数学创造性思维（精选12篇）
数学创造性思维 篇1
数学教学的思维训练, 是根据学生的思维特点, 结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地, 所以, 要把思维训练贯穿于数学课堂教学的各个方面。激发学生思维动机, 理清学生思维脉络, 培养学生思维方法, 提高学生思维能力, 是提高课堂思维含量的关键。笔者对此进行了积极尝试。
一、数学思维能力概述
数学思维是对数学对象 (空间形式、数量关系、结构关系等) 的本质属性和内部规律的间接反映, 并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。每个人的能力不同, 那么思维能力更是不一样。数学思维能力比较抽象, 培养这种思维能力不是短时间就能完成的。我们知道, 能力是顺利完成某种活动所必需的并直接影响活动效率的个性心理特征。而数学能力是一种综合能力, 是人们在生活和学习的过程中从事各种数学活动所必需的能力的综合。其中, 数学思维是数学能力的核心。
数学思维具有高度的抽象性、概括性, 这是由于数学的特性决定的, 因此数学思维是一种抽象的思维, 除此之外, 还需要一定的判断、推理和选择能力。
二、数学教学中培养学生的数学思维能力
(1) 在问题情境中唤醒学生的数学思维, 精心创设数学学习的问题情境, 实施有效教学是数学课的本源目标得以实现的重要保证。在教学的过程中, 教师所创设的一个好的情境, 不仅能激发学生的学习兴趣, 调动其学习的积极性和主动性, 而且还有利于学生将所学的知识灵活运用, 知道用哪一类知识解决哪一类的问题, 有益于学生进行知识的迁移, 将所学的知识运用到生活中去。因此, 教师在创建情境的时候, 要选取那些学生感兴趣的事物, 将数学知识孕育其中, 这样学生在了解和认识自己感兴趣的事物的时候, 就在不知不觉中学习了知识, 进行了思考。这样的过程不是教师强迫的过程, 而是学生自觉的、主动的过程, 效益很高。
数学课上的情境创设, 应该为学生学习数学服务, 应该让学生用数学的眼光关注情境, 应该为数学知识和技能的学习提供支撑, 应该为数学思维的发展提供土壤。有效的课堂情境创设, 让学生的思维火花在不经意中就能被点燃并释放出“热能”, 从而提高课堂思维含量。
(2) 在实际教学中, 针对具体的教学内容和学生知识、能力的实际, 对教材中的问题进行加工、设计并合理运用, 设计适度、高效的问题串, 不仅可以引导学生逐步深入地分析问题、解决问题、建构知识、发展能力, 而且能够优化课堂结构, 提高课堂效率, 发展学生的思维, 提高学生的思维能力。
如在“三角形的中位线”的新课引入中, 我设计了以下“问题串”, 使学生通过自主探究, 完成对三角形中位线相关知识的构建。如在△ABC中, 剪一刀, 将其剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片。 (1) 剪痕DE应满足怎样的条件? (2) 如果要求剪后的两个纸片能拼成平行四边形, 剪痕DE的位置又有什么要求?为什么? (3) 如果我们将上述 (2) 中的线段DE叫做“三角形的中位线”, 你能给它下一个定义吗? (4) 请你猜想:三角形的中位线与它的第三条边有怎样的关系? (5) 证明你的猜想, 你能想到哪些证明方法?通过上述问题串的设计, 由简到繁, 由表及里, 层层深入挖掘题目的深度, 采用观察、实验、猜测、验证等实践和思维活动, 让学生经历提出问题、分析问题然后又解决问题的完整过程, 在体验数学, 探索数学中学会了数学思考, 锻炼了学生的思维能力, 构建思维课堂。
(3) 在变式中培养学生的创新思维能力。爱因斯坦曾说过:“要是没有那些能够独立思考和独立判断的有创造能力的个人, 社会的向前发展是不可想象的。”培养学生的创新思维能力是实施素质教育的核心问题。而数学由于学科本身的特点 (高度的抽象性, 思维的严谨性, 应用的广泛性) 在创新思维的培养中发挥着重要作用。变式教学就是教师在引导学生解答数学问题时, 变更概念非本质的特征, 变更问题的条件或结论;转换问题的形式或内容;创设实际应用的各种环境, 使概念或本质不变的一种教学方式。
变式其实就是创新, 当然变式不是盲目地变, 应抓住问题的本质特征, 遵循学生认知心理发展, 根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线, 恰当地变更问题情境或改变思维角度, 培养学生的应变能力, 引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。
将问题进行变式训练后, 要有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质, 从“不变”中探寻规律, 拓展思维的广度和深度, 克服思维定势, 完善学生的认知结构, 培养学生独立分析和解决问题的能力, 以及大胆创新、勇于探索的精神, 从而真正把学生能力的培养落到实处。
三、加强数学思想方法训练提高学生的思维品质
数学课程标准指出:数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识、基本技能, 更要获得数学思想和观念, 形成良好的数学思维品质, 要通过各种途径, 让学生体会数学思考和创造的过程, 增强学习的兴趣和自信心, 不断提高自主学习的能力。在数学教学中, 教师要切实把握知识中蕴含的数学思想, 让具体的知识与思想方法形成一定的体系, 使它们有机地融为一体, 提高学生的数学能力, 全面提升学生的思维品质。
总而言之, 作为数学教师, 我们要在教学中认真创设问题情境, 通过各种形式, 总结出教材中蕴含的数学规律和方法, 并且将之渗透在教学过程中, 易于学生的领悟, 并且在这样的一个过程中, 培养学生的思维能力, 使学生在操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学思想方法, 才能真正地让数学课堂提高思维含量, 为学生的终身发展奠定基础。
数学创造性思维 篇2
创造性思维与数学教学
创造性思维与数学教学江苏省盐城商业学校 段志贵 9月14日 “现在的经济发展所需要的远不只是具有文化知识和俯首贴耳的劳动者”，“整个学校的教学思想和气氛必须改变，应使学校中引进一种开发学生创造性思维的进程。”这是《参考消息》8月18日头版头条刊载的《亚洲经济危机对教育提出挑战》一文所提出的主要观点。目前，伴随着我国政治、经济体制改革的不断深入，计划经济体制下造成的弊端表现得愈来愈明显，不少在职职工下岗，大中专毕业生找工作比较困难，就业竞争日趋激烈，各行各业普遍都在强调一种创业教育的观念。在这样一个新的形势下，作为学校，承担着向社会输送大批素质较高的劳动者的重任，努力培养学生具有较强的创造性思维，其现实意义和深远影响不言而喻。 一、创造性思维的内涵及其特征 所谓创造性思维，是指带有创见的思维。通过这一思维，不仅能揭露客观事物的本质、内在联系，而且在此基础上能产生出新颖、独特的东西。更具体地说，是指学生在学习过程中，善于独立思索和分析，不因循守旧，能主动探索、积极创新的思维因素。比如独立地、创造性地掌握数学知识；对数学问题的系统阐述；对已知定理或公式的“重新发现”或“独立证明”；提出有一定价值的新见解等，均可视如学生的创造性思维成果。它具有以下几个特征： 一是独创性――思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规。在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题方法、解题策略等提出自己的观点、想法，提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”。 二是求异性――思维标新立异，“异想天开”，出奇制胜。在学习过程中，对一些知识领域中长期以来形成的思想、方法，不信奉，特别是在解题上不满足于一种求解方法，谋求一题多解。 三是联想性――面临某一种情境时，思维可立即向纵深方向发展；觉察某一现象后，思维立即设想它的反面。这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维的连贯性和发散性。 四是灵活性――思维突破“定向”、“系统”、“规范”、“模式”的束缚。在学习过程中，不拘泥于书本所学的、老师所教的，遇到具体问题灵活多变，活学活用活化。 五是综合性――思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系，在诸多的信息中进行概括、整理，把抽象内容具体化，繁杂内容简单化，从中提炼出较系统的经验，以理解和熟练掌握所学定理、公式、法则及有关解题策略。 二、培养学生创造性思维是学科教学努力的方向 要培养学生的创造性思维、创造精神，首先必须转变我们教师的教育观念。在具体学科教学中，我们应当从以传授、继承已有知识为中心，转变为着重培养学生创造性思维、创新精神。现代教学理论认为向学生传授一定的基本理论和基础知识，是学科教学的重要职能，但不是唯一职能。在加强基础知识教学的同时，培养学生的创新意识和创造智能，从来就有不可替代的意义。只有培养学生的创新精神和创造能力，才能使他们拥有一套运用知识的“参照架构”，有效地驾驭灵活地运用所学知识。形象地说，我们的学科教学的目的不仅是要向学生提供“黄金”，而且要授予学生“点金术”。 事实上，现成的结论并不是最重要的，重要的是得出结论的过程；现成的真理并不是最重要的，重要的是发现真理的方法；现成的认识成果并不是最重要的，重要的是人类认识的自然发展过程。这无疑是一种与传统教学观有着本质区别的全新的创造教学观。因此，在学科教学中，我们必须确立这样的观念：只有用创造来教会创造，用创造力来激发创造力，只有用发展变化来使学生适应并实现发展变化，只有用人类不断发展变化的现实来使学生懂得人类已有的一切都只是暂时的、相对的和有待于进一步发展的东西，懂得创造和超越已有的东西不仅是可能性的，而且是必要的。用这样的观念来设计整个学科教学，我们才能真正实现创造性教学的预期目标。 三、数学教学过程中学生创造性思维的培养 数学，“思维的体操”，理应成为学生创造性思维能力培养的最前沿学科。为了培养学生的创造性思维，在数学教学中我们尤其应当注重应充分尊重学生的独立思考精神，尽量鼓励他们探索问题，自己得出结论，支持他们大胆怀疑，勇于创新，不“人云亦云”，不盲从“老师说的”和“书上写的”。那么，数学教学中我们应如何培养学生的创造性思维呢？ ㈠、注重发展学生的观察力，是培养学生创造性思维的基础。 正如著名心理学家鲁宾斯指出的那样，“任何思维，不认它是多么抽象的和多么理论的，都是从观察分析经验材料开始。”观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按钮。观察的深刻与否，决定着创造性思维的形成。因此，引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解，而要深刻观察，去伪存真，这不但为最终解决问题奠定基础，而且，也可能有创见性的寻找到解决问题的契机。 例1 求lgtg10・lgtg20・…lgtg890的值 凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性，而深刻地观察、细致的分析，克服了这种思维弊端，形成自己有创见的思维模式。在这里，我们可以引导学生深入观察，发现题中所显示的规律只是一种迷人的假象，并不能帮助解题，突破这种定势的干扰，最终发现出题中隐含的条件lgtg450=0这个关键点，从而能迅速地得出问题的答案。 ㈡提高学生的猜想能力，是培养学生创造性思维的关键。 猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想，以真正达到启迪思维、传授知识的目的。 启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的.想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类的问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望，猜想的积极性。 例如：在直线l上同侧有C、D两点，在直线l上要求找一点M，使它对C、D两点的张角最大 。 本题的解不能一眼就看出。这时我们可以这样去引导学生：假设动点M在直线l上从左向右逐渐移动，并随时观察∠α的变化，可发现：开始是张角极小，随着M点的右移，张角逐渐增大，当接近K点时，张角又逐渐变小（到了K点，张角等于0）。于是初步猜想，在这两个极端情况之间一定存在一点M0，它对C、D两点所张角最大。如果结合圆弧的圆周角的知识，便可进一步猜想：过C、D两点所作圆与直线l相切，切点M0即为所求。然而，过C、D两点且与直线l相切的圆是否只有一个，我们还需要再进一步引导学生猜想。这样随着猜想的不断深入，学生的创造性动机被有效地激发出来，创造性思维得到了较好地培养。 ㈢炼就学生的质疑思维能力，是培养学生创造性思维的重点。 质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力，不迷信权威，不轻信直观，不放过任何一个疑点，敢于提出异议与不同看法，尽可能多地向自己提出与研究对象有关的各种问题。提倡多思独思，反对人云亦云，书云亦云。 例如，在讲授反正弦函数时，教者可以这样安排讲授： ①对于我们过去所讲过的正弦函数Y=SinX是否存在反函数？为什么？ ②在（-∞，+∞）上，正弦函数Y=SinX不存在反函数，那么我们本节课应该怎么样研究所谓的反正弦函数呢？ ③为了使正弦函数Y=SinX满足Y与X间成单值对应，这某一区间如何寻找，怎样的区间是最佳区间，为什么？ 讲授反余弦函数Y=CosX时，在完成了上述同样的三个步骤后，我们可向学生提出第四个问题： ④反余弦函数Y=ArcCosX与反正弦函数Y=ArcSinX在定义时有什么区别。造成这些区别的主要原因是什么，学习中应该怎样注意这些区别。 通过这一系列的问题质疑，使学生对反正弦函数得到了创造性地理解与掌握。在数学教学中为炼就与提高学生的质疑能力，我们要特别重视题解教学，一方面可以通过错题错解，让学生从中辨别命题的错误与推断的错误；另一方面，可以给出组合的选择题，让学生进行是非判断；再一方面，可以巧妙提出某命题，指出若正确请证明，若不正确请举反例，提高辨明似是而非的是以及否定似非而是的非的能力。 ㈣、训练学生的统摄能力，是培养学生创造性思维的保证。 思维的统摄能力，即辩证思维能力。这是学生创造性思维能力培养与形成的最高层次。在具体教学中，我们一定要引导学生认识到数学作为一门学科，它既是科学的，也是不断变化和发展的，它在否定、变化、发展中筛选出最经得住考验的东西，努力使他们形成较强的辩证思维能力。也就是说，在数学教学中，我们要密切联系时间、空间等多种可能的条件，将构想的主体与其运动的持续性、顺序性和广延性作存在形式统一起来作多方探讨，经常性的教育学生思考问题时不能顾此失彼，挂一漏万，做到“兼权熟计”。这里，特别是在数学解题教学中，我们要教育学生不能单纯的依靠定义、定理，而是吸收另一些习题的启示，拓宽思维的广度；在教学中启发学生逐步完成某个单元、章节或某些解题方法规律的总结，培养学生的思维统摄能力。 例4：设a是自然数，但a不是5的倍数，求证：a1992―1能被5整除。 本题的结论给人的直观映象是进行因式分解。许多学生往往很难走下去。这时，我们可以引导学生进行深入地分析，努力寻找其它切实可行的办法。在这里，思维的统摄能力很为重要。本题的最优化的解法莫过于将a1992写成（a4）498的形式，对a进行奇偶性的讨论：a为奇数时必为1；a为偶数是，个位数字必为6。故a1992―1必为5的倍数。由此可知，灵感的产生，是思维统摄的必然结果。所以说，当我们引导学生站到知识结构的至高点时，他们就能把握问题的脉络，他们的思维就能够闪耀出创造性的火花！
数学创造性思维 篇3
【关键词】教学 数学 数学思维能力 思维品质
培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。知识是思维活动的结果,又是思维的工具。数学教学的过程,应是培养学生思维能力的过程。
激活是一个认知心理学概念,“当一个概念被加工或受到刺激,在概念结点产生激活,然后激活沿该结点的各个连线,同时向四周扩散,先扩散到与之直接相连的结点,再扩散到其他结点,这种扩散式特定源的激活,虽有扩散,但可追踪出产生激活的原点。”
随着数学高考内容的改革,注重了数学学科的特点——思维科学。因此,在数学教学过程中应将提高学生的思维能力放在首位,而思维品质是思维能力的主导和灵魂,对人的能力形成起着十分重要的作用。我在教学过程中以问题去激活学生的思维品质,使学生领悟从问题的提出到问题的解决之间的思维途径和方法,以不断反思。怎样辨认问题提供的情景和信息与知识之间的联系,寻求能够引发创新冲突的信息刺激?怎样找到解决问题的切入口?调用有关知识和方法将问题的解决逐步深化,获得问题的解决。然后思考解法的合理性与是否具有更广泛的应用价值?如此下来,思维品质在不断的提出问题和解决问题中得到磨砺与完善,学生自身的数学思维能力自然也会得到提高。
一、以新视角激活思维的广阔性
思维的广阔性表现为善于运用多方面知识和经验,开放地、多维度地综合思考问题的思维品质。敏于开拓思维,对问题始终保持陌生感,即使是解决了的问题也不放过。学了新知识,想一想,能否用新知识、新方法解决过去的问题;也想一想,新情境的问题要不要用以前的知识和方法来帮助解决。这样的探索思考,形成知识的网络交汇,产生新的知识组块。如学习不等式时,在掌握了常规的比较大小的基本方法后,不失时机地引导学生找新视角,运用我们学过的导数、三角、两点间斜率公式,来解决相关比较大小的问题。这样就有效地拓展了学习思路,沟通了知识间的相互联系,从而激活学生思维的广阔性。
例1、已知函数f(x)=sinxx (0
解析:要证:f(α+β2)>f(α+β)(0<α+β<π2)
只要证明:f(x)在(0,π2)上单调递减,f'(x)=xcosx-sinxx2,构造单位圆如图一所示:由扇形OAB面积小于直角三角形POB面积有tanx>x,所以f'(x)<0,有
f(α+β2)>f(α+β)(0<α+β<π2)
例2、设a=sin1,c=5sin15,b=3sin13,判断a、b、c的大小关系为
A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c
解析:联想到研究函数f(x)=sinxx (0
二、设计“差异性”练习,激活思维的批判性
思维的批判性是指善于独立思考,敢于怀疑,有主见地评价事物的思维品质。具有思维批判性的学生能把自己对事物的推测认真地反思,充分考虑正反两方面的论据,随时坚持正确的计划,修正错误的方案。教学过程中我们应抓好两条:一是指导学生经常进行自我诊断,品尝错解苦涩;二是创设情境让学生尽可能获得由不知到知的体验,真正通过自我思考学习数学。所谓“差异性练习”就是指學生在解题时,由于思路不同会得到不同结论的练习。用形式的差异性激发学生的探究热情,并通过对差异的进一步研究,使学生加深对知识的认识与理解。不等式恒成立问题是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,大量存在着涉及不等式恒成立与有解问题。它常与思想方法紧密结合,体现能力立意的原则。在复习时,为突破这一难点,我选择下题:
例3①使关于x的不等式x-3+6-x≥k有解的实数k的最大值是 .
②使关于x的方程x-3+6-x=k有解的实数k的取值范围是 .
③使关于x的不等式x-3+6-x>k恒成立的实数k的取值范围是 .
④使关于x的不等式x-3+6-x ⑤使关于x的不等式x-3+6-x>k有解的实数k的取值范围是 . ⑥使关于x的不等式x-3+6-x ①6②3,6③-∞,3④6,+∞⑤-∞,6⑥3,+∞形式的差异,将学生引入愤悱的情境,探索的欲望油然而生。通过审视、分析、比较,同学们不仅理解了恒成立问题与有解问题的解法,更是提高了分析问题和解决问题的能力,从而从深层次上培养了学生的思维能力。 三、智力流动,激活思维的灵活性 思维的灵活性表现在不受思维定势的 束缚,善于发现新的联系;在思维受阻时,能及时改变思维策略,找寻新的途径和方法。能否合理地调整思路或变通问题,将知识进行“新的组合”,形成智力流动,是衡量思维灵活性的重要标志。教学中创设适当的问题情境,让学生处于那种“从另一个角度思考问题”的状态中,进行多种思想和方法的交锋与交融,把问题弄清楚,想透彻,达到灵活应用,潜能喷发的境界。 例4、如图1所示的空间图形中,已知四边形ABB1A1、ACC1A1、BCC1B1均为矩形,E、F分别是AB1、BC1的中点,求证:EF∥面ABC. 证法一:连接B1C(如图2),因为四边形BCC1B1为矩形,F是BC1的中点,所以B1C过点F,且F是B1C的中点.E是AB1的中点,在△AB1C中,EF∥AC.又EF面ABC,AC面ABC,所以EF∥面ABC. 证法二:∵ 四边形BCC1B1为矩形,E是AB1的中点,∴连接A1B(如图3),A1B过点E,且E是A1B的中点.由F是BC1的中点,所以在△A1BC1中,EF∥A1C1.在矩形ACC1A1中,AC∥A1C1,所以EF∥AC.又EF面ABC,AC面ABC,故EF∥面ABC. 点评:证法一和证法二都利用了线面平行的判定定理,两者都通过添加辅助线,证明EF∥AC.后者还利用了平行线的传递性,从而得证.相比之下证法一较简捷. 证法三:设M、N分别是AB、BC的中点,连接EM、FN、MN(如图4). ∵E、F分别为AB1、BC1的中点, ∴EM=//12BB1,FN=//12BB1.从而EM=//FN,四边形EMNF为平行四边形. ∴EF∥MN.又EF面ABC,MN面ABC,可得EF∥面ABC. 点评:证法三仍然利用了线面平行的判定定理,通过取AB的中点M,BC的中点N,证明四边形EMNF为平行四边形,从而利用EF∥MN得证. 证法四:取BB1的中点G,连接EG、FG(如图5).因E、G分别为AB1、BB1的中点,所以EG∥AB.又EG面ABC,AB面ABC,所以EG∥平面ABC.同理可证:FG∥面ABC.又EG∩FG=G,所以面EFG∥面ABC.又EF面EFG,所以EF∥面ABC. 证法五:取AC1的中点G,连接EG、FG(如图6).因E、G分别为AB1、AC1的中点,所以EG∥B1C1. 在矩形BCC1B1中,BC∥B1C1,知EG∥BC. 又EG面ABC,BC面ABC,所以EG∥面ABC,同理可证:FG∥面ABC.又EG∩FG=G,知面EFG∥面ABC. 又EF面EFG,所以EF∥面ABC. 点评:证法四和证法五都利用了面面平行的性质定理,证明了EF所在的平面EFG∥平面ABC,从而得证.作为普通的立体几何题,只要善于从不同的角度思考,总能找到不同的解决办法,这不仅能挖掘潜力,提高应变能力,同时还能对所学的数学知识作系统全面的复习,进一步提高学生的思维能力. 四、巧设“隐蔽性”练习,激活思维的深刻性 思维的深刻性表现为善于深入思考问题,准确把握事物本质及规律性联系,不被表面现象和各种干扰所迷惑的思维品质。所谓隐蔽性练习就是指问题涉及的数、式或图形间有某种隐蔽的特殊关系的训练。对此种隐蔽的特殊关系的探究,可以激活学生追根寻底的积极性。如在求函数最值或值域的过程中,必须要注意定义域优先,我选择如下练习: 例5、(1) 设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是 (A)-494(B)8(C)18(D)不存在 思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得:α+β=2k,αβ=k+6, ∴(α-1)2+(β-1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4(k-34)2-494.有的学生一看到-494,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。 ∵原方程有两个实根α、β, ∴Δ=4k2-4(k+6)≥0(k≤-2或k≥3. 当k≥3时,(α-1)2+(β-1)2的最小值是8; 当k≤-2时,(α-1)2+(β-1)2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。 (2) 已知(x+2)2+ y24=1, 求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12,因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+83)2+283 , ∴当x=-83时,x2+y2有最大值283,即x2+y2的取值范围是(-∞, 283]。 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的 限制,丢掉了最小值。事实上,由于(x+2)2+ y24=1 ( (x+2)2=1- y24≤1 ( -3≤x≤-1, 从而当x=-1时x2+y2有最小值1。 ∴x2+y2的取值范围是[1, 283]。 注意有界性:偶次方x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性等。 通过此种训练能启迪学生思维、积极探究,在揭示问题内在限制的过程中,思维的深刻性得到了培养。 五、互动交叉,激活思维的独创性 思维的独创性是指完成思维活动要有自己的见解,要在知识网络的交汇点上,提取交叉学科的知识及方法,运用到新的情境中去,找出新的改进方法。它集中表现为对新颖的信息,情境和设问,能选择有效的方法和手段收集信息,交替使用感官,综合和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题。 例题6、 如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距 离比到B的距离远2km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物,经测算,从M到B、从M到C修建公路的费用都是a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是多少? 略解:问题就是求 MB+MC的最小值,由题意曲线PQ的轨 迹方程为x2-y23=1,根据定义,转化为求 MA+MC-2的最小值,最小值为AC-2. 修建这两条公路总费用最低为(27-2)a万元. 这是一个实际的应用问题,通过结合数学的知识,建立数学模型,运用转化化归的思想,把问题转化为求数学中的最值问题。此种训练,既是对知识的应用,更是一种对思维品质的激发,进而提高学生的思维能力。 诚然,培养与激活学生的思维品质非一朝一夕之事,各种思维品质也相互交织,数学教学过程中激活思维品质并非有固定的模式和规律可循,这就需要我们教师在具体的教学过程中创设各种条件,积极诱导并努力实践之,使学生在不断学习中提高思维能力,深化思维层次,提高思维水平。例如在对列项求和这一方法的学习中,我选择了下面的题组: ⒈数列an满足an=1n+1+n,且an>0,则∑ni=1ai与n的大小关系是 ; ⒉数列an中, an=n,且对n∈N,均有1a1a2+1a2a3+…+1an-1an+1anan+1<log22t-2 恒成立,則实数t的取值范围是 ; ⒊数列an中, Sn是数列an的前n项和,an=sin10cosn0cosn+10,则S44与1的大小关系是 . 点拨1: an=1n+1+n=n+1-n, ∴∑ni=1ai=n+1-1, ∴∑ni=1ai2=n+1-12=n+2-2n+1 点拨2: 1anan+1=1nn+1=1n-1n+1,∴1a1a2+1a2a3+…+1an-1an+1anan+1=1-1n+1<1, ∴要使得 1a1a2+1a2a3+…+1an-1an+1anan+1<log22t-2恒成立,则log22t-2≥1,∴t≥2. 点拨3: an=sin10cosn0cosn+10=sinn+1-n0cosn0cosn+10=sinn+10cosn0-cosn+10sinn0cosn0cosn+10=tann+10-tann0 ∴S44=tan450-tan10=1-tan10<1.分析:本组题体现了思维链“放缩→裂项→求和→解决不等问题”的低层次要求;直接对通项进行裂项,并在此基础上进行理念上的提升. 综上所述,激活既有微观激活——概念激活,又有宏观激活——方法与策略激活, 解题原则的激活,激活策略应该是数学教学与数学解题中的一大诀窍,对有效培养学生的思维品质、提高学生思维能力是颇有裨益的。 参考文献: [1]曾荣.裂项求和法在解决不等关系问题中的应用.考试,2010第1、2期 [2]张世林,谭柱魁,覃德才.不等式恒成立与有解问题.中学数学,2010第3期 [3]张义红.数学课堂中创设探究式教学情境初探.考试2010第3、4期. 艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物, 是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具, 有着不同的方式, 但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果, 都是在其自身价值的弘扬中, 不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上, 审美地掌握世界。 艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中, 还同时发展并完善着自身的表现形式, 这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有: (1) 跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声, 因而它们可以超越时间和地域界限, 实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。 (2) 整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性, 数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。 (3) 简约性。它首先表现为很高的抽象程度, 其次是凝冻与浓缩。 (4) 象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验, 唤起某种美的感受, 而意义则在于把注意力引向思维, 升迁为理念, 成为表现人类内心意图的方式。 艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值, 这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来, 其共同的特点有: (1) 自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的, 艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。 (2) 超越性。它们可以超越时空, 显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中, 现实被扩张、被延伸。人被重新塑造, 赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。 (3) 非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。 (4) 多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下, 艺术与数学的价值也开始发生嬗变, 出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。 人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔, 并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体, 呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的, 而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时, 艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。 【摘要】创造性思维培养作为高中数学教学的一项重要任务，能够促进学生进行独立思考、从而发现问题并解决问题，有效提高了学生主动学习的兴趣.本文主要从对学生的观察能力、猜想能力的培养以及现代教育技术的应用三个方面入手，详细介绍了如何在高中数学教学中渗透对学生创造性思维的培养. 创造性思维的实质就是要求革新和求变.创新是数学教学的灵魂，是实施素质教育的关键.数学教学内容中有着丰富的创新素材，教师应以数学的特点与规律为依据，认真研究，积极对学生进行创造性思维培养. 1.注重培养学生观察能力 观察能力简单来说就是浏览与思考，这要求我们不仅要看到表面现象，更要主动思考为什么.学生观察能力的提升，有助于他们看清表象下的真实本质，对学生创造性思维的培养十分有利.学生如果没有较强的观察能力，看待事物就很肤浅，也很难培养创造性思维.所以在数学教学中，教师要以培养学生的观察能力为主，提高他们观察的兴趣，并且教师还要指导学生进行有目的性的观察，不能盲目观察，否则最后得出的结论可能不会有太多实质性的意义.同时，教师还要引导学生学会正确的观察方式，观察顺序一般是先整体，后局部，从而准确的观察到有用的信息. 2.合理运用现代教育技术 在高中数学教学中要让教育手段的现代化得到实现，这也是教育发展的总体趋势.在高中数学课堂上合理运用现代教育技术，不仅能丰富课堂教学的内容，还能让教学结构得到优化，激发学生探索数学世界的兴趣.在数学实验中运用信息技术，为其观察、分析、归纳、处理数据等方面提供了便利.利用信息技术能够使教学环境与模式变得更加新颖，也可将枯燥乏味的数学课堂转化成生动有趣的数学实验室，让学生在参与活动的过程中得到结论，这样不仅让课堂教学的效率得到了提升，更能发展学生的创新能力. 比如y=ax+b[]a（a，b∈R，a≠0）的图像在高中数学中是一个难点知识.一般都是使用几何画板来画出图像，从而根据图像解决问题.但是教师在讲解y=ax+b[]a（a，b∈R，a≠0）的图像时，只是一味让学生明白当a，b取值不同时，该函数图像是如何进行变化的，这样的讲解过程十分抽象，不利于学生对知识的掌握.因此，在实际解题中，教师要充分使用几何画板，给学生展示y=ax+b[]a的几何图像，通过对图像的展示，让学生能够清楚的观察到当a>0且b>0、a0且b>0、a>0且b0，a0且b0时，该函数图像的变化情况.并且学生还能观察到每个图像中渐近线的具体位置，像y=ax+b[]a（a，b∈R，a≠0）中，当a>0且b0时，学生对其单调区间和最值都有一个直观的认识.学生今后再遇到这样的问题，可以在脑中形成形象具体图像，这样学生很容易就理解题意，从而正确分析问题.因此，在高中数学教学中，以教学内容为基础，通过让学生自己动手设计课件，不仅能让学生的实践能力得到提高，更培养了学生的创造性思维. 3.培养学生大胆猜想能力 解决数学问题不仅要有严密的逻辑思维，还要敢于去大胆的猜想，而猜想也是高中数学教学中培养学生创造性思维的关键点.因为学生进行了大胆的猜想，所以才能突破定式思维，从问题的侧面开展思考和探索，经过大胆的假设和严密的求证，问题很快就能够得到解决，而学生的创新能力会得到提升. 比如高中数学集合题：在同一平面内有直线L与A，B两点，A，B均位于直线L的`同侧，在直线L上找到点C分别连接A，B两点，要求满足∠ACB的最大角.这道题有一定的难度，也不能一眼就能观察出答案.这时候教师可要求学生进行大胆的猜想，让自己的抽象思维能力充分发挥出来，对C点进行假设和求证.首先可假设点C从左到右在直线L上移动，通过观察点C的位置变化进行猜想，并且能够得到这样一个规律：点C刚开始在直线L上移动时，此时∠ACB明显较小，然后随着点C向右边移动的过程中，∠ACB逐渐变大，当到达某个位置时，∠ACB又逐渐变小.所以学生可以就这个规律进行大胆的猜想，从而找出∠ACB最大时的点.同时也要指导学生在解题中善于运用其他几何图形，比如在这道题中，如果结合到圆弧的知识就可以进行这样的猜想：过点A、点B，作与直线L相切的圆，而切点就是该题所求的C点.通过这样的大胆假设和逐步推理求证，让学生的创造力得到有效的激发，让学生的创造性思维得到很好的培养. 4.结论 关键词:创造性思维 数学 思考 问题 【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2012)03-098-01 创造力理论家唐纳德·特里芬格提出的“创造性解决问题方法”是能够较好的提高孩子创造力的方法。基于这样的理论，在教学实践中努力将“问题”贯穿于数学教育，形成了基于问题研究的课堂教学模式和课后作业。 1.基于问题研究的课堂教学模式 ⑴把课堂分成三部分：第一步，提出问题；第二步，问题研究；第三步，提出新问题。问题的提出是引入课堂的一种方式，问题研究是课堂最主要的部分，新问题的引出是课堂教学的最终目标。 第一步，提出问题。 教师要善于提出问题，创设一定的问题情境，这是培养学生创造力的重要条件。但是教师究竟提出什么样的问题，才能唤起学生的求知欲，促进学生创造力的发展呢?根据多年教学经验总结，一般“好”的情境具备以下几个特点：接近现实生活、思维跨度较小，能够让学生在已有生活体验中引起共鸣。 比如，在进行八年级（上册）2.7勾股定理的应用这节课教学时，可以将情境设置成研究江阴长江大桥。其实有时只是将书上提供的情境稍作改变，但收到的效果就会好很多。 再如，在进行函数概念教学时，就应该通过较多的情境创设让学生对这种关系有深刻的认识。如跑步过程中，保持速度不变，路程和时间之间的关系；如往水中抛石块，产生的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积和半径之间的关系；如家里平时用电，电费和用电量之间的关系；还可以让学生去举例，总之就是让学生通过较多的实际体验首先感受到这种关系，这样有利于学生提高对学习的兴趣，有利于理解函数这个抽象的数学概念。 第二步，师生共同进行问题研究。 问题研究的过程是在问题的牵引下进行的思维碰撞的过程，是课堂最主要的部分。在这个过程中，教师要明确自己的地位，明确自己不是学习活动的主体，而是学习活动的引导者、促进者，教师的作用在于引导、协调、鼓励和反馈，在于正确引导和把握问题研究的方向和突破口。 在我的数学课堂中，经常让学生小组合作共同研究，为了更明了地引导学生的学习，我会首先和他们一起探讨研究的思路，让他们知道随后实验可能是随着由特殊到一般的规律进行，或者是一个问题多有情况讨论的情况下进行。随后根据实验报告，有的放矢地进行实验操作。这种方式可以说是借鉴于物理化学实验，长久以来形成的传统是数学是严谨的学科，所以一味强调其逻辑性，必须公理等推理得到。这样就忽视了数学之来源，来源于生活，也就一直到新课标的产生才提出新的名词“做数学”。所以，我在我的课堂借鉴物化之实验报告形式，通过我的尝试，证明是有效的。如在进行勾股定理这节课的教学时，我就设计了实验报告，以供学生在研究构成直角三角形的三边关系时使用。 第三步，启发学生引出新问题。 如果说前面两步的完成，按照传统教学的目标应该达成了。但基于问题研究的课堂教学模式还有更重要的目标是培养学生的创造性思维。哈佛有句名言“The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions.”（教育的真正目的就是让人不断提出问题、思索问题。）这些问题课后可以继续研究或者作为下一节课研究的新主题。长此以往，学生形成了一种习惯，这种习惯使得他们在任何时候都会对现在的事实提出问题，融合信息进行分析、思考。学会去解决问题，去发展问题，坚韧不拔地去克服问题，这也是创造性思维的核心所在。 例如，在学习了平行四边形的性质、判定后，我会问学生，如果明天我们要一起来研究矩形，你会怎么做？矩形课程结束后，要研究菱形，我会问类似的问题。两次过后，学完菱形，学生自然就会问自己，正方形该如何研究？我想这样的话，不仅对于每个图形的性质、判定学生会很清晰，而且数学学习的方法学生也能掌握的更好。在这种期待下，学生活了起来，思维活了起来，课堂也活了起来，学生的创造性思维在潜移默化中得到了锻炼。 2.注重思维培养的作业 （1）作业的布置。作为一个数学教师，布置一些传统的计算、巩固作业必不可少，但在实际过程中，普遍存在重复的现象，将这种重复的现象降到最低，选择能够培养学生解决问题能力的题作为作业中的选做题。这些题的来源：一是课堂教学中激发出来的问题：课堂教学中教师与学生的交流中，思维火花的碰撞往往会产生一些很好的创意，留心捕捉这些火花编制成题；二是生活中的现实问题：指导学生注意观察日常生活中蕴含着的数学模型，数学知识。如：上面的教学设计后我布置如下作业：①书上练习。②选做题：课堂提出的新问题。 这道选做题需要学生先能够还原成立体图形，再结合几个基础立体图形的体积公式。所以，既考查了学生根据三视图还原成立体图形的能力，还培养了学生思维的灵活性。 （2）作业的讲评。讲评时要更多的进行师生口头的交流，注重解题思路的交流。要给学生平等交流的机会，师生处于平等的地位，有利于学生大胆说出自己的想法。柏拉图曾说，“吾爱吾师，但吾更爱真理。”双方站一个平等的地位上，在讨论中更容易形成良好的氛围，激发新的思路。 例如：讲评作业：解三元一次方程组：x+y=3y+z=4x+z=5 这道题学生提供了多种解法，虽然万变不离其宗，总之是消元思想。讲评这题最有意义的地方不是在于这道题的解法怎么样，而是在于学生回答问题之后得到教师的肯定。曾有一位学生跟我说过：“老师，我很感谢你的。就是因为你的那节课，激起了我对数学的兴趣。”其实对于她，我做得什么我一点都不记得了，但我想一定是我对她的肯定让她如此。 苏霍姆林斯基说：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。因此，在数学教育实践中，教师就应该保护学生最原始的意愿。教师要不断地创设情境，激发学生的兴趣。当学生对某种感兴趣的事物产生疑问并急于了解其中的奥秘时，不能简单地把自己知道的知识直接传授给学生，而应该充分相信学生的潜能，鼓励学生自主探索，通过观察、实验、猜测、推理、交流等数学活动，去大胆地研究数学。只有这样，才能从根本上使学生具有创造性思维，提高他们的创造力。 参与文献 ［1］娄维义．《基于问题研究的创新教育》［M］．华东师范大学出版社，2011年7月． ［2］胡珍生，刘奎林．《创造性思维学概论》［M］．经济管理出版社，2006年3月． 根据当代心理学和神经生理学最新研究成果而提出的关于创造性思维的“内外双循环理论模型”认为, 创造性思维结构应当由逻辑思维、发散思维、形象思维、直觉思维、辩证思维和横纵思维等六个要素组成. 一、创造性思维品质的培养 1. 逻辑思维的培养 逻辑思维活动的能力, 集中表现为应用内涵更博大、概括力更强的符号的能力, 这种能力就是高度抽象的能力. 确切地说, 学生实现认识结构的组织, 是思维过程的最关键环节和最本质的东西. 提高逻辑思维活动的能力, 是对创造性思维能力的自我开发. (1) 为了提高学生的逻辑活动的能力 , 则必从概念入手在教学中教师要引导学生充分认识构成概念的基本条件, 揭示概念中各个条件的内在联系, 掌握概念的内涵和外延, 在此基础上建立概念的结构联系. (2) 引导学生正确使用归纳法 , 善于分析、总结和归纳由归纳法推理所得的结论虽然未必是可靠的, 但它由特殊到一般, 由具体到抽象的认识功能对于科学的发现是十分有用的. (3) 引导学生正确使用类比法 , 善于在一系列的结果中找出事物的共同性质或相似之处后, 推测在其他方面也可能存在的相同或相似之处. 2. 发散思维的培养 发散思维有助于克服那种单一、刻板和封闭的思维方式, 使学生学会从不同的角度解决问题的方法. 在课堂教学中, 进行发散思维训练常用的方法主要有以下两点: (1) 采用“变式”的方法. 变式教学应用于解题 , 就是通常所说的“一题多解”. 一题多解或一题多变, 能引导学生进行发散思考, 扩展思维的空间. (2) 提供错误的反例. 为了帮助学生从事物变化的表象中去揭示变化的实质, 从多方面进行思考, 教师在从正面讲清概念后, 可适当举出一些相反的错误实例, 供学生进行辨析, 以加深对概念的理解, 引导学生进行多向思维活动. 3. 形象思维的培养 形象思维能力集中体现为联想和猜想的能力. 它是创造性思维的重要品质之一, 主要从下面几点来进行培养: (1) 要想增强学生的联想能力 , 关键在于让学生把知识经验以信息的方式井然有序地储存在大脑里. 在教学活 动中, 教师应当努力设置情景触发学生的联想. 在学生的学习中, 思维活动常以联想的形式出现, 学生的联想力越强, 思路就越广阔, 思维效果就越好, 由此得出的猜想才经得起严密的论证, 得出正确的结论. (2) 为了使学生的学习获得最佳效果 , 让联想导致创造 , 教师应指导学生经常有意识地对输入大脑的信息进行加工编码, 使信息纳入已有的知识网络, 或组成新的网络, 在头脑中构成无数信息的链. 4.直觉思维的培养 在数学教学过程中, 我们应当主动创造条件, 自觉地运用灵感激发规律, 实施激疑顿悟的启发教育, 坚持以创造为目标的定向学习, 特别要注意对灵感的线性分析, 以及联想和猜想能力的训练, 以期达到有效地培养学生数学直觉思维能力之目的. (1) 应当加强整体思维意识 , 提高直觉判断能力 . 扎实的基础是产生直觉的源泉. 阿提雅说过:“一旦你真正感到弄懂一样东西, 而且你通过大量例子, 以及与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验, 对此你就会产生一种正在发展的过程是怎么回事, 以及什么结论应该是正确的直觉. ” (2) 要注重中介思维能力训练 , 提高直觉想象能力 . 例如, 通过类比, 迅速建立数学模型, 或培养联想能力, 促进思维迅速迁移, 或一题多解多途径解决问题, 都可以启发直觉我们还应当注意猜想能力的科学训练, 提高直觉推理能力. (3) 教学中应当渗透数形结合的思想 , 帮助学生直觉思维的形成. (4) 可以通过提高数学审美意识 , 促进学生数学直觉思维的形成. 美感和美的意识是数学直觉的本质, 提高审美能力有利于培养学生对数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识. 5. 辩证思维的培养 辩证思维的实质是辩证法对立统一规律在思维中的反映. 教学中教师应有意识地从以下几个方面进行培养: (1) 辩证地认识已知和未知. 在数学问题未知里面有许多重要信息, 所以未知实际上也是已知, 数学上的综合法强调从已知导向未知, 分析法则强调从未知去探求已知. (2) 辩证地认识定性和定量. 定性分析着重抽象的逻辑推理, 定量分析着重具体的运算比较, 虽然定量分析比定性分析更加真实可信, 但定性分析对定量分析常常具有指导作用 (3) 辩证地认识模型和原型. 模型方法是现代科学的核心方法, 所谓模型方法就是通过对所建立的模型的研究来推知原型的某种性质和规律. 这种方法需要我们注意观念上的转变和更新. 6.各种思维的协同培养 当然, 任何思维方式都不是孤立的. 教师应该激励学生大胆假设小心求证, 并在例题的讲解中穿插多种思维方法, 注意培养学生的观察力、记忆力、想象力等, 以达到提高学生创造性思维能力的目的. 总之, 我们要利用各种思维相互促进的关系, 把学生的思维习惯逐渐由“再现”导向“创造”, 用已掌握的知识去研究新知识, 引导他们总结规律, 展示想象, 大胆创新. 二、课堂中如何培养创造性思维 教育的根本目的是培养人的能力, 而在各种能力中, 创造力的培养显然是至关重要的. 所谓创造力是指创造意识、创造性思维和创造能力, 而其核心是创造性思维. 所以教育在培养创新精神和培养创造性人才方面肩负着特殊的使命.要有效地培养出大批具有创新能力的人才, 教师首先要先转变教育思想、教学观念和教学模式. 而具有创造力的人是认真倾听、细致观察、质疑权威、寻根问底、对新生事物充满好奇心, 所以在教学中如何培养学生的创造性思维继而培养学生的创新精神, 提高学生的创造力, 是我们教学工作中一直在深究的一个课题, 现在就如何培养学生的创造性思维进行一些探讨. 1. 利用数学课的特点 , 激发学生学习兴趣 , 培 养学生创造性思维 “兴趣是水闸 , 依靠它 , 能打开注意的水库和指引注意之水流下来.”教育家德可利乐说. 因此, 学生的创造性思维, 只能在学生主动积极学习中得到. 这就要求教师利用数学巧妙的方法、严密的推理、美的图形与现实性等特点来激发学生的兴趣, 吸引学生参与教学活动, 促使他们在学习中思维的创造性得到培养, 主动探索知识. 如在学习一次函数的性质时 , 我先提出问题:已知A (2, m) , B (-3, n) 是一次函数y =-3x + 1上的两点 , 比较m, n的大小. 让学生自己与老师一起解答, 看谁能最快解答. 随后又随意抛出几道类似的题, 结果都是教师比赢了, 这就激发了学生的好胜心, 激发了求知欲, 为学习本节知识创造了主动性, 调动了他们的积极性. 本节课结束时, 我又引导学生归纳解答类似题目的方法, 一会儿学生就归纳出:利用待值比较, 利用一次函数的性质比较, 利用一次函数的图像比较等方法. 2. 打破思维定式, 开拓分析思路, 训练学生创造性思维 目前我们的数学课堂中还存在思维的空白缺陷, 课堂上害怕“冷场”, 只提一些过于简单的问题或在问题提出后不给以充足的思考时间, 便以“引导”“告知”或“提示”等方式解决问题. 这就造成了学生懒于思考或思考不深入, 对老师所提问题不假思索脱口便说等情况. 这都是与新课程精神相违背的. 这就要求我们的数学课堂上老师提问应有层次感, 难易结合, 要给学生足够的思考时间和空间. 还应注意为学生创造参与创造环境和条件, 吸引学生的思维活动, 想方设法给他们展现才华, 体现自我价值的机会, 让他们在一次次的成功中去体会学习的快乐. 启发和激励学生有创建地分析解答问题. 3. 实现师生多向互动 , 进 行情感加温 , 激发学生创造性思维 和谐民主的课堂教学氛围是培养学生主动探究、勇于创新的基本前提. 只有在和谐、平等、民主、融洽的师生关系中, 学生才会放下思想包袱, 消除心理压力, 才会积极主动地观察思考问题, 才会精神振奋地参与解答问题, 创造力也才得以发挥. 教者才乐教, 学者才乐学. 因此, 在课堂中师生应有充分的交流, 学生应有勇于表达的勇气和机会. 所以数学教学老师不要刻板训诫, 高高在上, 必须情感加温, 课堂和谐, 具有亲和力、感染力, 才能加速学生对知识的理解和思维的发展, 激发创造力. 4. 鼓励质疑问难, 关注学习过程, 唤起学生创造性思维 教师在教学中要引导学生乐于设问, 鼓励学生敢于提问, 指导学生发问, 使学生创造性思维的火花不断迸发出来课堂中, 学生通过学习, 冷静思考, 热烈讨论, 形成了对所学知识的整体感知和把握, 深层认识和理解, 就会产生各种各样的质疑. 这就需要在学生之间、师生之间交流, 通过交流使学生的认识更加完善, 学生的表现欲得到了满足, 从而激发了学生学习数学的兴趣, 对数学产生热爱. 因此, 课堂上应肯定学生质疑的优点, 支持学生发表不同的意见, 鼓励学生积极探索. 善于运用讨论式教学, 比起由老师一个人承包解决问题来说, 前者的效果是后者无法企及的;前者关注的是过程, 后者关注的是结果. 总而言之, 我们可以看到, 创造性思维既有别于传统教育所注重的逻辑思维, 又并非单纯意义上的发散思维, 它是由逻辑思维、非逻辑思维、直觉思维和辩证思维所构成的有机的整体, 并且是一个人创造力的核心. 数学教学应该尽快地转变思想, 从传统的教育模式向培养创造性人才的教育模式转变, 从传统教育所强调的逻辑思维向现代社会所需要的创造性思维转变. 这个过程将是漫长的, 我们将继续探索下去 参考文献 [1]仇保燕.教学思维方法.武汉:湖北教育出版社, 1994:221-235. [2]张楚庭.数学与创造.武汉:湖南教育出版社, 1989:8-10. [3]王仲春, 李元中, 顾莉蕾, 孙名符.数学思维与数学方法论.北京:高等教育出版社, 1988:97-101. 根据当代心理学和神经生理学最新研究成果而提出的关于创造性思维的“内外双循环理论模型” (DC模型) 认为, 创造性思维结构应当由逻辑思维、发散思维、形象思维、直觉思维、辩证思维和横纵思维等六个要素组成。 一、逻辑思维的培养 逻辑思维活动的能力, 集中表现为应用内涵更博大、概括力更强的符号的能力, 这种能力就是高度抽象的能力。确切地说, 学生实现认识结构的组织, 是思维过程的最关键环节和最本质的东西。提高逻辑思维活动的能力, 是对创造性思维能力的自我开发。 (1) 为了提高学生的逻辑活动的能力, 则必从概念入手。在教学中教师要引导学生充分认识构成概念的基本条件, 揭示概念中各个条件的内在联系, 掌握概念的内涵和外延, 在此基础上建立概念的结构联系。 (2) 引导学生正确使用归纳法, 善于分析、总结和归纳。由归纳法推理所得的结论虽然未必是可靠的, 但它由特殊到一般, 由具体到抽象的认识功能对于科学的发现是十分有用的。 (3) 引导学生正确使用类比法, 善于在一系列的结果中找出事物的共同性质或相似处之后, 推测在其他方面也可能存在的相同或相似之处。 二、发散思维的培养 发散思维有助于克服那种单一、刻板和封闭的思维方式, 使学生学会从不同的角度解决问题。在课堂教学中, 进行发散思维训练常用的方法主要有以下两点: (1) 采用“变式”的方法。变式教学应用于解题, 就是通常所说的“一题多解”。一题多解或一题多变, 能引导学生进行发散思考, 扩展思维的空间。 (2) 提供错误的反例。为了帮助学生从事物变化的表象中去揭示变化的实质, 从多方面进行思考, 教师在从正面讲清概念后, 可适当举出一些相反的错误实例, 供学生辨析, 以加深对概念的理解, 引导学生进行多向思维活动。 三、形象思维的培养 形象思维能力集中体现为联想和猜想的能力。它是创造性思维的重要品质之一, 主要从下面几点来进行培养: (1) 要想增强学生的联想能力, 关键在于让学生把知识经验以信息的方式井然有序地储存在大脑里。 (2) 在教学活动中, 教师应当努力设置情境触发学生的联想。在学生的学习中, 思维活动常以联想的形式出现, 学生的联想力越强, 思路就越广阔, 思维效果就越好。 (3) 为了使学生的学习获得最佳效果, 让联想导致创造, 教师应指导学生经常有意识地对输入大脑的信息进行加工编码, 使信息纳入已有的知识网络, 或组成新的网络, 在头脑中构成无数的信息链。 四、直觉思维的培养 在数学教学过程我们应当主动创造条件, 自觉地运用灵感激发规律, 实施激疑顿悟的启发教育, 坚持以创造为目标的定向学习, 特别要注意对灵感的线形分析, 以及联想和猜想能力的训练, 以期达到有效地培养学生数学直觉思维能力之目的。 (1) 应当加强整体思维意识, 提高直觉判断能力。 (2) 要注重中介思维能力训练, 提高直觉想象能力。例如, 通过类比, 迅速建立数学模型或培养联想能力, 促进思维迅速迁移, 都可以启发直觉。我们还应当注意猜想能力的科学训练, 提高直觉推理能力。 (3) 教学中应当渗透数形结合的思想, 帮助学生建立直觉观念。 (4) 可以通过提高数学审美意识, 促进学生数学直觉思维的形成。美感和美的意识是数学直觉的本质, 提高审美能力有利于培养学生对数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识。 五、辩证思维的培养 辩证思维的实质是辩证法对立统一规律在思维中的反映。教学中教师应有意识地从以下几个方面进行培养: (1) 辩证地认识已知和未知。在数学问题未知里面有许多重要信息, 所以未知实际上也是已知, 数学上的综合法强调从已知导向未知, 分析法则强调从未知去探求已知。 (2) 辩证地认识定性和定量。定性分析着重抽象的逻辑推理;定量分析着重具体的运算比较, 虽然定量分析比定性分析更加真实可信, 但定性分析对定量分析常常具有指导作用。 (3) 辩证地认识模型和原型。模型方法是现代科学的核心方法, 所谓模型方法就是通过对所建立的模型的研究来推知原型的某种性质和规律。这种方法需要我们注意观念上的转变和更新。 摘要：本文论述了创造性思维研究的现状, 简单梳理了创造性思维研究的几种观点, 并鉴于实践中对于创造性思维研究的成果的应用, 列举了五种较为流传的创造性思维教学模式, 随后论述创造性思维的本质及构造, 讨论了创造性思维方法的培养。 在初中阶段, 结合数学教学, 正确培养和发展学生的创造性思维能力, 对造就创造型人才至关重要.本文就笔者自己数学教学的实践, 谈谈培养学生创造性思维的一些做法. 一、创设思维情境, 诱发学生的创造欲 在数学教学中, 学生的创造性思维的产生和发展, 动机的形成, 知识的获得, 智能的提高, 都离不开一定的数学情境, 所以, 精心设计数学情境, 是培养学生创造性思维的重要途径.例如, 在学习a0=1 (a≠0) 的命题时, 可先让学生解这样的一个命题: 已知:a≠0, 求an÷an的值. 学生很快求出:an÷an=1, 但又感到迷惑不解, 因为用同底数幂的除法法则an÷an=an-n=a0, 为什么a0=1, 这样使学生急于想了解a0为何等于1, 使学生有了追根求源之感, 求知的热情被激发起来. 以上例子说明, 在课堂数学中, 创设问题情境, 设置悬念能充分调动学生的学习积极性, 使学生迫切地想要了解所学内容, 也为学生发现新问题, 解决新问题创造了理想的环境, 这是组织数学的常用方法. 二、注重发展学生的观察力, 是培养学生创造性思维的基础 正如著名心理学家鲁宾斯指出的那样, “任何思维, 不论它是多么抽象的和多么理论的, 都是从观察分析经验材料开始.”观察是智力的门户, 是思维的前哨, 是启动思维的按钮.观察的深刻与否, 决定着创造性思维的形成.因此, 应引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解, 而要深刻观察, 去伪存真, 这不但为最终解决问题奠定基础, 而且, 也可能有创见性地寻找到解决问题的契机.例如有下面一道题: 古希腊家把1, 3, 6, 10, 15, 21, …叫做三角形数, 根据它的规律, 第100个三角形数与第98个三角形数之差为____________. 凭直觉我们很难从问题的结构中去寻求规律性, 学习经过引导, 发现第一个数为1;第二个数为3, 即等于1、2的和;第三个数为6, 即等于1, 2, 3的和;第四个数为10, 即为1, 2, 3, 4的和, 由此可以推出第100个数, 即为1, 2, 3, …, 100的和, 由此可以推出第100个比第98个数多了100和99, 从而算出它们的差为199.引导学生深入观察, 发现题中所显示的规律从而能迅速地得出问题的答案. 三、提高学生的猜想能力, 是培养学生创造性思维的关键 猜想是由已知原理、事实, 对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题.在我们的数学教学中, 培养学生进行猜想, 是激发学生学习兴趣, 发展学生直觉思维, 掌握探求知识方法的必要手段.我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想, 以真正达到启迪思维、传授知识的目的, 启发学生进行猜想, 作为教师, 首先要点燃学生主动探索之火, 我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来, 而要“引在前”, “引”学生观察分析;“引”学生大胆设问;“引”学生各抒己见;“引”学生充分活动.让学生去猜、去想.猜想问题的结论, 猜想解题的方向, 猜想由特殊到一般的可能, 猜想知识间的有机联系, 让学生把各种各样的想法都讲出来, 让学生成为学习的主人, 推动其思维的主动性.为了启发学生进行猜想, 我们还可以创设使学生积极思维, 引发猜想的意境, 可以提出“怎么发现这一定理的?”“解这题的方法是如何想到的?”诸如此类的问题, 组织学生进行猜想、探索, 还可以编制一些变换结论, 缺少条件的“藏头露尾”的题目, 引发学生猜想的愿望和猜想的积极性. 例如:在直线l上同侧有C、D两点, 在直线l上要求找一点M, 使∠CMD最大. 本题的解不能一眼就看出.这时可以这样去引导学生:假设动点M在直线l上从左向右逐渐移动, 并随时观察∠CMD的变化, 发现:开始是张角极小, 随着M点的右移, ∠CMD逐渐增大, 但经过某个点后, ∠CMD又逐渐变小.于是初步猜想, 在这两个极端情况之间一定存在一点M0, 它对C、D两点的张角最大.如果结合圆弧的圆周角的知识, 便可进一步猜想:过C、D两点所作圆与直线l相切, 切点M0即为所求.然而, 过C、D两点且与直线l相切的圆是否只有一个, 这还需要再进一步引导学生思考.这样随着猜想的不断深入, 学生的创造性动机被有效地激发出来, 创造性思维得到了较好地培养. 四、训练学生的发散思维, 是提高学生创造思维能力的重点 任何一个富有创造性活动的全过程, 都要经过集中、发散、再集中、再发散多次循环才能完成, 在数学教学中忽视任何一种思维能力的培养都是错误的. 发散思维是一种不依常规、寻求变异、多方面寻求答案的一种思维方式, 是创造性思维的核心.发散思维富于联想, 思路宽阔, 善于分解组合和引申推广, 善于采用各种变通方法.发散思维具有三个特征:流畅性、变通性和独创性. 加强对学生发散思维的培养, 对造就一代开拓型人才具有十分重要的意义.在数学教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练, 尤其是一题多解、一题多变、一题多用及多题归一等变式训练, 达到使学生巩固与深化所学知识, 提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力, 增强思维的灵活性、变通性和独创性的目的. 一题多解, 培养学生求异创新的发散思维, 实现和提高思维的流畅性.通过一题多解的训练, 学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法, 开拓解题思路, 使不同的知识得以综合运用, 并能从多种解法的对比中优选出最佳解法, 总结解题规律, 使分析问题、解决问题的能力提高, 使思维的发散性和创造性增强. 一题多变, 培养学生的转向机智及思维的应变性, 实现提高发散思维的变通性.把习题通过变换条件、变换结论、变换命题等, 使之变为更有价值、更有新意的新问题, 从而应用更多的知识来解决问题, 获得“一题多练”“一题多得”的效果.学生的思维能力随问题的不断变换、不断解决而得到不断提高, 有效地增强思维的敏捷性和应变性, 使学生的创造性思维得到培养和发展. 多题归一, 培养学生的思维收敛性.任何一个创造过程, 都是发散思维和收敛思维的优秀结合.因此, 收敛性思维是创造性思维的重要组成部分, 加强对学生收敛性思维能力的培养是非常必要的, 而多题归一的训练, 则是培养收敛性思维的重要途径.很多数学习题, 虽然题型各异, 研究对象不同, 但问题的实质相同, 若能对这些“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析, 抓共同的本质特征, 掌握解答此类问题的规律, 就能弄通一题而旁通一批, 达到举一反三、事半功倍的教学效果, 从而摆脱“题海”的束缚. 一、创设有挑战性的问题情境, 发展学生创新思维 创新总是在问题的不断解决中发展起来的, 问题解决是创新的土壤。因此, 教师就应该注意给学生营造不同的问题情境, 让学生通过自己一系列思维的加工, 来发展自己的创新能力。例如, 在教学“商不变的规律”时, 我先出示几组算式让学生算出得数: 接下来, 我让学生根据得数进行分类, 学生发现 (1) 、 (5) 、 (6) 、 (7) 、 (10) 这几个算式的商都是3, 通过进一步观察和比较, 他们很快找出这几个算式中隐藏的规律。像这样, 经常让学生在已有的知识基础上去探索规律, 通过学生自己一系列思维的加工, 可以更好地促进学生的创新思维和能力的发展。 二、让学生提出独立见解, 发表不同见解 《小学数学新课程标准》要求:数学要鼓励学生质疑问提出自己的独立见解。数学课堂教师应该鼓励学生质疑问难, 勇于提出问题, 让学生发表不同见解, 提出富有创见的问题, 培养他们的创新精神。例如, 引导学生进行“异分母分数大小比较”时, 出示两组数, 问学生可以采取哪些方法进行比较。学生得出:可以用“通分母比较”;也可以用“通分子比较”;还可以用“化小数比较”。但是针对不同的题目可选用最合适的方法, 一是可用“接近1比较法”, 可用在像“8/9和11/12”这样的分子和分母只相差1的分数比较;二是可用“与1/2比较法”, 可用在像“2/3和3/7”这样接近1/2的分数比较。这些意见都已达到全班的共识。此时, 有一位学生站起来说:“老师, 我认为可以用乘积比较法, 也就是一个分数的分子与另一个分数的分母, 所得的积小的那个分数小。”另一位同学马上站起来说:“我认为没有道理。”到底有没有道理呢?经过一番争论后, 最后大家一致达到共识, 这种比较的方法是正确的, 实际上是用两个分数的分母之积做公分母来通分, 然后比较大小的。对于这种勇于独立思考, 勇于提出自己见解的同学, 都要及时表扬, 即使是错误的见解, 教师也要及时地给予鼓励和肯定。 三、创设非常规问题, 培养学生的发散思维 凡有发散性加工或转换的地方, 都表明发生了创造性思维。发散思维朝不同方向寻找或行进, 这只有在没有唯一的结论时看得最清楚。因此, 教师在数学课堂上完全有必要多设计一些非常规性问题, 让学生从多角度思考, 从而获得多种解决方法。例如, 教学“分数化小数”这一问题时, 在学生得出课本上分子除以分母的方法后, 让他们继续思考能不能采用别的方法, 把“3/16、1/4、2/5、9/125、7/8”这几个分数化小数。学生得出:可以运用分数的基本性质把这些分数化成分母为10、100、1000的分数后, 再化成小数。这种从多角度的思考中, 找出不同的问题和方法, 充分地培养了学生的创新思维能力。 四、注重解题训练, 开阔思路, 促进创新发展 数学教学是数学思维的双边活动。练习课上, 在巩固学生知识形成技能、技巧的同时, 应重视对学生进行思维训练, 激活学生的创新意识, 给学生广阔的思维空间, 发挥学生的主体作用, 使学生的思维步步深入, 从不同角度来分析、解答, 有根据、较完整地叙述思路, 充分展现学生思维的灵活性、深刻性、批判性、创新性等品质, 从而提高其解题能力。我在一节分数应用题练习课上, 设计这么一道练习题:一堆煤, 用去它的3/4后, 又运来14吨, 这时煤的吨数是原来的3/5, 原来这堆煤有多少吨?学生应用所学的知识, 找已知数量14吨对应的分率。此时, 教师要发挥学生的主体作用, 给学生一个广阔的思维空间, 让学生分组讨论, 利用线段图进行多角度观察、分析, 激发学生创新思维, 获得多解、巧解的解题能力, 学生从不同的角度进行观察, 用不同的思路进行思考。教师鼓励学生积极思维, 踊跃创新, 课堂上学习气氛高涨, 学生思路拓宽了, 联想也丰富了。由此可见, 数学课中的解题训练, 应着重让学生开阔思路, 掌握多角度思考问题的方法, 完全可以激发学生的创新思维, 提高学生的数学解题能力。 五、结合生活实际, 激发创新思维 数学来源于生活, 又广泛用于生活实际。教师应把数学和生活联系起来, 让学生增强应用意识, 在现实生活中去发展数学问题, 掌握数学, 真正理解数学与生产、生活的密切联系, 同时, 生活实践中富有创造性的劳动, 可以更好地激发人的创造力。 在数学中可以通过情境的创设让学生体验实际生活的某个角色, 通过身临其境来获得对实际的感受, 从而激发学生的兴趣和创新意识。学习了长方体、正方体的表面积和体积后, 我在一节数学课中, 创设出一个工厂设计室的情境, 请学生分别扮演设计师和顾客, 顾客提出不同要求, 请小设计师必须满足顾客的要求。大部分顾客都要求用同样大小的一块长方形的铁皮做一个无盖的铁皮盒, 容积要尽量大, 在不浪费一点材料的情况下, 做一个最大容积的无盖铁皮盒。小设计师们经过动手操作:画画、剪剪、拼拼、摆摆, 得出多种方案, 然后对产品的设计合理和使用价值, 展开评论。由于这些问题与现实生活紧密相连, 同学们兴趣倍增, 思考的劲头也大了, 创新的思维火花不时的迸发。 一、类比式启发 类比是发现新问题的一种有效的思维方法.当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或某些对象存在类似的关系,我们便可对这两个对象系统进行比较,从而可以从一个对象系统所具有的结果去猜想或发现另一个系统也具有相应的结果. 例如:解方程=. 此方程形如“=”型,可通过类比,利用合比性质将较复杂的分式方程简化形式,起到事半功倍效果,在解法上属于打破常规的一种创新解法.由合比性质,得=,整理,得x(x+2)(x-2)=0,所以x1=0,x2=-2,x3=2.经检验x1=0,x2=-2,x3=2都是原方程的根. 又如:已知直线a和a的同侧两点A、B(如图1),求作点C,使C在直线a上,并且AC+CB最小. 此题实际上是在直线a上找一点C,使折线ACB最短,于是教师可引导学生进行类比,若A为光源或目标,B为观察者的眼睛,直线a为反射平面镜位置,当折线ACB代表反射光线的实路径时,其长最小,即AC+CB最小(如图2).由光的反射定律可知∠CAN=∠BCN,所以,∠1=∠2=∠3,像A′与A关于直线a对称,通过这样的类比,培养了学生的创造性思维能力. 类比式引发是培养学生创造性思维能力的有效途径.类比的思维方式表现性非常灵活,主要是根据问题的具体情况,及时改变观察和理解的角度,揭示问题的本质联系,由此及彼,机智敏捷地、创造性地去探求问题. 二、归纳式启发 这是教会学生将一个个具体的问题加以归纳综合的思维方法.它能使学生逐步形成将不同事物综合为一体的能力.例如平面内一条直线,最多可将平面分成1 + 1 = 2个部分,两条直线最多可将平面分成1 + 1 + 2 = 4个部分,三条直线最多可将平面分成1 + 1 + 2 + 3 = 7个部分……之后教师及时引导学生归纳:你能对平面内n条直线的结果进行猜测吗? 学生经过归纳,猜测的结果为:1+1+2+3+…+n=1++(部分). 又如让学生观察1×3+1=22,2×4+1=32,3×5+1=42……学生感到惊奇,教师适时引导学生归纳出一般规律:n(n+2)+1=(n+1)2,并进而要求学生用因式分解加以证明,学生会沉浸在成功的乐趣之中. 归纳式启发既能培养学生的观察综合能力、逻辑思维能力,还能培养学生今后综合技术的潜在创新能力. 三、联想式启发 联想是从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动.在数学教学中,教师可引导学生通过联想,利用“移植、渗透、替代”等方式,在解决一个问题时考虑是否可以经过某种代换,或是将条件、结论改成某种与之等价的命题后转变成接近或类似的问题. 例如:若a、b、c是△ABC的三边之长,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,求证△ABC是正三角形. 此题实际上是要证明a=b=c.由已知一个方程中三个字母,根据条件,可联想到非负数的性质,把条件转化为几个非负数的和等于0的等式,问题就会迎刃而解. 再如:m为何实数时,x的任何实数值都不满足不等式(m+1)x2- 2(m-1)x-3(m-1)<0. 此题原命题等价于“m为何实数时,不等式(m+1)x2-2(m-1)x- 3(m-1)≥0恒成立”.当m=-1时显然不成立;当m≠-1时,联想构造函数y=(m+1)x2-2(m-1)x-3(m-1),它的图像是一条抛物线,要使y≥0,只要抛物线开口向上,顶点在x轴上或x轴上方,由m+1>0,△≤0,可以得到当-≤m≤1时,对x的任何实数值都不满足不等式(m+1)x2-2(m-1)x-3(m-1)<0. 联想式启发可以将相关知识联系起来组建认知结构,沟通各部分知识间的联系.联想也是创造性思维活动的起点,目的明确的联想是促进学生创造性思维能力的发展,提高解题能力的有效途径.教学中长期有意识地加强联想的训练,有利于学生对已有知识理解得更深刻,运用得更灵活. 四、发散式启发 发散式启发是利用发散思维来诱发出各种各样的创造性设想,引导学生由此及彼,触类旁通,从多方面探求问题. 例如,有这样一道几何题:△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,F为AD的中点,CF的延长线交AB于E,求(1/2). 在此题的基础上,教师可引导学生从多方面来进行推广. 推广一:AD为△ABC中线,F为AD中点,CF的延长线交AB于E,求(1/2). 推广二:△ABC中,F为中线AD上一点,且=n,CF的延长线交AB于E,求(n/2). 推广三:△ABC中,D为BC上一点,且=n,F为AD的中点,CF的延长线交AB于E,求(n/n+1). 推广四:△ABC中,D为BC上一点,F为AD上的一点,且,=n,=m,CF的延长线交AB于E,求(mn/n+1). 在这些推广中,既有条件的广泛性,又有结果的展拓,打破过去教学中封闭型思维的狭窄天地. 再如,教师可用这样一个一题多解的题目来进行训练:解方程组x+xy+y=11,x2y+xy2=30.学生从不同思路入手,得到多种解法.教师最后可引导学生一起分析各种思路的优劣,最后归纳八种方法,即可用加减项法、换元法、相除法、均值代换法、配方法、根与系数关系、代入法、反比例换元法来解.经常这样训练,学生就不会满足于一得之见,而会增强探索和创造精神. 五、改变式启发 改变会产生创造,将现有的题目进行改组、增加、颠倒、重叠等,往往是发展创造性思维的成功途径,下面举例说明. 1. 变条件. 原题:已知线段DE两端点分别在△ABC中的两边AB、AC上,且∠1=∠B,求证△ABC∽ADE. 教师可引导学生从同一结论出发,从多方面、多个角度探求结论成立所需要的不同条件,即已知结论或部分条件及结论,要求学生从结论出发,逆向探求结论成立需要的多种不同条件,考查了学生反向求异的思维能力. 结合图3,学生探求得出的条件为:①DE∥BC;②AD∶DB=AE∶EC;③AD∶AB=AE∶AC④AB∶DB=AC∶EC;⑤∠2=∠C;⑥∠2=∠B;⑦∠1=∠C;⑧AE∶AB=AD∶AC. 2. 变结论. 原题:如图4,已知⊙O内切于四边形ABCD,AB=AD,连结AC、BD,求证:AC平分∠BAD. 教师可引导学生由已知条件,进一步探索出以下几个结论:①∠ABD=∠ADB;②AC垂直平分BD;③∠BAC+∠DBA=90°;④△ABC≌△ADC;⑤BC=DC;⑥S四边形ABCD=AC·BD. 让学生自己尽可能多地探索未知结论,并去求解这些未知结论.这个过程,充分揭示思维的广度和深度,不同层次的学生都能得到有益的尝试. 3. 变内容. 原题:已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c.变题:如果A、B、C为△ABC的三内角且(sinC-sinA)2-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0,求证:2sinB=sinA+sinC. 说明:在△ABC中,由正弦定理可知2sinB=sinA+sinC与2b=a+c是等价的,不过问题的内容不同而已. 改变式启发可防止思维模式的僵化,打破过去处理同类问题的思维定势,培养学生具体问题具体分析,灵活处理问题的创造性思维. 一、提高教师自身的创造性 有关创造性的研究表明, 每个正常的人都有不同的创造潜能, 潜能的发展程度完全依赖于后天的引导。因此, 要培养具有创造性的学生, 就必须有创造性的教师。教师的创造力、教育观、自身的个性特点、教学艺术等对培养学生的创造性思维具有指导意义。 (1) 善于引导学生进行探索和发现, 充分发挥学生的积极性和主动性。 数学教学中, 应改变学生被动学习的局面, 积极引导学生进行观察, 探索和发现, 作出合理的猜想, 把有关的信息纳入自己的理解系统。因此, 在课堂上, 流给学生动手和动脑的时间以及思维的空间是非常重要的。例如:我们在进行圆周角的概念教学时, 可以先提出具有启发性和思考性的问题, “顶点在圆周上的角就是圆周角吗?”鼓励学生进行相互交流, 展开讨论, 发挥学生的学习主动性。这一概念教学采用了“探索—发现—归纳—完善”的教学方法, 体现了教为主导、学为主体、共同探索的教学思想, 不仅加深了学生对概念的理解, 而且可以暴露学生的思维过程, 对培养学生的思维能力大有好处。 (2) 加强变式教学, 注重散性思维和逆向思维的能力。 生活中有一句俗话:穷则变, 变则通。在学习上也是这样, 有些问题需要我们改变常规的思路, 多角度、多侧面地去思考问题。科学的发现, 往往出乎意料之外, 任何成功的契机, 都需要活跃的思维, 机敏的感受, 这样才会有科学的顿悟。因此, 在教学中善于培养学生的思维灵活性是特别重要的。我们可以将一些典型的例题和习题进行适当的引申, 一题多变或一题多解, 激发学生独立思考问题和发现新方法。如:有这样一道题, 求证:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行引申, 调动起学生的思维兴趣。引申题目: (1) 求证:顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形。 (2) 求证:顺次连接菱形各边中点所得四边形是矩形。 (3) 求证:顺次连接正方形各边中点所得四边形是正方形。通过这样的一些变式训练, 我们可以拓展学生的思路, 活跃学生的头脑, 培养学生的发散性思维。 总之, 教学实践中, 学生创造能力的培养是多方位的, 既需要教师的因势利导, 也需要学生的积极思考, 只有师生共同努力, 才能教学相长, 培养学生的创造思维能力。 二、营造具有创造性的集体气氛 学校教育中, 学生的创造力是在集体中表现出来的, 自由、安全、愉悦的集体气氛有利于学生最佳创造性思维的培养。在课堂学习阶段, 对于一个问题可能有多种思考角度与解题方法, 遇到这样的问题, 可以让学生尽可能畅所欲言, 把他们的观点都表达出来;教师对于每个学生都应该充满信任与期望, 不管他的基础如何;为了让学生有充分的自由去创新, 应减少不必要的限制与规定;同时, 教师应不轻易否定学生的创新成果, 也许有些学生的答案是错误的, 尽乎于荒谬的, 也应该想方法从其它方面给以肯定, 从而使不同于常规的个性得到最大程度的表现。 (1) 努力为学生创设情景, 激发学生的思维兴趣。 教师在课堂教学中, 要善于给学生创造思维的环境和条件, 使其有问题可想。在教学中, 我们不要把问题的答案强加给学生, 不给学生思考的机会。我们要给学生创造条件, 让学生积极动手进行操作, 展开丰富的联想, 进行合理的猜测和推理, 从而得出结论。兴趣是学习的重要动力, 兴趣也是创新的重要动力。教师在教学中要出示恰如其分的问题。例如, 我们在学习“等腰三角形三线合一”的性质时, 可以给学生出示以下问题:怎样折叠一个三角形才能使折线两旁的部分完全重合;哪些线段重合, 哪些角重合?引导学生带着这些问题去动手操作, 思考探究, 引发学生强烈的兴趣和求知欲, 学生因兴趣而学而思维, 并提出新质疑, 自觉的去解决, 去创造。 三、学生创造性思维的训练 1. 发散性思维的训练 吉尔福特的智力理论认为, 发散性思维是创造力的重要成分, 而在总复习阶段, 发散性思维也是学生巩固知识点、学会运用知识的有效方法, 具体做法: (1) 教师提出问题:如在复习数学计算时, 有一道看似很简单的习题, 将习题布置给学生, 让他们求解, 方法尽可能多。 (2) 学生尽可能多的给出答案, 然后让学生一一将自己的方法向大家解释。 (3) 教师、学生对以上结果进行评价。 (4) 得出结论。 通过以上的训练, 在复习其它的知识, 如基本概念、理论、定理时, 学生均会利用发散思维, 并从中得到最佳的解题途径。 2. 直觉思维的训练 直觉是指不经过一步步思考而突如其来的领悟与理解, 是创造性思维活跃的一种表现。在培养学生直觉思维过程中, 我注意到以下两点: (1) 鼓励学生面对新问题, 应用合理的想象, 同时采用类比、对称等形象化解决问题。 (2) 培养学生产生解决问题的强烈愿望, 这样学生就可以搜集与阅读有关的材料、信息, 并不断思考, 为产生直觉思维打下基础。 3. 逆向思维能力的训练 逆向思维是从结果出发, 按照一定的逻辑推理, 得出起始条件, 再沿正向思维将线索连贯起来。这对于学生的观察能力、联想能力都是一个很好的训练, 同时更有利于提高创造性思维。 【数学创造性思维】推荐阅读： 数学的创造性思维05-31 数学概念创造教学07-06 创造快乐数学课堂07-24 创造快乐的数学课堂05-20 创造性初中数学教育06-30 数学教学与创造性思维能力的培养07-27 创造性地利用数学教材08-24 数学教育与创造力培养11-12 数学教学中创造力培养08-30 小学数学教学中如何培养学生的创造力11-18谈艺术思维、数学思维与数学价值 篇4
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