思维品质与思想品质（共12篇）
思维品质与思想品质 篇1
“知识的掌握也许只能受益一时,而思想的形成、方法的掌握却将受益终身”,这句话耐人寻味,这就要求我们在学习过程中更好地把数学知识的理解、方法的掌握、思想的形成融为一体.而在这之中累积数学思想方法、提升思维品质显得尤为关键.
一、分类讨论
分类讨论思想是对事物分情况加以讨论,实质是将整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,相当于增加了题设条件.
例1 (1)等腰三角形的一个角是30°, 求它的另外两个角的度数.
(2)等腰三角形的两边为4厘米和7厘米,求它的周长.
【分析】(1)已知条件中的一角可以分为顶角或是底角两种情况;(2)条件中的两边一定有一边是腰,一边是底,那到底哪边是腰,题目中没有说明,所以都有可能,分成两种情况讨论.
解:(1)当30°是顶角时,另两角分别为75°、75°;当30°是底角时,另两角分别为30°、120°.
(2)当腰是4厘米时,则底是7厘米, 三边分别为4、4、7,此时能形成三角形,周长为15厘米;当底是4厘米时,则腰是7厘米,三边分别为4、7、7,此时能形成三角形,周长为18厘米.
【点评】因为等腰三角形的三个角有顶角、底角之分,三条边有底边、腰之分,所以在求解等腰三角形边角问题时常需分类讨论.
二、方程思想方法
许多几何问题从表面上看与方程没有多少直接联系,但是如果认真分析问题的数量关系,通过建立方程,就可以得到问题的解.
例2如图1,△ABC中, AB=AC,点D在AC上,且BD= BC=AD,求∠A的度数.
【分析】在这个题目中, 一个角的度数都不知道,那怎样才能把边的已知条件转化为角呢?通过等边对等角, 就可以知道很多角有相等关系,得到了角的关系后,利用三角形内角和180°的隐含条件构造方程,从而求出答案.
【点评】本题利用边角之间的转化、外角、内角和把图中的角联系起来,在三角形中,要解决角度有关的问题时,我们常常构造方程.
三、整体思想
在解与三角形有关的题目时,有些问题直接求解,比较繁琐,甚至无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,迅速获解.
例3如图2,在△ABC中,∠BAC=110°, DE、FG分别垂直平分AB、AC,垂足分别为E、G,求∠DAF的度数.
【分析】若能求出∠BAD、∠CAF的度数,则∠DAF的度数立即可求得;由已知条件,无法直接得到它们的度数,但可以求得∠B+∠C=70°,再利用垂直平分线、等边对等角可得∠BAD+∠CAF的度数,这样∠DAF的度数就可求出.
【点评】当题目中无法求出每个角的度数时,我们往往采用“整体”来转化要解决的问题,在运用整体思想解决问题时要注意等价性.
四、轴对称变换思想
轴对称变换是我们认识的一种基本变换,通过轴对称变换改变图形的位置,却不改变图形的形状和大小,从轴对称变换的角度去思考问题,有助于我们对几何图形的动态分析,从而更好地理解图形的全等, 进而理解线段、角之间的关系.
例4 (1)如图1,在直线MN上作一点P,使它到直线MN同侧的两点A、B的距离之和最短.
(2)图2,∠AOB=30°,P是∠AOB内一点,PO=10,M、N分别是OA、OB上的动点,求△PMN周长的最小值.
【分析】轴对称变换在路径最短问题上经常运用,要解决题(1),作点A关于MN的对称点A′,连接A′B交MN于点P,则PA+PB=A′B的值最小;题(2)中利用两次轴对称变换,作出P关于OA的对称点P′,P关于OB的对称点P″,将PM+PN+MN转化为P′M+P″N+MN,即三条线段在一直线上时最短;再利用轴对称的特性,得等边△P′OP″,从而求解.
解:(1)
即点P就是所求作的点.
(2)
【点评】利用轴对称变换解决数学问题中的路径最短问题,是通过轴对称变换将不在同一直线上的不同线段,巧妙构造到同一直线上,利用“两点之间线段最短”求解.
思维品质与思想品质 篇2
(浙江省台州中学 徐世德)
历史思维能力的内涵涉及三个层次的问题：是什么?为什么?还有什么?第一层次“是什么?”要求学生 “知其然”，从不知到知，具有再认再现历史知识和获取信息、处理历史材料的能力。第二层次“为什么”? 要求学生由“知其然”到“知其所以然”，包括分析、综合、归纳、比较、概括及运用辩证唯物主义和历史唯 物主义观点分析评论历史现象、阐述历史发展规律等能力。第三层次“还有什么?”则要求学生“豁然贯通” ，具有深刻性、灵活性、批判性、创造性、敏捷性等思维品质，具备对历史知识的迁移能力及应用能力。思维 品质是历史思维能力的核心，是发展学生智力的突破口。培养学生思维品质的方法很多，本文仅从历史问题设 计的角度谈点粗浅认识。
一、历史问题设计与思维深刻性的培养
思维的深刻性是指思维活动中的抽象与概括水平。在历史教学中学生思维的深刻性主要表现为：能够在对 历史知识分析的`基础上，抽象概括出其中隐含的人类社会变迁与发展的本质特征、规律和趋势;能够“以史为 鉴”、“鉴古而知今”，从而形成科学的世界观和人生观。在教学过程中，教师有针对性地设计需要学生进行 抽象和概括的思维操作的问题，能为训练和培养学生思维的深刻性创造有利条件。教学时可创设新情境，提供 一些史料，并据此向学生提出问题。设计问题时应注意：①史料要隐含历史现象的本质属性、规律。②提出的 问题要求学生进行抽象与概括的思维操作。例如，在讲授秦末农民战争时，可引导学生看教材中提供的史料： “农民把收获物的2/3交给政府”、“建宫室140多处……秦朝人口约2000万，被逼去建宫室坟墓、 修筑长城和戍守边疆地区的就在150万人以上”。引导学生从上述数据中得出结论：苛政暴政是秦末农民起 义和秦朝灭亡的根本原因，从而向学生揭示出隐含在教材中的“量变到质变”的原理，让学生把握政治、经济 变动的内在规律。其后可引出“秦始皇是中国历史上有名的暴君、罪人，对吗?”这一问题，在学生讨论的基 础上，教师要启发诱导学生看到秦始皇的功和过的两个方面，既要看到他灭六国统一中国，结束混战局面，建 立并巩固第一个统一的多民族的中央集权的封建国家的一面，说明他是一位有作为的皇帝;同时又要看到他施 行暴政，残暴专制，引起农民起义，表明他是有名的暴君。这样就将隐含在教材中的一分为二的辩证唯物主义 的观点揭示出来，引导学生在评价历史人物时要坚持两点论，要全面公正，克服片面的形而上学的观点。
二、历史问题设计与思维灵活性的培养
思维的灵活性是指思维活动中随机应变，不为习惯性思维束缚的能力。要求在遇到问题时，能根据问题的 具体条件，自觉地、灵活地变换自己思考角度和思考方向，注意采用不同的方法去寻找解决问题的线索;要善 于对历史现象或历史过程灵活地综合运用相关的知识，进行深层次的挖掘和高精度的提炼，以形成较强的迁移 能力。为培养思维的灵活性，设计问题时应注意：①设问的角度要灵活。②问题要含有多个答案或具有多种解 决方法;寻找这些答案或方法需要学生作发散性思维操作。③问题具有迁移价值。具体可设计“发散式”，“ 辐集式”，“变换式”等历史问题。
1.发散式问题。发散思维是一种从不同角度、不同方向去思考问题
思维品质与思想品质 篇3
关键词： 数学思想方法 学生 思维品质
引言
应该关注和重视在各个环节中渗透数学思想方法，在知识发生过程、解题方法探索、实际问题解决过程中渗透数学思想方法。在数学思想方法渗透过程中，逐步培养学生利用数学思维思考和解决问题，不断向小学生渗透数学思维理念，让学生融会贯通，在数学知识学习过程中挖掘自身潜力。通过研究和分析渗透数学思想方法，有效提升学生的思维品质。
一、提高数学思想渗透的自觉性
数学教师应该关注和重视数学思维渗透的重要性，提高渗透自觉性，小学阶段是学生记忆与成长的黄金时期，数学学科学习已打下坚实的基础，因此在这一阶段创造性地开展数学教育、培养数学思维，变革传统教学思想理念，对学生成长具有重要意义。实际上，教育活动的开展难以脱离先进的教育的指导，只有在科学先进教育理念的指导下，才能准确把握教育教学发展方向，探索高效数学思维培养方法，促使现代数学思维品质教育与实际教学要求相契合，通过提高学生的思维品质来带动学生整体素质的提升。在提升学生数学思想品质的过程中，优化教学环境，促进教育发展，实现学生数学学习能力的优化提升[1]。
二、通过学习数学史了解数学思想方法
数学史属于包含重要数学思想方法及数学历史概念的部分，可以让学生通过了解各类型数学概念的由来提升学生学习数学积极性，由此更好地把握数学知识的思想方法，创新是进步的灵活，创造性地开展小学课堂教学，打破传统教育教学束缚，更深入地发挥以学生为本的教学思想，以此不断推进现代教育教学良好发展。对于低年级学生来讲，数学思想方法的学习无疑是难度较大的学习部分，追根溯源不难发现枯燥的教学方式与传统的课堂教育教学难以促使学生提升学习积极性，更无法激发学生学习兴趣[2]。故此，创新数学教育教学方式，创造性地开展小学课堂教学，运用新兴教育手段进行教育，有助于提升学生的学习兴趣，不断培养学生的自主学习能力，有效提升学生思维品质[3]。
三、提升学生的数学思维，培养，兴趣
想要提升学生数学思维，培养兴趣，教师应首先树立人文理念，从学生发展着手，并在教学中注重与学生之间的沟通，在建立师生关系之前，应建立朋友关系，并深入生活实践，将数学知识学习与学生日常生活相互结合，以此增加学生对数学思维品质及数学知识的认同感。此外，在教育中还应秉承寓教于乐的教学理念与方式，将数学知识以故事方式传达给学生，教师可借助课本扩展其他知识，如学习数学知识时可将数学知识与地理、历史、数学等知识相互融合。另外，为了提升学生学习兴趣，还可在教育中改变以往课堂教学方式，尽量运用当地教育教学资源，与学生一同前往课堂之外进行教学活动，创新传统课堂灵活化的转变出来，将数学知识与生活相互结合，让学生明白数学知识来源于数学，只有学好数学知识，才能更好地运用数学知识指导生活。
四、渗透数学思想方法策略
（一）激发学生的数学思维的培养兴趣。
应该激发学生的数学学习兴趣，低年级学生已经具备一定的自主学习意识，但受到传统课堂的制约，很多时候将学生自主学习兴趣扼杀在摇篮之中，对此，为创造性地培养学生的数学学习思想方法，应该在课堂教学中关注学生的自主学习能力。教师可在数学教学中增加学生的思考时间，并转换学生传统数学学习思想。例如，讲解小学乘法口诀时，完成教学任务后，为了激发学生学习动力，可随机抽选学生到讲台上总结一下本节课自己对知识的理解，理解到什么程度即可讲解到什么程度，该种方式可在客观上督促学生学习，怕教师叫到自己无法应答而努力听讲，通过该种方式逐渐锻炼学生的自主学习能力，培养学生数学思维品质，在总结中加深学生对数学知识的理解。
（二）灵活开展课堂形式，提升数学思维品质。
课堂教学不应仅局限于教室之中，随着新课改教学理念的深入，应创造性地开展课堂教育，故此，教师可组织学生到实验室或者操场中实施课堂教学。如讲解小学五年级统计学章节时，可结合实验与学生共同探索瓶子里到底有多少粒豆子，利用学习的统计知识，师生之间共同探索这一活动实验，以此激发学生的学习兴趣，让学生在活动中增强对数学知识的认知。此外，灵活开展课堂教学，让学生主动参与到实践教学之中，不断让学生了解到数学知识就在身边，促使数学知识学习生活化，以此提升学生的学习兴趣。
结语
重视渗透数学思想方法，有效提升学生思维品质已经成为现代数学学习的关键，提升小学生思维品质，创造性地开展数学课堂教学，新课改的要求，又是现代数学发展的诉求，提升学生思维品质可结合众多教学手段，不断改变传统教学方式，灵活运用于课堂。在数学思想方法渗透过程中，需要不断增强学生的数学学习观念，形成良好的思维品质。在激发学生学习积极性过程中，全面提升数学思维品质，运用全新教学理念，以此提高数学教学效率，促进学生良好发展。
参考文献：
[1]焦兵.在数学教学中如何渗透思想方法、培养学生的思维品质[J].中国校外教育，2011，04：54.
[2]梁健莹.渗透数学思想方法有效提升反思价值——回顾与反思问题解决过程的教学案例[J].教育观察（中下旬刊），2016，02：110-111+120.
思维品质与思想品质 篇4
人教版小学数学教材贯穿整个教材的有两条主线, 一是数学基本知识和技能;二是数学思想方法。其中第一条线索是显见的教学内容, 第二条教学线索是隐含在各知识点中的, 只有通过应用数学基本知识和技能, 才能体现出来。作为一名小学数学教师, 我们必须具备数学思想的知识, 在备课时深入钻研教材, 领会教材的编写意图, 从中发掘一些重要的数学思想方法。比如, 在低年级的教学中, 通过在一些实物图的外面画圆圈, 直观地渗透了集合的意义, 可以使学生对数的概念、加减法的含义加深理解, 在以后各册教材中又以画圆圈的办法渗透集合的思想, 帮助学生弄清概念之间的关系, 明确某些实际问题的解题思路。因此, 我们要认真备课, 制作教学课件, 将与数学知识点相关的数学思想方法, 渗透到教学内容当中。教师要根据教材的特点以及学生的年龄特征研究教学方法, 创造渗透数学思想方法的条件, 设计学生易于学习的知识, 掌握方法、形成数学思想的课堂教学程序。让学生在学习新知的过程中, 不断拓展其数学思想方法。
二、在教学过程中渗透数学思想方法
新课标指出评价既要关注学生的学习结果, 也要重视学生的学习过程。关注学生知识的形成过程, 让学生在亲身经历和探究中体验数学思想方法。在数学教学中, 首先应转变教学理念, 把重视结果教学的教学理念, 转换为重视数学教学过程, 进而切实提升学生思维能力。
因此, 在数学教学中应以解决问题为教学目标, 帮助学生通过数学学习, 从而提高解决实际问题能力, 这也是发展学生数学思维能力的意义所在。教师在教学实践中, 不断培养学生探索和归纳能力, 以及分析和综合能力的应用, 将教学核心点定位在教会学生推理和思考上面。
在促进学生思维发展过程中, 让学生在掌握数学基础知识的基础上, 探索并发现数学思维过程, 启发学生理解知识是如何发生的, 以及如何发展的过程, 同时将学生学习时的心理活动等统一起来, 并将其融入训练学生思维方法的教学中, 这也是数学课堂教学的核心内容。该教学方法既顺应了素质教育要求, 也符合了知识形成和发展的规律, 及人类对知识认知的过程, 也是当前数学教学实质性的内涵。在课堂上, 教师还应用分组形式, 培养学生合作学习习惯, 促进学生的观察和交流。这样不仅加强师生之间、学生之间的交流, 也为后续的求证三角形和梯形等面积公式, 以及其他类似问题提供了数学思维模式, 在教学中有机渗透了转化的数学思想, 有力推动了学生验证和抽象概括思维能力的发展。
三、在解决问题中应用数学思想方法
数学教学实践当中, 解题是其中最基本的活动形式。从提出数学问题到解决问题这一过程中, 都需要具体数学知识作为支持, 但若掌握了数学思想方法, 便有利于学生举一反三。小学生对数学实现方法从领会到掌握, 还需要一系列认知过程, 该过程是由具体到抽象, 由感性到理性的认知过程。所以只有不断在教学各环节渗透和应用数学思想, 才能增强学生对数学知识点的理解和感悟。在课堂教学中渗透数学思想方法, 让学生学习数学基本知识的同时, 通过反复训练、摸索, 切实做到把数学思想方法转化为数学能力。因此, 在教学中通过让学生一题多变, 以及一题多解等训练方法, 突出教学中难点和重点等, 精简教学方法, 利用教学中的层次和坡度设计, 将明确的教学目的, 融入教学训练当中, 促进学生在学习数学知识的过程中, 让思维的广阔性得以拓展。因此拓展学生数学思维品质, 有利于学生后续学习和生活, 以及将来参加社会工作, 也是顺应社会发展对学生综合素质的需求。
四、结语
教师在数学教学实践当中, 通过更新教学观念, 以顺应社会发展对学生提出的要求, 充分认识到数学思想方法对学生的重要性, 在教学各环节中将数学思想方法的培养, 融入教与学的目标当中。在提高自身数学素养的同时, 深入挖掘教材中内含的数学思想方法, 精心备课设计两者互相融合的课件, 从而优化数学教学过程, 让学生在数学学习时, 潜移默化地领悟和运用数学思想方法, 从而切实将其内化为自身数学思维品质。
摘要：如何在数学教学实践中, 让学生掌握数学知识的同时, 拓展其数学思维品质, 以顺应社会发展需求, 进而提高学生创新思维能力, 成为教师当前的主要任务之一。本文通过分析教师在教学过程中, 运用各教学环节, 向学生渗透和教学内容相关的数学思想, 让学生在学习教材时应用观察和操作, 以验证和概括方法, 拓展学生数学思维品质。
关键词：数学,思想方法,思维品质
参考文献
[1]王伟娜.渗透思想方法拓展学生思维[J].学周刊 (A) , 2012, (13) .
思维品质与思想品质 篇5
摘要：与国外高考作文相比，我国近年各地高考的作文命题存在两个突出的问题：Ｉ、文化品位不足。２、思辨力和价值批判弱化。高考作文命题应发挥它的导向功能，推动语文教学的改革，并引导学生在精神上和文化品位上向上走。对命题者来说，要借鉴国外高考命题中的好做法，同时继承本民族文化中的思辨传统，改变长期以来只让学生写“散文”的现象，努力使高考作文命题从单向的选拔变为推动语文教学改革的巨大杠杆． 关键词：高考作文；命题；比较研究
作者简介：王林／又名王伯驹，上海市闵行区教师进修学院语文教研员（上海２０１１００）
一、引言书声”，缺少了对“风声”、“雨声”、“家事纵览近年全国各地的高考作文题，我们觉得国事天下事”的理性分析与判断。在喧嚣浮躁的我国的高考作文命题总体呈现如下特征：在内容今天，我们的作文命题者也在拼命地把学生的思上引导学生关注生活和时代；在角度上关注学生想向外引而不让他们向内进行自我观照，只注意对社会现象的认识和评价：在构思上关注学生的对外在世界的观察而缺少内在心灵的自省，只注思维并呈现开放特征；在思想上关注学生的自由意观察事物的表象而忽视了内在本质的分析与归思考和自由表达。这些特征，一定程度上反映了因。因而许多学生的作文是大量现象的罗列而无我国语文课程改革的成果。透表及里的深入分析和批判。
但如果埘我国近年高考作文命题进行纵向考更有甚者，近年有的省市居然把流行歌曲作察，我们就会发现，我国高考作文命题的进步是为高考的作文题，这无疑是一个不好的导向。因缓慢的。尽管每年高考作文题都是社会关注的焦为高考作文命题的媚俗，会引导学生用大量的精点，尽管我们每年都在不断求新，但我们每年的力关注流行文化，因为他们猜想不知哪一首流行高考作文命题仿佛都在竭尽全力地反猜题、防套歌曲或流行文化将会成为下年的高考作文题。这题，缺少独创新意，缺少文化品位和思维品质，从某种意义上是对语文教学的冲击和误导。
给人浅薄浮躁、山穷水尽之感。高考作文在我国的语文高考试卷中占有半壁
二、关于高考作文的功能和命题导向江山，它是对考生的语言表达能力、思维能力和之所以会出现这种状况，与我们对高考作文联想想象能力的全面检测，也是对学生从小学到命题功能的狭隘认识有关。我认为，高考作文命高中十多年语文学习的总体面貌的检阅。因而每题的功能不能仅仅从选拔的角度来考查学生的写年高考的作文题目都对语文教学尤其是学生的阅作水平，它还有很大的导向功能，它对中学生的读和写作产生很大的影响，在我们的高考作文命语文学习的内容和语文学习方式具有很大的引导题与中学作文教学都面临困境的时候，把我国
高作用。无锡东林书院有一幅对联：“风声雨声读考的作文题目与国外高考的作文题目进行比较研书声，声声入耳：家事国事天下事，事事关究，无疑会具有一定的借鉴意义。
心。”我们的高考作文题仿佛只有“风声”、对比国外的高考作文题，我国的高考作文题“雨声”、“家事国事天下事”，而缺少了“读在诸多方面都显得不足，许多有识之士都已著文万方数据．６２．
王林：中外高考作文命题中文化内涵与思维品质的比较研究
进行了深入的分析。其中之一便是“一些作文试题的导向错误”，“落后的教育教学理念，在写作教学和考试中有时会披上时新的外衣，搅和着花哨的语言，使人真假莫辨、良莠不分。，【ｕ但我认为，我国的高考作文命题还存在两个非常突出的问题：既缺少相应的文化品位，又缺少思辨力和价值批判。．
三、文化品位的不足
从近年的高考作文的命题来看，我国的高考作文题缺少书卷气，缺少与五千年文明古国相称的文化含量。外国的高考作文题不仅考查学生的思辨能力、认识能力、写作能力，它还有一个更重要的作用，就是引导学生读书，通过从书本上学到的知识来反观自己的内心和社会。如近几年法国高考作文的命题：
ｌ、试分析休谟《结伴欲望和孤独》一文的哲学价值。“‘结伴’是人类最强烈的愿望，而孤独可能是最使人痛苦的惩罚。”
２、“给予的目的在于获得”，这是否是一切交流的原则？
３、试分析尼采论《罪行与犯罪》一文的哲学意义。作者在文中提出： “舆论在了解了犯罪动
机和作案具体情况后，即能遗忘错误。”这是否有悖伦理原则？ ４、我们对现实的认识是否受科学知识的局 限？
５、试分析卢梭《论人类的幸福、不幸和社交性》一文的哲学含义。卢梭说： “我们对同类的
感情，更多地产生于他们的不幸而不是他们的欢乐，为共同利益联系在一起的基础是利益，跟共处逆境团结在一起的基础是感情。，【刁
再来看美国近几年的“高考作文”命题：ｌ、“媒体不仅仅传播消息和文化，而且决定什么消息是重要的，这样，他们就帮助形成文化价值。”（伯恩斯坦）报纸、杂志、电视、收音机、电影、互联网等等，能够决定多数人意识中什么是重要的吗？
２、“每一项重要的发现都是由于耐心、坚持和专注，有时候，甚至要长年累月地专注于一个问题，为了发现新的真理就要～直被一个问题所吸引，就要对任何与此无关的问题漠不关心。” 万方数据
（圣地亚哥・罗曼・卡赫罗）所有的重要发现都是对一个问题的长期专注的结果吗？
３、“我们大家都以为出名带来幸福，似乎这是人们最向往的东西，我们相信不管以什么方法出名都是一种自我证明。但是，那些出了名的人士常常抱怨名气是一种可怕的负担。把出名当作成就，注定要付出浪费时问和精力的代价。”（科拉考夫斯基）是出名的人幸福还是不太出名的人更幸福？ｐ１
这些题目和我们的高考题相比，都具有很浓的文化内涵。它要求学生除了学习基本的语文知识以外，还要运用所学的知识，站在文化的高度，对一些社会现象进行独立地思考和分析，发表自己独特的看法。有些题目出自一本书或书中的一段文字，有些题目有很浓的书卷气和人文气息，这正是我们在新课程改革中商喊的语文的人文性特征，而这些特征我们却在语文学习的重要 的评价方式——高考中，弱化或者忽略了。
如２０１０年湖南卷的作文题“早”，２００９年天津卷的作文题“我说９０后”，江苏卷的作文题“品味时尚”，安徽卷的作文题“弯道超越”等，看看这些题目，就能感到文化含量的欠缺与苍白。
高考在我们现实的语文教学中起着重要的引导作用，这是我们无法回避的，不论我们承认与否。既然它具有这样的作用，我们为什么不利用
它来引导学生改变语文学习的内容和学习行为呢？譬如，引导学生加强对经典的阅读。这在我们这个阅读风气不浓，学生只读教材和教辅书的今天，这种引导显得尤为重要。可在我的记忆中，我们至今没有一个类似于评论某本书或书中的一段文字的题目。也许我们不敢，因为我们会担心考生可能没有看过这本书。但我们为什么又敢考流行歌曲呢？难道我们就不担心考生不会唱《绿叶对根的情意》和《隐形的翅膀》吗？难道我们的学生只配唱流行歌曲而不配阅读经典？难道我们的学生只配对社会现象发表一些流于形式的、人云亦云的看法而不配进行深入的理性思考？难道我们的学生只配写这些浅俗的题目而不配写一些有文化性的题目？难道语文的人文性就停留在关注通俗的流行歌曲、广告和社会事件 ．６３．
《外国中小学教育》２０１１年第３期上？所有这些，值得我们进行认真反思。
四、思辨力和价值批判的弱化
《普通高中语文课程标准（实验）》在“表达与交流”部分要求：“ｌ、学会多角度地观察生活，丰富生活经历和情感体验，对自然、社会和人生有自己的感受和思
考。２、能考虑不同的目的要求，以负责的态度陈述自己的看法，表达真情实感，培育科学理性精神。３、书面表达要观点明确，内容充实，感情真实健康；思路清晰连贯，能围绕中心选取材料，合理安排结构。在表达实践中发展形象思维和逻辑思维，发展创造性思维。４、力求有个性、有创意的表达，根据个人特长和兴趣自主写作。在生活和学习中多方面地积累素材，多想多写，做到有感而发。”【４】《课标》
明确提出要“学会多角度地观察生活”，“培育
科学理性精神”，但从近年全国各地的高考作文题来看，大多是一些感悟生活的题目，而缺少“多角度地观察生活”和“科学理性精神”。
如：２０１０年普通高等学校招生考试中，天津卷的话题作文“我生活的世界”，江苏卷的作文题“倡导绿色生活”，江两省高考作文题“找回童年”，重庆卷高考作文题“难题”等，都着重考禽学生对自然、社会和人生的感受，而淡化了对学生理性思维能力的考察。
于是，我们看到这样一种状况：当中国学生在为“带着感动出发”、“找同童年”、“倡导绿色生活”、“提篮春光看妈妈”、“我想握住你的手”等题目信笔挥洒的时候，外国学生在思考“菪有所悟是否就是对于思想挣桔的解脱？”、“艺术品是否与其他物品一样属于现
实？”、“脑力劳动与体力劳动的比较有什么意义？”、“感知能力是否可以来自教育？”等题目。这些作文题在我们看来也许太抽象、太哲学化了，但我们可以采取渐进的方式，借鉴别人命题中的理性思辨的因素并融入我们的高考作文中，让我们的题目也增加些理性思维的色彩。不要总是让我们的高中毕业生在文章里发表一些空泛的人云亦云的议论，不要总是让他们在文章里感悟、发嗲，要让他们认识到自己已经长大，要用自己的眼光和头脑来认识问题、分析问题并做出判断，要让学生发现自我的价值，从而养成创 ．６４．． 万方数据
造性的思维方式。而培养学生的批判性思维并建立理性分析坐标正是当下我国高中语文教学所缺失的。
《普通高中语文课程标准》要求要“多角度地观察生活”，就是要引导学生从简单的思维活动走向科学理性的思维活动，从单一文化走向多元文化，给学生创造多元思维的空问，逐渐养成学生多角度地认识问题、解决问题，独立分析判断的习惯，从而克服思维的保守与盲从。从这个意义上讲，它与《普通高中语文课程标准》中“高中语文课程应进一步提高学生的语文素养，使学生具有较强的语文应用能力和一定的语文审美能力、探究能力，形成良好的思想道德素质和科学文化素质，为终身学习和有个性的发展奠定基础”的阐述是一致的。ｆ５１
五、要进一步丰富和拓展高考作文的功能高考究竟要发挥什么样的功能？这是需要我们认真思考的。高考的功能难道仅仅是选拔吗？如果１９７７年的高考是那个时代选拔人才、提倡尊重知识的社会现实所需要的话，那么，时隔三十年之后，社会形势发生了很大的变化和发展，高考仍然只起着这样的作用，没有一点变化和发展，那真是高考的悲哀！
在深入推进课程改革的今天，我们的高考作文也要丰富发展它的功能，要利用它的引导优势，推动语文教学的改革，对学生的语文学习行为施加积极的影响，引导学生在精神上和文化品位上向上走。我们要让学生写出自己的思想，写出自己的思考。让他们对生命、对生存状态、对阅读的经典有自己独特的阐释和见解。在大力倡导阅读经典的今天，我们的高考要引导学生广泛阅读，使学生具有广阔的知识视野，从而去改变世界，创造未来。中华民族有自己的思想家、文学家、艺术家，如孔子、庄子、鲁迅、巴金等。有几千年的文化经典，如《诗经》、楚辞、唐诗、宋词、四大文学名著等，这些作家和作品历来受到人民的尊敬和喜爱，我们为什么不能引导学生去阅读它们并且用现代的眼光去阐释他们、发展他们呢？
在大力倡导继承民族传统文化的今天，我们要继承民族文化中思辨的传统。如《老予》中的
王林：中外高考作文命题中文化内涵与思维品质的比较研究
“有无相生，难易相成，长短相较，高下相倾，参考文献：音声相和，前后相随”等所包含的辩证法的思『１１倪文锦．关于写作教学有效性的思考『Ｊ１．课程・教想；【６１《易经》中的以柔克刚、阴阳转化、万物生材・教法，２００９，ｆ３１．生不息等理念；儒家的“中庸之道”、“过犹不『２１１３１ｆ￥绍振．从对比中找到命题盲区『Ｎ１．一｝一国教育及”的主张；《孙子兵法》中的敌我、主客、众报，２００８．１１．０３．寡、强弱、攻守、进退等论述等等，都需要我们［４１１５１ｒｆｌ华人民共和国教育部．普通高ｒ｛Ｉ语文课程标准在语文教学中去继承，进一步发扬光大，培养学ｆ实验１『Ｍ１．北京：人民教育出版社，２００３．生的“科学理性精神”，因为一个不会思考的民『６１陈鼓应．老子注泽及评介『Ｍ１．北京：ｒｆ・华书局，族是永远也不会站立起来的。２００９．
语文高考要引导中学语文教学的改革，高考 作文题要引导学生语文学习的方式和内容朝着有 要打破长期以来形成的习惯性思维，改变长期以 来只教学生写“议论性散文”的做法，打破我国 高考作文命题中长期以来形成的思维定势，增加 文化积淀，增加文化含量，增加科学思辨，努力
把我国的语文教学引向更为广阔的文化空间和思 维空间。
（上接第２０页）教师教育关注重心从培养机构下移『７１ＡＴＦ．Ｂｅｇｉｎｎｉｎｇｔｅａｃｈｅｒｉｎｄｕｃｔｉｏｎ：ｔｈｅｅｓｓｅｎｔｉａｌｂｒｉｄｇｅ到教师教育所服务的学区、学校和学生需要的新『Ｒ１．ＡＦＴＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＩｓｓｕｅｓＤｅｏａｒｔｍｅｎｔ，２００１．２—４．方向，由。ｔ，带来的对临床经验的重视必将引发一『８ｌＨｏｎａｗａｒ，Ｖ．Ｂｏｓｔｏｎ，Ｃｈｉｃａｇｏｔｅａｃｈｅｒ”ｒｅｓｉｄｅｎｃｉｅｓ”场教师教育结构性变革。ｚａｉｎｉｎｚｎｏｔｉｃｅＩＪｌ．ＥｄｕｃａｔｉｏｎＷｅｅｋ，２００８，２８ｆ４）：１３－】３．
『９１ＨａｒｖａｒｄＢｕｓｉｎｅｓｓＳｃｈ００１．Ｂｏｓｔｏｎｔｅａｃｈｅｒｒｅｓｉｄｅｎｃｙ：
参考文献：ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇａｓｔｒａｔｅｇｙｆｏｒｌｏｎａ－ｔｅｒｍｉｍｏａｃｔ『Ｒ１．Ｐｒｅｓｉｄｅｎｔａｎｄ
ＦｅｌｌｏｗｏｆＨａｒｖａｒｄＣｏｌｌｅｌｚｅ。２００８．９．’
『１１Ｋｅｌｌｅｒ，Ｂ．”Ｒｅｓｉｄｅｎｃｉｅｓ”ｓｅｔＵＰｔｏｔｒａｉｎｕｒｂａｎｔｅａｃｈｅｒｓ
ａｔｓｃｈｏｏｌｓｉｔｅｓ［Ｊ１．ＥｄｕｃａｔｉｏｎＷｅｅｋ．２００６．２６（１０）：１４－１４．『１０１Ｂｅｒｒｙ，Ｂ．，Ｍｏｎｔｚｏｍｅｒｖ，Ｄ，Ｃｒｅａｔｉｎｇａｎｄｓｕｓｔａｉｎｉｎ２
ｆ２１Ｓａｗｃｈｕｋ，Ｓ．Ｔｅａｃｈｅｒ”ｒｅｓｉｄｅｎｃｉｅｓ”２ｅｔｆｅｄｅｒａｌｕｒｂａｎ
ｆｕｎｄｉｎ２ｔｅａｃｈｅｒｒｅｓｉｄｅｎｃｉｅｓ［Ｒ１．ＴｈｅＡｓｐｅｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅａｎｄＴｈｅ
Ｔｅａｃｈｉｎｇｔｏａｕｍｎｅｎｔｔｒａｉｎｉｎｇ［Ｊ１．ＥｄｕｃａｔｉｏｎＷｅｅｋ．２００９．２９（７＂１：８－ｌ０．ＣｅｎｔｅｒｆｏｒＱｕａｌｉｔｙ，２００８．１５．『３１Ｈｉｎｄｓ，Ｍ．Ｃ．Ｔｅａｃｈｉｎ２ａｓａｃｌｉｎｉｃａｌｏｒｏｆｅｓｓｉｏｎ：ａｎｅｗ
ｃｈａｌｌｅｎｇｅｆｏｒｅｄｕｃａｔｉｏｎ［Ｒ１．ＣａｒｎｅａｉｅＣｏｍｏｒａｔｉｏｎｏｆＮｅｗＹｏｒｋ． ２００２．１２．
『４１ＵＴＲＵｎｉｔｅｄ．Ｑｕａｌｉｔｙｓｔａｎｄａｒｄｓｆｏｒｔｅａｃｈｅｒｒｅｓｉｄｅｎｃｙ
ｐｍＥａｍｓ［Ｒ１．ＵｒｂａｎＴｅａｃｈｅｒＲｅｓｉｄｅｎｃｙＵｎｉｔｅｄ．２００９．２．
ｒ５１０ｂａｍａ．Ｂ．ＢａｒａｃｋＯｂａｍａａｎｄＪｏｅＢｉｄｅｎ’ＳＮａｎｆｏｒ
ｌｉｆｅｔｉｍｅｓｕｃｃｅｓｓｔｈｒｏｕ２．ｈｅｄｕｃａｔｉｏｎ［Ｒ１．Ｕ．Ｓ．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ０Ｉ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，２００９．７．
ｆ６１Ｈｉｒｓｃｈ，Ｅ．ＲｅｖｉｓｉｔｉｎｕｗｈａｔｓｔａｔｅｓａｒｅｄｏｉｎｚｔｏｉｍＤｒｏｖｅ
ｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｔｅａｃｈｉｎＩｚ：ａｎｕｏｄａｔｅｏｎｏａｔｔｅｍｓａｎｄｔｒｅｎｄｓ『Ｒ１．
ＣｅｎｔｅｒｆｏｒｔｈｅＳｔｕｄｙｏｆＴｅａｃｈｉｎｌｚａｎｄＰｏｌｉｃｙ．ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｖＯＩ
ＷａＳｌａｉｎｅｔｏｎ．２００１．３５． ．６５．
万方数据’利于学生个性健康成长的方向发展。因此，我们
中外高考作文命题中文化内涵与思维品质的比较研究作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名：
思维品质与思想品质 篇6
一、在概念教学中，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性，又称为思维的发散性，即善于全面地看问题，不仅善于抓住某个问题最一般的基本框架，而且不会遗漏有关的重要细节和主要因素，是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方面去思考问题，寻求解答的思维品质。在化学概念的教学中，思维的广阔性表现为能区分不同的概念，广泛进行对比、联想，从而理解概念的外延和内涵。
例如，在有关物质分类的概念教学中，可以按以下步骤进行。①用提问的形式请学生列举熟悉的化学物质（老师有意识地按混合物、纯净物两大类排列），并在黑板上画圈显示。②在纯净物这个大圈中，根据物质所含元素的种类，又可以分出两个中圈（单质和化合物）。③在化合物中圈中，根据所含元素的种类及特征，又可分出一个个小圈，如氧化物等。④再提供一些陌生物质的化学式，请学生将之一一“对号入座”，激发他们对身边物质的初步感知。这样的教学过程，不仅能训练学生掌握概念特点的能力，也能培养学生思维的广阔性。
在化学概念教学中，教师要注意加强基础知识的教学，使学生形成完整的认知结构，这是发展思维广阔性的基础。例如，氧化反应的教学。在学习了氧化反应定义后，学生很容易被激发起“供氧物质”的联想：除了一开始反复出现的氧气这种常见的单质氧化剂外，化合物是否有此性质？当对比学习还原反应后，马上又可以联想到：氧化反应和还原反应必定是同时发生的。通过后面对还原反应的概念教学，使学生进一步理解“物质跟氧发生的反应”并不仅限于氧气中的氧，从而整体把握知识体系。这样的教学过程同样是培养思维广阔性的又一机会。
二、在概念教学中，培养学生思维的灵活性
思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能够根据客观条件的变化及时地改变和调整已有的思维形式，摆脱思维定势的影响，从多方面、多角度寻找解决问题的途径。在化学概念教学中，主要表现在运用概念，灵活有效地解决相关问题的教学过程中。例如，在复分解反应概念教学中，在学生通过书本实例总结出了复分解反应的定义后，请学生观察判断其他一些属于或不属于复分解反应类型的化学反应，由此让学生理解复分解反应的实质，两种化合物在溶液中互相交换离子这一特征。又如，在学习溶液的概念后，可以设置这样的问题让学生思考：空气是不是一种溶液？由此对溶液的三个基本特征理解得更加透彻：均一的、稳定的、混合物。显然这种思维的灵活性是在准确把握概念的实质基础上产生的。当然，逆向思维的训练也是培养学生思维灵活性的有效途径。
三、在概念教学中，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性即严谨性，是指在分析问题、解决问题的过程中，能够探求所研究问题的实质，以及问题之间的相互联系。它主要体现在善于从复杂的现象中把握事物的本质和规律，善于探索事物间的联系和差异。化学思维的深刻性，就是要在复杂的问题中，体会到问题的背景，体会到其中迁移变换的过程。例如，江苏省无锡市近几年流行的中考流程题和综合题，普通学生往往感到很困惑、甚至无从下手。因为有些化学工艺流程、科学探究过程很复杂，题目篇幅较长，呈现的新信息又很多，需要学生全面、仔细阅读后，完整理解生产目的和背景等，筛选并抓住有效信息，找到解题的突破口，由表及里，顺藤摸瓜，将其他问题一一化解。在陌生的化学情境中，如何选择利用有效的信息，透过现象看本质，是化学新概念教学中的一个重要问题。在这方面，培养学生思维的深刻性，掌握利用背景来提供解决问题的方案是一个好机会。
四、在概念教学中，培养学生思维的批判性
思维的批判性是指在思维活动中，善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的品质。批判性思维是一种实事求是、周到、缜密的思维。学生在学习概念过程中，思维的批判性主要表现为善于发现问题，提出质疑等形式。例如，在酸碱盐的概念教学中，教材没有明确的酸和碱的定义，盐的定义也仅仅是通过氯化钠、氯化钙、硫酸钠等一些典型的都是由金属离子和酸根离子构成的化合物为例得出的，那么，硝酸铵、氯化铵等不含金属离子的化合物是否属于盐？从而产生了对盐的定义的严密性的质疑，由此也进一步认识了究竟什么是盐。总之，在化学概念教学中，教师应充分创造条件，利用相关的概念作研究背景，努力培养学生的思维批判性，不仅对充分理解概念，把握概念的实质有好处，同时也对学生形成良好的思维方式有很大好处。
五、在概念教学中，培养学生思维的直觉性
直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。在概念教学中，教师可以借助图、表等手段，培养学生的思维直觉性。例如，在溶解度曲线教学中，借助列表法，尝试绘制溶解度曲线，通过曲线走势等，直观地告诉学生，溶解度曲线可以清楚地表达物质的溶解度随温度变化的规律，从而有助于对曲线上不同点的含义的分析和理解。
六、在概念教学中，培养学生思维的创造性
思维的创造性，是指思维的结果相对于已有的认识成果来说，具有独特性和新颖性。这是思维活动中最宝贵的品质，它是一种探新的思维活动。在概念教学过程中，主要引导学生多思多想，独立地思考、分析问题。例如，验证某物质能否作为催化剂？通过设计方案，进行科学探究。从提出问题、作出猜想到对比实验、观察现象、分析与评价等，创造性思维在每一个环节中一一体现。
总之，化学概念教学，不仅仅是教给学生知识，同时也应把训练学生良好的思维品质作为重要一环抓好。因为好的思维品质将使学生受益终身。当然，良好的思维品质在其他教学环节（如解题教学）中也有很多好的机会，只要教师心中有了这个观念，培养学生的思维品质处处都可进行。
李红，无锡市后宅中学党支部书记、校长，无锡市化学学科带头人，高级教师。自2000年担任校级领导以来，每年仍坚守在教学第一线，任教初三化学，且每年中考成绩优秀，深受学生、家长、同行好评。近年来，有多篇论文发表、获奖，先后曾主持多个省、市教科院、教研室规划课题，并得到专家高度认可。
学生的思维品质培养与历史教学 篇7
一、培养学生思维品质的意义
高中生一般在16—19岁这一年龄段，此时正是人的思维发展的高峰期，开始从经验型向理论型发展，创造性思维、辩证思维等思维开始形成并得到较快发展。他们能以探索和创造的精神对待学习，以探索和创造的方法进行学习，对未知史事进行有创见的思索。所以，中学阶段学生思维的可塑性很大，具有较高的创造潜能，思维将更富于创造性、灵活性与深刻性。因此，我们要抓好这个关键期，充分抓住学生的创造心理需要和动力，促使中学生的思维能力得到充分发展，实现质的突破，为新时代培养富于创造性的人才。
长期以来，历史课的教学内容和教学方法主要围绕高考指挥棒转，功利性浓，忽视了学生作为主体的教学体验和对实际问题的综合与创新，禁锢了学生的思维活动，从而使历史学习丧失了主体性和创造性。时代发展呼唤高素质的人才，作为中学历史教师，在教学实践中努力培养学生的创造思维品质，责无旁贷。
二、培养学生思维能力的原则
1. 启发式原则。
温家宝总理视察北大时，再一次强调了启发式教学的重要性。我们中学历史教师在课堂教学中应充分应用启发式教学，循循善诱，丝丝入扣，引导学生解读文本，超越文本，发散思维，提高思维品质。
2. 因材施教原则。
每个学生的个性特征、知识结构、思维类型等是不相同的，教师在培养学生的思维能力时，应注意每个学生的差异性，因人而异;要遵循学生的认识规律，循序渐进。培养学生理性思维的能力不可能一蹴而就、立竿见影，必须脚踏实地、步步深化，将新旧知识有机结合、设问层层递进，悉心操练学生，方能使学生思维素质得到培养。
3. 反馈—矫正原则。
教师的主导作用在于如何发挥学生思维的主体作用。教师的思维不能游离于学生的思维之外。同样，学生的思维也不能成为教师思维的影子，这就需要教师根据课堂教学的实际，不断调节教学内容，调整思维的节奏，使师生的思维在课堂教学中始终同步。
4. 尊重主体原则。
孔子说过：“不愤不启，不悱不发。”教师应多给学生一点思维的主动权，给学生创设独立自主的发现问题、提出疑问的机会，不是越俎代庖，代替学生思考，做学生思想的保姆。而启发思维的难度要适中、量度要适宜，要恰到好处地引发学生积极思维，让学生“跳一跳，摘桃子”，适时适度地指挥学生的思维活动。
三、培养学生思维能力的策略
1. 创设情境，激发兴趣。
教学中，教师应恰当地创设问题情境，由情境引发学生兴趣，从而激活学生思维。根据青少年都喜欢猎奇的特点，教学中可运用生动形象的讲述方法，适当穿插一些新解密的历史事件真相，以及历史人物的趣闻轶事。当然这些都要与文本有联系，并要为教学服务，不能喧宾夺主，舍本逐末。同时教师还可以适当采用多媒体技术教学，以其特有的动态性，再现历史的形象，创设动态历史情境，使学生感知历史史实时，形成的历史表象更鲜明、更生动，理解史实的本质更透彻，更能引起学生的兴趣，从而有利于思维能力的培养。
2. 鼓励质疑，迁移延伸。
从课堂教学的角度出发，思维素质训练强调的是学生思考因素在教学活动中的地位和作用，注重的是学生的自主性和创造性，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。在教学中，教师要鼓励学生突破现成答案，大胆提问，大胆质疑，无需顾忌，只要有理，教师就要给予肯定;如果有失偏颇，也不要任意加以指责和批评，而要循循善诱，逐步教会他们提出问题、思考问题的方式，久而久之，学生就会由“羞于提问”到“敢于提问”向“善于提问”发展，其思维素质就逐步提高。
3. 挖掘教材，引导争议。
新课标要求教师“用教材教”，作为教师，应该发挥主观能动性，既要用历史教材，又要突破教材，积极挖掘教材，生成培养学生思维素质的资源，教育学生“不惟上，不惟书，只惟实”。训练学生的辩证思维。教师要激发学生产生疑问，在学生对问题产生分歧时，教师不要越俎代庖，不妨用热处理方式，让课堂迸发出争议的火花，在时机成熟时，不妨用辩论赛的形式，让学生争个面红耳赤，争个水落石出。如一位教师讲“戊戌变法”，一部分学生认为：如果没有袁世凯告密，慈禧太后、荣禄就不会发动戊戌政变，戊戌变法就会成功;有的学生不同意这种说法，认为光绪皇帝没有实权，成功与失败难以预料。教师没有讲下去，而是组织学生正反方辩论。“灯不拨不亮，理不辩不明。”经过一阵口枪舌战，学生发现，中国民族资产阶级软弱性和帝国主义支持下的中国封建势力强大，决定了戊戌变法必然失败的命运，袁世凯的告密只不过是让顽固派找到了发动政变的借口，加速了戊戌变法的失败而已。这样，既充分发展了学生的思维品质，又加强了学生能力培养。
四、培养学生思维能力的启示
1. 培养学生思维能力的一个重要课题是教会学生思维，即把如何思维的方法授予学生。
俗话说：“授人以鱼，不如授人以渔。”只有让学生真正掌握了历史科学的思维方法，才算最终有效地培养了学生的历史思维能力。
2. 要培养学生思维品质，教师也要不断加强自己思维品质的提高。
作为新课程改革中的一名高中历史教师，必须具有渊博的知识、丰富的经验和良好的个性品质来吸引学生、影响学生，使学生由喜欢教师到喜欢课程。因此，我们要通过学习、研究和探索，发现历史教育新信息，创造历史教育新知识，而不能仅仅满足于历史知识的传递和解释。
摘要：在历史课的教学中, 培养学生良好的思维能力和思维品质就成了一项重要而紧迫的任务。本文就高中历史教学中培养学生的思维品质略陈。
关键词：思维品质,培养,历史,教学
参考文献
[1]郑梅先.历史教学学生创新思维品质的培养[J].吉林教育, 2004, 7.
[2]于永欣, 叶成山.浅谈历史教学中培养学生创造思维品质[J].中国发展与创新教育杂志, 2008.4.
[3]陈永改.历史教学中培养学生创造思维品质初探[J].教育前沿[理论版], 2008.6.
[4]梁励.论新课程理念下学生历史学习方式的变革[J].历史教学, 2004.4.
[5]徐世德.创新视域中的历史思维能力培养例说[J].学科教育, 2004.1.
[6]成学江, 由雪芹.历史教育如何发展创新思维[J].中学历史教学参考, 2002.3.
思维品质与思想品质 篇8
2016年江苏数学高考第18题是一道以圆为背景的解析几何题,而该题的最后一问则利用隐藏的圆(以下简称“隐圆”)解决,与2013年高考第17题的最后一问解法如出一辙.回顾以往,2008年高考第13题也如此.放眼全国高考,发现几乎每年各地的数学高考题中,总会出现利用隐圆来解决的问题,这与我国高考大纲要求相一致.
圆的知识向来是中学阶段重点学习的知识点之一,对于非圆问题我们可以利用圆巧妙地解决.要用到圆必须在解题时“嗅”到“圆味”,从圆的显性条件发现挖掘圆,从而利用圆解决几何问题、向量问题、函数值域(最值)问题、三角函数值域问题、代数式范围问题等.要想挖掘出圆,必须从圆的本质出发,即圆的定义(几何角度)或圆的方程(代数角度).从定义角度看,满足到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆(第一定义),或者平面内到两定点的距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹为圆(称为阿波罗尼斯圆,俗称圆的第二定义).在直角坐标系中,圆的方程能精准地从代数角度刻画圆,因此若能通过动点的轨迹方程得到圆,将可从几何角度来解决.
一、利用圆的第一定义或与第一定义等价的性质条件发现隐圆
(一)直接利用第一定义发现圆
例1(2007年北京朝阳区一模第7题)如图1,点P是以F1、F2为焦点的椭圆a(a>b>0)上一动点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为点M,求点M的轨迹方程.
【解析】设F2M交F1P延长线于点N,联结OM,则F2N是∠F1PF2外角平分线的垂线,所以PF2=PN,而PF1+PF2=2a,因此PF1+PN=F1N=2a,又OM是三角形F1F2N的中位线,所以OM=a,故可知点M的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆,其方程为x2+y2=a2.
【点评】圆的定义是利用圆的最直接角度,该几何角度能简化数学运算,提高了解题效率.
(二)对角互补的四边形的四顶点共圆
例2(2015年浙江省数学竞赛第14题)已知向量a,b的夹角为,∣a-b∣=5,向量c-a,c-b的夹角为,,则a·c的最大值为_______.
【解析】取AC中点D,设则
【点评】向量具有数和形的特点,如果遇到与向量夹角有关的问题时,可以寻找某个向量的终点在某个隐圆上,从而高效地解题.
(三)直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上
例3(2013年安徽高考理科第13题)已知直线y=a交抛物线y=x2于点A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为_______.
【解析】根据题意得,,由∠ACB为直角可知,点C在以AB为直径的圆上,设为圆M,则M(0,a),半径为,所以圆M的方程为:x2+(y-a)2=a.
又点C在抛物线y=x2上,由得x2+(x2-a2)2=a,从而(x2-a)(1+x2-a=0),故x2=a或1+x2=a,由题意可知,1+x2=a有解才能使得存在点C,所以a=x2+1≥1,因此a的取值范围为[1,+∞).
【另法】直接从几何角度可知在以AB为直径的圆M与抛物线y=x2有三个交点,除点A,B外还有一个点,所以必须AM≤MO=r,即且a>0,因此解得a≥1.
【点评】在解析几何或向量中涉及直角(垂直)时,不妨从圆的角度考虑,往往会找到巧妙的解题思路.
二、利用圆的第二定义发现隐圆
例4(2008年江苏高考第13题)已知△ABC满足AB=2,AC=2BC,则△ABC面积的最大值为_______.
【解析】以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系如图3所示,则A(-1,0),B(1,0),设点C(x,y),由
【点评】此题虽然是三角形中的问题,若用余弦定理来解决,则函数复杂,过程冗长.但从几何角度利用阿氏圆知识解决,则大大提高了解题效率.
例5(2013年江苏高考第17题)如图4,在平面直角坐标系x Oy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线l上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
【解析】(1)y-3=0或3x+4y-12=0.(过程略)
(2)因为圆心在直线l:y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,设点M(x,y),由MA=2MO得,整理得x2+(y+1)2=4,所以点M在以点D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,由题意可知点M又在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即,解得,所以a的取值范围是.
【点评】阿波罗尼斯圆在高考中屡见不鲜,只要能认清满足“PA=k PB”(A、B为定点,k>0,k≠1为常数)的点P在圆上,相信就能快速地得到圆的方程,并能顺利解题.此题将存在点的问题转为两圆的位置关系,大大优化了解题思路[2].
三、利用二次方程找到隐圆
满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的点的轨迹为以(a,b)为圆心,r为半径的圆.在解题时,遇到可转化为“平方和”形式的代数式或方程,都可以有意识地转化为圆来解决.
(一)直接由二次方程找到圆
例6(2016年江苏高考第18题)如图5,在平面直角坐标系x Oy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
【解析】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为r=5.
(1)圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(过程略)
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为A(2,4),T(t,0),,所以……(1)因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.……(2).将(1)代入(2),得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以
因此,实数t的取值范围是
【点评】圆的方程是圆的代数本质属性,从圆的角度将存在两个点的问题转化为两圆位置关系,从而简化了问题,提高了解题效率,此解决过程充分利用了转化化归思想和消元的思想方法[3].
(二)利用三角公式构造圆
例7(2011年江苏高考仿真题6第10题)直线通过点M(cosα,sinα),则的取值范围是_______.
【解析】由sin2α+cos2α=1可知点M在单位圆x2+y2=1上,故直线和单位圆x2+y2=1有公共点,所以圆心到直线的距离
【点评】此题是直线与三角结合问题,若直接代入点M坐标,则易出现多变量与复杂分式,不易减元处理,但利用“sin2α+cos2α=1”则可从单位圆“纯解析”几何多变解决.
例8函数的值域是_______.
【解析】因为,可看作点P(cosx,sinx)与点A(2,0)连线斜率的相反数,由sin2x+cos2x=1可知点P在圆x2+y2=1上运动,所以由图6可知l1,l2的位置为边界位置,且,因此,故函数的值域为
【点评】利用同角三角函数的平方关系“sin2α+cos2α=1”构造单位圆,从而可以将三角问题从几何角度来解决,避免了复杂的运算.
(三)利用换元法巧用无理式构造圆
例9(第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试第15题)函数的值域是_______.
【解析】设,v=x,则u2+v2=1(v≥0,-1≤v≤1),这表示一个圆的上半圆(如图7),而y=u+v,把u、v看成变量,由y=u+v得u=-v+y,所以y表示斜率为-1的直线l在u轴上的截距,如图,仅当在l1位置时,,仅当在l2位置时,ymin=-1,所以函数的值域为
【点评】利用“”构造圆,形如的函数也表示半圆.通过换元将无理函数转化为二元二次方程,从几何角度解题更直观,给解决问题带来了方便.
例10(2013年江西高中数学联赛第6题)函数的值域是_______.
【解析】设,则u2+v2=1(u≥0,v≥0),这表示一个圆的一部分(如图8),而由,所以y表示斜率为的直线l在u轴上的截距,如图,仅当在l1位置时,ymax=2,仅当在l2位置时,ymin=1,所以函数的值域为[1,2].
【点评】利用构造圆.此题中若设,则可得到椭圆,也可以解题,但由于圆有其本身的特殊性,所以在换元时尽可能配凑成圆将更方便解题.
利用圆的本质属性,从圆的几何本质和代数本质两个角度思考问题,不仅能方便地找到并利用圆的知识解题,而且渗透了数形结合和转化化归思想,对学生解题能力的提高大有裨益.
数学解题离不开思考,数学解题教学离不开对学生实行“本原思想”的渗透,让学生学会从数学本质出发,深究问题的核心,这样才能较为快速地找到解题的突破口,形成优良的解题思路,从而实现高效解题,提升学生的思维品质,真正提高学生的数学核心素养.
摘要：解题教学离不开思维训练,问题的本原考虑是解题的基本思维.让学生学会从数学本质出发,深究问题的核心,这样才能较为快速地找到解题的突破口,形成优良的解题思路,从而实现高效解题,提升学生的思维品质,真正提高学生的数学核心素养.
关键词：图形本质,解题思路,数学思维,数形结合
参考文献
[1]涂荣豹.数学概念本质的把握[J].数学通报,2001(11):18.
[2]周涛.关注几何性质透析命题视角---以“阿波罗尼斯圆”为例[J].教学月刊·中学版(教学参考),2013(1):66.
浅析数形结合与思维品质的培养 篇9
一、数形渗透, 开阔思路, 培养思维的广阔性
数学思维广阔性是指对一个问题能从多方面考虑, 对一个对象能从多种角度观察, 即一道题能有多种解法, 数形渗透可以达到这个目的。例1:已知正数X、Y、Z满足, 求x+y+z.
解一:作Rt△ABC, 使AB=1, BC=姨3, CA=2, 在Rt△ABC内取一点P (图1) , 使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 由余弦定理有PA2+PB2+PA·PB=1, PB2+PC2+PB·PC=3, PC2+PA2+PC·PA=4, 这表明x=PA, y=PB, z=PC是原方程组的解。
现将△APC绕点C向外旋转60°, 得△A'P'C, 则A'、P'、P、B四点共线, P'A'=PA, PP'=PC=P'C, 有x+y+z=A'P'+P'P+PB=A'B, 在Rt△A'BC中, A′B=
二、由数思形, 洞察本质, 培养思维的深刻性
数学思维的深刻性就是要培养学生善于透过事物的表面, 抓住本质, 深入细致地加以分析和解决, 而不被表象所迷惑。
例2:已知x, y, z满足方程组, 求zx+yz的值.
[分析]:通过解方程组求值, 很烦琐。认真审视题目, 发现方程组可变形为:
联想到余弦定理, 可构造一个图形 (图2) , ∵S△ADC+S△BCD=S△ABC, ∴Zxsin120°+yzsin60°=1/2×3×4.即:ZX+YZ=.
三、由形思数, 灵活表象, 培养思维的灵活性
数学思维的灵活性指的是善于根据题设中的具体情况, 及时地提出新的设想和解题方案, 不拘泥于陈旧的方案。
例3:已知两个单位圆的圆心距为1, 在第一个圆上有一点A, 在第二个圆上取关于连心线为对称的两点B1、B2, 求AB12+AB22的最小值。
解:以O2为原点, O1O2所在直线为x轴, 建立直角坐标系, 则⊙O1: (x-1) 2+y2=1, ⊙O2:x2+y2=1 (图3) , 设A (1+c osφ, s inφ) , B1 (c osφ.s inφ) , B2 (c osφ, -s inφ) , 则AB12+AB22=2+4 (1+c osφ) (1-c osφ) ≥2, 即AB12+AB22的最小值为2。
四、数形结合, 相得益彰, 培养思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度, 它表现为思考问题时的敏锐快速反应。
例4:正数a, b, c, A, B, C满足条件a+A=b+B=c+C=k, 求证:a B+b C+c A
证明: (图4) 作一个边长为k的正三角形△PQR, 分别在各边上取QL=A, LR=a, RM=B, MP=b, PN=C, NQ=c,
五、以形助数, 巧夺天工, 培养思维的独创性
思维独创性是指有创见的思维, 即人们在已有的知识经验的基础上, 从问题中找出新关系, 新方法, 寻求答案的思维过程。
例5:图5: (x-1) 2+ (y-2) 2=25, 直线l: (2m+1) x+ (m+1) y=7m+4 (m∈R) 。 (1) 证明:不论m取任何实数, 直线l与圆C恒有两个交点, (2) 求直线l被圆C截得线段的最短长度及相应m的值。
六、数形对照, 防错查错, 培养思维的批判性
思维的批判性是指思维活动中独立分析和批判的程度。它表现为善于独立思考, 善于提出疑问, 能够及时发现错误, 纠正错误。
总之, 数形结合, 相互交融, 二者结合, 双向联想, 优化思维, 方能培养思维品质。
参考文献
[1]马忠林.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社, 1996.
思维品质与思想品质 篇10
学习英语的目的是运用,而阅读就是应用英语所学知识的一种最基本的途径。在英语阅读的过程中,学生不仅能自查自己对英语知识点的掌握程度,还能通过文章内容获得大量的文化知识信息。为了满足现代教学的发展,新课程的改革体现了尊重学生的个性需求和发展、提升学生的主动参与性、锻炼学生独立思考的能力以及培养学生的思维品质。即改变传统学生听课教师讲课的教学方式,转变以教师为主的角色,使学生成为主动学习和积极思考的主体。鼓励学生并引导学生采用合作学习的方法,改善高中英语阅读教学的质量和培养学生思维品质的能力。
二、传统高中英语教学存在的问题
目前的高中阅读英语教学方式是,老师让学生先快速阅读一遍文章,只给少量时间,通读文章后,老师再要求学生进行选择性的重点阅读,阅读完成后,老师会向学生提问,整个过程都受到老师地严格控制,学生根据提问回答学生基本没有什么自主思维在里面。这种教学方式存在很多弊端即对学生的困惑问题不能有效的进行解答,同时对学生的学习积极性不能进行有效的培养等,此类原因不利于学生的学习。另外,很多教师在进行阅读教学中不能紧密联系教学内容,导致学生的学习能力不足,无法有效把握英语的语言习惯,最终影响老师的教学质量和学生的学习质量。
三、高中英语阅读教学与思维品质的培养的优势
1.有助于培养高中学生的英语综合能力。当前,英语阅读教育已经越来越普遍化,但是,在英语阅读教学过程中,教师往往只重视学生语感的培养,从而忽略了学生的思维品质塑造,导致许多学生对英语阅读的理解只是停留在表面,甚至一知半解。这样的教学方式显然违背了英语语言学习的本质。教师如果不能培养学生的深层次思维能力,则会导致英语教学事倍功半。因此,教师要巧妙地利用现代英语教学的模式引导学生进行知识归纳、总结、联系与深层理解。通过以上的运用,学生的阅读理解能力会得到进一步的提高。例如苏教版高二英语中有一篇关于志愿者的翻译文。在讲解这篇文章时,教师可以提一些背景知识让学生通过各种学习渠道以及学习资源为找到其中的回答,例如教师问:志愿者的含义是什么?大家分享自己所做过的志愿者经历等,让学生对充分地讨论,然后通过小组学习的方式加以讨论,这也可以作为教师英语阅读的导入活动,一方面可以充分地调动学生对英语的学习积极性,另一方面这些背景知识也可以为学生进一步地了解英语阅读中的相关知识提供帮助。
2.有利于提高学生思维灵活性。思维的灵活性,指的是在阅读英文过程中学生可以从多个角度对其进行思考。思维灵活性的培养需要注重求异思维、多向思维的培养,使学生能够摆脱定势思维。对英语进行划分板块学习,其中每一部分所讲述的大意需要学生通过讨论或者相互交换看法的给出最后的答案,然后学生就会有目的性的带着教师所安排的任务来进一步的阅读英语课文。例如教师需要根据英语阅读中所出现的相关知识点难易程度的不同而设计不一样的任务,这会使英语阅读的学习模式逐渐地转化为小组式的学习模式,进而达到完成英语学习任务的目的。因此在英语阅读中,每一位学生都需要在任务中承担重要的学习角色,在这一前提条件之下,学生之间要充分地交流,学会参与与合作的团队建设,从而在逐步讨论中使得高职学生的英语阅读任务得以完成,在完成这些学习任务中,学生不仅可以增加相应英语阅读知识的理解,而且还能在自主分工与合作中学会吸取他人优点并与之共处的能力。这对于培养学生的团结协作能力具有重要的意义,这对于今后学生走向工作岗位也带来积极作用。
3.利于充分发挥学生的主动性。研究发现,较多的学生存在被动学习的意识,因此学生在课堂上相对而言就不主动,导致其在课堂教学活动中不愿意参与,使得教学质量不佳。新课程的改革与思维品质培养的相结合,培养学生学习的积极性和主动性,让学生参与到课堂学习中去,促进学生身心的发展。在英语阅读教学过程中,不再是老师讲课学生听课的枯燥传统的模式,而是在课堂内容上引导学生提出问题和解决问题,提高学生自主参与能力。例如在Warming up诗歌部分,围绕诗歌设置两个课堂练习,一是引导学生回顾儿时背诵过的诗歌,让学生进行英语诗歌的创作和学习。二是通过练习和讨论,引发学生的思考,让学生了解到写诗歌的目的。在Pre-reading部分设计课堂练习,让学生自由进行交流,分享自己喜欢的诗歌,通过阅读,发现诗歌内容和写作风格的不同认识到诗歌的种类以及不同国家诗歌的文化差异。教师可以通过设计学习任务,让学生以小组派代表的进行发言的情况而进行讨论,然后教师对学生的所有发言进行总结与归纳,列出学生所有的观点中异同之处,通过这样的日积月累,帮助学生扩大英语阅读的中词汇量与英语语言学习的要点。老师在培养学生思维能力的过程当中,应该充分挖掘发挥学生积极主动性,这样学生才可以充分体验,把英语学的更透彻。
四、结束语
学生思维品质的有效培养直接关系到学生的阅读水平,高中英语教师应该充分认识到这一点,将学生思维品质的培养融入到日常的英语阅读教学中,注重学生思维敏捷性、灵活性创新性的培养。
参考文献
思维品质与思想品质 篇11
思维是人脑对表象、概念进行分析、综合、抽象、概括、判断推理的过程。小学阶段的儿童，他们的思维正处于由以具体形象思维为主要形式向以抽象思维为主要形式的过渡阶段。数学无疑是锻炼学生思维的最有效的体操。可如何使学生练好这套“体操”，使他们的思维品质得到提升呢？我想，这就要求老师在数学教学的过程中，在教给学生掌握数学知识，培养学生的数学技能的同时，注意提升学生的思维品质。那么，良好的思维品质有哪些呢？又该如何来提升这些思维品质呢？对此，我结合自己的教学积累谈谈粗浅的认识。
一、在基础知识的学习中提升学生思维的正确性
思维的正确性是指学生的思维指向正确方向的活动。如果没有扎实的基础知识，就没有思维的正确性可言。因此，要提升学生思维的正确性，必须加强基础知识的学习，还必须防止相关知识的混淆，通过理解与变式练习消除一些影响思维正确性的障碍。
1.加强知识的理解。许多数学知识，特别是一些性质定律，只有理解，才不至于混淆出错，才能不断完善认知结构。如教学加数或减数接近整十整百整的简便计算时，应联系实际，用浅显易懂的实例弄明白为什么多加要减，多减要加，少加再加，少减再减的道理。
2.加强变式练习。在提升学生思维正确性的过程中，我们常常会发现，学生的一些定势思维、习惯思维、顺向思维如果与练习所需要的思维方向一致时，正确性就高。反之，正确性较低，甚至很低。为此，我们要开展变式练习，加强逆向思维的训练，克服由定势思维、习惯思维以及相关概念的交错带来的负面影响，提升思维的正确性。如教学“已知大数和相差数，求小数”，以及“已知几倍数和倍数求小数”这几类应用题时，要加强正逆叙述题目的对比。而且最好在正向叙述之后，训练学生能够转为用逆向叙述形式来表示。如教学改写和省略、周长和面积、整除和除尽、直线和线段等相关或相近的概念时，就要加强辨析，在辨析纠错过程中提升学生的思维的正确性。
二、在达标式训练中提升学生思维的敏捷性
思维的敏捷性是思维过程的速度问题。我认为，为了提升学生思维的敏捷性，对一些基础的知识，要在懂和会的基础上，向学生提出速度的要求。如一、二年级的学生在掌握了100以内的加减法和表内乘除法后，不能只停留在学生能算出正确的得数上，还应该进一步要求学生算得迅速，使他们在“对后求快”，最后达到“又对又快”，最终实现凭直觉说出得数，做到思维与计算同步。再如三到六年级的学生计算与应用题并重，既要求学生能又对又快地进行四则混合运算式题的计算，也要求学生能熟练地掌握一些常见的数量关系。坚持每日一题，让学生天天接受分析数量关系的思维训练，还要求学生在规定时间内完成一定数量的计算题练习或应用题练习，锻炼他们的注意力和解题速度。为此，我校多年来一直坚持每学期一次的低年级口算达标和中高年级的计算达标、应用题达际。这样的达标式训练是提升学生思维的敏捷性的有力保障。特别是低年级，通过达标训练，有许多学生能在3分钟左右正确地完成100道口算练习。
三、在发散性练习中提升思维的灵活性
思维的灵活性是指对问题能从不同角度，不同方向进行思考分析，能通过不同途径去探索和发现知识的规律，能将学到的知识、技能较好地进行迁移，使思维趋于多向性。为了提高学生分析问题和解决问题的能力，更好地提升思维的灵活性，我认为应该让学生掌握多种思考方法。比如知识之间的联系和区别可以通过比较的思考方法加深认知；在解答分数（百分数）、比例应用题、求平均数、和倍、差倍等典型应用题时可用对应的思考方法；用一般方法进行分析找不到正确的解题途径时，可用假设的方法使问题得到解决（如鸡兔同笼问题）；对顺向思考有困难的问题，要试着从逆向进行分析（如还原问题）；为了把问题变得更简单、更清楚、更容易求解，可以把问题由一种形式转化成另一种形式。为了提升学生思维的灵活性，我觉得还应加强发展性思维的训练。通过一题多解，围绕一个中心进行的发散性练习对提升学生思维的灵活性是有很大帮助的。但如何编选一些有发散意味的练习题来提升思维的灵活性呢？我认为可以从以下几方面加以考虑：1.选择起点灵活的。如“8=？”可以让学生根据自己已有的认识范围去选择答案。2.选择答案要满足多个条件的。3.能激发学生求知欲的。
四、在说理过程中提升思维的深刻性
思维深刻性是指对知识和知识之间的内在联系与其规律性的理解和掌握的程度。在教学中，我们不能就题论题，而应该就题论理。也就是要让学生不仅知其然，而且还要知其所以然。例如。在进行简便计算的教学时，不仅要使学生能正确迅速地简算，而且还要求说出这样简算的依据，甚至唤起学生对已学的简算方法的回忆，沟通知识之间的内在联系，开阔思维，提升思维的深刻性。我们也可以通过根据已知条件、补充问题或根据一个已知条件和问题补充条件，甚至在应用题里增加与解题无关的，但并不矛盾的多余条件教学来提升思维的深刻性。因为正确解答这类题目需要学生很清楚已知信息的作用和地位以及该选的策略。另外，我们还可以通过适当增加教材的难度来提升思维的深刻性，让学生在学习知识的过程中处于一种能够达到而又不是轻易达到的状态，要使他们既充满信心，而又常常感到自己的不足。
思维品质与思想品质 篇12
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.
例1某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?
解设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米, 由题意得:
故函数关系式为:S=x (50-x) .
如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0
这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化, 就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性.
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.
例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.
∴当x=1时, ymin=-4.
初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生了变化.这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:
故本题还要继续做下去:
∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.
这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便能体现出学生思维的灵活性.
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定时, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.
剖析经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.
故所求的函数值域是[1, +∞) .
以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便能体现出良好的思维批判性.
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.
例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.
解 (先求定义域) ∵x2+2x>0, ∴x>0或x<-2,
∴函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .
令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数;
在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.
又∵f (x) =log2u在[0, +∞) 是增函数.
∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间是 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .
如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性.
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.
例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.
解∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3],
∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,
∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目, 就很好地体现出学生解题思维的敏捷性;如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:
∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.
错误剖析因为以上做法是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断造成的, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因.
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