数学视角（精选12篇）
数学视角 篇1
数学综合题由于涉及到知识容量大、解题方法多而灵活、综合性强、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.且能较好地考查出学生分析问题、解决问题等综合能力、理性思维而成为考试重要题`型.综合题由于难度大、分值高, 解好综合题是考试成功的关键.目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题.如何有效地寻得解题方法, 快速地找准解题切入点, 理清解题思路, 顺利地解决问题, 笔者认为以下思维视角是有效的.
1讨论
分类讨论是高考重点考查的数学思想方法之一, 将求解问题根据需要分成不同情况, 每一种情况都有利于问题解决, 都容易寻求解题切入点, 因此分类讨论是解决问题的有效方法.
例1 已知f (x) =|x2-1|+x2+kx.
(Ⅰ) 若k=2, 求方程f (x) =0的解;
(Ⅱ) 若关于x的方程f (x) =0在 (0, 2) 上有2个解x1, x2, 求k的取值范围, 并证明
分析 去掉绝对值是解题关键, 根据绝对值定义分情况求解, 分别表示出x1, x2利于问题解决.
简解 (Ⅰ) 当k=2时, 直接讨论去掉绝对值方程可化为
解之得
(Ⅱ) 原方程可化为
x∈ (0, 1]时, 方程为一次函数, f (x) =0在 (0, 1]上不可能有2个解;若x∈ (1, 2) , 又
方程f (x) =0在 (0, 1]有解, 则k≤-1;方程f (x) =0在 (1, 2) 上有解, 则f (1) ·f (2) <0, 解之得
设x1∈ (0, 1], x2∈ (1, 2) , 则
2定向
定向是指解题前应分析条件与结论的差异, 根据头脑中现有模式结构, 已有解题经验, 确定大致的解题方向, 有了方向, 即有了目标, 再根据具体条件, 选择合适的方法, 在不断整合中实现目标.
例2 数列{an} 中,
(Ⅱ) 求Sn的表达式;
(Ⅲ) 求证
分析 (Ⅰ) 只要应用等差数列定义即可顺利求解;由 (Ⅰ) 即可得 (Ⅱ) ;而 (Ⅲ) 是数列与不等式结合, 求解方向常规思路是:放缩后裂项相消求和再放大, 或放缩后转化为等比数列求和再放大, 定下解题方向后再对通项进行放缩转化即可实现.
证明 (Ⅰ) 由
即{bn}是首项为2, 公差为1的等差数列.
3转化
化归与转化也是高考重点考查的数学思想方法之一, 数学问题的解决就是一个不断化归转化过程, 对已知条件向结论转化, 对所求结论向已知转化.
例3 已知函数f (x) =x3-x.
(Ⅰ) 求曲线y=f (x) 在点M[t, f (t) ]处的切线方程;
(Ⅱ) 设a>0, 如果过点 (a, b) 可作曲线y=f (x) 的3条切线, 证明-a<b<f (a) .
简解 (Ⅰ) 直接运用导数求解即可, 即
y= (3t2-1) x-2t3.
(Ⅱ) 设过点 (a, b) 作曲线y=f (x) 的3条切线的切点分别为[t1, f (t1) ], [t2, f (t2) ], [t3, f (t3) ], 则3条切线的方程是
y= (3t
又3条直线同过点 (a, b) , 所以
b= (3t
即2t3- (3t2-1) a+b=0有3个不同的实根t1, t2, t3.
设g (t) =2t3- (3t2-1) a+b, 则g (t) 必有2个极值点, 且
g′ (t) =6t2-6at=6t (t-a) .
令g′ (t) =0, 则t=0, t=a.所以g (t) 先增后减再增, 故只需g (0) =a+b<0, g (t) =b-f (a) >0, 即-a<b<f (a) .
评析 上述对问题的求解由3条切线存在转化为三次方程有3个实根, 进而转化为考察函数最值, 导函数的极值, 再通过极值得方程的极小值小于0极大值大于0, 在方程、函数、零点、极值、最值转化中使问题顺畅解决.
4沟通
沟通是指在确定题方向后实施解题过程中若干量之间等或不等关系要选择合适的等式或不等式进行沟通, 减少变量以达到转化目的.
例4 已知函数f (x) =ax2-bx+c (a>0) , 对应方程f (x) =0在 (0, 1) 内有两相异实数根.
(Ⅰ) 求证b>2c且a>c;
(Ⅱ) 求证
简解 设方程f (x) =0在 (0, 1) 的两根为x1, x2 (x1≠x2) , 则
此时显然有
由 (1) 得
即
因方程有两相异实根, 所以等号不能同时取到, 故
评析 韦达定理联通已知范围的x1, x2与系数关系是重要一环, 另外若直接选择f (x) =ax2-bx+c=a (x-x1) (x-x2) 的表达式, 从而得b=a (x1+x2) , c=ax1x2, 也是沟通根与系数的好方法.
5借形
形的直观、形象是分析问题最直接的思维点、切入点、以形助数, 发挥形的辅助作用, 是解决好综合题的重要方法.
例5 已知a是实数, 函数f (x) =2ax2+2x-3-a.如果函数y= (x) 在区间[-1, 1]上有零点, 求a的取值范围.
简解 由于二次项系数含参数不能确定正负, 影响抛物线开口方向, 影响对称轴, 故对函数零点的情况有影响, 因此需对a的值分类讨论.
(ⅰ) 当a=0时, f (x) =2x-3, 此时f (x) 的零点是
(ⅱ) 当a>0时, 2a>0, 故抛物线开口向上, 而此时, f (0) =-3-a<0, 所以若要使y= (x) 在区间[-1, 1]上有零点, 则只需f (1) =2a+2-3-a≥0或f (-1) =2a-2-3-a≥0, 解得a≥1;
(ⅲ) 当a<0时, 2a<0, 抛物线开口向下, 而此时
故若要y=f (x) 在区间[-1, 1]上有零点, 只需△≥0且
所以
评析 当a>0时, 抛物线开口向上, 此时f (0) <0, 说明抛物线与x轴必有2个交点, 数形结合, 此时只需f (1) ≥0或f (-1) ≥0即可 (此时可能有1个零点也可能有2个零点) , 避开了对对称轴情况的分类讨论, 简化了过程, 优化了思维, 而当a<0时, 有f (1) =a-1<0, f (-1) =a-5<0, 这两个特殊的端点值的符号, 这一特殊信息说明要想在区间[-1, 1]上有零点, 则只能有2个零点, 此时只有一种情况也无需讨论.抓住这3个特殊点的值, 使得解题过程优化, 不需开口方向与对称轴都加以讨论.
6分解
分解是指对问题层层分解, 步步转化, 逐步逼近, 最终破解目标, 分解过程是抓住问题主要矛盾的过程, 是有效转化过程, 在对问题分解转化过程中解决问题.
例6 已知a, b, c, d是不全为0的实数, 函数f (x) =bx2+cx+d, g (x) =ax3+bx2+cx+d, 方程f (x) =0有实根, 且f (x) =0的实数根都是g (f (x) ) =0的根, 反之, g (f (x) ) =0的实数根都是f (x) =0的根.
(Ⅰ) 求d的值;
(Ⅱ) 若a=0, 求c的取值范围;
(Ⅲ) 若a=1, f (1) =0, 求c的取值范围.
简解 (Ⅰ) 设x0是方程f (x) =0的实根, 即f (x0) =0, 所以g (f (x0) ) =0, 即g (0) =0, 故d=0.
(Ⅱ) 若a=0, 此时
f (x) =bx2+cx, g (x) =bx2+cx,
g (f (x) ) =b (bx2+cx) 2+c (bx2+cx)
= (bx2+cx) [b (bx2+cx) +c].
f (x) =0的实数根都是g (f (x) ) =0的根.若要g (f (x) ) =0的实数根都是f (x) =0的根, 则必须b (bx2+cx) +c=0无解, 或有与bx2+cx=0相同的解.
当c=0, b≠0时, 方程b (bx2+cx) +c=0有解, 即x=0, 与bx2+cx=0解相同, 所以c=0符合;
当c≠0, b=0, 方程b (bx2+cx) +c=0无解, 符合;
当b≠0, c≠0时, 且 (bc) 2-4b2c<0, 即0 <c<4, 方程b (bx2+cx) +c=0无解.
综上得c∈[0, 4) .
(Ⅱ) 由a=1, f (1) =0, 得b=-c, 而
g (f (x) ) = (bx2+cx) 3+b (bx2+cx) 2+c (bx2+cx)
= (bx2+cx) [ (bx2+cx) 2+b (bx2+cx) +c],
很明显f (x) =0的实数根都是g (f (x) ) =0的根.要想使g (f (x) ) =0的实数根都是f (x) =0的根, 则必须
(bx2+cx) 2+b (bx2+cx) +c=0 (2)
无解, 或有与bx2+cx=0相同的解.
设t=bx2+cx, 得t2+bt+c=0.
当c=0时, 方程 (2) 与bx2+cx=0有相同的解, 故c=0符合;
当b≠0, c≠0时, 若b2-4c<0, 即 (-c) 2-4c<0时, 方程 (2) 必无解, 得0<c<4;
若b2-4c≥0, 方程t2+bt+c=0尽管有解, 但
却无解, 故有
且
解之得 0<c<16/3.
综上, c∈[0, 16/3) .
评析 通过对问题分解, 发现此问题的本质是方程b (bx2+cx) +c=0要么有根, 但是前一方程的重根, 要么没有根, 在分解中分出解题思路, 分出解题方法.
数学视角 篇2
新課程宣導發展性評價，保護學生的自尊心、自信心，關注個體的處境與需要，注重發展和變化的過程。那麼，在課堂教學的評價過程中要認真觀測教師把這些意識轉化為教學行為，採用了什麼樣的策略是否合適、是否有效，具體可從是否正確處理活動化教學中的幾個關係加以觀測評定。
一、正確處理主體和主導的關係，使教師“教不越位”，學生“學習到位”。
數學課堂生活應是師生積極主動、參與互動的動態愉悅的生活過程，在此過程中，學生與教師都是主人，學生是學習的主人，是課堂主動求知、主動探索的主體；教師是教學的主人，是學習過程的組織者、引導者與合作者。教師為主導，在於為學生的學習制定明確的學習目標和要求，引導學生對教學事例的分析，點撥學生思路，發展學生對數學概念、方法和聯繫的認識，激勵學生參與教學活動。學生為主體，不僅僅是要把雙基掌握得更好，而更注重其掌握雙基的內部機制，使學生理解學習過程，形成數學基本能力，數學意識、素質得到發展。
主要觀測：
1、是否注重改 “小步走” 為適當的 “大步走” ? 目前，大量的課堂提問往往設計得過細、過窄，缺乏價值，這種一問一答式的教學模式不妨稱為 “小步走”，這種 “小步走” 看似滴水不漏、非常嚴密，其實恰恰限制了學生的自主學習，課堂成了老師表現的舞臺。把問題提得“大”些，即“大步走”是讓學生更投入地去探索、發現的有效方法，讓每個學生有話可說、有事可做。
2、是否及時收集回饋資訊，調整教學過程?
3、是否重視學生自學能力的培養，特別是指獲取知識的能力的培養，重視學法的指導?
二、正確處理結果與過程的關係，注重“結果”的全面性、“過程”的探索性。
新課程背景下的數學課堂教學另一重要特點便是活動過程的綜合性，在這活動過程中，不僅僅是理解多少個概念，學會某種計算、掌握應用題的解題思路，不僅僅是學習和運用數學知識，而且是在實踐活動中動腦、動智、動情，主動獲取知識和方法；並通過師生、同學間的交流、探索、思考、評價和運用知識，不僅達到預期的活動目標，而且能受到一定的教育或多方面培養學生的興趣、探索精神、獨立思考能力、動手操作能力等。
主要觀測：
1、是否讓學生在具體的情境中去體驗感受數學的價值?
2、是否讓學生在獲取知識的過程中融猜想、討論、實驗、交流、觀察、歸納於一體的動手操作、自主探索以及合作交流成為課堂的主流?
3、是否善於引導學生暴露思維過程，進行質疑問難、辯論交流?
4、是否讓學生學以致用，在具體的生活情境中解決實際問題?
三、正確處理個性與共性的關係，既要“個性張揚”，又要“共性發展”。
以活動化為主宰的數學課堂最重要的一點是始終貫穿的思維活動。任何知識的運用都離不開思維。在現實教學中，由於學生個體的差異，不同的學生在思考同一個問題時的具體思維活動既有相通的個性也有各自的差異。而活動化教學模式正是通過面向全體學生問題的設置，使全體學生都能圍繞其展開積極的思維活動，找到自己的 “思維場”，使每一位學生都有自己優質思維 “產品”生成的可能性。其次，在這思維場的構建中，要重視學生的獨立思考、集體研究、相互討論的相互結合，讓思維場之間產生 “磁場效應”，有效地促進學生按自身的思維、方式、習慣、特點圍繞問題展開思考，防止學生長期處於“跟著想、照著說、模仿練” 而造成的思維惰性。再次，思維場的構建還要加強思維方法的指導，重視思維能力的培養，通過思維方法的小結、思維過程的回顧、思維經驗的交流逐步培養學生的思維技能。
主要觀測：
1、是否力求改革單一的課堂交往形式，建立個性化、交互化、多樣化的課堂交往形式?
2、是否採用小組討論、同桌合作，提高單位時間的受益面，發揮群體互動的作用?
3、是否關注每一個學生的發展，讓學有餘力的學生在群體互動中脫穎而出，對學習有困難的學生也能在群體互動中受到啟發與幫助，獲得發展?
四、正確處理外顯形式與內隱活動的關係，既要“量的積累”，又要“質的發展”。
衡量一堂課成功與否的標準就是看學生有無進步或發展，而不是看教師教得認真不認真，也不是門面熱鬧不熱鬧，外在形式多樣不多樣，如果學生不想學或學了沒有收穫，即使教師教得再辛苦，外在形式再多樣，也是無效或低效教學。在有效的課堂教學中，學生的 “雙基” 應該是扎實的，思維應該是活躍的，情感體驗應該是積極的。現代教學的評價並不是提倡為了某個環節的突出而放棄了整個教學任務，也並不是注重“高密度”、“高強度”達到 “耳熟能詳”、“熟能生巧”，成功的數學課堂應該是智慧目標和情意目標同步並進的，既有基本知識“量的積累”，又有良好的數學意識、情感態度的形成、思維方式轉變的“質的發展”，這樣的課堂無論對學生後繼學習還是持續發展能力的培養都應產生積極的影響。
新的數學教學對教學過程的關注超過了對教學結果的關注，他不僅僅是對於作為直接結果的產品的評價，更是對全過程的外顯行為、內隱過程的全面估量。新的課堂教學中要重在評價外顯活動即外部的操作活動與內隱思維活動的相對統
一、有機結合和雙向的作用，以實現完整的科學實踐認識過程。
主要觀測：
1、是否有效地組織學生進行討論?
2、情景的創設、多媒體的運用是否恰到好處、具有實效?
3、是否注重多種教學手段的優化組合?
4、是否賦予數學學習以情激趣? 學習情緒是否飽滿，是否具備積極、主動的學習狀態?
5、是否採用激勵評價，不同層次的學生都能體驗成功的喜悅?
6、是否能讓學生勇於克服困難、悅納自己，激發興趣，培養健全良好的個性心理品質?
五、正確處理對教材的尊重與靈活處理的關係，既源於教材，又不拘泥於教材。
教材是落實《教學大綱》、實現教學計畫的重要載體，也是教師進行課堂教學的主要依據，但教材內容僅是教學內容的一個組成部分，而不是全部，教材只是一種載體，葉聖陶先生曾說過：“教師不應成為教材、教參的奴隸。” 教材具有相對的穩定性，客觀地分析教材，優化教學內容是首先要注意的問題，對教材的把握上要思考教材內容是不是達成課時教學目標所必須的，哪些內容需要補充和調整；哪些內容需要滲透數學思想； 哪些內容需要改變呈現形式、提供現實背景。
主要觀測：
1、是否挖掘教材中蘊涵的實踐、德育因素?
2、是否充分挖掘教材中蘊涵的數學思想方法，注意數學思想方法的滲透?
3、是否根據學生發展的需要運用開放性策略來改變教材內容單一的呈現方式?
4、是否注重學科間的相互滲透?
只有關注我們的課堂教學的評價，關注我們的評價方式，才會對課堂的教學方式、學習方式產生根本性的變革，在數學教學過程中才能以學生探究為主，把互動式、多樣化、個性化的學習融合在一起，充分弘揚學生的主體性、能動性、創造性，以評價促發展，不斷提高教學效果。1
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数学视角解读青铜器 篇3
关键词：数；几何；数学视角；历史文化；古滇青铜器
中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2015）08-0034-03
青铜古有“吉金”之美誉，载文明之精魄，传历史之荣光，历千年而璀璨。李家山古墓群等滇文化墓地出土的滇国青铜器被誉为“青铜铸造的史诗”，是解读古滇人从衣食住行到社会生活各方面最直观的资料，既揭开了滇国许多的谜团，又给我们留下了无限的思考空间。目前对云南青铜器的研究文献较少，且较集中于青铜器蕴含的文化研究和造型艺术研究。本文站在独特的视角，分别从数、几何图形及其美感、稳定性等方面来研究李家山青铜器，进一步揭开古滇国的神秘面纱。
一、数的视角解读
在人类发展早期，先民们就有了关于“数”的意识。例如，在文字发明以前的“结绳记事”中就体现了“数”的意识。在中国历史上，正当中原地区处于春秋战国至东汉初期这一时间轴上时，西南边陲的古滇国人用他们的勤劳、智慧与汗水创造出了辉煌的青铜文化。从其中一个重要的古滇青铜器文化组成部分——李家山青铜器来看，人们不难体会到青铜器中所体现的关于“数”的意识及其背后所蕴含的文化意义。
“五”在李家山青铜器中体现较为鲜明的一件器物是“五牛一鼓铜贮贝器”。在此器物上，中央的一牛神气逼人，高高站立于一鼓上，周围四牛低头垂尾环绕，象征着统治与地位。牛在古滇国中象征着权力、财富和地位。五头牛的聚集更突显了墓主人高贵的地位与财富。
“三骑士鼓”是“三”这个数字的典型代表。此鼓鼓面边缘立有三个骑士俑及一牛，骑士面稍朝外头戴盔，耳佩环，着对襟长衫，腰束带，佩长剑，双手控缰呈顺时针方向与马相反，马仰头翘尾，头部似乎装饰有面帘，璎珞。在铜扣饰中“三”这个数字也有所体现，如“三狼噬羊铜扣饰”，反映的是滇人捕猎的场景。
李家山出土的青铜器中，“数字”的意识较为鲜明。它主要表现在青铜器上的动物与人的数量方面。在众多的青铜器中，关于“数字”意识最多的是“贮贝器①”和“铜扣饰②”，其它种类的青铜器，如铜壶、铜尊中也有所体现。可见，“数字”意识已在古滇社会生活的各方面有了广泛的体现。
二、几何视角解读
青铜器的造型设计是一种三维空间艺术，有立体的结构形态和平面的花纹。如：正方形、长方形、三角形和圆形都是青铜器中常见的几何形状。青铜器造型复杂多变，除去表面的立体雕饰和棱角，大致呈现出组合的形态，如：觚可看成是上下两个圆台和中间圆柱体的结合，豆可看成球体和圆台的组合。基本几何元素组合在一起，可以创造出千变万化的形状。
表中圆形和矩形对应的都是青铜扣饰。青铜扣饰是用青铜铸造的背面有矩形齿扣可供系戴、悬挂的一种装饰品。它主要流行于战国到西汉时期的滇池区域，是滇青铜文化的重要组成部分。扣饰可分为规则的几何形与不规则形两大类。规则的几何形扣饰以形状划分可分为圆形和长方形两种。圆形扣饰较为常见，长方形扣饰造型简单，线条明快。
圆锥体对应的是狼牙棒。它是一种打击兵器，作八棱形，下端稍细，其上铸有排列整齐的锥刺，因形似狼牙而得名，而一个个形似狼牙的突起就是圆锥体，可使打击更有力，也是古滇国民族智慧的象征，滇国墓地出土的此类铜棒可谓中国目前考古发现的最早的狼牙棒。
圆柱体对应的是铜卮。它起初是饮酒器，后演变成盛酒器，其整体成圆柱体，增大了容器体积。耳杯大盛时，铜卮逐渐消失了。铜卮的消失是青铜器由礼器向日用器转化的结果。
李家山青铜器造型可以总结為几种基本几何元素模型。这些模型凸显出当时滇人对数学几何形状的运用与认识。
三、几何形式的美感
（一）韵律节奏。
节奏和韵律除了在诗歌中运用外，青铜器中也有所体现③。节奏具有机械之美，在构成设计上是指以同一要素连续重复时所产生的运动感，而韵律则是节奏的升华，构成设计中的韵律是指有规则变化的形象间以数比、等比等排列，使之产生音乐、诗歌的韵律感，就像一首歌曲既有明确的节奏，又有优美的旋律才能动听感人。铜编钟（图3.1），一套六枚，形状相同。每枚钟为扁圆筒状，钟身饰对称旋纹，上圆封闭，下端椭圆形平口，顶端半圆旋纽。这是形状、图案的一种连续重复，是一种节奏感的体现。而六个编钟的大小相依，是一种连续的变化，是一种韵律的体现。节奏与韵律的结合使青铜器更富美感。
（二）对称。
在古滇国李家山挖掘出的青铜器中，兵器、生产用具以及纹扣饰品从整体上看多具有对称美，例如兵器中的铜矛、铜剑、铜锤等，生产用具中的铜斧、铜锄、铜铲等，生活用品中的孔雀镇、铜贮贝器等，乐器中的铜鼓等。
铜牛头（图3.2），空心牛头铜饰。它的背面空，边沿齐平，右耳侧，脊部有一小圆孔。牛角弯曲上翘，颌至颈下有垂肌，双耳前伸，两鼻孔镂空通透。若以牛鼻孔、牛角中间做一条虚线，可以看到铜牛头关于虚线对称。
圆形铜扣饰（图3.3），中央镶嵌红色玛瑙，其外用黑色漆绘出十一个尖角光芒，芒尖及周围镶嵌绿松石小细珠。该圆形铜扣饰的表面在平面内绕着红色玛瑙旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合。所以圆形铜扣饰呈中心对称状，红色玛瑙是它的对称中心。
对称，是自然美的形象表征。自然界中的各种动物（牛、孔雀等）结构成左右对称。青铜器多为对称设计，是对大自然的有机模仿，在这种模仿中，人类得到感官的愉悦和情感的陶冶，表现了古代人民数学与美的智慧。
（三）曲线。
青铜器中有不少的造型是富于变化的曲线。曲线代表着灵动、活泼，它能引导观者的视线作变化无穷的追逐，能引起观者无限的遐思，因而“变直为曲”的青铜器造型更富有魅力。李家山青铜器中特殊的数学曲线大致有型、抛物线型、双曲线型和圆形曲线。
1.型曲线④。
猛虎袭牛铜枕，战国时期出品，器物整体似马鞍状，两端上桥翘，各雕铸一牛；枕一侧以云纹为底，饰浮雕三组虎噬牛图像，另一侧饰云纹，多放于死者头部，是滇国特有的专供随葬用的枕具。从正面看其轮廓为型曲线，这样设计的意图是为了符合人体的曲线，凸显人性化，但是这个又是随葬用的枕具，其实用功能不是很明显。
2.抛物线型。
铜钺盛产于汉代，钺一般为砍劈类兵器，除作兵器外也多用于仪仗、装饰所需，作为一种军权的象征。从正面看其外围轮廓类似数学曲线里的抛物线，作为砍劈类兵器时，这样设计更方便使用，凸显了它的实用功能。作为仪仗、装饰时，这样设计更加美观，凸显了它的审美功能。
3.双曲线型。
铜钏盛产于汉代，一套六件，重叠呈束腰圆筒状，两端的两件直径较大，口沿内折。每件为圆环状，环面较高，外周面铸制的两道槽内镶嵌绿松石小珠。成组铜钏多出自女性墓内的前臂位置或附近。任意选一个方向，画出它的主视图，可以看出两侧边缘的曲线为双曲线。而铜钏一般多为女性装饰品，不仅符合人体手臂的形状，而且利用这种曲线更加美观，凸显它的审美功能。
4.圆形曲线。
青铜器的外观造型一般都含有很多圆曲线，以圆形铜扣饰和立牛豆铜尊为例论述。圆形铜扣饰产于汉代，正面略凹呈浅盘状，由里向外三圈分别是饰折勾连云纹、绞绳纹和连续云纹。它的外围边缘是典型的圆曲线，主要用作装饰品，设计上考虑更多的是它的审美，圆作为几何形体，具有极富韵律的形式美，规整的对称性，饱满流畅。扣饰外围采用圆曲线更加美观，凸显它的审美功能。立牛豆形铜尊的瓶身多处利用了圆形曲线，增加了容器的体积，凸显了它的实用性。
青铜器造型中运用的圆、双曲线、抛物线及型线都是数学中的基本曲线，它们都具有较好的连续性、光滑性。基于曲线的平移和旋转可以得到立体物体，如以圆做平移可以产生圆柱体；双曲线绕其对称轴旋转一周就得到一个表面光滑的柱体；型线平移得到的物体具有光滑的内表面，并且型线更符合人体曲线，提高舒适感。古代先民虽然并未明确提出这些概念，但青铜器上曲线的应用已经昭示着他们的数学思想。
四、稳定性
物体的稳定性由物体重心的位置决定，重心高，稳定性差，反之稳定性好。对于青铜器而言，稳定性的要求是指器具必须能在平面上稳定地站立，不会被轻易推倒。从几何角度来讲，上部小而轻，下盘大而重的器型最为稳定，但是要将容器的重心控制在下半部分，则势必在造型上有一定的限制。古滇国人利用他们的智慧做到了这一点。下面以四件李家山青铜器为例来解读它们的稳定性。
牛虎铜案是古代祭祀时盛牛羊等祭品的器具，由一虎二牛组成：主体为一头立牛，巨角前伸，肩部隆起，四条腿作案足，牛背下凹呈盘状作案面；牛后部攀爬状一虎，躬身下垂，咬住牛前爪紧扣案沿，后腿蹬于牛腿上；大牛腹下中空，一头巨角前伸体量较小的牛横向立于大牛前后腿间横档上。
从结构上看，此案牛头沉重，且腹部镂空，整个物体的重心前移，物体必会前倾。但聪明的工匠却利用小虎装饰于大牛尾部，且虎的后腿紧蹬，使得器物的重心明显后移，保持了案的平衡。同时再在大牛腹下焊接一头小牛，加大器物下身的重力，使重心下移，更接近地面，这样就解决了器物因追求美观、奇异而下盘略显轻浮不稳的问题。整个铜案造型独具匠心，别出心裁，虽无文字记载，但其无不体现着古滇国人在数学运用方面的极高智慧。
虎鹿牛铜贮贝器（图4.2）是滇人特有的用以存放货贝并具有一定政治和宗教意义的青铜器。从整体构造观察，若将整个物件分为上中下三个部分，上部分中间的牛是五个动物中最大的，其将整个上部分的重心控制在了中间部位；中间部分类似圆柱，其重心也再整个中间部分的中心位置；下部分设计更为巧妙，青铜器的三个足，呈正三角形分布在器具底部，而三角形具有稳定性，这就使得整个铜器重心更稳。
立牛铜壶（图4.3）属战国时期物品。此器物呈直口，细长径，球形腹，小平底，形似一胆式瓶；鼓形器盖，盖上雕铸一立牛，头微仰，尾下垂。此类壶为古代滇池地区特有的一种贮酒器，常在祭祀、宴乐场合使用。此铜壶下部为球形腹部，上部为瓶颈。瓶颈虽高，但腹部较大，器具的重量集中于球形腹部，这就使得重心的大致位置在球形腹部内。重心低，稳定性好。底圈足的设计也使得器具更利于稳定的站立。
古滇青铜器，构思奇妙、造型独特、制作精美，展现着从礼器、兵器、乐器到生产工具、生活用品及装饰品等方方面面，载述着古滇社会从生产场面到战争场面、从文化活动到商贸活动的点点滴滴，宛如一部详实的大型史书为世人呈现出风格独异、五彩缤纷的古滇文明的历史画卷。本文从独特的数学视角来浅析青铜器的结构造型，可以提供研究青铜器的另一种思考模式。数学与生活息息相关，通过数学方法发现古滇人民对数学知识的体现，彰显古滇人民的智慧。
注解：
①貯贝器是滇国特有的青铜器，具有浓郁的地方特色和民族风格。现今发现的青铜贮贝器有多种形状，这些贮贝器主要用来盛装货币——贝壳，同时还具有较高艺术审美价值。
②铜扣饰是滇国青铜器中独具特色的一种器物，因背面有矩形扣而得名，是滇人服饰的一个重要组成部分，还是一种装饰在棺椁或其它竹木器上。
③《中国古代 青铜容器造型设计的几何解读与启示》—马莉
④U型曲线是一种判断和预测 某种特殊发展过程的事物，现状和发展趋势的一种分析模型。
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数学视角 篇4
一、数学文化
数学文化是指人们对于数学理论、思维、语言等多方面知识的整合形成的一种文化,它不仅仅停留在传统的数学知识的范围之内,同时还重视对于数学的历史、数学教育中的人文特点及作用的分析. 重视数学文化的意义对于数学教育的开展有着重要的作用. 数学文化不同于其他的文化, 它具有自己独特的语言,并且在实际的生活中一直发挥着重要的作用,而且不受任何国家和语言的限制,具有较强的统一性. 同时,它是基于各国的数学文化发展的基础上形成的,具有各自民族的特殊性和可塑性. 数学的发展是比较漫长的,而且它的发展都是站在前人的研究基础之上进行的, 不论经过多长时间的变革,数学文化依然可以进行延伸和塑造.
二、基于数学文化观视角下的数学教育意义
首先,数学教育自身的一些概念和公式都是比较抽象的,而且部分难以理解,如果能很好地与数学文化相结合可以在更大程度上激发学生的学习兴趣,活跃课堂的氛围. 其次,可以加强学生对于数学美的认识,在数学文化观的指导下让学生感受到数学的魅力. 第三,可以很好地改变我国传统的数学教育中的不足之处,不再片面地注重理论知识的讲授和计算方法的掌控. 与此同时,可以丰富教学内容,让学生了解和掌握相关的数学发展史,并最终实现数学文化素养和数学理论知识的全面发展,提高学生对于数学的兴趣,端正学习态度,有效地改善高校教学中的偏科问题,实现高校学生全方面素质的培养和发展.
三、基于数学文化观视角下的数学教育策略
在上述的种种数学文化观指导下的数学教育具有较强的实践性,需要我们的数学教研工作者们加强对于数学文化的研究和学习,并逐渐地将这些知识融入到数学课堂上, 这样可以很好地活跃上课的气氛,同时实现相关知识的传达,并在实践中不断地完善工作中的不足,适当地进行教研方式的调整.
1. 学生对于知识的接收主要来源于课本和老师,
我们的数学教育工作者需要改变自身对于数学教育的观念,重视对于数学文化的研究和学习,只有综合素质较好的老师才能培育出更多的优质的人才,老师们也要不断地学习,并在实际教学中不断地积累经验,以便于更好地将数学文化和数学课程结合在一起,实现高效、有趣的数学教育工作.
2. 改进教学方法,激发学生学习兴趣
重视教学内容与学生实际生活的联系,从学生日常生活出发,将数学教学内容与具体知识的运用联系起来,并拓展这些知识的文化内涵,从而激发学生的求知欲望,让学生在学习中掌握知识的运用方法,明确这些知识点承载的文化底蕴,促进教学和学习效率的提高.
3. 利用信息技术,全面展示数学文化
通过信息技术,尤其是多媒体技术的运用,能够将数学文化知识更加全面地呈现在学生面前. 同时,多媒体还可以使数学文化知识的呈现方式多种多样,可以利用图像、幻灯片、视频、音频等形式,将数学文化知识全面呈现在学生面前. 这样能够让教学内容变得更为直观形象,也有利于为学生呈现更为丰富的教学内容,促进教学效果的提升.
4. 开设相关的课程,适当地增强学生对于数学文化的 了解
在我国目前的高校教育中,课时安排是比较紧凑的,而且每天学生的知识接受能力也是有限度的,适当地开设一些有趣的选修课程可以很好地缓解学生的学习压力,并且可以帮助学生增加接触课堂以外知识的机会,丰富学生的知识结构. 在时间比较充裕的情况下,我们可以通过影片资料的播放让学生们了解数学文化的发展过程和发展中的一些小故事,让他们了解这些数学定律是在生活中慢慢地被人们发现和发展的,这样可以极大地提高和加深学生们对于相关知识的记忆和学习兴趣.
综上所述,数学文化观的提出和应用对于提高我国高校数学教学质量起到了重要的作用,并且在现代教育信息化和数学文化的双重作用下,我国的数学教研工作有了较大的飞跃,不仅可以很好地提高和培养学生的学习积极性, 同时还能帮助学生养成自主学习能力,多元化的教学方法也可以最大限度地激发学生的学习欲望,全面地提高我国高校学生的数学素养,为我们国家培养出全方位发展的、综合素质较高的人才,以便于更好地实现我国各项事业的全面发展.
摘要：在我国的教育体制改革中,各项教育科研事业都取得了较大的进展,再加上现代教育信息化的推广和普及,我国的教育体系和教育质量都有了明显的提高.高校的数学教育既是教学中的重点,同时是教学难点,它作为一门基础性的教学课程对于其他课程的学习都是有一定的影响的,并且对于培养学生的逻辑思维能力也是大有裨益的.在现代的高校教育中普遍存在偏科的现象,这对于学生知识结构的形成是极为不利的,相关的科研学者提出了在数学文化的基础上来进行高校的数学教育,并将其应用到了实际的数学教育中,得到了广大师生的认可.因此,本文通过对数学文化的简要分析,就数学文化观视角下的高校数学教育展开了简要的探讨.
数学视角 篇5
李铁安
宋乃庆
【摘要】充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学．笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统．以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，制订高中解析几何教学策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标．基于笛卡尔数学思想，可制订如下具体的教学策略：（1）整体文化驱动；（2）核心概念统领；（3）思想结构分拆整合；（4）双向模式转化．
关键词：数学史 笛卡尔 解析几何 导 言
立足于数学史的视角审思数学，对认识、理解数学教育具有启发意义．数学史有机地融入到数学教育中也是数学新课程的基本理念之一．要充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学．本文通过分析挖掘笛卡尔解析几何思想的科学与文化内涵，并基于笛卡尔数学思想，提出高中解析几何教学的若干策略． 高中解析几何课程与教学现状概述
高中解析几何课程是一门以解析几何学的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题的学科．课程内容主要包括空间坐标系、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐标等．这些内容是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解析几何、线性代数和微积分的基础．高中解析几何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位．高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也有广泛的应用．同时，在解决解析几何问题过程中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场”．所以，高中解析几何课程具有培养学生数学综合能力的功效．而且，解析几何学是17 世纪数学发展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义．也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方法，个性品质以及发明创造的思维线索和心理历程．因此，高中解析几何课程更具有丰富的文化价值和教育价值，是提高学生科学素养和整体文化认知水平的一个典型范例．然而，目前高中解析几何课程在实施过程中没有全面、完整、准确、有效地实现课程目标．调查结果表明，高中解析几何教学还存在诸多问题．主要表现在如下几个方面：
（1）教师对解析几何课程的本质及其教学宗旨存在一定的偏颇或欠缺；（2）课程目标和教学内容偏窄；（3）课程目标与教学实际背离；
（4）教学方式单一，课堂缺乏探究与交流；
（5）学生对解析几何课程的理解肤浅，学习兴趣初浓渐淡；（6）高考评价导向存在一定的偏颇或欠缺．
具体地，绝大多数教师往往认为解析几何的学科性质是偏重于代数的，学生学习解析几何的宗旨就是要学会代数计算和代数方法；课程目标就是让学生学会列方程，熟练解方程，即使注重数形结合这一核心思想，也侧重于几何问题代数化这单一的方面；教学上偏重于列方程和解方程，以训练算法为主，靠做大量习题提高代数技巧，忽视对代数结果的几何含义分析，忽视几何方法的简洁性和有效性，甚至有去几何化的倾向，很少介绍解析几何产生的背景，笛卡尔创立解析几何的思想方法，它在数学史中的独特地位，以及这一学科的巨大威力．对解析几何这种简单的处理，使许多学生在解析几何课程学习中没有感受到它的科学价值、文化价值和教育价值；学生学习方法单调，思维方式单一，沉湎于机械训练，直觉思维和创造力受阻，学习兴趣初浓渐淡，终因难而厌．不容忽视的是，高考数学试题中解析几何的内容也多以列方程、解方程的题材为主，学生在高考中，涉及解析第2 期 李铁安等：高中解析几何教学策略——数学史的视角 91几何内容的题目的得分从总体上看并不低，这也在客观上影响了目前高中解析几何教学的导向．
改变目前高中解析几何课程与教学的现实境况，探索如何在数学新课程理念下科学、有效地实施解析几何课程，就显得十分必要而迫切．一种可行的策略是充分借助数学史的力量．通过分析挖掘笛卡尔创立解析几何过程中体现的数学思想，并基于笛卡尔数学思想制订教学若干策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标． 笛卡尔解析几何思想的内涵——数学文化学的视角
数学文化学是指从文化这样一个特殊的视角认识、理解、分析数学．由于影响数学发展的文化因素是多方面的，数学也具有广泛的文化特征与文化价值，所以，数学文化学就从更为广泛的角度指明了影响数学历史发展的各个因素，而且也直接涉及了对于数学本质及其价值的认识[1]．数学文化学是数学史研究的一个重要范式．通过数学文化学分析数学，既可以厘清影响数学发展的各个因素，也可以充分解析出数学的文化价值．
以数学文化学为分析框架分析笛卡尔创立的解析几何，本文认为，笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统．具体从以下6 个方面体现：
（1）历史渊源：文化全面复兴；生产高度发展；科学和数学本身提出了大量问题；数学观和数学方法论发生了重大变化．
（2）数学结构：笛卡尔解析几何思想的数学结构由核心概念，基本方法，数学原理3 个层次构成．核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理（或化归原则）．笛卡尔解析几何思想的数学结构是其整体文化系统的核心．
（3）科学价值：将变量和坐标观念引入了数学，开创了近现代数学的先河；提出了一切问题都可以归结为解方程问题的“通用数学”方案，开创了机械化的数学计算方法；提出了将数学作为一种方法科学的直观—演绎法的方法论，使科学方法论实现了革命性的突破．
（4）哲学表现：反映了客观世界的3 方面特征——运动变化性，普遍联系性，永恒统一性；呈3 个方法层次——具体化的数学方法，一般化的科学方法，普适化的哲学方法．
（5）认识模式：问题解决的思维线索依直觉思维→抽象思维→演绎思维→归纳思维而进行；创造的心理历程按照观念选择→审美直觉→有用提取→有效组合的心理逻辑展开．
（6）个性品质：理性化的哲学素养和统一化的数学信念；怀疑、批判的创新精神和合理继承前人成果的包容精神；对数学简约美、和谐美和统一美的审美追求．作为一个整体文化系统的笛卡尔解析几何思想，其中的每一个子系统之间是互相关联的（见图1）． 图1 笛卡尔数学思想的内涵 高中解析几何教学策略——基于笛卡尔数学思想的视角
4.1 策略一——整体文化驱动
文化驱动的概念可以界定为：以文化所固有的力量推动人的发展．这里的整体“文化驱动”策略就是指在高中解析几何课程教学的启动环节，以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材驱动教学． 4.1.1 文化驱动数学教学的意义与功能（1）文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁度．教育的主题是唤醒人的超越性，超越需要开阔的精神空间．崇高的信念、理性的素质、高尚的情感是课程内容中的文化精髓，对于学生，这些因素的相互渗透、化通，可以拓展精神空间的高度，支撑精神空间的结构，涵育精神空间的厚度，并最终整合成一个有力的精神性存在．精神空间的开豁度是科学创造的重要因素，牛顿、爱因斯坦，包括本文所涉及的笛卡尔等科学史上诸多具有非凡创造力的科学家，他们之所以能够创造出划时代的科学成就，其中一个很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更辽远的视野．所以，文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁度，更好地实现精神超越．从而，提升人的创新素养和创造能力．
（2）文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的形成与发展．现代认知心理学认为，兴趣、性格、动机、情感、意志等基本心理因素相互作用，构成个体学习过程的心理环境和认知驱力，它是影响意识指向的直接环境和内在动力．那么，如何让这种内在动力启动起来呢？就是充分利用课程本身的诱因（incentive）价值．所谓诱因，即一切能引起机体产生动机性行为的外部刺激[2]．课程本身的诱因价值可以驱动学生的学习[3]．利用课程中广泛的文化要素，可以为学生提供一个庞大的信息资源，直接刺激学生学习过程的心理环境，对学生学习兴趣、动机，品质等非智力因素和学生的感知、注意、思维、想象等智力因素的形成与发展都会产生积科学价值认识模式历史渊源个性品质数学结构哲学表现笛卡尔数学思想的内涵（一个整体文化系统）极影响．因此，文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的形成与发展．
（3）文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养．文化是数学的基本特征．高度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性、不断累积性、永恒竞智性、审美驱动性、和谐统一性及它们之间的交互作用构成了庞大的数学文化系统．以文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养．思维的抽象性可以牢固信念并挑战智力；推理的严谨性可以培养良好的思维习惯和品质；知识的系统性以及问题的复杂性，可以涵育坚强的意志和学习态度；数学累积性可以激发
创新意识、开阔历史视野；审美驱动性与和谐统一性可以完善数学观和对数学美的情感体验． 4.1.2 文化驱动解析几何教学的意义与功能
数学教学是数学思想的教学．但数学创造中，数学家的信念品质、价值判断、审美追求等文化因素的暗流总是涌动在知识和真理成分的背后．数学思想教学的哲学意义在于，让学生透过数学知识和真理的“冰冷的美丽”背后，了解是什么样的一种深层文化预先存在于数学家的预设中，使他能够形成这样的思想和创造，并进入学生自己的心灵．笛卡尔数学思想具有广泛而深刻的文化内涵，是一个整体文化系统．所以，高中解析几何课程教学应尤其突出解析几何思想的教学．以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，在课程教学的启动环节驱动解析几何教学，可以让学生对解析几何产生的文化和历史背景、基本思想和学科特点以及笛卡尔创立解析几何时的数学信念、数学思维、心理模式、个性品质等有一个整体性认识，为学生营造一个渴望认知、理解和掌握知识的、深富吸引力的学习情境，从而激发学生学习的原动力，使学生形成立体的认知结构，也为解析几何基本思想的全面展开奠定基础．
奥苏伯尔（Ausubel）曾提出先行组织者（advanceorganize）概念，即：组织者是先于学习材料呈现之前而呈现的一个引导性材料．它在概括与包容的水平上高于要学习的材料，但以学习者通俗易懂的语言呈现，故它是新旧知识发生联系的桥梁．文化驱动解析几何教学正可以作为课程教学的先行组织者． 4.1.3 整体文化驱动策略实施具体方案
设置一个导言课，安排在解析几何课程开始之初．教学主题：追寻笛卡尔数学思想的踪迹——解析几何课程内容及学科思想介绍
教学内容：
（1）笛卡尔生平简介（2）历史背景简介
（3）笛卡尔创立解析几何构思过程（4）解析几何的创新与意义（5）笛卡尔信念、精神与品质（6）解析几何中的哲学思想
教学方式：讲座，师生交流，学生课后作文 课时安排：以2 学时为宜 4.2 策略二——核心概念统领
所谓核心概念统领策略，就是以曲线与方程概念为核心，总体统领解析几何知识结构，开展教学． 4.2.1 核心概念统领的意义与功能
曲线与方程概念是数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念而展开．因此，曲线与方程概念在解析几何知识结构中居统领地位．
核心概念统领解析几何教学，可以让学生更好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（数形结合思想方法）和研究对象（直线和各种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固，为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台．
4.2.2 核心概念统领策略的原理归结
布鲁纳（Bruner）认为，学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，知识的整体性和事务的普遍联系是学科的基本结构．不论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．这种基本结构是学生必须掌握的科学因素，应该成为教学过程的核心，因为学生如果掌握了学科知识的基本结构，他就可以独立地面对并深入新的知识领域，从而不断地、独立地认识新问题，增多新知识．为此，它强调：学习和掌握每门学科中那些广泛起作用的概念、定义、原理和法则体系是最好的办法．学生学到的观念越是基本，几乎归结为定义，则它对新问题的适用性越宽广．
同样的观点也在奥苏伯尔的意义学习理论中体现．奥苏伯尔认为，学生的学习，如果要有价值的话，应该尽可能地有意义，即意义学习．意义学习的先决条件之一就是要尽可能先传授学科中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念和原理，以便学生能对学习内容加以组织和综合．
曲线与方程概念是对解析几何内容广泛起作用的最基本概念，也是解析几何知识结构中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念．显见，以曲线与方程概念为核心的核心概念统领策略，正符合布鲁纳关于学科基本结构的教育原理，也符合奥苏伯尔关于意义学习的原理．
4.2.3 核心概念统领策略的具体实施
设置一个奠基课，安排在解析几何正课的第一节．教学主题：解析几何核心概念的形成与课程知识结构教学内容：
（1）曲线与方程概念形成过程——几何量算术化—构造代数方程—求解轨迹方程—形成核心概念（2）曲线与方程定义——存在性与完备性
（3）数形结合基本思想——几何问题代数化—代数问题几何化—代数化与几何化统一（4）解析几何基本原理——映射（化归）
（5）解析几何知识结构——概念、思想、原理、研究对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流、探索
课时安排：以2 学时为宜 4.3 策略三——思想结构分拆
所谓思想结构分拆策略，就是在解析几何教学中，将数形结合思想的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化做独立要素分析．
4.3.1 思想结构分拆的意义与功能
数形结合思想的教学是高中解析几何教学的核心．但数形结合思想在解析几何课程内容中的体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问题几何化观念．在解析几何教学中，实施思想结构分拆教学策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握和灵活应用解析几何基本思想．分拆是手段，通过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义，使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目标，在几何问题代数化和代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生牢固观念．所以，思想结构分拆教学策略，重在分拆，旨在整合． 4.3.2 思想结构分拆策略的认知原理
现代数学学习理论认为：数学学习是一个数学认知过程．因此，要对数学形成过程中的内部认知加以分析．数学思想的学习要经历从感性到理性，从领会到形成，从巩固到应用的发展过程．数形结合思想学习的心理建构过程需要经历以下4 个阶段：
（1）辨认（identifica-tion）：先通过曲线与方程的概念学习，确认数形结合思想内在统一的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化；
（2）分化（differential）：几何问题代数化和代数问题几何化对心理产生不同的刺激反应；（3）交互（reciprocal）：几何问题代数化和代数问题几何化以彼此对立的方式在心理上运行；（4）内化（intenalization）：此时的数形结合思想，以一种综合的心理图式转化为内部观念．
与之相对应，数形结合思想的教学策略应该是首先学习曲线与方程的概念，让学生确认数形结合思想内在统一的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化，显然，这可以在前面核心概念统领策略这一环节中实现；然后，对数形结合思想进行分拆，将其分解为几何问题代数化和代数问题几何化这两种彼此独立的方法；再对这两种方法做独立要素分析，最后，整合为一种统一的思想．
事实上，思想结构的分拆，是一种解析的方法．这恰可以从笛卡尔本人的哲学方法论中找到皈依．笛卡尔曾给出了获得正确知识的方法：为了把一个问题简化成便于理性处理的要素，应该把它分解开来，尽量由简入繁．这意味着，解析的方法是最有效的． 4.3.3 思想结构分拆策略的具体实施
此策略主要是强调几何问题代数化后，要对代数结果做几何意义的分析．通常在建立直线、圆、圆锥曲线等曲线方程和解决具体问题中实施．如对于椭圆概念教学，在推导椭圆标准方程的过程中，通过几何问题代数化，可得到椭圆的第一定义；通过中间代数结果变形，新的代数结果几何化，同时可得到椭圆的第二定义．这样，两种方法的功能可以清晰地体现出来，也可使学生理解两个定义之间的内在统一． 4.4 策略四——双向模式转化
所谓双向模式转化策略，就是将解析几何中的代数模式与几何模式进行互相转化，它是思想结构分拆的具体操作．
4.4.1 双向模式转化策略的意义与功能
目前高中解析几何教学更多地侧重于几何问题代数化这单一的方面，忽视或忽略对代数结果的几何含义的分析，因而代数问题几何化方法没有得到充分体现，这也直接导致学生对数形结合思想理解的缺失．笛卡尔通过建立坐标系，使图形的几何关系在其方程的性质中表现出来，将几何问题转化为代数问题来解决，这的确是解析几何的基本方法．但在合适的坐标系下，某些代数问题也同样可以转化为几何问题来处理．事实上，在笛卡尔创立解析几何的过程中，他本人已经敏锐地看到了这一点，利用圆与抛物线的交点求三次和四次代数方程就是代数问题几何化的一个经典实例[4]．解析几何在处理代数问题和几何问题上是一个“双刃工具”[5]．通过代数模式转化为几何结构，可以强化代数直观；借助坐标系并利用几何性质对几何结构做代数解析，可以强化几何直观．因此，在高中解析几何教学中，应强化双向模式的转化，尤其应加强代数问题几何化的教学．这不仅是让学生完整地学习解析几何思想方法的课程目标的需要，也可以培养学生逆向思维、直觉思维和抽象思维等能力，提升学生的模型意识和数学地分析解决问题的能力．
4.4.2 双向模式转化的方法论原则
解析几何中的数学模式从宏观上看包括代数模式和几何模式，并直接体现在数形结合思想上．几何模式转化为代数模式就是几何问题代数化；代数模式转化为几何模式就是代数问题几何化．具体地，直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线都是具有几何性质的几何模型，而直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程都是具有代数特征的代数模型，认识每一种曲线方程，解决其中的问题的过程就是模式双向转化的过程．所以，模式双向转化是解析几何的主要特征．
其方法论原则是：首先，观察代数问题（几何问题）的外部结构是否具有几何特征（代数特征）；然后，根据代数问题（几何问题）的几何特征（代数特征）探索代数模式与几何模式之间的内在联系；最后，根据其内在联系构造解决问题的几何模式或代数模式．这里，最重要的是对代数模式和几何模式的辨认和识别，模式识别是知识迁移的前提[6]．
4.4.3 双向模式转化策略的具体实施
此策略主要用于解决两类问题：一是对一些代数问题，利用纯粹代数方法很难解决，而其代数结构具有几何特征，则可充分借助几何性质解决；二是对一些几何问题，通过建立坐标系，使图形的几何关系在其代数方程的性质中表现出来，则可将几何问题转化为代数问题来解决．对于这两类问题，前者在目前解析几何教学中普遍重视不够，或者只是零星处理，建议应该作为一个专题系统教学；而对于后者，教学中很少出现这样的例题和习题，建议应该加以充实．
以上，基于笛卡尔数学思想提出的高中解析几何教学策略，在应用于具体的教学实践中取得了一定的功效，但这仅仅是初步的探讨，还有待进一步深化研究． 结 语
历史是最好的启发式！数学史对数学教育的意义已耳熟能详，无庸赘言．为此，证明数学史对数学教育的确具有启发意义，这似乎对数学教育实践、对数学史融入数学教育的研究都并无太多启发意义，也不是本文的宗旨．基于数学教育的数学史应把史学形态转化为教育形态，基于数学史的数学教育应到数学史中寻找新生长点．如何挖掘数学史的教育要素，使数学史的价值在数学教育中得以真正体现，是数学史融入数学教育的终极追求．本文也正是基于这样的理念，选择了一个具体的课程内容，做了一点尝试． 【参考文献】
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High School Analytic Geometry Teaching Strategy——Mathematics Historyangle of View LI Tie-an, SONG Nai-qing(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)Abstract: The full display mathematics history logarithm study education function and the effect, should in the comprehensive thorough excavation mathematics history the logarithm study curriculum had theinspiration significance and the education value
开拓思维新视角 彰显数学本味 篇6
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）06A-0016-01
数学有自身特点，也有无穷韵味，为什么还有学生感觉数学枯燥乏味呢？其实原因在于教师。数学本味需要教师挖掘，数学趣味需要教师来激发，数学韵味也需要教师来展示。教师应根据学生的思维特点，深度剖析教材文本，开拓崭新视角，深度开发数学味，并以学生可以接受的方式进行展示和传递，让学生在品尝数学“原汁原味”的过程中积累数学感知和体验。
一、教材挖掘，展示数学本味
小学生感知维度较低，接受数学概念需要一个不断积累的过程。教师能不能科学解读教材，学生能不能准确把握数学本味，这是衡量数学课堂教学成败的标准。数学虽然逻辑性、抽象性较强，但数学的动态特征也比较突出，这也是教师需要抓住的教学切入点。数学概念是死的，但数学应用却是活的，教师要让学生从生活中学习数学，消除学生对数学的乏味感觉，深度挖掘教材内涵，展示数学本味，让数学教学本位回归。
如在教学人教版四年级数学上册《认识几分之几》时，教师让学生自行阅读教材，然后指导学生进行实际操作，将事先准备好的圆形纸片分成十等份，用彩笔给这些分完的白纸涂上颜色。再让学生说一说，每一种颜色都涂了几份，占全部十等份的几分之几。学生对这样的实践操作充满兴趣，都非常认真地操作，然后小组交流互动，将自己的作品展示给其他同学看，教学效果良好。
教师并没有对教材内容做太多讲解，只是引导学生通过实际操作，将数学原理“几分之几”藏匿在实践中，让学生在做中发现和认知。这就是向学生展示数学本味的过程。数学虽然有概括性、抽象性，但同样也有直观性和形象性，教师将数理进行直观展示，学生很自然地进入到数学的思维层面，形成对数理的有效认知。这样的数学学习可以迅速接近数理核心内容，在数学本质本味体验中进行数学知识的积累。
二、教学预设，激发数学趣味
教学设计是教师上课的前提，很多教师都会按照习惯做法进行备课。老套的设计思路、陈旧的教学方法、呆板的教学过程，教师还没有开头，学生早已知道结尾了，这样的课堂教学怎么能吸引学生呢？因此，教师要改变传统的教学设计理念，要对课堂教学环节、教学过程进行个性化调整，注重在课堂教学中抓教学生成，淡化执行教案意识，提高课堂趣味性指数。
如在教学人教版三年级数学下册《长方形、正方形面积的计算》时，教师让学生总结长方形和正方形面积计算公式，学生很快就记住了。紧接着教师让学生以学习小组为单位，用事先准备好的皮尺，实地丈量学校操场、篮球场、教学楼占地面积等。要求各小组测量准确、计算正确，最先将结果交到教师手中者为优胜小组。教师一声令下，学生蜂拥而出，有条不紊地开始实际操作。有测量的、有统计的、有计算的，各个小组行动非常有条理、有秩序。
教师用巧妙的教学预设，将学生的学习积极性充分调动了起来。这不仅是教学方式选择的胜利，也是数学自身特质充满吸引力的结果。一根皮尺、一支铅笔、一张纸，可以瞬间计算出操场面积，这种操作本身就具有神奇性，教师实际激发的是数学趣味，让学生对数学产生探索需求。
三、课程评价，体现数学韵味
新课改背景下，课堂教学评价成为重要的改革内容，要求教师多进行鼓励性评价，提升学生的自信心。但是，很多教师为使用鼓励性评价，将学生表现出来的亮点无限放大，这样的教学评价就太过了。数学有自己的韵味，教师在进行教学评价时，应该准确把握数学本质，即使要表扬学生，也需要结合数学内涵用数学语言进行适度评价，要让学生明白，自己的亮点是建立在数学认知上的，要与数学本质形成联系，而不是脱离数学范畴为表扬而表扬。
如在教学人教版三年级数学下册《面积与周长的对比》时，教师提出一个实践操作验证题：一条两米长的跳绳，可以围成长方形、正方形、圆形，因为周长相等，这几种图形的面积是不是相等呢？如果不相等，哪种图形的面积最大？学生对这样的问题充满了兴趣，都想通过实际操作进行验证。学生开始汇报成果：周长相等，正方形面积比长方形面积要大；周长相等，圆的面积最大。教师这样评价：“你对几种图形的测量非常准确，而且能够找到正确的比较方法，这样才能得出科学合理的结果。真的很用心。”这样的教学评价主要从数理认知角度进行，特别指出了学生选择的切入点正确，这对学生的鼓励就显得“有根有据”了。
数学有本质美感，这是数学教师需要具备的认知。教师对数学热爱，才能感染学生对数学学习产生兴趣；教师深度挖掘数学本味，学生才会逐渐接近数学。教师要注意对小学生开拓新视角，用不一样的认知开启数学学习之旅，给学生带来别样数学味，学生自然会建立数学学习的全新感知。
研读数学教材:基于儿童的视角 篇7
一、基于儿童的童心研读数学教材
学习不是“授予”, 而是儿童灵性在一定情境下的“激活”与“唤醒”。教学的目的应当是向学生传送生命的气息, 让作为人的儿童得到充分自由而完整的生命成长。那么“课堂上用什么抓住学生的心”应当是我们在研读教材时首要思考的问题。儿童不是小“大人”, 他们有自己的年龄、心理特点, 他们有自己认识世界的方式。他们的本能和冲动、兴趣和爱好、情感和行为, 需要周围环境及儿童所接触和使用的材料的刺激。基于儿童的视角研读教材, 首先要求我们站在儿童的立场基于儿童的童心以儿童的眼光来思考所提供的材料。首先, 呈现的教学内容是否与学生已经看到的、感觉到的和爱好的东西相联系, 是否能唤起儿童的童心、童真、童趣, 唤起儿童的好奇心。其次, 了解儿童的兴趣在哪里, 学习是基于什么样的动机。思考所提供的材料能不能作用于学生的精神需要和要求, 激起学生的学习兴趣和动机。
以苏教版一年级上册实践活动“有趣的拼搭”为例, 教材中分别安排了滚一滚、堆一堆、摸一摸、搭一搭、数一数这几个层次的活动。通过学生的合作互动, 加深对长方体、正方体、圆柱和球的特征的认识。我在研读教材时基于儿童的童心思考:各种形状的积木是儿童在幼儿时期就经常玩, 喜欢玩的玩具。可以想象上课时当学生看到提供给每个小组的积木时, 一定会出现教师没发话学生就迫不及待地拿起积木玩的场景。如果教师不顺应学生的这种心理需要, 而是把学生硬牵到自己预设的教学流程中, 按程序操作, 让学生仅仅充当着“操作工”的角色, 那么一定会压制学生的主动性, 抑制学生的思维, 扼杀学生创造的灵性。基于儿童童心的教材研读使我决定:“玩”是每一个孩子的天性, 顺应学生的心理需要, 让学生在“玩”中建构知识, 在“玩”中发现问题, 在“玩”中归纳共性。教学时, 首先给学生足够的时间动手自由地玩这些积木。其次根据学生玩积木的情形互动交流, 有效追问。如:滚一滚中你有什么发现?搭一搭时哪种积木你用得最多?哪种积木用得最少?实际教学时, 学生兴趣盎然, 课堂上不时地闪烁出一些精彩的发言, 如:“我把长方体、正方体、圆柱、球放在滑板上赛跑, 我发现圆柱和球滚得很快, 长方体和正方体滚不起来, 是滑下来的。”“我们在玩的时候发现圆柱横过来好滚, 竖起来不好滚。圆柱上下两个面平平的、滑滑的, 这样滚就不好滚。中间这个面圆圆的、弯弯的, 横过来放, 就好滚。”“圆柱上面的面平平的, 一根一根往上堆, 很稳。横的面圆圆的, 就堆不稳。”“我认为圆柱横过来也好堆。如果我们多拿些圆柱, 最下面放4根, 上面放3根, 再上面放2根, 最上面放1根, 就像卖木头的地方堆木头那样堆, 也可以!”……
学生们基于自己的语言阐述着, 发现者的那份自豪感溢于言表, 藏都藏不住!最后小结时, 有一个学生由衷地发出“今天的数学课真好玩”的心声。我想, 这一切都得益于教师研读教材时, 不再无视学生作为学习主体的内在需求, 从而使这节课的数学学习真正成为学生主动参与的、生动活泼的、个性化的学习过程。
二、基于儿童的经验研读数学教材
教材积淀着人类长期的探索与经验, 属于逻辑化的成熟经验, 是指导儿童当前经验的一种素材和方法。教材要真正地被儿童所理解和接受, 引导儿童经验的发展, 就有必要把它恢复到它所抽象出来的原有经验, 变为儿童的直接的个人经验。苏霍姆林斯基说:“许多有经验的教师认为, 能够教得使学生借助已经积累的东西而不断地获取知识, 这正是高度的教学技巧所在。”因而, 如果教师在用教材教学时看不到和抓不住儿童经验中可利用的一些因素, 那么这种教学就很有可能是机械、死板的。用教材教学要基于儿童的生活经验把教材转化为生活的一部分, 用以解释和指导学生经验的发展;用教材教学要基于儿童已有的知识经验, 找准学习内容与学生已储备的知识经验的连接点、生长点和发展点, 从而形成完整的知识结构。
一年级口算教学的内容中经常出现渗透加、减法算式变化规律的题组练习。这样的题组练习可以使学生逐步感悟算式中蕴藏的变化规律, 培养学生探索事物规律的初步能力, 体会思维过程的灵活性, 以便于学生更好地掌握口算。例如:
苏教版一年级上册第65页第6题苏教版一年级上册第63页第4题
看着一组抽象的算式, 让学生感悟、理解算式中的变化规律, 并能用自己的语言说一说, 对于一年级的孩子来说是困难的。那么, 怎样才能便于学生轻松地理解感悟呢?仔细研读后, 发现上面例举的一年级上册第65页第6题的题组规律在学生生活中可以找到经验。于是我这样组织教学:一本图画书10页, 几个小朋友都在看这本书。小明已经看了2页, 他还剩下几页没看?小刚看了4页, 他还剩下几页没看?小华看了6页, 他还剩下几页没看?小海看了8页, 他还剩下几页没看?让学生分别列出算式解答, 我把这些算式板书在黑板上。再引领学生仔细观察这组算式, 说一说有什么发现。学生们都能发现:同样的页数, 看得页数越多, 剩下的页数越少。我进一步拓展:你在生活中还感受过这样的规律吗?有的学生说:同一杯水, 喝掉得越多, 剩下得越少。有的学生说:同一根绳子, 剪得越长, 剩下得越短。有的学生说:10个萝卜, 小白兔拔2个, 剩下8个。10个萝卜, 要是小灰兔来拔4个, 就剩下6个。拔得越多, 剩下得越少……学生都能结合自己的生活经验来理解:从一个数里去掉得越多, 剩下得越少。教材所呈现的逻辑化知识是由儿童经验发展而来的, 只要仔细研读教材, 教师用教材教学时就可以找到学生当下经验中与教材有关的可利用的因素, 从而促进学生主动建构。
三、基于儿童的思维研读数学教材
儿童的世界千奇百怪、色彩斑斓, 儿童的思维以直观形象为主, 逐步向抽象过渡。儿童有他们独特的视角, 课堂教学必须基于每一个学生的独特个性之上。有人说:“大人和孩子分属于两个不同的世界。”有时候, 在成人看来不可思议的事情, 孩子却有自己合理的解释。我们研读教材时要善于从儿童的认知特点出发, 用儿童的思维思考呈现给学生的学习材料。首先, 是否遵循了学生的思维发展规律, 有利于学生主动地建构新知。其次, 是否有足够的探究空间, 能引发学生主动思考, 经历“再创造”。再次, 是否能指向儿童的学习方法, 让数学学习由被动走向主动, 让儿童学会学习, 在获得知识积累的同时, 获得数学思想方法的启迪, 学习能力的提升。
在计算教学中, 我们都已经认识到借助直观操作帮助学生理解算理的重要性, 尤其是低年级段。在学校同课异构的教研活动中, 两位教师执教了苏教版一年级下册“两位数加一位数 (进位加) ”的教学内容。例题以学生玩画片的情境为载体分两个层次:第一, 计算24+6。第二, 计算24+9。两位教师对例题的处理稍有细节上的差异。以24+6为例, 第一位教师这样设计:学生先用小棒摆一摆, 算一算。再交流先算什么, 再算什么, 板书:4+6=10, 20+10=30。最后回到小棒图上圈一圈。第二位教师:学生先用小棒摆一摆, 算一算。再在小棒图上圈一圈。最后抽象先算什么, 再算什么。两位教师都是用小棒操作计算, 区别在于摆完小棒后是先抽象算法再圈一圈, 还是先圈一圈再抽象算法。虽然是环节顺序的前后颠倒, 却反映了执教者基于教材对学生思维研读的深度。美国心理学家布鲁纳提出学生的三种表征方式:动作的、形象的和符号的, 并认为这三者之间存在一种严格的递进关系。低年级学生的思维以直观形象思维为主, 学生学习一种新的计算法则, 在理解算理掌握算法的过程中, 应该按照动作表征 (即摆小棒算一算) ——形象表征 (即小棒图上圈一圈) ——符号表征 (即抽象出算法) , 这样的认知顺序循序渐进地建立。其中小棒图上圈一圈应该是沟通直观思维与抽象思维的中介与支柱。
数学视角下的旅游研究 篇8
现代旅游研究经过30多年的发展,已经成为了一门相对独立的学科,在整个学科领域中逐渐确定了其应有的地位,并且受到了广泛的重视。相对于世界发达国家而言,我国的旅游业起步比较晚,但发展速度惊人。1997年世界旅游组织发表了一份有关旅游业的发展报告,对世界旅游业的地域格局作了预测,到2020年,中国将成为世界最大的国际旅游接待国家。国内对于旅游研究的重视程度也越来越高,旅游研究深度和广度不断加深。特别是自计量运动以后,国内外对于旅游的研究,不仅局限于从定性研究,也逐渐注重在研究过程中运用定量分析方法。
虽然定量分析方法不能取代定性研究,研究过程中也有局限性,研究的结论也不一定具有一般性,反映不出旅游问题的本质和内在涵义。但是,它可以弥补定性研究科学性和可靠性的不足,特别是在具体的旅游案例研究中,定量研究显得至关重要。目前学界的普遍看法是,定性研究与定量研究相结合的多元化方法将更适合研究和分析日益复杂的旅游问题。
一、数学运用到旅游研究中
(一)数学方法与模型的选择
数学知识包括的范围很广,主要是通过数学方法与模型来结合旅游实例进行旅游的研究。选择不同的方法和模型,使旅游研究的结果出现一定的差异。因而,数学方法与模型的选择问题,显得至关重要。在旅游研究过程中,需要从实际的角度出发,选择合适的方法与模型,对旅游进行阐述和分析。不同的旅游数据往往具有不同的单位和量纲,其数值的变异可能是很大的,这就会对研究结果结果产生影响。因此,在使用某种数学方法前,需要对旅游数据进行数据处理,实行无量纲化处理等。
考虑旅游因素y随x的变化趋势,利用spss10.0软件,模拟出各个曲线(图),可以根据数据之间的关系,模拟出这种变化趋势模型。因为这种变化趋势的不确定性和数据量的多少之间存在着密切的关系,模拟出的结果和实际曲线存在着一定的算差。
(二)数学方法与模型的检验
每种数学方法与模型都有其自身的使用范围,在旅游研究过程中,选择的方法与模型,都不一定符合旅游研究的实际条件,需要对其进行检验。如果数学方法和模型所研究的结果不符合实际条件,或者是不符合方法与模型本身,那么必须摒弃该种方法和模型,尝试着去换另一种方法与模型。否则,依据本来的方法与模型,研究的结果与实际会相差甚远,不符合研究的科学性,研究也就变得没有意义。
三、结语
计量旅游是在旅游统计的基础上,运用数学方法与模型等数学知识,通过定量分析,对旅游的形成机制、投入—产出、旅游供需和旅游发展规律等进行分析、处理的研究方法。计量旅游涉及到旅游研究中的方方面面,可使用的范围也较为广泛。
数学视角 篇9
一、精挑细选择“食材”, 巧思慢构活备课———优选儿 童心声指数高的数学素材
俗话说, 好材出好菜。要烧出一份好菜, 首先要选择好食材。数学教学同样如此, 教师的首要任务是挑选和设计教学内容。由于教材的统一性, 教师的实际教学往往千篇一律, 数学课堂难以焕发学生的生命活力。儿童的好奇和兴趣往往来源于对认识对象的陌生性, 他们对未见过、不熟悉的东西, 常常会产生好奇, 发生兴趣。因此, 教师在备课的时候, 不仅要仔细阅读不同的教材, 认真比较例题, 分析其具体内容、知识背景、呈现方式的异同和优劣, 而且要认真了解和分析学生的知识基础、学习心理、情感态度。通过两方面的综合分析, 挑选最能反映数学知识本质、儿童心声指数高、最能焕发生命活力的东西作为教学内容。
三年级上册《分数的初步认识》的学习目标是初步认识几分之一, 在实际教学中, 还应关注学生在认识分数的过程中能否形成部分与整体的从属关系。不少老师的教学设计都是基于创设分东西的情境, 引导学生回忆起平均分的知识。比如, 老师提出我有一个蛋糕, 想要分给两个小朋友, 应该怎么分呢? 答案几乎千篇一律, 是平均分。在这里我们收获了我们需要的答案, 却丢失了孩子的心声。这是一个情境, 却是一个我们制造出来的亚特兰蒂斯。所以我常想:如果答案总是千篇一律, 那一定是我们问了不该问的问题。
有这样一个绘本故事, 它来自于美国儿童作家斯图尔特·J.墨菲的《给我一半》, 很好地展示了孩子面对这个问题的真实心声, 书中以兄妹两人分披萨、果汁、饼干时的内心活动, 乃至于由于贪心带来的儿童战争。本书在台湾地区被很多老师推荐为初步认识分数的教材。出于好 奇, 我也尝试将这本绘本作为教学素材引入了课堂, 随着故事中男孩说“我给了你一半的披萨, 你也必须给我一半的果汁”, 女孩则回答“在我喝光之前我会留一点点给你的”, 学生们嘴角露出窃窃的微笑。随后伴随着班上孩子的大笑:“书本中的弟弟与姐姐爆发了战争, 把家里弄得乱七八糟。”当出现“我们最好各自清理一半, 有这么多事情要做, 我们花一半的时间就可以完成”, 孩子们又有了思考的神情。
如果要说哪种情境对于数学知识的掌握更有帮助, 我真无法判断。不过我总想:异口同声不是活力, 就如树林中小鸟的歌唱一般。要保持课堂活力, 备课时我们需要不停地给孩子们寻找能够产生代入感的情境, 这就是课堂的正能量。而且随着时代的变化、学生的变化, 这样的寻找永不停息。
二、“煎炒煮炖”显身手, 讲练辩做活课堂———采用陌 生化指数高的探究方法
同样的食材选择怎样的烹饪方式才能出更好的美味, 同样的问题也出现在课堂教学法的选择中。比如, 有这样一个让老师又恨又爱的问题:“孩子懂了怎么教? ”可能会引起误会:懂了还要教什么? 其实这个问题还能引申出“有多少孩子懂了, 孩子懂到什么程度了”等一系列问题。如果硬要学生忍住那一口甜, 那一定是一节讲着无趣听着也无聊的课, 放开让学生百家齐鸣, 对于不懂的孩子来说收获的只能是一锅大杂烩。
六年级下册《图形的放大与缩小》就是一节典型的课。 学生们对于放大和缩小有说不尽的话, 几乎每个人都认为自己是懂的。实际上仔细聆听, 大多数学生懂的是变大与变小, 不是数学意义上的放大和缩小。这样的时候, 我们的课堂就面临两种教学组织上的选择, 常见的就是教材中采用的方法。
出示主题图:
第一幅长方形画的长是 8 厘米, 宽是 5 厘米;第二幅长方形画的长是 16 厘米, 宽是 10 厘米。
观察比较这两个长方形, 在小组里讨论变化后的长方形的长与原来的长有什么关系, 宽呢?
学生交流后汇报, 变化后的长方形的长与原来长方形的长的比是2:1, 宽也是2:1。
这种方法就是让学生冷下来, 去重新认识放大与缩小。生活中的放大与缩小是一种直观感受, 不会涉及数量关系, 而直接寻找数量关系实际上就是让学生放弃原有的生活经验, 从新的角度去理解放大与缩小, 回避了学生原有的生活经验, 让学生不得不重新开始。
而另一种处理方法, 在课堂之初就放手让学生进行对一张同学的照片进行放大的操作。
通过观察比较不同的操作结果, 特别是比较夸张的变形, 让学生体会到放大或缩小的意义。
学生们的作品精彩纷呈, 有的画成长8、宽4, 长12、宽6, 长16、宽8, 更有的长宽同时放大1.5倍, 长6、宽3的。
接着, 在小组内讨论交流, 判断哪些作品是变形的, 哪些是不变形的放大?它们的长和宽发生了什么变化?最后得出结论:把长方形的每条边放大到原来的几倍, 放大后的长方形与原长方形的对应边长的比是几比1, 就是把原来的长方形按几比1的比放大。
在这样的教学过程中, 直面学生原有的生活经验成了与刚才不同的选择, 数量关系的给出就更顺理成章。获得知识有千万条路, 如果都来自课堂那就一定有人走错了路。学生原有的知识毫无疑问属于课堂上的正能量, 但偏偏很多时候会被视为课堂上的负能量, 究其原因往往是对“我”有用的就是有益的, 这样的思想主宰着课堂, 但我们要牢记, 课堂终究不是“我”的, 而是“他们”的。
三、“油盐酱醋”出味道, 喜怒哀乐有情感———激发波 动指数高的数学体验
生命化的课堂就是一场盛宴, 前者是属于情感的, 后者是属于味觉的。当有人要你用表情来形容语文课和数学课, 你能想到什么? 微笑、悲伤、激昂、沉重, 对, 这些都属于语文课, 留给数学课的印象, 大概只有那紧锁的眉头。怎样让我们的数学课也拥有这些生动的表情呢?如果我们换一个角度去看这个问题, 获得怎样的情感远不如以怎样的情感获得来得现实。
二年级《认识除法竖式》一课中, 学生的认知冲突异常明显, 如果教师能够加以引导, 学生一定会呈现出丰富的情感表现。
第一种教学:老师出示情境, 把8个苹果平均分给4个小朋友, 每人能分到几个? 让学生尝试写出除法竖式。大多数学生列出了第一种竖式, 也有少数列出了第二种。
在汇报的过程中, 学生对于出现的第二种“另类”的竖式感到不解, 并明显表现出不接受的心态。“这是什么东西? ”“怎么写的? ”“太麻烦了。”这样的话语充斥着课堂。接下来, 老师就利用正确的竖式, 耐心地进行分析, 学生一步步地认可了新的除法竖式。
其实, 如果思考学生的语言, 你会发现, 在这里对于两个竖式, 学生的好恶表现得极其彻底。第一种竖式是学生思考的结果, 是他们的创造。创造与制造的不同之一往往就是对作品的情感。
第二种教学:情境创设如第一种设计, 同样也产生了学生捍卫自己作品的意识。老师如何既包容孩子的情感, 又让孩子找到正确的方法呢? 老师接着创设情境, 9个苹果平均分给4个小朋友, 每人可以分到几个? 用竖式表示出来。学生们开始用他们的成果进行再创造。
至于剩余的1, 则出现了不同的表述方式, 有写在2的后面, 也有写在9或者4的后面。不同的结果再次让孩子们产生了争论, 同时对自己的创造产生了一丝怀疑。这时, 老师再一次请来刚才的“另类”竖式, 解释其意义之后, 尝试着利用它解决第二个问题。孩子们发现, 列出的竖式是统一的。老师提出问题:“小朋友们, 你们觉得用哪种竖式来计算除法更合适呢? ”学生们在依依不舍的情绪下, 还是选择了正确的方法。
在这样的教学中, 学生经历了创造时的喜、争论时的怒、自我否定时的哀, 这是一个情感丰富的体验。
基于儿童视角巧用数学素材 篇10
一、恰当运用课本素材充分激发学习兴趣
数学知识源于生活而最终服务于生活. 很多数学知识在生活中都能找到其原型. 小学生已经具备了一定生活经验,同时他们对周围的各种事物现象又充满好奇. 美国心理学家布卢姆曾说:学习的最大动力,是对学习材料的兴趣. 因此教学中要及时抓住学生感兴趣的学习材料, 并充分应用.如人教版小学二年级下数学课本附页关于平移和旋转内容的图片(见下图1,2),若把教材提供的素材剪下之后,通过操作可以得到不同的喜剧效果,从中可感受到平移和旋转这两种运动现象,这样的素材充满了动感,学生比较感兴趣,通常老师将这些内容在教学了“平移和旋转”之后才让学生操作,或作为课堂实践活动或作为课外的操作内容,让学生自行摆弄.记得开学后不久的一天, 我发现有学生把书本附页给剪了,且不在少数,问起原因,学生怯生生地回答:“好玩,可以变来变去. ”为此,我干脆跟他们说:“喜欢玩,把它们都剪下来,好好玩一玩. ”面对学生的欢呼雀跃,我于当天下午上了“平移和旋转”一课. 以下是部分片段:
师:你们剪下的那些图片好玩吗? 玩出什么名堂了? (学生很兴奋,争着嚷嚷)
师:哪位小朋友坐得安静,我就请他说.(生安静下来,指名答)
生1:太有意思了,前面那种(附页3)小朋友一下子穿老奶奶衣服,也可以穿老爷爷衣服,很好笑.
生2: 只要拉一拉就可以了, 还可以老奶奶穿爷爷的衣服,变来变去.
师:谁愿意上来拉一拉让老师和小朋友看一看?
学生带着剪好的图片上台演示.
师:(出示附页4)这里又有什么好玩的?
生3:也可以变来变去,孙悟空他们可以穿自己的衣服,也可以穿别人的衣服.
生4:他们的衣服可以调换,猪八戒穿唐僧的衣服,唐僧就穿孙悟空的衣服……这样看起来可滑稽了.(生笑)
师:也是刚才那样拉一拉就可以了?
生5:不行,这个要转一转,像转圆圈那样.
生6:可以两个同时转,也可以只转其中一个,就是不能拉.
师:为什么前面四个人换衣服只要拉一拉就可以,而这个不能拉?
生:因为老奶奶和小朋友他们是直直地排成一队,平平地拉就可以了,而孙悟空他们围成一个圆圈了,要绕着圆圈转才行.
教师小结,板书揭题:平移和旋转.
师:你还能找到生活中像这样的平移(旋转)现象吗?
出示课本主题图,找一找游乐园中的平移和旋转现象.
以上的教学针对班级学生出现的情况,将“平移和旋转”内容教学时间及时调整,从学生始终保持着极高的热情可以发现,采用这样的策略是有效的,最大限度地满足了学生的好奇心、求知欲,抓住了学生对学习材料最感兴趣的时刻,极大调动了他们学习的积极性. 通过一系列的活动, 使他们充分感知了平移和旋转的特征,体验了图形变换的奇妙,领略了数学的美,也体会到生活中处处有数学,数学就在身边. 不仅加深了对平移和旋转特征的理解和掌握,而且提高了学习数学的兴趣.
二、合理利用玩具素材让“随意玩耍”为学习服务
喜欢玩玩具是小孩子的天性. 而同样是玩具,视角不同,发现也会不同,对于孩子的智能开发也不同,作为教师,只要深入学生,往往能从孩子的玩具中发现很多材料可作为教学的素材,这样的学习材料既让他们感到亲切,又能激发学习的兴趣,有时还能达到“变废为宝”的效果.
如曾经有一段时间有些学生对“百变魔尺”(如下图),几乎玩得走火入魔,这是一种益智玩具,可以培养儿童的耐心、创新能力和空间想象能力等. 对此,堵不如疏,只要教师引导得当,适当地玩,不仅不会影响学习还可促进思维的发展. 针对百变魔尺“百变”的特点,我让它为教学服务,在教学“钝角和锐角”时,借助学生的“百变魔尺”,要求他们分别折出锐角、钝角和直角,并比较它们之间的关系,不用教师多少言语,学生动作比老师的要求还快,在“变一变,比一比”的过程中,学生充分体会了锐角、直角和钝角之间的关系,明白了“所有直角一样大”“锐角有的大有的小”“钝角也有大有小”. 另如教学“平移和旋转”一课 , 练习环节我利用学生的玩具小车和陀螺,请他们在课堂上演示玩法,在玩的过程中轻松地让学生明白了这两种不同的运动方式.
卢梭说:“在万物的秩序中,人类有他的地位;在人生的秩序中,童年有它的地位;应当把成人看作成人,把孩子看作孩子. ”他劝告人们“遵循儿童的自然发展顺序,符合儿童的天性”,根据儿童的不同发展阶段实施教育. “设身处地地揣摩孩子心理,了解他们的思想.”
生活即教育! 只要我们经常在课余和学生谈谈生活,谈谈自己的兴趣爱好,谈谈平时的衣食住行,学生也会对老师报以极大的热情,告诉你他们的兴趣、爱好、喜怒哀乐,将给我们以更多的惊喜,将让我们对孩子有更多、更深入的了解,如此对我们研读教材、展开教学是很有帮助的.
三、适时挖掘身边素材体会数学就在身边
《小学数学课程标准》指出 :数学教学内容的呈现应采用不同的表达方式, 以满足多样化的学习需求. 在小学数学教学中又为学生提供了具有趣味性、生活性、开放性与选择性的教学材料,这些素材都是能够焕发课堂活力、激发学习兴趣的能量来源. 教学中教师合理有效地组织、加工教学材料是数学课堂释放能量的有效方法. 《标准》还指出:“要根据学生的具体情况,对学习素材进行再加工,有创造地设计教学过程. ”因此, 教学时我根据学生和现有教学条件的实际情况,创造性地使用学习素材.
如“7的乘法口诀”,课本用的是算“拼七巧板所用的图形个数”得出7的乘法口诀. 当教学这一内容时,学生正在参加背古诗比赛,每天早上背得热火朝天的,于是我放弃了课本里的素材,用杜牧《山行》“远上寒山石径斜,白云生处有人家.停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花”作为学习研究的材料,学生感到既熟悉又新鲜有趣,对照诗句很快编出了口诀并熟记.
画画是学生喜欢的一项活动, 特别是低年级的学生,有事没事总喜欢在纸上画一画,即使在课堂上有时也会情不自禁、自顾自地画出什么来. 针对学生的这一喜好,平时课堂教学时,能利用的我尽量利用他们的这一兴趣,请喜欢画画的孩子画一画学习素材,如小玩具、花朵等,在课堂上用,既使学习材料多样丰富,又让学生有成就感.
如教学“2、3、4的乘法口诀”一课,课前我请每个小朋友画一棵小树苗,画在由老师统一提供的纸张上,上课时挑一部分学生所画的小树苗作为教学的素材,编出2、3、4的乘法口诀,学生看到自己作品贴在黑板上,个个兴趣盎然.
又如教学“用2~6的乘法口诀求商”之后的“解决问题”,创设购物情境,“儿童商店”里的“商品”全部由学生提供,有玩具飞机、小车、铅笔盒、卡通动物、动漫人物等,各式各样,丰富多彩,每当教师贴出一种,学生总是惊奇声不断,争着要提问题,而那些小作者更是充满了自豪感,当学生完成了“买卖商品”中的“乘除问题”后,也就完成了本节课的学习任务,最后当教师又把这些“商品”“卖”给学生(教师或作者出问题,其他学生回答,对了,就可把“商品”拿走),再次掀起了参与学习的热情. 如此,既满足了学生的表现欲,不用挖空心思做课件,不用做任何的课前准备,拿来主义,同样能激发学习兴趣, 把本来兴味索然的课堂变成了全员参与的活动课,提高了教学效率,一举多得.
以上例子中,就地取材似的学习素材的利用,不仅省却了教师制作课件的精力,着实让人“偷”了些懒,更重要的看似再普通不过的素材,同样能让学生充分感受到数学就在身边,生活中处处有数学.
教师作为课堂教学的组织者,不仅体现在教学活动过程本身,还体现在学生学习数学时,所需材料的组织上. 组织不同的材料,对相同材料的不同组织,学生经历学习的过程就截然不同,教学效果也截然不同.
四、巧妙引入数学游戏变枯燥学习为有趣活动
游戏是深受儿童欢迎的重要学习方式之一. 数学游戏是把数学学习变得趣味化的一种有效手段,它寓数学知识于游戏之中,使学生在增长知识的同时,还感悟到数学之美,并激发出对数学的热爱之情. 教学时可以巧妙地应用一些游戏,帮助学生解决常规教学手段难以突破的教学重难点,促进学生对知识的深入掌握.
如有老师在教学“三角形分类”时,采用“猜一猜”的小游戏,使学生对按内角分而产生的各种三角形有了深刻的体会和理解. 课中教师出示不同的三角形的一个角, 请学生猜一猜是什么三角形,在猜的过程中不断引发学生的讨论,使学生在欢笑声不断的争论、验证的过程中,对各种三角形的特征有了正确的认识,轻松地突破了本节课的教学难点,起到了神奇的效果.
当然数学小游戏不能仅仅考虑游戏调节气氛的作用,停留在儿童喜欢的层面上,而要把游戏设计意图直接指向并服务于解决教学的重难点. 课堂上数学游戏的手段, 实际上是一种促进知识掌握的特殊方式,其功效犹如武术中的“四两拨千斤”,靠的是一股“巧力”, 而要实现这一目标,游戏是否具有趣味性和挑战性是重要的因素,因为游戏的趣味性和挑战性会使学生饱含激情,在积极的思考中,在热烈的讨论中,真正经历数学知识的产生过程, 自主探索出知识的真谛.总之,提高课堂教学效率,一直是我们追求的目标,而学习素材是学生学习数学、体会数学与生活的联系并解决问题的重要载体,教学中,学习素材选择的恰当与否直接影响到教学目标的落实. 王荣生教授在《听王荣生教授评课》一书的导言中指出,关于“一堂好课的标准”,提出了关于“教学内容”的“9级累进标准”,第9条就是教学内容切合学生的实际需要 ,这就要求我们教师在研究教材时考虑学生的实际.
数学视角 篇11
【关键词】数学形象思维 初中生 知识点
形象思维是指大脑对具体对象形象的思维反应,它通过概括对象的一般性、找出对象的独特性和典型性,来认识对象的本质。形象思维产生的方式有想象、联想、意会等。
一 数学形象思维的主要表现
1 形象性
形象性是指通过想象某一数学对象,总结概括出该数学对象的形象特征。如通过观察几何图像,分析图像构造特点,得出该几何图像的本质特征。拿矩形四边形为例,在观察比较多个矩形四边形的形象构造之后,便可轻松推理出矩形四边形的四个角都是90度。
2 联想性
联想性是指在分析数学对象时,我们自然而然地想到其他数学对象,如有“形”想到“式”或由“式”想到“形”。这种联想性的产生,源于我们对以往图形和方程式之间关系的经验总结,是一种条件反射型的心理反应状态。
3 创新性
创新性是指对数学对象建立了足够多的认知之后,能够创新出不同的解决方式的一种思维表现。爱迪生曾经说过,他的发明99%来自钻研,1%来自灵感。这种灵感,其实就是创新性的最好体现。
二 培养和增强初中生数学形象思维能力的意义
在初中数学教学过程中,重视形象思维的发生机制和作用,培养、提高学生的数学形象思维意识与水平,对初中数学教学效果的提升大有裨益。
1 有利于增强学生学习数学的兴趣,降低理解难度
兴趣的重要性不言而喻。而在初中数学课堂中,由于数学知识的抽象性太重,初中生的理解能力很难跟上,导致不少学生的课堂表现十分糟糕。如果能够利用形象思维的优势,将抽象的概念、原理等用直观的图形表现出来,则必然能够更为容易地让学生理解其含义和本质。这种方式实际上一种思维的转嫁,用两种或多种形式、形象表现同一个特征和道理。与单纯地死记相比,形象思维的方式就比较科学,它对数学知识的掌握建立在理解和消化的基础之上,可以随时从思维中迸发出来。
2 有利于发展学生的创新能力,提高数学教学的意义
数学定理的推导过程远比结论重要,这是一个包含能力建设、想象力建设和创新精神建设的复杂过程,这些对于促进初中阶段学生的心智发展具有重要作用。撇开艰涩的定理本身,用丰富多样的形象建构,去呈现数学定理的内涵。从形象到概括,产生了一个创造和锻炼创造能力的过程,这样的方式对学生创新能力和创新精神的培养、提升,十分有效。当然,这一过程除了包含形象思维之外,还包括逻辑思维,两者相互协助,在交接碰撞中闪烁出思想的火花。促进学生思考,引导学生调整、变换思考的方式,最大限度发挥形象思维能力,这样即使在处理非数学问题时,学生也能想到解决的多种途径。这种思维的变化观和问题的简化观培养,对数学教学的意义来讲,也是十分深远的。
三 提升初中生数学形象思维能力的对策
1874年,集合论被提出,但这一理论很难被人理解,导致集合论一度被看作是“雾中之雾”,然而英国逻辑学家韦恩却建议用简单的圆表示集合,用圆与圆之间的相互关系表示集合之间的关系,如交集、并集、补集等,这种形象化的模型,使得深奥的集合理论瞬间简单化,即使是学历不高的人也能够轻松理解它的涵义。因此,广大初中数学教师应不断扩大形象思维在数学教学课堂的应用面,增强初中生运用形象思维解决数学问题的能力。
1 优化教学方式,多采用数学形象教学
每一个数学知识点的学习和掌握,都离不开高度的总结、概括。在初中数学课堂,我们应进一步提高数学形象的运用力度,将知识点的本质特征用形象化的方式直观地呈现出来。这样既符合简单到复杂的学习流程,又符合形象到抽象的思维递进。利用多媒体设备,展示图片或图形的二维甚至三维构造,不仅能增强数学知识的趣味性,而且能使学生清晰地形成对数学对象点线面构成特点的形象反映,从而为破解数学问题提供快速的思路。再者,我们还可以设计一些常用的数学模型来辅助教学。数学模型的立体化直观展示,能够释放和拓展学生的思维,使其产生更多的解决思路,而且模型具有造价低、使用寿命长等优异特点。
2 建构知识体系,激发想象和联想
数学课程的知识点比较多,也比较杂。如果掌握不好或理解不透,很可能出现错用、乱用甚至不知怎么用定理的现象。因此,初中数学老师不光要让学生吃透各个知识点,更重要的是要让他们形成完整的知识体系观。对于已经学过的知识,要理清他们之间的关联性、逻辑性,在内心形成清晰的体系脉络,以为学习新知识、理解新知识、建构新知识与旧知识之间的联系奠定基础。知识体系的完整整合,能够激发学生在面对新的知识或问题时的想象力和联想能力,使他们能够十分清楚应该用调用哪个既有知识点去处理问题。
3 渗透数形结合,提高创新能力
数形结合思想主要是指把抽象的数学字符转换成形象的几何图形,通过发现几何图形暗藏的规律和特征,去反向解决数学字符之间的关系问题;反之也可。数形结合思想可以解决数学课程中许多问题,如集合问题、函数问题、方程问题等,具体表现在复数、三角形、解析几何、数列等方面。运用数形结合思想,能够在使学生在“数”与“形”的变换中找到问题的本质,从而使问题迎刃而解。但是,在进行数形变换时,要注意等量交换,差之毫厘,就会谬以千里。经常运用数形结合思想,可以逐步提高学生的思维创新能力,使得复杂问题简单化、简单问题多样化。
总之,数学形象思维是一个十分重要的思维方式,科学合理地培养和利用形象思维能力,对初中生更好地适应数学课堂教学节奏,更好地理解教学内容、提高学习效率等都有好处。
参考文献:
[1] 李远敬,浅议数学教学的形象思维能力[J],数学学习与研究,2010(05).
[2] 袁泽志,浅谈中学教学的数形结合思想[J],数学学习与研究,2010(16).
[3] 吴成珠,浅谈形象思维在数学教学中的作用[J],新课程(教育学术),2010(01) .
数学教师别“稚化于”儿童的视角 篇12
一、“多样化”算法扰乱了教师的视野
新课改以来,广大一线教师积极践行关于算法多样化的要求,在计算教学中说的最多的话是:谁的算法最多?谁还有其他的算法……,教师的激励确实给了学生一个宽阔的空间,使学生思维活跃。然而,不少教师却把提倡算法多样化看成了目的,刻意追求算法多样化,竭力“启发”学生“还有其他方法吗?”让学生绞尽脑汁,想出一些费解的算法、低层次的算法。
[案例一]教师通过创设情境,引出算式:21-6。
师:21减6等于多少?请同学们先想一想你是怎么算的,与同桌交流一下,看谁的想法最多?学生与同桌交流2~3分钟后,教师开始提问。
师:谁来说一说你的算法?生1:我是21-1-1-1-1-1-1=15。
师:你真棒!谁再来说说你的算法?
生2:我是先用21-1=20,再用20-5=15。也得15。
生3:我是这样做21-10=11,11+4=15。
师:这两位同学的算法很好,谁还有和他不同的算法吗?在老师的追问和前面同学的引导下,学生们纷纷学举手,又说出“多种多样”的算法:
生4:11-6=5,10+5=15。
生5:10-6=4,11+4=15。
生6:21-11=10,10+5=15。
生7:21-5=16,16-1=15。
(其他学生似乎深受启发,个个将小手举得高高的,嘴里直嚷嚷着,老师,老师,我还有,老师……)
生8:21-4=17,17-2=15。
生9:21-3=18,18-3=15。
师:同学们真的了不起,一下子想出了这么多种算法。有没有小朋友不用拆数的方法进行计算的?学生摇头,教室里顿时沉默了下来(冷场)。
教师示意:伸出手来。
生10 (怯生生地):……我是扳手指算出来的,等于15。
师(兴奋地):OK!是一种好算法!还有其他方法吗?
生11 (小小声地说,生怕讲错):我把21记在心里,然后接下去数20、19、18、17、16、15。
师:真是聪明的孩子!还有其他方法吗? (教师停顿了3秒左右) 有没有用小棒摆出来的?
……
师:同学们真的太了不起了,一下子想出这么多种的算法。在今后的学习中,你想用哪种方法,就用哪种方法算。
整个教学过程中,教师不断在问“你还有什么不同的算法吗?”课堂显得比较活跃。但面对一些重复的、低效的方法,教师还一概叫好,流露出“满意”的神情,任由他们去数,并不管思维水平是否有提升。在这里“多样化”变成了“低级化”、“形式化”。有些学生为了迎合教师的意图,用一些低价值、原始的方法来充数,从而影响基本计算技能的掌握。原本就能很快地算出得数的,学了“多样化”的方法后,计算方法却越来越原始,计算速度反而越来越慢了。
在算法多样化后要进行“优化”,允许学生保留自己算法的同时,适时、适当地进行优化,特别是对一些不利于学生今后发展、未经学生充分思索得出的学习方法,就需要具体的指导。引导学生通过交流、评价、体验,学习别人的思维活动成果,吸取或改变自己原有的算法,选择出比较好而且又适合自己的一种或几种方法。
二、“生活化”策略困扰了教师的眼界
数学来源于生活,与生活有着千丝万缕的联系。课标要求数学教学要紧密联系生活实际,目的是为让学生感受数学就在生活的每一个角落,拉近学生与数学的距离,以激发学习数学的兴趣。如今的数学课,似乎有了一个“生活化”的模式,不管学习内容是什么,教师都想方设法“设置”生活情境,引出数学问题。数学课被包装的“与众不同”,而教学却失了真。课堂迎面扑来的是“生活气息”,教学不是被学生“想法”牵着鼻子走,就是淡化了对数学本身的思考。数学的学习不应只在生活经验上徘徊,而应是从生活背景中提炼数学信息,揭示数学规律,优化、重组认知结构的过程。
[案例二]:某教师上的一节“有余数的除法”练习课。
在课中,教师出示了这样一道习题:“育才小学三年级师生共有88人,去博物馆参观。现有一种中巴车,每车核定乘客人数为20人。请问现在要租借几辆这样的中巴车?”
经过三分钟的思考、计算后,教师提问。
学生A回答:“我是用88÷20=4 (辆) …… 8(人),8个人还要租借1辆车,4+1=5 (辆),所以,要租借5辆这样的中巴车。”
大部分同学表示赞同这种方法。
教师也做了肯定,微笑着让学生A坐下,正要进行下一教学环节。
有学生B在下面嘀嘀咕咕:“老师,我才不用5辆,用4辆车就行了!”
其他学生都愣了。
“老师,就因为还差8人,要多租1辆车,那也太浪费了。其实,只要同司机讲讲,每辆车多坐2人,租用4辆中巴车就行了。况且,现在讲‘绿色出行’,少开一辆车,为环保做贡献。”学生B一脸得意的样子。
“是的,这样行。”部分学生也认同。
生C:“如果上车前同司机商量的话,也许3辆大巴车也行了。我们外出时,常一辆车挤三十多人。”
众生:“是呀!是呀!”
……
听到如此的方案,教室里立刻热闹了起来。
望着“热闹”的课堂,看着“理直气壮”在陈述的学生,教师开口了:“同学们的生活经验真丰富!能把数学同生活紧紧地联系在一起。老师没想到的问题你们都想到的,祝贺你们!向你们学习!”
课堂弥漫着浓浓的“生活味”。新课程强调数学教学要紧密联系生活实际,但这并不代表我们的数学课就要大打“生活”牌,毕竟“生活”与“数学”是两个不同的概念。数学作为一门学科,讲究的是严谨、科学。数学,不是生活的简单叠加,与现实生活的随意性毕竟有着一定的距离。教科书与生活“联姻”让课堂变得有趣,但把“生活”搬入课堂应该进行“数学化”的处理。教学中的“生活化”情境必须是有选择的,是有意义的和富有挑战性的,要有数学学科的价值取向。如果过分淡化对数学知识的研究,数学将成为生活的“附庸”,将严重影响学生对数学知识的理解和掌握,妨碍了学生的进一步发展。数学课中应该是适度地联系生活,数学味与生活味并存。数学课的主角永远是数学本身,“生活”不应该是数学内容的唯一底色。
三、“惯性化”思维干扰了教师的视域
在教学中我们常发现一些“惯性化”的思维,产生一种“呆板性”,致使思维僵化,影响了人的全面思维,起到消极作用,阻碍了问题的解决。如低年级学生在学习实际数(量),进行大小比较时,就出现过,甲比乙高5厘米,则乙就比甲矮5厘米。到高年级学习分率时,一方面学生对概念的理解不够透彻,另一方面学生又受原有知识的影响进入“假思维”。看到甲数比乙数多5%,则错误地推导出乙数比甲数少5%。学生受年龄特征和认知心理的局限,对数学的本质属性理解不深,对于相似刺激往往容易产生“泛化”,常常被非本质属性所述惑,对后续新知识的学习产生了思维障碍。
[案例三]:笔者曾观摩过一节“六年级期末总复习———分数”的课。
在学生回顾了分数的意义之后,教师出示练习题(如下图形),让学生判断阴影部分占每个图的几分之几,然后填在括号里。
学生都认为前四个图形的阴影部分分别占图形的:1/4、1/2、1/3、1/3。第五个图形因为没有平均分,所以阴影部分不能用分数来表示。
教师认可了学生的说法,并再一次强调(声调提高了不少):要判断阴影部分占整个图形的几分之几,一定得先看是否将整个图形进行平均分,然后再看阴影部分占其中的几份。
如果学生是在三年级刚认识分数时,教师强调图形的直观性,强调一定得平均分,是无可厚非的,可以理解。但到了六年级期末总复习时,学生对分数早有了一定的认识,此时不从理性的角度进行思考,还在强调图形的直观性,说明教师的思维也进入“惯性化”的误区。
其实,练习题中的第五个图形,看似没有将三角形平均分成三份,但将图形再通过细分,可以得到左边的图形。从这个图中,可以看出阴影部分占整个图形的1/3。很显然,这位老师的思维受到思维“惯性”的影响,导致自己的数学用语太绝对化,只看到表面现象,而忽略了数学问题的本质。
教学中出现类似情况,一方面是教师的数学素养不够,不能准确、迅速地判断出学生的回答是否正确;另一方面也突显教师的业务素质不够,没能进行有效地引导学生。