分形损伤（共3篇）
分形损伤 篇1
摘要：在试验室对混凝土立方体试块进行了单轴压缩试验, 完成破坏试验后用断层扫描CT技术研究混凝土立方体试件破坏过程的演化灾变过程, 重点利用分形数学理论对混凝土试件的裂缝形成演化过程进行了分析研究, 得出了一些有价值的结论。
关键词：单轴压缩,CT试验,分形损伤变量,微观角度
地震灾害荷载作用下, 建筑物宏观方面会产生裂缝, 微观方面是由于在地震作用下直材料出现突发性断裂破坏, 此类破坏没有明显预兆, 有较大的危险性。随着社会经济的进步, 高层建筑、大跨桥梁及港口建筑结构大量涌现, 高强高性能混凝土的使用也日渐广泛起来, 其虽在强度和性能上较以往的普通混凝土有所提高和改进, 但制造过程中的初始缺陷却同样难以避免。
众多实验显示, 材料的最终宏观断裂破坏与其内部微裂隙 (也即初始损伤) 的发育和聚集有着密切的关系。近年来的研究表明, 采用先进的实验技术, 引入损伤、非均匀、不连续的概念研究其内部结构, 并分析高强高性能混凝土受力破损过程中的结构变化, 对高强高性能混凝土的配合比设计、性能评价具有重要意义。CT技术的出现为研究高强高性能混凝土材料细观破坏机理提供了较以往更先进的方法。国内也开展了CT技术在高强高性能混凝土内部结构分析和岩石的细观结构损伤研究中的应用, 这些研究为认识高强高性能混凝土材料细观损伤的演化提供了有力的支持[1]。借助于室内单轴压缩试验, 对高强高性能混凝土材料细观结构损伤演化进行了基于CT图像分析的细观力学研究, 重点探讨了混凝土材料微观的损伤演化过程, 对其力学性能的损伤演化进行了系统的研究。
1 混凝土单轴压缩的试验设备
本试验在辽宁工程技术大学实验中心进行, 其加载方式主要采用轴向压缩。主要仪器设备有:TYA-2000型电液式压力试验机、西门子64层医用螺旋X射线CT断层诊断仪 (Computed Tomography) 等。混凝土立方体试块尺寸为100 mm×100 mm×100 mm, 水泥为秦岭牌525号硅酸盐水泥, 粗骨料为粒径10 mm~15 mm的一级配花岗岩人工碎石, 细骨料为灞河河砂, 以宝鸡第二热电厂一级粉煤灰作为掺合料, 标准条件下养护28 d。
2 混凝土断裂面的分形特征
1975年, 任IBM (International Business Machine) 公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授美籍法国数学家Mandelbrot首先提出了分形 (Fractal) 的概念[2], 它与混沌理论和耗散理论被称为20世纪70年代科学界三大发现, 是非线性科学研究领域的重要成果。研究表明, 混凝土断裂要经过断裂面萌生、断面扩展和动态断裂的复杂过程, 该过程同时又受应力状态、材料强度、原始缺陷等众多因素的影响, 从而使混凝土损伤断裂过程中出现一系列复杂的断面运动现象, 而混凝土本身就是具有多层次自相似的混沌体, 混凝土断裂面也具有分形特征[3]。
3 试验过程
1) 高强高性能混凝土的单轴压缩试验。该试验采用应力控制, 加压过程中不断观察压力试验机表盘值, 在观测试件受压过程变化的同时, 记录下压力试验机表盘数据, 每一次加载对应一个表盘值, 为了能够尽量使得试件全截面均匀受载以及消除两受压端的摩擦约束造成的围压作用, 控制加载速率为1.2×10-3k N/s, 并且在加载时, 试件顶部和底部涂抹润滑剂, 直至试件破坏后终止试验。2) CT扫描。选定扫描层厚1.0 mm, 层间隔23.8 mm, 扫描电压120 k V, 扫描电流300μA, 扫描典型图像如图1所示。
4 分形特性分析
尽管一个真实空间中的分形表面映射到图像的灰度值表示的方法尚未得到解决, 但是利用数学函数方法来表示图像的灰度值是可行的。基于分析维数的数学计算方法可以较为理想的解决裂缝的灰度表面裂缝问题。
4.1 分形维数的数学计算理论
差分盒维数法 (DBC) 、盒维数法 (DB) 、双毯 (Peleg-blanket) 覆盖法等方法是计算灰度图像分形维数的基本方法, 根据本试验具体的试验数据, 采用盒维数法 (DB) 来分析混凝土立方体试块的损伤演化趋势。
首先对分析单元进行离散化, 保证离散单位能够基本覆盖一个损伤演化区域, 并建立起混凝土断裂面的裂缝所占的区域与分得的离散单元的数学方程式和网格边长r的倒数, 绘制关系曲线:
其中, r为离散单元的网格边长;N为裂缝区域所占的网格数。
该方程如果呈现线性, 则说明分形理论可以用来研究混凝土构件表面裂缝的损伤演化发展。根据Mandelbrot的盒维数基本定义, 混凝土构件表面裂缝的损伤维数为:
其中, K为常数;D为分形维数。
4.2 CT图像分形维数计算和分析
图1中的CT图像在计算机上进行不同灰度处理后, 采用盒维数法 (DB) , 分别取对数后拟合得到直线, 再根据该直线的斜率即可求出每幅CT图像的分形维数, 计算结果显示, 高强高性能混凝土断裂面的分形维数与普通混凝土的相比, 前者要小一些, 这是由于:根据分形理论, 分形维数D与表面形貌的幅值变化剧烈程度有关, D值大则表面微观细节丰富, D值小则表面相对平缓, 不同于普通混凝土单轴压缩断裂时的沿集料破坏。
通过加入掺合料来提高高强混凝土材料的力学性能, 导致试件的脆性性能加大, 同时导致粗细骨料的破裂减小, 对于试件的破裂面而言, 其平整度增大, 有效降低了其分形维数。所以随着其加载的增大, 试件的微观损伤不断加剧, 进而增大了其分形维数。
通过分析混凝土试件不同应力水平的分形维数可知:荷载加载初期, 分形维数的变化不大, 说明此时混凝土尚未发生破坏, 当分形维数急剧增加的时候说明这一阶段高强高性能混凝土材料的损伤演化呈现明显加速趋势, 损伤分布更加复杂化 (见图2) 。上述结论表明, 用分形维数表征高强高性能混凝土断裂面的破坏程度以及材料内部损伤发展各阶段状态的可行性[4]。
4.3 损伤演化方程的建立
将高强高性能混凝土内部结构图像的分形维数变化率定义为一个如下的损伤变量[5]:
其中, Δw为分形维数变化的总量;w0, wi分别为初始和第i幅图像的分形维数。初始状态时, P=0表示试件无损伤;加载到一定阶段, P=1表示试件宏观裂纹已经形成, 试件被破坏。我们可以通过计算试验中不同阶段CT扫描图像的分形维数来获取其相应阶段的损伤变量。用损伤变量和不同加压阶段的应力值为坐标轴建立二者的关系, 得到如图3所示的曲线图。观察所得损伤变量与不同加压阶段的应力值曲线, 其呈类似指数函数关系, 拟采用指数函数进行拟合, 拟合关系如下:
其中, a=0.947 7;b=158.730 2;R2=0.910 3;a, b均为参数;R2为相关系数。将参数代入, 所得方程即为损伤演化方程:
5 结语
1) 高强混凝土的断裂特征与普通混凝土有显著不同。从断裂面的形态看, 普通混凝土断裂时, 其集料一般不断裂, 断裂面是绕行集料的, 从界面区断开。而高强混凝土则不然, 其断裂面是切断岩石集料的, 使其断裂面的曲折度减小, 真实断裂面积变小, 断裂速度加快, 脆性比普通混凝土加大。由于分形维数是用来表征断裂面复杂程度的计算工具, 断裂面曲折程度越大, 分形维数越大, 这一点从本文高强混凝土断裂面分形维数的计算结果也可以很好地看出。2) 在高强高性能混凝土单轴压缩试验的全过程中, 随着损伤的不断积累和演化, 由盒维数法计算的CT图像的分形维数不断增加, 由此可得结论:分形维数可作为观测研究高强高性能混凝土细观损伤演化的定量标准。3) 通过对高强高性能混凝土损伤演化过程中不同加压阶段CT图像分形维数的分析, 定义相应的损伤变量, 得到了该种材料在单轴受压时的损伤演化方程。
参考文献
[1]张淑娟, 赖远明, 孙志忠, 等.CT技术应用于岩石细观损伤特性试验研究现状[J].甘肃科学学报, 2004, 16 (1) :96-100.
[2]张济忠.分形[M].北京:清华大学出版社, 1997.
[3]刘书贤, 魏晓刚, 王伟, 等.煤矿采动与地震耦合作用下建筑物灾变分析[J].中国矿业大学学报, 2013, 42 (4) :526-534.
[4]徐晓鹏, 彭瑞东, 谢和平, 等.基于SEM图像分维估算的脆性材料细观结构演化方法研究[J].岩石力学与工程学报, 2004, 23 (21) :3600-3603.
[5]魏晓刚, 刘书贤, 麻凤海, 等.动力参数对核筒悬挂隔震结构减震效果影响[J].工业建筑, 2013, 43 (2) :34-38, 58.
基于分形几何的分形图绘制与分析 篇2
现代数学的一个新的分支——它是由美籍法国数学家曼德勃罗 (B.B.Mandelbrot) 1973年在法兰西学院讲课时, 首次提出了分形几何的设想。分形 (Fractal) 一词, 是曼德勃罗创造出来的, 其原意具有不规则、支离破碎等意义, 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的, 因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。
2 分形的定义
目前分形还没有最终的科学定义, 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义。
(1) 分形是Hausdorff-Besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多Hausdorff维数是整数的分形集合排除在外, 例如:经典分形集合Peano曲线分形维数。
(2) 局部与整体以某种方式自相似的形, 称为分形。
然而, 经过理论和应用的检验, 人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上, 对于什么是分形, 到目前为止还不能给出一个确切的定义, 正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样, 人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
(1) 分形集合在任意小尺度下, 它总有复杂的细节, 或者说它具有精细的结构。
(2) 分形集合是非常不规则的, 用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体, 它既不是满足某些条件的点的轨迹, 也不是某些简单方程的解集。
(3) 分形集具有某种自相似形式, 可能是近似的自相似或者统计的自相似。
(4) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”, 严格大于它相应的拓扑维数。
(5) 在大多数令人感兴趣的情形下, 分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。
3 分形研究的对象
几何学的研究对象是物体的形状, 在自然界中, 许多物体的形状是极不规则的, 例如:弯弯曲曲的海岸线, 起伏不平的山脉, 变化无偿的浮云, 以及令人眼花缭乱的满天繁星, 等等。这些物体的形状有着共同的特点, 就是极不规则, 极不光滑。但是, 所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的, 例如:初等平面几何的主要研究对象是直线与圆;平面解析几何的主要研究对象是一次曲线与二次曲线;微分几何的研究对象是光滑的曲线与曲面;代数几何的研究对象则是复空间中的代数曲线, 等等。
把凹凸不平的地球表面看成是绝对光滑的球面或椭球面。虽然在许多情况下, 这样做并不妨碍我们得到非常符合实际的结论, 但是, 随着人类对客观世界的认识的逐步深入以及科学技术的不断进步, 这种把不规则的物体形状加以规则化, 然后进行处理的做法已经不另人满意了。在20世纪70年代中期, 一门新型的几何学脱颖而出——分形几何学, 就是用来深刻地描述大自然本身的几何学, 它能深刻地刻划大千世界充满奇异而神秘的各种极不规则极不光滑的对象, 这是数学发展史上的一个新世界。事实上, 可以把分形看作是自然形态的几何抽象。
4 分形图绘制与分析
4.1 基于L系统的分形图绘制
L系统是生物学家Lindenmayer于1968年从植物形态学角度提出的一套用以描述植物树木的方法, 开始时只着重于植物的拓扑结构, 即植物组件之间的相邻关系, 后来才把几何解释加进描述过程, 形成后来的L系统。这个系统的高度简洁性和多级结构, 为描述植物树木生长和繁殖过程的形态和结构特征, 提供了行之有效的理论和方法。L系统不但能描述植物, 而且其构图方法也可用来绘制各类有规则分形曲线及其它形状。
L系统是基于符号重写系统。即用一个重写规则逐次地置换初始对象的各个部分来确定一个复杂的对象。分形L系统可以模拟各种植物的形状。根据不同的改写规则可以画出不同的植物形, 用于模拟自然景观可达到形象、逼真的效果。 (如图1所示)
4.2 基于I F S迭代函数系统的分形图绘制
迭代函数系统 (Iteration Function System, 简称IFS) 是分形几何学的重要分支, 它也是分形图像中最富生命力并具有广阔应用前景的领域之一。IFS是M.F Barnsley于1985年发展的一个分形构形系统。IFS的理论包括以下几方面的内容:压缩映射、度量空间、不变紧缩集的存在以及测度理论等。迭代函数系统在一大类物体的建模问题中具有很大的优势, 特别是对自然景物的计算机模拟生成优势更为明显。实际上, 只需给出几个仿射变换的系数, 就可基本确定一个物体的迭代函数系统。正因为如此, IFS在图形学中有着广泛的应用。其中, 可视化技术的研究由2D分形对象拓广到3DFractal;由IFS研究的自相似的分形图扩大了其应用范围, IFS变换不必仅限于仿射变换;在用IFS建摸的研究中实现了对原图形的几何变换, 将IFS中的线形变换推广到非线形变换;对自然景物计算机生成问题的探讨, 其建摸方法亦由二维推广到三维。如图2基于IFS迭代函数系统所绘制的三维树叶分形图。
另外, 由于IFS代码可以描述形态各异的对象, 这就意味着可以用极少量的数据就可描述复杂的图像图形, 因而IFS具有很强的图形数据压缩能力。
4.3 基于IFS迭代参数渐变的分形图绘制与分析
用IFS (Interated Function Systerm) 产生分形图。
以表1中的参数为迭代码可以产生Sirp inski三角形。 (见图3 (a) 所示) 。
只改动参数d4=0.3, 则可以生成图3 (b) 示Sirpinski三角形。
以表2中的参数为迭代码可以产生一个树叶。 (如图3 (c) 所示)
把树叶迭代码与Sirpinski三角形迭代码之间缩小差距, 缩小比例为0.25、0.75, 可以看到逐渐向三角形过渡。 (如图4所示)
4.4 基于复动力系统的分形图绘制
复动力系统的分形集合主要包括Mand elbrot集和Julia集。Mandelbrot集是分形中最著名的分形集合, 它是分形创始人Mandelb rot在非线性领域中作出的杰出贡献。Julia集是在21世纪初法国数学家G.Julia和P.Fa tou分别研究过的一种多项式和有理函数的迭代, 当时由于缺乏相应的图形工具而使研究中断, 直到计算机图形学的出现才使其重获生机。Mandelbrot集和Julia集都是通过在复平面中G (Z) =Z2+C的反复迭代而得到的点的序列, 其中C和Z均为复数。由Ju lia集与Mandelbrot集呈现在人们面前的美妙图象令艺术家们叹为观止, 将这种艺术图形用于纺织印染、广告印刷、工业设计、邮票制作、服装设计及计算机教学等方面, 其经济效益和社会效益均具有广阔的应用前景。
5 结语
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。分形图形绘制的方法有L系统、迭代函数系统IFS、复动力系统等。IFS吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。
参考文献
[2]刘甲.IFS交互式参数控制算法研究与应用[J].信息技术与信息化, 2011.
分形损伤 篇3
分形理论是几何学的分支学科之一。最早是由美国数学家本华·曼德博提出, 他撰写的论文《英国的海岸线有多长》初涉分形思想;1975年他正式创立分形几何学;1982年由他出版《大自然的分形几何学》, “彻底改变人们对分形的认识”。现在这个自然科学的理论服务高校课程改革, 既符合规律:“科技发展的新理论、新思路、新观点、新方法不断地冲击着高等学校的课程改革”, 又使得高校课程改革“无论在内容上和形式上都有所创新”。
一、分形课改的创新意义
1. 分形理论新应用。
分形思想由来已久, 可以追溯至17世纪德国数学家莱布尼茨的“回归自相似”概念。20世纪初受到数学界的广泛关注, 包括the Sierpinski Gasket, the Koch Curve, 柯克曲线等。但是, 分形思想真正上升到理论高度, 离不开曼德博的深入研究。他指出:分形的概念是“组成部分以某种方式与整体相似的形称为分形”;然而, 有人认为, 分形具有不规则的精细结构;形状或者统计意义上的自相似形式;和迭代生成的性质。自相似形式是化繁为简, 拼贴复杂形体的前提认识;迭代则是复杂形体的生成法则;仿射则是复杂形体多维存在的可能。正是因为分形理论化繁为简, 它不局限于复杂几何形体的描述, 也可“将由信息、功能、能量、时间等‘量’构成的具有自相似的对象称为分形行为”, 及时跟踪事物发展进程, 颠覆人们传统平面或立体的思维。分形理论在近三十年来发展迅猛。但在社会科学领域罕有建树。杨社平教授把分形理论引入课程变革实践, 拓展分形理论的应用领域, 通过利用自相似性、迭代性以及仿射性, 揭示复杂分维现象的成因, 归纳复杂课程改革之后的数学逻辑。
2. 结构建导新工具。
以分形理论实现课程建导, 受到结构主义思潮的影响。结构主义应该不是艺术流派宣扬的Structurism, 而是“ (一定的) 结构支配并决定着一切社会现象的性质和变化”。课改理论使用的工具, 往往是瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论和美国心理学家布鲁纳的学科“普遍性”理论。这两种理论, 前者强调以人为课程变革的中心, 初步建构人的认知结构;后者强调以学科自身为课程改革的中心, 从学科的结构入手, 掌握学科基本的概念、定理和范畴, 知识迁移。
然而, 分形理论是结构建导新工具。从简单结构出发, 批判地吸收认知心理和具体学科的优势, 打通心理和学科的双向轨道, 你中有我, 我中有你, 不断调整, 适度迭代, 克服了课程冲突的可能。因为, 以认知心理为中心, 过于把课程看作是一种目的, 预计教学活动的可能结果, 并以此为评判标准, 一切以达到结果为要旨, 教学成为实现结果的策略;以学科为中心, 过于把课程看作是一种手段, 强调实施的过程和过程本身的价值。分形理论成为结构建导新工具还体现在开放性和灵活性。它可以描述各种非线性系统:记录动力系统的变形, 测度布朗运动的手段, 把握多重分形的迷惑等。既然不怵动态, 随机和重合的各种可能, 分形理论的灵活性可见一斑。开放和灵活使得结构建导不会僵化。
3. 本土研究新探索。
课程改革扎根本土。本土化现实在“民族理论与政策”课程改革真正下移到县情和市情。没有宏观层面的高谈阔论, 没有微观层面的锱铢必较, 从中观出发, 从县市各民族实际出发, 为政策铺垫事实依据。如以专题调研报告成书的《隆林各族十二和》, 基于分形理论, 图文并茂地呈现各族团结, 佐证“十二条”的切实性。如以百色市民族实际编写的《五彩七韵十二和》, 基于分形理论, “解读中国特色社会主义民族理论政策体系”, 丰富教学资源。突出本土特征, 丰富立德树人的内涵。有人说, 社会主义核心价值观是具体的德目;有人说:“确立起马克思主义的立场, 形成社会主义核心价值观, 具有社会公德、职业道德、家庭美德和个人优良品德”;还有人说:“培养具有民族情怀、祖国情结、社会意识、人文素养与发展潜能的学生”。而在杨社平老师看来, 立德树人就是和谐素质的培养。和谐素质包括自然与人、人的自身、人际之间、人与社会和人与国家五个范畴。这五个范畴以人为本, 通过人与自然、人、社会和国家等各要素的关系替代要素本身意义, 弥补各种不足。
二、课程组织的自相似性
1. 课程纲要的吸引子。
吸引子是非线性耗散系统的重要概念, 也是系统存在分形的充分条件。“一个吸引子就是一个集合并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上”。非线性耗散系统是一个开放的系统, 在交换过程完成后达到稳定, 交换过程中的无规运动会趋向吸引子, 进而产生分形。“民族理论与政策”的课程改革也可以看为一个非线性的耗散系统, 课程改革的过程中, 难免会出现非线性、随机性和耗散性的局部特征。既然如此, 这门课程纲要的吸引子又是什么呢?即中国特色社会主义民族理论政策体系“十二条”, 这是第四次中央民族工作会议中确认的。它们高度概括民族范畴, 深刻点明民族问题, 充分展现解决民族问题的战略思想。“十二条”就是十二个不同的吸引子, 或者说是十二个不同的集合, 吸引集合内的所有轨道, 巧如大唐雅乐“孝孙十二和”———豫和、顺和、永和、肃和、雍和、寿和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依据十二个不同的集合, 注入广西壮族自治区的民族实情, 条分缕析, 逐一解读“十二条”的具体内容。
2. 教材内容的自相似。
既然曼德博的定义点明“自相似”, “自相似则应是分形所必要的条件和一种普遍的特征”。再从吸引子的概念梳理, “自相似”体现在各个与整体相似的吸引子的关系中。“民族理论与政策”课改的自相似, 反映在教材内容上面。《民族大义十二和建导纲要》是广西民族大学“民族理论与政策”必修课, 教材各个板块和板块内部的章节都彰显自相似。全书分为四大板块:“焦点指月谈”“诸和三棱镜”“乡土万花筒”和“建导情趣园”, 板块中深入拓展“十二条”内容。“焦点指月谈”阐述理论, “逐一解读‘十二条’的基本内容”, 指月, 典于《楞严经》, 喻意莫因“指”而失“月”, 莫由“教”而亡“法”, “月”和“法”均代指民族政策的精粹。“诸和三棱镜”聚焦前沿, 反省过去政策的历程, 思索未来理论的走向。“乡土万花筒”联系实际, 以广西12个市居民族概况, 本土的实际情况, 更好地认识中国特色社会主义民族理论。“建导情趣园”反馈教学, 内化理论, 契合“十二条”要义, 由学生自主打造得意作品, 记录成长过程。板块内部再次分形, 以“焦点指月谈”为例, 又分为“民族原理”“国是定理”“关系调控”和“发展对策”四章, 丰富理论内容。
三、课程生成的迭代法则
迭代是重复过程以达到结果或预定目标的行为, 分形理论离不开迭代的存在, 有人甚至数学证明了柯克曲线的迭代。通过证明过程, 可以看出迭代离不开精确的节点和稳定的结构。只有畅通迭代节点, 稳定迭代结构, 才能落实分形课改的主张。
1. 畅通迭代节点。
畅通的迭代节点是下一次迭代的有利条件。例如, 函数f (x) =x2+2, 求f{f[f (1) ]}的值。f (1) =3;f (3) =11;f (11) =123, 三次迭代f{f[f (1) ]}的值是123。若第一步迭代数值计算错误, f (x) =2, 最终结果变成38, 相差甚远。可见, 每个迭代的节点需要畅通, 否则经过几轮迭代, 云泥之别显而易见。在“民族理论与政策”课程改革中, “习”“研”“演”“练”的教学模式帮助学习者畅通各个迭代节点。 (1) 习得。“习得”是课程改革的起点, 它更强调的是学习者内化知识的整个过程而非最终结果。课程改革应是一个非线性耗散系统, 这个系统决定了“习得”不可能一蹴而就、伸手得到, 而必须历经批判再批判、否定再否定的螺旋式发展。正是如此, 我们应该培养动态的眼光, 摆脱静态预设的束缚, 在动态中审视“习得”的过程, 在动态中对所获“习得”做出恰当的判断。一切僵化的教学反馈, 都很容易贻误迭代的最佳时机。 (2) 研讨。“研讨”是在“习得”基础上的纵向深化。“研讨”应找准靶子, 对准目标, 有的放矢。以不同教材中的概念、定义或结论为靶子, 通过剖析对比和联系实际的方法, 发现异同之处。“研讨”还要有平台, 平台可实可虚, 既有实实在在的课堂“研讨”环节, 也有虚拟的网络“研讨”空间。海德格尔曾认为, 真理女神总是把人们带到两条路的交口, “一条是揭示之路, 一条是晦蔽之路”, 真理 (揭示状态) 总是要从晦蔽的状态中“研讨”出来。自然, 研究求深刻, 讨论立共识, 深层次的共识才能更好推动迭代, 任何敷衍的讨论或者巨大的分歧都会左右迭代的效度。 (3) 演绎。“演绎”是“习得”基础上的横向扩展。“演绎”可以迅速膨胀的“习得”, 以点带面, 以静蕴动, 以实冲虚。师生在自由活跃的课堂气氛中, 演示彼此作品, 展现各自“习得”;过程中, 师生作品可以比较, 学生之间可以比较, 比较是为了理解, 也是为了交流, 更是为了提升兴趣。演绎的手段多种多样, 有登台演讲、诗歌表演、舞蹈渲染、小品点缀、绘画涂鸦和手工艺品等。这样, 迭代的节点不再干瘪, 在一定层面上具有很强的延展性。 (4) 练悉。“练悉”是“习得”的进一步升华。“练悉”既是一种间断连续状态的描述:“练悉”是一个间断的状态, 各个迭代节点的“习得”、“研讨”和“演绎”总是需要时间, 串联课堂与实践, 随着时间的流逝, 各种摩擦和矛盾难免死灰复燃;“练悉”又是一个连续的状态, “习得”、“研讨”和“演绎”使得各个迭代节点, 不断滚动, 不断运转, 螺旋上升。这样, 生硬断裂的弊端可以克服, 畅通迭代节点有所保障。
2. 稳定迭代结构。
稳定的迭代结构是达到预想目标的条件。例如, 函数f (x) =x2+1, 求f{f[f (1) ]}的结果。三次迭代是26。若开始误为f (x) =2x+1, 三次迭代是513, 迭代结构不同致使结果匪夷所思。迭代是一个复杂的过程, 欲维持迭代结构, 必须依靠“趣”“情”“励”“合”, 才“帮助学生完成他们的学习过程。” (1) 趣兴。“趣兴”是“智力活动的推动力量”, 它是一种趋向, 建立在强烈需求的基础之上。迭代结构需要把握好“趣兴”的积极意义, 恰当使用, 出其不意。语言形式上, 诗歌、对联、谜语和典故等左右逢源;表达手段上, 影视、音乐、动画、和广告等信手拈来, 以此为切入点使学生积极参与, 持久互动。同时, 也要尽力克服完全以“趣兴”为中心, 要能放能收, 张弛有度, 再多的欢乐只是正规课程的铺垫, 真正的教学功夫不在于能够抖多少包袱, 而是抖出的包袱都能收回来, 谨防学生注意力的弥散。 (2) 情感。“情感”是在“趣兴”基础上的主体内部稳定, 是学生适应课程、获得发展的重要工具。美国心理学家埃里克森断言:尽管不同文化的差异客观存在, “情感的发展变化及其与社会环境的相互关系却遵循着相似的方式”。课堂上激发、尊重和引导学生的情感诉求, 可以催化整个学习过程, 优化学习的效果。 (3) 励节。“励节”是在“趣兴”基础上的主体外部刺激, 它是教师以正面的方式, 用正面的案例或言语, 从外部调控学生的“趣兴”嬗变。中国古人早就意识到这一点:“名可务立, 功可强成。所以君子积志委正, 以趣明师;励节亢高, 以绝世俗”。“励节”存在教学活动的过程中:教学初, 以崇高的目标振奋人心, 跨越抵触的丘壑;教学中, 教师身先士卒, 不畏艰辛, 师生互励, 同舟共济;教学末, 鼓励学生反刍, 以教学所知所感打造得意之作, 内化教学成果。所以, 通过恰当的控制和评价———弱则鼓励, 强则节制, 真正巩固教学效果。 (4) 合尖。合尖是维持迭代和实现成功的最后一步策略, 涉及“趣兴”、“情感”和“励节”三方面的融合, 充实里子, 光鲜面子, 里外融合, 最终使得“来自不同时期、不同层面、不同形式的优秀元素形成合力”, 达到课程改革的预想。
四、课程改革的仿射效应
仿射变换是线性变换的一种重要形式。“一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距离、图形的面积等”, 通过仿射变换, 图形或是伸长, 或是缩放, 或是旋转, 或是裁剪, 例如巴恩斯利蕨。分形具有相似变换的特点, 只是仿射变换的特例而已。“民族理论与政策”课改若视为分形原理的相似变换, 那么, “民族理论与政策”教学团队的构建和跨学科课改则可视为分形原理的仿射变换。
1. 团队仿射连理。
教学团队是依据DLA的模型仿射生成。DLA为“扩散受限聚集”, 体现非平衡生成和凝聚的特点。常见模型分二维和三维两类, 是一定距离不断释放离子的过程。
团队的核心吸引子是龚永辉老师, 在其努力下, 教学团队初步成型;这个团队中, 有的负责教学的内容设计, 有的专攻教学的建导, 还有的完善教学的网络设计, 众人拾柴火焰高。三年努力, 这个团队从青涩逐渐走向成熟, 早期团队成员转而成为新的吸引子, 凝聚各学科的学者, 释放团队更大的影响力。如今, 这个团队已经发展为29人, 青年居多, 生机勃勃。就是这个团队, 为课程改革和创新立下汗马功劳, 也为形成课程群奠定基础。
2. 课群仿射辉映。
既然教学团队凝聚了各学科的成员, 分形的原理也被自觉地带入了相关学科的建导。文史课程自觉分形建导。广西民族大学的“公共关系学”课程, 仿射“民族理论与政策”的课程纲要, 从“十二和指月谈”“十二和放大镜”“十二和训练场”和“十二和情趣园”这四个板块, 层层生成自相似课程。除此之外, 理工课程也自觉分形建导, 尤其以杨社平教授亲自主持的“数学作文”最为典型。
五、分形课改的刍荛之见
分形理论是高校课程改革的亮点, 但并不是唯一方法, 也要依靠教育学的原则和方法。另一方面, 分形理论的自身依然具有一定局限性。还要辩证考虑混沌现象和混沌理论的存在。混沌理论是数学分支之一, 用来描述非线性过程中出现的混乱复杂的现象。最早发现混沌运动的研究是庞加莱的三体问题;真正让混沌运动上升为混沌理论的人是气象学家劳伦茨, 正如“蝴蝶效应”, 动态系统的运动轨迹和初始条件紧密关联, 初始条件的轻微变化———量的增减、质的优劣和结构组合, 都可能出现分叉, 最终, 差之毫厘, 谬以千里。人们的宏观预测往往作用甚微。混沌理论和分形理论关系密切, 但是含义迥异。
混沌现象也存在于课程改革的过程中, 无论是迭代节点的连续, 还是迭代结构的维持, 事实上都可能发生极小偏差, 这些看似微不足道的东西, 也许就会产生一系列的连锁反应, 使得课程改革的目标和结果大相径庭。《课改分形论》也应考虑到这种“意外情况”的存在, 以具体的章节或者典型的案例来说明:分形理论的课程变革是如何克服混沌现象的干扰。
摘要：杨社平教授以分形理论服务高校课程改革, 践行“立德树人”。分形理论是几何学的分支学科之一, 近年来发展迅猛, 广泛应用于自然社会科学的各个领域。从分形理论的应用新领域、结构建导新工具、本土研究新探索三个方面, 展现分形课改的新意。吸引子是课程纲要的活力所在, 自相似是教材内容的突出特点。迭代是课程生成的重要法则, 以“习”“研”“演”“练”的教学模式畅通迭代节点, 靠“趣”“情”“励”“合”的教学策略稳定迭代结构, 最终才能落实分形课改的主张。通过分形理论仿射效应, 教学团队连理, 多科课程辉映。由此可见, 课程改革卓有成效, 卓尔不群。建言课程改革还可从混沌现象和混沌理论汲取养分, 踵事增华。