一题多解与思维培养（共11篇）
一题多解与思维培养 篇1
随着科学技术的飞速发展和培养人才的需要, 怎样提高学生的素质, 培养学生的思维能力, 已成为教育教学研究的重要内容.在教学实践中, 笔者体会到在数学教学过程中, 选择典型例题, 寻求一题多解, 不失为培养学生数学思维的发散性、创造性和广阔性的有效途径.本文就此谈几点体会.
一、一题多解, 培养思维的发散性
所谓思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题, 并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式.数学习题, 浩如烟海, 即使昼夜运算, 也难以完成.在数学教学中, 如果能选择典型例题, 巧妙地进行一题多解, 这样既省力省时, 起到了事半功倍的效果, 同时又大大地培养了学生思维的发散性.
例1求函数y=s2-cinxos x的最大值和最小值.
解法一利用三角函数的有界性来解.
因为2y-ycos x=sin x, 故2y=sin x+ycos x.
解法二利用变量代换, 转化为有理分式函数求解.
令2-cos x=t, 则sin2 x=-t2+4t-3 (1≤t≤3) .
故, 即 (y2+1) t2-4t+3=0在区间[1, 3]内有解.
解法三利用复数知识转化为辐角正切值求解.
令z=2-cos x+isin x, 则y是z的辐角的正切值, 而z是圆 (x-2) 2+y2=1上的动点, 故z的辐角的正切值的范围是.
该例题分别利用三角函数、分式函数、复数等相关知识多角度求解, 拓宽了思路, 克服了思维定式, 培养了学生思维的发散性.
二、一题多解, 培养思维的创造性
所谓思维的创造性, 是人类高级的心理活动, 是指带有创见性的思维.即人们通过思维不仅能揭示客观事物的本质的内在联系, 而且在此基础上能产生出新颖的、独特的东西, 至少是以前在思维中缺少的东西.在数学教学过程中, 对于同一道例题, 如果教师能正确引导学生多角度、多途径地去分析、思考, 从而寻求多种解法, 这样不仅可使学生思路开阔, 思维活跃, 从而产生出新颖的、独特的东西, 而且对培养学生思维的创造性有着积极的推动作用.
例2求.
解法一先引导学生将无理式通过三角函数代换为有理式, 然后积分.
设x=sec t, 则dx=sec t·tan tdt
解法二再引导学生利用配方的方法进行积分.
解法三最后再引导学生利用倒置变换法进行积分.
通过前三种普通常用积分方法的学习, 这时就会有学生提出:是否可以直接令, 于是就产生了第四种解法, 它是一种新颖的、独特的解法.
该例题在常用解题方法的基础上产生新颖的、独特的解法, 因此较好地培养了学生思维的创造性.
三、一题多解, 培养思维的广阔性
思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度.在数学教学过程中, 对于同一道例题, 如果教师能正确引导学生全面地分析问题、多方位地思考问题、多角度地研究问题, 并对该例题的特征、函数关系进行重新分析, 作出更为广泛的联想, 使用不同的处理方法进行一题多解, 这样对于培养学生思维的广阔性有着重要的指导意义.
例3求.
解法一因该极限是“”型不定式, 多次尝试罗必塔法则, 可得下列解法:
解法二在上述解题过程中, 当两次使用罗必塔法则后, 分析函数的结构, 再联想到极限四则运算法则, 不难得到下列解法:
解法三在法一的解题中, 当第一次使用罗必塔法则后, 分析函数的结构, 再联想到三角恒等式, 于是可得下列解法:
该例题在解题过程中, 在使用罗必塔法则的同时联想到极限四则运算法则、三角恒等式的相关知识, 得到三种不同的解法, 这对培养学生的思维广阔性起着十分积极的作用.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 1997 (6) .
[2]柳重堪.一元函数微积分[M].北京:中央广播电视大学出版社, 2000 (7) .
一题多解与思维培养 篇2
安徽省太湖县小池镇中心学校唐公卿
新课标指出：“重视发展智力，培养能力”;“要启发学生动脑筋想问题”;“逐步培养学生能够有条理有根据地进行思考，比较完整地叙述思考过程”。数学教学重在优化学生的思维结构，培养学生的思维品质和创新意识，促进学生思维的敏捷性和灵活性。
一题多解能克服学生的定势思维，发展学生的多向思维，拓宽学生的解题思路;又能把各种数学知识有条理有规律地进行整合，优化解题策略，寻找最佳解题方法。
例题：甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度，4小时相遇;现在两人都比原计划每小时少行1千米，那么5小时相遇。AB两地相距多少千米?
乍一看，似曾相识却又无从下手。认真推敲，还是有规律可循的，并且有多种解法，分析如下：
1、用假设法解：
A、从题中可知，现在两人比原计划每小时共少行1×2千米，假设两人以现在的速度只行4小时，那么4小时共少行2×4千米。即行4小时后还相距8千米。而现在是用5小时行完全程，也就是说这相距的8千米是现在(5-4)小时行完的，即现在两人每小时行8千米。这样可列综合算式为：1×2×4÷(5-4)×5
B、以现在的速度两人每小时行了全程的1/5，假设只行4小时，就行了全程的4/5。又从上面的分析可知他们还相距8千米，也就是全程的(1-4/5)。又可列综合算式为：1×2×4÷(1-4/5)
2、用工程问题解：
A、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时行全程的1/4，现在每小时行全程的1/5，按原速度行驶的路程比按现速度行驶的路程多出一个全程所作的时间是1÷(1/4-1/5)小时，又知道两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米。这样AB两地距离可列综合算式为：1×2×[1÷(1/4-1/5)]
B、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时比现在每小时多行全程的(1/4-1/5)，而两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米，量率对应，全程为：1×2÷(1/4-1/5)
3、用分数知识解：
A、两人现在每小时行的路程是原计划每小时行的路程的(1/5÷1/4=4/5)，这里把两人原计划每小时行的路程看作单位“1”，现在每小时行的路程与原计划每小时行的路程相差1×2千米，而现在每小时行的路程比原计划每小时行的路程少(1-4/5)，量率对应，可知原计划每小时行1×2÷(1-4/5)千米。AB两地距离可列综合算式为：1×2÷(1-4/5)×4
B、两人原计划每小时行的路程是现在每小时行的路程的5/4，依照上面的方法类推，可知现在每小时行1×2÷(5/4-1)千米。AB两地距离又可列综合算式为：1×2÷(5/4-1)×5
4、用比和比例知识解：
A、两人原计划每小时的路程与现在每小时的路程的比是1/4：1/5=5：4，这样可以把两人原计划每小时行的路程看作5份，把现在每小时行的路程看作4份，相差(5-4)份，相差1×2千米，可知每份为2千米。那么两人原计划每小时行2×5千米，现在每小时行2×4千米，从而可以列综合算式为：1×2÷(5-4)×5×4或1×2÷(5-4)×4×5
B、两人原计划每小时行的路程与现在每小时的路程的比是5：4。
解：设AB两地相距X千米，那么两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，根据比相等的原则可列比例为：X/4：(1×2)=5：(5-4)或X/5：(1×2)=4：(5-4)
5、用方程法解：
解：设AB两地相距X千米，两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，相差1×2千米，可列方程为：X/4-X/5=1×2
6、求最小公倍数法解：
转换思维方式：把AB两地可以看作一条封闭的曲线，两人原行驶方式和现行驶方式可以看作两种物体的运动形式。两种物体进行一个周期性(多行一个全程)的重合，需要多长时间，也就是求4和5的最不公倍数：4×5小时，即20小时，原计划比现在多行1×2×20千米，即AB两地的距离。
一题多解与多题一解 篇3
在高中数学教学中贯彻“一题多解”与“多题一解”的思想，其作用是培养学生的数学思维，在日常教学中应教学生掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能，使其掌握一定的探索数学问题的工具
关键词：创新能力；解题模式；一题多解；多题一解
中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）17-007-02
时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学。 面临崭新的教育形势，我们会思考这样的问题：教学如何从静态转为动态？怎样指导学生独立分析问题、解决问题，形成有效的学习策略？等等。我在家教过程中，对这些问题作过一些深思和尝试，其中较突出的是引导学生进行一题多解和多题一解的训练。
下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，仅供参考。
一、一题多解
在数学教学中通过一题多思，一题多解，一题多讲，可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。用多角度去看一道题，强化思维的连贯性，知识的衔接，能全面利用所学知识解决实际问题，培养学生对知识的活学活用有重要帮助。
1、如以下例题是笔者在家教过程学生做的填空题
【题目1】某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，做错一题扣2分，某人得96分，他做错了几道题？
【方法一】代数法。4×做对的题数-2×做错的题数=96，做对的题数+做错的题数=30。由两个式子即可得到做错的题数。
刚开始我家教的学生很快就用这种方法得出结果，确实，这种方法直接根据题意列出方程再解就可得到结果，是最直接的方法。但后来在我的引导下，学生更深入一层采用了方法二。
【方法二】做对一道可得4分，若做错扣2分，这一正一负差距就变成了6分。30道题全做对可得120分，而现在只得96分，意味着差距为24分，用24÷6=4即可得到做错的题。
【方法三】对的题数与错的题数的比 [96÷（30+2）]：[4-（96÷30）]=26：4，则做错的题数为30÷（26+4）×4=4题。
其中方法三最简便，但过程较难想到，需学生极其灵活的头脑去发掘，可能还有其他一些更简便的方法，以上方法只是笔者在家教中思考出来的，仅作参考。
又如以下的例题：
【题目2】已知x，yR+ 且1x +9y =1，求x+y的最小值。
【方法一】“1”的妙用
∵1x +9y =1
∴x+y=（x+y）（ 1x +9y ）=10+yx +9xy ≥10+6=16
（当且仅当yx =9xy 即x=4，y=12时，等号成立）∴x+y的最小值是16
这种方法需学生平时练习有一定的题感和积累，懂得从1入手
【方法二】
换元后构造均值不等式
由1x + 9y =1得y= 9+ 9x-1 （x1）
∴x+y= x+9+ 9x-1 = 10+ x-1+ 9x-1 ≥10+6=16
（当且仅当x-1= 9x-1 即x=4时等号成立）
∴x+y的最小值是16
这种方法应是学生较熟悉的，但需注意的是在用均值不等式时，为了消去未知量，我们构造了x-1，这也是该方法的一个灵活点。
【解题误区】
可能很多学生一拿到题目就会像下面的方法一样求解，我家教的学生开始也是按下面的方法解题的
∵x，yR+
∴1=1x + 9y ≥6 xy （1）
（当且仅当1x = 9y 即y=9x时等号成立）
∴xy ≥6
又x+y≥2xy （2）
（当且仅当x=y时等号成立）
∴x+y≥12
即x+y的最小值是12
显然结果与前面算得的不一样，那是这个方法有问题？
答案是显然的，虽然推导的过程无误，但是学生没有注意到（1），（2）两个式子的等号不能同时成立，从而得出错误的结论。所以在解题过程中一定要瞻前顾后。
以上涉及的方法都是学生学过且应掌握的方法，通过一道例题的分析与解答，可以同时复习多种方法。通过这些方法，可锻炼学生多方面的思维能力，同时复习以前学过的方法，温故知新。这也是教师们一直强调一题多解的好处。但知识是静态的，思维是活动的；习题是固定的，而它的变化却是无穷的。我们可通过很多途径对课本的例、习题进行变式。改变题目后，可能思想方法不变，但解题方法却不能生搬硬套，所以学生需锻炼自己的思维能力。
二、多题一解
一题多解对锻炼学生思维与解题的灵活性固然有很多益处，但教师在教学中也应注意要一题多解，多解归一，从而提炼出解决多道同类题目的方法，形成多题一解。
诚然，通过“一题多解”训练，可培养学生根据不同的思路，应用不同的基础知识，采取不同的数学方法，灵活解答同一个问题的能力。然而，目前大多数学生基础较差，看到题目首先联想到的是类似题目的一种通解或通用的解题模式。多题一解就是利用这种心理，以通用模式套各种类似的题目，减轻学生的负担，且可以训练学生化归的思想，同时它对培养学生规范地书写解答题的解题过程也是一次强化性训练。下面通过一题多变的分析过程说明多题一解的益处。
【原题】已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F， 求证：EC=DF.
【变式一】已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有（ ）
A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、
【变式二】把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论不变，便得新题。
【变式三】把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）求证：AB=AE+BF；
（3）求证：EF2 = 4 EA BF
题目可以千变万化，仅会一题多解是不够的。所以，学生要学会灵活变动，随着题目的变化，解题思维也随着变动，只要学生掌握它的精髓，达到多题归一的境界，则可解一道题懂一类题，提高效率，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。
像这种一题多解与一题多变的题例，在教学中，如果有意识去分析和研究，是举不胜举的。拿到一个题目，如果深入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少胜多。培养学生各方面技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海了。教学是为了让学生学会看到一道题就想到一类题，想到相应解法，才是正道。所以教师要不断从这方面入手教学，通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知道怎么解。
以上几题虽各有特点，所给条件不同，但不变的是都是求和。所以在求解过程中，总的原则是要善于观察数列的形式，灵活改变原数列的排列结构，使其能进行消项或能用等差或等比数列的求和公式及其它已知的基本求和公式来解决，只要把握这一规律，就能使数列求和化难为易。总之，求和的一类题目，只要掌握等差与等比数列的求和公式，并灵活变动，便都可解决。
对比反思
一题多解是训练学生求异思维很好的教学方法，然而，仅停留在一题多解的层面上是远不够的，即让学生的思维无限发散，不注意收，不及时归纳总结方法，多解归一，加深学生对问题本质的理解，将不利于学生对数学思想方法的掌握与应用。
笔者认为，在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，而让学生学会一题多解与多题一解更是培养学生创新思维能力的有效途径之一。
参考文献：
[1] 谈谈“多题一解”，汪孝培，数学教学通讯，1981 （04）
[2] 一题多解与多题一解，倪春雷，新课程（上），2011（10）
[3] 浅谈高中数学多题一解 ，陈绪进，中学数学，2011（ 21）
【原题】已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F， 求证：EC=DF.
【变式一】已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有（ ）
A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、
【变式二】把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论不变，便得新题。
【变式三】把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）求证：AB=AE+BF；
（3）求证：EF2 = 4 EA BF
题目可以千变万化，仅会一题多解是不够的。所以，学生要学会灵活变动，随着题目的变化，解题思维也随着变动，只要学生掌握它的精髓，达到多题归一的境界，则可解一道题懂一类题，提高效率，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。
像这种一题多解与一题多变的题例，在教学中，如果有意识去分析和研究，是举不胜举的。拿到一个题目，如果深入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少胜多。培养学生各方面技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海了。教学是为了让学生学会看到一道题就想到一类题，想到相应解法，才是正道。所以教师要不断从这方面入手教学，通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知道怎么解。
以上几题虽各有特点，所给条件不同，但不变的是都是求和。所以在求解过程中，总的原则是要善于观察数列的形式，灵活改变原数列的排列结构，使其能进行消项或能用等差或等比数列的求和公式及其它已知的基本求和公式来解决，只要把握这一规律，就能使数列求和化难为易。总之，求和的一类题目，只要掌握等差与等比数列的求和公式，并灵活变动，便都可解决。
对比反思
一题多解是训练学生求异思维很好的教学方法，然而，仅停留在一题多解的层面上是远不够的，即让学生的思维无限发散，不注意收，不及时归纳总结方法，多解归一，加深学生对问题本质的理解，将不利于学生对数学思想方法的掌握与应用。
笔者认为，在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，而让学生学会一题多解与多题一解更是培养学生创新思维能力的有效途径之一。
参考文献：
[1] 谈谈“多题一解”，汪孝培，数学教学通讯，1981 （04）
[2] 一题多解与多题一解，倪春雷，新课程（上），2011（10）
[3] 浅谈高中数学多题一解 ，陈绪进，中学数学，2011（ 21）
【原题】已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F， 求证：EC=DF.
【变式一】已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有（ ）
A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、
【变式二】把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论不变，便得新题。
【变式三】把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）求证：AB=AE+BF；
（3）求证：EF2 = 4 EA BF
题目可以千变万化，仅会一题多解是不够的。所以，学生要学会灵活变动，随着题目的变化，解题思维也随着变动，只要学生掌握它的精髓，达到多题归一的境界，则可解一道题懂一类题，提高效率，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。
像这种一题多解与一题多变的题例，在教学中，如果有意识去分析和研究，是举不胜举的。拿到一个题目，如果深入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少胜多。培养学生各方面技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海了。教学是为了让学生学会看到一道题就想到一类题，想到相应解法，才是正道。所以教师要不断从这方面入手教学，通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知道怎么解。
以上几题虽各有特点，所给条件不同，但不变的是都是求和。所以在求解过程中，总的原则是要善于观察数列的形式，灵活改变原数列的排列结构，使其能进行消项或能用等差或等比数列的求和公式及其它已知的基本求和公式来解决，只要把握这一规律，就能使数列求和化难为易。总之，求和的一类题目，只要掌握等差与等比数列的求和公式，并灵活变动，便都可解决。
对比反思
一题多解是训练学生求异思维很好的教学方法，然而，仅停留在一题多解的层面上是远不够的，即让学生的思维无限发散，不注意收，不及时归纳总结方法，多解归一，加深学生对问题本质的理解，将不利于学生对数学思想方法的掌握与应用。
笔者认为，在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，而让学生学会一题多解与多题一解更是培养学生创新思维能力的有效途径之一。
参考文献：
[1] 谈谈“多题一解”，汪孝培，数学教学通讯，1981 （04）
[2] 一题多解与多题一解，倪春雷，新课程（上），2011（10）
一题多解与思维培养 篇4
数学知识的综合性学习要结合具体的可操作环节 (如例题) 进行, 学生才能最容易接受。开展“一题多解”的探究, 使学生在解答题目的过程中, 现实的、具体的去综合运用所学知识, 做到有的放矢, 从抽象理论到具体运用, 是综合学习与运用知识的最佳选择。开展“一题多解”的探究, 既能运用到所学的多种知识, 又能使多种知识有机地串联起来, 达到综合学习的目的, 能够起到举一反三、强化记忆、触类旁通、拓展思维的作用和效果。
例1 实数a、b、c 满足等式a = 6-b , c2= ab-9 , 求证 :a = b 。
(用多种方法证明)
证明1:把a=6-b代入c=ab-9, 得c2= (6-b) b-9=- (b-3) 2,
∴ (b-3) 2+ c2=0.
∵ (b-3) 2≧0, c2≧0 ∴ (b-3) 2 = c2= 0, ∴b=3, ∴a = 6-3=3,
∴a = b.
此法运用了代入法, 并运用公式、非负数的性质, 通过求出a、b的值, 达到证明的目的。
证明2:∵a+b=6, 设a=3+x, b=3-x, ∴c2= ab-9= (3+x) (3-x) -9=-x2,
∴c2+x2=0, ∵c2≧0 , x2≧0, ∴c=x=0, ∴a=3, b=3, ∴a=b.
此法引入了一个参数, 利用非负数的性质, 求出a、b的值, 从而得证。
证明3:由题知, a+b=6, ab=c2+9, ∴a、b是方程 “x2-6x+ (c2+9) =0两个实根。∴△= (-6) 2-4 (c2+9) =-4c2≧0, ∴c2≦0, 又c2≧0, ∴c=0
即△=0, ∴方程“x2-6x+ (c2+9) =0”有两个相等的实数根, ∴a = b.
此法运用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式知识, 直接得出了证明。
例2若x2+3x+1=0, 求undefined的值。
解法1:常规思路, 解方程x2+ 3x + 1=0, 得undefined, 所以undefined, 把x1、x2分别代入undefined中, undefined
此方法虽然直接, 但计算步骤较为繁琐, 且计算容易出错。不是解题的最佳选择。
解法2:观察方程中两根之积为1, 互为倒数关系, 设方程x2+3x+1=0的两根分为x1、x2, 则undefined
此法利用方程中根与系数的关系, 结合公式法的应用, 使问题变得简单。
解法3:将方程x2+3x+1=0, 变形得:undefined, 即undefined, 两边平方得:
undefined, 即undefined
所以undefined
此法带有一定技巧性, 是使复杂问题简单化的有效方法, 利用这种方法还可以求诸如undefined的值。
一题多解与思维培养 篇5
关键词：一题多解；多角度；多侧面；分析问题；思维能力
学习数学，离不开思维。“一题多解”是促进学生思维能力发展的有效途径之一；是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”赞可夫的这句话说明了人的思维能力需要不断地培养和训练。
在实际教学中，对学生进行“一题多解”训练，就是给学生提供一个灵活运用知识的机会，启发和引导学生从不同的角度分析问题，用不同的思路和方法解决问题。例如：“用绳子测量井深、把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量井外余4分米。求井深和绳长各多少分米？”要求学生用列方程的方法解答。在汇报时同学们想出了四种列式方法：设井深为x分米有：（1）3×（x+16）=4×（x+4），（2）3x+3×16=4x+4×4；设绳长为x分米有：（3）x-16=x-4，（4）x-x=16-4。接着我又鼓励学生：想一想，用算术方法怎样解答？经过同学们认真、仔细地分析后，选出两种方法：（1）求绳长：（16-4）÷（-）=144（分米）；（2）求井深：（16×3-4×4）÷（4-3）=32（分米）。在解决问题的过程中，由于学生思维发散点不同，共找出六种解题途径。
实践证明，学生能够根据题意和数量关系，运用自己掌握的知识去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法。学生的解法越多，表明他们的思维越灵活，思路越开阔，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。
“一题多解”不仅开阔了学生的视野，激发了学生对科学知识的探求欲望，引导学生运用所学的知识从多角度、多方位思考，寻求不同的解决问题的方法，而且培养了学生的思维品质，发展了学生的创新思维。同时，也培养了学生的思维准确性，提高了学生的思维灵活性，增强了学生的思维深刻性。
培养多变思维,实施一题多解教学 篇6
一、教师示范下的一题多解教学模式
教师在初中数学讲课过程中所展现的解题思路、解题方法会对学生产生一个深刻的印象, 在一题多解模式下的教学, 教师应该充分发挥自己的示范性作用, 通过例题的讲解, 让学生逐渐体会到一题多解的妙处, 学会变换解题思路, 最终更好地解决数学问题。进行一题多解模式教学, 要求教师在备课阶段对于所讲例题进行多种方法的教学探讨, 这样在课堂才能够灵活地向学生们讲解。
以人教版初中数学七年级下册第八单元“二元一次方程”为例, 为了让学生能够理解解决数学问题的多变性思路, 我向学生讲解了这样一道例题:两个连续奇数的积是323, 求出这两个数。同学们看清题意后, 我讲解了第一种方法:
设较小的奇数为x, 则较大的奇数为x+2, 根据题意, 得x (x+2) =323, 解方程得x1=17, x2=-19。所以, 这两个奇数分别是:17、19或-17、-19。
第一种方法讲解之后, 我向学生提出了一个小问题, 既然可以设那个小的奇数, 同理, 还可以怎么做呢?学生都回答可以设大的那个奇数。于是, 我又讲解了第二种方法:
设较大的奇数为x, 则较小的奇数为323/x, 则有:x-323/x=2解方程得:x1=19, x2=-17, 同样可以得出这两个奇数分别是:17、19或-17、-19。
两种方法之后, 我向学生提问:除了这两种解题方法还有没有别的方法了呢?学生们有的摇头, 有的说还有其他方法。我说, 这道题还可以用如下思路解:
设x为任意整数, 则这两个连续奇数分别为:2x-1, 2x+1, 由题意得 (2x-1) (2x+1) =323, 即4x2-1=323, 解得x1=9, x2=-9。因此, 2x1-1=17, 2x1+1=19或者2x2-1=-19, 2x2+1=-17。所以, 这两个奇数分别是:17、19或-17、-19。
此外, 用另外一种解题思路同样可以解决这道题:
设两个连续奇数为x-1、x+1, 则有x2-1=323, 解得x1=18, x2=-18。因此, x1-1=17, x1+1=19, x2-1=-19, x2+1=-17。所以, 这两个奇数分别是:17、19或-17、-19。
四种解题方法讲解之后, 学生们都充分感觉到了一题多解模式中所体现的多变思维, 很多学生可以想到前两种方法, 但是想不到后两种方法。
二、学生合作的一题多解教学模式
合作能力是初中生必备的一项基本能力, 由于学生各自独特的思维方式, 在解题的过程中可能会用到不同的解题方法。因此, 学生之间互相交流、合作, 可以在更大程度上促进一题多解模式教学, 在与其他学生合作的过程中提升自己的多变性思维。在现代教学方法中, 要着重突出学生的主体地位, 教师在教学过程中起一个带头、引导的作用, 引导学生步入正轨。在引导学生合作进行一题多解模式教学时, 教师要向学生分配具有多样解法的题型, 让学生通过合作探讨来总结该题型的做法。
以人教版初中数学为例, 在探究应用题中的一题多解时, 我选取了如下例题:甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑, 同时同向同地点出发, 甲的速度是5米/秒, 乙的速度是6米/秒。甲跑几圈后, 乙可超过甲一圈?
我让学生们以小组为单位对这道例题的多种解法展开讨论, 讨论时间定为10分钟。看懂题意后, 学生立即开始了思考与探讨。
第一学习小组的几名同学讨论的方法如下:
乙比甲每秒多跑 (6-5) =1米, 如果乙想要超过甲一圈, 则需要多跑400米, 需要400秒, 而甲跑一圈需要400/5=80秒, 所以, 甲400秒的时间可以跑400/80=5圈。因此, 本题的答案是5圈。
第二学习小组则采取了不同的思路, 解题方法如下:
甲跑一圈用时400/5=80秒, 乙跑一圈用时400/6=200/3秒, 乙跑每一圈比甲少用80-200/3=40/3秒, 若乙要多跑一圈, 则少用的时间累积到甲跑一圈那么多:80/ (40/3) =6圈, 此时乙跑了6-1=5圈。
其他小组的同学也都在尽力寻找本题的多样化解题方法, 十分钟后, 我让不同的学习小组展示了自己的解题方法。并且通过与其他小组解题方法的对比, 探寻解题的多变思维, 整个数学课的课堂气氛在同学们的活跃讨论中变得十分活跃。
三、小结
培养初中生的多变思维, 进行一题多解模式教学, 需要教师与学生的共同努力, 积极探索数学的奥妙, 在探索中寻求数学解题方法的多样化, 通过教师的示范可以增加学生对一题多解模式的认识与理解, 通过学生合作可以增加学生的思考、探索能力。最终, 学生分析数学问题、把握数学知识、解决数学问题的能力会在一题多解模式教学的帮助下逐渐提升, 最终提升学生的数学综合能力。
参考文献
[1]蔡桂荣.妙用一题多解, 培养创新思维[J].黄冈职业技术学院学报, 2011 (6) .
一题多解中培养学员的创新思维 篇7
一、加强常规解题方法训练, 发展学员的常规思维
常规思维是指遵循一定的概念、理论、方法和手段, 按照科学的标准和规范进行的思维。它是根本性、主导性思维方法, 是创新思维的基础, 因此是教学训练的重点。譬如:计算定积分, 其中D为 (7) x-1 (8) 2 (10) (7) y-1 (8) 2 (28) 2.
本问题的常规解法一般有直角坐标法和极坐标法。
解法一: (直角坐标法)
解法二: (极坐标法)
以上两种解法尽管稍显复杂, 但能够完成解题的任务, 这是常规思维的重要特点。
二、引导学员方法创新, 发展学员的创新思维
创新思维是指突破原有思维范式, 重新组织已有的知识、经验、信息和素材, 提出新的方案或程序, 并创造出新的思维成果的思维方式。创新思维是在常规思维的基础上发展起来的, 是思维高度发展的表现, 是创造力的核心, 它具有灵活性、敏捷性、洞察性、独创性等特点。
1、问题简约法创新
此题目若将坐标原点平移到区域D的中心, 可使积分简单化。
解法三:
作替换:x (28) cos (10) , 1y (28) sin (10) .1
2、发现规律法创新
教员可引导学员对问题进行分析, 并展开丰富的想象, 发现新的联系, 新的本质和规律, 从而创造出新的解题方法, 也发展了学员的创新思维能力。
本题区域D, 以x代y, 以y代x保持不变, 则称它具有轮换对称性。若区域D具有轮换对称性, 那么
根据此结论解答该题目, 简单明了。
解法四:
因为区域D具有轮换对称性, 所以, 于是
3、知识联想法创新
本题还可联想到平面薄片中心的计算方法:
假设r (x, y) (28) 1, 则
解法五:
把区域D看做一个薄片, 密度, 中心为 (1, 1) , 面积于是
所以
一题多解与思维培养 篇8
一、旧题新讲、小题大讲
这里的“旧题”, 是指课本中已做过的某些典型习题或例题。
例如:
如图1, ⊙O1和⊙O2外切于点P, AD是⊙O1和⊙O2的公切线, A、D为切点。求证:AP⊥PD。此题是书本上的题, 我们可以对此题作出如下变换:用运动的观点改变图形。
(1) 两圆位置不动, 直线运动。 (1) 两圆位置不动, 若切线AD绕点A旋转到与⊙O2相切于点C的位置, 如图2会有什么样的结论? (∠APC+∠BPC=180°) (2) 两圆位置不动, 若直线AD分别交两圆于点A、B和C、D, 如图3会有什么样的结论? (∠APD+∠BPC=180°)
(2) 直线不动, 两圆运动。 (1) 如图4, 若⊙O1和⊙O2外离, BC是⊙O1和⊙O2的外公切线, B、C为切点。连心线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于M、N, BM、CN的延长线交于点P。求证:BP⊥CP。 (2) 如图5, 若⊙O1和⊙O2相交, BC是⊙O1和⊙O2的外公切线, B、C为切点。连心线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于M、N, Q是线段MN上一点, 连接BQ、CQ, 则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论。 (3) 如图6, 若⊙O1和⊙O2相交, 交点是M、N, BC是⊙O1和⊙O2的外公切线, B、C为切点。求证:∠BNC+∠BMC=180°。
本题还可以变为开放性题目。根据图中给出的已知条件及线段, 你还能得到哪些结论?如图7, 经过分析研究, 我们还可以得到下列结论:
1) PA=PT (或PB=PT) ;2) ∠PAT=∠PTA (或∠PBT=∠PTB) ;3) ∠OAP=∠OTP=90° (或∠OBP=∠OTP=90°) ;4) PA=PB (或AB=2PT) ;5) ∠ATB=90° (或∠ATB为直角) ;6) ∠AOT+∠APT=180° (或∠BO1T+∠APT=180°) ;7) OA∥O1B;8) △OAT∽△PTB (或△PAT∽△OTB) ;9) PA·PB=OT·O1T (或PA·PB=OA·O1B) 。
二、一题多解, 解题过程中拓展思路
课本上的例题、习题是经过严格筛选精心编制的, 典型性强, 灵活性大, 不少习题往往有多种解法。
已知:如图10, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=25°, 以C为圆心, CA为半径的圆交AB于D。求:弧AD的度数。
变式题:如图11, 在⊙C中, CA⊥CB, CA=3, CB=4, 求AD的长。
一题多解,彰显思维 篇9
题目: ( 第25届“希望杯”全国数学邀请赛) 当函数取最小值时, x的值是 ( )
( A) - 1 ( B) 1 ( C) 2 ( D)
此题虽然内容简朴平淡, 给人以轻车熟路之感, 但解题思路与方法却灵活巧妙、多种多样, 求解过程妙趣横生, 给人以“柳暗花明又一村”之美感.
方法一利用向量不等式| a | +| b |≥| a + b | .
故选择: ( B) .
评注: 利用化平方和构造向量, 将所求问题转化为向量不等式问题, 直接利用向量三角不等式公式| a| +| b|≥| a + b|进行求解, 但要特别注意: ( 1) 合理设出a、b是解决本题的关键, 必须使a + b中不含未知项, 故只需要把未知项化为相反数即可; ( 2) 要关注等号成立的条件, 本题恰好就是利用等号成立的条件求出x的值, 这是解决此题的关键所在.
方法二利用复数的性质| z1| +| z2|≥| z1+ z2|
所以由复数的性质| z1| +| z2|≥| z1+ z2| , 得
故选择 ( B) .
评注: 巧用模构造复数, 并将所求问题转化为复数问题, 直接利用复数的性质| z1| +| z2|≥| z1+ z2|简捷求解, 构造复数的关键是必须考虑到z1+ z2中未知项相加为0才行, 此法也是利用等号成立的条件求出x的值.
方法三利用组成三角形的条件
故选择: ( B) .
评注: 巧用“三角形两边之和不小于第三边”模构造三角形, 可将所求问题转化为三角形边长问题, 直接利用组成三角形的不等 式公式进行求解, 其中要使中不含未知项才能得到最小值, 从而借助等号成立的条件求出的值.
方法四利用数形结合
解法4: 由, 可以看作是“点P ( x, 0) 到点M ( -1, -2) 和点N ( 2, 1) 的距离之和| PM | +| PN |”,
因为点N ( 2, 1) 在第一象限, 点M ( - 1, - 2) 在第三象限,
所以函数取最小值就是线段MN的长, 点P ( x, 0) 即为直线MN与x轴的交点, 如图1所示.
所以由两点式, 得, 化简得y = x - 1,
令 y = 0时, 则x -1 = 0, 即x = 1,
所以当x = 1时,
函数取最小值.
一题多解 启迪思维 篇10
【摘 要】一道好的高考题就是一个好的教学素材，本文研究的这道高考题从不同的角度去思考都可以成功得解，同时能很好地启迪学生的思维，达到触类旁通的目的。
【关键词】一题多解；启迪思维
一、题目
（2012年新课标，理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A. B.C. D.
二、分析与解答
分析1：如图1，取AB的中点。考虑到，那么SA=SB，在?SAB和?ABC中利用三线合一可得：AB⊥面SPC，原三棱锥被分割成易于求体积的两个棱锥。
解法1：取线段AB的中点P
∵CS是球的直径 ∴ ∠CAS=∠CBS=
又∵?ABC是等边三角形∴AS=BS
∴PS⊥AB，PC⊥AB
∵PS∩PC=P∴AB⊥面SPC
∴
下面求?SPC的面积，易得，由余弦定理及三角形面积公式得：
∴
分析2：利用全等三角形将锥体再次分割成底面积和高易求的两个三棱锥。
解法2：由解法1知：，过A做，连接BP，显然BP⊥SC
∵AP∩BP=P∴CS⊥面PAB
∴
∵∴∴
∴∴
分析3 ：分析已知数据，发现锥体中隐藏着一个正四面体。
解法3：如图3连接AO，BO，由已知得AO=BO=CO=AB=BC=AC=1，∴三棱锥O-ABC是正四面体。
∵AO是?SAC的中线∴
∴
（棱长为的正四面体的体积为）
分析4：利用相似性求锥体的高。 解法4：由解法3知：三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，
∴SC（OC）在面ABC内的射影为∠ACB的角平分CP
∴过O做CP的垂线OD就是O-ABC的高，
∴过P做SQ的垂线OQ就是S-ABC的高，
∴（棱长为a的正四面体的高为）
∴
分析5：利用正四面体中的线面角求高。 解法5：设SC与面ABC所成的角为θ，S-ABC的高为h
由正四面体的性质知：
∴
∴
分析6：借助正四面体的高求锥体的高。
解法6：三棱锥S-ABC与O-ABC可以看成以B为公共顶点，底在同一个面内的三棱锥，设S-ABC的高为h，则
易知， ?SAC是直角三角形，
∴
分析7：空间直角坐标系是解立体几何的一个重要工具。
解法7：借组正四面体建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
其中D为 ?ABC的中心， x轴为∠ACB的平分线， y轴// AB，
由已知得 O（0，0，），设S（x2，y2，h）C（x1，0，0） ，由中点坐标公式得：
∴
∴
三、解题反思
谈一题多解拓展学生思维 篇11
原题:如图1所示，真空中有A、B两个等量异种点电荷，O、M、N是AB连线的垂线上的三个点，且AO>OB.一带正电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图1中实线所示，设M、N两点的场强大小分别为EM、EN，电势分别为φM、φN.下列判断中正确的是 ()
(A) 点电荷A一定带正电
(B) 此试探电荷在M处的电势能小于在N处的电势能
(C) EM一定小于EN，φM可能大于φN
(D) UMN=UNO
分析:可根据粒子运动轨迹的弯曲程度直接判断出A带正电B带负电.A C选项可以很容易判断，而B选项是个难点，很多学生感觉到困难很大，而判断B项的方法较多.
定义法:根据等量异种电荷电场线和等势面的分布，分别画出过M、N点的等势面，如图2，可知φM>φN，根据公式EP=qφ可知M点的电势能一定高于N点的电势能.
功能关系:WMN=EPM-EPN，可以将电荷就沿MN直线移动看电场力做什么功就行，如图3所示画出电场线和MN直线上某点的电场强度方向.将场强进行沿MN方向和垂直MN方向分解，这样可以在MN两点之间画一条虚拟的电场线，由此可知，正电荷从M到N点电场力做正功电势能降低，EPM>EPN.
也可以直接看电场力与MN直线的夹角，因为是锐角所以电场力做正功，电势能降低，所以EPM>EPN.
功的叠加:可以假设A处在与B关于O对称的点上，那么试探电荷在MN上移动时A对试探电荷做的负功与B对试探电荷做的正功;但现在A偏左，所以试探电荷在MN上移动时A对试探电荷做的负功小于B对试探电荷做的正功，所以A、B电荷对试探电荷做的总功为正，电势能降低，所以EPM>EPN.
极限思想:题中只说了AO>OB，那么可以假设A距离O点无穷远，则认为A对试探电荷不做功，则B对电荷做正功，电势能降低，所以EPM>EPN.