数学推导

2024-09-26

数学推导（共12篇）

数学推导篇1

在数学教学中, 有些教师为了让学生取得理想的成绩, 于是花大量的时间让学生背公式、定理, 并反复做大量的练习。教师认为这样做学生的成绩肯定会不错的, 但结果并不是他们所想的那样, 学生的成绩并不理想, 教师觉得非常纳闷:“这道题老师已经讲了很多遍, 学生也做了很多次, 怎么还会出错呢?”

一、让学生体验数学公式、定理的推导过程, 是学生理解这些公式、定理的前提

著名数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料, 不要只看书上的结论。”这就是说, 对探索结论过程的数学思想方法学习, 其重要性决不亚于结论本身。其实, 很多教师都忽略了一个最重要的问题:数学公式、定理是解题的工具, 能正确理解和使用公式、定理, 是学好数学的基础。有的教师在平时教学中, 常常为了节省教学时间, 把公式、定理的推导过程省略掉, 有时虽有展示公式、定理的来源, 但还是以教师的讲授为主, 学生没有真正参与公式、定理发现的全过程。所以, 从表面上看似乎是节省时间, 但这种形式的教学往往使学生的头脑中留下只有公式、定理的外壳, 忽略了他们的因果关系, 不清楚他们使用的条件和范围, 当需要使用公式时总是不能记住, 如果能记住也不懂使用。

多元智能理论要求学生不是盲目接受和被动记忆课本的或教师传授的知识, 而是主动自我探索, 将学习过程变成自己积极参与的建构知识的过程。学生能够灵活运用数学公式、定理是理解这些公式、定理的前提;而理解这些公式、定理就需要学生亲身体验公式、定理的推导过程, 只有在这个过程中, 学生才明白它们的来龙去脉、运用的条件和范围。

二、重视数学公式、定理的推导过程, 让学生在推导过程中使用这些解题工具

数学公式、定理、定律等结论是通过观察和分析, 归纳和类比法等方法得出猜想, 然后寻求合乎逻辑的证明;或者从理论推导出发得出结论。因此, 在公式、定理、定律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索发现的推导过程, 不断在数学思想方法指导下, 找出每个结论因果关系, 让学生经历创造性思维活动, 并引导学生总结得出结论。

以前在教导完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2的时候, 为了节省时间, 直接把结论告诉学生, 认为他们会用就行了。让学生背熟公式后只要通大量的练习学生一定会掌握公式。但事实上还有很多学生由于不理解公式形成过程, 只是把公式的的外形记住了, 到用起来的时候, 不是漏了2ab, 就是错写b2的符号。于是在我所教的两个班当中做了一个这样的实验, 一个班继续是直接给公式, 让他们背熟后直接做题。一个班让他们亲自动手推到公式。

先从几何意义出发, 采用小组自主探究的学习方式, 让学生准备一个大正方型、一个小正方形和两个以大正方形的边长为长小正方形的边长为宽的长方形让他们利用手头上的图形去拼一个大正方形。通过拼图的方法, 使学生在动手的过程中发现律。

以小组为单位用手上已有的四个图形拼成一个正方形, 并观察图形回答下列问题:

(1) 整体看:求总面积_________

(2) 部分看:求四块面积和_________

(3) 结论 (a+b) 2=a2+2ab+b2

总面积由有四部分组成:两个大小不同的正方形和两个长方形。正方形的面积分别是a2和b2, 两个长方形的面积就是2ab是整个面积的重要组成部分, 学生通过拼图的方法加深了对公式中2ab的理解, 有效防止日后漏掉2ab的情况。

在学生探究出 (a+b) 2=a2+2ab+b2的基础上, 提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?让学生运用多项式乘以多项式的法则推导完全平方公式: (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2并说出每一步运算的依据, 加以论证完全平方公式。运用多项式乘以多项式法则的计算过程让学生再次感受2ab的存在。从代数、几何两个方面证明公式, 让学生充分了解公式的形成过程加深学生对公式的印象, 也加强了公式的可信度。而且让学生知道猜想的结论必须要加以验证。让学生体会了数形结合及转化的数学思想。

再让学生观察特征, 熟记公式熟。让学生用语言叙述完全平方公式。鼓励学生自主探究这个公式的结构特征: (1) 公式展开是三项; (2) 两个平方项同正; (3) 中间符号前后要一致。让学生弄清楚公式的来龙去脉, 我设计了这样四道判断题, 让学生对对公式结构由一个更深的理解。

(1) (a+b) 2=a2+b2 ()

(2) (a-b) 2=a2-2ab-b2 ()

(3) (a+b) 2=a2+ab+b2 ()

(4) (2a-1) 2=2a2-2a+1 ()

通过第一道判断题四小题让学生深刻认识公式的结构特征 (第一道题让学生掌握公式一定有三项不要漏写2ab, 第二道题让学生掌握平方项为正, 第三道题让学生知道不要漏写2ab中的2, 第四道题让学生知道公式中的a不止是一个字母还可以是一个式子, 当a是一个式子时一定要加括号。

最后通过填下表的形式, 组织学生展开讨论, 由表格再次巩固公式的结构特征:首尾平方总得正, 中间符合看首尾项的积, 同号得正, 异号得负, 中间的两倍记牢, 进而总结步骤为:

(一) 确定首尾平方和符号; (二) 确定中间项的系数和符号, 得出结论。

上完新课后我让两个班一连五天进行小测, 统计运用公式的出错率

发现第一天新学两个班出错率差不多, 但是日子越长学习的公式越来越多时, 背公式班公式出错率又变大, 特别是中下生他们没有体会到公式的产生过程只是简单记住公式的外形日子越久记忆越模糊, 所以出错率又越来越高。相反经过了公式推导的班, 体会到公式的内涵, 日子越久对公式的理解越来越清晰, 所以出错率越来越低。

通过一段时间的尝试, 我们发现学生对数学公式、定理的掌握不只是停留在记得的层面上, 他们都能理解其内涵。通过这样的体验学习, 学生的学习成绩有了显著的提高, 学生对数学的兴趣更浓了, 学生的学习积极性也更高了。

实践表明, 数学公式、定理的教学, 如果再用传统的“填鸭式”, 不但不会提高学生的成绩, 反而会让学生的厌学情绪越来越浓。所以, 我们一定要重视公式、定理的推到过程, 让学生不仅明白该公式、定理是什么, 而且要明白公式、定理是怎样形成的, 这样的学习才有意义。

数学推导篇2

教学设计理念：

培养学生的创新思维，在学生已有认知结构和经验的基础上，有计划地培养学生分析、综合、比较、概括、判断、推理等能力，提高学生思维的发展水平。教学设计：

一、创设情境，揭示课题

师：同学们，我们前面学习的平行四边形，三角形的面积公式是怎样推导出来的？

生：平行四边形垢面积是用割补法把它变成与它面积面积相等的长方形，由长长方形面积推导出平行四边形的面积计算公式。

生：三角形的面积是把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，因为三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以由此推导出三角形的面积计算公式。

生：三角形也可以用割补法把它拼成一个平行四边形，面积也是这个平行四边形的一半。师：同学们能不能用学过的这些方法，设计一种推导方案，推导出梯形的面积计算公式呢？

[评析：通过上面的教学揭示课题，提示学生可以把已学过的学习方法运用到新的学习情境中，激发了学生的学习动力，使学生有解决问题的兴趣与信心。]

二、学生操作实验，主动探究

让学生先自己设计推导方案，再汇报交流

生1：我把梯形分割成两个三角形，因为这两个三角形的高相等，所以一个三角形的面积是上底×高÷2，另一个三角形的面积是下底×高÷2，由此推导出梯形面积计算公式=上底×高÷2+下底×高÷2。

生2：我把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。因为平行四边形的面积是下底×高，三角形的面积是（下底--上底）×高÷2，所以梯形的面积计算公式=下底×高+（下底-上底）×高÷2。

生3：我把梯形分割成两个等高的小梯形，（把上面小的梯形倒过来和下面的梯形）拼成一个平行四边形，因为平行四边形的底就是梯形的上底和下底的和，高是原来的一半，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×（高÷2）。

生4：我把两个相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的上底和下底，高没有变，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×高÷2 [评析：学生调动已有的知识和经验，通过操作，验证等活动，概括出一个计算程序，就是公式，教师为学生提供充分的机会，使学生在交流的过程中理解和掌握了数学知识与技能，数学思想与方法。]

三、比较分析，优化方法

师：同学们想出了这么多个推导方法，更重要的是掌握解决问题的方法，能把一个新问题转化成旧问题解决。这么多的推导方法中，哪些更容易理解、计算更简便呢？

经过学生充分讨论，汇总出下面方法： 1．梯形面积=下底+上底）×高÷2 2．梯形面积=（下底+上底）×（高÷2）。

师：这两个公式计算进更简便快捷，同学们可以用这两个公式来计算梯形的面积。

[评析；通过学生讨论、分析、比较、选择出最佳方法。在实际应用中，教师应提倡算法多样化，这样不至于抑制学生的灵感和创造。] 总评：

引力公式推导的质疑篇3

一、太阳对行星的引力

根据开普勒行星运动第一、第二定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。

1.设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力F=mv2/r。

2.天文观测难以直接得到行星运动的速度v，但可得到行星公转的周期T，它们之间的关系为v=2πr/T。

把这个结果代入上面向心力的表达式，整理后得到F=4π2mr/T2。

3.不同行星的公转周期是不同的，F跟r关系的表达式中不应出现周期T，所以要设法消去上式中的T。为此，可以把开普勒第三定律变形为T2=r3/k，代入上式便得到F=4π2km/r2。

4.在这个式子中可以看到：等号右边除了m、r以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的。因而可以说太阳对行星的引力F与m/r2成正比，也就是F∝m/r2。

这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。

二、太阳与行星间的引力

由于F=m/r2、F′∝M/r2，而F和F′的大小又是相等的，所以我们可以概括地說，太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F∝Mm/r2

写成等式就是F=GMm/r2

乍一看，很有道理，主要是应用了匀速圆周运动的向心力公式和牛顿第三定律。但仔细琢磨一下，会发现：

太阳对行星的引力确实能根据这个方法操作，因为我们知道在惯性系中行星是绕着太阳在转，得出F∝m/r2；行星对太阳的引力大小也确实是等于F，但要得出F∝M/r2，笔者觉得不可以。因为要得到F∝M/r2，那么M就必须是受力星体，那就是说太阳要绕着行星转，在惯性系中那显然是错误的。除非你把太阳和行星做为两个单独物体甲、乙，比如说在水平面上甲物体用绳子拉着乙物体做匀速圆周运动，绳子的拉力看成是甲、乙之间的引力，当把甲物体看成是参考系时，根据匀速圆周运动向心力的特点可以推出F∝m乙/r2。此运动也可以看成是乙物体拉着甲物体在做匀速圆周运动，得到F∝m甲/r2。则有F=Km甲m乙/r2。但事实是太阳永远不可能绕着行星转。所以到目前为止，笔者还是找不到正确的合理的解释。这一节内容是为下一节“万有引力定律”做铺垫的，我也试图通过不用太阳系，而用双星系来进行两星之间的引力推导，也不能得出，因为双星系统是根据角动量平衡得到的。而且万有引力定律公式与太阳行星间的引力公式F=GMm/r2可以说是一样的。实际上就是牛顿通过这个公式向前走了一大步，他的思想超越了行星和太阳，大胆地把引力推广到了宇宙万物之间，最后用自己精湛的数学能力推出了万有引力定律公式，使之成为科学史上最伟大的定律之一。从这一点说，先推出太阳行星间的引力公式是必须的。

（作者单位浙江省奉化市第二中学）

高中数学抛物线两个结论的推导篇4

结论1:如图1, F是抛物线的焦点, M是抛物线上任意一点, MT是抛物线在M的切线, MN是法线, ME是平行于坐标轴的直线, 则法线MN必平分∠FME, 即φ1=φ2。

结论2:如图2, M、N、P三点在抛物线的准线上, M、N在P点异侧, F是抛物线的焦点, 过P向抛物线引两条切线PA、PB, 则PA、PB平分∠FPM, ∠FPN。

上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识, 考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法, 以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

二通性通法分析

比较这两个结论可以看出它们的共同特征: (1) 条件:抛物线上的切线问题, 给定抛物线C:y2=2px。结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT, 结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。切点为A、B; (2) 研究的问题相近:切线平分角的问题, 涉及直线与焦点有关。查阅高考试题及有关高中的数学资料, 可以找到诸多与此相似的问题, 由于抛物线方程可以看作为函数的表达式, 因而研究的思路更加宽阔、活跃, 在高考试题中频频出现。

求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是:设出切点坐标, 用导数表示切线的斜率写出切线方程, 利用已知点在切线上展开思路。 (2) 联立方程研究位置关系。利用已知设出切线方程, 联立切线方程与抛物线方程, 利用判别式为0展开思路。 (3) 待定所求直线方程, 通常用斜截式。联立直线方程与抛物线方程, 用韦达定理列出切点坐标, 再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求, 在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。

三解题思路和策略

两个结论都先从导数的几何意义入手, 将切点坐标设出来。

结论1是根据两垂直直线斜率之积等于-1, 根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线方程, 计算出此直线与抛物线轴的交点坐标N, 计算出|FN|和|FM|的长度, 判断出△FNM是等腰三角形, 再根据ME∥轴线推出内错角相等, 即证。详细证明过程如下:

结论1证明:取坐标系如图, 设此时抛物线方程为y2=2px (p>0) , 因为ME平行x轴 (抛物线的轴) , ∴φ1=φ2, 设点M的坐标为 (x0, y0) , 对y2=2px两边求导得:2yy′=2p。

结论2是设出切点坐标, 利用点斜式写出切线PA所在的直线方程, 根据角平分线定理:角平分线上的点到角两边的距离相等, 得出切点A到准线的距离与切点A到PF的距离相等。得出PA平分∠FPM, 同理得出PB平分∠FPN。

详细证明过程如下:

所以点A到FP的距离等于点A到准线的距离, 故PA平分∠FPM, 同理PB平分∠FPN。

四学生应该突破的瓶颈

第一, 在解题过程中, 不会应用导数的几何意义。导数是解决函数问题的重要工具, 导数的几何意义使得求曲线的切线方程十分便捷。

第二, 没有养成用数学思想指导、分析问题的好习惯。这类问题的典型特征是变量多、关系式复杂, 容易使学生迷失方向, 看到很多式子不知如何推算。而产生这种问题的原因是没有用数学思想去指导分析问题, 没有从整体上对解题进行规划, 明确解题的方向路线。解题思路是围绕如何选择有效途径消参来展开, 推算则不再盲目。

摘要：笔者在研究抛物线时发现了抛物线的两个结论, 抛物线上的切线有很多性质, 它能和许多角联系起来, 解决一些角与角的转换问题, 通过参考文献, 笔者现将之整理成文, 现与大家共同探讨。

关键词：抛物线,切线,角平分线,重要结论

参考文献

[1]王诚祥、马家祚主编.直线与圆锥曲线[M].南京:河海大学出版社, 2006

[2]傅建红.圆锥曲线综合问题[J].数学教学通讯:数学金刊 (高考) , 2013 (1)

梯形面积推导教案篇5

《梯形面积公式》推导

教学课时：1课时

年级：五年级

执教人：秦东教学目标：

1、知识与技能目标。

①、让学生联系生活认识梯形，并标出上下底和高。②、运用“旋转、平移、切割”方法推导梯形的面积公式。

2、教学过程和方法。

①、教师讲一例后要求学生们自主探索出梯形的面积计算公式。②、组织学生们自己动手推导从而教师归纳总结梯形面积计算公式。

3、情感态度和价值观。

接合前面学过知识让学生们动手操作培养学生的动手实践能力，激发学习兴趣，培养合作意识，渗透转化的数学思想的方法。教学重难点：

①、引导学生运用“拼凑”的方法推导梯形面积计算公式。

②、引导学生运用“切割”的方法推导梯形面积计算公式。教学教具： ①、课件。

②、二个普通梯形。学生学具：

①、两个完全一样的梯形。②、一个普通梯形和一把剪刀。教学过程：

（一）引入新课

1、课件出示：生活中的图片，让学生找出学习过的图形目的在于创设情境。

2、复习近平行四边形、三角形面积计算公式的推导步骤：

3、教师提出问题：小车的车窗玻璃多大呢？用什么样的公式来计算呢？

4、板书课题，并用课件出示本节课的教学目标。

（二）教学实施

1、教师引导学生认识一个普通梯形的上下底高和腰。

2、课件出示：一个直角梯形和一等腰梯形。要求学生们标出其上下底和高。

3、教师引导学生用“拼凑”法推导梯形的面积公式。

新景乡回龙完小五年级（2）班第1页

4、课件出示：用两个完全一样的梯形可组成一个什么样的图形？并演示其“拼凑”的过程——（平形四边形）要求学生写出此图形的面积计算公式。S＝ɑ×h，同时用代换法写出梯形的面积计算公式，S＝（上底+下底）×高÷2。

5、课件出示：请学生们分组用自己的方法推导出直角梯形、等腰梯形的面积计算公式。教师叫其中一组的一位学生作为代表介绍自己所推导的过程，后教师归纳总结出梯形的面积计算公式。

6、除了用拼凑的方法学生们还有其它方法吗？考虑用一个梯形可推导出梯形面积计算公式吗？

7、课件出示：用一个普通的梯形来推导梯形的面积计算公式。“沿一腰中点和左上角顶点之间的连线剪开，将梯形分成一个四边形和一个三角形，以一腰中点为轴顺时针转动小三角形，切割旋转后组成一个什么样的图形？并用课件演示所切割的方法。（三用形）三角形的底是梯形的上底与下底的和，用三角形的面积公式代换出梯形的面积公式。S＝（上底+下底）×高÷2。

8、课件出示：要求学生们分组用一个直角梯形、一个等腰梯形推导出梯形面积计算公式。并叫其中一组介绍自己的切割的方法后教师总结归纳出梯形面积计算公式（教师行间巡视和学生一起探究，对学生在探究过程中出现的问题进行指导）。

板书设计：《梯形面积公式推导》

1.拼凑法 2.切割法

教学小结：

通过刚才同学们一起研究，我们得出了梯形面积的计算公式。梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2。如用S表示梯形面积，ɑ表示梯形的上底，b表示梯形的下底，h表示梯形的高，用字母表示梯形的面积计算公式为：S＝（ɑ+b）×h÷2。课后反思：

“梯形面积公式推导”研究课设计篇6

关键词：梯形面积公式；推导；研究课；设计

最近，我采用研讨课的形式教学梯形面积公式的推导，自始至终将学生摆在主人翁的位置上，让学生用过想一想、看一看、拼一拼、说一说等一系列的实践操作活动，从中发现规律，最后推导出梯形的求积公式，使学生真正成为公式推导的参与着，效果很好，具体做法如下：

一、提出学习目标

课前，我先布置每个学生都准备好三组两个完全一样的梯形（即任意梯形、等腰梯形、指教梯形）卡片。上课后，我只用大约3分钟的时间复习平行四边形与三角形的面积计算，借此沟通新旧知识的联系。当“梯形面积计算（一）”课题出现后，我逐一出示幻灯片，让学生明确老師的要求。

要求：1、自己动手，用两个全完一样的梯形拼成一个已学过的图形。

2、拼好后，认真观察与思考：（1）新拼成的图形是什么图形；（2）新拼成的图形的低与原梯形上、下底的关系；（3）新拼成的图形的高与原梯形面积的关系；（4）新拼成的图形的面积与原梯形面积的关系。

3、怎样借助你拼好的图形的面积公式推导出梯形的面积公式。

4、互相讨论交流一下推导的结果是否相同。

二、研究公式的推导过程

1、操作这是本课的中心环节。当学生明确了本课的学习目标后，开始了他们探索性的操作，他们利用手中的学具，借助形象材料进行思维，有的翻转拼，有的旋转拼，大致有以下几种拼法：

2、观察：拼好后学生根據木白哦认真地逐一观察，很快，他们便发觉和纠正了不了不合要求的拼法（要求是拼成已学过的求积图形）。

3、说一说：拼好后，学生开始探究新拼成的图形与原梯形的关系，互相讨论、交流结论。老师抓住这个火候，请不同拼法的同学派代表上来操作并用语言表述指导的过程。教师根据学生的叙述，板书如下：

新拼成的平行四边形的底是原梯形上、下底之和，新拼成的平行。

四边形的高是原梯形的高，而一个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

※平行四边形的面积=底×高

※梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

而拼成长方形的同学说：

※长方形的面积=长×高

※梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

另一个拼成长方形的学生说：因为老师说过长方形是平行四边形的特例，所以我借助平行四边形面积公式，退出梯形求积公式是：（上底+下底）×高÷2.

4、看一看，接着老师说：“我也有两个完全一样的梯形，我也来拼拼看。”再用幻灯教学片“梯形面积公式推导示意图”演示了一遍。然后请同学们打开课本第69-70页，看看课本上所说的与我们得出的结论是否一致。这样学生带着问题看书，自然看得认真、仔细。当他们看到自己得出了与课本一样正确的结论时，那种成功的喜悦增强了他们研究新知的兴趣和信心，而这个公式给他们的印象尤其深刻，成为学生认知结构中稳固的知识点。

5、巩固练习设计。用幻灯出示下面几种有层次、有坡度的练习题：

（1）基本练习（见课本第71页第1题）

（2）辨析题（略）

（3）稍有坡度的：一个梯形上底3厘米，下底9厘米，下底是高的1.5倍，求梯形的面积。

（4）选做题：①（逆用公式练习）一块梯形地，面积45平方米，上底7米，下底13米，求高。②想想看，今天我们是用两个完全一样的梯形拼成已学过的图形推导出梯形的求积公式，如果只用一个梯形，你能退出梯形的求积公式吗？请结合下面这题思考：一个梯形，上底与高的积是48，下底与高的积是80，求这个梯形的面积。（单位：分米）

数学推导篇7

关键词：能量法,虚功原理,卡氏第二定理,极小势能原理,数学推导

结构力学中的能量法有很强的数学背景, 在线弹性条件下, 它可以理解为变分法解力学问题时得到的一个二次函数.能量法的两种最常用的具体形式为虚功原理和极小势能原理, 虚功原理又分为虚力原理和虚位移原理.而卡氏第二定理是虚力原理的一种推广应用.

虚功原理是宏观表现, 不像平衡微分方程和变形协调方程般繁琐 (解析法) .后者在小尺度下成立, 着眼于微观, 在复杂情况下很难直接积分出一个简单的形式.虚功原理不仅解决了这些困难, 而且把边界条件包含在内, 着眼于宏观, 比通过控制方程积分、代入边界条件求解的解析法简洁.

能量法虽然比解析法稍难理解, 但在力学分析中却更加有效.在一个方程中统合所有条件和未知量, 能衍生出非常巧妙的办法与性质 (如4个互等定理[1]) .因此能量法应用范围很广.在使用能量法时, 有必要明确它们的适用条件, 这便是本文的主要目的.

1 虚功原理成立的前提

虚功原理[2,3]可以从平衡微分方程和变形协调方程推导出来, 以一根梁为例, 这两组方程分别为:平衡微分方程

变形协调方程

其中, FN, FQ, M分别为截面轴力、剪力和弯矩;p为轴向载荷集度;q为法向载荷集度;u为轴向位移;ω为横向位移;ε为轴向线应变;θ为转角;γ0为截面平均切应变;dω/dx表示杆轴切线的角位移.

证明如下:

若杆件的两个端点分别为A, B, 则根据式 (1) , 首先有

由式 (3) 可推出

再将变形协调方程du=εdx, dω-θdx=γ0, 代入式 (4) , 便可得到变形体虚功方程[2,3]

式 (5) 左边为外力在位移上所做的外力虚功, 前两项是杆端力作的虚功, 第3项是分布载荷作的虚功;右边为整个变形体的内力虚功.二者相等即是对虚功原理的证明.

从上面的证明过程可以看到, 虚功原理实质上是平衡微分方程和变形协调方程的结合体, 未引入其他多余条件.其优势也在于把边界条件融合到了等式中, 使得其在结构计算中的应用变得方便简洁.由于不引入本构关系, 因此不必关心材料线性或非线性.由虚功原理衍生出的虚力原理与虚位移原理的妙处也正体现在这里, 虚力原理只需力系是平衡的, 虚位移原理只需位移变化都是满足几何相容条件的.

2 卡氏第二定理的适用条件

卡氏第二定理[4,5], 基本表达式为

其中, Vε是结构的总应变能, FPi是作用在结构i处的力, ∆i是力FPi处的位移.卡氏第二定理可以直接从数学变分法导出.

证明如下:

弹性体的总势能Ω, 可写作

对FP1, FP2, ···, FPn取变分, Ω的变分为

由总势能在真实情况下取极值, 满足δΩ=0, 从而得到卡式第二定理的表达式 (式6) .

由上面的数学推导可以发现, 在卡氏第二定理的推导过程中使用了叠加原理, 因而在非线性条件下不能成立[6].

3 极小势能原理的证明和前提条件

极小势能原理是数学变分原理的自然结论, 可以根据平衡方程和变形协调方程推导出极小势能原理, 过程如下:

设ui, uj, uk为结构的真实位移, 弹性体总势能可表示为

其中, W为应变能密度, ¯pi为边界上面力, fi为体力, Fi为集中力.

(1) 线弹性条件下的极小势能原理的证明

在线弹性条件下, 有[7]

其中, δ2Ω (ui, uj, uk) 是一个二阶变分, δ2Ω (ui, uj, uk) >0[7].根据取极值条件, 有

因此

由此可见, 在线弹性条件下, 满足平衡微分方程时势能取得极小值[7].

更一般的, 在非线性条件下仍然有极小势能原理.

(2) 非线性条件下的极小势能原理的证明

记体力为fi, 在力边界Sσ上给定面力pi, 在位移边界Su上给定位移ui.这里假设弹性应变能只考虑正截面应变势能, 不考虑剪应变的作用, 同时记在真实状态下和任意变形状态总势能为Ω和Ω (k) .

根据静力平衡关系

考虑变形协调关系

另外, 根据应变能密度

得到如下弹性关系

记与真实状态相邻的一个可能状态几何量分别为ui (k) 和εij (k) , 同时注意到式 (9) , 有

由式 (18) 可以看出, 要使得上述不等式成立, 必须保证f (ε) 是严格增函数, 否则式 (18) 中的不等关系不成立, 也就无法得到极小势能原理.同时注意到上式成立时不要求εij (k) 与εij相差很小, 因此它是一个大范围极值原理.

若εij (k) <εij也可以类似地得到同样的结论, 于是

于是Ω (ui (k) ) -Ω (u) >0, 极小势能原理在非线性条件下成立.

从上面的证明可以看出, 应力必须是应变的严格增函数才符合极小势能原理.如果材料应力应变关系有屈服平台或者下降区段, 极小势能原理的解不是一个稳定点, 不存在唯一解, 极小势能原理则不再适用.若要应用极小势能原理, 必须保证应力是应变的严格增函数.

从数学角度看, 只有应变能密度函数W (εij) 是一个凸函数, 极小势能原理才有意义.应变能密度函数是应力对应变求积分, 只有应力是应变的严格增函数, 才能保证W (εij) 是一个凸函数, 因此式 (18) 的性质便不难理解.

还需要说明的是, 非线性条件下极小势能原理成立遵循的应力应变关系需满足严格递增条件, 本质上其实为Drucker公设, 即硬化材料条件, 该假设是塑性力学中下限定理[8,9]的前提.如果材料不符合材料硬化条件, 如应力应变关系存在下降段, 将会出现不稳定, 在有限元计算中一旦进入这个下降段则需要区别处理.

4 结论

上述3种方法都是非常常用的能量法的基本形式, 使用时需特别注意它们的适用条件.

虚功原理 (式 (5) ) 可以看作是一个融合平衡微分和变形协调两个条件的方程.利用数学手段把二者综合考虑又不失独立性, 同时正是这种独立性给虚功原理带来明显优势, 即, 不用考虑材料物理本构关系而使求解更简洁.

卡氏第二定理在推导过程中用到叠加原理, 因此只在线弹性条件下成立.

极小势能原理不具有与虚功原理同等的适用条件.只有材料应力应变关系满足严格增函数下才能应用.它是一个大范围极值原理, 在线性与非线性条件下都能应用.

参考文献

[1] 龙驭球、包世华.结构力学Ⅰ基本教程 (第3版) .北京:高等教育出版社, 2008

[2] 王焕定.再论变形体虚功原理.力学与实践, 2011, 33 (2) :93-95

[3] 张东岭.有关虚功原理若干问题的研究.山西建筑, 2008, 34 (25) :100-101

[4] 范钦珊, 王波, 殷雅俊.材料力学.北京:高等教育出版社, 2000

[5] 管悦, 李全旺.从卡氏第二定理探讨结构位移计算方法的关系.力学与实践, 2012, 34 (2) :66-67

[6] 铁木辛柯SP, 杨DH.结构理论 (第2版) .叶红玲, 杨庆生译.北京:机械工业出版社, 2005

[7] 徐秉业, 黄炎, 刘信声等.弹性力学与塑性力学解题指导及习题集.北京:高等教育出版社, 1985

[8] 周献祥.塑性理论下限定理在钢筋混凝土结构设计中若干应用.工程力学, 2000, 2 (A02) :362-366

数学推导篇8

数学期望称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念.实际应用中,数学期望的定义及计算公式是一个重要内容.

在离散场合下,设随机变量X的分布列P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则X取值xk,以pk为权值的加权平均值,即X的数学期望

该公式,可根据经典的分赌本问题,或者打靶问题等很容易推导得到.在概率统计这门课程中,学生普遍反映连续随机变量比离散随机变量的难度大.而教材中,往往对于连续随机变量数学期望的定义只是以“只需将分布列改为密度函数,求和改为积分即可”等比较笼统的叙述.

本文下面对连续场合随机变量的数学期望

这一定义式的推导过程进行讨论,其中p(y),-∞<y<+∞是Y的概率密度函数.

二、推导过程

为方便,假设连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为[a,b).考虑将Y离散化:在实轴插入点列{xk}后,实轴被分割成区间[xk,xk+1),且小区间长度依次为Δxk=xk+1-xk,k=1,2,…,规定X取值xk,显然,X是取值可列无穷多个的离散随机变量,且

满足分布列所需的非负性和正则性要求.由(1)式,容易计算随机变量X的数学期望

又由概率密度函数的性质、非零区间及积分中值定理,有

一般地,当连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为(-∞,+∞),即a→-∞,b→+∞时,(3)式即为定义式(2).因此,连续随机变量的数学期望,在计算时要结合概率密度函数的分段情况,做到“分段函数分段积分”.

三、推广

假设连续随机变量Y的概率密度函数p(y),分布函数为F(y),-∞<y<+∞,若Y的期望存在,根据(2)式

将第一个积分改为二次积分,然后改变积分次序,得

同理

所以

特殊地,若Y为非负连续随机变量,当y<0时,有F(y)=0.显然,利用(4)式,得

摘要：本文主要对连续型随机变量的数学期望进行研究.首先,以离散随机变量数学期望的定义式为基础,借助极限思想和定积分的定义,结合积分中值定理,进而推导连续场合下随机变量数学期望的定义式.进一步,讨论数学期望存在的条件和物理解释.最后,当数学期望存在时,利用分布函数和概率分布给出其计算公式.

关键词：随机变量,数学期望,定积分

参考文献

[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2011.

[2]唐小峰.连续型随机变量独立性的几个充要条件[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2006(02).

数学推导篇9

高中教材中对二项分布、超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导过程, 现笔者给出一推导过程仅供读者参考.

预备公式1

iC $_{n}^{i}$ =nC $_{n - 1}^{i - 1}$ (n≥1) , 利用组合数计算公式即可证明.

预备公式2

Dξ=Eξ2- (Eξ) 2, 证明见教材.

预备公式3

C $_{n}^{0}$ C $_{m}^{k}$ +C $_{n}^{1}$ C $_{m}^{k - 1}$ +C $_{n}^{2}$ C $_{m}^{k - 2}$ +…+C $_{n}^{k}$ C $_{m}^{0}$ =C $_{n + m}^{k}$ (n, m, k∈N*, k≤n, k≤m) , 利用恒等式 (1+x) n+m= (1+x) n (1+x) m的二项展开式中xk的系数相等可证.

一、二项分布

在独立重复实验中, 某结果发生的概率均为p (不发生的概率为q, 有p+q=1) , 那么在n次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为:

E (ξ) = $\sum_{i = 0}^{n}$ iCinpiqn-i

= $\sum_{i = 1}^{n}$ iCinpiqn-i

= $\sum_{i = 1}^{n}$ nC $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i (利用预备公式1可得)

=np $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ pi-1qn-i

=np (p+q) n-1

=np.

V (ξ) =Eξ2- (Eξ) 2

= $\sum_{i = 0}^{n}$ i2Cinpiqn-i-n2p2

= $\sum_{i = 1}^{n}$ niC $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i-n2p2

=n $\sum_{i = 1}^{n}$ (i-1) C $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-1+n $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i-n2p2

=p2n (n-1) $\sum_{i = 2}^{n}$ C $_{n - 2}^{i - 2}$ pi-2qn-i+

np $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ pi-1qn-i-n2p2

=p2n (n-1) (p+q) n-2+np (p+q) n-1-n2p2

=p2n (n-1) +np-n2p2

=np-p2n

=np (1-p) .

二、超几何分布

一批产品共N件, 其中有M件不合格品, 随机取出的n件产品中, 不合格数X的概率分布为:

其中l=min (n, M) .

E (x) = $\sum_{i = 0}^{l}$ $\begin{array}{l} i \frac{C_{Μ}^{i} C_{Ν - Μ}^{n - i}}{C_{Ν}^{n}} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ C $_{Μ - 1}^{i - 1}$ C $_{Ν - Μ}^{n - i}$

$= \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} C_{Ν - 1}^{n - 1}$ (利用预备公式3可得)

$\begin{array}{l} = \frac{n Μ}{Ν} . \\ V (x) = \end{array}$ $\sum_{i = 0}^{l}$ $\begin{array}{l} i^{2} \frac{C_{Μ}^{i} C_{Ν - Μ}^{n - i}}{C_{Ν}^{n}} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} i C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} (i - 1) C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} + \\ \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} (Μ - 1) \end{array}$ $\sum_{i = 2}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 2}^{i - 2} C_{Ν - Μ}^{n - i} + \\ \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} (Μ - 1) C_{Ν - 2}^{n - 2} + \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} C_{Ν - 1}^{n - 1} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = n \frac{Μ}{Ν} (1 - \frac{Μ}{Ν}) (1 - \frac{n - 1}{Ν - 1}) \end{array}$ .

数学推导篇10

首次施教

师:既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开后, 总能得到长方形 (趁机贴出圆柱图及展开的长方形图) , 现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积?

生:求长方形的面积。

师:那这个长方形的长和宽与圆柱有什么联系?怎样计算圆柱的侧面积呢?快拿出剪开的商标纸和圆柱来围一围, 以帮助我们思考。 (学生操作、思考。)

学生交流:长方形的长等于圆柱的底面周长, 宽等于圆柱的高, 圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 (教师随学生回答点击课件, 出示结论。)

......

整个课堂沉闷、乏味, 缺失数学课堂应有的思维波澜和张力。在课后访谈中, 教师问学生:你们是怎么发现长方形长、宽与圆柱的联系的?大多数学生说:“书上有的, 我们在预习时就知道了。”教师愕然, 原来学生的“发现”是建立在“预习”的基础之上, 而非理解的基础之上。可见, 上述学习过程对学生的主动建构和思维发展并没有多大的促进作用。其原因在于:一是学生被教师牵着走, 学习与思考被动。教师步步为营, 为学生提供构建圆柱侧面积计算公式的一切铺垫, 学生只是顺着教师提供的思路亦步亦趋地探究, 浅尝辄止, 进行低效的“被动”建构。二是教师以抽象解释抽象, 感知模糊、肤浅。在沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系时, 学生的操作、观察等学习活动, 是以抽象来解释抽象, 缺少具体、有针对性的刺激, 感知不够深刻、体验不够丰厚、理解不够透彻。这不利于发展学生思维的主动性、深刻性。

改进教学

师:既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开, 最后总能得到长方形 (同上) , 现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积?

生:求长方形的面积。

师:长方形的面积大家都会算, 如果现在给你两个数据会求它的面积吗?

生 (以为是告诉长和宽) :会! (齐答)

师 (在圆柱图上标出圆柱的底面周长是3.14cm, 高是2 cm) :这个长方形的面积 (手指展开图) 是多少?

(大部分学生楞了一下, 开始思索, 个别已发现解答方法并开始举手。)

生:6.28 cm2

师:你是怎么算的?

生:3.14×2=6.28cm2

师 (故作惊讶) :我不太明白, 长方形的面积应该用“长×宽”来计算, 怎么可以用这两个条件来算呢? (手指底面周长和高) 能解释清楚吗?

生 (有点高兴、激动) :我发现长方形的长等于圆柱的底面周长, 宽等于圆柱的高 (边说边演示) 。所以长方形的面积就等于底面周长乘高, 也就是圆柱的侧面积等于底面周长乘高。

师:大家听清楚、看明白了吗?谁也能和那位同学一样来解释一遍?

生: (略)

师:用剪开的商标纸围一围, 看是不是这回事?

(学生操作验证) ……

上述教学中, 修改的关键之处在于直接给出了圆柱底面周长和高的两个数据, 却得到惊喜的教学变化:一是引发冲突, 激发求知欲。表面看两个数据似乎与长方形面积的计算没有直接联系, 却已将“沟通展开长方形长、宽与圆柱的联系”包含进去, 承载了一定的思维容量。给学生造成强烈的刺激, 引发认知冲突, 诱使学生主动去探究、发现两者的联系。二是依托探究媒介, 以具体解释抽象。小学生的思维还处于形象向抽象过渡阶段, 精选的两个数据为学生观察、思考、表述两者间的抽象联系提供了媒介。三是深刻感知, 自主建构。在出示数据初, 一些学生遇到了认知困难, 教师在及时介入时以装糊涂的形式陪着学生走, 让学生自主探索, 自己想出办法让别人看懂、听明白, 促使他们在深刻感知后水到渠成地构建圆柱侧面积计算公式。

课后反思

两个精心设计的数据缘何能引发学生的学习由“被动”向“主动”嬗变?阿基米德所说“给我一个支点, 我将撬动整个地球”的名言能给予我们启发:在教学中, 只要找到一个支点, 也能四两拨千斤, 推动数学学习由“被动”变“主动”, 走向高效。这个支点就是新知识逻辑发展和学生思维发展的契合处。找到它的前提是把握数学知识与学生思维的本质, 用好它的关键是在此支点上巧妙地创设体验活动。

一、让“支点”植根于数学知识本质

让“支点”植根于数学知识本质需要教师透彻理解数学知识的本质, 这是教学中促进学生学习由“被动”变“主动”的前提。只有理解透彻了, 才能用学生最易理解的语言、最有效的方式来描述数学知识, 设计学习活动。实践中, 关键要准确把握知识的“源”与“流”。“源”就是知识的源头, 这个知识从哪里来, 现在处在什么位置。把握“源”才能依据教学目标来还原新知识“再创造”的最佳路径。“流”就是新知识要“流向”哪里, 它有哪些后续价值。把握“流”才能掌握好难度来恰到好处地凸显新知识的价值。这样, 才能准确地引导学生去主动探求新知识的本质及相关知识间的内在联系, 构建合理的认知结构。改进的教学中, “3.14与2”这两个数据就是在“沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系”的本质上应运而生的。

二、让“支点”扣准学生思维本质

影响学生主动学习的一个重要原因是教师把握不准学生的思维本质, 习惯以自己的经验、理解这一定势来想当然地替代学生的经验、思维过程。让“支点”扣准学生思维的本质, 关键是教师应站在与“学生思维相似”的视角来分析问题, 能清楚地了解学生学习新知时的已有知识与经验, 精确地判断他们在学习中会遇到的困难及面对困难可能有的种种想法, 从而准确定位并创设促进学生思维、情感发展的学习路径, 使学生的已有认知与所学新知、当前思维水平与可能达到的思维水平产生交融共鸣, 这是学生积极、主动建构的保证。改进的教学中, 以“3.14和2”这两个与圆柱相关的数据来计算展开长方形的面积, 恰好符合小学生以具体解释抽象的思维过渡性特点, 有一定思维容量的计算探究又激发了学生的求知欲。

三、在“支点”上创设体验活动

劈尖干涉条纹间距的推导及应用篇11

关键词：劈尖干涉条纹间距的推导；应用

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2007)11(S)-0020-1

若平行单色光垂直照射劈尖，光在劈尖的上、下两个表面分别反射，形成两束相干光，经干涉产生等间距、明暗相间的平行于棱边的干涉条纹，那么影响干涉条纹间距的因素有哪些呢？

应用如图2所示，将一块平板玻璃放置在另一块平板玻璃之上，在一端夹入两个小垫片，从而在两玻璃板表面之间形成了一个劈形空气薄膜，当光垂直入射后，从上向下看到明暗相间，等间距的干涉条纹（1）若去掉一个垫片，干涉条纹如何变化？（2）改变劈形薄膜物质的折射率或入射光波长，干涉条纹如何变化？（3）若水平玻璃板上有“凹坑”或“凸包”，干涉条纹如何变化？

分析由Δx=λ/(2θn)可知：

（1）若去掉一个垫片，则劈尖的顶角θ减小，条纹间距变大，条纹变宽、变疏。

（2）劈形区域物质折射率n变大或入射光的波长λ减小，条纹间距变小，条纹变窄、变密。折射率n变小或入射光的波长λ增大，条纹间距变大，条纹变宽、变疏。

（3）①若水平玻璃板上有“凹坑”，可做如图oa、ob、oc…等辅助面，对应顶角都大于θ，因而对应部分条纹间距变窄，“拐弯”拐向顶角一侧。如图3所示。

②若水平玻璃板上有“凸包”，可做如图oa、ob、oc…等辅助面，对应顶角都小于θ，因而干涉条纹间距变宽，“拐弯”拐向顶角的另一侧。如图4所示。(栏目编辑黄懋恩)考，及时对课堂教学的全过程进行“回头看”，记下教学中成功的经验和失败的教训，吸取别人的教学长处和优秀品质，并用此来指导今后的教学工作，教学思路将更加清晰、系统，教学设计就会达到最优化。

总之，写教学后记贵在及时、贵在坚持、贵在执着和追求。教师在教育教学过程多思考、多观察，做个有心人，将教学中的点滴体会及时的记录下来，以写促思，以思促教，日积月累，就会得到一份教学实用宝典，教学活动的规律就会了然于心，成竹于胸，驾驭课堂教学能力就会得到提高。

参考文献

［1］阎金铎.《中国著名特级教师教学思想录（中学物理卷）》［M］江苏教育出版社,1995.

［2］凌国伟.说说教学反思，［J］.中小学教学设计，2007，（6）.(栏目编辑黄懋恩)

动词拷贝结构的句法推导篇12

(1) 他看书看到两点; (2) 他跳舞跳得很好。

动词重复现象非汉语独有, 存在于世界上的许多其他语言, 作为一种句法现象得到了广泛的研究。

最简方案框是乔姆斯基生成语法理论发展的最新阶段, 该框架以尽可能简洁、概括和遵守经济原则为研究特点, 对于解释各种语言语法现象显示出了较强的生命力, 得到众多学者的关注和应用。本文将探讨在最简方案框架下动词拷贝结构的推导, 以期在前人的相关研究基础上有所新的发现。

一、现代汉语动词拷贝结构的特点及研究进展

现代汉语动词拷贝结构的基本特点是:

1. 两个动词中, 只有第二个动词是限定动词, 可以跟体标记, 被否定词限定。

(3) 他骂人骂了两个小时;他骂了人骂两个小时。

2. 动宾和动补的位置是固定的, 不能颠倒。

(4) 他开车开得很晚;他开得很晚开车。

3. 宾语和补语是必不可少的。

(5) 他喝酒喝醉了;他喝酒喝了。

4. 动宾短语可以在句首、句中, 其后可以插入‘啊/呀’。

(6) 他骑马 (啊/呀) 骑得很累;骑马 (啊/呀) 他骑得很累。

生成句法学框架下, 最早探讨动词拷贝结构句法推导过程的是黄正德, 他认为这是由短语结构条件定的, 及物动词不能同时接宾语和补语, 如果同时出现, 需要将原核心动词再复制一次来挽救这种结构;动词复制后, 原动宾结构重新分析为复制动词的状语。随后的较长一段时间, 尽管有很多学者探讨该句式的语义和语用, 但是大多数都接受了黄正德所提出的句法分析。然而, 石定栩对这一观点提出了质疑, 认为两个动词短语分别是状语成分和谓语成分, 两者之间不存在直接的联系, 所以该句式不存在动词复制现象。

20世纪90年代初, 乔姆斯基的理论法发展到最简方案阶段。在该框架下, 许多学者对汉语的动词拷贝结构进行了重新分析, 提出了许多有见地的解释, 使我们对该句型的句法结构有了进一步的认识。如陈工较早在最简方案框架下探讨了该句式的推导过程。他认为动词复制结构是广义转换的一种, 和把字句一样是由相同的词库表征通过类似的推导方式形成的, 他们具有同样的底层结构。动词拷贝句之所以是汉语的独特句型, 不是由于汉语和其他语言的句子有不同的底层结构和推导方式, 而是由于汉语利用了普遍语法中的广义推导方式反展出了这种句式。

随后, 郑礼珊发现有的动词拷贝句型有歧义, 如“他骑那匹马骑得很累”这句话中“累”既可以有主语解读, 也可以有宾语解读。鉴于此, 她认为这两种解读的句法推导过程不同。当“累”的对象是“他”时, 该句型是通过Nunes提出的侧向移位的方式形成的;当其对象是‘马’时, 该句型是通过正常的移位形成的。拼读时, 较低复制的动词在形态上与“得”融合, 使得两个动词形式不同, 在语音式中都必须保留。Lyn Shan Tieu采用了郑礼珊的方法对动词拷贝句进行了类似的分析, 同时将该分析方法拓展到其他非指称动词用法的变体句型, 进行了统一的结构分析。他认为在所有的非指称动词用法结构中, 动词首先与非论旨成分的补语合并, 差别仅在于在语音接口中, 线性化及语音实现的某些条件决定使用哪一种变体。该分析认为, 在语音层面, 某些变体句型中, 动词只出现一次, 但是在句法中动词都是出现两次。

最近, Yu-Yin Hsu将动词拷贝句型和宾语前置句型的推导提出了统一的解释。他接受了Belletti根据Rizzi对小句左边界的研究中提出的“INFL域和动词域之间也有类似的功能投射 (即话题和焦点投射) ”的观点。张孝荣运用“反定域假设”分析了动词拷贝结构的推导过程, 认为该结构中的动补结构为句子的谓语成分, 动宾短语发生了去名次化而成为话题。

此外, 国外还有其他学者在最简方案框架下探讨该句式的推导, 如Paul Waltraud, Jules Gouguet等。

由此可见, 学界对于动词拷贝结构的推导存在较大的分歧: (1) 该句型中两个动词之间是否存在着某种复制关系, 即两个动词是否形成一条语链; (2) 该句型中第一个动词短语处于话题的位置还是处于状语即修饰语的位置。我们尝试用最简方案的最新理论对该句型进行分析, 可以看出乔姆斯基的理论也可以解释汉语的典型句型。

二、最简方案框架下动词拷贝句的推导

1. 语段理论和平行语链

最简方案是乔姆斯基等语言学家在原有的原则和参数总模型下提出的新的研究框架, 认为语言研究尽量简洁、概括、符合经济原则。语段理论正是在这一背景下提出的, 并逐渐成为当代句法学研究的主要基石。该理论认为, 为了减轻句法的运算负担, 句法运算是一个语段一个语段逐步推导而来的, 每个语段拼读一次。推导过程遵守语段无渗透条件:中心语短语HP之外的操作无法触及中心语H范围内的成分, 但能触及中心语H和其边缘。至于哪些成分可以构成语段, 乔姆斯基认为, 只有具有完整命题功能的短语才能构成语段, 如V觹P和CP。

平行语链是乔姆斯基最近对传统的位移理论进行反思提出的另一崭新观点。传统生成语法位移理论无法解释下列对比:

(7) Of which car was the driver arrested芽

Of which car has the driver caused a scandal芽

根据传统位移理论, 这两句中的介词短语的移位都违反了毗邻原则, 应该都不合乎语法, 但根据英美人的语感, 前一句是合乎语法的。如何解释这一差别, 乔姆斯基根据他的研究对其理论进行了改进和创新, 提出了平行语链的观点。

乔姆斯基认为, 传统的一些基本假设必须重新审视。当今句法理论中有一个最基本的假设就是句子的推导过程是自下而上、接续循环的过程。在句法推导过程中, T的合并先于C的合并, 因此T的移位和匹配操作优先于C的相关操作。但在“论语段”中, 乔姆斯基认为只有语段中心语才能进行移位操作, 其某些属性可以被其成分统治的中心语通过局部关系继承。T继承了中心语C的φ特征, 导致论元移位和一致的操作。同样当V觹具有完整的论元结构时, 其相关特征传递给V。其直接后果就是:在某个特定的语段中, 只要使生成的结构得到充分诠释, 不同的中心语可以按任意顺序也可以同时探测他们的目标。在概念—意向接口层面中, 所有的复制都有其语义解释, 因而不能删除;在语音接口层面中, 根据线性化的需求, 只能有一个复制且通常是最高复制被拼读。

同时乔姆斯基认为, 语链必须一致, 要么是论元语链, 要么是非论元语链, 不存在混合语链。当目标被中心语的一致特征吸引时, 形成论元语链;当目标被中心语的边缘特征吸引时, 形成非论元语链。他们同时探测处于基础位置的目标, 分别形成各自的语链。如:

(8) a.C[T[who[v觹[see John]]]];

b.Who i[C[whoj[T[whokv*[see John]]]]];

c.Who saw john?

(9) a.C[T[v[arrive who]]];

b.Who i[C[whoj[T[v[arrive whok]]]]];

c.Who arrived?

(8) 中C的边缘特征和一致特征探测其目标即V*指示语的who。其一致特征被T继承致使who移位到T的指示语位置, 而其边缘特征将其提升到C的指示语位置。结果是, whoi与whok之间, whoj与whok之间有直接的语链关系, 而whoi和whoj之间没有任何语链关系。拼读时, 较低的两个who在语音式中, 根据线性对应公理, 成功删除。 (9) 中arrive是一个非宾格动词, 不能构成一个强语段, C的边缘特征和一致特征同时探测目标whok, 形成平行语链[whoi, whok]和[Whoj, Whok]。

语段理论和新的关于语链的观点可以较好地解释 (7) 中两句的差异, 同时也为分析汉语的动词拷贝句提供了新的视角。

2. 复制成分的句法位置

根据动词拷贝结构的基本特征, 我们可以确定动补短语而不是动宾短语是该结构的核心成分。首先, 当需要表达时体信息时, 体词“了”与“过”只能出现在动补结构的动词上。其次, VP层的副词或副词短语只能位于第二个动词之前。最后, 汉语的情态动词的默认位置通常在第二个动词之前。

既然动宾短语不是句子的核心成分, 那么它处于什么样的句法位置?这里我们接受Yu-Yin Hsu的观点, 认为动宾成分在特定的语篇中, 既可以是话题, 也可以是焦点。在句法中处于话题或焦点短语的指示语位置得到允准。如 (10) 和 (11) 中, “学中文”分别为话题和焦点:

(10) a.你学中文学了五年吗?

b.对, 我学中文学了五年。 (话题)

(11) a.你什么学了五年?

b.我学中文学了五年。 (焦点)

与Hsu的分析不同的是, 我们认为动宾短语是通过移位而来, 而不是通过基础生成的。其移位方式可以通过乔姆斯基的最新理论来解释。

3. 动词拷贝句的推导分析

在语段等相关理论下, 试看下面两句动词拷贝句的推导过程:

例1:他骑马骑了两个小时。

动词“骑”首先与域内论元“马”合并, 形成动词短语“骑马”, 该动词短语然后与时间状语“两个小时”合并。接着该动词短语分别与轻动词v和域外论元“他”合并。由于该轻动词具有完整的Φ特征和完整论元结构, 因此v P短语是一个强语段。为了减轻句法的运算负担, 该语段必须在下一阶段运算之前拼读出来。v作为探针具有动词特征和边缘特征, 分别探测他们的目标, 致使动词提升至v的位置, 动词短语暂时移位至v的边缘位置即指示语位置 (见图1) 。

拼读之后, 运算继续进行, 在下一语段中, v P分别与Aspect、Topic、Tense和Complementizer合并。此中, Aspect的动词特征促使动词进一步提升至Aspect的位置, 与“了”嫁接, 组成“骑了”;TopicP的[+topic]特征使得“骑马”移位至其指示语的位置;T的一致特征与“他”的相关特征进行匹配, 得到核查, 其EPP特征使得“他”移位至T的指示语位置 (见图2) 。

至此整个运算过程全部结束。在推导过程中一共形成三条语链:核心语链[骑1, 骑2, 骑3], 论元语链[他1, 他2], 非论元移位语链[骑马1, 骑马2, 骑马3]。在语音式中, 为了避免线性化的失败, 三条语链中只有最高的复制拼读, 生成的句子就是我们实际听到的句子。

例2:他打球打得很好。

该小句和上句一样有两个语段vP和CP, 其推导过程按语段逐步进行, vP语段的推导步骤也和上例类似, 差别在于动词短语形成之后与de短语“得很好”合并。在CP中, 根据运算的经济性原则, vP分别与Topic、Tense和Complementizer合并。TopicP的[+topic]特征使得“打球”移位至其指示语的位置;T的一致特征与“他”的相关特征进行匹配, 得到核查, 其EPP特征使得“他”移位至T的指示语位置。与动词有关的语链是[打1, 打2]和[打球1, 打球2, 打球3] (见图3) 。

上文提到, 动词拷贝句的话题还可以位于句首, 从而构成典型的现代汉语话题结构“骑马他骑了两个小时”。根据经济原则, 我们假定在vP和TP中没有Topic投射。Topic在句首直接与T合并, 继而进行相关操作。如果在特定的语篇中, 动宾成分是句子的焦点时, 上面的分析过程不受任何影响。不同的是在推导过程中合并的不是Topic而是Focus, 其拥有的[+focus]特征使得相关的动词短语移动到其指示语位置, 核查焦点特征。从推导过程可以看出, 核心语链和非论元语链是两条不同的语链, 他们的链尾是同一成分, 在线性化过程中被删除。这一推导在解释动词拷贝句时, 可以比较满意地解释以下问题:

1.可以避免一些额外的以满足线性化要求而作的假设。

2.可以解释为什么动宾短语没有体变化。

3.可以解释动宾成分和动补成分的相对固定位置。

4.可为动宾成分后的“啊/呀”找到一个合适的句法位置。

乔姆斯基理论的最新进展的最简方案框架在解释和分析相以上问题具有很强的解释力, 可以突破传统理论在方法上的缺陷, 为汉语动词拷贝句和其他相关句型的认识和理解提供了一种新的思路和方法。

参考文献

[1]Belletti, Adriana.2004.Aspects of the Low IP Area.In Luigi Rizzi, (ed.) , The structure of CP and IP.16-51.

[2]Chomsky, N.1995.The Minimalist Program.Cambridge, Mass:MIT Press.

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