基本解题策略

2024-08-07

基本解题策略（通用10篇）

基本解题策略篇1

高考理综试卷的第23、24和25题是物理综合题, 在试卷中所占的分数值很大, 它从多方面、多角度、多层次考查学生的能力, 是属于学科内知识的综合题, 求解难度较大.其实, 只要对物理知识比较好的理解和掌握, 对物理综合题的特点有深入的了解和认识, 做好这类试题也是不难的.仔细分析研究近几年的理综试题, 不难发现其试题的特点, 下面就理综物理综合题的“综合”类型进行分类解析, 并对其题型特点及解题策略作一探讨.

一、“过程”型综合题

1.题型特点:

试题按物理事件发生的时间顺序展示问题情景, 与物理规律相关的物理过程多而复杂, 但复杂多变的物理过程又常常具有时间性与阶段性.物理过程的各个阶段, 即各个子过程, 相对总过程来说, 通常要简单得多.

2.解题策略:

把构成过程整体的若干子过程划分出来研究, 简化成若干个简单的子过程, 按时间顺序对物理过程逐步分析, 一个子过程一个子过程地用对应物理规律列出相关的式子, 就可以把问题解决.同时, 要注意前后两个物理过程中各种物理量的链接, 如在运动过程中前一个过程的末速度也是后一过程的初速度等等.

例1 (2008全国卷Ⅰ, 25) 如图1所示, 在坐标系xoy中, 过原点的直线OC与x轴正向的夹角φ =120°, 在OC右侧有一匀强电场, 在第二、三象限内有一匀强磁场, 其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线, 磁场的磁感应强度大小为B, 方向垂直纸面向里.一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域, 并从O点射出, 粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ =30°, 大小为v, 粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧, 且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍.粒子进入电场后, 在电场力的作用下又由O点返回磁场区域, 经过一段时间后再次离开磁场.已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期.忽略重力的影响.求: (1) 粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离;

(2) 匀强电场的大小和方向;

(3) 粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间.

解析: (1) 如图2所示, 设磁场左边界与x轴相交于D点, 与CO相交于O′点, 则直线OO′与粒子过O点的速度v垂直, ∠OO′D = θ =30°.设磁场左右边界间距为d, 则OO′=2d.粒子第一次进入磁场的运动轨迹的圆心即为O′点, 圆弧轨迹所对的圆心角为30°, 且O′A为圆弧的半径R.由此可知, 粒子自A点射入磁场的速度与左边界垂直.

A点到x轴的距离

$\bar{A D} = R (1 - \cos 30 °)$ ①

粒子在磁场中做圆周运动有

$q v B = \frac{m v^{2}}{R}$ ②

联立①②式得

$\bar{A D} = \frac{m v}{q B} (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

(2) 设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T, 第一次在磁场中飞行的时间为t1, 有

$Τ = \frac{2 π m}{q B}$ ③

$t_{1} = \frac{Τ}{12}$ ④

依题意, 匀强电场的方向与x轴正向夹角应为150°.由几何关系可知, 粒子再次从O点进入磁场的速度方向与磁场右边夹角为60°.设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O″, O″必定在直线OC上.设粒子射出磁场时与磁场右边界交于P点, 则∠OO″P=120°.设粒子第二次进入磁场在磁场中运动的时间为t2, 有

$t_{2} = \frac{1}{3} Τ$ ⑤

设带电粒子在电场中运动的时间为t3, 有

t3=T- (t1+t2) ⑥

由匀变速运动的规律和牛顿定律可知

-v=v-at3 ⑦

$a = \frac{q E}{m}$ ⑧

联立③④⑤⑥⑦⑧可得 $E = \frac{12}{7 π} B v$

(3) 粒子自P点射出后将沿直线运动.设其由P′点再次进入电场, 则∠O″P′P=30°.

设粒子在P、P′两点间运动的时间为t4, 有

$t_{4} = \frac{\bar{Ρ Ρ^{'}}}{v}$ ⑨

三角形OPP为等腰三角等.由几何关系知

$\bar{Ο Ρ} = \sqrt{3} R$ ⑩

联立②⑨⑩式得 $t_{4} = \sqrt{3} \frac{m}{q B}$

点评:本题是一道带电粒子在单一电、磁场构成的组合场中运动多阶段的“过程”型综合题, 突出考查学生对电、磁主干知识的运用能力和对问题过程的分析能力.分析得出带电粒子运动经历四个阶段, 画出带电粒子运动的轨迹, 按照物理过程发生的先后顺序分别应用电、磁场知识规律是解决问题的关键.

二、“知识”型综合题

1.题型特点:

试题往往以单一物理模型为知识载体沿纵深方向, 重点考查学生对某一章节重点知识的理解和掌握及其相关应用的方法与技巧, 如涉及万有引力的天体运动问题、涉及动量和机械能的多次碰撞问题、涉及电场的带电粒子在平行板电容器中的偏转问题、涉及磁场的带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题等问题, 求解的难度往往较大.

2.解题策略:

学生对各章节、模块基本知识的熟练掌握是解决这类综合题的关键, 要熟悉常见物理模型解题的常用方法与技巧.同时, 这类问题因从侧面考查学生应用数学知识解决物理问题的能力, 从而要求学生熟悉一些物理试题中常用的数学基本知识.

例2 (2008年全国卷Ⅱ, 25) 我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信息, 让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m, 地球和月球的半径分别为R和R1, 月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1, 月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面, 求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 (用M、m、R、R1、r、r1和T表示, 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响) .

解析:如图3所示, 设O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上, A是地、月连心线OO′与地球、月球表面的公切线ACD的交点, D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点.过A点在另一侧作地球、月球表面的公切线, 交卫星轨道于E点.卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡.

设探月卫星的质量为m0, 万有引力常量为G, 根据万有引力定律有

$G \frac{Μ m}{r^{2}} = m (\frac{2 π}{Τ})^{2} r$

①

$G \frac{m m_{0}}{r_{1}^{2}} = m_{0} (\frac{2 π}{Τ_{1}})^{2} r_{1}$

②

式中T1表示探月卫星绕月球转动的周期.

由①②式得

$(\frac{Τ_{1}}{Τ})^{2} = \frac{Μ}{m} (\frac{r_{1}}{r})^{3}$

③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t, 则由于卫星绕月球做匀速圆周运动, 有

$\frac{t}{Τ_{1}} = \frac{α - β}{π}$

④

式中α=∠CO′A, β=∠CO′B.

由几何关系得

rsinα=R-R1 ⑤

r1cosβ=R1 ⑥

由③④⑤⑥得

$t = \frac{Τ}{π} \sqrt{\frac{Μ r_{1}^{3}}{m r^{3}}} (\arccos \frac{R - R_{1}}{r} - \arccos \frac{R_{1}}{r_{1}})$

点评:本题以“嫦娥一号”探月卫星为背景, 考查学生应用万有引力和圆周运动知识处理天体问题的方法与技巧, 对学生的分析综合能力和应用数学知识处理物理问题的能力要求较高, 画出情景图并从几何角度找出已知量与未知量的关系是解决问题的关键.

三、“信息”型综合题

1.题型特点:

试题以科研新动向、现实生活实例和现代科技应用立意为题干信息, 大部分文字只是基于对生活背景和科技事件的完整性、严密性的必要表述, 其问题的物理实质、物理模型往往较简单, 对知识、能力的要求往往是起点高落点低.

2.解题策略:

问题的解决重在对题意的理解, 对题干信息的分析判断, 要善于获取题干中构成物理问题的物理要素, 即要根据问题的要求和解答目标, 剔除题干中的生产、生活和科技实例中的事件等次要因素, 抓住主要的物理条件和物理关系, 以及主要的物理过程和情景, 把题设问题与熟悉的物理知识联系起来, 把实际问题简化、抽象为恰当的物理模型, 用学过的知识和方法对问题求解.

例3 (2007全国卷Ⅱ, 24) 用放射源钋的射线轰击铍时, 能放出一种穿透力极强的中性射线, 这就是所谓的铍“辐射”.1932年, 查德威克用铍“辐射”分别照射 (轰击) 氢和氮 (它们可视为处于静止状态) , 测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7.0.查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的, 从而通过上述实验在历史上首次发现了中子.假设铍“辐射”中的中性粒子与氢核或氮核发生弹性正碰, 试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量. (质量用原子质量单位u表示, 1u等于一个12C原子质量的十二分之一.取氢核和氮核的质量分别为1.0u和14u)

解析:设构成铍“辐射”的中性粒子的质量和速度分别为m和v, 氢核的质量为mH.构成铍“辐射”的中性粒子与氢核发生弹性正碰, 碰后两粒子的速度分别为v′和v′H.由动量守恒和能量守恒定律得

mv=mv′+mHv′H ①

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v^{´ 2} + \frac{1}{2} m_{Η} v_{Η}^{´ 2}$ ②

由①②式得 $v_{Η}^{´} = \frac{2 m v}{m + m_{Η}}$ ③

同理, 对质量为mN的氮核, 其碰后速度为

$v_{Ν}^{´} = \frac{2 m v}{m + m_{Ν}}$ ④

由③④式得 $m = \frac{m_{Ν} v_{Ν}^{´} - m_{Η} v_{Η}^{´}}{v_{Η}^{´} - v_{Ν}^{´}}$ ⑤

根据题意可知 v′H=7.0v′N ⑥

将上式与题给数据代入⑤⑥式得

m=1.2u

点评:本题以铍“辐射”为信息, 考查学生分析并从题干中提取有用信息的能力.问题涉及的知识要点是动量守恒定律、机械能守恒定律.用两个同一直线上发生弹性正碰小球的物理模型对应问题情景是解决问题的关键.

江西省临川第二中学

谈谈物理解题的基本技巧篇2

关键词：答题技巧；变题；创新能力

学生经过一段时间的高中物理学习，又做过诸多物理计算题，想必总是犯这样或那样的错误。考试时，平时会做得计算题，由于丢分过多而导致不会做。考试结束后，经同学、教师的点拨却恍然大悟，后悔莫及。这样反复几次，学生就失去了做计算题的信心。原来，高中阶段的物理题不像初中物理试题那样简单，初中的题目基本不要绕什么弯，然后高中的题目隐蔽性强，会有很多的前提条件、有很多限制因素、如果我们在解答题目的时候不能够加以分析，就极容易导致错误的解答。对于平时基础知识不扎实的学生来说，可能摸不着头脑。

一、这里我总结了做高中物理题时需要注意的五个字，即“读、思、写、查、纳”，供学生做题时参考

（1）“读”，即是认真读懂题目中每一句话，每一个字，甚至所用的标点符号。题目中的每一句话，就可能阐述了一个物理过程。上题中第一个句号前的应读准“以一定初速度”、“竖直向下”。第二句号前应读准“碰撞弹起”、“上升到20 m高处又下落”，以及括号内的“不计空气阻力、g取9.8 m/s2，保留两个有效数字”，通过这样的读题后，在自己的头脑中就留下了印象，比如在遇到常数 g时该取多少，甚至g在计算过程中有什么作用，无形中就提醒自己去思考，及在计算过程中小数的取舍，不然就会造成整个过程分析有误，小数保留不正确，造成失分，留下遗憾。这个过程结束后，然后才进行第二环节“思”。

（2）“思”，即是思考的意思。期刊文章分类查询，尽在期刊图书馆“以一定初速度”表明初速度不为零；“竖直向下抛出”，表明向下做直线运动；“不计空气阻力”表明小球抛出后只受重力，做加速运动，加速度是多少？只受重力，说明a=g。综上所述，小球做初速度不为零的匀加速直线运动。从数字上看，已知下落的位移、时间、加速度，可以求初速度。第二句话中的“碰撞弹起”说明受到地面弹力和重力作用改变了小球的速度大小和方向。如果知道碰撞时间和碰撞后的速度，可以根据动量定理列式子，“上升到20 m高又下落”说明小球没有回到应有高度，碰撞过程中有能量损失，根据“上升到20 m高”可以求初速度。之后做自由落体运动，与地面第二次相碰，假设每次碰撞损失的能量相同，还可以碰多少次，小球不再上升。通过这样全过程的思考后，才进行下一环节“写”。

（3）“写”即是写出各物理过程符合物理规律的关系式，然后根据关系式解出未知的物理量。这个过程结束后，进行下一环节“查”。

（4）“查”即是检查是否有读题的遗漏，笔误，计算有误的地方。但不是地毯式的搜索检查，而是针对自己做题过程中把握不准的地方进行检查，特别是读题是否清楚，物理过程是否有疏漏的环节，结论的理由是否充分，计算容易出错的地方再演算一下，这都是平时做作业时，有意识地培养的习惯。

当然，以上五步不是绝对独立的，可以边读边思考，但注意最好不要边读边答题。只有全面、细致的思考后再解答，才能比较全面、准确地完成题目要求，否则会造成情绪紧张、失控、发挥失常。只有养成良好的做题习惯，加上扎实的基础知识，才能提高高中物理计算题的得分率。

二、像高考命题一样去研究“变题

如果我们广大物理教师也能象高考命题一样去研究“变题”，那么必将激发学生的学习情趣，培养学生的创造性能力。当然，在研究“变题”时，除了严谨性、科学性以外，还应当注意以下几点：①要与“主旋律”和谐一致。即要围绕教材重点、难点展开，防止脱离中心，主次不辩。②要变化有度。即注意审时度势，适可而止，防止枯蔓过多，画蛇添足。③要因材而异。即根据不同程度的学生有不同的“变题”，防止任意拔高，乱加扩充。

三、“变题”剖析，一题多变，培养学生的创新能力

即改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题。这种新例题是由原来例题改编而来的，称之为“变题”。“变题”已经成为中学物理教学中的热点，每年的“高考”试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变题”。例如，2002年高考《理科综合能力测试》第30题（题略）与1990年《全国普通高考物理试卷》第21题对比可以看出，2002年的第30题是由1990年21题演变而来，但不是机械重复，而是改变条件、改变情景、改变设问，推陈出新。改编例题是一项十分严谨、细致而周密的工作，要反复推敲，字斟句酌。因此，教师如果要对课本例题进行改编，必须在备课上狠下功夫。通过一题多变，“变题”剖析，推动学生思维矛盾运动，激发学生的探索欲望，培养学生的创新能力。在引导学生探索解决问题的过程中，要充分发挥思维定势的积极作用，不断丰富学生的思维模式，让学生从变化中找出不变，注意知识和方法的迁移，训练学生思维的广阔性、灵活性和周密性，培养学生的能动性。

“善”用基本关系解题篇3

辅助角公式针对的实际上是同角的正弦与余弦之“和”结构,这个结构可以把它们集中为单一函数形式,从而方便求出相应的一些性质.

证明如图1,平面β内的△ABC在平面α的射影为△A'BC,作AD⊥BC于D,连接AD.

∵AA'⊥α于A',D∈α,

∴AD在α内的射影为A'D.

又∵AD⊥BC,BCα,

∴A'D⊥BC(三垂线定理的逆定理).

∴∠ADA'为二面角α-BC-β的平面角.

以下从两个基本关系的结构特征联想,构造出基本关系形态,从而运用基本结构关系实现解题突破.

例1已知三棱锥P-ABC,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,设△ABC,△PAB,△PAC,△PBC面积依次为S,S1,S2,S3.求证:S12+S22+S32=S2.

另一方面,过点P作PH⊥面ABC,则有:S1cosθ1+S2cosθ2+S3cosθ3=S(如图3).由前三式代入后一式并消去cosθ1,cosθ2,cosθ3,得到S12+S22+S32=S2.

显然这个证明方法显得十分简洁明了.

练习(2009·湖北)如图4,四棱柱S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤1).求证:对任意λ∈(0,1],都有AC⊥BE.

证明连接BD.

∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.

又∵SD⊥平面ABCD,SD=a,点E是SD上的点,

且DE=λa(0<λ≤1),

∴点E在线段SD上,且不与点D重合,因而BE在平面ABCD内的射影是BD.

∴对任意λ∈(0,1],都有AC⊥BE(三垂线定理).

例谈基本不等式解题的技巧篇4

一、配凑

例1.函数y=x（a-2x）（x>0，a为大于2x的常数）的最大值为 .

解：∵a>2x， ∴a-2x>0. f（x）min=4

则y=x（a-2x）=（2x）·（a-2x）≤（）2=，

当且仅当2x=a-2x，即x=时等号成立，∴ymax=.

例2.（2011年重庆卷·文）若函数f（x）=x+（x>2）在x=a处取最小值，则a=（）

A.1+ B.1+ C.3 D.4

解：∵x>2，∴x-2>0则f（x）=（x-2）++2≥+2=3

当且仅当x-2=，即x=3时等号成立，此时f（x）min=4，a=3，故选择C.

二、“1”的代换

例3.（2015年福建卷·文）若直线+=1（a>0，b>0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）

A.2 B.3 C.4 D.5

解：由已知，得+=1，则a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，

当且仅当a=b=2时取等号，∴（a+b）min=4，故选C.

例4.函数f（x）=+（0<x<）的最小值为

解：∵0<x<，∴1-2x>0，且2x+（1-2x）=1，则f（x）=+=[2x+（1-2x）]（+）=13++≥13+2=25

当且仅当=，即x=时，f（x）min=25.

三、分离常数

例5.函数y=（x>-1）的最小值为

解：y===（x+1）++5

∵x>-1，∴x+1>0，∴（x+1）++5≥2+5=9，当且仅当（x+1）=，即x=1时等号成立，∴x=1时，ymin=9.

四、换元

例6.设a、b、c>0，求证：++≥.

证明：令a+b=x，a+c=y，b+c=z，解得a=，b=，c=则++=++

=（+++++-3）≥（2+2+

2-3）=（2+2+2-3）=

当且仅当x=y=z，即a=b=c时等号成立.

例7.（2009年希望杯数学邀请赛高一第二试卷第Ⅱ类第18题）若+=4，则2x+3y的取值范围是

解：令u=，ν=，则有2x+1≥0，u≥0，3y-2≥0，ν≥0，其中u+ν=4，u2+ν2=2x+3y-1，其中2x+3y-1≥0，

∵u2+ν2=（u+v）2-2uν=16-2uν≤16，且0≤2uν≤=8，

∴u2+ν2∈[8，16]，故2x+3y=u2+ν2+1∈[9，17].

五、串求

例8.（2010年四川卷·文）设a>b>0，则a2++的最小值是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

解：∵a>b>0，令z=a2++

∴z=a2+=a2+≥a2+=a2+≥2=4

当且仅当a=2b=时等号成立，此时zmin=4，故选D.

六、平方

例9.已知sinxcosy=，则cosxsiny的取值范围为

解：∵sin2xcos2y=，∴cos2xsin2y=（1-sin2x）（1-cos2y）=（1-sin2x）（1-）=-（sin2x+）≤-2=

当且仅当sinx=±时，等号成立.∴cosxsiny∈[-，].

七、分类讨论

例10.（2013年天津卷·文）设a+b=2，b>0则+的最小值为 .

解：∵a+b=2，b>0 ∴b=2-a>0，得a<2，令t=+=+.

①当0<a<2时t=+=++≥+2=，

当且仅当=，即b=2a，a=∈（0，2）时，tmin=

②当a<0时，t=--=-+（-）+（-）≥-+2=

当且仅当-=-，即b=-2a，a=-2时，tmin=

综上，∵>，∴（+）min=.

运用基本不等式的解题思路篇5

通过以下举例,谈谈我们的具体做法,与大家商讨。

分析与解答∵x-y≠0,∴由(x-y)(x+y)=(x-y)(x2+xy+y2),得x+y=x2+xy+y2。

将x2+xy+y2配方产生目标“x+y”。

不妨设(x+y)=t,有t=(x+y)2-xy=t2-xy,即t2-t=xy。

再将xy向(x+y)这个目标转化,自然想到

如何证明t>1,这又是我们的解题目标。

事实上,由x>0,y>0知t2-t=xy>0,即t2>t,而t>0,∴t>1。

评注从已知条件出发,联想已学过的法则、定理、盯着目标设法实施有效的转化,在条件与结论之间搭起一座合理化归的桥梁,这是选择解题思路的重要策略。

这就证明了原不等式。

评注从外形结构联想到构造函数,利用函数的单调性是证明不等式的一条途径。

转换角度,若不将展开,如何证明例3的不ab等式呢?

下面又给出三种解题思路。

评注利用不等式中等号成立的条件是妙证不等式的重要技巧之一。

2)如果考虑化分式不等式为整式不等式,采用分析法,就有如下妙证。

浅谈数学解题思路的基本步骤篇6

一、审题

审题就是要准确地认清题目的条件、目标及其“环境”状态, 亦即认识与理解题目, 全面识别信息, 并把握目标方向和具备的“环境”。为解题方案的探索与确定提供必要的信息和灵感。完成这种思维过程。需要以下几点:

1.全面了解题目的文字叙述, 清楚地理解全部条件和目标, 并准确地复述问题, 画出必要的准确图形或示意图。

2.整体考虑题目, 挖掘题设条件的内涵, 沟通条件和条件、条件与结论之间的联系。审清问题的结构特征, 必要时要会将条件或目标进行化简或转化, 以利于解法的探索。

3.探索、发现隐含的条件, 为解题构建良好的环境氛围。

4.判明题型, 预见解题的策略原则。

二、创设情境, 调动思维的积极性

在认真审题之后, 还需要创设问题情境, 用以启发灵感, 调动思维的积极性, 从而为解题的进一步深化和目标实现准备良好的心理条件。在学生百思不得其解的时候, 不妨经常地提醒他们, “你是否已将题目认真地读过一两遍?”“条件是什么?结论是什么?”“已知量是什么?未知量是什么?”“你可以联想到什么或者还能推导出什么结果来?”“主要条件是什么?有关的定理、公式你熟悉吗?能写出来吗?定理所确定的图形能画出吗?”“是否需要辅助线, 是否需要辅助元?”“能用换元法吗?反证法吗?”“字母的限定范围考虑了吗?”“与这一问题相近的问题解答过吗?”等等, 通过这样不断的设问, 再根据你的设问引导学生去思考, 也许有一问会触动学生的神经, 诱发他们的灵感, “噢, 原来是这样的”!

三、探求解题方案

分析解题思路、探求解题途径是我们的首要任务, 要很好的完成, 需要按以下要求进行:

1.掌握解题程序。将解题过程程序化, 使我们对解题过程有一个有序的框架, 形成一种思维定势和化归趋势, 做到目标清楚, 思维方向明确。

2.根据审题提供的依据, 很好地制定解题策略, 探索解题方向, 通过命题的转化, 沟通靠拢条件, 把所面临的问题逐步靠拢和转化为既定解法和程序化、熟悉化的规范问题, 然后利用已知的理论、方法和技巧, 实现问题的解决。除此, 在确定解题策略、实施问题转化时还应遵循以下原则:

(1) 简单化原则——要求有利于把复杂的问题或复杂的形式转化为较简单的问题或较简单的形式。

(2) 熟悉化原则——要求有利于把问题转化为有关熟悉问题。

(3) 具体化原则——要求能使问题中的多个概念及它们之间的关系明确、具体。

(4) 正难则反原则——要求正面探索困难时可考虑反面, 直接解不行时可考虑间接解、顺推不行时可考虑逆推, 进不成时可考虑退, 可能性判定无路时可考虑不可能性的判定。

四、解题

解题是指从已知条件出发, 采用恰当的方法, 通过使条件与结论之间的联系及对解题策略的设想逻辑化, 进而实施解题方案, 落实解题过程, 求得结果, 达到目的。在解题过程中, 我们经过认真审题, 探明了解题途径, 确定了解题方法, 明确了解题思路后, 还要进一步去达到正确、合理、简捷、清楚、完满地表达出问题的解决过程, 这就要求我们理顺思路, 有理有据地按逻辑规律由已知条件出发, 逐步推演、转化, 进行有序、合理、正确地推理、运算、作图, 建立起已知到结果的清楚简明、完善的通路, 实现问题的解决。

五、回顾与探索, 检验与深化

解题完成之后, 要重视回顾与探讨, 分析与研究。反思环节是学生提高数学能力的一条捷径, 有了反思要求, 我老师就不会出现一味强调反复操练的盲目性;有了反思, 学生就会既见树木, 又见森林, 就很容易把数学过程对象化, 而不只是把数学看作只是一些过程, 一些细枝末节;有了反思, 就不停留在把过程、法则, 当作无意义的符号游戏的认识上;有了反思, 使学生的学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上, 知道还有更重要的东西要学, 那就是数学思维方法、数学语言的学习。因此, 我要提高教学质量, 关键在于“指导学生将注意力转移到数学过程和自己的解题过程的反省上来”。反思环节的实施, 是消灭“题海战术”, 减负增效, 进行素质教育的有效途径。

强化错题反思, 将错题回收, 归类、综合分析、反思后再选好习题, 有针对性的解题教学是避开题海战术的最佳法宝, 往往事半功倍。我曾经在初三第二轮复习课时做过错题回收教学实验, 效果不错, 其中学生张宗帅感受最深, 他到了高中一直使用“错题回收”法宝, 并告诉我, 读高中数学资料买得少, 花的时间最少, 学得最轻松, 数学科的成绩特好。

基本图形在数学解题中的巧用篇7

1. 巧用线段图解题

例1：甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇，相遇后两列车继续前进，到达目的地后又立即返回;第二次相遇在离B地55千米处，求A、B两地的路程。

分析与解：本题属行程问题，涉及路程、速度、时间三个基本量，直接利用这三种基本数量关系去求解问题比较困难;把A、B两地看成一条线段的两个端点，构造线段图来辅助分析问题。

由上图中，用实线、虚线分别表示甲、乙两列火车的行程，就可以看出甲、乙两列火车第一次相遇共合走一个全程。在第一次相遇时，甲车行了75千米。从第一次相遇到第二次相遇，两车一共行了三个全程，那甲车就行了三个75千米，即225千米。从线段图中，我们还可以知道甲车一共行了一个全程多55千米，因此用225千米减去55千米就是A、B两地的路程，即A、B间的路程为170千米。

一幅简简单单的线段图，把看似复杂、难以理解的数量关系揭示得清清楚楚，通过直观的观察及简单的计算就解决了问题。

延伸：线段图也常用于解决几何数学中的计数问题、应用题中的工程问题等。

2. 巧用数轴来解题

例2：方程|x-2|+|x-3|=1的实数解的个数有(%%)。

A.2个%B.3个%C.4个%D.无数个

分析与解：在数学教学中，我们经常发现：学生会用分段讨论的方法来求解方程，比如从x<2, 2≤x≤3, x>3三种情况一一讨论，先去绝对值符号再求解方程。由方程左边的式子的结构特征，我们容易联想到数轴上两点间的距离公式，若实数x1、x2分别对应数轴上的两点A、B，则|x1-x2|=|AB|，即两个实数之差的绝对值等于它们在数轴上所表示的点的线段的长，借助数轴直观解释|x-2|+|x-3|=1的几何意义为：数轴上表示数x的点到表示数2、3的两点的距离之和为1。

由图形可知，与表示数2、3的点的距离之和为1的点位于表示数2、3的两点之间，区间[2,3]内的所有点均符合条件，故选D。

一条数轴，一个学生十分熟悉又简单的几何图形，把本要分若干情况一一去讨论求解的问题，进行了形象化的处理，十分容易地找到了方程的解。

延伸：代数式的化简、不等式(组)的求解等问题，也常用数轴来辅助分析解决。

3. 巧用辅助圆来解题

例3：已知a是一个锐角，试比较sinα、cosα的差与1的大小。

分析与解：本题中如果α是一个特殊的角，如α=30°，则学生可通过具体的计算来比较，但本题α的大小未确定，故通过直接计算来比较大小有困难。取一单位圆，根据三角函数定义可知：

显然PM-OM

∴sinα+cosα<1。

从上可知：通过构造单位圆这一基本图形，把原本看似很难入手的大小比较问题，转化为用三角函数的定义来分析比较，从而使问题获得顺利解决。

延伸：辅助圆分析法也常用于三角函数求值、公式推导与证明等问题。

例4：体育委员在班会上统计核对参加运动会的人数：“哪些人参加长跑项目的?”这时有15人举手;“哪些人参加跳远?”这时有13人举手;“哪些人参加投掷的?”这时有14人举手;“哪些人长跑、跳远两个项目都参加的?”举手的有4人;“哪些人跳远、投掷两个项目都参加?”举手的有5人;“哪些人是跑步、投掷两个项目都参加的?”举手的有6人;“哪些人是三个项目都参加的?”举手的有2人;“哪些人参加本次运动会比赛的?”举手的有28人，请你检查一下，体育委员的统计是否有误?

分析与解：本题由于题中涉及的数据较多，数量关系较为复杂，一时难以理清楚。由已知条件，用韦恩图来表示：A、B、C分别表示参加长跑、跳远、投掷的人数，从图中可知：

A、B的重合部分为a, B、C的重合部分为b;A、C的重合部分为c, A、B、C的重合部分为x;参加比赛的总人数可表示为：

A+B+C- (a+b+c) +2x=15+13+14-4-5-6+2×2=31 (人) , 与两题中已知参加比赛的共28人不一致, 故体育委员的统计有误。

以圆为基本单位的韦恩图表示法，具有形象、直观的特点，它能帮助深刻地理解题意，理清不同对象间的多种数量关系，使看似繁杂的问题变得简单。

延伸：在概率的计算、处理集合等问题时，我们也常借助韦恩图来分析解决。

4. 巧用矩形图来解题

例5:求代数式的值 (结果用n表示) 。

分析与解：当n为2、3、4等一些相对较小的数值时，代数式的求值可通过直接计算进行;考虑到题中n值未定，用直接计算的方法求代数式的值显然有困难;作一边长为1的正方形，按图示进行一次一次分割，由图示易知：

一次分割:

二次分割:

三次分割:

……

n次分割:

本题借助于正方形，利用数形结合，巧妙地把一个数学难题转化为可以直观求解的图形分割问题，并利用图形中隐藏的图形变换规律以实现问题的解决。

延伸：矩形图在数学公式的推导、法则的证明等方面(如平方差公式、完全平方公式、多项式乘法法则等)也有广泛的应用。

5. 巧用曲线图解题

例6：方程=x2-x-2的正数解有(%%)个。

A.0%B.1%C.2%D.3

分析与解：本题若要通过正面求解方程来确定正数解的个数，既繁又难。注意到方程左边是，右边是x2-x-2，如果转化成图形语言，构造双曲线y= (x>0)及抛物线y=x2-x-2，如右图所示，那么可知在第一象限内，抛物线与双曲线的交点有且只有1个，即方程的正数解有且只有1个，故选B。

函数图像能直观地刻画变量间的对应关系，进而反映出函数的有关性质。本题运用函数图像来解决方程的解的问题，形象、生动、简便。

延伸：曲线图在处理日常生活、数学中的函数与方程、函数与不等式等问题上也常有广泛的应用。

数学基本图形众多，不同的图形有不同的性质，呈现的是不同的数学语言，体现的是各自特有的图形功能。在数学解题教学中，从已知条件的数字特征、代数式的特点及特定的数量关系等角度去充分挖掘它们所具有的几何意义，引导学生借助数学基本图形的形象性、直观性来解题，不仅有助于激发学生的学习兴趣，提高学生的解题效率，而且对发展学生的数学思维能力、培养学生的创新意识也具有重要的现实意义。

参考文献

[1]何军.浅谈图形语言在解题中的应用.数学通报, 2008, (7) .

[2]马小为.中学数学解题思想方法技巧.陕西师范大学出版社, 2006.11.

化归与转化思想解题的基本途径篇8

化归与转化的原则是:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题;将抽象的问题转化为具体的直观的问题;将复杂的问题转化为简单的问题;将一般性的问题转化为直观的特殊的问题, 将实际问题转化为数学问题, 使问题便于解决.一般运用化归与转化的思想解题有以下的途径:

一、借助函数进行转化

例1 设a, b, c∈R., 且它们的绝对值不大于1, 求证ab+bc+ca+1≥0

分析直接证明比较困难, 观察不等式的结构特点, 构造函数f (a) = (b+c) a+bc+1, 该题则转化为证明当|a|≤1时, f (a) ≥0恒成立, 然后用一次函数的性质来完成证明.

证明设关于a的函数f (a) = (b+c) a+bc+1, 由题设知-1≤a≤1, -1≤b≤1, -1≤c≤1.

(1) 若, 则a+c≠0是f (a) 关于a的一次函数.由于f (1) =b+c+bc+1= (b+1) (c+1) ≥0, f (-1) =- (b+c) +bc+1= (1-b) (1-c) ≥0, 由一次函数f (a) 的单调性知, 当|a|≤1时f (a) ≥0成立, 即ab+bc+ca+1≥0.

(2) 若b+c=0, 则f (a) =-b2+1≥0.

综上可知, 总有ab+bc+ca+1≥0

二、借助方程进行转化

例2 在ΔABC中, sinA≠sinB, 且 (sinC-sinA) 2-4 (sinA-sinB) (sinB-sinC) =0

求证:undefined

证明由于sinA≠sinB, 构造二次方程

(sinA-sinB) x2+ (sinC-sinA) x+ (sinB-sinC) =0

由条件Δ=0, 所以方程有两个相等的实根1. 由韦达定理得:undefined

所以undefined

所以undefined, 所以undefined即undefined

点评看到这个题, 自然会想到直接将条件进行变形, 那么就会相当复杂.而借助于二次方程并利用韦达定理, 很快得到熟悉的等式2sinB=sinA+sinC, 从而使问题得到解决, 方法比较独特.

三、借助特殊的数与式的结构进行转化

例3 若α、β、γ均为锐角, 且满足cos2α+cos2β+cos2γ,

求证:undefined

证明由题设条件, 易联想到长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成角的余弦的平方和为1, 于是以a, b, c为长、宽、高构造长方体AC1, 设对角线AC1与棱AD, AB, AA1所成的角分别为α、β、γ, 则undefined, 同理可得undefined三式相乘得undefined.

四、借助几何图形进行转化例4 已知α, β, γ满足cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0, 求证:

cos3α+cos3β+cos3γ=3cos (α+β+γ) ,

sin3α+sin3β+sin3γ=3sin (α+β+γ) ,

分析观察条件与结论的结构, 可置于单位圆内处理, 故引入单位圆, 并设单位圆上三点A (cosα, sinα) 、B (cosβ, sinβ) 、C ( (cosγ, sinγ) , 于是可知ΔABC的外心为坐标原点.

证明设A (cosα, sinα) 、B (cosβ, sinβ) 、C (cosγ, sinγ) , 于是可知ΔABC的外心为坐标原点.

又设G (x, y) 为ΔABC的重心, 则undefined

因此G也为坐标原点, 它与ΔABC的外心重合, 所以ΔABC是正三角形.

所以undefined

基本解题策略篇9

1.基本面法

以基本面为研究平台来解决空间图形问题的方法，称为基本面法.当把已知量和未知量集中转移到某个平面（即基本面），或者把已知量和未知量比较集中的平面作为基本面，把其它量看成是这个基本面的相关量时，就使问题研究有了依托，使问题的解决有工具可寻，从而大大降低了论证的难度.

例1如图1，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面

BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）.

A.[1，52]B.[324，52]

C.[52，2]D.[2，3]

解析取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M、A1N、MN，容易证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M=A1N=52，所以当点P位于M、N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O=（52）2-（24）2=324，即324≤A1P≤52.故选B.

点评把空间问题转化为平面问题来解决，是立体几何中的重要思想方法.本题抓住平面A1MN为基本面，将题目中的条件进行恰当地转移，使之相对集中在该面上，从而把空间问题转化为平面问题，有效降低了解题的难度.

2.折展法

将空间图形平展成平面图形，或者将平面图形翻折成空间图形，在翻、展的过程中通过对图形中各种元素的变化与不变量的研究，使得空间图形的有关问题得以解决，称为折展法.折展法体现了平面与空间的相互转化，是训练学生空间想象能力的极好素材.

例2如图2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（）.

A.43 B.45

C.52 D.53

解析如图3，将直角三角形A1C1P绕PC1旋转（A1→D），使该三角形与侧面BCC1B1共面，则 CP+PA1的最小值即为CD的长度.注意到，∠CC1B=45°，∠A1C1B=90°，故∠CC1D=135°，由余弦定理可得CD=52.选C.

点评本题也可以连接A1B，将△CBC1绕BC1旋转（C→D），使该三角形与△A1BC1在同一个平面内，连接A1D，图4，则A1D的长度就是所求的最小值，同理可得A1D=52.解决这种问题的关键是必须判断在翻折前后哪些元素的位置关系或数量关系没有发生变化，特别是要检查在翻折过程中相关元素与折痕的位置关系以及相关元素在翻折前的位置与翻折后的位置情况.

3.构造法

明确几何体的结构特征，联想熟知的数学模型，通过恰当地构造空间图形，架起一座连接条件和结论的桥梁，将原问题化归为一个等价的较易解决的问题，这种方法就是构造法.构造法体现了转化与变换的数学思想，也是整体化解题策略的体现.

例3已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）.

A.233 B.433 C.23 D.833

图5解析由题意知AB与CD为异面直线且处于球心O两侧，分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，并构造如图5所示的长方体，设长方体的底面边长分别为a、b，体积为V，两个圆面之间的高度易得23，则VA-BCD=13V=13ab·23=233ab，又由a2+b2=4≥2ab得ab≤2，则VA-BCD≤433，故选B.

点评本题巧妙地将AB、CD转化到上、下两个矩形的对角线上，从而构造长方体，体现数学图形的构造与转化.对于相似的构造，我们常将正四面体转化到正方体中去求解，可以起到事半功倍的效果.

4.割补法

把一个复杂的图形分割成几个简单图形，或把不易求解的图形分割成易于求解的若干图形，对一个空间图形进行补形，使之补形后成为一个熟知的、易求解的几何体，以便于求解，称为割补法.其中对几何体进行补形，本质上也是一种构造法.

例4平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1垂直于三角形B1AC所在的平面，BD1=a，△B1AC的面积为S，则平行六面体的体积是（）.

A.12aSB.13aSC.49aSD.23aS

解析如图6，只要连结A1C1、AC1，便不难得知平行六面体ABCD-A1B1C1D1被分割成6个与三棱锥B-ACB1等体积的三棱锥.设BD1与面B1AC交于K，则显然B1、K与平行四边形ABCD对角线的交点三点共线，且

BKKD1=12，即BK=a3.又因为BD1⊥平面B1AC，所以VB-ACB1=13S·13a=19aS，从而得平行六面体的体积V=23aS.选D.

点评“割”的指导思想是：化陌生为熟悉，化繁杂为简单.本例将平行六面体切割成三棱锥进行相关计算，使体积的计算大为简捷，解答的效率大为提高.

例5三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，斜边AB=10，侧面PAB和PAC都垂直于底面，它们所成的二面角是30°，侧面PBC和底面成60°角，则三棱锥相对棱AC和PB间的距离为（）.

A.3102B.433C.563D.73

解析根据已知条件，可将三棱锥补成如图7所示的长方体ACBD-PC′B′D′，则∠BAC=30°，∠PCA=60° .显然，AC∥平面PC′BD，故AC与PB间的距离即为AC到平面PC′BD的距离，亦即C点到平面PC′BD的距离.注意到平面PC′BD⊥平面B′C，故过点C作CM⊥BC′，于是CM⊥平面PC′BD，所以所求距离又转化为C到BC′的距离.在直角三角形ABC中，得BC=5，AC=53；在直角三角形PAC中，得PA=CC′=15.在直角三角形BCC′中，BC′=BC2+CC′2=510，则CM=BC·CC′BC′

=3102.选A.

点评分割和补形是对立的统一，其目的都是为了简单化、直观化.相对于熟知几何体的某些缺失，本例将所求几何体适当的补形，使其补形后成为一个易于计算和观察的长方体，从而使思维的抽象性大大降低，推理和计算的难度大大减少.

5.等积法

在保持几何体体积不变的前提下，通过变换几何体的顶点和底面的位置达到解题目的的方法，称为等积法.常用的等积变换有三棱锥等积变换和平行六面体等积变换.

例6如图8，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E为CC1的中点，O为下底面正方形的中心，则三棱锥O-A1B1E的体积是（）.

A.12B.16

C.20D.24

解析作OM∥A1B1，交BC于M，则OM∥平面A1B1E，所以VO-A1B1E=VM-A1B1E=VA-MEB1=13×4×S△MEB1=13×4×（4×8-12×8×2-12×4×2-12×4×4）=16.

点评本例作出OM∥A1B1，可谓“明修栈道，暗渡陈仓”，把求VO-A1B1E的问题利用等积变换为求VA-MEB1，大大缩短了思考的过程.

6.函数方程法

通过设未知量，列方程或建立函数关系将立体几何问题转化为方程问题或函数问题来研究，称为函数方程法.

例7一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上，已知正三棱柱底面边长为2，则该三角形斜边长是（）.

A.3 B.22 C.23 D.32

解析如图9，等腰直角三角形CDE的三个顶点在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上（直角顶点为D），过D作DF⊥AA1，垂足为F，显然，直角三角形EFD与直角三角形DBC全等.设BD=x，则AE=2x，在直角三角形DBC中，DC2=4+x2，在直角三角形EAC中，EC2=4x2+4，由EC2=2DC2，得4x2+4=2（4+x2），解得x=2，从

而EC=23.

故选C.

点评函数方程法解决立体几何的最大特点是将形的问题转化为数的问题来研究，其中，列出方程进行计算，多用于判断几何元素之间的位置关系和数量关系，而建立目标函数，多见于解决立体几何中的最值问题.

7.特例法

运用满足题设的某些特殊点、特殊位置、特殊图形等对各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选择真伪的方法，称为特例法.

例8已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）.

A.b≤c≤aB.a≤c≤b

C.c≤a≤bD.c≤b≤a

解析在如图10所示的单位正方体中，上、下底面分别记为α、β，直线m即AD1，直线n即BD，显然

点A、B之间的距离为a=3，点A到直线n的距离为b=2，直线m和n的距离为c=1，则c

点评本题利用特殊位置加以分析求解，简洁明了，特例法对巧解“秒杀”选择题，往往能起到事半功倍的作用.

8.极限法

立体几何选择题中有一些任意选取或者变化的元素，对这些元素趋向于某个极限问题或变化到某个极端位置的状况进行估算，并以此估算为基础，判断选择的结果.这种通过动态变化，通过极端取值的方法称为极限法.

例9设三棱锥的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，它们中的最大一个为S，记λ=S1+S2+S3+S4S，则λ一定满足（）.

A.2<λ≤4B.3<λ≤4

C.2.5<λ≤3.5D.3.5≤λ<5.5

解析首先考虑一个特殊情形：当三棱锥是一个正四面体时，四个面的面积相等，则S1=S2=S3=S4，这时λ=S1+S2+S3+S4S=4.再考虑一个极限情形，设S1、S2、S3、S4中S4最大，即S4=S，若面积为S所对应的高h→0，这时有S1+S2+S3→S，此时λ=S1+S2+S3+S4S→S+SS=2，由以上可知，2<λ≤4.

故选A.

点评在立体几何中对一些判断范围型题目，恰当运用极端位置或极限思想，能较迅速解决问题，功效十分奇特.

运用牛顿第二定律解题的基本方法篇10

运用牛顿第二定律解题时, 若遇到研究对象是两个或两个以上相互作用的系统, 当已知系统的外力, 则由整体法求加速度, 用隔离法求内力;若已知系统的内力, 则由隔离法求加速度, 用整体法求外力.

例1 (2004年上海物理卷考题) 物体B放在物体A上, A、B的上下表面均与斜面平行 (如图1所示) , 当两者以相同的初速度靠惯性沿光滑固定斜面C向上做匀减速运动时, ( )

(A) A受到B的摩擦力沿斜面方向向上

(B) A受到B的摩擦力沿斜面方向向下

(D) A、B之间是否存在摩擦力取决于A、B表面的性质

解析:设斜面C的倾角为α, 以A、B整体为研究对象, 由牛顿第二定律求得整体的加速度为 a=gsinα.假设A、B之间有摩擦力, 且为 f, 再隔离物体B, 由牛顿第二定律得:

f+mBgsinα=mBa,

代入 a 得 f=0, 所以选项 (C) 正确.

例2 (2006年江苏物理卷考题) 如图2所示, 物体A置于物体B上, 一轻质弹簧一端固定, 另一端与B相连, 在弹性限度范围内, A和B一起在光滑水平面上作往复运动 (不计空气阻力) , 并保持相对静止.则下列说法正确的是 ( )

(A) A和B均做简谐运动

(B) 作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比

(D) B对A的静摩擦力始终对A做正功而A对B的静摩擦力始终对B做负功

解析:以A、B整体为研究对象, 在光滑水平面上水平方向受到合力为弹簧的弹力, 所以一起做简谐运动, 即选项 (A) 正确.同时对整体由牛顿第二定律得:

加速度为 $a = \frac{k x}{m + Μ}$ ,

再隔离物体A, 由牛顿第二定律得所受摩擦力大小为:

$f = m a = m \frac{k x}{m + Μ}$ , 故选项 (B) 正确.

B对A的静摩擦力对A做功, 而A对B的静摩擦力对B也做功, 所以选项 (C) 错;B对A的静摩擦力并不是始终对A做正功, 而A对B的静摩擦力也并不是始终对B做负功, 故选项 (D) 错.

二、从表达式看, 有分解力和分解加速度

牛顿第二定律F=ma 是矢量式, 加速度的方向与物体所受合外力的方向相同.在解题时, 可以利用正交分解法进行求解.既可以分解力, 也可以分解加速度.

例3 如图3所示, 电梯与水平面夹角为30°, 当电梯加速向上运动时, 人对梯面压力是其重力的6/5, 则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍?

解析:对人受力分析, 他受到重力 mg、支持力FN和摩擦力Ff作用, 如图3所示.取水平向右为 x 轴正向, 竖直向上为 y 轴正向, 此时只需分解加速度, 据牛顿第二定律可得:

Ff=macos30°, FN-mg=masin30°.

因为 $\frac{F_{Ν}}{m g} = \frac{6}{5}$ , 解得 $\frac{F_{f}}{m g} = \frac{\sqrt{3}}{5} .$

例4 (2000年上海物理卷) 风洞实验室中可产生水平方向的, 大小可调节的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室.小球孔径略大于细杆直径.如图4所示.

(1) 当杆在水平方向上固定时, 调节风力的大小, 使小球在杆上作匀速运动, 这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍.求小球与杆间的动摩擦因数.

(2) 保持小球所受风力不变, 使杆与水平方向间夹角为37°并固定, 则小球从静止出发在细杆上滑下距离S所需时间为多少? (sin37°=0.6, cos37°=0.8)

解析:依题意, 设小球质量为 m, 小球受到的风力为F, 方向与风向相同, 水平向左.当杆在水平方向固定时, 小球在杆上匀速运动, 小球处于平衡状态, 受四个力作用:重力G、支持力FN、风力F、摩擦力Ff, 如图4所示.

由平衡条件得:

FN=mg, F=Ff, Ff=μFN.

解上述三式得:μ=0.5.

同理, 分析杆与水平方向间夹角为37°时小球的受力情况:重力G、支持力FN1、风力F、摩擦力Ff1, 如图4所示.根据牛顿第二定律可得:

解上述三式得

$a = \frac{F c o s θ + m g s i n θ - F_{f 1}}{m} = \frac{3}{4} g .$

由运动学公式, 可得小球从静止出发在细杆上滑下距离S所需时间为:

$t = \sqrt{\frac{2 S}{a}} = \frac{2 \sqrt{6 g S}}{3 g} .$

三、从物理过程看, 有解析法和图象法

牛顿第二定律是处理力与运动的核心知识, 但物体的受力过程和运动情况既可以用代数方程表示 (即解析法) , 也可以用图象法形象表示.

例5 (2004年全国理综合考题) 一小圆盘静止在桌布上, 位于一方桌的水平桌面的中央.桌布的一边与桌的AB边重合, 如图5所示.已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1, 盘与桌面间的动摩擦因数为μ2.现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面, 加速度的方向是水平的且垂直于AB边.若圆盘最后未从桌面掉下, 则加速度 a 满足的条件是什么? (以 g 表示重力加速度)

解析:圆盘的运动可以分为两个阶段:由于桌布以恒定加速度 a 做加速运动, 圆盘在桌布的带动下 (受桌布提供的滑动摩擦力的作用) 也做加速运动, 要使两者之间发生相对运动, 显然有 a>μ1g (圆盘的加速度) ;当圆盘离开桌布后, 圆盘已获得了一定的初速度, 在桌面上做匀减速运动, 直至停止, 根据圆盘未从桌面掉下的临界条件的分析, 其临界状态是盘子最后刚好停在桌边, 恰好不掉离桌面.此题有两个物理过程:盘先在桌布上做初速为零的匀加速运动, 滑动摩擦力μ1mg为动力, 后在桌面上做匀减速运动直至停止, 滑动摩擦力μ2mg 为阻力.

解法1:代数法求解

设圆盘的质量为 m, 桌长为 l, 圆盘在桌布上做加速运动的加速度为 a1, 则

f1=μ1mg=ma1,

桌布抽出后, 圆盘在桌面上做匀减速运动, 以 a2 表示圆盘的加速度的大小, 有

f2=μ2mg=ma2.

设圆盘刚离开桌布时的速度大小为 v, 离开桌布后在桌面上再运动距离 s2 时停止, 有

v2=2a1s1, v2=2a2s2,

盘没有从桌面上掉下的条件是 $s_{2} \leq \frac{l}{2} - s_{1}$ ,

由以上各式解得

a≥[ (μ1+2μ2) /μ2]μ1g.

解法2:v—t 图象法求解

由题意作 v—t 图如图6所示, 根据图象可知, OA直线表示桌布在从圆盘下抽出前的速度随时间 t 的变化关系, OB直线表示圆盘加速的情形, BD直线则表示圆盘减速时的情形, v 曲线与 t 轴之间的面积大小在数值上等于相应时间内的物体的位移大小, 故有

$S_{△ Ο A B} = \frac{1}{2} (a t_{1} - μ_{1} g t_{1}) t_{1} = \frac{l}{2},$

$\begin{array}{l} 解得 ∶ t_{1} = \sqrt{\frac{l}{a - μ_{1} g}} . \\ S_{△ Ο B D} = \frac{1}{2} (t_{1} + t_{2}) μ_{1} g t_{1} \leq \frac{l}{2} ‚ \end{array}$

又 v=μ1gt1=μ2gt2,

解得 a≥[ (μ1+2μ2) /μ2]μ1g.

四、从临界问题看, 有假设法和极限法

有些用牛顿第二定律求解的问题, 隐去了研究对象状态变化的现象, 或者表面上给出状态变化的现象, 但还有一部分现象被掩盖了.因此处理这类问题一般由极限法分析, 然后由假设法求解.

例6 如图7所示, 两细绳与水平的车顶面的夹角为60°和30°, 物体的质量为 m.当小车以大小为2g 的加速度向右匀加速运动时, 绳1和绳2的张力大小分别为多少?

解析:本题的关键在于绳1的张力不是总存在的, 它的有无和大小与车运动的加速度大小有关.用极限法分析, 当车的加速度大到无穷时, 物块会“飘”起来而导致绳1松弛, 没有张力.

假设绳1的张力刚好为零时, 有

所以 $a_{0} = \sqrt{3} g .$

因为车的加速度2g>a0, 所以物块已“飘”起来, 则绳1和绳2的张力大小分别为

$\begin{array}{l} F_{Τ 1} = 0 ‚ \\ F_{Τ 2} = \sqrt{(m a)^{2} + (m g)^{2}} = \sqrt{5} m g . \end{array}$

例7 如图8所示, 光滑球恰好放在木块的圆弧槽中, 它的左边的接触点为A, 槽的半径为R, 且OA与水平线成α角.通过实验知道:当木块的加速度 a 过大时, 球可以从槽中滚出.圆球的质量为 m, 木块的质量为M, 各种摩擦及绳和滑轮的质量不计, 则木块向右加速度 a0 最小为多大时球才离开圆槽.

解析:用极限思维将 a 推向两个极端:当 a 较小时 (a→0) 时, 球受到重力和支持力, 支持力的作用点是最底端;当 a 足够大时, 支持力的作用点移到A点, 球即将离开圆弧槽, 此状态为临界状态.分析小球受力如图9所示.

由牛顿第二定律可得

mgcotα=ma0,

解得 a0=gcotα.

显然, 当木块向右的加速度 a 至少为 gcotα时, 球离开圆槽.

【基本解题策略】推荐阅读：

解题基本步骤11-17

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