭示了思想实验的过程,具有直观性,我们称这种思维方式为模拟直观.

“糖水的模拟直观”为这一特定不等式的证明提供了可操作的“思想实验”.这样的模拟直观也许还算不上严格的证明,但难能可贵的是它为理解数学提供了极佳的直观支撑.拉卡托斯曾对“冷而美丽”的数学提出批评:“演绎主义以人为的权威方式,硬把证明过程跟它们的‘证明祖宗’扯开,把它们讲成从天上掉下来的”.

其实,数学家有创建数学的过程中往往离不开“模拟直观”的支持.1963年,数学家阿提亚证明了著名的“指标定理”.此定理深刻揭示了微分方程、代数几何、拓扑学的内在联系,定理最后归结为一个代数恒等式.虽然定理的证明已经完成,但是阿提亚仍然认为,这个证明尚未达到“形象地理解”的效果,5年之后,他用更为直观的方法再次证明这个定理,这是数学家对“模拟直观”的不懈追求.

二、模式直观

例3半径为1的四个小球装入正四面体之中,求正四面体高的最小值.

解:涉及两个模型的调用

(1)求棱长为2的正四面体的高;

(2)已知内切球的半径为1,求球心到正四面体顶点的距离.

例4定点A、B位于定直线L的同侧,在L上求一点O,使O到A、B距离之和最小.

例5定直线L与定圆O相离,在定圆上求一点M,使M到L距离最小.

例6定点P在定圆O之外,在定圆上求一点M,使M到P点距离最小.

三、语言直观

数学语言具有不同的风格,直观或抽象、浅显或深奥、幽默或古板、简明或罗嗦.

例7“映射”是学生比较头疼的一个概念.对其“原象的全员性、象的唯一性”两个要点,我用“个个开枪,只开一枪”加以直观描述,相应地,对“一一映射”再补上“个个中弹,只中一弹”,学生一下子心领神会,而且难以忘怀.

例8三角函数的单调区间,琐碎而难记.以坐标系为示意图,可用“正弦左减右增,正切左增右增,余弦上减下增,余切上减下减”加以直观记忆.