扩张状态观测器

2024-11-19

扩张状态观测器（共4篇）

扩张状态观测器篇1

摘要：目前, 在许多工业领域内, 对直线交流伺服系统进给的快速性和精密性要求很高, 如何准确快速地控制好直线永磁同步电动机是工作现场的重中之重。利用包含跟踪微分器、扩张状态观测器和非线性状态误差反馈 (NLSEF) 3部分的自抗扰技术, 把直线永磁同步电动机的外扰和内扰看成是一个整体, 然后对总扰动进行了动态补偿。该方法算法比较简单, 跟踪速度快, 辨识精度高, 无超调。最后, 通过Matlab仿真软件对一个特定的直线电机进行了仿真, 仿真结果证明它具有强抗干扰性和强鲁棒性。

关键词：直线永磁同步电动机,扩张状态观测器,跟踪微分器,自抗扰控制

0 前言

高速和超高速加工技术要求直线交流伺服电动机驱动系统有极高的加、减速度, 实践证明该系统也是实现高精密加工的最理想驱动方式[1]。由于对直线交流伺服电动机控制要求很高, 必须站在更高的层次上考虑多种细微因素对系统性能的影响。比如说系统的非线性﹑耦合性﹑动子质量和粘滞摩擦力系数及电阻电感的变化、负载扰动等。同时, 由于直线电机内部负载扰动和机械摩擦, 以及直线电机模型的不确定性, 也直接影响了控制系统的控制精度。为了消除这些因素的影响, 必须要采取一种集快速性和稳态性于一身的新型控制策略。

自抗扰控制技术是近20年来才发展起来的一种新型的控制策略[2]。目前, 将自抗扰控制技术应用于电机的方法有:①采用离散算法, 设计关于励磁电流、转矩电流和转速的3个2阶ADRC控制器[3], ②分别设计ADRC控制转子磁链、转速和转矩电流[4]。

本研究直接以直线电机模型为依托, 分别独立设计2个ADRC来控制转速和转矩电流。

1 直线永磁同步电机的数学模型

通常使用的直线永磁同步电动机在d-q轴系下的模型方程式为:

式中 ud和uq—d轴和q轴的定子电压, Rs—定子电阻, id和iq—d轴和q轴的定子电流, ψd和ψq—d轴和q轴的定子磁链, p=d/dt, ωr=πv/τ, v—动子线速度, τ—极距, Ld和Lq—d轴和q轴的定子电感, ψPM—永磁铁产生的磁链。

将式 (3) 、式 (4) 代入式 (1) 和式 (2) 中, 整理得到关于电流的方程:

$p i_{d} = - \frac{R_{s}}{L_{d}} i_{d} + \frac{π L_{q}}{τ L_{d}} i_{q} v + \frac{1}{L_{d}} u_{d} (5)$

$p i_{q} = - \frac{R_{s}}{L_{q}} i_{q} - \frac{π}{τ L_{q}} (L_{d} i_{d} + ψ_{Ρ Μ}) v + \frac{u_{q}}{L_{q}} (6)$

同时, 直线电机传动系统的机械运动方程为:

其中,

式中 M—电动机的动子质量, Bv—粘滞摩擦系数, FL—负载阻力, f (v) —综合摩擦扰动 (包括静摩擦力和滑动摩擦力) , Fe—电磁推力 , fs—静摩擦力, fc—滑动摩擦力, vs—润滑系数, pn—极对数。

这里主要考虑了粘滞摩擦力、负载阻力和综合摩擦等3种扰动, 齿槽推力、纹波推力等扰动主要从电机设计和制造的角度进行抑制, 而风阻扰动在普通应用场合的量值极小, 可以忽略不计。

值得注意的是, 式 (5) 、式 (6) 和式 (7) 中的乘积项idv, iqv表现出了模型的非线性以及电动机速度v和定子电流id, iq之间的相互耦合干扰。

2 自抗扰控制在PMSLM中的应用

自抗扰控制技术是一种不依赖系统模型的新型控制技术, 其算法简单, 快速无超调, 辨识精度高, 有极强的跟踪能力和抗参数扰动能力, 能实时估计并补偿系统各种外扰及系统机理本身决定的内扰, 结合特殊非线性反馈结构可实现良好的控制品质[5]。自抗扰控制器由3部分组成:

(1) 跟踪微分器。对它输入一信号v (t) , 它将输出两个信号z1和z2, 其中z1跟踪v (t) , 而 $z_{2} = \dot{z}_{1}$ , 从而把z2作为v (t) 的“近似微分”[6]。它的作用就是安排过渡过程z1并给出过程的微分信号z2。z2实际上是v (t) 的“广义微分”, 是一种“品质”很好的微分。它对于输入信号具有很好的跟踪性能 (这里研究的是1阶跟踪微分器) 。

(2) 扩张状态观测器。设有受未知外扰作用的非线性不确定对象:

$x^{(n)} = f (x, \dot{x}, \dots, x^{(n - 1)}, t) + w (t) (10)$

式中 $f (x, \dot{x}, \dots, x^{(n - 1)}, t)$ —未知函数, w (t) —未知外扰。

若x (t) 为量测量, 构造不依赖于 $f (x, \dot{x}, \dots, x^{(n - 1)}, t)$ 和w (t) 的非线性系统, 使它能由量测量x (t) 估计出被扩张的系统状态变量 $x (t) ‚ \dot{x} (t) ‚ \dots, x^{(n - 1)} (t), x^{(n)} (t)$ 。即将变量x (n) (t) 也扩张到原状态变量中, 得到被扩张的状态变量 $x (t) ‚ \dot{x} (t) ‚ \dots, x^{(n - 1)} (t), x^{(n)} (t)$ 。构造非线性系统:

${\begin{cases} \dot{z}_{1} = z_{2} - g_{1} (z_{1} - x (t)) \\ ⋮ \\ \dot{z}_{n} = z_{n + 1} - g_{n} (z_{1} - x (t)) \\ \dot{z}_{n + 1} = - g_{n + 1} (z_{1} - x (t)) \end{cases} (11)$

使以x (t) 为输入的系统各状态分别跟踪被扩张状态变量 $x (t) ‚ \dot{x} (t) ‚ \dots, x^{(n - 1)} (t), x^{(n)} (t)$ , 有:

$\begin{array}{l} z_{1} (t) \to x (t), \dots, \\ z_{n} (t) \to x^{(n - 1)} (t), \\ z_{n + 1} (t) \to x^{(n)} (t) \end{array} (12)$

选取适当的非线性函数g1 (z) , …gn (z) 和gn+1 (z) , 就能实现上述跟踪目的。则:

$\begin{array}{l} z_{n + 1} (t) \to x^{(n)} (t) = a (t) \\ = f (x (t), \dot{x} (t), \dots, x^{(n - 1)} (t), t) + w (t) (13) \end{array}$

即:尽管函数 $f (x, \dot{x}, \dots, x^{(n - 1)}, t)$ 和外扰w (t) 未知, 但系统运行过程中的实时值a (t) 仍能估计出来。这在不确定受控对象的控制器设计中实现“模型和未知外扰补偿”是非常重要的。这种观测器的适应性和鲁棒性比一般状态观测器强[7]。把式 (11) 称作式 (10) 的“扩张状态观测器”。“扩张状态观测器”能观测出对象状态变量及其各阶微分, 而且能观测出系统的“综合扰动项”。它是把有未知外扰的非线性不确定对象用非线性状态反馈化为“积分器串联型”, 是一种对非线性不确定对象实现反馈线性化的结构[8]。

(3) 非线性状态误差反馈 (NLSEF) 。如图1所示, 对于1阶对象来说, 输入一信号V (t) , 经过跟踪微分器后, 得到其过渡过程z11, z21是对象的状态变量, z22是对象扩张的状态变量 (扰动项a (t) ) 。这两组变量间的误差为:

该误差就是对象跟踪参考输入V (t) 时的状态误差。用该误差的“非线性配置”来实现“非线性状态误差反馈”:

式中 β—可调参数, fal (ε1, α, δ) —非线性函数。

把式 (15) 称为“非线性状态误差反馈”控制律[9]。

利用“综合扰动项”a (t) 的实时补偿, 可得:

最后, 把u (t) 加入到被控对象中, 就完成了自抗扰控制。

下面将分别设计id和v的自抗扰控制器。

将式 (5) 变形为:

$p i_{d} = a_{1} (t) + \frac{1}{L_{d}} u_{d} (17)$

其中, 综合扰动项a1 (t) 为:

$a_{1} (t) = - \frac{R_{s}}{L_{d}} i_{d} + \frac{π}{τ} \frac{L_{q}}{L_{d}} i_{q} v (18)$

式 (17) 将是设计id自抗扰控制器的理论依据。通常, 采取矢量控制i*d=0, 以便获得最大的推力电流比。其中id的TD是一个1阶微分器, 其表达式为:

${\begin{cases} ε_{i d 0} = i_{d 1} - i_{d}^{*} \\ p i_{d 1} = - r_{1} f a l (ε_{i d 0}, α_{0}, δ_{0}) \end{cases} (19)$

式中 r1—决定跟踪快慢的可变参数 (下同) 。

在式 (19) 中, 引进了一个非线性函数fal (ε, α, δ) :

$f a l (ε, α, δ) = {\begin{cases} | ε |^{α} sgn (ε), | ε | > δ \\ \frac{ε}{δ^{1 - α}}, | ε | \leq δ \end{cases} (20)$

非线性函数fal (ε, α, δ) (当0<α<1时) 实际上是对控制工程界的一个经验知识:“大误差, 小增益;小误差, 大增益”的数学拟合。模糊控制、智能控制、变增益PID等方法, 本质上都是基于这种经验知识, 而式 (20) 则用简单的非线性结构描述了这一经验知识。fal (ε, α, δ) (如图2所示) 是常用的非线性反馈结构。

id的2阶ESO的表达式[10]为:

${\begin{cases} ε_{i d 1} = z_{i 1} - i_{d} \\ p z_{i 1} = z_{i 2} - β_{i d 1} f a l (ε_{i d 1}, α_{1}, δ_{1}) + \frac{1}{L_{d}} u_{d} \\ p z_{i 2} = - β_{i d 2} f a l (ε_{i d 1}, α_{1}, δ_{1}) \end{cases} (21)$

这里, zi1跟踪id, zi2跟踪a1 (t) 。βid1, βid2为可调节的输出误差校正增益 (下同) 。

id的非线性状态误差反馈控制规律:

${\begin{cases} ε_{i d 2} = i_{d 1} - z_{i 1} \\ u_{0} = β_{i d 3} f a l (ε_{i d 2}, α_{2}, δ_{2}) \end{cases} (22)$

最后, id的ADRC的输出为励磁电压ud[11]。

与其他ADRC不同的是, 本研究没有采用离散方法, 而是直接利用直线电机的数学模型, 分别独立设计2个ADRC来控制转速和转矩电流, 不仅减少了设计ADRC的工作量, 同时也减少了计算量。

同理, 按照上面设计id的自抗扰控制器的经验, 来设计v的自抗扰控制器。

把式 (7) 变形为:

$\begin{array}{l} p v = - \frac{1}{Μ} B_{v} v - \frac{F_{L} + f (v)}{Μ} + \frac{\frac{3}{2} p_{n} \frac{π}{τ} ψ_{Ρ Μ}}{Μ} i_{q} \\ = a_{2} (t) + b i_{q} (23) \end{array}$

其中, 综合扰动项a2 (t) 和参数b分别为:

${\begin{cases} a_{2} (t) = - \frac{1}{Μ} B_{v} v - \frac{F_{L} + f (v)}{Μ} \\ b = \frac{\frac{3}{2} p_{n} \frac{π}{τ} ψ_{Ρ Μ}}{Μ} \end{cases} (24)$

按照式 (23) , 设计速度v的1阶TD控制器:

${\begin{cases} ε_{v 0} = v_{0} - v^{*} \\ p v_{0} = - r_{2} f a l (ε_{v 0}, α_{3}, δ_{3}) \end{cases} (25)$

速度v的2阶ESO的表达式为:

${\begin{cases} ε_{v 1} = z_{v 1} - v \\ p z_{v 1} = z_{v 2} - β_{v 1} f a l (ε_{v 1}, α_{4}, δ_{4}) \\ p z_{v 2} = - β_{v 2} f a l (ε_{v 1}, α_{5}, δ_{5}) \end{cases} (26)$

这里, zv1跟踪v, zv2跟踪a2 (t) 。

速度v的非线性状态误差反馈控制规律:

${\begin{cases} ε_{v 2} = v_{0} - z_{v 1} \\ u_{1} = β_{v 3} f a l (ε_{v 2}, α_{6}, δ_{6}) \end{cases} (27)$

那么, 速度v的自抗扰控制器的输出为转矩电流的给定值i*q。

3 仿真实验

按照直线永磁同步电动机的ADRC控制原理图 (如图3所示) , 利用Matlab仿真软件进行仿真实验。其中, 运用比例控制器来控制转矩电压uq。本研究采用的直线永磁同步电动机的模型[12]为:相电阻Rs=8.6Ω, 同步电感Ld=Lq=6.0 mH, 永磁体磁链ψPM=0.35 V·s, 极距τ=0.031 m, 极对数pn=1, 动子质量M=1.635 kg, 静摩擦力fs=20 N, 滑动摩擦力fc=10 N, 粘滞摩擦系数Bv=0.1 N·s/m, 润滑系数VS=0.1 m/s, 额定负载FL=50 N, 电流放大系数KP=50, 逆变器滞后时间τ0=10 ms。

经过仿真实验, 分别得到:在ADRC控制下, 正常状态速度v图像 (如图4所示) 、在t=0.8 s和t=1.6 s时突加扰动的速度v图像 (如图5所示) 、动子质量M和定子电阻RS等电机参数发生较大变化时的速度v图像 (如图6所示) 。

同时, 为了说明问题, 笔者进行了对比实验。PID控制结构 (如图7所示) 进行了仿真, 得到速度的图像, 如图8所示。

4 结束语

本研究所采用的自抗扰控制技术能很好地解决“快速性和超调之间的矛盾”;不用积分反馈也能实现“无静差”, 避免了积分反馈的副作用;能够对外扰和内扰进行整体补偿;其跟踪能力强, 抗扰能力强, 鲁棒性好。但是在实验的过程中, 发现调节可变参数比较困难。比如过渡过程的r, 调节幅度大则易振荡, 调节幅度小则跟踪速度慢。可见, 在ADRC中多个参数要协调调节, 同时还要结合实际的工程经验。

参考文献

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[2]黄一, 张文革.自抗扰控制器的发展[J].控制理论与应用, 2002, 19 (4) :485-492.

[3]刘德军, 郭庆鼎, 翁秀华.基于自抗扰控制器的交流直线永磁同步伺服电机速度控制系统[J].电气传动, 2005, 35 (9) :36-38.

[4]陈惠琴, 刘洁.异步电动机自抗扰控制系统的仿真[J].太原理工大学学报, 2006, 37 (2) :180-182.

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[6]韩京清, 王伟.非线性跟踪-微分器[J].系统科学与数学, 1994, 14 (2) :177-183.

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[10]纪恩庆, 肖维荣.二阶自抗扰控制器的参数简化[J].自动化仪表, 2007, 28 (5) :27-31.

[11]邰治新, 胡广大, 徐传芳.基于自抗扰控制器的无刷直流电机调速系统的建模与仿真[J].仪器仪表用户, 2005, 12 (1) :83-85.

[12]陈渊睿.永磁直线电机的鲁棒滤波与控制[D].广州:华南理工大学电气学院, 2002.

扩张状态观测器篇2

关键词：频率估计,扩张状态观测器,跟踪微分器,自抗扰控制器

引言

人们对频率估计的研究由来已久, 因为频率是信号的重要参数, 在军事领域, 频率估计的研究已有突破, 如果能截取对方通讯信号的频率即能得到重要的军事信息;对海洋的开发与利用迫切需要对信号进行处理, 因此信号的频率参数不可避免的成为了研究对象。但是一般来说信号都会混有噪声, 文献[1]提出了ALPHA噪声模型, 但是其用途不广。而白噪声的模型在日常生活中最普遍, 文章拟用的仿真系统就含有白噪声。

而文章所介绍的方法对对比以上方法较为简便, 主要是以扩张状态观测器 (Extended State Observer, ESO) 为基础, 经过一定的数学推导来估算出频率, 并且与利用跟踪微分器 (Tracking-Differentiator, TD) 的方法做了对比试验, 体现出了扩张状态观测器的优势, 在计算简便的同时又不失精度。

1 频率估计系统

基于数学推导, 进一步利用扩张状态观测器的微分效果来对受噪声污染的正弦信号的频率进行估计, 现已测得被噪声污染的正弦信号x (t) =asin (ωt) +γn (t) , 其中, a为振幅;γ为噪声强度;n (t) 为白噪声;ω为频率, 如何估计出此信号所含的频率ω。

先看无噪声的情形, 取x (t) 的微分, 得

于是可得

就有

从而得出对信号频率的估算。这个公式对噪声污染的信号也是有效的, 因此估计被污染的正弦信号的频率就是用适当的方法来得到信号的微分, 再进行相应的数学运算即可得到频率。

2扩张状态观测器 (ESO)

系统是与外部进行交流的过程中变化发展。人们通过收集系统外部变量来把握系统运行状况对于动态过程而言, 系统外部变量就是系统传给外部的输出变量, 包括控制输入, 根据这种外部变量的观测来确定系统内部状态变量的装置叫做扩张状态观测器。

对非线性系统

其中, x3 (t) =f (x1 (t) , x2 (t) )

对这个系统建立扩张状态观测器

式中, β01, β02, β03是扩张状态观测器的增益系数。

则只要适当选择参数β01, β02, β03, 这个系统能很好的估计系统的状态变量x1 (t) , x2 (t) 及被扩张的实时作用量x3 (t) =f (x1 (t) , x2 (t) ) , 我们利用扩张状态观测器主要是利用其微分效果, 对输入信号进行跟踪。

3 仿真研究

3.1 基于跟踪微分器 (TD) 对含噪声的信号频率进行估计

设输入信号为:y=sin (ωt) +0.1n (t) , n (t) 为[-1, 1]之间均匀分布的随机噪声, 当频率ω=40, 60时, 将此信号经过过跟踪微分器 (TD) 后在Matlab中进行仿真, 取TD的速度因子γ=1600, 步长h=0.011, 滤波因子T=0.01, TD的初值为:x1 (0) =0.1, x2 (0) =0.0

仿真结果如下 (1) , (2) :

(1) 显示的是基于跟踪微分器 (TD) 对含噪白声信号进行的频率估计, 其中设定的频率ω=40, 可以看出其频率波动大约在34~39之间, 并且最终频率未到达设定值40, 频率波动较为明显。

(2) 显示的是基于跟踪微分器 (TD) 对含噪声信号进行的频率估计, 其中设定的频率ω=60, 可以看出其频率波动大约在54~62之间, 频率值波动较为明显。

3.2 基于扩张状态观测器 (ESO) 对含白噪声的信号进行频率估算

设输入信号为:y=sin (ωt) +0.1n (t) , n (t) 为[-1, 1]之间均匀分布的随机噪声, 频率ω=40, 60时, 将此信号进过扩张状态观测器然后在Matlab中进行仿真, 并确定滤波因子T=0.01

仿真结果如下 (3) , (4) :

(3) 显示的是基于扩张状态观测器 (ESO) 对含白噪声信号的频率估计, 设定的频率ω=40, 其频率波动范围大约在39~42之间, 随着仿真时间的延续, 频率值稳定在40.4左右, 离设定值40很接近, 但频率前期仍有波动。

(4) 显示的基于扩张状态观测器 (ESO) 对含白噪声信号的频率估计, 其中设定的频率ω=60, 其频率波动范围大约在58~61之间, 随着仿真时间的延续, 频率值趋于稳定在59.7左右, 非常接近设定值60, 但频率前期波动仍然存在。

我们设定了二组频率, 分别使用跟踪微分器 (TD) 与扩张状态观测器 (ESO) 为基础的算法来估算频率, 可以看到以扩张状态观测器 (ESO) 为基础来估测受白噪声污染的正弦信号的频率是可行的。

4 结束语

对比 (1) 与 (3) , (2) 与 (4) , 我们可以看到:

(1) 基于扩张状态所得的频率结果更加接近设定值。

(2) 同时, 我们可以看到基于跟踪微分器的频率估计系统得到的频率波动较大, 至到仿真结束频率值也不稳定, 但是我们可以利用扩张状态观测器得到更加平稳、准确的频率值。

(3) 因此, 以扩张状态观测器为基础的算法来估计受噪声污染的正弦信号的频率比利用跟踪微分器的效果更好。

参考文献

扩张状态观测器篇3

永磁同步电机 (permanent magnet synchronous motor, PMSM) 具有体积小、结构简单、气隙磁密高、转矩惯量大等优点, 因此在诸如机器人, 航天飞行器以及升降机等高性能系统的应用中已经取代直流电机, 成为近些年来的研究热点[1,2,3]。由于永磁同步电机位置伺服控制系统本身具有非线性、时变性和强耦合性, 且伺服对象往往也存在着较强的不确定性和扰动, 因此, 对于有高性能、高精度要求的伺服系统来说, 传统的线性PID控制已不能满足其需求, 尤其是当控制系统受到模型不确定和未知摩擦等非线性干扰时, 控制器将很难兼顾动态响应和抗干扰能力的要求, 从而导致控制性能进一步降低。

为提高系统的控制性能和鲁棒性, 许多先进的非线性控制技术被应用于永磁同步电机伺服控制系统, 如自抗扰控制[4]、自适应控制[5]、鲁棒控制[6]、滑模控制[7]和有限时间控制[8]等。其中, 滑模控制 (sliding-mode control, SMC) 由于其对扰动和不确定性具有良好的鲁棒性, 因而被广泛应用于各种伺服控制系统中。但是滑模控制中不连续项的存在, 导致系统控制律中存在一定的抖振问题, 严重影响了电机系统的精确定位和位置跟踪性能, 甚至会对电机系统本身造成损害[9]。因此, 在高性能永磁同步电机位置伺服系统中, 如何削弱滑模控制中的抖振现象, 是一个亟待解决的关键技术难题。

近些年, 为了削弱传统滑模控制中的抖振问题, 国内外已提出很多改进的滑模控制方法。文献[10]在控制器的设计过程中, 采用了饱和函数来替代一般滑模控制中的切换项。该设计方法在削弱滑模抖振现象的同时, 也减弱了传统滑模的鲁棒性能。文献[11]提出一种积分时变滑模控制器, 在滑模面设计中引入误差的积分项和时变项, 有效减小了滑模抖振并提高了误差收敛速度;文献[12]将滑模控制与自适应机制相结合, 设计自适应滑模控制器, 实时地更新切换增益, 取得了较好的控制效果。然而, 以上控制方法虽然在削弱滑模抖振方面均取得了一定效果, 但却要求所有的系统状态是完全可测的, 且未考虑摩擦力矩和模型不确定项引起的未知扰动对永磁同步电机控制性能的影响。

文献[13]和[14]分别将扰动观测器和扩张状态观测器与滑模控制相结合, 用于永磁同步电机的调速控制。由于观测器对未知扰动具有一定的补偿作用, 控制器增益被降低, 从而在一定程度上减小了滑模抖振, 但由于控制信号的不连续性, 仍不能消除滑模控制器的抖振问题。近来, 文献[15]提出了一种无抖振滑模控制方法, 该控制器是一种全阶滑模控制器, 与传统的降阶滑模控制器相比, 控制信号是连续的, 能够有效避免滑模抖振问题。

本文针对带有未知摩擦力矩和模型不确定项的永磁同步电机位置伺服系统, 提出两种基于扩张状态观测器的永磁同步电机滑模变结构位置伺服控制方法。设计扩张状态观测器来观测系统状态及摩擦力矩和模型不确定项等非线性特性, 并使用观测值来设计降阶线性滑模控制器和无抖振全阶滑模控制器, 实现电机输出位置对期望轨迹的快速精确跟踪。

1 永磁同步电机数学模型

在d/q旋转坐标系下, 永磁同步电机的数学模型可表示为:

其中, ud、uq分别为d、q轴上的电压分量;id、iq为d、q轴上的电流分量;J为系统的转动惯量;R为定子电阻;pn为极对数;Ld、Lq分别为d、q轴上的电感分量;Ψf为永磁体基波励磁磁链;ω为转子的角速度;Te为电磁转矩;TL为负载转矩;B为摩擦系数。

为了实现伺服系统的高性能控制, 在实际应用中, 常采用id=0的转子磁场定向控制方法, 其永磁同步电机位置伺服系统框图如图1所示。

由式 (1) - (3) , 可得永磁同步电机位置环的二阶动态方程为

其中, b=1.5pnψf/J, d=- (TL+Bω) /J为未知摩擦力矩和负载力矩组成的扰动。

由于不确定项biq和扰动项d (t) 的存在, 伺服系统 (4) 难以直接精确控制。因此, 设计观测器来观测未知项就显得十分必要。令a (t) =d+biq-b0iq*, 其中iq*为给定q轴电流参考输入, b0为b的估计值, 可根据经验给定。根据扩张状态观测器的设计思想[16], 令x1=q, x2=w, 并定义扩展状态x3=a (t) , 则式 (4) 可以写为以下等效形式

其中, u=iq*为控制输入。

本文的控制目的为通过设计控制信号u (t) , 使得永磁同步电机的实际输出位置y能够精确跟踪期望轨迹yd。

2 扩张状态观测器设计

定义伺服系统状态xi, i=1, 2, 3, 的观测值为zi, 观测误差为ε=izi-xi, 则非线性扩张状态观测器可设计为

其中, β1, β2, β3>0为观测器增益.fal (·) 为原点附近具有线性段的连续幂次函数, 表达式为:

其中, d>0, 0<ai<1为常数。

由文献[16], [17]可知, 当选择适当的参数bi, 函数fal (·) 可以使得观测器状态, 即:观测误差可以收敛到|xi-zi|≤li, 其中li>0为很小的正数。

3 滑模变结构控制

定义跟踪误差为

则e的一阶和二阶导数分别为

和

3.1 降阶滑模控制器设计

由式 (9) 和式 (10) , 降阶线性滑模面可设计为

其中, λ0>0为控制参数。

对式 (12) 求导, 由式 (9) - (11) 可得

由式 (13) , 基于扩张状态观测器 (7) 的降阶滑模控制器可设计为

3.2 全阶滑模控制器设计

根据式 (9) - (11) , 设计如下全阶滑模面

其中, λ1>0和λ2>0为控制参数。

将式 (9) - (11) 代入式 (15) , 可得

由式 (16) , 基于扩张状态观测器 (7) 的全阶滑模控制器可设计为

其中, ≥, k2=kd+kT+η, η>0, kd>0, kT>0为控制器参数。

由式 (17) - (20) 可以看出, 通过加入一阶滤波器1/ (s+T) 以后, 只有u2中含有滑模切换项sgn (s) , 而实际控制信号u中并不包含该切换项。因此, 该控制器能够消除由于滑模切换项而造成的抖振问题。

将式 (17) - (20) 代入式 (16) 中, 有

对式 (21) 求导可得

3.3 稳定性证明

以下引理和定理给出了系统 (5) 的稳定性证明。

引理1[2]:假设存在一个连续、正定的函数V (t) , 满足以下微分方程:

其中, α>0和0<η<1是常数。则对于任意给定的t0, 存在一个有限时间t1, 使得以下不等式和等式成立:

和

定理1:给定不确定永磁同步电机位置伺服系统 (5) 和降阶滑模面 (12) , 设计扩张状态观测器 (7) 和控制器 (14) , 则当控制参数k1满足k1≥|ε3|+λ0|ε2|时, 跟踪误差e将稳定收敛至零点。

证明:针对系统 (6) , 构建如下Lyapunov函数

对V求导, 由式 (12) - (14) 可得

因此, 当k1满足k1≥|ε3|+λ0|ε2|时, 有

由式 (28) , 可得其中由引理1可知, 存在一个有限时间t1, 使得当t≥t1时, V (t) =0恒成立, 即滑模面s1可在有限时间内快速稳定地收敛至零点。

由式 (12) 可得, 在滑模面s1=0上有恒成立, 因此, 当t→∞时, 跟踪误差e将稳定收敛至零点。

定理2:针对永磁同步电机伺服控制系统 (5) , 设计全阶滑模面 (15) 及控制器 (17) - (20) , 当控制参数kd和kT分别满足时, 跟踪误差e将稳定收敛至零点。

证明:针对系统 (5) , 构建如下Lyapunov函数

对V求导, 由式 (17) - (20) 可得

当kd和kT分别满足kd≥|d (5) (x, z) |, kT≥Tld时, 可得

因此, 由式 (31) 可知, 成立, 其中, 由引理1可知, 存在一个有限时间t2, 使得当t≥t2时, V (t) =0恒成立, 即滑模面s2可在有限时间内快速稳定地收敛至零点。

由式 (15) 可得, 在滑模面s2=0上有:

式 (32) 可以进一步改写为:

其中, 0<λ0<λ2且满足 (λ2-λ0) λ0=λ1。

定义

则式 (33) 可以改写为

因此, 当t→∞时, 可得χ→0成立, 由式 (34) 可以推导得出跟踪误差e将稳定收敛至零点。

4 仿真研究及结果

为了分析和对比基于扩张状态观测器的降阶滑模控制 (reduced-order sliding mode control based on extended state observer, RSMC+ESO) 与基于扩张状态观测器的全阶滑模控制 (full-order sliding mode control based on extended state observer, FSMC+ESO) 两种控制方法的优劣性, 本节对永磁同步电机位置伺服控制系统进行了仿真研究。仿真中PMSM系统、控制器和扩张状态观测器参数分别给定如下。

PMSM参数设置为:额定功率P=0.2k W, 额定转速ω=3000r/min, 永磁体磁链Ψf=0.371Wb, 极对数Pn=4, d-q轴电感Ld=Lq=30m H, 转动惯量J=0.17kg·cm2, 粘性阻尼系数B=0.001N·m/ (r/min) ;扩张状态观测器参数设置为:β1=β2=β3=100, δ=0.01, b0=10;控制器参数分别设置为:k1=k2=20, λ0=λ2=2, λ1=5, T=0.01。为便于两种控制方法的比较, 本节分别针对正弦信号和阶跃信号的跟踪效果进行对比, 对比效果如图2和图3所示。

图2给出了当负载TL=2Nm, 跟踪位置为正弦信号时, 采用RSMC+ESO与FSMC+ESO两种控制方法的正弦曲线跟踪效果对比。其中, 图2 (a) 和图2 (b) 为分别采用两种控制方法时的位置跟踪曲线和跟踪误差曲线对比, 图2 (c) 为两种控制方法的控制信号对比。图2 (d) 为两种方法中扩张状态观测器的观测误差对比。从图2 (a) 可以看出, 采用FSMC+ESO方法比RSMC+ESO方法有更快的跟踪速度, 但从图2 (b) 和图2 (c) 可以看出, FSMC+ESO方法的正弦曲线跟踪的稳态误差虽然略大于RSMC+ESO方法, 但控制信号的抖振却明显小于RSMC+ESO方法。

为进一步比较两种控制方法的优缺点, 图3给出了初始负载为空载, 位置给定为阶跃信号时的跟踪效果和控制信号。其中, 图3 (a) 给出了采用RSMC+ESO与FSMC+ESO两种控制方法的阶跃信号跟踪效果, 并且在t=10s时突加了负载扰动TL=3Nm, 图3 (b) 为两种控制方法的控制信号。从图3 (a) 可以看出, 在t=10s时突加负载TL=3Nm以后, RSMC+ESO方法能够更快地做出反应并及时跟踪上位置给定, 而FSMC+ESO方法则较慢, 系统产生相对较大的位置跟踪滞后。因此, RSMC+ESO方法比FSMC+ESO方法有更好的鲁棒性。然而, 图3 (b) 给出的控制增益曲线表明, RSMC+ESO方法的控制信号抖振较大, 而FSMC+ESO方法的控制信号几乎无抖振问题。

5 结论

基于神经网络的状态观测器设计篇4

随着控制对象越来越复杂,系统存在多种不确定因素和难以确切描述的非线性特性,并且对控制的要求也愈来愈高,神经网络正是在这种情况下产生的。与控制系统状态观测器相比,神经网络状态观测器具有更强的逼近非线性函数的能力和容错性,尤其适用于多输入多输出系统;另外,神经网络不需要对系统建模,神经网络模型不因系统复杂程度的增加而变得非常复杂。因此,神经网络可作为实际系统的黑箱模型,利用系统的输入输出数据进行训练,而不需要知道系统的确切结构。

1 控制系统状态观测器的基本原理

要实现闭环极点的任意配置,离不开全状态反馈。系统的状态变量并不是都能直接检测得到的,有些状态变量甚至根本无法检测。这样,就提出所谓状态观测或者状态重构问题。由龙伯格提出的状态观测器理论,解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题,从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。

若线性定常系统Σ0=(A,B,C)完全能观,则其状态矢量x可由输出y和输入u进行重构。一个直观的想法是仿照系统Σ0=(A,B,C)的结构,设计一个相同的系统来观测状态x。

2 神经网络状态观测器的设计原理

神经状态重构法就是利用神经网络模型构造出系统的真实状态,即重新构造一个系统,利用原系统中可直接测量的变量,如输出向量和输入向量作为它的输入信号,并使神经网络输出信号undefined在一定提法下等价于原系统的状态x(t),神经状态重构方法见图1。

通常称undefined(t)为x(t)的重构状态或估计状态,而称这个用以实现状态重构的系统为观测器。一般undefined和x(t)间的等价性常采用渐近等价提法,即两者之间的关系式为:

undefined。 (1)

线性定常受控系统的状态空间表达式如下:

undefined

。 (2)

所谓神经网络状态观测器就是选用一个神经网络,该网络以y和u为输入,且其输出undefined满足式(1)。神经网络状态观测器可以按如下方法设计:用神经网络构成一个与实际系统{A,B,C}具有同样动态方程的模拟系统,用模拟系统的状态向量undefined作为系统状态向量x(t)的估值。一般系统的输出量y(t)与控制输入量u(t)均为已知,假设状态x不能直接加以测量,因此希望由神经网络构造的系统模型从y(t)与u(t)来估计出状态变量。

3 神经网络状态观测器的实现与仿真

3.1 神经网络状态观测器的实现

若线性定常系统完全能观测,则其状态矢量x可由输出y和输入u重构,利用BP神经网络来观测原系统的状态。BP神经网络的输入为原系统的输入信号u、状态x和输出信号y,BP神经网络的输出为神经网络状态观测器的输出信号undefined,利用undefined得出神经网络的输出undefined。BP神经网络的权值和阈值通过undefined和undefined来调整,利用BP神经网络构成的状态观测器结构见图2。

我们采用的误差函数为:

undefined。 (3)

如果通过调整BP神经网络的权值和阈值,使BP神经网络充分逼近真实系统,即ζ达到所要求的误差指标,则有undefined等价于原系统的状态x。

3.2 神经网络状态观测器的仿真

本文采用三层BP神经网络对线性定常系统进行状态观测,系统的状态空间表达式为:

undefined

。 (4)

BP网络输入信号为u,x1,x2,x3,x4,y,因此输入层神经元数目为6,BP网络输出信号为undefined,因此输出层神经元数目为4。本文中取隐层神经元数目为15,学习率为0.01,对系统进行仿真,得到神经网络观测器逼近原系统状态的过程曲线,见图3。

为了进一步观测神经网络观测器跟踪原系统状态的误差曲线,本文又给出了其跟踪误差变化曲线,见图4。

由图3和图4可以看出,由于预学习是粗糙的,在开始段的估计也很不准确,但随着神经网络权值和阈值的不断调整,神经网络逐渐跟踪上了原系统的状态变化。

4 结束语

本文在控制系统状态观测器的基础上,利用BP神经网络设计出了神经网络状态观测器,并对具体系统进行了实验仿真,从而证明了所设计的神经网络状态观测器是合理的。而且在这种设计方法的基础上,通过改进网络和算法,同样能应用于非线性定常系统,具有一定的理论指导意义。