高中数学的学习技巧

2024-11-04

高中数学的学习技巧(精选12篇)

高中数学的学习技巧 篇1

心理学研究表明, 学习会受情感因素影响。当学生热爱学习, 感觉学习是一件快乐的事情时, 他们的学习活动才会变成自觉行动, 富有成效。但在高中数学学习中, 由于数学知识比较抽象, 加上学生学法不当等原因, 学生缺乏快乐感, 不喜欢数学, 甚至谈“数”色变。为了解决上述问题, 让学生乐学数学, 教师就需要增强教学趣味, 指导学生学习技巧, 积累解题经验, 使其感觉学习数学不再是难事, 进而调动积极情感, 逐步增进对数学的学习欲望。

一、发掘趣味内容, 让知识生动起来

在多数学生眼中, 数学是由公式、定理、符号等组成的, 枯燥无趣, 深奥繁琐, 因而不喜欢数学。实际上, 数学看似繁难, 单调乏味, 但也有它独有的乐趣与意义, 需要教师善于引导学生发现, 重新看待数学, 进而产生对数学学科的兴趣。这样, 学生学习起来才会更快乐、更有效。所以, 在平时的教学过程中, 高中数学教师要善于发掘数学课程中具有吸引力的内容, 并加工创造, 让数学知识生动起来, 有趣起来, 进而点燃学生兴趣之火。

首先, 补充数学史, 感受知识产生过程。在高中数学教学中, 不少教师常常是单纯地讲授数学公式、定理与结论, 很少涉及到它们的发现过程, 学生接受的只是堆砌的事实, 不知其来源, 死板记忆, 机械应用, 学习自然枯燥。相反地, 如果教师适当穿插相关的数学史或数学家研究数学的故事等, 补充数学结论、公理、定理的由来, 僵硬枯燥的数学知识就会变“活”, 变生动, 更能吸引学生。其次, 联系实际运用以及其他学科, 或是设计趣味题, 让学生发现数学的意义与魅力, 提高学习热情。如分析“指数函数”这一内容时, 可以穿插银行存款利息计算;学习排列与组合时, 可以引入趣味题目:有三个商人和三个仆人过河, 但现在只有1条船, 还得自己动手划船, 每次可载两人, 这些仆人暗中商量只要商人人数比他们少, 就将商人杀掉, 劫取财物, 那么商人该如何分配才能安全过河?同学们的注意力瞬间便被吸引过来, 但难以得解, 教师再简化问题:“首次过河有几种选择?”这样, 巧妙地引出新知, 引发学生好奇心, 促使其主动探索新知, 进而感受学习数学的重要性。

二、积累解题经验, 让学习轻松起来

因此, 在高中数学教学中, 教师要注意培养学生的数学经验, 当学生有丰富的解题经验后, 就能轻松自如地应对各类数学题, 从而逐步喜欢上数学。如学习新知后, 教师要选取典型习题, 包括变式题目, 帮助学生巩固知识, 同时丰富学生的做题经验。或者引导学生课后探寻相关知识, 尤其是包含这类知识的不同题型的题目, 学会举一反三, 提高解题能力, 降低畏难情绪, 让学生愉悦地学习。比如教学等比数列与等差数列知识后, 展示一些“数列的通项公式”的代表性题目, 引导学生归纳数列的通项公式的常见求解方法, 并学会根据数列题型特点灵活运用不同的解题方法, 获得事半功倍的效果。另外, 在解题过程中, 倘若遭遇障碍, 要先思考问题出在什么地方, 再寻求帮助, 加深理解。同时, 分析某道题目, 发现和以前做过的习题比较类似时, 就要注意对比, 探寻异同点, 发掘本质, 做到触类旁通, 进而丰富数学经验, 让数学学习变得更轻松愉悦。

三、把握学习技巧, 让复习简单起来

复习是学习的重要组成部分, 但机械的记忆与背诵零散的数学概念、数学公式与定理, 会让人感觉枯燥乏味, 耗费大量的时间却容易遗忘。这样, 学生学习自然烦躁, 感觉没意思。实际上, 数学看似千头万绪, 但只要弄清知识之间的内在关系, 系统梳理, 点线面串联, 既节省时间, 也记忆牢固, 同时学生还能获得快乐体验与满足。所以, 在高中数学教学中, 教师要渗透学习方法与复习策略, 帮助学生更巧妙、更轻松地复习, 不断提高对数学学科的热情。

首先, 复习数学公式与定理时, 可以根据知识特点与规律, 编写口诀或顺口溜, 整体而巧妙地记忆。其次, 整合零散知识, 建立层次分明的网络。如复习函数知识, 教师可以引导学生进行梳理, 提炼出三大主线:函数概念、函数性质、特殊函数, 然后再在各主线上添加支线和分线, 逐步构建网络系统。在梳理中, 若发现有疑惑的地方, 则需要认真研读课本, 或请教老师与同学, 避免错误。另外, 强化错题分析, 列举与归纳易错知识点以及易误用的方法, 探寻错因, 确保会解答的题目不再出错。这样, 通过对平时错题的整理与研究, 再次查缺补漏, 争取无瑕, 以后的学习与复习也就更轻松简单了。

总之, 在高中数学教学中, 教师在关注知识传授的同时, 还要关注学生是否学得快乐。在教学时, 教师要尽可能地提高数学内容的吸引力与数学学习的趣味性, 丰富学生数学复习的技巧和做题经验, 让学生学得有信心, 学得轻松愉悦。

高中数学的学习技巧 篇2

2、强调基础。我发现很多学生对数学课本的知识理解很肤浅,对一般的数学定义死记硬背不理解,甚至对一些数学符号仅识其面不知其名。当我问学生为什么对这么基本的知识都无法掌握和表述的时候,大部分学生都会理直气壮的说:“我虽然不会说,但我会用,做题的时候知道就行”。但是,同学们,你不会说是当你尝试表述的时候,你的大脑思维会潜意识陷入混乱,你要知道清晰地表达不仅需要你对知识的理解更需要大脑对知识的整合和包装,清晰地表达都做不到何谈清楚地思维呢?

在日常学习中,特别是刚接触高一数学的同学们,一定要重视课本,对每个知识定义要理解透彻,自己心中多问几个为什么,为什么定义要这么写不那么写?为什么数学公式是这样的?怎么推导?就比如对于正弦定理是如何推导的,又有几个学生知道呢?

万变不离其宗,课本是一切知识体系的来源,重视课本是数学学习的最关键一步,同时也是最简单的一步。

高中数学的学习技巧 篇3

关键词:高中数学应用题;教学策略;解题技巧

前言:数学应用题是高中数学中的必考内容之一,也是高中数学教学中的重点内容,由于应用题有较多的类型,涉及的知识面也比较广,因此也是高中数学中的教学难点。相关资料显示,高中学生在数学应用题上的得分率普遍较低,本文针对这个问题,在此基础上,对如何提高高中数学应用题解题教学效率和学生的学习技巧展开分析和研究。

一、高中数学应用题的教学策略

(一)创建情境教学模式

情境教学是一种新型教学模式,也是最近几年在课堂教学中应用比较广泛的一种教学模式,情境教学模式能够加强学生对知识点的理解,突出学生在课堂上的主体地位。例如,在讲解几何形概率之前,数学老师可以给学生设计这样一个题目:将一根长为3m的木棍随机折成3段,求这3段木棍能够构成三角形的概率。这样的例题贴近生活实际,学生在理解上没有丝毫难度,数学老师接下来引导学生去寻找这道题的答案。可以将这三段木棍分别设为x、y、z,然后能够得出如下几个不等式:x+y+z=3,x+y>z,x+z>y,y+z>x,将这几个方程式联立起来,就可以得到规划的问题,从而找到合理的区域,即概率为1/4。这样的情境教学模式,不仅加强了学生对数学课本知识的理解,也开发了学生的思维,提高了学生的实践能力。数学老师要将这种教学模式积极应用到数学的课堂教学之中,带领学生进行应用性操作,创建的情境要有实际的价值,带有一定的感情色彩,让学生把应用和学习联系起来,促进自身的全面发展。

(二)循序渐进的教学模式

数学内容枯燥,而且高中的数学知识点难度较大,数学教材中的知识点排列遵循由易到难的原则,且知识点与知识点之间环环相扣,学生只有掌握前一章节的内容,才能顺利进入下一章节的学习之中,数学老师也应当重视这一点,在数学课堂上采取循序渐进的教学模式。数学老师可以从以下几个方面着手:1.带领学生打好数学基础。数学基础指的是数学的基本技能、基础知识以及基本概念,数学虽然是一个重视解题过程的学科,但是一些基本的概念也必须要牢牢掌握,例如等差数列和等比数列,很多学生由于基本概念和基本公式掌握不清楚,导致在计算等差数列的时候使用等比数列的计算公式,而计算等比数列的时候使用等差数列的公式,像这种容易出现混淆的计算公式,数学老师要加强学生的训练,带领学生牢牢掌握,只有“根深”,才能“叶茂”,如果学生掌握的基础不牢,就没有办法向更广和更深的数学领域探究。2.指导学生积累数学经验和数学知识。数学是一个开发思维的学科,只要学生的思维得到开发,在以后的数学学习中将会越来越轻松,而思维的开发离不开日积月累的经验以及思考,旧的知识是新知识的基础,例如在学习导数及其应用这一章节内容的时候,老师只有带领学生学好“导数的计算”,在学习后面微积分和定积分的时候就会得心应手,如果学生没有掌握导数的计算方法,在后面定积分和微积分计算的学习中就会特别吃力。因此,数学老师要运用循序渐进的教学模式,引导学生系统掌握整体知识,这样才能将知识的整体功能发挥出来。

(三)培养学生的解题归类意识

建立模型是数学应用题的一种解题技巧,也是解题环节中的难点和重点,学生只有建立正确的模型,才能找到解题技巧,从而解决问题,因此,数学老师要根据学生的数学水平和教学的实际情况,引导学生对应用题进行归类,即培养学生的解题归类意识。高中的數学应用题大体上可以分为以下几类:合力问题、排列组合问题、增长率问题、概率问题以及行程问题。学生只有将应用题进行分类,知道应用题的类型,才能根据类型建立相应的模型,从认知结构里找到相似的解题思路,通过类比等方法,有效解决学生的解题障碍,增强学生的解题信心,继而提高应用题的解题能力。

二、高中数学应用题的解题技巧

(一)学会化归转化

化归指利用某些手段或者方法,将较难理解或者较为复杂的应用题转化成自身较熟悉的应用题进行解决。数学知识枯燥,且数学题目千变万化,但是数学始终与生活有着千丝万缕的联系,学生只要学会化归转化,创设解决问题的情境,再难再复杂的应用题都会有思路可循,学生解答起来也就相对简单得多。

(二)善于使用数形结合的解题方式

数学知识点的逻辑性和实践性比较强,学生在解决应用题的时候仅仅靠脑袋思考是完全不够的,还要结合数学图形进行思考,很多数学知识点比较抽象,但是利用数学图形就会变得生动立体,往往能给学生提供解题思路和解题的灵感。例如有一道应用题如下:已知反比例函数方程式为y=k/x(k为整数且不等于0),且y与x的关系。这样的题目,学生利用数形结合的方法进行解题将会一目了然,通过图像,很明显看出,当k>0时,y随x的增大而逐渐减小,而k<0时,y随x的增大而逐渐增大,如果不结合数学图形,学生仅仅靠简单的思考,不仅容易遗漏一些知识点,还会增加解题过程的难度。

结论:综上所述,数学应用题教学是数学教学中的重要内容,数学老师应当对数学应用题的教学策略进行深入的研究,针对当前学生解题现状改善教学方法,引导学生对应用题中包含的信息进行筛选和处理,从而找到解题思路,帮助学生提高解题技巧,达到提高数学整体教学效率和学生学习效率的目的。

参考文献

[1] 严莉. 谈高中数学应用题教学中的解题思路[J]. 考试周刊,2013年84期.

[2] 唐晓熙. 新课标下高中数学应用题中的最值问题研究[J]. 高考(综合版),2014年05期.

[3] 周贺亭. 高中数学应用题教学应注意的几个问题[J]. 考试周刊,2009年32期.

高中数学的学习技巧 篇4

1. 重视强化题组训练,感悟数学思想

由于数学学科具有很强的逻辑性,考试题目往往难度较大。一些同学急于求成,在考试过程中只重视对那些难度较大题目的练习,没有对题目的类型进行合理的归纳,做的题目没有针对性。虽然也下了很大的功夫和精力来对这些题目进行学习,到最后反而没有很好的学习效果。因此,在数学的学习中要注意将类型相近的题目进行分类,对这些类型接近的题目进行系统性的钻研。通过对同一类型题目的不断钻研和研究,掌握这一类型题目的特点,理解这些题目的基本原理,做到举一反三、触类旁通。要学会用归纳、类比、联想的方法提高学习效率,并在学习过程中主动的发现问题和提出问题。

2. 建立“错题记录”,加强难点学习

数学的学习过程需要进行大量的习题练习,及时发现自身的不足。有的同学不注意对错题的归纳和研究,没有对这些错题进行及时的复习,在考试中往往犯下同样的错误。因此,在学习过程中注意建立自己的错题记录,将做错的题目整理成册。对错题记录的内容不断地进行复习,将错题拿出来看看、想想,思考一下当时为什么会出错,怎么样改正。这样使做题发挥应有的效果,发现自身的知识盲点并及时的更正。通过对自己知识缺陷的不断补充获得进步,积累解题的经验和思路,掌握一定的学习方法。

3. 注意把握应试规律

一些同学的平时考试成绩非常优异,基本功也很扎实,但是在大型考试中考试成绩却往往不够理想。研究表明这与考生在考场的心理状态有着很大的关系。有人曾经对影响考试成绩的因素进行过调查,结果发现影响考试成绩最重要的因素是考试中的心态,其次是考前状况和学习方法。而我们平时最为重视的记忆力只排在第17位。基于这一情况,同学们要加强自己考试心态的锻炼和调整。在考前合理地调整好心态,减少考试焦虑、紧张等心理的发生。

4. 加强对常用公式的理解

在数学的解题过程中,对公式的应用占到很大一部分。对一些常用公式要加强对公式的理解性记忆,理解公式的推理过程,明确公式的适用范围和使用原则。同学们要经常对公式进行自行的推导,这样做看起来是费时费力,与解题无关,实际上可以起到事半功倍的效果。特别是常用的数学公式,要加强应用训练,例如勾股定理、圆的面积公式和平方差公式等。只有熟悉这些常用公式的使用方法,在考试的时候才能节约做题时间,提高做题效率。那些难度较大的问题,它们其实可以拆分成许多简单的问题,这些问题的解决都需要基本数学公式的应用。只有理解了公司的基本原理,才能在解题的时候对它们进行灵活的运用,将困难的问题化简为易,最终顺利解决。

5. 夯实数学基础,发现知识点的联系

一些同学在学习过程中将大量的精力放到对难点问题的研究尚,忽视和减少了对数学基础性问题的学习,这样不仅在难题的学习上不能起到很好的效果,还会导致自身的数学基本功不扎实,在考试过程中往往会犯一些比较低级的错误。因此,在对数学知识的学习过程中要注意对基础性数学问题的把握和练习,注意知识点内部的相互练习。在学习上要由浅到深,由易到难,逐步形成和扩充自己的知识体系。这样在学习过程中可以稳步推进,在考试的时候也可以抓住那些较为容易问题,为难题的解决留下宝贵的考试时间。

6. 结语

高中数学是是高中各学科中难度相对较大的一门学科,具有很强的逻辑性和抽象性。在高中数学的学习中很多同学感觉无从下手、不得要领。同学们在高中数学的学习中,要重视强化题组训练,感悟数学思想,在做题的过程中要建立“错题记录”,加强对难点的学习和分析。在考试过程中要注意应试规律,调整好考场心态。在学习过程中要加强对常用公式的理解性记忆,同时要加强数学基础知识的学习,发现知识点之间的相互联系。

摘要:高考是众多学子在人生中最为重要的考试之一,其中高中数学由于具有很强的抽象性和逻辑性,使得许多同学感觉学习起来非常吃力,数学科目的成绩一定程度上决定了同学们的高考成绩。为了加强同学们对高中数学的学习,本文就数学学习中的技巧进行梳理。本文指出,在数学学习中要重视强化题组训练,感悟数学思想;建立“错题记录”,加强难点学习;注意把握应试规律;加强对常用公式的理解;夯实数学基础,发现知识点的联系。

关键词:高中数学,学习技巧,数学思想

参考文献

[1]程秋利.高中数学如何把握学习中的技巧和方法[J].课堂内外:教研论坛,2013(10):55-55

[2]李标.如何学好高中数学[J].课程教育研究:新教师教学,2014(30)

高中数学学习方法和技巧 篇5

数学思想方法总是蕴含在具体的数学基本知识里,处于潜形态。作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰的理解。在课堂教学过程中,表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程。像概念的形成过程,新旧知识的对比过程,结论的推导过程,规律的被揭示过程,解题思路的思考过程等,都是向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。此时提高学习效果,往往会起到事半功倍的作用。

在数学教学中运用研究性教学

在数学教学中运用研究性教学主要是通过开放题来实现的,数学开放题具有促使学生掌握科学的思维方式以及优良的思维品质和正确的数学观,提高数学表达能力等多种教育功能。由于在开放题的教学中,学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现,因此,学生不再是“装”数学,而是“搞”数学,这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程(尽管两者完全不同),深切领会数学的实质,因此,数学开放题用于学生的研究性学习是十分有意义的。比如,有两个二面角,它们的面对应平行,仔细观察你能得到哪些结论?试说明或证明之。策略:隐去结论,让学生猜测,并检验。

浅谈高中数学课堂的提问技巧 篇6

关键词:高中数学;课堂;提问

中图分类号:G63 文献标识码:A 文章编号:1673-9132(2016)13-0256-152

DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.13.034

高中数学课堂提问技巧的应用是教师营造良好学习氛围的有效手段,也是教师促进学生思维能力,有效实现课堂教学效果的重要途径。课堂离不开教师的有效提问,高中数学课堂更是如此,教师可以在这种提问中激起学生的兴趣,让他们可以更快地投入到本节内容的讲授过程中,凸显他们的主体地位,带着问题去学习更具有目的性。

一、高中数学课堂提问技巧应用的重要性

高中数学课堂提问可以实现课堂教育的有效性,有效就是能够积极地实现课堂教学的预期目标,在关于问题巧用方面就主要体现在教师对于问题的应用能够很好地激发学生的学习兴趣和学习积极性,能够自己发挥主观能动性,从而实现课堂教学能够在活泼的教学气氛中得以实现,并且能够保证学生自身素质能力的提高和思维能力的锻炼,更加有利于教育活动的开展,学习素养的提升。教师不仅要做到在课堂中巧用提问的策略,还要在一定程度上培养学生提高自身提出问题的能力,这样更有利于他们对于教学内容的学习,这也是一种有效的教学方法,对于他们良好思维能力的形成打下了良好的基础。

二、高中数学课堂提问现状

当前高中数学课堂中部分教师不能巧妙地运用课堂提问的技巧。一般情况下,教师的提问只讲求提问的数量而未考虑到问题的质量。在这种情况下,学生只能进行简单的一问一答,而不能对学生进行创造性思维的培养和锻炼,缺乏对知识的系统性思考和分析。这就容易导致数学课堂的气氛表面看起来很活跃,其实学生仍处于一种低水平的机械性回答过程之中,提问效率被降低。机械性提问方式使得学生的主体地位未能得到实质性的体现,在某种程度上将课堂变成了教师的地盘,提问成为教师手中简单的教学工具。虽然教师可以对整个课堂进行控制,但是并没有认识到巧设问题的重要性,忽略了学生通过对问题思考、分析、综合而得到自身的能力提高的过程。

教师用自己的思维左右了学生的意识,用机械式提问实现了对课本的另一种重复,失去了提问的真正意义,让学生成为了题海教育的牺牲品。不仅如此,教师的思想中存在一点误区,即课堂内容有限,问题过多、学生思考时间过长不利于教学内容的开展。正是因为有这样的想法,所以在教师让学生回答问题时思考时间较短,无法让学生进行思维能力的进一步锻炼,自问自答不能很有效激发学生学习的乐趣。

三、小学数学课堂巧用提问的策略

课堂教学效率应当是高中教师注意和思考的主要问题之一,但是,当前高中数学课堂中教师运用提问技巧进行教学的问题已经严重制约了教学效率的有效实现。高中数学教师是学生课堂活动的引导者,提问是知识提升的主要途径,但是在课堂教学中往往出现一些现象,这就需要教师明确自身缺点后进行改进,把制约课堂提问的问题进行有效转化,增强课堂教学效果。

(一)教师要从学生自身出发有效设问

教师的所有教学目标、教学内容和教学手段等重要教学环节和内容都要从课本内容和学生自身实际情况出发,通过对课本内容和学生实际的具体分析,确定明确、清晰、有效的问题。主要原则是要把握学生的学习特点,通过教师自身清楚的表达,让学生在听清楚、听明白的基础上进行问题的分析。通过设问激发他们的学习兴趣,力求新颖而不夸张,否则会因为过分夸大它的趣味性而失去知识性。例如,高中生对于立体几何具有一定的陌生感,教师可以从教学楼的立体视觉角度入手进行提问,这样可以更好地帮助学生进行理解,让他们对立体几何具有更加生动的认识,但是,如果以五角大楼为说明对象,则容易导致学生在课堂中转移注意力。

(二)教师要准确把握课堂节奏

教师对于课堂节奏的把握主要体现在两个方面,一个是问题提出的数量问题,另一方面则是对于问题提出和总结、归纳的实际问题。教师在进行提问时要做到适时,对问题该进行归纳的时候要归纳,该进行拓展的时候要拓展,把握总结、归纳问题的最佳时期,这样可以把问题进行深度挖掘,同时可以加强对知识面的拓展。在这方面,教师要注意另一个重要问题,对于深度和广度的扩展不能通过过多的提问进行。如果课堂问题过多则会过于牵扯学生的注意力,让学生对课堂产生厌倦的情绪,学习质量会受到影响。相反,如果教师的问题过少也不会紧紧抓住学生的学习兴趣和思路,导致容易分散注意力。

(三)教师巧用问题要注意人性化

人性化是当前素质教育一直强调的问题,它的应用有利于学生自信心的培养。主要体现在教师对于问题的应用要做到面广,同时还要做到会倾听,对于当前出现的普遍问题进行改进,做到对学生的有效评价和提升。首先,教师要做到提问问题的面要广,不能仅仅针对学习好的学生进行提问,而对于相对落后的学生进行冷态度的处理,这样对它们自身性格的培养会产生消极的影响。其次,教师要做到对学生的回答进行倾听。学生对于问题的回答会产生许多答案,教师要对他们的思维方式进行有效的锻炼和培养,从而引导他们形成正确的分析问题思路,养成良好的思维习惯。最后,教师要对学生的回答进行有效评价,这种评价不能仅是对于问题的好与坏的陈述,而是对于学生分析问题的积极引导,对于错误答案不能是简单的批评,教师应培养学生学习的积极性以及树立他们的自信心。

高中数学教师课堂提问的技巧 篇7

一、课堂提问应有明确的目标

提问作为“老师促进学生思维, 评价教学效果, 推动学生实现预期目标的基本控制手段”, 是沟通教师、教材与学生三方面联系的桥梁, 课堂提问的目的是让学生获取新知识、培养学习能力。因此在设计一堂课的提问时, 应抓住本堂课的重点、难点, 弄清针对哪些问题展开提问, 这些提问要达到怎样的目的。

二、课堂提问应注意逻辑性

教师所设计的问题, 必须符合学生思维的形式与规律。教师必须根据教学内容设计出一系列由浅入深的问题, 问题之间应有严密的逻辑性, 然后一环紧扣一环地设问, 从而使学生的认识逐步地深化。在数学教学中, 普遍存在执教者粗效提问、随意提问, 而不考虑问题的价值取向、不推敲具体教学目标的情况。要改变这种状况, 教师就必须掌握提问的控制技巧。一般来说, 数学课堂提问的控制技巧主要体现在提问的难度、提问的频率、提问的节奏等方面。问题的难度要适中, 要能面向全体学生。根据“最近发展区”理论, 问题只有稍高于学生实际水平, 才能激发学生思维。控制问题难度的同时, 还要控制提问次数。由于初中生的心理发展状况决定, 初中生的注意力不可能持续很长时间, 因此教师的提问次数应保持在一定的范围内。另外, 控制提问的节奏, 对于增强教学效果的作用也是比较明显的。一项研究结果表明, 如果在教师提问后, 要根据问题的难易程度留给学生适当的思考时间, 就会收到更好的课堂教学效果。

三、课堂提问要有一定的趣味性

数学课不可避免地存在着一些缺乏趣味性的内容, 若教师只是照本宣科, 则学生听来索然无味。若教师有意识地提出问题, 激发学生的学习兴趣, 以创造愉悦的情境, 则能使学生带着浓厚的兴趣去积极思维。如在教学“等差数列求和公式”时, 可先讲一个数学小故事:德国的“数学王子”高斯在小学读书时, 老师出了一道算术题“1+2+3+……+100=?”教师刚读完题目, 高斯就在他的小黑板上写出了答案:5050。这时其他同学还在一个数一个数挨个相加呢。那么高斯是用什么方法解得这样快呢?这时学生就会出现惊疑, 产生一种强烈的探究欲望, 对等差数列的求和公式产生浓厚的兴趣, 解决这个问题的积极性就会高涨, 教学效果当然就大不一样。

四、提问要新颖, 有利于激发学生的学习兴趣

学习兴趣是推动、激励学习的最有效动力。“一个人对数学有了兴趣就能专心致志, 从而有力地应用和发展他的能力”。因此, 向学生提出新颖、富有吸引力的问题, 创设问题情境, 往往能刺激学生的好胜心, 激发学生的学习兴趣, 调动他们的学习积极性。

五、提问要有针对性, 不能模棱两可

提问必须准确、清楚, 符合学生的知识特点和认知水平, 切忌提出含糊不清, 模棱两可的问题, 让学生无法回答或答非所问。如在复习“三角形分类”这部分时, 若提问:“三角形分几类?”这样的问题就模棱两可, 学生答案也不统一, 达不到提问的目的, 提问也就失去了意义。

六、提问要能抓住恰当的时机

有的教师从上课到结束, 动不动就学生这个问题是不是, 这样做对不对?提问过多过滥。孔子在《论语》中说:“不愤不启, 不悱不发。”就是说当学生思考而产生烦闷心情, 想说又说不出来时, 教师把握火候, 提出恰当而有深度的问题让学生思考。

七、提问的语气要温和, 态度要亲切

“亲其师, 信其道”。教师提问时, 表情要和蔼可亲, 不要摆出训人的姿势, 更不能因学生回答错误而责罚、挖苦、嘲弄学生, 让学生产生紧张、畏惧和逆反心理。相反, 教师若在提问时能鼓励性地对学生说一声“试一试”、“答错也没关系”之类的话, 则能增强学生回答问题的信心, 消除其紧张心理。总之, 教师只有在充分尊重学生的基础上, 才能激励学生大胆思维, 轻松愉快、积极主动地回答问题。

一个好的课堂提问能够把学生带入问题情境, 使他们的注意力迅速集中到特定的事物、现象、定理或专题上;能够引导学生追忆、联想, 进行创造性思维。一个好的课堂提问有助于提高学生运用有价值信息解决问题的能力和言语表达能力;有助于教师及时得到反馈信息, 不断调控教学程序, 实现教学目标。课堂提问的设计技巧, 看似随机应变, 实际上功夫在课堂外。它要求教师既备教材、教法, 又要备学生, 按照教学规律, 积累教学经验, 不断提高教学水平。只有这样, 才能真正实现课堂提问为学生发现疑难问题、解决疑难问题提供桥梁和阶梯, 启迪学生的思维, 激发他们的求知欲, 促使他们参与学习, 帮助他们理解和应用知识的教学目标。

高中数学数列问题的解题技巧 篇8

一、数列知识在高中数学学习中的重要性

想要掌握数列知识的相关技巧, 就要首先了解它在高中学习中的重要性和地位。高中是一个非常重要的阶段, 它决定了我们是否能够迈入到大学校园当中, 成为一名高素质的人才。而高中数学对于大部分的学生来说, 都是非常枯燥乏味的, 并且具有一定的难度。数列是高中数学中比较关键的一个部分, 它在教材里是一个独立的章节。由此也可以看出它的重要性。对于知识的交叉性来讲, 许多综合性习题都以数列知识作为背景。通过数列能够考察整体知识的灵活应用性与变通性。例如:数列中包括不等式、函数、几何、向量等问题, 也能够根据考察对象实现知识的横向链接。从本质上来讲, 它是一种特殊的函数表达形式, 为构建知识的良好体系奠定了基础[1]。

二、数列问题的解题方法与技巧研究

(一) 基础概念、性质的考察

近两年来, 数列在高中数学中占据了越来越重要的位置, 也成为了我们数学成绩评估的关键。为了能够做到知识的灵活性应用, 对数列问题进行深入的了解, 基本概念与性质的明确必不可少。第一, 直接运用求和公式与通项进行计算。针对此类问题, 除了在技巧的应用方面, 也要做到基础性质的深化。

例如:在一个等差数列当中, 前n项和设为s1, 已知n属于自然数, 若a2=10, s20=30, 求得s10的总和。在这个数列问题中。我们首先要对相关公式进行分析, 把能够涉及到的项目依次列举出来。如:通项中的求和算法、以“首项”为基础的数列条件, 以及公差比等等。明确了以上问题, 就可以将数据直接带入到其中。这道题考查的是学生的基础掌握能力, 以及能否按照已知条件进行计算[2]。

(二) 通项公式以及方法考查

通项公式以及方法考查是数列中比较具有针对性的内容。它也属于高考中的必考点之一。例如:已知数列的前n项和为s1, 已知a1与an+1的数值, 前者的数值为1, 后者的数值为二倍的sn, 求得数列的通项an的数值以及数列的前n项和为多少。在这道题中, 主要考察的是我们对数列技巧的了解。首先, 在数列当中, 每个数值之间都有着一定的关联性。从形式上来看, 两个数列相乘的方式与等比的表达非常相似。因此, 在解题过程中, 我们采用错位相减法来实现具体的规划。

第一步, 将其中的对应项提出, 再根据已知条件中涉及到的等差与等比数列进行判断。以等比数列为基准, 提取其中的首项与公比。接着, 利用方程式算出n的数值。最终将两式相减, 算出数列的前n项和为多少。这种方式的技巧体现在我们是否能够对已知条件进行总结, 并在其中找出一般规律[3]。

(三) 分组求和法与合并求和法

分组求和法与合并求和法也是数列中经常使用的方式。从形式上来讲, 分组求和法不属于等比数列的一般规律, 它通常都是以数列的组合状态呈现出来。因此, 对于这种题型, 我们要善于动脑, 挖掘知识当中的联系性。将具有共同性质的等比或者是等差数列进行分组, 选取每组中容易拆分的部分, 分别求和, 最终合并到一起。而合并求和法则是将数列类型中比较特殊的部分提取出来, 针对每个单项中的共同特点, 找出相通性。最终将个体转换为整体, 引入相关的解题公式, 将抽象的问题变得具体化[4]。同时, 我们也要学会两种方式的对应, 挖掘计算中的相通处, 深入到数列的本质当中, 在重点解析的基础上选择最为适合的方法, 以建立正确的解题思维。

三、结论

综上所述, 本文从数列在高中数学中的重要性入手, 对数列问题的解题技巧进行研究。从而得出:在数列的学习中, 我们要善于对不同的方法进行归结, 选取与一致条件相似的部分, 针对不同的习题类型进行整合, 以分组求和法以及合并求和法为突破口, 注重性质的灵活应用, 为数学成绩的提升奠定良好基础。

参考文献

[1]刘羿汎.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].科学大众 (科学教育) , 2016, 11:32.

[2]曹金停.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].数学学习与研究, 2016, 15:103.

[3]张书铭.例谈高中数学数列的解题思路和技巧[J].中学生数理化 (教与学) , 2016, 09:93.

高中数学的学习技巧 篇9

作为教学的实践者, 我们知道, 教师在上课之前要选择和设计课堂例题, 总的来说, 课本上的例题也是经过编者的精心挑选、反复推敲才选定, 教学学习中理应多借鉴。然而, 在多数情况下却不尽人意——课堂教学面对的是不同水平的学生, 这就要求必须根据学生不同的实际情况和内容施教, 在设计例题上也要精心设计与思考。以下是笔者结合切身体会及教学经验, 简要总结的数学例题设计的方法和方式:

一例题设计——探究性

所谓探究性, 是指例题要具有思考性。我们知道, 数学课堂例题大多针对已学过知识及课堂内容, 所以在设计时, 其探究的要求不应太高, 程度上也不宜过渡开放, 适宜为主, 使学生具有更好、更高的探究。对此, 设计者不妨设计一些多种方法解题的例题, 这样一来, 不仅有利于开拓学生视野, 也有助于培养学生们的发散性思维, 从而通过探究达到一种融会贯通、举一反三的地步。注重基础, 针对性强是数学课本例题的重要特点, 但其解答大多是一题一问, 明显缩小了学生们的思维空间。较之老教材, 新教材中尽管安排了思考题这个环节, 对一些基本的例题也进行了挖掘, 但在横向与纵向延伸方面却并不尽人意。所以, 为了更大程度地激发学生学习数学的积极性, 培养他们思考问题的深度和广阔性, 与实际教学情况相结合, 非常有必要对例题的设计进行必要的延伸。

二例题设计——适度性

所谓适度性, 就是指例题要围绕课堂教学的主线, 由浅入深。例题的难易要适度, 同时例题所表达的信息要科学, 指向要明确, 不能模棱两可。以往教师总喜欢采取题海战术, 学生成了做题的工具, 但效果不佳。我们知道, 山不在高, 有仙则名, 水不在深, 有龙则灵。同样, 例题也不在于多, 而在于质量。我们应从学生的基础和认知能力出发, 多设计由浅入深的例题, 通过适当的变式拓展来满足不同层次学生的学习需要。因为学生的基础和能力各不相同, 我们不能用同一尺度去衡量学生, 所以例题的设计, 在难度上要形成一定的梯度, 让不同层次的学生在课堂上都有所收获。这样, 可以调动每位学生的学习积极性, 防止两极分化。

三例题设计——趣殊性

例题本不是作业本, 而是学生自我总结、归纳和提高的一种思维过程体现。学生要经常阅读, 在空闲时间或准备下一次考试时, 拿出例题本浏览一下, 把例题在头脑里再做一遍, 这样就使每一道题都发挥出最大效果。兴趣是最好的老师, 课堂例题可以紧密结合学生的生活实际, 从生活走向科学, 以此激发学生的兴趣, 促使学生积极思考, 提高主动参与的积极性。

四例题设计——前后呼应

俗话说:“温故而知新。”学过的知识需要不断地加以应用和巩固, 学习新知识时更要注意与旧知识进行呼应和比较。几何概型是无限多个等可能事件的情况, 而古典概型中的等可能事件只有有限几个。从古典概型到几何概型, 是从有限到无限的延伸。等可能事件发生的概率不仅在样本空间有限个样本点时可以求解, 也能拓展到无限个样本点的情形。这种新旧知识之间的联系与区别的揭示, 有利于激发学生学习的动机。

五例题设计——拓展性

数学是一门规律性强、归纳度高的学科, 各个知识点可以引申出很多背景条件不同的题目形成题海, 反之, 题海中很多题目的知识点、解题方法和解题技巧也有相似相通之处。因此, 教师要对各类题目进行有效整合, 摒除各种背景条件的干扰, 从知识点、解题思路等方面对各式题目进行归纳, 使学生进行轻负高效的学习。为了能培养学生的发散性思维, 提高分析问题、解决问题的能力, 例题的设计可采用变式处理。例题的变式, 不是为了变而变, 而是要有思维层面的提升, 要有方法优劣的比较, 要有思想方法的渗透。这样的拓展式例题, 可以激发学生参与的热情, 提高学生的发散性思维能力。在合作探究中, 提供给学生交流合作的契机, 训练了学生创造性思维能力, 培养了学生团结合作的精神, 从而提高了课堂效率。

六结束语

综上所述, 教学没有固定的法则, 贵在于方法和技巧。例题的优化设计同样如此, 我们要持之以恒, 不断地积累经验, 精心设计, 灵活处理, 真正发挥例题的功效, 让学生成为学习的主人, 提高课堂教学效率。

参考文献

[1]宋雨.高中数学教学中例题设计技巧研究[J].课程教育研究 (新教师教学) , 2013 (27) :45~46

[2]王刚.高中数学教学例题设计的原则与反思[J].数学学习与研究 (新教师教学) , 2011 (27) :66~69

高中数学的学习技巧 篇10

对于空间几何而言,很多同学似乎是望而却步的状态,其主要是因为没有掌握好一个好的学习方法。立体几何的学习能锻炼同学们形成良好的空间概念,拥有较好的空间想象力。接下来对高中数学立体几何的解题技巧的教学进行几点分析。

1.努力做好前期铺垫

1.1建立良好空间观念和空间想象力

从初中的平面图形的学习过渡到高中的立体几何的学习是一次很大的飞跃,这需要一个较为缓慢的过程。在此期间需要建立良好的空间观念和空间想象力,其中方法多种多样,比如说,自己制作一些空间几何模型并反复观察,同时利用课余时间对一些立体图形进行观察,找出这个立体图形中所有的线线、线面及面面的位置关系,这有利于培养良好的空间观念。另外,培养画图能力,从一些简单的正方体、长方体开始进行,长此以往,根据图画中的图形能正确想象出空间中的真实结构。

1.2掌握基本知识

在解答任何题目时,书本所学的知识都是基础。掌握好基本知识与技能是高中数学空间几何题目解答最主要的技巧。同学们在学习空间几何时,需要不断的复习前面的知识与内容,因为立体几何的学习与前面的知识紧密联系,前面内容是后面内容的理论根据,后面内容又是将前面内容进行巩固与加深。

1.3努力提高综合分析能力

理论联系实际、仔细观察模型来分析立体几何的基本结构。对于任何命题都不应该直接否定或肯定,需要使用几个比较熟悉的特例检验其结论。提高整体的概念,在学习整体的理论知识后,才能更好的进行综合分析,提高综合分析能力,我们在立体几何题目中所涉及广泛内容的题目才可以迎刃而解。

1.4总结解题规律并加以训练

同学们在空间几何的解题过程中可以找出许多规律,比如说:求一个角的大小时,先确定平面角和三角形,经常用到的是正余弦定理,如果其余弦值为负值的话,异面或线面可以确定为锐角。同时需要反复训练,对会的题目也要进行训练,不会的题目更要多练,不只是看懂答案解析就行,看懂不代表会写。在考试中,很多同学就是因为真正在实战的时候,不能完全理清思路和将自己的心中所想都能在试卷中反映而丢分。

2.巧用解题方法

掌握各类的解题方法可以快速解决立体几何的难题,现在介绍几类方法并给予例子说明。

2.1特殊化法

例如:一个正四面体A-BCD的棱长为a,求这个正四面体的体积和外接球的半径。

2.2类比法

例如江苏2009年高考题目:在平面上,如果有两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比就为1:4,类似地,在一个空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为多少。

2.3数形结合法

根据数据的结构特征,利用图形的特征和性质与规律解决问题。

例如:A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≤0},如果A∈B成立,其实数m的取值范围。

3.结语

综上所述,高中数学中立体几何的问题是数学这门科目中的重点与难点之一,在学习的过程中会遇到很多的问题,既要明白知识点的原理,还要真正学会运用这些知识点。在对空间几何问题的学习时,拥有较好的空间概念至关重要,是一切解题方法的基础。了解各大解题技巧之后,不断的训练,提高综合分析能力,空间几何的解答便会事半功倍。

参考文献

[1]王玉娟.分析高中数学中立体几何的解题技巧[J].理科考试研究,2015-6-1

[2]邢苗苗.高中数学常用解题思想——数形结合[J].新课程(教育学术),2010(4)

高中数学解题技巧 篇11

一、审题技巧

审题是解题的第一步,细致深入的审题是解题成功的必要前提. 著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图. ”事实上,同学们常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中. 如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息,是解题迅速的必要条件,审题宜从以下几个方面进行.

1. 明确问题的条件与结论

要明确问题的条件与结论,需做到以下五点:Ⅰ.全面、深刻、确切地理解题目的明显条件;Ⅱ.不要遗漏题目中的“次要”条件;Ⅲ.要尽可能把已知条件直观化、形象化;Ⅳ.善于把已知条件作适合解题需要的转换;Ⅴ.要充分挖掘隐含条件.

例1 已知集合[A=x,yx2+mx-y+2=0]和[B=x,yx-y+1=0,0≤x≤2],如果[A⋂B≠∅],求实数[a]的取值范围.

分析 在审题时,可以看出这两个集合均为点集,本题既可看成两个曲线有交点的问题,又可看成两方程在指定区间有公共解的问题.

解 由[x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0≤x≤2)],

得[x2+(m-1)x+1=0]. ①

[∵A⋂B≠∅],[∴]方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.

首先,由Δ[=m-12-4≥0,得m≥3或m≤-1.]

当[m≥3]时,由[x1+x2=-(m-1)<0]及[x1x2=1]知,方程①只有负根,不符合要求;

当[m≤-1]时,由[x1+x2=-(m-1)>0]及[x1x2=1>0]知, 方程①有两个互为倒数的正根,故必有一根在区间[0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.

综上,所求[m]的取值范围是[-∞,-1].

2. 灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换

数学有三种语言:符号语言、图形语言、日常用语,它们是数学知识,数学思维的载体,在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异,因人而异,而且各种语言之间又是互相渗透,如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用,就会使本来不难的变难、变繁.

由于数学语言的高度概括性使题目抽象程度提高,或者有时信息或问题表述及比较含蓄,应通过思考将其转译为自己熟悉的便于理解和应用的问题或信息. 可试图将问题换个说法,说给你自己听,做到:①隐晦的语言说得明确些;②繁复的问题说得简要些;③抽象的问题说得具体些;④表象的问题说得深刻些;⑤难于正面说的问题从反面去说.

例2 已知[f(x)=x2+2x+1],存在实数[t],使得当[x∈[1,m]]时,[f(x+t)≤x]恒成立,求[m]的最大值.

[1 2][1]

解析 直接求解较复杂,译成图象语言可轻松获解. 将[f(x)=x2+2x+1]的图象进行左右平移,问题转化为当t为何值时,对于[x∈[1,m]],[f(x)=x2+][2x+1]的图象恒在[y=x]的国家下方.

结合上图可知,当[f(x)=x2+2x+1]的图象向右平移,且当右半部分第一次经过点(1,1)并继续向右平移时,才会出现[x∈[1,m],f(x+t)≤x]成立;

当[f(x)]的图象左半部分经过点(1,1),并继续向右平移时,有[f(x+t)≤x]恒成立,所以,[m]的最大值应为[f(x+t)]与[y=x]的除点(1,1)外的交点的横坐标. 由[(1+t)2+2(1+t)+1=1],解得 [t=-1](舍去)或[t=-3],再由[f(x-3)=x],解得[x=1]或[x=4].

故[m]的最大值为4.

点评 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述,数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题. 实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 思考问题时要善于从条件的结构特征中寻找一些和图象相关联的信息源,以便为解决问题作好形的铺垫.

二、细节决定成败

在解决问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解,甚至错解.

例3 已知[fx=x2+2x+ax,]

(1)对任意[x∈1,+∞,fx≥0]恒成立,试求实数[a]的取值范围;

(2)当[x∈1,+∞时,fx]的值域是[0,+∞],试求实数[a]的值.

解析 本题的第(1)问是一个恒成立问题, [fx=x2+2x+ax≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立. 等价于[ϕx=x2+2x+a≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立,又等价于[x≥1]时,[ϕx]的最小值[≥0]恒成立.

由于[ϕx=x+12+a-1]在[1,+∞]上为增函数,则[ϕminx=ϕ1=a+3],

所以 [a+3≥0,a≥-3.]

第(2)问是一个恰成立问题,这相当于[fx=x2+2x+ax≥0]的解集是[x∈1,+∞].

当[a≥0]时,由于[x≥1]时, [fx=x2+2x+ax][=x+ax+2≥3],与其值域是[0,+∞]矛盾,

当[a<0]时, [fx=x2+2x+ax=x+ax+2]是[1,+∞]上的增函数. 所以,[fx]的最小值为[f1],令[f1=0],即[1+a+2=0,得a=-3.]

不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题往往只有一字之差,若不注意这个细节的差异,很容易在解题时张冠李戴,造成解题失误.

(1)恒成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[fx]在区间[D]上的最小值大于[A];②若不等式[fx

(2)能成立问题. ①若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx>A]成立,即[fx>A]在区间[D]上能成立, 则等价于函数[fx]在区间[D]上的最大值大于[A];②若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx

(3)恰成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恰成立, 则等价于不等式[fx>A]的解集为[D];②若不等式[fx

例4 已知曲线[y=13x3+43],则过点[P(2,4)]的切线方程是 .

解析 本题可以判断点[P(2,4)]在曲线[y=13x3+43]上,所以,大部分同学的解法是,由[y|x=2=4]得切线方程为[y-4=4(x-2)],即[4x-y-4=]0.

但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点[P(2,4)]是否为切点,而上面的解法是把点[P(2,4)]当作切点求解的. 其实, 点[P(2,4)]也可能不是切点. 正确的解法是:

设切点为[(x0,y0)],则[y|x=x0=x20],切线方程为[y-4=x20(x-2)].

因为[(x0,y0)]在切线上,则[y0-4=x20(x0-2)],从而有[13x30+43-4]=[x30-2x20],

解得[x0=2,x0=-1],

于是, 过点[P(2,4)]的切线方程为[4x-y-4=0]和[x-y+2=0].

三、结论也是已知信息

我们在解题时常常忽视一个细节,那就是:结论也是已知信息!有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,或者对位置进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间.

例5 已知平面上的直线[l]的方向向量[e→=(-45,35)],点(0,0)和A(1,-2)在[l]上的射影分别为[O′和A′],若[O′A′=λe],则[λ]为( )

A. [115] B. -[115] C. 2 D. -2

解析 直线[l]的斜率一定,但直线是变化的,又从选项来看,[λ]必为定值. 可见直线[l]的变化不会影响[λ]的值. 因此我们可取[l]为[y=-34x]来求解[λ]的值. 设[l]:[y=-34x], [A′(x,y),]

则[-2-y1-x(-34)=-1,y=-34x,] 可得[A′(85,-65)],

∴[O′A′=λe1],即[(85,-65)=λ(-45,35)],[λ]=-2.

例6 在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,[EF=32],EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为( )

A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]

解析 该多面体的体积比较难求,可连接BE、CF,问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和,而[VE-ABCD]=6,所以只能选D.

例7 连续投掷两次骰子的点数为[m、n],记向量[b=(m,n)]与向量[a=(1,-1)]的夹角为[θ],则[θ∈0,π2]的概率是( )

[1][6][6][-1]

A. [512] B. [12] C. [712] D. [56]

解析 用估值法,画个草图,立刻发现在[∠AOB]范围内(含在OB上)的向量b的个数超过一半些许,选C,完全没有必要计算.

四、转化技巧

数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换. 可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的. 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法. 那么有哪些转化途径呢?

1. 数形转化

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多.

例8 若P(2,-1)为圆[(x-1)2+y2=25]的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )

A. [x-y-3=0] B. [2x+y-3=0]

C. [x+y-1=0] D. [2x-y-5=0]

解析 画出圆和过点[P]的直线,再看四条直线的斜率,即可知选A.

2. 数量转化

数量是数学运算中最基本的单元,审视数量要善于观察、分析数量,依据数量本身的变化,数量与数量之间的相互联系进行恰当转化,从而找到解题的思路,获得优美的解法.

例9 求[sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°]的值.

分析 解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在的数量联系. 如题中的含有角7°、15°、8°,发现它们之间的关系是15°=7°+8°,故可将7°拆成15°-8°.

解析 [sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°]

=[sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)+sin15°sin8°]=[cos8°sin15°cos8°cos15°]

=tan15°=[1-cos30°sin30°]=[2-3.]

3. 运算转化

在解决一些数学问题时,我们常要对题目中的运算形态进行转化,通过转化,赋予式子新的运算方式,从而有利于问题的解决,如三角中的积化和差、和差化积、添置辅助角等变形方法,数列中的裂项求和法,向量中公式[a2=|a|2]的应用,代数式中取倒数、两边取对数、分离常数、分离参数等变形,都体现了运算转化的思想.

例10 已知向量[a]、[b]、[c]满足[|a|=1],[|b|=2],[|c|=3],且[a+b+c=0],求[a⋅c+b⋅c+c⋅a]的值.

解析 运用公式[a2=|a|2],把向量的平方转化为其模的平方来计算,

[∵][a+b+c=0],[∴(a+b+c)2=0],

[∴a2+b2+c2+2(a⋅c+b⋅c+c⋅a)=0],

即[a⋅c+b⋅c+c⋅a=-12(|a|2+|b|2+|c|2)=-7.]

4. 结构转化

一个数学问题,无论是条件还是结论,总伴随着一定的“结构”特征,对其我们要认真观察,仔细分析,把握其内在的特点,必要时对现有结构进行转化,使解题向有利于解决问题的方向发展,从而取得关键性的突破.

例11 (1)已知[a+b+c=1],求证:[a2+b2+c2≥13].

(2)求证:若[a、b、c∈R+],则[a3+b3+c3≥3abc].

证明 (1)构造二次函数[f(x)=(x-a)2+(x-b)2+][(x-c)2],则[f(x)≥0],即[3x2-2(a+b+c)x+(a2+b2][+c2)]≥0,当且仅当[x=a=b=c]时等号成立.

∴Δ[=4(a+b+c)2-12(a2+b2+c2)≤0.]

又[∵a+b+c=1,]

[∴a2+b2+c2≥13],当且仅当[a=b=c=13]时,等号成立.

(2)可构造导数模型求解.

原不等式等价于[a3-3bca][≥-(b3+c3).]

令[f(a)=a3-3bc⋅a,]则[f(a)=3a2-3bc,]

令[f(a)=0]得[a=±bc](舍负号,∵[a∈R+]),

∴当[a∈R+]时,[f(a)min=f(bc)][=-2b3c3.]

又[b、c∈R+,][∴b3+c3≥2b3c3],

[∴-2b3c3≥-(b3+c3),]故原不等式成立.

例12 已知[a,b∈R+,a+b=1],求证:[2a+1+2a+1≤22.]

解析 设[f(x)=2x+1],则[f(x)]的图象如图:

[1][2]

[∵f(x)]在[(-12,+∞)]上是凹函数,

[∴f(a+b2)≥f(a)+f(b)2,]

[∵a+b=1, ∴f(a+b2)=f(12)=2.]

[∴f(a)+f(b)≤22],即[2a+1+2b+1≤22].

5. 割补转化

割补法是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形,切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形,从而达到解决问题的目的,例如:把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体(特别是三棱锥)等等,从而把未知的转化为已知的,把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的,充分体现等价转化的数学思想.

例13 已知三棱锥[P-ABC]的每相对的两条棱相等,棱长分别为5、6、7,求其体积.

解析 设补成的长方体的三边分别为[a,b,c]则其体积[V=abc],而补出的四个三棱锥的体积相等,都等于[16abc],并且

[a2+b2=25,b2+c2=36,c2+a2=49,⇒a=19,b=6,c=30,]

[∴VP-ABC=V-4×16abc=13abc=295.]

例14 求函数[y=cosx(0≤x≤2π)]和[y=1]的图示所围成的封闭图形的面积.

解析 由于曲线[y=cosx(0≤x≤π)]关于[EF]对称(如图),又曲线段[AF]关于点[(0,π2)]对称,所以图形[EFA]≌图形[DAF],

将曲线[AFB]沿[EF]剪开,可拼成矩形[AEFD],则有

[S阴影=S矩形AEFD=2π].

五、目标意识(变形方向)

数学解题是一个自觉、积极、富有创造性的数学思维活动. 在这个思维过程中,解题的每个阶段总是要不断地提出各种辅助问题,为思维探索确定一个个恰当的目标,以便寻求问题的最后解决,这就是目标意识. 在解题过程中,始终必须紧紧盯住化归的目标,即始终应该考虑这样的问题:怎样才能达到解原问题的目的. 在这个大前提下,实施的化归才是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.

例15 已知[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)⋅f(y),]且[f(x)≠0], 求证:[f(x)]是偶函数.

解析 盯住目标变形,要证明[f(x)]是偶函数,意味着证明:对任意[x∈R],均有[f(-x)=f(x)]成立. 于是,可在[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)⋅f(y)]中,消除字母[y],即可令[y=x],得

[f(2x)+f(0)=2[f(x)]2 ].

为了出现[-x],又可令[y=-x],

得[f(2x)+f(0)=2f(x)⋅f(-x). ]

[∴2[f(x)]2=2f(x)⋅f(-x). ]

[∵f(x)≠0,∴f(-x)=f(x),]

故函数[y=f(x)]是偶函数.

点评 解题分析关键在于盯住目标,并合乎情理地消除题设与结论之间的差异!事实上,本题也可这么解答:在[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)⋅f(y)]中,令[x=0],得[f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).]接下来,只要证明[f(0)=1]就行了. 事实上,在上式中,取[y=0]不就显然可得了吗?

例16 已知[-π2

(1)求[sinx-cosx]的值;

(2)求[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx]的值.

解析 (1)由[sinx+cosx=15,]平方得[sin2x+][2sinxcosx+cos2x=125,] 即[2sinxcosx=-2425.]

[(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925.]

根据角所在范围选取符号,[∵-π2

[∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,]

故[sinx-cosx=-75.]

(2)根据目标意识,代入有,

[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx,]

[所求值=sinxcosx(2-cosx-sinx)]

[=(-1225)×(2-15)=-108125.]

高中数学的学习技巧 篇12

1. 数学直觉思维

直觉思维是指人脑基于有限数据和事实, 调动一切已有知识经验, 对客观事物本质及其规律性联系作出迅速识别、敏锐洞察、直接理解和综合整体判断。数学思维是指人应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。数学直觉思维便是数学活动中一种认知过程和思维方式的直觉。在数学研究中, 由直觉思维所产生的想法, 尽管还只是一种猜想、假设, 或者一时得不出证明, 甚至是错误的, 但它能够吸引人们去推证, 是创造、发现的先导。

2. 数学直觉思维的特点

2.1 非逻辑性。

数学直觉思维的进行没有依据某种明确逻辑规则, 结论得来也没有经过严密推理, 带有一定程度的猜测性、预见性, 它不同于一般三段论演绎推理, 也不同于归纳推理和类比推理, 但它与逻辑思维有着密切联系。第一, 数学直觉思维总以熟悉的数学对象及其结构为依据, 思维结果是思维者依靠老规范得到的经验结晶, 而许多经验结晶又是人们以前逻辑思维活动的结果;第二, 有相互补充性质, 数学问题解决往往是两种思维协同的结果;第三, 直觉思维会用到一些逻辑思维片段, 作为选择、分析、判定和推理的引线。

2.2 快速性。

对于一个问题情境, 能根据自己已有知识经验和具体情况, 立即作出判断, 得出结论。希尔伯特说:“在算术中开始解决一个问题时, 我们往往凭借对算术符号性质的某种算术直觉, 迅速地、不自觉地去应用并不绝对可靠的公理组合, 这种算术直觉在算术中是不可缺少的, 就像在几何中不能没有几何想象一样。”

2.3 确信感。

它得出结论, 理智清楚, 意识明确, 不是盲目猜测冲动性言行。其结论有对错, 没有经过严密推理和论证。但思维者主观上对它的正确性具有一定坚信感。爱因斯坦就曾经说:“我信任直觉。”

3. 数学直觉思维的引导

数学直觉思维并非数学家独有。对于学生, 学习数学已经达到一定水平, 直觉是能够产生的, 也是可以加以培养的。数学直觉思维基础在于数学知识组块和数学形象直感生长。因此, 如果一个学生在解决数学新问题时能对结论作出直接迅速领悟, 那么就应该认为是数学直觉思维的表现。这同数学家在创造性工作过程中表现出的直觉相比, 层次显得较低, 但其本质是相同的。

3.1 重视数学基础知识, 形成丰富的数学知识组块。

例1:求tan6°·tan42°·tan66°·tan78°的值。

分析:求三角函数组成关系式的值, 通常化切为弦, 用积化和差方法分别求分子与分母值。按这一种思路, 过程较繁, 如果解题者知道下列关系: (1) 4sin (60°-α) ·sinα·sin (60°+α) =sin3α; (2) 4cos (60°-α) ·cosα·cos (60°+α) =cos3α; (3) tan (60°-α) ·tanα·tan (60°+α) =tan3α。则可把 (3) 作为一个知识组块, 直觉启发我们用补形组块方法计算原题, 方向明确, 直接用逻辑运算求得值是1。

3.2 强调数形结合思想, 拓展几何思维。

例2:已知m、n是正整数, 且1≤m (1+n) m

分析:原不等式等价于。受不等式结构启发, 构造函数y=lg (1+x) , 如图1:

在图形上任取两点A (m, lg (1+m) ) 、B (n, lg (1+n) ) , 显然KOA>KOB。

3.3 引导大胆猜想, 养成善于猜想习惯。

例3:确定所有满足p (x2+1) =[P (x) ]2+1及p (0) =0的多项式p (x) .

分析:这个问题若盲目猜测, 不知要走多少弯路, 但按运算经验, 多项式次数越高项数越多, p (x2+1) 与[P (x) ]2+1的对应项系数差别就越大。要使两者相等就必须降低次数减少项数。猜想p (x) =x, 这个假设是一种简单直觉, 在脑海中迅速闪现, 指明解题方向。首先检查一些x的特殊值情况。p (1) =p (02+1) =[p (0) ]2+1=1;p (2) =p (12+1) =[p (1) ]2+1=1+1=2;p (5) =p (22+1) =[p (2) ]2+1=22+1=5.

在x的特殊值1, 2, 5, 显然有p (x) =x成立。用数学归纳法可以证明, 这是正确的。 (令x0=0, xn=x2n-1+1, (n>0) , 知p (xn) =xn)

3.4 重视整体分析, 引导块状思维 (例题省略) 。

总之, 正如德国数学家彭加勒所说:“逻辑是证明的工具, 直觉是发明的工具。”在教学中, 要让学生牢固掌握和应用数学基础知识和基本方法, 形成丰富的数学知识组块, 具有强烈的创造意识, 就得加强数学直觉思维的引导和训练, 营造可发展的良好外部环境, 使学生通过主体积极的活动, 形成一种创造能力。

参考文献

[1]何小亚著.数学学与教的心理学[M].广州:华南理工大学出版社, 2003.

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