《二面角》的教学设计论文

《二面角》的教学设计论文（共12篇）

《二面角》的教学设计论文 篇1

数学概念是数学的逻辑起点, 是学生进行数学思维的核心, 在数学学习与教学中具有非常重要的地位[1]。因此, 探讨数学概念教学的规律, 一直是数学教育领域的热点问题之一。而数学是思维的科学, 思维过程发生在个体头脑中, 是别人无法代替的, 有效的数学概念学习必须建立在学生积极主动思考的基础上。由于中学生的思维处于具体运演到抽象运演的过渡阶段, 因此, 数学概念教学中要尽可能采用适当的方法促进学生用概念形成方式学习, 突出概念的再创造过程, 使学生有机会经历概念产生的过程, 了解概念产生的背景和条件, 感悟概念的本质特征。

一、二面角的平面角概念教学有待关注

1.教材内容分析

二面角是空间几何的重要知识, 普通高中课程标准实验教材 (人教A版) 在必修2中重点揭示二面角的平面角概念的形成过程, 而求二面角大小的问题留在选修2-1中运用向量工具来处理。在必修2第2章第3小节, 二面角的概念是两个平面垂直的判定中的内容。它是在学生学习了异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后, 又一个要学习的空间角, 为以后从度量的角度揭示平面与平面的位置关系 (垂直关系是其中的一种特殊关系) 奠定了基础, 因此, 二面角的内容在教材中起到了承上启下的作用。同时, 通过本节课的学习, 可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

2.二面角的平面角概念教学中存在的问题

教材中只是用“水坝面和水平面所成的角度和卫星的轨道平面与赤道平面所成角度”作为例子, 引入二面角的平面角概念。于是, 很多教师在教学中也只是通过简单的实际例子引入二面角, 再讲解二面角平面角的定义。这样的教学能让学生感受到二面角模型来源于现实世界, 一定程度上经历了抽象出二面角的过程, 但与学生的生活现实联系不紧密, 也缺乏动手操作。虽然有教师的讲授和引导, 但总体上缺少学生自己的思维构造, 不排除有一部分学生能够实现有意义学习, 但对大多数学生来说, 只能机械记住意义和模仿应用。那么, 如何用探究的方法对“二面角的平面角”进行建构学习?本文以启发式数学教学思想为指导提出一个设计构想。

二、基于启发式数学教学思想的概念教学思路

教学改革的关键是教学思想的变革, 因为教学思想对教学活动起着定向的作用, 只有在正确的教学思想指导下的教学活动才能符合教学过程的客观规律, 充分调动学生的学习积极性和主动性, 才能培养学生的独立性和创造精神[2]。启发式教学思想是中国的教学瑰宝, 是教学法最基本的方法论, 是教学必须遵循的教学思想。它作为中国传统教育思想的精华, 需要不断丰富和发展。义务教育数学课程标准 (2011年版) 把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议, 由此彰显出启发式数学教学的重要性。

启发式数学教学强调教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发, 力求创设“愤悱”的数学教学情境, 以形成认知和情感的不平衡态势, 从而启迪学生主动积极思维, 引导学生学会思考, 使学生的思维得以发生和发展[3]。其关键在于教师有目的地启发学生“想数学”, 使学生经历必要的认知和情感的困惑阶段, 以此产生内在的学习需求, 从而在其头脑内部展开激烈的思维活动。就目前研究内容而言, 启发式教学思想指导下的概念教学设计探索很少;融操作方式于具体概念教学的研究论文更为鲜见。因此, 以启发式教学思想为指导如何进行数学概念教学活动值得深思。

基于启发式数学教学思想的概念教学设计思路为:概念教学过程中, 从学生已有知识经验出发, 创设愤悱的数学情境, 使学生由原来的自以为知逐渐承认自己的无知, 进入困惑的状态, 从而了解概念的背景和引入的理由, 以此产生内在学习需求; 在困惑的基础上, 启发学生通过观察、分析事例的属性, 抽象概括共同的本质属性, 归纳得出数学概念, 从而到知其所知。强调学生自己的思维构造, 用探究的方式自己建构概念。

三、基于启发式数学教学思想的概念教学设计及理论分析

此教学设计以启发式数学教学思想为指导, 以“二面角的平面角”课题为例, 按照概念形成的阶段进行教学设计。具体教学过程体现启发式数学教学理论对数学概念教学的指导作用, 是对启发式数学教学思想运用的积极尝试。

1.辨别刺激模式阶段———提供操作背景, 启发学生联系已有知识

背景一:教师把笔记本电脑缓缓打开到某一位置。

背景二:把门缓缓打开 (使门与墙面所成的角与笔记本电脑展开的角相当) 。

背景三:翻开一本书 (与笔记本电脑展开的角相当) 。

教师边操作边引导学生发现问题:是否感觉到书展开的角、笔记本电脑展开的角以及门与墙面所成的角在逐渐变化?

【设计意图】:波利亚说:“抽象的道理是重要的, 但是要用一切办法使它们能看得见、摸得着。”高一至高二年龄阶段的学生, 思维属于经验逻辑型, 一定程度上仍依赖直观具体的形象性材料来理解抽象的概念或逻辑关系。对于抽象概念来说就是指如何使学生把新概念与已有知识经验联系起来。上述设计中, 教师的操作和提问对二面角的平面角概念的要素信息显示得比较明了, 学生对这些材料进行充分的感知和动手操作, 为学生提供了使新知识与已有知识经验建立内在联系的机会。

2.分化抽象、提出假设阶段———使学生感受概念引入的必要性

教师提出问题:这三个角哪一个大?何以见得?

教师进一步提出问题:用什么工具来量?怎么量?

凭着直观判断, 大部分同学自以为知道如何度量一个二面角:可用量角器度量门与墙面和地面的交角;笔记本和书可以立起来, 度量其与桌面形成的交角。由此将空间角转化为平面角度量, 但这样的理解存在缺陷。

【设计意图】数学的严谨性要求数学结论的叙述精炼准确, 而对结论的推理论证要具备一定的严格性, 做到步步有据。虽然三个角看上去一样大, 但为了使学生懂得精确的必要性, 启发学生有必要进行代数度量, 仅凭观察是不能完成的。以此从两个角度需要引入概念, 一是实际生活需要, 二是数学内部需要, 使学生感受到学习二面角的平面角概念的必要性。

3.检验假设、确认关键属性阶段———创设“愤悱”情境, 形成疑难和困惑

检验过程中突出变式的作用, 教师使用多媒体演示, 创设“愤悱”情境:①学习机的图片。②修筑水坝时, 为了使水坝坚固耐久, 必须使水坝面和水平面成适当的角度。③发射人造地球卫星时, 也要根据需要, 使卫星的轨道平面和赤道平面成一定角度。

【设计意图】对于“门与墙所成的角”、“笔记本的展角”、“书的展角”, 学生可以使用降维的方法找到平角度量。因此, 学生原先自以为知道如何度量一个二面角。可是, 对于多媒体所呈现的“不规则的二面角”, 却又很难找到恰当的平面角来度量它的大小。前后问题情境的对比, 使学生的思维漏洞得以暴露, 直接形成认知冲突, 使学生陷入了困惑之中。以此产生内在的学习需求, 激发了学生的学习欲望和探索新概念的积极性。

4.抽象概括、形成概念阶段———启发学生探索概念的本质属性

通过前面的学习, 学生已具有了一定的空间想象能力, 教师引导学生通过观察、比较进行抽象和概括活动。

引导学生回顾平面角的定义和构成, 类比得出两个平面所成角的定义和构成, 以及如何用平面内的角来度量二面角。

对于学生学过的两个空间角 (“异面直线所成的角”和”斜线与平面所成的角”) , 都是将其转化为平面角进行度量的。怎么用平面内的角来度量二面角呢?请学生重新观察“书展开的角”“笔记本电脑展开的角”以及“门与墙面所成的角”, 我们能通过度量平面角得出。所度量的平面角有什么特征?为什么大家在幻灯片上呈现的“不规则的二面角”, 没有发现“平面角”?

为了启发学生思维, 教师呈现三个提示性问题:

角的顶点落在什么位置?

角的射线落在什么位置?

角的两边与棱有什么关系?

通过思考、讨论、类比 (“异面直线所成的角”和“斜线与平面所成的角”) 、归纳, 学生可以得出以下几种思路:思路一, 在二面角的棱上任取一点, 过此点作一个平面和这条棱垂直, 这个平面和二面角的两个半平面相交于两条射线, 得到一个角。思路二, 在二面角的一个平面内任取一点, 过这一点作另一个平面以及棱的垂线, 连接两个垂足, 得到一个角。思路三, 在二面角的棱上任取一点, 过这一点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条垂线, 得到一个角。

针对上述探索结果, 进一步提出问题:这三种角有什么区别和联系?哪个角是要找的角?学生思考归纳后, 指出:三种方法得到的角都是要找的角, 其本质是相同的, 都可以用来度量二面角, 但第三种思路较为简单明了。

【设计意图】学生通过直觉思维和类比的数学方法对二面角的平面角定义作出猜想, 然后再加以论证, 符合人类认识事物的一般规律。而且, 在亲身经历概念的形成过程中, 体会到数学思想方法 (类比、化归) 的重要性。

5.形式化表示概念及应用阶段———学生经历概念的数学化表征及应用过程

引导学生进一步思考:为什么可以这样定义? 这个角是否唯一?

教师和学生共同抽象、概括二面角的平面角的形式化定义, 并使用以下启发性提示语。

(1) 请学生分别用文字语言、图形语言和符号语言来叙述“二面角的平面角”的定义。

(2) 探讨概念学习过程中用到的数学思想方法 (类比、化归) 。

【设计意图】“唯一性”是数学思维严谨性的表现, 在探索时要启发学生进行全面深刻的思考。启发式教学思想强调“开其意, 达其辞”。学生经过独立思考, 想表达问题而又表达不出来时, 教师要引导学生用通畅的语言进行表达。

请学生根据二面角的平面角定义, 指出如何度量①学习机展开的角度②水坝面和水平面成适当的角度③卫星的轨道平面和赤道平面成一定角度?

【设计意图】使学生在应用概念解决问题的过程中, 获得了对二面角的平面角概念的深刻理解, 并有利于学生合理的数学观的形成 (例如, 数学概念不是天上突然掉下来的, 而是由于研究问题的需要自然而然引入的, 是从现实世界中抽象出来并有着广泛应用的;其定义是合乎情理的;探索数学是有趣的等) 。

基于启发式数学教学思想的概念教学过程中, 教师通过创设“愤悱”的教学情境, 使学生产生疑难、问题, 经历必要的困惑阶段, 从而更加积极地进行数学思考。并体味到已有概念不够用了, 才需要引入新概念, 以此产生内在的学习需求, 力求使数学概念的形成自然、合乎情理。同时, 教师要鼓励学生用探究的方式自己建构概念。在此过程中教师可以在思考方向、思考方法、思维策略上加以适当的点拨和启发, 使学生经过自己的真正努力掌握数学概念的本质, 领悟概念所反映的数学思想方法, 建立相关知识的联系, 学会数学地思考和表达。

参考文献

[1]涂荣豹, 王光明, 宁连华.新编数学教学论.上海:华东师范大学出版社, 2008.

[2]章建跃.略论启发式数学教学的基本要求.数学通报, 1992 (6) .

[3]韩龙淑, 王新兵.数学启发式教学的基本特征.数学教育学报, 2009, 18 (6) .

《二面角》的教学设计论文 篇2

一、教学内容解析

“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。

“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。

故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。

二、教学目标设置

在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。

故而，在本节我设计的目标要求如下：

（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。

（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、学生学情分析

在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。

不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形，关键在于怎样去计算“二面角”的大小，它的大小又是用哪个角去代替，两面中有很多的线，哪个线更直接，更方便，教学的难点就在这里，是要让学生达成共识，对二面角的平面角的“代表性”进行认同。

四、教学问题诊断分析

学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成，但在其中的确切定义的理解会出现差异，从名称可以看出应是两个平面组成的角，但实际是两个半平面，而且在寻找到二面角平面角后，对平面角的认同也会存在着一定的误区，就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。本节知识没有理解的难点，因为有具体的空间为想象的基础，只是在其中有需要去具体细化的概念。

五、教学过程 1．课题引入

首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理，再让学生去回顾直线与平面垂直的定义，直线与直线垂直的定义，在两直线垂直的定义中可以发现是从90º角去定义的，再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象，即直线与平面垂直是可以从90º的线面角去描述的，从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。2．探究二面角的定义

先展示两个平面相交的图形，如图①，从图中就可以感受到有四个角的形式，而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况，借此机会教师提出疑问，什么时候才能够说对顶角，当然是在两直线相交的情况，所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形，就会有如图②的情况。

图②

图①

面缩成了直线，线变成了点，那就会有角的真实存在了，既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角，那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义，借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。

再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定义

平面中的角是有大小的，而且两个平面的展开形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也应该有大小。问题就来了，“二面角”的大小该用哪个角去表示呢？用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本，打开课本就可以形成一个“二面角”，然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。

教师就利用软件展示一个动态的过程，形成统一的认识，如图③。

图③

再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化，观察“二面角”与∠POQ的变化对应关系可以发现它们的对应关系，后引导学生观察∠POQ的特征，故而给出“二面角”平面角的具体概念。

4．对比其他空间角的度量形式

异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角，它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角，在空间中从不同角度观察两异面直线，便可得到如图④。

从图中可以观察出，“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。

图④ 5．完善点、直线、平面垂直关系

二面角的求法初探 篇3

例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.

解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。

∵PA⊥α, аα ∴PA⊥а

同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB

又∵OA平面PAB ∴а⊥OA

同理а⊥OB.

∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.

在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,

∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°

二、垂线定理（逆定理）法

由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

解：∵PM丄平面ABC，AC丄AB，

∴由三垂线定理得：AC 丄AP，

∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角，

即∠PAB =45°，

又AM=1[]2AB=2. ∴PM=2

作MD丄 BC于D，连PD，

则PD丄 BC，

故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角

RtΔMBD∽RtΔCAB

BM：BC=MD：CA又BC=5，MD=6[]5

在Rt ΔPDM中，tg∠PDM=PM[]DM=5[]3，

故∠PDM=arctg5[]3， 即二面角P—BC—A的大小为arctg5[]3。

（2）∵PM丄平面ABC，BM=MA，∴PA=PB，又∠PAB=45°∴PM丄PA，

又PM丄平面ABC，BM丄AC，∴PB丄PA，

又PM丄平面ABC，BM丄AC∴PB丄AC，

故PB丄平面PAC，∴PB丄PC，即∠APC是二面C—PB—A的平面角，

在RtΔPAB中，∠PAC=90°，AC=3，PA=2，AM=22，∴tg∠APC=32[]4因此二面角C—PB—A的大小为arctg32[]4。

三、平移或延长（展）线（面）法

将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。

例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。

解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE

∵E、F是B、C射影 ∴BE丄α；∵CF丄α ∴BE∥CF 又CF：BE=1[]2，

∴C是BD的中点∴BC=DC，

∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，

∴∠ACD=120°又AC=DC ，∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，

∴∠BAD=90°，∴BA丄AD ，

又∵AE是AB在平面α上的射影，

∴AE⊥AD又 BA⊥AD ，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，

∴BE⊥平面α，∴ BE⊥AE ， ∴ΔABC是 RtΔ

Sin∠BAE=BE：AB=2[]5，即平面ABC与α所成角的正弦值为2[]5。

四、找（作）公垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例4、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。

解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．

而CD平面PCD，

所以 平面PCD⊥平面PAD．

同理可证 平面PAB⊥平面PAD．

二面角的平面角剖析 篇4

A版教科书定义如下:以二面角的棱上任意一点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.B版教科书则做如下定义: 一个平面垂直于二面角α—l—β的棱 l, 且与两个半平面的交线分别是射线OA, OB, O为垂足, 则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.比较起来, B版教科书用垂直于棱的平面来定义二面角的平面角, 更为直观.

在学生提出为什么要这样规定二面角的平面角后, 孙琪斌老师只好重新叙述“因为经过二面角棱上的任意一点, 在两个半平面内作垂直于棱的射线, 两射线组成的角的大小与点在棱上的位置无关, 所以我们用它来表示二面角的大小”.

但学生马上说, 如果从棱上一点在两个半平面内向同侧作与棱成45度的线, 这样的角也与点的位置无关, 为什么不规定这样的角为二面角的平面角呢?

这句话引起了大家的深思, 有的说垂直时的角是所有从棱上一点出发在两个半平面内作射线所得的角中最小的一个, 被大家否定了 (图1) , 因为如果两条射线同向无限接近棱线时所形成的角无限接近于零.

那是不是最大的呢, 也被大家否定了 (图2) , 因为如果两条射线反向无限接近棱线时所形成的角无限接近于180°.

最后有人提出:只有在垂直时得到的角是与给定的二面角是一一对应的.但一位老师当场上台作图证明, 否决了它 (图3) .过程如下:

设AD、BD与棱 l 都成45°角, ∠ADB=α, 二面角大小为θ, ∠ACB为二面角的平面角.

设DC=1, 则undefined

在△ADB中,

undefined

又在△ACB中,

undefined

唯一确定, 即α与二面角θ一一对应.所以这样的角与给定的二面角之间也是一一对应的.显然不能用唯一对应来解释为什么定义平面角.

这一问题也引发了我的思考, 直观上觉得二面角的平面角是有其内在意义的, 那它的意义在哪呢?

从上面图1和图2我们可知道, 从二面角的棱线上任一点在两个半平面上引出的两条射线所形成的角, 可为0°和180°之间的任意一个角度, 那么, 如果半平面内的射线是垂直于棱的, 那它和另一半平面上的射线所成的角又是怎么样的呢?二面角的平面角在其中又有什么意义呢?

探讨如下:作图4, 在二面角中, 取棱上任意一点O, 作OA、OB垂直于棱, OC为半平面内不垂直也不平行于棱的任一射线, 过点C作垂线与OB相交于点B, ∠AOB为二面角的平面角, 设为θ, ∠AOC=α.

在△AOB中, AB2=AO2+BO2-2AO·BOcosθ.

由于BC//l, 又 l⊥面AOB,

所以BC⊥AB,

在△ABC中, AC2=AB2+BC2=AO2+BO2+BC2-2AO·BOcosθ.

在△OBC中, ∠OBC为直角, 故CO2=BO2+BC2.

在△AOC中, AC2=AO2+CO2-2AO·COcosα=AO2+BO2+BC2-2AO·COcosα,

故:BOcosθ=COcosα.

因为BOcosα.

由此可知:

当0°<θ<90°时, θ<α, 即平面角在垂线与另一半平面上所有射线形成的角中最小;垂线与另一半平面上所有射线形成的角介于平面角和直角之间.

当90°< θ<180°时, θ>α, 即平面角在垂线与另一半平面上所有射线形成的角中最大;垂线与另一半平面上所有射线形成的角介于平面角和直角之间.

当θ=90°时, 垂线与另一半平面上所有射线形成的角都等同于平面角, 都是90°, 即垂线垂直于另一半平面, 也即二个面垂直.由此, 我们可以归纳出如下定理:半平面内棱的垂线与另一半平面上所有射线形成的角介于平面角和直角之间.

《数学符号学概论》中讲到, 数学概念必须满足确定性原则、简明性原则、方便性原则[2], 二面角的平面角在上面这些结论中确实起到了这种作用, 这大概就是定义它的意义所在吧.

参考文献

[1]孙琪斌、刘国平.二面角教学随想.数学教学.2007.4.

求解二面角的六种常规方法 篇5

求解二面角问题是高考的热点问题，在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析，我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此，本文总结了常见的六种求解二面角的方法，希望能给部分读者以帮助.

1、定义法

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法.

【例1】 如图1，空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a，BD=2a，求二面角A—BD—C的大小.

图1

解:取BD的中点为O，分别连接AO、CO，

∵AB=AD，BC=CD.

∴AO⊥BD，CO⊥BD.

∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.

∵AB=AD=a，BD=2a，

∴AO=22a.

∵BC=CD=a，BD=2a，∴OC=22a.

在●AOC中，OC=22a，OA=22a，AC=a，OA?2+OC?2=AC?2，

∴∠AOC=90°，即二面角A—BD—C为直二面角.

2、三垂线法

是指利用三垂线定理，根据“与射影垂直，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法.

【例2】 如图2，二面角α-AB-β的棱AB上有一点C，线段CD?α，CD=100，∠BCD=30°，点D到平面β的距离为253，求二面角α-AB-β的度数.

图2

解:过D作DE⊥β于E，DF⊥AB于F，连接EF.

∵DF⊥AB，EF是DF在β内的射影，

∴AB⊥EF(三垂线定理).

∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.

在Rt●DEF中，DF=12CD=50，DE=253，

∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.

∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.

3、垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的.一种方法.

【例3】 如图3，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB，SB=BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D，求二面角E-BD-C的大小.

图3

解:∵BS=BC，SE=EC，

∴SC⊥BE，又∵SC⊥DE，

∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.

又∵BD⊥SA，∴BD⊥面SAC.

∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.

设SA=a，则SB=BC=2a.

∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC.

∴BC⊥SB.

∴SC=2a，∠SCD=30°.

∴∠EDC=60°，

即二面角E-BD-C的大小为60°.

4、面积射影法

所谓面积射影法，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=S?射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).

【例4】 在正方体ABCD-A?1B?1C?1D?1中，K∈BB?1，M∈CC?1，且BK=14BB?1，CM=34CC?1，求平面AKM与ABCD所成角的大小.

图4

解:连结AC，则由题意可知，

《二面角》的教学设计论文 篇6

从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角.

总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

本文主要探究一道关于立体几何的二面角题目的解法，这种题主要考查立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直等知识，同时考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.二面角是立体几何中的一个非常重要的数学概念，它具有综合性强、灵活性大的特点，所以求二面角的大小更是历年高考的热点，几乎在每年全国各省市的高考试题中，尤其在大题中，都有出现.虽然求二面角的方法很多，但以下主要介绍三种常用的方法：三垂线定理及逆定理法、向量法、射影面积法.

从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角.

总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐.

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本文主要探究一道关于立体几何的二面角题目的解法，这种题主要考查立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直等知识，同时考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.二面角是立体几何中的一个非常重要的数学概念，它具有综合性强、灵活性大的特点，所以求二面角的大小更是历年高考的热点，几乎在每年全国各省市的高考试题中，尤其在大题中，都有出现.虽然求二面角的方法很多，但以下主要介绍三种常用的方法：三垂线定理及逆定理法、向量法、射影面积法.

从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角.

总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐.

如何上好“二面角”的习题课 篇7

求二面角的常用方法有：

(1)定义法：作棱的垂线：从棱上一点分别在两个平面内作棱的垂线，所成夹角即为二面角的平面角。

(2)利用三垂线定理或逆定理：“两垂线一连结”。

(3) 面积射影公式:

(4)向量法：建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量n1和n2，则n1和n2的夹角或其补角即为二面角的大小。

教师怎样才能让学生掌握上面的几种方法?我发现在《成材之路》第76页有这样一题：如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, ，求SC与平面ABCD所成的角。

我把此题改编为：求面SBC和面SAB所成的二面角。

此题为无棱二面角，首先找棱。

我提示：要找棱，只要再找到棱上的另一点而延伸平面，实际是延伸平面内的直线。那么延伸两平面内的哪两条直线才合适?

通过同学之间的交流，学生很容易就得到图1。

紧接着我提示：大家回忆一下，找二面角的平面角通常有哪些方法?

学生通过互相交流，马上说出前文所述的四种方法，然后我说：“我们分四个小组打一个擂台赛，看哪一组做得又快又准。”学生的积极性马上被调动起来。“投影法”这一小组的学生最先完成，其次“向量法”小组，再次“三垂线”小组，最后是“定义法”小组(在我的提示下完成)。

四组学生使用不同方法用的时间长短不同。我总结如下：此题四种常用方法都适用，所以此题不失为求二面角的一道典型题。对此题我总结如下：

一、用投影法做此题，大家要注意，做题的时候一定要对公式进行说明。

二、向量法是我们必须掌握的方法，建系设点是我们新教材中解决立体几何难点的重要手法，向量是工具，它能把几何问题转化为代数计算问题，所以我们必须掌握利用向量法解决几何问题。

三、三垂线法是我们解决立体几何的几何方法，它主要考查的是三垂线定理、逆定理的应用，也是求二面角的一种重要手段，同时考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力。

四、定义法也是常用的方法，但是要注意：当题中给的数据比较多时，我们不妨从小处着眼，看看图形中边长数据之间的关系，观察它们的特点，进而直接在图形当中找到二面角。此题做得最慢的一组学生为什么没有做出来，关键是如图2，图中的∠SBC本身是直角，但很多学生证不出来，并且图中∠CSB就是面SCD和面SAB的二面角，我们只需通过边的数据，证明即可。但是很多学生都在二面角的棱上找一个点去作二面角的平面角，这样就使简单问题复杂化了。

二面角的一种新解法 篇8

关键词：立体几何,二面角,解法

二面角的求法, 一般步骤是“作—证—求”, 从计算量上来说, 选择做出二面角, 然后通过求解来求二面角, 运算量小, 但一般思维难度大.若运用向量的方法, 则降低了思维量, 但增加了计算量。

1 二面角的通常求法

(1) 由定义作出二面角的平面角; (2) 作二面角棱的垂面, 则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角; (3) 利用三垂线定理 (逆定理) 作出二面角的平面角; (4) 空间坐标求二面角的大小。

2 二面角新解法的剖析

那么, 只需要求解出二面角所涉及的两个平面方程, 二面角自然迎刃而解。

3 二面角新解法的应用

例1:如图2, 在多面体ABCDEF中, 四边形ABCD是正方形EF⁄⁄AB, EF⊥FB,

H为BC的中点, 求二面角B-DE-C的大小。 (2010年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷第18题)

解:作平面直角坐标系H-xyz, 设BH=1, 即B (1, 0, 0) , C (-1, 0, 0) , D (-1, -2, 0) , E (0, -1, 1) , 平面上任意一点O (0, -1, 0) .

令平面BDE的方位向量:

则其中:

所以, 平面BDE的法向量1n= (1, -1, 0) 。

令平面CFED的方位向量为则其中:

所以, 平面CFED的法向量2n= (1, 0, -1) 。

所以:

所以, 二面角B-DE-C的大小为60°。

例2:如图3, 四边形ABCD为正方形, PD平面ABCD, , 求二面角Q-BP-C的余弦值。 (2011年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷第18题)

解:作平面直角坐标系D-xyz,

设DC=1, 则C (0, 0, 1) , Q (1, 1, 0) , P (0, 2, 0) , B (1, 0, 1) 。

设平面QBP的方位向量:

则其中:

所以, 平面QBP的法向量1n= (-1, -1, -1) , 设平面CBP的方位向量, 则其中:

所以, 平面CBP的法向量2n= (0, -1, -2) 。

4 二面角新解法剖析总结

对将二面角新解法进行观察发现, 平面π1, π2方程中常数项D1, D2不影响其法向量, 那么, 二面角求解更为简便, 只需表示出所涉及平面的方位向量, 通过方位向量分别表示出A1, B1, C1和A2, B2, C2, 即可求得二面角的大小。 (提示:

参考文献

另辟蹊径求二面角的大小 篇9

但在实际解决问题时, 我们发现难以确定如何取正负号.造成上述问题出现的原因是难以确定平面的法向量的方向是指向二面角的内部还是外部.因此需要找到一种既简便实用又不脱离高中知识网络的方法来解决以上问题.

以下就是一种借助于“参照向量”来求二面角大小的方法该方法可避免钝与锐的确定, 直接求得结果.

性质1:点P为二面角α—l—β内部的一点, A为l上的点, 平面α的法向量为n, 若n·>0, 则n指向二面角的内部, 若n·<0, 则n指向二面角的外部.

例1长方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱长AB=3, AD=4, AA1=2, 求二面角B1—AC—D1的大小.

解:如图1建立坐标系A-xyz, 因为AB=3, AD=4, AA1=2, 所以A (0, 0, 0) , C (3, 4, 0) , B1 (3, 0, 2) , D1 (0, 4, 2) , A1 (0, 0, 2) .

设平面ACB1和平面ACD1的法向量分别为

因为n1⊥面ACB1,

同理可得n2= (4, -3, 6) .

设二面角B1—AC—D1的大小为θ, 则

例2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中.

(1) 求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0; (2) 求直线AA1与平面ACD1所成的角.

解析: (1) 建立空间直角坐标系, 如图2, 则A (1, 0, 0) , C (0, 1, 0) , D1 (0, 0, 1) .得

设平面ACD1的法向量n= (x, y, 1) , 又n⊥面ACD1, 得

(2) 由 (1) 知, n= (1, 1, 1) , = (0, 0, 1) ,

说明:由于直线与平面所成角θ的范围是[0, ], 则sinθ≥0;而两个向量的夹角范围是[0, π) , cos的符号有多种可能, 故取sinθ=cos

变式练习题

1.如图3, 在长方体ABCD—A1B1C1D1中, AD=AA1=1, AB=2, 点E在棱AB上移动.

(Ⅰ) 证明:D1E⊥A1D;

Ⅱ) 当E为AB的中点时, 求点E到面ACD1的距离;

(Ⅲ) AE等于何值时, 二面角D1—EC—D的大小为

2.如图4, 四棱锥P—ABCD中, 底面ABCD为矩形, PD⊥底面ABCD, AD=PD, E, F分别CD、PB的中点.

(Ⅰ) 求证:EF⊥平面PAB;

(Ⅱ) 设AB=BC, 求AC与平面AEF所成角的大小.

3.如图5, 已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形, AB∥DC, ∠DAB=90°, PA⊥底面ABCD, 且PA=AD=DC=AB=1, M是PB的中点.

(Ⅰ) 证明:面PAD⊥面PCD;

(Ⅱ) 求AC与PB所成的角;

《二面角》的教学设计论文 篇10

问题:如图1, 已知△ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将△ACD折成△A′CD, 所成二面角A′-CD-B的平面角为α, 则 () 。

(A) ∠A′DB≤α (B) ∠A′DB≥α

(C) ∠A′CB≤α (D) ∠A′CB≥α

此题是2015年浙江省高考数学理科的第8题, 属于压轴题, 有一定的难度, 由于图形是动态的, 因而∠A′DB, ∠A′CB与二面角A′-CD-B的平面角α都是变化的。它们间的大小关系如何呢?下面, 我们首先给出这个问题的两种解法。

解法1:直接法。

在空间图形中, 过点A′作A′N⊥DC, 过点B作BM⊥DC, 垂足分别为N, M, 过点N作NP∥=MB, 则BP∥DC。

连接A′P, NP⊥DC,

则∠A′NP就是二面角A′-CD-B的平面角。

所以∠A′NP=α。

把立体图形平面化, D是AB的中点,

则设AD=BD=1, DN=x,

而A′B2=A′D2+BD2-2A′D·BDcos∠A′DB=2-2cos∠A′DB,

易知BP⊥A′P。

在Rt△A′BP中,

A′P2=A′B2-BP2=2-2cos∠A′DB- (2x) 2,

在△A′NP中, A′P2=A′N2+NP2-2A′N2·NPcosα=2-2x2-2 (1-x2) cosα。

所以2-2cos∠A′DB- (2x) 2=2-2x2-2 (1-x2) cosα。

所以cosα-cos∠A′DB= (1+cosα) x2≥0。

所以cosα≥cos∠A′DB。

因为α, ∠A′DB∈[0, π], 而y=cos x在[0, π]上为减函数, 所以α≤∠A′DB, 故选B。

解法2:间接法。

对△ABC, 沿直线CD将△ACD折成△A′CD, 构造如图3所示的三棱锥, 可以知道∠A′DB和α的补角分别是∠A′DA和∠A′NA。

要比较这两个角的大小, 只需要比较它们补角的大小。

在Rt△AND中, DN⊥AN, 所以AD>AN。

同理, 在Rt△A′ND中, A′D>A′N,

所以∠A′DA<A′NA, 所以∠A′DB>α。

而当点D和点N重合时, ∠A′DB=α。

综上, ∠A′DB≥α。

二、问题提出

点D必须是中点吗?若不是中点, 结果会怎么样?

由解法2, 当点D在AB上移动时, 我们可以过点B作BP∥CD, AN⊥BP交CD于点N, 交BP于点P。

那么, AD>AN, A′D>A′N,

则∠A′DA<∠A′NA, 所以∠A′DB>α。

即不管点D位置如何, 都有∠A′DB≥α。

感兴趣的读者也可以根据解法1设一个比值来解。那么, 为什么无论点D位置如何, 最后结论都一样呢?

三、本质分析

人教A版教材必修2对二面角的平面角是这样定义的, 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O, 以点O为垂足, 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB, 则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角。∠AOB的大小与点O在l上的位置无关。

事实上, 此题就是两相交直线AB, CD沿其中一条直线CD翻折成一个二面角, 作OA′⊥CD, OB′⊥CD, 则二面角的平面角即为∠A′OB′。设其大小为α, OA, OB在过点O与棱垂直的平面A′OB′的异侧, 如图4与图5所示, 当θ1=θ2时, ∠AOB≥∠A′OB′, 即∠AOB≥α。

若OA, OB在平面A′OB′的同侧, 当θ1=θ2时, 会出现什么情况呢?如图6与图7所示, 过点A作AO′∥A′O, 过点O′作O′E∥OB′交OB于点E, 连接AE。

由等角定理可知, ∠AO′E=∠A′OB′=α。

设OA=a, OE=b, 则在Rt△AO′O中, 可以得到AO′=asinθ。

同理可得EO′=bsinθ。

所以在△AO′E中, AE2= (asinθ) 2+ (bsinθ) 2-2 (asinθ) (bsinθ) cosα= (a2+b2-2abcosα) ·sin2α。

在△AOE中, AE2=a2+b2-2abcos∠AOB。

所以a2+b2-2abcos∠AOB= (a2+b2-2abcosα) ·sin2α。

因为sin2α≤1, 所以a2+b2-2abcos∠AOB≤a2+b2-2abcosα, 所以cos∠AOB≥cosα。

因为α, ∠AOB∈[0, π], 而y=cos x在[0, π]上为减函数, 所以α≥∠AOB。

总之, 当θ1=θ2时, 垂直于棱的平面角α与不垂直于棱的平面角∠AOB大小关系是确定的。当射线OA, OB在平面A′OB′的同侧时, ∠AOB≤α;当射线OA, OB在过点O与棱垂直的平面异侧时, ∠AOB≥α。因此, 取射线OA, OB与棱所成角相等时, 平面角∠AOB的大小总存在最值, 其最值是垂直于棱的平面角α的值, 取这个最值对应的平面角作为二面角的平面定义, 符合数学定义的一般规定。例如, 两异面直线间的距离取的是两异面直线上两点间距离的最小值, 即两异面垂线段的长度;直线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中的最小角, 即取该直线与此直线的射影所成的角。

进一步推广两个定理。

定理1:从二面角α-l-β的棱上一点O, 分别在两个平面内引射线OA, OB, 它们与棱所成的角分别为θ1, θ2, 且, ∠AO′B为二面角的平面角, OA, OB在平面AO′B的同侧。当θ1≠θ2时, 若∠AO′B为钝角或直角, 则∠AOB≤∠AO′B;若∠AO′B为锐角, 则∠AOB与∠AO′B的大小关系不能确定。当θ1=θ2时, 不管二面角的大小如何, 都有∠AOB≤∠AO′B。

定理2:从二面角α-l-β的棱上一点O, 分别在两个面内引射线OA, OB, 它们与棱所成角分别为θ1, θ2且, ∠AO′B为二面角的平面角, OA, OB在过点O与棱垂直的平面异侧, 当θ1≠θ2时, 若∠AO′B为锐角或直角, 则∠AOB≥∠AO′B;若∠AO′B为钝角, 则∠AOB与∠AO′B的大小关系不确定;当θ1=θ2时, ∠AOB≥∠AO′B。

摘要：以2015年浙江省高考数学理科的选择题第8题的解法为例, 探讨了高中数学立体几何内容中二面角的平面角定义的合理性。

关键词：二面角,平面角,高考试题

参考文献

《二面角》的教学设计论文 篇11

试题如图1，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角B—AD—E的大小.

草稿先在草稿纸上重新画出题设示意图，然后按题意标出五条棱的已知长度2、2、1、1、2和两个直角记号（如图1），接着按实际比例和角度独立画出底面直角梯形BCDE（如图2）便于观察，可以在上述两图中依次补充标出BD=2、BC=2，这时就明白了DB⊥BC，这就捕捉住了解题的起笔灵感.

解在四棱锥的底面直角梯形BCDE中，两次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=（2-1）2+12=2，则BD2+BC2=4=CD2，则DB⊥BC（勾股定理的逆定理）.又因为平面ABC⊥平面BCDE，则BD⊥平面ABC（两平面垂直的性质定理），则BD⊥AC（线面垂直的定义）.又同理得BC⊥AC，则AC⊥平面BCDE（线面垂直的判定定理），进而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7，同理得AD⊥DE（以上表述是下面多种思路及解法的共同开头环节）.

思路一运用定义法

解法1如图3，先作BH⊥AD于H，再作HF⊥AD交AE于F，则∠BHF是二面角B—AD—E的平面角.

在Rt△ABD中，BH=2·26=23，AH=226=236=23AD.在△ADE中，已作HF⊥AD、已证DE⊥AD，则HF∥DE.又已求AHAD=23，则HF=23DE=23，AF=23AE=273.

在△ABE中，两次用余弦定理列方程

AF2+AB2-BF22·AF·AB=cos∠BAF=cos∠BAE=AE2+AB2-BE22·AE·AB，代入解得BF=23.在等腰△BHF中，BF=HF，则 cos∠BHF=BH2·FH=32，则∠BHF=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°.

解法2提示：已证AD⊥DE，再作DF1⊥AD交直线AB于F1，则∠EDF1是二面角B—AD—E的平面角.…….

评注用定义法求二面角的大小，首先要过二面角的棱上某点分别在两个半平面内作出或找到垂直于棱的线段而构成二面角的平面角，这牵引着后面的计算化归；虽然用定义法求二面角大小的演算较繁琐，但它却是后续解法的概念依托和计算基础.

思路二运用体积法

解法3设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图1已证AD⊥DE，则点E到平面ABD的距离为DE·sin θ.

由于VE—ABD=VA—BED，AC⊥平面BCDE，则13·SRt△ABD·（DE·sin θ）=13·SRt△BED·AC，即13·2·（1·sin θ）=13·12·2，则sin θ=12（θ为锐角）， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的平面角大小为30°.

解法4提示：设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图3作BH⊥AD于H，则点B到平面ADE的距离为BH·sin θ，……

评注变换同一个三棱锥的相对底面与高，巧妙地运用方程思想，用体积法求二面角的大小，过程简洁、省时实用.

思路三运用向量法

解法5提示：适当建立空间直角坐标系后，通过解方程组求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2，则二面角B—AD—E的平面角θ适合公式 cos θ=±cos〈n1，n2〉=±n1·n2n1n2（酌情取正号或负号）.……

解法6取直线DE、DC分别为x轴、y轴，建立如图4所示空间直角坐标系D—xyz，则点D（0，0，0）、E（1，0，0）、B（1，1，0）、A（0，2，2），则DE=（1，0，0）.作BH⊥AD于 H，则二面角B—AD—E的平面角等于向量DE与HB所成的角.

同解法1得AH=2AD3，则 DH=DA3， 则 H（0，23，23），则 HB=（1，13，-23）， 则 HB=23.因为cos〈DE，HB〉=DE·HBDE·HB=32，所以〈DE，HB〉=30°.即二面角B—AD—E的大小等于30°.

评注解法5是教科书介绍、大家熟知的向量法，计算两个（面）法向量的通法比较费时，最后确定二面角的大小还要鉴别是取〈n1，n2〉还是取180°-〈n1，n2〉，全程颇费周折；相比之下，解法6利用“线法向量”就易学易用，避繁就简！

思路四运用垂直三折线公式图5解法7将解法1的图3提炼成图5，其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23，且DH⊥DE、DH⊥HB，则运用教科书的例题结论求得，二面角B—HD—E即就是原二面角B—AD—E的平面角θ，cos θ=HB2+DE2+DH2-BE22·HB·DE=43+1+23-12×23×1=32， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°.

评注为了读者们易记、活用，可将目前人教A版高中数学课标教科书选修2-1第32节的例2结论重新表述成——如果两条异面直线H1P1与H2P2的公垂线段是H1H2，那么二面角P1-H1H2-P2的平面角θ适合余弦公式

cos θ=H1P21+H2P22+H1H22-P1P222·H1P1·H2P2.

最后指出，引导学生平时自主摸索或阅读理解多种解题思路，养成探究、博览、应用的习惯，更有利于开发学生的数学潜能！

《二面角》的教学设计论文 篇12

例1如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D是BB1的中点, 异面直线AB1与CD成45°角, 求二面角A1-AC1-B1的大小.

策略一定义法———根据定义先找出二面角的平面角, 然后通过解三角形等求出这个角.

解取AB的中点为G, AB=2,

易知

作B1H⊥A1C1, HK⊥AC1, H, K分别为垂足, 连接B1K, 则易知∠B1KH即为所求二面角的平面角.

得tan∠B, 故二面角A1-AC1-B1的大小为

策略二向量法———设m, n分别是二面角的两个面的法向量, 如果m, n的起点都在二面角的面内, 方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部, 则这个二面角的大小是π-〈m, n〉;如果m, n的方向一个指向二面角的内部, 另一个指向二面角的外部, 则这个二面角的大小是〈m, n〉.

二、无棱二面角的求解

问题:如图, 过正方形ABCD的顶点A引PA⊥面AC, PA=AB, 求面PAB与面PCD所成二面角的大小.

策略一向量法.建立如图所示的空间直角坐标系, 解法同上.

策略二构造法.构造正方体ABCD-PQRS, 将无棱转化为有棱, 即求二面角A-PQ-D的大小, 此时∠APD=45°.

策略三作棱.作PQ∥AB, 易知∠APD=45°即为所求二面角的大小.

策略四平面平移变换.取E, F, G, H分别为BC, AD, PA, PB的中点, 则有面EFGH∥面PCD, 故将所求二面角转化为求二面角A-GH-F的大小, 即∠AGF=45°.

策略五射影公积公式计算.可证△PAB是△PCD在面APB上的射影, 设二面角的平面角为θ, 则