加法运算律

加法运算律（精选7篇）

加法运算律 篇1

《教学月刊》2015年第6期刊载了张奠宙和戎松魁两位教师撰写的《正本清源, 通过“数数”活动理解运算律》文章, 文章的副标题是:“关于加法和乘法交换律的讨论” (以下简称《正》文) 。笔者也曾撰文写过关于对加法交换律和结合律教学思考的文章, 并在课堂教学中实践过, 收到很好的教学效果。拜读《正》文后, 深受感触, 受两位教师文末的“六个”观点的启发, 又一次引起了笔者对苏教版教材“运算律”单元教学的思考。

苏教版教材在四年级下册把“运算律”单设单元, 来完成加法和乘法的5个定律, 单设单元集中教学几个“运算律”, 其目的是便于学生系统学习, 集中体现用字母表示几个运算规律的概括性和简洁性。但是笔者以为, 此时没有必要再花时间和创设情境来让学生经历几个运算律的发现、猜想和验证的过程。因为学生在一、二年级时, 对加法和乘法的意义以及几个运算律已经积累了一定的经验, 只不过这时的经验是感性的、模糊的、零碎的, 仅需要教师提供回顾、梳理、归纳和概括的平台, 让学生借助加法和乘法的意义, 从本源上来说清道理, 从“运算律”生长的“根”上来理性地分析。

一、基于学生对“运算律”已有认知经验的分析

笔者以为, 在学习交换律之前, 学生对加法和乘法的交换律的认知并不是一张空白纸, 如在一年级加法单元教学, 不同版本教材都创设学生熟悉的生活情境, 让学生在解决问题的过程中来建构加法意义和各部分名称。以苏教版教材为例:

教材创设了小朋友浇花的情境, 学生在回答“浇花的一共有多少个小朋友”的问题时, 由于还没有正式学过用一个加法算式来表示, 因而, 大部分同学用“数数”累加的方法。如先数正在浇花的有3个小朋友, 再数又来的2个小朋友, 也就是从3往后累加数2个, 即浇花的一共有5个小朋友。当然, 也有部分同学是从2往3来累加数的。然后, 教师会引导学生想:“怎样把刚才数的过程, 用一个算式来表示呢?”教师再适时介绍3+2=5或2+3=5这两个加法算式。从这里可以看出, 从一年级“加法认识”单元教学开始, 学生就已经接触了加法的交换律。先数左边3个同学再接着数右边2个同学与先数右边2个同学再接着数左边3个同学, 其结果是不变的, 这就是加法交换律的“雏形”, 是“具体”的、“情景化”的。随着经验的积累, 这种“雏形”将日益完善, 这个“规律”将被学生逐步内化成:把两个数合并成一个数用加法来计算, 合并是不考虑先后的认知经验的。

同样, 学生对乘法交换律的“雏形”, 早在二年级就已经有了初步的感知。如二年级上册第一单元“乘法认识”。教学时教材创设了这样的情境:

依托情境图让学生分别列出求各有多少只小动物, 然后让学生观察这些算式的特点都是求几个相同加数和的运算 (这就是乘法的意义) 。这种特殊的加法算式还可以用一道乘法算式来表示, 由此, 引出乘法算式。如2+2+2可以写成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3个2相加, 写成乘法算式是2×3, 3+3表示2个3相加, 写成乘法算式是3×2;两位教授在《正》文中, 特别强调了此事, 说把“2×7和7×2看作是同一件事, 混淆了两种不同的计算过程, 使乘法交换律变得没有意义, 缺乏科学性。”其实, 若避开具体的情境来看2+2+2这个算式, 把这三个相同的加数写成两个相同加数的形式就是3+3, 同样, 3+3若写成三个相同加数的形式就是2+2+2。从这一点来说, 两个乘法算式的计算结果虽然是一样的, 所体现的过程 (实际上也是意义) 是不一样的, 如《正》文所说。但笔者以为, 教材不再让学生来区分2×3和3×2过程上的不同, 是基于教师易教、学生易理解的角度上考虑的。因而, 在后面的解决问题以及“乘法口诀”教学时, 只要是涉及用乘法列式的, 学生就不会考虑两个乘数的前后位置关系了。

加法和乘法的结合律, 是交换律的拓展, 可以把它看作一种“特殊”交换律来教学。因为有了两个加数交换位置和不变的经验, 学生便可类推出三个加数甚至更多个加数相加, 任意交换它们的位置和也会不变的。之所以可以这样说, 因为学生已有了加法和乘法意义的支撑。如口算2+3+4, 表示三个数合并在一起, 既然是合并 (累加) 就不分先后。同样, 在口算3×2×4时, 学生能体会到先算3×2得6, 6×4与4×6结果又是一样的, 因此, 3、2、4这三个乘数可以先任意两个数相乘。这就是加法结合律构建的“萌芽”时期, 这是在“做”中积累的经验。教学结合律时, 需要让学生进一步明白的是:三个数在一起计算, 是有一定顺序的, 不像两个数相加 (乘) , 只存在位置上的变化, 不存在顺序上的改变。为了体现这种运算顺序的改变, 在计算时, 我们一般要用“ () ”来表示, 这样, 便于让学生感知结合律就是交换律的拓展和延伸, 体会结合律产生的必要性和价值, 更突出了两个运算律的联系和区别。

同样, 乘法的分配律, 学生在二年级计算一位数乘法时, 也初步体会到这种规律的存在, 如对于12×4, 学生都知道它表示12+12+12+12相加的结果, 在用加法计算时, 需要4个2相加和4个10相加, 再把两次相加的结果合在一起。因此, 用4乘12时, 自然需要把12分成10和2的和与4相乘, 也就是 (10+2) ×4=10×4+2×4。这个等式从右往左看, 是和中的每一个加数都要与4相乘一次, 这是基于对12×4竖式计算运算合理性的一种表示;若从右往左看, 是10个4再加2个4, 结果是12个4, 左右是恒等道理一清二楚。从乘法计算的内部结构来建构乘法的分配律, 是寻“根”的过程。

二、意义框架下几个运算律教学的路径

(一) 加法的交换律和结合律

第一层次:可出示教材情境图

在学生得出28+17=17+28之后, 教师可唤起学生已有的经验, 不让学生举例, 引导学生回顾加法意义, 让学生运用已有的生活经验和认知经验来解释交换两个加数和不变的原因, 并概括出这一运算律。

第二层次:在学生得出28+17+23=?之后, 引导学生想一想:两个数相加可以交换两个加数位置和不变, 三个数相加也可以这样交换吗?为什么?进而得出三个数相加与两个数相加不同点是三个数相加有先后顺序, 交换位置, 意味着运算顺序改变了, 为了体现顺序的改变, 需要用“ () ”来表示, 并借机用字母概括出这一运算律。

(二) 乘法的交换律和结合律

第一层次:唤醒学生已有的乘法意义的认知。如3+3和2+2+2可以写成什么样的乘法形式?既然乘法是特殊加法算式的一种简便运算, 由加法两个运算律, 能类推出乘法是否也有这样的运算律?让学生运用乘法的意义和已有的生活经验加以解释和说明。在此环节, 也可配合使用《正》文中提及的“以形解数”的方法。如让学生数数这堆石子有多少颗?

...

...

最后得出不管竖着数还是横着数, 结果都是6, 所以2×3=3×2。

第二层次:引导学生想一想, 两个数相乘可以交换两个乘数的位置积不变, 三个数相乘也可以这样交换吗?为什么?同样得出三个数相乘, 有运算的先后顺序, 任意交换两个乘数的位置, 其运算顺序改变了, 需要用“ () ”来表示的道理, 并借机引导学生经历用字母概括的过程。

(三) 乘法的分配律

第一层次:师生交流, 乘法的交换律和结合律, 在乘法计算时, 有普遍的运用, 教师适时出示12×4的竖式计算题。引导学生回忆每一步计算的过程, 以及为什么可以这样计算?教师可适时用图来“以形解数”。如右图长方形面积可以怎样计算?

第二层次:引导学生想一想, 由乘法竖式计算还可以概括出一种什么样的运算律?并用字母概括这一规律。

三、基于意义框架下, 运算律单元教学整体思路的调整

教学思路由原来借助具体情境下解决实际问题, 依托列出的算式, 基于在发现、列举、验证和归纳中得出运算律的感性认知, 走向唤醒学生已有的认知经验, 依托算式内部的意义, 进行理性分析的过程。然后再把这一运算律进行抽象概括并在解决实际问题中加以运用。教学思路是:感悟、发现规律的存在—经历规律的寻根过程—规律的运用过程。“运算律”的存在, 是蕴含在算式的意义和计算的算理之中, 是“固有”的, 而不是依靠在解决同一问题时, 出现了几种不同的算式, 然后再进行验证、归纳、总结的过程, 这势必会有点“本末颠倒”之感。

把运算律单元教学变成一节知识的回顾、梳理、提升的总结课, 这样简化了教学过程, 几个规律的概括由原来三四节课的课时量变成了一节课的课时量, 留出更多的时间, 让学生经历体会几个运算律之间的联系和区别上, 体会运用运算律来解决实际问题的意识和价值上, 这样的探索经历的过程更具有数学味。

加法运算律 篇2

这是我讲的第一节课，课前虽然做了很多准备，但是到了课堂上还是觉得不够充分，做教案和课件时所想到的情况远远不足以应对同学们课上所做的反应，比如一道题的解法，我准备三种，但是学生就可能想出十种、二十种，甚至更多。这就需要我在课上随时注意捕捉同学们的想法并理解和解决引导。虽然上课时我并不紧张，但是在应对同学们的种种想法解题思路时还是很局促。在讲到这节课的重点：计算李叔叔骑行总路程时，需要运用加法交换律和加法结合律，在这里我只讲到了原式之后的第一步交换两个加数的位置，第二步四个加数两两结合，最后得出结果比按步骤计算要简便，却没有想到同学们早已经把四个数按原来顺序相加的原式省略掉了，直接就是交换位置之后两两结合的式子了。直接导致这样讲定律的运用时就不知如何下手，很是被动。

在以后的课堂上，我一定会注意将课前的准备工作做的很细致才行，方方面面要想到。尤其注意跟随一些接受能力比较快的学生的方式用比较“方便”的方式来思考问题进而注意在课堂上应该怎样引导他们;还要注意不能忽视部分接受能力比较慢的同学，其实讲课大部分时间是要将给他们的，只要他们能接受，能听懂，那么这堂课就差不多达到目标了。

课堂刚开始同学们非常积极，可能因为本身加法结合律和加法交换律对于同学们来说都不是很困难，掌握的比较好，所以会很乐意来展示自己的学习成果;也可能大家对于我这个新来的老师比较好奇，课上想表现自己，所以还比较活跃。但是毕竟小孩子的注意力集中的时间有限，在课堂进行一段时间后就不再像开始那样气氛活跃了，仅仅是一部分平时一贯活跃的同学继续对我提出的问题积极回应做答，其他同学不再积极，甚至可能开小差了。对于集中同学们注意力这个问题，以后应该及时注意同学们的反应，适时调动他们的积极性，比如强调一下注意听讲，比一比谁坐的好，谁反应快哪一个小组领先等等方法来吸引同学注意力;也可以通过表扬做的好的同学来激励其他同学，多鼓励少批评。

经验还需慢慢摸索，逐步积累，每堂课都可能暴露出问题。我一定会在以后的课堂上注意这些问题，争取讲好每一节课，让每个学生都学会。

加法运算律 篇3

1.使学生经历探索加法运算律的过程,理解并掌握加法的交换律和结合律,并初步感知加法运算律的价值,发展应用意识。

2.使学生在学习用符号、字母表示自己发现的运算律的过程中,初步发展符号感,初步培养归纳、推理的能力,逐步提高抽象思维的水平。

3.使学生在数学活动中获得成功的体验,进一步增强对数学学习的兴趣和信心,初步形成探究问题的意识和习惯。

教学重点:

理解加法的运算律。

教学难点:

概括加法的运算律,尝试用字母表示。

教学过程:

一、情境导入,激活旧知

(教师按序出示右手5个手指,左手2个手指;接着换成出示右手2个手指,左手5个手指)

师:你能用两道加法算式表示老师的演示过程吗?

生:5+2和2+5。

师:中间用什么来连接?为什么?

生:用“=”连接,因为它们的和相等。

师:两道算式结果一样,用等号把它们连起来就组成了一道等式。

二、自主探索,学习新知

(一) 教学加法交换律

1.课间同学们正在操场上做运动,我们一起去看一看。

师:他们参加了哪些体育活动?(跳绳、踢毽子)从中你收集到哪些数学信息?能提出一些用加法解决的问题吗?

(1)跳绳的有多少人?怎样列式?(10+8)还可以怎样列式?(8+10)

两题结果一样,可以写成等式10+8=8+10。

(2)女生有多少人?怎样列式?(8+7)还可以怎样列式?(7+8)

两题结果一样,可以写成等式8+7=7+8。

2. 这三道等式它们有什么共同的特点呢?(用手势引导学生注意观察,当学生回答后,如果是正确的教师应给予肯定评价)

3. 像这样的等式,你能模仿再写一个吗?试试看 。

(学生独立完成后,先同桌交流相互判断对方写得是否正确,再集体交流,指名回答,大家一起检验是否相等)

4.谈话:仔细观察这些等式,你发现了什么规律呢?

生:加数位置变了,它们的和不变。

师(引导学生小结):同学们都发现了交换加数的位置(手势演示),它们的和不变,这就是加法交换律。(板书)

5.像这样的等式,你们能写完吗?(写不完)你能用一种简单的方式,把大家想写又写不完的等式都表示出来吗?

(四人一小组讨论交流,教师巡视 ,并参与学生的讨论)

生:O+?=?+O……

6.同学们真会创造。用字母表示的有多少人?为什么喜欢这样表示?

师:在数学中我们一般用字母a、 b分别表示两个加数,可以写成a +b =b +a。

7.谈话:过去我们验算加法,交换加数的位置再算一遍的依据实际上就应用了我们刚刚学习的加法交换律。

(二)教学加法结合律

1.你还能提出什么问题?(参加活动的一共有多少人?)

提问:要求算出参加活动的一共有多少人,怎样列综合算式呢?只列式不计算,看看有几种不同的方法?

(学生独立写一写,教师巡视,过后集体交流)

生:(10+8)+7。

师:先算的是什么?

生:先算出跳绳的有多少人。

师:还有其他解法吗?

生:(8+7)+10。

师:先算的是什么?

师[板书成10+(8+7)]:符合你的运算顺序吗?

生:可以。

师:这两题的算法不一样,猜想一下它们的结果怎样呢?(学生口算之后发现相等)

生:可以写成等式(8+10)+7=8+(10+7)。

2.下面的○里能填上等号吗?

(5+8)+2○5+(8+2)

(70+40)+60○70+(40+60)

这两题同时出示,让学生口算检验结果是否相等。

(36+18)+22○36+(18+22)(先观察猜想能否填上等号)

你是怎样想的?(引导学生初步感知特征,放手让学生计算,同桌各完成一题并验证)

3.你能写出一道类似的等式吗?(学生独立写一写,然后同桌交流)

4.观察这几个等式,它们有什么共同特征?你发现了什么规律?

生:三个数相加,改变运算顺序,结果不变。(板书:加法结合律)

5.如果我们用a、b、c 表示三个加数,这个规律可以怎样表示?

生:(a +b)+c =a +(b +c )。

(学生独立写一写,请一位学生上黑板写一写)

6.加法交换律和加法结合律是我们学习运算律的一种,以后我们还要学习其他运算律。

师(手指这两个运算律的字母表达式):这两个运算律有什么不同的地方呢?(先同桌交流)

不同之处:加法交换律加数要交换位置;加法结合律加数位置不变,改变运算顺序。

三、巩固练习

1.下面的等式各用了什么运算律?(一起用手势表示)

82+0=0+82

a+145=145+a

47+(30+8)=(47+30)+8

(84+68)+32=84+(68+32)

75+(48+25)=(75+48)+25

75+(48+25)=(75+25)+48

师:哪一个最方便?

2.运用加法运算律,在□里填上合适的数。其中用了什么运算律?

96+35=35+□

204+57=□+204

(45+36)+64=45+(□ +□)

285+(15+ a )=(285+□)+□

560+(70+140)=(560+□)+□=(560+□)+□

小结:同时运用加法交换律和结合律有时会使计算更简便。

3.算出下面各题的结果,比一比,谁算得快。

(447+376)+24 447+(376+24)

(先营造比赛氛围,以某组为标准,左边完成第一题,右边完成第二题,做好的就把手举起来,看看在规定时间里哪边完成的人数多)

教师宣布比赛结果,询问学生是否服气,并让学生说明理由。

师:这两道题之间有什么联系呢?

师:下面两组题,你愿意选做每组的哪一题,为什么?

38+76+24(88+45)+12

38(76+24) 45+(88+12)

小结:在计算时把能相加得到整十、整百、整千的数结合到一起,计算起来会更简便。

4.想一想:怎样应用加法运算律使下面的计算简便呢?

30+28+70+45+72

=(□+□)+(□+□)+□

= □+□+□

=□

四、全课小结

师:今天,我们用观察、猜想、验证的方法跟大家一起研究学习了加法的交换律和结合律。下面老师要考考大家,看看大家学习得怎样,请完成练习,看谁完成的又快又好。

……

教后反思:

运算定律是运算的灵魂和核心,加法交换律和加法结合律是小学阶段十分重要与基本的内容。我在教学时,用学生身边发生的事为教学的切入点,让学生观看画面收集信息、自由提问,调动学生的学习积极性,培养学生的问题意识。

教材例题中的数字不太易于口算,考虑到学生刚学过混合运算,且本节课的重点是掌握加法的运算律,所以将28、17、23三个数字换成了10、8、7,这样学生探究起来更方便。

书上第57页练习“算一算下面的○里能填上等号吗”,我在教学时删去了一题,只保留了一题,并且在此之前补充了两道易于口算的等式,目的是想让学生通过观察获得感性认识,然后猜想算式之间能否填等号。学生动笔验证之后发现可以,然后再进行仿写,最后再观察得出结论。

探究加法交换律这一环节的设计,层层递进,围绕问题情境开展教学。如列出两个不同的算式组成等式,组织学生写出类似的等式,目的在于帮助学生积累感性材料,丰富学生的表象,进一步感知加法交换律。同时引导学生自己去分析、比较、发现规律,经历用符号表示规律的过程,发展学生的符号感和抽象概括能力,感受加法交换律的价值。此外,在这个过程中也渗透、揭示了探索规律的一般方法,有效地培养学生可持续发展的学习能力。

探究加法结合律时,抓住加法交换律和加法结合律的内在联系,利用学生已有的知识经验,把加法交换律的学习迁移类推到加法结合律的学习中来,由扶到放,初步培养学生探索和解决问题的能力与语言的组织能力。学习这两个运算律之后,再组织学生对两个运算律进行观察比较,使学生进一步理解加法交换律和加法结合律。

练习的设计注重针对性,层层深入,大部分练习都是在课后“想想做做”的基础上进行适当的整合、拓展,帮助学生进一步掌握本课知识,形成技能。如第一个练习让学生用手势答题,最后一个等式同时综合运用了两种运算律,为了突破这个难点,特别安排了两道等式的对比,以加深学生的体验。

不足之处:

1.这两个运算律教学时采用的都是不完全归纳推理,因此在教学加法结合律时我也应该让学生多举些列子,让学生评价举的例子好不好,使学生自己发现“结合”是把可以得出整百、整十的数放在一起,而不是随意的乱编。然后进一步分析、比较,发现规律,并先后用符号、字母表示发现的规律。

2.在探索加法结合律的过程中我应该再放开一些,引导学生观察、比较和分析,找到实际问题不同解法之间的共同特点,初步感受运算律,让学生自己去评价举的例子好不好。

3.要注意及时评价和总结,肯定学生的学习成果,以促进学生更加自觉主动地进行学习。

“加法结合律”教学片段与思考 篇4

【课堂教学回放】

师 (出示情境图) :你们从图中看懂了什么?

生:图中短袖衫每件32元, 裤子每条35元, 夹克每件65元。各买一件一共要付多少元。

师:请大家为这位顾客算一下, 一共要付多少元?

生1:顾客一共要付132元, 算式是:

生2:我也算出一共要付132元, 但算式是:

师:两位同学计算的结果都正确。但算式不同, 请你们分别说一说, 在列式计算中是怎么思考的。

生1:我是先算买短袖衫和裤子要付67元, 再加上买夹克的65元, 一共要付132元。

生2:我是先算买夹克和裤子要付100元, 再加上买短袖衫的32元, 一共要付132元。

师:两位同学选购服装的先后不同, 计算顺序也不同, 但结果都正确。你你们们能能把把这这两两个个算式写成等式吗?

师:请同学们算一算, 下面两道题的○里能填上等号吗?

学生计算结果相等, 并在○里填上“=”。老师进一步启发:以上三个加法算式中, 每个算式等号的左边和右边有什么相同和不同的地方?

生1:每个等式等号的左边和右边的三个加数相同, 而且位置也相同。

生2:每个等式等号两边的和相同。

生3:每个等式小括号的位置不同, 运算顺序也不同。等号左边先加前两个加数, 再与第三个加数相加;等号右边先算后两个加数, 再与第一个加数相加。

师:你们能根据这三个等式的运算顺序和计算结果说出它们的计算规律吗? (先独立思考, 后小组讨论, 再全班交流。)

生3:在加法中, 三个数相加, 先把前两个数相加, 再同第三个数相加:或者先把后两个数相加, 再与第一个数相加, 它们的和不变。

师:这个计算规律在加法中叫“加法结合律” (板书) 。这样的计算规律, 你们能用自己喜欢的方式表示出来吗?

生1: (甲数+乙数) +丙数=甲数+ (乙数+丙数)

生2: (△+○) +☆=△+ (○+☆)

生3: (鸡+鸭) +鹅=鸡+ (鸭+鹅)

生4: (a+b) +c=a+ (b+c)

师:同学们表示的方式都很好, 通常用“生4”的方式, 也就是用字母表示。请同学们思考一下, 加法结合律在计算中有什么作用?

生1:三个数相加, 先加其中的两个数, 可以凑成整十、整百……使计算简便。

生2:运用加法结合律, 能使计算既简便又正确。例如, 顾客购衣服, 先算买裤子和夹克一共100元, 再与购短袖衫的32元相加, 很快得出一共付132元。

师:对!你们在以后的计算中要灵活运用, 怎样算简便就怎样算。

【思考】

数学活动是让学生经历数学化过程的活动, 是让学生从数学现实出发, 经过自己的思考, 得出数学结论的过程。因此, 本节课的教学从学生已有的知识和生活经验出发, 让学生经历从数学事实得出结论的推理过程, 进而提高学生数学思维的水平。为此, 在教学中主要突出了两个“性”。

1.注重情境创设的匹配性。

有价值的数学情境, 是学生经历数学化过程的重要载体。本节课创设顾客购衣情境, 让学生列式计算一共应付多少元, 既注重了学生的生活现实, 又具体而形象地为学生提供了与“加法结合律”相匹配的数学模型。让学生在具体的计算中感受到由于选购三件衣服的先后顺序不同, 付款方式不同, 形成了算式不同, 计算顺序不同, 但付钱的总数相同, 从而在具体的数学事实中感知“加法结合律”的特点及其在生活中的价值。

2.注重学生思维发展的过程性。

小学生思维特点是从具体到抽象的过程。为此, 在加法结合律的教学中, 应尽量让学生从大量的同类事物的不同例证中发现它的本质属性。一是在购衣情境和等式演算中丰富了表象储备。二是在分析比较等式左右的异同中强化表象联系, 建立比较清晰的表象, 为抽象概括打下了坚实基础。三是在寻找规律的过程中, 让学生通过独立思考、小组讨论、全班交流, 从加法结合律的组成要素 (三个数相加、计算顺序不同、结果相同) 中排除非本质属性, 找出共同的本质特征, 既掌握了计算规律, 又培养了学生抽象概括的能力及语言表达能力。四是注重实际生活与数学知识的相互转化与提升, 让学生从购物的算式到计算规律和用喜欢的方式表达中, 经历从生活实际到“形式化”的过程;倒过来又让学生用得出的规律去体验它的应用价值, 增强了应用规律的自觉性。

西师版加法运算律教案 篇5

青神县实验小学四年级数学组

祝尉霖

教学内容：课本

点？（12+25=

25+12=

500+300=

300+500=

30+20=

20+30=

1200+650=

650+1200=）

生：左边算式的加数度交换了位置就变成的右边的算式。师：我们一二组口算左边的算式，三四组口算右边的算式。生：37，37，800，800，50，50，1850，1850 师：从口算中，你验证了刚才的猜想了吗？得出了什么规律？ 生：加法中，交换加数的位置，和不变。

师：我们可以用字母a表示一个加数，那么字母b就表示—— 生：另一个加数。

师：那么a+b可以交换成—— 生：b+a 师：交换了加数的位置，但是什么不变？ 生：和不变。

师：我们可以给这两个算式画上等号表示相等。一起来读一读，一二组顺读，三四 组倒读。

生：a+b=b+a,b+a=a+b 2.加法交换律的练习

师：出示24+15+6

36+132+84 谁能用加法交换律来变变，可能变成？ 生：回答。

师：谁变出一种容易算的式子。生：回答。

师：刚才我们在三个加数的式子里用了加法交换律，那么用字母还可以怎样表示？ 生：a+b+c=a+c+b=c+b+a 2． 加法结合律

师：同学们学习加法交换律时积极开动脑筋，发言积极，很好。我们又继续探索！师：出示例2：三年级89人，二年级96人，一年级104人，3个年级一共有多少人？ 师：提问：要求三个年级一共有多少人，可以先算什么，怎样列算式? 师：组织学生讨论得出：

①先算出三年级和二年级有多少人？（89+96）+104= 289(人)；

②先算出二年级和一年级有多少人？89+（96+104）=289(人)。师：依据上面两道算式可以写成怎样的等式?学生回答后板书：（89+96）+104=89+（96+104）

师：这从这两个相等的算式中你发现了什么？

生：在三个加数的加法中，先算前两个数或先算后两个数，和一样。

生：三个数相加，先把前两个数相加，再同

算律有什么相同和不同的地方？

生：生比较填表

运算律 字母表示式 变 没变

加法交换律

a+b=b+a 位置

数据、运算符号、结果 加法结合律

（a+b）+c=a+（b+c）计算顺序

数据、运算符号、结果、位置

师：加法交换律一定是加数的位置变了，加法结合律一定是括号里的内容变了。

[设计理念]（通过猜想——验证——结论这样的环节安排分别学会运算律，当二者 都学会了以后安排一个比较加法交换律与结合律的表格，去除表象留本质，抓住位置和计算顺序两个关键深刻理解加法运算律。）

三．练习

（1）计算，说出运用了哪些运算律。87+41+19 =87+（41+19）=87+60 =147

89+26+411 =89+411+26 =500+26 =526

75+（48+25）=（75+25）+48 =100+48 =148（2）数学小判官（对的打“√”，错的打“×”。）

1.109＋（38＋162）=109＋38＋162

（）2.470－25＋75=470—（25＋75）

（）

3.甲数＋乙数=乙数＋甲数

（）

4.○ ＋（△＋☆）=○ ＋ △＋☆

（）

5.84＋68＋32 =84＋（68 ＋23）

（）

（3）思考

1+2+3+4+5+6+7+8+9= 师：连加算式中，加数可以任意结合与交换。

[设计理念]（通过安排基础训练和拓展训练两个练习层次，通过层层深入，帮助学 生进一步掌握本课知识，形成技能，并激发他们的创新思维，让学生感受解决问题的乐趣。）

四．全课小结

师：今天我们学习了加法运算律，是什么呢？你会用字母表示吗？那减法、乘法、除法是不是也有它们的运算律呢？带着这个思考，我们下节课继续学习。

【板书设计】

加法运算律

加法交换律（加法

位置）

加法结合律（加法

括号）

320+420=420+320 a+b=b+a

猜想

24+15+6

36+132+84

（89+96）+104

89+（96+104）=24+6+15

=36+84+132 验证

=185+104

=89+200 =30+15

=120+132

=289

=289 =45

巧用有理数的运算律 篇6

一、巧用加法的交换律和结合律

分析：本题是异分母分数相加减，可用加法的交换律和结合律，把同分母分数及易于通分的分数一起相加．

进行有理数加法时，运用加法的交换律和结合律应遵循以下原则：①把正、负数分别结合相加；②把互为相反数的数结合相加；③把整数、小数、分数分别结合相加；④把分母相同或分母有倍数关系的数结合相加．

二、巧用乘法的交换律和结合律

分析：本题属于有理数的乘除混合运算，运用除法法则可将算式统一成乘法运算，再运用乘法的交换律和结合律．计算中要注意不漏掉积的符号．

进行有理数乘法运算时，应遵循以下原则：①把互为倒数的因数结合相乘；②乘积为整数或积的尾数为0的因数结合相乘；③便于约分的因数结合相乘．

三、巧用乘法的分配律

分析：按运算顺序进行计算比较麻烦，观察后发现第一部分可运用乘法的分配律，简化计算，结果为18，恰好与式子后面的两个乘积有相同的因数，故可再将乘法的分配律逆用．

解：原式=21+7-10+5.65×18-6.15x18

=18+5.65×18-6.15×18

=18×(1+5.65-6.15)

=18×0.5

=9．

一个数和几个分数的和相乘，如果该数与这几个分数分别相乘时，积为整数或相乘时能约分，这时用分配律计算比按顺序计算要方便、快捷．对分配律还要注意它的逆运用：如果几个积相加时，积中有相同的因数，余下的因数的和是整数，或是简单的分数、小数，可考虑将分配律逆运用．

加法运算律 篇7

戎：张教授，自从2001年小学数学新教材使用以来，有一个问题我一直在想：正整数加法和乘法的意义及其交换律怎样表述比较好？教学中怎样处理比较合适？你能抽空指导一下吗？

张：这个问题我也觉得有话要说。

戎：那就让我们先来谈谈加法吧。

张：自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后， A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。

戎： 这对一年级小学生而言，没法说明白。

张：但是说白了，很容易懂。这就是“数数”。A 、 B两堆石子，先数A堆的a颗，接着数B堆的b颗，最后的结果就是（a+b）颗。

戎： 对，这样说倒是容易理解的。“数数”是最基本的数学活动之一，加法的本质就是“接着数”。我注意到，人教版一年级上册教材就是用“接着数”做加法的。

张：当代数学教育心理学的一个经典结果就是用“数数”这样一种行为性的操作活动来形成自然数的概念。加法概念不是来自于更多的小石子，而是来自于添加或合并的操作活动。现在强调四基，其中的基本数学活动中，一定会包括“数数”这样重要的数学活动。

戎：是啊， 如果用“数数”学习加法交换律，就非常明白易懂。教材上可以画A 、B两堆石子，先数A堆再接着数B堆的结果，和先数B堆接着数A堆的结果是一样的。从本源上看，这就是交换律成立的证明。从小学生的感受而言，这是明白易懂的直观。可是人教版四年级下册教材“加法运算定律”教学内容中（见图1）并没有用“数数”的活动加以说明。

张：非常遗憾。现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5+6=6+5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。现在提出“过程与方法的教学目标”，凡是小学生能够懂的道理，还是要说理。

戎：这种操作方法确实不错。那么“数数”的操作活动能不能用于乘法呢？

张：不仅可以，而且必要。“数数”这样的基本数学活动，需要多次进行，使之成为理解自然数运算规律的一把钥匙。

戎：2013年，人教社出版的二年级上册教材先展示了三个不同的生活情境图片，引出三个加法算式：3+3+3+3+3=15 ，6+6+6+6=24 ，2+2+2+2+2+2+2=14 。然后指出：“这种加数相同的加法，还可以用乘法表示。”针对最后一个加法算式，指出用乘法算式可以写为“2 ×7=14”或“7× 2=14”。同时给出了它们的读法（见图2）。

张：最近我也看到了，颇为惊讶。

戎：这就是说，不管是“2×7”还是“7×2”都表示7个2相加，两个不同的乘法算式，表示的是同一个加法算式。推而广之，当a和b都是大于1的整数时，a×b和b×a都可表示b个a的和，同时也都可表示a个b的和。用这样的方法来给出两个数相乘的意义好像有问题。

张：这里用了一个“或”字。就把“7个2相加”和“2个7相加”两个不同运算过程等同起来了。可是，乘法交换律只说交换乘数次序相乘之后其结果相同，没有说这两个过程相同。它的错误，正好像说一头羊和一头猪都重50千克，就说这头“羊”是一头“猪”，有悖常理。

戎：不知道为什么会改成这样？

张：我回想了一下，在本世纪初课改刚开始的时候，小学数学里曾有乘数和被乘数的区别。即a×b和b×a的意义不尽相同。特别是在解应用问题列式时，如果列式需要写成a×b，那么写成b×a就算错。于是，一些数学家就讽刺“在小学数学里乘法交换律不成立”。当时这成为数学课程改革的重要由头之一。改革是必要的，但是，矫枉过正就会出现失误。

戎：既然教材中把“2×7” 与“7×2”说成是一回事，那么对于大于1的整数a和b而言，a×b和b×a也是一回事。a×b=b×a就是自然成立的，连验证都可以省去。这样一来，乘法交换律还有意义吗？还能称为“数学定律”吗？

张：是啊。像现在这样处理，是一次科学性的失误。

戎：问题还在于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第76页上的例5：“教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？【说明】 这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7 或7×6。”

张：哦，《课程标准》也把6×7 说成就是7×6，没有想到。我想，如有不妥，《课程标准》也是可以改的。

戎：或许教材的编写者注意到了这个问题，因此在四年级下册教材“运算定律”这一单元教学中就不承认“4×25”和“25×4”是一回事了，也就是说4×25不能写为 25×4，而必须经过计算得到4×25 =100，25×4=100，然后得到等式4×25 =25×4，并在要求学生“再写出几个这样的等式”后得出乘法交换律成立。用字母表示为a×b=b×a。这与二年级上册教材中给出的乘法意义不统一。

张：自相矛盾了。

戎：那该怎么处理为好呢？

张：我想，正本清源，还是回到“数数”这个原始的数学操作活动上来。例如针对二年级上册教材引入乘法意义的例3，画出石子图（见图3）。

接着的文字为：

这堆石子有多少颗呢？我们可以竖着数，每列2颗石子，共7列。7个2相加，写成 2×7，读作2乘以7。我们也可以横着数，每行7颗，共2行，2个7相加，写成7×2，读作7乘以 2。不管竖着数，还是横着数，结果都是14。所以 2×7=7×2。

戎：请说说这样做的理由。

张：我想，这次乘法意义的教学改革，目标是：

①不要提出乘数、被乘数的概念；②知道 2 × 7 = 7 × 2；③懂得其中的道理。

在上面的文字说明里，我们做到了以下三点：第一，我们没有一般化地提出乘数和被乘数的抽象概念，但是用实际的数说明了7个2相加和2个7相加之间的区别，并且保留了“2乘以7”的传统读法。第二，我们导出了2× 7= 7×2，不会出现所谓小学里乘法不服从交换律的毛病。第三，我们用数数的操作活动，以及竖着数、横着数的生活化的语言，说明了等式成立的合理性。这样做，等于把乘法的交换律提前在引入乘法意义时就有所涉及，不知道在教学实践中是否可行？

戎：我想，有了“数数”这个活动的支持，再利用教材中例1和例2，继续操作几次，类似的，可以得到3×5=5×3，6×4=4×6。最终二年级小学生应该能够理解两个数相乘交换它们的次序乘积不变的结论。不过二年级仅限于具体的数相乘。至于一般地出现a×b=b×a那样的字母式，以及采用交换律这样的专有名词，仍旧可到四年级再提出。这样分为两个阶段，互相连接，没有矛盾。

张：至于《课程标准》里的那个“例5”，有教室里的座位作生活化背景，只要加一句话：“用横着一行行数（7×6）和竖着一列列数（6×7）两种方法计算座位的数目，结果相同。”并将“可以写成：6×7 或7×6 ”改写为“可以写成7×6 ”就行了。

戎：关于2×7的读法，你认为要读成2乘以7， 是不是有乘数、被乘数这样的意思在里面。

张：不。我们只是说明2乘以7，专指7个2相加；7乘以2，是2个7相加。我们要说明这两者是不同的过程，但结果一样。至于在教学中，尤其在考试中，不要刻意去强调其间的差别，更不要一般地提出乘数、被乘数的概念。至于2×7读成2乘以7，那是正规读法。另外，这种读法与接下来学习除法a÷b的读法（a除以b）可以比较自然地衔接起来。当然，对于2×7这种乘法，简单地读作2乘7也可以。

戎：我想，我们的谈话是否可以归纳为以下几点：

1.根据现代学习心理学的研究，对加法、乘法的意义及其运算定律的理解，其本源在于“数数”的操作活动。我们现在强调“四基”教学，“数数”操作活动理应放在突出位置，现行教材还可以进一步予以利用。

2.现行教材中的乘法意义解释，将2×7 和7×2 看作是同一件事，混淆了两种不同的计算过程，使“乘法交换律”变得没有意义，缺乏科学性。应予以改正。

3. 乘数、被乘数概念的过分强调，对日后的学习并无益处，反而与乘法交换律相冲突，故不宜恢复，仍应去掉。

4.恢复7个2相加写成2×7，读作2乘以7，符合国内外的习惯。

5. 在刚开始学习乘法的时候，就将“ 7个2相加”与“2个7相加”区别开来，但说明二者结果相同，这可以为后来学习乘法交换律作铺垫。

6.在二年级上册学习中，将点子图用竖着数、横着数的“数数”活动来说明 2×7 = 7×2，是否可行，需要教学实践的检验。

张：我觉得你的归纳基本上展示了我们谈话的主要内容。我们下次有机会再谈。

戎：谢谢张教授的指导。

（ 华东师范大学数学系 200241