分形企业（精选12篇）
分形企业 篇1
20世纪70年代, 分形几何基本理论被学者曼德尔布罗特提出, 历经二十几年发展, 其业已发展成重要的新型学科之一, 在天文、生物、气象、化学、地学、经济、计算机科学、物理、材料学、艺术、管理学等众多范畴获得普遍运用, 分形几何已是目前世界范围内诸多学科探索的一个前沿课题。引入分形理论的管理学范畴, 给管理科学内诸多问题的处理提供了行之有效的新办法;引入分形理论的经济范畴, 其为众多学者运用于对多种纷繁复杂的经济现象进行阐述。
1 分形理论的涵义与分类
1.1 分形涵义
19 75年, 首个分形的涵义总结出台 (Mandelbrot给出) , 即Hausdroff维数超过它的拓扑维数总数。1986年, Mandelbrot再次进行了总结, 把分形描述为一个集合, 则一定程度的自相似性为它的整体和构成元素所具备, 不过事实上, 如果想要准确定义分形的概念, 并不简单。1990年的时候, Facloner对分形做过这样的描述, 分形可以表达成一个集合A, 则A应具备以下几个性质:
(1) 结构精细, 比例细节任意小;
(2) 不规则A的局部、整体均无法由传统几何语言对其进行相应的阐述;
(3) 一般来说, A有一种自相似形式 (或统计的或近似的) ;
(4) A的拓扑维数小于其某种分形维数;
(5) 让人有兴致的多数场合下, A的定义极其简单, 或属迭代产生。
1.2 分形的基本类型
1.2.1 简单分形
简单分形是说客体于能量、功能、时间序列、空间结构等诸方面所各自具备的单一自相似特点之一。这种分形仅要挑选一个标度便可以了, 其和事物的复杂多样化分形现象存在极大的差距, 因此, 要约束它的运用。
1.2.2 多重分形
对多标度复合分形所获得的复杂系统的描述即为多重分形。非线性复杂现象是其探索对象, 如混沌、湍流等, 这些复杂现象之分形特性务必得挑选众多标度, 表征时需多维数。
1.2.3 自仿射分形
由一种意在真实逼近实际分形现象所提出之繁杂分形之一为自仿射分形。自相似的关键之一在于, 如果把尺寸适当放大, 那么, 则无论什么样的分形元、分形整体均保持统一, “严格自相似性”别称随之产生。如果相似映射朝所有方向伸缩率都不一样, “自相似性”便随之不严格了, 换句话来讲, 一些局部转变并非相似映射却拥有自仿射特性 (我们通常称之为自仿射分形, 其属于普遍运用的一大类分形集) 。
1.2.4 随机分形
随机分形又叫“无规分形曲线”, 是指能够经由对众多资料分析、统计抽象获取, 也能够是严格决定的分形, 其拥有着小确定性因素分形曲线。这种分形属于对外表看起来纷繁凌乱的分形性质进行分析的有效方法之一。
1.2.5 分形维
某客体怎样占满其所处空间, 即为分形维。一个分形对象本身并无特点尺度, 让人不能对其形态、长度进行精确测量, 其中的不变量是分形维。
2 分形理论的发展
分形理论的发展步骤分为以下三个阶段。
2.1 第一阶段 (1875~1925)
分形的存在于此期间为公众所认识, 且从多典型分形对象构造出来, 与此同时, 讨论它们的最基本措施也被提出。19世纪, 可微、连续曲线虽已为人类所区别, 不过, 通常而言, 极为例外的现象是连续却不可微, 此一“怪物”理论探索时必须剔除, 尤其以为极少有某条连续曲线不面不可微之点。冯·科契于1904年时运用初等方法, 某种处处不可微连续曲线及其性质被其所研制成功。公众对于连续不可微曲线构造必然极其复杂这种观念被他的此一探索所彻底转变。不包括冯·科契曲线, 这个阶段的公众把诸如布朗运动、康托尔三分集、皮亚诺曲线等更多的分形对象提了出来。伴随探索分形对象的不断深入, 我们日益意识到, 分形属于社会中普遍存在的对象之一。豪斯道夫于1919年给出了豪斯道夫维数、测度, 来对它们进行阐述。
2.2 第二阶段 (1926~1975)
这个阶段, 公众全面探索了分形集性质, 既形成了相关理论, 也在数学众多分支内对其所有涉猎。与此同时, 熵维数、覆盖维数、Bouligand维数等相继出现, 研究维数理论同样收获颇丰。虽然这一时期对于相关领域的探索收获较多, 不过, 只是研究纯数学理论, 没有和其他学科产生关联, 却是绝大部分进行此项探索工作的人的重要不足。
2.3 第三阶段 (1975年到现在)
此一阶段, 所有领域中, 分形几何已经被充分地运用, 而且, 更重要的是独立学科的形成。学者曼德尔布罗特充分利用前辈成果, 从其自身的独特视角, 深入、全面地对地貌生成几何性质、银河系内星体分布、月球表面、电子通信 (具有强噪声干扰) 、海岸线结构等重要对象进行了创造性探索。他的研究成就显著, 令人叹为观止, 其于1975年以“分形、形状、机遇和维数”作为论述名称, 出版了其学术专著, 第一次全面对分形几何内容、方法、意义、思想进行了阐述, 意义重大。作为独立学科之一, 分形几何由此正式诞生, 1975年开始, 这种理论的数学基础及其应用, 发展均很快。因为分形几何应用性极强, 所以在经济管理、酶生成、模拟自然图形、识别模式、高分子链聚合、力学中断裂与破坏、材料结构与控制、物理学相变理论等领域, 分形几何运用均极普遍。
3 分形理论在企业管理中的应用
瓦内克 (1992年, 德国) 从欧洲企业本身特征给出了分形企业涵义, 即借助于分形几何内自相似性涵义来对某种先进生产模式进行阐述, 许多比较独立的单元组成此种企业, 此种独立单元即为分形企业分形元, 而分形企业自身即为一个最大分形元。他把企业体系内所有机构或子系统均看成分形元之一, 进而把繁杂制造体系进行简单分形单元划分。以下为其主要内容。
3.1 企业组织结构分形
企业分形为自组织, 可以自我生成满足且对企业总目标战略、战术有利, 能转化自己, 获得新分形单元。也就是构建企业组织以流程为关键, 依托企业资金流、信息流、物流对企业进行考察, 构建分形单元, 并行工作、团队组织受到关注, 扁平化结构, 管理层次减少, 自主自治控制、生产安排被强调;物流、过程方面, 考察产品的结构、制造、装配过程, 优化产品结构要从生产过程的系列化出发来实施;分类资源、产品, 构建加工、装配自治单元, 方法是过程优化、面向过程控制、准时制造;资金流方面, 引入成本预算系统来管理预算、成本, 且用单元实现控制、负责。因为单元成本预算管理系统透明性很好实现, 而且在成本减少, 交货及时等方面有直接推动功能。分形之间、内部以及环境之间, 信息保障构建均需有效。分形企业内所有的子系统于企业总体目标中的局部最优解自我寻找, 同时, 企业整体最优解经由互相协调、磋商获得。
3.2 企业经营过程分形
企业自身组织结构分形决定了其经营过程分形。结构分形时, 它的运行结果即为所有分形单元作用的正常发挥, 于企业组织所有层次内均有展示, 事关企业方方面面。分形企业运行时, 所有系统于同一目标作用影响下, 生产安排自行调适, 目的在于最优生产流程的完成, 最佳运行形式自我发现。因为企业的结构层次架构精细、复杂, 所以, 它们的生产、经营的实施和运行过程的层次结构也相应地展露出一定的相似性, 此一特性导致企业的运行分形相对复杂化, 具体体现在, 所有层次中都可以展示企业行为执行以及具体运行。而且, 企业运行体系属于“有人参与”的繁杂体系之一, 因为人的主观认知特点以及理性有限, 所以, 企业过程施行时, 人表现出强烈的个体倾向, 从而让企业在运营分形时的复杂动态特征也会呈现出来。
3.3 企业功能分形
系统功能即指系统和其外部环境的相互关系, 以及二者互动时的功效、能力、性质的展露, 属于系统之内比较平稳的组织次序、联系方式和外在表现形式 (时空形式) 。作为拥有特定权限、智能的自治体, 协同、自律为分形企业分形单元间所注重。企业整体目标中, 所有分形单元凭借组织及其互相间的协作体系, 迅速回应环境变化, 其所有机构依据市场规律配置组织内部资源, 实现资源使用的充分合理。所以, 所有机构作用比较雷同, 企业整体功能、部门功能同样有类似趋势。
4 实施企业分形管理
“局部、整体相似, 系统属于部分依一种规律之组合” (分形几何内) 这种根本思路被运用于分形管理, 把企业系统内所有机构或子系统, 甚至所有职员均看成分形元之一, 目标驱动方式为各分形元运行模式, 具备特定决策自主权, 分形元间可以互相启发、交流, 且生成动态结构, 如果环境变化, 就重构分形元, 以适应新环境, 进而, 动态适应能力被获取。
企业分形管理的实行, 有必要依据相似性原则来对分形元进行划分, 运用目标驱动机制同时完成分形元间交流 (开放式) , 如此, 分形元间重构能力方可生成, 也就是动态适应能力 (适应环境变化) 。换言之, 务必处理好下述三个关键事宜。
(1) 划分分形元。分形管理理论要求要从相似性开始, 把企业繁杂系统进行“分形单元”简单化划分, 让企业系统在功能、结构方面都具备分形方面的自组织、自相似特征。
(2) 分形元运行方式。作为拥有特定权限、智能之自治体, 分形元机制为目标驱动。其一, 全部分形元均对企业目标绝对服从, 这样, 分形元协作方能有效, 而且于整体方面表现有序;其二, 单个分形元有相应自主决策权及自身活动空间, 由此表明, 分形元既是执行体也是决策体, 其可以对内部流程进行自主决定, 同时能够自我优化 (依据整体环境、目标变化) 。
(3) 分形元间沟通机制。必须通过互相沟通, 分形元和别的分形元信息交流方可以完成, 评估其自身于整个组织体系内的功能、地位, 从而进一步对活动空间进行调整, 对内部过程进行持续健全, 构造新型的动态结构。分形元间沟通能力第一步就要由他们的相似性来决定, 分形元的价值观念、运作模式、结构形式等都必须要极其类似、高效交流, 方可以完成。
企业灵活的分形控制、管理可以迅速、有效地对它们的运营状态完成目标要求与否进行检测, 适时修订。经由对自组织、自相似理论实施企业制度安排的运用是企业分形管理模式关键所在, 构筑企业文化、管理人力资源、设计组织结构等众多方面均一起囊括其中, 这样, 对于持续转变的外部环境, 企业可以主动地进行适应。
5 结语
分形、复杂的企业系统特征要求我们必须要创新企业的管理 (施行分形管理) 。受分形理论启发, 企业分形管理模式自事物分形的特色来探索、考察企业的组织、管理模式, 而且, 其初步思想体系也因此形成, 这样做有利于让企业所属的所有职员在面对种种意料之外现状的时候, 可以把有关资讯向企业内的其他同事进行反馈, 这样做的最大好处在于增强企业的运营管理效率, 以及对外部环境的适应能力。
摘要：现代企业管理因为技术先进性、人员思想复杂性而呈现出一定难度, 如何有效进行现代企业管理, 直接考量企业管理层的智慧与能力。近年来, 分形理论研究日益成熟, 使得这一理论正越来越普遍地被运用于国内各企业管理之中, 企业分形管理模式源自于事物的分形特色, 由此来探索、考察企业组织、管理、运营模式。目前, 分形理论体系已初步形成, 这对于国内企业管理而言, 无疑是个利好消息。相信未来的企业管理在分形理论引导下, 必然会运转得更加流畅, 创造出更多效益。
关键词：企业管理,分形理论,运用
参考文献
[1]王玉玲, 马军海, 王晶.基于分形理论的企业管理研究[J].博士论坛, 2009 (3) .
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[3]胡志刚, 张国刚.基于分形理论的现代企业管理研究[J].企业技术开发, 2014 (5) .
[4]胡援.分形理论及其在管理领域中的应用[J].同济大学学报 (社会科学版) , 2003 (2) .
[5]埃德加·E.彼得斯著, 王小东译.资本市场的混沌与秩序[M].北京经济科学出版社, 1999.
分形企业 篇2
目录简介目录简介
《分形（第2版）》是《分形》的第2版，第1版在1995年8月由清华大学出版社出版。《分形（第2版）》以自然界中普遍存在的非平衡非线性复杂系统中自发形成的各种时空有序状态（或结构）为研究对象，介绍了分形理论的基本概念、数学基础和研究方法，及其在凝聚态物理学、材料科学、化学、生物学、医学、地震学、经济学等学科中的应用。 《分形（第2版）》内容丰富、生动形象，并附有适量的计算机模拟程序，可作为对非平衡非线性研究感兴趣的各学科研究工作者学习分形理论的入门书，也可作为大学本科生和研究生学习分形理论的教材和参考书。
目录绪论 第1章 非线性复杂系统与非线性热力学 1.1 自组织现象 1.2 自相似性 1.3 标度不变性 1.4 非线性非平衡态热力学 第2章 分形的数学基础 2.1 非欧氏几何学 2.2 Hausdorff测度和维数 2.3 维数的其他定义 2.4 非均匀线性变换 2.5 重正化群 第3章 经典分形与Mandelbrot集 3.1 Cantot集 3.2 Koch曲线 3.3 Sierpinski集 3.4 Julia集 3.5 Mandelbrot集 第4章 分形维数的测定 4.1 基该方法 4.1.1 改变观察尺度求维数 4.1.2 根据测度关系求维数 4.1.3 根据相关函数求维数 4.1.4 根据分布函数求维数 4.1.5 根据频谱求维数 4.2 盒维数 4.3 函数图的维数 4.4 码尺与分形维数的关系 第5章 产生分形的物理机制与生长模型 5.1 产生分形的物理机制 5.2 分形与混沌 5.3 分支与自组织 5.4 有限扩散凝聚（DI。A)模型 5.5 弹射凝聚（BA)模型 5.6 反应控制凝聚（RI。A)模型 5.7 粘性指延与渗流 第6章 分形生长的计算机模拟 6.1 DLA生长的Monte Carlo模拟 6.2 DLCA生长模拟 6.3 各向异性DLA凝聚 6.4 扩散控制沉积的模拟 6.5 复杂生物形态的模拟 第7章 气固相变与分形 7.1 氧化钼的分形生长 7。2碘的分形生长 7.3 氧化钨的分形生长 7.4 核晶凝聚（NA)模型 第8章 分形生长的实验研究 8一合金薄膜 8.2 电解沉积 8.3 溅射凝聚 8.4 非晶态膜的晶化 8.5 粘性指延 8.6 电介质击穿 8.7 水溶液结晶 第9章 不同体系中的分形生长 9.1 氧化亚锡从结晶生长到分形生长 9.1.1 快速冷却 9.1.2 慢速冷却 9.2 猪胆汁从结晶生长到分形生长 9.3 人胆汁的分形生长 9.4 硼酸晶体的分形生长 9.5 真空中非晶碳的分形生长 9.6 电子辐照在聚丙烯中引发的分形生长 第10章 自组织生长 10.1 自然界的自组织生长 10.1.1 北极的地表砾石组成的环形图形 10.1.2 沙漠的有序图形 10.1.3 变幻莫测的云 10.1.4 人类基因DNA序列图 10.1.5 海贝壳 10.1.6 珊瑚表面的有序结构 10.2 氧化镉的自组织生长 第11章 分形理论的应用 11.1 生物学 11.2 地球物理学 11.3 物理学和化学 11.4 天文学 11.5 材料科学 11.6 计算机图形学 11.7 经济学 11.8 语言学与情报学 11.9 音乐 第12章 分形理论的发展 12.1 广义维数和广延维数 12.2 多重分形 12.3 分形子与无序系统 12.3.1 分形固体的振动（分形子的引入） 12.3.2 分形子的实验观察 12.3.3 分形子动力学理论 12.3.4 分形子与谱维数 12.4 小波变换的应用 12.5 涨落与有序 12.5.1 涨落 12.5.2 涨落和关联 12.5.3 涨落的放大 12.6 研究方向 附录计算机模拟源程序 参考文献
分形几何 篇3
康托尔三分集
1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.
皮亚诺曲线
取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.
谢尔宾斯基三角形垫片
1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.
谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.
门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.
海岸线有多长
1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.
曼德尔布罗
基于分形几何的分形图绘制与分析 篇4
现代数学的一个新的分支——它是由美籍法国数学家曼德勃罗 (B.B.Mandelbrot) 1973年在法兰西学院讲课时, 首次提出了分形几何的设想。分形 (Fractal) 一词, 是曼德勃罗创造出来的, 其原意具有不规则、支离破碎等意义, 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的, 因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。
2 分形的定义
目前分形还没有最终的科学定义, 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义。
(1) 分形是Hausdorff-Besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多Hausdorff维数是整数的分形集合排除在外, 例如:经典分形集合Peano曲线分形维数。
(2) 局部与整体以某种方式自相似的形, 称为分形。
然而, 经过理论和应用的检验, 人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上, 对于什么是分形, 到目前为止还不能给出一个确切的定义, 正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样, 人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
(1) 分形集合在任意小尺度下, 它总有复杂的细节, 或者说它具有精细的结构。
(2) 分形集合是非常不规则的, 用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体, 它既不是满足某些条件的点的轨迹, 也不是某些简单方程的解集。
(3) 分形集具有某种自相似形式, 可能是近似的自相似或者统计的自相似。
(4) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”, 严格大于它相应的拓扑维数。
(5) 在大多数令人感兴趣的情形下, 分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。
3 分形研究的对象
几何学的研究对象是物体的形状, 在自然界中, 许多物体的形状是极不规则的, 例如:弯弯曲曲的海岸线, 起伏不平的山脉, 变化无偿的浮云, 以及令人眼花缭乱的满天繁星, 等等。这些物体的形状有着共同的特点, 就是极不规则, 极不光滑。但是, 所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的, 例如:初等平面几何的主要研究对象是直线与圆;平面解析几何的主要研究对象是一次曲线与二次曲线;微分几何的研究对象是光滑的曲线与曲面;代数几何的研究对象则是复空间中的代数曲线, 等等。
把凹凸不平的地球表面看成是绝对光滑的球面或椭球面。虽然在许多情况下, 这样做并不妨碍我们得到非常符合实际的结论, 但是, 随着人类对客观世界的认识的逐步深入以及科学技术的不断进步, 这种把不规则的物体形状加以规则化, 然后进行处理的做法已经不另人满意了。在20世纪70年代中期, 一门新型的几何学脱颖而出——分形几何学, 就是用来深刻地描述大自然本身的几何学, 它能深刻地刻划大千世界充满奇异而神秘的各种极不规则极不光滑的对象, 这是数学发展史上的一个新世界。事实上, 可以把分形看作是自然形态的几何抽象。
4 分形图绘制与分析
4.1 基于L系统的分形图绘制
L系统是生物学家Lindenmayer于1968年从植物形态学角度提出的一套用以描述植物树木的方法, 开始时只着重于植物的拓扑结构, 即植物组件之间的相邻关系, 后来才把几何解释加进描述过程, 形成后来的L系统。这个系统的高度简洁性和多级结构, 为描述植物树木生长和繁殖过程的形态和结构特征, 提供了行之有效的理论和方法。L系统不但能描述植物, 而且其构图方法也可用来绘制各类有规则分形曲线及其它形状。
L系统是基于符号重写系统。即用一个重写规则逐次地置换初始对象的各个部分来确定一个复杂的对象。分形L系统可以模拟各种植物的形状。根据不同的改写规则可以画出不同的植物形, 用于模拟自然景观可达到形象、逼真的效果。 (如图1所示)
4.2 基于I F S迭代函数系统的分形图绘制
迭代函数系统 (Iteration Function System, 简称IFS) 是分形几何学的重要分支, 它也是分形图像中最富生命力并具有广阔应用前景的领域之一。IFS是M.F Barnsley于1985年发展的一个分形构形系统。IFS的理论包括以下几方面的内容:压缩映射、度量空间、不变紧缩集的存在以及测度理论等。迭代函数系统在一大类物体的建模问题中具有很大的优势, 特别是对自然景物的计算机模拟生成优势更为明显。实际上, 只需给出几个仿射变换的系数, 就可基本确定一个物体的迭代函数系统。正因为如此, IFS在图形学中有着广泛的应用。其中, 可视化技术的研究由2D分形对象拓广到3DFractal;由IFS研究的自相似的分形图扩大了其应用范围, IFS变换不必仅限于仿射变换;在用IFS建摸的研究中实现了对原图形的几何变换, 将IFS中的线形变换推广到非线形变换;对自然景物计算机生成问题的探讨, 其建摸方法亦由二维推广到三维。如图2基于IFS迭代函数系统所绘制的三维树叶分形图。
另外, 由于IFS代码可以描述形态各异的对象, 这就意味着可以用极少量的数据就可描述复杂的图像图形, 因而IFS具有很强的图形数据压缩能力。
4.3 基于IFS迭代参数渐变的分形图绘制与分析
用IFS (Interated Function Systerm) 产生分形图。
以表1中的参数为迭代码可以产生Sirp inski三角形。 (见图3 (a) 所示) 。
只改动参数d4=0.3, 则可以生成图3 (b) 示Sirpinski三角形。
以表2中的参数为迭代码可以产生一个树叶。 (如图3 (c) 所示)
把树叶迭代码与Sirpinski三角形迭代码之间缩小差距, 缩小比例为0.25、0.75, 可以看到逐渐向三角形过渡。 (如图4所示)
4.4 基于复动力系统的分形图绘制
复动力系统的分形集合主要包括Mand elbrot集和Julia集。Mandelbrot集是分形中最著名的分形集合, 它是分形创始人Mandelb rot在非线性领域中作出的杰出贡献。Julia集是在21世纪初法国数学家G.Julia和P.Fa tou分别研究过的一种多项式和有理函数的迭代, 当时由于缺乏相应的图形工具而使研究中断, 直到计算机图形学的出现才使其重获生机。Mandelbrot集和Julia集都是通过在复平面中G (Z) =Z2+C的反复迭代而得到的点的序列, 其中C和Z均为复数。由Ju lia集与Mandelbrot集呈现在人们面前的美妙图象令艺术家们叹为观止, 将这种艺术图形用于纺织印染、广告印刷、工业设计、邮票制作、服装设计及计算机教学等方面, 其经济效益和社会效益均具有广阔的应用前景。
5 结语
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。分形图形绘制的方法有L系统、迭代函数系统IFS、复动力系统等。IFS吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。
参考文献
[2]刘甲.IFS交互式参数控制算法研究与应用[J].信息技术与信息化, 2011.
[分形几何]IFS系统的实现 篇5
用这个系统，可以生成很多自然景观，如树等.
先看用这个系统可以生成的一些效果:
很有意思，不是吗?
那么，这样的图形是如何通过程序进行控制的呢，其实从应用的角度去理解，还是相当好懂的，
那就是仿射坐标变换.
何谓仿射坐标变换,便是旋转，扭曲，平移三种效果的迭加。
数学上对应的变换矩阵为:
所以，只要能根据我们最后所需要的迭代效果，确定出a,b,c,d,e,f的具体取值(当然，这同时也是最难的)，根据我们所定出的需要显示的像素点，便能达到显示的效果.
下面摘录一些我所收集的IFS系统的相应参数(xml文件数据格式)中的参数依次为a,b,c,d,e,f,p(p指的是这种迭代效果出现的概率)
LEVY曲线:
0.5,-0.5,0.5,0.5,0,0,0.50.5,0.5,-0.5,0.5,0.5,0.5,1
分形树:
0,0,0,0.5,0,0,0.050.42,-0.42,0.42,0.42,0,0.2,0.450.42,0.42,-0.42,0.42,0,0.2,0.850.1,0,0,0.1,0,0.2,1
羊齿草:
0,0,0,0.16,0,0,0.010.85,0.04,-0.04,0.85,0,1.6,0.860.2,-0.26,0.23,0.22,0,1.6,0.93-0.15,0.28,0.26,0.24,0,0.44,1
FLAMBOYENT皇冠:
0.25,0,0,0.5,0,0,0.1540.5,0,0,0.5,-0.25,0.5,0.461-0.25,0,0,-0.25,0.25,1,0.5390.5,0,0,0.5,0,0.75,0.8460.5,0,0,-0.25,0.5,1.25,1
下面给出的是AS2中的具体实现(只列出核心部分):
functionmainF(inTransXml:XML)
{
vari:Number=0;
varj:Number=0;
vartmpStr:String=newString();
vartmpArr:Array=newArray();
_root.gIteratorLimit=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.iterLimit);
_root.gFps=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.fps);
_root.gXOffset=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.offsetX);
_root.gYOffset=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.offsetY);
_root.gConditionTimes=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.conditionTimes);
_root.gScale=parseInt(inTransXml.firstChild.attributes.scale);
for(i=0;i<_root.gConditionTimes;i++)
{
tmpStr=newString(inTransXml.firstChild.childNodes[i].childNodes[0]);
tmpArr=tmpStr.split(“,”);
_root.a[i]=Number(tmpArr[0]);
_root.b[i]=Number(tmpArr[1]);
_root.c[i]=Number(tmpArr[2]);
_root.d[i]=Number(tmpArr[3]);
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curIndex=Math.random();
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_root.Xn_1=_root.a[0]*_root.Xn+_root.b[0]*_root.Yn+_root.e[0];
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case3:
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_root.Xn_1=_root.a[0]*_root.Xn+_root.b[0]*_root.Yn+_root.e[0];
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default:
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lineStyle(1,nodeColor,100);
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}
中国宏观经济的分形特征 篇6
关键词：GDP股指分形标度区
中图分类号：F20文献标识码：A文章编号：1007-3973(201})003-135-01
1、引言
本研究应用数理模型——分形理论对1990年以来近二十年的国民经济运行的发展进行评估，利用中国近二十年来GDP与沪市股指的数据，首先通过严格的分形测度，利用双对数曲线证明两指标具有分形的特征，求出分维数和拟合函数方程；对计算出的分维指数进行分析，同时对宏观国民经济未来发展变化趋势做出判断。
2、数据与方法
2.1数据处理
本文选取GDP和沪市股指作为研究对象，来代表研究时段中国宏观经济发展的基本状态。数据来源于1990年以来的《中国经济统计年鉴》。在获取数据的过程中，对原始数据进行录入、修正等预处理。在地理信息系统软件支持下，对处理后的地形图进行矢量化，提取两指标的特征数据。相关数据处理主要借助Excel2007、SPSS等软件完成。
2.2數理模型
可以设定一个尺度r(r用位序等表示)及对应的N(r)(用经济总量表示)。显然，改变尺度r，区域经济总量N(r)也会改变，当r由大变小时，N(r)不断增大，满足关系式。
3、分形测定
3.1分形的判定
为了揭示GDP与沪市股指是否具有分形特征，首先利用双对数坐标图进行直观判断。利用数据，分别做GDP与沪市股指与位序的双对数坐标图，发现点列的线性分布趋势明显。借助最小二乘技术，分别用指数函数、对数函数、二次多项式函数和幂指数模型进行拟合，发现幂函数效果最好，幂指数函数拟合的测定系数均在0.99以上，而其它3种模型的测定系数与它相差较大。如就沪市股指而言，(负)幂指数模型的测定系数高达0.994，而指数函数、对数函数和二次多项式3种模型拟合的测定系数分别只有O.6734，0.5140和0.2523，判定两者具有分形特征。为了进一步确定上述判断，结果表明，历年GDP规模和沪市股指规模均服从式(2)表征的负幂律，即具有分形特征。
3.2测度结果
在双对数坐标图上，虽然点列整体上具有良好的线性分布趋势，但部分数据点对回归直线稍有偏离。充分说明，分形分布不是从一开始就出现的，当经济现象的分布从无序走向有序，从混沌走向稳定的时候，两者的中间过程才出现分析特征。也就是说，绝大多数情况下，只有当分形测度尺度在一定范围之内，这时才真正出现分数维测度。另一方面，当测度尺度小于或大于一定值时，数据点对回归系数有较大影响，这暗示在此分形出现的边界，在这个范围之外，系统的自相似性开始减弱。可见，国民经济结构也如同其它分形系体一样，只是统计上的分形体，并且自相似结构的出现是有尺度限制的。这个尺度范围就是所谓的无标度区。不过，经济领域各系统的无标度区相对于整个数据分布并不十分突出，本研究给出两种计算结果，一是让全部数据点列进入回归，二是只拟合无标度区的数据点列。
4、结论与讨论
本文探讨了GDP总量和股票规模作为分形结构的演化特征，进一步中可推知，国民经济系统最具有分形结构特征。
第一个方面：GDP总量和股指规模分形特征明显。从表2中可以看到，模型的拟合优度R2总体较高，相关系数较高。无标度区点列回归的拟合优度GDP为0.9953，沪市股指为0.999，分维的标准误差分别为0.0345和0.015。作为参照，全部点列回归结果的变化特征与无标度区点列完全一致。据有关学者研究，当维数D的标准误差低于临界值δc=0.04，就可认为事物的分布是分形的。本文两指标全部符合这个标准，GDP的全部点列的分维标准误差为0.035，就低于0.04的临界值。
第二方面：股票市场尽管股票市场也具有分形的特征，但是拟合曲线更有复杂，说明中国股市的人为干扰因素较多，一般认为：西方成熟的股票市场由于受市场规律的支配作用更强，其分布呈现成熟的分析结构。与西方相比，中国股市表现有以下不足。
(1)19年中有8年是跌的。11年是涨的，每年跌的概率是42.1％，涨的概率是57.89％。涨的概率接近6成。
(2)上证指数的波幅总是大于涨跌幅。
(3)波幅最小的是2003年26.17％。1992年是最大的波幅达到388％。19年以来每年平均的波幅达108.83％。
由GDP与股指进行回归分析，探讨两者的因果的关系，回归系数仅为0.895，可见，中国股市的变动较大，其发展并不能很好的表现强劲的中国经济的发展。但是GDP总量对股市具有明显的影响。
参考文献：
分形企业 篇7
分形理论是几何学的分支学科之一。最早是由美国数学家本华·曼德博提出, 他撰写的论文《英国的海岸线有多长》初涉分形思想;1975年他正式创立分形几何学;1982年由他出版《大自然的分形几何学》, “彻底改变人们对分形的认识”。现在这个自然科学的理论服务高校课程改革, 既符合规律:“科技发展的新理论、新思路、新观点、新方法不断地冲击着高等学校的课程改革”, 又使得高校课程改革“无论在内容上和形式上都有所创新”。
一、分形课改的创新意义
1. 分形理论新应用。
分形思想由来已久, 可以追溯至17世纪德国数学家莱布尼茨的“回归自相似”概念。20世纪初受到数学界的广泛关注, 包括the Sierpinski Gasket, the Koch Curve, 柯克曲线等。但是, 分形思想真正上升到理论高度, 离不开曼德博的深入研究。他指出:分形的概念是“组成部分以某种方式与整体相似的形称为分形”;然而, 有人认为, 分形具有不规则的精细结构;形状或者统计意义上的自相似形式;和迭代生成的性质。自相似形式是化繁为简, 拼贴复杂形体的前提认识;迭代则是复杂形体的生成法则;仿射则是复杂形体多维存在的可能。正是因为分形理论化繁为简, 它不局限于复杂几何形体的描述, 也可“将由信息、功能、能量、时间等‘量’构成的具有自相似的对象称为分形行为”, 及时跟踪事物发展进程, 颠覆人们传统平面或立体的思维。分形理论在近三十年来发展迅猛。但在社会科学领域罕有建树。杨社平教授把分形理论引入课程变革实践, 拓展分形理论的应用领域, 通过利用自相似性、迭代性以及仿射性, 揭示复杂分维现象的成因, 归纳复杂课程改革之后的数学逻辑。
2. 结构建导新工具。
以分形理论实现课程建导, 受到结构主义思潮的影响。结构主义应该不是艺术流派宣扬的Structurism, 而是“ (一定的) 结构支配并决定着一切社会现象的性质和变化”。课改理论使用的工具, 往往是瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论和美国心理学家布鲁纳的学科“普遍性”理论。这两种理论, 前者强调以人为课程变革的中心, 初步建构人的认知结构;后者强调以学科自身为课程改革的中心, 从学科的结构入手, 掌握学科基本的概念、定理和范畴, 知识迁移。
然而, 分形理论是结构建导新工具。从简单结构出发, 批判地吸收认知心理和具体学科的优势, 打通心理和学科的双向轨道, 你中有我, 我中有你, 不断调整, 适度迭代, 克服了课程冲突的可能。因为, 以认知心理为中心, 过于把课程看作是一种目的, 预计教学活动的可能结果, 并以此为评判标准, 一切以达到结果为要旨, 教学成为实现结果的策略;以学科为中心, 过于把课程看作是一种手段, 强调实施的过程和过程本身的价值。分形理论成为结构建导新工具还体现在开放性和灵活性。它可以描述各种非线性系统:记录动力系统的变形, 测度布朗运动的手段, 把握多重分形的迷惑等。既然不怵动态, 随机和重合的各种可能, 分形理论的灵活性可见一斑。开放和灵活使得结构建导不会僵化。
3. 本土研究新探索。
课程改革扎根本土。本土化现实在“民族理论与政策”课程改革真正下移到县情和市情。没有宏观层面的高谈阔论, 没有微观层面的锱铢必较, 从中观出发, 从县市各民族实际出发, 为政策铺垫事实依据。如以专题调研报告成书的《隆林各族十二和》, 基于分形理论, 图文并茂地呈现各族团结, 佐证“十二条”的切实性。如以百色市民族实际编写的《五彩七韵十二和》, 基于分形理论, “解读中国特色社会主义民族理论政策体系”, 丰富教学资源。突出本土特征, 丰富立德树人的内涵。有人说, 社会主义核心价值观是具体的德目;有人说:“确立起马克思主义的立场, 形成社会主义核心价值观, 具有社会公德、职业道德、家庭美德和个人优良品德”;还有人说:“培养具有民族情怀、祖国情结、社会意识、人文素养与发展潜能的学生”。而在杨社平老师看来, 立德树人就是和谐素质的培养。和谐素质包括自然与人、人的自身、人际之间、人与社会和人与国家五个范畴。这五个范畴以人为本, 通过人与自然、人、社会和国家等各要素的关系替代要素本身意义, 弥补各种不足。
二、课程组织的自相似性
1. 课程纲要的吸引子。
吸引子是非线性耗散系统的重要概念, 也是系统存在分形的充分条件。“一个吸引子就是一个集合并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上”。非线性耗散系统是一个开放的系统, 在交换过程完成后达到稳定, 交换过程中的无规运动会趋向吸引子, 进而产生分形。“民族理论与政策”的课程改革也可以看为一个非线性的耗散系统, 课程改革的过程中, 难免会出现非线性、随机性和耗散性的局部特征。既然如此, 这门课程纲要的吸引子又是什么呢?即中国特色社会主义民族理论政策体系“十二条”, 这是第四次中央民族工作会议中确认的。它们高度概括民族范畴, 深刻点明民族问题, 充分展现解决民族问题的战略思想。“十二条”就是十二个不同的吸引子, 或者说是十二个不同的集合, 吸引集合内的所有轨道, 巧如大唐雅乐“孝孙十二和”———豫和、顺和、永和、肃和、雍和、寿和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依据十二个不同的集合, 注入广西壮族自治区的民族实情, 条分缕析, 逐一解读“十二条”的具体内容。
2. 教材内容的自相似。
既然曼德博的定义点明“自相似”, “自相似则应是分形所必要的条件和一种普遍的特征”。再从吸引子的概念梳理, “自相似”体现在各个与整体相似的吸引子的关系中。“民族理论与政策”课改的自相似, 反映在教材内容上面。《民族大义十二和建导纲要》是广西民族大学“民族理论与政策”必修课, 教材各个板块和板块内部的章节都彰显自相似。全书分为四大板块:“焦点指月谈”“诸和三棱镜”“乡土万花筒”和“建导情趣园”, 板块中深入拓展“十二条”内容。“焦点指月谈”阐述理论, “逐一解读‘十二条’的基本内容”, 指月, 典于《楞严经》, 喻意莫因“指”而失“月”, 莫由“教”而亡“法”, “月”和“法”均代指民族政策的精粹。“诸和三棱镜”聚焦前沿, 反省过去政策的历程, 思索未来理论的走向。“乡土万花筒”联系实际, 以广西12个市居民族概况, 本土的实际情况, 更好地认识中国特色社会主义民族理论。“建导情趣园”反馈教学, 内化理论, 契合“十二条”要义, 由学生自主打造得意作品, 记录成长过程。板块内部再次分形, 以“焦点指月谈”为例, 又分为“民族原理”“国是定理”“关系调控”和“发展对策”四章, 丰富理论内容。
三、课程生成的迭代法则
迭代是重复过程以达到结果或预定目标的行为, 分形理论离不开迭代的存在, 有人甚至数学证明了柯克曲线的迭代。通过证明过程, 可以看出迭代离不开精确的节点和稳定的结构。只有畅通迭代节点, 稳定迭代结构, 才能落实分形课改的主张。
1. 畅通迭代节点。
畅通的迭代节点是下一次迭代的有利条件。例如, 函数f (x) =x2+2, 求f{f[f (1) ]}的值。f (1) =3;f (3) =11;f (11) =123, 三次迭代f{f[f (1) ]}的值是123。若第一步迭代数值计算错误, f (x) =2, 最终结果变成38, 相差甚远。可见, 每个迭代的节点需要畅通, 否则经过几轮迭代, 云泥之别显而易见。在“民族理论与政策”课程改革中, “习”“研”“演”“练”的教学模式帮助学习者畅通各个迭代节点。 (1) 习得。“习得”是课程改革的起点, 它更强调的是学习者内化知识的整个过程而非最终结果。课程改革应是一个非线性耗散系统, 这个系统决定了“习得”不可能一蹴而就、伸手得到, 而必须历经批判再批判、否定再否定的螺旋式发展。正是如此, 我们应该培养动态的眼光, 摆脱静态预设的束缚, 在动态中审视“习得”的过程, 在动态中对所获“习得”做出恰当的判断。一切僵化的教学反馈, 都很容易贻误迭代的最佳时机。 (2) 研讨。“研讨”是在“习得”基础上的纵向深化。“研讨”应找准靶子, 对准目标, 有的放矢。以不同教材中的概念、定义或结论为靶子, 通过剖析对比和联系实际的方法, 发现异同之处。“研讨”还要有平台, 平台可实可虚, 既有实实在在的课堂“研讨”环节, 也有虚拟的网络“研讨”空间。海德格尔曾认为, 真理女神总是把人们带到两条路的交口, “一条是揭示之路, 一条是晦蔽之路”, 真理 (揭示状态) 总是要从晦蔽的状态中“研讨”出来。自然, 研究求深刻, 讨论立共识, 深层次的共识才能更好推动迭代, 任何敷衍的讨论或者巨大的分歧都会左右迭代的效度。 (3) 演绎。“演绎”是“习得”基础上的横向扩展。“演绎”可以迅速膨胀的“习得”, 以点带面, 以静蕴动, 以实冲虚。师生在自由活跃的课堂气氛中, 演示彼此作品, 展现各自“习得”;过程中, 师生作品可以比较, 学生之间可以比较, 比较是为了理解, 也是为了交流, 更是为了提升兴趣。演绎的手段多种多样, 有登台演讲、诗歌表演、舞蹈渲染、小品点缀、绘画涂鸦和手工艺品等。这样, 迭代的节点不再干瘪, 在一定层面上具有很强的延展性。 (4) 练悉。“练悉”是“习得”的进一步升华。“练悉”既是一种间断连续状态的描述:“练悉”是一个间断的状态, 各个迭代节点的“习得”、“研讨”和“演绎”总是需要时间, 串联课堂与实践, 随着时间的流逝, 各种摩擦和矛盾难免死灰复燃;“练悉”又是一个连续的状态, “习得”、“研讨”和“演绎”使得各个迭代节点, 不断滚动, 不断运转, 螺旋上升。这样, 生硬断裂的弊端可以克服, 畅通迭代节点有所保障。
2. 稳定迭代结构。
稳定的迭代结构是达到预想目标的条件。例如, 函数f (x) =x2+1, 求f{f[f (1) ]}的结果。三次迭代是26。若开始误为f (x) =2x+1, 三次迭代是513, 迭代结构不同致使结果匪夷所思。迭代是一个复杂的过程, 欲维持迭代结构, 必须依靠“趣”“情”“励”“合”, 才“帮助学生完成他们的学习过程。” (1) 趣兴。“趣兴”是“智力活动的推动力量”, 它是一种趋向, 建立在强烈需求的基础之上。迭代结构需要把握好“趣兴”的积极意义, 恰当使用, 出其不意。语言形式上, 诗歌、对联、谜语和典故等左右逢源;表达手段上, 影视、音乐、动画、和广告等信手拈来, 以此为切入点使学生积极参与, 持久互动。同时, 也要尽力克服完全以“趣兴”为中心, 要能放能收, 张弛有度, 再多的欢乐只是正规课程的铺垫, 真正的教学功夫不在于能够抖多少包袱, 而是抖出的包袱都能收回来, 谨防学生注意力的弥散。 (2) 情感。“情感”是在“趣兴”基础上的主体内部稳定, 是学生适应课程、获得发展的重要工具。美国心理学家埃里克森断言:尽管不同文化的差异客观存在, “情感的发展变化及其与社会环境的相互关系却遵循着相似的方式”。课堂上激发、尊重和引导学生的情感诉求, 可以催化整个学习过程, 优化学习的效果。 (3) 励节。“励节”是在“趣兴”基础上的主体外部刺激, 它是教师以正面的方式, 用正面的案例或言语, 从外部调控学生的“趣兴”嬗变。中国古人早就意识到这一点:“名可务立, 功可强成。所以君子积志委正, 以趣明师;励节亢高, 以绝世俗”。“励节”存在教学活动的过程中:教学初, 以崇高的目标振奋人心, 跨越抵触的丘壑;教学中, 教师身先士卒, 不畏艰辛, 师生互励, 同舟共济;教学末, 鼓励学生反刍, 以教学所知所感打造得意之作, 内化教学成果。所以, 通过恰当的控制和评价———弱则鼓励, 强则节制, 真正巩固教学效果。 (4) 合尖。合尖是维持迭代和实现成功的最后一步策略, 涉及“趣兴”、“情感”和“励节”三方面的融合, 充实里子, 光鲜面子, 里外融合, 最终使得“来自不同时期、不同层面、不同形式的优秀元素形成合力”, 达到课程改革的预想。
四、课程改革的仿射效应
仿射变换是线性变换的一种重要形式。“一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距离、图形的面积等”, 通过仿射变换, 图形或是伸长, 或是缩放, 或是旋转, 或是裁剪, 例如巴恩斯利蕨。分形具有相似变换的特点, 只是仿射变换的特例而已。“民族理论与政策”课改若视为分形原理的相似变换, 那么, “民族理论与政策”教学团队的构建和跨学科课改则可视为分形原理的仿射变换。
1. 团队仿射连理。
教学团队是依据DLA的模型仿射生成。DLA为“扩散受限聚集”, 体现非平衡生成和凝聚的特点。常见模型分二维和三维两类, 是一定距离不断释放离子的过程。
团队的核心吸引子是龚永辉老师, 在其努力下, 教学团队初步成型;这个团队中, 有的负责教学的内容设计, 有的专攻教学的建导, 还有的完善教学的网络设计, 众人拾柴火焰高。三年努力, 这个团队从青涩逐渐走向成熟, 早期团队成员转而成为新的吸引子, 凝聚各学科的学者, 释放团队更大的影响力。如今, 这个团队已经发展为29人, 青年居多, 生机勃勃。就是这个团队, 为课程改革和创新立下汗马功劳, 也为形成课程群奠定基础。
2. 课群仿射辉映。
既然教学团队凝聚了各学科的成员, 分形的原理也被自觉地带入了相关学科的建导。文史课程自觉分形建导。广西民族大学的“公共关系学”课程, 仿射“民族理论与政策”的课程纲要, 从“十二和指月谈”“十二和放大镜”“十二和训练场”和“十二和情趣园”这四个板块, 层层生成自相似课程。除此之外, 理工课程也自觉分形建导, 尤其以杨社平教授亲自主持的“数学作文”最为典型。
五、分形课改的刍荛之见
分形理论是高校课程改革的亮点, 但并不是唯一方法, 也要依靠教育学的原则和方法。另一方面, 分形理论的自身依然具有一定局限性。还要辩证考虑混沌现象和混沌理论的存在。混沌理论是数学分支之一, 用来描述非线性过程中出现的混乱复杂的现象。最早发现混沌运动的研究是庞加莱的三体问题;真正让混沌运动上升为混沌理论的人是气象学家劳伦茨, 正如“蝴蝶效应”, 动态系统的运动轨迹和初始条件紧密关联, 初始条件的轻微变化———量的增减、质的优劣和结构组合, 都可能出现分叉, 最终, 差之毫厘, 谬以千里。人们的宏观预测往往作用甚微。混沌理论和分形理论关系密切, 但是含义迥异。
混沌现象也存在于课程改革的过程中, 无论是迭代节点的连续, 还是迭代结构的维持, 事实上都可能发生极小偏差, 这些看似微不足道的东西, 也许就会产生一系列的连锁反应, 使得课程改革的目标和结果大相径庭。《课改分形论》也应考虑到这种“意外情况”的存在, 以具体的章节或者典型的案例来说明:分形理论的课程变革是如何克服混沌现象的干扰。
摘要：杨社平教授以分形理论服务高校课程改革, 践行“立德树人”。分形理论是几何学的分支学科之一, 近年来发展迅猛, 广泛应用于自然社会科学的各个领域。从分形理论的应用新领域、结构建导新工具、本土研究新探索三个方面, 展现分形课改的新意。吸引子是课程纲要的活力所在, 自相似是教材内容的突出特点。迭代是课程生成的重要法则, 以“习”“研”“演”“练”的教学模式畅通迭代节点, 靠“趣”“情”“励”“合”的教学策略稳定迭代结构, 最终才能落实分形课改的主张。通过分形理论仿射效应, 教学团队连理, 多科课程辉映。由此可见, 课程改革卓有成效, 卓尔不群。建言课程改革还可从混沌现象和混沌理论汲取养分, 踵事增华。
分形几何 篇8
康托尔三分集
1883年 ,德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合:取一条长度为1的直线段,将它三等分,去掉中间一段,将剩下的两段各再三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段各再三等分,这样一直继续操作下去,直至无穷,便可得到康托尔三分集.
皮亚诺曲线
取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形, 然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束,依次将小正方形的中心连接起来;下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形,然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去,以至无穷,也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说,一维的直线是不可能填满二维的平面的,但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.
谢尔宾斯基三角形垫片
1915~1916年 ,波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形 :将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形,去掉中间的一个小等边三角形,再对其余3个小等边三角形进行相同操作,这样操作继续下去直至无穷,所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现,剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零,但它的周长却趋近于无限大.
谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似,区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形,去掉中间的小正方形,再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.
门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发,用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法,构造了门杰海绵(1999年以前,大部分分形著作中,均误称之为谢尔宾斯基海绵);谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法,构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦, 里面有无数的通道,连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大,它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成, 是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.
海岸线有多长
1967年,数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》,使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量,小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略;如果用1米的尺子测量,便会增加许多弯曲的部分,海岸线必然大大增大;如果让蜗牛来测量,海岸线必然大得惊人.
曼德尔布罗
分形诊断法 篇9
1 分形诊断法
1.1 分形理论
分形理论是美国数学家曼德尔布曼特1975年提出的。分形体系内任何一个相对独立的部分, 在一定程度上都是整体的再现和缩影。分形最重要原理是自相似性, 即局部与整体是相似的。自相似性思想可以追溯到遥远的古代。古代哲学中, “一沙一世界, 一花一天国;袖里有乾坤, 壶中有日月”之说, 《黄帝内经》中有“五脏六腑之津液尽上渗于目”, “耳者, 宗脉之所聚也”。这些都与分形思想相一致。
1.2 分形诊断法
分形诊断法根据“任何一个相对独立的部分, 在一定程度上都是整体的再现和缩影”这一理论结合中西医临床实践推测出:通过对人体某一部位体征变化的观测可以诊断另一部位或人体整体的疾病。
2 分形诊断法相关理论
2.1 整体观念
整体观念作为中医学的指导思想, 贯穿于中医学的各个方面。中医学强调人体自身是一个有机联系的整体, 强调人体与自然是一个有机联系的整体。在研究人体的生理病理和疾病的预防治疗时, 从人体自身的脏腑组织, 人体与自然界的普遍联系和相互影响出发, 综合考虑影响疾病治疗和维持人体健康的各种因素, 从而形成了中医学独特的理论体系和相对完整的治疗方法体系。
2.2 全息生物学
张颖清教授的全息生物学核心思想是, 生物体每一个相对独立的部分中包含有整体的全部信息。生物体的任一相对独立的部分的每一点的化学组成相对于这一部分的其他位点, 都和整体上这点所对应的部位的化学组成相似程度较大。这些点在这一相对独立的部分的分布规律与其所对应的部位在整体的分布规律相同。
3 分形诊断法相关诊断方法
3.1 脉诊
脉诊是祖国医学四诊中的重要组成部分。中医学认为心主血脉, 由于心脏推动血液在脉管内运行, 使脉管产生搏动, 于是形成了脉搏。此处应该注意的是, 血液在脉管中运行, 除了心脏的搏动外, 还必须要有肺、脾、肝、肾的配合。肺朝百脉, 全身的血脉, 都汇聚于肺、肺主气, 通过肺气的舒布, 血液才能布散全身。脾主统血, 血液在脉管内循行而不至于溢出脉外, 必须靠脾气的统摄。肝主藏血, 肝可以调畅气机和调节血量的大小。肾主藏精, 精可以化生为气, 是人体阳气的根本。同时精还能化生为血, 是生成血液的物质基础之一。因此, 脉象的形成, 与脏腑气血有密切的相关。
3.2 面诊
《黄帝内经》提出了局部对应整体的思想, 认为五脏六腑和身形肢节, 在颜面上都有各自特定的映射区域。如《灵枢·五色》指出:“庭者, 首面也;阙上者, 咽喉也;阙中者, 肺也;下极者, 心也…”《黄帝内经》还提出了局部对应五脏的思想, 认为五脏有疾之征象, 即可映射在颜面之相应区域。颜面的不同区域分属于五脏:左颊属肝, 右颊属肺, 额属心, 颐属肾, 鼻属肝。
3.3 舌诊
舌诊, 亦称察舌诊病。它是通过对舌体的形态、舌质、舌苔、舌下脉络等的观察, 从而了解内脏病变的部位和性质, 为辩证施治提供依据。《舌鉴辩证》一书记录了“全舌分经图”, 主张“舌根主肾命大肠;舌中左主胃、右主脾;舌前面中间属肺, 舌尖主心、心包络、小肠、膀胱;舌边左主肝、右主胆。舌尖统应上焦, 舌中应中焦, 舌根应下焦”。
3.4 耳诊
耳诊, 即耳廓诊断。传统耳诊是通过观察耳廓部位的形态变化、阳性反应物的变化来诊断疾病之所在, 为临床辨证施治提供依据的诊断方法。祖国医学理论和现代医学实验表明:当人体组织器官发生病理改变时, 病变组织所发出的病理信息, 就会通过脏腑经络和神经体液等途径映射到体表的相应部位。耳廓是迄今发现的、能够映射内脏病理信息的、诸多区域中对应性最明显的体表器官, 也是疾病信息反应最敏感的器官之一。
3.5 手诊
手诊是研究和利用反应在人的指掌上不同部位的信息特征进行疾病的诊查、预测、保健和康复治疗的一门综合应用科学。通过手的望诊, 可以简单、直观地观察人体的大部分健康情况。
3.6 第二掌骨测诊法
张颖清教授的第二掌骨测诊法是通过按揉区第二掌骨侧患者出现压痛反应, 进而诊断该区对应部位的疾病。如头穴对应头、眼、耳、鼻、口、牙;颈穴对应颈、甲状腺、咽、气管上段、食道上段;上肢穴对应肩、上肢、肘、手、腕、气管中段、食道中段;肺心穴对应肺、心、胸、乳腺、气管下段、支气管、食道下段、背;肝穴对应肝、胆;胃穴对应胃、脾、胰;十二指肠穴对应十二指肠、结肠右曲;肾穴对应肾、大肠、小肠;腰穴对应腰、脐周、大肠、小肠;下腹穴对应下腹、子宫、膀胱、直肠、阑尾、卵巢、睾丸、阴道、尿道、肛门、骶;腿穴对应腿、膝;足穴对应足、踝。
3.7 尺肤诊
尺肤诊法是一种通过诊察尺部皮肤的各种变化, 以判断内在的脏腑病变的一种诊断方法。《内经》将前臂看做人体的缩影, 其大致划分是:前臂远心端为上, 对应胸喉等上部器官;近心端为下, 对应少腹、腰、股、膝、胫、足等部位;前臂掌侧为内, 对应身体前面和胸腹部位;前臂手背侧为外, 对应身体腰背部。
3.8 甲诊
中医甲诊, 观察患者的爪甲色泽, 来辨别病位及患者体质。指甲与脏腑关系:大拇指甲对应全身, 食指甲对应大脑、心脏, 中指甲对应胃、肝、胆、胰、脾、肠道, 无名指甲对应胸部、肺、纵膈、心内膜, 小指甲对应肾脏、腰部、男性生殖系统。
3.9 眼诊
中医目诊, 通过观察病人眼睛的神气、色泽、形态和眼球血脉等变化来辨析病人的发病部位、判断疾病的病因病性和推测疾病的预后吉凶的诊断方法。《黄帝内经》记述了目与脏腑、经络、精、神、气血的关系, 认为目与五脏六腑皆有联系。五轮学说是把目部由外向内的胞睑、两眦、白睛、黑睛、瞳神等五个部分, 分别命名为肉轮、血轮、气轮、风轮、水轮, 总称为五轮。五轮分属于五脏, 即肉轮属脾, 血轮属心, 气轮属肺, 风轮属肝, 水轮属肾, 以此表明目的的解剖部位及其与五脏的生理、病理联系。八廓学说将目分成8个区域, 各属一定的脏腑。通过辨析这8个不同区域的病变信息, 可以推测病在何脏何腑。虹膜诊断, 是一种借助检查虹膜和瞳孔的某些变化来确定人体脏器的病理状态和损伤位置的方法。19世纪末, 皮泽利在他的研究成果《用眼作诊断的探讨引论》中, 具体提出了虹膜上有30～40个区域与肢体和内脏有对应关系。20世纪初, 维迪尔又进行了大量研究, 把原来30多个对应点发展成160个点, 他还绘制出韦加虹膜分区图。
3.1 0 鼻诊
鼻诊是通过观察鼻的色泽、形态变化以及呼吸时的动态改变来诊断疾病。《石室秘录》记载, 两目之间为明堂, 属心部;明堂下面, 鼻的中端为肝部;肝部两侧为胆部;鼻尖为脾部;鼻翼为胃部;两颧上方为肾部;肾部上方为大肠部;肝胆位下, 鼻的两侧为小肠部;肺部上为咽喉。
3.1 1 唇诊
唇诊, 是以观察唇所分属各部位的色泽, 以及唇的形态变化, 来判断相应肺腑的生理、病理变化, 以预测疾病的方法。唇部脏腑对应位置:乾, 属肺、大肠;坎, 属肾、膀胱;艮, 属上焦、膈上;震, 肝胆区;巽, 属中焦;离, 属心、小肠;坤, 属脾、胃;兑, 属下焦。
3.1 2 背腧穴
背腧穴是足太阳膀胱经在背部分布的腧穴, 腧穴是经气输注于背部的腧穴, 并与人体内脏相互对应联系。张景岳谓:“五脏居于腹中, 其脉气俱出于背之足太阳经, 是为五脏之俞”。因此, 腧穴是联系内外的枢纽, 是反映人体内脏生理、病理变化的窗户。
3.1 3 脐诊
脐诊, 将脐按八卦分布, 配属人体各部脏腑, 根据其不同的变化来诊察人体各部位脏腑的疾病。先天八卦主要配属人体外在的各部。如头、额、目、手、足、腹、耳、口。后天八卦主要配属五脏六腑。如心、脾、肺、大肠、肾、胃、肝、胆。
分形诊断法认为通过对人体某一部位体征变化的观测可以诊断另一部位或人体整体的疾病。上述的中医整体观念和全息生物律在理论上支持分形诊断法, 中医整体观念强调人体自身是一个有机联系的整体, 强调人体与自然是一个有机联系的整体。张颖清的全息生物学核心思想是, 生物体每一个相对独立的部分中包含有整体的全部信息。上述的13种临床诊断法均是在人体的某一部位如眼、舌、手、耳、脐等部位进行体征观测, 进而诊断另一部位或人体整体的疾病。分形诊断法以一定的科学知识和经验事实为基础, 具有一定的猜测性的科学假说, 只有被实践检验和证明之后, 分形诊断法才能发展成理论, 为人民健康服务。
摘要：目的 探讨分形诊断法科学假说。方法 相关理论探讨和相关临床实践探讨。结果 通过对相关理论探讨和相关临床实践探讨, 初步验证“通过对人体某一部位体征变化的观测可以诊断另一部位或人体整体的疾病”分形诊断法科学假说。结论 分形诊断法以一定的科学知识和经验事实为基础, 具有一定的猜测性的科学假说, 只有被实践检验和证明之后, 分形诊断法才能发展成理论。
关键词：分形诊断法,全息生物学,整体观念
参考文献
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分形的意义及应用 篇10
1.1 定义
分形 (Fractal) 是指具有自相似特性的现象、图像或者物理过程等。分形学诞生于1970年代中期, 属于现代数学中的一个分支。分形一般有以下特质:
1) 分形有无限精细的结构, 即有任意小比例的细节;
2) 分形从传统的几何观点看如此不规则, 以至于难以用传统的几何语言来描述;
3) 分形有统计的或近似的自相似的形式;
4) 分形的维数 (可以有多种定义) 大于其拓扑维数;
5) 分形可以由简单的方法定义, 例如迭代。
1.2 来源
fractal一词源于拉丁文形容词fractus, 对应的拉丁文动词是frangere (“破碎”、“产生无规碎片”) 。此外, 与英文的fraction (“碎片”、“分数”) 及fragment (“碎片”) 具有相同的词根。在70年代中期以前, 曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此, 取拉丁词之头, 撷英文之尾的fractal, 本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如, 弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉, 粗糙不堪的断面, 变幻无常的浮云, 九曲回肠的河流, 纵横交错的血管, 令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是, 极不规则或极不光滑。直观而粗略地说, 这些对象都是分形。
1.3 分形的种类
逃逸时间系统:复迭代的收敛限界。例如:Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship
分形迭代函数系统:这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如:康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。
吸引子:点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如:Lorenz吸引子。
2 分形的意义
2.1 分形几何的基本思想
1) 客观事物具有自相似的层次结构, 局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性;
2) 分数维是刻划分形的特征量。
2.2 分形几何与欧氏几何的比较
特征
描述对象表达方式维数
长度
大自然创造的复杂
无迭代语言一般是分数
的真实物体
欧氏几何学有数学公式0或正整数
标准物体
3 分形的应用
3.1 运用分形的方法研究金融市场
分形的理论和方法是用来研究复杂事物的, 是目前为止人类所能找到的最新的和最好的方法, 也是相对简单的方法。而金融市场是人类经济领域最为复杂的市场, 在分形的观念出现之前, 所有的方法因为线性的致命局限而从未达到市场的实质, 人们只能在摸索中一步步探索市场的奥秘。分形的理论出现之后, 人们终于可以向复杂事物的内部前进, 可以更好地认识金融市场。
3.2 将分形应用与医学
分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化, 有一些科学家认为分形几何有助于他们理解被观察的正常活细胞的结构和组成癌组织的病细胞的结构。所以通过建立与健康的或患病的组织相像的分形生长模型, 科学家们也能够了解存在于基因密码的控制生长的信息, 以及如果这种生长结果的信息被破坏时, 癌组织是如何发展的。
3.3 研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺
长沙马王堆汉墓出土的纺织品图案纹样很令人吃惊, 图案设计大胆豪迈、热情奔放、生动流畅、不规则之中隐藏着高度的规则性、复杂的对称代替了简单的几何对称。这分明具有分形图形的气势、风格。
3.4 设计分形时装
现代西方时装重色彩、质料而轻图案装点, 而各国传统民族服装则正相反。对几何纹样的态度似乎是, 西方重不规则、非对称图案, 而各国传统服装重规则、对称图案 (特别是伊斯兰社会) 。
4 结论
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支, 又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论, 其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似, 启发人们通过认识部分来认识整体, 从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。它的应用将越来越广泛。
摘要：分形理论提供了一种发现秩序和结构的新方法, 不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步, 而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。本文介绍了分形的来源, 分析了其意义, 并着重阐述了分形的实际应用。
关键词：分形,意义,模拟金融,应用医学
参考文献
[1]李水根.分形.北京:高等教育出版社, 2004.
[2]谭芳.分形几何的价值与研究.
分形企业 篇11
摘要：分形市场假说将分形理论引入金融资产价格行为研究中，为金融市场的研究建立了一个新的理论框架。文章在剖析有效市场假说局限性的基础上阐述了分形市场假说的市场特性及其重要意义，并且提出了在分形市场框架下建立分形资本市场理论和分形风险管理模型的基本思想，为进一步研究提供有益的参考。
关键词：分形理论；分形市场；资本市场；风险管理
一、有效资本市场及其面临的挑战
众所周知，有效市场假说(Effieient Market Hypothesis，EMH)是建立现代金融投资理论的基础。根据Fama(1970)的定义，资本市场有效意味着资本市场价格能够充分、及时、准确地反映所有可得的信息。EMH通常建立在如下的3个基本假定基础上：资本市场是一个无摩擦的、完备的而且具有高流动性的市场。保证市场交易和信息传递能顺利进行；资本市场中存在具有相同理性预期的大量投资者，他们能免费、及时、准确获得市场信息，并对信息能做出及时的反应。以至于可以迅速地将信息反映到价格中去；市场价格对新出现的重要信息能做出迅速反应，并进行相互独立的调整。
在有效市场假说的条件下，资本市场通常具有如下典型的统计特性：(1)线性性，资本市场的信息以线性方式呈现，市场投资者以因果的线性方式对市场信息做出反应：(2)独立性，未来的市场价格行为只与未来的市场信息有关，而与过去的市场价格无关。因而价格序列是相互独立的时间序列；(3)正态性，当投资者足够多时，资本市场收益分布趋于正态分布。从经济学意义上讲，有效资本市场中的任何人均不能在任何时间以任何方式持续地获取市场超额利润。
然而，大量事实和研究表明，实际的资本市场价格序列并非满足在有效市场假设条件下的这些市场特性。许多实证研究表明，资本市场的收益率并非正态分布，而显著地偏离正态，呈现偏态、胖尾、尖峰等特性。与之同时，金融市场中出现了许多有效市场假说无法解释的异象，比如小公司效应、BTM效应、P／E效应、周末效应等，这些“迷题”使得有效市场假说陷入一个尴尬的境地。这不是由于实际市场有问题，而是有效市场假说存在问题。有效市场假说关于市场特性的假定太过于理想，从而难以揭示实际市场的真实特性。由此，以有效市场假说为基础、以均衡和线性为基本特征的资本市场理论体系受到很大程度上的质疑。
早在有效市场假说提出之前，Mandelbrot等学者就已经对股票市场价格的变化模式进行了研究，认为股票市场价格序列服从具有尖峰胖尾特征的分形分布，并且提出了著名的分形理论。特别是，自从1987年的“黑色星期一”之后，有效市场假说对市场解释的失效引起人们的极大关注。Mandelbrot提出的分形随同混沌等非线性科学理论与方法在金融市场中的研究和应用逐渐得到重视。Peters(1994)利用Mandelbrot的分形方法对资本市场统计特性进行了研究，研究结果表明包括美国、英国、德国和日本在内的国外资本市场不是一个有效市场，而是一个非线性的动力系统，具有明显的分形结构特征，并在此基础上提出了分形市场假说(Fraetal Market Hypothesis，FMH)。分形市场假说解释了有效市场假说及建立在其基础上的资本市场理论所不能解释的“异象”。对有效市场假说构成了巨大的挑战。
二、分形资本市场及其重要意义
1分形及其特性。美籍法国数学家Mandelbrotl967年在《scieNce》杂志上发表的论文中首次提出分形的思想，1973年在法兰西学院讲学时正式提出分形几何的概念，1977年出版的《Fractal：Form，Chance and Dimension》标志分形理论正式诞生，1982年出版的(The Fractal Geometry0f Nature》标志分形理论初步形成。Mandelbrot曾将分形定义为Hausdorff维(或分形维)大于其拓扑维的集合(1973)，或者是任意局部与整体以某种形式相似的集合(1982)。数学上的Koch曲线、自然界中的海岸线、金融市场中的资产价格时间序列都是分形的典型例子。这些分形均具有一些共同的性质，比如，具有无限精细的复杂结构。在任意小的尺度下都包含整体的结构，具有某种自相似的形式，可能是近似的或统计自相似，定义的方法通常比较简单，可能以变换迭代的方式产生等。
大量的实证研究表明，金融市场分形时间序列的分形结构一般具有两个分形特征：一是(统计)自相似性，或称标度不变性，即为任意局部与整体之间具有某种方式的相似，也就是，不同时间标度(如日、周、月等)下的时间序列之间具有相似或相同的统计规律(如统计分布等)；二是长期记忆性，或称状态持续性、长期相关性、长期依赖性，即为过去的信息将对未来的事件产生长期的影响。这两方面的特征通常通过具体的指标来表征的，如Hurst指数、分形维、分形分布中的稳定指数以及长记忆模型中的分形差分参数等。
自产生起，分形理论在自然、社会、经济、思维等各种科学领域得到了迅速发展和广泛应用。如今的分形早已从最初所指的形态上具有自相似性的几何对象这种狭义分形，扩展到了结构、功能、信息、时间上等具有自相似性的广义分形。分形理论及其分形方法论的提出有着极其重要的意义，导致了科学思想、科学思维方式和科学方法论的深刻变革，为人们认识世界提供了新视角和新思路。
2分形市场：对有效市场的拓展。近10多年来，分形理论在金融市场的研究和应用已得到极其迅速的发展和肯定。分形市场假说就是在这种背景下形成的一种金融市场理论，也有学者称之为异质市场假说(HeterogeneousMarket Hyoothesis，HMH)。FMH认为，一个分形资本市场包含以下几方面的涵义：①资本市场由数目众多的投资者组成，而且每一个投资者具有不同的投资期限；②不同的市场信息对投资者产生不同的影响，短期投资者更注重历史信息，而长期投资者更关注基本信息；③资本市场的稳定性主要取决于其流动性，不同的投资期限、信息集和接近市场公认的公平价格确保了市场的充分流动性，从而稳定了整个资本市场：④价格反映了短期技术分析与长期基本分析的结合；⑤如果某项资产与经济周期循环无关，那么它就不具有长期趋势，其波动主要由交易量、流动性和短期信息决定。
分形市场假说将分形理论引入金融市场有效性和金融市场结构的研究当中，为金融市场的研究建立了一个新的理论框架。FMH充分强调市场信息、市场流动性和投资期限对投资者市场行为的影响，给出描述投资者行为和市场价格运动的模型，使之更符合实际。FMH的提出和建立具有如下的十分重要意义：
(1)为资本市场真实特性提供了强有力地解释。有效市场假说无法解释资本市场的恐慌和崩溃现象，因为其假
定市场总是具有足够的流动性，价格变化是连续和均匀的。大幅波动的变化是小幅波动的变化的累加和，在该假定下市场不会出现恐慌和混乱，从而市场收益分布不可能出现尖峰、胖尾特征。而分形市场假说为此提供了合理的解释，它认为：当存在大量具有不同投资期限的投资者时，资本市场就维持稳定：而当所有投资者的投资期限变成同一时，市场由此缺乏流动性而成为“自由落体”，那就是，价格序列呈现不连续性的波动，市场表现为恐慌与混乱。价格序列的不连续波动导致大的变化，从而使得收益分布呈现尖峰、胖尾特征。
(2)对有效市场假说进行了有力地扩展。分形市场假说比有效市场假说更能揭示一种更具一般性的资本市场特性。在分形市场理论框架下，投资者和价格对信息的反应机制是非线性的；投资者对不同信息的重要性不同，信息对不同投资者的影响不同；收益序列具有长期相关性：价格序列存在一定程度上的可预测性：价格的波动模式是分形布朗运动(有偏随机游走)；收益序列服从分形分布。分形市场假说解决了有效市场假说中许多前提假设的局限性和缺陷，考虑了投资者的非理性预期以及市场对于信息反应的非线性因果关系，因此，分形市场假说涵盖了非线性情况下的市场波动特性，而将有效市场假说当作市场在线性情况下的一个特例，即：有效市场只是复杂市场特性中的一种特殊情况。在分形市场假说中，对资本市场的研究内容和方式更加丰富和广泛，不必局限于检验市场是否遵循随机游走规律，将对市场的复杂特性进行更加广泛而深入的研究。
(3)为金融计量分析揭示了一个崭新的研究方向。金融市场有效性分析是金融市场理论的基石。在过去的三四十年间，有效市场假说得到了广泛的认可和应用，在许多情况下，它甚至被当作市场的假设前提来使用。许多重要资本市场理论的提出均与之有紧密的联系，如著名的CAPM、APT、Black-Scholes期权定价理论等。分形市场假说改变了人们对市场特性的认识，诸如市场波动的长记忆性、收益的自相似性、异方差性以及市场的混沌特性等等，这些都是传统有效市场假说所不能包含的。对于市场均衡特性认识的改变，将会对金融市场许多问题的分析与定量研究产生影响，诸如资产定价、波动特性和持续性分析、金融风险的测度与防范等问题的研究，均可在一个更具一般性、更加接近于真实市场特性的理论基础上展开。
三、基于分形资本市场的资产定价与风险管理
1分形资本市场理论。诸如以均值一方差理论为基础的资产组合理论、资本资产定价模型(CAPM)、套利定价理论(APT)等传统资本市场理论均隐含建立在若干的假设基础上。其中隐含的一个重要假设就是资产收益呈正态分布，而且利用资产收益的方差来衡量金融风险。但是，许多研究表明，实际的资产收益并不服从正态分布，资产收益的方差甚至无限或不存在，而分形分布却能较好地描述资产收益的诸如尖峰、厚尾、稳定等分布特性。由此，在分形分布的框架下对传统资本市场理论进行修正是一个值得研究的发展方向。我们可以尝试利用分形分布构建资产组合的最优化模型，但是需要解决的两个关键问题：一是资产收益的方差如何衡量，在分形分布下方差可能是无限或不存在，也就是不能用方差来衡量市场风险：二是单项资产收益之间的协方差如何衡量。分形分布包含特征指数、偏度指数、尺度参数和位置参数等四个重要参数，其中尺度参数相当于正态分布的方差，可尝试以尺度参数代替方差以推广均值一方差模型。
期权定价是期权交易中的重要环节，也是期权研究中研究得较多、难度较大的问题。传统Black-Scholes期权定价模型(简称B-S期权定价模型)为期权定价奠定_r一个总体性的框架，但是其建立在两个基本假定基础上：股价变动过程是标准布朗运动过程；股价呈现对数正态分布。许多研究表明，实际股价序列既不是标准布朗运动，也不服从对数正态分布。因此，B-S期权定价模型同其他传统资本市场理论一样存在着严重的局限性。在分形市场框架下，可从两条思路对期权定价理论进行修正：一是，对B-S期权定价模型假设的标准布朗运动推广到分形布朗运动，利用分形布朗运动的Hurst指数对定价公式中的参数进行修正，建立分形B-S期权定价模型：二是，在分形分布的基础上重新建立新的期权定价模型，鉴于传统期权定价理论的正态分布假定的局限性，McCulloch(1985)提出了在分形分布下的分形期权定价模型。
2分形风险管理模型。诸如美国1987年股市“黑色星期一”之类的金融风险事件在金融市场中时常出现，其产生的巨大损失对金融机构构成了巨大威胁。因此金融风险的测度和管理长期以来一直是金融市场研究和实践的重要问题。风险价值(value at Risk，VaR)，一项在金融机构实践中广泛应用的风险管理工具。既是巴塞尔协议要求金融机构向监管机构报告的资本要求，也可作为金融机构的一项内部管理工具。VaR通常定义为这样一个数值：在给定的置信水平下，某项资产或资产组合在某持有期内可能遭受的最大损失。从统计意义看，VaR的计算其实就是确定某置信水平所对应的资产价值分布分位数，集中关注资产价值的极端变化行为。纵观大多数研究文献，现有多种VaR测度模型主要围绕以下三个关键问题进行展开：一是资产价值序列本身具有怎样的变化行为：二是资产价值具有什么样的分布函数形式；三是资产价值的条件方差如何变化。
金融风险的传统测度模型仅考虑短期记忆性、正态分布和静态条件方差等条件，但是这些条件往往与实际市场并不相符，所得出的测度结果往往低估实际风险。根据分形市场的特性可知，资本市场往往具有长期记忆性、分形分布、动态条件方差等特点，而且长期记忆性不仅在资产收益序列本身存在，而且在资产收益的条件方差序列也存在，甚至资产收益序列服从动态的分形分布。因此。将这些分形特征引入到金融风险测度模型中去对传统的金融风险测度模型进行修正，是一个具有十分重要的理论和实际意义，将可大大提高传统测度模型的风险测度精度。
参考文献：
1Peters，B，，Fractal Market Analysi s：ApplyingChaos Theory t0 Investment and Bconomics，New York：JohnWi ley＆Sons，1994
2Sorkin，J，Buyer，S，，Managing financial ri skwithfractal geomet ry，Futures，2001，(8)：56-59
3Sun，W，，RachevS，，Fabozzi，F，J，，Fractal s 0r I，I，D，：Evidence Of long-range dependence and heavytailednes s frommodeling German equitymarket returns，Journal&Economics; andBus ines s，2007，(59)：575-595
4黄诒蓉，中国股市分形结构：理论与实证，广州：中山大学出版社，2006
基金项目：国家自然科学基金项目“资本市场的分形结构及其应用研究”(70501034)，项目负责人：黄诒蓉。
作者简介：刘运国，博士，中山大学管理学院教授、博士生导师、中山大学社科处副处长；黄诒蓉，博士，中山大学管理学院副教授、硕士生导师。
分形天线工程及其新进展 篇12
Fractal(中文"分形",源于拉丁词语fractus,原意是不规则支离破碎形)概念是法国数学家B.Mandelbrot经过在多个不同领域长期研究,于上世纪70年代中期在法兰西学院讲学时提出的,用以描述人们在研究自然和科学实验中遇到的无法用传统欧氏几何描述,但却具有某种自相似特性的不规则结构和现象。分形起源可追溯到十九世纪下半叶有名的Wierestrass函数和Cantor三分集,Peano、Hilbert、Sierpinski、Koch等数学家研究了以他们名字命名的分形结构形式,见图 1。分形理论一经创立便得到各学科的研究人员的广泛而热烈的研究和探讨,显示出强大的生命力。
随着理论研究的深入,英国数学家K.Falconer在对分形全面深入研究后,提出采用类似于生物学中定义"生命"的方式给分形下描述性的定义[1]:
称集F是分形,当它具有如下典型性质:
I. F具有精细结构,即有任意小比例的细节,可以无限细分;
II. F是如此的不规则,以至于它的整体和局部都不能用传统语言描述;
III. F通常有某种自相似的形式,可能是近似的或统计的;
IV. 一般地,F的以某种方式定义的"分形维数"大于它的拓扑维数;
V. 在人们感兴趣的研究范围内,F可以非常简单的方式定义,如迭代。
从传统几何学研究方法和工程应用角度出发,研究分形可从两个方面进行:一是从度量的角度,二是生成方法。
1.1 分形结构的维数
维数概念源自欧氏几何研究,直观上点、线、面和体分别称为零维、一维、二维和三维对象。维数是理解和研究分形的一个非常基本而重要的概念,正是在运用新数学工具深入研究维数概念的基础上,分形才能够理论化和系统化并得到广泛而深入的应用研究。由于篇幅限制,这里仅介绍分形天线工程中常用的自相似维数,感兴趣的读者可参看文献[1]。
给定一个几何图形,如果它能由标度改变a倍后的b个自相似的图形组合而成,则它的自相似维数可定义为
举个简单的例子,一个正方形边长变为原来的1/2,面积为原来的1/4,则其自相似维数为Ds = ln4/ln2。此定义通常用于确定有界的分形结构。对于一般情况,自相似维数可定义为:如果某几何图形的标度改变r倍,其几何测度变为原来的rDs倍,则|Ds |为此图形的自相似维数。被研究的分形结构大都具有分数维,这是分形与传统几何的重要区别。
1.2 IFS
分形最典型的特征是自相似,包括严格自相似和统计自相似。利用IFS(Iterated Function Systems)可构造出应用所需自相似分形结构。简单来说,IFS方法就是给定一个初始几何图形和一组射影或仿射函数,经过无限次迭代得到理想的分形结构。IFS应用的一个典型例子就是Koch曲线的构造。关于IFS的定义和应用可详见[2]。分形天线工程中所涉及的分形结构基本上都可用IFS方法得到。
2 分形天线工程
分形天线工程主要分为分形单元研究和分形阵列研究。分形单元研究主要集中在小型化和多频特性方面;分形阵列研究主要集中于快速波束成形算法、低旁瓣和宽带宽角扫描等方面的研究。 同时,分形还和天线研究领域的其他成果相结合,发展了新的理论和方法,比如分形FSS,分形PBG,分形RF-MEMS天线系统和分形馈电网络等。
2.1 分形单元研究
2.1.1 分形单元的结构和物理实现
分形结构的天线单元有代表性的有如下分形结构:Koch Wire Monopole and Dipole、Koch Island、Sierpinski Gasket and Carpet、Minkowski and Hilbert Curve、Fractal Tree等。
Koch分形天线是最早被研究的分形结构天线,可分为两大类:Koch线天线和Koch Island贴片天线。Koch线天线可分为单极子和偶极子,也有从标准的三角结构变形形式。Koch Island有三角形的雪花状、矩形形状和二次(Quadratic)形状等,具体的结构如图 2所示。Sierpinski分形结构天线是被研究最多的天线,Sierpinski天线也有多种结构:Sierpinski Gasket、Sierpinski Carpet,还有多种变形。部分单元结构形式如图 3所示。相对于前两种被广泛详细研究的分形结构,Hilbert分形单元和Minkowski分形单元研究得较少,但因其具有高度填充特性也得到人们关注。图 4是的Hilbert分形线天线与微带天线单元、Minkowski分形线天线单元和分形树天线示意图。
前面都是二维以下的分形结构天线,为了获得性能的进一步改善,有人提出了Fractal Volume和Fractal Tree结构的介于二维和三维之间的分形天线,这种结构的天线具有更好的尺缩、宽带和自加载特性,但在制作和实用方面存在一定的困难,故研究报道不多见。
以上所提的分形天线结构都是被数学家们研究透彻的分形结构,种类和形式有限。理论上能有无数种分形结构用于天线的设计,因此要发展一些在IFS基础相对通用的分形结构生成方法,这方面单福琪[3]提出了一种方法,提供了一种思路。
目前最常见的天线结构是线天线和口径面天线。分形单元也不例外,其中被研究的分形线天线包括:Koch单极子、偶极子及其变形,Hilbert分形天线、Minkowski分形天线,它们的分析和试验单元一般都是由金属线或金属条带构成。分形口径面天线包括Koch Snowflake 分形天线、Sierpinski 分形天线及其变形,它们的仿真和试验单元一般都由印刷微带贴片结构天线构成。分形树天线的仿真制作类似于线天线。
2.1.2 分形单元的性能研究
(a)分形在天线单元小型化设计中的应用
理想的分形是可以通过IFS无限迭代生成的具有分数维的结构,即可以在有限的面积内填充无限长线段,或者在有限体积内,填充无限的面积。在应用分形设计小型化天线单元时要考虑到有限截断效应,即生成天线单元时仅取有限次IFS迭代。分形单元小型化设计可以用于线、面、体结构单元,这在文献[4,5,6,7,8,9]中都有所研究。
小型化分形线天线单元中被研究的最多的是Koch分形线天线。Koch单极子能比普通单极子更加有效的填充空间,降低了单极子的Q值,从而更加接近电小天线的基本限制[4]。表 1是相同高度的各阶Koch单极子的实际长度。
(b)分形在天线单元多频特性方面的设计
分形的最典型特点就是自相似和自仿射,即局部几何特征和整体几何特征的自仿射相似性。天线的频率缩比原理说明了分形天线单元结构上自相似特性可带来物理特性的自相似特性。多频分形单元中被研究较多的是Sierpinski微带贴片单元及其各种变形。表 2为该标准单极子的基本参数测量值。研究结果表明该单元上电流的自相似分布特性是其多频特性的原因,而这种电流分布正是由于Sierpinski分形结构的自相似特性所决定。但是这种多频单元的低频特性以及第一第二工作频率比特性不太理想,故此Steven R. Best、George F. Tsachtsiris等人在[10],[11]中提出了各种变形的Sierpinski Gasket单元来改进标准Sierpinski Gasket单极子这些性能方面的不足并取得了良好效果。其他被研究的比较典型多频分形单元有Koch Island、Sierpinski Carpet、Hilbert Curve等单元。
人们研究不同结构不同形式的分形天线单元,主要是由分形结构用于天线设计带来的两大优点:尺寸缩减和多频,在这两个大的方面,人们做了广泛深入的研究,已经得到比较确定的结论。但也存在极化不纯、不易匹配、单频点窄带和高Q低效等方面的不足,同时在理论分析和设计方法上存在不完善的地方。为解决这些问题,可采用分形单元变形、加载,数值仿真等方法来逐步解决。
2.2 分形阵列天线研究
分形不仅广泛用于天线单元设计,也在阵列设计中得到深入研究。研究结果[12,13,14,15,16]表明分形阵列天线具有低旁瓣、多频带、快速波束形成计算、宽带宽角扫描等优点。
通过组合可以得到三种形式的分形阵列结构:分形单元按规则方式排成普通线阵和面阵、普通单元按分形结构方式排成分形阵列、分形单元按分形结构排成分形阵列。第一种有Koch偶极子组成的八木天线阵等;第二种有Wierestrass线阵、Cantor环阵、Peano-Gosper分形阵列等;第三种结构的阵列文献中还尚未有报道。具体例子见图 5。文献中被研究较多的是第二种分形阵列,在这类分形阵列的研究中,单元都被处理成理想的电流元,研究的重点是阵因子特性。
(a)Koch 八木阵 (b)Peano-Gosper阵列结构 (c)Cantor环形阵列结构
(a) (b)
对于第一种分形阵列,由2.1.2的介绍可知,采用分形结构的阵元可以有效地减小单元线度,这样在用相同数目单元布阵时,如果单元中心间距不变,则边沿间距增大,从而可有效减弱单元间的互耦,见 图6(a)。另一方面,由于单元的小型化,保持单元边沿间距不变时可在指定区域内放置更多单元,见图 6(b)。这给阵列设计带来了新的自由度,具体例子可见[17]。
第二种分形阵列的构造是通过类似于分形单元的IFS迭代生成方式得到的。基本步骤就是给定初始阵列结构和生成算法,每一次迭代将生成算法作用于每一个单元,得到下一级阵列。文献[18]中详细给出了这种分形阵列构造方法和实例。通过这种方式构造的分形阵列的阵因子可以用下面的通式表达
式中GA (Ψ)为初始阵列阵因子的表达式,δ为比尺或扩展因子。由上式可看出,这种分形阵阵因子实际上是初始阵阵因子各比例层次的相乘, 该式可认为是"分形阵列方向图相乘定理"公式。对这个公式的展开研究可以得到快速波束形成算法,可以大大提高阵因子的计算速度,具体例子文献[18]中也有详细描述。在此基础上,文献[19]中讨论了利用特定分形自相似特性的基于普通傅立叶级数综合法的多频天线阵设计技术,获得的低旁瓣稀疏多频分形阵列。
在[20]中D.H. Werner等人提出了一种具有分形边界的平铺形的分形阵列结构,并对其作了深入研究。这种阵列结构的特点是阵中单元按常规的栅格排列,阵列边缘单元按分形结构排列。这种分形阵列最大特点是,当单元间距大于一个工作波长时可见区不出现栅瓣,这为设计宽带低副瓣阵列提供了一种新办法。由于单元间距可以大于一个波长,单元之间的互耦得到降低,从而阵列可以有更宽的扫描角。这些性能正是宽带宽角扫描相控阵所需要的。
上面介绍的都是确定性分形阵列,结构形式一旦确定基本保持不变,差别仅在规模上,这种阵列的优点是构造和分析都比较方便,但灵活性有所欠缺。若将随机分形引入天线阵列的研究,则会开辟出一种新的研究方法和领域。J. S. Petko和D. H. Werner在[21]、[22]中提出了一种结合遗传算法的多分形阵列(Polyfractal Array)。这种阵列的构造与前面提到分形阵列不同之处在于,它所用的初始阵列和迭代算法都不止一种,构造时随机选取。用这种方式构造的分形阵列,最初看上去比较简单,但经过数次迭代后会显示出巨大的复杂性,用遗传算法对其进行优化可以获得比较好的结果,关于这方面的研究还在继续探讨中。
2.3 分形天线的仿真与实验研究
分形天线最基本的特点就是自相似性,这给分形天线的仿真研究带来了一定的方便;但其另一特点是空间填充时高度缠绕(Convoluted),这给仿真效率和准确性带来了一定的挑战。因为MoM在计算线天线方面具有优势,故目前用于分形线天线的仿真工具一般都是基于MoM的仿真软件,如Zeland、IE3D。分形面天线的仿真工具一般选用基于有限元法的功能强大全面的商用软件AnSoft HFSS。其他一些仿真软件还包括NEC、Empire等。还有些研究机构为了研究分形天线专门开发了仿真软件,如UCLA的Yahya Rahmat-Samii等人开发了用于计算分形天线的基于混合电场积分方程和磁场积分方程(Hybrid EFIE-MFIE)的软件包,欧洲的FractalComs工作组也专门开发了相应的计算软件包。分形天线的试验研究和传统结构天线一样,不同的仅是天线结构形状。在制作分形线天线时鉴于分形的复杂性,一般用细条带近似模拟。
3 分形天线研究新进展
3.1 分形天线和遗传算法
(Genetic Algorithms)的结合
遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的自适应全局优化算法。在2.2中我们提到过,随机多分形(Polyfractal)阵列可能有很复杂的结构,但是其初始阵列和生成因子一般比较简单,可操作的控制因素比较少,这就使得应用遗传算法来优化随机多分形阵列成为可能。文献[21]、[22]中给出的优化方法和实例表明了该方法的有效性。
3.2 分形天线和PBG/EBG的结合
PBG/EBG(Photonic Bandgap/Electromagnetic Bandgap光子/电磁带隙结构)结构的出现是基于人们对普通晶体中电磁波传播时具有电子带隙的认识之上。简而言之,PBG/EBG是一类对某个频段内的电磁波具有禁带的周期性结构,可用于实现宽带滤波器、电磁屏蔽、制作抑制表面波的高阻表面和改善天线辐射特性等方面。目前被研究的分形结构单元和阵列大都是微带贴片形式的,不可避免的会出现表面波和效率等方面的问题,如果将PBG/EBG以适当的形式引入分形天线的设计可以有效地解决这方面的问题,文献[23]在这方面做了探讨。
3.3 分形天线和RF-MEMS的结合
MEMS(微机电系统)是在微电子技术基础上发展起来的多学科交叉和渗透的新兴学科,广泛应用于工程科学各个领域。RF-MEMS(射频微机电系统)是为了满足无线通信系统更小更轻更灵活的要求而专门开发用于射频的MEMS,能实现具有新功能的三维多层电路或系统,制造各种类型的高性能射频器件和系统如低损耗的传输线可调滤波器天线和开关等。将RF-MEMS和分形天线设计方法结合起来可以更加灵活的控制天线设计中的相关参数,为设计出功能要求更复杂的天线提供可能。[24]中较详细的描述了结合分形和RF-MEMS的可重新配置天线的设计、制作和测试。
4 结 论
分形天线提出至今已有20多年,从最初的概念提出和理论探索,到具体单元和阵列被广泛深入的研究、制作和测试,已经发展的相当成熟并仍处于不断发展的进程中。目前国外已经有不少专利和成熟的产品问世。但是分形天线的工作机制、设计指导方法和应用等方面还有许多具体工作要做。这方面国内起步相对较晚,研究的深度和广度也比不上欧美。我们要在及时跟踪国外发展的基础上,对分形天线工程进行理论化系统化的总结,加快实物设计制作方面的研究,尽早研发出具备宽带多频小型化易共形且广泛实用的分形天线单元和阵列。
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