拓展习题

拓展习题（精选11篇）

拓展习题 篇1

在学习过程中, 相信同学们都有这样的感觉:课本例题和习题看起来很简单, 似乎没必要深入探究.事实上, 同学们如能了解教材的知识结构、例习题的地位和作用, 学会对教材中的例习题进行适当的拓展和延伸, 将有利于开拓思维, 在夯实基础的同时提升解决问题的能力.

例如, 苏科版八年级数学上册第52页有这样一道练习题:

如图1, 要在公路旁设一个汽车站, 车站应设在什么地方, 才能使A、B两村到车站的距离相等?

原题是对“线段垂直平分线性质”的简单运用, 只需作线段AB的垂直平分线, 与直线CD的交点即为所求.对于这一作图题可以有如下拓展与延伸:

延展一:

如图2, 在直线CD上求一点P, 使得PA+PB最小.

解题后反思:图2与原题的区别是点A、B位于直线CD的两侧, 而不是在直线的一侧, 所以根据“两点之间, 线段最短”, 只需连接AB, 与直线CD交点即为所求, 见图3.

在学完“角的对称性”后, 可以进行如下引申:

延展二:

如图4, 在∠COD的内部求一点P, 使P到点A、点B距离相等, 且到OC、OD距离相等.

解题后反思:这题综合考查了线段垂直平分线和角平分线的性质, 分别作出∠COD的平分线OE和线段AB的垂直平分线MN, 交点即为P点.

延展三:

(1) 观察发现:

如图 (a) , 若点A、B在直线l同侧, 在直线l上找一点P, 使AP+BP的值最小.作法如下:作点B关于直线l的对称点B′, 连接AB′, 与直线l的交点就是所求的点P.

(2) 实践运用:

如图 (b) , 在等边三角形ABC中, 高AD=2, 点E是AB的中点, 在AD上找一点P, 使BP+PE的值最小, 并求出最小值

(3) 拓展延伸:

如图 (c) , 在四边形ABCD的对角线AC上找一点P, 使∠APB=∠APD.保留作图痕迹, 不必写出作法.

解题后反思: (2) 的本质是运用了图 (a) 的基本图形, 仿照 (1) , 只要作点B关于AD的对称点, 即点C, 连接EC, 与AD的交点就是所求的点P, 所以BP+PE的最小值即CE=AD=2.

(3) 又进行了提升, 作法如下:作点B关于直线AC的对称点B′, 连接DB′并延长, 与AC的交点就是所求的点P.

其实课本中还有很多这样的习题有拓展空间, 再比如课本第66页的习题:

如图6, 在△ABC中, AB=AC, 角平分线BD、CE相交于点O.求证:OB=OC.

题目原本很简单, 是对等腰三角形性质和角平分线定义的运用, 这题可以有如下拓展与延伸:

延展一:

已知:如图7, BE和CF是等腰△ABC腰上的高, BE=CF, H是CF、BE的交点.求证:HB=HC.

解题思路:

因为△ABC是等腰三角形, 所以AB=AC, 所以∠ECB=∠FBC.

因为AB边上高为FC, AC边上的高为BE, 所以∠CFB=∠BEC, 从而可以证明△EBC和△FCB全等 (角角边定理) , 可得∠EBC=∠FCB.所以HB=HC.

解题后反思:类似的图形, 不同的条件、结论, 课堂中进行这种简单的变式训练有利于锻炼中等水平的同学的基本功, 夯实基础.

延展二:

如图8, △ABC中, AB=AC, ∠A=36°, BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线, 且相交于点F, 则图中的等腰三角形有 () .

A.6个B.7个

C.8个D.9个

解题后反思:顶角为36°的等腰三角形是一个很重要的基本图形, 图中的每一个锐角等腰三角形形状相同 (即后面将要学到的相似三角形) , 同样每一个钝角等腰三角形形状也都相同, 这里只是研究角度, 事实上这个图形适当变化还可以放到梯形中.

延展三:

如图9, △ABC中, D、E分别是AC、AB上的点, BD与CE交于点O, 给出下列三个条件: (1) ∠EBO=∠DCO; (2) ∠BEO=∠CDO; (3) BE=CD.

(1) 上述三个条件中, 哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形) ;

(2) 选择第 (1) 小题中的一种情况, 证明△ABC是等腰三角形.

解题后反思:这是一道开放型的问题, 所谓的开放型试题是指那些条件不完整, 结论不确定的数学问题, 通常需要经过观察、比较、分析、综合后进行必要的逻辑思考得出结论, 对激发学习兴趣, 培养想象、发散性思维能力十分有利, 开放型试题重在开发创新思维, 提高数学素养, 利于考生发挥水平, 是近几年中考试题的热点考题.开放题的特征很多, 如条件的不确定性、结构的多样性、思维的多向性、内涵的发展性等.

本题第一问考查了同学们的分类思想和综合分析问题的能力.在选择条件时首先得学会有序排列, 同时还要分析选择的条件能否证明出等腰三角形.这题已知 (1) 、 (3) 或已知 (2) 、 (3) 均可推出等腰三角形.

互动练习:

1.等腰三角形底边长为5cm, 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm, 则腰长为 ()

A.2cm B.8cm C.2cm或8cm

D.以上都不对

2.从等腰三角形一个顶点出发的一条直线将原三角形又分成两个等腰三角形, 求原等腰三角形的顶角度数.

3. (2012甘肃兰州) 如图, 四边形ABCD中, ∠BAD=120°, ∠B=∠D=90°, 在BC、CD上分别找一点M、N, 使△AMN周长最小, 则∠AMN+∠ANM的度数为 () .

A.130°B.120°C.110°D.100°

拓展习题 篇2

同步练习题

1.下列词汇中，戴望舒《我用残损的手掌》用来显示敌占区沦亡景象的有

A.“灰烬”

B.“奇异的芬芳”

C.“那么细，那么软”

D.“血和灰.阴暗”

E.“没有渔船”

2.下列各句中，没有语病的一句是()

A.这篇通讯是《光明日报》记者邵云环同志在贝尔格莱德已遭北约空袭，并扬言“加大轰炸力度”的日子里写的。

B.我们对于“比较文学”是个陌生的概念，读读钱钟书的《谈中国诗》或许能引你走出陌生的境地。

C.鉴于《金瓶梅词话》自身的缺陷，问世不久便被禁，只有少数批评家去研究，至今仍是不宜公开发行的书。

D.“北京人”头盖骨化石，如果不是在“二战”中神秘失踪，它的科研价值一定会在诸多学科中得到充分体现。

3.对下面这首新诗的赏析，不恰当的一项是()

桥

杨山

道路与道路的连接寂寞时甘愿寂寞

渴望与等待的组合痛苦时甘愿痛苦

默默承受重量天天为去彼岸的祝福

大队人马从胸膛上驰过用一支无声的歌

(注：杨山，现代诗人，曾任《红岩》杂志副主编)

A.诗中“桥”的形象可视为作者自喻。作为文艺刊物的编辑，诗人“甘愿”充当“大队”文学习作者由文学之路通向成功彼岸的“桥”,成为他们“渴望与等待的组合”。“天天为去彼岸的祝福/用一支无声的歌”,这就是诗人的愿望。

B.“桥”的形象也是一切奉献者的形象。“默默承受重量”，甘当他人或后代的“桥”，让他人或后代通向幸福的彼岸，而自己，“寂寞时甘愿寂寞/痛苦时甘愿痛苦”，这正是奉献者的共同特征，《桥》是一首奉献者的歌。

C.这首诗以桥喻人，写得朦胧.含蓄，意象有典型性，能引起读者的联想，发人思索，耐人寻味。

D.《桥》给人以人格的力量，给人以美的情操和享受，是一首思想性和艺术性相结合的好诗。

4.在横线上填写恰当的语句，构成前后连贯合理的排比句。

饥饿的年代里，理想是温饱;温饱的年代里，________________;**的年代里，______________;安定的年代里，_________________。

5.按照下面句子的格式，仿造两个句子。

有的拓荒者是天生的冒险家。他将薄田变成沃土，将沙漠变为绿洲。

①___________________________________________________________________________

②___________________________________________________________________________

6.写出下列比喻句的含义

(1)“像恋人的柔发，婴孩手中乳。”

__________________________________________________________________

(2)“那里是太阳，是春。”

__________________________________________________________________

(3)“无形的手掌”

__________________________________________________________________

(4)“不像牲口一样活，蝼蚁一样死”

__________________________________________________________________

7.理解下列诗句

(1)“这长白山的雪峰冷到彻骨……尽那边，我蘸着南海没有渔船的苦水”。

__________________________________________________________________

(2)“我用残损的手掌/摸索这广大的土地”。

__________________________________________________________________

8.诗中起修饰作用的相关词语，看看哪些是积极的.暖色调的，哪些是消极的.冷色调的，说说诗人这样写有什么表达效果。

______________________________________________________________________________

9.诗人往往把情感寄寓在具体的形象上，使抽象的心绪具有可感性。借鉴这种写法，联系你的生活体验，写几句富有诗意的话，抒写自己的一种感情(如“思念”“悲伤”“欢欣”等)。

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

10.从艺术特色评析下面这首唐诗。(不超过150字)

初春小雨

韩愈

天街小雨润如酥，草色遥看近却无。

最是一年春好处，绝胜烟柳满皇都。

评析：

[延伸拓展]

一、阅读俄国莱蒙托夫1932年写的一首诗，完成下列问题。

帆

在大海的深蓝色的浓雾里

一片孤孤的帆儿闪着白光。—

它在寻求甚么，在这遥远的异地?

它抛下了甚么，在那自己的故乡?

波涛在汹涌着，海风在呼啸着，

桅杆弓起腰来发出轧轧的声动，

唉，—它不是在寻求幸福，

它也不是在逃避幸福!

它下面是澄清的碧色的水流，

它上面是黄金色的阳光!

而它，不安的，在祈求着风暴，

仿佛是在风暴中才有安祥!

1.本诗中诗人的自我形象是什么?诗中“浓雾”、“波涛”、“海风”、“桅杆”、“水流”、“阳光”、“风暴”等形象的作用是什么?

_______________________________________________________________________________

2.诗中的“幸福”指的什么?

_______________________________________________________________________________

3.这首诗抒发出来的强烈情感是什么?

_______________________________________________________________________________

二、阅读下面流沙河的《就是那一只蟋蟀》中的片段完成下列问题。

就是那一只蟋蟀

就是那一只蟋蟀

在海峡那边唱歌

在海峡这边唱歌

在台北的一条巷子里唱歌

在四川的一个乡村里唱歌

在每个中国人所到之处

处处唱歌

比最单调的乐曲更单调

比最和谐的音响更谐和

凝成水

是露珠

燃成光

是萤火

变成鸟

是鹧鸪

啼叫在乡愁者的心窝

就是那一只蟋蟀

在你的窗外唱歌

在我的窗外唱歌

你的倾听

你的想念

我在倾听

我在吟哦

你该猜到我在吟些什么

我会猜到你在想些什么

中国人有中国人的心态

中国人有中国人的耳朵

4.诗中写两位诗人听到同一蟋蟀的叫声，其用意是?

_______________________________________________________________________________

5.写蟋蟀唱歌的排比句的作用是?

_______________________________________________________________________________

6.“凝成水/是露珠/燃成光/是萤火/变成鸟/是鹧鸪”的深刻含义是(不超过40个字)：

_______________________________________________________________________________

7.这首诗每段均以“就是那一只蟋蟀”发端，这样反复吟咏的作用是?

①_______________________________________________________________________________

②_______________________________________________________________________________

③_______________________________________________________________________________

三、阅读短文，回答问题：

父亲的难题

(1)小保罗是个三年级的小学生。他父亲虽然空闲时间不多，但晚上却经常同他的孩子在一起。父亲喜欢孩子，总是津津乐道、不厌其烦地给他们讲些富有教益的寓言和别的故事。

(2)一个星期五的晚上，保罗和姐姐玛莎在忙着刷保罗的田径鞋，因为他要参加学校明天举行的一场短跑比赛。A坐在沙发里读报的爸爸摘下眼镜，凑过身子一又唠唠叨叨地讲起了他的寓言来。他讲的是龟克赛跑的故事，小保罗记得自己已经听过好些遍了，实在叫人腻味。

(3)末了，爸爸对似听非听的保罗语重心长地说：“孩子，你一定要记住，动作慢慢的乌龟之所以能跑赢兔子，是因为它的踏实和韧性。”然而保罗还是低垂着头，默不作声地弄他的鞋子。爸爸的口吻变得有点严肃：“难道你不觉得应该从乌龟身上获得一些效益吗?”

(4)B保罗神情困惑地朝天花板呆望了一阵，然后回过头来看看爸爸：“这么说，你是要我指望贝利、托尼、萨里在明天的60米赛跑中会像兔子那样躺下来睡觉?”

(5)爸爸心里颇感惊讶，怎么也想不到儿子会突然冒出这样的话来。他沉默了一会儿，略为发窘地回答：“C我没说乌龟会指望兔子在中途睡觉。”

(6)“乌龟一定事先知道兔子在比赛时会睡觉的。”保罗反驳道，“要不然傻乌龟就是不自量力，竟敢与兔子较量。D谁都知道，兔子的速度起码要比乌龟快上100倍”

(7)“乌龟压根儿就不知道兔子会睡觉，”爸爸坚持道，“它是靠坚持不懈地努力，踏踏实实，一步一步向前爬才取得胜利。”

(8)小保罗把两只小手的手指勾在一起，认认真真地思忖着。“我可不相信。”它倏地站起身来，“乌龟的胜利完全是靠运气，要不是碰巧兔子中途睡觉，它无论如何也不可能跑赢兔子。E即使乌龟比你说的踏实还要踏实100倍，它仍跑不过兔子!”’

(9)爸爸的.脸上露出一丝难以名状的笑容，捏着报纸的手颓然落在膝盖上……

8.解释文中加点的词语。

(1)津津乐道_____________________________________________________________

(2)语重心长____________________________________________________________

(3)难以名状______________________________________________________________

9.在文中用浪线画出与A句中：“又唠唠叨叨”的“又”字相呼应的句______________________

10.联系上下文看画线的B句中：“呆望了一阵”的“呆望”在文中的含义是______________________“一阵”能否改成“一眼”，原因是_______________ ___________

11.小保罗的父亲认为乌龟取胜的原因是___________________________________________ 而小保罗则认为乌龟取胜的原因是_________________________________________________ (每处不得超过8个字)。

12.联系上下文看画线的C句在文中的含义是______________________________________

13.认真阅读(6)、(7)、(8)段，理解D句、E句能否对调，为什么?______________________

14.致使父亲遇到难题的根本原因是什么_____________________________________________

15.文章表现的主题是__________________________________________________________

16.读了这篇文章，你一定会有很多感受，联系你的生活用70字左右谈一谈。

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

参考答案

我用残损的手掌

[同步练习]

1.A、D、E

2.D

3.A

4.理想是文明理想是安定理想是繁荣

5.①有的拓荒者是孤独的苦行僧。他背负着爱.仁义和道德的十字架，头顶烈日，口含蛇胆，脚踩黄沙起程。或：有的拓荒者是肤浅的井底蛙。他省吃俭用，吃苦耐劳，终于在苍茫大漠中筑起一幢像样的小楼，犁出几分贫脊的农田。

②有的拓荒者是不羁的行吟诗人。他浪迹天涯，随遇而安，以天为被，以地为席。或：有的拓荒者其实是卑劣的拾荒者。他爱繁华，爱富庶，荒芜是他最憎恨的敌人。

6.(1)是明喻，以情侣关系与母子关系的比喻，把诗人对“这一角”的温柔感情抒发得细致动人。

(2)是暗喻，用“太阳和春天”来比喻解放区的欣欣向荣与勃勃生机。

(3)是隐喻，用来比喻诗人的思想.联想.心理和情感。

(4)是明喻，很形象地描绘出能够把握自己命运的确民的新生活。

7.(1) “手掌”由北向南，抚过大片国土。长白山.黄河.江南.岭南.南海，每到一处，作者都突出了该地区的特征性事物，并调动多种感觉器官去感受它们的特点：雪峰.水夹泥沙.新生的禾草.蓬蒿.荔枝花.苦水。在感情色彩上，这几行诗是忧郁的，冷色调的，表达了诗人对苦难中的祖国无法言说的感情。

(2)在敌人的黑牢里，诗人由“残损的手掌”展开想像，让它去摸索心目中的祖国地图。“广大的土地”象征祖国，“残损的手掌”既是写实，又表明了诗人坚贞不屈的意志。

8.积极的、暖色调的词语如：新生、辽远、温暖、明亮、坚固、蓬勃、永恒……消极的、冷色调的词语如：残损、冷、彻骨、寂寞、憔悴、阴暗……诗人之所以这样用这些词语，是为了更好地表达诗人内心深处的爱与恨。

9.此题意在让学生借鉴这首诗通过描写具体事物来抒写思想感情的写法，写片段作文。不必要求学生一定要写诗，写散文也可;也不必写得太长，一百字至五百字均可。

10.这是一首初春小雨的写景诗，读来清新动人，笔法细腻，耐人寻味，韩愈以他高超的艺术技巧，十分讲究炼字造句，细致逼真地描绘了早春微雨后的长安景色。如首句一个“润”字非常恰当地形容了春雨下得可贵及时。句末一个“酥”字更加形象地反映了春雨带来的生机，令人耳目一新。第二句用对比手法捕捉住青草刚刚萌发时的特征。

[拓展延伸]

1.帆(可从标题中得到启示);塑造“帆”的形象(诗中其他形象起衬托作用)。

2.指个人的幸福。

3.渴望自由，呼唤斗争。

4.表现了我们民族特有的历史背景和文化传统，突出了同一祖先同一血脉的感情。

5.写蟋蟀之声无所不在，表现思乡之情的普遍。

6.说明中国人无论走到哪里，心是永远向着故乡的。

7.①蟋蟀是本诗抒情的载体，反复咏唱可淋漓地抒发内心的激情。

②用蟋蟀是每段内容的核心由“就是那一只蟋蟀”发端，由点到面，从内容上得以扩展。

③反复咏唱可使段与段之间呈现扩展——收缩的关系感情有起有伏。

8.(1)指父亲很有兴趣地说个不停

(2)爸爸对保罗不注意听话而不满，又话语诚恳而有分量，情意深长地提醒他

(3)指爸爸当时脸上的表情没办法说出和描述出来

9.第(1)段的“父亲喜欢……和别的故事。第(2)段小保罗记得……叫人腻味。

10.认真思考的意思。不能，因为“一阵”表明小保罗思考时间较长，与“呆望”吻合，而“一眼”时间短与、呆望”矛盾。

11.乌龟踏实有韧性乌龟靠的是运气

12.我没有说你会指望贝利、托尼、萨里在明天的赛跑中会像兔于那样躺下睡觉。

13.不能，从(6)(7)(8)父子对话的要点看D句是证明(6)段中乌龟一定事先知道兔子在比赛时会睡觉的”这句话的理由，而E句是用来反驳(7)段中“它是靠坚持不懈地努力，踏踏实实，一步一步向前爬才取得胜利的”这句话的。

14.思考问题的角度和方法与父亲不一样。

15.文章通过父子两代人对故事“龟兔赛跑”中乌龟取胜的原因的不同理解而展开的辩论，说明当代社会两代人的思维方法的不同。

借力课本习题 拓展基本图形 篇3

矩形被一条对角线分得的两个三角形全等，而直角三角形斜边上的高把原直角三角形分成两个直角三角形，这两个三角形都和原三角形相似.所以图中△ADC、△ADE、△CDE与△ABC都相似.

上题中出现了一个基本图形（见下面图1）.其实在研究数学问题中，若能捕获到一些基本图形，则会缩短我们的思维路径，提升解题效率.

在相似三角形的学习中出现并整理过多种基本图形，这里以“垂直型”为例：如图1 “双垂直共角共边型”（也称“射影定理型”） ；如图2“双垂直共角型”；如图3 “三垂直型”.

在2016年苏州市中考试卷中就有类似考题能用这些基本图型来解答.

例1 如图4，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，[23]），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 .

【解析】如图4，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，即BP⊥EC，垂足为点F时，出现“双垂直共角共边型”，得△CPF∽△CEP，另外在BF、DC相交所形成的“8字型”中，有一对对顶角相等，一对直角相等，可得△CPF∽△BPD，进而有△CEP∽△BPD，可以列出有关DP、PE的比例式，再根据“坐标及平行线分线段成比例”即可得答案.求得点P的坐标为（1，[3]）.

例2 如图5，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）[0

（1）如图5，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为 ；

（2）如图6，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值.

【解析】（1）由正方形PQMN，可得QP⊥BD，结合△BCD，出现“双垂直共角型”，可得 △BPQ∽△BCD，从而求出PQ、BQ，再根据角平分线性质定理可得PQ=CQ.

（2）作ME⊥BC于点E（如图6）.

△QEM和△BPQ之间出现类似“三垂直型”，即△QEM∽△BPQ，进而可得△QEM∽△BCD，再结合等腰三角形“三线合一”性质，即可得到答案.

略解：（1）1； （2）t=[4049]（s）.

掌握一些相似三角形的基本图形，将它们与其他知识点充分结合，透过外形看清本质，一定能够快速地获取解决此类问题的思路与方法.

（作者单位：江苏省常熟市实验中学）

借力课本习题拓展基本图形 篇4

矩形被一条对角线分得的两个三角形全等,而直角三角形斜边上的高把原直角三角形分成两个直角三角形,这两个三角形都和原三角形相似.所以图中△ADC、△ADE、△CDE与△ABC都相似.

上题中出现了一个基本图形(见下面图1).其实在研究数学问题中,若能捕获到一些基本图形,则会缩短我们的思维路径,提升解题效率.

在相似三角形的学习中出现并整理过多种基本图形,这里以“垂直型”为例:如图1“双垂直共角共边型”(也称“射影定理型”);如图2“双垂直共角型”;如图3“三垂直型”.

在2016年苏州市中考试卷中就有类似考题能用这些基本图型来解答.

(1)如图5,连接DQ,当DQ平分∠BDC时,t的值为________;

(2)如图6,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值.

【解析】(1)由正方形PQMN,可得QP⊥BD,结合△BCD,出现“双垂直共角型”,可得△BPQ∽△BCD,从而求出PQ、BQ,再根据角平分线性质定理可得PQ=CQ.

(2)作ME⊥BC于点E(如图6).

△QEM和△BPQ之间出现类似“三垂直型”,即△QEM∽△BPQ,进而可得△QEM∽△BCD,再结合等腰三角形“三线合一”性质,即可得到答案.

一道课本习题的演变与拓展 篇5

【苏科版八（上）课本第82页第7章7.4习题1】为了调查某市噪声污染情况，该市环保局抽样调查了40个噪声测量点的噪声声级（单位：dB），结果如下：

（1） 在噪声最高的测量点，其噪声声级在哪个范围？

（2） 噪声声级低于65 dB的测量点有多少个？

【解析】（1） 因为频数分布直方图中噪声声级横轴从左到右依次增高，所以噪声最高声级在第5小组，其范围为75～80 dB；

（2） 观察频数分布直方图可知噪声低于65 dB的测量点有两组，共14个.

变式一 更换问题背景，侧重考查依据频数分布直方图提取信息的能力

例1 某次考试中，某班级的数学成绩统计图如下.下列说法错误的是（ ）.

A. 得分在70～80分之间的人数最多

B. 该班的总人数为40

C. 得分在90～100分之间的人数最少

D. 及格（≥60分）人数是26

【分析】观察所给的条形统计图，可知图中各个竖条表示的是不同分数段的人数，从统计图中可知得分在50～60分之间的有4人，得分在60～70分之间的有12人，得分在70～80分之间的有14人，得分在80～90分之间的有8人，得分在90～100分之间的有2人.由此可知该班的总人数为4+12+14+8+2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故选项D不正确.

解：选项A、B、C是正确的，选项D是错误的，故应选D.

【点评】从频数分布直方图中提取信息时，关键是要正确理解直方图中横轴与纵轴所表示的含义，以及小长方形的高与各小组频数之间的关系.

变式二 补充问题条件，侧重考查频数分布直方图与频数分布表之间相互转换的能力

例2 某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查.下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

（1） 把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2） 从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）

（3） 为了鼓励节约用水，要确定月均用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？为什么？

【分析】（1） 根据调查数据可知5.0

解：（1） 填表如下：

（2） 答案不唯一：如从直方图中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月均用水量在3.5

（3） 频数分布直方图补充如下：

（3） 要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，因为月均用水量不超过5吨的有30户，且30/50=60%.

【点评】解答统计表与统计图相结合的统计问题时，要善于将统计表与统计图中的已有信息相互对照，进行补充.

变式三 改变设问方式，侧重考查依据频数分布直方图进行计算与推理的能力

例3 3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为增强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

频率分布表

（1） 这次抽取了_______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m=_______，n=_______；

（2） 补全频数分布直方图；

（3） 若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

（4）针对学生安全意识不强的现象，请你向学校提出一条合理化建议.

【分析】（1） 首先依据“数据总数=频数/频率”计算出抽取的总人数，然后依据“频数=频率×数据总数”计算得出m的值，依据“频率=频数/数据总数”计算n的值；

（2） 依据m、n的值可以补全频数分布直方图；

（3） 先求出样本中70分以下（含70分）的学生的频率，再用样本中的频率来估计全校安全意识不强的学生数；

（4） 提出的建议要具体有操作性，符合题意即可.

解：（1） 200，70，0.12；

（2） 补全后的频数分布直方图如下图：

（3） 1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4） 答案不唯一，如开设安全教育课，开展安全知识讲座等.

【点评】借助“全国中小学生安全教育日”的背景考查频数分布直方图，将社会热点问题与数学应用有机地结合起来，同时又体现了用样本估计总体的思想.

一道课本习题的演变与拓展 篇6

这个问题的解答比较容易,请自己完成.

【演变过程】将课本中的这道习题变换一下情境,即将“在兔舍外面开辟一个长方形活动场地”置换为“在校园里利用围墙的一段围成一个矩形花园”,将“兔舍墙面宽6 m”改为“校园围墙最长可利用25 m”, 将“长13 m的旧围栏”置换为“50 m长的墙的材料”,面积由“20 m2”改为“300 m2”,即可得到下列中考题.

【考题在线】(2012·湖南湘潭)如图1, , 某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.

【思路分析】根据可以砌50 m长的墙的材料,即总长度是50 m,设AB=x m,则BC= (50-2x) m,再根据矩形面积公式列一元二次方程求解即可.

【满分解答】设AB=xm,则BC=(50-2x)m. 根据题意可得,x(50-2x)=300,解得:x1=10, x2=15. 当x1=10时,BC=50-2x=30>25(舍去); 当x2=15时 ,BC=50-2x=20<25(符合要求). 故可围成AB长为15米,BC为20米的矩形.

【拓展变式】对上述问题中长方形的个数、形状和可利用的墙长进行变换,可得到许多新问题:

变式1:某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD,现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2. 如果围墙MN最长可利用a m,围成长方形的长和宽各是多少?

【思路点拨】先用上述试题的解法求出AB和BC的长,再结合围墙MN最长可利用的长度a m的变化来确定问题的解的情况: 当a≥30时,问题有两解;当20≤a<30时,问题只有一解;当a<20时,问题无解.

变式2:如图2,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x m.

(1)要使鸡场面积最大,鸡场长度应为多少?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场长应为多少?

比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

【思路点拨】(1) 设鸡场的长为x m,则宽为1/3 (50-x) m,利用矩形面积公式构造二次函数,再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度;(2) 设鸡场的长为x m,则宽为,利用矩形面积公式构造二次函数,再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度. 观察 (1)、(2)可知,要使鸡场面积最大,它的长与n无关,总等于篱笆总长的一半.

变式3:如图3,有一面积为150 m2的半圆形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18 m), 半圆弧用竹篱笆围成,问竹篱笆的长度是多少m?

【思路点拨】设半圆的半径为r米,可用半圆的面积公式求出r,检验2r是否小于18, 再求出半圆周长,即得竹篱笆的长度.

【参考答案】

变式1:设AB=x m,则BC=(50-2x) m. 根据题意可得,x(50-2x)=300,解得:x1= 10,x2=15. 当x=10时,BC=30;当x=15时,BC= 20. 所以,当a≥30时有两解 ,即可围成AB长为10米,BC为30米或AB长为15米,BC为20米的矩形;当20≤a<30时,只有一解:可围成AB长为15米,BC为20米的矩形;当a< 20时,问题无解.

变式2:(1) 设鸡场的长为x m,面积为y m2, 则宽为1/3 (50-x) m,y=x×1/3 (50-x) =-1/3 (x-25)2+(625)/3 ,所以当x=25 m时,鸡场面积最大;(2) 设鸡场的长为x m,面积为y m2, 则宽为所以当x=25 m时,鸡场面积最大. 由(1)、(2)的结果可以得出结论:不论鸡场中间有几道隔墙,要使鸡场面积最大,它的长总等于篱笆总长的一半.

拓展习题解法,丰富数学活动经验 篇7

例1猜整万数 (苏教版数学四年级上册)

一辆轿车的标价是个整万数, 在计数器上用到了3颗珠子。猜一猜它的价格是多少万元。

【习题解析】

这是一道富有思维含量的习题, 有较大的探索空间, 能够引发学生对知识的深层思考, 帮助学进一步理解整万数的特征及组成。学生在猜数的过程中, 受已有的计数器拨数经验的影响, 凭直觉认为要把三个珠子拨在同一个数位上, 于是只能说出3万、30万、300万、3000万这四个单一的整万数。这就有必要在学生思维受阻时相机点拨, 拓展他们的思维方法和学习策略。

【引导过程】

学生猜出3万、30万、300万、3000万这几个数之后。

师:这几个数分别把三颗珠子拨在了什么数位上?

生:分别拨在万位、十万位、百万位和千万位上。

师:对, 这四个数都是把三颗珠子拨在了同一个数位上。三颗珠子只能拨在同一个数位上吗?

生 (恍然大悟) :不一定。还可以拨在两个数位或者三个数位上。

师:好, 那同学们想想用到三颗珠子的整万数还可能有哪些?

接着引导学生有序列举:拨在一个数位上的有几个, 拨在两个数位上的有几个, 拨在三个数位上的有几个。

【教学体会】

这样引导, 学生不仅找出了符合条件的所有答案, 同时体验到有序列举的思考方法, 培养了学生思维的发散性和深刻性。学生在解答数学习题的过程中, 思维经常会出现暂时受阻、停滞的现象。此刻, 教师若能随机巧妙点拨, 启发学生顿悟, 不仅能发挥习题本身最大的价值, 又能有效地训练学生的数学思维, 提升数学思维力。

例2填乘数 (苏教版数学四年级下册)

你能在□里填上合适的数字, 使等式成立 吗 ? □□×□□ =1600 , □□×□□=2400。

【习题解析】

这道题是从已经确定的积写出合适的乘数, 换一个角度体会积末尾的0, 以加深学生对乘数末尾有0的计算方法的理解。题目的答案不唯一, 思考的空间比较大。学生根据积末尾有两个0, 能很快联想到两个乘数都是整十数, 应用乘法口诀容易得到结果 , 即20×80=1600或40×40=1600;30×80=2400或40×60=2400。教学似乎可以因学生已经有了两种不同的填法而停止了, 但事实上答案还不限于此, 积的末尾0的个数不都是由乘数末尾有几个0决定的。因此, 有必要鼓励学生作进一步探索, 让学生对乘数末尾有0的乘法有更深刻的体会和理解。

【引导过程】

师:同学们, 刚才填的两个乘数都是整十 数 , □□×□□=1600还有没有其他填法呢? 小组讨论后交流。

生: 可以把1600先分成16×100, 但100是一个三位数不能填。可以把100缩小2倍变成50, 把16扩大2倍变为32, 这样就得到32×50=1600。

师:不错, 你这是应用了“积不变的规律”。还有其他想法吗?

生:我们的答案跟他是一样的, 只是我把1600先分成8×200, 然后把200缩小4倍变成50, 把8扩大4倍变为32, 这样也是得到32×50=1600。

师:殊途同归, 很好!

生: 这道题目还有一个答案是64×25 =1600, 可以这样 想 : 根据32×50 =1600, 可以把50再缩小2倍是25, 32扩大2倍是64, 就得到64×25=1600。

师:同学们真会动脑筋, 又找到了这道题新的填法。那能不能用你们刚才的这些思考方法再来研究研究“□□×□□ =2400”这道题 , 它还有其他填法吗?

学生很快 又找到了 三种答案 :48 ×50 =2400, 96 ×25 =2400, 32 ×75 =2400。

【教学体会】

一道好的数学习题, 往往蕴含着数学思想、思维方式和学习策略。这就需要我们教师努力挖掘习题的功能, 不仅要帮助学生巩固基础知识和基本技能, 更要提升学生的数学思维能力, 积累有序思考、缜密推理等思维活动经验。

例3找分数 (苏教版数学五年级下册)

写出一个比1/5大又比1/4小的分数, 并在小组里说说是怎样找到这个分数的。还能再找到这样的分数吗?

【习题解析】

这是一道在教学了“通分”“分数大小的比较”之后的练习题。题目较具挑战性, 需要突破常规思维, 应用分数的基本性质及相关知识探索解决问题的多种方法。教学时, 鼓励学生独立思考, 通过小组讨论并尝试解答, 然后组织交流思考过程, 同时让学生初步认识比1/5大又比1/4小的分数有无数个。

【引导过程】

师:谁先来说一说, 这道题我们可以怎样思考?

生: 我是先把这两个分数通分, 化成4/20和5/20, 再把它们的分子和分母同时乘以2, 得到8/40和10/40, 所以找到的分数是9/40。

师:你的思路非常正确, 这是一种好方法。

生:我把这两个分数的分子分母都同时乘以5, 转换成5/25和5/20, 这样就可以找到5/21、5/22、5/23、5/24四个答案。

师:分子相同的分数也能够直接比较出大小, 你的办法也很好!

生:我先写了1/4.5, 1/4.5不太像分数, 就把分子分母乘以2得到2/9, 2/9是比1/5大又比1/4小的分数。

学生中一阵惊讶:呃! 对呀。

师 :嗯 ! 别出心裁 , 借小数“搭桥”, 好办法, 都能听明白吗?

生:是这样的, 比4大又比5小的整数是没有了, 但可以有小数啊, 我们只要写一个小数作分母, 再把分子和分母同时扩大成整数就可以了。

师:是的。那我们再写一个小数试试, 看看又可以找出什么分数?

生1:可以写1/4.1, 然后把分子和分母同时乘以10, 就是10/41。

生2:如果写1/4.2, 就又可以找到一个分数是10/42。

生2 ( 补充 ) :10/42要约分 , 就是5/21。

师:你考虑得很周密。像这样我们还可以依次写下去10/43、10/44 (约分是5/22) ……

师:其实, 用这样的方法还可以找到很多答案, 因为比4大又比5小的小数有许多。刚才想的只是一位小数, 还可以找到两位小数、三位小数……

师:这样看来, 比1/5大又比1/4小的分数实际有多少个?

生:无数个。

师 (出示数轴) :任何一个分数都可以用数轴上的点来表示。从数轴上我们就可以清楚地知道比1/5大又比1/4小的分数有无数个。

【教学体会】

“小问题有着大智慧”, 发展学生的数学思维是数学课堂教学的主旋律。一个富有挑战性的问题或情境能很好地激发学生的潜能, 引导学生深入探究则是为学生铺设起思维发展的阶梯。

一道简单习题的拓展与引申 篇8

分析:要说明BE=BF, 若连接CB, 利用条件“BE⊥MN, CF⊥AB”, 只要证∠BCE=∠BCF即可.根据“AB是⊙O的直径”, 则连接CA得Rt△ABC (如图2) , 易证∠BCE=∠BCF=∠CAF, 由此利用角平分线性质说明BE=BF.

引申1:如图3, 在原题其他条件不变的情况下, 如果再过点A作AD⊥MN垂足为D.求线段CF、AD、BE之间的数量关系.

分析:根据上例可知BE=BF, 同理可证AF=AD, 而在Rt△ABC中, 利用相似三角形可证得CF2=AF·BF, 因此CF2=AD·BE.

引申2:如图4, 在引申1的基础上如果AB是⊙O的任意一条弦, 上题中线段CF、AD、BE之间的关系还能成立吗?

分析:由“AB是⊙O的直径”推广到“AB是⊙O的弦”, 由特殊到一般, 上题是利用Rt△ACF∽Rt△CBF, 得CF2=AF·BF, 再利用BE=BF、AF=AD代入证得.易证Rt△ACF∽Rt△BEC、Rt△ADC∽Rt△CFB, 虽无上例中的相等线段, 但是可得$\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{BC}‚\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{CF}$, 得$\frac{CF}{BE}=\frac{AD}{CF}$, 因此CF2=AD·BE.结论同样成立.

拓展1:如图5, 已知:AB是⊙O的直径, MN切⊙O于点C, AD、BE分别是过A、B两点⊙O的切线, 分别交直线MN于点D、E.试说明线段OC、AD、BE之间的关系.

分析:此题与以上几例有所不同, 涉及圆的三条切线, 若连接OD、OE, 由切线长定理可得:$AD=DC‚BE=EC‚\angle C{\rm O}D=\angle A{\rm O}D=\frac{1}{2}\angle A{\rm O}C‚\angle C{\rm O}E=\angle B{\rm O}E=\frac{1}{2}\angle B{\rm O}C$, 而∠AOC+∠BOC=180°, 则得Rt△DOE, 而OC是斜边上的高, 得OC2=CD·CE, 因此OC2=AD·BE.

拓展2:如图6, 在原题其他条件不变的情况下, 如果延长BA交直线MN与点P, 你能说明线段PC2=PA·PB吗?

分析:连接AC、BC, 易证△PCA∽△PBC, 则有$\frac{{\rm P}C}{{\rm P}B}=\frac{{\rm P}A}{{\rm P}C}$, 得PC2=PA·PB.

引申1:在拓展2中, 如果其他条件不变, 过点P还有一条直线交⊙O于点G、H (如图7) .你能说明PC2=PG·PH以及PA·PB=PG·PH吗?

分析:用上例方法同理可证PC2=PG·PH, 又PC2=PA·PB, 便得PA·PB=PG·PH.这就是我们所说的切割线定理和割线定理.

引申2:在拓展2中, 如果其他条件不变, 连接AC、EF (如图8) , 证明:AC//EF.

分析:由拓展2知$\frac{{\rm P}C}{{\rm P}B}=\frac{{\rm P}A}{{\rm P}C}$, 再利用Rt△PCF∽Rt△PBE, 得$\frac{{\rm P}C}{{\rm P}B}=\frac{{\rm P}F}{{\rm P}E}$, 则有$\frac{{\rm P}A}{{\rm P}C}=\frac{{\rm P}F}{{\rm P}E}$, 加之∠P为公共角, 则△PCA∽△PEF, 得到同位角相等, 证出AC//EF.

习题深加工思维新拓展 篇9

关键词：练习课设计,易错点,联接点,生长点,思维拓展

练习课是小学数学教学的重要组成部分, 它既能帮助学生全面巩固、提升新知识, 又能帮助学生积累数学经验, 提高数学素养。但是教学中, 一些教师对练习的设计、安排认识不到位, 忽视练习课的功能, 使学生逐渐失去了上练习课的兴趣。优化练习课的设计是减轻学生负担、提高教学效率的有效途径。如何让数学练习课使学生的数学思维得到不断的拓展, 笔者在执教了人教版 《数学》 六年级上册“分数除法”的单元练习题, 内容包含了“分数除法, 解决问题, 比和比的应用”, 感触很深, 以下几点做法与大家共同探讨。

一、加工易错点, 理清混淆的思维

在教学的过程中, 学生难免还会出现这样那样的错误。教师一方面要努力让学生少犯错误, 另一方面要充分利用出现的错误作为资源为教学服务。发现学生的错误, 应及时调整教学策略, 巧妙加工容易出错的习题, 帮助学生理清思维上的混淆之处, 形成正确的认知。

【教学片段1】

在求20 千克∶0.2 吨的比值是 () 时, 因为是第一次出现不同单位比, 求比值, 所以很多学生在解题时出现了两种错误答案中的一种。

(1) 20千克∶0.2吨=20÷0.2=100

(2) 20千克∶0.2吨=200∶2=100∶1

出错的原因有两个:一是学生混淆了化简比和求比值的概念;二是学生审题不清, 没有注意求同类量的比值时, 应把不同单位换算成相同单位。针对这一问题教师要及时调整教学策略, 帮助学生理清思维。

1.有效追问

师:答案中100 和100∶1 有什么区别?哪个答案不符合题目要求?

生:100 是一个数, 100∶1 是一个比, 而且是最简化的比, 反映两数的关系。

生:题目是求比值, 比值是一个数, 所以100∶1 是不行的。

通过追问, 拨正学生偏离轨道的思维路径, 用“学生互教”的学习方式, 帮助学生明白了求比值和化简比在结果上的不同, 理清了思维, 澄清了错误的思维。

2.及时加工

师:如果把原来题目中的单位去掉, 变成20∶0.2, 比值是多少?

生:20∶0.2=20÷0.2=100。

师:请你思考, 20 千克∶0.2 吨和20∶0.2 比值一样吗?

生 (思考后) :应该不一样, 20 千克∶0.2 吨中单位不统一。

师:单位不一样, 应该换成哪个单位为好?

生:把吨化成千克, 因为可以变成整数比, 容易算比值。

3.澄清概念

师:请你算一下比值。如果此题化为简比, 答案怎样?

生: 20 千克∶0.2 吨=20 千克∶200 千克=20 ÷200=0.1。

生:20千克∶0.2吨=20千克∶200千克=20∶200=1∶10

师:请你思考, 求比值和化简比有什么不同?

生:结果不同, 求比值结果是一个数, 化简比结果是一个比。

生:方法不同, 求比值时根据比的意义用前项除以后项, 化简比时根据比的基本性质前、后项同时扩大或缩小相同的倍数。

4.迁移内化

师:把20 千克∶0.2 吨改成0.2 小时∶20 分钟, 求比值是多少?

由于学生已经具备了较好的学习基础, 能及时理清思路顺利完成此题的计算。

二、加工联接点, 培养发散的思维

思维性是练习课的特点之一。教师在准备练习课时, 要用最敏觉的目光去寻找整篇课文中最有价值的习题, 提倡小题大作。通过对小题的深层加工, 帮助学生沟通数学知识之间的联系, 促进学生整体认知的形成。

【教学片段2】

学校电脑小组有男生25 人, 女生20 人, 女生与男生人数最简单的整数比是 () ∶ () , 女生人数占总人数的。

此题学生都很顺利地得出了正确答案, 女生和男生最简单整数比是4∶5, 女生人数占总人数的, 虽然此设计题比较简单, 但是里面内涵很深, 值得深加工, 帮助培养学生的发散思维, 使单元的难点知识得到升华。

1.深层提问, 开发习题隐含功能

师:女生和男生最简单的整数比是4∶5, 你们还能说出女生人数和男生人数的各种数量关系吗?

生1:女生人数是男生人数的, 男生人数是女生人数的。

生2:女生人数占总数的, 男生人数占总数的。

生3:女生人数比男生人数少, 男生人数比女生人数多。

师:女生人数比男生人数少, 为什么不能说成男生人数比女生人数多?

生:女生人数比男生人数少, 是以男生人数为单位“1”, 男生人数比女生人数多几分之几, 是以女生人数为单位“1”, 二者的单位“1”变化了, 所以不能反过来说。

通过问题的变化加工, 使学生理解对于两数之间比的关系可以换成分数的关系, 数量关系的思维得到了很好的训练。

2.引导编题, 降解单元知识难点

这一单元的分数解决问题是一个难点, 引导学生自己编题自己解决, 不仅可以帮助学生弄清基本数量关系, 而且可以开阔思路, 促进思维的发展, 提高逻辑思维能力。

师:根据题目中男、女生人数和男、女生之间的数量关系, 编一道两步计算的分数应用题。

生1:男生25 人, 男生人数比女生人数多, 女生有多少人?

生2:男生25 人, 女生人数比男生人数少, 女生有多少人?

生3:女生20 人, 女生人数比男生人数少, 男生有多少人?

生4:女生20 人, 男生人数比女生人数多, 男生有多少人?

师:请你找出题中的数量关系, 只列式不计算。

师生在交流讨论中得出了每题的数量关系, 很快列出了正确算式。通过这道简单习题的两次加工, 使学生对数量关系得到了很好的理解, 对本单元的教学难点也得到了突破。

三、加工生长点, 拓展思维的广度

练习课的另一个特点是承上启下, 有些题目对于下阶段的学习会起到铺垫埋伏作用, 教师要充分地挖掘习题资源, 拓宽学生的思维, 为学生今后顺利地学习打下基础。

【教学片段3】

请根据题目的信息, 寻找合适的量, 写出这些量之间的比:今年我12 岁, 爸爸38 岁, 爸爸一年的工资是15000 元, 妈妈每月的工资是800 元。

教师对此题的问题设计进行了加工, 将问题改为:求出比值, 说出这个比的意义, 并说明比值表示的意思。让学生独立完成后反馈。

生:15000∶800=15000÷800=18.75。

师:你能说出这个比值的意义吗?

生:爸爸的年工资是妈妈月工资的18.75 倍。

师:爸爸的年工资和妈妈的月工资比公平吗?我们应该怎样比?

生:爸爸和妈妈年工资的比, 或月工资的比。

师:请男同学计算爸爸和妈妈的年工资的比值, 女同学计算爸爸和妈妈的月工资的比值, 看哪个比值大?

生1:15000∶9600=1.5625。

生2:1250∶800=1.5625。

生3:两个比的比值相等。

师:为什么两个比的比值相等?既然这两个比的比值相等, 可以用什么符号来连接?请你用式子表示出来。

生:两个相等的比可以用等号连接起来, 比和比例存在着密切的关系。

教师对此题设计了“既然两个比的比值相等, 可以用什么符号来连接?”的问题, 并让学生用式子表示出来, 让学生提前接触到比例的知识, 为比例的学习埋下伏笔。

一道课本习题的演变、拓展及应用 篇10

北师大版八年级下册251页17题：（1）已知：如图（1），直线AB∥CD，求证：∠BCD=∠ABC+∠CDE；（2）如图（2），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？

分析：对于（1）过点C作CF∥AB，则CF∥ED，可得∠1=∠B，∠2=∠D 所以∠BCD=∠1+∠2=∠ABC+∠CDE，从而结论得证；对于（2），由AB∥ED，得∠1=∠B，又∠1=∠C+∠D，所以∠B=∠C+∠D即∠C=∠B-∠D。

猜想：如图1，如果点C在线段BD的右侧（即变式1），则∠BCD+∠B+∠D=360°；如图2，如果点C在AB的上面（即变式2），则∠C=∠D－∠B。

一、拓展变式

变式1：如图1所示，已知AB∥DE，求证：∠B+∠C+∠D=

360°。

分析：过点C作CF∥AB，则CF∥ED，可得∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180°，则∠B＋∠1＋∠2＋∠D=360°，从而得∠B＋∠BCD＋∠D=360°，结论得证。

变式2：如图2所示，AB∥DE试探索∠B、∠C、∠Ｄ的关系。

分析：由AB∥ED得∠1=∠D，又∠1=∠B＋∠C，所以∠D=∠B＋∠C，从而得∠C=∠D-∠B。

变式3：如图3，AB∥ED，试探索∠Ｂ、∠Ｃ、∠E的关系。

分析：过点C作CF∥AB，则CF∥ED，则∠B＋∠1=180°，∠2=∠E，所以∠1=∠C－∠E，从而∠B+∠C－∠E=180°。

变式4：如图4，AB∥ED，求证：∠B+∠C+∠F+∠D=540°

分析：分别过点C、F作CG∥AB，FH∥AB，则CG∥HF∥AB

∥ED，所以∠B＋∠1=180°，∠2＋∠3=180°，∠4＋∠D=180°，

从而∠B＋∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠D=540°，可得∠B+∠C+∠F

+∠D=540°，从而结论得证。

二、应用举例

例1、如图5，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等

于（ ）

A.30°B.40°C.50°D.60°

解：利用变式2的结论直接得∠E=∠A-∠C=70°－30°=40°

例2 ：如图6，AB∥CD ，∠1=

30°，∠2=90°，则∠3= （ ）。

解：直接利用原型（1）的结论可得∠2=∠1+∠3，则∠3=∠2－∠1=90°－30°=60°

例3：如图7，a∥b，c⊥a，∠1=130°，∠2则等于（ ）

A.30°B.40° C.50° D.60°

解：由变式1可得∠3+∠4+∠1=360°，则∠4=360°－∠3－

∠1=360°－90°－130°=140°，所以∠2=180°－∠4=40°，故

选B。

例4：如图8，AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，则∠BEC的度数是（ ）。

解：由变式3可得∠B+∠BEC-∠C=180°，则∠BEC=180°-∠B-∠C=180°-120°+25°=85°。

一道课本习题的变式与拓展 篇11

原题呈现 (人教版八上53页练习2题) 如图1, 把一张矩形的纸沿对角线折叠, 重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?

此题可利用等角对等边证出△AOC是等腰三角形.

变式一如图2, 延长AE, CD交于点G, 线段AB, AG, GD之间有怎样的数量关系?请说明理由.

结论:AG-DG=AB.

证明由已知易证△AGC是等腰三角形, 且AB=CD, ∴AG=CG=GD+DC=DG+AB, 即AG-DG=AB.

变式二如图3, 矩形ABCD中, E为BC中点, 将△ABE沿AE折叠得到△AFE, AF延长线交CD所在直线于点G, 线段AB, AG, GD之间有怎样的数量关系?请说明理由.

结论:AG-DG=2AB.

证明如图4, 延长AE交DC的延长线于点M,

由已知易证∠GMA=∠MAB=∠GAM, ∴AG=GM,

由△ABE≌△MCE, 可得AB=CM,

又∵GM=GC+CM=GD+DC+AB,

∴GM=2AB+DG,

∴AG-DG=2AB.

变式三如图5, 当点E是BC边的三等分点, 即CE∶BE=1∶2时, 将△ABE沿AE折叠得到△AFE, 延长AF交CD所在直线于点G, 线段AB, AG, GD又有怎样的数量关系, 请说明理由.

证明如图6, 延长AE交DC的延长线于点M,

由已知易证∠GMA=∠MAB=∠GAM, ∴AG=GM,

拓展延伸当点E是BC边的n等分点, 即CE∶BE=1 (n-1) 时, 将△ABE沿AE折叠得到△AFE, 延长AF交CD所在直线于点G, 线段AB, AG, GD又有怎样的数量关系?

而由长宽比值的不同, 即将△ABE沿AE折叠得到的△AFE在矩形内部, 上述折叠还可能出现如下情况: