单摆教学（共12篇）
单摆教学 篇1
选题背景
随着机器人技术的普及, 机器人进课堂成为一种趋势。但是, 从目前的机器人教学的内容来看, 机器人只是作为学习的对象, 有关机器人技术的本体知识构成了机器人课程的核心或全部内容, 模拟实验或模拟再现生产生活中的科技产品成为机器人课程的主要教学方式。尽管这对学习机器人的基础知识和基本技能来说非常有效, 但不应该成为机器人教学的全部。而科学探究, 作为一个世纪以来国际基础教育改革所努力追求的方向, 却在教学实践层面没有得到足够的重视。
实际上, 世界各国一直提倡学生科学探究能力的培养, 我国的新课程改革也特别强调科学探究活动。我们认为, 将机器人作为科学探究的一种工具和平台, 开展科学探究活动, 是中小学机器人教育的一个重要发展方向。因此, 在探究单摆周期的课堂活动中, 我们将红外数字避障传感器作为科学探究实验的一种工具, 搭建探究单摆周期的实验装置。这将不仅能够帮助学生学习机器人的基础知识和基本技能, 掌握与单摆实验相关的知识, 还能够培养学生的科学探究能力, 提高他们学习机器人的积极性。
方案设计
1. 教学内容和学生情况分析
本课的教学内容是利用Arduino探究单摆的周期, 并学会红外数字避障传感器的使用方法。本课的教学对象是温州中学高一学生, 他们已经对Arduino机器人产生了浓厚的兴趣, 并已理解了Arduino机器人的输入输出, 掌握了传感器及串口监视器的使用方法, 熟悉了Mixly的基本模块。
2. 教学目标
(1) 掌握Arduino机器人中红外数字避障传感器的使用。
(2) 通过自主设计探究单摆实验的方案, 体验科学探究的过程和方法。
(3) 通过利用Arduino做科学探究的实验, 感受传感器为工作带来的便利, 使学生对学习机器人产生积极的态度。
3. 教学重点和难点
本课的教学重点是通过利用Arduino探究单摆周期的实验, 理解科学探究的一般过程与方法, 难点是自主制定计划、设计探究实验方案。
4. 探究单摆周期实验的方案设计
由教学内容及教学目标可知, 本课题最重要的是让学生在理解单摆实验原理的基础上, 自主制定探究活动的实验方案, 从而体验科学探究的一般过程与方法, 提高学生学习机器人的兴趣。因此, 综合考虑教学内容、教学目标及课堂时间等因素, 本课题设计了如表1所示的实验方案。
硬件搭建
利用Arduino探究单摆的周期实验所用到的硬件器材有:Romeo控制器、红外数字避障传感器、USB数据线以及3P线等。
1. 红外数字避障传感器
红外数字避障传感器也称红外接近开关, 是一种集发射与接收于一体的光电开关传感器。传感器在接收到信号后, 会引起后测指示灯的亮灭。这款传感器背面有一个电位器, 可以根据需要调节障碍的检测距离。当探头前方无障碍时, 红外数字避障传感器输出高电平, 有障碍时则相反。
2. 硬件搭建
红外数字避障传感器自带了3P接线, 其中红线对应5V, 绿线对应GND, 黄线对应信号线, 将其按照对应颜色的接线接在Romeo控制器的数字针脚即可。本文中接线接在了2号数字针脚, 接线图如图1所示, 实物图如图2所示。
程序编写
程序编写需解决两个问题:一是记录单摆来回摆动的次数和时间;二是根据检测到的次数和时间自动输出单摆的周期。由于单摆刚开始摆动时不很稳定, 因此有必要略过前几次摆动的次数及时间。这里, 我们从单摆摆动的第三次开始计时和计数。测出需要摆动的次数和时间后, 就可以用总时间除以总次数, 求出单摆的周期。要注意的是, 每次传感器检测到小球经过最低点时, 是经过了半个周期, 因此在计算单摆周期时, 需将次数除以2, 具体程序如图3所示。
教学实践
在本次教学实践中, 教师主要通过以下四个环节完成教学。
1. 抛出问题引入新课
教师出示一张钟摆的PPT, 同时给学生抛出一个问题:有同学注意到家里摆钟的钟摆在有规律地摆动, 经认真观察发现, 钟摆来回摆动一次的时间刚好是1秒。那么, 是不是所有的钟摆来回摆动一次的时间都是1秒呢?教师让学生上网查找资料并以小组为单位展开讨论, 最后请小组代表发表组内意见, 同时对学生的观点给予肯定或者纠正。教师再以PPT的形式展示物理实验中单摆实验的示意图, 并向学生解释周期的概念及钟摆的工作原理。教师接着向学生展示传统单摆实验的装置, 并引导学生思考这样做实验可能产生的误差和不足。经各抒己见后, 教师做出总结:当人观察到小球到达最低点时, 开始用秒表计时并人为计数, 这样操作存在很大的人为误差。那么能否利用Arduino制作一套这样的实验装置, 避免人为误差呢?即这套装置应该具有如下功能:检测到小球摆到最低点时, 次数自动加1, 同时自动计时, 自动求出单摆的周期时长。
2. 讲解新知制订计划
通过前面的学习, 学生已了解到传感器最大的优势在于能够自动获取数据, 因此教师向学生提问“可以利用哪种传感器检测小球是否到达了最低点, 并开始自动计时、计数呢”, 引发学生思考。学生讨论后, 教师向学生介绍一款新的传感器——红外数字避障传感器。在为学生简单介绍其使用方法之后, 教师让学生自己完成传感器与Romeo控制器的连接并编写程序, 通过串口监视器观察当传感器检测到障碍物和检测不到障碍物时的输出值。
接着, 学生以小组合作的形式制定探究计划并设计实验。由于之前学生没有接触过科学探究的实验, 为鼓励学生顺利完成实验任务, 教师为学生提供了一份有关科学探究一般步骤的表格, 作为他们的学习支架, 如表2所示。在学生制定探究计划的过程中, 教师要作为参与者参与其中。当学生探究遇到问题时, 教师也要作为引导者引导学生走出困境。教师请小组代表汇报本组的探究计划, 并请其他小组成员对他们的汇报内容进行评价, 最后教师对学生的计划进行总结。探究活动结束之后, 教师要给学生留一定的时间, 让他们结合刚才同学及教师的意见, 对探究计划做进一步的修改和完善。
3. 进行实验收集数据
让学生按照制定好的实验步骤, 以小组的形式进行具体的实验操作, 并在实验过程中做好相关的数据记录。最后, 通过对数据的处理分析, 各小组得出实验结论, 验证或证伪假设。
4. 得出结论评价交流
学生以小组为单位汇报本组获取的实验数据以及得出的实验结论, 并能够对本组和其他小组的探究实验做出正确的评价。
教师首先让完成探究实验的小组展示他们的实验装置, 再汇报他们获得的数据和分析结论。本次教学, 全班一共30名学生, 3名学生为一组, 一共10组。在这10个组中, 单摆来回摆动一次的时间都不是1秒, 并且有5个小组经过控制变量的方法得出:当摆角和小球的质量一定时, 摆线越长, 单摆的周期越长, 反之则越短;当摆线和小球的质量一定时, 单摆的周期与摆角无关;当摆线与摆角一定时, 单摆的周期与小球质量无关。最后, 教师选取了一个小组的探究实验作为范例, 从器材选取、变量控制、程序算法、数据处理、误差分析等多个角度对作品进行了评价。在学生掌握了评价尺度后, 再让各个小组对其他小组的实验过程及结论进行评价, 并投票选出最佳的探究实验方案。
5. 拓展提升课堂总结
单摆在摆角小于5°时, 可近似认为是简谐运动。此时, 单摆运动的周期公式为:, 其中L指摆长, g是当地重力加速度。为了鼓励学生利用已有知识, 提高上网查阅资料的能力, 在完成单摆周期的实验探究之后, 教师提出了一个新问题:如何利用单摆实验测出当地的重力加速度?
最后, 教师对本课进行总结:本课重点是掌握科学探究的一般过程和方法。因此, 不仅要学习Arduino机器人本身的知识与技能, 更希望大家在遇到问题时, 将它作为探究过程中强有力的辅助工具, 帮助我们更准确地获取数据、更方便地解决问题。
本次教学主要是让学生通过自主设计探究单摆实验的方案, 体验科学探究的一般过程与方法, 并能感受利用Arduino自动获取数据的优势及其给我们的工作带来的便利, 从而激发学生学习机器人的兴趣。从学生的任务完成情况来看, 全班一共30名学生, 全都制定了探究实验的方案, 并得出了实验结论。对于拓展任务, 由于时间原因, 许多学生只查阅了相关资料。但令人欣喜的是, 有2组学生在好奇心的驱动下, 利用课余时间完成了测量重力加速度的任务。另外, 本次教学还有一些需要改进之处。比如, 在让学生制定探究计划之前, 对知识点的讲解不够全面;在编写程序的环节, 对学生的提示和引导不够细致等。
参考文献
[1]美国国家研究理事会.罗星凯等译.科学探究和国家科学教育标准——教育学的指南[M].北京:科学普及出版社, 2001:35-38.
[2]张丽芳, 谢作如, 钟柏昌.《小鸡孵化装置》课堂教学及反思[J].教育研究与评论 (技术教育) , 2014 (5) .
单摆教学 篇2
上课铃声响起，起立。顺势提出问题：上课铃响了，今天我们能准确地测量时间，你知道古人是怎样测量时间的吗？人类又是何时开始才能准确测量时间？在学生思考的时候介绍了古代测量时间的方法：水漏，日晷等。接下来讲解伽利略发现单摆的等时性故事，再说惠更斯利用对单摆的研究，造出了世界上第一台摆钟。这是临场的应变。听到了铃声，生成的引入。其效果比事先预设要好得多。既介绍了时间测量的历史，又通过故事引起了学生的注意，同时又为更好引入主题单摆作了辅垫。下课自己也感到这里的临场处理较为满意。
新课的教学以实验主导，电子白板辅助补充，两者相互结合。教学中坚持能实验得一定做实验，不能做实验用动画、视频弥补。这样提供真切感。这种处理得到了听课老师的一致认可，也得到学生的认可。课下问学生：是喜欢实验，还是喜欢动画、视频？是一致说实验。这也使我进一步认识到实验在物理教学中的作用。一些教师为了省事，利用信息技术的便利的条件，常常用动画、视频代替实验，这种做法损伤了学生的学习兴趣，也不利于培养学生的观察能力和动手操作能力。
这节课的存在问题之处是需要以后教学中加以改善得。一是重点不突出。前面简单地讲解速度慢了一点，后面的重点、难点考虑到时间加快了点。什么是单摆？提供了几幅图。让学生思考。再每一个用实验去验证、讲解。这个环节时间用得较多，与它的难易程度有点不相配。以后教学这里可以快一点，不需要担心学生不理解。教学中还是要谨记“学生会的不讲，学生能看懂的不讲”洋思教学原则。二是单摆是简谐运动的证明议课时有老师提出，应该用板书。这很有道理。这是这节课的重点，也是难点。如果用白板文字混杂，空间小，不易分辨，而且事先设计好的播放速度快不利于学生理解。用板书可以先让学生上黑板证明，老师再根据学生的写情况加以补充说明。这样既给了学生充足的思考时间，也让学生体验物理解题的书写规范，同时板书手写速度较慢，可以让更多的学生听懂、理解。
单摆周期公式的理解 篇3
例1、取g=9.8 m/s2 计算一下秒摆的摆长
解:根据 用T=2л则l=T2g/4л2=0.99米。
点评:秒摆的摆长是应记牢的一个基础知识,也可通过本题进行计算。
例2、把地球上的秒摆拿到月球上去,它的周期变为多少?
解:地球上单摆的周期T地=2л月球上的单摆的周期周期T月= 2л
因g地=6g月 T地 =1秒,则T地/T月==即 T月= T地 =4.88秒。
点评:单摆周期公式中的g指的是重力加速度,而在很多特定条件下可以理解为g’即摆球在平衡位置保持相对静止时,摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力,剩余的各力沿着摆线方向的合力F与摆球质量的比值,即g’=。本题中应用月球上的重力加速度为地球上的来讨论重力加速度对单摆周期的影响。
例3、若把地球上的秒摆拿到月球上,且使它的周期仍是2秒,摆长应变为多少?
解:因T地= 2лT=2л且T=T则l=l=l=0.16米。
点评:结合前两题,秒摆的摆长受到了重力加速度的影响。
例4、单摆的摆球从悬挂点自由落到平衡位置和从最大摆角θ=4°返回平衡位置,哪种情况所用时间较长?
单摆摆球从最大摆角返回的情况:由T=2л得t1=T=
单摆摆球自由落体的情况:由s=gt2得t2==
因=1.507 ,=1.414,比较得到 t1 >t2。
结论:单摆摆球从最大摆角返回所用时间较长。
点评:本题将自由落体与单摆相比较,而且巧妙应用了两者都出现了解题,进一步加深了对单摆周期公式的理解。
例5、有一单摆的振动周期T=2秒,求下列情况下的周期。①摆锤的质量减为原来的②振幅变为原来的 ③摆长变为原来的 。
解:由T=2л知单摆的振动周期与摆锤的质量、振幅无关,因此第①、②两种情况下单摆的振动周期不变仍为2秒。第③种情况,由T③=2л=2л==1秒。
单摆教学 篇4
一、实践过程
课程设计之初, 我们便将学科优势与信息技术有机的联系起来, 通过人员的合理调配, 组成了强有力的专家组。学科把关人主要在教学设计以及教学过程中逐步优化, 而相关信息技术人才则在现代教育平台上不断挖掘, 特别是如何将资源有效的整合, 如何将现代教育技术运用于课堂教学的实际过程中。但是在实际操作过程中出现了两个最为棘手的两个问题:首先是没有一个现成的平台可以利用;其次是学科教学与现代教育技术方面如此紧密的结合是一个崭新的尝试。
因此, 为解决上述难题, 我们首先是查阅相关资料, 聘请相关的专业人员进行指导;其次是充分利用现有的资源, 并在此基础上不断探索与创新。在实践过程中, 整个方案的设计、实施以及细化都是学科老师与信息技术老师共同商议之下完成的, 通过相互的反馈, 学科老师掌握了基本的现代教育技术成果, 并能够在教育技术老师的支持下将其应用于实际的教学中, 教育技术的老师也通过与学科的整合, 掌握了学科教学的特点, 达到了优势互补的目的。
在不断的探索与创新中, 我们首先确定了教学的模式, 即以学生自主与合作探究为课堂主导。老师适当引导的方式, 大大超越了授受式学习方式, 使学生再开放的教学情景下, 思维的训练能够最大限度的保障。
其次我们设计了一个基于课堂教学的课程系统。该课程系统集成了各学科资源, 通过基本模块的有效整合, 结合各学科特点有的放矢的进行教学。比如针对物理单摆周期这节课, 我们以情境导入的方式引发学生思考, 而整个探究的过程始终围绕这一主题, 最后通过学生的讨论学习解决情境问题, 整个流程可归纳为学生发现问题、分析问题、解决问题的过程, 与新课标不谋而合。
对于网络课堂教学最突出的问题, 即学生难于掌控的情况我们也进行了深入的思考, 利用其反馈及时的特性。我们分别在探究实验、知识运用版块设置了调查和练习反馈, 能够全过程掌握学生参与度。同时, 也及时给予学生评价, 帮助其明确自己对知识的掌握情况。
在实际课堂教学中, 我们还结合了物理学科的特点, 从实际生活入手, 由形象的大本钟模拟动画引出单摆周期的调节, 让学生体会物理来源于生活, 而又是对现实生活高度的抽象。从问题情境出发, 引发学生的思考和讨论, 而始终贯穿单摆周期这一主线。围绕中心问题让学生首先猜想单摆周期相关因素, 然后通过研究物理问题最重要的方法——实验, 培养学生的科学思维, 掌握科学方法, 整个探究的过程完全以学生为主体, 而且我们采用了多种方式相结合, 有定性的感知, 也有定量的测算, 在定性阶段我们让学生通过模拟实验去回忆各种仪器 (如停表, 刻度尺, 螺旋测微计, 游标卡尺) 的使用方法, 让学生去体会仪器使用的规范性, 在定量探究阶段。我们首先利用虚拟实验室让学生验证刚才的定性实验 (单摆的周期与摆长有关, 而与质量和摆角无关) , 同时利用excel数据表格让学生学会用函数图像去归纳和总结物理量关系的方法, 让学生能够形象直观的得出结论T与成正比, 再总结得出单摆周期公式。整个实验的设计锲合学生实际, 具有严密的逻辑性, 同时又充分利用了现代教育技术, 取得了非常良好的课堂效果。
二、实践反思
通过这样一个课程探索的过程, 我充分意识到了现代教育技术在课堂教学中的重要性, 利用它能够极大的提升教学效率, 让课堂更加生动、鲜活、丰满, 使学生在合作学习的良好氛围中自主探究, 更加清晰的理解知识衍生的过程, 利用丰富的网络资源, 能够激发学生的学习热情, 对于创新思维的培养是大有裨益的。现代教育技术的广泛运用还促使教师不断的学习新方法, 新理念, 新技术。信息技术为教学搭建了良好的平台, 我们可以利用现代化的教育手段来优化教学模式, 借助多媒体资源来改进和完善传统教学中的缺陷与不足。比如我们就是利用了动画虚拟的定量实验与传统模式的定性探究相结合, 利用excel数据表格直接生成图表的方式, 顺理成章的得出了单摆周期公式, 而避免了传统教学过程中定量探究过程纷繁复杂, 数据处理机械重复的的弊端。利用生成评价板块使学情得到了最大化的及时反馈。这种模式为我以后的教学开辟了一条崭新的道路。
新课标中虽然明确了教学以教师为主导, 学生为主体的模式, 但是在实际的教学过程中仍然难以充分发挥学生的主体地位, 而通过网络课程资源与课堂教学恰当的整合, 就能够充分调动学生积极性和主动性。比如在探究影响单摆周期的因素的实验过程中, 从猜想, 实验方案设计到实验探究, 都充分尊重了学生的主体地位。在问卷调查、留言板、维基百科关键词条编辑, 甚至是课堂练习的过程中, 学生的参与度几乎达到了100%, 而这在传统的课堂模式中是不可能出现的。通过这些反馈, 我们教师也能够适时的监控学生课堂参与的情况以及掌握情况, 通过量化的标准对学生生成评价, 有效的起到了督促和激励作用。
单摆实验报告 篇5
院（系）名称
物理系
班
姓名
别
专业 名称
物理教育
学号
实验课 程名称
普通物理实验 I 实验项 目名称
力学实验 ：单摆
实验时间
实验 地点
实验 成绩
指 指导 老师签 名
一、实验 目的（1）学会用单摆测定当地的重力加速度。
（2）研究单摆振动的周期和摆长的关系。
（3）观察周期与摆角的关系。
θ L
二、实验 原理
如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将
mg sinθ
小球自平衡位置拉至一边（摆角小于 5°），然后释放，小球即 θ mg cosθ
在平衡位置左右往返作周期性的摆动，这里的装置就是单摆 mg
设摆点 O 为极点，通过 O 且与地面垂直的直线为极轴，逆时针方向为角位移的正方向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合力必沿着轨道的切线方f mgsin
向且指向平衡位置，其大小
设摆长为 L，根据牛顿第二定律，并注意到加速度的切d a l 2
dt 向方向分量，即得单摆的动力学方程d
ml mgsin 2 dtd g 2
dtl 结果得
由上式可知单摆作简谐振动，其振动周期l
T 2
g
文档 l 2
g 4 T
或
利用上式测得重力加速度 g，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆长 L，利用多次测 lT量对应的振动周期 i T，算出平均值，然后求出 i
g ；第二，选取若干个摆长，测出各对应的周期，T l ii
作出图线，它是一条直线，由该直线的斜率 K 可求得重力加速度。
三、实验仪器 器
单摆，秒表，米尺，游标卡尺。
四、实验 内容
1、用给 定摆长测 定重力加速度
①选取适当的摆长，测出摆长；
②测出连续摆动 50 次的总时间 t ；共测 5 次。
③求出重力加速度及其不确定度；
④写出结果表示。2、、绘 制单摆 周期与摆长 的关系曲线
①分别选取 5 个不同的摆长，测出与其对应的周期。
②作出 T-L 图线，由图的斜率求出重力加速度 g。3、、观测 周期与摆 角的关系
定性观测: 对一定的摆长，测出 3 个不同摆角对应的周期，并进行分析。
四、实验 内容和步骤
（1）
仪器的调整
1．调节立柱，使它沿着铅直方向，衡量标准是单摆悬线、反射镜上的竖直刻线及单摆悬线的像三者重合。
2．为使标尺的角度值能真正表示单摆的摆角，移动标尺，使其中心与单摆悬点间的距离 y 满足下式 AB y 180
AB 式中为标尺的角度数，可取，而是标尺上与此 5°相对应的弧长，可用米尺量度。
（2）
利用给定摆长的单摆测定重力加速度
1．适当选择单摆长度，测出摆长。注意，摆长等于悬线长度和摆球半径之和。
2．用于使摆球离开平衡位置（﹤5°），然后令它在一个圆弧上摆动，待摆动稳定后，测出连续摆动 50 次的时间 t，重复 4 次。
3．由上述结果求出重力加速度及其标准偏差。
（3）
绘制周期与摆长的关系曲线 2
T l 在 60cm—100cm 之间取 5 个摆长，并测出与它们对应的周期，作出图线。若图线为直线，文档 则求出其斜率和重力加速度。
五、实验 数据与处理 理
摆球直径：
d 2.190cm
d 2.188cm
d 2.186cm
d 2.188cm
1． 用计算法 g 及其标准偏差：
给 定摆长 m L=72.39cm 的周期
n(2 3 4平均
次)
T(s)
50T 85.21 85.37 85.40 85.36 —
T 1.704 1.707 1.708 1.707 1.707 ΔT-0.003 0 0.001 0 0.002
T T 1.707 0.002
(s)
l l 72.39 0.05
(cm)
(单次测量)
l72.39 22 cm ∴
g 4 4 3.14 980.78()s 22
T1.707
计算 g 的标准偏差：
T0.003 0 0.001 0 22222
i 4
9.13 10(s)T n(n 1)4(4 1)l 0.059.13 10 g22T22 3()2()()4()1.28 10
glT72.391.707cm 1.28 10 980.78 1.26()
g2 s
结果
g 9.81 0.02(ms)
g 2． 根据不同摆长测得相应摆动周期数据
不同摆长对应 的周期
L(cm)i 98.90 88.90 78.90 68.90 58.90 48.90
L(cm)50T(S)100.00 90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 N（次）100.16 95.00 89.82 84.10 77.48 70.82 2 100.60 94.95 89.70 84.18 77.53 70.81
文档 3 100.21 95.12 89.50 84.04 77.64 70.91 4 100.11 95.05 89.84 84.20 77.50 70.96 50T 100.27 95.03 89.72 84.13 77.54 70.88（S）
T 2.005 1.900 1.794 1.683 1.551 1.418（S）T 4.020 3.610 3.218 2.832 2.406 2.011
（S）
由上表数据可作 T-L 图线如下图所示：
又由图可知 T-L 图线为一条直线，可求得其
斜率为：k=26.046(cm/s)
所以
g=4πk=10.72(m/s)
文档
六、实验结 果与分析
测量结果：用单摆法测得实验所在地点重力加速度为：
g 2 1072 1.9(cm s)
U(g)1.26% r
实验 分析：
单摆法测重力加速度是一种较为精确又简便的测量重力加速度方法。本实验采用较精密的数字毫秒仪计时减小了周期测量误差。实验误差由要来源于①摆长的测量误差，但由于摆长较长，用钢卷尺测量产生的相对误差也较小，所以用钢卷尺也能达到较高的准确度；②系统误差：未能严格满足单摆模型造成的误差，如未严格在竖直平面摆动。
要提高本实验的准确度可从以下方面着手：尽可能满足理想单摆条件,如增大摆长；测时间
七、实验 分析与讨论
由以上两种方法可看出，用计算法求得重力加速度比较接近标准值，且其标准偏差为 0.02,2
说明测量比较准确。而用作图法求重力加速度时，求得的 g 为 10.72(m/s)，误差较大，可见在描点绘图的过程中又增在了误差。
八、实验 心得
通过这次实验学习了简单设计性实验的基本方法，应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，分析基本误差的来源及进行修正的方法。但是实验测得数据的误差较大，计算所得的重力加速度与实际相差较大，所以对测量的掌握不够，应熟悉测量方法和技巧，同时明白到物理是一门严谨的科学，尤其对于物理实验，稍有不慎将产生巨大错误，因此我们应该以严谨的态度对待物理实验，并在实验中感受物理实验的乐趣，掌握物理实验方法。
单摆教学 篇6
一、原理
单摆,亦称“数学摆”。在细线的一端拴一小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸缩和质量可以忽略,线的长度比球的直径长得多,这样就组成了一个单摆。用单摆法测定重力加速度的值g,其实通过测量单摆的摆长L和周期T就可间接的求出g。如果空气阻力不计,当摆角小于5度,单摆就做简谐振动,此时有公式
因为摆角很小,我们一般取零级近似即取 ,所以,我们只需在所要求条件下测出T与L的大小,便可求出 。
二、影响测量精确度的因素分析
其实单摆是一种理想化模型,一般情况下所做的单摆并不标准,其测量的结果也不精确,影响起精确度的因素主要有以下几种。
1.摆线的伸缩性。如果摆线的伸缩不能忽略,而其他条件都适合。
设摆线是劲度为K,自由长度为L的弹性线,建立极坐标系,则运动微分方程为:
当θ很小,近似取sinθ=θ,cosθ=1,方程组变为:
再利用积分便可求得周期 ,因此只有在摆线的伸缩不计、其它条件都满足的情况下,才能得到周期公式。
2.摆角偏大。如果摆角较大,其它条件都满足时,设摆的最大摆角为θ0,则摆的机械能为:
由此而得:
上式为一无穷级数,只有当摆角较小,一般取小于5度,上式中第二项及以后的高次幂项完全可以忽略,此时周期成立;当摆角较大时,周期并不成立。因此在做用单摆测量g时,一定要注意摆角不能大于5度,否则会有很大误差。
3.空气的阻力。如果在做单摆实验时,其它条件都满足,只有空气阻力不能忽略,在这种情况下,由于单摆摆球速率较小,可以认为空气阻力与摆球速率成正比,另外又因摆球位移为:,所以空气阻力为: (r为阻力系数),所以单摆的运动微分方程为:
两边同除以m和l后有:
可见单摆所做的不是简谐运动。令:
于是方程变为:
因为单摆在空气中一般呈弱阻尼,即β小于0,解上一个方程得:其中 。
所以空气阻力不能忽略时,单摆做弱阻尼振动,而不是周期性运动。但是是周期性变化的,故振动周期
当空气阻力能忽略时,,所以此时单摆的周期为:,这就是单摆的周期公式。
三、单摆测量的创新方法介绍
在用单摆测量时,我们会遇到这种情况,比如,受到实验仪器的限制或单摆的质心不好确定,摆长不好测量,实验的目的不同等.由于这些因素的影响决定了测量单摆方法的多样性。
1.单摆摆长难以测定的情况。比如我们会遇到这种情况,从高楼顶下垂的单摆,它的摆长不好测定,关于摆长的问题我想介绍两种方法。
方法一
单摆的摆长不好直接测出,其实我可以用几何的方法求出摆长 ,其设计方法如下:
(1)在竖直平面固定好一木板(木板上贴有白纸一张);
(2)如右图所示,当单摆静止时,我们在白纸沿单摆摆线方向作一直线 OA;
(3)当单摆打开一小角度,在白纸上沿单摆方向作一射线OB (O点为一假想点),B 点为摆线的末端。
(4)过B点作一直线垂直于OA,垂足为A,同样在OB上取一点C,过C作一直线垂直于CD,垂足为D。在白纸上测出线段CD、BC、BA的长度。
(5)因为直线CD平行于BA,所以有:CD/BA=OC/OB,即CD/BA=(L-BC)/L。
经过上述的等式,即可求出单摆摆长L,接着只需让单摆作简谐振动,测出其周期即可求出g 的值了。
方法二
(1)让单摆作简谐振动测出其周期T1;(2)当缩短摆长,用刻度尺测出缩短的长度ΔL ,再测出缩短摆长后单摆作简谐振动运动的周期T2;
根据单摆周期公式:,将T1和L以及T2 和(L-ΔL)分别代入公式,建立方程组我们便可求出重力加速度的值g了,另外我们还求出了不好直接测量的L的大小。
2.单摆质心难以确定的情况做单摆实验时,悬挂物不一定是小球,可以是各种形状,有的可能是不规则的,遇到这种情况,我们可以用初中物理介绍的“悬挂法”测出质心。
从单摆运动到混沌理论 篇7
关键词：单摆,相图,滴水龙头,混沌,非线性,随机性
有时候, 看似简单的问题实际上却很复杂, 一个简单的情况, 当条件发生一定的变化时就变得不可预测, 比如说, 水流在水管中低速流动时, 它的运动是规则的, 可以预测的, 但当流速达到一定临界值时, 水流就变成了湍流, 行为十分混乱。下面以一个简单的物理系统为例来介绍这种情况。
一、一个简单的物理系统 (单摆)
在一根不能伸缩的长度为l的细线下端悬挂一个小球, 微微移动后, 就可以在一竖直面内来回摆动, 如图所示, 这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道, 在一定的条件下 (忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力, 且摆角θ<5°) , 回复力F=-kx, 单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反, 单摆做简谐振动。
下面应用牛顿运动定律来清楚认识一下这个平面单摆。
单摆受到的重力矩M=-mglsinθ, 我们希望得到摆角θ的关于时间的函数, 来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到, M=J×β
其中J=ml2是单摆的转动惯量, undefined是角加速度, 于是化简得到运动微分方程:
undefined
当研究小摆角 (通常指θ<5°) 摆动的情况, sinθ≈θ, 则上式变为
undefined
(2) 式是一个二阶线性微分方程, 解为θ=Acos (ωt+φ0) , 其中A称为振幅, φ0称为初相, 频率ω表示振动的快慢, 是由undefined决定的常数, 此时单摆的运动是简单的简谐振动。
二、简单系统中的复杂行为
但是大摆角的情况又是怎样的呢?很显然不会像上面所述的那么简单了, 单摆的运动方程 (1) 式是一个二阶非线性微分方程, 下面就用非线性力学中最基本的研究方法——相图法来研究分析该系统。
“相”的意思是运动状态, 质点在某一时刻的运动状态就是它在该时刻的位置和速度, 位置和速度的关系曲线就是它的相图。相图法是一种图解分析方法, 可用于分析一阶、二阶非线性微分方程的动态过程, 取得稳定性、时间响应等有关的信息。在现代计算机模拟计算下, 可比较迅速与精确地获得相轨迹图形, 用于系统的分析与设计。现在我们以质点的速度和位置作为坐标轴构成直角坐标平面, 称之为相平面;质点的每一个运动状态对应相平面上的一个点, 称之为相点;质点运动发生变化时, 相点就在相平面内运动, 相点的运动轨迹称为相迹线或相图;相点在相平面内运动的速度称为相速度。在相图中能得到质点运动状态的整体概念。
当摆角很大时, 用细线构成的单摆系统有可能无法完成摆动, 可以用轻杆来代替细线完成大角度摆动。
对单摆的运动方程 (1) 式进行积分, 可得到
undefined, 式中C为积分常数。
设初始条件为t=0时, undefined, 可得undefined, 得出
undefined
由 (3) 式作出相图如下图所示。
中心O点对应单摆下垂的平衡位置, 是一个稳定的不动点, 在中心O周围 (θ<5°) , 相图是椭圆, 对于小角度摆动, 把 (2) 式积分得出的也是椭圆方程, 两种情况相符。摆动幅度再增大, 相图不再是椭圆但仍然闭合, 说明单摆仍作周期运动。若能量再高, 相图不再闭合, 表示单摆不再往复摆动, 而是沿正向或反向转动起来了。当θ=θ0=π, 即单摆摆到最高点时, undefined, 说明最高点是一个不稳定平衡点。但是要让单摆摆到最高点时恰好静止是不可能的, 因为两个分支点G1、G2是介于单向旋转和往复旋转之间的一个临界状态, 究竟如何运动取决于初始条件的细微差别。在求解非线性力学问题时, 相图中出现了分支点, 这表明在该状态下力学系统的行为不是完全确定的, 于是, 一个确定性方程演化出了内在的随机性, 一个简单的系统顿时变得复杂起来了。
单摆系统的行为不是完全确定的, 还有很多类似的情况, 比如说滴水龙头。我们来做一个小实验, 很小心地打开水龙头, 等上几秒钟, 待流速稳定下来, 通常会产生一系列规则的水滴, 这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。但假如缓缓打开水龙头, 使水流量增大, 并调节水龙头, 使一连串水滴以很不规则的方式滴落, 这种滴落方式似乎是随机的。实验时要均匀地打开水龙头, 别把龙头开大到让水成了不间断的水流, 我们需要的是中速滴流, 如果调节得合适, 就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。水龙头滴下的水滴是一个确定性系统, 原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的, 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但这个简单而有效的实验证明, 显然这一确定性的系统可以产生不可预言的行为。
在一开始介绍的单摆运动到滴水龙头, 现在大家一下就能看出, 单摆的运动和水滴的花样由稳态变为随机, 这种不可预测的、随机的现象就是混沌。实际上, 混沌现象到处可见, 它揭示了绚丽多彩、千姿百态的大千世界内在的一种机制, 它是那么瞬息万变, 充满复杂性, 确定性系统包含着混沌, 混沌中也存在着特殊的有序。
三、混沌简介
混沌在我国传说中指宇宙形成以前模糊一团的景象, 中国人常用混沌一词表达某种令人神往的美学境界或体道致知的精神状态, 把混沌当做自然界固有的一种秩序, 一种生命的源泉。这与历史上的中国神话、中国哲学有很大关系, 最终与中国人独特的思维方式有很大的关系。
在西方文化中, 混沌是“无形”、“空虚”、“无秩序”。《圣经》英译文常写作“without any order” (无任何秩序) 、“a place of disorder” (无序之所) 、“the state of formless, of utter disorder and confusion” (无形、极端无序和混乱的状态) 、“the condition of emptiness, unreality, and desolation” (空虚、无实在性、荒芜的境况) 、“a meaningless existence” (无意义的存在) 。
现代科学所讲的混沌, 其基本含义可以概括为:聚散有法, 周行而不殆, 回复而不闭。意思是说混沌轨道的运动完全受规律支配, 但相空间中轨道运动不会中止, 在有限空间中永远运动着, 不相交也不闭合。混沌运动表观上是无序的, 产生了类随机性, 也称内在随机性。混沌模型一定程度上更新了传统科学中的周期模型, 用混沌的观点去看原来被视为周期运动的对象, 往往有新的理解。
在非线性科学中, “混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致, 非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似, 即都不可预测。但和随机运动不同的是, 混沌运动在动力学上是确定的, 它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性, 无论多小的扰动在长时间以后, 也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象, 天气变化就是一个典型的混沌运动。混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应, 意思是说:一只蝴蝶今天拍打了一下翅膀, 使大气的状态产生了微小的改变, 但过了一段时间, 这个微小的改变能够使本来会产生的龙卷风避免了, 或者能使本来不会产生的龙卷风产生了。南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀, 就会在佛罗里达引起一场飓风。
混沌也是一种数学现象, 有其自身颇为古怪的几何学意义, 它与被称为奇异吸引子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明, 奇异吸引子上的详细运动不可预先确定, 但这并未改变它是吸引子这个事实。
四、混沌的特征
1.系统方程无任何随机因子, 但必须有非线性项。
混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。所谓“决定性”是指描述系统运动状态的方程是确定的, 不包含随机变量。要产生混沌运动, 则确定性方程一定是非线性的。
2.系统的随机行为是其内在特征, 不是外界引起的。
随机性可分为有外界施加的外在随机性和动力学系统本身所固有的内在随机性两种。实际上内在随机并不是一种真正的随机, 它的行为是完全正确的, 只是表现得太复杂, 不可预测, 就像是随机一样, 这种混乱、随机是系统自身的一种内在特征, 或者说系统本身就是这样, “混乱”才正常。
3.对初始条件极端敏感。
内在随机性是通过对初始条件的极端敏感性表现出来的, 初始条件的误差在非线性动态系统中可能会按指数规律增长, “失之毫厘, 谬以千里”。处于混沌状态的系统, 运动轨道将敏感地依赖初始条件, 从两个极其邻近的初值出发的两轨道, 在足够长的时间以后, 必然会呈现出显著的差别来。无论多么精密的测量都存在误差, 我们无法给出真正精确的初始值, 再小的误差经系统各部分之间的非线性相互作用都可能被迅速放大, 初始状态的信息很快消失, 从而表现为行动的不可预测, 这就是混沌运动。
一般地, 如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为, 就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统, 称为动力系统, 它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中, 两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致, 恰如从长序列中随机选取的两个状态那样, 这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为混沌的一个定义。
五、混沌无处不在
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动, 一个确定性理论描述的系统, 其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测, 这就是混沌现象。进一步研究表明, 混沌是非线性动力系统的固有特性, 是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统, 而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此, 在现实生活和实际工程技术问题中, 混沌是无处不在的。例如, 一支点燃的香烟冒出的烟在开始时烟柱是直立的, 达到某一高度突然变得紊乱起来;湍流是一种典型的混沌现象;人体的自身免疫被认为是一种混沌行为;生物进化是有反馈的混沌。
混沌也不是独立存在的科学, 它与其他各门科学互相促进、互相依靠, 由此派生出许多交叉学科, 如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值, 而且有现实应用价值, 能直接或间接创造财富。混沌中蕴涵有序, 有序的过程也可能出现混沌, 大自然就是如此复杂, 纵横交错, 包含着无穷的奥秘。因此, 对混沌科学的进一步研究将使我们对大自然有更深刻的理解。
参考文献
[1]谢东, 王祖源.人文物理[M].北京:清华大学出版社, 2006:331-336.
[2]王荣成, 郝超.大学物理基础[M].苏州:苏州大学出版社, 2005:29-30.
画板小制作 单摆破难点 篇8
(1) 打开几何画板选择工具框中圆工具, 画出一个圆;再选中工具框中点工具在圆上画一个点; (见图3)
(2) 选中圆上的两个点和圆, 选择菜单栏中的构造按钮, 再选圆上的弧项, 画出一个劣弧 (见图4) ;双击图4中画出的劣弧, 再选菜单栏构造-弧内部-扇形内部, 画出一个扇形区域, 然后右键点击圆, 选隐藏圆 (见图5) ;
(3) 选工具框中线段直尺工具, 将扇形的三点连成三角形;并选中三角形右下角的点和左边的竖直边, 然后选菜单栏构造-垂线, 画出一条垂线, 然后右键点击画出的垂线选择隐藏垂线, 之后用线段直尺工具将三角形右边的点和左边竖直边上的垂点连上得到垂线GF;
(4) 分别选中三角形的三个顶点用菜单栏量度-角度显示出顶角∠DEF的度数, 再选中三角形的边DF和CF用菜单栏量度-距离显示出两边的长度, 至此初具雏形;
(5) 最后要做的是过F点画出D∠F的切线, 可以用函数关系画 (但是较繁琐) , 也可以先过D点画EF的垂线 (步骤同上面画垂线步骤) , 再选中点F和刚画出的垂线, 选菜单栏构造-平行线作出FH, 然后隐藏刚才的垂线, 切线就画好了 (见图6) 。
最后, 值得一提的是几何画板近几年在数学的教学中已广泛应用, 深受广大数学教育工作者喜爱。但在物理教学中却不见推广, 我觉得主要原因是用几何画板做的动画不如flash等软件制作的动画的画面丰富生动。但是它数学运算的可靠性以及描述的准确性是师生公认的, 是flash之类所无法替代的, 而本文正是利用了它的这一优势, 所以才能效果显著。
摘要：中学物理里单摆的教学中回复力的分析一直是教师教学的难点, 学生学习的疑点, 用几何画板这个高中生熟悉而又信任的工具, 以直观、定量的呈现回复力的大小、方向的相关参数的形式来突破难点, 是一条非常有效和值得提倡的途径。
单摆教学 篇9
微分变换法是将函数变换为泰勒级数的变换。微分变换理论的基本原理就是将描述系统的方程进行微分变换, 得到由离散函数构成的方程。
这个方程的求解很简单, 只要依次将自然数顺次代入整数自变量, 即可求得方程解得离散值, 进而得到用级数形式表示的方程的解。
微分变换法的基本公式为:
为x (t) 的k阶导数, 利用上述微分变换处理微分方程, 得到关于X (k) 的方程, 可利用递推关系, 获得幂级数各项系数X (k) 的值, 之后利用微分变换法的逆变换:
x (t) =∑X (k) tk
得到微分方程的幂级数解。
2 Duffing方程的微分变换解法
Duffing方程是混沌现象的一个典型例子, 它的基本形式如下式:
对其进行微分变换:
可以得到其求根的递推公式:
由此, 我们利用微分变换法的逆变换, 可以得到Duffing方程的的幂级数解:
y=∑Y (k) yk
3 弱非线性单摆的运动方程
我们知道, 无阻尼单摆的运动方程为:
当阻尼存在时, 设阻尼与摆的速度成正比, 单摆的运动方程为:
在解方程时, 通常将sinθ线性化处理。
4 弱非线性单摆的微分变换解
设摆长为0.15m, 阻尼系数为0.02, 利用微分变换法得到单摆的弱非线性单摆的时间位移曲线:
摘要：单摆的运动方程是一种含正弦函数的微分方程, 一般在解方程时, 通常将正弦项线性化处理, 取其泰勒展开的前一项, 当摆幅较大时, 为减小误差, 通常取其泰勒展开的前两项, 此时方程为典型Duffing方程。对于Duffing方程的求解问题, 微分变换法是一种简单快捷的方法。本文利用微分变换法, 获得了大摆幅单摆的时间位移曲线。
关键词：Duffing方程,微分变换法
参考文献
[1]Feng-Ming Li, nonlineardynamicsanalysisofathinrectangular plate in subsonic airflow[J].Mathematics and Mechanics of solids, 2014.
[2]丁同仁, 李承治编.常微分方程教程[M].高等教育出版社, 1991.
[3]王彦博.求解微分方程的微分变换法[D].南京农业大学, 2009.
非对称结构单摆的理论与试验研究 篇10
振动现象广泛存在于人类的生活和生产实际中。振动可根据不同的特征分为不同的种类[1]。近年来, 国内外科研工作者从非对称的视角出发,已经开展了许多非对称振动的基础研究工作[2,3]。在精密驱动领域,压电惯性驱动器利用压电元件的非对称振动来驱使机构运动[4,5,6]。这类压电元件非对称振动的成因,从广义上说,主要可以归纳为激励信号、振子结构和外部约束的非对称设计。例如,在激励信号非对称设计方面,Dalius Mazeika,Piotr Vasiljev[7]提出非对称三角波的电控方式,研制了一种直线型压电惯性驱动器,最大输出速度和负载可达20 mm/s,8 g。W. M. Chen等人[8]以非对称占空比的矩形波作为驱动信号,开发研制了新型二自由度压电惯性驱动器,直线和旋转速度分别可达21 mm/s,3. 72 rad /s。在振子结构非对称设计方面,Ping Zeng等人[9]提出以非对称夹持结构的压电双晶片振子为动力元件,利用振子非对称振动产生惯性力差的机理研制了一种新型压电马达,最小分辨率和最大线速度可达0. 02μm和16. 87 mm/s。在外部约束的非对称设计方面,Jianming Wen等人[10]研制了一种新型压电旋转驱动器,该驱动器在顺逆时针运动时通过改变正压力来产生非对称的摩擦力矩,从而实现驱动器的定向转动,最小分辨率可达10μrad。Xiaotao Li等人[11]研制了一种基于非对称摩擦力与惯性力匹配的压电直线驱动器,最大速度和输出力分别可达5 mm/s和10 N。虽然,学者们已利用非对称振动研制了多种压电惯性驱动器,其驱动机理仍需进一步深入研究和分析。因此,本研究提出一种非对称结构的单摆,尝试用以探讨和解释该类驱动器的致动原理。
作为物理学中的经典模型,单摆是研究和讨论振动机理的理想角色[12,13]。因此,本研究提出以一种非对称单摆为研究对象,将从能量特性和周期特性角度出发,对该单摆在周期运动中所表现出的非对称振动特性进行理论分析,从而为非对称驱动的机理分析提供一种新思路。
1非对称单摆模型结构和边界条件
本研究所提出的非对称单摆是一种通过在单摆圆心垂直位置向下点设置固定支点的方法,使左、右摆动半径产生变化的新型单摆结构装置。非对称单摆模型主要由摆球、摆线和钢钉3个部分组成。其中,假设模型中摆线为不可伸缩的轻质细绳,摆球半径远小于摆线长度,布置在中心线上的钢钉不产生变形与位移。
非对称单摆运动原理如图1所示。球在微小扰动下从中心线一侧自由释放,在重力作用下周期性来回摆动。
每当摆球经过中心线时,钢钉对摆线产生阻挡作用,摆动中心将在O1和O2间交替变换,摆长L1和L2 也随之产生更替,其中R为O1和O2的中心距。换而言之,在一个运动周期中,摆动中心和摆长条件将改变两次。为了方便研究与讨论,可将非对称单摆的运动过程以中心线为界,分为左、右两个部分,任意时刻的摆角分别为θ1,θ2。
2理论分析
2. 1 非对称单摆动力学方程
为了探讨所提出的非对称单摆的动力学方程,本研究首先分析长度为l,摆球质量为m的对称单摆运动原理。在摆线长度远大于摆球半径和忽略摆线质量的条件下,且考虑阻尼影响因素,根据牛顿第二定律, 对称单摆在周期性驱动力作用下的动力学方程为:
式中: θ—角位移,c—阻尼系数,g—重力加速 度, Fcos Dt—周期性驱动力。
令
由于铅垂平面内钢钉的存在,非对称单摆在振动过程中每次通过中心线时,将同时改变摆动中心和摆长。在不考虑空气阻力和悬挂点摩擦的条件下,非对称单摆在中心线左、右两侧的振动微分方程可以表述为:
式中:
2. 2 非对称单摆的能量分析
若不考虑能量耗散,非对称单摆在运动过程中只受到摆球重力做功,所组成的保守系统机械能守恒,系统总能量为:
若将摆球运动轨迹的最低点作为零势能点,非对称单摆在运动过程中左右两部分的动能和势能可以分别表示为:
实际操作中,可以选择中心线两侧选择满足边界条件的任意一点,作为自由释放的起始位置。以起始位置为右侧为例,运动初始条件为θ1max= θ0,摆球在释放瞬间的动能、势能和总能量分别为:
根据三角函数诱导公式2sin2( θ/2) = 1 - cosθ,当非对称单摆在两侧来回摆动时,系统任意时刻的总能量和势能可以表示为:
由式得,动能是总能量与势能的差值,即Eki= Em- Epi,系统在两侧的动能可以表示为:
若起始位置为左侧,运动初始条件为θ2max= θ0,根据上述相同推导过程,可得到任意时刻系统的总能量、势能和动能分别为:
由式( 12 ~ 14) 的理论推导可知,非对称单摆从左侧和右侧自由释放的运动过程具有相似的能量特性。根据上述推导,本研究用Matlab软件绘制了系统机械能、动能、势能与摆球所处位置的关系曲线如图2所示。
图 2 非对称单摆运动过程中的机械能、动能和势能
图2表明,在铅垂方向,非对称单摆具有能量守恒特性,即系统机械能总量始终保持不变; 在水平方向上,由于非对称单摆的运动不对称性,动能和势能也表现出左右两侧不对称的特点,且两者在摆长L1侧的平均变化率均大于摆长L2侧。
2. 3 非对称单摆的周期分析
周期是单摆研究中的热点问题。国内外学者已利用椭圆积分法[14]、算数几何平均法[15]、超几何法[16]等方法,提出了大量关于单摆周期问题的精确解和近似解。本研究将根据已建立的动力学方程,采用中心线左、右两侧运动时间叠加的方式,在大摆角情况下研究非对称单摆的周期影响因素。
当摆角较大时,非对称单摆的运动不再是简谐振动,而是非线性振动。根据机械能守恒定律,无阻尼单摆运动的精确周期公式实际上可以用第一类椭圆积分表达[17]:
式中: L—摆长,θ0—初始释放角度,θ—摆角。
根据上式,可获得非对称单摆在两侧的运动时间分别为:
式中: L1,L2—两侧摆长; θ1max,θ2max—左、右两侧最大摆角; θ1,θ2—左、右两侧摆角。
将上述左、右两侧的运动时间叠加,得出大摆角非对称单摆的精确周期公式为:
上述所得的精确周期公式属于第一类椭圆积分, 须查积分表才可得出周期值,计算时较为繁琐。为了方便理论研究和仿真,故本研究引用F. M. S. Lima[18]所提出的准确度较高的近似周期计算公式:
式中:
根据式( 18) ,可获得非对称单摆在两侧的近似运动时间分别为:
将两侧的运动时间叠加后,得到大摆角非对称单摆准确度较高的近似周期公式:
由于L2= L1- R,式( 20) 可以转换为:
式中: θ1max,θ2max—两侧最大摆角由摆球初始释放位置和释放角度θ0确定。
式( 21) 表明,此时非对称单摆的周期与摆长L1、中心距R和初始释放角度θ0有关,且在左右两侧同一高度释放时具有相同的周期特性。
为了从理论上分析3种因素与周期的关系,根据上式,笔者用Matlab软件绘制三者对周期的影响趋势图如图3所示。
图 3 非对称单摆运动周期与摆长 L1、 中心距 R 和初始释放角度 θ0的关系
图3表明,在大摆角情况下( θ≥10°) ,非对称单摆的周期随着摆长L1和初始释放角度θ0的增大而增大,随着中心距R的增大而减小。此外,上式也表明, 由于左、右两侧摆长和最大摆角条件不同,非对称单摆具有左、右两侧半周期运动时间不同的特点。
3试验结果与讨论
为了检验非对称单摆周期振动的理论分析,探究初始释放角度θ0、摆长L1和中心距R 3个因素对周期的影响,本研究设计和制作了非对称单摆模型,并组建了非对称单摆周期振动测试系统。
3. 1 试验系统
非对称单摆模型 和周期振 动测试系 统如图4所示。
图 4 非对称单摆周期特性测试系统
非对称单摆模型主要由摆球、轻质细绳和两个钢钉组成。摆球质量为0. 03 kg,直径为0. 02 m。摆长L1为摆球球心至右侧摆动中心点O1的距离,L2为摆球球心至左侧摆动中心点O2的距离。非对称单摆周期特性测试系统主要部件有非对称单摆模型、3D动态分析摄像仪、支撑板和定位网格纸。3D动态分析摄像仪由KEYENCE公司生产,包括控制器与镜头两个部分, 分辨率可达微秒级,在试验中用于精密测量摆球的运动轨迹和记录摆球周期运动的时间。
3. 2 周期振动试验
由理论分析可知,在左、右两侧同一高度释放摆球时,非对称单摆具有相同的周期特性,其中,摆长L1、中心距R和初始释放角度θ0是非对称单摆运动周期的主要影响因素。试验时,在上述3种影响因素的不同初始条件下,笔者利用所组建的测试系统对非对称单摆的周期振动进行了测试与记录。为了使得试验更易控制,结果更为准确,摆球初始释放位置均选在中心线右侧。
3. 2. 1 周期振动试验周期与初始释放角度 θ0的关系
在摆长L1和中心距R相同条件下,非对称单摆运动周期随初始释放角度θ0变化的仿真与试验结果如图5所示。
图5中,摆长为0. 4 m,中心距为0. 1 m,0. 15 m和0. 2 m,分别计算和测试了初始释放角度从10° ~ 50°的运动周期。
图5曲线表明,非对称单摆的周期随着初始释放角度的增大而非线性增大,增长速率逐渐提高。
3. 2. 2 周期与摆长 L1的关系
在中心距R和初始释放角度θ0相同条件下,非对称单摆运动周期随摆长L1变化的仿真与试验结果如图6所示。
图6中,中心距为0. 1 m,初始释放角度为20°,40°和60°,本研究分别计算和测试了摆长L1从0. 3 m ~ 0. 5 m的运动周期。
图6曲线表明,非对称单摆的周期随着摆长L1的增大而非线性增大,增长速率逐渐降低。
3. 2. 3 试验系统周期与中心距 R 的关系
在初始释放角度θ0和摆长L1相同条件下,非对称单摆运动周期随中心距R变化的仿真与试验结果如图7所示。
图7中,初始释放角度为20°,摆长为0. 3 m, 0. 35 m和0. 4 m,分别计算 和测试了 中心距R从0. 05 m ~ 0. 25 m的运动周期。
图7曲线表明,非对称单摆的周期随着中心距R的增大而非线性减小,减小速率逐渐提高。
以上结果表明: 大摆角非对称单摆的运动周期随着摆长L1和初始释放角度θ0的增大而增大,随着中心距R的增大而减小,且3种因素影响下周期增大或减小速率的变化规律各不相同; 另一方面,摆长L1、初始释放角度θ0和中心距R不同条件下,非对称单摆周期在的试验与仿真结果变化趋势一致,具有较好的重合性。
观察发现,周期的试验测试值总体略小于仿真计算值,其原因是仿真时的周期理论计算忽略了空气阻尼和摩擦的影响。
4结束语
本研究提出一种非对称单摆,通过理论和试验相结合的方式,对非对称振动现象的机理进行了初步探讨。总体研究结果表明,中心线两侧的摆长差异引起了单摆的运动不对称性,最终使其在能量和半周期运动时间上分别表现出了不对称的特点。
本研究所提出的运用非对称单摆研究非对称振动机理的策略,以及在研究工作中所获得的规律和结论, 为非对称驱动的机理分析提供了新的思路。
最后,有关非对称单摆的理论研究还有待学者们作进一步的完善与补充。
摘要：针对惯性式压电精密驱动器的非对称振动驱动机理难以分析的问题,提出了一种非对称结构的单摆,探讨了模型结构和运动原理。建立了非线性动力学方程,从能量转换和运动周期两个方面,分析了非对称单摆的工作特性。在此基础之上,设计、研制了实物模型;以初始释放角度θ0、中心距R和摆长L1为影响因素,对非对称单摆进行了周期特性试验。研究结果表明,非对称单摆具有两侧摆长、最大摆角和两侧半周期运动时间均不相同的特点;大摆角运动周期随初始释放角度θ0和摆长L1的增大而增大,随中心距R的增大而减小,周期理论计算结果和试验测试结果具有较好的重合性。非对称结构单摆工作特性的研究结果可为后续的惯性式压电精密驱动器的研发和设计打下坚实的基础。
单摆教学 篇11
②每次在测量摆长时，都将摆线长当成了摆长；
③每次在测量摆长时，都将摆线长和小球的直径之和当成了摆长。
现在用“图像法”对这三种错误操作给实验结果造成的影响进行分析，在分析某个错误操作时都认为其它的操作是正确的。
一、每次都将n个周期的时间记成了（n+1）个周期的时间
设正确操作时测量n个周期的时间为t，则周期为T0=t/n，那么错误操作时的周期为T=t/(n+1)，因此ΔT2= T02-T2=t2/n2 -t2/(n+1)2=t2[1/ n2-1/(n+1)2]。
每次都测量n次，故[1/ n2-1/(n+1)2]是一个常数，若改变摆长时让摆长逐渐变大，则每次测量n个周期对应的时间t将增大，故ΔT2变大。那么由错误测量画出的T2—L图线如图1所示。
由图知，实验图线的斜率变小，则这种错误操作测得的重力加速度比真实值大。即g（测）＞g（真），而使实验结果产生了偏差。
二、每次在测量摆长时，都将摆线长当成了摆长
设摆球的直径为d0，正确测量时的摆长为L0，错误测量时的摆长为L，则L0-L= d/2。据此画出实验图线如图2所示。
由画得的图线可知，若每次测量均未考虑小球的半径，则所得图线应向左平移d/2的距离。但图线的斜率不变，那么利用图线求重力加速度时，测量值等于真实值，即g（测）=g（真），而不影响测量结果。
三、每次在测量摆长时，都将摆线长和小球的直径之和当成了摆长
设摆球的直径为d0，正确测量时的摆长为L0，错误测量时的摆长为L，则L0-L= d/2。据此画出实验图线如图3所示。
单摆教学 篇12
1 起重机摆角振动模型
笔者选取小车启动时的模型作为研究对象,为避免求解复杂的传递函数,在PRO/E中建立模型并导入ADAMS,其输入为施加在小车架上的力f,输出为钢丝绳的摆角θ和角速度ω。小车运行的虚拟模型如图1所示。
2 模糊控制
2.1 变量模糊化
模糊控制主要分为模糊化、模糊控制规则、模糊推理和解模糊。小车运行的模糊控制器采用双输入、单输出控制系统,输入为钢丝绳的摆角θ和其角速度ω=dθ/dt,输出为控制力U,两个变量量化之后用E和EC表示。两个输入变量和一个输出变量均定义为7个模糊子集[NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB],每个变量的定义域为[-6,6]。输入量和输出量都采用三角形分布的隶属函数,如图2所示。
2.2 模糊控制规则
模糊控制采用Mamdani型模糊控制规则,并采用重心法求解,由于每个变量都有7个值,故可设计出49条规则。模糊控制规则见表1。
2.3 量化因子
基于模糊化的要求,需将E和EC从其论域转化到各自模糊集的范围[-6,6],同时模糊控制的输出变量也要转化到模糊集的基本论域,E的量化因子为ke,EC的量化因子为kec,k为输出的放大系数,具体数值需通过仿真确定。
3 试验数据
为了更好地说明在ADAMS中建立起重机单摆模型方案的可行性,笔者对未采取模糊控制的小车运行时吊重的摆角进行测量,共测得40组试验数据,并将小车运行时吊重摆角的角度随着时间变化所对应的数据列于表2。
4 仿真
ADAMS中,小车启动模型的吊重为10.000t,小车质量为15.425t,在Simulink中建立如图3所示的联合仿真图。将试验数据进行拟合后与仿真结果进行对比,得到如图4所示的曲线。可以看出,在运动过程中采用模糊控制时,小车的摆角比试验时的角度小0.5°,并且系统到达稳定的时间也缩短了2.5s。
5 结束语