几何概型教学案例

几何概型教学案例（通用12篇）

几何概型教学案例 篇1

在人教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》中，几何概型作为新课程新增的内容出现，无论是对教师的教，还是对学生的学，都提出了新的挑战，同时也带来了新的机遇。如何正确理解新课程的理念，正确把握教学观念的转变，合理控制新增内容的难度，成为课堂教学中的所要体现的重要方面。下面我从教材分析、教学目标分析、学情分析、教学过程设计和教学反思五个方面谈谈几何概型第一课时的教学设计。

1. 教材分析

1.1 教材的地位与作用。

几何概型是新课程增加的内容，在古典概型之后出现，它是在古典概型的基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。它是另一种基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

掌握几何概型的相关知识，不仅有利于在数学学习中学好概率，而且有利于我们在日常生活中能合理地解释一些问题。

1.2 教学重点难点。

本节课的教学重点是理解几何概型的概念、特点，并要求会计算简单的几何概型的题目;难点是如何利用几何概型，把概率问题转化为各种几何概型问题，运用概率思想去分析问题，解决问题。

2. 教学目标分析

2.1 知识与技能。

理解几何概型的概念，掌握几何概型概率计算公式，并运用几何概型概率公式求解随机事件的概率。

2.2 过程与方法。

通过与古典概型的比较，引出几何概型的概念，并通过对比发现几何概型的特点，师生共同研究探讨，进而给出几何概型的计算公式。

2.3 情感态度与价值观。

教学过程中注重师生间的互动，鼓励学生大胆尝试，培养学生用随机的观点来看待现实生活中的一类现象，启发和培养学生分析问题和解决问题的能力。

3. 学情分析

3.1 学生已经学习了随机事件的概率、概率的意义，以及概率的基本性质，在此基础上还学习了古典概型，了解了古典概型的概念、古典概型中基本事件的特点。这样就不仅为学习几何概型作好了知识的铺垫，而且为学习几何概型提供了一个很好的类比对象。

3.2 经过高一一年的学习，进入高二后学生思维更加活跃，接受新知识的能力更强，对新课程的理念更加适应。但是由于个体认知水平的差异，每个学生的接受能力也不尽相同。

3.3 现在的高中生反感传统的说教和灌输式的教学模式。因此在教学过程中，教师要充分发挥学生的积极性、自主性、创造性，引导学生从具体例子出发，通过观察、分析、归纳、类比等手段，采用探究式、合作式学习。

4. 教学过程设计 (摘要)

4.1 设置情景，提出问题。

PPT视频1:2004年8月22日，雅典奥运会男子步枪3×40决赛。还剩最后一枪时，美国人埃蒙斯领先中国选手贾占波3环，位居第一。贾占波率先发枪，10.1环。这意味着，埃蒙斯只要不打出低于7.1环的成绩，就能将金牌收入囊中。然而，就在人们以为埃蒙斯将稳稳夺冠时，意想不到的事情发生了。埃蒙斯要击发2号靶位，澳大利亚人普拉纳尔站在他旁边。普拉纳尔在9枪之后，暂时排在第5位，已经与金牌无缘，普拉纳尔是3号靶位。埃蒙斯扣动了扳机，但是他的2号靶纸上竟然没有纪录。一脸茫然的埃蒙斯随后转过头，朝场内的裁判说：“我射了!(I shot!)”为了证明自己的确开了枪，埃蒙斯还拉开了枪栓，取出弹壳，然后叫裁判过来检查。几分钟之后，当值主裁判德里奥斯宣布：“二号靶位的选手(埃蒙斯)最后一枪的成绩为零环。”此时，3号靶纸显示出已中两弹，这是怎么回事?两弹分别是10.6环和8.1环，难道埃蒙斯帮助普拉纳尔打了一枪?这种射击史上少有的场面如何判罚?三名官员围在一起，最终结论是埃蒙斯最后一枪为0环。那么普拉纳尔是打中了10.6环，还是8.1环?裁判断定普拉纳尔打中了10.6环，这也是普拉纳尔当天最精准的一枪。如果埃蒙斯最后一枪在自己靶纸上打出这个成绩，他就稳登冠军宝座。结果埃蒙斯的总成绩只有1257.4环，而贾占波就以1264.5环的成绩“侥幸”获得了冠军。

PPT视频2:2008年8月17日，北京奥运会男子50米步枪3×40决赛。美国选手埃蒙斯在倒数第二轮领先将近4环的情况下，最后一枪只要不低于8环就稳拿金牌。谁都没有想到贾占波在雅典夺冠的奇迹再次发生了，埃蒙斯虽然没有出现雅典脱靶的失误，但是居然只打出了4.4环。邱健则打出了10环，凭借这一枪，他领先了乌克兰选手苏霍鲁科夫0.1环获得金牌，斯洛文尼亚选手德贝韦茨获得了第三名。

PPT视频3：雅典奥运会上的“脱靶事件”之后，卡捷琳娜用她温柔的眼神温暖了埃蒙斯受伤的心，也开启了这段童话。2007年的夏天，在姑娘的家乡捷克皮尔森，26岁的埃蒙斯和23岁的卡捷琳娜结婚了。埃蒙斯夫妇的婚礼简单朴素。埃蒙斯记得最有意思的事是捷克亲友们抢着把盘子摔碎，然后扫到一起，来祝福他们。

师：同学们应该都看过奥运会的直播，看了这两个视频后，大家有什么感想?

生1：这个埃蒙斯好倒霉，老在最后一发把金牌丢掉。

生2：我觉得埃蒙斯的心理素质不好，最后关头没有顶住。

……同学们继续讨论。

师：我也通过这件事得到一个体会：人生有失必有得。在学习生活中，顺便送同学们一句话：如果你看到你前面的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光!(情感教育)

师：那同学们有没有想过这个问题：埃蒙斯在雅典把子弹打到别人的靶上的可能性有多大呢?或者在北京埃蒙斯最后一发在没有脱靶的情况下，不低于8环的可能性多大，即夺冠的可能性多大?这里的可能性能不能用前面学过的古典概型来计算?

生3：应该不能用古典概型的，基本事件的总数无限。

师：很好。我们知道古典概型的一个特点是基本事件的总数是有限的。而今天我们看到的两个视频里的试验———射击，基本事件的总数是无限的。而这就是今天我们要学习的新概型的特点，几何概型。

4.2 引入新课，自主探究。

几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

师：由几何概型的定义，结合刚才两个视频中的例子，几何概型有怎么样的特点?

生4：试验中的基本事件无穷多。

师：对，就像射击中，子弹的落点有无穷多个位置。既然每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成正比，那么几何概型还有没有别的特点?

生5：每个基本事件发生的可能性相等。

师：对。所以以后判断一个概型是不是几何概型，就观察这个概型是不是具备上述两个特点。

问题1：假设2004年雅典奥运会射击馆中，靶子所在的墙面长10米，高3米，每个靶的半径为0.2米，总共有8个靶。假设埃蒙斯随机朝靶子所在的墙面射击，那么埃蒙斯的子弹击中普拉纳尔的3号靶的概率多大?

学生通过计算, 得出概率。 (这是一个很小的概率, 发生的可能性很小。)

问题2：假设2008年北京奥运会射击馆中，每个靶子的半径为0.2米，规定半径为1厘米的中心圆为10环，往外1厘米的圆环为9环，再往外1厘米的圆环为8环，依次类推，最外面1厘米的圆环为1环。那么埃蒙斯在最后一轮的射击中，保证子弹不脱靶且子弹等可能落在靶上的情况下，获得不低于8环的概率为多大?

教师分析和学生计算，得出概率。

由上面的两个例子，经过教师的启发和学生的自主探究，得到几何概型的计算公式：

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

师：某一随机事件的概率为0，那么这个事件就是不可能事件吗?

生6：概率为0肯定是不可能事件。

师：朝一个没有任何标记的飞镖靶子投掷飞镖，中靶心的概率是多少?

生 (全体) :议论纷纷, 最后得出结论, 概率为0。

师:那么飞镖中靶心这个事件可不可能发生呢?

生 (全体) :可能!

师：所以说，在几何概型的知识框架中，概率为0的事件不一定是不可能事件。同样的，概率为1的事件是不是一定是必然事件呢?同学们能不能举例说明?

生7：概率为1的事件不一定是必然事件。就拿刚才飞镖的例子，不中靶心的概率为1，但是也有可能会中靶心。

师：非常正确。

结论：在几何概型中，概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件。

4.3 例题精析，知识活用。

例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(假设电台只有整点报时)，求他等待时间不多于10分钟的概率。

师：分析引导：电台每隔1小时报时一次，他在0—60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。该怎么解决?

生8：“等待时间不多于10分钟”这一事件的构成区域的长度为10分钟，而这个试验全部结果所构成的区域的长度为60分钟，所以概率为：

师：分析得很好。

解：设A={等待的时间不多于10分钟}。事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50, 60]时间段内，因此由几何概型的计算公式得。

师：下面我们再来做几个练习。

1.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率。

2.取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

例2：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30—730之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00—8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

4.4 小结评价，拓展引申。

知识框架：

规律方法：

(1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型;

(2)几何概型主要解决与长度、面积、体积有关的题目;

(3)如果事件A对应的区域不易处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维。

5. 教学设计及反思

本节课通过学生感兴趣的两届奥运会射击项目引入，带有戏剧性的过程不但能牢牢吸引住学生的注意力，而且能很顺利地将学生的思维往几何概型的方向带，并为接下来几何概型的计算公式提供了很好的素材。在新课讲解中，教师应充分发挥学生的自主性和创造性，让学生在教师的引导下发现问题，解决问题，形成探索的意识，培养创新意识。

不足之处是在这节课的教学过程中，由于时间的限制(45分钟)，给学生自主活动、探究的时间很有限，有些学生思考程度不够，反馈的知识体系离教师预期的目标有一定的距离。另外，在教师讲的时间和学生想的时间的分配上不是很合理，对课堂的控制能力还有待进一步提高。

几何概型教学案例 篇2

黔西一中 施启军

教材分析：

本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教A版）必修3第3章《概率》第3节内容，几何概型第一课时，几何概型的学习是在古典概型之后学习，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。在现实生活中，常常会遇到很多游戏的所有可能结果有无穷多的情况，这时我们就可以用几何概型来计算事件发生的概率，这充分体现了数学源于生活，数学与生活的紧密联系，同时也说明数学在概率论中有重要作用。概率在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用.本节的核心素养是从生活中的转盘游戏抽象、建模转化为数学问题，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成从直观想象到建模的逻辑思维的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识.学情分析：本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，让学生通过观察、推断、归纳过度到几何概型的概念，有效提高学生直觉思维能力，对学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用.三维目标：

知识与技能：了解几何概型的意义，会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型事件的概率.过程与方法：通过学习几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，从有限到无限的推广，体验几何概型与古典概型的区别与联系.情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流、独立思考的习惯.教学重点：几何概型的基本特点及几何概型的概率公式及运用.教学难点：从实际背景中观察、推断、归纳出几何概型概率公式.课时安排

1课时

教学过程

一、创设情境，导入新课

问题情境一：拿出制作好的转盘，让学生亲自体验转盘游戏，体验游戏中中奖的可能性的大小及游戏的公平性。（设计意图：让学生亲自体验游戏并给适当的奖品，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望，自然地进入本节课的主题“几何概型”）上述试验的可能结果个数有多少个? 它是古典概型吗？

有无数多个结果，不是古典概型。

在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.我们必须学习新的方法来解决这类问题.为此，我们今天学习几何概型 探究

几何概型的概念

1.图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 1

1.以转盘（1）为游戏工具时，甲获胜的概率为 23以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为.5

事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度（面积或圆心角的大小）有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的

（设计意图：这个问题都来自于日常生活中，学生们会跃跃欲试，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生不知不觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来.）

二、师生互动，意义建构

经过分析，在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.教师提问：由以上的问题，你觉得此类问题与古典概型相比有何特点？如何求此类问题的概率？

（设计意图：让学生讨论，教师适当点拨.由学生总结几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延.）

几何概型概念：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（提醒学生与古典概型的区别）(2)每个基本事件出现的可能性相等.（与古典概型的联系）

对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.探究：几何概型的概率计算公式

1.与长度有关的几何概型的概率的求法

取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置随机剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1米的概率有多大？

解：设事件A为“剪得两段绳子的长度都不小于1米”，用线段MN表示3 m的绳子，E、F为MN的两个三等分点.1因为EF=1 m,所以P(A)=.3 例：某人午觉醒来，发现表停 了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

60501P(A).606

即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6。

（设计意图：通过引例培养学生运用数学知识独立解决问题的能力）2.与面积有关的几何概型的概率的求法

天舟一号货运飞船在2017年4月20人19时41分成功发射，假设在飞船返回地面时，有主着陆场、次着陆场两部分。主着陆场为边长为1200m的正方形区域，着陆场总面积为边长为2000m的正方形区域.求飞船在主着陆场内着陆的概率？

120029解:设“飞船在主着陆场内着陆”为事件A,则 p(A)2200025所以飞船在主着陆场内着陆的概率9/25 拓展训练

某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为()1111 A.B.C.D.13942

解：靶点与靶心的距离小于2的区域是以靶心为圆心以2为半径的圆的内部，故所求概率为

（设计意图：让学生通过实例，从解决实例的问题中去归纳总结出几何概型概率的计算公式，有利于培养学生梳理能力）

在几何概型中,事件A的概率的计算公式:

构成事件A的区域长度（面积或体积）P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

三、自我检测

1、取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析 由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.解 记“豆子落入圆内”为事件A，则 41P.369圆面积a2P(A)＝2

正方形面积4a4.42、如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒答 豆子落入圆内的概率为 一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为

, 则阴影区域的面积为()

A.B.C.D.无法计算

22343833.在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为(28S2.33 阴解：由几何概型知：

故 正方形阴SS2.3)432 A.5 B.C.55

1D.5

4、某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率是多少？

（设计意图：学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息.对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正.通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能）

四、小结

本节课我有什么收获？（由学生进行总结）（1）几何概型的概念及基本特点；（2）几何概型中概率的计算公式；

（3）在生活不要去参与一些赌博的游戏，（设计意图：通过学生的总结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力；）

五、布置作业

（1）课本第103页习题3.3

必做题：A组

第1，2，3题；

选做题：B组

第1题 教学反思：

由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同的地方和不同的地方.根据几何概型中最常见的形式：长度、面积、设置典型例题。

例题本身属于几何概型及概率计算公式的直接应用、简单应用，目的是加强对几何概型的理解；帮助学生明确解题步骤，规范解题格式.因此，例题的解决中：主要由学生去完成，以学生为中心，解答过程强调书写的规范性。

浅谈几何概型的教学过程设计 篇3

关键词：几何概型；教学过程；教法学法；

概率论与数理统计是大学理工科类学生的一门公共基础课，这门课程和其他的数学课最大的不同是其独具特色的随机性思维，因而学生在理解和掌握上会有很大的困难，这就要求教师必须更好地运用教学方法，让学生能轻松地掌握这门课程的知识。下面以几何概型这一节为例来谈谈教学过程的设计。结合教学班级的学情分析，将本节课的教学过程分为以下六个环节完成。

一、复习回顾，铺垫新课

首先请一位学生来回答古典概型的特点及计算公式。通过提出问题，引导学生复习上节课的主要内容；并对学生回答进行评价，提高学生主动参与的积极性，为后面古典概型与几何概型比较作铺垫。

二、设疑激趣，引入新课

法国自然哲学家蒲丰先生经常做有趣的试验给朋友们解闷。1777年的一天，蒲丰先生又在家里为宾客们做了一次有趣的试验，他先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。”客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。

最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直线相交的就有704次。用704去除2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π的近似值。”

通过一个有趣的小故事，引起学生的兴趣，将学生带入课堂，激发学生的求知欲，引出这节课的学习内容——几何概型。

三、创设情境，思考问题

问题1：物美商场进行有奖销售活动，购物满500元可摇奖一次，用摇奖转盘进行摇奖，规则如下：一等奖电视机一台；二等奖吸尘器一个；三等奖MP3一个；四等奖洗衣粉一袋；五等奖肥皂一块；六等奖谢谢惠顾。

通过试验发现指针可能停在转盘的任何位置，从而得出基本事件有无限个且等可能，并发现电视机中奖概率与扇形圆弧长度有关，探究出结论。让学生初步感受几何概型的特点，并激发学生的探究热情。

问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色，金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm。运动员在70 m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

通过设置不同情境，让学生发现概率的计算与面积有关，深切感受与古典概型的区别。

四、归纳探索，形成概念

对前两种问题进行归纳，给出几何概型的概念，列出几何概型的特点及计算公式。

其中，几何概型的基本事件的概率为0，为什么？这时学生普遍会有疑问，须加以引导。

此时，对前面的抽奖问题再思考：

1.如果在转盘上，电视机的中奖区域1缩小为一个单点，那么中奖概率是多少？

这道题学生很容易回答，进而搞清楚了几何概型中基本事件的概率为0这一知识点。

问题再进一步：

2.概率为0的事件是否一定是不可能事件？

学生在回答了以上问题的基础上就能很容易地回答出这个问题。因为上面的事件概率为0，但显然是可能发生的，使学生很好地理清了容易混淆的概念。接着，问题再进一步：

3.概率为1的事件是否一定是必然事件？

学生此处就会和前问题进行类比、思考，从而得出答案，锻炼了学生的逆向思维。

五、例题分析，推广应用

例1.某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？

通过生活中的实际问题，激起学生兴趣，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识，让学生经历分析问题—构建数学模型—解决问题的过程。明确解决问题的关键是：先判断该概率模型是不是几何概型，再找出刻画基本事件的几何图形，从而使本堂课的难点得以突破。

例2.平面上画有等距离为a（a>0）的一些平行直线，现向此平面任意投掷一根长为b（b

通过此题，进一步培养学生的建模能力，引导学生用几何图形来表示试验的可能结果，这是解决问题的关键，同时也是难点。

六、回顾小结，布置作业

最后从知识小结、能力方法、思想小结这三方面做个简要小结，使学生对本节课的知识结构形成清晰的认识，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生良好的个性品质。

作业布置：

1.书本习题：一道必做题，一道选做题。

设计意图：学生的个体差异总是存在的，尤其是大班教学的公共课，那么通过必做题和选做题的布置，可使不同层次的学生均有所收获，体现因材施教的教学原则。

2.课后实验：以寝室为单位，4人分两组，每组500次以上，记下总的次数和相交的次数，估计出π的值。

设计意图：实践是检验真理的唯一标准，通过实验，让学生深刻体会用随机试验解决确定性问题的这一奇特的随机性思维。

3.兴趣思考（Bb平台上的主题讨论板块）：在半径为1的圆上，任意作一条弦，求其长超过圆内接等边三角形的边长的概率？（“贝特朗奇论”）

设计意图：这个问题中弦的作法不同会有截然不同的答案，题目放在网络课堂的讨论板块，可以引起学生积极地交流探讨，让学生在争论中获得认知的提升。

在整个教学过程中，充分发挥学生的主体地位，遵循“把学习的主动权还给学生”的指导思想，让学生在“观察—发现—类比—归纳—应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识，发展思维能力。

参考文献：

[1]曹飞龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1994.

几何概型教学札记 篇4

1. 精讲概念, 巧设铺垫

文[1]指出几何概型的教学只要抓住“事件A发生与哪些点对应”这个关键, 问题解决就比较容易, 学生也容易理解.如果随机事件所在区域是一个单点, 因其长度、面积、体积均为0, 所以其出现的概率为0, 但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点, 则其出现的概率为1, 但它不是必然事件.学生对数学概念的理解, 并不是记住了一些文字或数学式子就表示他们理解了有关概念, 如“几何概型”一节的教学, 若提出问题:“概率为0的事件一定是不可能事件吗?”“概率为1的事件一定是必然事件吗?”教材上是没有这个问题的, 但教师启发学生思考此问题是促进学生进一步理解几何概型这个概念的关键, 像这种对教材的思考、拓展、深化, 是需要教师多讲的, 也是一堂课的精彩之处.学生从困惑到惊讶, 从思考到顿悟, 思维的活动得到了充分的展开, 真正实现了以教师的启发性启动学生主体地位的独立性, 以教师的“启”达到学生的“思”, 体现了教师以“学”为主的教学观.

我们在教学中应当灵活处理教材, 选取适当的例题与习题, 完成课程标准的教学要求.在解答数学问题的教学过程中, 既要重视解题方法的理解, 也要突出解决数学问题的步骤性.如数学必修4 (人教A版) 几何概型一节中例2的问题, 根据学生已有的几何概型一节中P136例1的经验设计如下类似例2的问题, 我们采用四步曲“构设变量——集合表示——作出区域——计算概率”来求解, 可以降低学生理解问题的难度.

问题1:两人相约8点到9点在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时离去.求两人能够会面的概率.

解设两人到达的时间分别为8点到9点之间的x分钟、y分钟.

用 (x, y) 表示每次试验的结果, 则所有可能结果为{ (x, y) |0≤x≤60, 0≤y≤60}.

记两人能够会面为事件A, 则事件A的可能结果为

如图所示, 试验全部结果构成区域G为正方形区域.而事件A所构成区域是正方形内两条直线所夹中间的阴影部分g.根据几何概型公式, 得到

所以, 两人能够会面的概率为

2. 灵活运用变式教学

课堂问题变式教学不仅是给学生形式上的参与和表象上的传授, 关键是使学生对问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等方面有更深层次的理解, 从而使学生能成功辨别各种变异, 掌握特定的数学知识和方法.

如问题1可做如下变式:在区间 (0, L) 内任取两点, 求两点之间的距离小于的概率.

解析设A坐标x, B坐标y, 设OA=x, OB=y, 则

要使两点之间的距离小于, 必须满足图中阴影部分面积, 所以.

此题虽然与问题1背景不同, 但从分析的本质上来看是完全相同的, 让学生对用几何概型解决实际问题有了更深的认识.

再如问题2:在等腰直角三角形ABC中, 在斜边AB上任取一点M, 求AM小于AC的概率.在教学时, 可以设计如下变式问题:

变式1:条件不变, 求使△ACM为直角三角形的概率?

变式2:等腰直角三角形ABC中, 若点M在△ABC内, 求使△ACM为钝角三角形的概率?

变式3:等腰直角三角形ABC中, 过顶点C任作一射线l与斜边AB交一点M, 求AM小于AC的概率?

通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究, 有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质, 从不变的本质中探索变的规律, 从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力, 而且能优化学生的思维品质, 培养发现问题和解决问题的能力和素质.

参考文献

几何概型说课稿 篇5

各位评委：

上午好!很高兴在这里与大家交流。我说课的题目是：几何概型，选自人教A版必修3第三章第三节第一课。我将从教材的分析与处理、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明以及教学评价分析五个方面谈谈我对本节课的理解和设计。

“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课程中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不一定是不可能事件的例子，概率为1的事件不一定是必然事件的例子.

几何概型是新课程新增加的内容，我认为增加几何概型的原因有两个：一是使概率的公理化定义更完备，即概率的统计学定义、古典定义、几何定义;二是因为在今后的应用中能体现建模的思想域.

从学生情况来看，前面学生在已经掌握了一般性的随机事件和概率的统计性定义的基础上，又学习了古典概型。学生的认知水平有了一定的基础，但学生的抽象思维能力还有待于进一步提高，因此在从古典概型向几何概型的过渡时，如何将问题的实际背景转化为“几何度量”，学生会有一些困难和疑惑，这就需要恰当的引导、合理的解释和明确的目标。

综合以上分析，我认为本节课的教学重点是了解几何概型概率的计算方法，并能进行简单计算。为了较好的处理本节课的重点，我引用了两个生活中不同的“抽奖”实例，从两个实例出发比较从而引出问题，并让学生分组做实验自主探究去解决问题，这样能较好的提高学生的兴趣，学生能积极参与讨论，而且通过分组实验使学生了解到数学与生活实践有着密切的联系。把求未知量的问题转化为几何概型求概率问题是本节课的难点，为了突破难点，在学生实验总结之后，给出几何概型中三种形式的概率(长度、面积、体积)，引导学生应用方法去解决问题，并对学生进行及时的.补充与完善。

在本节课的学习中，要让学生了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率。从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过转盘游戏问题引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式。感受数学的拓广过程。通过学习和实验，培养学生观察、思考、积极主动探索的精神。

结合本节课的特点和能有效的开展教学，我将把教的过程变成学生主动发现问题，思考问题、讨论问题、解决问题的过程，本课通过创设情景，结合学生的“知识最近发展区”，从古典概型过渡到几何概型，让学生以实践者的身份去观察、猜想、实验、创新，体验建构知识的过程，弄清来龙去脉，调动起学生的主动性和学习的热情，体现学生学习的个性化、自主化。并通过分小组学习，引导学生在小组交流和讨论中，相互启发，相互交流解决问题的策略，提高思维水平。真正体验一个完整的数学探究过程。

下面谈谈我对本节课的教学过程设计。

本节课的基本流程分为三步：先是提出问题，复习概念，再由学生探究，得出结论，最后是知识应用及巩固。在课堂开始我给出情景设置1：抽奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?

学生讨论清楚以下几个问题：(1)本题中的基本事件是指什么?(2)基本事件所包含的结果的个数?(3)满足题中条件的基本事件所包含的结果的个数?在此学生可以复习巩固古典概型的特点、定义及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫。

然后提出情景设置2：改变了抽奖活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘(如图1)转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?引导学生讨论一下几个问题(1)本题中的基本事件是指什么?(2)这个问题是古典概型吗?(3)怎样解决这个问题?经讨论学生会发现用古典概型是解决不了情景设置2的问题，由此矛盾冲突引发学生的学习兴趣和求知欲望;也以此为铺垫，通过具体问题情境引入几何概型的定义与特点。

接下来就是第二个阶段：学生做实验探究：有一个底面由红绿蓝三色构成的长方体纸盒，向纸盒内随机抛掷小纽扣。

实验用具：开口长方体纸盒、纽扣50粒、数据统计表一份(纸盒由学生课前动手制作，底面由红绿蓝三色构成，红绿蓝面积之比为2:1:1)

由此实验探究以下问题：

提问1：纽扣落在三种颜色区域内的可能性是一样大的吗?

提问2：纽扣落在哪种颜色的可能性最大?可能性大小与什么有关?

提问3：这个问题是不是古典概型的问题?

提问4：你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少?

实验1：学生进行抛掷小纽扣的实验

猜想：P(A)=红色区域的面积/长方形的面积=1/2

实验步骤：

(1)小组一位同学站在纸盒的周围随机将50粒实验纽扣抛入其中;

(2)如实统计出落在红色区域内的纽扣数量并做好记录(表1)，然后取出全部实验纽扣，至此为完成一组实验，每小组进行三组实验;

第一组

第二组

第三组

落在红色区域内的频数

试验次数

50

50

50

(3)对实验原始数据进行进一步统计及相关计算(表2);

第一组数据

前两组数据

前三组数据

全班数据

累加落在红色区域内的频数

试验次数

50

100

150

计算落在红色区域内的频率

(4)分析实验数据，归纳总结实验结果.

实验结果：当试验次数不断增大时，纽扣落在红色区域的频率将逐渐趋于一个稳定值0.5,并在它附近摆动，由此可估计出小纽扣落在红色区域的概率为0.5.

记“小纽扣落在红色区域”为事件A，有上述实验可得

P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)

结合上述实验可引导学生归纳总结本节课的结论：

1、几何概型的特征

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个(无限性);

(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).

2、几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodels of probability),简称为几何概型.

3、几何概型的概率计算公式

P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)

这一个环节的设计充分体现了学生的课堂主动性，给出学生问题让学生自主动手实验探究，能提高学生的学习兴趣和动手能力，并能更好的突破本节课的重点和难点。

到此第二个阶段即完成了，往下主要是结论的应用：会区分几何概型和古典概型并能求几何概型的概率。在此给出三个课堂习题：

问题1：取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少?

问题2：在一个5000 的海域里有面积达40 的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为 。

问题3：在 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率 。

上述三个课堂练习，分别对应了高中几何概型的三种几何度量：长度、面积和体积。能够更好的指导学生将未知量问题转化为几何概型求概率问题，有助于这一节课难点的突破，在此可引导学生解决本节课开课时的问题情境2，在解决的过程中让学生思考是否可以采用不同的几何度量例如：圆心角之比、弧长之比和扇形面积之比来求概率，并注意采用不同的几何度量时的区别。

进入课堂小结，回顾本节课的问题解决过程，让学生认识到数学与生活的紧密练习，并对本节课的知识进行强调，分清古典概型与几何概型的区别，并会利用公式求解几何概型。

最后是作业布置和课后思考：在生活中我们见到的抽奖活动中是否有概率的影子，体验数学与生活的联系。

到此就完成了本节课的教学。

板书设计：书写两点：一是本节课的结论，二是实验统计表格。

“使学生经历知识的生成过程，学会学习方法，获得积极的情感体验。”是新课标对教师提出的基本要求，从这一点出发，我在设计本节课时注意了以下两点：一是在本节课的开始结合学生前边的认知基础，在用古典概型解决情景问题2时产生了矛盾，从而为学生提出了问题，促使学生去思考解决问题的办法，提高学生的学习兴趣。二是在对本节课的重点和难点的处理的过程中，通过问题和实验，让学生主动思考总结和动手实验探究，以学生为主我在傍边协助让学生突破，并让学生体验知识产生的乐趣。

这节课在学生实验的过程中，对学生的学习态度、参与程度给出及时的评价;并对学生课堂中知识的探索、知识的总结过程进行评价，在课下及时了解学生的学习和作业情况，指导我今后的教学。

古典概型与几何概型解法扫描 篇6

一、求和法

如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））

例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.

分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.

解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B.

从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.

（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.

事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；

事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.

由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.

（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.

事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；

事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，

由（1）可知，P（A）=716，

由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.

点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.

二、正难则反法

对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.

例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

分析：利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足n

解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个.

因此所求事件的概率为13.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.

所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316，

故满足条件n

点评：在数学解题中，若从正面或顺向难以解决，则不妨进行反面或逆向思考，这就是正难则反策略.这种策略提醒我们，从正面解决困难时可考虑反面求解，直接解决困难时可考虑间接解决，顺推困难时可考虑逆推.这种思维实际上是逆向思维，体现了思维的灵活.

三、数形结合法

根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式.

例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.

（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0

x>0

y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.

分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.

解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a.

若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1.

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.

（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，

函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交点坐标为（163，83）.

∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.

点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件A的概率.

分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.

（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.

（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，

函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交点坐标为（163，83）.

∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.

点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件A的概率.

分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.

（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.

（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，

函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交点坐标为（163，83）.

∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.

点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件A的概率.

分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.

（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

几何概型教学案例 篇7

关键词：新大纲,几何概型,教学,原则

一、什么是几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

二、几何概型与古典概型有何区别和联系

古典概型是我们很熟悉的知识,而几何概型是一个全新的知识,那么它们有何区别与联系呢?

1.古典概型研究的是有限个事件,等可能发生

古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的.若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为undefined,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数,称之为概率的古典定义.

2.几何概型研究的是无限个事件,等可能发生

若随机试验中的基本事件有无穷多个,且每个基本事件发生是等可能的,这时就不能使用古典概率,于是产生了几何概率.几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率.

几何概型的教学中应注意哪些问题?如何让学生更好地理解几何概型?对于这一全新内容,既要利用所学知识也要使用新的方法来解决,所以在实际的教学中应该正确解决好以下几个问题:

(1)要正确地定位几何概型的教学.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,几何概型是对古典概型有益的补充,将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件;学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要.但在要求上是“初步体会几何概型的意义,会进行简单的几何概率计算”.教学上的基本要求并不意味着课堂教学的简单化、机械化.我们对几何概型的教学的定位,即认识几何概型的基本特点,教学中围绕着如何区别于古典概型的问题,选择数学中具有重要价值的实例为内容.因此,我们在几何概型的教学中要从培养学生运用几何概型解决实际问题的思想进行思维的培养.

(2)要正确地选择好例题教学与解决问题的关系.在几何概型的学习中安排了许多实例,这些实例在应用中所体现的一些数学思想、思维方法都是比较经典、有深度的,同时也是较难以理解的.通过学习使学生能理解它们的原理、技巧,领悟其中的思想与智慧.这里更多的是了解与感受,但并不是要求学生也来解决一些较难的问题.因此,教学中要把握好教学的要求,以理解几何概型为重点,学会区别于古典概型,利用它们解决一些简单的问题.鼓励有兴趣有能力的同学去解决某些具有深度性的问题.

(3)要正确把握几何概型教学与学习的一些原则.由于几何概型知识是一个难点,在实际的教学和学习中我们必须通过实例进行,在解决具体问题的过程中尊重学生的学习习惯和思维特点,利用以旧引新、动手试验、猜想验证、对比迁移、知识运用等方式,用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法.由于几何概型的知识内容有一定的难度,所以在实际教学中应处理好以下几个原则:

亲和性原则——选取的实例要贴近自己,或者来自我们的生活实践,或者我们学过的数学.如相遇时间问题.

趣味性原则——选取的实例一般要有丰富的背景,本身要有趣味性.比如转盘获奖问题.

基础性原则——问题本身的算理并不难,但要蕴涵丰富的几何概型思想.比如求长度、面积问题.

(4)把问题几何化的原则.几何概型涉及的问题往往有一定的难度,难于下手.如何把几何概型的问题从抽象的角度,利用转化的思想具体化到熟悉的几何图形表示,这是解决几何概型的一个很好的方法.在实际的教学和学习中,利用一维长度、二维面积、三维体积的思想去解决,这样可以达到很好的效果.

几何概型教学案例 篇8

几何概型是高中概率部分的一个难点, 什么是几何概型, 怎样解决几何概型问题, 就这个问题谈一些自己的思考.

一、高考要求

1.考纲要求:了解几何概型的意义.

2.几何概型是高中数学新课程教材概率部分中的新增内容, 其特点鲜明, 应用性强, 因此在新课程高考中受到高度关注.

3.在高考题中, 有关几何概型的题目, 通常以填空或选择题的形式出现, 虽然题目难度不大, 但需要准确理解题意, 并能将实际问题转化为几何概型, 并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题, 因此部分学生还是很难掌握得分.

二、几点思考

1.几何概型的引入

在概率论发展的早期, 人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的, 还必须考虑试验结果是无限个的情况.为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示, 其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质, 关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”概念.假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的, 并且假定这种度量具有如长度 (面积、体积) 一样的各种性质, 如度量的非负性、可加性等.

2.几何概型的课堂设计

文科班学生学习的积极性不高, 基础较差, 但他们对与生活相关的数学问题比较感兴趣.前面学生已经掌握了一般性的随机事件, 又学习了古典概型, 在古典概型向几何概型的过渡时, 以及实际问题如何转化为几何概型求概率的问题时, 会有一些困难.

首先, 根据学生的状况及新课程标准, 尽可能选用与日常生活息息相关的例子, 便于激发学习兴趣, 加深对知识的理解与应用, 在已有认知即学习古典概型的基础之上, 用类比的方法来学习几何概型, 使学生在原有的认知结构中又增加几何概型这个新的概率模型, 通过几何概型与古典概型的比较, 在类比中逐步认识几何概型的特点, 加深对其理解.

其次, 考虑到突出重点和化解难点的需要, 充分调动学生积极性, 展示学生的思维过程, 使学生能准确理解、运算和表示, 将教材中的例题和习题作了适当调整和增补, 并设计成不同形式, 归纳出常见题型, 逐步提高思维的层次.

通过学习, 让学生学会将未知转化为已知, 把抽象的问题转化为熟悉的几何概型, 并能掌握好典型例题, 注意数形结合思想的运用, 以提高学生的化归转化问题的能力以及几何概型这种计算概率的新方法.

3.几何概型与古典概型的区别

几何概型的特点:

(1) 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个;

(2) 每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型是另一类等可能概型, 它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个.从古典概型到几何概型, 从知识的承接上看, 几何概型实际是古典概型在保持等可能的前提下从有限向无限的自然延伸.

因此几何概型与古典概型的不同点是在一次试验中, 几何概型中所有可能的结果有无限个, 而古典概型的结果是有限的;相同点是每一种结果发生的可能性相等.

4.几何概型的概念及计算公式

设在空间上有一区域G, 又区域g包含在区域G内, 而区域G与g都是可以度量的 (如长度、面积、体积等) , 现随机地向G内投掷一点M, 假设点M必落在G中, 该区域中每一个点被取到的机会都一样;且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与子区域g的度量 (长度、面积、体积等) 成正比, 而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验, 称为几何概型.

因此几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M, 点M落在G内的部分区域g”的概率P为:g的度量与G的度量之比.

5.几何概型的主要题型

(1) 题型1:线长问题 (与长度有关的几何概型) .测度为长度, 一维的几何概型.

一个随机试验如果只含一个随机变量, 而且该随机变量在一个含无限个值的区间范围内取值, 这样的随机试验可构成测度为长度的一维几何概型.

计算方法:设线段l是线段L的一部分, 向线段L上任投一点. 若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比, 而与线段l在线段L上的相对位置无关, 则点落在线段l上的概率为:P=l的长度/L的长度.

例1.在Rt△ABC中, ∠A=30°, 过直角顶点C作射线CM交线段AB于M, 求使|AM|>|AC|的概率.

解:以“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”作为样本空间G, M在线段AB上任何一个点处都是等可能地发生并且含无限个值, 因此是几何概率问题.设事件A为“作射线CM, 使|AM|>|AC|”.在AB上取点C'使|AC'|=|AC|, 所以

例2. (2009山东卷) 在区间[-1, 1]上随机取一个数x, cosπx/2的值介于0到1/2之间的概率为 ( ) .

A.1/3B.2/πC.1/2D.2/3

解:在区间[-1, 1]上随机取一个数x, 即x∈[-1, 1]时, 区间长度为2, 要使cosπx2的值介于0到1/2之间, 需使-π/2≤πx/2≤-π/3或π/3≤πx/2≤π/2∴-1≤x≤-2/3或2/3≤x≤1, 区间长度为2/3, 由几何概型知cosπx/2的值介于0到1/2之间的概率为2/3/2=1/3, 故选A.

例3.有一段长为10米的木棍, 现要截成两段, 每段不小于3米的概率有多大?

解:记“剪得两段都不小于3米”为事件A, 从木棍的两端各度量出3米, 这样中间就有10-3-3=4 (米) , 在中间的4米长的木棍任意处剪都能满足条件, 所以P (A) =4/10=0.4.

例4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P, 求△PBC的面积大于S/4的概率.

解:如图所示, 在边AB上任取一点P, 因为△ABC与△PBC是等高的, 所以事件“△PBC的面积大于S”等价于事件“|BP|∶|AB|>1:4”, 即P (△PBC的面积大于S4) =|PA|/|BA|=3/4.

例5.在半径为1的圆周上有一定点A, 以A为端点连一弦, 另一端点在圆周上等可能的选取 (即在单位长度的弧上等可能选取) , 求弦长超过31/2的概率.

解:如图, 另一端落在圆周上任一点, 基本事件可用圆周长来度量, 圆内接正三角形ABC的边长为31/2 , 若任一端点落在BC劣弧上, 则弦长超过31/2 , 而落在BC劣弧之外, 则弦长不超过31/2 . 事件A为“弦长超过31/2”, 意味着另一端点落在BC劣弧上, 事件A可用BC劣弧长来度量, 故P (A) =BC劣弧长/圆周长=1/3.

(2) 题型2:面积问题 (与面积有关的几何概型) .测度为面积, 二维的几何概型.

一个随机试验如果含两个随机变量, 而且这两个随机变量分别在两个含无限个值的区间范围内取值, 这样的随机试验通常可构造成测度为面积的二维几何概型.

计算方法:设平面区域g是平面区域G的一部分, 向区域G上任投一点, 若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比, 而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上的概率为:P=g的面积/G的面积.

例1. (2011福建) 如图, 矩形ABCD中, 点E为边CD的中点, 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q, 则点Q取自△ABE内部的概率等于 ( )

A.1/4B.1/3

C.1/2D.2/3

解:本题是明显的几何概型问题, 直接用公式计算概率:P=S△ABE/S矩形ABCD=1/2.

例2.已知实数x、y, 可以在0

解:0

然而, 有些几何概型的问题, 既不容易分辩出属于几何概率模型, 也不容易发现随机事件的构成区域, 但经过仔细研究后, 我们也能发现一些规律.

例3.两人相约6点到7点在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时离去, 求两人能够会面的概率.

解:设两人到达的时间分别为6点到7点之间的x分钟、y分钟.用 (x, y) 表示每次试验的结果, 则所有可能结果为:Ω={ (x, y) |0≤x≤60, 0≤y≤60};记两人能够会面为事件A, 事件A的可能结果为:A= { (x, y) |y-x|≤20, 0≤x≤60, 0≤y≤60}.

如图所示, 试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD, 而事件A所构成区域是正方形内两条直线y-x=20, x-y=20所夹中间的阴影部分, 根据几何概型公式, 得到所以, 两人能够会面的概率为p=5/9.

本题题目的意思简单明了, 但如何转化为数学模型来求解却比较困难.我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量, 而且两个变量分别在两个含无限个值的区间范围内取值, 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式, 并把所研究事件A的集合也分析得出.把两个集合用平面区域表示, 特别注意不等式所表示区域.准确得到随机事件的构成区域后, 根据几何概型的概率公式, 易求得概率.

对于此类疑难问题, 用几何概率公式计算概率时, 关键是发现问题中的变量因素, 从而将一个包含两个变量的实际问题引入到直角坐标系, 构造出随机事件所对应的几何图形, 并对几何图形进行相应的几何度量.根据以上的解法和分析, 我们总结为以下四步:

1构设变量:从问题情景中, 发现哪两个量是随机的, 从而构设为变量x、y.

2集合表示:如用 (x, y) 表示每次试验结果, 则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果.

3作出区域:把以上集合所表示的平面区域作出.

4计算求解:根据几何概型的公式, 易从平面图形中两个面积的比求得.

(3) 题型3:体积问题 (与体积有关的几何概型) .测度为体积, 三维的几何概型.

设空间区域上v是空间区域V的一部分, 向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比, 而与区域v在区域V上的相对位置无关, 则点落在区域V上的概率为:P=v的体积/V的体积.

例1.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌, 今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察, 求发现大肠杆菌的概率.

解:由于取水样的随机性, 所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比, 即p=2/400=0.005.

例2.在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子, 从中随机取出10毫升, 含有麦锈病种子的概率是多少?从中随机取出30毫升, 含有麦锈病种子的概率是多少?

解:1升=1000毫升,

记事件A:“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P (A) =0.01, 即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.

记事件B:“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P (B) =0.03, 即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.

三、总结

几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合, 用数形结合的思想解决概率问题.

在几何区域G中随机地取一点, 记事件“该点落在其内部一个区域g内”为事件A, 则事件A发生的概率为:

P (A) =构成事件A的区域长度 (面积或体积) /试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积)

几何概型求解的一般步骤为:

(1) 适当选择观察角度 (一定注意观察角度的等可能性) .

(2) 把基本事件转化为与之对应的区域.

(3) 把随机事件A转化为与之对应的区域.

(4) 根据几何概型的公式计算求解.

几何概型教学案例 篇9

善于解剖概念,强调概念中的关键词语,从中透彻理解其内涵——概念中对象的本质属性,它是概念质的方面,以及其外延——概念的适应范围,它是概念的量的方面.

几何概型是中学数学在概率部分新增的内容,怎样深刻理解几何概型的内涵,使解几何概型问题正确化与简单化,从而不致引入误区?几何概型在苏教版《数学3》(必修)第101页上作了详细的定义,据此,几何概型的内涵是事件的等可能性和无限性,笔者认为这里的“等可能性”是指基本事件出现的机会可能性相等,“无限性”是指基本事件有无限多个,它并不是解决几何概型问题的关键,而主要是用来判断该事件到底是几何概型还是古典概型.同时在苏教版《数学3》(必修)第104页中指出:“由此可见,背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.”话虽然不错,但给人的感觉好像是解决几何概型问题要从基本事件出现等可能的角度去解决.我认为这是完全没有必要的,可以说是把一个简单问题复杂化,将解决几何概型问题引入误区,解决几何概型问题关键仍然是抓好“事件”并将其“几何化”,这就是概念的本质.先来看苏教版《数学3》(必修)第102页例3:如图,在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.这里的一个基本事件是在斜边AB上取一个点M,它符合几何概型定义,所以区域D是线段AB,其测度为线段AB的长度,区域d为线段AC'(AC'=AC),其测度为AC'的长度,所以该事件的概率为.

下面看苏教版《数学3》(必修)第104页第6题:如图,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM

应用一个新的定义去解决问题时,只要抓住定义的本质,弄清它的内涵及外延,深刻理解定义中每句话的含义,对难理解的语句,可以通过实例不断帮助学生理解.如几何概型定义“……事件A发生的概率与区域d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关……”,这里的“与形状和位置无关”,学生不易理解,我们可以举下面的例题:甲乙两人各自在田径场上400米长的跑道上跑步,求在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米(弯道时指跑道上曲线长度)的概率.很显然这是一个几何概型问题,一个基本事件是甲乙两人在跑道上的位置,记“两人在跑道上的距离不大于50米”的事件为A,而事件A发生是甲乙两人在跑道上的距离差不超过50米,可作如下两种角度思考:思考一,先假设甲在跑道上C处(C的位置是任意的),如图1,事件A发生,乙只要在甲前后50米之内,这种思考方法D的测度为400米,d的测度为100米,∴.思考二,为方便计算甲乙之间的距离,我们不妨以跑道上O为起点,与0逆时针方向计算距离,设甲与0的距离为x米,乙与O的距离为y米,事件A发生就是x,y满足

如图2.这种思考方法是将区域D视为正方形,测度是正方形的面积4002 m2,而事件A发生是指落在满足条件不等式组(1)或(2)的区域d内,由线性规划知识,易知区域d是图中阴影部分,其测度为

面的两个思考方法说明解决同一个几何概型问题,思考角度不同,区域D(d)也会有所不同,从而说明事件发生的概率与d的形状和位置无关,只与d的测度成正比.

联想、思考:进入新课程,对概念教学还采用老的“一个定义,几项注意”的方式是很不够的,应给学生提供充分的概括本质特征的机会,明确概念所反映的对象具有什么本质特征,只有对概念的内涵和外延都有了准确的了解,才能说明已经明确了概念.当然一个概念的学习,对概念的理解与掌握,还需在概念课的后继课中不断反复应用,不断加深理解,从根本上改变概念课教学中“单调乏味”及“死记硬背”的错误倾向,引导学生自主发现,归纳总结,正如波利亚指出的“学习最好的途径是自己去发现”.只有这样,才能使学生分析问题和解决问题的能力不断提高.

几何概型常见错误辨析 篇10

例1, 已知直线l过点E (-1, 0) , l与圆C: (x-1) 2+y2=3相交于A、B两点, 则弦AB≥2的概率为____。

另一部分学生认为这道题应该用直线的倾斜角来算。

到底哪种方法正确呢?通过分析, 这道题的试验是过定点作直线, 用倾斜角是均匀的, 而斜率不能均匀, 不满足等可能性。如斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了, 这样前一种方法就错了。

笔者认为以上评析有三点需要纠正。其一, 解法二不能称“用直线的倾斜角来算”, 因为倾斜角的范围是[0°, 180°) , 而应该改成“用以射线EC为始边, 以射线EA为终边所形成的角”来算。其二, “斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了”, 也只有在直线已经过原点时才能这样说。其三, 解法一用直线的斜率作为所表示区域, 王波凤认为“斜率不能均匀, 不满足等可能性。”, 其实例1中直线l的斜率可以这样理解:

解法一错误的真正原因, 应该是选取的空间形成的区域不符合题意。因为根据题意, 直线l应该由过E点与射线EC成不同的角而得到, 并不是在圆C的切线DF上取不同的点而得到。所以纠正后的解法二是正确的。

下面的问题提醒我们要注意几何概型问题的另一类错误。

错因分析:

解法二:开头与解法一相同, 得到x+y=2cos (θ-60°) 后, 根据题意, 射线OC与OA成不同的角就能得到圆弧AB上不同的C点, 并且满足等可能性。所以选取角表示空间形式相应的区域。

著名科学家钱学森在1962年1月4日《中国青年报》刊文指出:“正确的结果, 是从大量错误中得出来的。没有大量错误做台阶, 也就登不上最后正确结果的高座。”。本文关于几何概型问题的两例错解, 确实为问题的正确结果起到了台阶作用。而判断基本事件在相应区域内是否可能出现, 以及选取的空间形式表示的区域是否符合题意则是解题的关键。

参考文献

几何概型测度的确定 篇11

一般来讲，解决几何概型问题可以按以下几步骤进行:① 选择适当的角度观察随机试验的所有基本事件，将其视为一个个不同(位置)的点，这里要注意各个基本事件(点的位置)的发生(取得)应是等可能的;② 找出该试验中所有基本事件(点的位置)所对应(组成)的区域D;③ 找出随机事件A包含的基本事件所对应的区域d;④ 利用公式P(A)=d的测度D的测度来计算A的概率。

在上述过程中，找准测度是至关重要的一步。有时，随机试验中变化(不确定)的就是点的位置，如下面的例2、例4、例5，这样的问题本身就是几何问题，点的变化区域比较容易确定，其测度也比较容易计算。有时，随机试验中变化(不确定)的是代数量的取值，如下面的例1、例3，这样的问题需要经过转化，将代数问题几何化，即通过建数轴或平面直角坐标系或空间直角坐标系等，将代数量用点来表示，然后再确定点的变化区域及其测度。

一、 一维区域

点的变化区域是线段，以线段的长度为测度。

例1 在某地铁站，每隔15分钟有一班列车发出，并且列车出发前在该站停靠3分钟。

(1) 求乘客到达站台后立即上车的概率;

(2) 求乘客到达站台后候车时间大于10分钟的概率。

分析 时间(时刻、时段)是抽象的，可以将它表示(具体)为几何图形(点、线段)，这样便于分析和表达。图1

解 设相邻两班列车到站时刻所对应的点分别为A，B，则线段AB表示两班列车到站相隔的时段，且AB=15。作出相应的图象，如图1。根据列车运行的周期性，可以认为乘客到站的时刻所对应的点等可能地落在AB上的任一点处。

设C为列车发出时刻所对应的点，由于列车到站后、出发前要停靠3分钟，则线段AC=3。

(1) 记“乘客到达站台后立即上车”为事件M，而当乘客到达的时刻t所对应的点落在AC上时，乘客就能立即上车，可知P(M)=ACAB=315=15。

(2) 记“乘客到站后候车时间大于10分钟”为事件N。而要使得事件N发生，乘客就要在列车出发出后与下班列车到来前的10分钟之间到达车站。如图1，设下班列车到来前10分钟的时刻所对应的点为D，则BD=

10，且当乘客到达的时刻t所对应的点落在CD上时，事件N就发生了，因此P(N)=CDAB=15-3-1015=215。

点评 候车问题与时间变量的取值有关，可将时刻抽象为点，时段抽象成线段。因此单个时间变量的问题就可以抽象为一维几何概型问题。

二、 二维区域

1。 以平面图形的面积为测度

点的变化区域是平面封闭图形(限于同学们会求其面积的多边形和圆)内部。

图2

例2 如图2，一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，又留着被雨点打过的痕迹，请估计这个地图的面积。

分析 可认为雨点打在木板上的位置是随机的。数出地图内有9个雨点痕迹，地图外有18个雨点痕迹，可用雨点落在地图内的频率来估计雨点落在地图内的概率，再用此概率来求地图的面积。

解 由题意，雨点落在地图内的概率约为99+18=13，由于正方形木板的面积为1平方米，故所求地图的面积约为1×13=13(平方米)。

点评 本题是一个几何问题，点在平面区域内随机地取位置。如果是已知地图的面积，要求雨点打在地图内的概率，那么这就是一个“典型”的几何概型问题。而本题是它的“逆向”问题，这是本题的特殊之处。实际上，本题为我们提供了一种“估计任意曲线所围成的图形的面积”的方法:用正方形围住这个图形，向正方形区域内抛掷大量散点，那么该图形的面积S=knA，其中k为曲线内的散点数，n为正方形内的散点数，A为正方形的面积。此方法叫作“蒙特卡洛方法”，可以通过计算机模拟来实现。

例3 汤姆和杰瑞两人约定在上午8∶00到9∶00之间在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即离去，试求两人能相遇的概率。(假设他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。)

解 设 x和y分别表示上午8∶00以后9∶00以前两人到达约会地点的时间(以距8∶00的分钟数计)，则两人可能的到达时间可由点(x，y)来表示，且0

建立如图3所示的平面直角坐标系，则点(x，y)的所有可能的结果所对应的区域是图3中的边长为60的正方形。 设“两人能会面”为事件A，为使他们相遇，图3他们的到达时刻之差必须在15分钟之内，这样两人能够会面的条件为|x-y|≤15。故能使两人会面的所有点(x，y)所对应的区域是图3中的阴影部分。故P(A)=602-452602=716。

点评 会面问题涉及两个时间变量，它们都是一维变量，合在一起就是一个二维变量。因此可通过建立平面直角坐标系将其转化为二维几何概型问题。

2。 以平面上的圆弧(或圆周)的长度为测度(等价于以圆心角的角度为测度)

点的变化区域是平面上的曲线段(限于同学们会求其长度的圆弧或圆周)。

例4 一个长与宽不等的长方形被其对角线分成四个区域，如图4。图4在这四个区域中分别涂上四种颜色，在两对角线的交点处装一个指针，使其可以自由转动。对指针停留位置的可能性，下列说法正确的是()

A。 停留在四个区域内的可能性一样大

B。 停留在蓝、白区域内的可能性大

C。 停留在红、黄区域内的可能性大

D。 由指针转动圈数决定

解 指针的针尖不是等可能地停留在矩形内的任一点处，不能用面积作测度。实际上，指针的针尖等可能地停留在以矩形中心为圆心、指针长为半径的圆上的任一点处。因为同一个圆上的弧长之比等于对应圆心角之比，所以可选择角度作为测度(当然也可以弧长为测度)。因为蓝、白区域对应的圆心角比红、黄区域对应的圆心角大，所以指针停留在蓝、白区域内的概率大。选B。

点评 本题中的基本事件为指针的位置，但指针不可以抽象为一个点，它是一条线段。和点不同，若线段在一个平面区域内自由选取，则很难求出其落在某个小区域的概率。但本题中对线段的活动作了一点限制，即它的一端固定在某个点处，也即它只能绕这端自由转动。这样问题就变得容易了，我们只要以指针的另一个端点为考察对象，以它的位置为基本事件即可(只要它确定了，指针的位置就确定了)。考察对象(随机变化的量)为有一定限制的线段(实质上仍是点)，这便是本题的特殊之处。

三、 三维区域

点的变化区域是空间封闭几何体(限于同学们会求其体积的棱锥、棱柱、球等)内部，以空间几何体的体积为测度。

例5 用橡皮泥做成了一个直径为

6 cm的小球，假设橡皮泥中间不小心混入了一粒很小的沙粒，那么这个沙粒距球心不小于1 cm的概率是多少?

解 设“沙粒距球心不小于1 cm”为事件A，球心为O，沙粒的位置为G，则事件A发生就是OG≥1 cm。沙粒可能落在的区域的体积D=43π×33=36π(cm3)。而事件A发生时，沙粒可能落在的区域的体积d=43π×33-43π×13=1043π(cm3)。故P(A)=dD=2627。

类似地，如果遇到三个一维变量在一定范围内随机变化的问题，则可建立空间直角坐标系将其转化为三维几何概型问题。这里不再举例。

综上，解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象(随机变化的量)和其活动范围(随机变化的范围)。常见(可抽象为)的情形有:点在线段上活动，点在平面区域内活动，点在空间区域内活动，点在圆弧(曲线的一种)上活动，点在球面(曲面的一种)上活动。

遇到线段或平面图形在平面区域或空间区域内活动的问题时，一般题设都会对线段或平面区域作一定的限制，要么过定点(即只能旋转)，要么定方向(即只能平移)，等等，这时其实只要考察该线段或平面图形上的某个点，弄清它的活动范围即可。

如果遇到两个点(三个点也不难)分别在线段上自由活动的问题，我们可以把它转化为一个点在矩形区域内自由活动的问题，如例3。但如果两个点分别在圆弧上自由活动呢?情况则稍复杂些。

例6 在圆上任取两点作弦，求弦长小于半径的概率。

解法一 圆是两端相接的线段，故可设其上任一点O为原点，且设其上任一点按顺时针(或逆时针)方向到原点的弧长为该点的坐标。在圆上任取两点A，B，图5设A，B的坐标分别为x，y，则0≤x，y<2πr(r为圆的半径)。

要使弦AB小于半径，则|x-y|<13πr或|x-y|>53πr。建立平面直角坐标系xOy，用平面上的点表示x，y的取值，如图5。可知所求概率为(2πr)2-2πr-13πr2+13πr2(2πr)2=13。 

解法二 圆上两点将圆分成了两段(若分线段则成三段)，设两段弧长分别为x，y，则x+y=2πr且x，y≥0，也即0≤x≤2πr，y=2πr-x。 要使弦AB小于半径，则x<13πr或y<13πr，亦即x<13πr或x>53πr。可知所求概率为(13πr-0)+(2πr-53πr)2πr=13。

解法三 有两个点在圆上自由活动(随机地取位置)，考虑固定一个点。在一个点固定、另一个点在圆上自由活动的情况下，过这两点的弦要小于半径，则动点应在定点左、右各13πr弧长距离的范围内移动，这段弧的长度为23πr，所以其概率为23πr2πr=13。又当定点换到任何其他位置时，这一概率都是13不变。故所求概率为13。

巩 固 练 习

1。 一只小蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，那么任意时刻该小蚂蚁距离三角形三个顶点的距离都大于1的概率是多少?

2。 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在该正三棱锥内任取一点D，求D到底面的距离小于h3的概率。

3。如右图，P为半圆圆弧上的任一点，Q为P在直径AB上的射影，

分别求在下列条件下AP的长度不超过半径OA的概率。

(1) Q在线段AB上的每一点处的可能性相等;

(2) P在半圆圆弧上的每一个点处的可能性相等。

几何概型教学案例 篇12

在解决有关概率问题时,同学们常常由于对概念理解不深刻或忽视某种情形,经常会产生这样那样的误解,因此本文帮助同学们对各种问题进行了误因分析,以便避免。

1 基本概念理解不清致误

例1若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:本题首先是古典概型,但同学们在本题的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念理解不深刻,错误地认为基本事件总数为11(点数和为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),或者将点数和为4的事件错误计算为(1,3),(2,2)两种,从而导致错误。

正解:由题意知,先后掷两次,出现向上的点数记作(x,y),则列举如下:

共36个

∴“出现向上的点数和为4”记为事件A,则A中所含的基本事件为(1,3),(2,2),(3,1)共3个。

“误”与“悟”:古典概型与几何概型。首先同学们应该注意的是题目给出的是要做一种怎样的实验,这是决定为古典概型和几何概型的一个关键,同时也是决定古典概型中基本事件的确定性的一个关键,更是几何概型中选择是面积比、体积比或是距离等等的至关重要的一个区分点,如本题中实验:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,所以基本事件总数为6×6=36,而不是11。

因此,古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题。解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数,这些基本事件必须是等可能的。同时应注意:在涉及到抛掷骰子问题中,将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的,而出现的点数为(a,b)和(b,a)是两种不同的情况,应作为两个基本事件。

2 几何概型中的模型选择不准致误

例2(1)在等腰Rt△ABC中,在线段AB(斜边)上任取一点M,使AM<AC,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)在等腰Rt△ABC中,直角顶点记为C,在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:很多同学看到这两道题目时,感觉是一样的,认为只是相同的题目换一种说法而已,因此导致概念出错,从而直接走向一个误区。理解为几何概型,但不知是几何概型中的长度型的几何概型,还是角度型的几何概型。而区分的关键是把握住题目中所做实验形成的是一种什么样的轨迹。如(1)形成的是长度,而(2)形成的则是角度。由此对(2)得到以下错解:根据题设,点M随机地落在线段AB上,故线段AB为基本事件的区域。当M位于线段上AC′(AC′=AC)时,AM<AC,故AC′线段为所求事件的区域。

正解:(1)∵由于在线段AB上任取一点,等可能分布的是M在AB线段上任意位置(如图1),

∴基本区域应是线段AA′,

(2)由于∠ACB在内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图2所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,

“误”与“悟”:在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性。要根据题意选取正确的几何概型模型进行求解。

3 针对性训练

(1)曲线的方程为其中m,n∈{1,2,3,4,5,6},若事件A:方程表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(3)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷一次,规定“正方体向上的面数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b”,得复数z=a+bi,

(1)若集合A={z襔z为纯虚数},用列举法表示集合A。

(2)求事件“复数在复平面内对应点(a,b)满足a2+(b-6)2燮9”的概率。

解析:(1)古典概型

正解:所有基本事件的个数为6×6=36.

事件A中基本事件为(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(6,1),(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)共15个,

(2)几何概型

正解:在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,

∴点(a,b)构成的是矩形的面积,如图3所示,其面积为S=2。

又记A={直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交}

则即a2+4b2-4ab<a2+b2

∴A中所构成平面区域如图4所示,其面积为

(3)古典概型(1)此题审题要清,b是四面体三个侧面的数字之和。

正解:由题意知,z=a+bi为纯虚数,∴a=0且b≠0

即所有基本事件为(0,6)(0,7)(0,8)(0,9)共4个

∴列举法表示为{6i,7i,8i,9i}

(2)由题意知,所有基本事件的个数为

共24个

若(a,b)满足则所含基本事件为

(3,6)共11个

∴所以所求概率