连续性模型（共8篇）
连续性模型 篇1
摘要：针对传统的设计暴雨模拟方法在城市排涝计算中存在的不足,结合滨江平原河网城市化地区河网与管网同时排水的特点,提出了基于SWMM模型的连续模拟的设计方法。采用SWMM模型对某研究区域内的水力要素进行概化,通过输入连续数年的雨量资料,可以输出河道设计断面连续的水位过程,再利用SWMM中的统计模块对连续过程进行分割并统计分析,可以得到河道设计断面的水位频率关系。根据连续模拟得到的水位频率曲线可以求出某一重现期下的设计水位,然后与用实测水位进行频率计算得到的水位进行对比,发现有较好的适用性。这样,在没有实测水位资料的情况下,可以根据连续模拟直接推求满足需要的设计洪水事件。
关键词：连续模拟,SWMM模型,平原河网城市,河道与管道排水
0 引 言
近年来由于受到极端气候频发的影响,城市的内涝问题愈加严重,城市的防洪形势也不容乐观,做好城市的防洪排涝规划至关重要[1]。滨江平原河网城市化地区,人口众多、经济发达,同时排水管网复杂,河湖密布,地势较低,不易积水的排出,且河道水位过高时会对管道排水会产生顶托作用,更易遭受洪涝灾害[2]。
我国常用一些水文模型来分析降雨对城市径流的影响[3]。目前比较常用的有SWMM模型[4]。该模型可进行单次模拟和连续模拟,单次模拟的设计洪水计算是利用设计暴雨直接推求设计洪水,这一方法直接将设计暴雨的重现期转换成设计洪水的重现期,也就是常说的雨洪同频假设,但是并未有人对这一假设进行严格的论证。而刘俊[5]等用连续模拟的方法对城市洪涝问题进行研究,但仅对流量过程进行了模拟与分析,未考虑管道排水对河道排水的影响,而管道排水对河道排水影响较大,平原河网地区由于河流流向忽左忽右,河流流量不稳定,故大都使用设计水位作为防洪排涝规划的依据。
因此,本文结合平原河网城市化地区的特点,采用SWMM模型对研究区域内水文水力要素进行概化,通过输入连续5年的降雨资料、蒸发资料及其他相关资料,进行产汇流的连续模拟,对连续结果进行统计分析,得到河道设计断面水位的实际频率值,为城市制定排涝规划提供了参考。
1 SWMM模型及连续模拟
SWMM模型提供三种计算方程:恒定流法、运动波法、动力波法,本次计算选用的是连续5年的降雨资料,属于长系列雨量资料,运行的时间步长选取为5min,为了得到较为稳定的结果,故采用运动波法进行运算。SWMM在应用于连续模拟时主要分为产汇流模块和统计模块,产汇流模块负责模拟地面产流和坡面汇流过程、排水管网与河网汇流过程;统计模块则提供一个交互统计查询工具,可对连续模拟产生的大量输出进行精确的统计与分析。该模型已在我国天津、上海、苏南等地区进行了试用并获得了成功[6,7,8]。
2 应用实例
2.1 研究区概况及洪涝特性
研究区域位于长江下游西南岸,江苏省东南部,长江三角洲地区的某市,经济发达,河网纵横,属于典型 的平原河 网地区。区域内地形总体上是南高北低,高程在5.0~7.0m之间,河流基本靠自流排水,研究范围内无泵站和水闸。该区域地处亚热带南部季风气候区,四季分明,雨水充沛,气候温和,日照充足,年平均降水量约1 000 mm左右,雨水集中 在4-9月。研究区域总面积9.1km2,属于副城区的一部分,其中商业用地占16.3%、居住用地占41.2%、工业用地占12.5%、公园绿地占9.8%、水域占8.9%、道路用地占11.3%、。研究区域内主要有9条河道,河流主要 自南向北 排水,汇入横河1后排入长江。
研究区域下垫面的透水性面积由于城市的快速发展而减少,导致径流路径缩短,减少了汇流时间,易形成内涝;该区域管道众多,管道排水与河道排水相结合,同时该区域洪涝灾害的发生受地区前期水位影响明显,而该区域雨量多集中于每年5-9月份的汛期,其中长历时的梅雨对前期水位有较大影响。鉴此,采用基于SWMM模型的连续模拟对该区域防洪排涝问题进行研究。
2.2 研究区域概化
由于研究区域属于典型的平原河网城市地区,SWMM模型完全适用于该地区,研究区域内管道与河道同时排水,在模型概化计算时重点考虑了河道排水与管道排水的耦合。在综合考虑下垫面土地利 用、雨水管道 和河道的 集水范围 的情况下,进行子汇水区域的划分,共划分为246个子汇水区域。根据研究区域水利工程布局和河网水力特性,共概化72条河段,63个河道节点,171条雨水管道,166个检查井。根据研究区域水系、地势等因 素共概化4个外河排 水口。外河排水 口的水位、流量资料由流域防洪 计算结果 得出。研究区域 概化图见图1。
2.3 主要参数
(1)不透水面积比。SWMM模型中不透水面积是指直接排向雨水输送系统的不透水面积。本次研究根据研究区域的城市总体规划确定子汇水区的不透水面积比。
(2)子汇水区漫流宽度。子汇水区漫流宽度W通过子汇水区面积除以平均最大地表漫流长度给出。子汇水区漫流宽度W是非常重要的地表汇流参数,当子汇水区坡度和糙率一定时,其出流量大小取决于W 。从而子流域漫流宽度改变时,子流域的出流过程也会随之改变。模型根据子流域的形状以及该子流域中排水干管的长度确定漫流宽度[9]。
(3)下渗参数。模型采用Horton经验公式计算下渗,包括最大下渗率、最小下渗率及衰减系数三个参数,根据研究区域的土地类型、土壤类别等因素分别确定,研究区域最大下渗率取18.23mm/h,稳定下渗率取1.31mm/h,衰减常数取3h-1。
(4)洼蓄。洼蓄表示初始损失,包括地表润湿、屋顶和洼地积水、植被截留 等。 不透水区 洼蓄取2 mm;透水洼蓄 取10mm。
(5)管渠参数。本次研究中管渠系统包括管道和河道两种形式。管道糙率依据排水规划取0.013,河道糙率取0.02。河道断面按边坡坡度外延,进行归槽计算。
(6)最小间歇期MIT。是判断一次洪水能否看成两场独立洪水事件的关键参数。MIT通常取6~22h,本次模拟时取为12h。
(7)基水位BASE。在利用统计模块对输出的连续水位过程进行分析时,由于连续模拟的结果输出多,故只有大于或等于BASE的水位才被看做有效水位,其他的则不做分析。本次模拟时,根据研究 区域的产 汇流特征,河道的BASE值取为3.52m。
2.4 计算工况
(1)实际降雨过程。本次模拟选取 的是2007-2011年连续5年当地的逐时降雨资料,降雨过程见图2。
(2)蒸发数据。本次模拟的蒸发过程选用与降雨资料同一系列的水文观测站的数据,对2007-2011年连续5年内的蒸发过程进行统计分析,得出日平均蒸发量(mm/d)。蒸发过程见表1。
(3)边界条件。本次模拟 选取的是 某城市副 城区的一 部分,故边界是外河水位,外河水位采用研究区域所在流域的设计洪水位。
(4)计算结果合理性分析。选取2007-2011年之间的 一场实测降雨和各参数输入SWMM模型。运行模型得出各设计断面水位过程,选择一个断面(断面1)与该断面实测水位过程进行对比分析,见图3。设计断面模型运算结果的峰值与实测水位出现峰值时间一致,水位高低相差不大,后期水位变化趋势基本一致,可以认定模型计算结果基本合理。
3 计算结果及分析
3.1 径流模块的输出
研究区域属于长江三角洲地区,经济发达,河网纵横,汛期河道可能面临排涝能力不足的问题,故选择纵河3上的一个河道断面(断面2)来分析。模型输出结果的时间步长选取为1h,断面2的水位模拟结果见图4。
mm/d
3.2 统计模块的输出
根据MIT和BASE值,对以上设计断面(断面2)的水位过程线进行分割,从5年的连续模拟过程中分割出来30个独立的洪水事件,并对之进行统计分析,为方便后续分析,对事件进行编号,峰值重现期和各阶矩见表2。
注:M=3.63m,变差系数Cv=0.03,偏态系数Cs=0.43。
在表2中,计算重现期的方法如下:本次模拟时段内的月份数Z=60。于是,重现期(以月份数表示)为T=(Z+1)/M式中M为给定事件的排位(以降序排列),将30次事件从大到小排列,并计算出各参数的重现期和各阶矩,这一方法在国外的城市雨洪模拟中运用的比较多,而我国目前主要还是利用设计暴雨推求设计洪水。
现在有了连续模拟得到的连续过程,并对之进行统计分析后,就可以直接查表确定某一重现期的设计洪水位,如6个月一遇(半年一遇),则可近似看做事件39936,设计洪水位为3.66m,这样,就不必先推求半年一 遇设计暴 雨再假设 雨洪同频 来推求半年一遇的设计洪水位了。或者为了得到更加准确的结果,可以先取跟设计的重现期最近的重现期的事件,用倍比法对其进行缩放,比如推求 一年一遇 的设计水 位,先找到事 件39625,再用倍比因子乘上事件39625的水位,其中倍比因子r= T/Tc,T为设计重现期,Tc为查表得出的最接近的重现期,这里r=T/Tc=12/12.2=0.98,便可得到 一年一遇 的设计洪水位。有了河道断面的设计水位,就可以为研究区域排水管网布置、水利工程布置等提供依据。
为了验证该成果的可靠性,对该断面2007-2011年之间的实测逐时水位(无工程调度情况)做相同的统计分析,得到半年一遇、1年一遇、2年一遇、5年一遇的设计洪水位,并与连续模拟的结果进行对比,见表3。
m
由表3可知,连续模拟的成果在低重现期时有较好的适用性,由于城市化地区水位受工程调度影响较大,水位资料缺乏一致性,而降雨则一致性较好,故该方法可在无实测水位资料或水位资料一致性遭破坏的城市地区应用。
4 结 语
(1)本文重点考虑了研究区域城市排水系统的复杂性,采用基于SWMM模型的连续 模拟的方 法对该地 区进行雨 洪模拟,避免了雨洪同频假设带来的问题,在该区域有比较好的适用性。
(2)本次模拟选用了2007-2011年的5年内的逐 时雨量资料,资料系列长度较短,仅能推求出低重现期下的设计水位,而平原河网城市地区 防洪排涝 规划主要 考虑设计 水位,经验证,该方法在低重现期下适用性较好。
连续性模型 篇2
关键词：桥梁工程；模型修正；实数编码加速遗传算法；预应力混凝土连续梁桥；环境激励模态试验；动力特性
中图分类号：TU3113文献标志码：A文章编号：1674-4764（2012）06-0032-07
在《不中断交通的梁式桥梁试验及状态评定方法的研究》这一项目的研究过程中，以桥梁承载力的快速评定为目标，项目组提出了基于运行模态分析的模态挠度法［1］。该方法应用于桥梁承载力评定时，首先需对试验模态振型质量归一化。为此项目组提出了基于有限元模型的质量归一化法。因此，为了模态挠度法有效和可靠应用于桥梁承载力评定，需建立桥梁较精确的有限元模型。
预应力混凝土连续梁桥，具有结构刚度大、变形小、整体性能和抗震性能好，特别是主梁变形挠曲线平缓，桥面伸缩缝少，行车舒适等优点，在桥梁工程中得到广泛采用。针对该类桥型的健康检测、状态评估与维修加固等任务，若能建立基本准确反映其实际动力行为的有限元模型，无疑具有重要意义。然而，对于桥梁有限元模型，其建模过程中会引入各种假设和简化，同时存在诸多不确定因素，都会导致与真实模型间存在误差，因此，须对它进行修正。
模型修正对象常分为结构的质量阵与刚度阵、物理和几何等设计参数，后者的物理意义明确，更具工程应用价值。频率、振型、反共振频率和振型相关系数等模态数据常用于模型修正。根据问题的需要，许多研究者［2-7］采用了不同的模态数据。目前对于模型修正的方法，主要有基于统计分析技术［8］、灵敏度分析［9］、微粒群算法［10］、神经网络［11］和遗传算法［12］等优化算法。遗传算法，作为一种高度并行、随机和自适应搜索算法，特别适用于有限元模型修正这类复杂非线性优化问题。
本文以张家港河大桥为对象，构造有限元模型的2个评价指标：频率和振型相关系数，由此定义目标函数，采用该桥环境激励模态试验的结果，基于实数编码加速遗传算法对有限元模型进行修正，并对修正后有限元模型的预测能力进行评估，由此探讨预应力连续箱梁桥的动力有限元模型修正问题。林贤坤，等：预应力连续箱梁桥的动力有限元模型修正1张家港河大桥简介
连续时段演算的模型检验 篇3
随着计算机技术的飞速发展, 软件系统日趋复杂, 计算机系统的规模和复杂性与日俱增, 系统潜在的任何问题都可能引发严重的后果。因此, 如何在系统开发早期阶段验证设计的正确性和可靠性, 成为软件工程领域研究的重点课题。形式化方法 (Formal Method) 是一种用于提高系统可靠性和安全性的重要方法。模型检验 (Model Checking) [1]是形式化方法的重要组成部分, 它是一种自动验证有穷状态系统的技术。时段演算 (Duration Calculus) [2]是一种区间时态逻辑, 用于表示系统在区间上的性质。线性时段不变式和扩展线性时段不变式都是重要的时段演算表达式。
本文提出了一种针对连续时态语义下由扩展线性时段不变式描述的系统性质的模型检验方法。该方法主要基于模型检验工具UPPAAL完成。主要思想是将连续语义下的时段演算的模型检验转化为离散语义下的模型检验, 基于离散语义下的时段演算方法[3], 对其进行转化和改造, 形成连续时段演算的模型检验方法。
2 基础理论
2.1 时段演算
时段演算是一种区间时序逻辑, 它将布尔函数在区间上的积分进行形式化, 用来表述和推理实时系统的定量性质。线性时段不变式是一类重要的时段演算公式, 实时系统中的许多安全性质都可以用线性时段不变式进行规约。而扩展的线性时段不变式是对于线性时段不变式的扩展, 它是更具有表达力的时段演算公式, 因此本文主要以扩展线性时段不变式为研究对象进行论述。
2.2 扩展线性时段不变式
扩展线性时段不变式 (Extended Linear Duration Invariants, ELDI) [4]是对普通线性时段不变式在切变 (chop, 符号;) 语义上扩展形成的, 形如, 它表示从初始时间0时刻开始, 对系统进行观测, 当观测时长∫l在[t, T]区间内时, 要求系统处于某个状态s的累积时间长度∫s满足, 其中t、T、M、c为实数, s为系统状态, 则该系统满足性质ϕ。Pro Cos项目中的一个著名研究实例就是对煤气燃烧器的需求进行形式化表述, 比如对于需求:“如果对煤气燃烧器的观察时长l大于等于60秒, 则燃气泄露时长不会超过整个观察时长的二十分之一”, 即可使用ELDI来形式化地规约:l≥60⇒19∫Leak-∫No Leak≤0这里的Leak是一个布尔函数, 它表示煤气燃烧器是否处于漏气状态。注意, 这里对该煤气燃烧器的观察是一个封闭区间。
此外, 还有一种经过chop (;) 语义扩展的ELDI, 形如对于chop语义的理解如下，即在观测时段[t1, t2]范围内, 存在一个点m使得性质在[t1, m]的时段内成立, 而性质在[m, t2]的时段内成立, 如图1所示。
2.3 时间自动机
时间自动机 (Timed Automata) [5]理论是实时系统最常用的表示模型, 它所建立的模型用于描述时间系统的行为, 它作为有限时间自动机的时间扩展, 在其基础上增加了时间变量和约束条件。时间自动机使用有限数量的变量来表示时间, 称为时间变量;同时用一个约束条件来注释状态转换图, 用于决定状态转换发生的时间限制, 也称为时间约束。对于具有时间行为的系统, 如实时系统等, 时间自动机可被用来对其行为进行建模和分析, 进一步检验系统的性质。
在对时间自动机进行性质规约的模型检验时, 有时会引入离散时间语义作为背景, 表示验证过程只考虑该时间自动机的整数行为, 简称为离散时间自动机;相反, 连续时间语义下的验证过程中, 我们简称时间自动机为连续时间自动机。
时间自动机从一个状态到另一个状态的转换称为迁移。模型检验通过时间自动机的迁移路径对验证性质的满足性进行判定, 对于时间自动机A, 满足ELDI性质ϕ的条件是A的所有迁移路径{P}A满足ϕ, 即。对于任意不满足性质ϕ的自动机A, 能且至少能够找到一条Pi∈{P}A不满足待检验性质。
3 时段演算的模型检验
对于时间自动机A, 其模型检验的步骤如下:
1) 找出时间自动机A在检验时间区间[t, T]的所有运行路径{P}A;
2) 对于形如, 其中, 确定检验范围内潜在的切变点;
3) 对于任意一条迁移路径, 计算潜在切变点下的可能取值组合, 满足所有di≤Mi的切变点即为有效切变点;
4) 讨论有效切变点下{P}A内所有迁移路径, 若所有路径都满足性质ϕ, 则表明该自动机A能够找到满足性质的切变点, 即自动机A满足性质ϕ。
现给出待检验的自动机A及ELDI性质ϕ, 具体说明检验过程:
ELDI性质ϕ:
该性质表示, 从任意时刻为初始时刻对系统进行观测, 当观测时长为2时, 要求寻找到一时间点, 使得[t1, m]时段内系统满足;而[m, t2]时段内满足, 其中|t2-t1|=2。以初始观测时刻为0为例, 在观测时长为2的情况下, 能够找到的离散切变点可能有3个, 0, 1和2, 而可能的连续切变点则为无数个。
在图2所示的自动机A中, 在时钟变量为整数的前提下, 从0时刻开始的离散运行有路径3条, 分别为P1 (0) →P1 (1) →P1 (2) , P1 (0) →P1 (1) →P2 (2) 和P1 (0) →P2 (1) →P2 (2) , 分别表示自动机在0, 1, 2这3个离散时刻所处的状态, ;而从其他离散时刻开始的运行路径则有无数条, 这里称离散时钟变量下的运行路径为离散路径。相反, 考虑时钟变量为连续值的情况, 则观测时间可从任意连续时刻开始, 有无数条路径, 从0时刻开始的连续路径也可能有无数条, 如P1 (0) →P2 (1.3) →P2 (2) 。
对于带切变语义的ELDI性质的模型检验方法如下:对于a≤l≤b D1;D2, 分别声明d1, d2两个变量代表D1和D2的积分和, 即对于上述ELDI性质ϕ, 有d1=2 (∫P1+∫P2) 。检验观测时长内所有可能的点是否为潜在的切变点, 为对于任意可能的切变点, 计算其在所有路径下是否满足d1≤M1, d2≤M2。
首先针对离散语义进行模型检验:
假设切变点为0, 对于某条路径:P1 (0) →P1 (1) →P2 (2) , 计算可得d1=0≤3, d2=4≥1, 所以0时刻不是满足性质的切变点, 无须继续检验该切变点下的其他路径;假设切变点为1, 对于路径:P1 (0) →P1 (1) →P2 (2) , 计算可得d1=2≤3, d2=2>1, 所以1时刻不是满足性质的切变点, 无须继续检验该切变点下的其他路径;假设切变点为2, 对于路径:P1 (0) →P1 (1) →P2 (2) , 计算可得d1=4>3, d2=0≤1, 所以2时刻不是满足性质的切变点, 无须继续检验;假设切变点为3, 对于路径:P1 (2) →P2 (3) →P2 (4) , 计算可得d1=2≤3, d2=2>1, 所以3时刻不是满足性质的切变点, 无须继续检验;对于时刻大于3的切变点, 分析可知该自动机将一直驻留在P2状态中, 无法满足性质。
因此可以得出结论, 在离散语义下, 该自动机不满足性质, 即A⊮ϕ。
然而对于实际运行状态下的系统, 时间并非简单的离散值, 更有可能是连续值, 因此对于离散语义下的模型检验结果并不能完全代表系统的检验结果, 对于连续语义下的模型检验更有必要。
在连续语义下, 自动机的时钟变量和迁移时刻均有可能是连续值, 而切变点也可能是连续值, 因此首先定性地分析离散之间自动机对连续ELDI性质的模型检验, 即是否能够找到连续的切变点, 使得所有离散的迁移路径能够满足性质。
由于模型检验工具仅支持时间约束和时间变量为整数的检验, 通过离散化和微积分的思想可以用有限的若干离散值表示无限的连续值的情况, 具体可以改变时间自动机中的时间约束和ELDI的系数, 改造出若干连续点。
以上述检验过程为例, 通过将时间自动机的所有时间约束扩大3倍, 同时ELDI中的观测时长也变为3倍, 即可得到单位为原自动机1/3长度的迁移路径, 如一条路径:p1 (0) →p2 (1) →p2 (2) , 其时间约束都乘以3倍后得到的迁移路径长度为6, 对应的该路径可能变为:p1 (0) →p2 (3) →p2 (6) 。由于此时该路径的时长为6, 对于该自动机则产生了新的路径, 如p1 (0) →p2 (2) →p2 (6) , 不难理解该条路径等价于原来的。同时由于观测时长也扩大了3倍, 在给定的观测时长为6的情况下, 则产生了多个连续的切变点。通过这种方式可以讨论一些连续迁移路径和连续切变点的情况。
假设将时间自动机A的时钟变量扩大2倍, ELDI性质ϕ扩大2倍, 转换为:。由于0, 2, 4…等时刻的切变点经离散语义下的检验已验证为非切变点, 因此下面只考虑其他离散点。假设切变点为1, 对于某条路径:P1 (0) →P1 (1) →P1 (2) →P1 (3) →P2 (4) , 计算可得d1=2≤6, d2=6>2, 所以1时刻不是满足性质的切变点, 无须继续检验该切变点下的其他路径;假设切变点为3, 对于路径:P1 (0) →P1 (1) →P1 (2) →P1 (3) →P2 (4) , 计算可得d1=6≤6, d2=2≤2, 继续计算当前切变点下的其他路径, 计算情况如下表:
根据计算, 在此情况下, 起始时刻3个时间单位后的点为切变点, 此时所有路径均满足该切变点, 即存在实际切变点1.5, 使得该自动机满足ELDI性质
因此, 在该计算方法下, 能够找到使得系统满足的连续切变点, 即实验证明:A⊨ϕ。
4 实验分析与结论
在实验中, 我们发现该方法能够解决一部分连续时段演算的模型检验要求, 对单切变点和多切变点情况均适用, 并得出较离散语义下更为准确的检验结果, 为一部分离散模型检验下不满足的系统找到能够满足性质的连续切变点。然而对于另一部分仍无法找到连续切变点的时间自动机, 需要进行严格的语义规约及定性检验, 仅对一部分单切变点的模型检验找到连续迁移路径下的离散规约方法, 并进行检验。
从实际工程应用的角度来说, 连续时段演算下的模型检验在工程上具有重要的意义。它保证了实际应用中相关具有连续性的机械设备、通信协议等系统在时间规约性质上的准确性和可靠性, 对验证具有连续时间意义的性质的系统验证研究具有实际意义。
参考文献
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连续性模型 篇4
热镀锌板主要应用于建筑、汽车和家电行业,是最近十几年发展最快的钢材品种之一。热镀锌镀层厚度控制工艺经历了从手工沾镀法到辊涂法再到吹气法的发展过程,目前气刀在镀锌过程中是控制镀层厚度和均匀度的关键设备。带钢从锌锅中拉出后,利用高速气流的冲击作用将黏附在带钢表面的多余锌液刮回锌锅。影响最终锌层厚度的主要因素有带钢速度us、进气压力p0、气刀距带钢距离Z、刀唇间隙D以及锌液物性等参数,而这些因素对锌层厚度的影响是复杂的、非线性的。
目前国内对气刀的研究主要集中在锌层控制策略以及控制系统结构,而关于锌层厚度数学模型的文献相对较少。国外这方面的研究最早可追溯到Thorton[1]的理论工作,Thorton假设锌层厚度只与气刀作用于带钢表面正压力相关,基于“极大流量”原则推导了锌层厚度计算模型。随后Ellen等[2]在Thorton的基础上考虑了气流切应力的影响,模型计算值与实测数据更加吻合,但模型中压力场的计算很大程度上依赖于经验公式。为了进一步提高锌层厚度计算精度,目前的研究主要集中在带钢表面压力场的计算,以获得更为准确的正压力、切应力分布。Delphine等[3]采用数值方法对气流刮锌过程进行了模拟,同时考虑了锌液和气体的流动,探讨了气流稳定性等方面的问题。Aha等[4]对刮锌过程气体三维流动情况进行了数值模拟,计算了射流压力沿带钢宽度方向的分布,着重研究了带钢边部流场,对带钢边部过渡锌的原因进行了探讨。
本文在Ellen等[2]对锌层厚度解析机理建模的基础上结合数值模拟结果,并以宝钢1550热镀锌机组为验证应用对象,建立了带钢连续热镀锌层厚度预测模型,并对气刀的控制性能进行了研究。锌层厚度预测模型求解策略是:首先应用数值模拟方法,回归分析带钢表面压力与气刀工艺参数、结构参数间关系,然后以此压力分布为边界解析计算最终锌层厚度。这种解析与数值模拟相结合的方法也可以更加灵活地应用于不同的气刀结构和形式。
1 锌层厚度解析计算
对气流刮锌过程物理模型进行合理简化[2],建立的二维流动力学模型如图1所示。模型中忽略带钢表面粗糙度、表面张力、合金化层和氧化影响;忽略带钢基层与锌液接触面的打滑;由于锌液垂直带钢表面方向y的速度远小于锌液沿带钢运行方向x的速度,假设沿锌液厚度方向的压力不变。
锌液二维边界层流动运动方程为
式中,u为锌液速度;p为冲击气流在锌液上的气压;μ为锌液动力黏度;ρ为锌液密度;g为重力加速度。
锌液与气体分界面处边界条件可表述为
式中,us为带钢速度;t为锌层厚度;τ为切应力。
对式(1)积分,并引入边界条件式(2)可得到锌液速度:
由式(3)可得到锌液秒流量:
引入量纲一数
根据Thorton[1]的研究,现实过程中满足流量极大原则dQ/dt=0,得到量纲一锌层厚度:
到此,只需获得带钢表面压力分布即可由式(6)方便的计算出最终锌层厚度。下面借助于数值模拟方法来获得带钢表面正应力、切应力分布。
2 数值模拟研究
2.1 模型简化与工况设计
由于从气刀喷射出气流速度很高,马赫数达0.3~0.6,属于二维稳态、可压缩紊流问题,故选用可实现k-ε模型。运用FLUENT流体力学仿真软件,考虑进气压力、气刀距带钢距离以及刀唇间隙等因素的影响,将气刀物理对象抽象为图2所示数值计算模型。模型中忽略温度对气流的影响;忽略气室中气流压力损失;忽略气流横向效应,简化为平面对称模型。
在气刀入口施加压力入口边界(pressure-inlet);气刀上方施加压力出口边界(pressure-outlet);带钢表面、气刀壁面以及锌锅表面施加壁面边界(wall),并采用非平衡壁面函数法(non-equilibrium wall function)。离散化方式中,压力-速度耦合采用SIMPLE算法,压力、动量方程、k方程和ε方程均采用二阶迎风格式。
模型中考虑气刀进气压力p0、刀唇距带钢表面距离Z以及气刀刀唇间隙D的变化对气流场的影响。参考宝钢1550热镀锌机组气刀结构及工艺参数,取表1所示计算工况,分别计算进气压力对气流场影响规律,刀唇距带钢距离对气流场影响规律和刀唇间隙对气流场影响规律。
2.2 仿真计算结果分析
图3、图4所示为典型工况下带钢表面正压力和切应力分布。另外根据射流力学经典理论[5,6,7]可将正压力分布形式表述为高斯函数:
p=pmaxe-0.693ξ2 (7)
ξ=x/b
式中,pmax为正压力峰值;p为带钢表面正压力;x为沿带钢长度方向坐标;b为压力半值宽。
同理,切应力的分布形式可以表述为
τ=τmax[erf(0.833ξ)-0.2ξe-0.693ξ2] (8)
式中,τmax为切应力最大值;erf为误差函数。
从图3、图4可以看出,上述公式可以准确地描述带钢表面压力的分布形式,即只需得到带钢表面正压力峰值pmax、正压力半值宽b和和切应力峰值τmax等特征参数则可由式(7)、式(8)计算带钢表面正压力和切应力。这样就可借助数值模拟方法对特定结构气刀锌层厚度计算模型和锌层厚度控制性能进行研究。
根据表1所设计工况进行仿真计算。对仿真计算结果进行回归分析得到正压力峰值、压力半值宽和切应力峰值与工艺参数间数学关系式。正压力峰值pmax回归模型为
压力半值宽b和切应力峰值τmax回归模型为
对上述回归模型进行误差分析有:正压力峰值pmax回归误差为±3.9%,回归系数平方值R2=0.998;半值宽b回归误差为±5.2%,R2=0.983;切应力峰值τmax回归误差为±7%,R2=0.981。满足工程应用需求。
3 锌层厚度计算结果
综合解析计算和数值模拟结果,则可得到带钢连续热镀的锌层厚度预测模型,为研究气刀锌层厚度控制性能和离线的工艺优化提供了基础,并针对宝钢1550热镀锌机组的有关数据进行实际建模和应用研究。图5所示为锌层厚度随气刀进气压力变化规律。锌层厚度随进气压力增大而减小,且随压力的增大斜率逐渐减小,即增大气刀压力有助于抑制气流压力波动带来的干扰,提高锌层厚度稳定性。图6所示为锌层厚度随Z/D变化规律,锌层厚度随Z/D增大而增大。当Z/D<8时,Z/D变化对锌层厚度影响较小,而当Z/D>8时,Z/D变化对锌层厚度影响显著。出现这种分段性差别的原因是:当Z/D较小时,高速气流在冲击锌液前还未充分发展,随着Z/D的增大流场完全发展,带钢表面的压力也随之衰减。因此为提高锌层厚度稳定性,在气刀使用工艺中应当避开Z/D=8这一临界区域,同时为抑制带钢抖动对锌层厚度的影响,应尽量保证气刀距带钢表面距离处于Z/D<8这一区域。
图7所示为锌层厚度随带钢速度变化规律,锌层厚度随带钢速度增大而增大。现代热镀锌生产工艺往往是在保证基板耐腐蚀性能要求的前提下,提高锌液的利用率,这就需要降低镀锌层重量,而这又与提高机组速度(高生产效率)相矛盾。这对气刀锌层厚度控制能力和控制精度都提出了更高的要求,也是目前先进气刀的发展趋势之一。
为进一步验证模型的计算精度,取1550热镀锌机组90卷带钢的工艺参数进行计算,并与实测值进行了对比。由图8可见模型计算值与实测值比较接近,误差保持在13%以内,证明本文模型可用于气刀锌层厚度控制的预设定计算。
()()
4 结论
本文基于解析机理建模与数值模拟相结合的方法,建立了带钢热浸锌锌层厚度预测模型,模型中考虑气刀进气压力、气刀距带钢距离、刀唇开口度、带钢速度以及锌液物性等工艺参数。模型计算值与现场实测值比较接近,误差不超过13%,可用于在线锌层厚度的预设定。
结果表明,在气刀使用工艺中增加气流压力、减小气刀距带钢距离更有利于锌层厚度的稳定。
参考文献
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[6]Sang J K.Numerical Analysis of Edge Over-coat-ing in Continuous Hot-dip Galvanizing[J].ISIJInternational,2003,43(10):1495-1501.
连续性模型 篇5
沙银沟大桥为上瑞线贵州镇胜公路第十一合同段上一座弯连续刚构桥。该桥主跨径120m,平曲线半径620m,主墩高80m。上部为变截面单箱单室形式,箱内设置纵、横、竖三向预应力;下部为双薄壁实心墩,桩基础。上部箱梁采用悬臂浇筑施工方法;下部薄壁墩采用翻模施工方法。沙银沟大桥桥型布置如图1所示。
该桥桥址处平均风速15m/s左右,最大瞬时风力达32.7m/s。年平均气温为16.2℃。最冷月1月平均6.5℃,最热月7月平均23.6℃。桥位区山体呈东西向连绵起伏,沟谷深切。左岸地形较陡,为逆向坡,右岸较缓,为顺向坡,河谷呈“V”型。沙银沟大桥即位于右岸沙银沟地带。该桥位区位于罗秧河向斜的北翼近轴部,岩层呈单斜产出,顺向坡。受其构造影响,桥区陡倾节理裂隙发育,表层岩体受到地形节理、裂隙切割、破坏,岩体完整性较差。大桥所经地段无断层通过,地质构造较简单。
设计荷载:汽车—超20级,挂车—120。
设计车速:80km/h。
桥面宽度:0.5m(防撞护栏)+11.0m(车行道)+1.5m(中央分隔带)+11.0m(车行道)+0.5m(防撞护栏)=24.5m。
地震裂度:基本裂度为Ⅵ度,按Ⅶ度设防。
桥面纵坡:本桥全桥位于竖曲线上。
设计合拢温度:10～15℃。计算时按均匀温变±12℃,桥面板升温和降温按英国规范《BS5400》(1982)设置。
本文利用BridgeKF系统建立了本桥在施工阶段的仿真分析模型。依据设计图纸及实际施工过程,借助BridgeKF系统结构分析软件建立该大跨度预应力混凝土连续刚构桥的空间计算模型。空间仿真分析计算模型立面图和平面图见图2和图3。
该桥有限元模型主要包括主梁、桥墩、预应力钢筋几个部分。用BridgeKF系统建立有限元模型:
(l)模型长度单位为m,力的单位t,温度单位℃,其它单位均由以上单位换算而得。
(2)主梁、桥墩采用空间实体单元,预应力筋用预应力钢束模拟,将主梁两端模拟为具有竖向约束的铰支座,两中墩与主梁刚结。
(3)全桥模型分为61个阶段,313个截面,每个截面96个节点。
本计算严格按照施工过程进行,每个阶段结果都是前面阶段的效应累计值。列出最大悬臂阶段、成桥阶段和使用阶段两个阶段的计算结果。最大悬臂阶段的荷载组合有箱梁自重、预应力、挂蓝自重及施工荷载;成桥阶段的计算荷载组合有二期荷载、箱梁自重、预应力、挂蓝自重。
1 最大悬臂阶段主梁荷载效应
1.1 主梁内力
根据图4和图5、图6可知:
(1)图4中刚构桥在墩顶左右两侧的根部处的弯矩出现尖峰,根部的弯矩最大。
(2)在图6中,最大悬臂阶段主梁的扭矩与弯矩的比值在接近墩顶位置(距离8m位置)逐渐增大,最大的接近100%,说明主粱扭矩在设计和计算中都是不能忽略的。
(3)在最大悬臂阶段,主梁的弯矩和扭矩都是墩顶附近大,悬臂端小,因此在现场施工中要特别注重墩顶及两侧的施工质量。
1.2 主梁位移
根据图7和图8可知:
(1)最大悬臂阶段主梁的最大径向位移出现在墩顶附近,最大值为1.17cm。悬臂端的最大径向位移为0.00072cm。
(2)最大悬臂阶段主梁的最大竖向位移都在悬臂端部附近,最大值为1.31cm。
2 成桥阶段荷载效应
2.1 主梁内力
根据表9和图10可知:
(1)成桥阶段主梁纵向弯矩不再是墩顶附近最大,而是出现在跨中1/4处。
(2)成桥阶段主梁最大扭矩还是在墩顶两侧,数值较最大悬臂阶段要小许多,但仍考虑。
2.2 主梁位移
根据图11和图12可知:
(1)成桥阶段主梁的最大径向位移出现在墩顶附近,最大值为1.05cm,比最大悬臂阶段减小了一些。
(2)成桥阶段主梁的最大竖向位移在中跨合拢处,最大值为0.93cm,边跨合拢处最大值为0.4cm。
摘要：利用BridgeKF系统建立大跨径弯连续刚构桥在施工阶段的仿真分析模型,分析了最大悬臂阶段和成桥阶段主梁荷载效应,并得出一些规律和结论。
连续性模型 篇6
目前，关于库存问题的研究一般采用随机理论处理不确定性因素(如外部需求、市场价格等)，即通过对积累的历史资料进行分析来预测数据服从何种概率分布，进而建立随机库存模型。然而，随着生产运营过程日益复杂，市场的瞬息万变，产品生命周期越来越短，获得精确历史统计数据变得很难，人们只能在收集各种信息的基础上用“模糊语言”来表述不确定性问题[1]。为处理这些不确定的模糊情况，1960年代由美国控制论专家L.A.Zadeh提出的模糊理论提供了良好的解决方法。
近年来，模糊数学的理论和方法已在库存管理中获得了广泛应用。具体研究如下：Chih Hsum Hsieh等对模糊生产库存模型的优化做了研究[1];Petrovic等建立报童问题的模糊数学模型，并给出模型求解方法[2];周威等建立具有模糊缺陷率和模糊订货费用的库存模型，利用Signed距离法对模型目标进行解析[3];代颖等建立具有提前期内模糊需求的(Q,r)库存模型，并利用重心法去模糊化求出最优解[4];赵明等假设全部生产要素为模糊数的生产-库存模型，并用Lagrange乘子法与反正法相结合，给出模型最优解的求解过程[5];傅玉颖等建立允许适度缺货的多模糊参数单库存管理问题的模糊数学模型，并利用梯级平均综合表示法解进行模糊模型优化求解[6]。文献[1,2,3,4]在研究库存问题时，均建立相对应的模糊库存模型并进行优化求解，但只考虑了单一模糊参量的不确定因素;文献[5,6]虽然考虑了多模糊参量的不确定因素，但并不是对连续盘点库存策略进行研究。基于上述研究分析，本文根据连续盘点库存策略的特征，考虑多模糊参量的库存成本模型，求出最优订货批量和最佳订货点，使总库存成本最小。
2 模糊数学相关理论
根据隶属函数的分布不同，不确定情况下的模糊数有多种形式，用模糊数学去处理带有模糊性的问题时，选择适当的模糊分布函数是很重要的，如选择不当，则会远离实际情况，从而影响效果。在库存问题研究中常用的是三角形或四边形[1]如图1所示。设参量X可能取值范围为[x0,xn]，且xi∈[x0,xn]，i=0,1,2，…，n，该参量可以用模糊数来表示，如：三角形模糊数X軒=(x1,x2,x3)或四边形模糊数X軒=(x1,x2,x3,x4)。
以上模糊集的隶属函数分别为[7]：
设两四边形模糊数分别为且a1、a2、a3、a4与b1、b2、b3、b4均为非零正实数。
两个模糊数间的运算法则[1]，如下：
3 多模糊参量库存模型建立与求解
3.1 问题假设与符号描述
3.2 模型建立
根据经典(Q,r)模型，年库存总成本C(Q,r)为年订货费、年库存保管费和年缺货损失费之和[8]。即
将式(1)中各参量用模糊数替换，得模糊库存年订货费用为：
模糊年库存保管费：
模糊年缺货损失费：
联立式(2)、(3)、(4)，多模糊变量的模糊库存成本模型为：
对式(5)使用重心法[1]去模糊化，得出该模糊总库存成本的确切值函数为：
3.3 模型求解
求式(6)的Q二阶偏导：
由于si≥0,i=1,2,3,4即min(di)≥r≥0,i=1,2,3,4，对于每个r由式(6)和式(8)可以求得对应的P[C軒(Q,r)]和Q，通过计算比较可以得出使总库存成本最小的最佳订货批量Q*和最佳订货点r*。
4 实例分析
设企业采用连续盘点(Q,r)策略对某种物料库存进行管理，根据相关经验预测，该物料的年需求量约为5000件左右，其提前期内基本需求为250件，单位订货费用约为100元/次，单位物品年库存保管费用约2元/件。如果该物料发生缺货从而影响正常生产，其单位缺货损失费用约5元/件，每次订货后供应商的到货率基本都在100%左右。
根据以往相关经验，可以取
易得250≥r≥0;联立式(6)和式(8)，通过计算比较得知：求得最佳订货点r*=250件，最优订货批量Q*≈762件，最小库存成本为P*[C軒(Q,r)]=1535.6元。
其他的已知条件不变，只考虑需求量发生变化的情况。物料的年需求量约为5000件左右，取D軒=(4900,4950,5050,5100)，表明需求量在4900到5100件之间。如果年需求量仍然在5000件左右，但最高有可能不超过6000件，此时的年需求量模糊数可表示为：D軒=(4900,4950,5050,6000)，显然模糊集的范围变化，其隶属函数分布也有所变化，如图2所示，最优订货批量及相关结果必定发生改变，由式(6)和式(8)计算比较可得：r*=250件，Q*≈773件，P[C軒(Q,r)]=1556.2元。
同理，任何一个或多个模糊参量的变化都会对最优订货批量和最佳订货点计算结果产生影响。
当模糊参量均为确定值时，其最佳订货点r*=250件，最优订货批量件，取整后Q*=708件，库存总成本C(Q,r)=1414.2元。
5 结论
本文用模糊数表示影响库存成本模型的各种参量，构建多模糊参量连续盘点(Q,r)库存模型，并采用模糊运算法则进行计算。通过重心法对模型进行去模糊化，求出最优订货点Q*和最佳订货批量r*，使得年库存总成本P[C軒(Q,r)]最小。最后，通过实例来验证模型是可行的。通过计算分析，模型中任一模糊参量的模糊集范围及其隶属函数分布的变化都会影响库存问题决策的准确性，界定适当的模糊集范围及其隶属函数形式对计算结果的准确度非常重要。本文所研究的库存对象只是单一的物料，在实际库存管理中存在多种物料，所以需要进一步对基于模糊理论的多种物料的综合库存成本模型进行研究。
参考文献
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[7]李安贵,张志宏,孟艳,等.模糊集数学及其应用[M].北京:冶金工业出版社,2005.
连续波测试模型校正中的关键节点 篇7
1 CW测试前
测试开始前, 需要准备测试过程中需要用到的设备, 例如根据甲方对测试频段的要求, 选择对应频段的信号发射机 (含发射天线) 、信号接收机 (含接收天线) 。测试时需要用到的设备如下:信号发射机、全向发射天线、支撑铁架 (可伸缩) 、1/2馈线 (含接头) 、室外电源接线板、信号接收机、车载接收天线、车载GPS (全球定位系统) 、车载充电电池 (车辆的点烟器可以使用的话, 本设备可以不用) 、笔记本电脑 (测试时间较长的话, 需携带备用电池) 、测试车辆。
2 CW测试过程中
测试正式开始前, 应事先规划好待测试站点、测试路线。
2.1 站址选取原则
根据不同的城市, 测试站点一般按照如下原则进行选取:
1) 站址数量:根据经验, 在人口密集的大城市, 测试站址不应少于5个 (站点不能过于靠近) ;对于中小城市一般1个测试站址。
2) 代表性:站址选取的原则是它能够覆盖规划区内所有的地物类型 (地物类型来源于数字地图) 。
3) 阻挡物:站址选取的高度一般应大于20 m, 建筑物周边无明显阻挡, 且高于最近的障碍物5 m以上。
2.2 测试路线选取原则
1) 地形:测试路径必须照顾到区域中所有的主要地形。
2) 高度:如果该区域内地形起伏差异较大, 则测试路径必须照顾到区域中不同高度的地形。
3) 距离:测试路径必须照顾到区域中离站点不同距离的位置。
4) 方向:纵向和横向路径上的测试点数尽量保持一致。
5) 重叠:不同站点的测试路径尽可能重叠, 以增加模型的可靠性;单一站点测试时, 路径尽量不要重复。
6) 阻挡物:在无线信号受到某一侧的楼面阻挡时, 不应该测试楼宇后的阴影区。
2.3 CW测试操作步骤
在待测试站址、测试路线确认好后, 就可以正式进行CW测试了。
步骤一:架设发射机。
主要按照如下步骤进行操作:
1) 使用1/2馈线连接发射天线和信号发射机;
2) 使用支撑铁架把发射天线上升到合适的高度;
3) 接通发射机电源, 打开发射机电源开关, 设置本次测试使用的频段和发射功率后, 打开信号发射按钮, 信号发射机开始发射信号。
步骤二:连接接收设备。
主要按照如下步骤进行操作:
1) 连接GPS、接收天线至信号接收机, 并将信号接收机连接至车辆点烟器 (若点烟器不能使用, 则需使用车载蓄电池) 进行取电;
2) 连接信号接收机至笔记本电脑, 插上测试使用的授权软件狗;
3) 打开测试软件, 配置本次测试使用的频率和频点 (和发射机的频率保持一致) 。
步骤三:测试数据记录
数据记录需注意几点:
1) 同一测试点下的测试线路尽量只测试一次;对于部分不能绕避的道路, 后台数据处理时, 应对重复测试的数据进行过滤。
2) 测试过程中遇到红灯等原因造成车辆停止行驶时, 应暂停数据的记录;待车辆重新启动后, 恢复数据的记录。
3) 在高架桥、隧道等较为特殊场景下, 应暂停数据的记录。
3 测试数据过滤
导入到软件中的原始数据是没有经过任何处理的, 需要按照一定的原则进行过滤后方能对某一特定模型进行校正。
我们常用到的数据过滤方法主要有4种:基于地物类型过滤、基于电平值过滤、基于距离过滤、基于同一测试路径的数据过滤。
下面按照基于地物类型、电平值、距离、同一测试路径的数据过滤4种过滤方式进行简要介绍。
3.1 基于地物类型过滤
通常, 对于有些地物类型, 其上分布的测量点数量不足整个测量总点数的5%, 认为它不能完整表征地物类型的特点, 该种地物类型建议过滤掉。
3.2 基于电平值过滤
由于测试位置距离发射机距离的远近和信号传播过程中建筑物的阻挡, 造成部分测试点的电平值过高或过低, 在进行模型校正之前, 需将该部分数据进行过滤。
3.3 基于距离过滤
一般距离发射机较近、较远的测试点需要被过滤掉, 具体模型校正时, 可以根据校正结果进行调整。
3.4 基于同一测试路径的数据过滤
数据测试过程中, 针对同一信号发射机下的测试, 尽量避免路径的重复;对于不能规避的重复路段, 需要在做模型校正前进行过滤。
4 总结
连续性模型 篇8
ThetraditionalwayinterpolatestheCSLCasseparatelines,theoutstandingfeatureofwhich isthat eachturningfeedrate(feedrateofturningpoint)is forcedtozerotoguaranteeprecision.Thisresultsin severaldrawbackssuchasmachineoscillation,lower efficiencyand lowerprecision.Due to the variable curvatureofacomplexcontour,turningfeedratedoes notneedtobezeroalwaysbutcanbehigherinthelow curvaturesection.Sothekeyissuesforinterpolating CSLC are:1)describingcurvaturecharacteristicof thecontour;2)optimizingturningfeedratebasedon thecurvaturecharacteristic;3)generatingacontinuousandsmoothfeedrateprofilebasedontheresultant turningfeedrate.
Thelook-aheadinterpolationcanpredictthecurvaturecharacteristicofCSLC and drawsmuch attention.Schuett[1]showedtheadvantageofthelook-aheadinterpolationoverthenonlook-aheadinterpolation throughamachiningexample.Buthedidnotpresent thealgorithm.YeandShietal.[2,3,4]madegreateffort tointerpolate the CSLC ata high speed.However,theiralgorithm performsfeedrateplanningforallthe linesbeforereal-timeinterpolation,i.e.theirsisnota veritable look-ahead algorithm.Hu and Xiao et al.[5,6]presentedanoptimalfeedratemodelandasolutionalgorithm todeterminesuitableturningfeedrate.TheyalsoattemptedtointerpolatetheCSLC inalookaheadway.However,thefeedrateprofileisnotsmooth andturningfeedratebetweenlook-aheadunitsisforced tozero.XuandFengetal.[7]presentedanalgorithm tointerpolateCSLCinalook-aheadway,buttheirfeedrateprofileisnotsmootheither.Someotherresearchersintroduced thelook-ahead function totheiralgorithm andachievedasmoothfeedrateprofile,butthey aimedatinterpolatingNURBSinsteadofCSLC[8,9,10].
Inthispaper,transitionpatternsaredefinedtodescribethecurvaturecharacteristicoftheCSLC.Based onthetransitionpatterns,analgorithm modelisproposedtooptimizetheturningfeedarte,whichenables turningfeedratetochangeaccordingtothecurvature characteristicsothatefficiencyisimprovedandprecisionisguaranteed.Then everytwoadjacentturning pointsarecubefitintoacubespline,whichmakesthe contoursmootherandrealizeacontinuousandsmooth feedrateprofile.
1 Transitionpatterns
The complexcurves are generallyconverted intoCSLCbyaCAD/CAM system fortraditionalCNC system to interpolate,because the traditionalCNC system canonlyinterpolatethelineandarc.Theconvertingprocessisillustratedinfig.1,whereAB isa microsegmentoftheoriginalcurve,soitcanbetreatedasanarc.δgdenotestheappointederror,LdenotesthelinelengthandR denotestheradiusofthe arcAB.
Thelinelength,L,isalsothechordlengthofthe arcAB.AccordingtoPythagoreanProposition,theline lengthiscalculatedaseq.(1).
Theeq.(1)indicatesthatthelinelengthisproportionaltothesquarerootoftheradiusgiventhefixed appointederror,i.e.itisinverselyproportionaltothe curvature.Thisimpliesthatthecurvaturecharacteristic ofthecontourcanbederivedfrom thelinelength.
Continuoussmalllinescanbedivedintodifferent unitsaccordingtothechangelaw oflinelength,and therearefourbasicchangelaw oflinelengthasfollows:
PatternA:thelengthisshortandconstantforeveryline;
PatternB:thelengthislongandconstantforeveryline;
PatternC:thelengthincreasesmonotonouslyfrom thestartlinetotheendline;
PatternD:thelengthdecreasesmonotonouslyfrom thestartlinetotheendline.
A subsectionofthewholeCSLCwhoselinelength changelawbelongstooneoftheabovefourpatternsis definedasatransition.Therefore,thecurvaturecharacteristicoftheCSLC canbedescribedasacombinationoftransitions.Forexample,whenthecurvecontourshowninfig.2istransformedtoCSLC shownin fig.3,itconsistsoffivetransitionsT0T21,T21T40,T40T52,T52T71andT71T92.Thetransitionpatternsofthese transitionsarePB,PD,PA,PCandPBrespectively.Therefore,thecurvaturecharacteristicoftheCSLCcan bedescribedasthecombinationofPB-PD-PA-PC-PB.
ItisnotedthatbothPA andPB transitionsare constanttransitions.Theyaredistinguishedaccording totheadjacentPC orthePD transition.Theconstant transitionbeforeaPCtransitionorafteraPDtransition isaPAtransition.Similarly,theconstanttransitionbeforeaPD transitionorafteraPC transitionisaPB transition.Whentwoconstanttransitionsareadjacent,theonewithshorterlinelengthisaPAtransitionand theotherisaPBtransition.
2 Optimizationofturningfeedrate
Turningfeedrate can be optimized according to transitionpatterns,i.e.,curvaturecharacteristic.The fig.4illustratessomesymbolsrelated toaline.The Vi-1,Vi,Liandθiarethestartpointturningfeedrate,theendpointturningfeedrate,thelengthandtheangle oftheith line,respectively.And motion parameters suchasfeedrate,F,andacceleration,Accaresetby users.
2.1 TurningfeedrateinPA andPB transitions
ThePA orthePB transitionisconstantcurvature subsectionoftheCSLC.Thus,federateofeachturning pointinthePAandPBshouldbeequaltoeachother.Inaddition,theturningfederateshouldbeproportional tothelinelength.Theeq.(2)reflectstheseconstraints,where the Lmaxdenotes the maximum line lengthoftheCSLC,whichcorrespondstothesetfeedrate,F.
Thefirstturningfeedrateisusuallyratherlow,if notzero.Thusanaccelerationstagegenerallyexistsin thefirsttransition.Ifthefirsttransitionisaconstant one,theturningfeedrateisacceleratedaseq.(3)untilViequalstoVcortotheendpointofthefirstconstant transition,whichevercomesfirst.
Similarly,ifthelasttransitionisaconstantone,a decelerationstageexists.Insteadofdecelerationfrom withinthetransition,accelerationinanoppositedirectionfrom theendpointisdoneaseq.(4),untilVi equalstoVcortothestartpointofthelastconstant transition,whichevercomesfirst.Where,theN denotesthenumberofsmalllines.
2.2 TurningfeedrateinPC andPD transitions
ThePCindicatesatransitionwithamonotonously decreasingcurvature,thustheturningfeedratecanbe monotonouslyincreasedtoimprovetheefficiency.By contrast,thePDindicatesatransitionwithamonotonouslyincreasingcurvature,thustheturningfeedrate should be monotonouslydecreased to guarantee the precision.Thisisrealized byintroducing inequality eq.(5)
ThelengthsectionLi+1/Lienablesturningfeedrate toincreaseinaPCtransitionwhiletodecreaseinaPD transition.The inequalityeq.(5)also relatesthe turningfeedratetotheangel.Similartolength,angle betweentwoadjacentlinesrelatetothecurvatureofthe contour,θ=2arcos(1-δ/R).Itindicatesthatangle isbiggerinhighcurvaturesectionthanthatinlowcurvature section.Generally,the angle changes little alongthesmoothcontour,butasharpcornermayexist somewherein some specialcontourand the feedrate shouldbedecreased considerablytoguaranteeprecision.When theangelincreased sharply,theturning feedratedecreasedenoughtoguaranteeprecisionasillustratedineq.(6),whereyθisangularfactor.
Toguaranteetheaccelerationunderthesetvalue,Acc,theinequalityeq.(7)isintroduced.Thusthe resultantViistheachievablemaximum valueoftheinequalityeq.(5)andeq.(7).BecausetheViisonly relatedtotheVi-1,otherthanVi+1,thisisanoniterativeevaluation.
ThestartturningfeedrateofaPC orPD transitionis theendturningfeedrateoftheprevioustransition.Ifa PCorPD transitionisthefirsttransition,V1isevaluatedasinequalityeq.(8)
IfthelasttransitionisaPC orPD one,denotethe turningfeedrateasVN-1,1.TodeceleratetoVN,theallowedmaximum secondlastturningfeedrateisdenoted asVN-1,2andisevaluatedasinequalityeq.(9)
IftheVN-1,1isnohigherthan VN-1,2,nothingmore shouldbedone.Otherwise,theturningfeedrateshould beadjustedSetk=VN-1,2/VN-1,1,theturningfeedrate ofthelasttransitionisadjustedaskVi.
2.3 Look-aheadoptimizationofturningfeedrate
TurningfeedrateevaluatedthroughtheSection 2.1and 2.2shouldbeadjustedundersomesituationstobe smoothlyconnectedbetweenadjacenttransitions.This adjustmentdependsontheconnectionsofadjacenttransitionsandthepossibleconnectionsareillustratedin table 1.
1)ConnectionPA-PB:AccordingtoSection 2.1,theturningfeedrateofPAtransitionislowerthanthat ofPBtransition.Inordertobesmoothlyconnected,an accelerationstageexistsatthebeginningofPB transition,whichisdoneinasimilarwayaseq.(3).
2)Connection PB-PA:A deceleration stage shouldbegin from a pointwithin the PB transition,whichisdoneinasimilarwayaseq.(4).
3)Connection PC-PB and PD-PA:Ifthe end turningfeedrateofthePCorPDtransitionislowerthan theconstantfeedrateofPAorPBtransition,anaccelerationstageexistsatthebeginningofPAorPB transition,whichisdoneinasimilarwayaseq.(3).
4)Connection PA-PC and PB-PD:No special processisneeded.
5)ConnectionC-D andD-C:Nospecialprocess isneeded.
Toconclude,turningfeedrateisfirstdetermined inanoniterativeway;andthenalook-aheadoptimizationperformssomenecessaryadjustment.Throughthe lookingaheadoptimization,turningfeedrateofadjacent transitionsissmoothlylinkedsothataccelerationconditionismetanddynamicperformanceisimproved.
3 Feedrateplanning
TurningpointsofCSLCarecubefittedtogenerate asmoothcontour,basedonwhichfeedrateexpression isalsodetermined.
Theexpressionoftheithcubesplineisillustrated in eq.(10).This is a vectorexpression,where si(t)=[xi(t),yi(t)]T,Ai=[Ai1,Ai2]T,Bi=[Bi1,Bi2]T,Ci=[Ci1,Ci2]T,Di=[Di1,Di2]T,tisparametricvariable,0≤t≤Δt,Δtisneededleasttimeto interpolatethespline.Thederivativeofeq.(10),whichdenotesfeedrate,iseq.(11),wherevi(t)=[vix(t),viy(t)]T.
TheturningpointsTi-1(xi-1,yi-1)andTi(xi,yi)are thestartpointandendpointoftheithsmallline.Their turningfeedrateisVi-1andVirespectively.Thevalue ofeachturningfeedrateisdeterminedintheSection 2.ThedirectionofturningfeedrateViisapproximatedas thedirectionofdisplacementvectorTi-1Ti+1,because turningpointsarecubefitinasplinewherethefeedrate directionshouldchangesmoothly.
Substituting(0,Ti-1)and(Δt,Ti)into eq.(10),(0,Vi-1)and(Δt,Vi)intoeq.(11),the coefficientsAi,Bi,Ci,DiissolvedasfunctionofΔt.
TheΔtissolvedaccordingtoenergyminimization principle,i.e.,theintegralofsquareofacceleration shouldbeminimizedwhenmachiningthespline.The mathematicalexpression isillustrated in eq.(13).Theaccelerationai(t)=[aix(t),aiy(t)]T=6Ait+2Bi,isthederivativeofeq.(11).AfterΔtissolved,thefourcoefficients,Ai,Bi,CiandDi,canbesolved from theeq.(12).
The adjacent two cube splines,si(t)and si+1(t),interconnectatturningpointTi,andtheturningfeedrateViremainsunchangedinbothsplines,so wegetacontinuousandsmoothfeedrateprofile.
4 Experimentresultsanddiscussion
Theexperimentisperformedinalasercuttingmachineoffered byalasertechnologycorporation.The CSLCshowninthefig.3isusedintheexperiment,anditisgeneratedfrom thecurvecontourshowninthe fig.2underanappointedprofileerrorof0.05mm.The maximum andtheminimum linelengthare 4.49mm and 1.96mm respectively,andparametersaresetas V0=0mm/s,V92=0mm/s,F=100mm/s,Acc=5 000mm/s2,T=0.002s.
Feedrateandaccelerationprofileareshowninfig.5(a)andfig.5(b)respectively.Thefeedrateand accelerationprofileusingtraditionalalgorithm areshown infig.6(a)andfig.6(b)aswellforcomparison.From fig.5,fig.6,wecangetfollowingobservations.
(1)Feedrateandaccelerationdonotexceedthe allowedvalueofsystem capability.fig.5(a)indicates thatthemaximum feedrateis 100mm/s,and fig.5(b)indicatesthatthemaximum accelerationisabout±1 700mm/s2.
(2)Thedynamicperformanceoftheproposedalgorithm ismuchbetterthanthatofthetraditionalalgorithm.Fortheproposedalgorithm,thefig.5indicates thatthefeedrateprofileiscontinuousandsmooth,and theaccelerationprofileiscontinuous.Forthetraditionalalgorithm,thefig.6indicatesthatthefeedrateprofileisnotsmoothandaccelerationisnotcontinuousand veryhighjerkexists.
(3)Theefficiencyisimprovedbytheproposed algorithm.Themachiningtimeinfig.5is 4.304second,whileitis 5.026secondinfig.6.Thusthemachiningefficiencyisimprovedupto 14.365%forthe sample.
BecausethefeedrateisoptimizedandtheCSLC isapproximatedassmoothercubesplinecontour,theerror betweenactualcontourandtheCSLC doesnotexceed thegiventolerance,0.05mm,asshowninfig.7.
Thegeneratedactualcontourusingthealgorithm is shownin fig.8.Itindicatesthegenerated contoura continuousandsmooth.
5 Conclusion
ThetransitionpatternscanwelldescribethecurvaturecharacteristicoftheCSLC with arbitrarycomplexity,sothefeedrateplanningcanbeperformedina look-ahead way.The algorithm modelbased on the transitionpatternscanoptimizeturningfeedrate.Itenablesturningfeedratetoincreaseinthelow curvature sectiontoimprove efficiencyand to decrease in the high curvature to guarantee precision.The feedrate planningcanachieveacontinuousandsmoothfeedrate profile.Asaresult,bothefficiencyanddynamicperformanceareimproved.Inaword,acomplexcontour canbefastinterpolatedusingtheproposedalgorithm,meanwhileguaranteeingahighprecision.
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