变式教学设计例谈（精选8篇）
变式教学设计例谈 篇1
摘要：探究式教学已经成为高中数学课堂的主导。作为课堂的引导者,教师要调动学生的积极性,引导学生通过合作获取知识,发展数学能力,培养学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力。教师要为学生创设探究学习的情境,营造探究的氛围,并为探究的进一步发展提供技术支持,把握探究的难度和深度。变式教学能促使学生从不同的角度思考问题,营造探究的良好氛围,促进探究式教学的有效开展,体现了数学课堂教学的本质。
关键词：高中数学,探究式教学,变式教学
数学教学中发现,很多学生在思考问题时经常受一些条条框框的束缚,思维广度不够,经常陷入题海之中,得不到主动发展,不利于学生数学能力的提高。在高中数学教学中,运用变式教学,引导学生思维的发展,通过不断的“变”,让学生在不同的背景下探求知识间的内在联系,使学生思维的高度一步步的提升。
一、变式教学的要求
数学变式教学首先要有针对性,如在概念教学时候,可以针对概念进行变式。在习题课时针对章节内容适当渗透数学思想方法,对重要题型进行变式,达到归类总结的作用。在复习课时进行横向联系,纵向比较的变式。其次,变式教学要具有适用性。要根据教材要求,以及学生的接受程度,对题目进行适当的变式,变式要具有启发性,要讲究创新,这样有助于激发学生的数学兴趣,在探究中完成变式教学。
二、变式教学要突出“概念的内涵和外延”
数学概念是发展学生数学思维的要素,数学概念具有发展性,只有正确的理解和掌握了数学概念,才能有效地解决数学问题。变式教学是促进学生迅速、准确的掌握数学概念的重要途径。对于有些数学概念,可能需要多层次的理解,这就需要教师设置多层次的变式,为学生分层理解设置好台阶。
案例1“函数的单调性”的概念
三、变式教学要突出教材的地位
在高中教学中,教材是具有权威性和示范性的。变式教学要以经典习题为生长点,结合课本的习题,做到有源可溯,从而创造性的使用教材。特别是高三的复习课,应该充分挖掘教材中习题价值,使高三复习事半功倍。
古希腊著名数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中给出过一个结论:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。
数学语言:点A,B为两定点,动点P满足PA=λPB,当λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,并称之为阿波罗尼斯圆。
这个结论在苏教版的高中数学教材上并没有提及,但是在习题中,涉及到这个圆的问题却有很多,如果教师能够及时给出这个结论,势必会在教学起到良好的效果。
点评:案例2是“阿波罗尼斯圆”中最基本问题,考查了用解析法探求轨迹问题,体现了解析几何的魅力。经过化简可以得到轨迹方程为(x+1)2+y2=4,其轨迹是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆。
改变案例2中的设问,可将试题设计成一道填空题。
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围。
点评:这道题目的第2问中M点的轨迹就是阿波罗尼斯圆,得出M点的轨迹方程后,M点还在圆C上,这样此问题就转化为两个圆有公共点的问题。
变式5已知点A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD≤2BD恒成立,求最小正整数t的值。
点评:将结论中的PA=λPB这个条件改为PA≥λPB(或PA≤λPB)且λ≠1,点P的轨迹又会变为圆内或圆外的部分,和直线结合,又会考查直线与圆的位置关系。
对教材习题进行恰当的变化,让学生在“变”与“不变”中感悟数学的本质,发现数学规律;帮助学生在复杂的题目面前,能够迅速的抽丝剥茧,探究本质,寻找到恰当的方法。
四、变式教学要突出“思维的螺旋式发展”
变式教学的目的之一是训练学生的数学思维,提高数学能力,这就要求变式教学要由浅入深,具有一定的螺旋上升的空间。在高一高二教学变式中要重视基础,不能所有问题全部抛出,走出“高一学生当高三教”的误区,这样学生的能力就会得到不断的提升。
基本不等式的应用在江苏高考中属于C级要求,是高考重点考查内容。在基本不等式的概念教学中,要强调基本不等式成立的三个条件:正、定、等。
点评:“等”这个条件是学生做题中最容易忽视的一个。此题等号取不到,需要再结合函数的单调性来解决。
这三个变式,层层递进,螺旋上升,其本质就是对基本不等式的使用条件有完整的认识。这三个变式还考查了学生类比推理的能力,有利于学生思维能力的进一步提升。
五、变式教学要突出“生本课堂”
新课程标准提出了“生本课堂”的理念,要求课堂教学要以学生的发展为本。要实现这一目标,在课堂教学时就必须要贴近学生,从学生的“最近发展区”入手。变式教学即是如此。
点评:这道题结合sin2θ+cos2θ=1,即可算出sinθ和cosθ再求和,题目本身并不难,但是此题的得分情况并不理想。究其原因,主要是平时教学时,更多在强调sinθ±cosθ与sinθ·cosθ的关系,而恰恰是直接利用sin2θ+cos2θ=1关系求解的题目被忽略了。
点评:这道题如果利用等差数列的通项公式和求和公式代入,就会得到a1,d与A,B,进而得出A,B之间的关系。从这个角度讲,这道考查的也是定义及性质的应用,属于基础题。但大部分同学是采取的赋值法,对取特殊值来解决,这种方法也非常好,可惜很多同学绕在方程组里,没有找到最终的关系。
变式教学可以让教师引导学生从“变”的现象中发现数学“不变”的本质和规律,帮助学生将所学知识融会贯通,让学生在变化中领略数学的乐趣。总之,新课标下,教师要不断更新观念,做到因材施教,不断完善和创新变式教学,帮助学生探究思维的培养,为学生学好数学打下坚实的基础。
参考文献
[1]高敏.高中数学变式教学实践研究[D].东北师范大学,2010
[2]窦月英.高中数学探究式教学的实践与探索[D].石家庄:河北师范大学,2008
变式教学设计例谈 篇2
一、通过直观或具体的变式引入概念
数学概念教学不能简单地给出概念，而应通过直观或具体的新旧知识的联系，通过变式引导学生积极探索、发现并总结规律，感知新知识、新概念的基本属性，从而帮助学生形成概念。
如在线面垂直的判定定理教学中，可以设计如下环节：首先复习线面平行的判定定理（用提问的形式），“平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行与这个平面”；其次变化问法，“一条直线如果垂直与平面内的一条直线，那么这条直线能否垂直与这个平面呢？”让学生动手实验一下，很容易得出否定结论；进一步变化问法，“一条直线不行，那么两条直线是否成立”，学生通过实验可以验证，一条直线垂直与平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直与这个平面，但两条平行直线不行。
再如在椭圆定义教学中：首先复习圆的定义（用提问的形式），并用一段无弹性的绳子在黑板上做几个圆心位置不同、半径不同的圆，强调到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆，为下一步的变式做铺垫。其次，设想定点由一个变两个，且更换命题，“到两个定点的距离的和为定值，结果又会怎样，能否借助手中的绳子和圆规把命题叙述的这一过程表示出来”。通过实例操作，引导学生将一根无弹性的绳子系在圆规两脚下端，用粉笔套住绳子，在黑板上移动粉笔，画出一个封闭的几何曲线，改变圆规两脚的位置，再画出几个这样的曲线并点题：这就是我们要学习的一类新曲线——椭圆。
这样，通过联系已学知识的变式引入，使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为展开概念的复杂智力活动做好心理准备。
二、通过非标准变式突出概念的本质属性
数学概念非常精炼，寓意深刻，引入之后要把概念讲清楚、讲准确，要对概念做辩证的分析。通过变式，仔细推敲概念中的每一词、句，用不同的方法揭示不同概念的本质，通过对本质特征的分析，加深对整个概念的理解。
例如差数列的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一項与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。在等差数列的概念教学中，如何理解“从第二项起”与“同一个常数”这两组关键词，我们可以构造变式说明：如果没有“从第二项起”的限制，第一项不能与前一项相减；如果没有“同一个常数”，举反例1、3、5、6、12，从第二项起，每一项与前一项的差等于常数，但此数列不是等差数列，从而说明这两组词缺一不可。
再如，椭圆的定义式，学生常常笼统地记为：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹，教学时，可以设计以下问题链，让学生讨论：①平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为4，则P点的轨迹是什么？②平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为6，则P点的轨迹是什么？③平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为8，则P点的轨迹是什么？通过分析容易得到：①当2a<2c时，轨迹不存在；②当2a=2c时，轨迹为一条线段；③当2a>2c时，轨迹为椭圆。这样就有效地加深了学生对椭圆概念中“a>c”这一条件的理解。
对于数学概念建立真正的认识和理解是不容易的，应用变式教学，可以把易错、易混、易漏等问题串联起来，使学生更容易理解并掌握概念的本质。
三、通过非概念变式明确概念的内涵与外延
有些概念，由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。
比如：学生在初中学习过概率、概念，并且通过一些具体实验，初步建立了频率与概率相关的知识体系。学习了概念后，笔者出几个变式问题让学生辨析：（1）只要试验次数足够大，频率m/n就可以作为概率的估计值，到底多少是足够？对于破坏性实验，比如导弹发射，是否也要很多次呢？（2）频率的稳定值就是概率，对于投掷硬币实验，如果我们不知道概率为0.5，如果选用0.4996作为概率是否正确？（3）频率是不断变动的，而概率却是确定的值，这是否与我们所认识的确定性数学的经验相悖？概率的频率定义，反映了在大量重复试验的条件下，随机事件发生的频率的稳定值就是概率的性质。其中，频率的随机性表现为随着时间和人物改变而变化，频率的规律性表现为频率稳定于某个常数，上面三个变式问题的回答就是对这一内容内涵的的深刻理解。
再如：函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，可以设计以下问题链，让学生讨论：通过研究上述问题，学生可以弄清周期函数定义域的结构特征、最小正周期的存在状况、周期函数函数值的分布规律以及周期函数的图像特征。在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，学生的认识结构也从“了解”上升到“理清并掌握”的层面。
例谈一道函数题的变式教学 篇3
(1) 当x∈[0, 1]时, 求f (x) 的值域;
(2) 对任意x1∈[0, 1], 总存在x2∈[0, 1]使得g (x2) =f (x1) 成立, 求a的取值范围.
分析本题第 (1) 问较为简单, 详细答案略, f (x) 的值域为[0, 1], 难点主要集中在 (2) 问上, 学生主要对题意理解有障碍, 不能准确深刻理解“对任意x1∈[0, 1], 总存在x2∈[0, 1]使得g (x2) =f (x1) 成立”这句话, 实际上它主要阐述的是当x∈[0, 1]时, f (x) , g (x) 这两个函数值域之间的关系.解答如下:
为了帮助学生理解消化, 我们可作如下小结:
在问题第 (2) 问理解的基础上, 教师在课堂上, 可在题目条件不变的情况下作适当变式, 以帮助学生攻克难点, 列举如下:
变式2:是否存在a, 使得对任意x1∈[0, 1], x2∈[0, 1]都有f (x1) =g (x2) 成立?若存在, 请求出a的范围;若不存在, 请说明理由.此变式的目的是帮助学生进一步加强对全称量词“任意”的理解.本例实际上是要求f (x) 的值域A与g (x) 的值域B相等, 即A=B, 解答过程略.
变式3:若存在x1∈[0, 1], x2∈[0, 1]使得f (x1) =g (x2) 成立, 求a的取值范围.此变式的目的是帮助学生进一步加强对特称量词“存在”的理解.本例实际上是要求f (x) 的值域A与g (x) 的值域B相交非空, 即A∩B≠, 解答过程如下:
引导学生可得出如下结论:
结论2:存在x1∈D1, 存在x2∈D2, 使得f (x1) =g (x2) 成立, 等价于函数f (x) 在D1上的值域A与函数g (x) 在D2上的值域B的交集不空.
以上变式均是围绕“f (x1) =g (x2) 成立”这个角度展开的, 实际上强调的是等的关系, 等的关系体现了数学的对称美和统一美, 而不等关系则体现了数学的奇异美, 所以我们在教学中还要教会学生辩证地去分析问题, 可以再来研究不等关系.
变式4:对任意x1∈[0, 1], 总存在x2∈[0, 1]使得f (x1)
分析此题既含恒成立又含有存在性问题, 对于学生来说由等到不等, 是个难点, 老师在处理时可以各个击破, 先分别把一方当作常数处理然后找到关系式.此题我们可以按如下步骤进行, 先把题目看为: (1) 对任意x1∈[0, 1], f (x1)
由题意“对任意x1∈[0, 1], 总存在x2∈[0, 1]使得f (x1)
在实际解题中, 可能最值不是这么容易求出来的, 这时候我们可以抓住一个函数处理, 转化为恒成立或存在性问题处理, 针对变式4另解如下:
上述两种解法在课堂教学中既可以开拓学生思路, 培养学生的发散思维能力, 又可以通过一题多解沟通已学知识的相互联系, 培养敏捷思维的习惯, 寻找最佳的解题技巧, 确保解题的准确性.
变式5:存在x1∈[0, 1], 对任意x2∈[0, 1]有f (x1)
依此类推我们还可作如下两个变式:
变式6:任意x1∈[0, 1], x2∈[0, 1]都有f (x1)
变式7:存在x1∈[0, 1], x2∈[0, 1]使得f (x1)
例谈高中数学教学中的变式教学 篇4
一、改变形式
改变已有命题的条件或结论的表现形式, 将原命题中的条件或结论间接化、隐蔽化, 或改变问题的背景变换出新的命题方法.如在高一数学“集合”知识中有如下一题.
例1已知数集A={X︱X=2n+1, n∈Z}和B={X︱X=4k+1或X=4k-1, k∈Z}, 则A与B之间的关系是_____.
分析:该题很简单, 大多数同学通过列举验证的方法很容易得出答案, 做题之后觉得没有什么特别之处, 但只要老师稍稍动一下脑筋将题设中的条件变一变就可以得到一个非常好的题组, 我在实际教学中做了如下三种改变, 教学效果很好.
变式1:已知数集A={X︱X=2n+1, n∈Z}和B={X︱X=3n-2, n∈Z}, 则A∩B=____.
变式2:已知数集A={X︱X=a+1/6, a∈Z}和B={X︱X=b/2-1/3, b∈Z}, 则A与B之间的关系是_____.
变式3:已知数集A={X︱X=a/3+1/6, a∈Z}和B={X︱X=b/2-1/3, b∈Z}, 则A∩B=____.
又如, 在函数定义的教学中遇到如下一题, 适当改变一下条件或问题 (如变式1、变式2) 都会让学生很有效地加深对知识的理解.
例2求函数f (x) =-x2+|x|+1的值域.
变式1:求函数f (x) =-x2+|x|+1, x∈[-2, 1]的值域.
变式2:若方程x2-|x|-1+a=0有4个实数根, 求a的取值范围.
当然, 高一、高二新授课的举例变式, 只要老师平时注重知识积累, 相对于高三总复习对原题改编而言要容易的多.高三对原题的改编必须要有新意, 有深度, 这就要求老师对教学大纲, 考试大纲很熟悉, 对知识的交汇点把握得恰到好处[2].
二、小题变大题
根据所考察知识和方法的需要, 将一些较为简单的命题进行有机的结合, 构造出较为综合的大题的方法.
例3 (原题1) 设函数, (x∈R) , 区间M=[a, b], 集合N={y|y=f (x) , x∈M}, 则使M=N成立的实数对 (a, b) 有 ()
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无数多个
(原题2) 已知函数f (x) =2x3+x2-x-1, 是否存在区间[m, n], 使得函数f (x) 的定义域和值域均为[m, n], 若存在, 求出这样的一个区间[m, n], 若不存在, 则说明理由.
(原题3) 已知函数, 存在实数a, b (a<b) , 使得函数y=f (x) 的定义域为[a, b]时, 值域为[ka, kb], 求k的取值范围 (k>0) .
上面三题出自于三本不同的数学资料, 但为同一类型题, 若在一堂课中同时讲解三题后立即结束转而讲其它题目, 不利于学生学习效率的提高.若经过适当的变化, 可以让学生练练组合由原题1、2、3改编而成的如下变式:
变式:已知函数f (x) =|1-1/x|.
(1) 是否存在实数m, n (m<n) , 使得函数y=f (x) 的定义域和值域都是[m, n], 若存在求出m, n, 否则说明理由.
(2) 若存在实数m, n (m<n) , 使得函数y=f (x) 的定义域为[m, n]时, 值域为[km, kn], 求出k的取值范围, (k≠0) .
该变式题叙述简洁、流畅、内容丰富, 对函数、方程、不等式的考察具有一定的深度, 让学生及时练习将犹如趁热打铁之势让学生难以忘记此类题型.
三、陈题变新题
将已知命题进行有价值的推广或延伸, 形成新的命题的方法.
例4如图1, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F, 作直线AB与抛物线相交于A、B两点, 点E是抛物线的准线与x轴的交点, 求证:∠AEF=∠BEF.
由已知条件可知, 点E、F的坐标分别是 (-p/2, 0) 和 (p/2, 0) , 它们关于原点对称, 故可猜想E、F只要对称, 就有∠AEF=∠BEF吗?
变式1:已知抛物线y2=2px (p>0) , 过定点D (m, 0) , (常数m>0) 的直线L与抛物线相交于A、B两点, 若点E的坐标为 (-m, 0) , 求证:∠AED=∠BED.另外, 把抛物线换成椭圆, 也有此结论吗?
变式2:如图2, 过椭圆的左焦点F任作一条弦AB, 若点M是椭圆的左准线与x轴的交点.求证:∠AMF=∠BMF.
经过如此一个变式过程, 不仅让学生经历新题原来可以这样产生, 在加深了对通性通法掌握的同时加深了对知识点的理解, 何乐而不为呢.
事实上, 从每年高考数学试卷中, 我们总是找出许多与教材中的例题相似或来源于教材例题的试题, 这些试题考查的都是现行教材中最基本、最重要的数学知识和技能, 所用方法也往往是普遍性、一般性方法, 既体现高考的公平公正, 也对中学数学的教学进行有效检验.所以, 不管高考命题如何改变, 我们都能在高考试题中找到大量的教材原题或由这些原题进行引申、变化而来的试题.因此, 我们很有必要对高中数学教材中的例题进行深入研究, 做好教材上的典型例题的变题教学, 提高教学效率, 避免因乱用复习资料而造成无谓的重复劳动.
参考文献
[1]黎丽.因式分解中体现的数学思想方法[J].苏州教育学院学报, 2010 (9) :14-16.
数学课上的变式教学例谈 篇5
在数学学习中会出现这样一个词:“思维定势”。思维定势总是按照某种习惯的思路去思考难题。当习惯性思维与解决问题的路径不一致时, 思维被定在某个框架里无法解脱, 对于解决问题就困难了。因此, 我们通过变式教学, 可以培养学生数学思维的敏捷性、灵活性、深刻性和发散性, 提高学生的数学思维能力。下面结合自己的教学实际, 谈几点对变式教学的体会。
一、运用变式教学, 展示知识的发生过程, 促进知识的迁移
通过旧的知识, 新的组合, 得出新结果的过程。创新学习的关键是培养学生的问题意识, 学生有疑问, 才会有思考, 才会有所创新。在课堂上运用变式教学可以引导学生多侧面、多角度、多渠道地思考问题, 让学生多探索、多争论, 有效训练学生思维的创造性, 大大激发学生的兴趣, 培养学生的创新能力。例如, 圆面积公式的推导, 根据课本提示, 大部分学生都能把圆平均分成若干等份, 拼成一个近似的长方形, 从而推导出圆面积公式, 这样教学, 学生只是根据课本提示, 机械模仿, 没有任何创新, 不利于学生对新知识的构建和迁移, 学生能力得不到发展。这时利用变式教学, 让学生小组合作探究, 看看能否拼成其他已学过的图形, 学生充分发挥自己的创造性思维, 拼成三角形、梯形、平行四边形等, 同样可以推导出圆的面积公式。同时变式教学为学生提供相互展示、相互学习的机会, 创设一种积极思维、努力上进的学习氛围, 促进了知识的有效迁移。
二、利用变式教学加强知识的内在联系, 促进知识网络的形成
教师应注重引导学生进行横向众向的对比、消化, 促使学生对相通的知识归纳成体系, 形成知识网络, 避免“只见树木不见森林”的现象。例如, 交换或部分交换条件, 就给学生的思维活动创造了有利的前提, 促进知识的内化。如:“同学们做了朵花, 送给幼儿园朵, 还剩多少朵?”与“同学们有18朵红花和7朵黄花, 送给幼儿园8朵, 还剩多少朵?”就是应用拆分条件, 合并条件进行互相变化的。“同学们做了25朵花, 送给幼儿园8朵, 还剩多少朵?”与“同学们做了25朵花, 后来又做了18朵, 送给幼儿园8朵, 还剩多少朵?”让学生比较练习找出相同的结构。这样设计, 学生能更加深刻地理解其数量关系及结构, 对知识进行有效的内化, 促使知识网络的形成。
三、利用变式教学, 揭示概念的本质, 加深对概念的理解
在小学数学中最枯燥的可能就是概念教学了, 而在作业中又是最容易让孩子混淆而失分的。对于如此抽象的数学概念, 教师在教学时, 应注意表达方式的多样化, 从而加深对概念的理解, 通过变式, 可以使学生更好地认识概念的内涵和外延。如学过钝角的概念后, 通过变式教学, 呈现各种位置、各种形状的角, 让学生找出钝角, 然后区别“大于90°的角是钝角”和“钝角都大于90°”这两句表达正确与否, 充分展开讨论, 各自要表明自己的观点, 并阐述理由, 如果缺少必要的变式, 学生会被一些表面的、非本质的属性所困惑, 从而难以深刻地认识和把握数学概念。
四、利用变式教学, 突出学生的主体地位, 增强学习主动性
新课标倡导以人为本, 要注重学生的主体地位。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况, 这就要求学生首先有学习的主动性, 有了学习的主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动意识, 使学生真正成为课堂的主人, 是现代数学教学的趋势。在变式教学中, 教师不能总是自己变题, 要多鼓励学生主动参与。如“圆柱的侧面积”教学中, 课本题目“圆柱的侧面展开是正方形时, 圆柱的 () 与高相等”, 我班学生编出了一道精彩的题目:“圆柱的侧面展开是正方形时, 圆柱的高是底面直径的 () 倍。”当时学生的学习热情很高, 成了学习的主人。
例谈“变式训练复习法” 篇6
一、分析题目, 找出内涵
通过对试题的分析, 找出解决试题所需要用到的知识, 进行知识初步梳理.为解决问题做好必要的知识储备。
通过阅读题目不难发现本题需要的知识点有:
1.二次函数的顶点坐标公式。
2.二次函数的对称轴, 对称轴的意义。
3.菱形的轴对称性质, 平面直角坐标系中点关于x轴对称的点的坐标特点。
4.“待定系数法”求函数解析式。
二、节章联系, 全面找“点”
通过第二步的分析, 找出题目所涉及的节和章, 把相关章节的所有知识点进行罗列。
1.题目所在的章节为《二次函数》一章, 该章的知识点有:
二次函数的定义, 如a≠0;二次函数的图象, 如图象形状, 开口方向, 对称轴, 顶点坐标;图象的平移规律;用函数的观点看一元二次方程等。
2.相应知识所涉及的章节有《整式》、《一元二次方程》等, 相应知识点有:
整式的定义;整式的因式分解;一元二次方程的定义;配方法解一元二次方程;一元二次方程根与系数的关系等。
3.更深入的数学知识有二次函数图象与一元二次不等式之间的关系等。
三、以“点”为据, 编题成网
把所有知识点利用典型题目所给元素, 进行变式训练命题, 这样形成的题目可以把所学知识进行全面的覆盖, 学生可以做一通百, 形成知识体系。
根据相应知识点, 可以编拟下列题目:
1.基础知识部分
(1) 文中提到二次函数, 其中等号后面的式子是整式, 完成下面的知识结构图:
考点:整式有关定义。
(2) 二次函数当y=0时, 得到一元二次方程为, 一元二次方程的一般形式为 () , 注意事项为 () , 解一元二次方程的关键是 () , 根的判别式为 () 。考点:一元二次方程的一般形式, a不为0、降次、根的判别式。
(3) 用配方法解一元二次方程1=0。考点:配方法解一元二次方程。
(4) 二次三项式能否在有理数范围内因式分解?若能分解为 () , 若不能, 你能改变其中的一项使其能够运用完全平方公式分解吗?写出你的式子并写出分解过程: () 你能改变其中的一项使其能够运用平方差公式分解吗?写出你的式子并写出分解过程: () 。考点:完全平方和平方差公式。
(5) 二次函数的图象是 () , 开口方向是 () , 判断依据是 () , 对称轴是 () 。考点:抛物线、抛物线开口判断方法、对称轴。
2.灵活运用部分
(1) 文中提到“二次函数的图象与x轴交于原点O”, 这种关系一定存在么?你能说明是为什么吗?考点:代人检验。
(2) 如果文中提到的两个二次函数有交点, 若是具体的两个二次函数, 用什么方法可以求得近似的交点坐标, 具体的交点坐标呢?考点:图像法、方程组。
的图象可以由的图象怎样平移得到?考点:图象的平移规律。 (4) 有的同学说, 因为二次函数y=x2-2x-1的图象与x轴有两个交点, 交点中点是x=, 二次函数图象是轴对称图形, 所以所有二次函数的对称轴是, 你同意这种看法吗?考点:合理推理验证。
3.能力提高部分
(1) 通过中学阶段的学习, 你认为二次函数的图象与相应的一元二次方程的解之间有什么关系, 能举例说明吗?考点:二次函数的图象与相应的一元二次方程的解之间的关系。
(2) 若a, b是方程的两个根, 不解方程, 求ab (a+b) 的值。考点:根与系数的关系灵活运用。
(3) 完成阅读内容中的两个问题。
四、解决问题, 分析解答
通过复习回顾知识点, 对变式训练产生的题目进行操作解答。
五、回顾思索, 突出重点
例谈课本习题的变式引申 篇7
近年来, 很多高考试题来源于课本的例题和习题, 即“源于教材, 而高于教材”, 所以我们在平时的教学过程中要高度重视教材, 研究教材, 挖掘教材中每一道例题、习题的功能, 通过变式不断引申变式、发散、迁移, 培养学生发散思维能力, 提高分析问题、解决问题的能力.
例1 (人教版第二册 (下B) P21第4题)
如图1所示, 已知平面α//平面β, 点P是平面α, β外一点, 且直线PAB, PCD分别与α, β相交于A, B, C, D, 如果PA=4 cm, AB=5 cm, PC=3 cm, 求PD的长.
解析 ∵平面PAB∩平面α=AC, 平面PAB∩平面β=BD.又平面α∥平面β.
变式 已知平面α//平面β, 点A, C∈α, 点B, D∈β, 直线AB, CD相交于点P, 已知AP=8, BP=9, CD=34, 求CP的长.
解析 此题与上题不同, 没有给出已知图形, 即点P的位置没有确定, 那么点P位置有两种情况, 一种在线段AB上, 一种在线段BA的延长线上, 如图2所示.
①当点P在线段AB上时, 平面PAC∩平面α=AC, 平面PAC∩平面β=BD.又平面α//平面
②当点P在线段BA的延长线上时, 同理可得PC=272.
例2 (人教版第二册 (下B) P38例7)
如图3所示, 已知线段AB在平面α内, 线段AC⊥α, 线段BD⊥AB, 线段DE⊥α, ∠DBE=30°, 如果AB=a, AC=BD=b, 求C, D间的距离.
解析 由AC⊥α, 可知AC⊥AB.由∠DBE=30°可知,
变式 已知长度为a的线段AB在平面α内, 线段AC, BD不在平面α内, 且AC=BD=b, 线段AC⊥α, BD⊥AB, BD与它在α内的射影成30°角, 求C, D间的距离.
解析 此题与上题不同, 没有给出已知图形, 即点D的位置没有确定, 那么点D的位置有两种情况, 一种是与点C在平面α的同侧, 一种是与点C在平面α的异侧, 如图4所示.
①当点D与点C在平面α的同侧时, 同上题
当点D与点C在平面α的异侧时, 用F表示,
例3 (某资料试题) 如图5所示, 四边形ABCD中, AD//BC, AD=AB=1, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°, 将△ABD沿BD折起, 使平面ABD⊥平面BCD, 如图6所示, 求此时AC的长.
解析 ∵由已知可得
变式 如图7所示, 在□ABCD中, AB=AC=1, ∠ACD=90°, 将它沿对角线AC折起, 使AB和CD成60°角, 求B, D间的距离.
解析 将平行四边形沿AC折起, 因为两个向量的夹角与这两个向量所在直线的夹角未必一定相等, 所以使AB和CD成60°角有两种情形, 一种是
①当
②当
由以上三道习题的引申可以发现, 我们在解立体几何问题时, 要跳出定势思维的约束, 要全面分析, 找到所有可能的情况, 避免“对而不全”的错误.
摘要：我们在平时的教学过程中要高度重视教材, 挖掘教材中每一道例题、习题的功能, 通过变式不断引申, 培养学生发散思维能力, 提高分析问题、解决问题的能力.
变式教学设计例谈 篇8
一、借助运动, 拓展思维广度
在教学中可以以基本图形为“基准”, 通过点线的运动、组合将某一问题转换成更一般的问题, 从而开阔学生解决问题的视野, 使思维的多向性得以发展.
例1如图1, 正方形ABCD中, P为BC中点, CF平分正方形ABCD的外角∠DCH, PM⊥AP交CF于M.求证:AP=PM.
变式1如图2, 当P为边B, C间任意一点时, 结论AP=PM仍成立. (提示:作等腰三角形BOP)
变式2如图3, 当P为边BC延长线上任意一点时, 结论AP=PM仍成立.
变式3如图4, 当P为边CB延长线上任意一点时, 结论AP=PM还成立吗?试说明理由.
上述变式通过P点位置的变化, 把已知条件从特殊转化为一般, 从具体转化为抽象, 考验了学生对知识的灵活运用针对同一个知识点, 学生可以通过不同的情境载体来类比变式, 多题一解, 引导学生从问题之间的联系和区别来认识和思考问题, 把握问题的本质, 从而养成良好的思考问题的习惯与解决问题的策略, 实现“牵一发而动全身”的学习效果.
二、更换背景, 训练思维速度
例2如图5, 古罗马有一位将军, 他每天都要从营地A出发, 到河边给马饮水, 再到河岸同侧的指挥所B处开会, 应该沿怎样的路线行走才能使路程最短?
变式1如图6, 正方形ABCD的周长为8, 点E是线段AB的中点, 点P是对角线AC上的一个动点, 求PE+PB的最小值.
变式2如图7, 在反比例函数图像上有两点A (3, 2) , B (6, 1) , 在直线y=-x上有动点P, 若P点的坐标为 (1, -1) 求PA+PB的最小值.
此模型赋予它具体的背景就可以用来解决一系列的问题:变式1把背景改为正方形, 变式2把背景改为反比例函数, 此外, 还可以将背景改成菱形, 矩形、一次函数、二次函数图形……但解题思路都是依据轴对称变换的性质和“两点之间, 线段最短”, 解题的思想是化曲为直.这样学生可以用不大的智力空间存储这一知识技能, 从而快速解决同类数学问题, 可谓是得“意”而忘“形”!
三、纵深挖掘, 培养思维深度
已有的数学知识, 学生如不能把它们根据需要组合起来, 就不可能在问题情境和大脑图式之间建立思维的“超链接”, 就会面临“定理滚瓜烂熟, 解题无能为力”的困境.所以教师应从学生的最近发展区来设计问题, 通过设计循序渐进的问题, 使学生从较容易的问题步入台阶, 在不同层次的问题下, 步步为营, 层层深入, 直逼问题本质.
例3已知:在四边形ABCD中, E, F, G, H依次是AB, BC, CD, DA的中点, 求证:四边形EFGH是平行四边形.
变式1上述题目中添加一个条件, 使四边形EFGH是菱形.
变式2添加一个条件, 使四边形EFGH是矩形.
变式3添加条件, 使四边形EFGH是正方形.
这一题的每一种变式都有多种解决方法, 可以培养学生思维的灵活性和创造性, 各种变式之间又不断扩大问题情境的内涵, 逐步缩小相关概念的外延, 使学生充分掌握四边形这一章的内在联系, 强化特殊四边形的判定定理等知识.
四、全面考虑, 避免负性迁移
心理学上, 把已知知识技能的学习对新知识技能的掌握产生积极的影响作用称为正迁移作用.但是有些知识技能之间却存在此着一些互相干扰的成分, 比如说学会骑自行车的人, 很难学骑三轮车, 那是因为车子的轮子多少不同, 着力方式也应该不同, 技能之间易产生负迁移.
请看上述例2的另一变式:试问, 当P为直线CB上任意一点时, 均有上述AP=PM的结论吗?有了三种情况的讨论, 很多同学会在这时异口同声地说“是”.然而, 这时就值得注意了, 因为从分类讨论的角度来看, P点有五种放置位置, 还可以放到B点与C点的位置.显然这时将无法从图形中画出线段PM, 所以特殊情形下, 容易因得“意”的不足, 而产生对“形”的把握不当.
一般来说, 负迁移是暂时的, 只要教师引导得法, 让学生多熟悉已知定义、定理、概念的适用范围, 多比较前后题目间的异同, 防止以貌取“题”, 及时强化学生缜密的思维习惯和认真的学习态度, 负迁移就会变成理性的求异思维和创造性思维.一言概之, 在变式教学中, 只要让学生及时总结反思, 适时地向大脑的“银行”作适时的思维“存入”, 并牢记提取的“分行”及提取的“密码”, 只要有了解题的“一卡通”, 就可以“走遍天下无敌手了”.
摘要：变换同类几何题的非本质特征以突出其本质特征, 通过“一题多用, 多题化同”的思路, 引导学生从“变化”的现象中发现“不变”的本质, 从“不变”的本质中探究“变化”的规律, 可以顺利实现知识、技能在不同情境下的迁移, 培养思维的深度、广度和速度, 避免思维定式的副作用, 从而实现几何教学最优化.
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