次方程组

2024-09-22

次方程组（共10篇）

次方程组篇1

一引言

微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数 (或微分) 的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的, 但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。

常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标, 不过求出解的情况不多, 在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。

常微分方程在很多领域内有着重要的作用, 如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机、导弹飞行的稳定的研究、化学方程过程的稳定性的研究等等, 这些问题都可以化为求微分方程的解, 或者化为研究解的性质的问题。

二一阶二次微分方程在极坐标下的解法

N (x, y) , P (x, y) , M (x, y) 是定义在区域D⊂R2上的连续函数。这类方程在理论上的研究和应用中都具有重要的地位。

求解:众所周知, 有一类曲线在极坐标中的表达式十分简单, 因此, 曲线在极坐标中所满足的微分方程也应该是简单的。基于这类思想, 利用极坐标的变换。将方程 (1) 变换为极坐标中微分方程中进行了研究。为此, 将一阶二次微分方程 (1) 等价的方程记为:

引理1.1[1]在极坐标变换T:x=rcosθ, y=rsinθ下, 方程 (2) 变换为 (3) 式:

定理1.3[1]:方程 (2) 在极坐标变换T:x=rcosθ, y=rsinθ下。

三一阶三次微分方程在极坐标下的解法

在极坐标定理下的求解定理, 其中N (x, y) , P (x, y) , Q (x, y) , M (x, y) 是定义在区域D⊂R2上的连续函数。

求解:众所周知, 有一类曲线在极坐标中的表达式十分简单, 因此, 曲线在极坐标中所满足的微分方程也应是简单的, 基于这一思想, 利用极坐标变换, 将方程 (7) 变换为极坐标中的微分方程进行研究, 可将一阶三次微分方程 (7) 记为等价方程:

为简便起见, 把N (x, y) , P (x, y) , Q (x, y) , M (x, y) 分别简记为N, P, Q, M。

引理2.1:在极坐标变换T:x=rcost, y=rsint下, 方程 (7) 变换为 (9) 式:N1 (r, t) (dr) 3+P1 (r, t) (dr) 2

则方程式 (8) 在变换T:x=rcost, y=rsint下, 可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+M1 (r, t) (dt) 3=0, 这里N1 (r, t) , M1 (r, t) 由 (10) 、 (13) 式给出。

定理2.3[2]方程式 (8) 在极坐标变化T:x=rcost, y=rsint下:第一, 若P, Q, M, N满足条件P=- (2Ny3-Mx3) / (x2y) , Q= (Ny3-2Mx3) / (x2y) , 则 (8) 式可以变换为方程[Q1 (r, t) (dr) +M1 (r, t) (dt) ] (dt) 2=0。第二, 若P, Q, M, N满足条件P=[Ny (y2-3x2) -2Mx3]/[x (x2-y2) ], Q=[2Ny3-Mx (x2-3y2) ]/[y (x2-y2) ], 则 (8) 式可以变换为方程P1= (r, t) (dr) 2 (dt) +M1 (r, t) (dt) 3=0;第三, 若P, Q, M, N满足条件P=-[Mxy+N (x2-y2) ]/ (xy) , Q=-[Nxy+M (x2-y2) ]/ (xy) , 则 (8) 式可以变换为方程P1 (r, t) (dr) 2 (dt) +Q1 (r, t) (dr) (dt) 2=0。第四, 若P, Q, M, N满足条件P=[Nx (x2-3y2) -2My3]/[y (x2-y2) ], Q=[My (3x2-y2) -2Nx2]/[y (x2-y2) ], 则 (8) 式可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+Q1 (r, t) (dr) (dt) 2=0。第五, 若P, Q, M满足条件P= (My3+2Nx3/ (x2y) , Q= (2My3+Nx3/ (x2y) , 则 (8) 式可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+P1 (r, t) (dr) 2 (dt) =0。

四一类一阶高次微分方程的解法

定义[4]:把形如方程P0 (y') n+P1 (y') n-1y+…+Pn-1y'y n-1+Pny n=0 (15) 称为一阶常系数高次微分方程, 其中各项系数P0, …, Pn均为常数, 方程 (15) 各项中y及y'的次数和为n。

求解:引理3.1:如果函数y1 (x) 是微分方程 (15) 式的解, 则y=cy1 (x) (c为任意常数) 是方程 (15) 式的通解。下面介绍微分方程 (15) 式的解法。

易知微分方程 (15) 式有解y=eλx (λ为待定常数) 。将其代入, 可得代数方程:

可见, 只要λ满足代数方程 (16) , 函数y=eλx就是微分方程 (15) 式的解, 由引理即得方程 (15) 式的通解y=ceλx。

我们称方程 (16) 式为微分方程 (15) 式的特征方程。现只要求出特征方程 (16) 式的特征根, 即可得出微分方程 (15) 式的解。

讨论如下[4]:

由引理可得, 微分方程 (15) 式在实数范围内的n个独立的通解。

第二, 若特征方程 (16) 式的特征根中含有重根, 设λ为特征方程 (16) 式的n重实根, 这时只给出微分方程 (15) 式的一个通解:y=ceλx (c为任意实数) 。

第三, 若特征方程 (16) 式的特征根中含有一对共轭的复根λ=α±βi时, 则方程 (15) 式在实数范围内通解中不含复数解, 但为复数范围内通解中含有两个共轭的复数解:y1=eαx (cosβx+isinβx) , y2=eαx (cosβx-isinβx) , 故微分方程 (15) 式在复数范围内有两个独立的通解:y1=ceαx (cosβx-isinβx) , y2=ceαx (cosβx-isinβx) (c为任意常数) 。

五总结

一阶高次微分方程的解法有很多, 在这里我们给出两种求一阶高次微分方程的方法, 针对不同的方程可以应用不同的方法, 这样解这类方程更为简便些, 也能进一步对高阶微分方程有所认识。

我们在开始给出了求一阶二次微分方程和一阶三次微分方程在极坐标下的求解方法, 通过给出它们的定义、求解方法以及对例题的分析, 能对一阶高次微分方程进行拓展和研究, 通过特殊的求解方法后, 我们又给出求一阶高次微分方程的一般方法, 这样能使一阶高次微分方程的解法通俗易懂。

参考文献

[1]刘许成.一阶二次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].赣南师范学院学报, 2002 (6) :11~12

[2]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].安阳师范学院学报, 2003 (3) :6~8

[3]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换下的求解定理及应用[J].阜阳师范学院学报 (自然科学报) , 2002 (4) :54~56

[4]王高雄、周之铭、朱思铭等.常微分方程 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1984:51~56

[5]东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2001:56~66

次方程组篇2

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法

讨论探索法.教具准备

投影片二张

第一张:(记作§2.8.1A)

第二张:(记作§2.8.1B)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课

一、例题讲解

投影片:(§2.8.1A)

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么

(1)h与t的关系式是什么?

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?

[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0，当v0=40,h0=0时，h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:

-5t2+40t=0，即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议

投影片:(§2.8.1B)

二次函数①y=x2+2x, ②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;

二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想

在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?

[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有

-5t2+40t=60，t2-8t+12=0，∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习

随堂练习(P67)

Ⅳ.课时小结

本节课学了如下内容:

1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业

习题2.9

板书设计

§2.8.1二次函数与一元二次方程(一)

一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)

2.议一议(投影片§2.8.1B)

3.想一想

二、课堂练习

随堂练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

思考、探索、交流

把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?

解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则

二次函数与一元二次方程新题赏析篇3

例1(江西)已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为.

分析：由于本题中的一元二次方程中含有待定字母，所以不能直接求出方程的解.方法之一是在二次函数的图象上找出一个点的坐标代入求出二次函数的解析式，再解方程.这种方法较繁.我们可以看出本题中一元二次方程的解实质是二次函数与x轴交点的横坐标.由此我们只需求出这两个交点坐标即可.

解：由图象知，y=-x2+2x+m与x轴一个交点的坐标为（3，0），且对称轴为x=1，由二次函数图象的对称性知，另一个交点为（-1，0）.∴一元二次方程-x2+2x

+m=0的解为： x1=3，x2= -1.

二次曲线的切点弦方程的探究篇4

问题: 已知圆O的方程x2+y2= r2,T x0(,y )0为圆上一点,求以T x0(,y )0为切点的切线方程.

上述问题可通过连接圆心O和切点T求斜率kOT,进而计算l的斜率,代入直线方程点斜式后,即得

这里我们对结果的工整性很感兴趣,引起我们对“直接写切线方程”的猜想: 从圆的方程x2+ y2= r2入手改写x2,y2,即x2→x·x→x0·x,y2→y·y→y0·y,常数与对应系数保持不变,结果令人兴奋,屡屡成功.

二、问题探究

探究一上式( 1) 成立的条件是已知切点T (x0,y )0)在圆上,如果点T在圆外呢? 或者说: T (x0,y0)在圆外,仍按上述改写的方法“造出”的直线方程,此直线还是圆的切线吗? 若不是切线会是什么呢?

如图,点T (x0,y 0)在圆O: x2+y2= r2外,我们来作下列推理:

过T点作直线TT1和TT2均与圆相切,连接T1,T2,得弦T1T2,此弦就是切点弦.

切点为T1( x1,y1) ,T2( x2,y2) ,则切线TT1和TT2对应的切线方程可分别表示为:

上式的含义显然是: 存在一条直线l: x0x + y0y = r2,该直线同时经过切点T1( x1,y1) 和T2( x2,y2) ,而过两点有且仅有一条直线,所以直线l:x0x + y0y = r2就是过T1、T2的直线.即

上式( 2) 表示的就是切点弦所在直线的方程,表明“造切点弦方程”的方法和“造切线方程”的方法一样.

这让人惊奇: 切点弦直线方程怎么会和切线方程形式和方法如此一致呢?

仔细一想,这也不足为奇,切点弦的方程“构造”具有一般性,而切线是切点弦的特殊情形,当圆外一点T (x0,y0)被慢慢地“推”到圆周上时,切点弦直线就自然成了切线,即切线是切点弦的极限情况.

探究二受到探究一的启发,如果我们把赏析的目光放到一般的二次曲线上又能得到什么结论呢?

二次曲线方程的一般形式为:

我们来探求“给定二次曲线上的任一点T (,x0，y 0),求以T( x0，y 0)为切点的二次曲线的切线方程的一般形式”及“给定二次曲线外的一点T (x0,y0),由该点向二次曲线作切线( 切线存在的情况下) ,两个切点连线( 切点弦) 的直线方程的一般形式”.

对于第一个问题,我们用导数方法来推导曲线的切线方程.

首先对Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0两边关于x求导,得

则以点T (x0,y 0)为切点的切线的斜率 ,代入直线点斜式,得切线的方程: ,化简整理得以点T(x0,y 0)为切点的切线方程的一般形式为:

从上式( 3) 的结构中“挖出”造切线方程的方法:

各项系数与常数项不变.

使用以上方法可以很轻松求出二次曲线上给定切点的切线方程.

如: A( 1,2) 在y2= 4x上,则以A点为切点的切线方程为 ,即整理,得x -y +1 =0.

仿照求圆的切点弦方程的方法,可以证明: 若T (x0,y0)为二次曲线外的一点,过T点作直线TT1和TT2均与二次曲线相切( 切线存在的情况下) ,连接T1,T2,得弦T1T2,此弦就是切点弦. 此切点弦所在的直线方程一般形式为:

次方程组篇5

【教学目标】知识与技能：

理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。过程与方法：

逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。情感、态度与价值观：

培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。【教学重点】：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。【教学难点】：函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。【教学准备】：多媒体课件、作图工具【教学方法】：提问法，练习法，总结法【教学过程】

一、师生互动、课堂探究

1．[探究]（1）教材P43问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：

球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？球从飞出到落地需要多少时间？学生交流各自愿求解方法与结论。

[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；

1、函数y=ax2+bx+c，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。以上关系，反过来也成立。

[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？

利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 [议一议]观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2 =1.方程x2-6x+9=0的根是x1= x2=3。方程x2-x+1=0无实数根。[归纳] 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

三、课堂练习：

根据本节课的内容选4个题进行检测，检查学生掌握的程度。针对存在的问题小组进行评讲，老师总结评价。

四、课时小结：

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

五、布置作业：课本P47习题22.2第1、2题

一元二次方程与一元二次函数篇6

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先,从其形式上来看:

一元二次函数y = ax2+ bx + c(a≠0)与一元二次方程0 =ax2+ bx + c(a≠0)(其中a,b,c为常数 ):

1它们都是关于x的二次式,从上面我们可以看出,y =0时 ,便是一个一元二次方程. 所以 ,我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程.

2 条件上,都是在保证 a ≠ 0 的情况下,去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果 a = 0 时,再谈便无意义.

3 从其表达式上可知道, 无论是一元二次函数 y 的值,还是一元二次方程的解 x 应该都与系数 a,b,c 有关.

其次,我们还可以从其内涵上来看:

1一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值,即方程的根. 实质是用a,b,c来表示, 如将x反代入表达式,则ax2+ bx + c值为0.

2一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况 ,反应的是y的变化规律. 当x变化时 ,y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时,求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1,x2. 而此时的x1,x2正是一元二次函数y = ax2+ bx + c与x轴的交点.

最后,我们知道,无论是一元二次函数还是一元二次方程, 其交点或根都与系数a,b,c有关. 有交点就说明方程ax2+ bx + c = 0有根. 那么 ,是不是所有的一元二次方程ax2 +bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢? 又是不是只要一元二次方程ax2+ bx + c =0有根 ,一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢 ?

通过学习我们知道,并不是所有的一元二次方程都有实数根, 也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样,那怎样的一元二次方程才有实数根,又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢? 上面已经说过,无论是方程的根,还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以 ,现在我们应该考虑 ,能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根,有几个根;有交点,又有几个交点;满足有根或有交点时,系数之间是否呈现一定的关系和规律呢?

综上,我们可以看到,无论a∈(-∞,+∞),且a≠0时,1当b2 - 4ac > 0时, 一元二次函数与x轴有两个不同的交点,且相应方程有两个不同的实数根;2当b2- 4ac = 0时 ,一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根(即x1= x2);3当b2- 4ac < 0时 ,一元二次函数与x轴无交点, 对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征: 就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2- 4ac与0的比较 . 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2- 4ac有关 , 并把它作为判断有无交点和有无根的依据,所以叫它为判别式,记为△[2].(注:它只是一个记号.)

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4如图-2,以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时,球的路线将是一条抛物线, 如果不计空气阻力,球的飞行高度(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h = 20t - 5t2.

(1)球飞行高度能否达到15 m? 20 m呢 ? 20.5 m呢 ?

(2) 若能 ,需多长时间呢 ?

解 h = 20t - 5t2 = -5(t - 2)2 + 20

当t = 2s时h = 20 m, 是球飞行的最大高度.15 < 20 <20.5,即球不能达到20.5 m;能达到15 m,当h = 15,则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2= 15、20或20.5时 ,t是否存在实数解,但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论,这是很烦琐的. 如按以上的解法,就是充分运用了函数的性质,进而将问题简单化、明了化.

基于套利方程对于次贷危机的解析篇7

对金融危机最普遍的官方解释是次贷问题, 然而笔者认为导致金融危机的直接原因是对于由放贷机构和投资机构所签订的信用违约掉期 (CDS) 的投资过度集中。美国放贷机构为分担次级贷款的风险, 会与其它投资机构签订保险合同, 即CDS。而第一级签订CDS合同的投资公司为了能够实现资金的快速回笼又会将“原始股”级CDS挂牌放到市场上出售。投资者的信心野蛮生长, 虚拟资本积聚扩张。当房价涨到一定的程度而不再上升, 后面又无人接盘时, CDS中本是极小概率的违约事件却发生了, 而与之相伴的则是无法遏制的多米诺骨牌效应把各级投资商迅速推到濒临倒闭的境况, 次贷危机就此发生。那么, 投机行为促使泡沫形成的机理是怎样的呢?人们在投资时往往以自己的预期做决定。但问题是人们在做出预期时, 市场是否充分有效?如果是的话, 我们便可以从套利方程出发, 以风险投资过程中的CDS为主要影响因素, 对次贷危机的形成做以下方面的讨论。假设在次贷危机未发生的前期市场中存在有风险投资—CDS保险, 和无风险的资产两种。先令Pt为CDS市值, dt为CDS股息, r为无风险资产的收益利率, 并假定Pt, dt, r不随时间变化。如果风险中性的个人在CDS和无风险资产之间套利, 并令a=1+r, 就有:Pt=E (Pt+1/It) /a+dt/a, 此时, 只要利率为正, 就有a<1。我们把这个套利方程变形为更一般的数学表达式, 并进行重复迭代, 则有:

若CDS股息增长慢于利率, 便有无风险资产增值快于CDS保险价格上升的结果, 则发生当T→∞时, a T+1趋于无穷小的速度大于E (yt+t+1/It) 趋于无穷大的速度, 则 (1) 式前半部分为零。如果CDS保险是没有期限约束的资产, 具有永久保留性, 则我们可以对 (1) 式取极限, 得到:

它表示y是x未来预期的贴现和, 以股票形式存在的CDS保险价格是预期未来股息的贴现现值。这种情况下不存在泡沫, 但这只是 (1) 式的一个基础解系。通过数学推导 (1) 式的完全解系并对非基础解系部分取极限得出:

这个结果表明, 如果bt是时间趋势, 虽然CDS保险的每股利息为常数, 但是CDS市值将以指数级倍率增长, 导致资产收益足以抵消股息。后果是, 投资者将不断支付比CDS保险现值更高的价格, 表现在最表象层面为楼盘价格进一步升值, 泡沫将不断胀大。我们不难由此得出以下结论:若想使 (3) 式成立, 即不产生泡沫经济的必要条件是:第一, 以股票形式存在的投资利息慢于利率;第二, 持有期限为无限。但是, 首先, 经验表明投机市场的波动性要大于利率的波动, 而且投资股息增长速度快于利率增长速度的情况会不断发生;其次, CDS并不会被永久保留, 因此在实际生活中, 期限不可能为无限。这样看来, 泡沫在现实生活中出现的合理性就是不可避免的。

二、监控措施

通过前文套利方程对于CDS在次贷危机及产生泼墨经济中的分析, 我们不难发现如何控制投资过热是能否发现并应对次贷危机乃至金融危机的关键。相对比来说, 金融贸易自由度较高的国家则更容易出现投资过热而政府干预不足的情况。放松金融管制, 特别是金融业间的自由化, 是各国产生泡沫经济的一个重要原因。因此在经济繁荣的初期阶段, 辨别这一繁荣是否健全、真实便成为能否摘除泡沫经济的萌芽的关键问题。但实际上如果判断失误就又可能把本属正常的景气扼杀于摇篮中。对于这个问题, 我们应从如下几个方面加以平衡:1.积极主张市场透明、信息公开、会计标准化、自己责任原则。2.关于不动产金融, 作为融资担保的土地担保价值, 应比时价低估50%~60%, 采取“担保系数”规制, 并严格规范土体评估。3.关于证券金融, 应将自由资本比率同股价上涨率相联系, 采取累进方式。4.有关土地买卖、股票买卖的收益税制, 要以不诱发泡沫投机为原则, 在税收政策上加以规范。

三、前景展望

在由CDS导致美国次贷危机继而引发的全球性金融风暴的环境下, 中国经济正面临着国际国内的更多挑战。要做到独善其身固然是困难的, 但我们更应从不利的金融环境中汲取教训, 总结经验。只有这样, 我们才能够变被动为主动, 努力去应对风险并致力于建立一个更加复杂的中国特色环境下的资本市场。

摘要：本文从次贷危机所引发的全球金融危机这一经济现象出发, 利用套利方程对次贷危机的成因给出合理性解释, 并总结出形成经济危机更普遍意义上的前期条件, 对如何应对金融危机给出宏观层面上的建议。

关键词：次贷危机,CDS,泡沫经济,套利方程,金融危机

参考文献

[1]三木谷良一:日本泡沫经济的产生、崩溃与金融改革[J].金融研究, 1998 (, 6) :1

[2]陈江生:“泡沫经济”形成的的原因分析[J].世界经济, 1996, (3) :6～7

[3]风险与投资-达沃斯论坛的热门话题[EB/OL].新华网.2008-9-26

次方程组篇8

一、分解法

它适用于一边可以分解，另一边为常数的不定方程，如果常数非零，则将其作质因数分解。

解：原方程左边分解因式，得

从而x-2 y=0， (1)

二、奇偶分析法

利用整数的奇偶性质求解。

例2.若正整数x, y满足x2+y2=1997，则x+y=＿＿＿＿＿。

解：因1 9 9 7是奇数，故x、y奇偶性不同。不妨设x为奇数，y为偶数，因为x 2+y 2的个位数字是7，因此x 2, y 2的个位数字必是1, 6;x、y的个位数字必是1, 4或1, 6或9, 4或9, 6，又1 9 9 7≡1 (m o d 4），则x、y除以4的余数必为1, 0，由x 2<1 9 9 7知x<4 5，因此x的可能值为1, 9, 2 1, 2 9, 4 1，经检验，仅当x=2 9时，有y=3 4，使2 9 2+3 4 2=1 9 9 7，故x+y=29+34=63。

三、配方法

将方程巧妙地变形与组合，配方后再开方或由非负数性质求解的方法。

四、判别式法

对于二次不定方程，也可以把它视作关于某一未知数的一元二次方程，因为该未知数的值为整数，所以要求判别式的值是完全平方数，针对这一情况，可以对其判别式的值进行分析。

例4.设a与b为任意给定的整数，试证明方程x2+10ax+5b+3=0和x2+10ax+5b-3=0都没有整数根。

五、利用韦达定理的方法

例5.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分方法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人？

将方程看成关于n的二次方程，它的两根为n1、n2，则由韦达定理得，n1-n2=-14, n1+n2=- (3-2k) , 因人数是正整数，3-2 k为整数，所以人数只能是1, 2, 7, 1 4，又因为人数是奇数，所以n=1或7，但当n=1时k<0矛盾，所以n=7，这时n+2=9，即共有9人参赛。

六、求根法

例6.k是哪些整数时，二次方程

(k2-1) x2-6 (3k-1) x+72=0的两个根都是正整数？

解：解二次方程（k 2-1) x 2-6 (3 k-1) x+7 2=0，得

七、分离整数法

此法适用于用分式形式表示整数的情况。

例7.求方程2x+y=2xy的正整数解。

解:原方程化为

因为x、y均为正整数，所以2 x-1是1的正约数，由此，得到2 x-1=1，即x=1，从而，原不定方程的正整数解为x=1, y=2。

八、余数分析法

对不定方程的两边作关于某一整数的余数分析，以此来求解方程，此法常适用于当方程一边为常数，另一边不能分解时。

定理：若a、b是两个整数，且b≠0，则可唯一确定整数q、r，使得a=q b+r (o≤r<|b|）

例8.试证：当n=2891时，方程x3-3xy2+y3=n无整数解。

证：假设有整数x, y，使得

因为3xy2≡0 (mod3) , 2891≡2 (mod3) 。

所以x3+y3≡2 (mod3) ,

若x=3 k, 则y=3 t+2，将它们代入（1)

得（3k) 3-3 (3k) (3t+2) 2+ (3t+2) 3=2891 (3)

但（3）式左边≡8 (m o d 9) ，右边≡2 (m o d 9），矛盾。

同理，若x=3 k+1, x=3 k+2都会导致矛盾，故方程（1）无整数解。

摘要：了解解二次 (或高次) 不定方程的基本方法与技巧, 不但可以提高学生的解题能力, 培养思维的灵活性, 对于指导学生参加中学数学竞赛也有很重要的现实意义。常用的探讨二次 (或高次) 不定方程有无整数解的初等解法有分解法、奇偶分析法、配方法、判别式法等方法。

一元二次方程在二次函数中的应用篇9

一、一元二次方程的建立及其在二次函数中的应用

1. 在二次函数中建立一元二次方程的常见类型

通过建立一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一.常见类型有:建立一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点问题;建立一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其他函数的交点问题;建立一元二次方程解决其他与二次函数相关的问题等等.

2. 一元二次方程的建立在二次函数中的应用

通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的建立及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具.

例1如图1,抛物线交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为.求A、B两点坐标.

略解:由,可求.故由一元二次方程易求B(-4,0),A(1,0).

例2当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.D为线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.

问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.

略解:抛物线的解析式为y=x2-4x+3,令y=0即x2-4x+3=0,得点A(3,0)、B(1,0),线段AC的中点为D,直线AC的解析式为y=-x+3,因为△OAC是等腰直角三角形,所以要使△DEF与△O△C相似,△DEF也必须是等腰直角三角形,又由EF∥OC,因此∠DEF=45°,所以△DEF中只可能以点D、F为直角的顶点.(1)当F为直角的顶点时,EF⊥DF,这时△DEF～△ACO,DF所在直线为,由x2-4x+3=,解得(舍去),易求点.(2)当D为直角的顶点时,AC⊥DF,这时△DEF～△OAC,D为线段AC中点,DF所在直线为y=x,由x2-4x+3=x,解得(舍去),易求点.故点E的坐标为:

注:本题通过多次建立一元二次方程以达到解题的目的.

二、一元二次方程根的判别式与二次函数的关系及其二次函数中的应用

1. 一元二次方程根的判别式与二次函数的关系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②△=0时,方程有两个相等的实数根;③当△<0时,方程无实根.由函数图象可知,抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式有如下关系:①△>0时,抛物线与x轴有两个交点;②当△=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③当△<0时,抛物线与x轴无交点.

2. 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

(1)利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴相交相关的问题

例3已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求证:不论m为何值时,抛物线与x轴一定有两个交点,且其中一交点为(-2,0).

略证:因为△=m4+16m2+64=(m2+8)2>0,所以抛物线与x轴一定有两个交点,又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6,x2=-2.因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2,0).

例4已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,求m的取值范围.

略解:由抛物线y=-(m+1):x2+(m-5)x+6可知,m≠-1.由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,三列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,△>0即36+32(m+1)>0,所以,所以且m≠-1.

(2)利用根的判别式求二次函数的解析式

例5已知:y、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求抛物线的解析式.

解:因为-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根.

所以△>0,所以p<2,又由p为正整数,所以p=1.

因为m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,所以m、n是x2-2x-1=0的两根,所以mn=-1,m2+n2=6.

因为抛物线y=(m2+n2-3) x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,q为正整数,所以q=4.易求抛物线为:y=3x2-6x+2.

三、一元二次方程根与系数关系及其在二次函数中的应用

1. 一元二次方程根与系数关系及其与二次函数的内在联系(利用一元二次方程的根求二次函数的解析式)

如果方程的两根是x1、x2,那么,易知两根为x1、x2的一元二次方程可化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0,也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)可化为a[x2-(x1+x2)x=x1x2)]0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0.根据这一点,当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时,就不必分别将此两点代人入般式,再与第三点坐标代入一般式联立方程组去求a、b、c,只须令其解析式为:y=a(x-x1)(x-x2),再将第三坐标代入中去求a.这样求解二次函数的解O式就显得简洁方便.

2. 一元二次方程根与系数关系的应用

(1)利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图象与x轴的交点位置相关的问题

例6函数y=ax2+bx+c,若a>0,b<0,c<0,则这个函数与x轴的交点情况是()

(A)没有交点

(B)有两个且都在x轴的正半轴

(C)有两个且都在x轴的负半轴

(D)有两个,一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴

分析:(1)△=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x1+x2=易得x1、x1异号两数,即一个大于0、而另一个小于0,因而二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两交点,一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴.故选(D).

(2)求二次函数的解析式

例7已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(6,0)、(-2,0),顶点的纵坐标为求这个二次函数的解析式·

略解:令该二次函数的解析式为:y=a(x-6)(x+2),由顶点的纵坐标为,易求,所以可求出该二次函数的解析式.

次方程组篇10

众所周知, 对于实系数的一元高次代数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, 其中a0≠0, ai∈R (i=0, 1, 2, …, n) , 当n≥3时, 方程无一般的求根公式.数值分析[1]上著名的秦九韶算法、Newton法、劈因子法在处理这类问题时, 总存在着具有尝试性、近似性和运算复杂等不足, 并且无法求出方程的全部根, 计算效果往往难以令人满意.因此, 如何直接求得方程在复数域C上的全部根, 无论在理论分析上还是数值计算上, 至今是一个棘手的问题.这类问题在工程技术特别是控制理论[2]学科中有重要的应用.

本文以矩阵为工具, 将上述一元高次代数方程求根问题转化成求矩阵

$(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & b_{n - 2} & \dots & b_{2} & b_{1} \end{matrix})$

的全部特征值问题, 既然矩阵特征值的计算已经有许多成熟的方法[3]可行, 因此这种转化为数值求解一元高次代数方程起到了桥梁的作用, 同时也间接的为一元多项式进行因式分解提供了一种方法.

2 预备知识

引理1 行列式

$| \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} |$

的值等于一个关于x的多项式

g (x) =xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn.

证明令

$D_{n} = | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} |$

将其按第1列展开计算

$\begin{array}{l} D_{n} = x | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n - 1} & b_{n - 2} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} | \\ + (- 1)^{n + 1} b_{n} (- 1)^{n - 1} \\ = x D_{n - 1} + b_{n} . \\ D_{1} = x + b_{1} ‚ \\ D_{2} = x D_{1} + b_{2} = x^{2} + b_{1} x + b_{2} ‚ \end{array}$

依此类推, 得

Dn=xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn=g (x) .

下面给出著名的代数学基本定理:

引理2[4] 一元n次实系数多项式

f (x) =a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

在复数域C上至多有n个根.

3 问题的转化

首先, 将f (x) 转化成首项系数取1的多项式

g (x) =a $_{0}^{- 1}$ f (x) =xn+b1xn-1+…

+bn-1x+bn,

其中 $b_{i} = \frac{a_{i}}{a_{0}} (i = 1 ‚ 2 ‚ \dots ‚ n) .$

显然, g (x) 与f (x) 在复数域C上同根.

其次, 利用引理1, 将g (x) 用行列式表示

$g (x) = | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} | .$

再次, 由n阶矩阵A特征多项式的表达式

g (x) =|xIn-A|.

通过比较唯一确定

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ - b_{n} & - b_{n - 1} & - b_{n - 2} & \dots & - b_{2} & - b_{1} \end{matrix}) .$

既然矩阵A的特征多项式为g (x) , 那么A的特征值就是多项式g (x) 的根.

最后, 利用经典的方法求出矩阵A的全体特征值, 即可得到原多项式f (x) 在复数域C上全部根.

4 例子

例1 求方程f (x) =2x5+3x4-15x3-26x2-27x-9=0在复数域C中的解集.

解f (x) 与 $g (x) = x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} - \frac{15}{2} x^{3} - 13 x^{2} - \frac{27}{2} x - \frac{9}{2}$ 同根, 根据本文的方法g (x) 正是矩阵

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{9}{2} & \frac{27}{2} & 13 & \frac{15}{2} & - \frac{3}{2} \end{matrix})$

的特征多项式.利用Matlab[5]计算知矩阵A的全体特征值如下:

$\begin{array}{l} x_{1} = 3 ‚ x_{2} = - 3 ‚ x_{3} = - \frac{1}{2} ‚ \\ x_{4} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} ‚ x_{5} = \frac{1 - \sqrt{3} i}{2} . \end{array}$