几何思维方式（共5篇）
几何思维方式 篇1
参加小学数学教师“国培”关于课程标准的专题时, “几何直观”就曾引起我的关注, 几何直观是否就是数形结合?是新词旧义吗?有专家说“几何直观是一种思维活动, 是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”这给了我一种理念上的拓展, 即几何直观不只是事物的形象化呈现和形式化演示, 还是一种思维方式。教学中, 如何把几何直观内化为学生的思维习惯?
一、感受价值
《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》指出:“几何直观可以帮助学生直观地理解数学, 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”可见, 几何直观不是“图形与几何”学习的“专利”, 而是贯穿在整个数学学习过程中。在小学数学教材中俯拾皆是的几何直观的内容很多, 教师要时时捕捉、应用, 让学生感受其在数学学习中的作用。
在“数的认识”里可以找到很多对应的几何模型。教材以现实情境为起点, 通过几何直观的第一次抽象帮助学生形成数的大小表象, 最后通过数轴抽象出数的序, 实现整体把握, 达到对数的真正理解。两次抽象过程中, 几何直观发挥着重要的作用。计算教学中常以形助教, 帮助学生理解算理、掌握算法。解决问题借助线段图使抽象的数量关系变得简明, 把复杂的数学问题直观化。
经典案例五年纪下册的《打电话》:学校合唱队有15人, 暑假有紧急演出, 老师要尽快通知每个队员, 用打电话的方式, 每分钟通知1人, 最少需要多少分钟?
一图抵百语, 下图就把打电话这个复杂的数量关系, 简明直观地呈现出来。从这个图本身, 就能发现一些规律:一分钟通知一个人, 第二次通知的新的人数, 就是第一次的两倍。讲不清、算不出, 看图却能很明了。
类似的题目训练之后, 重要的是要让学生去说一说感悟, “没有图能说清吗?”真切感受图形给他们的帮助, 加深对应用画图策略的价值的直观体验。
还比如“和差问题”:苹果和梨一共74个, 苹果比梨多18个, 苹果和梨各多少个?数量关系简单, 但没学过方程, 用代数法解答很难讲清。画出线段图后 (右图1) , 结合线段图说明假如从总数里去掉多出的18个, 那么苹果或梨的个数就相等, 对于算式 (74-18) ÷2求出梨的个数的理解, 学生会有顿悟感。
再如计算当学生只想用通分来计算时, 教师借助直观图 (右图2) 帮助学生把复杂的计算转化成简单的计算, 柳暗花明又一村!图形启发了思路, 有利于创造性思维的培养, 正如庞加莱说的“我们是通过逻辑去证明, 但我们是通过直观去创造”。
几何直观无论是从形到数还是到其它领域, 都是始于“形”。若没有教给学生画图的策略, 养成用图形说话及画图的习惯, 几何直观能力只能落空。
利用图形把问题直观化, 是分析与解决问题的一种重要策略。只要教师有意渗透、运用, 让学生感受几何直观的优势, 就可以逐渐把它转化为学生数学学习的内在需要。
二、理性操作
对于小学生而言, 由于他们数学基本经验的缺乏及逻辑思维能力欠缺, 唯有经常引领他们操作, 才能丰富表象, 再以此为基础进行想象, 逐渐形成几何直观能力, 发展形象思维能力, 为创造性思维和逻辑思维的培养提供平台。
实验教材加入制作长方体框架的学习 (左图3) 。不少教师认为花时间去准备材料做长方体框架实在没必要, 不如多做些题目。我教学这个例题之后, 有意识地和以前学生相比, 发现学生的空间观念的确提升不少。以前学生对长方体棱长总和的求法, 比较喜欢用“长×4+宽×4+高×4”, 可能因为记住了特征“长方体相对的四条棱长度相等”, 而现在的学生明显思路开阔, 对于“ (长+宽+高) ×4=棱长总和”理解得很清楚, 学生回忆表述“搭长方体框架时, 有三组长短不同的小棒, 每组4条”操作后的表象深刻。一向害怕的逆向思考的问题“一个长方体棱长总和是120分米, 长是10分米, 宽8分米, 高多少分米?”也能轻松解答。给学生相交于一个顶点的三条棱, 让学生想像长方体形状, 学生不再那么茫然。由此感受, 操作是培养几何直观的有效途径。
理性操作不单在于舍得花时间让学生动手操作, 还在于要把操作中建立的表象和数学符号、图式等结合起来。教学三年级上学期的“有余数的除法”:有23盆花, 每组摆5盆, 摆多少组?让学生动手摆还是课件演示, 教师们意见分歧, 有的教师认为只要课件演示“每5盆画一个圈, 余下3盆”就可, 授课教师认为要让四人小组分棋子。不论是演示画圈还是分棋子, 关键的是要把直观后的表象与图式书写及意义理解结合起来。竖式中,
4表示什么?特别是20表示什么?学生无法准确表达时, 教师要结合圈图或操作的结果帮助学生理解。不能为操作而操作, 理性的操作才能丰富表象, 才有利于提高几何直观能力。
三、授受技法
曾尝试让学生完成:庆元旦布置班级, 小红把16盏彩灯平均挂成4行, 每行挂5盞, 可以怎样挂? (画出图) 全班竟没一个人做对, 学生对题目要求画图解决感到纳闷, 不知如何下手。
上世纪90年代, 美国学者进行中美小学数学教育比较研究, 出过这样一道测试题:儿童分蛋糕。7个女孩平分2个, 3个男孩平分1个糕。每个女孩分得多还是每个男孩分得多?每种方法可以用数字或图形来解释。我国被试的孩子有90%用比较分数与大小的方法来解释, 而美国用这种方法的仅有21%;被试的美国孩子有57%利用图形解释, 而我国只有6%。
看来, 我们的学生确实不善于用图形语言学习、思考、表达、交流数学。几何直观无论是从形到数还是到其他领域, 都是始于“形”。若没有教给学生画图的策略, 养成用图形说话及画图的习惯, 几何直观能力只能落空。
案例:一位年轻教师执教“分数除法应用题”, 先是基本练习, 从“乙数是甲数的”等关键句中找单位“1”, 并说出数量关系:甲数×=乙数。做了这样的5小题后, 概括得出:单位“1”×几分之几=对应的量。接着, 再出示新授例题:小明体重是爸爸的, 小明体重有5千克, 爸爸体重是多少千克?教师要求学生画出线段图, 再写出数量关系, 最后解答。
当学生“把爸爸的体重平均分成15份”觉得很麻烦时, 教师没有引导学生画“草图”, 是过半少一些。当学生费时费力画出线段图后, 教师置之不理, 仍是抓住关键句来写数量关系。课后与教师交谈, 教师的意思是“能走路何必用拐杖”, 画图是多余的, 只是依教材要求而画。教过这部分知识的教师都很清楚, 复杂的分数应用题没有线段图的辅助是很难解答的, 在教学简单分数应用题时没有训练画图技巧, 那么学生就无法用线段图来帮助解决复杂的分数应用题。
线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。它虽直观但不简单, 教师要适时教给学生画图的方法, “逼”着学生画图表意、画图说事、看图析题, 提高几何直观能力。同时, 只有教师自身多应用, 让学生模仿, 并在教学中引导和鼓励, 才能使学生善于运用。
四、互通表征
所谓表征活动, 就是将一个“被表征”的对象, 用另一种表征方式, 重新表现出来, 而不失其意义, 以达到沟通的目的。在小学数学教材里, 文字语言、图形语言和符号语言三者相辅相成, 它们既是数学知识的载体, 也是数学思维的形式。如下图形语言 (□代表黑兔, ○代表白兔) 相应的:
文字语言是“5比大3”或者“3比5小”符号语言是“5>3, 读作:5大于3”或者“3<5, 读作:3小于5”。
由此可见, 描述数学事实、概念或关系时, 图形语言的描述为文字语言或符号语言的描述提供了直观表象, 也为理解和掌握相关的文字语言与符号语言的意义和内涵奠定认知基础。教师要注意三者的转换, 帮助学生沟通几何直观与数学本质。
案例:对于“求一个数是另一个数的几倍”, 几乎所有的学生都会很快反应是用除法。新接一个班, 发现一位新生对这部分知识反映很不灵敏, 似乎这部分知识成了她认知中的“盲点”, 在帮她补课及在全班的复习回顾中, 发现其实不少学生也是知其然而不知其所以然。让学生完成:红花朵数 (8朵) 是黄花 (2朵) 的几倍?请用画图和列式两种方法解答。一位学生走上黑板画出图形并列出算式如下:
显然, 上述的图解是错误的。正确的图解应该是:
图解不对, 列式正确。这是什么原因呢?看来该生并没有真正理解“倍”的含义, 但他却从形式上记住了“求几倍”的算法, 这也说明教师在教学中没有注意图形语言、文字语言和符号语言之间的转换, 使它们之间“绝缘”。
图形语言的内涵是丰富的, 同一个图形可能有不同的解释, 表征不同的意义。如下面的图形 (○代表苹果) :
这个图形可以解释为8个苹果放在4个盘子里, 平均每个盘子放2个;也可以解释为每个盘子放2个苹果, 8个苹果可以放4盘。这两种都是“平均分”。按前一种解释, 列的算式是8÷4=2 (个) ;后一种解释, 算式是8÷2=4 (盘) 。
用图形语言描述现实情境的数量关系, 是对现实世界数量关系的一次抽象。图形语言是发展学生抽象思维, 理解和把握符号语言的扶梯。如果学生不能理解符号语言, 进行抽象思维的时候, 最好的选择是回到图形, 甚至回到更具体的操作。
“感受价值、理性操作、授受技法、互通表征”是培养学生几何直观的必经之路, 它们是相辅相成的。学生只有感受到几何直观的优势与价值, 才会产生应用的需求;而脑袋空空没有表象或没有掌握画图策略, 也成无米之炊的巧妇, 表征的互通才能便于理解。只要教师有一双慧眼, 能根据学习材料经常性地运用, 就能让几何直观的方法固化为习惯, 形成结构式的思维方式, 提高思维的灵活性和深刻性。
几何思维方式 篇2
家长学校
如何培养孩子的几何空间思维
几何初步知识是小学数学的主要内容之一，通过对几何图形最基础的知识的教学，使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。
学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念。因此，我们在进行几何初步知识的教学时，要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间观念。
本文就这一问题，谈一些粗浅的看法。
一、通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象
要认识几何形体，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。几何概念是人们在长期的生活、生产实践中，通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。所以我们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念。
例如怎样认识长方体和正方体？教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图形的观察，指出某些物体的形状是长方体。但是由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。然后把作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，见图47），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具有的，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。
有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，而且还要通过学生自己动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。例如“体积”的概念，本身是抽象的、先验性的。教学时，教师请学生观察教室里墙角的书柜之类的物品，想一想，这块地方不把书柜搬走，还 书人教育
家长学校
能放别的东西吗？还可在讲桌上出示一个盛水的玻璃容器，把一块金属块放入容器中，水面为什么会上升？通过这样的演示，使学生理解了这是因为书柜或容器中的金属块占据了一定大小的空间，把抽象的概念转换成看得到摸得着的感知活动，使学生初步理解“空间”“体积”的实际意义，获取一定的空间观念。又如教学长方形的周长时，教师把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的4条线段（长和宽用不同的颜色区别），让学生到黑板前实际测量后列出不同的算式计算，让学生思考：一个长方形有几条长和几条宽？怎样计算周长比较方便？从而使学生获得长方形“周长”的表象，并掌握长方形周长的计算公式。接着，让学生自己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。
学生要得到一个正确清晰的几何概念，需要借助于直观演示、动手操作等感知活动来完成。如三角形面积公式的教学之前，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形等基本图形的表象已有所认识。我们把所有三角形作为一个整体来看，那么，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形便都是这个整体的一部分。三角形面积公式的教学，教材中是通过数三角形和平行四边形的方格，再将两个锐角三角形拼摆成平行四边形来推导出面积公式。但教师在课前让学生自行准备好的两个形状、大小完全一样的三角形，并不一定都是两个锐角三角形，因此我们在课堂上让学生自己动手拼摆时，学生完全可能由两个全等的直角三角形、锐角三角形或钝角三角形拼摆出长方形、正方形或平行四边形（见下列三组拼摆图形，图48、49、50）。所以在公式的推导过程中，还需要考虑到知识的完整性和方法的多样性，最后再归纳推导出三角形的面积公式=底×高÷2。
二、在运用几何知识的过程中，加深学生对几何概念的理解，培养初步的空间观念
书人教育
家长学校
在学生运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体的感知，培养初步的空间观念。
例如，“计算图形阴影部分的面积。”
学生从图形的直觉感知中，已知图51中4块小阴影部分的面积是相等的，空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，或按步就班地先算出1块阴影部分的面积，再算出4块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积（2×2）。如何化静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中空白十字的移动，使它们变换成图52的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积是（20-2）×（10-2）=144（平方米）
分解、组合平面图形和进行图形的变换，不仅对学习、推导平面图形的面积公式是重要的，而且在测量、计算几何图形的面积时，也有着重要的意义，可以看出学生空间知觉能力的水平。如果学生掌握了图形的本质特征，不论图形的形状、大小、方位等如何变化，都能正确地求得解答。
又如下面一题，“如图53求图中两个圆的阴影部分的面积之差。”
学生虽然已经学过了圆面积的求积公式，但是大圆和小圆的阴影部分的面积是不易于直接求得的。这就需要学生具有一定的空间观念，特别是对空间关系的知觉与想象能力。可以让学生自己动手操作，通过平移小圆或翻转小圆的实践活动，变成下面三种情况：见图54，小圆向右平移，两圆相切，缩小相等的空白部分，同时扩大相等的阴影部分。
小圆向左平移，圆心重叠，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。
小圆向左翻180°，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。
书人教育
家长学校
虽然两圆的相互位置关系起了变化，阴影部分和空白部分的大小边起了变化，但是可以看出，两个圆的阴影部分的面积之差实质上就是两个圆的面积之差。所以答案是（32-22）×3.14＝15.7（平方厘米）。
再如，我们在圆柱和圆锥知识教学之后，出了这样一道题目如图55：
“在一只底面半径是10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块，（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？
（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？（得数保留整厘米数）”
对此题的解答，需要引导学生实验演示，或让学生想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。
第（1）小题，学生容易理解把铁块横放在水中，将会全部浸没。上升的容积就是铁块的体积。若用算术方法解：
15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）
水面上升的 圆柱底面积 水面上升
容积 的高度
书人教育
家长学校
（也就是铁块体积）
第（2）小题，学生首先要考虑，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。因为横放在水中，水面只上升了约3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。若用方程解：
解：设把铁块竖放在水中，水面上升到x厘米。
102×3.14×x-82×x= 102×3.14×8
水面上升后的浸没在水中的那水面上升前的
容积部分铁块的体积容积
x≈10
10-8＝2（厘米）→水面上升2厘米。
三、沟通几何知识的内在联系抓住综合运用，提高空间观念的积累水平
在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，如何进一步沟通几何知识的内在联系，我认为还应抓住综合运用，启发学生从多角度去思考问题，采用多种方法去解决问题，以利于提高空间观念的积累水平。
如在学生对于平行四边形、三角形和梯形的面积具有初步的空间观念之后，要求学生运用多种方法解答下题：
“求平行四边形ABCD中阴影部分的面积”。（见图56）
（单位：厘米）
首先，平行四边形中的阴影部分不是直接可以用求积公式计算的基本图形；其次必须先对整个图形的结构作粗略的视觉分析，找出可分解为哪几个基本图形；然后再寻找出各个小图形（基本图形）中各自隐蔽的条件。这就要求学生具有较强的综合分析能力，书人教育
家长学校
具有整体的空间观念。此题有两种解法是可取的，可以从直接相关连的有紧密联系的几何图形中计算出阴影部分的面积，并且可以减少计算步骤。即：解法一：阴影部分的面积，可以从梯形ABCE的面积中减去△BCF的面积求得：
解法二：阴影部分的面积，可以从△ABD的面积中减去△EFD的面积求得：
又如“一个底面周长和高相等的圆柱体，如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，这个圆柱体的体积是多少立方厘米？”
这是一道几何形体的应用题，难度较大。对立体图形的认知（且不说是完全用文字抽象表示的应用题），光有空间知觉能力是不够的，还需要有更高水平的空间想象能力。感知只能涉及立体图形局部的明显的部分、已知的条件，而对某些隐蔽的部分、未知的条件，必须在空间知觉的基础上，经过分析综合、抽象概括、假设推理等思维方法，产生出丰富的空间想象，才能完整全面地认识它。并且在解题过程中，把构成几何形体的诸要素沟通起来，依赖已有的空间观念，求出答案。此题的思考过程如下：
第一步：已知条件“如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米”，这是假设，题目要求的问题仍然是一个底面周长和高相等的圆柱体的原有的体积是多少立方厘米。
第二步：理解“表面积减少了12.56平方厘米”实质上是指减少了高为2厘米的这样一个圆柱体的侧面积。
第三步：抓住底面周长、高和侧面积三者的关系，根据已知条件假设高是2厘米，侧面积（即题中所指表面积）是12.56平方厘米，就可以求出这个圆柱体的底面周长（也就是这个圆柱体的高）。
12.56÷2＝6.28（厘米）
第四步：要求出圆柱体的体积，还必须知道底面积。根据“半径×2×3.14=圆周长”，先求出底面半径。
6.28÷3.14÷2＝1（厘米）
第五步：根据公式“底面积×高=体积”，最后求出圆柱体的体积。
12×3.14×6.28＝19.7192（立方厘米）
书人教育
家长学校
四、重视发散思维的训练开阔解题思路，发展学生的空间观念
数学研究中有两种思维，一种是收敛思维，又称求同思维或集中思维。收敛思维是从若干已知条件中探求同一解题方法的思维过程，思维方向集中于同一方面，即向同一方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维条理化、逻辑化、严密化，是培养学生理解和掌握知识所必不可少的。另一种是发散思维，又称求异思维。发散思维是从同样的已知条件中探求不同的（包括奇异的）解题方法的思维过程，思维方向分散于不同方面，即向不同方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维活跃、灵活，具有创新意识。
在几何知识的教学中，我们根据学生的知识层次、实际水平，设计出一些数学题目，有目的、有计划地对学生进行发散思维的训练，对于开发学生的智力，活跃解题思路，发展学生的空间观念，仍然是十分必要的。下面略举两例，作些说明。
例如图57是由一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？
这道题的问题只有一个，即求出阴影部分的面积。学生通过“割”“补”“移”的方法，思维向多方向扩展，从而得到以下一些解法：
（1）阴影三角形加上阴影梯形。
（2）从整个图形中减去空白三角形。
5×3+3×3-（3+3）×5÷2＝9（平方厘米）
（3）添辅助线，从三角形中减去一个长方形。（见图58）
6×5÷2-3×（5-3）＝9（平方厘米）
（4）阴影三角形旋转到空白三角形位置，则正方形面积就是阴影部分面积（见图59）。
3×3＝9（平方厘米）
书人教育
家长学校
例如某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站（包括起点站和终点站），现在新增加了3个车站。铁路上两站之间往返的车票不一样。这样，需要增加几种不同的车票？
这道题目可启发学生按照文字叙述的题意先构思出图形（一条直线上有若干个点，求点与点之间的线段数）。学生一般的解法是利用求几个连续数
需要增加90-42＝48（种）车票。但我们在教学中，还应该启发学生寻求最佳解法，让学生凭直觉、猜想等思维形式和方法，充分发挥空间想象的能力，以求得最优的解答方法。可以这样设想：
（1）原来有7个车站，如果增加1个车站，应该增加几种车票（如图60）？
7×2＝14（种）
（2）现在有3个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？（想象图，仿图60，略）
8×2=16（种）
（3）已经有9个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？（想象图，仿图60，略）
9×2＝18（种）
（4）这样，一共新增加了3个车站，增加了几种不同的车票呢？
14+16+28＝48（种）
所以此题的解答，只要列出下面的算式就可以了：14+16+18＝48（种），或（7+8+9）×2＝48（种）。
五、在培养学生初步空间观念的教学活动中，应注意的两个问题
书人教育
家长学校
首先，应根据不同层次水平的学生，精心设计练习。
发展学生的空间观念，要求教师根据学生现有的几何知识水平，坚持由浅入深，由易到难的原则，精心设计出适合于不同层次水平的学生练习的题目。形式上，也可以采用系列题组的形式出现。练习时，应从学生的实际水平出发，对于大部分学生可要求完成一些基本题（A题）和综合题（B题），以达到教材的基本要求；对于优等生，可以让他们做一些灵活题（C题），使思维更加活跃和发展，使他们的空间观念达到一个新的境界。这里略举几组题目，以作抛砖引玉之用（见附表）。
其次，练习题的设计编写，或引用现成的几何题目时，要注意数据的科学性。
例如，有这样三道题目：
1.用40厘米长的一根铁丝，围成一个最大的长方形，长是12厘米，宽是多少厘米？
2.选择适当的底和高，分别算出图61，图62两图形的面积。（单位：厘米）
3.求图63中直角梯形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
这三道题目的命题都是错误的，也就是说，题目中的有关数据均不确切，不符合实际情况。第1题，要求围成的是一个最大的长方形，且长已确定为12厘米，那么宽只能是8厘米，无选择余地。但事实是，若在整厘米数范围内计算，长应该是11厘米，宽是9厘米，围成的长方形的面积最大，是99平方厘米；若在小数范围内计算，长应该是10.1，10.01，10.001，„„相应的宽应该是9.9，9.99，9.999，„„长和宽都应该是一个无限迫近10的循环小数。第2题中的第（1）小题（见图61），找出底边和相对应的高后，用两种方法求出的平行四边形的面积应该是一样的，但实际上计算的结果却不相同：第（2）小题（见图62），编写者忽 书人教育
家长学校
视了“两条平行线之间所作的几条线段中，以和平行线垂直的线段最短。”这一重要性质，斜线的数据5厘米小于垂线的数据6厘米。第3题是要求出直角梯形中阴影部分的面积，解法一：阴影部分的面积，从三角形ACD的面积中减去三角形AOD
但为什么计算的结果不相同呢？
原来问题发生在题中的数据不符合科学性。据图可知△AOD∽△BOC，FO＝1.6厘来，那么EO的长度应该是1.2厘米而不应该是1厘米。改正数据之后，两种解法的得数就相同了。
几何思维能力培养的教学路径 篇3
一是意识淡薄,操作肤浅。可能受解题需要或教学目标的牵制,在几何知识教学中,“就题讲题”“浮光掠影”的教学现象十分常见,以致成为教学的常态。他们要么狭隘地认为,习题的要求就是教学的要求,习题解答完了教学的任务也就结束了;要么机械地认为,渗透数学意识和提高几何思维能力是多此一举的行为,至于深入研究问题更是一种超越学生认知水平的教学方式。
二是认识偏颇,视听混淆。可以说,在现实的教学环境中,由于教师对小学生几何思维的认识不够全面、深刻,导致对学生几何思维能力的发展重视程度不够,甚至混淆了几何思维与几何直观的概念与作用,将两者混为一谈,分不清两者的区别和关联,错误地认为几何思维是一种发现数学规律和寻找解题思路的方法和途径。教师认识的不足,导致了教学的粗糙和肤浅,也导致了学生的思维能力得不到应有的发展。
那么,如何培养学生几何思维能力呢?
一、重视分析,在增强思维清晰度中培养几何思维能力
就数学学习来说,强调学生思维的清晰性具有重要而普遍的意义,小学数学教学也不例外。清晰分析出问题中的数量关系,是解决几何问题的前提和基础。所以在解决条件比较隐蔽、关系不够明显的几何问题时,须要重视对问题中条件的分析,理清数量间的关系,增强思维的清晰程度。
例如,教学“长方体和正方体的展开图”时,教材通常都让学生将事先准备的长方体和正方体纸盒剪开,然后观察它们的表面展开图。在观察过程中,由于受前一节课中长方体和正方体特征的影响,教师并没有挖掘展开图中的教学资源,学生通常把观察的重心放在对特征的“再次确认”上,判断一些类似“哪个面和哪个面是相对的面?它们的大小怎样?”“长方体或正方体的展开图是什么样子的?”等浅显的问题。这样的教学明显存在不足,因为此举仅清晰了展开图中面和面之间的关系,但是边与边的关系被疏忽了。如若这样,学生在求图1 中展开前长方体的体积时,不少学生在分析“宽是多少厘米”时存在困难。教学中,缺少了对展开图中边与边位置和长度关系的分析,学生理不清边与边之间的长度关系,不能正确地找出需要的数据,出错是再正常不过的事情了。因此教学时,可以补充展开前长方体的长、宽、高数据,结合展开图(如图2)让学生说一说展开图中各条边的长度及分别是怎么算出来的。有了这样的分析过程,学生对展开图中的边与边、面与面的关系就非常清晰了,这样就能大大降低解决图1 中问题的困难,也教给了学生分析几何问题的方法。
二、加强辨析,在增进思维深刻度中培养几何思维能力
数学思维的深刻性是指数学活动的抽象程度和逻辑水平,以及思维活动的广度、深度和难度等。深刻性是思维品质的基础,其水平的高低将影响思维品质其他方面的发展水平。几何思维是一类数学思维,也讲求思维的深刻性,其深刻性的水平是衡量学生思维能力高低的重要标尺。教学中,需要结合具体的问题,适时训练学生的几何思维。
例如,学了“多边形面积的计算”后,为了沟通知识之间的联系,增进学生几何思维的深刻性,可以让学生先计算这些图形的面积:(1) 平行四边形底12厘米,高8 厘米;(2)三角形底12 厘米,高16 厘米;(3)三角形底24 厘米,高8 厘米;(4)梯形上底9 厘米,下底15 厘米,高8 厘米。学生算出这些图形的面积,发现这四个图形的面积都相等后,辨析“为什么这些图形的面积是相等的?”“怎样的平行四边形和三角形或梯形的面积相等?”应该说,这样两个问题比较抽象,也存有一定的思考难度。但是因为有了前面的计算过程,有了之前图形面积公式推导的经历,解决这两个问题还是有路可寻的。在讨论和交流之后,学生觉得可以用割补的方法将图形进行等积变形来判断(如图3 示意),并且总结出了诸如“一个平行四边形和三角形等底等面积,平行四边形的高是三角形的一半,三角形的高是平行四边形的2 倍。”等较为抽象的结论。这样,学生对类似的几何问题就有了更加全面而深入的认识,同时也为解决类似“画一个与已知平行四边形面积相等的三角形或梯形”的几何问题做好了准备。
三、善于追问,在增大思维拓展度中培养几何思维能力
适度的拓展练习,是课堂教学的必要延伸和补充,可以让学生开阔知识视野,积累数学经验,加深问题认识,发展思维能力。所以,数学教学需要发掘和利用教学资源,适时进行置疑和追问,让学生对数学问题的认识更加全面,进而实现培养思维能力的目的。
例如,在“圆的面积”的练习课中,有这样一个问题:计算边长40厘米的正方形中最大的圆的面积(如图4)。学生计算出面积3.14×(40÷2)2=1256平方厘米之后,随即改变条件:“如果正方形的边长是20厘米,那么其中最大的圆的面积是多少平方厘米?”学生算出3.14×(20÷2)2=314平方厘米。此时,我们不妨追问:“不知道同学们有没有想过,最大的圆面积和正方形面积是不是存在某种特殊的关系?怎样的关系?它们的比是不是相同呢?”富有挑战意味的问题一出,学生开始大胆猜测,然后决定分组算出两个问题中圆和正方形的面积比,发现都是157∶200。“是不是不管正方形的边长有多长,最大的圆与它的面积比都是157∶00呢?如果是,那怎样来证明呢?”有的学生说再举例,只要不出现反例就可以了;有的学生假设圆的半径为a厘米,那么最大的圆和正方形的面积比是(3.14a2):(4a2)=157∶200,说明他们的比是不变的。通过适度的拓展和适时的追问,学生对“方中有(最大的)圆”这一数学问题的认识更加全面,而且将问题的研究从特殊推向一般的教学方式,拓宽了学生几何思维的宽度,发展了学生的数学思维能力。
四、加强反思,在增添思维严密度中培养几何思维能力
严谨性是数学学科的基本特点,也是数学教学的要求。小学阶段的几何教学,通常采用直观教学的方式,学生对图形的认识一般靠直觉等方式来感知,很少采用推理、证明的方式来分析,这样很容易出现一些错误的判断,也不利于学生形成正确的认知。所以加强反思,可以提高学生的思维能力,养成良好的思维习惯,甚至有助于学生批判意识的形成。
例如,学生在解决“一个平行四边形两条相邻的边分别长12 厘米和8 厘米,一条高为10 厘米,这个平行四边形的面积是多少?”的问题时,因为学生不能正确选择出对应的底和高,而且缺乏谨慎的态度和反思的意识,以致胡乱选取一个底和一条高错误地计算出图形的面积(甚至有学生把三个数据相乘来算面积)。对此,教学“平行四边形面积”时,可以结合如图5 这样的平行四边形,让学生分别量出两组对应的底和高,并且在计算之前,让学生面对图形进行反思:“现在有4 个数据,该用哪两个数据计算平行四边形的面积呢?”由于学生在测量过程中会不自觉地思考这样的问题,加之有直观的图形在眼前,所以判断这个问题轻而易举。不过,对问题的思考不能到此就偃旗息鼓,而是继续引导:“4 个条件,你们怎么知道要用这两个数据相乘算出平行四边形的面积呢?”“因为可以从图上直接看出,这两个数据是对应的底和高”“你们的意思,是需要借助什么?是谁帮了你们的忙?”“图形。”“想一想,怎样变化可以增加问题的难度?”有的学生说去掉图形,有的学生说再去掉一条高或一个底边。最后按照学生的意见,再分析“选择哪组数据‘完整’的对应条件”计算平行四边形的面积。从中,不难看出,引导的过程其实是学生反思的过程,也是提高学生思维严谨性的过程。在反思的过程中,学生意识到解决类似问题需要找准条件,认识到对应的底和高在数据大小方面的特点,掌握了寻找对应条件解决问题的方法,从而诱发了学生的反思意识,锻炼了学生的数学思维。
运用几何直观促进思维的发展 篇4
综观学生的学习状况,很大一部分学生在遇到问题时,不是想着画画图来分析,而是托着腮帮子在那儿进行所谓思考。其实,这样的思考是毫无价值的。因此,引导学生运用几何直观来思考是解决问题的重要策略。
一、运用几何直观整理信息
几何直观所指有两点:一是几何,主要指图形;二是直观。几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。几何直观的本质就是借助图形来进行数学思考,换句话说即为“数形结合”。根据平时的教学实践,发现在研究平面图形、立体图形的问题时,学生很自然地想到用画图的方法来分析、判断。但在这里的“几何直观”并不仅仅限于我们所认识的平面图形或立体图形。比如:苏教版五年级下册“解决问题的策略———倒推”这一单元中,基本都是信息繁多、有多个变化过程的问题。若仅从文字表面来看,可以说班级中至少半数的学生无法理出清晰的思路。此时,我们不妨引导学生借助箭头图、线段图、表格等几何直观来顺着数量变化的过程把问题理一理,使得原本繁冗的过程一下子变得清晰、简单。
问题一:“小明喜欢集邮,原来有一些邮票,过年时又收集了24张,送给小军30张后还剩52张。小明原来有多少张邮票?”对于这样过程变化较多,但变化方式比较单一的问题,咱们就可以借助如下的箭头来表示变化过程:
原来 ?张→收集了24张→送走30张→还剩52张
问题二:“小军收集了一些邮票,他将邮票的一半又一张送给了小强后,自己还剩25张。小军原来有多少张邮票?”在这一问题中,关于“一半又一张”的理解是难点,也是错误发生的集中所在。但如果借助线段图(篇幅所限,图略)就一目了然,问题也就迎刃而解了。
还有一类问题,事关几个类别,而各类别之间又有着多次变换关系。此时,运用表格来进行整理显得尤为合适。
二、运用几何直观理解算理
综观小学数学教材,我们所熟知的加减乘除四则运算的意义、“相同数位要对齐”等这样的计算法则,就是从那些形象直观的实物图中解析出来的。
整数如此,抽象的分数理解更需要几何直观的相伴。从初步认识到意义的界定,无不运用了直观形象的实物或图形来帮助理解。比如分数乘法,教材首先将一长方形表示为抽象的单位“1”,再通过相关过程(篇幅所限,图略),演绎了这一乘法的意义,而计算方法也在这分割过程中逐步展现出来。
有着以上这些运用几何直观来理解算理的体验,学生运用几何直观的意识和水平也会日益增强。比如,在研究一些复杂的分数计算时,部分学生便能充分挖掘其中的几何直观因素,创造贴切的几何直观来分析问题。然后,部分学生联想到分数的意义以及各分数之间的关系,画出相关的图(篇幅所限,图略)。由此发现:计算这些分数的和也就是从单位“1”中去掉空白部分(即最后一个分数的大小),从而推算出计算的一般通式。
可以说,这部分学生已经将几何直观作为数学思考的一种方式,而这种思维方式的习得与我们教师的几何直观的课程意识有着极大的关系。比如:在“几何与图形”的教学中,我们应有意识地创造各种学习活动,让学生主动参与到剪、拼、折等活动中来,增强对图形的认识和理解,从而在后继学习中能主动提取这些活动经验来促进学习。
三、运用几何直观避免误解
其实,不仅要让学生在遇到较为复杂的问题时,要有意识地想到用几何直观来分析,在简单问题中也应将问题与相应的直观图对应起来。可大部分学生认为简单的问题就不用画图了,太浪费时间了,因此导致错误的也不计其数。有这样一道经典错题:“一列车从南京开往上海,全程350千米,已行了全程的五分之二,此时这列火车距南京多远?”就问题而言,非常简单,但就是这简单的问题,在第一次接触时,全班的错误率竟高达75%,就算经过几次练习后,班级中仍有几个同学出现错误。究其原因,学生告知“老师,我看错了,我以为就是求还剩下的路程”。学生这样的解释看似很合理,但细细想来,其根本原因在于学生未能正确形成几何直观的思维方式,脱离图形来思考问题往往会造成不同程度的困难。当然,在运用几何直观时,也并非一定要把图画出来,当达到一定的阶段后,学生可以凭借想象将图“画”在脑子里,同样也可以促进思考。
基于交互方式的几何约束求解 篇5
计算机辅助设计 (Computer Aided Design, CAD) 是使用计算机来帮助人们进行产品设计的一项技术。在计算机辅助设计中, 几何约束求解是一项关键性技术, 能够缩短设计周期, 降低设计劳动和提高设计质量。目前, 几何约束求解方法主要包括:基于代数的求解方法、基于几何约束图的求解方法和基于规则推理的求解方法。在基于代数的求解方法中, 将几何约束问题转化为非线性方程组, 然后求解非线性方程组获取模型参数的数值[1]。在基于几何约束图的求解方法中, 使用无向图来表达几何约束关系。分析几何约束图, 形成一系列可求解的子问题, 组合子问题的解以获取整个问题的解[2]。在基于规则推理的求解方法中, 使用规则来建立模型构造步骤[3]。在二维绘图过程中, 复杂的图形可以利用简单的直线、圆弧和曲线合成, 比较适于使用这种求解方法。
2 交互方式几何约束求解框架
本文给出了一种基于交互方式的几何约束求解框架, 如图1所示。通过用户编辑界面, 绘图者输入建模命令。模型构建器对用户输入的建模命令进行分解, 建立若干个几何约束方程来实现建模命令。调用约束求解器对几何约束方程组进行求解, 获得模型的参数数值。模型构建器将该模型的几何约束方程存储在几何约束方程列表之中, 将模型参数数值存储在模型数据列表之中。在求得模型的几何参数数值之后, 约束求解器调用图形绘制器在图形显示界面中画出用户所需要的几何模型。
用户可以通过绘图系统画出所需要的目标模型。但是, 用户建模不是一次就能完成的。在建模过程中, 需要对模型参数进行多次修改。在每一次修改参数的过程中, 模型的约束关系都要发生改变, 诸如:模型元素之间的边界超出、边界交叠和边界错位等。这些问题会造成建模错误, 其具体反映形式为模型的几何约束方程组出现矛盾和无解的情况。单纯利用模型构建器来调整几何约束方程组是不能解决建模过程中出现的错误与矛盾。很多模型元素之间的冲突必须通过人机交互的方式来解决。
用户可以通过调整几何约束方程来解决建模过程中的矛盾。对于用户而言, 这种方式比较直接, 但是系统实现起来是比较复杂的而且也经常会出现问题。几何约束关系中的矛盾可以表现为模型参数之间的冲突。用户通过操作界面可以调整模型参数, 来解决几何约束关系中的冲突问题。这种约束关系的调整方式, 对于系统实现而言是比较容易的。但是, 需要用户计算模型元素的参数数值。例如:两个圆相切, 若其中一个圆的圆心发生变化, 则另一个圆的圆心坐标也要发生变化。在几何约束关系调整的过程中, 用户通过人机界面调整某一个模型元素的参数数值, 模型构建器调用约束求解器来计算几何约束方程组的解, 以获得其它模型元素的参数数值。
在模型建立和修改过程中, 用户需要与系统进行人机交互。几何约束关系的调整是以模型参数修改为基础的。在修改几何约束关系时, 用户应该分析约束方程之间的关系, 找出所涉及的最小约束方程组。在最小约束方程组中, 计算模型参数的关联度。按照关联度, 对模型参数进行排序。选取关联度最大的模型参数, 通过设定参数的数值来调节几何约束方程, 以消除约束关系中的冲突。若最小约束方程组依然存在矛盾, 则需要继续执行以上步骤, 直到所有的冲突消除为止。在消除了最小约束方程组的矛盾之后, 一部分参数数值由用户确定, 其余的需要调用约束求解器来进行求解。
用户编辑界面的设计应该便于模型参数的修改和几何约束关系的调整。在用户编辑界面中, 应该列出该模型的所有几何元素和几何约束方程。在系统实现时, 采用列表控件来显示几何约束方程。针对每一个模型元素, 应该列出它的所有模型参数。在系统实现时, 采用列表控件来显示模型参数。在设定模型参数数值时, 采用编辑框来实现。在用户界面中, 可以从列表控件中选择要修改的模型参数。在编辑框中, 可以设定模型参数的数值。在用户编辑界面中, 采用编辑框来实现几何约束方程的输入。在初始建立模型的过程中, 用户通过编辑框输入几何约束方程。在几何约束方程的编辑过程中, 用户从列表控件中选择目标约束方程。然后, 在编辑框中修改几何约束方程。在存储过程中, 按照模型元素来存储对应的参数信息, 按照模型来存储对应的几何约束方程。其目的是便于实现几何约束方程和模型参数的定位。采用CDC类来绘制目标模型。
采用了人机交互的方式来调整几何约束关系, 可以方便灵活地实现模型建立与修改, 降低了系统实现的难度, 具有较好的用户可操作性。
3 结论
本文给出了一种基于人机交互的几何约束求解方法。通过修改模型元素的参数数值来调整模型的几何约束关系, 将约束方程的调整归结为参数信息的修改。按照模型元素来存储参数信息以提高定位的效率。采用人机交互的方式来修改模型参数数值来降低建模和模型修改的难度。
摘要：本文提出了一种利用人机交互方式来实现几何约束求解的框架。用户通过CAD建模系统界面来改变模型参数的数值。系统的约束求解器对模型的几何约束方程进行求解, 获取约束方程的解。图形绘制器利用约束方程的解来绘制几何模型。
关键词：人机交互,几何约束求解,图形绘制器,几何模型
参考文献
[1]Gao X S, Lei D and Liao Q.Generalized stewart platforms and their direct kinematics.IEEE Transactions on Robotics, 2005, 21 (2) :141-151.
[2]黄学良, 李娜, 陈立平.三维装配几何约束闭环系统的递归分解方法[J].计算机辅助设计与图形学学报, 2013, 25 (9) :1296-1303.