独立证明法

独立证明法（精选4篇）

独立证明法 篇1

有些不等式问题如果从正面证明, 常常会很麻烦, 甚至无从下手, 但是如果转换角度, 从不等式的结构和特点入手, 巧妙地构造与之相关的数学模型, 将问题转化, 就可以使思路简洁、清晰, 问题也会很容易解决。

一、构造函数

例1:已知函数f (x) =x2+bx+c (b, c为常数) , 方程f (x) =x的两个实数根是x1, 、x2, 且满足x1-x2>1, 设0<t<x1, 求证f (x) >x1。

证明:构造函数F (x) =f (x) -x=x2+ (b-1) x+c, 其图像的对称轴为, 由x2-x1>1得, 即x1<-, 由于f (x) 在 () 上为减函数, 所以f (x) 在 (-∞, x1) 上为减函数, 又0<t<x1, 所以f (t) >f (x) =x。

二、构造数列

例2:已知a>1, n≥2, n∈N, 求证:。

证明:由a>1, 得, 即, 故原不等式等价于。构造以1为首项, 为公比的等比数列an, 则, 问题转化为证明不等式Sn>n, 即a1+a2+a3+……+an>n。由于an>1, 所以不等式成立。

三、构造不等式

例3:已知, 且, 求证:a+b<1。

证明:构造不等式, 即, 所以, 即a+b<1。

四、构造方程法

例4:已知a>b>c, a+b+c=1, a2+b2+c2=1, 求证:

证明:由a+b=1-c, 得a2+b2= (a+b) 2-2ab= (1-c) 2-2ab=1-c2, 所以ab=c2-c, 因此, 构造以ab为根的方程x2- (1-c) x+c2-c=0, 令f (x) =x2- (1-c) x+c2-c, 令a, b∈R, 及a>b>c, 得, 解得。

五、构造向量法

例5:设任意实数x、y, 满足x<1, y<1, 求证:。

证明:构造向量, 由向量数量积性质, 得, 所以, 即。

六、构造三角形

例6:设a, b∈R+a≠b, 求证:f (a) -f (b) <a-b。

证明:由, 构造直角三角形, 如图1所示, AB=1, BD=b, , BC=a在△ABD中, 有AC-AD<BC-BD, 即, 故原不等式成立。

七、构造解析几何模型

例7:已知a, b, c∈R, a+b+c=1, a2+b2+c2=1, 求证:。

证明:设P (a, b) , 由题意知点P是直线x+y=1-c2与圆x2+y2=1-c2的公共点, 于是圆心O (0, 0) 到直线x+y=1-c2的距离不大于该圆的半径, 即, 所以。

八、构造几何体

例8:已知, a>0, b>0, c>0,

求证:, 当且仅当时取等号。

证明:从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理, 于是可构造如图2所示的图形。

作OA=a, OB=b, OC=c, ∠AOB=∠BOC=60°, 则∠AOC=120°, , 由几何知识可知:AB+BC≥AC, ∴, 当且仅当A、B、C三点共线时等号成立, 此时有, , 即ab+bc=ac, 故当且仅当时取等号。

九、构造二项式

例9:已知a>1, n≥2, n∈N, 求证:。:a2>n2 (n2-1) 24

证明:令a=b+1, 由a>1, 得b>0, 只要证明, 所以不等式得证。

例谈“线性代换”法证明不等式 篇2

分析这个看似简单的问题采用常规的方法来解并不顺利, 如果分别用x, y来替换不等式中的分母b - 1、a - 1, 则不等式的结构就会发生明显的变化.

证明令x = b - 1, y = a - 1, 则x > 0, y > 0, 则

说明这里的代换x = b - 1, y = a - 1 叫做线性代换. 某些分式不等式, 如果分母是变元的线性多项式则可以考虑采用线性代换.

例2 设x1, x2, x3是正数, 求证: x1x2x3≥ ( x2+ x3- x1) (x1+x3-x2) (x1+x2-x3) .

a, b, c中至多有一个不大于0, 不妨设a ≤0, b ≤0, 则x3≤0 这与x3> 0 矛盾.

当a, b, c中恰有一个不大于0 时, 不等式显然成立.

当a, b, c均为正数时, 原不等式化为 ( b + c) ( c + a) ( a + b) ≥8abc.

例谈用“构造法”证明不等式 篇3

1. 整体观察, 局部构造

有些不等式的证明, 若从整体上考虑难以下手, 可构造若干个结构完全相同的局部不等式, 逐一证明后, 再利用同向不等式相加的性质, 即可得证.

例1在△ABC中, a, b, c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边, 求证:a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.

证明由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A, b2=c2+a2-2ca cos B, c2=a2+b2-2ab cos C.

将上面三式相加, 得

构造与题设 (∠A, ∠B, ∠C为△ABC的内角) 有必然联系的三个不等式cos A<1, cos B<1, cos C<1, 则有

将 (1) 代入 (2) , 得a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.

即此不等式得证.

2. 形成类比, 构造图形

如果问题中的数量关系具有明显的几何意义或以某种方式与几何图形建立关系, 那么从数形结合、数形转化的角度出发, 构造几何图形, 将题设的条件与数量关系直接在图形中得到实现, 通过几何图形的直观性获解.

例2设a>0, 实数x, y, z满足x+y=z=a, , 求证:

简析本题用常规方法证明, 难以实现.若把已知方程分别看作直线与圆, 构造一个直线与圆有公共点的图形, 证明思路就豁然开朗.

证明将已知方程化为x+y=a-z, , 因二式同时成立, 意味着在直角坐标系中, 直线x+y=a-z和圆相交或相切, 如图.

于是圆心 (0, 0) 到直线x+y=a-z的距离小于或等于半径, 即, 化简, 得3z2-2az≤0

3. 洞察联系, 构造方程

对于要证明的“A·C≥ (或≤) B2”这类不等式, 我们先把不等式变形为4A·C≥ (或≤) (2B) 2, 然后构造一个二次函数f (x) =Ax2-2Bx+C, 再证明其判别式Δ≤0 (或Δ≥0) .

例3已知, 求证:b2≥4ac.

因为, 故姨是方程 (2) 的一个根, 从而方程 (1) 有实根, 故b2-4ac≥0, 即b2≥4ac.

4. 联想沟通, 构造向量

利用|a|+|b|≥|a+b|或|a·b|≤|a||b|证明不等式.

观察此题的结构, 左边是积的形式, 右边是常数, 对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标, 从而能够计算出两个向量的模, 再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式, 从而结论得证.

5. 联想三角, 构造三角模型

例5已知a, b, c为三角形的三边, 且a2+b2=c2, n∈N*且n>2, 求证:cn>an+bn.

证明由a>0, b>0, c>0, a2+b2=c2得,

可以联想到三角中的sin2α+cos2α=1,

故cn>an+bn.

从结论变形式也可联想到指数函数, 通过构造指数函数, 利用函数单调性, 也可使问题顺利解决.

6. 构造复数模型

构造复数证明不等式, 利用复数模的性质|z1|+|z2|≥|z1±z2|≥|z1|-|z2|往往能避免复杂的凑配技巧, 使证明过程直观又容易接受.

例6已知A=x cos2θ+y sin2θ, B=x sin2θ+y cos2θ, x, y, A, B∈R.求证:x2+y2≥A2+B2.

证明构造复数z1=A+B1i, z2=x+yi.

则|z1|=| (x cos2θ+y sin2θ) + (x sin2θ+y cos2θ) i|=

|z1cos2θ+i z2sin2θ|≤|z2cos2θ|+|i z2sin2θ|=

|z2|cos2θ+|z2|sin2θ=|z2|.

即|z2|2≥|z1|2, 所以x2+y2≥A2+B2.

7. 整体放缩, 构成对偶

要证明S

要证明S

这也是构造法证明不等式的常用手段.

故, 所以原不等式成立.

人格权法独立成编问题研究综述 篇4

(一) 国外立法保护模式

1. 德国的立法保护模式

《德国民法典》对人格权给予了很高的重视同时也有过对人格权立法的尝试, 但是由于政治因素而以失败告终, 因此它对人格权没有进行详细的规定, 只是在第一编中规定了“姓名权及其请求权”。

2. 法国的立法保护模式

《法国民法典》非常重视人的地位和保护, 其中16条便规定了:“法律确保人的首要地位, 禁止任何侵犯人之尊严的行为, 并保证每一个人自生命一开始即受到尊重。”

3. 瑞士的立法保护模式

《瑞士民法典》开创了人格权保护的新范式, 它在总则当中规定了单独的“人格”一节, 同时还规定了一般人格权与特殊人格权以及人格权的救济。

(二) 国内立法保护模式

《民法通则》是一个总括式的民法, 其中第五章规定的内容就是民法分则的缩略版本, 我们将人格权的规定放于《民法通则》第五章的做法是其他国家民法典中从未出现过的。这种立法模式给予人格权独特的法律地位, 表明了我国保护人格权的决心, 同时确立了人格权与物权、债权等权利的平等地位, 是具有中国特色的人格权立法模式。

二、反对人格权法独立成编的理论依据

当前我国法学界反对人格权法独立成编的声音广泛存在, 主要以梁慧星教授为代表, 他们认为人格权法不能独立成编的理由如下:

(一) 民法典的编纂是以民事法律关系为划分标准的, 即以人与人之间的法律关系为划分标准;

(二) 人格权与人格是不可分离的, 将人格权列于主体资格中会更好的管理人格权;

(三) 人格权法独立成编在全世界的范围内是没有先例的, 将其独立成编之后产生的社会影响无法预见;

(四) 关于人格权的权能更多的体现在消极权能上, 主要是排除他人对人格权的侵害, 条文数目较少, 内容单薄, 不足以独立成编。

三、支持人格权法独立成编的理论依据

针对人格权法独立成编的反对之声, 以王利明教授为代表的法学家们作出了相应的阐释, 他们认为人格权法独立成编是必要的, 理由如下:

1.继承《民法通则》的优良创新传统要求人格权法独立成编;2.人格权与主体制度存在明显的区别;3.人格权规定的具体性与总则规定的抽象性不相容;4.人格权的发展趋势是民法总则无法涵盖的;5.《侵权责任法》无法代替独立成编的人格权法;6.将人格权作为主体资格的应有之意是不明智的。

在支持人格权法独立成编的理由中, 我对为继承《民法通则》中人格权保护模式的优良创新传统而要求人格权法独立成编的观点存有疑问。我国人格权法的“中国模式”在国际上确实受到了广泛的好评而且我也不否认法律中创新的重要性, 但是我认为在确定一部法典权利的编排顺序问题上用立法逻辑来解释似乎更有说服力, 站在这个角度考虑的话这个理由的说服力略显单薄。

四、人格权法独立成编的现实思考

通过对比分析支持派学者和反对派学者的观点, 我认为支持人格权法独立成编的学者们更多的站在立法质量的角度上, 充分重视人格权的发展问题并且在此基础上还提出了将人格权列入主体资格中的弊端, 从这个角度来看, 人格权法在我国民法典中独立成编是利大于弊的。

当然以上所有的分析都几乎停留在理论层面, 我们在考虑人格权法独立成编与否这个问题时还应考虑现实问题。我认为在大趋势都朝着人格权法独立成编的方向发展的今天, 反对人格权法独立成编的学者们提出的相关质疑依然值得被大家重视。虽然在理论上人格权法独立成编的优势更加明显, 但是对于建立一个世界上首次出现的人格权立法保护模式我们还要考虑更多的现实问题。

摘要：我国民法典的编纂工作已经在进行中, 但是法学家们就民法典体系的构建与确立问题产生了一些冲突与分歧。其中, 关于人格权法是否独立成编这一问题的探讨尤为激烈。本文围绕人格权法独立成编与否这一问题, 通过分析国内外的人格权立法保护模式同时结合国内法学家们支持与反对的意见, 对人格权法独立成编的相关现实问题进行深入思考。

关键词：人格权法,独立成编,立法保护模式,现实思考

参考文献

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[9]采访者:张伟杰, 被访者:梁慧星教授.人格权:与生俱来的权利[N].工人日报, 2003-02-08.